PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL ARIMA-GARCH FITRIYAH

PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL ARIMA-GARCH

FITRIYAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

ABSTRAK FITRIYAH. Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model ARIMA-GARCH. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan HADI SUMARNO. Saham adalah nilai dengan berbagai instrumen finansial yang mengacu pada bagian kepemilikan sebuah perusahaan. Keuntungan yang menarik merupakan alasan seorang investor berinvestasi. Pergerakan harga saham berkaitan dengan faktor ketidakpastian sehingga investor harus terlebih dahulu mempertimbangkan dengan baik sebelum berinvestasi agar risiko yang ditanggung tidak terlalu besar. Pergerakan harga saham yang selalu berfluktuasi atau tidak berbentuk linear sehingga diperlukan metode khusus untuk memodelkan secara matematis. Model autoregressive integrated moving average (ARIMA) merupakan salah satu model yang menyatakan bahwa data saat sekarang dipengaruhi oleh data sebelumnya dan sisaan sebelumnya. Di sektor ekonomi, volatilitas yang tinggi menyebabkan munculnya masalah heteroskedastisitas yaitu di mana varian dari sisaan tidak konstan. Oleh karena itu, peramalan dengan menggunakan model ARIMA saja tidak cukup. Untuk itu diperlukan pemodelan ragam dengan model generalized autoregressive conditional heteroscedasticity (GARCH) untuk menyelesaikan masalah heteroskedastisitas. Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah memodelkan harga saham menggunakan model ARIMA dan menyelesaikan keberadaan masalah heteroskesdasitisitas yang terjadi dengan menggunakan model ARIMA-GARCH. Hasil pemodelan yang didapatkan dari model ARIMAGARCH adalah ragam dari sisaan sudah konstan. Ini berarti model ARIMA-GARCH dapat menyelesaikan masalah heteroskedastisitas. Kata kunci: harga saham, heteroskedastisitas, ARIMA, GARCH.

ABSTRACT FITRIYAH. Stock Price Modelling Using ARIMA-GARCH Model. Under supervision of RETNO BUDIARTI and HADI SUMARNO. The stock is a value of financial instrument, which refers to the ownership of a company. An interesting advantage is the reason why an investor invests. The price movement of stocks are related to some uncertain factors, such that investors should first consider well before investing in order to limit the risk. Stock price are always fluctuating so that they require special method to model mathematically. Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model defines that present data are influenced by earlier data and error. In economic sectors, high volatility tends to cause a problem of heteroscedasticity, i.e. nonconstant variance of error. Therefore, the use of an ARIMA model alone is not enough. The application of the generalized autoregressive conditional heteroscedasticity (GARCH) model to resolve the problem of heteroscedasticity is therefore recommended. The purpose of this paper is to model stock prices using ARIMA model and to solve heteroscedasticity using the ARIMA-GARCH model. The result of simulation show that ARIMAGARCH model gives constant variance. This means that ARIMA-GARCH model can solve the problem of heteroscedasticity. Keywords: stock price, heteroscedasticity, ARIMA, GARCH.

PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL ARIMA-GARCH

FITRIYAH

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

Judul Skripsi

: Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model ARIMA-GARCH

Nama

: Fitriyah

NIM

: G54080073

Menyetujui Pembimbing I

Pembimbing II

Ir. Retno Budiarti, MS. NIP. 19610729 198903 2 001

Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. NIP. 19590926 198501 1 001

Mengetahui Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus : ............................................................

PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan doa, moril dan materiil dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih kepada : 1 Keluarga penulis, Ayah, Ibu dan kakak-adik (Siti Khoirunnisa, Nur Sakinah, Muhamad Kholiq) beserta keluarga besar saya atas doa dan dukungan tiada henti yang diberikan sejak penulis menimba ilmu di IPB, 2 Ir. Retno Budiarti, MS. dan Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen pembimbing atas waktu dan bimbingannya selama penulis menyelesaikan karya ilmiah ini, 3 Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku moderator seminar dan penguji sidang tugas akhir, 4 seluruh dosen TPB dan Departemen Matematika FMIPA IPB atas ilmu dan pengalaman berharga yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di IPB, 5 seluruh staf/pegawai Departemen Matematika IPB yang telah membantu memperlancar kelengkapan administrasi dan membantu kelengkapan bahan karya ilmiah ini, 6 Teman-teman matematika 45: Putri, Nurul, Yunda, Dewi, Maya, Ana, Tya, Fuka, Fina, Ade dan seluruh teman mahasiswa matematika angkatan 45, 7 Kakak-kakak Matematika angkatan 44: Kak Shelvi, Kak Aswin, Kak Imam, Kak Mutia, Kak Della dkk atas bantuan serta dukungannya, 8 Adik-adik Matematika 46: Sevira, Widya dkk atas semangat serta dukungannya, 9 sahabat terbaik : Yayuk, Susan dan Nanda, 10 seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Penulis menyadari karya ilmiah ini belum sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun dibutuhkan dari para pembaca. Akhir kata, semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan dapat menginspirasi kita semua khususnya untuk kemajuan ilmu Matematika.

Bogor, Desember 2012

Fitriyah

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di kota Jakarta pada tanggal 27 April 1991 sebagai anak ketiga dari empat bersaudara, dari pasangan Sahid dan Sumarni. Pada tahun 2002, penulis lulus dari SD Raflesia Raya I Kota Bekasi. Pada tahun 2005, penulis lulus dari SMP Negeri 272 Kota Jakarta. Pada tahun 2008, penulis lulus dari SMA Negeri 62 Kota Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada beberapa lembaga kemahasiswaan IPB dan kepanitiaan, di antaranya anggota Koperasi Mahasiswa IPB sebagai bendahara E-ship periode 2009/2010, tim danus Leadership Training-Pesta Sains Nasional 2009, tim dekdok Pesta Sains Nasional 2010 dan tim dekdok Pesta Sains Nasional 2011.

viii

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR .................................................................................................... viii DAFTAR TABEL......................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................. viii 1

2

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ................................................................................................... 1.2 Tujuan ............................................................................................................... 1.3 Sistematika Penulisan ........................................................................................

1 1 1

LANDASAN TEORI 2.1 Berbagai Definisi ............................................................................................... 2.1.1 Ruang Contoh ........................................................................................... 2.1.2 Peubah Acak ............................................................................................. 2.1.3 Peubah Acak Kontinu ................................................................................ 2.1.4 Fungsi Sebaran .......................................................................................... 2.1.5 Fungsi Kepekatan Peluang ......................................................................... 2.1.6 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu ......................................................... 2.1.7 Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu ................................... 2.1.8 Sebaran Normal ........................................................................................ 2.2 Definisi Dasar Deret Waktu ................................................................................ 2.2.1 Strict Stationarity ...................................................................................... 2.2.2 Covarian Stationarity ................................................................................ 2.2.3 Autocorrelation Function .......................................................................... 2.2.4 White Noise ............................................................................................... 2.2.5 Strict White Noise ...................................................................................... 2.3 Proses Analisis untuk Data Deret Waktu ............................................................. 2.3.1 Tren dan Kestasioneran ............................................................................. 2.4 Model Deret Waktu ARIMA .............................................................................. 2.4.1 Model ARMA (p,q) ................................................................................... 2.4.2 Model ARIMA (p,d,q) ............................................................................... 2.4.3 Metode Box dan Jenkins ............................................................................ 2.5 Model Ragam Sisaan ARCH .............................................................................. 2.6 Model Ragam Sisaan GARCH............................................................................ 2.6.1 Pengepasan Model GARCH pada Data ......................................................

1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6

3

HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Data ................................................................................................................... 8 3.2 Model ARIMA ................................................................................................... 8 3.3 Model ARIMA-GARCH ................................................................................... 11 3.4 Peramalan .......................................................................................................... 13

4

SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan............................................................................................................ 14 4.2 Saran ................................................................................................................. 14 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 15 LAMPIRAN ................................................................................................................. 16

vii

viii

DAFTAR GAMBAR Halaman 1

Plot harga saham Sharp Corp.dari 3 Januari 2011 s.d. 14 Maret 2012 ...............................

8

2

Plot ACF saham Sharp Corp. ..........................................................................................

8

3

Plot PACF saham Sharp Corp. .........................................................................................

9

4

Plot setelah pembedaan satu kali ......................................................................................

9

5

Plot ACF dari saham dengan pembedaan satu kali ............................................................

9

6

Plot PACF dari saham dengan pembedaan satu kali ..........................................................

