PEMODELAN PROGRAM STOKASTIK UNTUK PENGELOLAAN PRODUKSI IKAN DI DAERAH PESISIR PROVINSI SUMATERA UTARA

PEMODELAN PROGRAM STOKASTIK UNTUK PENGELOLAAN PRODUKSI IKAN DI DAERAH PESISIR PROVINSI SUMATERA UTARA

TESIS

Oleh

PUTRA BAHTERA JAYA BANGUN 067021008/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008

Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

PEMODELAN PROGRAM STOKASTIK UNTUK PENGELOLAAN PRODUKSI IKAN DI DAERAH PESISIR PROVINSI SUMATERA UTARA

TESIS

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh

PUTRA BAHTERA JAYA BANGUN 067021008/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008


Judul Tesis

Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: PEMODELAN PROGRAM STOKASTIK UNTUK PENGELOLAAN PRODUKSI IKAN DI DAERAH PESISIR PROVINSI SUMATERA UTARA : Putra Bahtera Jaya Bangun : 067021008 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Ketua

(Dr. Sutarman, M.Sc) Anggota

Ketua Program Studi

Direktur

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Tanggal lulus: 16 Juli 2008


Telah diuji pada : Tanggal 16 Juli 2008

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua

:

Prof. Dr. Herman Mawengkang

Anggota

:

Dr. Sutarman, M.Sc Dr. Saib Suwilo, M.Sc Drs. Open Darnius Sembiring, M.Sc


ABSTRAK Dalam tesis ini dibahas mengenai pengelolaan atau perencanaan produksi ikan dalam usaha tradisional skala kecil di Provinsi Sumatera Utara, yang melakukan penglolaan ikan dibeberapa produk hasil laut setempat. Ketidakpastian data (seperti permintaan, ketersediaan ikan), bersamaan dengan evolusi data terhadap waktu menimbulkan masalah dalam perencanaan produk ikan pada model pemograman stokastik. Dalam tesis ini juga digunakan skenario pendekatan berbasis generasi untuk menyelesaikan model tersebut. Kata kunci : Program stokastik, Model program stokastik, Pengelolaan produksi

i Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

ABSTRACT This thesis considers the management of small scale traditional business at North Sumatra province which performs processing fish into severel local seafood product. The inherent uncertainty of data (e.g. demand, fish availability), together with the sequential evolution of data over time leads the problem in planning the fish product to a stochastic programmng model. This thesis used scenario generation based approach for solving the model.

Keywords : Stochastic programming, Stochastic programming model, Production planning

ii Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

KATA PENGANTAR Puji dan syukur dipanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, Pengasih dan Penyayang atas berkat dan rahmatNya tesis ini dapat diselesaikan dengan baik melalui bimbingan, arahan dan bantuan yang diberikan berbagai pihak khususnya pembimbing, pembanding, para dosen, teman teman mahasiswa, khususnya mahasiswa Program Studi Magister Matematika dan pengelola Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Tesis dengan judul: ”Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi Sumatera Utara” adalah merupakan tugas akhir dan syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar besarnya kepada: Rektor Universitas Sriwijaya, dan Jajarannya yang telah memberikan izin dan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti pendidikan lanjutan pada Sekolah Pascasarjana USU. Ketua beserta Staf PHK A2 Jurusan Matematika FMIPA UNSRI, yang memberikan bantuan moril dan materil serta beasiswa sehingga penulis dapat melanjutkan pendidikan lanjutan dan menyelesaikannya. Rektor Universitas Sumatera Utara, dan Direktur Sekolah Pascasarjana USU, yang telah bersedia menerima penulis sebagai mahasiswa Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matematika.

iii Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

Ketua Program Studi Magister Matematika beserta Stafnya, yang telah bersedia menerima penulis sebagai mahasiswa beserta fasilitasnya sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan tepat pada waktunya. Prof. Dr. Herman Mawengkang dan Dr. Sutarman M.Sc sebagai pembimbing, dengan penuh kesabaran membimbing, memotivasi, memberikan dukungan moril, kritik dan saran serta memberikan bahan bahan yang berkaitan dengan penyusunan tesis ini sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan baik. Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Open Darnius Sembiring,M.Sc sebagai pembanding, yang telah memberikan saran, masukan dan arahan yang baik demi terwujutnya tesis ini. Seluruh Staf Pengajar dan Administrasi, Program Studi Magister Matematika yang telah memberikan bantuan dan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Orangtua tercinta R. Bangun, K. Br. Ginting (Alm), DK. Br. Purba, mertua DJ.Ginting, M.Br.Bangun dan Adik adikku serta semua keluarga yang senantiasa mendoakan, memberikan dorongan dan melayani dengan penuh kasih, sabar serta memberikan pengorbanan selama penulis mengikuti perkuliahan. Istri tercinta, Esterlin Br. Ginting, yang ditinggal jauh di Palembang, selalu mendoakan, memberikan dorongan, dengan kasih dan sabar serta berkorban menggantikan tugas tugas keluarga serta membimbing anak anak, selama penulis mengikuti pendidikan di Medan, sekali lagi terima kasih.

iv Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

Anak anakku tersayang, Herke Amelia Bangun, mahasiswa Agribisnis Fakultas Pertanian Universitas Sriwijaya Palembang dan Alfredo Efrianta Bangun, Siswa SMA Methodist I Palembang, yang juga ditinggal di Palembang, juga selalu mendoakan, memberikan dorongan, motivasi, sehingga pada saatnya nanti anak anakku juga dapat menempuh pendidikan yang lebih tinggi, berguna bagi Keluarga, Agama, Nusa dan Bangsa. Rekan rekan di FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan khususnya Departemen Matematika dan di FMIPA Universitas Sriwijaya Palembang khususnya Jurusan Matematika, yang telah banyak membantu penulis selama mengikuti perkuliahan. Kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini, terima kasih atas segala bantuan yang diberikan. Sekecil apapun yang Anda berikan untuk penulis turut menghantarkan penulis untuk menyelesaikan pendidikan yang ditempuh selama ini. Dengan segala kekurangan dan kerendahan hati, semoga kiranya Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala bantuan, kebaikan yang telah diberikan.

Medan,

Juli 2008

Penulis,

Putra Bahtera Jaya Bangun

v Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kabanjahe, Kabupaten Karo Sumatera Utara pada tanggal 04 September 1959; anak pertama dari lima bersaudara anak dari R. Bangun dan alm. K. Br. Ginting. Pendidikan yang pernah ditempuh penulis adalah:

1. SD Negeri Jandimeriah Kabupaten Karo; tamat tahun 1971. 2. SMP Negeri Munte Kabupaten Karo; tamat tahun 1974. 3. SMA Hangtuah Belawan Kota Medan; tamat tahun 1977. 4. Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan; tamat tahun 1984.

Sejak tahun 1985 sampai sekarang, menjadi Pegawai Negeri Sipil (PNS) sebagai staf pengajar (Dosen) pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sriwijaya Palembang, Provinsi Sumatera Selatan. Penulis menikah dengan Esterlin Br. Ginting pada 30 Juni 1996, dan telah dikaruniai dua orang anak yaitu: Herke Amelia Bangun dan Alfredo Efrianta Bangun.

vi Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4 Kontribusi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

BAB 3 PROGRAM STOKASTIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.1 Model Dasar Program Stokastik . . . . . . . . . . . . . .

13

3.1.1 Model antisipatif . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.1.2 Model adaptif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.1.3 Model recourse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2 Formulasi Deterministik Ekivalen . . . . . . . . . . . . .

17

3.2.1 Proses formulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

vii Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

3.3 Pohon Skenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

BAB 4 MODEL DAN PENYELESAIANNYA . . . . . . . . . . . . .

36

4.1 Pembentukan Model

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.2 Metode Penyelesaian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2.1 Algoritma dari metode

. . . . . . . . . . . . . . .

46

4.3 Hasil Perhitungan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

viii Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

3.1

Data Untuk Pengolahan Tanaman . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.2

Hasil Optimal Awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.3

Hasil Optimal Setelah Adanya Skenario . . . . . . . . . . . .

26

3.4

Data Pengolahan Tanaman Sebaran Kontinu

. . . . . . . . .

30

4.1

Biaya Produksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2

Tambahan Sumber Daya . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.3

Biaya untuk Tenaga Kerja

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.4

Kapasitas Sumber yang Dibutuhkan untuk Produksi . . . . . .

51

4.5

Kapasitas Sumber yang Tersedia

. . . . . . . . . . . . . . .

52

4.6

Batas Atas untuk Tambahan Sumber . . . . . . . . . . . . .

53

4.7

Tenaga Kerja yang Dibutuhkan untuk Menghasilkan Produksi .

53

4.8

Biaya Penyimpanan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.9

Biaya Tak Terduga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.10 Data Untuk Permintaan Pasar

. . . . . . . . . . . . . . . .

56

ix Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

DAFTAR GAMBAR

Nomor 3.1

Judul

Halaman

Pohon Skenario Untuk Problema 4 Tahap . . . . . . . . . .

21

x Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Pemerintah Indonesia telah melaksanakan pergantian kebijakan ekonomi makro disektor industri dengan teknologi mutakhir untuk pengembangan industri pada sumber daya alam. Perikanan memainkan peranaan yang sangat penting didalam pengembangan ekonomi Indonesia. Hal ini merupakan penyediaan lapangan kerja bagi ribuan orang yang bertempat tinggal di sekitar pantai. Disamping sebagai sumber utama protein hewani, ikan dapat juga merupakan sumber utama untuk protein nabati dalam makanan penduduk Sektor industri perikanan diklasifikasikan menjadi tiga sektor yang berbeda yaitu: perikanan laut lepas, budidaya ikan dan ikan olahan. Umumnya, industri ikan olahan di Indonesia ditemukan didaerah pesisir. Bermacam-macam ikan olahan dapat dihasilkan oleh para nelayan antara lain: ikan asap, ikan asin, ikan kaleng, terasi dan lain-lain. Pengelolaan industri ikan olahan masih didominasi oleh usaha tradisional dengan mempergunakan strategi manajemen konvensional. Hal ini memberi dampak antara lain bahwa para nelayan tidak mendapatkan informasi yang cukup berkaitan dengan permintaan pasar maupun harga pasar Hal yang sama juga disampaikan oleh Agustedi (2001) dari hasil penelitiannya (desertasi) yang menyatakan bahwa dalam pengembangan usaha perikanan laut faktor yang menjadi hambatan adalah terbatasnya informasi dan kemampuan untuk memanfaatkan sumber daya yang dimiliki para nelayan didaerah pesisir.

