Pemodelan Yield Curve Obligasi dengan Menggunakan Metode Berbasiskan Spline TUGAS AKHIR Ditujukan Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Sidang Sarjana Matematika
Disusun oleh Andre Raymond 10105031
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG BANDUNG 2009
Pemodelan Yield Curve Obligasi dengan Menggunakan Metode Berbasiskan Spline TUGAS AKHIR Ditujukan Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Sidang Sarjana Matematika
Disusun oleh Andre Raymond 10105031
Bandung, Juni 2009 Telah diperiksa dan disetujui oleh :
Dr. Kuntjoro A. Sidarto Dosen Pembimbing Tugas Akhir
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG BANDUNG 2009
ii
ABSTRAK
Pemodelan Yield Curve Obligasi dengan Menggunakan Metode Berbasiskan Spline oleh Andre Raymond Yield curve memiliki peranan penting dalam dunia fixed-income sebagai acuan analisis pengambilan keputusan dalam berinvestasi yaitu dengan menentukan jangka waktu investasi yang terbaik selain dapat digunakan untuk menghitung harga suatu obligasi dengan maturity time tertentu. Beberapa model yang populer digunakan adalah model McCulloch [1971] yang menggunakan spline untuk mendapatkan fungsi diskon dan model Nelson-Siegel [1987] yang menggunakan model parsimonius. Kedua model tersebut merupakan model empiris yang memanfaatkan data yang ada untuk mendapatkan parameter optimal penyusun model. Model McCulloch ini diaplikasikan pada data obligasi pemerintah Indonesia dengan model Nelson-Siegel sebagai pembanding. Model McCulloch ternyata memiliki kemampuan menghampiri data dengan lebih baik terutama pada kumpulan data yang kualitasnya kurang baik walaupun kurva yang dihasilkan menjadi terlalu bergelombang sesuai dengan sebaran data yang ada. Model Nelson-Siegel memiliki kurva yang lebih smooth dibandingkan dengan model McCulloch. Akan tetapi, pada tanggal pelaporan yang memiliki kualitas data yang buruk, model Nelson-Siegel hampir selalu tidak dapat menghampiri data lebih baik daripada model McCulloch. Kata kunci : Yield curve, spline, McCulloch, Nelson-Siegel, obligasi pemerintah Indonesia.
iii
ABSTRACT
Bonds Yield Cuve Modelling Using Spline Based Method by Andre Raymond Yield curve has an important role in fixed-income world as an analysis tool for deciding the best investment period for investing money. It also can be used in for pricing a bond with a known maturity time. Some popular models for constructing a yield curve are McCulloch model [1971] which uses spline for constructing the discount function of the bond and Nelson-Siegel model [1987] which uses parsimonius model. Both models are empirical model that the optimal parameters are searched using real data using some methods. The McCulloch model is then aplied into Indonesia government bonds data. The results gained then compared with the results from Nelson-Siegel model. McCulloch model has the ability to fit the data well, especially when the data quality is low although the curve constructed too wavy in some places. Nelson-Siegel produces a smoother curve rather than McCulloch model. But, if the data quality is low, Nelson-Siegel is often can not fit the data better than McCulloch model. Keywords : Yield curve, spline, McCulloch, Nelson-Siegel, Indonesia government bonds.
