PEMODELAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN DAN PENENTUAN RANK CORRELATION DENGAN MENGGUNAKAN COPULA IKA SYATTWA BRAMANTYA

PEMODELAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN DAN PENENTUAN RANK CORRELATION DENGAN MENGGUNAKAN COPULA

IKA SYATTWA BRAMANTYA

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

PERNYATAAN MENGENAI KARYA ILMIAH DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa karya ilmiah berjudul Pemodelan Indeks Harga Saham Gabungan dan Penentuan Rank Correlation dengan Menggunakan Copula adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir karya ilmiah ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya ilmiah saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, September 2014 Ika Syattwa Bramantya NIM G54100066

ABSTRAK IKA SYATTWA BRAMANTYA. Pemodelan Indeks Harga Saham Gabungan dan Penentuan Rank Correlation dengan Menggunakan Copula. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan I GUSTI PUTU PURNABA. Indeks saham merupakan nilai dari gabungan banyak saham di mana datanya berupa financial time series yang memiliki karakteristik sebaran fat tail. Data yang memiliki sebaran fat tail merupakan data yang tidak menyebar normal karena data tersebut memiliki ekor sebaran yang tebal. Metode rank correlation dapat digunakan untuk menganalisis korelasi antarindeks saham yang tidak menyebar normal dan metode ini hanya bergantung pada copula. Data yang digunakan pada karya ilmiah ini berasal dari data harian indeks saham Jerman (DAX) dan Jepang (NIK) yang diambil dari tanggal 27 April 1993 sampai tanggal 20 Juni 2000. Untuk menentukan korelasinya, model terbaik perlu ditentukan dahulu dengan menggunakan ARIMA. Selanjutnya, data dimodelkan dengan GARCH untuk menghilangkan efek heteroskedastisitas. Setelah itu, data diuji dengan menggunakan metode canonical maximum likelihood untuk menentukan copula terbaik dan korelasinya dengan metode rank correlation. Model terbaik untuk indeks saham DAX adalah ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) dan untuk indeks saham NIK adalah ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0). Copula terbaik yang didapatkan ialah copula dan untuk hasil analisis korelasi antarindeks menunjukan tingkat korelasi antarindeks di atas berkorelasi positif lemah. Kata kunci: Indeks saham, rank correlation, ARIMA, GARCH, copula.

ABSTRACT IKA SYATTWA BRAMANTYA. Stock Exchange Composite Index Modeling and the Determination of Rank Correlation by Using Copula. Supervised by RETNO BUDIARTI and I GUSTI PUTU PURNABA. Stock index is a composite value of many stocks, where its data type is financial time series with fat tail distribution characteristic. Data with fat tail distribution doesn’t normally distribute since the data has heavy distribution’s tail. Rank correlation method, which depends on copula, can be used to analyze correlation among stock indices which doesn’t normally distribute. Data in this work come from daily data of Germany Stock Index (DAX) and Japan Stock Index (NIK) which taken from April 27th 1993 until June 20th 2000. In order to find out the correlation, the best model should be specified first through ARIMA. After that, the data is modeled by using GARCH to eliminate heteroskedasticity’s effect. Then, the data is examined by using canonical maximum likelihood method for finding the best copula and determine the correlation. It is found that the best model for DAX stock index is ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) and that for NIK stock index is ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0), where the best copula is copula. Additionally it is shown a weakly positive correlation among stock indices. Key words: Stock index, rank correlation, ARIMA, GARCH, copula.

PEMODELAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN DAN PENENTUAN RANK CORRELATION DENGAN MENGGUNAKAN COPULA

IKA SYATTWA BRAMANTYA

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari ini ialah copula, dengan judul Permodelan Indeks Saham Gabungan dan Penentuan Rank Correlation dengan Menggunakan Copula. Terima kasih penulis ucapkan terima kasih kepada Ibu Ir Retno Budiarti, MS dan Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing saya, serta Bapak Dr Dony Citra Lesmana, S.Si, M.Fin.Math yang telah banyak memberi saran terkait penyusunan karya ilmiah ini. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada rekan-rekan di forum Stack-Exchange dan Matlab Central yang sudah membantu saya dalam menyusun kode-kode program yang saya pergunakan dalam karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada bapak, ibu, serta seluruh keluarga dan teman-teman, atas segala doa, kasih sayang, serta dukungan moril kepada saya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, September 2014 Ika Syattwa Bramantya

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Perumusan Masalah

2

Tujuan Penelitian

2

Manfaat Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

3

METODE

12

Alat

13

Tahapan Penelitian

14

HASIL DAN PEMBAHASAN

15

Model ARIMA

16

Model ARIMA-GARCH

19

Copula

21

SIMPULAN DAN SARAN

23

Simpulan

23

Saran

23

DAFTAR PUSTAKA

24

LAMPIRAN

26

RIWAYAT HIDUP

41

DAFTAR TABEL 1 2 3 4 5 6 7 8

Hasil uji ADF Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham DAX Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham NIK Hasil pengujian ARCH-LM Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham DAX Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham NIK Hasil uji ARCH-LM setelah dilakukan permodelan ARIMA-GARCH Hasil uji Jarque-Bera

16 18 18 19 19 20 20 21

DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Plot contoh data stasioner Plot contoh data tidak stasioner

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Data asli indeks saham dari tanggal 27 April 1993 s.d 14 Juli 2003 Hasil uji ADF pada data asli indeks saham DAX Hasil uji ADF pada DAX setelah pembedaan satu kali Hasil uji ADF pada data asli indeks saham NIK Hasil uji ADF pada NIK setelah pembedaan satu kali Hasil model ARIMA (2,1,3) untuk indeks DAX Hasil model ARIMA (3,1,2) untuk indeks DAX Hasil model ARIMA (2,1,2) untuk indeks DAX Hasil model ARIMA (1,1,0) pada indeks NIK Hasil model ARIMA (0,1,1) pada indeks NIK Hasil model ARIMA (1,1,1) pada indeks NIK Hasil model ARIMA (2,1,2)-GARCH (1,1) pada indeks DAX Hasil model ARIMA (2,1,2)-GARCH (2,1) pada indeks DAX Hasil model ARIMA (1,1,1)-GARCH (2,0) pada indeks NIK Hasil model ARIMA (1,1,1)-GARCH (1,1) pada indeks NIK Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,2) pada DAX Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,2)-GARCH (1,1) pada DAX Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (1,1,1) pada NIK Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (1,1,1)-GARCH (2,0) pada NIK Hasil uji Jarque-Bera ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) pada DAX Hasil uji Jarque-Bera ARIMA (1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK Hasil uji distribusi ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) pada DAX Hasil uji distribusi ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK Hasil uji distribusi ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK

Plot contoh vertex

Plot nilai indeks saham DAX Plot nilai indeks saham NIK Plot ACF untuk indeks DAX Plot PACF untuk indeks DAX Plot ACF untuk indeks NIK Plot PACF untuk indeks NIK Plot Residual pada indeks DAX Plot Residual pada indeks NIK