1 Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

2 Sedangkan faktor pendukung adalah tingkat eksploitasi sumber daya yang belum optimal. Keberhasilan agroindustri usaha perikanan laut memerlukan dukungan ketersediaan bahan baku, penerapan teknologi tepat sasaran, dukungan pembiayaan dari instansi terkait , kredit bersubsidi dengan bunga yang relatif murah. Penelitiannya yang berjudul: Rancang Bangun Model Perencanaan dan Pembinaan Agroindustri Hasil Laut Kualitas Ekspor dengan Pendekatan Wilayah di Provinsi Jawa Timur dengan beberapa pertimbangan yaitu:

a. Termasuk lima besar penghasil produksi perikanaan laut, b. Memiliki jumlah alat tangkap terbesar di Indonesia, c. Mempunyai keragaman pengolahan ikan tradisional terbanyak dengan produk utama ikan asin, ikan pindang, ikan peda,terasi, ikan asap, d. Tingkat pemanfaatan sumber daya perikanaan laut yang belum optimal.

Sementara itu penelitiannya tersebut bertujuan untuk menghasilkan suatu model perencanaan atau pengelolaan dan pembinaan agroindustri hasil laut orentasi ekspor dengan pendekatan wilayah meliputi:

1. Analisis faktor yang menghambat dan mendukung perencanaan dan pembinaan agroindustri hasil laut 2. Mempelajari kemitraan antara pemasok bahan baku dan agroindustri; antara pihak agroindustri dengan pedagang atau distributor, 3. Menganalisis struktur biaya usaha agroindustri hasil laut,


3 4. Merancang perangkat lunak untuk membantu ekspor investor, pengusaha, dan pemerintah dalam merencanakan dan membina agroindustri hasil laut skala kecil dan menengah, 5. Merancang suatu model kelembagaan untuk meningkatkan nilai tambah dan pendistribusian pendapatan pihak terkait secara proporsional.

Alat analisis yang digunakan terdiri dari teknik optimasi dengan menggunakan program linier untuk meminimumkan biaya tranfortasi melalui program VAM (Vogels Approximation Methods) dan stepping stone, rancangan kebijakan /strategis dianalisis dengan AHP (Analisis Hiraki Proses), metode penentuan prioritas keputusan dengan MPE (Metode Perbandingan Eksponensial) dan CPI (Comparative Performance Indeks). Penetapan kinerja perusahaan dianalisis dengan metode APC (American Produkticity Center Model), analisis perkiraan harga ikan olahan menggunakan model pasar dinamik dan perkiraan produksi produk agroindustri hasil laut dianalisis dengan ESM (Eksponensial Smoting Model). Pada umumnya data yang digunakan pada penelitian yang sudah dilakukan diasumsikan bahwa, semua parameter ataupun variabelnya sudah tertentu atau sudah pasti (deterministik). Dalam situasi perencanaan produksi yang demikian ini yaitu informasi data saat itu sudah tertentu (deterministik), tentunya digunakan optimisasi deterministik, namun untuk masa yang akan datang data yang diperlukan mengandung ketidakpastian (Stokastik). Umumnya, problema perencanaan didalam prakteknya, dimana keputusan optimal dicari dengan kendala ketidakpastian problema data. Problema-problema ini sering dimulai dari model model perencanaan, dimana keputusannya dibuat pada saat ini, sebagai efeknya hanya diketahui pada masa yang akan datang. Beberapa data empiris yang hilang


4 atau menyimpang , atau kendalanya berpengaruh terhadap gangguan eksternal yang tidak dapat dikontrol oleh siperencana. Jika ketidakpastian tidak diperhitungkan dalam penyelesaian model model maka biaya yang hilang dapat dibuat bilamana model tersebut digunakan. Sesungguhnya, penyelesaian yang diperoleh dari suatu program optimasi mungkin dioptimalkan untuk nilai tertentu dari parameter problema. Tetapi untuk nilai yang sesungguhnya atau nilai akhir dari parameter parameter ini dapat diambil suatu keputusan yang mungkin jauh dari optimal atau bahkan tidak layak dengan beberapa kendala dari problema. Problema-problema yang disebabkan ketidakpastian didalam data dapat disajikan dengan berbagai cara; yakni stokastik programming , atau, optimisasi pada kondisi ketidakpastian , akan menggambarkan perluasan alamiah dari program matematika untuk membiarkan ketidakpastian didalam problema data. Perhitungan dilakukan secara eksplisit untuk berada dalam tahapan pemodelan. Didalam model optimisasi stokastik, parameter parameter tertentu adalah variabel stokastik yang mempunyai beberapa distribusi probabiliti kontinu atau diskrit. Salah satu bentuk model pemograman stokastik adalah model pemograman stokastik dua tahap dengan recourse. Program stokastik dua tahap dengan recourse ini merupakan suatu bentuk model khusus yang lebih penting. Dalam hal model seperti ini fungsi objektifnya biasanya bersesuaian dengan meminimumkan biaya atau memaksimumkan keuntungan, meskipun dapat juga mengacu pada nilai absolut yang diharapkan atau penyimpangan kuadrat tujuan khusus tertentu atau variance dari fungsi sumber tahap kedua.


5 Terdapat dua jenis variabel keputusan. Variabel tersebut ditentukan sebelum variabel acak sudah ditentukan, hal ini disebut tahap pertama atau variabel keputusan here and now dan menunjukan keputusan proaktif yang ada; didalam penelitian ini semuanya merupakan biaya produksi dan tenaga kerja periode pertama. Variabel here and now yang ditentukan setelah variabel acak terealisasikan disebut tahap kedua atau variabel keputusan recourse dan menggambarkan keputusan reaktif yang dibuat di dalam sumber atau respons terhadap faktor tak tentu. Dalam hal ini variabel acak diskrit model dua tahap recourse adalah besar dan kompleks, sehingga dengan demikian diselesaikan secara numerik dengan menggunakan strategi algoritma yang cocok. Umumnya algoritma ini menggunakan algoritma strategi dekomposisi yang diselesaikan dengan memakai model skenario atau tahapan dalam skema iteratif, yang memperbolehkan pemecahan model menjadi model yang lebih kecil. Suatu metode pencarian tujuan layak digunakan untuk menyelesaikan model ekivalen tertentu yang lebih luas, dengan tiap variabel tahap pertama adalah merupakan replikasi bagi setiap skenario dengan suatu kesamaan untuk nilai variabel yang baru. Kerangka dari model pemograman stokastik dua tahap dapat dituliskan sebagai berikut: min

cT1 x1 +

S P

PS (q T y2S )

(1.1)

S=1

dengan kendala

Ax1 = b

(1.2)

T s x1 + W y2s = hs , s = 1, . . . , S

(1.3)

x1, y2s ≥ 0 s = 1, . . . , S

(1.4)


6

c1

= Vektor koefisien biaya pada tahap pertama.

x1

= Vektor variabel keputusan tahap pertama dengan skenario yang bebas.

A

= Matriks koefisien tahap pertama.

b

= Vektor sisi kanan yang bersesuaian.

y2

= Vektor variabel keputusan tahap kedua (recourse).

q

= Vektor dari matriks koefisien untuk biaya tahap kedua.

W

= Matriks koefisien tahap kedua.

hs

= Vektor sisi kanan yang bersesuaian.

Ts

= Matriks yang mengikat dua tahapan bersama dengan s.

Ps S P

= Peluang terjadinya skenario s. PS (q T y2S ) = Nilai harapan dari biaya pinalti recourse.

s=1

Persamaan (1.2) menyatakan model tahap pertama sedangkan persamaan (1.3) menyatakan model tahap kedua. Nilai optimal x1 bukanlah merupakan syarat pada realisasi parameter yang tidak pasti. Pembatas acak pada model tahap kedua didefinisikan pada persamaan (1.3), sementara hs − T s x1 adalah merupakan pembatas tujuan; pelanggaran dari batasan batasan ini diperbolehkan, tetapi biaya pinalti q T y2 akan mempengaruhi pilihan dari x1 − q T y2 yang merupakan biaya pinalti recourse.

1.2 Perumusan Masalah Pada umumnya model yang dianjurkan untuk data yang diasumsikan bahwa semua parameter yang diketahui sudah pasti atau tertentu (deterministik) adalah optimisasi deterministik namun demikian secara praktis terdapat parameter yang


7 mengandung ketidakpastian (stokastik), dalam keadaan demikian ini perlu dibuat suatu model stokastik yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya.

1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini untuk mendapatkan model program stokastik pengelolaan produksi ikan di daerah pesisir Provinsi Sumatera Utara.

1.4 Kontribusi Penelitian Adapun kontribusi dari penelitian ini adalah: sebagai bahan untuk menambah wawasan keilmuan bagi akademisi dan peneliti, khususnya dalam penelitian bidang matematika. Sebagai informasi tambahan yang strategis bagi Pemerintah Provinsi Sumatera Utara dalam rangka membantu membuat kebijakan tentang pemberdayaan usaha kecil pengelolaan produksi ikan di daerah pesisir.

1.5 Metodologi Penelitian Penelitian ini diawali dengan konsep konsep dari program stokastik. Selanjutnya dibahas hal hal yang berkaitan dengan model program stokastik antara lain:


8 a. Model dasar program stokastik, meliputi: model antisipatif, model adaptif, model recourse dan model pemograman stokastik dua tahap. b. Formulasi deterministik ekivalen, proses formulasi dan pohon skenario. c. Diberikan juga illustrasi dasar untuk contoh dan penyelesaian dari problema program stokastik tersebut diatas.

Selanjutnya dibahas tentang pembentukan model dan penyelesaiannya yang meliputi antara lain:

a. Menentukan atau mendifinisikan variabel atau parameter keputusan yang digunakan pada penelitian ini. b. Mendapatkan model pemograman stokastik c. Menurunkan metode penyelesaian yaitu metode pencarian langsung layak. d. Membuat algoritma dari metode yang terdiri dari 6 langkah.

Langkah berikutnya adalah mengolah (menyusun) data dan hasil perhitungan, yang meliputi antara lain:

a. Menentukan perencanaan setara meliputi setiap tiga bulanan, akibatnya terdapat empat periode didalam satu tahun T = {1, 2, 3, 4} b. Menentukan peluang permintaan pasar sesuai dengan kondisi atau kualitas ikan olahan yaitu kualitas baik, kualitas sedang dan kualitas jelek. c. Menyusun data dalam bentuk tabel sesuai dengan kebutuhan dan penjelasannya.


9 Dibagian akhir penelitian ini disajikan kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian dan saran dari kendala yang ditemukan dari penelitian ini.