9

7

Plot kenormalan sisaan ................................................................................................... 10

8

Plot sisaan terhadap waktu ............................................................................................... 10

9

Plot residual ACF (RACF) ............................................................................................... 11

10

Plot residual PACF (RPACF)........................................................................................... 11

11

Plot kenormalan sisaan .................................................................................................... 12

12

Plot data harga saham aktual dengan data ramalan ............................................................ 13

DAFTAR TABEL 1

Tabel alternatif model ARIMA tentatif ............................................................................ 10

2

Tabel hasil analisis model ARIMA-GARCH ................................................................... 12

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1

Data penutupan saham Sharp Corp. harian selama 3 Januari 2011 s.d. 14 Maret 2012 ...... 17

2

Output uji ADF pada data asli .......................................................................................... 19

3

Output uji ADF setelah pembedaan satu kali .................................................................... 19

4

Output model ARIMA (2,1,5) ......................................................................................... 20

5


6


7

Output model ARIMA (2,1,5)-GARCH (0,2) .................................................................. 22

8


9


10

Output dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,5) ..................................................................... 25

11

Output dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) ............................................... 25

12

Output dari uji normalitas pada sisaan baku ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) ..................... 25

13

Data peramalan selama 50 hari ke depan ......................................................................... 26

viii

1

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Bursa saham merupakan salah satu tempat kegiatan jual beli saham dalam sektor ekonomi. Saham adalah nilai atau pembukuan dengan berbagai instrumen finansial yang mengacu pada bagian kepemilikan sebuah perusahaan. Keuntungan yang menarik merupakan alasan seorang investor berinvestasi. Pergerakan harga saham berkaitan dengan faktor ketidakpastian sehingga investor harus terlebih dahulu mempertimbangkan dengan baik sebelum berinvestasi agar risiko yang ditanggung tidak terlalu besar. Pergerakan harga saham yang naik turun disebabkan oleh permintaan dan penawaran atas saham tersebut. Semakin banyak investor yang membeli saham maka pergerakan harga saham akan cenderung naik. Sebaliknya, jika banyak investor yang menjual saham maka pergerakan harga saham akan cenderung turun. Namun pada kenyataannya, pergerakan harga saham tidak ada yang terus-menerus naik atau terusmenerus turun. Pergerakan harga saham yang selalu berfluktuasi atau tidak berbentuk linear sehingga diperlukan metode khusus untuk memodelkan secara matematis. Peramalan harga saham sangat dibutuhkan bagi para pelaku perdagangan saham, dimana besar keuntungan dari perdagangan tersebut memiliki risiko kerugian yang sama besar pula. Oleh karena itu, peramalan harga saham yang akurat diharapkan pelaku perdagangan saham akan memiliki risiko yang lebih kecil. Pada kenyataannya, data di sektor keuangan sangat tinggi volatilitasnya. Kondisi tersebut menyebabkan terjadi masalah heteroskedastisitas dimana ragam sisaan tidak konstan. Oleh karena itu, peramalan dengan model ARIMA saja belum cukup. Sehingga diperlukan peramalan menggunakan model ARIMA-

GARCH dimana heteroskedastisitas diperhitungkan. Selain memodelkan harga saham, dibutuhkan pula peramalan harga saham untuk memperoleh keuntungan yang maksimal. Bagi perusahaan, peramalan harga saham sangat dibutuhkan untuk meminimalkan risiko yang akan dihadapi dalam sebuah pengambilan keputusan. Sedangkan bagi investor, peramalan harga saham merupakan salah satu pertimbangan yang penting untuk melakukan investasi sehingga peramalan harga saham dibutuhkan untuk mengetahui fluktuasi harga saham yang ada di perusahaan tersebut ke depannya. Ide karya ilmiah berasal dari tulisan Teguh Santoso pada tahun 2011 yang berjudul “Aplikasi Model GARCH pada Data Inflasi Bahan Makanan Indonesia Periode 2005.1-2010.6”. Karya ilmiah ini menggunakan model ARIMA-GARCH dengan aplikasi yang berbeda yaitu memodelkan harga saham. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan utama dari penulisan karya ilmiah ini adalah 1. memodelkan harga saham menggunakan model ARIMA, 2. menyelesaikan keberadaan masalah heteroskesdasitisitas yang terjadi dengan menggunakan model ARIMA-GARCH. 1.3 Sistematika Penulisan Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga dilakukan pemodelan harga saham dengan melakukan model ARIMA-GARCH untuk menyelesaikan masalah heteroskedastisitas. Pada bab empat akan dipaparkan simpulan serta saran dari karya ilmiah ini.

II LANDASAN TEORI 2.1 Berbagai Definisi Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat

diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. (Ross 2003)

12

2.1.1 Ruang Contoh Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett & Stirzaker1992) 2.1.2 Peubah Acak Suatu peubah acak (random variable) adalah suatu fungsi : Ω → dengan sifat bahwa { Ω; ( ) ≤ } ℱ , untuk setiap , dengan ℱ adalah sebuah medandari suatu ruang contoh Ω. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X,Y,Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x,y,z. (Grimmett & Stirzaker1992) 2.1.3 Peubah Acak Kontinu Peubah acak X dikatakan kontinu jika sehingga fungsi sebaran ada fungsi dapat dinyatakan sebagai ( )=

( )

,

∈ ℝ, dengan ∶ ℝ → [0, ∞) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak X. (Grimmett & Stirzaker1992) 2.1.4 Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi : ℝ → [0, 1] yang dinyatakan sebagai ( ) = ( ≤ ). (Grimmett & Stirzaker1992)

2.1.6 Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang adalah ( )=

( )

,

asalkan integral di atas konvergen. (Grimmett & Stirzaker1992) Lema 1 (Sifat Nilai Harapan) Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: 1. Jika k adalah suatu konstanta, maka ( )= . 2. Jika k adalah suatu konstanta dan V adalah peubah acak, maka ( )= ( ). 3. Jika , adalah konstanta dan , adalah suatu peubah acak, ( )= + maka ( )+ ( ). (Hogg & Craig 1995) 2.1.7 Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan ( ) = adalah nilai harapan dari , dengan fungsi kepekatan peluang ( ), maka ragam (variance) dan simpangan baku (standard deviation) dari X dinotasikan dengan Var(X) dan sama dengan ( ) = [( − ) ] ∞

2.1.5 Fungsi Kepekatan Peluang Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi ( )= ( ≤ ) sebaran dapat diekspresikan sebagai ( )=

( )

,

untuk suatu fungsi ∶ → [0, ∞] yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi = disebut juga fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi . (Grimmett & Stirzaker1992)

=

( − )

( )

∞

dan =

[( − ) ]. (Ghahramani 2005)

Lema 2 (Sifat Ragam) Beberapa sifat dari ragam, antara lain : 1. Jika suatu konstanta, maka ( )= ( ).

13

2.

Jika suatu konstanta dan , adalah peubah acak, maka ( )= + ( )+ ( )+ ( ) 2 − − (

) . (Ghahramani 2005)

2.1.8 Sebaran Normal Misalkan diberikan peubah acak . Peubah acak dikatakan menyebar normal dengan rata-rata dan ragam jika memiliki fungsi kepekatan peluang (probability density function) sebagai berikut: ( )=

1

(

) /(

√2

)

1

.

√2

(Grimmett & Stirzaker1992) 2.2 Definisi Dasar Deret Waktu Strict stationarity Deret waktu ( ) ∈ dikatakan strict stationarity jika ,…, untuk semua ℤ.

= ,…,

,…, ,

,

)=

( ) ( )

,

∀ℎ ∈ ℤ.

(McNeil et al. 2005) 2.2.3 White noise Proses ( ) ∈ dikatakan proses white noise jika covarian stationary dengan fungsi autokorelasi (ℎ) =

1, 0,

ℎ=0 . ℎ≠0

Proses white noise yang dipusatkan untuk memiliki rata-rata 0 dengan ragam = ( ) akan dinotasikan dengan WN (0, ). (McNeil et al. 2005)

.