6 6 8 15 15 16 17 17 17 21 21

DAFTAR LAMPIRAN 26 28 28 28 28 29 29 30 30 31 31 32 33 34 35 36 36 37 37 38 38 39 39 39

25 Hasil estimasi parameter copula 26 Hasil uji rank correlation

40 40

PENDAHULUAN Latar Belakang Saham adalah satu instrumen investasi yang nilai jualnya berdasarkan kinerja perusahaan penerbit saham dan diperdagangkan di bursa saham dengan imbal hasil sejumlah tertentu tergantung jenis sahamnya. Sedangkan, Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) adalah suatu nilai yang berfungsi sebagai pengukuran kinerja suatu saham gabungan di bursa efek (Sunariyah 2003). Nilai indeks saham sendiri dihitung berdasarkan nilai indeks seluruh saham (metode penghitungan nilai tergantung bursa tersebut) yang diperdagangkan di bursa itu. Misalkan, Dow Jones Average adalah bursa saham yang terdiri dari 30 perusahaan besar (blue chip) dan nilai indeksnya dihitung berdasarkan indeks 30 perusahaan tersebut. Karena indeks saham merupakan kumpulan saham-saham, maka resiko yang terkandung didalam indeks saham kurang lebih sama dengan resiko pada saham itu sendiri. Pergerakan pasar yang tidak pasti memunculkan risiko yang bisa berasal dari internal perusahaan penerbit saham seperti laporan keuntungan atau kondisi keuangan perusahaan ataupun dari eksternal pasar seperti sentimen pasar, perkembangan politik dan sosial negara, dan lain-lain. Sehingga, manajemen yang baik mutlak diperlukan dalam mengelola risiko-risiko yang mungkin muncul. Pada ilmu studi konvensional aset-aset yang ada diasumsikan saling bebas padahal dalam kenyataannya di jaman pasar global seperti ini aset-aset tersebut tidak sepenuhnya bebas karena setiap bursa saham yang ada hampir dipastikan saling berinteraksi, baik secara langsung maupun tak langsung. Pada studi kontemporer hubungan antar satu aset dengan yang lainnya dapat dimodelkan dengan sebuah fungsi yang bernama copula. Copula sendiri adalah sebuah fungsi yang menggabungkan dua atau lebih fungsi sebaran multivariate dimana copula mengambil fungsi marjinal dari tiap sebaran tersebut dan dijadikan sebagai sebuah fungsi marjinal satu dimensi yang normal baku (nilainya [0,1]) (McNeill et al. 2005). Dalam ilmu ekonomi fungsi marjinal merupakan fungsi yang menggambarkan risiko suatu aset, baik risiko untung maupun risiko rugi, namun biasanya para analis berfokus pada risiko rugi. Karena copula menggabungkan dua atau lebih fungsi marjinal yang ada, maka copula sangat tepat digunakan untuk melihat korelasi antar aset yang ada, dalam hal ini risiko antar aset yang ada. Untuk menggambarkan korelasi antar aset dengan benar diperlukan jenis copula yang tepat yang dapat dilihat dari uji estimasi copula terhadap model yang ada.

2 Perumusan Masalah Karya ilmiah ini menggunakan dua set data nilai indeks saham gabungan yang berasal dari bursa saham Jerman DAX (Deutscher Aktien Index) dan bursa saham Jepang NIK ( Nikkei 225) dari tanggal 27 April 1993 sampai tanggal 20 Juni 2000. Data ini kemudian dicari model yang terbaik menggunakan metode ARIMA dan metode GARCH untuk mengatasi masalah heteroskedatisitas pada model. Pada karya ilmiah ini juga ditentukan hubungan antar dua set data di atas dengan menggunakan uji mutual dependensi yang untuk selanjutnya ditentukan pula parameter-parameter dari tiap jenis copula dan copula terbaik menggunakan metode Canonical Maximum Likelihood. Copula yang diuji pada karya ilmiah ini adalah copula Gauss, Gumbel, Frank, Clayton, dan t.

Tujuan Penelitian Tujuan utama dari penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Mencari model terbaik dari dua data indeks saham gabungan dengan menggunakan model ARIMA-GARCH. 2. Mencari copula terbaik yang bisa menggambarkan keterkaitan antar dua set data indeks saham. 3. Menentukan rank correlation dengan menggunakan metode copula.

Manfaat Penelitian Hasil karya ilmiah ini dapat digunakan untuk mengatasi masalah analisis korelasi antar data yang selama ini terjadi pada data financial time series yang memiliki sebaran beraneka ragam dan memiliki ekor sebaran yang tebal. Karya ilmiah ini juga dapat menjadi jawaban atas tuntutan para analis pasar saham yang menginginkan saham-saham yang ada saling berinteraksi, bukan saling bebas seperti anggapan para peneliti selama ini. Selain itu, hasil karya ilmiah ini juga dapat digunakan sebagai bahan untuk analisis korelasi antar aset atau indikator yang lebih kompleks guna mendapatkan kombinasi aset yang optimal.

TINJAUAN PUSTAKA Definisi 1 (Percobaan Acak) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut sebagai percobaan acak. (Ross 2003) Definisi 2 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmet dan Stirzaker 1992) Definisi 3 (Medan- ) Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh serta memenuhi, 1. 2. Jika maka ⋃ . 3. Jika maka , dengan menyatakan komplemen dari . (Ghahramani 2005) Definisi 4 (Ukuran Peluang) Ukuran peluang P adalah suatu fungsi dari medan- ke selang tertutup [0,1] ( : [0,1]) yang memenuhi tiga syarat berikut: 1. P(A) 0, untuk setiap A 2. P(S) = 1 3. Jika adalah himpunan yang saling lepas, yaitu untuk setiap pasangan i, j dengan i j maka (⋃ ) ∑ ( ). (Roussas 2004) Definisi 5 (Peubah Acak) dengan sifat bahwa Suatu peubah acak adalah suatu fungsi ( ) * Ω + , untuk setiap dengan adalah sebuah medan- dari suatu ruang contoh Ω. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil . (Grimmet dan Stirzaker 1992) Definisi 6 (Peubah Acak Kontinu dan Fungsi Kepekatan Peluang) Peubah acak dikatakan kontinu jika ada fungsi sebaran dapat dinyatakan sebagai, ( )

∫

sehingga fungsi

( )

dengan , ) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak . (Grimmet dan Stirzaker 1992) Definsi 7 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak dinyatakan sebagai,

adalah fungsi

,

- yang

4 ( )

(

). (Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 8 (Fungsi Sebaran Bersama) Misal diberikan dua peubah acak dan dimana fungsi , -. Maka fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak tersebut haruslah memenuhi persamaan,

(

)

(

)

(

)

(Ghahramani 2005) Definisi 9 (Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu) Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang adalah, ( )

∫

asalkan integral di atas konvergen. (Grimmet dan Stirzaker 1992) Lema 1 (Sifat Nilai Harapan) Beberapa sifat nilai harapan, antara lain: 1. Jika adalah suatu konstanta, maka ( ) . 2. Jika adalah suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka ( ) ( ). adalah konstanta dan adalah suatu peubah acak, maka 3. Jika ( ) ( ) ( ). (Hogg et al. 2005) Definisi 10 (Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu) adalah nilai Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan ( ) harapan dari , dengan fungsi kepekatan peluang ( ) , maka ragam dan sama dengan, simpangan baku dari dinotasikan dengan ( ) dan ( ) ( ) [(( ) -=∫ ( ) , dan ) -. √ ,( (Ghahramani 2005) Lema 2 (Sifat Ragam) Beberapa sifat dari ragam antara lain: ( ) 1. Jika suatu konstanta, maka v ( ) 2. Jika suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka, ( ) ( ) ( ) ( )) ,( ( ))( (Ghahramani 2005) Definisi 11 (Sebaran Normal) Misalkan diberikan peubah acak kontinu . Peubah acak dikatakan menyebar normal dengan nilai harapan dan ragam , jika fungsi kepekatan peluangnya diberikan oleh ( )

√

(

(

)

),

.

5 Sebaran normal yang memiliki nilai rata-rata 0 dan ragam 1 disebut sebaran normal baku. Misalkan peubah acak menyebar normal baku, maka memiliki fungsi kepekatan peluang ( )

,

√

. (Grimmet dan Stirzaker 1992)

Definisi 12 (Strict Stationarity) Deret waktu ( ) dikatakan strictly stationary jika ( ......, ) ( ), untuk semua dan untuk semua . (McNeil et al. 2005) Definisi 13 (Covarian Stationarity) Deret waktu ( ) dikatakan covarian stationary jika terdapat dua momen pertama dan memenuhi ( ) ( ) ( ) dimana ( ) didefinisikan sebagai fungsi rata-rata dan ( ) sebagai fungsi autocovariance dengan persamaannya adalah, ( ) ( ) ( ) ( ))( ( ))/ .( (McNeil et al. 2005) Definisi 14 (Autocorrelation Function) Autocorrelation function (ACF), ( ) dari proses covarian stationary ( ) adalah ( ) ( ) ( ) , . ( ) (McNeil et al. 2005) Definisi 15 (White Noise) Proses ( ) dikatakan proses white noise jika ( ) covarian stationarity dengan fungsi autokorelasi (

)

{

memenuhi

.