iv
PRAKATA
Alhamdulillahi rabbil 'alamin. Segala puji bagi Allah SWT atas keimanan, ketabahan, semangat, dan kesempatan yang telah diberikan oleh-Nya. Hanya karena izin Allah SWT lah, penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir dalam rangka memenuhi persyaratan sidang sarjana Matematika di lingkungan Institut Teknologi Bandung dan mempertanggungjawabkannya dalam Seminar I dan II. Penulis ingin berterima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam penyelesaian tugas ini. Penghargaan yang setinggi-tingginya penulis sampaikan kepada kedua orang tua penulis, Andi Sugiharto dan Runcanawati, yang telah memberikan dukungan dan pengorbanan yang tak terhitung jumlahnya. Penulis bersyukur karena mereka berdua percaya dengan sepenuh hati bahwa orang yang berilmu akan ditinggikan beberapa derajat dari orang lain. Tanpa kepercayaan itu, mungkin penulis tidak akan pernah dapat mengeyam pendidikan hingga lulus seperti sekarang. Penulis berharap dapat membalas jasa mereka, meninggikan derajat mereka seperti yang telah mereka lakukan selama ini terhadap penulis. Selain itu, penulis ucapkan terima kasih juga kepada : 1. Dr. Kuntjoro A Sidarto selaku dosen pembimbing tugas akhir ini, atas bimbingannya selama mengerjakan tugas akhir ini. Beliau telah banyak menginspirasi saya untuk selalu memperdalam ilmu yang dimiliki; 2. Dr. Novriana Sumarti dan Dr. M. Syamsuddin selaku penguji Tugas Akhir yang juga telah membuka mata penulis tentang menariknya dunia Matematika Keuangan; 3. Dr. Pudji Astuti, wakil dekan bidang akamik FMIPA dan dosen Matematika ITB. Tanpa bantuan beliau, penulis tidak akan mendapatkan rekomendasi untuk memperoleh beasiswa Unggulan dari Depdiknas; 4. Samyoeto, MS, dosen wali penulis, atas perhatian yang diberikan selama penulis menjalankan perkuliahan di ITB;
v
5. staff pengajar di ITB lainnya yang telah menyampaikan materi perkuliahan selama penulis mengeyam pendidikan di ITB; 6. karyawan Tata Usaha dan Perpustakaan Program Studi Matematika atas pelayanan yang telah diberikan terutama bu Diah yang telah banyak membantu dalam pengurusan beasiswa dan hal-hal lainnya; 7. keluarga di rumah atas keceriaan dan kehangatan yang selalu menjadi bahan bakar menjadi penulis untuk beraktivitas; 8. Andriana Polisenawati, teman terdekat yang telah membantu dalam banyak hal selama proses perkuliahan dan pengerjaan Tugas Akhir ini. 9. teman-teman di program studi Matematika ITB, ComLabs USDI-ITB, OPPINET, Click Multimedia, Rileks Badminton Club (RBC), Pustena Salman ITB, GAMAIS, DKM Al-Furqan SMAN 3 Bandung. dan Komunitas Tanaman Karnivora Indonesia (KTKI) atas kebersamaan dan persahabatannya selama penulis mengenyam pendidikan di ITB; dan 10. pihak-pihak lain yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini dan mengenyam pendidikan di ITB yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu. Mudah-mudahan semua kebaikan yang telah diberikan dibalas dengan setimpal oleh Allah SWT. Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan. Oleh karena itu, penulis meminta maaf atas kesalahan dan kekurangan itu dan dengan senang hati menerima kritik dan saran untuk memperbaiki Tugas Akhir ini. Penulis berharap semangat luar biasa yang meluap saat mengerjakan Tugas Akhir ini tidak akan pernah padam di manapun penulis nanti akan menyumbangkan tenaga dan pikirannya untuk kemajuan bangsa ini dan dapat menjadi batu loncatan orang-orang yang mempelajarinya. Bandung, Juni 2009
!"#$%&'(
vi
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN ........................................................................................ ii ABSTRAK ................................................................................................................ iii( ABSTRACT .............................................................................................................. iv( PRAKATA ................................................................................................................. v( DAFTAR ISI............................................................................................................ vii( DAFTAR TABEL....................................................................................................... x( DAFTAR GAMBAR ................................................................................................. xi( BAB I PENDAHULUAN............................................................................................1( 1.1( Latar Belakang ..............................................................................................1( 1.2( Identifikasi Masalah .....................................................................................1( 1.3( Rumusan Masalah ....................................................................................... 2( 1.4( Tujuan Penelitian ........................................................................................ 2( 1.5( Batasan Masalah.......................................................................................... 2( 1.6( Sistematika Pembahasan ............................................................................ 2( BAB II TEORI DASAR ............................................................................................. 3( 2.1( Obligasi ........................................................................................................ 3( 2.1.1( Obligasi Tanpa Kupon .............................................................................. 3( 2.2( Harga Obligasi............................................................................................. 4( 2.3( Yield Curve.................................................................................................. 6( 2.3.1( Beberapa Bentuk Umum Yield Curve...................................................... 7( 2.4( Interpolasi ................................................................................................... 8( 2.4.1( Interpolasi Linier...................................................................................... 8( 2.4.2( Interpolasi Polinom ................................................................................. 9( 2.5( Spline........................................................................................................... 9( 2.5.1( Sifat S(x) Menginterpolasi Titik (xi, yi) ................................................... 11( 2.5.2( Sifat S(x) Kontinu di [xo, xn].................................................................... 11( 2.5.3( Sifat S'(x) Kontinu di [x0, xn]...................................................................12(
