MODEL MATEMATIS DAN SIMULASI PERGERAKAN HARGA SAHAM
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
Disusun Oleh : RIDWAN RAHADIYANTO NIM : 033114011
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2009
i
MATHEMATICAL MODEL AND SIMULATION OF ASSET PRICE MOVEMENT
THESIS
Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics
by : Ridwan Rahadiyanto Student Number : 033114011
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2009
i
120
LAMPIRAN Data Harga Saham Harga saham IBM harian : Tanggal
Harga
28-Sep-01
86.01
30-Jul-01
99.13
4-Jun-01
106.42
6-Apr-01
91.62
9-Feb-01
104.76
27-Sep-01
84.39
27-Jul-01
98.05
1-Jun-01
105.72
5-Apr-01
91.86
8-Feb-01
106.72
26-Sep-01
85.61
26-Jul-01
99.27
31-May-01
104.7
4-Apr-01
86.05
7-Feb-01
109.35
25-Sep-01
88.57
25-Jul-01
98.23
30-May-01
105.49
3-Apr-01
84.55
6-Feb-01
106.69
24-Sep-01
88.89
24-Jul-01
97.87
29-May-01
107.95
2-Apr-01
88.54
5-Feb-01
104.84
21-Sep-01
84.86
23-Jul-01
99.13
25-May-01
110.32
30-Mar-01
89.96
2-Feb-01
103.02
20-Sep-01
87.58
20-Jul-01
98.99
24-May-01
112
29-Mar-01
88.89
1-Feb-01
106.55
19-Sep-01
90.02
19-Jul-01
97.39
23-May-01
109.94
28-Mar-01
88.31
31-Jan-01
104.64
18-Sep-01
90.4
18-Jul-01
97.66
22-May-01
110.51
27-Mar-01
93.07
30-Jan-01
108.95
17-Sep-01
87.53
17-Jul-01
101.64
21-May-01
111.48
26-Mar-01
89.23
29-Jan-01
107.42
10-Sep-01
90.46
16-Jul-01
100.97
18-May-01
109.98
23-Mar-01
87.46
26-Jan-01
106.69
7-Sep-01
90.57
13-Jul-01
101.64
17-May-01
107.76
22-Mar-01
83.34
25-Jan-01
103.47
6-Sep-01
91.9
12-Jul-01
100.44
16-May-01
108.44
21-Mar-01
83.32
24-Jan-01
103.18
5-Sep-01
94.1
11-Jul-01
97.25
15-May-01
106.36
20-Mar-01
82.59
23-Jan-01
101.89
4-Sep-01
95.17
10-Jul-01
95.48
14-May-01
105.41
19-Mar-01
86.61
22-Jan-01
101.43
31-Aug-01
93.72
9-Jul-01
98.07
11-May-01
104.71
16-Mar-01
84.27
19-Jan-01
103.94
30-Aug-01
94.11
6-Jul-01
99.73
10-May-01
107.88
15-Mar-01
89.38
18-Jan-01
101.19
29-Aug-01
97.64
5-Jul-01
104.98
9-May-01
109.55
14-Mar-01
88.82
17-Jan-01
90.34
28-Aug-01
98.41
3-Jul-01
105.8
8-May-01
110.22
13-Mar-01
92.03
16-Jan-01
86.65
27-Aug-01
100.2
2-Jul-01
107.09
7-May-01
108.41
12-Mar-01
89.32
12-Jan-01
87.64
24-Aug-01
100.33
29-Jun-01
106.29
4-May-01
108.37
9-Mar-01
92.87
11-Jan-01
87.53
23-Aug-01
96.58
28-Jun-01
107.79
3-May-01
106.35
8-Mar-01
99.59
10-Jan-01
87.3
22-Aug-01
97.48
27-Jun-01
106.31
2-May-01
107.94
7-Mar-01
100.6
9-Jan-01
86.48
21-Aug-01
95.54
26-Jun-01
105.86
1-May-01
110.85
6-Mar-01
99.15
8-Jan-01
87.41
20-Aug-01
97.62
25-Jun-01
105.49
30-Apr-01
107.7
5-Mar-01
98.13
5-Jan-01
87.82
17-Aug-01
98.07
22-Jun-01
105.7
27-Apr-01
108.69
2-Mar-01
95.69
4-Jan-01
87.07
16-Aug-01
99.16
21-Jun-01
105.45
26-Apr-01
106.39
1-Mar-01
99.19
3-Jan-01
88.4
15-Aug-01
98.47
20-Jun-01
105.91
25-Apr-01
107.42
28-Feb-01
93.44
2-Jan-01
79.24
14-Aug-01
99.58
19-Jun-01
107.54
24-Apr-01
105.38
27-Feb-01
95.96
13-Aug-01
99.27
18-Jun-01
107.01
23-Apr-01
104.76
26-Feb-01
98.49
10-Aug-01
98.41
15-Jun-01
106.38
20-Apr-01
107.41
23-Feb-01
97.28
9-Aug-01
97.6
14-Jun-01
108.4
19-Apr-01
107.07
22-Feb-01
101.86
8-Aug-01
97.7
13-Jun-01
109.14
18-Apr-01
99.61
21-Feb-01
100.56
7-Aug-01
99.5
12-Jun-01
109.8
17-Apr-01
93.25
20-Feb-01
104.29
6-Aug-01
99.74
11-Jun-01
109.9
16-Apr-01
90.49
16-Feb-01
107.56
3-Aug-01
101.31
8-Jun-01
108.72
12-Apr-01
89.98
15-Feb-01
109.23
2-Aug-01
101.89
7-Jun-01
109.8
11-Apr-01
91.13
14-Feb-01
107.66
1-Aug-01
100.26
6-Jun-01
110.04
10-Apr-01
92.65
13-Feb-01
106.4
31-Jul-01
98.53
5-Jun-01
109.54
9-Apr-01
89.79
12-Feb-01
107.47
hidup adalah awal hidup adalah sebuah kertas yang kosong hidup adalah sebuah nafas hidup adalah pembelajaran hidup adalah perjuangan hidup adalah perbuatan hidup adalah sebuah perjalanan hidup adalah pilihan-pilihan hidup adalah tanggungjawab hidup adalah penantian hidup adalah menyayangi hidup adalah memahami hidup adalah mencintai hidup adalah memberi hidup adalah menikmati hidup adalah akhir
melalui hidup kita belajar banyak hal dan satu hal yang pasti
“ susahku saiki durung cukup kanggo mbayar senengku mbesuk, gusti ra bakalan menehi cobaan sing ora iso dihadapi hambane ”
dipemberhentian perjalananku ini kupersembahkan kerja kerasku selama ini untuk allah bapa, jesus kristus dan bunda maria, penuntun jalanku bapak, ibu n ade’, alasan hidupku
almamaterku
v
ABSTRAK
Pergerakan harga saham pada dasarnya tidak dapat diprediksi dengan pasti, tetapi pergerakan tersebut dapat diperkirakan. Untuk memperkirakan pergerakan harga saham, maka akan dibuat suatu model matematika yang memanfaatkan pembangkitan bilangan random sebagai sampel data harga sahamnya. Melalui model matematika tersebut dapat diperoleh suatu simulasi pergerakan harga saham. Suatu data harga saham yang akan diprediksi pergerakannya harus diuji terlebih dahulu normalitas returnnya. Hal ini dikarenakan model matematika dan simulasi pergerakan harga saham tersebut akan berlaku untuk data harga saham yang mempunyai return yang berdistribusi normal. Dengan menggunakan ratarata dan simpangan baku data harga saham yang sesungguhnya dan komputasi asset path, maka akan didapatkan suatu perkiraan pergerakan harga saham.
