PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL LÉVY DAN MODEL BLACK-SCHOLES
EDY SISWANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
ABSTRAK EDY SISWANTO. Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model Lévy dan Model BlackScholes. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan I GUSTI PUTU PURNABA. Saham dapat menghasilkan keuntungan yang tinggi. Tetapi, saham juga memiliki risiko yang tinggi pula, karena harga saham berfluktuasi seiring dengan bertambahnya waktu. Oleh karena itu, diperlukan model yang tepat untuk menduga harga saham yang akan datang. Di dalam karya ilmiah ini, model Lévy dibandingkan dengan model Black-Scholes untuk menduga harga saham Bank of America Corporation. Akibatnya, dapat disimpulkan bahwa model Black-Scholes lebih tepat dari pada model Lévy. Kata kunci : Harga saham, model Lévy, model Black-Scholes.
ABSTRACT EDY SISWANTO. Modeling Stock Prices Use the Model of Lévy and Model Black-Scholes. Guided by RETNO BUDIARTI and I GUSTI PUTU PURNABA. Stock may produce high profits. However, it has a high risk as well, because the stock prices fluctuate over time. Therefore, a model is required to estimate the future stock prices accurately. In this paper, Lévy model is compared to Black-Scholes model in estimating the stock price at Bank of America Corporation. As a result, it is concluded that the Black-Scholes model is more accurate than Lévy model. Keywords: Stock price, Lévy model, Black-Scholes model.
PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL LÉVY DAN MODEL BLACK-SCHOLES
EDY SISWANTO
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
Judul Skripsi Nama NIM
: Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes : Edy Siswanto : G54080029
Disetujui Pembimbing I
Pembimbing II
Ir. Retno Budiarti, MS NIP. 19610729 198903 2 001
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA NIP. 19651218 199002 1 001
Diketahui Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus : ....................................
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari peran berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta: Ibu (terima kasih atas dukungan, doa, semangat, kesabaran); Ayah (terima kasih atas doanya, atas kesabarannya selama ini untuk mendukung dan menunggu kelulusan saya); serta kepada adik, nenek, paman, bibi, dan yang lainnya (terima kasih atas semangatnya dan dukungannya). 2. Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing 1 (terima kasih atas kesabarannya, ilmunya, bimbingannya, dan semuanya). 3. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen pembimbing 2 (terima kasih atas bimbingan dan dukungan semangatnya, semua koreksi-koreksinya sehingga dapat menyempurnakan karya ilmiah ini). 4. Segenap dosen Departemen Matematika yang tidak bisa saya sebutkan satu-satu. Terima kasih atas ilmunya. 5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Bu Susi, dan lain-lain (terima kasih atas bantuannya). 6. Sahabat-sahabat terbaikku. Sahabat sekelas ku. Maaf jika sudah membuat kalian tidak enak hati. Tetap semangat dan selalu jalin silaturahim yang baik. 7. Sahabat yang dulu pernah sekamar: Adit, Kak Kindi, Mas Okta, Kak Aris, Akhi Ganteng, dauble Aziz, dan sahabat-sahabat seperjuangan di Asrama Al-Hurriyyah. Terima kasih atas dukungannya, lingkungan orang-orang yang beriman, insya Allah. 8. Terkhusus untuk sahabat satu angkatan di asrama Abdul Basir dan Zay. Kalian luar biasa inspiratif. 9. Untuk sahabatku yang telah lebih mendahului menghadap kapada-Nya, Dika Alif Utama. Engkau sahabat terbaik, semoga Allah memberikan tempat yang terbaik disisi-Nya. 10. Untuk sahabat-sahabat di SDM Al-Hurriyyah 2012: Eko, Ego, Tika, Titi, Ines, Leli, Silvi, dan Puput. Tim 9 yang luar biasa tangguh membina adik-adik angkatan 46, 47, dan 48 yang jumlahnya sekitar 160 orang. 11. Adik-adik pengurus Puskomnas FSLDK Indonesia, tetap semangat. Target Indonesia madani yakin akan terwujud karena kita mampu untuk mewujudkannya. 12. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik materiil maupun moril. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, April 2013 Edy Siswanto
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Lampung pada tanggal 13 Agustus 1990 dari bapak Sukoto dan ibu Parjiyem. Penulis memulai mengenyam pendidikan formal di SD Negeri 04 Penagan Ratu Lampung Utara lulus pada tahun 2002. Kemudian melanjutkan sekolah di SMP Negeri 6 Kota Metro lulus pada tahun 2005. Kemudian melanjutkan lagi di SMA Negeri 3 Kota Metro lulus pada tahun 2008. Setelah lulus SMA penulis melanjutkan kuliah di Institut Pertanian Bogor (IPB) Departemen Matematika masuk pada tahun 2008 melalui jalur USMI. Selama di kampus, penulis pernah menjadi asisten untuk mata kuliah kalkulus II. Penulis juga aktif di berbagai organisasi dan kepanitiaan. Organisasi yang pernah diikuti oleh penulis di antaranya: Dewan Mushola Asrama TPB sebagai Ketua Mushola C2, Himpro Gumatika sebagai Staf PSDM, LDK Al-Hurriyyah sebagai Ketua Departeman Hubungan Luar dan Ketua SDM, dan Forum Silaturahim Lembaga Dakwah Kampus Indonesia (FSLDK Indonesia) sebagai Ketua Komisi Isu dan Koordinator FSLDK Indonesia. Kepanitiaan yang pernah diikuti diantaranya kepanitiaan MPKMB 2009 sebagai pendamping, Open House 2009 IPB sebagai Ketua PDD.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ....................................................................................................................... ix DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................... ix I PENDAHULUAN ........................................................................................................................ 1 1.1 Latar Belakang ....................................................................................................................... 1 1.2 Tujuan Penulisan.................................................................................................................... 1 1.3 Sistematika Penulisan ............................................................................................................ 1 II LANDASAN TEORI .................................................................................................................. 2 2.1 Berbagai Definisi ................................................................................................................... 2 2.2 Gerak Brown .......................................................................................................................... 4 2.3 Martingale .............................................................................................................................. 4 2.4 Proses Lévy ............................................................................................................................ 5 2.5 Model Black-Scholes ............................................................................................................. 5 2.6 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)............................................................................ 5 III PEMBAHASAN ........................................................................................................................ 6 3.1 Data Simulasi ......................................................................................................................... 6 3.2 Model Lévy ............................................................................................................................ 7 3.3 Model Black-Scholes ............................................................................................................. 7 3.4 Analisis Ketepatan Pemodelan Model Lévy dan Model Black-Scholes .............................. 10 IV SIMPULAN DAN SARAN ..................................................................................................... 11 4.1 Simpulan .............................................................................................................................. 11 4.2 Saran .................................................................................................................................... 11 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................................... 12 LAMPIRAN .................................................................................................................................... 13