Proses white noise yang dipusatkan untuk memiliki rata-rata 0 dengan ragam ( ) akan dinotasikan dengan WN(0, ). (McNeil et al. 2005) Definisi 16 (Strict White Noise) Proses ( ) merupakan proses strict white noise jika merupakan deret yang bebas stokastik identik, peubah acak dengan ragam berhingga. Proses strict white noise yang dipusatkan untuk mendapatkan rata-rata 0 dengan ragam akan dinotasikan SWN(0, ) (McNeil et al. 2005) Definisi 17 (Tren dan Kestasioneran Data) Tren adalah komponen data deret waktu yang menunjukkan peningkatan atau penurunan dalam jangka panjang selama periode waktu yang diamati. Bila datanya memiliki tren menandakan data tidak stasioner. Data yang stasioner adalah data dengan rataan dan ragam konstan sepanjang waktu pengamatan.

6

Gambar 1 Plot contoh data stasioner

( Gambar 2 Plot contoh data tidak stasioner (Firdaus 2006)

Definisi 18 ( Augmented Dickey-Fuller’s Test) Augmented Dickey- Fuller’s Test (uji ADP) merupakan salah satu uji akar unit untuk menguji apakah data sudah stasioner ataukah belum. Jika suatu data belum stasioner pada orde nol, maka stasioneritas data tersebut bisa dicari melalui orde berikutnya sehingga diperoleh tingkat stasioneritas pada order ke- . Modelmodel yang dapat dipilih untuk melakukan uji ADF adalah: (tanpa intersep) (dengan intersep) (intersep dengan trend waktu), dengan merupakan beda pertama dari variabel yang digunakan, variabel tren. Hipotesis untuk pengujian ini adalah : (terdapat akar unit, tidak stasioner) (tidak terdapat akar unit, stasioner) (Nachrowi dan Usman 2006) Definisi 19 ( Uji Jarque-Bera) Uji Jarque-Bera adalah uji untuk pengepasan model terbaik untuk mencocokan apakah kurva model sudah sesuai dengan kurva normal (data menyebar normal). Persamaan yang digunakan uji Jarque-Bera adalah ( ) ), ( dengan n adalah jumlah data yang diuji, S adalah kesimetrisan dari sebaran sampel dan K adalah ukuran ketinggian puncak kurva (peakedness). (Jarque dan Bera 1981) Definisi 20 (Uji ARCH-LM) Uji ARCH-LM atau Autoregressive Conditionally Heteroscedastic – Lagrange Multiplier adalah uji untuk menentukan adanya efek ARCH (heteroskedastisitas) atau tidak. Misalkan adalah residual dari persamaan rata-rata. Barisan digunakan untuk memeriksa heteroskedastisitas bersyarat atau efek ARCH. Uji ini sama dengan statistik pada umumnya untuk menguji = 0 ( ) dalam regresi linear ; , di mana adalah jumlah sampel atau banyaknya observasi, adalah galat, bilangan bulat.

7 Hipotesis untuk pengujian adalah: : (tidak terdapat efek ARCH) : (terdapat efek ARCH) (Engle 1995) Definisi 21 (Canonical Maximum Likelihood) Canonical maximum likelihood adalah sebuah metode estimasi parameter copula dengan mencari nilai maksimum menggunakan fungsi likelihood. Fungsi likelihood nya sendiri adalah, ̂ ( ( ) ∑ *̂( ) ) +, ∑ di mana ̂ ( ) ( ) . Untuk pengestimasi parameter yang persamaannya adalah, copula nya adalah ̂ ̂ argmax ( ), argmax ( ) artinya ketika ( ) mencapai nilai maksimum saat ̂. (Giacomini 2005) Definisi 22 (Model deret waktu ARIMA) Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Pada model ini terjadi proses Autoregressive (AR) berordo dan atau terjadi proses Moving Average (MA) berordo . Pembeda berordo d dilakukan jika data deret waktu bersifat non-stasioner, padahal model ARIMA menginginkan data yang stasioner. Model deret waktu ini dinotasikan dengan ARIMA ( ) dan memiliki bentuk umum sebagai berikut ) ( )( ( di mana adalah notasi backshift sehingga, model AR dan adalah parameter model MA,

, .

) , adalah parameter (Cryer 1986)

Definisi 23 (Model Ragam Sisaan ARCH) Model Autoregressive Conditionally Heteroscedastic (ARCH) diperkenalkan oleh Engle. Diberikan ( ) yang SWN(0,1), proses ( ) adalah proses ARCH ( ) jika strictly stationary dan memenuhi persamaan nya sebagai berikut,

∑ untuk semua

dimana

dan (McNeil et al. 2005)

Definisi 24 (Model Ragam Sisaan GARCH) Diberikan ( ) yang SWN (0,1), proses ( ) adalah proses Generalized Autoregressive Conditionally Heteroscedatic atau GARCH ( ) jika proses tersebut adalah strictly stationary dan memenuhi beberapa proses ( ) yang bernilai positif , persamaan nya adalah, ∑

∑

,

8 di mana

dan

. (McNeil et al. 2005)

Definisi 25 (Fungsi) Diberikan himpunan dan , sebuah fungsi dari ke merupakan sebuah himpunan pasangan terurut ƒ di dengan aturan bahwa jika ( ) dan ( ) merupakan elemen-elemen dari ƒ, maka = ʹ. Himpunan dari semua elemen di mana elemennya merupakan anggota pertama dari elemen-elemen di ƒ adalah domain pada ƒ dan dinotasikan sebagai D(ƒ). Himpunan dari semua elemen di mana elemennya merupakan anggota kedua dari elemen-elemen di ƒ adalah range pada ƒ (atau himpunan nilai pada ƒ) dan dinotasikan sebagai R(ƒ). (Bartle dan Sherbert 2011) Definisi 26 ( Copula) Sebuah fungsi berdimensi 2 dikatakan fungsi copula jika memenuhi tiga sifat berikut: 1. Dom x , dimana dan adalah subset-subset di =[0,1]. 2. adalah grounded dan 2-increasing. 3. di dan di , ( ) dan ( ) . (Nelsen 2005) Definisi 27 (Grounded) Misalkan memiliki elemen terkecil masing-masing fungsi dari pada dikatakan grounded jika, ( ) ( ) ( ) pada

dan

. Maka

dan . (Nelsen 2005)

Definisi 28 (Vertex) Dalam teori graf, vertex adalah titik atau pojok dimana dua garis lurus atau lebih bertemu. Contoh ilustrasi dari vertex adalah sebagai berikut,

Gambar 3 Plot contoh vertex (Chartrand 1985) Definisi 29 (2-increasing) Diberikan sebuah fungsi real dua dimensi sehingga Dom = , , - , kemudian diberikan - merupakan persegi yang semua vertex nya berada di Dom . Maka volume pada adalah,

9 ( ) ( ) ( ) ( )+ ( ) Diberikan sebuah fungsi real 2 dimensi, fungsi ini disebut 2-increasing jika ( ) untuk setiap persegi yang vertex nya berada di Dom . (Nelsen 2005) Definisi 30 (Teorema Sklar) Diberikan fungsi sebaran bersama dengan fungsi marjinalnya dan . Maka ada copula untuk setiap dalam , ( ) ( ( ) ( )) jika dan kontinu, maka unik dan berlaku sebaliknya. (Nelsen 2005) Definisi 31 (Copula Archimedean) , - , Jika diberikan ) yang merupakan pembangkit copula Archimedean , maka ( ) ( )). ( ( ) (McNeil et al. 2005) Lema 3 (Sifat Copula Archimedean) Diberikan sebagai copula Archimedean dengan pembangkit , maka ) ( ) simetris yang berarti ( di 1. ) ) ( )) 2. asosiatif yang berarti ( ( ( di 3. Jika merupakan konstanta, maka adalah pembangkit bagi (Nelsen 2005) Definisi 32 (Copula Gumbel) Copula Gumbel atau copula Gumbel-Hougaard adalah copula yang memenuhi persamaan berikut ( di mana

,

)

, ((

)

(

) ) ],

). (Schmidt 2006)

Definisi 33 (Copula Clayton) Persamaan umum dari copula Clayton adalah sebagai berikut ( di mana

,

)

(

{

}) ,

) * +. (Schmidt 2006)

Definisi 34 (Copula Frank) Persamaan umum dari copula Frank adalah sebagai berikut ( untuk

)

(

(

)(

)

),

* +.