vi
ABSTRACT
It is basically impossible to define the movement of asset price, but it is possible to make some predictions. A mathematical model is designed in order to estimate the movement of asset price. This model uses random numbers as the sample of the asset price and can be used as a simulation model of the movement of asset price. The distribution of the estimated asset price return should be tested whether it is normally distributed or not. The reason is, the fact that the mathematical model and asset price simulation will only be work for asset price that the return has normally distributed. The estimation of asset price movement can be estimate by counting the mean and standard deviation of the real asset price and the computation of asset path.
vii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus di Surga, karena berkat dan cinta yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak menemui hambatan dan kesulitan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi dan dosen pembimbing akademik yang selalu sabar dan memberi semangat kepada penulis selama kuliah dan penyusunan skripsi ini. 2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih S.Si, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah banyak membantu dan memberi saran. 4. Bapak Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku penguji yang telah banyak memberikan masukan kepada penulis. 5. Bapak dan Ibu Dosen Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis. 6. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi selama penulis kuliah. 7. Perpustakaan USD yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis. 8. Kedua orang tua dan ade’ku yang selalu memberikan dukungan untuk hidupku. 9. Dek ayoe yang telah menemani saat-saat akhir penulisan, Gimbo yang telah memberikan pelajaran hidup yang sangat berharga. 10. Teman-teman seangkatan 2003 : Eko, Koko, Wedus, Valent, Merry, Itha, Mekar, Septi,
Anin, Dewi, Sumi, Cicil yang selalu semangat dalam
menjalani perkuliahan.
viii
11. Bani, Aan, Taim, Galih, Markus, Tato, Ijub, yang memberikan banyak masukan dan dorongan. 12. Kakak-kakak dan Adek-adek angkatan dari 2000 sampai 2008, terima kasih atas keceriaan selama kuliah bareng. 13. Anak-anak kos Pake : Kelik, Asok, Sandex, Mas Jo, Usup, Ijuk, Uduk, Otonx, Mas Wawan yang telah banyak memberikan banyak bantuan selama pengerjaan skripsi ini. 14. Komunitas Kodox Ijo : Didied, Gon-gon, Don Pelikpo, Topan, Tpe, Baiban, yang telah memberikan banyak masukan mengenai pengerjaan skripsi. 15. Personil kos Rafli : Moestapa, Tora, mehonx, Fajar, Briti, dan Kang Moejhi yang selalu memberikan semangat dan juga Anggey n Ana atas nasehat-nasehatnya. 16. Angota-anggota ITI : Gondrong , RT, Betut, Sumin, Gawer, Leo, Ooz, Jaja, dogox, Lili, lia dan anggota-anggota yang lainnya yang telah memberikan banyak pengetahuan tentang sintak-sintak program dan software. 17. Anak-anak KKN : Soesoeh, Poli, Desi, Evi, Lusi, Lian, Helen, Reni makasih untuk kekompakan dan semangatnya. 18. Gank Psycho : Cazanopa, Kotong, Tombir, Antoks, Yanu, Sobir, KampretZ, Gondel, Arex, Gendut (Teman kita yang telah berpulang, moga-moga diterima disisinya), Thika, Imel, Linda, Ling-ling, Utut, terima kasih atas persabatannya.
ix
Penulis juga tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada pihak yang membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu per satu disini. Tiada yang sempurna, demikian juga skripsi ini. Masukan dan kritikan yang membangun untuk kesempurnaan skripsi ini menjadi kehormatan bagi penulis.
Yogyakarta, Penulis
x
Februari 2009
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL…………………………………………………………..
i
HALAMAN JUDUL (INGGRIS)……………………………………………..
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………….....
ii
HALAMAN PENGESAHAN………………………...………………………. iii HALAMAN KEASLIAN KARYA………………………...…………………
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN…………………………………………….....
v
ABSTRAK……………………………………………………………..............
vi
ABSTRACT…………………………………………………………………… vii KATA PENGANTAR………………………………………………………… viii DAFTAR ISI…………………………………………………………………..
xi
DAFTAR TABEL……………………………………………………………. xiv DAFTAR GAMBAR…………………………………………………………. xv
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang…………………………………………………… 1 B. Perumusan Masalah………………………………………………
4
C. Pembatasan Masalah………………………………………...........
4
D. Tujuan Penulisan…………………………………………............. 4 E. Metode Penulisan…………………………………………............ 5 F. Manfaat Penulisan………………………………………………... 5
xi
G. Sistematika Penulisan…………………………………….............
5
BAB II LANDASAN TEORI A. Variabel Random ……………………………………………….... 7 B. Fungsi Probabilitas 1. Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret………………………. 10 2. Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu……………………… 10 3. Fungsi Densitas…………………………………………….. 10 C. Nilai Harapan dan Variansi……………………………………… 11 D. Distribusi Normal………………………………………………… 14 E. Fungsi Variabel Random………………………………………… 22 F. Distribusi Lognormal…………………………………………….. 27 G. Teorema Limit Pusat…………………………………………….. 31 H. Interval Kepercayaan …………………………………………… 32 I. Simulasi Komputer………………………………………………. 38 J. Penduga Densitas Kernel………………………………………… 44 K. Kuantil-Kuantil Plot……………………………………………… 47 L. Teorema Limit Pusat Dalam Simulasi Komputer……………….. 54 BAB III MODEL MATEMATIKA PERGERAKAN HARGA SAHAM A. Pergerakan Harga Saham………………………………………… 59 B. Model Matematis Harga Saham 1. Model Saham Diskret……………………………………… 68 2. Model Harga Saham Kontinu……………………………… 69 3. Distribusi Lognormal Harga Saham……………………….. 74
xii
4. Interval Konvidensi Harga Saham………………………… 83 C. Komputasi Asset Path 1. Pola Pergerakan Harga Saham dengan Skala Waktu yang Berbeda……………………….. 95 2. Jumlah Kuadrat Return……………………………………. 100 BAB IV APLIKASI PADA HARGA SAHAM INDONESIA Analisa harga saham Indonesia……………………………………… 108 BAB V PENUTUP A. Kesimpulan ………………………………………………………118 B. Saran………………………………………………………………118 DAFTAR PUSTAKA…………………………………………………….119 LAMPIRAN………………………………………………………………120
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.2.1
…………………..……………………………............................
Tabel 2.3.1
………………….…………………………………….................. 12
Tabel 2.9.1
………………….……………………………………………….. 41
Tabel 2.9.2
…………………………………………………………………... 43
Tabel 3.1.1
…………………………………………………………………... 65
Tabel 3.1.2
……………………………………………………………………66
xiv
9
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.4.1
……………………………………………………………... 16
Gambar 2.7.1
……………………………………………………………..
34
Gambar 2.7.2
……………………………………………………………..
37
Gambar 2.10.1
…………….……………………………………………….
45
Gambar 2.10.2
……………………………………………………………..
45
Gambar 2.10.3
……………………………………………………………..
46
Gambar 2.10.4
……………………………………………………………..
47
Gambar 2.11.1
……………………………………………………………..
51
Gambar 2.11.2
……………………………………………………………..
52
Gambar 2.11.3
……………………………………………………………..
54
Gambar 2.12.1
……………………………………………………………..
56
Gambar 2.12.2
……………………………………………………………..
57
Gambar 3.1.1
……………………………………………………………..
60
Gambar 3.1.2
……………………………………………………………..
61
Gambar 3.1.3
……………………………………………………………..
63
Gambar 3.1.4
……………………………………………………………..
64
Gambar 3.1.5
……………………………………………………………..
64
Gambar 3.1.6
……………………………………………………………..
67
Gambar 3.1.7
……………………………………………………………..
68
Gambar 3.2.1
……………………………………………………………..
82
Gambar 3.2.2
……………………………………………………………..