DAFTAR GAMBAR 1 Grafik Garis Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000. ............................................................................................. 6 2 Plot Normal Q-Q Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000. ................................................................................. 6 3 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001. ....................................................................................... 7 4 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Black-Scholes Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001. ....................................................................... 9 5 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy, Model Black-Scholes, dan Harga Saham Aktual dari Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001. . 10
DAFTAR LAMPIRAN 1
Tabel Penutupan Harga Saham dan Return Bank of America Corporation .............................. 14
2
Uji Normalitas Data Penutupan Harga Saham Bank of American Corporation dengan Kolmogorov-Smirnov .............................................................................................................. 14
3
Hasil Analisis Data menggunakan Perangkat Lunak ................................................................ 18
4
Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy .............................................................................................................................. 19
5
Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Black-Scholes ............................................................................................................... 21
6
Tabel Perbandingan Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes ............................................................. 23
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Saham merupakan surat bukti kepemilikan atas aset-aset perusahaan yang menerbitkan saham (Tandelilin 2001). Saham memberikan bukti kepemilikan atas perusahaan sehingga para pemegang saham berhak menentukan arah kebijakan perusahaan lewat Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS). Sebaliknya, pemegang saham pun turut menanggung risiko sebesar proporsional dengan banyaknya saham yang dimiliki apabila perusahaan tersebut bangkrut. Derajat kepemilikan seseorang di dalam suatu perusahaan tercermin dari sedikit banyaknya lembar saham yang dimiliki. Semakin banyak lembar yang dimiliki maka akan semakin besar derajat kepemilikan atas perusahaan tersebut. Perkembangan Bursa Efek Indonesia (BEI) menunjukkan bahwa saham semakin banyak peminatnya. Awalnya wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan siapa pemiliknya. Beberapa tahun yang lalu sistem tanpa warkat sudah diberlakukan di Bursa Efek Jakarta (saat ini berubah menjadi Bursa Efek Indonesia) dimana bentuk kepemilikan tidak lagi berupa lembaran saham yang diberi nama pemiliknya tapi sudah berupa account atas nama pemilik atau saham tanpa warkat. Jadi penyelesaian transaksi akan semakin cepat dan mudah karena tidak melalui surat, formulir, dan prosedur yang berbelit-belit. Saham ini diharapkan bisa menjadi alternatif penghimpunan dana selain sistem perbankan. Dengan menjual saham kepada publik, perusahaan dapat menghimpun dana dari masyarakat, adapun tujuan penggunaan dananya dapat untuk ekspansi, memperbaiki struktur permodalan, pengalihan pemegang saham (divestasi) dan lain-lainnya. Perubahan harga saham dari waktu ke waktu sangat berpengaruh bagi para pemegang saham. Realisasinya harga saham berfluktuasi dari waktu ke waktu. Oleh karena itu, diperlukan model harga saham untuk meramalkan harga saham untuk meminimumkan risiko di masa yang akan datang. Oleh karena itu, perlu dicari model
yang tepat dalam meramalkan harga saham tersebut, agar para pemegang saham dapat mengoptimalkan keuntungan dan meminimumkan risiko yang ada. Untuk meminimumkan risiko yang dihadapi para pemegang saham, beberapa ahli telah banyak melakukan penelitian untuk mendapatkan model yang dapat meramalkan harga saham yang sesuai dengan harga saham aktual. Di antara penelitian yang telah dilakukan adalah penelitian oleh Fisher Black dan Myron Scholes tahun 1973 yang menghasilkan model Black-Scholes dan penelitian yang dilakukan oleh Paul Pierre Lévy tahun 1913 yang menghasilkan model Lévy. Model Black-Scholes dan model Lévy digunakan untuk meramalkan penutupan harga saham Bank of America Corporation yang akan datang. Dari hasil peramalan kedua model akan dibandingkan untuk mengetahui model yang lebih tepat dalam meramalkan harga saham Bank of America Corporation yang akan datang, sehingga risiko yang akan ditanggung oleh pemegang saham dapat diminimumkan. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Memodelkan penutupan harga saham menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes. 2. Mengetahui ketepatan model Lévy dan model Black-Scholes dalam meramalkan penutupan harga saham. 1.3 Sistematika Penulisan Pada Bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pemodelan Harga saham menggunakan model Lévy dan model BlackScholes sekaligus melihat ketepatan model Lévy dan model Black-Scholes dalam meramalkan penutupan harga saham yang akan datang dibahas pada Bab tiga. Pada Bab empat dipaparkan simpulan dan saran dari karya ilmiah ini.
II LANDASAN TEORI 2.1 Berbagai Definisi Pada bagian ini akan dijelaskan berbagai definisi yang digunakan dalam makalah ini. Percobaan Acak Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. (Ross 2003) Ruang Contoh Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan . (Grimmett dan Stirzaker 1992) Medan– Medan– adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut : 1. , 2. Jika maka , 3. Jika maka . (Grimmett dan Stirzaker 1992) Peubah Acak Suatu peubah acak (random variable) adalah suatu fungsi dengan sifat + ( ) bahwa * , untuk setiap , dengan adalah sebuah medan–σ dari suatu ruang contoh . Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya . Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti . (Grimmett dan Stirzaker 1992) Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi → [0,1] yang ( ) ( ). dinyatakan sebagai (Grimmett dan Stirzaker 1992)
Fungsi Kepekatan Peluang Peubah acak X dikatakan kontinu jika ( ) ( ) dapat fungsi sebaran diekspresikan sebagai ( )
∫
( )
untuk suatu fungsi : → [0, ] yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut juga fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X. (Grimmett dan stirzaker 1992) Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang adalah ( )
( ) ∫ asal integralnya ada. (Grimmett dan stirzaker 1992) Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu Misalnya X adalah peubah acak ( ) kontinu dengan adalah nilai harapan dari X, dengan fungsi kepekatan peluang ƒX. Simpangan baku (standard deviation) dan ragam (variance) dari X dinotasikan dengan dan Var ( ) sama dengan [(X –μ)2] ) =∫ (
Var X =
( )
dan √ ,(
) (Ghahramani 2005)
Fungsi Massa Peluang Fungsi massa peluang dari peubah acak dengan himpunan nilai yang mungkin * + adalah fungsi dari ke yang memenuhi sifat-sifat berikut: * +, 1. ( ) jika
3
( ) ( ( ) ( ( ) 3. ∑
)
2.