(Schmidt 2006) Definisi 35 (Copula Gaussian) Copula Gaussian 2 dimensi adalah copula yang memenuhi persamaan berikut ( ) ( )), ( ) ( di mana, adalah fungsi sebaran kumulatif dari sebaran normal dan adalah fungsi sebaran dua dimensi dari sebaran normal yang memiliki mean 0 dan matriks kovarian . Matriks kovarian memiliki persamaan sebagai berikut,

10 (

).

(Schmidt 2006) Definisi 36 (Copula Student’s ) Persamaan Copula- 2 dimensi adalah copula yang memenuhi persamaan berikut, ( )) ( ) ( ( ) dimana adalah sebaran multivariate, adalah sebaran univariate, adalah matriks kovarian di mana , dan adalah derajat kebebasan dari sebaran dan ( ) (Schmidt 2006) Definisi 37 (Kebebasan) Peubah acak kontinu X dan Y dikatakan independen atau saling bebas jika dan hanya jika, ( ) ( ) ( ), , ( ) merupakan fungsi kepekatan peluang bagi dan , di mana ( ) dan ( ) adalah fungsi sebaran marjinal bagi X dan Y. (Ghahramani.2005) Definisi 38 (Dependence Measures) ) sebagai dependency Diberikan peubah acak bernilai real dan , ( measures yang bernilai real dan berkorespondensi dengan setiap pasangan peubah acak dan bila memenuhi, ( ) 1. ( ), syarat kesimetrisan. ( ) 2. , syarat kenormalan ) 3. ( , syarat comonotonic. ( )=-1, syarat countermonotonic. 4. untuk strictly monotonic pada selang di . ( ) ( ( ) )={ ( ) (Embrechts et al. 2001) Definisi 39 (Strictly Monotonic) Diberikan subset dari , dan diberikan fungsi dari , maka dikatakan strictly monotonic jika salah satu kondisi berikut terpenuhi, 1. maka ( ) ( ) (strictly increasing) 2. , maka ( ) ( ) (strictly decreasing) untuk (Aliprantis dan Burkinshaw 1990) Definisi 40 (Comonotonicity dan Countermonotonicity) Diberikan peubah acak disebut comonotonic jika dan hanya jika, ( ) ( ( ) ( )), untuk peubah acak Z dan fungsi naik . Sedangkan peubah acak disebut countermonotonic jika dan hanya jika, (( ) untuk peubah acak Z dengan fungsi naik

( ( ) ( )), dan fungsi turun

vice versa. (McNeil et al. 2005)

11

Definisi 41 (Equality in Distribution) Diberikan peubah acak dan dimana distribution ( ) jika, ( ) ( )

dan

dikatakan equal in

(Castaneda et.al 2012) Definisi 42 (Pearson’s Linear Correlation) Pearson’s linear correlation merupakan dependence yang paling umum digunakan karena uji nya yang sederhana. Uji ini menentukan derajat dan arah hubungan antara satu variabel dengan variabel lainnya secara linier. Misal, diberikan peubah acak tak turun X dan Y, maka koefisien linear correlation nya adalah, , ( ) , di mana , - adalah kovarian antara X dan Y, deviasi untuk peubah acak X dan Y.

dan

adalah standar

(Embrechts et al. 2001) Definisi 43 (Rank Correlation) Tingkat korelasi atau rank correlation merupakan dependence measure skalar sederhana yang hanya bergantung dengan sebaran copula bivariate dan tidak bergantung pada sebaran marjinalnya. Untuk mencari tingkat korelasi ada dua cara yang bisa digunakan yaitu dengan mencari Kendall’s tau atau dengan Spearman’s rho. Kelebihan rank correlation dibandingkan dengan Pearson’s linear correlation ialah: 1. Rank correlation mampu mendeteksi zero dependence sedangkan Pearson linear correlation tidak karena kebebasan antar variabel berimplikasi korelasi bernilai nol sedangkan korelasi bernilai nol belum tentu antar variabel saling bebas (independent). 2. Pearson linear correlation hanya mampu mendeteksi dependence pada variabel yang menyebar normal karena linear correlation tidak bisa menentukan kapan variance dari peubah acak X atau Y terbatas atau tak terbatas. 3. Rank correlation mampu mendeteksi dependence pada sebaran yang memiliki fat tail sedangkan Pearson linear correlation tidak karena karakteristik sebaran tersebut dimiliki oleh sebaran selain sebaran normal dan sehingga linear correlation tidak cocok untuk dijadikan uji pada data-data financial time series. ( McNeil et al. 2005) Definisi 44 (Concordant dan Discordant) Diberikan pasangan peubah acak ( ) dan ( ) disebut concordant jika dan atau jika dan , sedangkan ( ) dan ( ) disebut discordant jika dan atau jika dan . (Nelsen 2005) Definisi 45 (Kendall’s Tau Rank Correlation) Kendall’s rank correlation adalah uji yang mencari selisih antara peluang concordant dengan peluang discordant. Kendall’s tau sendiri memiliki persamaan sebagai berikut

12

di mana (

( ) ) ( ) , ∫ ∫ ( ) merupakan copula bivariate dari fungsi sebaran X dan Y. (Cherubini et al. 2004 )

Definisi 46 (Spearman’s Rho Rank Correlation) Spearman’s rho yang dinotasikan dengan ρ adalah uji dengan mencari selisih proposional antara peluang concordant dengan peluang discordant peubah ) yang memiliki marjinal yang sama tapi variabel acak ( ) dan ( pertama memiliki fungsi sebaran bersama dan peubah acak lainnya independen : ( ) ) ∫ ∫ ( ) merupakan copula bivariate dari fungsi sebaran X dan Y. di mana ( (Cherubini et al. 2004 )

METODE Data dan Analisis Pada penelitian ini data yang digunakan merupakan data sekunder dari nilai indeks saham gabungan dua bursa saham yang berbeda. Data yang pertama merupakan data yang berasal dari indeks saham DAX (Deutscher Aktien Index) dari tanggal 27 April 1993 sampai tanggal 20 Juni 2000 dan data yang kedua merupakan data yang berasal dari indeks saham NIK ( Nikkei 225) dan diambil dalam jangka waktu yang sama dengan data yang pertama. Indeks saham DAX terdiri dari saham-saham blue chip dari 30 perusahaan besar Jerman dan sahamsaham ini diperdagangkan di pasar saham Frankfurt. Indeks saham NIK terdiri dari saham-saham seluruh perusahaan yang ada di Jepang dan saham-saham ini diperdagangkan di pasar saham Tokyo. Pengambilan data tidak menggunakan data yang termutakhir karena pada selang waktu itu sedang terjadi krisis moneter di seluruh dunia yang juga Indonesia terkena dampaknya sehingga menurut penulis data ini sangat ideal untuk dijadikan sampel menguji korelasi antar pasar saham walaupun pasar saham itu tidak berasal dari negara yang sama bahkan berbeda regional dan benua. Langkah yang pertama yang dilakukan adalah mencari model yang terbaik pada data untuk analisis lebih lanjut dengan menggunakan metode ARIMA. Metode ARIMA ini digunakan karena data yang digunakan merupakan data deret waktu non stasioner. Setelah didapatkan model yang terbaik, langkah selanjutnya ialah mengatasi masalah heteroskedastisitas (ragam pada residual model untuk semua pengamatan belum stasioner) pada model dengan metode GARCH. Selanjutnya, residual model yang telah didapatkan akan diuji untuk melihat adanya mutual dependensi antar data atau tidak dan residual data akan dicari distribusi dari tiap residual. Hal ini bertujuan untuk memastikan bahwa ada keterkaitan antar data dan metode rank correlation dapat digunakan pada data. Langkah selanjutnya adalah menentukan copula terbaik dari residual model yang dapat mengkorelasikan kedua model yang ada. Penentuan copula terbaik sangat penting karena metode rank correlation hanya bergantung pada jenis copula yang

13 digunakan. Langkah terakhir, menentukan nilai korelasi dengan menggunakan metode rank correlation.