82
xv
Gambar 3.3.1
……………………………………………………………..
88
Gambar 3.3.2
……………………………………………………………..
89
Gambar 3.3.3
……………………………………………………………..
90
Gambar 3.3.4
……………………………………………………………..
92
Gambar 3.3.5.1
…………………………………………………………......
92
Gambar 3.3.5.2
……………………………………………………………..
93
Gambar 3.3.6
…………………………………………………………….
94
Gambar 3.3.7
…………………………………………………………….
94
Gambar 3.3.8
…………………………………………………………….
96
Gambar 3.3.9
……………………………………………………………. 101
Gambar 3.3.10
……………………………………………………………. 105
Gambar 3.3.11
……………………………………………………………. 105
Gambar 3.3.12
……………………………………………………………. 106
Gambar 3.3.13
……………………………………………………………. 106
Gambar 3.3.14
……………………………………………………………. 107
Gambar 4.1
……………………………………………………………. 108
Gambar 4.2
……………………………………………………………. 109
Gambar 4.3
……………………………………………………………. 109
Gambar 4.4
……………………………………………………………. 110
Gambar 4.5
……………………………………………………………. 110
Gambar 4.6
……………………………………………………………. 112
Gambar 4.7
……………………………………………………………. 113
Gambar 4.8
……………………………………………………………. 113
xvi
Gambar 4.9
……………………………………………………………. 114
Gambar 4.10
……………………………………………………………. 114
Gambar 4.11
……………………………………………………………. 114
Gambar 4.12
……………………………………………………………. 116
Gambar 4.13
……………………………………………………………. 116
xvii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari kadang dijumpai pemberitaan tentang saham, pergerakan harga saham, investasi dalam bentuk saham, dan jual beli saham. Tetapi belum tentu setiap orang tahu tentang definisi dan seluk beluk pergerakan harga saham. Definisi saham itu sendiri adalah suatu obyek finansial yang nilainya diketahui pada saat ini, tetapi dapat berubah pada masa yang akan datang. Harga saham pada dasarnya digunakan sebagai ukuran kepercayaan seorang investor. Hal ini akan dipengaruhi faktor-faktor yang ada seperti berita yang sedang berkembang, keadaan geografis, desas-desus, spekulasi dan lain sebagainya. Pergerakan harga saham yang sedang berkembang menggambarkan semua informasi untuk diketahui investor dan semua perubahan pada harga akan memberikan informasi baru (hipotesis efisiensi pasar). Menurut hipotesis efisiensi pasar, jika ingin memprediksi harga saham untuk masa yang akan datang maka harus diketahui secara lengkap tentang sejarah dari data harga saham sebelumnya dan faktor-faktor lain seperti keadaan perusahaan, keadaan geografis, spekulasi dan lain sebagainya. Tetapi pada pembahasan kali ini hanya akan digunakan sejarah dari data harga saham sebelumnya untuk memprediksi pergerakan harga saham. Karena pergerakan harga saham pada dasarnya tidak dapat diprediksi secara pasti, maka akan dibuat model matematika tentang pergerakan harga saham
2
tersebut. Definisi dari model matematika itu sendiri adalah representasi simbolik yang melibatkan formulasi matematika. Jika diberikan harga saham S0 pada saat t = 0, tujuannya adalah untuk membuat model matematika yang mendeskripsikan harga saham S(t) pada waktu t (0 ≤ t ≤ T). Seperti yang telah disebutkan diatas, karena pergerakan harga saham pada dasarnya tidak dapat diprediksi secara pasti, maka S(t) merupakan sebuah variabel random untuk setiap t. Meskipun harga saham biasanya dibulatkan menjadi satu atau dua tempat desimal, diasumsikan bahwa harga saham memiliki nilai ≥ 0. Model harga saham ada dua macam model yaitu model saham diskret dan model saham kontinu. Pada perubahan yang tidak dapat diprediksi secara pasti akan ditambahkan sebuah kenaikan fluktuasi random pada persamaan. Supaya tepat dimisalkan ti = iδt, dimana δ t adalah interval waktu kecil, sehingga harga saham dapat ditentukan pada titik-titik diskret { t i }. Model waktu diskretnya adalah, S(ti+1) = S(ti) + µ δtS(ti) + σ δt YiS(ti) , dimana
•
µ adalah parameter konstan (biasanya µ > 0, sehingga µδtS(ti) menggambarkan sebuah pergerakan naik pada harga saham).
•
σ ≥ 0 adalah parameter konstan yang menentukan kekuatan fluktuasi random, dan disebut volatilitas.
•
Y0,Y1,Y2,…adalah bilangan random yang berdistribusi identik dan
independen N(0,1).
3
Untuk mendapatkan sebuah model perubahan relatif dalam interval waktu δt, dimisalkan δt → 0 dengan tujuan untuk mendapatkan sebuah model yang valid untuk t yang kontinu dalam interval 0 ≤ t ≤ T . Pergerakan harga saham yang diberikan pada bursa-bursa saham pada dasarnya pergerakan secara diskret tetapi semakin kecil interval perubahan waktunya, harga saham tidak lagi bersifat diskret. Oleh karena itu pergerakan harga saham akan didekatkan pada model saham kontinu. Misalkan interval waktu [0, t] dengan t = Lδt. Diketahui S(0) = S0, dan dari model diskret diperoleh S(δt), S(2δt), .., S(Lδt=t). Maka model waktu kontinunya pada saat t adalah S(t) = S0e
1 ( µ − σ 2 ) t +σ t Z 2
, dimana Z berdistribusi N(0,1).
Kemudian model matematis tersebut disimulasikan. Pertama-tama akan digunakan komputer untuk membangkitkan bilangan random dan dari bilangan random ini digunakan untuk membangkitkan nilai variabel random. Kemudian akan
ditunjukkan
bagaimana
menggunakan
variabel
membangkitkan model diskret dan kontinu terhadap waktu.
random
untuk
4
B. Perumusan Masalah Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah : 1. Bagaimana menyusun model saham kontinu dari model saham diskret? 2. Bagaimana cara menyimulasikan model matematika dari pergerakan harga saham? 3. Bagaimana mengaplikasikan model tersebut pada pergerakan harga saham di Indonesia?
C. Pembatasan Masalah 1. Teorema Limit Pusat tidak dibuktikan. 2. Model yang akan dibahas dalam skripsi ini hanya model return harga saham, model harga saham diskret dan model harga saham kontinu. 3. Hanya akan digunakan sejarah dari data harga saham untuk menganalisa pergerakan harga saham. 4. Program yang digunakan adalah Exel, SPSS, dan Matlab. 5. Grafik frekuensi relatif, penduga densitas kernel dan grafik kumulatif pada bab II dan bab III berupa histogram, tetapi karena keterbatasan Matlab maka tampak seperti grafik bar.
D. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan dari skripsi ini adalah untuk membuat model matematis dari pergerakan harga saham dan menyimulasikannya. Melalui
5
simulasi tersebut pergerakan suatu saham dapat dianalisa, sehingga dapat diperoleh prediksi pergerakannya untuk waktu yang akan datang.
E. Metode Penulisan Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal, dan makalah yang telah dipublikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru.
F. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah dapat dipahami hubungan model saham diskret dan model saham kontinu. Selain itu pembaca dapat juga memperoleh prediksi tentang pergerakan harga saham untuk waktu yang akan datang.
G.
Sistematika Penulisan
BAB I:
PENDAHULUAN Dalam bab I dibahas tentang latar belakang, perumusan masalah,
pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode
penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.