dan karenanya ), (Ghahramani 2005)
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan ( ), adalah , -
∑
( )
Beberapa sifat dari nilai harapan 1. Jika k suatu konstanta, maka , . 2. Jika k suatu konstanta dan adalah , peubah acak, maka , , -. Secara umum, jika adalah konstanta dan adalah peubah acak, maka , , , , -. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Ragam dan Standar Deviasi Peubah Acak Diskret Ragam dari peubah acak diskret X didefinisikan sebagai berikut
, ∑
,( ( ) - ( , -) , -)
(
, -) ( )
Sedangkan untuk standar deviasi dari peubah acak diskret X didefinisikan sebagai berikut ( ) √ (Grimmett dan Stirzaker 1992) Sebaran Normal Misalkan diberikan peubah acak X. Peubah acak X dikatakan menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2 jika X memiliki fungsi kepekatan peluang (probability density function) sebagai berikut: ( )
( √
)
;
Sebaran normal yang memiliki nilai rata-rata 0, dan ragam 1 disebut sebaran normal baku. Peubah acak Z yang menyebar normal baku memiliki fungsi kepekatan peluang ( )
;
√
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Sebaran Poisson Peubah acak X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan Poisson disebut peubah acak Poisson, dan sebaran peluangnya disebut sebaran Poisson. Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu adalah (
)
,
untuk x = 0, 1, 2, ....
sedangkan dalam hal ini adalah rata-rata hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan, dan 2,71828. Ruang State Misalkan S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Proses Stokastik Proses stokastik didefinisikan sebagai barisan peubah acak * + dengan T adalah himpunan parameter waktu. Jika T adalah himpunan tercacah seperti T = + {1,2,...}, maka proses stokastik * dikatakan sebagai proses stokastik diskret. Jika T adalah suatu interval seperti * + atau * + + dikatakan maka proses stokastik * sebagai proses stokastik kontinu. Rantai Markov Proses stokastik * + dikatakan rantai Markov jika memenuhi persamaan berikut
4
(
untuk semua bilangan nyata tak negatif dan semua s > 0.
) (
)
untuk semua n ≥ 1 dan . (Grimmet dan Stirzaker 1992) Proses Pencacahan Suatu proses stokastik * + disebut proses pencacahan jika menyatakan banyak kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut ini : 1. untuk semua , ). 2. Nilai adalah integer positif (bilangan bulat positif). 3. Jika maka , ). 4. Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s,t]. Inkremen Bebas Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang (interval) waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Jadi pada proses pencacahan yang memiliki inkremen bebas maka banyaknya kejadian yang telah terjadi pada waktu t, yaitu , adalah bebas terhadap banyaknya kejadian pada selang waktu ( -, yaitu untuk sembarang bilangan nyata s > 0. Inkremen Stasioner Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut. Dengan kata lain, suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika banyaknya kejadian pada selang waktu ( -, yaitu , mempunyai sebaran yang sama dengan banyaknya kejadian pada selang waktu ( -, yaitu ,
Proses Poisson Suatu proses pencacahan * + disebut proses Poisson dengan laju (rate) , jika dipenuhi tiga syarat berikut: 1. , 2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas, 3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan rataan . Jadi, untuk semua t, s > 0, ( ) ( ) dengan 2.2 Gerak Brown Gerak Brown merupakan contoh dari proses stokastik. Pada ruang peluang ( ), dimana ( ) adalah ruang kontinu fungsi real pada yang dimulai dari 0. Gerak Brown standar adalah proses stokastik * + sehingga, 1 B0 = 0, 2 Lintasan sampel t → Bt kontinu, dengan peluang 1, 3 Untuk setiap urutan terbatas waktu , inkremen
4
bebas, Untuk t > 0 , menyebar normal dengan rataan 0 dan ragam . (Privault 2008)
2.3 Martingale Suatu proses stokastik * + adalah martingale jika untuk setiap (kasus diskret) berlaku sebagai berikut: a. ( ) , dan ) b. ( Berdasarkan poin (b), jika kedua ruas dicari nilai harapannya diperoleh ( ( ( (
)) ))
( (
) )
5
sehingga (
)
(
)
(
)
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik yang bersifat martingale maka proses tersebut akan memiliki rataan yang konstan. (Taylor 1998) 2.4 Proses Lévy Model Lévy telah lama digunakan di bidang matematika keuangan. Model Lévy merupakan salah satu proses stokastik diskret yang cukup banyak aplikasinya dan dapat digunakan untuk membangun model yang lebih realistis. Proses stokastik * + dengan nilai di dalam disebut proses Lévy jika memenuhi kondisi berikut ini : 1. , 2. Untuk semua dan ( ) , peubah acak bebas (inkremen bebas), 3. Sebaran dari tidak tergantung pada s (inkremen stationer), 4. Proses { , t≥0} adalah stokastik kontinu, yaitu ( ) , , 5. Ada dengan sehingga untuk semua ( ) kontinu kanan di t ≥ 0 dan berlaku limit kiri untuk semua . (Tisserand 2006) 2.5 Model Black-Scholes Upaya untuk merumuskan bagaimana menghitung harga saham yang sebenarnya (nilai intrinsik) telah dilakukan dalam setiap analisis dengan tujuan mendapatkan tingkat pengembalian (return) yang memuaskan.
Dalam model Black-Scholes, diasumsikan harga saham bergerak secara acak dan mengikuti proses Wiener. Selain itu, model ini memiliki beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu tidak ada pemberian deviden dan tingkat suku bunga konstan. Untuk memodelkan harga saham, perlu dilakukan pemisalan-pemisalan dari faktor-faktor yang terkait dengan rumus matematika. Hal ini bertujuan untuk mengetahui sifat-sifatnya dan keterkaitan dengan unsur-unsurnya serta dalam hal menarik kesimpulan tentang model yang diamati lebih lanjut. Secara matematis model Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut: *(
)
+
dengan adalah harga saham, adalah nilai harapan , volatilitas dari harga saham, dan adalah gerak Brown standar. (Black dan Scholes 1973) 2.6 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung Mean Absolute Percentage Error (MAPE), dengan rumus sebagai berikut ∑
|
|
dengan xt adalah pengamatan pada waktu ke-t dan adalah ramalan pada waktu ke-t. Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual. (Bowerman dan O’connell 1987)
III PEMBAHASAN Pada aplikasi model harga saham dengan menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes ini, penulis menerapkannya pada penutupan harga saham Bank of America Corporation. Ada dua permasalahan yang akan dibahas dalam aplikasi model ini, yaitu: pertama, menduga penutupan harga saham yang akan datang menggunakan model Lévy dan model BlackScholes, dan kedua, membandingkan
ketepatan model dalam memprediksi penutupan harga saham yang akan datang. 3.1 Data Simulasi Data yang akan digunakan untuk simulasi yaitu data penutupan harga saham harian Bank of America Corporation (kecuali hari libur dan non trading day) pada periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000. Data diambil dari www.finance.yahoo.com (Lampiran 1).
Gambar 1 Grafik Garis Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000. Sebelum dilakukan pengelolaan data, terlebih dahulu ditentukan apakah data penutupan harga saham (Lampiran 1) sudah berdistribusi normal ataukah belum.
Kenormalan data penutupan harga saham dapat ditunjukkan melalui Gambar 2.
Gambar 2 Plot Normal Q-Q Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000.