Sebaran normal yang memiliki nilai ratarata 0 dan ragam 1 disebut sebaran normal baku. Misalkan peubah acak menyebar normal baku, maka memiliki fungsi kepekatan peluang ( )=

(ℎ) = (

ℤ dan untuk semua (McNeil et al. 2005)

2.2.1 Covarian stationarity Deret waktu ( ) ∈ dikatakan covarian stationarity jika ( )= , ( , ) = ( + , + ). (McNeil et al. 2005) 2.2.2 Autocorelation Function (ACF) Autocorelation funcion (ACF), (ℎ), dari proses covarian stationary ( ) ∈ adalah

2.2.4 Strict White Noise (SWN) Proses ( ) ∈ merupakan proses strict white noise jika merupakan deret yang iid, peubah acak dengan ragam berhingga. Proses strict white noise (SWN) yang dipusatkan untuk mendapatkan rata-rata 0 dengan ragam akan dinotasikan SWN(0, ). (McNeil et al. 2005) 2.3 Proses Analisis untuk Data Deret Waktu Dalam analisis data deret waktu, proses baku yang harus dilakukan adalah 1. Memetakan nilai data terhadap waktu, hal ini dilakukan untuk menelaah kestasioneran data, sebab jika data tidak stasioner maka harus distasionerkan melalui proses stasioneritas. 2. Menggambarkan fungsi autokorelasi untuk menelaah apakah autokorelasi signifikan atau tidak, dan perlu-tidaknya proses diferensi dilakukan. Jika autokorelasi data tidak signifikan, analisis data cukup menggunakan analisis regresi sederhana data atas waktu, sedangkan jika signifikan harus menggunakan analisis regresi deret waktu. Jika data ditransformasikan, maka proses pemetaan data dan penggambaran korelogram, sebaiknya dilakukan juga pada data hasil transformasi, untuk menelaah apakah proses transformasi ini sudah cukup baik dalam upaya menstasionerkan data. 3. Jika dari korelogram disimpulkan bahwa autokorelasi signifikan, maka bangun model regresi deret waktunya,

14

4.

dan lakukan penaksirannya baik dalam kawasan waktu maupun kawasan frekuensi. Lakukan proses peramalan dengan metode yang sesuai dengan kondisi datanya, dan untuk mendapatkan hasil yang memuaskan, digunakan metode Box-Jenkins . (Mulyana 2004)

2.3.1 Tren dan kestasioneran Tren adalah komponen data deret waktu yang menunjukkan peningkatan atau penurunan dalam jangka panjang selama periode waktu yang diamati. Sebagai contoh data dengan tren diindikasikan antara lain dengan koefisien autokorelasi beberapa beda kala pertama tinggi dan berbeda dengan nol secara signifikan, lalu turun mendekati nol saat deret meningkat. Data dengan tren berarti data tidak stasioner.Data yang stasioner adalah data dengan rataan dan ragam konstan sepanjang waktu pengamatan. Data ini dicirikan oleh koefisien autokorelasi pada beberapa beda kala pertama mendekati nol atau tidak terdapat autokorelasi antar deret. (Firdaus 2006) 2.4 Model Deret Waktu ARIMA Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Pada model ini terjadi proses Autoregressive (AR) berordo- atau proses Moving Average (MA) berordo-q atau merupakan kombinasi keduanya. Pembeda berordo-d dilakukan jika data deret waktu bersifat non-stasioner, padahal aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA menghendaki data yang stasioner. Bentuk umum model ARIMA ( , , ) adalah ( )(1 − )

= parameter yang menjelaskan MA = (1 −

−⋯−

)

= sisaan acak pada waktu ke-t yang diasumsikan menyebar normal bebas stokastik = operator backshift =

.

Jika ditetapkan nilai = 0 model tersebut menjadi model autoregressive ordo yang disingkat AR( ). Sebaliknya jika ditentukan bahwa = 0 , menjadi model moving average ordo yang disingkat MA( ). (Cryer 1986) 2.4.1 Model ARMA (p,q) Model ARMA (p,q) adalah model yang menyatakan bahwa data pada periode sekarang dipengaruhi oleh data p-periode sebelumnya dan q-periode sebelumnya. Model umum ARMA (p,q) adalah =∅ + ⋯+ ∅ + + − − ⋯− −∅ − ⋯− = + − − ⋯−  Model ARMA (1,1) −∅

=

+

−

Dengan operator pembeda, yaitu = maka −∅ (1−∅

)

=

+

−

=

+ (1 −

) .

= proses AR

proses MA

dengan = derajat autoregressive (AR) = derajat pembeda = derajat moving average (MA) = waktu

2.4.2 Model ARIMA (p,d,q) Model ARMA (p,q) yang masih belum stasioner sehingga diperlukan pembedaan d kali.  Model ARIMA (1,1,1) (1−∅ ) ) = + (1 − dimana

= peubah acak ke-t

=

−

= parameter yang menjelaskan AR

=

−

= (1 −

= (1 − )

−⋯−

)

15

nyata , maka dapat disimpulkan bahwa model tidak layak. Persamaan statistik uji Q Box-Pierce menurut Makridaskis et al. (1983) adalah:

sehingga (1 − )(1−∅ beda satu kali

)

=

proses AR

+ (1 −

) .

proses MA =( − )

(Makridakis et al. 1999) 2.4.3 Metode Box dan Jenkins Metode yang biasa digunakan dalam pembuatan model Autoregressive Moving Average (ARMA) adalah metode Box dan Jenkins (Makridaskis et al. 1983) dengan prosedur sebagai berikut: 1. Identifikasi model: Identifikasi model beranjak dari struktur data yang bersifat stasioner. Dari data yang stasioner dapat diperoleh model sementara dengan mengamati fungsi korelasi diri / autocorrelation function (ACF) dan fungsi korelasi diri parsialnya / Partial autocorrelation function (PACF). Ordo proses AR dapat ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri parsial (PACF) yang tidak nol. Sedangkan ordo proses MA ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri (ACF) pertama yang tidak nol (Bowerman & O’Connel 1987). Identifikasi proses ARMA dari plot autokorelasi dan plot korelasi parsialnya. 2. Pendugaan parameter: Banyaknya parameter yang akan diduga bergantung pada banyaknya koefisien model awal. Penduga parameter dikatakan berpengaruh jika nilai mutlak yang berpadanan dengan parameter tersebut lebih besar daripada nilai- tabel pada taraf nyata /2 berderajat bebas minus banyaknya parameter (Bowerman & O’Connel 1987). 3. Diagnostik model: Statistik uji Q BoxPierce dapat digunakan untuk menguji kelayakan model, yaitu dengan menguji apakah sekumpulan korelasi diri untuk nilai sisa tersebut tidak nol. Statistik uji Q Box-Pierce menyebar mengikuti sebaran dengan derajat bebas ( − − ), dimana adalah lag maksimum yang diamati, adalah ordo AR, dan adalah ordo MA. JIka nilai Q lebih besar nilai ( − − ) untuk tingkat kepercayaan tertentu atau nilai peluang statistik Q lebih kecil dari taraf

dengan = nilai korelasi diri pada lag ke= banyaknya amatan pada data awal = ordo pembedaan = lag maksimum 4.

Peramalan: Peramalan merupakan suatu proses untuk memperoleh data beberapa periode waktu ke depan. Untuk memperoleh sejauh periode ke depan dari titik waktu ke , maka dipilih satu model yang memiliki nilai Kuadrat Tengah Galat (KTG) minimum. Perhitungan dilakukan secara rekursif, yaitu menghitung peramalan satu periode kemudian dua periode, dan seterusnya sampai periode ke depan.

Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung Mean Absolute Percentage Error (MAPE), dengan rumus sebagai berikut: ∑ MAPE =

|

−

| x 100.

Dengan adalah pengamatan pada waktu ke- dan adalah ramalan pada waktu ke- . Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual. (Makridaskis et al. 1983) 2.5 Model Ragam Sisaan ARCH Model Autoregressive Conditionally Heteroscedastic (ARCH) diperkenalkan oleh Engle pada tahun 1982. Modifikasi model AR (p) dengan mentransformasi sisaan menjadi bentuk sisaan kuadrat menghasilkan model ARCH. Diberikan ( ) ∈ yang SWN(0,1). Proses ( ) ∈ adalah proses ARCH (p) jika strictly stationary dan memenuhi persamaan sisaan dan ragam sebagai berikut

61

= =

+

untuk semua ∈ ℤ dimana α > 0 dan α ≥ 0, i = 1, … , p. 2.6 Model Ragam Sisaan GARCH Pada tahun 1986, Bollerslev dan Taylor membuat bentuk umum dari ARCH dengan maksud menghindarkan struktur lag ragam sisaaan yang panjang pada model ARCH yang dibuat Engle. Model ini dikenal dengan Generalized Autoregressive Conditionally Heteroscedastic (GARCH). Diberikan ( ) ∈ yang SWN (0,1). Proses ( ) ∈ adalah proses GARCH (p,q) jika proses tersebut adalah strictly stationary dan jika memenuhi, untuk semua ∈ ℤ dan beberapa nilai positif sempurna yang mengolah ( ) ∈ , persamaan sisaan dan ragamnya adalah = σ