vii
2.5.4( Sifat S"(x) Kontinu di [x0, xn]..................................................................12( 2.5.5( Mencari ai, bi, ci, dan di ...........................................................................12( 2.5.6( B-spline ...................................................................................................15( 2.5.6.1 Parameter B-spline Kubik dengan Jarak Subselang Seragam ...............17( 2.5.7( Menentukan Jarak Subselang yang Berada di Luar [x0 ,xn] .................. 18( 2.5.8( Menentukan Banyak Subselang yang Diperlukan ................................ 18( 2.6( Metode Pencarian Parameter Optimal......................................................19( 2.6.1( Metode Kuadrat Terkecil Linier..............................................................19( 2.6.2( Metode Penalti ........................................................................................21( 2.7( Model Pembentuk Yield Curve ................................................................. 22( 2.7.1( Model McCulloch.................................................................................... 22( 2.7.2( Model Nelson-Siegel .............................................................................. 24( 2.8( Penaksiran Variansi Error Model............................................................. 26( 2.8.1( Model Linier ........................................................................................... 26( 2.8.2( Model Non Linier................................................................................... 28( BAB III APLIKASI MODEL ................................................................................... 30( 3.1( Data............................................................................................................ 30( 3.2( Prosedur .................................................................................................... 30( 3.3( Yield Curve Periode 30 Maret - 3 April 2009 ...........................................31( 3.3.1( Model McCulloch.................................................................................... 32( 3.3.2( Model Nelson Siegel............................................................................... 32( 3.3.3( Perbandingan antara Kedua Model....................................................... 33( 3.4( Pengaruh Kualitas Data ............................................................................ 34( 3.5( Perbandingan Model untuk Data Periode yang Lain ............................... 36( BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 40( 4.1( Kesimpulan................................................................................................ 40( 4.2( Saran ......................................................................................................... 40( DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................41( LAMPIRAN B DATA PERIODE 30 MARET - 3 APRIL 2009.............................. 49( LAMPIRAN C YIELD CURVE DENGAN MENGGUNAKAN DATA ASLI........... 50( LAMPIRAN D YIELD CURVE DENGAN MENGGUNAKAN DATA HASIL SARINGAN............................................................................................................. 54(
viii
LAMPIRAN E PARAMETER MODEL DENGAN MENGGUNAKAN DATA ASLI ................................................................................................................................ 58( LAMPIRAN F PARAMETER MODEL DENGAN MENGGUNAKAN DATA HASIL SARINGAN................................................................................................. 59(
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Beberapa bentuk tambahan persamaan (33)............................................15( Tabel 2. Parameter model McCulloch untuk tanggal pelaporan 6 April 2009..... 32( Tabel 3. Titik-titik ujung subselang model McCulloch tanggal pelaporan 6 April 2009 ............................................................................................................... 32( Tabel 4. Parameter model Nelson-Siegel untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 32( Tabel 5. Variansi error kedua model untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 ...... 34( Tabel 6. Parameter model McCulloch menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 ..................................................................... 35( Tabel 7. Titik-titik ujung subselang model McCulloch menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 ........................................... 35( Tabel 8. Parameter model Nelson-Siegel menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 ..................................................................... 35( Tabel 9.Variansi error kedua model menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 ..................................................................... 36( Tabel 10. Perbandingan variansi data asli dan data hasil saringan ...................... 37(
x
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Normal yield curve ................................................................................ 7( Gambar 2. Flat yield curve ...................................................................................... 7( Gambar 3. Inverted yield curve............................................................................... 7( Gambar 4. Humped yield curve .............................................................................. 8( Gambar 5. Plot setiap segmen pembentuk model Nelson-Siegel ......................... 25( Gambar 6. Data yield curve asli tanggal pelaporan 6 April 2009. ........................31( Gambar 7. Grafik setiap segmen model Nelson Siegel tanggal pelaporan 6 April 2009 ............................................................................................................... 33( Gambar 8. Yield curve model Nelson-Siegel dan McCulloch untuk tanggal pelaporan 6 April 2009.................................................................................. 33( Gambar 9. Data yield curve yang telah disaring untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 ............................................................................................................... 34( Gambar 10. Grafik setiap segmen model Nelson Siegel menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 ........................................... 35( Gambar 11. Yield curve model Nelson-Siegel dan McCulloch menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 .................................. 36(
xi