7
Dari Gambar 2, terlihat bahwa data berdistribusi normal. Hal ini ditunjukkan oleh sebaran data pada plot normal Q-Q berkumpul atau berada di sekitar garis regresi dugaan. Diperjelas dengan hasil uji kenormalan data dengan uji KolmogorovSmirnov (Lampiran 2). 3.2 Model Lévy Selanjutnya akan dilakukan pemodelan menggunakan model Lévy. Model Lévy dapat dirumuskan sebagai berikut : (1) dengan
σ Bt Mt α t
: penutupan harga saham : simpangan baku : gerak Brown : martingale : nilai harapan : waktu (Eberlien 2001)
Untuk menduga koefisien model , beberapa variabel dari model Lévy harus dibangkitkan, seperti nilai yang harus dibangkitkan menggunakan sebaran normal dengan rataan nol ( ) dan simpangan ) dan nilai baku satu ( yang dibangkitkan dengan menggunakan sebaran Poisson dengan = 49. Setelah dan didapat, kemudian akan ditentukan simpangan baku (σ) dan nilai harapan (α) dari . Dengan bantuan perangkat lunak dapat diketahui bahwa analisis regresi berganda dari persamaan (1) menghasilkan simpangan baku ( ) ), sehingga dan nilai harapan ( diperoleh model dugaan yaitu, (2) Hasil analisis disajikan pada Lampiran 3. Peramalan Selanjutnya dilakukan peramalan penutupan harga saham untuk hari ke depan dengan menggunakan model Lévy pada persamaan (2).
Gambar 3 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001. 3.3 Model Black-Scholes Model Black-Scholes sebagai berikut: 0.
/
dapat
1
ditulis
(3)
dengan adalah harga saham, adalah nilai harapan , volatilitas dari harga saham, dan adalah gerak Brown. Persamaan (3) akan diturunkan dengan menggunakan formula Itȏ sebagai berikut:
8
.
/
0.
0.
/
/ 0.
0.
1
Persamaan (7) jika didiferensialkan, akan diperoleh
1 /
/
1 1 0.
̃
/
(
1 (
)
(4)
Dengan mengubah persamaan (3) ke dalam bentuk logaritmanya, maka akan diperoleh ( )
( )
.
/
(5)
Berdasarkan persamaan (4) diketahui berdistribusi log normal, sehingga perlu diubah ke dalam bentuk logaritma seperti persamaan (5) agar menjadi berdistribusi normal. Teorema Girsanov (Elliot 2000) Misal dengan adalah suatu gerak Brown di suatu ruang peluang ( ) dan misalkan * + adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh gerak Brown. Misalkan pula dengan adalah suatu proses yang teradaptasi oleh filtrasi * + Untuk didefinisikan ̂ dengan ̂
∫
(6)
) )
)
(
) )
-
(8)
Dengan menggunakan Girsanov dan memisalkan
Teorema , maka
akan diperoleh besaran probabilitas dalam ruang , yaitu ( ∫
∫
di
)
Berdasarkan persamaan (6), maka akan diperoleh ̂
∫ ∫ .
/
(9)
disebut sebagai persamaan Brown di dalam ruang ( ). Kemudian persamaan tersebut diturunkan, sehingga diperoleh ̂
. ̂ ̂
∫
dengan
( ( (
̃ ,(
dan didefinisikan ̂ melalui ̂
)
̃ ̃
/ ( (
(10) ) )
(11)
Subtitusi persamaan (11) ke persamaan (8), sehingga diperoleh
didefinisikan oleh ̃ . ∫
∫
/
pada ̂ , proses ̂ dengan adalah suatu gerak brown. Penetapan Teorema Girsanov ini digunakan untuk memodelkan diskonto aset berisiko, yaitu ̃
(
)
(7)
̃ ,( ) ̃ ,( ) ( ) ̃ ̂
̂ (12)
Untuk menentukan ̃ , subtitusi persamaan (3) ke persamaan (7) dan dilanjutkan dengan subtitusi persamaan (9) sehingga diperoleh
9
̃
(
)
0.
/
1
0 .̂
0
1 /1
0 ̂
1
sebaran normal dengan rataan nol ( ) dan simpangan baku ( ) sama dengan 0,1. Selanjutnya yang akan dicari adalah penduga volatilitas ( ) dari harga saham (Lampiran 1) menggunakan rumus
(13) 0
Kemudian subtitusi persamaan (11) ke persamaan (4), maka akan diperoleh ( ( (
) ̂ ( ̂ )
)
)
dengan ̂ adalah gerak Brown. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa suatu aset berisiko dapat dimodelkan ke dalam persamaan yang bebas dari variabel , yaitu ̂ )
(
0.
/
̂ 1
dengan ̂ adalah gerak Brown. Berdasarkan informasi di atas, akan ditentukan model untuk menduga penutupan harga saham Bank of America Corporation. Langkah pertama ditentukan variabelvariabel yang dibutuhkan dalam pemodelan, yaitu ̂ yang dibangkitkan menggunakan
̅)
1
(16)
√ Sehingga diperoleh sebagai berikut
model
dugaan
)
[( (
(15)
(
Data pada Lampiran 1 merupakan data penutupan harga saham Bank of America Corporation pada periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000, yaitu sebanyak 252 data. Dengan menggunakan persamaan (16), diperoleh
(14)
Sehingga persamaan (3) menjadi
∑
)̂ ]
(17)
dengan r adalah suku bunga tanpa risiko, t adalah waktu, dan ̂ gerak Brown dalam bentuk lain. Peramalan Selanjutnya dilakukan peramalan dengan menggunakan persamaan (17), dengan memisalkan suku bunga bebas risiko (r) sebesar 4,25%, diperoleh hasil peramalan harga saham sebagai berikut: (Lampiran 5)
Gambar 4 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Black-Scholes Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001.
10
3.4 Analisis Ketepatan Pemodelan Model Lévy dan Model Black-Scholes Validasi model diperlukan untuk melihat ketepatan model yang digunakan
untuk pendugaan, yaitu membandingkan antara data aktual dengan data peramalan yang dihasilkan oleh kedua model. (Lampiran 6).