=α +

α

+

β

dimana > 0, ≥ 0, = 1, … , dan ≥ 0, = 1, … , (McNeil et al. 2005) 2.6.1 Pengujian Model Ragam Sisaan GARCH Pada model ARIMA asumsi ragam dari ( )= . sisaan harus konstan dimana Jika terjadi pelanggaran dari asumsi tersebut dimana ragam sisaan tidak konstan yaitu ( )= maka model tersebut masih mengandung masalah heteroskedasitisitas sehingga perlu pemodelan ragam sisaan dengan GARCH untuk menyelesaikannya. Keberadaan heteroskedastisitas dapat dideteksi dengan uji LM yaitu

dengan ∑ ∑

( (

2.6.2 Pengepasan Model GARCH pada Data Untuk melakukan pengepasan model GARCH pada data diperlukan tiga tahap. Tiga tahap tersebut adalah membangun kemungkinan, mendapat estimasi parameter dan memeriksa model. Menduga kemungkinan Dalam prakteknya, pendekatan yang paling banyak digunakan untuk pengepasan model GARCH pada data adalah maximum likelihood. Dengan menganggap pada pengepasan model ARCH (1) dan GARCH (1,1) sebagai pengepasan umum dari model ARCH (p) dan GARCH (p, q), model akan lebih sederhana. Untuk model ARCH (1) dan GARCH (1,1) anggap mempunyai total dari n+1 data nilai , , … , . Berdasarkan hal tersebut, fungsi kepekatan bersama dari peubah acak yang sesuai dapat ditulis seperti ) ,…, ( , … , =

( )

|

….,

Model GARCH (p,q) n+p nilai data ,…, , ,…, . bersyarat di nilai , … , serta nilai , … , . Sehingga menjadi (

; )=

1

( |

,…,

).

dianggap memiliki yang berlabel Evaluasi peluang teramati dari tak teramati dari peluang bersyarat −

dimana σ mengikuti spesifikasi GARCH dan mengikuti spesifikasi ARMA. (McNeil et al. 2005)

=

=

( )= Jika > maka yang berarti masih ada heteroskedastisitasdimana = banyaknya data = banyaknya data periode sebelumnya yang memengaruhi data sekarang = besarnya kontribusi keragaman yang dapat dijelaskan data deret waktu sebelumnya. (Simanjutak 2009)

− ̅) . − ̅)

17

Mendapatkan estimasi parameter Anggap fungsi likelihood sebagai berikut (

; )=

( ;

1

)=

sehingga (

1

; )=

√2 1

=

∑

(2 ) ( (

)

)

(

=

)=

(Myers & Milton 1991) Memeriksa model Seperti model ARMA, memeriksa kecocokan model GARCH menggunakan sisaan juga. Dengan menganggap model umum ARMA-GARCH dari bentuk − = = . Model dibedakan antara sisaan unstandardized dan standardized. Yang pertama adalah sisaan ̂ , … , ̂ dari bagian model ARMA. Selanjutnya realisasi yang direkonstruksi dari SWN yang diasumsikan mendorong bagian model GARCH, dan dihitung dari sebelumnya dengan

ℯ

√2π

( ;

) =

=−

2 −

2

−

2

1 2

Kemudian akan dicari nilai parameter dengan menggunakan turunan ( ) = 0. (

↔−

)

+

=−

(

↔− +

↔

∑

2

)

+

2(

.

)

dengan ( ;

= ∑

)

=0

=0

=0

= .

Sehingga penaksir maksimum likelihood dari adalah :

̂

=

+

̂

+

.

Untuk menggunakannya, perlu beberapa nilai awal yang satu solusinya adalah untuk menetapkan nilai awal ε sama dengan nol dan nilai awal volatilitas σ sama dengan ragam contoh atau nol. Karena beberapa nilai pertama akan dipengaruhi oleh nilai awal, serta nilai awal diperlukan untuk menghitung sisaan unstrandardized maka mungkin analisis selanjutnya akan diabaikan. Sisaan standardized harus seperti SWN yang dapat diteliti dengan membangun correlograms sisaan baku. Dengan mengasumsikan bahwa hipotesis SWN tidak ditolak, validitas distribusi yang digunakan dalam pengepasan ML juga dapat diselidiki menggunakan QQplots dan goodness-of-fit test untuk sebaran normal atau sebaran-t. (McNeil et al. 2005)

8

III PEMBAHASAN

3.1 Data Data yang digunakan adalah data dari harga penutupan saham Sharp Corp. dari tanggal 3 Januari 2011 hingga 14 Maret 2012 (www.finance.yahoo.com). Data tersebut terdapat pada Lampiran 1. Pengujian akan dilakukan dengan analisis deret waktu. Data penutupan harga saham yang didapatkan kemudian diplotkan dapat dilihat pada Gambar 1.

= derajat autoregressive (AR) = derajat pembeda = derajat moving average (MA) = waktu = parameter yang menjelaskan AR = (1 −

− ⋯−

)

= parameter yang menjelaskan MA Time Series Plot of saham

= (1 −

12

−⋯−

)

11

= sisaan acak pada waktu ke- yang

saham

10

diasumsikan menyebar normal bebas

9 8

stokastik

7

= operator backshift

6 30

60

90

120

150 waktu

180

210

240

270

300

Gambar 1 Plot harga saham Sharp Corp. dari 1 Januari 2011 hingga 14 Maret 2012. Data penutupan harga saham tersebut dibagi menjadi dua, yaitu data untuk pemodelan dan data untuk peramalan. Data untuk pemodelan adalah data penutupan harga saham selama tahun 2011, sedangkan data untuk peramalan adalah data penutupan harga saham awal tahun 2012. 3.2 Model ARIMA Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) atau biasa disebut dengan metode Box-Jenkins merupakan metode peramalan yang sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek. ARIMA menganalisis data deret waktu dengan menggunakan nilai masa lalu dari nilai variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat dengan mengabaikan variabel independennya dengan asumsi ragam sisaannya konstan. Model umum ARIMA ( , , ) adalah ( )(1 − ) = ( )

=

.

Model umum ARIMA ( , , ) menyatakan bahwa data periode sekarang dipengaruhi oleh data periode sebelumnya dan nilai sisaan pada periode sebelumnya. Jika data tidak stasioner maka dilakukan pembedaan untuk membuat data stasioner dalam rata-rata. Untuk mengetahui apakah data tersebut dapat diprediksi dengan menggunakan masa lalu, maka harus melihat sifat pergerakan saham perusahaan tersebut stasioner atau tidak. Untuk mengetahui kestasioneran dari pergerakan saham, dilakukan dengan melihat plot dari korelasi diri (ACF) dan plot korelasi diri parsial (PACF). Hasil plot ACF dan PACF terdapat pada Gambar 2 dan Gambar 3.

Autocorrelation Function for saham (with 5% significance limits for the autocorrelations) 1.0 0.8 0.6 A utocorrelation

1

0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

dengan = harga penutupan saham pada waktu ke-t

1

5

10

15

20

25

30 Lag

35

40

45

50

55

60

Gambar 2 Plot ACF saham Sharp Corp.

9

Time Series Plot of d=1

Partial Autocorrelation Function for saham (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

0.50 1.0

0.25

0.6 0.4 0.2

d=1

Partial Autocorrelation

0.8

0.0

0.00

-0.25

-0.2 -0.4 -0.6

-0.50

-0.8 -1.0

-0.75 5

10

15

20

25

30 Lag

35

40

45

50

55

Gambar 3 Plot PACF saham Sharp Corp. Pada plot ACF (Gambar 2) menunjukkan pola dies down atau turun secara eksponensial dan plot PACF (Gambar 3) yang menunjukkan pola terputus setelah lag1. Menurut Wei (1994), data deret waktu tidak stasioner jika nilai autokorelasi mulai lag-1 pada plot ACF turun dengan lamban dan nilai autokorelasi parsial pada plot PACF terputus (cut off) setelah lag-1. Pola cut off adalah pola ketika garis ACF dan PACF signifikan pada lag pertama atau kedua tetapi kemudian tidak ada garis ACF dan PACF yang signifikan pada lag berikutnya. Oleh karena itu, data tersebut tidak stasioner. Pengujian stasioner secara statistik dapat dilakukan dengan Augmented Dickey Fuller Test (Uji ADF) dengan = 5% , dengan menggunakan hipotesis sebagai berikut : data tidak bersifat stasioner : data bersifat stasioner Berdasarkan uji ADF pada Lampiran 2 diperoleh hasil nilai probabilitasnya sebesar 0.2619. Nilai probabilitas yang lebih besar dari 0.05 artinya terima sehingga data tidak bersifat stasioner. Karena itu dilakukan pembedaan satu kali ( = 1) untuk mendapatkan output yang stasioner.