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Salah satu potensi perikanan pesisir yang dapat dimaanfaatkan sebagai pengembangan wilayah desa pantai adalah potensi perikanan rakyat yang juga sering disebut perikanan skala kecil atau perikanan tradisional. Pemanfaatan potensi dengan mengoptimalkan faktor-faktor produksi akan memberikan dampak positif bagi peningkatan produksi perikanan. Potensi ini jika dikelola secara optimal akan memberikan kesejahteraan bagi masyarakat pantai itu sendiri. Kontribusi usaha pesisir tersebut dapat dilihat dari penyerapan tenaga kerja , peningkatan pendapatan, peningkatan espor hasil produksi perikanan. Peningkatan produksi ini akan berdampak terhadap peningkatan pendapatan sehingga memberikan dampak yang lebih baik terhadap kehidupan masyarakat setempat. Hal ini dikemukakan Bangun (2004), dalam tesisnya untuk menganalisis pengaruh faktor produksi terhadap hasil produksi dengan model analisis regressi yaitu model atau fungsi produksi Cobb- Douglass. Permasalahan yang dikaji dalam tesisnya adalah pengaruh masing-masing faktor produksi yaitu: luas lahan, tenaga kerja, jumlah bibit dan jumlah pakan terhadap produksi tambak rakyat; luas jaring, lama panen, jumlah bibit dan jumlah pakan terhadap produksi budidaya laut skala kecil: serta jarak tempuh, tenaga kerja, modal kerja dan pengalaman terhadap produksi yang dihasilkan oleh para nelayan tradisional. Lai et al (2005), menyatakan bahwa masalah perencanaan (pengelolaan) produksi memegang peranan yang sangat penting dalam jaringan manajemen persediaan. Metodologi dari masalah perencanaan produksi dapat juga mem10 Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

11 berikan jumlah produksi dan tenaga kerja disetiap perencanaan produksi untuk memenuhi permintaan pasar. Dikembangkan juga suatu model pemograman stokastik dengan penambahan pambatas. Digunakan juga model dua tahap recourse untuk masalah perencanaan (pengelolaan) produksi dengan pemograman stokastik. Sekumpulan data dari perusahaan multinasional di Hongkong digunakan untuk memperlihatkan kekuatan dan efektivitas model yang diajukan. Sementara itu, Clay dan Grossmann (1996); membahas tentang model pemograman linier stokastik untuk pengelolaan produksi, memformulasikan program linier stokastik dua tahap dalam pengelolaan produksi. Diberikan pula beberapa konsep dan isu teoritis yang muncul didalam permasalahan linier programming dua tahap untuk pengelolaan produksi. Aplikasi perencanaan produksinya pada industri pengolahan kimia dan terpusat dibeberapa operasi pabrik. Aplikasi ini mengatasi masalah seleksi persediaan makanan dan disposisi,termasuk keseimbangan bahan dan optimisasi konversi. Berdasarkan sifatnya, perencanaan termasuk pengambilan keputusan optimal tentang kejadian masa yang akan datang didasarkan atas informasi dan proyeksi masa yang akan datang. Permasalahannya adalah : penyediaan model dari proses, pengetahuan kondisi saat ini keadaan dimasa depan serta fungsi objektif yang menggambarkan pilihan biaya (resiko), menemukan solusi yang meminimumkan fungsi tanpa melanggar batasan. Sementara informasi saat ini dapat dipastikan dan kejadian dimasa yang akan datang bersifat stokastik. Linier programming stokastik dua tahap memberikan solusi pendekatan dan merupakan dasar untuk sensivitas yang didasarkan pada algoritma disaggregation. Sifat-sifat mengikat telah dibentuk untuk struktur probabilitas tertentu sebagai


12 petunjuk disaggregation dari ruang kemungkinan aggregate dengan menggunakan analisis sensivitas dari penyelesaian aggregate melalui analisis proyeksi repartisi. Hung dan Hu (1998), merumuskan suatu model pemograman bilangan bulat campuran untuk masalah pengelolaan produksi dengan pembentukan keputusan. Serangkaian permasalahan berkaitan dengan intelegen seperti algoritma evolusiner, algoritma genetika, dan sistem pendukung keputusan , yang banyak digunakan untuk penyelesaian masalah perencanaan produksi dengan beberapa pembatas. Perencanaan produksi tingkat menengah dalam rentang perencanaan horizontal dua hingga delapan belas bulan diklarifikasikan sebagai aggregate production planning (APP). Hal ini dikemukakan oleh Nam dan Logendran (1992) bahwa, APP dimaksudkan untuk mengubah perkiraan permintaan penjualan dan kapasitas produksi kedalam rencana beban produksi kedepan.


BAB 3 PROGRAM STOKASTIK

Program stokastik adalah salah satu cabang program matematika yang berkenaan dengan situasi dimana keputusan optimalnya mengandung ketidakpastian pada data. Model ketidakpastian dengan objek acak dapat menyebabkan problema program stokastik menjadi diversi, yang sering dikenal sebagai program dua tahap.

3.1 Model Dasar Program Stokastik Model antisipatif dan adaptif merupakan kasus khusus dari program stokastik. Kombinasi keduanya menghasilkan model recourse yang menjadi fokus dalam penelitian ini.

3.1.1 Model antisipatif Model ini juga disebut sebagai model statis, dalam mana keputusan tidak tergantung pada pengamatan masa datang. Perencanaan yang baik harus memperhitungkan semua realisasi masa datang yang mungkin karena tidak akan ada kesempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya. Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala probabilistik. Misalnya, tingkat keandalan α dengan 0 < α ≤ 1, dinyatakan dan kendala ditulis


14 dalam bentuk: P {w|fj (x, w) = 0, j = 1, 2, . . . , n} ≥ α Disini x adalah vektor peubah keputusan m dimensi dan fi : Rm × Ω → R, j = 1, . . . , n. Fungsi objektif juga dapat bertipe keandalan seperti P {w|f0 (x, w) ≤ γ}, dimana f0 : Rm × Ω → R ∪ {+∞} dan γ konstanta. Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik kendala yang diinginkan dan fungsi objektif.

3.1.2 Model adaptif Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul secara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam lingkungan pembelajaran. Andaikan A koleksi dari semua informasi relevan yang tersedia melalui pengamatan yang merupakan sub-gelanggang dari semua kejadian yang mungkin. Keputusan x tergantung pada kejadian yang dapat diamati, dan x disebut A teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat diformulasikan sebagai: min E[f0(x(w), w)|A] kendala E[fj (x(w), w)|A] = 0, j = 1, 2, . . . , n

(3.1)

x(w) ∈ X, hampir pasti Pemetaan x : Ω → X adalah sedemikian hingga x(w) merupakan A terukur. Problema ini dapat disajikan dengan menyelesaikan untuk setiap w program deterministik berikut:


15

min E[f0(x, ·)|A](w) kendala E[fj (x, ·)|A](w) = 0, j = 1, 2, . . . , n

(3.2)

x∈X Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama sekali. Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisipatif sedangkan untuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.

3.1.3 Model recourse Model ini menggabungkan dua model yang diutarakan terdahulu, yang ingin menentukan kebijakan yang tidak hanya mengantisipasi pengamatan masa datang tapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat keputusan recourse. Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang agar saham tidak berubah (antisipasi) tetapi juga menyeimbangkan posisi portofolio ketika harga berubah (adaptasi). Problema program stokastik dua tahap dengan recourse dapat ditulis sebagai: min f (x) + E[Q(x, w)] kendala Ax = b

(3.3)

0 x ∈ RM +

x adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak teramati dan Q(x, w) merupakan nilai optimalnya untuk sembarang Ω, dari program tak linier:


16

min ξ(y, w) kendala W (w)y = h(w) − T (w)x

(3.4)

1 y ∈ RM +

dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vektor acak tahap pertama, ξ(y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan {T (w), W (w), h(w)|w ∈ Ω} adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Parameter-parameter ini merupakan fungsi dari vektor acak w dan karena itu merupakan parameter acak. T adalah matriks teknologi yang mengandung koefisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sumber daya untuk problema tahap kedua. W adalah matriks recourse dan h vektor sumber daya tahap kedua. Secara umum model recourse dua tahap dapat di formulasikan sebagai: # " min f (x) + E

{ξ(y, w)|T (w)x + W (w)y = h(w)} min M

y∈R+ 1

kendala Ax = b

(3.5)

0 x ∈ RM +

Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang ekivalen sehingga mudah terselesaikan.


17 3.2 Formulasi Deterministik Ekivalen Pandang model program stokastik linier berikut: ˜ min g0 (x, ξ)

     

˜ ≤ 0, i = 1, . . . , m, kendala gi (x, ξ)     n  x∈X ⊂ ,

(3.6)

dengan ξ˜ vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ ⊂ Rk . Lebih tepat lagi, diandaikan bahwa keluarga (family) F dari ”kejadian”, yaitu himpunan bagian dari Ξ, dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap himpunan bagian A ⊂ Ξ yang merupakan kejadian-kejadian, yaitu A ∈ F , peluang P (A) diketahui. Selanjutnya, diandaikan bahwa fungsi gi (x, ·) : Ξ → R ∀x, i merupakan peubah acak dan sebaran peluang P adalah bebas. Namun, problema (3.6) tidak well defined karena pengertian min dan juga kendala tidak jelas, jika yang diper˜ Karena hitungkan adalah nilai keputusan x sebelum mengetahui realisasi dari ξ. itu revisi terhadap proses pemodelan perlu dilakukan, yang akan menghasilkan model deterministik ekivalen untuk (3.6).

3.2.1 Proses formulasi Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan recourse, untuk problema (3.6) dilakukan dengan cara berikut. Ambil    0 Jika gi (x, ξ) ≤ 0 + qi (x, ξ) =   Gi (x, ξ) lainnya


18 Kendala ke i dari (3.6) dilanggar jika dan hanya jika gi+ (x, ξ) > 0 untuk suatu ˜ Di sini dapat diberikan untuk setiap kendala keputusan x dan realisasi ξ dari ξ. suatu recourse atau aktivitas tahap kedua yi (ξ), setelah mengamati realisasi ξ, dipilih sehingga mengantisipasi pelanggaran kendala jika ada dengan memenuhi gi (x, ξ) − yi (ξ) ≤ 0. Usaha tambahan ini diandaikan mengakibatkan penambahan biaya atau penalti qi per unit, jadi biaya tambahan ini (disebut fungsi recourse) berjumlah: Q(x, ξ) = min y

( m X

)

qi yi (ξ)|yi(ξ) ≥ gi+ (x, ξ), i = 1, · · · , m

(3.7)

i=1

yang menghasilkan biaya total tahap pertama dan biaya recourse: F0(x, ξ) = g0 (x, ξ) + Q(x, ξ)

(3.8)

Selain (3.7), dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum dengan suatu recourse vektor y(ξ) ∈ Y ⊂ Rn¯ , (Y himpunan polyhedral, seperti {y|y ≥ 0}), suatu sembarang fixed m × n ¯ matrix W (matriks recourse) dan vektor unit biaya q ∈ Rn¯ , menghasilkan untuk (3.8) fungsi recourse: Q(x, ξ) = min q T y|W y ≥ g + (x, ξ), y ∈ Y y

+ dengan g + (x, ξ) = g1+ (x, ξ), · · · , gm (x, ξ)

(3.9)