Alat Untuk melakukan penelitian ini setidaknya digunakan dua software yang utama yaitu E-views version 6 dan Matlab R2010a. Software E-views sendiri digunakan untuk melakukan permodelan ARIMA-GARCH dan software Matlab digunakan untuk melakukan serangkaian uji pendukung dan mengestimasi parameter copula guna mencari copula yang terbaik serta menentukan tingkat korelasi antar data. Sedangkan, untuk software pendukung digunakan Minitab 15 memvisualisasikan model yang sudah didapatkan.

14 Tahapan Penelitian

Pengujian data (apakah sudah stasioner atau belum)

Menguji adanya efek heteroskedastisitas pada data

Menghilangkan efek heteroskedastisitas dengan metode GARCH

Penentuan tingkat korelasi dengan metode Spearman's rho dan Kendall's tau

Mencari ACF dan PACF sebagai perkiraan indeks AR dan MA

Menentukan model pada data dengan menggunakan metode ARIMA

Pengujian mutual dependensi pada data untuk melihat korelasi antarindeks

Penentuan copula terbaik dengan menggunakan metode Canonical Maximum Likelihood

15

HASIL DAN PEMBAHASAN Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, pada skripsi ini digunakan dua set data nilai indeks saham DAX dan NIK dari tanggal 27 April 1993 sampai dengan 14 Juli 2003 dimana data ini diambil dari [finance.yahoo.com/q/hp]. Data ini diambil per hari dan datanya terdapat di Lampiran1. Data nilai indeks saham itu kemudian divisualisasikan seperti yang dapat dilihat pada Gambar 4 dan Gambar 5 berikut,

Gambar 4 Plot nilai indeks saham DAX

Gambar 5 Plot nilai indeks saham NIK Kedua data di atas masing-masing terdiri dari 1866 data amatan. Data-data ini selanjutnya ditentukan model terbaik serta copula terbaik. Copula yang di dapat digunakan untuk analisis tingkat korelasi antar data.

16 Model ARIMA Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan metode yang biasa digunakan untuk peramalan data deret waktu. Model umum ARIMA ( ) adalah ) ( )( ( ) dengan, nilai indeks saham pada waktu ke= derajat autoregressive = derajat moving average (MA) derajat pembeda (differencing) = waktu = parameter yang menjelaskan AR = parameter yang menjelaskan MA = sisaan acak pada waktu ke-t yang diasumsikan menyebar normal bebas stokastik = operator backshift . Model umum ARIMA ( ) menyatakan bahwa data periode sekarang dipengaruhi oleh data periode sebelumnya. Untuk melakukan permodelan ARIMA dibutuhkan data yang stasioner. Untuk melihat kestasioneran data, data diuji dengan uji Augmented Dickey-Fuller. Secara singkat, hasil uji ADF pada data adalah sebagai berikut, Tabel 1 Hasil uji ADF

Sebelum beda ke 1 Setelah beda ke 1

p-value DAX 0.6142 0.001

p-value NIK 0.2235 0.001

Pada Tabel 1, nilai p-value pada kedua set data sebelum beda ke 1 bernilai lebih besar dari yang artinya menurut uji ADF kedua data di atas tidak stasioner. Ketika sudah dilakukan beda pertama, p-value lebih kecil dari yang berarti kedua data di atas stasioner. Setelah data stasioner, tahap selanjutnya mengindentifikasi plot ACF dan PACF setelah dilakukan beda pertama sebelumnya. Hasil plot ACF dan PACF nilai indeks saham DAX dan NIK adalah sebagai berikut,

Gambar 6 Plot ACF untuk indeks DAX

17

Gambar 7 Plot PACF untuk indeks DAX

Gambar 8 Plot ACF untuk indeks NIK

Gambar 9 Plot PACF untuk indeks NIK Analisis yang sudah dilakukan dari plot ACF dan PACF menunjukkan bahwa ada tiga model yang teridentifikasi yaitu ARIMA (2,1,3), ARIMA(2,1,2), dan ARIMA (3,1,2) untuk indeks saham DAX dan ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,0), dan ARIMA(0,1,1) untuk indeks saham NIK. Setelah itu, dilakukan pendugaan parameter dengan metode “coba-coba” yaitu dengan memperkecil ordo p atau yang memiliki -value yang kecil atau menambah ordo p atau yang memiliki t-

18 value yang besar. Rangkuman hasil pengujian model ARIMA adalah sebagai berikut, Tabel 2 Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham DAX Model ARIMA ARIMA (2,1,3)

ARIMA (3,1,2)

ARIMA (2,1,2)

Parameter Konstanta AR (1) AR(2) MA(1) MA(2) MA(3) Konstanta AR (1) AR(2) AR(3) MA(1) MA(2) Konstanta AR (1) AR(2) MA(1) MA(2)

Koefisien Parameter 3.005598 -0.184157 -0.513387 0.228640 0.503975 -0.052621 3.008278 -0.191178 -0.526178 -0.052377 0.235321 0.514810 3.007912 0.551854 -0.951658 -0.54152 0.909229

p-value 0.0205 0.5417 0.1181 0.4399 0.1182 0.2343 0.0205 0.5419 0.1318 0.2524 0.4457 0.1329 0.0206 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Nilai-log likelihood -10175.65

Nilai SIC Nilai AIC

-10170.66

10.94871 10.93809

-10167.13

10.93500 10.92016

10.94819 10.93038

Tabel 3 Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham NIK Model ARIMA ARIMA (1,1,1) ARIMA (1,1,0) ARIMA (0,1,1)

Parameter Konstanta AR(1) MA(1) Konstanta AR(1) Konstanta MA(1)

Koefisien Parameter -2,152543 0,534887 -0,577687 -1,904531 -0.039578 -1.782652 -0.041997

p-value 0,6600 0,0462 0,0260 0,7132 0.0877 0.7297 0.0700

Nilai-log Nilai SIC likelihood -12799.16 13.74513

Nilai AIC

-12800.72 13.74275

13.73682

-12807.57 13.74274

13.73681

13.73623

Dari Tabel 2 terlihat bahwa model ARIMA (2,1,2) untuk DAX adalah model ARIMA yang paling baik karena semua -value nya kurang dari baik untuk koefisien AR maupun koefisien MA dan nilai AIC (Akaike Information Criterion) paling kecil diantara ketiga kandidat model di atas. Sedangkan pada Tabel 3 terlihat bahwa model ARIMA(1,1,1) untuk NIK merupakan model ARIMA yang paling baik karena semua p-value nya kurang dari yang berarti parameter-parameternya bernilai signifikan dan koefisien AIC pada model ARIMA ini juga yang terkecil diantara ketiganya. Setelah diketahui model ARIMA yang terbaik bagi masing-masing indeks saham, langkah selanjutnya adalah melakukan uji ARCH-LM untuk mengetahui apakah

19 ada efek heteroskedastisitas pada model. Hipotesis untuk pengujian ARCH-LM sendiri ialah sebagai berikut, data tidak memiliki efek heteroskedastisitas. data memiliki efek heteroskedastisitas. Untuk hasil ujinya ialah sebagai berikut, Tabel 4 Hasil pengujian ARCH-LM p-value pada DAX 0.0000

p-value pada NIK 0.0002

Pada Tabel 4 hasil pengujian pada kedua nilai indeks saham menunjukkan bahwa p-value kurang dari sehingga ditolak yang artinya pada kedua model ARIMA masih terdapat efek heteroskedastisitas, sehingga tahap selanjutnya adalah memodelkan model ARIMA dengan metode GARCH.