Autocorrelation Function for d=1 (with 5% significance limits for the autocorrelations) 1.0 0.8

Autocorrelation

0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

5

10

15

20

25

30 Lag

35

40

45

50

55

1

60

60

Gambar 4 Plot setelah pembedaan satu kali.

25

50

75

100

125 150 Waktu

175

200

225

250

Gambar 5 Plot ACF dari saham dengan pembedaan satu kali. Partial Autocorrelation Function for d=1 (with 5% significance limits for the partial autocorrelations) 1.0 0.8 Partial Autocorrelation

1

0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

5

10

15

20

25

30 Lag

35

40

45

50

55

60

Gambar 6 Plot PACF dari saham dengan pembedaan satu kali. Hasil pembedaan satu kali dapat dilihat pada Gambar 4 yang menunjukkan bahwa data sudah memiliki kecenderungan berada di sekitar nilai tengah nol. Berdasarkan uji Augmented Dickey-Fuller pada Lampiran 3, nilai- yang kurang dari 0.05 artinya tolak yang menunjukkan data sudah stasioner. Setelah data stasioner, tahap selanjutnya adalah mengidentifikasi model tentatif berdasarkan karakteristik ACF (Gambar 5) dan PACF (Gambar 6). Plot korelasi diri menunjukkan ordo- dan plot korelasi ordo parsial menunjukkan ordo- . Dari kedua plot tersebut ada tiga model yang teridentifikasi yaitu ARIMA (2,1,5), ARIMA (3,1,3), dan ARIMA (3,1,4). Tahap selanjutnya adalah pendugaan parameter dengan proses trial and error, yaitu dengan memperkecil ordoatau yang mempunyai -hitung kecil atau menambah ordoatau yang mempunyai t-hitung besar sehingga memperoleh kandidat-kandidat model. Hasil pendugaan parameter dapat dilihat pada Lampiran 4, 5 dan 6. Secara ringkas dapat dilihat dari Tabel 1.

10

Tabel 1 Alternatif model ARIMA tentatif

ARIMA (3,1,3)

ARIMA (3,1,4)

Konstanta AR (1) AR (2) MA (1) MA (2) MA(3) MA (4) MA (5) Konstanta AR (1) AR (2) AR (3) MA (1) MA (2) MA (3) Konstanta AR (1) AR (2) AR (3) MA (1) MA (2) MA (3) MA (4)

Koefesien Parameter -0.005137 1.1025 -0.9129 1.1284 -0.9796 0.2172 -0.2001 0.2143 -0.00819 0.3778 0.2138 -0.8923 0.4017 0.1483 -0.7861 -0.004503 0.5099 0.4517 -0.6830 0.5222 0.4501 -0.5282 -0.0654

Dari Tabel 1 terlihat bahwa model yang memiliki parameter tidak nyata adalah model ARIMA (3,1,3), dan ARIMA (3,1,4) karena masih ada nilai-p koefisien AR dan MA yang lebih dari = 0.05. Sedangkan hanya pada model ARIMA (2,1,5) memiliki model nyata karena koefisien AR dan MA yang kurang nilai = 0.05. Dilihat dari nilai MSE dari ketiga model tersebut. nilai MSE pada model ARIMA (2,1,5) paling kecil daripada model yang lainnya, sehingga model yang dipilih adalah model ARIMA (2,1,5). Langkah selanjutnya setelah didapatkan model terbaik adalah diagnostik terhadap model sisaan. Pengujian Ljung-Box-Pierce (Cryer 1986) pada Tabel 1 menunjukkan nilai korelasi diri sisaan tidak berbeda nyata dengan nol pada semua lagnya yaitu nilailebih dari = 5%, artinya model ARIMA (2,1,5) layak.

Uji Ljung-Box-Perce Lag keNilai-p 12 0.376 24 0.604 36 0.784 48 0.575

Nilai-p 0.490 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.016 0.002 0.584 0.000 0.051 0.000 0.002 0.296 0.000 0.554 0.049 0.017 0.000 0.049 0.041 0.017 0.477

12 24 36 48

0.370 0.493 0.752 0.582

12 24 36 48

0.435 0.360 0.569 0.419

MS

0.03646

0.03674

0.03757

Normal Probability Plot (response is saham) 99.9 99 95 90

Percent

ARIMA (2,1,5)

Paramater

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

-0.50

-0.25

0.00 Residual

0.25

0.50

0.75

Gambar 7 Plot kenormalan sisaan. Residuals Versus t (response is saham) 0.50

0.25 Residual

Model ARIMA

0.00

-0.25

-0.50 0

50

100

150

200

250

t

Gambar 8 Plot sisaan terhadap waktu.

11

ACF of Residuals for saham (with 5% significance limits for the autocorrelations) 1.0 0.8

Autocorrelation

0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

5

10

15

20

25

30 Lag

35

40

45

50

55

60

Gambar 9 Plot residual ACF (RACF).

PACF of Residuals for saham (with 5% significance limits for the partial autocorrelations) 1.0

Partial Autocorrelation

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1

5

10

15

20

25

30 Lag

35

40

45

50

55

60

Gambar 10 Plot residual PACF (RPACF). Sisaan harus menyebar normal. Untuk mengecek kenormalan sisaan dapat dilihat dari Normal Probability Plot of the Residuals pada Gambar 7. Nilai titik-titik residual yang menempel atau sangat dekat dengan garis biru menunjukkan sisaan tersebut menyebar normal. Selain menyebar normal, sisaan harus bersifat acak. Hal tersebut dapat dilihat secara visual, yaitu dapat dilihat pada Gambar 8 bahwa plot residual terhadap waktu sudah tidak memiliki pola tertentu atau sudah bersifat acak. Dari plot residual fungsi korelasi diri (Gambar 9) dan plot fungsi korelasi diri parsial (Gambar 10) juga tidak menunjukkan nilai autokorelasi yang nyata, artinya model sudah besifat acak. Dengan demikian asumsi keacakan dan kenormalan terpenuhi. Maka model ARIMA (2,1,5) merupakan model terbaik untuk meramalkan harga saham tersebut adalah = −0.005137 + 2.1025 −2.0154 − 0.9129 − 1.1284 +0.9796 − 0.2172 + 0.2001 − 0.2143

3.3 Model ARIMA-GARCH Setelah mendapatkan model ARIMA yang cocok, perlu mengecek apakah model ARIMA yang didapatkan tersebut memiliki ragam sisaan yang konstan atau tidak. Jika model menghasilkan ragam yang tidak konstan artinya model tersebut masih memiliki masalah heteroskedastisitas. Langkah yang bisa dilakukan untuk mengecek model tersebut adalah dengan menggunakan uji ARCH-LM. Berdasarkan hasil uji ARCH-LM di Lampiran 10, pada saat lag 1 nilai probability chi-square sebesar 0.0100. Berdasarkan hasil ARCH-LM, nilai probability chi-square kurang dari α = 5%. sehingga dapat disimpulkan bahwa ragam dari harga saham mengandung efek ARCH/GARCH. Oleh karena itu, peramalan dengan model ARIMA terjadi pelanggaran asumsi sehingga yang sesuai berdasarkan asumsi bahwa ragamnya heteroskedastik yaitu peramalan model GARCH. Persamaan ragam sisaan model GARCH =

+

+

dengan = kuadrat sisaan pada waktu t = ragam pada waktu t > 0,

≥ 0, = 1, … ,

dan

≥ 0, =

1, … , Dalam proses pengepasan model GARCH yang paling sering digunakan adalah metode maximum likelihood. Untuk membangun kemungkinan suatu model GARCH diperlukan beberapa iterasi untuk mendapatkan model yang paling baik. Kemungkinan model yang akan digunakan adalah ARIMA (2,1,5)-GARCH (0,2), ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) dan ARIMA (2,1,5)-GARCH (2,3). Didapatkan hasil estimasi model ARIMA (2,1,5)GARCH (0,2), ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) dan ARIMA (2,1,5)-GARCH (2,3) pada Lampiran 8, 9 dan 10. Secara ringkas, hasil telah dirangkum di Tabel 2.