T

Perhatikan suatu pabrik menghasilkan m produk, gi (x, ξ) dapat dipahami sebagai perbedaan {permintaan}-{output} produk i. Maka gi+ (x, ξ) > 0 berarti bahwa terdapat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap permintaan. Dengan mengandaikan bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan, problema (3.7) misalnya dapat diinterpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di pasar. Problema (3.9) dapat dihasilkan dari program produksi tahap kedua, yang


19 dilaksanakan dengan faktor input y dan teknologi disajikan oleh matriks W . Jika dipilih W = I, m × m identitas matriks, (3.7) menjadi kasus khusus dari (3.9). Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mendefinisikan fungsi recourse terhadap (3.8); misalnya, W (x, ξ) dapat dipilih sebagai: Q(x, ξ) = min q(y)|Hi(y) ≥ gi+ (x, ξ), i = 1, · · · , m; y ∈ Y ⊂ Rn¯ ,

(3.10)

dengan q : Rn¯ → R dan Hi : Rn¯ → R diandaikan diketahui. Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan nilai ekspektasi biaya total (yaitu, tahap pertama dan biaya recourse), cukup memandang formulasi deterministik ekivalen, program stokastik dua tahap dengan recourse:

n o ˜ = min E ˜ g0 (x, ξ) ˜ + Q(x, ξ) ˜ . min Eξ˜f0 (x, ξ) ξ x∈X

x∈X

(3.11)

Problema dua tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahap ganda sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil ditahap 1 dan 2, sekarang problema dihadapkan dengan K + 1 keputusan sequensial x0, x1 , . . . , xK (xτ ∈ Rn¯τ ), yang harus diambil pada tahap τ = 0, 1, . . . , K. Kata ”tahap” dapat, tapi tidak perlu, diartikan sebagai ”periode waktu”. Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objektif dari (3.6) deterministik, yaitu, g0 (x, ξ) = g0 (x). Pada tahap τ (τ ≥ 1) diketahui realisasi ξ1 , . . . , ξτ dari vektor acak ξ˜1 , . . . , ξ˜τ dan keputusan sebelumnya x0, . . . , xτ , harus diputuskan terhadap xτ sehingga kendala (dengan fungsi kendala gτ ) gτ (x0 , · · · , xτ , ξ1, · · · , ξτ ≤ 0)


20 dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepat xτ , yang didasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi, dengan mengandaikan fungsi biaya qτ (xτ ), pada tahap τ ≥ 1 diperoleh fungsi recourse: Qτ = (x0 , x1, . . . , xτ −1 , ξ1, . . . , ξτ ) = min {qτ (xτ )|gτ (x0, x1 , . . . , xτ −1, ξ1 , . . . , ξτ ) ≤ 0} xτ

yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse x ˆτ pada waktu τ tergantung pada keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap τ , yaitu ˆτ (x0 , · · · , xτ −1, ξ1 , · · · , ξτ ), τ ≥ 1 x ˆτ = x

Jadi, untuk tahap ganda diperoleh sebagai total biaya untuk problema tahap ganda f0 (x0, ξ1 , · · · , ξK ) = g0 (x0) +

K X

Eξ˜1,··· ,ξ˜τ Qτ (x0, x ˆ1, · · · , x ˆτ −1, ξ1 , · · · , ξτ ) (3.12)

τ =1

menghasilkan deterministik ekivalen untuk problema program stokastik tahap ganda dengan recourse "

min g0 (x0 ) +

x0 ∈X

K X

Eξ˜1 ,··· ,ξ˜τ Qτ (x0 , x ˆ 1, · · · , x ˆτ −1 , ξ˜1, · · · , ξ˜τ )

#

(3.13)

τ =1

Jelas merupakan generalisasi langsung dari program stokastik dua tahap dengan recourse (3.11).

3.3 Pohon Skenario Dalam banyak aplikasi, sebaran peubah acak tidak diketahui atau walaupun diketahui, terlalu mahal untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan integrasi numerik.


21 Merupakan hal yang umum untuk memilih himpunan hasil representatif yang relatif kecil yang disebut skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabialitas untuk merefleksikan kemungkinan kejadiannya. Untuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorganisasikan ke dalam struktur pohon.

Gambar 3.1 : Pohon Skenario Untuk Problema 4 Tahap Buhul AKAR menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang diketahui. Pada tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap dari padanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke satu buhul daun, mendefinisikan realisasi tunggal dari himpunan peubah acak. Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap dapat dilabel secara berurutan oleh Kt , untuk t = 1, . . . , T . Buhul di setiap tahap dapat dilabel secara berurutan dengan kt = 1, . . . , Kt untuk semua t. Dt(k) menyatakan turunan langsung dalam waktu t dari buhul k. Misalnya dalam pohon skenario di Gambar 3.1. D3 (1) memperlihatkan turunan langsung dari buhul 1


22 yang merupakan dua buhul paling kiri dalam waktu 3. Untuk setiap buhul daun k dalam tahap T , andaikan pkt merupakan probabilitas terkait dari keterjadian skenario. Untuk t = T − 1, . . . , 1, pkt diberikan oleh pkt+1 =

X

plt+1

l∈Dt=1

dengan pl = 1 Pohon keputusan memberikan kelenturan kepada pemodel untuk memilih skenario yang diperlukan untuk diperhatikan dan kepentingannya. Begitupun tidaklah praktis untuk memperhatikan terlalu banyak skenario. Ini terutama terjadi untuk problema dimana banyak mengandung faktor acak.

Ilustrasi Dasar. Problema Program Linier (PL). Formulasi dalam notasi vektor: min cT x kendala Ax = b x≥0 Dalam model ini nilai parameter c, A dan b tertentu (deterministik). Artinya bahwa nilai-nilai ini tidak mengandung ketidakpastian. Misalnya harga suatu peubah untuk beberapa waktu mendatang dapat diperoleh tidak bergantung pada faktor-faktor ekonomi. Hal ini biasanya secara realita tidak tepat. Selalu saja ada pengaruh ketidakpastian. Apalagi pada kondisi dunia pada dekade ini yang dikarakterisasi oleh ketidakpastian tinggi. Hal ini dapat terlihat dari


23 1. Nilai tukar mata uang 2. Suku bunga bank 3. Indeks saham 4. Harga emas 5. Harga minyak dunia

Untuk perkembangan ke bentuk/model ketidakpastian diperhatikan ilustrasi berikut:

Contoh. Petani A memiliki sebidang tanah. Ia ingin menamam padi, jagung dan kacang. Yang ingin ia tentukan adalah berapa luas tanah tersebut untuk padi, jagung dan kacang. Andaikan data untuk pengolahan tanaman seperti di tabel bawah ini;

Tabel 3.1 : Data Untuk Pengolahan Tanaman


24 Peubah keputusan x1 = luas tanah (are) untuk padi x2 = luas tanah (are) untuk jagung x3 = luas tanah (are) untuk kacang w1 = berat (ton) padi terjual w2 = berat (ton) jagung terjual w3 = berat (ton) kacang terjual pada harga yang diinginkan w4 = berat (ton) kacang terjual di bawah harga yang diinginkan y1 = berat (ton) padi yang dibeli y2 = berat (ton) jagung yang dibeli

Model Program Linier Problema ini dapat diformulasikan ke dalam model Program Linier (deterministik) Minimumkan 150x1 + 230x2 + 260x3 + 238y1 + 210y2 − 170w1 −150w2 − 36w3 − 10w4 Kendala

x1 + x2 + x3 ≤ 500 x1, x2 , x3 ≥ 0 2.5x1 + y1 − w1 ≥ 200 3x2 + y2 − w2 ≥ 240 w1 + w4 ≤ 20x3 w3 ≤ 6000 w1, w2 , w3, w4 , y1, y2 ≥ 0


25 Hasil optimalnya pada tabel dibawah ini:

Tabel 3.2 : Hasil Optimal Awal

Hasil demikian ini pada dasarnya telah memenuhi keinginan sang petani.

a. Memanfaatkan luas tanah sesuai dengan kuota tanaman kacangan b. Memanfaatkan luas tanah untuk memenuhi persyaratan terhadap padi dan jagung c. Tanam padi untuk tanah yang sisa jual kelebihannya

Namun hasil demikian dapat terjadi apabila tidak terjadi hal-hal lain, misalnya cuaca. Disini diandaikan terdapat 3 skenario, yaitu

1. Cuaca baik : kenaikan 20% 2. Cuaca rata-rata : tetap 3. Cuaca buruk : penurunan 20%


26 Masing-masing skenario memiliki peluang yang sama yaitu 1/3. Berikut model dengan adanya skenario:

Hasil optimalnya pada tabel dibawah ini:

Tabel 3.3 : Hasil Optimal Setelah Adanya Skenario

Model program stokastik dengan recourse: min 150x1 + 230x2 + 260x3 +

3 X

P (s) (238y1 (s) + 210y2 (s) − 170w1 (s)

1

− 150w2 (s) − 36w3 (s) − 10w4 (s))


27 kendala x1 + x2 + x3 ≤ 500 x1,2,3 ≥ 0 ε1 (s)x1 + y1 (s) − w1 (s) ≥ 200 ε2 (s)x2 + y2 (s) − w2 (s) ≥ 240 w3(s) + w4 (s) ≤ ε2 (s)x3 w3 (s) ≤ 6000 y1,2,3(s) ≥ 0, w1,2,3,4(s) ≥ 0

s−skenario P (s) = 13 , s = 1, 2, 3   ε1(1) ε2 (1) ε3(1)   ε (2) ε (2) ε (2) 2 3  1  ε1(3) ε2 (3) ε3(3)







  3.0 3.6 24      =  2.5 3.0 20  = Matriks acak       2.0 2.4 16

Jadi min 150x1 + 230x2 + 260x3 ← bagian deterministik (tahap I) 3 X P (s) (238y1 (s) + 210y2 (s) − 170w1 (s) − 150w2 (s) − 36w3 (s) − 10w4 (s)) + |

1

kendala

{z Bagian stokastik ( tahap II )   x1 + x2 + x3 ≤ 500  x1,2,3 ≥ 0

 

← kendala deterministik ( tahap I )


}

28

  ε1 (s)x1 + y1 (s) − w1(s) ≥ 200        ε2 (s)x2 + y2 (s) − w2(s) ≥ 240        w3 (s) + w4 (s) ≤ ε2(s)x3 w3 (s) ≤ 6000 y1,2,3(s) ≥ 0, w1,2,3,4(s) ≥ 0 s = 1, 2, 3

              

← kendala stokastik (tahap II)