Gambar 5 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy, Model Black-Scholes, dan Harga Saham Aktual dari Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001. Dari Gambar 5 dapat diketahui bahwa pola data aktual lebih mirip dengan model Black-Scholes dibandingkan dengan hasil peramalan menggunakan model Lévy yang cenderung fluktuatif. Hal ini terbukti dari nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari model Black-Scholes lebih kecil daripada nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari model Lévy. Nilai MAPE dari model Black-Scholes adalah 9,292%, sedangkan nilai MAPE dari model Lévy adalah 11,3484%. Semakin kecil nilai MAPE, hasil pendugaan lebih mendekati nilai aktual. Jadi dapat disimpulkan pendugaan menggunakan model Black-Scholes pada penutupan harga saham Bank of America Corporation lebih baik dari pada menggunakan model Lévy. Bagi investor, data hasil peramalan kedua model tersebut dapat digunakan untuk melihat pergerakan harga saham. Misalkan, dapat dilihat data hasil peramalan menggunakan model Black-Scholes pada
hari kelima terlihat bahwa harga saham turun maka investor membeli saham Bank of America Corporation. Pada hari kesepuluh harga saham naik, maka investor menjual sahamnya agar mendapatkan keuntungan dari harga penjualan tersebut. Dalam meramalkan harga suatu saham terlebih dahulu yang harus dilihat adalah pergerakan harga saham, apakah harga saham bergerak berfluktuasi ataukah stabil. Pergerakan harga saham yang berfluktuasi dengan pergerakan harga saham yang stabil membutuhkan model peramalan yang berbeda. Model Lévy lebih baik digunakan untuk memodelkan harga saham yang berfluktuasi (Gambar 3) sedangkan model Black-Scholes lebih baik digunakan untuk memodelkan harga saham yang stabil (Gambar 4). Oleh karena penutupan harga saham Bank of America Corporation bergerak stabil maka lebih baik dimodelkan menggunakan model Black-Scholes.
IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Penutupan harga saham dapat dimodelkan dengan menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes. Penutupan harga saham bersifat stokastik sehingga model Lévy dan model Black-Scholes dapat digunakan untuk memodelkan penutupan harga saham. Dari hasil pendugaan penutupan harga saham Bank of America Corporation menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes masing-masing menghasilkan nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yaitu 11,3484% untuk model Lévy, sedangkan untuk model Black-Scholes menghasilkan nilai Mean
Absolute Percentage Error (MAPE) yaitu 9,292%. Semakin kecil nilai MAPE, pendugaan lebih mendekati nilai aktual. Jadi pendugaan menggunakan model BlackScholes lebih tepat dibandingkan pendugaan menggunakan model Lévy. 4.2 Saran Penulis menyarankan untuk mengkaji lebih lanjut dari model Lévy dengan data penutupan harga saham lain yang memiliki tingkat volatility lebih tinggi, sehingga dapat meramalkan penutupan harga saham yang mendekati nilai aktual.
DAFTAR PUSTAKA Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Corporate Liabilities. Chicago: The University of Chicago Press. Bowerman BL, O’Connell RT. 1987. Time Series Forecasting. Inufied Concepts and Computer Implementation. 2nd edition. Boston : Duxbury Press. Eberlien E. 2001. Application of Generalized Hyperbolic Lévy Motions to Finance. http://www.stochastik.unifreiburg.de/homepages/eberlein/paper s/LévyProcesses-010124.pdf [26 September 2012]. Elliott RJ, Kopp PE. 2000. Mathematics of Financial Market. New York: Springer. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. New Jersey : Prentice Hall, Inc. Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2nd edition. Oxford : University Press.
Hull JC. 2006. Options, Futures, and Other Derivatives. 6th edition. New Jarsey : Pearson Education. http://finance.yahoo.com [25 November 2012]. Privault N. 2008. Note on Stochastic Finance. New York: University Press. Ross SM. 2003. Introduction to Probability Models. Burlington : Elsever, Inc. Tandelilin E. 2001. Analisis dan Manajemen Portofolio. Edisi Pertama. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta. Taylor HM, Karlin. 1998. An Introduction Stochastic Modelling. San Diego: Academic Press. Tisserand M. 2006. Exponential of Lévy Processes As a Stock Price Arbitrage Opportunities, Completeness and Derivatives Valuation. Berlin: University Press.
LAMPIRAN
14
Lampiran 1 Tabel Penutupan Harga Saham dan Return Bank of America Corporation Return ( )
02/03/2000
Close Price 45,06
Return ( ) -0,0110
03/03/2000
45,00
-0,0013
44
06/03/2000
44,50
-0,0112
0,0821
45
07/03/2000
44,00
-0,0113
48,69
-0,0265
46
08/03/2000
43,63
-0,0084
47,00
-0,0353
47
09/03/2000
43,06
-0,0132
11/01/2000
46,00
-0,0215
48
10/03/2000
42,88
-0,0042
8
12/01/2000
46,50
0,0108
49
13/03/2000
43,19
0,0072
No
Date
1
03/01/2000
Close Price 48,44
2
04/01/2000
45,56
-0,0613
3
05/01/2000
46,06
4
06/01/2000
5 6
No
Date
42 43
0,0109
50,00
07/01/2000 10/01/2000