Model ARIMA-GARCH Permodelan ragam sisaan GARCH adalah permodelan yang bertujuan untuk menstasionerkan ragam pada model sehingga model yang sudah didapatkan tidak memiliki efek heteroskedastisitas. Pada model sebelumnya dilakukan uji ARCH-LM yang hasilnya pada kedua model ARIMA masih terdapat efek heteroskedastisitas, sehingga pada tahap ini ditentukan model ARIMA-GARCH yang paling baik. Hasil analisis menunjukkan setidaknya terdapat dua model yang kemungkinan merupakan model terbaik untuk masing-masing nilai indeks saham yaitu, ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) dan ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) untuk DAX dan ARIMA(1,1,1)-GARCH(1,1) dan ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) untuk NIK. Secara ringkas hasil pengujiannya dapat dilihat pada Tabel 5 dan 6 berikut, Tabel 5 Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham DAX Model ARIMAGARCH

Parameter

Koefisien Parameter

p-value

Parameter

Koefisien Parameter

p-value

Nilai AIC(1) dan Nilai SIC(2)

ARIMA (2,1,2)GARCH (1,1)

Konstanta AR (1) AR(2) MA(1) MA(2) Konstanta AR (1) AR(2) MA(1) MA(2)

1.830628 1.807790 -0.949970 -1.800065 0.933447 1.79909 0.287719 -0.963414 0.289505 0.969848

0.0206 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0021 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

C RESID(-1)^2

4.620671 0.065778

0.0000 0.0000

(1)10.00454 (2)10.02828

GARCH(-1)

0.934875

0.0000

C RESID(-1)^2 RESID(-2)^2 GARCH(-1)

5.280847 0.034087 0.038485 0.927958

0.0000 0.0776 0.0825 0.0000

ARIMA (2,1,2)GARCH (2,1)

(1)10.00967 (2)10.03639

20 Tabel 6 Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham NIK Model ARIMAGARCH ARIMA (1,1,1)GARCH(1,1) ARIMA(1,1,1)GARCH (2,0)

Parameter

Koefisien Parameter

p-value

Parameter

Koefisien Parameter

p-value

Konstanta AR (1) MA(1) Konstanta AR (1) MA(1)

1.573310 0.573556 -0.585594 0.609350 0.626874 -0.655263

0.7446 0.0788 0.0704 0.8966 0.0530 0.0352

C RESID(-1)^2 GARCH(-1) C RESID(-1)^2 RESID(-2)^2

2479.823 0.082077 0.873932 42284.71 0.123538 0.101009

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Nilai AIC(1) dan Nilai SIC(2) (1)13.65916 (2)13.67696 (1)13.71109 (2)13.72889

Pada Tabel 5 terlihat bahwa p-value dari koefisien AR dan MA sudah baik karena semua koefisennya kurang dari . Namun, untuk persamaan ragamnya model ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) masih belum signifikan karena nilai p-value nya lebih besar dari Sehingga, model ARIMA(2,1,2)GARCH(1,1) dipilih menjadi model yang terbaik untuk indeks DAX. Pada Tabel 6 terlihat bahwa p-value dari persamaan ragamnya sudah baik karena semua pvalue nya kurang dari Namun, untuk p-value pada koefisien AR dan MA pada model ARIMA(1,1,1)-GARCH(1,1) masih belum signifikan karena nilai p-value nya lebih dari . Sedangkan, pada model ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) nilai p-value pada koefisien AR sebesar 0.0530 atau kelebihan sebesar 0.003 dari . Perlu diingat bahwa skala p-value bernilai kontinu dan memotong tepat pada nilai 0,05 sangat tidak realistis. Untuk p-value antara 0.048 sampai 0.053 masih dalam range yang dapat diterima (borderline significant) (Kay 2007). Sehingga, model ARIMA (1,1,1)-GARCH(2,0) adalah model yang paling baik. Tahap selanjutnya yaitu pengujian model dengan menggunakan uji ARCH-LM untuk mengetahui apakah masih ada efek heteroskedastisitas pada model. Hasil ujinya sebagai berikut, Tabel 7 Hasil uji ARCH-LM setelah dilakukan permodelan ARIMA-GARCH p-value pada DAX 0.4897

p-value pada NIK 0.9241

Pada tabel terlihat nilai p-v pada kedua model sudah lebih besar dari yang berarti terima sehingga kedua model sudah tidak memiliki efek ARCH-GARCH. Didefinisikan merupakan beda (difference) dari variabel yang digunakan sehingga, . Persamaan model dari masingmasing indeks saham ialah sebagai berikut, a. DAX:

dan ragam sisaannya, b. NIK: dan ragam sisaannya, .

21 Copula Langkah selanjutnya setelah mendapatkan model ARIMA-GARCH adalah melakukan uji normalitas pada residualnya dengan menggunakan uji Jarque-Bera. Hipotesis untuk pengujian Jarque-Bera ini adalah data menyebar normal. data tidak menyebar normal. Hasil ujinya sendiri disajikan pada tabel berikut, Tabel 8 Hasil uji Jarque-Bera p-value indeks DAX 0.001

p-value indeks NIK 0.001

Pada tabel 8 terlihat bahwa p-value kedua residual kurang dari yang berarti tolak sehingga residual dari kedua model di atas tidak menyebar normal sebagaimana hal ini tergambarkan pada Gambar 10 dan 11 berikut,

Gambar 10 Plot Residual pada Indeks DAX

Gambar 11 Plot Residual pada Indeks NIK

22 Setelah diketahui bahwa residual tidak menyebar normal maka dicari distribusi masing-masing data dan hasilnya tergambarkan di Tabel 9 berikut, Tabel 9 Hasil uji distribusi Indeks Saham

Jenis Distribusi

DAX NIK

location scale location scale

AIC

BIC

19645 25468

19661 25485

Log-likelihood value 9819.4 12731

Selanjutnya, dilakukan uji mutual dependensi pada kedua data indeks saham. Hipotesis untuk pengujian mutual depedensi ini adalah, Tidak ada mutual dependensi diantara indeks saham. Ada mutual dependensi diantara indeks saham. Tabel 10 Hasil Uji mutual dependensi Rho 0.2101

-value 6.1757*

Pada Tabel 10 terlihat bahwa value hasil pengujian lebih kecil dari sehingga ada mutual dependensi antara indeks yang berarti tolak saham DAX dengan indeks saham NIK. Karena adanya mutual dependensi antarindeks saham dan residual yang didapatkan tidak menyebar normal, maka fungsi copula dapat mengkorelasikan kedua indeks saham tersebut. Selanjutnya, parameter copula diestimasi dengan menggunakan copula Clayton, Frank, Gumbel, Gaussian, dan Hasil estimasi parameter copula ialah sebagai berikut, Tabel 11 Hasil Estimasi Parameter Copula Copula Gaussian Frank Gumbel Clayton

Parameter 0.2286 1.4162 1.1292 0.2759 0.2321

Maximum Likelihood Value 52.5339 49.4673 35.2181 46.3424 53.6436

Berdasarkan Tabel 11, copula memiliki nilai maximum likelihood terbesar. Hal ini menunjukkan bahwa copula merupakan model copula terbaik untuk kedua indeks saham. Setelah ditentukan copula yang akan digunakan, selanjutnya akan diestimasi nilai tingkat korelasi antarindeks saham. Dalam penelitian ini digunakan metode Kendall’s tau dan Spearman’s rho. Hasil estimasinya adalah sebagai berikut, Tabel 12 Hasil estimasi rank correlation Metode Kendall’s tau Spearman’s rho

Nilai tingkat korelasinya 0.1491 0.2221

23 Pada tabel di halaman sebelumnya terlihat bahwa nilai tingkat korelasi pada kedua residual data dengan menggunakan metode Kendall’s tau adalah sebesar 0.1491 atau 14.91% dan jika menggunakan Spearman’s rho sebesar 0.2221 atau 22.21%. Hal ini menunjukkan bahwa kedua indeks saham gabungan yang digunakan berkorelasi positif meskipun bernilai relatif kecil. Metode rank correlation adalah metode penentuan tingkat korelasi ekor sebaran yang hanya berdasarkan pada jenis copula yang digunakan. Sehingga, ketika indeks saham DAX mengalami penurunan nilai maka kejadian itu berkorelasi lemah dengan penurunan nilai yang terjadi pada indeks saham NIK. Korelasi diatas dikatakan lemah karena berdasarkan rule of thumb yang dikemukakan Hinkle et.al (1998:120) menyatakan, “... nilai koefisien korelasi yang berkisar dari 0.1 sampai 0.3 atau -0.3 sampai -0.1 dikategorikan berkorelasi lemah...”. Karena nilai korelasi yang didapatkan semua nya di antara 0.1 sampai 0.3 maka kedua indeks berkorelasi positif lemah.

SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Skripsi ini berhasil mencari model terbaik dari data nilai indeks saham DAX dan NIK serta menentukan rank correlation menggunakan metode Spearman’s rho dan Kendall’s tau. Dari hasil yang sudah didapatkan, model terbaik untuk data indeks saham DAX adalah ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) dan untuk data indeks saham NIK adalah ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0). Copula terbaik yang didapatkan pada skripsi ini adalah copula dengan parameter sebesar 0.2321. Untuk nilai koefisien korelasi yang didapatkan dengan metode Kendall’s tau adalah sebesar 0.1491 dan jika dengan metode Spearman’s rho hasilnya sebesar 0.2221. Saran Pada skripsi ini dependence measures yang digunakan hanya Spearman’s rho dan Kendall’s tau. Sebenarnya selain rank correlation, terdapat berbagai macam jenis dependence measures lain yang lebih relevan dan akurat ketimbang rank correlation yang mengintepretasikan korelasi berdasarkan nilai skalar seperti, tail depedence, pengukuran berdasarkan Ginni’s coefficient, dan lain-lain. Sehingga, untuk penelitian selanjutnya metode yang lain bisa digunakan untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat dan realistis. Copula yang digunakan pada skripsi ini merupakan copula dua dimensi (bivariate) karena skripsi ini hanya menganalisis dua variabel peubah acak. Copula ini kurang cocok untuk menggambarkan investasi atau portofolio yang dimiliki baik oleh individu maupun kelompok yang pada umumnya berjumlah sebanyak jenis investasi atau portofolio. Sehingga, kedepannya penelitian ini perlu diperluas ke permodelan dimensi banyak (multivariate) dan tentunya menggunakan copula multivariate pula.

24

DAFTAR PUSTAKA Aliprantis CD, Burkinshaw O. 1990. Principle of Real Analysis. Ed ke-2. California (US): Academic Press. Bartle RG, Shebert DR. 2011. Introduction to Real Analysis. Ed ke-4. New Jersey (AS): John Wiley and Sons, Inc. Castaneda L, Arunachalam V, Dharmaraja S. 2012. Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications. West Sussex (GB): Wiley, Ltd Chartrand G. 1985. Introductory Graph Theory. New York (US): Dover Publications. Cherubini W, Luciano W, Vecchiato W. 2004. Copula Methods In Finance. West Sussex (GB): John Wiley and Sons, Ltd. Cryer JD. 1986. Time Series Analysis. Boston (US): Duxburry Press. Embrechts P, McNeil AJ, Straumann D. 2001. Correlation and depedency in risk management: properties and pitfalls. Cambridge (GB): Cambridge University Press. Engle RF. 1995. ARCH: Selected Readings. Oxford (GB): Oxford University Press. Firdaus M. 2006. Analisis Deret Waktu Satu Ragam. Bogor (ID): IPB Press. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. New Jersey (US): Pearson Education, Inc. Giacomini E.2005. Risk management with copulae [tesis]. Berlin (GE): Humboldt-Universitat zu Berlin. Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2. Oxford (GB): Oxford University Press. Hinkle DE, Wiersma W, Jurs SG. 1998. Applied Statistics for the Behavioral Sciences. Ed ke-4. Boston (US): Houghton Mifflin Company. Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-6. New Jersey (US): Pearson Education, Inc. Jarque CM, Bera AK. 1981. Efficient test for normality test, homoscedasticity, and serial independence. Economic Letters. 7(4):313-318.doi:10.1016/01651765(81)90035-5. Kay R. 2007. Statistical Thinking for Non Staticians in Drug Regulation. West Sussex (GB): John Wiley and Sons Ltd. McNeil AJ, Rudger F, Embrechts P. 2005. Quantitative Risk Management. Princeton (US): Princeton University Press Nachrowi DN, Usman H. 2006. Pendekatan Populer dan Praktis Ekonometrika untuk Analisis Ekonomi dan Keuangan. Jakarta (ID): UI Press. Nelsen RB. 2005. An Introduction to Copulas. Oregon (US): Springer Science and Business Media,Inc. Ross SM. 2003. A First Course Linear Statistical Models. Burlington (CA): Elsevier, Inc. Roussas GG. 2004. An Introduction to Measure-theoretic Probability. California (US): Academic Press. Sunariyah. 2003. Pengantar Pengetahuan Pasar Modal. Ed ke-3. Yogyakarta (ID): UPP AMP YKPN.

25 Schmidt T. 2006. Copulas from theory to application in France. IJTAF, forthcoming.

26

LAMPIRAN Lampiran 1 Data asli indeks saham dari tanggal 27 April 1993 s.d 20 Juni 2000 [Sumber: finance.yahoo.com/q/hp] Tanggal 27-Apr-1993 28-Apr-1993 29-Apr-1993 30-Apr-1993 03-May-1993 04-May-1993 05-May-1993 06-May-1993 07-May-1993 10-May-1993 11-May-1993 12-May-1993 13-May-1993 14-May-1993 17-May-1993 18-May-1993 19-May-1993 20-May-1993 21-May-1993 24-May-1993 25-May-1993 26-May-1993 27-May-1993 28-May-1993 31-May-1993 01-Jun-1993 02-Jun-1993 03-Jun-1993 04-Jun-1993 07-Jun-1993 08-Jun-1993 09-Jun-1993 10-Jun-1993 11-Jun-1993 14-Jun-1993 15-Jun-1993 16-Jun-1993 17-Jun-1993 18-Jun-1993 21-Jun-1993 22-Jun-1993

TSX 3691.2 3710.2 3755 3789.4 3773.4 3779.1 3788.8 3794.7 3779 3778.5 3780.3 3796.5 3801.3 3813.3 3792.4 3826.8 3811.2 3831.5 3835.9 3847.9 3859.9 3865.1 3869.7 3866.4 3882.6 3856.8 3859.8 3875 3894.6 3892.1 3862.7 3859.7 3875.4 3866.4 3872.1 3887.7 3892.4 3903.7 3906.9 3922.4 3935.7

CAC 1927.4 1942.5 1920.6 1939 1937 1923.6 1926.3 1920.5 1878.6 1877.2 1854.5 1872.7 1879.9 1851.7 1835.7 1846.4 1836.8 1845 1853.2 1861.4 1891.1 1890.4 1904.6 1888.7 1880.8 1872.8 1875.8 1867.9 1859.7 1887.9 1893.7 1915.2 1911.2 1920.4 1916.8 1897.9 1918.8 1900.3 1910.3 1929.2 1935.3

DAX 1640.8 1628.9 1623.9 1627.2 1629.2 1627.4 1623.2 1623.3 1611.9 1609 1616.2 1629.5 1639.8 1634.5 1627.9 1628.5 1617.4 1614 1610.6 1603.1 1618.2 1622 1634.5 1631.9 1625.9 1619.9 1625.2 1629.6 1637.9 1655.6 1661.6 1673.1 1677.1 1681 1692 1684.1 1689.6 1692.3 1686.9 1689.8 1698.1 ....