Dari bentuk model ini dapat dituliskan fungsi recoursenya adalah: Q(x1, x2 , x3, s) = min 238y1 (s)+210y2 (s)−170w1 (s)−150w2 (s)−36w3 (s)−10w4 (s)

kendala: ε1 (s)x1 + y1 (s) − w1(s) ≥ 200 ε2 (s)x2 + y2 (s) − w2(s) ≥ 240 w3 (s) + w4 (s) ≤ ε2(s)x3 w3 (s) ≤ 6000 y1,2,3(s) ≥ 0, w1,2,3,4(s) ≥ 0 Jadi nilai ekspektasi dari fungsi recourse: Q(x) = E3 Q(x, ε) =

3 X

P (s)Q(x1, x2 , x3, s)

1

Sehingga model recourse berbentuk: min kendala

150x1 + 230x2 + 260x3 + E3 Q(x, ε) x1 + x2 + x3 ≤ 500 x1 + x2 + x3 ≥ 0


29 atau secara umum model recourse dua tahap dapat ditulis sebagai cT x + Q(x)

min

kendala Ax = b x≥0 secara lebih umum model recourse ini dapat berbentuk: min x

f1 (x) + Eε [Q(x, ε)]

kendala Ax = b x≥0 dimana untuk setiap realisasi w dari ε Q(x, w) = min f2 (y, w) y

kendala

W (w)y = h(w) − v(w)x y≥0

nilai ekspektasi dari nilai objektif tahap kedua merupakan recourse. Pada tahap pertama sebuah keputusan dibuat didasarkan pada data yang tersedia pada saat itu. Ditahap kedua. untuk setiap realisasi yang mungkin dari peubah acak ε, suatu keputusan baru diambil yang tergantung pada keputusan tahap satu. Ekspektasi biaya pada kedua tahap dihitung dan keputusan tahap satu dapat direvisi untuk mencapai keseimbangan biaya keseluruhan yang lebih baik antara tahap 1 dan tahap 2. Proses demikian ini diulang hingga ekspektasi biaya keseluruhan optimal.

Peubah Ketidakpastian dengan Sebaran Kontinu. Di bawah ini diilustrasikan tentang program stokastik linier dengan parameter ketidakpastian memiliki sebaran kontinu:


30 Tabel 3.4 : Data Pengolahan Tanaman Sebaran Kontinu

1. ε1 , ε2, ε3 tersebar bebas 2. ì ≤ εi ≤ ui , i = 1, 2, 3 bersebaran bebas.

Kepadatan Pε (t) =

   1/(ui − ì ) ì ≤ t ≤ ui  

0

t∈ / [ì , ui ]

Formulasi Program Stokastik: min 150x1 + 230x2 + 260x3 ← bagian deterministik (tahap I) +Eε1 ,ε2 ,ε3 (238y1 + 280y2 − 170w1 − 150w2 − 36w3 − 10w4 ) | {z } Bagian stokastik (tahap II) kendala    x1 + x2 + x3 ≤ 500 I ← Kendala deterministik (tahap I)   x1 , x2, x3 ≥ 0


31

II

   ε1 x1 + y1 − w1 ≥ 200        ε2 x2 + y2 − w2 ≥ 240   

← Kendala stokastik (tahap II) w3 + w4 ≤ ε3 x3       w3 ≤ 6000       y1,2,3 ≥ 0, w1,2,3,4 ≥ 0

Dekomposisi program stokastik:

Fungsi Recourse: Q1 (x1, ε1) = min 238y1 (ε1) − 170w1 (ε1) Kendala ε1 x1 + y1 − w1 ≥ 200

Padi

y1 (ε1) ≥ 0, w1 (ε1) ≥ 0 Q2 (x2, ε2) = min 210y2 (ε2 ) − 150w2 (ε2 )

Jagung

Kendala ε2 x2 + y2 (ε2) − w2 (ε2) ≥ 240 y2 (ε2) ≥ 0, w2(ε2 ) ≥ 0


32

Q3(x3 , ε3) = min(−36w3 (ε3 ) − 10w4 (ε3)) Kendala w3(ε3 ) + w4 (ε3) ≤ ε3 x3

Kacang

w3 (ε3 ) ≤ 6000 w3 (ε3 ) ≥ 0 Bentuk Eksplisit Fungsi Recourse: Padi y1(ε1 ) = − min[ε1 x1 − 200, 0], w1 (ε1 ) = max[ε1x1 − 200, 0], Q1 (x1, ε1) = −238 min[ε1 x1 − 200, 0] − 170 max[ε1x1 − 200, 0] Jagung y2(ε2 ) = − min[ε2x2 − 240, 0], w1 (ε1) = max[ε2x2 − 240, 0] Q2(x2 , ε2) = −210 min[ε2x2 − 240, 0] − 150 max[ε2x2 − 240, 0] Kacang w3 (ε3) = min[6000, ε3 x3 ], w4(ε3 ) = max[ε3x3 − 6000, 0] Q3(x3 , ε3) = −36 min[6000, ε3 x3 ] − 10 max[ε3x3 − 6000, 0] Jadi Formulasi Recourse: min 150x1 + 230x2 + 260x3 +Eε1 Q1(x1, ε1 ) + Eε2 Q2(x2, ε2 ) + Eε3 Q3(x3, ε3 ) kendala x1 + x2 + x3 ≤ 500 Perhitungan nilai Ekspektasi untuk Fungsi Recourse:


33 Padi : Hasil ε1 bersebaran uniform    1/(ui − ì ) ì ≤ t ≤ ui Pε1 (t) =   0 t∈ / [ì , ui ] 1. Kasus apabila u1 , x1 ≤ 200 : Q1(x1 , ε1) = −238[x1, ε1 − 200] Zu1 Q1(x1) = Eε1 Q1(x1, ε1 ) = −238 (tx1 − 200)Pε1 (t)dt = 7600 − 238x1ε¯1 `1

dengan ε¯1 =

u1 +x1 2

dalam nilai ekspektasi dari εi , i = 1, 2, 3

2. Kasus apabila `1 x1 ≤ 200 ≤ u1x1 Q1(x1 ) = Eε1 Q1(x1 , ε1) Ru1 Ru1 (tx1 − 200)Pε1 (t)dt = −238 (tx1 − 200)Pε1 (t)dt − 170 `1

200/x1 )2

1 x1 = −170(¯ ε1 x1 − 200) + 34 (200−` (u1 −`1 )x1

3. Kasus apabila 200 ≤ `1 x1 : Q1(x1, ε1 ) = 170(x1 , ε1 − 200) Zu1 Q1 (x1) = Eε1 Q1 (x1, ε1) = −170 (tx1 − 200)Pε1 (t)dt = 34000 − 170x1 ε¯1 `1

Analog untuk jagung dan kacang terdapat: Jagung

Q2(x2) =

          

50400 − 210x2 ε¯2

u2 x2 ≤ 240 2

2 x2 ) −150(x2 ε2 − 240) + 30 (240−` (u2 −`2 )x2

Kacang

Q3(x3 ) =

36000 − 150x2 ε¯2

     

−36x3 ε¯3

`2 x2 ≤ 240 ≤ u2x2 240 ≤ `2 x2

u3x3 ≤ 6000 −6000)2

3 x3 −36x3 ε¯3 + 13 (u(u 3 −`3 )x3      −156000 − 10x3 ε¯3

`3 x3 ≤ 240 ≤ u3 x3 6000 ≤ `3 x3


34 Jadi dapat dituliskan formulasi global dari program stokastik sebagai: problema optimisasi konveks min 150x1 + 230x2 + 260x3 +Q1 (x1) + Q2 (x2) + Q3(x3 ) kendala x1 + x2 + x3 ≤ 500 x1 , x2, x3 ≥ 0 Qi (xi ) merupakan fungsi konveks kontinu yang hanya tergantung pada vektor keputusan x. Derivasi Penyelesaian optimal Notasi (c1, c2 , c3 ) = (150.230.260) λ-peubah dual Syarat Karush-Kuhn-Tucker: xi ci +

∂ Q (x ) ∂xi i i

ci +

∂ Q (x ) ∂xi i i

+λ =0 +λ≥0

λ (x1 + x2 + x3 − 500) = 0 x1 + x2 + x3 ≤ 500 x1 , x2, x3 ≥ 0, λ ≥ 0 Perhitungan derivative: Padi

∂ Q (x ) ∂x1 1 1

=

          

−34

−238¯ ε1 `21 u1 −`1

− 5¯ ε1 −

40000 (u1 −`1 )x1

36000 − 150x2 ε¯2

u1x1 ≤ 200 `1 x1 ≤ 200 ≤ u1 x1 200 ≤ `1 x1


35

Jagung

∂ Q (x ) ∂x2 2 2

=

     

Kacang

∂ Q (x ) ∂x3 3 3

−30

    

=

−210¯ ε2 `22 u2 −`2

− 5¯ ε2 −

57600 (u2 −`2 )x2

−150¯ ε2

          

13u23 u3 −`3

`2 x2 ≤ 240 ≤ u2 x2 240 ≤ `2 x2

−36¯ ε3 −36¯ ε3 +

u2x2 ≤ 240

u3x3 ≤ 6000

−

468.106 (u3 −`3 )x23

`3 x3 ≤ 6000 ≤ u3x3

−10¯ ε2

6000 ≤ `3 x3

Jika diandaikan bahwa: `1 = 2, 0,

u1 = 3, 0,

ε¯1 = 2, 5

`2 = 2, 4,

u2 = 3, 6,

ε¯2 = 3, 0

`3 = 16,

u3 = 24,

ε¯3 = 20

Dengan memakai teknik enumerasi dapat ditentukan bahwa penyelesaian optimal harus memenuhi: x1 ≥ 100,

200 ≤ x2 ≤ 100, 250 ≤ x3 ≤ 375 3

Sistem persamaan : −275 + λ = 0 −76 − 476 −

1,44(106) x22 5,85(107) x23

+λ =0 +λ=0

x1 + x2 + x3 = 500 Jadi diperoleh nilai optimal: λ∗ = 275, x∗1 = 135, 83, x∗2 = 85.07,

x∗3 = 279, 10


BAB 4 MODEL DAN PENYELESAIANNYA

Ikan dan hasil olahannya adalah merupakan sumber utama protein hewani didalam makanan yang dibutuhkan masyarakat Di Indonesia kebanyakan proses pengolahan industri ikan ditemukan didaerah sekitar pantai. Ada delapan jenis hasil ikan olahan yang dihasilkan oleh masyarakat yang tinggal disekitar pantai, ke delapan hasil ikan olahan tersebut adalah:

1. Ikan kering. 2. Ikan asin. 3. Dendeng (BBQ Fish). 4. Ikan pindang. 5. Ikan asap. 6. Terasi. 7. Ikan presto. 8. Bakso ikan

Industri pengolahan ikan berlokasi didaerah pantai timur Provinsi Sumatera Utara Indonesia. Industri tersebut dijalankan masyarakat daerah tersebut harus membuat perencanaan produksi kedelapan jenis ikan olahan untuk memenuhi kebutuhan pasar pada setiap priode waktu t, t = 1, . . . , T . Dalam hal ini tiap 36 Putra Bahtera Jaya Bangun : Pemodelan Program Stokastik Untuk Pengelolaan Produksi Ikan Di Daerah Pesisir Provinsi..., 2008 USU e-Repository © 2008

37 periode sama dengan satu bulan. Model parameter dan variabel keputusan digunakan pada keseluruhan penelitian ini didefinisikan sebagai berikut : Himpunan.

a. T = Banyaknya periode. b. N = Himpunan produksi. c. M = Himpunan sumber. d. S = Himpunan skenario.