7 9
13/01/2000
47,56
0,0225
50
14/03/2000
42,63
-0,0131
10
14/01/2000
50,50
0,0600
51
15/03/2000
45,88
0,0735
11
18/01/2000
48,00
-0,0508
52
16/03/2000
49,25
0,0709
12
19/01/2000
48,00
0,0000
53
17/03/2000
50,00
0,0151
13
20/01/2000
47,08
-0,0194
54
20/03/2000
49,63
-0,0074
14
21/01/2000
45,69
-0,0300
55
21/03/2000
51,00
0,0272
15
24/01/2000
44,56
-0,0250
56
22/03/2000
51,44
0,0086
16
25/01/2000
45,13
0,0127
57
23/03/2000
54,19
0,0521
17
26/01/2000
47,13
0,0434
58
24/03/2000
54,63
0,0081
18
27/01/2000
48,13
0,0210
59
27/03/2000
54,13
-0,0092
19
28/01/2000
45,75
-0,0507
60
28/03/2000
53,56
-0,0106
20
31/01/2000
48,44
0,0571
61
29/03/2000
52,00
-0,0296
21
01/02/2000
49,00
0,0115
62
30/03/2000
50,81
-0,0232
22
02/02/2000
47,75
-0,0258
63
31/03/2000
52,44
0,0316
23
03/02/2000
46,44
-0,0278
64
03/04/2000
55,50
0,0567
24
04/02/2000
45,88
-0,0121
65
04/04/2000
54,19
-0,0239
25
07/02/2000
45,31
-0,0125
66
05/04/2000
54,00
-0,0035
26
08/02/2000
47,13
0,0394
67
06/04/2000
53,44
-0,0104
27
09/02/2000
46,06
-0,0230
68
07/04/2000
52,31
-0,0214
28
10/02/2000
44,88
-0,0260
69
10/04/2000
52,81
0,0095
29
11/02/2000
45,19
0,0069
70
11/04/2000
52,34
-0,0089
30
14/02/2000
44,25
-0,0210
71
12/04/2000
54,56
0,0415
31
15/02/2000
45,63
0,0307
72
13/04/2000
52,81
-0,0326
32
16/02/2000
45,19
-0,0097
73
14/04/2000
49,94
-0,0559
33
17/02/2000
44,63
-0,0125
74
17/04/2000
50,31
0,0074
34
18/02/2000
43,75
-0,0199
75
18/04/2000
51,00
0,0136
35
22/02/2000
44,75
0,0226
76
19/04/2000
49,44
-0,0311
36
23/02/2000
45,75
0,0221
77
20/04/2000
49,56
0,0024
37
24/02/2000
44,81
-0,0208
78
24/04/2000
51,50
0,0384
38
25/02/2000
44,13
-0,0153
79
25/04/2000
53,44
0,0370
39
28/02/2000
45,94
0,0402
80
26/04/2000
51,75
-0,0321
40
29/02/2000
46,00
0,0013
81
27/04/2000
51,25
-0,0097
41
01/03/2000
45,56
-0,0096
82
28/04/2000
49,00
-0,0449
15
Return ( ) 0,0202
No
Date
01/05/2000
Close Price 50,00
30/06/2000
Close Price 43,00
Return ( ) -0,0552
126
02/05/2000
49,63
-0,0074
127
03/07/2000
45,00
0,0455
85
03/05/2000
49,00
-0,0128
128
05/07/2000
45,31
0,0069
86
04/05/2000
48,00
-0,0206
129
06/07/2000
45,81
0,0110
87
05/05/2000
88
08/05/2000
47,56
-0,0092
130
07/07/2000
47,44
0,0350
48,19
0,0132
131
10/07/2000
47,44
0,0000
89
09/05/2000
48,19
0,0000
132
11/07/2000
46,94
-0,0106
90
10/05/2000
46,50
-0,0357
133
12/07/2000
47,00
0,0013
91
11/05/2000
47,38
0,0187
134
13/07/2000
46,19
-0,0174
92
12/05/2000
48,59
0,0252
135
14/07/2000
47,50
0,0280
93
15/05/2000
50,63
0,0411
136
17/07/2000
46,88
-0,0131
94
16/05/2000
49,69
-0,0187
137
18/07/2000
46,25
-0,0135
95
17/05/2000
49,31
-0,0077
138
19/07/2000
46,19
-0,0013
96
18/05/2000
50,31
0,0201
139
20/07/2000
48,38
0,0463
97
19/05/2000
49,75
-0,0112
140
21/07/2000
48,75
0,0076
98
22/05/2000
50,25
0,0100
141
24/07/2000
47,44
-0,0272
No
Date
83 84
99
23/05/2000
52,56
0,0449
142
25/07/2000
48,25
0,0169
100
24/05/2000
55,94
0,0623
143
26/07/2000
47,06
-0,0250
101
25/05/2000
55,31
-0,0113
144
27/07/2000
46,75
-0,0066
102
26/05/2000
54,63
-0,0124
145
28/07/2000
46,50
-0,0054
103
30/05/2000
54,94
0,0057
146
31/07/2000
47,38
0,0187
104
31/05/2000
55,44
0,0091
147
01/08/2000
47,69
0,0065
105
01/06/2000
56,81
0,0244
148
02/08/2000
47,19
-0,0105
106
02/06/2000
61,00
0,0712
149
03/08/2000
49,06
0,0389
107
05/06/2000
59,25
-0,0291
150
04/08/2000
52,50
0,0678
108
06/06/2000
56,75
-0,0431
151
07/08/2000
52,38
-0,0023
109
07/06/2000
57,81
0,0185
152
08/08/2000
51,94
-0,0084
110
08/06/2000
56,75
-0,0185
153
09/08/2000
53,06
0,0213
111
09/06/2000
56,00
-0,0133
154
10/08/2000
53,44
0,0071
112
12/06/2000
56,47
0,0084
155
11/08/2000
54,06
0,0115
113
13/06/2000
55,69
-0,0139
156
14/08/2000
55,00
0,0172
114
14/06/2000
55,31
-0,0068
157
15/08/2000
54,31
-0,0126
115
15/06/2000
51,94
-0,0629
158
16/08/2000
53,50
-0,0150
116
16/06/2000
48,00
-0,0789
159
17/08/2000
53,56
0,0011
117
19/06/2000
48,38
0,0079
160
18/08/2000
53,75
0,0035
118
20/06/2000
48,50
0,0025
161
21/08/2000
53,88
0,0024
119
21/06/2000
47,63
-0,0181
162
22/08/2000
54,44
0,0103
120
22/06/2000
47,00
-0,0133
163
23/08/2000
54,06
-0,0070
121
23/06/2000
47,38
0,0081
164
24/08/2000
52,50
-0,0293
122
26/06/2000
47,94
0,0118
165
25/08/2000
51,75
-0,0144
123
27/06/2000
47,00
-0,0198
166
28/08/2000
51,69
-0,0012
124
28/06/2000
45,42
-0,0342
167
29/08/2000
50,88
-0,0158
125
29/06/2000
45,44
0,0004
168
30/08/2000
50,88
0,0000
16
Return ( ) 0,0517
No
Date
31/08/2000
Close Price 53,58
01/11/2000
Close Price 48,38
Return ( ) 0,0066
212
01/09/2000
52,50
-0,0204
213
02/11/2000
49,25
0,0178
171
05/09/2000
53,50
0,0189
214
03/11/2000
48,69
-0,0114
172
06/09/2000
53,63
0,0024
215
06/11/2000
51,06
0,0475
173
07/09/2000
174
08/09/2000
54,38
0,0139
216
07/11/2000
50,69
-0,0073
55,94
0,0283
217
08/11/2000
48,75
-0,0390
175
11/09/2000
56,56
0,0110
218
09/11/2000
49,75
0,0203
176
12/09/2000
57,00
0,0077
219
10/11/2000
48,38
-0,0279
177
13/09/2000
56,81
-0,0033
220
13/11/2000
47,44
-0,0196
178
14/09/2000
56,33
-0,0085
221
14/11/2000
45,88
-0,0334
179