6
BAB II:
LANDASAN TEORI Dalam bab II akan dibahas tentang variabel random, fungsi probabilitas, nilai harapan dan variansi, distribusi normal, fungsi variabel random, distribusi lognormal, teorema limit pusat, interval konvidensi, simulasi komputer, penduga densitas kernel, kuantil-Kuantil plot, dan teorema limit pusat dalam simulasi komputer.
BAB III:
MODEL
MATEMATIKA
DAN
SIMULASI
PERGERAKAN HARGA SAHAM Dalam bab III ini akan dibahas tentang pergerakan harga saham, model matematika harga saham dan juga komputasi aset path.
BAB IV:
APLIKASI PADA HARGA SAHAM INDONESIA Dalam bab IV ini akan diberikan contoh analisa data harga saham yang ada di Indonesia dengan menggunakan model harga saham dan komputasi asset path.
BAB V:
PENUTUP Dalam bab V ini akan diberikan tentang kesimpulan dan saran.
BAB II LANDASAN TEORI
A. Variabel Random Gagasan untuk mendefinisikan sebuah fungsi yang dikenal dengan variabel random timbul karena model-model matematika diekspresikan dalam bentuk nilai-nilai numeris daripada hasil percobaan asli seperti sisi, warna, atau yang lain. Definisi 2. 1.1: Variabel random, misalnya X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S, yang memetakan setiap elemen e ∈ S kebilangan real. Notasi : X (e) = x, e ∈ S
x∈ R Untuk lambang variabel random digunakan huruf-huruf kapital X, Y, Z, sedangkan untuk melambangkan nilai variabel random yang mungkin, digunakan huruf-huruf kecil yang bersesuaian seperti x, y, z. Contoh 2. 1.1:
Jika seseorang melempar dua buah dadu secara bersamaan maka, ruang sampel S = {(i,j)}| i,j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Variabel random X menyatakan jumlah bilangan yang muncul pada kedua buah dadu maka X(i,j) = i + j, sehingga X(1,2) = 1 + 2 = 3 X(6,3) = 6 + 3 = 9
8
Konsep variabel random dapat dipahami sebagai sebuah pemetaan dari himpunan S kehimpunan bilangan bilangan real. Kemudian konsep ini dipakai untuk menghitung peluang timbulnya suatu kejadian. Dengan mengambil contoh 2.1.1, didefinisikan kejadian memperoleh jumlah bilangan maksimal 3. Titik-titik sampel kejadian ini dapat dituliskan sebagai Y = 2,3 atau Y ∈ {2,3} atau dapat pula dinyatakan dalam interval Y = { y | y ≤ 3} . Dengan probabilitas : P (Y ≤ 3) = P((1,1), (1,2), (2,1)) =
3 1 = . 36 12
Variabel Random Diskret Dan Variabel Random Kontinu Definisi 2. 1.2: Variabel random diskret adalah variabel random yang nilainya berhingga atau takberhingga terbilang, selain ini disebut variabel random kontinu.
Contoh 2.1.2: variabel random diskret :
o X = Banyaknya kecelakaan mobil dalam waktu satu tahun di Yogyakarta.
o S = Frekuensi denyut jantung permenit. variabel random kontinu : Contoh variabel random kontinu adalah M = lamanya permainan catur dalam satu babak. Meskipun dalam kenyataannya biasa diukur waktu hanya dengan satuan terdekat seperti menit atau detik, seara teoritik dapat diukur waktu dengan sembarang satuan kecil.
9
B. Fungsi Probabilitas Definisi 2.2.1: Fungsi f(xi) = P(X = xi), i = 1, 2, 3,… yang menyatakan probabilitas untuk semua kemungkinan nilai variabel random diskret X disebut fungsi probabilitas.
Fungsi probabilitas tersebut dapat dinyatakan dalam rumus fungsi atau tabel yang memuat pasangan nilai variabel random x berikut dengan peluangnya yang disebut distribusi probabilitas.
Contoh 2.2.1: Sebuah koin dilemparkan sebanyak 2 kali dan X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya muka yang diperoleh. Variabel random X yang memiliki distribusi probabilitas sebagai berikut :
Tabel 2.2.1 Tabel distribusi probabilitas X
0
1
2
P(X=x)
1 4
1 2
1 4
Definisi 2.2.2 :
Probabilitas dari a ≤ X ≤ b ditentukan oleh integral f(x) dengan batas bawah x = a dan batas atas x = b, dengan X adalah variabel random kontinu dan f adalah fungsi densitas yang bernilai real
10
b
P(a≤ X ≤b) =
∫ f ( x)dx .
(2.1)
a
1. Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret Definisi 2.2.3:
Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random diskret X didefinisikan sebagai F(x) = P(X ≤ x) untuk semua nilai real x.
Kadang-kadang fungsi F(x) disebut juga fungsi distribusi.
2. Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu Definisi 2.2.4:
Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random X, dengan fungsi densitas f(x) didefinisikan sebagai : x
F(x) =
∫ f (t )dt
(2. 2)
−∞
Fungsi densitas f(x) merupakan derivatif dari F(x).
3. Fungsi Densitas
Pada fungsi distribusi yang mengandung titik-titik terputus yang berhingga banyaknya, loncatan yang terdapat pada suatu titik terputus merupakan probabilitas timbulnya variabel random X pada titik tersebut. Kemudian dapat pula disimpulkan bahwa pada ruang sampel kontinu, peluang timbulnya variabel random pada suatu titik tertentu sama dengan nol. Dengan demikian, pernyataan
11
peluang suatu variabel random kontinu selalu dinyatakan dalam peluang bernilai dalam interval. Definisi 2.2.5:
Fungsi f(x) disebut fungsi densitas bagi variabel random kontinu X bila dan hanya bila memenuhi syarat : ( i ) f(x) ≥ 0 untuk semua nilai x real ∞
( ii )
∫ f ( x)dx = 1
−∞
C. Nilai Harapan
Konsep nilai harapan memegang peranan yang sangat penting dalam statistika. Contoh yang paling mudah adalah mean dan variansi suatu variabel random. Keduanya adalah parameter-parameter yang hampir selalu muncul dalam teknik-teknik analisis statistika elementer maupun lanjut. Yang dimaksud dengan nilai harapan dinyatakan dalam definisi berikut,
Definisi 2.3.1: ⎧ ∑n x p ( x ), jika x diskret dengan fungsi probabilit as p ( x ) i i E(X) = ⎪⎪⎨ i =1 ∞ ⎪ ∫ xf ( x ) dx , jika X kontinu dengan fungsi densitas f ( x ) ⎪⎩ −∞
(2.3)
Ditinjau dari segi variabel random yang diskret, maka nilai harapan E(X) merupakan suatu nilai fungsi linear dari semua unsur didalam domain fungsi dengan peluang yang bersesuaian sebagai faktor pembobot.
12
Contoh 2.3.1:
Dalam pelemparan sebuah mata dadu setimbang sebanyak satu kali, kita akan menerima uang sebanyak titik pada sisi yang tampak. Untuk bermain satu kali lemparan kita harus membayar c rupiah. Pertama-tama kita perhatikan bahwa hadiah yang kita terima tiap permainan adalah variabel random dengan distribusi probabilitas sebagai berikut : Tabel 2.3.1 Tabel distribusi probabilitas Hadiah X
1
2
3
4
5
6
P(X=x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
E(X) = 1.1/6 + 2. 1/6 + 3. 1/6 + 4. 1/6 +5. 1/6 + 6. 1/6 = 3,5 rupiah Berapa rupiah yang harus kita bayar agar permainan tersebut adil ? Permainan disebut adil jika c = 3, 5 rupiah. Dengan demikian rata-rata hadiah yang kita terima sama dengan banyaknya uang yang kita bayarkan untuk bermain. Nilai harapan E(X) = 3, 5 dapat diinterprestasikan sebagai berikut : “ jika permainan itu dapat diulang sebanyak-banyaknya, maka perbandingan antara jumlah hadiah dengan banyaknya kali permainan adalah 3, 5”.