12

Tabel 2 Hasil Analisis Model ARIMA-GARCH

ARIMA (2,1,5) GARCH (0,2)

ARIMA (2,1,5) GARCH (1,3)

ARIMA (2,1,5) – GARCH (2,3)

Paramater

Koefesien Parameter

Nilai-p

Paramater

Koefesien Parameter

Nilai-p

Konstanta AR (1) AR (2) MA (1) MA (2) MA(3) MA (4) MA (5) Konstanta AR (1) AR (2) MA (1) MA (2) MA(3) MA (4) MA (5) Konstanta AR (1) AR (2) MA (1) MA (2) MA(3) MA (4) MA (5)

-0.000949 0.156166 -0.439580 -0.200129 0.454424 -0.217513 0.072084 -0.148523 -0.002824 0.322014 -0.926518 -0.342592 1.034927 -0.210944 0.130818 -0.203715 -0.007007 0.344211 -0.920590 -0.342031 0.951320 -0.205466 0.062316 -0.233591

0.9165 0.6796 0.0086 0.5976 0.0135 0.0051 0.4311 0.0414 0.7785 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0481 0.0248 0.0016 0.4194 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0198 0.2775 0.0000

Konstanta GARCH (1) GARCH (2)

0.000172 1.980471 -0.985244

0.0000 0.0000 0.0000

Konstanta RESID2 (1) GARCH (1) GARCH (2) GARCH (3)

0.004035 0.118780 0.374864 -0.502507 0.908465

0.0910 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000

Konstanta RESID2 (1) RESID2 (2) GARCH (1) GARCH (2) GARCH (3)

0.004066 0.110599 0.080571 0.335651 -0.527317 0.899944

0.0865 0.0000 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

Dilihat dari nilai probabilitasnya, ketiga model dari persamaan ragamnya sudah baik karena semua koefisien memiliki nilai probabilitas yang lebih kecil dari α = 5%. Namun pada koefisien MA (4) di model ARIMA (2,1,5)-GARCH (2,3) dan hampir seluruh koefesien AR dan MA di model ARIMA (2,1,5)-GARCH (0,2) masih belum signifikan karena nilainya lebih besar dari α = 5%. Oleh karena itu, model ARIMA (2,1,5)GARCH (1,3) dipilih menjadi model yang terbaik. Setelah terpilih model yang terbaik, dilakukan pengujian keberadaan heteroskedastisitas kembali dengan ARCHLM pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3). Hasil dari ARCH-LM sudah tidak terdapat masalah heteroskedastisitas dengan nilai probability chi-square lebih besar dari α = 5%yaitu sebesar 0.5374.

AIC dan SBC

AIC = -0.492982 SC = -0.337593

AIC = -0.506420 SC = -0.322778

AIC = -0.528533 SC = -0.330766

.6

.4 Quantiles of Normal

Model ARIMAGARCH

.2

.0

-.2

-.4

-.6 -.6

-.4

-.2

.0

.2

.4

.6

Quantiles of RESID

Gambar 11 Plot kenormalan sisaan. Seperti model ARIMA, sisaan model ARIMA-GARCH juga harus menyebar normal. Untuk mengecek kenormalan sisaan bisa menggunakan QQ-plot. Pada QQ-plot (Gambar 11), nilai titik-titik residual yang

13

= −0.002824 + 1.322014 −1.248532 − 0.926518 +0.342592 − 1.034927 +0.210944 − 0.130818 +0.203715

menempel atau sangat dekat dengan garis merah menunjukkan sisaan tersebut menyebar normal. Secara statistik, uji kenormalan bisa digunakan dengan uji Jarque-Bera dengan =5%, yang menggunakan hipotesis sebagai berikut Ho H1

dan ragam sisaan σ = 0.0040035 + 0.118780 +0.374864 − 0.502507 +0.908465

: data menyebar normal : data tidak menyebar normal.

Jika nilai JB < (,2) atau p-value >  maka keputusannya terima Ho yang berarti asumsi kenormalan terpenuhi. Berdasarkan hasil diperoleh pada Lampiran 12, nilai Jarque-Bera sebesar 1.856736, karena nilai ( . , ) = 5.99maka keputusannya terima Ho yaitu sisaan sudah menyebar normal.

3.4 Peramalan Peramalan harga saham dilakukan dengan menggunakan model dugaan ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) selama periode 50 hari ke depan. Grafik hasil dari peramalan model tersebut terdapat pada Gambar 12 sedangkan data hasil peramalan terdapat pada Lampiran 13.

Oleh karena itu, model yang terbaik adalah ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) dengan model harga saham 9

Harga saham

8.5 8 7.5

aktual

7

ARIMA(2,1,5)GARCH(1,3)

6.5 6 1

6

11

16

21

26

31

36

41

46

Waktu Gambar 12 Plot data harga saham aktual dengan data ramalan. Secara statistik, MAPE yang diperoleh dari hasil peramalan model ARIMA (2,1,5)GARCH (1,3) sebesar 2.2199. Dari plot data aktual dengan data peramalan model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) pada Gambar

12, terlihat bahwa data peramalan sudah mengikuti pola data aktual. Oleh karena itu, model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) sudah representatif untuk melakukan peramalan.

14

IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Harga saham dapat dimodelkan baik dengan menggunakan model ARIMAGARCH. Model ARIMA merupakan pemodelan deret waktu dengan asumsi ragam konstan. Dalam kondisi ragam sisaan tidak konstan dapat digunakan model GARCH dengan cara mentransformasi sisaan. Pada kenyataannya, di sektor keuangan volatilitasnya sangat tinggi yang menyebabkan munculnya masalah heteroskedastisitas dimana ragam sisaan tidak konstan. Karena itu, model ARIMAGARCH lebih baik digunakan daripada hanya memodelkan ARIMA saja. Hasil estimasi dengan model ARIMA-GARCH pada dasarnya menunjukkan hasil yang tidak jauh berbeda dengan model ARIMA, namun

permasalahan utama yaitu keberadaan heteroskedastisitas yang masih ada pada model ARIMA. Hasil peramalan dengan model ARIMAGARCH terbukti lebih baik daripada menggunakan hanya model ARIMA karena plot data ramalan sudah hampir mengikuti pola data aktual. Jadi, model ARIMAGARCH selain bisa menghilangkan masalah heteroskedastisitas juga dapat memodelkan ragam sisaannya dan memberikan peramalan yang baik. 4.2 Saran Data deret waktu dari harga saham selalu mengalami perubahan tiap waktunya menyebabkan model yang dihasilkan berbeda-beda, sehingga perlu untuk mencoba model ARCH/GARCH lainnya.

15

DAFTAR PUSTAKA Bowerman BL, O’Connell, RT. 1987. Time Series Forecasting. Inufied Concepts and Computer Implementation.2nd edition. Boston: Duxbury Press. Cryer JD. 1986. Time Series Analysis. Boston: Duxbury Press. Firdaus M. 2006. Analisis Deret Waktu Satu Ragam. Bogor: IPB Press. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. New Jersey: Prentice Hall, Inc. Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2nd edition. Oxford: University Press. Gujarati D. 2003. Ekonometri Dasar. Terjemahan Sumarno Zain. Jakarta: Erlangga. Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-5. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey. Makridaskis S, Whelwright SC, McGee VE. 1983. Forecasting: Methods and Applications. 2nd edition. New York: John Wiley and Sons. Makridaskis S, Whelwright SC, McGee VE. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Terjemahan Sus Andriyanto dan Abdul Basith. Jakarta: Erlangga. McNeil AJ, Frey R, Embrechts P. 2005. Quantitative Risk Management.

United Kingdom. Princeton University Press. Mulyana. 2004. Analisis Data Deret Waktu. http://resources.unpad.ac.id/unpadcontent/uploads/publikasi_dosen/PEN GUJIAN%20AUTOKORELASI%20 PERIODIK%20UNTUK%20DATA %20DERET%20WAKTU.PDF [13 Januari 2012]. Myers RH and Milton JS. 1991. A First Course Linear Statistical Models. Boston: PWS-Kent. Ross SM. 2003. Introduction to Probability Models. Burlington: Elsevier, Inc. Simanjutak MA. 2009. Penanganan Masalah Heteroskedastisitas dengan Model ARCH-GARCH dan Model Black-Scholes. Tesis Pasca Sarjana. Bogor: Institut Pertanian Bogor. Wei WS. 1994. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Method. Addison: Wesley Publishing Company. Santoso T. 2011. Aplikasi Model GARCH pada Data Inflasi Bahan Makanan Indonesia 2005.1-2010.6. Jurnal Organisasi dan Manajemen, Vol 7 No.1, hal. 38-52. http://finance.yahoo.com/q/hp?s=SHCAY.P K+Historical+Prices [09 Februari 2012]

16

LAMPIRAN

17

Lampiran 1 Data penutupan saham Sharp Corp. harian selama 3 Januari 2011 s.d. 14 Maret 2012 Tanggal