Variabel

a. Xjt = Hasil dari produksi j ∈ N dalam periode t ∈ T (unit ). j = 1 untuk ikan kering. j = 2 untuk ikan asin. j = 3 untuk dendeng j = 4 untuk ikan pindang. j = 5 untuk ikan asap. j = 6 untuk terasi. j = 7 untuk ikan presto. j = 8 untuk bakso ikan. b. ujt : Jumlah penambahan sumber i ∈ M untuk pengambilan dalam t ∈ T . c. Kjt : Banyaknya pekerja yang diperlukan untuk menghasilkan produksi j dalam periode t ∈ T (orang-periode).


38 − : Banyaknya pekerja yang istirahat untuk menghasilkan produksi j ∈ N d. Kjt

dalam periode t ∈ T (orang-periode). + : Banyaknya penambahan tenaga kerja untuk menghasilkan produksi e. Kjt

j ∈ N dalam periode t ∈ T (orang- periode). f. Ijt : Jumlah produksi j ∈ N yang istirahat dalam periode t ∈ T (unit). g. Bjt : Dibawah penurunan produksi periode j ∈ N pada periode t ∈ T .

Parameter

a. α, β, γ, δ, µ, ρ, λ adalah semuanya biaya. b. Djt : Permintaan produksi j ∈ N dalam periode t ∈ T (unit). c. Ujt : Batas atas dari ujt . d. rij : Jumlah sumber i ∈ M yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit produksi j ∈ N. e. fit : Jumlah sumber i ∈ M yang tersedia pada waktu t ∈ T (unit). f. aj : Banyaknya pekerja yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit produksi j ∈ N.

4.1 Pembentukan Model Tujuan utama dari problema perencanaan produksi ikan olahan ini adalah meminimumkan harga komponen biaya, yang tercakup meliputi harga produksi sumber daya, tenaga kerja dan persediaan (inventori). Terdapat keterbatasan dari tiap komponen, keterbatasan ini diungkapkan dalam kendala model berikut ini:


39 Model Pemograman Stokastik, min

P P

αjt xjt +

j∈N t∈T

P P

P P

βituit +

i∈M t∈T

+ δjtkjt

P

+

j∈N t∈T

Ps

s∈S

P P

P P

µjt kjt +

j∈N t∈T s ρsjt Ijt

j∈N t∈T

+

PP

P P

− γjt kjt +

j∈N t∈T

Ps

s∈S s∈S

P P

λsjt B sjt

(4.1)

j∈N t∈T

kendala P

rij xjt ≤ fit + uit

; ∀ i ∈ M, ∀ t ∈ T

(4.2)

j∈N

Uit ≤ Uit P

; ∀ i ∈ M, ∀ t ∈ T

aj xjt ≤ kt

(4.3)

;∀ t ∈ T

(4.4)

; ∀ j ∈ N, ∀ t ∈ T

(4.5)

; ∀ j ∈ N, ∀ t ∈ T, ∀ s ∈ S

(4.6)

j∈N + − kjt = kjt−1 + kjt − kjt s s s s xjt + Bjt−1 + Ijt − Bjt = Djt

− + s s xjt , uit , kjt , kjt , kjt , Ijt , Bjt ≥ 0 ; j ∈ N, ∀ I ∈ M, ∀ t ∈ T, ∀ s ∈ S

(4.7)

Didalam problema perencanaan produksi ini ditentukan bahwa:

a. Banyaknya tiap produksi pengolahan ikan untuk dihasilkan pada tiap periode. b. Penambahan sumber yang digunakan. c. Banyaknya tambahan tenaga kerja dan pengistirahatan tenaga kerja yang teratur tiap periode.

Permintaan untuk setiap periode waktu tidak diketahui secara pasti. Oleh karena itu permintaan secara random ditiap periode waktu harus diputuskan jumlahnya untuk disimpan dalam persediaan.


40 Semua keputusan diformulasikan didalam pernyataan (4.1) dari model sebagai fungsi objektif. Kendala (4.2) menyatakan bahwa banyaknya sumber i ∈ M dibutuhkan untuk menghasilkan produksi j ∈ N, sedikitnya akan sama dengan banyaknya sumber yang tersedia pada waktu t ∈ T . Begitupun sumber tambahan diperlukan untuk batas atas (4.3). Pada kendala (4.4) terdapat banyak pekerja yang dibutuhkan untuk menghasilkan satu unit produksi j ∈ N. Kendala (4.5), menjamin bahwa pekerja tersedia dalam periode yang sama sebanding dengan banyaknya pekerja dari periode sebelumnya ditambah perubahan tingkat banyaknya pekerja selama periode sekarang. Perubahan tingkat banyaknya pekerja mungkin sebagaimana mestinya terhadap penambahan tenaga kerja ekstra atau mengistirahatkan kelebihan tenaga kerja. Kendala (4.6) menentukan jumlah produksi untuk disimpan pada persedian atau untuk memenuhi permintaan yang mendadak.

4.2 Metode Penyelesaian Metode yang diajukan diambil dari metode pencarian langsung layak yang dikembangkan oleh Nam Hwang. Perhatikan suatu problema Program Linier Integer Campuran ( MILP) sebagai berikut: min P = cT x

(4.8)

kendala Ax ≤ b

(4.9)

x≥0

(4.10)

xj integer untuk j ∈ J

(4.11)


41 Komponen dari vektor feasibel basic optimal (xb )k, untuk penyelesaian terhadap MILP secara berkelanjutan dapat dituliskan sebagai: (xB )k = βk − αk1 (xN )1 − · · · − αkj (xN )j − · · · − αkn − m(xN )n−m

(4.12)

dengan catatan bahwa : pernyataan ini dapat ditemukan dalam prosedur akhir tabel simpleks. Jika (XB )k adalah suatu variabel integer dan diasumsikan bahwa βk tidak integer, kemudian partisikan βk menjadi komponen pecahan dan komponen integer diberikan oleh: βk = [βk ] + fk ,

0 ≤ fk ≤ 1

(4.13)

Andaikan diinginkan untuk menambah (XB )k terhadap integer terdekatnya yaitu ([β] + 1). Didasarkan pada gagasan dari penyelesaian sub optimal mungkin dinaikkan suatu variabel non basic yang khusus katakanlah (XN )J ∗ , diatas batas atasnya nol diberikan αkj ∗ sebagai salah satu elemen dari vektor αj ∗ adalah negatif. Ambil ∆j ∗ merupakan jumlah dari perpindahan non variabel (XN )J ∗ sehingga nilai numerik dari skalar (XB )k adalah integer. Merujuk ke persamaan (4.12), maka ∆j ∗ dapat dinyatakan sebagai: ∆f ∗ =

1 − fk −αkj∗

(4.14)

sementara variabel non basic yang sisa berada pada nol. Dapat dilihat bahwa setelah mensubstitusikan (4.14) pada (4.12) untuk (XN )J ∗ dan membawanya untuk diperhitungkan partisi dari βk yang diberikan pada persamaan (4.13) diperoleh: (XB )k = [β] + 1 Jadi (XB )k sekarang adalah integer.


42 Jelaslah bahwa variabel non basic memainkan peran penting untuk menjumlahkan variabel basic yang bersesuaian. Karena itu hasil berikut perlu untuk memastikan bahwa haruslah variabel non integer bekerja dalam proses penjumlahan.

Teorema 1 Andaikan problema MILP (1.1) -(1.4) mempunyai suatu penyelesaian optimal maka variabel non basic (XN )j , j = 1, . . . , n haruslah merupakan variabel non integer.

Bukti. Menyelesaikan problema sebagai variabel slack yang kontinu (dimana non integer, kecuali dalam hal kendala kesamaan ). Jika diasumsikan bahwa vektor dari variabel basic XB terdiri dari semua variabel slack, maka semua variabel integer akan berada dalam vektor non basic XN dan karena itu bernilai integer. Jadi jelaslah bahwa komponen komponen yang lain (XB )i6=k , dari vektor XB juga akan dipenuhi sebagai nilai numerik dari skalar (XN )j ∗ bertambah sebesar ∆j ∗ . Akibatnya, jika elemen dari vektor αj ∗ , misalnya αj ∗ untuk i 6= k adalah positif, maka elemen yang bersesuaian dari XB akan berkurang dan bahkan mungkin bergerak melewati nol. Begitupun komponen vektor x haruslah tidak bergerak dibawah nol, hal ini karena pembatasan non negatif. Karena itu perumusan ini disebut test rasio minimum diperlukan untuk melihat bagaimana pergerakan maksimum dari non basic (XN )J ∗ yang semua komponen x masih feasibel. Test rasio ini meliputi dua kasus yaitu:

1. Variabel basic, (XB )i6=k menurun pertama ( batas bawah ) turun ke nol. 2. Variabel basic, (XB )k meningkat terhadap integer.