NIK 20207 20455 20687 20919 20845 20771 20696 20622 20811 21055 20940 20615 20533 20474 20566 20229 20381 20330 20557 20476 20632 20896 20853 20844 20552 20591 20692 21076 20882 20844 20575 20534 20493 20501 20397 20046 19902 19926 19805 19212 19538

FTSE 2832.7 2797.3 2786.8 2813.1 2812.8 2812.6 2796.5 2786.3 2793.7 2829.7 2836.1 2860.8 2849.3 2847 2858.1 2847.3 2819.7 2816.8 2812.2 2825.6 2837.7 2846.9 2855.3 2840.7 2844.9 2849.2 2863 2852.8 2829.9 2844.8 2844.4 2866.9 2860 2861.8 2885.5 2870 2883 2875.7 2879.4 2903.4 2907.6

SP 438.01 438.02 438.89 440.19 442.46 444.05 444.52 443.26 442.31 442.8 444.36 444.8 439.23 439.56 440.37 440.32 447.57 450.59 445.84 448 448.85 453.44 452.41 450.19 452.01 453.83 453.85 452.49 450.06 447.69 444.71 445.78 445.38 447.26 447.71 446.27 447.43 448.54 443.68 446.22 445.93

27 Tanggal 19-Apr-2000 20-Apr-2000 21-Apr-2000 24-Apr-2000 25-Apr-2000 26-Apr-2000 27-Apr-2000 28-Apr-2000 01-May-2000 02-May-2000 03-May-2000 04-May-2000 05-May-2000 08-May-2000 09-May-2000 10-May-2000 11-May-2000 12-May-2000 15-May-2000 16-May-2000 17-May-2000 18-May-2000 19-May-2000 22-May-2000 23-May-2000 24-May-2000 25-May-2000 26-May-2000 29-May-2000 30-May-2000 31-May-2000 01-Jun-2000 02-Jun-2000 05-Jun-2000 06-Jun-2000 07-Jun-2000 08-Jun-2000 09-Jun-2000 12-Jun-2000 13-Jun-2000 14-Jun-2000 15-Jun-2000 16-Jun-2000 19-Jun-2000 20-Jun-2000

TSX 9034 8959.7 8891.1 8822.5 9108.4 9378 9322.7 9347.6 9527.3 9510.3 9291.3 9414.1 9597.3 9337.5 9294.4 9097.1 9132.6 9211.8 9281.9 9582 9552.8 9549.9 9293.1 9139.9 8986.6 9144.2 9043.7 9020.9 9060.1 9344.1 9252 9552.2 9747.7 9679.7 9609.9 9557.7 9652.4 9728.8 9819.6 9836.5 9972.1 10111 10036 10137 10240

CAC 6166.5 6234.5 6263.1 6291.7 6320.3 6390.9 6247.9 6419.7 6491.1 6562.4 6435.6 6491.7 6545.8 6514.4 6369.6 6263.3 6380.1 6449.3 6392.3 6557.4 6453.1 6452 6196.1 6094.2 6148.6 6027.1 6129.7 6129.1 6205.1 6325.5 6426.3 6599.7 6673.5 6656.3 6589.8 6498.5 6523.7 6549.1 6540.9 6532.8 6608.1 6513 6456.3 6505.2 6554.9

DAX 7216.7 7157.9 7198.8 7239.7 7280.5 7388.6 7221.7 7414.7 7485.3 7555.9 7376.9 7386.7 7530.8 7408.1 7280.5 7120.9 7259.5 7269.3 7195.1 7371.1 7211.5 7181.6 6989 6913 6927.7 6834.9 6978.9 6839.3 7016.7 7119.3 7109.7 7272.8 7438.9 7408 7359.8 7285.9 7253.5 7246.8 7240.1 7268.9 7350.9 7328.6 7252.6 7198.8 7227.3

NIK 19087 18959 18253 18480 18272 18134 18019 17974 18403 18439 18380 18320 18260 18200 17845 17701 16882 17358 17314 17551 17404 17032 16858 16386 16319 16044 16248 16008 16245 16229 16332 16694 16800 17202 17170 17145 17004 16862 16981 16915 16654 16339 16318 16591 16908

FTSE 6184.9 6241.2 6255.1 6269.1 6283 6256.5 6179.3 6327.4 6350.4 6373.4 6184.8 6199.6 6238.8 6216.3 6123.8 6100.6 6245.9 6283.5 6247.7 6318.4 6196.2 6232.9 6045.4 6035.5 6086.8 6118.6 6231.1 6216.9 6288.3 6359.6 6359.3 6470.5 6626.4 6546.7 6546.8 6503.8 6496.6 6443.8 6430.9 6447.1 6536.3 6490.8 6526 6490.2 6526.9

SP 1427.5 1434.5 1432.2 1429.9 1477.4 1461 1464.9 1452.4 1468.3 1446.3 1415.1 1409.6 1432.6 1424.2 1412.1 1383.1 1407.8 1421 1452.4 1466 1447.8 1437.2 1407 1400.7 1373.9 1399.1 1381.5 1378 1400.2 1422.5 1420.6 1448.8 1477.3 1467.6 1457.8 1471.4 1461.7 1457 1446 1469.4 1470.5 1478.7 1464.5 1486 1476

28 Lampiran 2 Hasil uji ADF pada data asli indeks saham DAX

Lampiran 3 Hasil uji ADF pada DAX setelah pembedaan satu kali

Lampiran 4 Hasil uji ADF pada data asli indeks saham NIK

Lampiran 5 Hasil uji ADF pada NIK setelah pembedaan satu kali

Lampiran 6 Hasil model ARIMA (2,1,3) untuk indeks DAX

Lampiran 7 Hasil model ARIMA (3,1,2) untuk indeks DAX

29

30 Lampiran 8 Hasil model ARIMA (2,1,2) untuk indeks DAX

Lampiran 9 Hasil model ARIMA (1,1,0) pada indeks NIK

31

Lampiran 10 Hasil model ARIMA (0,1,1) pada indeks NIK

Lampiran 11 Hasil model ARIMA (1,1,1) pada indeks NIK

32 Lampiran 12 Hasil model ARIMA (2,1,2)-GARCH (1,1) pada indeks DAX

33 Lampiran 13 Hasil model ARIMA (2,1,2)-GARCH (2,1) pada indeks DAX

34 Lampiran 14 Hasil model ARIMA (1,1,1)-GARCH (2,0) pada indeks NIK

35 Lampiran 15 Hasil model ARIMA (1,1,1)-GARCH (1,1) pada indeks NIK

36 Lampiran 16 Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,2) pada DAX

Lampiran 17 Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,2)-GARCH (1,1) pada DAX

37 Lampiran 18 Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (1,1,1) pada NIK

Lampiran 19 Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (1,1,1)-GARCH (2,0) pada NIK

38 Lampiran 20 Hasil uji Jarque-Bera ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) pada DAX

Lampiran 21 Hasil uji Jarque-Bera ARIMA (1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK

39 Lampiran 22 Hasil uji distribusi ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) pada DAX

Lampiran 23 Hasil uji distribusi ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK

Lampiran 24 Hasil uji distribusi ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK

40 Lampiran 25 Hasil estimasi parameter copula

Lampiran 26 Hasil uji rank correlation

41

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Gisting pada tanggal 1 November 1992 dari pasangan Budhy Syattwa Indraputra dan Rosmalina. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan beragama Islam. Penulis adalah putra pertama dari empat bersaudara. Tahun 2004 penulis lulus dari SD Al-Kautsar Bandar Lampung, tahun 2007 penulis lulus dari SMP Negeri 1 Bandar Lampung dan tahun 2010 penulis lulus dari SMA AlKautsar Bandar Lampung. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur undangan seleksi masuk IPB dan di terima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai anggota Keluarga Mahasiswa Lampung, ketua komisi III Dewan Perwakilan Mahasiswa FMIPA IPB (DPM FMIPA IPB) 2011/2013, anggota IPB Debate Club (IDC) 2011/2013, anggota UKM Capoeira Allegria IPB 2010/2011, dan anggota Gumakusi (Gugus Mahasiswa Perkusi) Matematika IPB 2011/2014. Penulis juga aktif menjadi kontributor di Forum Sejarah dan Xenology (FORSEX) Kaskus Indonesia dan pernah menjadi juri pada lomba JOVED ( Java Overseas Versities Debate) di ITB tahun 2013 serta aktif menjadi juri di berbagai lomba debat bahasa inggris di IPB.