Saham

Tanggal

Saham

Tanggal

Saham

Tanggal

Saham

1/3/2011

10.31

2/24/2011

10.51

4/15/2011

9.20

6/8/2011

9.05

1/4/2011

10.39

2/25/2011

10.81

4/18/2011

9.03

6/9/2011

9.11

1/5/2011

10.65

2/28/2011

10.8

4/19/2011

9.00

6/10/2011

8.93

1/6/2011

10.66

3/1/2011

10.65

4/20/2011

9.09

6/13/2011

8.90

1/7/2011

10.59

3/2/2011

10.3

4/21/2011

9.17

6/14/2011

9.08

1/10/2011

10.60

3/3/2011

10.27

4/25/2011

9.13

6/15/2011

8.80

1/11/2011

10.74

3/4/2011

10.07

4/26/2011

9.13

6/16/2011

8.73

1/12/2011

10.72

3/7/2011

10.00

4/27/2011

9.07

6/17/2011

8.74

1/13/2011

10.72

3/8/2011

9.94

4/28/2011

9.17

6/20/2011

8.65

1/14/2011

10.56

3/9/2011

9.82

4/29/2011

9.20

6/21/2011

8.71

1/18/2011

10.54

3/10/2011

9.71

5/2/2011

9.23

6/22/2011

8.56

1/19/2011

10.50

3/11/2011

9.50

5/3/2011

9.24

6/23/2011

8.55

1/20/2011

10.46

3/14/2011

9.05

5/4/2011

9.21

6/24/2011

8.63

1/21/2011

10.39

3/15/2011

8.70

5/5/2011

9.13

6/27/2011

8.70

1/24/2011

10.47

3/16/2011

8.85

5/6/2011

9.10

6/28/2011

8.62

1/25/2011

10.44

3/17/2011

9.26

5/9/2011

9.17

6/29/2011

8.88

1/26/2011

10.51

3/18/2011

9.40

5/10/2011

9.27

6/30/2011

9.14

1/27/2011

10.58

3/21/2011

9.75

5/11/2011

9.17

7/1/2011

9.29

1/28/2011

10.36

3/22/2011

9.66

5/12/2011

9.22

7/5/2011

9.24

1/31/2011

10.36

3/23/2011

9.54

5/13/2011

9.10

7/6/2011

9.40

2/1/2011

10.40

3/24/2011

9.38

5/16/2011

8.89

7/7/2011

9.45

2/2/2011

10.51

3/25/2011

9.30

5/17/2011

9.03

7/8/2011

9.24

2/3/2011

10.24

3/28/2011

9.17

5/18/2011

8.95

7/11/2011

9.09

2/4/2011

10.72

3/29/2011

9.65

5/19/2011

8.88

7/12/2011

9.14

2/7/2011

10.81

3/30/2011

10.16

5/20/2011

8.76

7/13/2011

9.33

2/8/2011

10.70

3/31/2011

9.83

5/23/2011

9.06

7/14/2011

9.18

2/9/2011

10.50

4/1/2011

9.92

5/24/2011

8.97

7/15/2011

9.34

2/10/2011

10.53

4/4/2011

9.95

5/25/2011

8.91

7/18/2011

9.20

2/11/2011

10.55

4/5/2011

9.60

5/26/2011

8.90

7/19/2011

9.22

2/14/2011

10.80

4/6/2011

9.33

5/27/2011

8.92

7/20/2011

9.30

2/15/2011

10.81

2/18/2011

11.07

5/31/2011

9.30

7/21/2011

9.45

2/16/2011

11.22

4/8/2011

8.99

6/1/2011

9.06

7/22/2011

9.40

2/17/2011

11.26

4/11/2011

9.05

6/2/2011

9.08

7/25/2011

9.23

2/18/2011

11.07

4/12/2011

8.93

6/3/2011

9.2

7/26/2011

9.26

2/22/2011

10.71

4/13/2011

9.03

6/6/2011

9.11

7/27/2011

9.03

2/23/2011

10.77

4/14/2011

9.14

6/7/2011

9.15

7/28/2011

9.05

18

Tanggal

Saham Tanggal Saham Tanggal

Saham

Tanggal Saham

7/29/2011

9.15 9/21/2011 8.10 11/11/2011

9.25

1/6/2012 8.45

8/1/2011

9.05 9/22/2011 7.82 11/14/2011

9.20

1/9/2012 8.46

8/2/2011

8.85 9/23/2011 7.89 11/15/2011

9.08

1/10/2012 8.61

8/3/2011

8.84 9/26/2011 7.59 11/16/2011

9.00

1/11/2012 8.55

8/4/2011

8.35 9/27/2011 7.77 11/17/2011

9.26

1/12/2012 8.30

8/5/2011

8.49 9/28/2011 7.95 11/18/2011

9.79

1/13/2012 8.39

8/8/2011

7.85 9/29/2011 8.18 11/21/2011

9.79

1/17/2012 8.23

8/9/2011

8.17 9/30/2011 8.33 11/22/2011

9.88

1/18/2012 8.21

8/10/2011

7.94 10/3/2011 8.11 11/23/2011

9.70

1/19/2012 8.46

8/11/2011

8.20 10/4/2011

8.3 11/25/2011

9.46

1/20/2012 8.71

8/12/2011

8.12 10/5/2011 8.37 11/28/2011

9.72

1/23/2012 8.68

8/15/2011

8.20 10/6/2011 8.74 11/29/2011

9.83

1/24/2012 8.39

8/16/2011

8.01 10/7/2011 8.59 11/30/2011

10.11

1/25/2012 8.50

8/17/2011

8.35 10/10/2011 8.79 12/1/2011

10.00

1/26/2012 8.49

8/18/2011

7.85 10/11/2011 8.99 12/2/2011

9.89

1/27/2012 8.53

8/19/2011

7.73 10/12/2011 8.76 12/5/2011

9.68

1/30/2012 8.57

8/22/2011

7.74 10/13/2011 8.90 12/6/2011

9.71

1/31/2012 8.48

8/23/2011

7.89 10/14/2011 8.82 12/7/2011

9.54

2/1/2012 7.42

8/24/2011

7.69 10/17/2011 9.03 12/8/2011

9.45

2/2/2012 6.75

8/25/2011

7.61 10/18/2011 8.93 12/9/2011

9.32

2/3/2012 7.17

8/26/2011

7.85 10/19/2011 8.76 12/12/2011

9.26

2/6/2012 6.81

8/29/2011

8.08 10/20/2011 8.64 12/13/2011

9.20

2/7/2012 6.90

8/30/2011

8.15 10/21/2011 8.75 12/14/2011

8.84

2/8/2012 6.95

8/31/2011

8.29 10/24/2011 8.74 12/15/2011

8.76

2/9/2012 6.88

9/1/2011

8.14 10/25/2011 8.74 12/16/2011

8.75

2/10/2012 6.85

9/2/2011

8.05 10/26/2011 8.72 12/19/2011

8.81

2/13/2012 6.85

9/6/2011

7.56 10/27/2011 9.24 12/20/2011

9.30

2/14/2012 6.77

9/7/2011

7.76 10/28/2011 9.65 12/21/2011

9.12

2/15/2012 6.77

9/8/2011

7.85 10/31/2011 9.28 12/22/2011

9.10

2/16/2012 7.00

9/9/2011

7.80 11/1/2011 9.02 12/23/2011

9.27

2/17/2012 7.03

9/12/2011

7.54 11/2/2011 8.73 12/27/2011

9.04

2/21/2012 6.83

9/13/2011

7.44 11/3/2011 8.93 12/28/2011

8.76

2/22/2012 6.78

9/14/2011

7.82 11/4/2011 9.06 12/29/2011

8.51

2/23/2012 6.97

9/15/2011

7.99 11/7/2011 9.17 12/30/2011

8.72

2/24/2012 6.99

9/16/2011

8.04 11/8/2011 9.13

1/3/2012

8.82

2/27/2012 7.16

9/19/2011

8.00 11/9/2011 9.03

1/4/2012

8.69

2/28/2012 7.11

9/20/2011

8.09 11/10/2011 8.97

1/5/2012

8.56

2/29/2012 6.99

19

Tanggal

Saham

3/1/2012

6.81

3/2/2012

6.92

3/5/2012

6.83

3/6/2012

6.56

3/7/2012

6.75

3/8/2012

6.40

3/9/2012

6.33

3/12/2012

6.14

3/13/2012

6.20

3/14/2012

6.09

Sumber : http://finance.yahoo.com/q/hp?s=SHCAY&a=11&b=30&c=2011&d=02&e=15&f=2012&g=d

Lampiran 2 Output uji ADF pada data asli Null Hypothesis: SAHAM has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=15)

Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level

t-Statistic

Prob.*

-2.058479 -3.456302 -2.872857 -2.572875

0.2619

t-Statistic

Prob.*

-15.92126 -3.456408 -2.872904 -2.572900

0.0000

.