15/09/2000
54,88
-0,0261
222
15/11/2000
42,00
-0,0884
180
18/09/2000
53,69
-0,0219
223
16/11/2000
41,88
-0,0029
181
19/09/2000
54,88
0,0219
224
17/11/2000
40,31
-0,0382
182
20/09/2000
53,81
-0,0197
225
20/11/2000
39,31
-0,0251
183
21/09/2000
53,00
-0,0152
226
21/11/2000
39,63
0,0081
184
22/09/2000
55,00
0,0370
227
22/11/2000
38,56
-0,0274
185
25/09/2000
55,00
0,0000
228
24/11/2000
39,31
0,0193
186
26/09/2000
53,81
-0,0219
229
27/11/2000
39,69
0,0096
187
27/09/2000
52,69
-0,0210
230
28/11/2000
40,50
0,0202
188
28/09/2000
54,00
0,0246
231
29/11/2000
40,69
0,0047
189
29/09/2000
52,38
-0,0305
232
30/11/2000
39,94
-0,0186
190
02/10/2000
53,06
0,0129
233
01/12/2000
39,75
-0,0048
191
03/10/2000
54,19
0,0211
234
04/12/2000
39,00
-0,0190
192
04/10/2000
52,75
-0,0269
235
05/12/2000
41,19
0,0546
193
05/10/2000
53,88
0,0212
236
06/12/2000
38,00
-0,0806
194
06/10/2000
51,63
-0,0427
237
07/12/2000
39,00
0,0260
195
09/10/2000
50,56
-0,0209
238
08/12/2000
40,88
0,0471
196
10/10/2000
48,69
-0,0377
239
11/12/2000
43,44
0,0607
197
11/10/2000
47,06
-0,0341
240
12/12/2000
43,44
0,0000
198
12/10/2000
44,56
-0,0546
241
13/12/2000
42,94
-0,0116
199
13/10/2000
46,56
0,0439
242
14/12/2000
42,31
-0,0148
200
16/10/2000
45,19
-0,0299
243
15/12/2000
41,81
-0,0119
201
17/10/2000
42,75
-0,0555
244
18/12/2000
43,50
0,0396
202
18/10/2000
42,19
-0,0132
245
19/12/2000
44,25
0,0171
203
19/10/2000
44,06
0,0434
246
20/12/2000
42,75
-0,0345
204
20/10/2000
43,75
-0,0071
247
21/12/2000
45,81
0,0691
205
23/10/2000
43,75
0,0000
248
22/12/2000
46,13
0,0070
206
24/10/2000
44,50
0,0170
249
26/12/2000
46,31
0,0039
207
25/10/2000
44,06
-0,0099
250
27/12/2000
46,81
0,0107
208
26/10/2000
43,38
-0,0156
251
28/12/2000
46,81
0,0000
209
27/10/2000
44,94
0,0353
252
29/12/2000
45,88
-0,0201
210
30/10/2000
47,00
0,0448
211
31/10/2000
48,06
0,0223
No
Date
169 170
17
Lampiran 2 Uji Normalitas Data Penutupan Harga Saham Bank of American Corporation dengan Kolmogorov-Smirnov Hipotesis H0 : Data berdistribusi normal H1 : Data tidak berdistribusi normal Tingkat signifikasi : Daerah kritis : H0 ditolak jika Statistik uji : Uji Kolmogorov-Smirnov Perhitungan : One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
N Normal Parameters(a,b) Most Extreme Differences
Mean Std. Deviation Absolute Positive Negative
Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed)
Saham 252 48,6730 4,5843 0,0650 0,0530 -0,0650 1,0330 0,2360
a Test distribution is Normal. b Calculated from data.
Kesimpulan : kerena (Asymp. Sig = 0,2360) maka dapat diambil kesimpulan bahwa data penutupan harga saham berdistribusi normal.
18
Lampiran 3 Hasil Analisis Data menggunakan Perangkat Lunak Regression Analysis: S-Zt versus t; Bt The regression equation is s-Zt = - 0,33 t + 0,0450 Bt Predictor Noconstant t Bt1
Coef
SE Coef
T
P
-0,329 0,0454
1,516 0,5724
-0,22 0,08
0,828 0,937
S = 9,56185 Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total
DF 2 250 252
SS 4,59 22857,26 22861,85
MS 2,30 91,43
F 0,03
P 0,975
19
Lampiran 4 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy
No
Date
t
Close Price
Mt
Bt
St
1
02/01/2001
0,0027
46,75
48,00
0,0000005
50,9991
2
03/01/2001
0,0055
49,94
50,00
0,0000000
49,9982
3
04/01/2001
0,0082
51,50
43,00
0,0000018
48,9973
4
05/01/2001
0,0110
48,00
49,00
-0,0000017
50,9964
5
08/01/2001
0,0137
48,25
47,00
-0,0000008
47,9955
6
09/01/2001
0,0164
47,00
54,00
-0,0000012
45,9946
7
10/01/2001
0,0192
48,56
52,00
-0,0000008
54,9937
8
11/01/2001
0,0219
49,44
40,00
-0,0000003
42,9928
9
12/01/2001
0,0247
49,06
47,00
0,0000013
57,9919
10
16/01/2001
0,0274
50,94
39,00
-0,0000031
51,9910
11
17/01/2001
0,0301
49,56
52,00
-0,0000007
49,9901
12
18/01/2001
0,0329
48,94
44,00
-0,0000004
48,9892
13
19/01/2001
0,0356
49,19
53,00
0,0000006
46,9882
14
22/01/2001
0,0384
50,38
45,00
-0,0000009
38,9873
15
23/01/2001
0,0411
50,38
52,00
-0,0000003
46,9864
16
24/01/2001
0,0438
51,06
69,00
-0,0000003
66,9855
17
25/01/2001
0,0466
51,50
49,00
-0,0000007
42,9846
18
26/01/2001
0,0493
53,19
58,00
-0,0000013
45,9837
19
29/01/2001
0,0521
54,02
58,00
0,0000007
48,9828
20
30/01/2001
0,0548
55,47
55,00
0,0000014
42,9819
21
31/01/2001
0,0575
53,82
57,00
0,0000020
49,9810
22
01/02/2001
0,0603
53,28
45,00
-0,0000007
47,9801
23
02/02/2001
0,0630
53,60
41,00
-0,0000018
62,9792
24
05/02/2001
0,0658
53,26
51,00
0,0000005
40,9783
25
06/02/2001
0,0685
50,96
54,00
-0,0000002
46,9774
26
07/02/2001
0,0712
49,50
57,00
-0,0000002
46,9765
27
08/02/2001
0,0740
48,75
50,00
0,0000019
48,9756
28
09/02/2001
0,0767
49,50
51,00
0,0000009
53,9747
29
12/02/2001
0,0795
50,06
46,00
-0,0000007
58,9738
30
13/02/2001
0,0822
50,24
53,00
-0,0000008
37,9729
31
14/02/2001
0,0849
50,80
39,00
-0,0000005
35,9720
32
15/02/2001
0,0877
50,89
41,00
0,0000010
42,9711
33
16/02/2001
0,0904
51,40
41,00
-0,0000001
46,9702
34
20/02/2001
0,0932
49,12
44,00
0,0000013
45,9693
35
21/02/2001
0,0959
47,75
51,00
-0,0000005
59,9684
36
22/02/2001
0,0986
48,25
49,00
-0,0000015
37,9675
37
23/02/2001