Sifat-sifat Nilai Harapan Definisi 2.3.2:
Jika X adalah variabel random dan g(x) adalah fungsi dari variabel random X maka,
13
E[g(X)] =
⎧ ∑n g ( xi ) p ( xi ), jika X diskret dengan fungsi probabilitas p ( x ) ⎪ i =1 ⎨∞ ⎪ ∫ g ( x ) f ( x ) dx , jika X kontinu dengan fungsi densitas f ( x ) ⎩ −∞
(2.4)
Teorema 2.3.1:
Jika X adalah variabel random dengan fungsi densitas f(x), a dan b konstanta, g(x) dan h(x) fungsi-fungsi variabel random berharga real, maka E[ag(x) + bh(x)] = a E[(g(x)] + b E[h(x)]
(2. 5)
Bukti :
Jika X adalah variabel random kontinu maka menurut definisi nilai harapan ∞
E[ag(x)+bh(x)]
=
∫ [ag ( x) + bh( x)] f ( x)dx
−∞
∞
=a
∫
−∞
∞
g ( x) f ( x)dx + b ∫ h( x) f ( x)dx −∞
= aE[g(x)] + bE[h(x)]
▄
Definisi 2.3.3:
Variansi variabel random X adalah : Var(X) = E[(x-µ)2]
Sifat-sifat lain nilai harapan :
Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku 1. E(a) = a 2. E(bX) = b E(X)
(2. 6)
14
3. E(X + a) = E(X) + a 4. E(bX + a) = b E(X) + a Sifat-sifat lain variansi :
Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku 1. Var(X) tidak negatif 2. Var(X + a) = Var(X) 3. Var(bX) = b2 Var(X) 4. Var(bX + a) = b2 Var(X)
Definisi 2.3.4:
Fungsi Gamma ditulis Γ(k ) , untuk semua k>0 didefinisikan sebagai ∞
Γ(k ) = ∫ t k −1e − t dt
(2.7)
0
Fungsi Gamma memenuhi sifat-sifat : Γ(k ) = (k − 1) Γ(k − 1) Γ(n) = (n − 1)!
k>1, dan n = 1, 2, ..
(2.8)
Γ(1 / 2) = π
D. DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi normal sangat penting baik dalam statistika teori maupun terapan. Distribusi ini pertama kali dipelajari pada abad kedelapan belas, ketika orang mengamati galat pengukuran berdistribusi simetrik dan berbentuk bel. De Moivre mengembangkan bentuk matematik distribusi ini pada tahun 1733,
15
sebagai bentuk limit distribusi binomial. Laplace juga telah mengenal distribusi ini sebelum tahun 1775. Gauss menurunkan persamaan distribusi ini dari suatu studi tentang galat dalam pengukuran yang berulang-ulang dari kuantitas yang sama, dan mempublikasikannya pada tahun 1809. Untuk menghormatinya distribusi normal juga dikenal sebagai distribusi Gauss. Pada abad kedelapan belas dan sembilan belas, berbagai usaha telah dilakukan untuk membuat distribusi ini sebagai hukum probabilitas yang mendasari semua variabel kontinu, maka digunakan nama distribusi normal. Definisi 2.4.1:
Suatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ2, apabila variabel itu mempunyai fungsi probabilitas yang berbentuk 1
f(x) =
− (x − µ )2 1 2 e 2σ σ 2π
(2.9)
dengan
−∞ < X < ∞
σ >0
−∞ < µ < ∞
π = 3,14 dan e = 2,718 .
Jika fungsi probabilitas itu digambar, maka kita peroleh grafik seperti dalam gambar dibawah ini dan dinamakan kurva normal.
16
µ
x
Gambar 2.4.1. : kurva normal dengan mean µ dan variansi σ2 Berikut ini akan ditunjukkan bahwa distribusi normal memenuhi siat-sifat fungsi densitas. Pertama, harus ditunjukkan bahwa integral dari fungsi densitas normal adalah 1. Kedua, harus ditunjukkan bahwa µ dan σ2 adalah mean dan variansi dari X. Dengan mensubstitusikan z = ∞
I=
∫
f ( x; µ ,σ )dx =
−∞
∞
∫
−∞
x−µ
σ
∞
∫
w −1 / 2
π
0
∞
1 −z2 / 2 1 −z2 / 2 e dz = 2 ∫ e dz 2π 2π 0
Bila dimisalkan w = z2/2, maka z = I=
dan dx = σdz, didapat :
2 w dan dz = (w-1/2/ 2 )dw, sehingga
e − w dw
Dengan menggunakan fungsi Gamma didapat, I=
Γ(1 / 2)
π
=1
Integran yang diperoleh dengan mensubstitusikan z =
x−µ
σ
memegang peranan
yang sangat penting dalam menentukan probabilitas variabel random normal.
17
Perhitungan menjadi lebih sederhana karena nilai probabilitas telah ditabelkan. Fungsi densitas hasil transformasi dari X ke Z disebut Distribusi normal standar yang fungsinya,
φ ( z) =
1 −z2 e , − ∞ < z <∞ 2π
Berikut ini dengan menggunakan persamaan (2.3) akan dicari nilai harapan dan variansi dari variabel random X yang berdistribusi normal. ∞
E(X)
=
∫
x
−∞
⎡ 1 ⎛ x − µ ⎞2 ⎤ 1 exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ dx σ 2π ⎢⎣ 2 ⎝ σ ⎠ ⎥⎦
x−µ
Misal z =
σ
∞
E(X) =
∫
1
x
−∞
− z2 1 e 2 σ dz σ 2π
∞
=
1
∫
1 − 2 z2 e dz 2π
x
−∞ ∞
=
∫
(σz + µ )
−∞ ∞
=
maka x = σz + µ dan dx = σdz sehingga diperoleh
∫ σz
−∞
∞
=σ
∫
1
1 − 2 z2 e dz 2π 1
∞
1
− z2 1 − 2 z2 e dz + ∫ µe 2 dz 2π −∞
1
z
−∞
1 − 2 z2 e dz + µ ⋅1 2π
jika dimisalkan, -1/2z2 = w maka z =
atau
dz =
2 w dan z dz = -dw
dw dw sehingga diperoleh = z 2w
18
∞
∫
E(X) = − σ
1
1 2 z2 e dz + µ 2π
z
−∞
∞
∫
= −σ
−∞
1 w e dw + µ 2π
=−
σ 2π
∞ ⎞ ⎛0 w ⎜ ∫ e dw + ∫ e wdw ⎟ + µ ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ −∞
=−
σ 2π
⎛ − 12 z 2 ⎜e ⎜ ⎝
=−
σ ((e0 − e−∞ ) + (e−∞ − e0 ))+ µ 2π
]0− ∞ + e
⎞
1 − z2 2
]∞0 ⎟⎟ + µ ⎠
=0+µ =µ
E(X2) =
(2.10)
∞
∫
x2
−∞
Misal, z =
⎡ 1 ⎛ x − µ ⎞2 ⎤ 1 exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ dx σ 2π ⎢⎣ 2 ⎝ σ ⎠ ⎥⎦ x−µ
σ
maka x = σz + µ dan σdz = dx sehingga diperoleh
∞
1
− z2 1 e 2 σ dz E(X ) = ∫ x σ 2π −∞
2
2
∞
(σz + µ ) 2 − 2 z 2 e dz = ∫ 2π −∞ 1
∞
(σ 2 z 2 + 2 µσz + µ 2 ) − 2 z 2 e dz = ∫ 2π −∞ ∞
1
∞ ∞ 1 σ 2 z 2 − 12 z 2 µσz − 2 z µ 2 − 12 z e dz + ∫ e dz + ∫ e dz = ∫ 2π 2π 2π −∞ −∞ −∞ 2
2
2
19
∞
σ 2 z 2 − 12 z e dz + 0 + µ 2 ⋅1 = ∫ 2π −∞ =
2
σ2 2π
∞
2 ∫z e
1 − z2 2
dz + µ 2
−∞
misal ½ z2 = w maka z = E(X2) =
=
=
σ2 2π σ2 π 2σ 2
π
∞
∫ 2 we
−w
−∞ ∞
2 w dan z dz = dw sehingga diperoleh dw + µ2 2w
1
2 −w ∫ w 2 e dw + µ
−∞ ∞
1
2 −w ∫ w 2 e dw + µ 0
dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8) didapatkan E(X2) =
=
2σ 2
π 2σ 2
π
∞
1
2 −w ∫ w 2 e dw + µ 0
Γ(3 / 2) + µ2
=
2σ 2 1 Γ(1 / 2) + µ2 π 2
=
2σ 2 1 π + µ2 2 π
= σ 2 + µ2.