43 Khususnya sesuai dengan masing-masing kedua kasus diatas , salah satu akan dihitung sebagai berikut: θ1 =

β1 } αj ∗

(4.15)

θ2 = ∆j ∗

(4.16)

min { i6=k/αj∗≥0

Sejauh mana salah satu dapat dibiarkan variabel non basic (XN ) dari batas nolnya sehingga vektor x masih feasibel akan tergantung pada test rasio θ∗ yang diberikan dibawah ini, yaitu: θ∗ = min(θ1, θ2 )

(4.17)

Jelas, jika θ∗ = θ1, satu dari variabel basic (XB )i6=k akan menyinggung batas bawah sebelum (XB )k menjadi integer. Jika θ∗ = θ2, nilai numerik dari variabel basic (XB )k akan menjadi integer dan kefeasibelan masih diutamakan. Dengan cara yang sama dapat direduksi nilai numerik dari variabel basic (XB )k terhadap integer terdekatnya [βk ]. Dalam hal ini jumlah perpindahan dari variabel non basic tertentu, (XN )j ∗ , berhubungan terhadap elemen positif dari vektor αj , diberikan oleh, ∆f ∗ =

fk αkj

(4.18)

Untuk menjaga fisibilitasnya maka test rasio θ∗ masih diperlukan. Perhatikan pergerakan dari variabel non basic tertentu ∆, seperti dinyatakan pada persamaan (4.14) dan persamaan (4.18). Satu satunya faktor yang diperlukan untuk menghitung elemen vektor α yang bersesuaian. Vektor αj dapat dituliskan sebagai berikut: αj = B −1 aj , j = 1, . . . , n − m

(4.19)


44 Karena itu, untuk mendapatkan elemen vektor αj tertentu, akan ditetapkan kolom matriks [B]−1 yang bersesuaian. Andaikan dibutuhkan nilai elemen αkj ∗ , ambil vkT adalah vektor kolom ke k dari [B −1] maka diperoleh: vkT = eTk [B −1 ]

(4.20)

Berikutnya, nilai numerik dari αkj ∗ dapat diperoleh dari: αkj ∗ = vkT aj ∗

(4.21)

Dalam istilah Linier Programming operasi penghubung dikerjakan pada persamaan (4.20) dan persamaan (4.21) disebut operasi ”Pricing”. Vektor biaya pengurangan harga dj dapat digunakan untuk mengukur galat dari nilai fungsi objektif yang disebabkan oleh pelepasan variabel non basic dari batasnya. Akibatnya didalam penetapan non basic akan dibiarkan dalam proses penjumlahan, vektor dj yang mana harus diambil untuk diperhitungkan sehingga galatnya minimum. Penyelesaian kontinu minimum menyediakan batas bawah terhadap penyelesaian feasibel integer. Tidak pernah dibayangkan jumlah dari pergerakan variabel non basic tertentu seperti diberikan pada persamaan (4.14) atau (4.18), tergantung didalam cara pada elemen vektor αj yang bersesuaian. Karena itu dapat diamati galat dari nilai fungsi objektif yang disebabkan terhadap variabel non basic (XN )J ∗ yang dibiarkan sehingga seperti nilai penjumlahan variabel basic (XB )k dapat diukur dengan:

dk αkj∗

(4.22)

dengan |a| merupakan nilai absolut skalar a. Untuk meminimumkan galat dari penyelesaian kontinu yang optimal maka digunakan strategi berikut untuk memutuskan yang mana dapat ditambah dari


45 batasan nolnya yaitu: dk , j = 1, . . . , n − m min j αkj∗

(4.23)

Dari strategi kendala aktif dan partisi dari kendala yang bersesuaian terhadap variabel basic (B), variabel super basic (S), dan variabel non basic (N ), dapat ditulis dalam bentuk matriks: "

B S N I

#





x  b   xN  = xS

"

b bN

#

(4.24)

atau Bxb + SxN + N xS = b

(4.25)

xN = bN

(4.26)

Matriks basis B diasumsikan merupakan matriks bujur sangkar dan non singulair, sehingga diperoleh: xB = β − W xS − αxN

(4.27)

dimana, β = B −1 b

(4.28)

V = B −1 S

(4.29)

α = B −1N

(4.30)

Pernyataan (4.26) menunjukkan bahwa variabel non basic memenuhi sama dengan batas. Pandangan melalui pendekatan pernyataan basic dari persamaan (4.27) strategi penjumlahan dibicarakan pada bagian terdahulu untuk problema


46 MILP dapat diimplementasikan. Khususnya dapat dibiarkan variabel non basic dari batasan, persamaan (4.26) dan penukarannya dengan variabel basic yang bersesuaian di dalam proses penjumlahan, walaupun penyelesaiannya akan di mundurkan. Sekarang dalam posisi dimana variabel basic tertentu, (XB )k menjadi penjumlahan, dengan demikian variabel non basic yang bersesuaian (CN )j ∗ dibiarkan dari batas nolnya. Andaikan perubahan maksimum dari (XN )j ∗ memenuhi: θ∗ = ∆j ∗ sehingga (XB )k bernilai integer untuk memanfaatkan alat merubah basis, jadi dapat dipindahkan (XN )j ∗ menjadi B dan nilai integer (XB )k ke dalam S untuk mempertahankan penyelesaian integer. Sekarang terdapat penyelesaian dimundurkan sejak variabel basic tepat pada batasnya. Proses penjumlahan dilanjutkan dengan himpunan baru [B, S]. Dalam hal ini, bagaimanapun dapat diakhiri dengan semua variabel integer yang berada pada super basic.

4.2.1 Algoritma dari metode Setelah menyelesaikan problema relaksasi dengan metode yang diajukan terdahulu untuk program skokastik linier, prosedur perencanaan penyelesaian layak integer dapat dideskripsikan sebagai berikut: Andaikan x = [x] + f, 0 ≤ f < 1 penyelesaian kontinu dari problema relaksasi Langkah 1. Pilih baris i∗ infisibilitas integer terkecil, sehingga δi∗ = min {fi , 1 − fi }


47 T = eTi∗ B−1 Langkah 2. Lakukan operasi ’pricing’, yaitu hitung vi∗

Langkah 3. Hitung σij =

T vi∗ aj

n o dengan j berkaitan pada minj σdiji

I. Untuk nonbasis j di batas bawah Jika σij < 0 dan σi∗ = fi hitung ∆ =

(1−δi∗ ) −σij

Jika σij > 0 dan σi∗ = 1 − fi hitung ∆ =

(1−δi∗ ) −σij

Jika σij < 0 dan σi∗ = 1 − fi hitung ∆ =

δi∗ −σij

Jika σij > 0 dan σi∗ = fi hitung ∆ =

δi∗ σij

II. Untuk nonbasis j di batas atas Jika σij < 0 dan σi∗ = 1 − fi hitung ∆ = Jika σij > 0 dan σi∗ = fi hitung ∆ =

(1−δi∗ ) σij

Jika σij > 0 dan σi∗ = 1 − fi hitung ∆ = Jika σij < 0 dan σi∗ = fi hitung ∆ =

(1−δi∗ ) −σij

δi∗ σij

δi∗ −σij

Jika tidak pergi ke nonbasis atau superbasis j berikutnya (jika ada). Jadi nilai j ∗ dinaikkan dari batas bawahnya atau diturunkan dari batas atasnya. Jika tidak ada pergi ke i∗ berikutnya. Langkah 4. Hitung αj∗ = B −1 aj∗ yaitu selesaikan Bαj∗ = aj∗ untuk αj ∗ Langkah 5. Uji kelayakan, terdapat 3 kemungkinan untuk peubah basis tetap layak karena pelepasan peubah nonbasis j ∗ dari batasnya.


48 Jika j ∗ dibatas bawah Ambil

xBi0 − li0 A = 0 min i 6=i∗ |αij ∗ >0 αij ∗ ui0 − xBi0 B = 0 min i 6=i∗ |αij ∗ <0 −αij ∗ C=∆ gerak maksimum dari j ∗ tergantung pada θ∗ = min(A, B, C)

Jika j ∗ di batas atas. xBi0 − li0 A = 0 min i 6=i∗ |αij ∗ >0 −αij ∗ ui0 − xBi0 0 B = 0 min i 6=i∗ |αij ∗ >0 αij ∗ 0

C0 = ∆ Gerak maksimum dari j ∗ tergantung pada θ∗ = min(A0, B 0, C 0) Langkah 6. Pertahankan basis untuk ke 3 kemungkinan

1. Jika A atau A0 (a) xBi0 menjadi nonbasis di batas bawah li0 (b) xj ∗ menjadi basis (menggantikan xBi0 ) (c) xi∗ tetap basis (tak integer) 2. Jika B atau B 0 (a) xBi0 menjadi nonbasis di batas atas ui0


49 (b) xj ∗ menjadi basis (menggantikan xBi0 ) (c) xi∗ tetap basis (integer) 3. Jika C atau C 0 (a) xj ∗ menjadi basis (menggantikan xi∗ ) (b) xi∗ menjadi superbasis bernilai integer. Ulangi dari langkah 1.

4.3 Hasil Perhitungan Perencanaan setara meliputi untuk setiap tiga bulan sekali. Akibatnya terdapat empat periode di dalam satu tahun T = {1, 2, 3, 4}. Setelah mensurvei lokasi maka didapatkan bahwa ; kondisi pasar terhadap 8 jenis ikan olahan dapat menghasilkan dalam 3 situasi yang mungkin yaitu ; baik, sedang dan jelek, yang bersesuaian dengan peluang berturut-turut adalah : 0,30, 0,50, dan 0,20 Data disusun dalam tabel sebagai berikut : Tabel 4.1 : Biaya Produksi Produksi 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2300 780 6700 8500 15100 3500 1600 8000

Periode 2 3 2300 2350 800 800 6700 6750 8550 8600 15100 15200 3550 3600 1600 1750 8200 8250

4 2400 850 6800 8600 15200 3600 1800 8300


50 Jumlah biaya produksi kedelapan jenis ikan olahan yang diproduksi pada setiap periodenya diperlihatkan pada tabel 4.1 diatas. Dari tabel 4.1 diatas diperoleh untuk produksi 1 yaitu jenis ikan kering sebagai berikut:

a. pada periode 1, biaya produksinya Rp. 2300, b. pada periode 2, biaya produksinya Rp. 2300, c. pada periode 3, biaya produksinya Rp. 2350, d. pada periode 4, biaya produksinya Rp. 2400; demikian seterusnya sampai dengan produksi yang ke 8.

Tabel 4.2 : Tambahan Sumber Daya Sumber Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

1 45600 34300 32200

Periode 2 3 45800 45800 34600 34600 32300 32300

4 45900 34700 32500

Tambahan sumber daya yang dibutuhkan oleh masing masing sumber (mesin) untuk setiap periodenya diperlihatkan pada tabel 4.2 diatas. Dari tabel 4.2 diatas diperoleh untuk mesin 1 sebagai berikut:

a. pada periode 1, dibutuhkan tambahan sumber daya Rp. 45600, b. pada periode 2, dibutuhkan tambahan sumber daya Rp. 45800, c. pada periode 3, dibutuhkan tambahan sumber daya Rp. 45800, d. pada periode 4, dibutuhkan tambahan sumber daya Rp. 45900; demikian juga untuk mesin 2 dan mesin 3 pada setiap periodenya.


51 Tabel 4.3 : Biaya untuk Tenaga Kerja Notasi Biaya µ γ δ

Periode 2 3 22500 22500 24000 25500 25000 25600

1 22000 24000 25000

4 23000 26000 27000

Jumlah biaya tenaga kerja yang dibutuhkan untuk setiap periodenya terdapat pada tabel 4.3 diatas. Dari tabel 4.3 diperoleh untuk µ sebagai berikut:

a. pada periode 1, dibutuhkan Rp. 22000, b. pada periode 2, dibutuhkan Rp. 22500, c. pada periode 3, dibutuhkan Rp. 22500, d. pada periode 4, dibutuhkan Rp. 23000; demikian seterusnya untuk γ dan δ pada setiap periodenya. Tabel 4.4 : Kapasitas Sumber yang Dibutuhkan untuk Produksi Sumber Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

J 1 6 4 5

2 5 4 3

3 6 5 5

4 8 6 6

5 7 6 6

6 6 5 5

7 5 5 5

8 9 8 7

Kapasitas sumber (mesin) yang dibutuhkan untuk produksi setiap jenis ikan olahan terdapat pada tabel 4.4 . Dari tabel 4.4 diatas diperoleh untuk mesin 1 adalah:

a. produksi ikan kering kapasitasnya adalah 6 Kg. b. produksi ikan asin kapasitasnya adalah 5 Kg.