0,1014
49,14
44,00
0,0000003
46,9665
38
26/02/2001
0,1041
50,98
37,00
0,0000015
46,9656
39
27/02/2001
0,1068
51,43
34,00
0,0000000
35,9647
40
28/02/2001
0,1096
50,70
43,00
-0,0000006
47,9638
20
No
Date
t
Close Price
Mt
Bt
Xt
41
01/03/2001
0,1123
49,34
52,00
0,0000002
47,9629
42
02/03/2001
0,1151
49,05
42,00
0,000001
48,9620
43
05/03/2001
0,1178
49,08
44,00
0,0000007
44,9611
44
06/03/2001
0,1205
50,26
46,00
-0,000001
51,9602
45
07/03/2001
0,1233
52,75
58,00
0,0000003
54,9593
46
08/03/2001
0,1260
53,72
51,00
-0,0000004
41,9584
47
09/03/2001
0,1288
52,50
43,00
0,0000006
62,9575
48
12/03/2001
0,1315
51,62
38,00
0,0000009
59,9566
49
13/03/2001
0,1342
54,25
41,00
-0,0000005
54,9557
50
14/03/2001
0,1370
51,75
54,00
-0,0000022
43,9548
21
Lampiran 5 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Black-Scholes t
Close Price
̂
No
Date
St
1
02/01/2001
0,0027
46,75
0,0296
46,4983
2
03/01/2001
0,0055
49,94
0,0411
46,7377
3
04/01/2001
0,0082
51,50
0,0849
47,6765
4
05/01/2001
0,0110
48,00
-0,0671
44,4582
5
08/01/2001
0,0137
48,25
-0,1653
42,4930
6
09/01/2001
0,0164
47,00
0,0236
46,3310
7
10/01/2001
0,0192
48,56
-0,1434
42,9065
8
11/01/2001
0,0219
49,44
0,0177
46,1902
9
12/01/2001
0,0247
49,06
-0,0291
45,2013
10
16/01/2001
0,0274
50,94
0,2239
50,7557
11
17/01/2001
0,0301
49,56
0,0731
47,3550
12
18/01/2001
0,0329
48,94
-0,1353
43,0297
13
19/01/2001
0,0356
49,19
-0,0651
44,4300
14
22/01/2001
0,0384
50,38
-0,0141
45,4755
15
23/01/2001
0,0411
50,38
-0,0652
44,4133
16
24/01/2001
0,0438
51,06
-0,0102
45,5394
17
25/01/2001
0,0466
51,50
-0,0085
45,5684
18
26/01/2001
0,0493
53,19
0,1473
48,9350
19
29/01/2001
0,0521
54,02
0,1372
48,7022
20
30/01/2001
0,0548
55,47
0,1729
49,4959
21
31/01/2001
0,0575
53,82
0,0672
47,1467
22
01/02/2001
0,0603
53,28
0,1158
48,2016
23
02/02/2001
0,0630
53,60
0,0026
45,7544
24
05/02/2001
0,0658
53,26
-0,1479
42,6931
25
06/02/2001
0,0685
50,96
0,0325
46,3694
26
07/02/2001
0,0712
49,50
0,1092
48,0223
27
08/02/2001
0,0740
48,75
0,1215
48,2854
28
09/02/2001
0,0767
49,50
-0,0539
44,5450
29
12/02/2001
0,0795
50,06
-0,0212
45,2105
30
13/02/2001
0,0822
50,24
-0,0810
43,9796
31
14/02/2001
0,0849
50,80
0,1748
49,4465
32
15/02/2001
0,0877
50,89
0,0776
47,2817
33
16/02/2001
0,0904
51,40
-0,0733
44,1113
34
20/02/2001
0,0932
49,12
0,1578
49,0372
35
21/02/2001
0,0959
47,75
0,0634
46,9505
36
22/02/2001
0,0986
48,25
0,0981
47,6956
37
23/02/2001
0,1014
49,14
0,0425
46,4870
38
26/02/2001
0,1041
50,98
-0,0813
43,9131
39
27/02/2001
0,1068
51,43
-0,1537
42,4716
40
28/02/2001
0,1096
50,70
-0,2124
41,3350
22
t
Close Price
̂
No
Date
St
41
01/03/2001
0,1123
49,34
-0,0711
44,0967
42
02/03/2001
0,1151
49,05
0,0848
47,3559
43
05/03/2001
0,1178
49,08
-0,0809
43,8830
44
06/03/2001
0,1205
50,26
0,0504
46,5986
45
07/03/2001
0,1233
52,75
0,0849
47,3354
46
08/03/2001
0,1260
53,72
0,0092
45,7120
47
09/03/2001
0,1288
52,50
-0,1253
42,9696
48
12/03/2001
0,1315
51,62
-0,0464
44,5438
49
13/03/2001
0,1342
54,25
0,0672
46,9199
50
14/03/2001
0,1370
51,75
-0,1577
42,3131
23
Lampiran 6 Tabel Perbandingan Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes
Tanggal
Peramalan Levy
Black-Scholes
Data Aktual
02/01/2001
50,9991
46,4983
46,7500
03/01/2001
49,9982
46,7377
49,9400
04/01/2001
48,9973
47,6765
51,5000
05/01/2001
50,9964
44,4582
48,0000
08/01/2001
47,9955
42,4930
48,2500
09/01/2001
45,9946
46,3310
47,0000
10/01/2001
54,9937
42,9065
48,5600
11/01/2001
42,9928
46,1902
49,4400
12/01/2001
57,9919
45,2013
49,0600
16/01/2001
51,9910
50,7557
50,9400
17/01/2001
49,9901
47,3550
49,5600
18/01/2001
48,9892
43,0297
48,9400
19/01/2001
46,9882
44,4300
49,1900
22/01/2001
38,9873
45,4755
50,3800
23/01/2001
46,9864
44,4133
50,3800
24/01/2001
66,9855
45,5394
51,0600
25/01/2001
42,9846
45,5684
51,5000
26/01/2001
45,9837
48,9350
53,1900
29/01/2001
48,9828
48,7022
54,0200
30/01/2001
42,9819
49,4959
55,4700
31/01/2001
49,9810
47,1467
53,8200
01/02/2001
47,9801
48,2016
53,2800
02/02/2001
62,9792
45,7544
53,6000
05/02/2001
40,9783
42,6931
53,2600
06/02/2001
46,9774
46,3694
50,9600
07/02/2001
46,9765
48,0223
49,5000
08/02/2001
48,9756
48,2854
48,7500
09/02/2001
53,9747
44,5450
49,5000
12/02/2001
58,9738
45,2105
50,0600
13/02/2001
37,9729
43,9796
50,2400
14/02/2001
35,9720
49,4465
50,8000
15/02/2001
42,9711
47,2817
50,8900
16/02/2001
46,9702
44,1113
51,4000
20/02/2001
45,9693
49,0372
49,1200
21/02/2001
59,9684
46,9505
47,7500
22/02/2001
37,9675
47,6956
48,2500
23/02/2001
46,9665
46,4870
49,1400
26/02/2001
46,9656
43,9131
50,9800
27/02/2001
35,9647
42,4716
51,4300
28/02/2001
47,9638
41,3350
50,7000
24
Tanggal
Peramalan Levy
Black-Scholes
Data Aktual
01/03/2001
47,9629
44,0967
49,3400
02/03/2001
48,9620
47,3559
49,0500
05/03/2001
44,9611
43,8830
49,0800
06/03/2001
51,9602
46,5986
50,2600
07/03/2001
54,9593
47,3354
52,7500
08/03/2001
41,9584
45,7120
53,7200
09/03/2001
62,9575
42,9696
52,5000
12/03/2001
59,9566
44,5438
51,6200
13/03/2001
54,9557
46,9199
54,2500
14/03/2001
43,9548
42,3131
51,7500
MAPE
0,1135
0,0929