(2.11)
Dengan menggunakan persamaan (2.6) maka Var(X)
= E(X2) – [E(X)]2 = ( σ 2 + µ 2 ) - µ 2 = σ2
(2.12)
20
Sekarang akan dicari nilai E(X4)
⎡ 1 ⎛ x − µ ⎞2 ⎤ 1 exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ dx σ 2π ⎢⎣ 2 ⎝ σ ⎠ ⎥⎦
∞
E(X4)
∫
=
x4
−∞
x−µ
Misal, z =
E(X4) =
σ
maka x = σz + µ dan σdz = dx sehingga diperoleh
∞
1
− z2 1 x e ∫−∞ σ 2π 2 σ dz 4
∞
=
(σz + µ ) 4 − 2 z 2 ∫ 2π e dz −∞ 1
∞
=
(σ 4 z 4 + 4 µσ 3 z 3 + 6σ 2 z 2 µ 2 + 4σ z µ 3 + µ 4 ) − 2 z 2 e dz ∫ 2π −∞ 1
∞
=
∞ ∞ 1 1 4 µσ 3 z 3 − 2 z 6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z σ 4 z 4 − 12 z e dz + e dz + e dz ∫ 2π ∫ 2π ∫ 2π −∞ −∞ −∞ 2
2
∞
+
2
∞
4σ z µ 3 − 2 z 2 µ 4 − 2 z2 e dz + ∫ 2π ∫ 2π e dz …………………………. * −∞ −∞
∞
1
σ 4 z 4 − 12 z σ4 e dz = untuk ∫ 2π 2π −∞ 2
misal ½ z2 = w maka z =
∞
4 ∫z e
1 − z2 2
1
dz
−∞
2 w dan z dz = dw maka ruas kanan bagian pertama
persamaan * menjadi
σ4 2π
∞
∫z e 4
−∞
1 − z2 2
σ4 dz = 2π =
2σ 4
π
∞
∞
∫ 4w e
2 −w
−∞
∫we
−∞
2 −w
dw w
dw 2w
21
=
2σ 4
π
∞
3
−w ∫ w 2 e dw =
−∞
4σ 4
π
∞
3
−w ∫ w 2 e dw 0
dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8) didapatkan
σ4 2π
∞
4 ∫z e
1 − z2 2
dz =
−∞
= ∞
4σ 4 ⎛ 5 ⎞ 4σ 4 3 ⎛ 3 ⎞ 6σ 4 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Γ⎜ ⎟ = Γ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟Γ ⎜ ⎟ π ⎝2⎠ ⎝2⎠ π ⎝2⎠ π 2 ⎝2⎠
3σ 4 ⎛ 1 ⎞ 3σ 4 Γ⎜ ⎟ = π = 3σ 4 π ⎝2⎠ π ∞
− z2 4 µσ 3 z 3 − 2 z 2 4 µσ 3 e dz = z 3e 2 dz ∫−∞ 2π ∫ 2π − ∞
untuk
1
misal ½ z2 = w maka z =
1
2 w dan z dz = dw maka ruas kanan bagian kedua pada
persamaan * menjadi ∞
∞
1 − z2 4 µσ 3 4 µσ 3 dw 3 2 z e dz = 2w(2 w)2 e − w ∫ ∫ 2π − ∞ 2π − ∞ 2w 1
∞
=
8µσ 3 we − w dw ∫ 2π − ∞
=
16µσ 3 we − w dw ∫ 2π 0
=
16 µσ 3 16 µσ 3 16µσ 3 Γ(2 ) = 1Γ(1) = 0 Γ(0 ) = 0 2π 2π 2π
∞
∞
untuk
6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z 2 ∫ 2π e dz −∞ 1
misal ½ z2 = w maka z =
2 w dan z dz = dw maka ruas kanan bagian
ketiga pada persamaan * menjadi ∞
∞
6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z 2 6σ 2 µ 2 dw 2w e− w e dz = ∫− ∞ 2π ∫ 2π − ∞ 2w 1
22
∞
∞
6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z 2 6σ 2 µ 2 e dz = w 2 e − w dw ∫− ∞ 2π ∫ π −∞ 1
12σ 2 µ 2
=
π
1
∞
1
−w ∫ w 2 e dw 0
dengan persamaan (2.7) dan (2.8) didapatkan ∞
6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z 2 12σ 2 µ 2 e dz = Γ(3 / 2) ∫ 2π π −∞ 1
=
12σ 2 µ 2 1 Γ(1 / 2) π 2
=
12σ 2 µ 2 1 π = 6σ 2 µ 2 2 π
∞
untuk
4σ z µ 3 − 12 z 2 ∫ 2π e dz = 0 −∞ ∞
untuk
∫
−∞
µ 4 − 12 z e dz = µ 4 2π
Jadi E(X4)
2
∞
=
∞ ∞ 1 1 4 µσ 3 z 3 − 2 z 6σ 2 z 2 µ 2 − 2 z σ 4 z 4 − 12 z e dz + e dz + e dz ∫ 2π ∫ 2π ∫ 2π −∞ −∞ −∞ 2
∞
+
2
∞
2
4σ z µ 3 − 2 z 2 µ 4 − 2 z2 e dz + ∫ 2π ∫ 2π e dz −∞ −∞ 1
1
= 3σ 4 + 6σ 2 µ 2 + µ 4 Sehingga nilai E(X4) = 3σ 4 + 6σ 2 µ 2 + µ 4 .