52 c. produksi dendeng kapasitasnya adalah 6 Kg. d. produksi pindang kapasitasnya adalah 8 Kg. e. produksi ikan asap kapasitasnya adalah 7 Kg. f. produksi terasi kapasitasnya adalah 6 Kg. g. produksi presto kapasitasnya adalah 5 Kg. h. produksi bakso ikan kapasitasnya adalah 9 Kg; demikian juga untuk mesin 2 dan mesin 3. Tabel 4.5 : Kapasitas Sumber yang Tersedia Periode Mesin 1 1 20000 2 20000 3 20000 4 19000

Mesin 2 18000 18000 19000 17000

Mesin 3 21000 20000 21000 20000

Kapasitas sumber (mesin) yang tersedia pada setiap periodenya terdapat pada tabel 4.5. Dari tabel 4.5 untuk periode 1 diperoleh sebagai berikut:

a. kapasitas mesin 1 adalah 20000 Kg, b. kapasitas mesin 2 adalah 18000 Kg, c. kapasitas mesin 3 adalah 21000 Kg; demikian seterusnya untuk periode ke 2, periode ke 3 dan periode ke 4.


53 Tabel 4.6 : Batas Atas untuk Tambahan Sumber Periode Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 1 300 300 200 2 300 300 200 3 250 300 200 4 200 250 250 Batas atas yang mungkin untuk tambahan sumber (mesin) pada setiap periodenya terdapat pada tabel 4.6. Dari tabel 4.6 diatas diperoleh untuk periode 1 adalah:

a. mesin 1 batas atasnya adalah 300 Kg, b. mesin 2 batas atasnya adalah 300 Kg, c. mesin 3 batas atasnya adalah 200 Kg; demikian juga untuk periode ke 2, periode ke 3 dan periode ke 4.

Tabel 4.7 : Tenaga Kerja yang Dibutuhkan untuk Menghasilkan Produksi Produksi 1 2 3 4 5 6 7 8

Tenaga Kerja 6 12 24 24 24 20 15 8

Jumlah tenaga kerja yang dibutuhkan untuk menghasilkan tiap produksi terdapat pada tabel 4.7. Dari tabel 4.7 diatas diperoleh:


54 a. untuk menghasilkan ikan kering dibutuhkan tenaga kerja 6 orang, b. untuk menghasilkan ikan asin dibutuhkan tenaga kerja 12 orang, c. untuk menghasilkan dendeng dibutuhkan tenaga kerja 24 orang, d. untuk menghasilkan ikan pindang dibutuhkan tenaga kerja 24 orang, e. untuk menghasilkan ikan asap dibutuhkan tenaga kerja 20 orang, f. untuk menghasilkan terasi dibutuhkan tenaga kerja 20 orang, g. untuk menghasilkan ikan presto dibutuhkan tenaga kerja 15 orang, h. untuk menghasilkan bakso ikan dibutuhkan tenaga kerja 8 orang. Tabel 4.8 : Biaya Penyimpanan Produksi 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2700 2500 2400 3000 2400 2000 3000 2500

Periode 2 3 2700 2700 2500 2500 2400 2400 3000 3000 2400 2400 2000 2000 3000 3000 2500 2500

4 5000 4000 2600 5000 2700 2300 4000 2500

Besarnya biaya penyimpanan untuk tiap jenis ikan olahan pada setiap periodenya terdapat pada tabel 4.8. Dari tabel 4.8 diatas untuk ikan kering diperoleh:

a. pada periode 1, besarnya biaya penyimpanan Rp. 2700, b. pada periode ke 2, besarnya biaya penyimpanan Rp. 2700, c. pada periode ke 3, besarnya biaya penyimpanan Rp. 2700,


55 d. pada periode ke 4, besarnya biaya penyimpanan Rp. 5000; demikian seterusnya untuk jenis ikan olahan yang lainnya. Tabel 4.9 : Biaya Tak Terduga Produksi 1 2 3 4 5 6 7 8

Biaya 6700 4800 10000 16200 27800 11000 15500 2500

Besarnya biaya tak terduga untuk memproduksi kedelapan jenis ikan olahan terdapat pada tabel 4.9. Dari tabel 4.9 diatas diperoleh:

a. besarnya biaya tak terduga untuk memproduksi ikan kering Rp. 6700, b. besarnya biaya tak terduga untuk memproduksi ikan asin Rp. 4800, c. besarnya biaya tak terduga untuk memproduksi dendeng Rp. 10000. d. besarnya biaya tak terduga untuk memproduksi ikan pindang Rp. 16200, e. besarnya biaya tak terduga untuk memproduksi ikan asap Rp. 27800, f. besarnya biaya tak terduga untuk memproduksi terasi Rp. 11000, g. besarnya biaya tak terduga untuk memproduksi ikan presto Rp. 15500, h. besarnya biaya tak terduga untuk memproduksi bakso ikan Rp. 2500.


56 Tabel 4.10 : Data Untuk Permintaan Pasar Produksi Situasi Periode 1 2 3 4 1 Baik 20000 20000 20500 20500 Sedang 18000 18000 18000 19000 Jelek 15000 15000 15000 16000 2 Baik 115000 115000 115000 116000 Sedang 112000 112000 112500 113000 Jelek 90000 90000 90000 90000 3 Baik 4000 4000 4500 4500 Sedang 3600 3600 3600 4000 Jelek 3000 3000 3100 3100 4 Baik 5000 5000 5000 5500 Sedang 4500 4500 4500 4600 Jelek 4000 4000 4000 4100 5 Baik 3500 3500 4000 4000 Sedang 3000 3000 3500 3500 Jelek 2000 2000 2200 2200 6 Baik 4000 4000 4000 4200 Sedang 3600 3600 3600 3700 Jelek 3000 3000 3000 3100 7 Baik 5100 5100 5200 5300 Sedang 4500 4500 4500 4600 Jelek 4000 4000 4100 4100 8 Baik 5000 5000 5100 5100 Sedang 4500 4500 4600 4600 Jelek 4200 4200 4200 4200

Jumlah permintaan pasar terhadap ke 8 jenis ikan olahan untuk 3 situasi atau kualitas yaitu kualitas baik, kualitas sedang, dan kualitas jelek terdapat pada tabel 4.10. Dari tabel 4.10 diatas diperoleh untuk ikan kering pada periode pertama:

a. kualitas baik permintaan pasar adalah sejumlah 20000 Kg, b. kualitas sedang permintaan pasar adalah sejumlah 18000 Kg,


57 c. kualitas jelek permintaan pasar adalah sejumlah 15000 Kg; demikian seterusnya untuk ke 8 jenis ikan olahan lainnya.


BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil kajian yang telah dilakukan diatas dapat disimpulkan bahwa: dalam penelitian ini digunakan model program stokastik dua-tahap recourse untuk problema pengelolaan atau perencanaan produksi pada suatu industri pengolahan ikan secara tradisional di daerah pesisir Provinsi Sumatera Utara. Hal ini disebabkan karena terdapatnya hal hal yang mengandung ketidakpastian pada data, antara lain permintaan, bahan baku, biaya produksi dan lain lain. Ada delapan jenis hasil ikan olahan yang dihasilkan oleh sektor industri perikanaan di daerah pesisir Provinsi Sumatera Utara yaitu: ikan kering, ikan asin, dendeng, ikan pindang, ikan asap, terasi, ikan presto, dan bakso ikan. Kedelapan jenis ikan olahan ini adalah merupakan variabel untuk dibuatkan model, dan cukup untuk menyelesaikan problema pengelolaan atau perencanaan produksi yang dihadapi oleh manajemen atau pengelola industri. Model yang meliputi perhitungan tenaga kerja sangatlah penting dan berguna untuk industri, dimana mereka dapat menjadualkan sejumlah tenaga kerja lokal. Setelah menyelesaikan problema relaksasi dengan metode pencarian layak langsung digunakan suatu algoritma dari metode untuk menyelesaikan problema program stokastik bilangan bulat campuran.


59 5.2 Saran Disarankan bahwa: pada masa atau waktu yang akan datang mungkin saja parameter atau variabel pada penelitian ini berubah dalam artian bisa saja bertambah ataupun berkurang. Penelitian ini melibatkan variabel sebanyak delapan jenis ikan olahan. Mungkin saja pada waktu yang lain ada perubahan,.bukan lagi sebanyak delapan jenis ikan olahan. Hal ini mungkin salah satunya disebabkan oleh permintaan pasar, oleh karena itu perlu diadakan penelitian secara berkesinambungan untuk pengembangan model.


DAFTAR PUSTAKA

Agustedi, 2001. Rancang Bangun Model Perencanaan Dan Pembinaan Agroindustri Hasil Laut Kuakitas Ekspor Dengan Pendekatan Wilayah. Disertasi. Institut Pertanian Bogor. Bangun, 2004. Pengembangan Wilayah Desa Pantai Berbasis Perikanan Pesisir Kecamatan Secanggang Kabupaten Langkat. Tesis. Universitas Sumatera Utara Medan Baykasoglu, A: MOAPPS 1.0, 2001. Aggregate Production Planning Using the Multiple Objective Tabu Search Journal of Production Recearch 3685-3702 Birge JR. Louveaux FV. 1997. Introduction to stochastic Pogramming, Springer New York. Dantzig, G.B.1995. Linier programming under uncertainty management science I 197-206. Hung, Y.F.,Y.C; 1999. Solving Mixed Integer Programming Planning Problems With Setup Decisions, Journal of the Operation Recearch Society 50, 857866. Kall P, Wallace S. 1994. Stochastic programming, Chichester:Wiley. Masud, A.S.M.,Hawang, C.L; 1980. An Agregate Production Planning Model and Aplication of Thee Multiple Objective Decision Methods International, Journal Of Production Recearch 18, 741-752. Mulvey JM, Van derbai R, Zenios S, Robust 2002. optimization of large scale, Systems Operation recearch 43(2); 264-281. Rico-Ramirez V. 2002. Two-stage stochastic linier programming; a tutorial, SIAG/OPT View and-News; 13(1): 6-14. Ruszczynski A, Shapiro A, editors. 2003. Stochastic programming. Handbooks in operation recearch and management sience, vol. 10. New York; NorthHolland. Sen S, Higle JL. 1999. Introductory tutorial on stochastic linier programming models. Interfaces 29(2): 33-61.


PEMODELAN PROGRAM STOKASTIK UNTUK PENGELOLAAN PRODUKSI IKAN DI DAERAH PESISIR PROVINSI SUMATERA UTARA

Recommend Documents