Lampiran 3 Output uji ADF setelah pembedaan satu kali Null Hypothesis: D(SAHAM) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=15)

Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level

20

Lampiran 4 Output model ARIMA (2,1,5)

ARIMA Model: saham Final Estimates of Parameters Type AR 1 AR 2 MA 1 MA 2 MA 3 MA 4 MA 5 Constant

Coef 1.1025 -0.9129 1.1284 -0.9796 0.2172 -0.2001 0.2143 -0.005137

SE Coef 0.0806 0.0415 0.0715 0.0267 0.0671 0.0827 0.0691 0.007423

T 13.68 -22.00 15.79 -36.75 3.24 -2.42 3.10 -0.69

P 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.016 0.002 0.490

Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 252, after differencing 251 Residuals: SS = 8.85880 (backforecasts excluded) MS = 0.03646 DF = 243

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag Chi-Square DF P-Value

12 4.2 4 0.376

24 13.9 16 0.604

36 21.9 28 0.784

48 37.7 40 0.575


ARIMA Model: saham Final Estimates of Parameters Type AR 1 AR 2 AR 3 MA 1 MA 2 MA 3 Constant

Coef 0.3778 0.2138 -0.8923 0.4017 0.1483 -0.7861 -0.00819

SE Coef 0.0950 0.1090 0.0986 0.1259 0.1416 0.1279 0.01495

T 3.98 1.96 -9.05 3.19 1.05 -6.14 -0.55

P 0.000 0.051 0.000 0.002 0.296 0.000 0.584



12 5.4 5 0.370

24 16.4 17 0.493

36 23.5 29 0.752

48 38.5 41 0.582

21


ARIMA Model: saham Final Estimates of Parameters Type AR 1 AR 2 AR 3 MA 1 MA 2 MA 3 MA 4 Constant

Coef 0.5099 0.4517 -0.6830 0.5222 0.4501 -0.5282 -0.0654 -0.004503

SE Coef 0.2577 0.1877 0.1874 0.2642 0.2190 0.2201 0.0919 0.007605

T 1.98 2.41 -3.64 1.98 2.06 -2.40 -0.71 -0.59

P 0.049 0.017 0.000 0.049 0.041 0.017 0.477 0.554



12 3.8 4 0.435

24 17.4 16 0.360

36 26.1 28 0.569

48 41.2 40 0.419

22

Lampiran 7 Output pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (0,2) Dependent Variable: D(SAHAM) Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 08/31/12 Time: 09:52 Sample (adjusted): 4 252 Included observations: 249 after adjustments Convergence achieved after 52 iterations MA Backcast: -1 3 Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = α + β *GARCH(1) + β *GARCH(2) Variable

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.

C AR(1) AR(2) MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) MA(5)

-0.000949 0.156166 -0.439580 -0.200129 0.454424 -0.217513 0.072084 -0.148523

0.009052 0.378180 0.167227 0.379138 0.183857 0.077689 0.091561 0.072830

-0.104811 0.412941 -2.628645 -0.527853 2.471613 -2.799793 0.787284 -2.039318

0.9165 0.6796 0.0086 0.5976 0.0135 0.0051 0.4311 0.0414

7.998596 335.3836 -166.9842

0.0000 0.0000 0.0000

Variance Equation α GARCH(1) GARCH(2) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

0.000172 1.980471 -0.985244 0.039402 -0.000960 0.195842 9.128318 72.37630 0.976220 0.464772

2.15E-05 0.005905 0.005900

Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat

-0.007751 0.195749 -0.492982 -0.337593 -0.430436 1.927676

23

Lampiran 8 Output pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) Dependent Variable: D(SAHAM) Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 08/31/12 Time: 09:53 Sample (adjusted): 4 252 Included observations: 249 after adjustments Convergence achieved after 40 iterations MA Backcast: -1 3 Presample variance: backcast (parameter = 0.7) 2 GARCH = α + α *RESID (1) + β *GARCH(1) + β *GARCH(2) + β *GARCH(3) Variable

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.


-0.002824 0.322014 -0.926518 -0.342592 1.034927 -0.210944 0.130818 -0.203715

0.010037 0.022744 0.018371 0.069277 0.059785 0.106738 0.058272 0.064712

-0.281318 14.15789 -50.43373 -4.945249 17.31085 -1.976276 2.244974 -3.148009

0.7785 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0481 0.0248 0.0016

1.690163 3.446233 11.44046 -26.12827 26.57192

0.0910 0.0006 0.0000 0.0000 0.0000

Variance Equation α 2 RESID (1) GARCH(1) GARCH(2) GARCH(3) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

0.004035 0.118780 0.374864 -0.502507 0.908465 0.052557 0.004382 0.195319 9.003302 76.04933 1.090966 0.368402

0.002387 0.034467 0.032766 0.019232 0.034189


-0.007751 0.195749 -0.506420 -0.322778 -0.432501 1.982887

24

Lampiran 9 Output pada model ARIMA (2,1,5)-GARCH (2,3) Dependent Variable: D(SAHAM) Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 08/31/12 Time: 09:54 Sample (adjusted): 4 252 Included observations: 249 after adjustments Convergence achieved after 37 iterations MA Backcast: -1 3 Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = α + α *RESID2(1) + α *RESID2(2) + β *GARCH(1) + β *GARCH(2) + β *GARCH(3) Variable

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.


-0.007007 0.344211 -0.920590 -0.342031 0.951320 -0.205466 0.062316 -0.233591

0.008678 0.027523 0.015985 0.069539 0.054281 0.088187 0.057388 0.047613

-0.807506 12.50646 -57.58945 -4.918521 17.52580 -2.329885 1.085869 -4.905995

0.4194 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0198 0.2775 0.0000

1.714371 5.113397 3.692317 11.50853 -22.80960 34.81984

0.0865 0.0000 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

Variance Equation α 2 RESID (1) 2 RESID (2) GARCH(1) GARCH(2) GARCH(3) R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)

0.004066 0.110599 0.080571 0.335651 -0.527317 0.899944 0.052964 0.000574 0.195692 8.999440 79.80260 1.010965 0.441300

0.002372 0.021629 0.021821 0.029165 0.023118 0.025846


-0.007751 0.195749 -0.528535 -0.330766 -0.448930 2.026870

25

Lampiran 10 Output dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,5) Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic Obs*R-squared

6.758334 6.631104

Prob. F(1,246) Prob. Chi-Square(1)

0.0099 0.0100

Lampiran 11 Output dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3) Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic Obs*R-squared

0.377873 0.380361

Prob. F(1,246) Prob. Chi-Square(1)

0.5393 0.5374

Lampiran 12 Output dari uji normalitas pada sisaan baku ARIMA (2,1,5)-GARCH (1,3)

30

Series: Standardized Residuals Sample 4 252 Observations 249

25

20

15

10

5

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.025137 -0.036890 2.771287 -2.891404 0.999368 0.209159 3.063032

Jarque-Bera Probability

1.856736 0.395198

26

Lampiran 13 Data peramalan selama 50 hari ke depan Waktu ke-

Aktual

GARCH

Waktu ke-

Aktual

GARCH

1 2

8.82 8.69

8.684838 8.85209

26 27

6.95 6.88

6.977552 7.072523

3

8.56

8.714375

28

6.85

6.797131

4

8.45

8.563129

29

6.85

6.860665

5

8.46

8.425241

30

6.77

6.894828

6

8.61

8.436848

31

6.77

6.757831

7

8.55

8.633724

32

7.00

6.769778

8

8.30

8.571493

33

7.03

6.983386

9

8.39

8.287015

34

6.83

7.015004

10

8.23

8.361592

35

6.78

6.819085

11

8.21

8.234831

36

6.97

6.758644

12

8.46

8.202382

37

6.99

6.930926

13

8.71

8.489768

38

7.16

6.976939

14

8.68

8.676722

39

7.11

7.147829

15

8.39

8.643238

40

6.99

7.101244

16

8.50

8.370892

41

6.81

6.923246

17

8.49

8.439553

42

6.92

6.793055

18

8.53

8.474618

43

6.83

6.899902

19

8.57

8.511967

44

6.56

6.846554

20

8.48

8.590436

45

6.75

6.567707

21

7.42

8.449445

46

6.40

6.74202

22

6.75

7.437041

47

6.33

6.422691

23

7.17

6.771776

48

6.14

6.303989

24

6.81

7.246539

49

6.20

6.217455

25

6.90

6.937182

50

6.09

6.177653

PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL ARIMA-GARCH FITRIYAH

Recommend Documents