(2.13)
E. Fungsi Variabel Random
Salah satu tujuan dari statistika adalah membuat kesimpulan tentang populasi berdasarkan informasi yang terdapat dalam sampel dan menentukan ukuran yang sesuai untuk menarik kesimpulan. Topik fungsi variabel random sangat erat kaitannya dengan tujuan tersebut. Hal ini disebabkan karena statistik
23
yang dipakai untuk menduga dan mengambil kesimpulan tentang parameter merupakan fungsi dari n buah pengamatan random yang terdapat dalam sampel. Sebagai gambaran, dalam masalah pendugaan rata-rata populasi, dari sampel random berukuran n akan didapatkan pengamatan y1, y2, .., yn. Maka akan digunakan rata-rata sampel n
y=
∑y i =1
i
n
(2.14)
sebagai penduga rata-rata populasi µ . Pertanyaan yang dapat diajukan adalah seberapa baikah y sebagai panduga dari µ . Jawabannya tergantung pada sifat dari variabel random Y1, Y2, .., Yn. Kebaikan dari suatu penduga dapat diukur, misalnya dengan kesalahan pendugaan, yaitu selisih antara penduga dan parameter yang diduga (dalam hal ini
y dan µ ). Karena Y1, Y2, .., Yn adalah variabel-variabel random dalam sampel berulang, maka Y adalah juga variabel random yang merupakan fungsi dari Y1,
Y2, .., Yn. Dengan demikian, tidak dapat ditentukan secara pasti bahwa kesalahan pendugaan akan kurang dari suatu bilangan tertentu, misalnya B. Akan tetapi, jika dapat ditentukan distribusi probilitas dari Y , maka distribusi ini dapat dipakai untuk menentukan probabilitas bahwa kesalahan pengukuran kurang dari atau sama dengan B. Untuk menentukan distribusi probabilitas dari fungsi suatu variabel Y1,
Y2, .., Yn harus ditemukan terlebih dahulu distribusi probabilitas bersama dari variabel-variabel random tersebut. Secara umum dapat diasumsikan bahwa sampel
24
diperoleh berdasarkan pengambilan sampel secara random. Hal ini berarti bahwa pengambilan sampel dari populasi berhingga akan menghasilkan percobaan yang tidak bebas, tetapi percobaan ini secara esensial menjadi percobaan bebas jika ukuran populasi relatif besar dibandingkan dengan ukuran sampelnya. Pada pembahasan selanjutnya akan diasumsikan bahwa populasi berukuran relatif besar terhadap sampel, sehingga variabel random yang terkait saling bebas satu dengan yang lainnya. Dengan demikian, baik untuk variabel random diskret maupun kontinu, distribusi probabilitas bersama Y1, Y2, .., Yn yang berasal dari populasi yang sama adalah
f(y1, y2, .., yn) = p(y1)p(y2)..p(yn) Selanjutnya pernyataan “Y1, Y2, .., Yn adalah sampel random dari f(y)” diartikan sebagai “variabel-variabel random Y1, Y2, .., Yn adalah saling bebas dengan distribusi bersama f(y)”.
Menentukan Distribusi Probabilitas Fungsi Variabel Random
Untuk menentukan distribusi probabilitas suatu fungsi variabel random dapat ditempuh dengan 3 metode, yaitu metode fungsi distribusi, metode transformasi, dan metode fungsi pembangkit momen. Dalam skripsi ini akan digunakan metode transformasi satu-satu untuk menentukan distribusi probabilitas suatu fungsi variabel random. Metode Tranformasi satu-satu
Pertama-tama diasumsikan tranformasi variabel-variabel dalam satu dimensi. Andaikan u(x) adalah fungsi bernilai real dari variabel x. Jika persamaan
25
y = u(x) mempunyai persamaan tunggal, misalnya x = w(y), maka tranformasi tersebut adalah tranformasi satu-satu. Teorema 2.5.1:
Andaikan X adalah variabel random diskret dengan distribusi probabilitas fx(x) dan Y = u(x) mendefinisikan trnsformasi satu-satu. Dengan kata lain persamaan Y = u(x) mempunyai penyelesaian tunggal x = w(y). Maka distribusi probabilitas dari Y adalah y ∈ B = {y|fy(y)>0}
Fy(y) = fx(w(y))
(2.15)
Bukti :
Fy(y) = P[Y=y] = P[u(X)=y]=P[X=w(y)]=fx(w(y))
▄
Contoh 2.5.1:
Andaikan X~GEO(p), yaitu Fx(x) = pqx-1
x = 1, 2, 3, ..
Tentukan distribusi probabilitas dari Y = X-1 Jawab : Y = X-1, maka u(x)= x-1, w(y) = y+1, sehingga fy(y) = fx(y+1) = pqy, y = 0, 1, 2, ..
Teorema 2.5.2:
Andaikan X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas fx(x), dan Y=u(x) mendefinisikan transformasi satu-satu A = {x| fx(x)>0} ke B = {y| fy(y)>0} dengan transformasi invers x = w(y). Jika turunan (d/dy)w(y) kontinu dan tak nol pada B, maka fungsi densitas dari Y adalah Fy(y) = fx(w(y))
d w( y ) , y ∈ B dy
(2.16)
26
Bukti :
Jika y=u(x) adalah fungsi satu-satu, maka ada dua kemungkinan yaitu monoton naik atau turun. Pada kasus monoton naik, u(x) ≤y bila dan hanya bila x≤w(y). Sehingga FY(y) = P[u(X)≤y] = P[X≤w(y)] = Fx(w(y)), akibatnya fY(y)
=
d d d Fx ( w( y )) = Fx ( w( y )) w( y ) dy dw( y ) dy
= fx(w(y))
d w( y ) , karena dalam kasus ini (d/dy)w(y)>0 dy
Pada kasus monoton turun, u(x) ≤y bila dan hanya bila w(y) ≤ x. Sehingga FY(y) = = P[u(X)≤y] = P[X ≥ w(y)] = 1-Fx(w(y)), dan fY(y)
= − f x ( w( y ))
= f x ( w( y ))
d w( y ) dy
d w( y ) , karena dalam kasus ini (d/dy)w(y)<0 dy
▄
Turunan dari w(y) disebut sebagai Jacobian dari transformasi dan disimbolkan dengan J = (d/dy)w(y). Dapat dilihat pula bahwa mentransformasi variabel kontinu ekuivalen dengan mengganti variabel dalam integral, sehingga metode transformasi disebut juga metode penggantian peubah. Contoh 2.5.2:
Andaikan variabel random X mempunyai distribusi Fx ( x) = 1 − e −2 x ,0 < x < ∞ Tentukan fungsi densitas dari Y = ex
27
Jawab : Dapat ditunjukkan bahwa fx(x) = 2e-2x, karena Y = ex maka transformasi inversnya x = w(y) = ln(y), J = w’(y) = 1/y, sehingga dengan menggunakan persamaan (2.16) didapatkan fx(y)
= fx(ln y)
1 y
⎛1⎞ = 2e − 2 ln y ⎜⎜ ⎟⎟, ⎝ y⎠
1< y < ∞
= 2y-3, y ∈ B = (1, ∞ )
F. Distribusi Lognormal Teorema 2.6.1:
Jika X adalah variabel random yang berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ2, dan jika X = ln y, maka fungsi densitas untuk Y adalah
f(y) =
⎧ 1 e −(ln y − µ ) 2 / 2σ 2 , y >0 ⎪ yσ 2π ⎨ ⎪⎩ 0 , selainnya
(2.17)
Bukti :
Fungsi probabilitas dari distribusi normal adalah 1
− ( x − µ )2 1 2 f(x) = e 2σ . σ 2π
…………………………. **
Dengan menggunakan persamaan (2.16) akan didapatkan fungsi densitas untuk Y. 1
fx(x) =
− (x − µ )2 1 2 e 2σ σ 2π
28
Jika x = ln Y maka persamaan ** menjadi 1
fx(ln y) =
− (ln y − µ ) 2 1 2 e 2σ σ 2π
X = w(y) = ln y w’(y) = 1/y fy(y)
= fx(w(y))
fy(y)
= fx(ln y)
d w( y ) dy 1 y 1
=
f(y)
=
− (ln y − µ ) 2 1 2 e 2σ σ 2π
1
e
yσ 2π
−
1
⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ y⎠
(ln y − µ ) 2
2σ 2
▄
Sekarang akan dicari nilai harapan dan variansi dari distribusi lognormal tersebut. E(Y) =
misal z =
E(Y) =
=
∫
∞
−∞
y
1 yσ 2π
ln y − µ
σ
∫
∞
∫
∞
e
1 ⎛ ln y − µ ⎞ − ⎜ ⎟ 2⎝ σ ⎠
2
dy =
1
1
1 σ z+µ − 2 z2 e e dz 2π
−∞
= eµ ∫
∞
−∞
−∞
1 ⎛ ln y − µ ⎞ ⎟ σ ⎠
− ⎜ 1 e 2⎝ σ 2π
2
dy
maka y = eσ z + µ dan dy = σ eσ z + µ dz sehingga diperoleh
− z2 1 σeσ z + µ e 2 dz σ 2π
−∞
∫
∞
1
− z 2 +σ z 1 e 2 dz 2π
29
= eµ ∫
∞
∫
∞
1
− ( z 2 − 2σ z ) 1 e 2 dz 2π
−∞
=e
µ
1
− (z 1 e 2 2π
−∞
−σ ) 2 +
σ2 2
dz
misal w = z − σ maka z = w + σ dan dz = dw sehingga diperoleh E(Y) = e
=e
misal v =
µ
−∞
µ+
σ2 2
1 1 2 − w maka w = 2v dan dw = (2v ) 2 dv sehingga diperoleh 2
=e
=e
=e
=e
µ+
σ2
∫
2
µ+
σ2 2
∫
1
∞
π
0
µ+
µ+
σ2 2
σ2
µ+
2
∞
1
v
−
1 2
e − v dv
Γ(1 / 2)
π 1
π
π
σ2
∫y
−∞
1 1 e−v dv 2π 2v
∞
0
(2.18)
2
∞
E(Y ) =
∫
1
− w2 1 e 2 dw 2π
∞
−∞
E(Y) = 2e
2
∫
σ2
1
− w2 + 1 2 e 2 dw 2π
∞
2
1 yσ 2π
e
1 ln y − µ 2 − ( ) σ 2
1 ln y − µ
− ( 1 e 2 = ∫ y σ 2π −∞
σ
)2
dy
dy
30
=
misal z =
E(Y2) =
1 σ 2π
∞
∫x e
maka y = eσ z + µ dan dy = σ eσ z + µ dz sehingga diperoleh
σ
1 2π
=
= e2µ
=e
=e
=e
2µ
2µ
2µ
dy
−∞
ln y − µ
1 σ 2π
1 ln y − µ 2 ) − ( σ 2
∞
σ z+µ ∫σ e e
1 − z2 2
eσ z + µ dz
−∞
∞
2σ z + 2 µ e ∫e
1 − z2 2
dz
−∞
1 2π 1 2π 1 2π 1 2π
∞
2σ z ∫e e
1 − z2 2
dz
−∞ ∞
∫
e
1 − z 2 + 2σ z 2
dz
−∞ ∞
∫
e
1 − ( z 2 − 4σ z ) 2
dz
−∞ ∞
∫
e
1 − ( z − 2σ ) 2 + 2σ 2 2
dz
−∞
misal w = z − 2σ maka z = w + 2σ dan dw = dz sehingga diperoleh E(Y2) = e 2 µ
1 2π
= e 2 µ + 2σ
misal v =
∞
∫
e
dw
−∞
1 2π
2
1 − w 2 + 2σ 2 2
∞
∫
e
1 − w2 2
dw
−∞
1 2 1 dv sehingga diperoleh w maka w = 2v dan dw = 2 2v
E(Y2) = 2e 2 µ +2σ
2
1 2π
∞
∫ 0
e −v
1 dv 2v
31
= e 2 µ +2σ
=e
2
1
π
2 µ + 2σ 2
1
π
= e 2 µ +2σ
2
= e 2 µ + 2σ
2
1
π
∞
∫
e −v
0
∞
∫
−v
e v
1 dv v −
1 2
dv
0
π (2.19)
Dengan menggunakan persamaan (2.6) maka didapatkan Var (Y) = E(Y2) – [E (Y )]
2
=e
2 µ + 2σ 2
− (e
µ+
σ2 2
2
= e 2 µ + 2σ − e 2 µ +σ 2
)2
2
2
= e 2 µ +σ (eσ − 1)
G.
(2.20)
Teorema Limit Pusat
Teorema berikut menyatakan bahwa rata-rata suatu sampel yang terdiri dari n buah variabel random yang berdistribusi secara tidak normal tetapi identik ( Y1 , Y2 ,..., Yn memiliki fungsi densitas yang sama) serta bebas stokastik terhadap sesamanya, distribusinya akan mendekati distribusi normal dengan bertambahnya nilai n (ukuran sampel).
32
Teorema 2.7.1 (Teorema Limit Pusat) :
Andaikan Y1 , Y2 ,..., Yn adalah variabel-variabel random yang berdistribusi bebas stokastik identik dengan E (Yi ) = µ dan variansinya V (Yi ) = σ 2 < ∞ , maka untuk n → ∞ _
Y− µ Zn = σ/ n
(2.21)
akan berdistribusi normal standar.
H. Interval Kepercayaan ^
Nilai pendugaan suatu parameter θ berdasarkan penduga titik, bukanlah suatu konstanta yang menunjukkan dengan tepat beberapa nilai yang sebenarnya ^
melainkan suatu variabel random. Apabila penyebaran θ dapat diketahui, maka dapatlah ditentukan suatu interval dengan peluang tertentu mencakup nilai ^
parameter θ yang sebenarnya. Interval seperti ini disebut penduga interval atau lebih dikenal dengan interval kepercayaan. Titik tertinggi dan terendah dari interval kepercayaan disebut batas kepercayaan atas dan batas kepercayaan bawah. Probabilitas dari interval kepercayaan disebut koefisien kepercayaan. ^
^
Misalkan θ 1 dan θ 2 adalah batas kepercayaan bawah dan atas untuk parameter θ , sehingga jika ^ ⎛^ ⎞ P⎜ θ 1 < θ < θ 2 ⎟ = 1 − α ⎝ ⎠
(2.22)
33
probabilitas, 1 − α adalah koefisien kepercayaan. Interval random yang dihasilkan ^
^
oleh θ 1 dan θ 2 dikatakan interval kepercayaan dua sisi. Sedangkan interval kepercayaan satu sisi dinyatakan dalam ⎛^ ⎞ P⎜ θ 1 < θ ⎟ = 1 − α ⎝ ⎠
(2.23)
⎛^ ⎞ yang akan menghasilkan interval satu sisi bawah yaitu ⎜θ 1 , ∞ ⎟ dan ⎝ ⎠ ^ ⎛ ⎞ P⎜ θ < θ 2 ⎟ = 1 − α ⎝ ⎠
(2.24)
^ ⎛ ⎞ yang akan menghasilkan interval satu sisi atas yaitu ⎜ − ∞,θ 2 ⎟ . ⎝ ⎠
Salah satu metode yang berguna untuk menentukan interval kepercayaan adalah metode pivot. Metode ini tergantung pada penentuan besaran pivot yang memiliki dua karakteristik : 1. Kuantitas pivot merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter θ yang tidak diketahui. 2. Kuantitas pivot memiliki distribusi probabilitas yang tidak tergantung pada parameter θ .
Contoh 2.8.1: Misalkan ditentukan suatu pengamatan tunggal Y dari suatu distribusi eksponensial dengan rata-rata θ . Tentukan interval kepercayaan θ dengan koefisien kepercayaan 0,90.
34
Jawab : Fungsi densitas untuk Y adalah : ⎧ θ1 e − y / θ , y ≥ 0 f ( y) = ⎨ ⎩ 0 , selainnya Jika U = Y/ θ maka Y=U θ dan Y’ = θ , menggunakan metode transformasi maka fungsi densitas eksponensial menjadi : ⎧ −u f ( y) = ⎨ e , y >0 ⎩ 0 , selainnya Sehingga variabel U = Y/ θ adalah fungsi dari Y dan θ , dan distribusi dari U tidak tergantung dari θ . Maka dapat digunakan U = Y/ θ sebagai besaran pivot. Karena akan ditentukan penduga interval dengan koefisien kepercayaan 0,90, maka terlebih dahulu ditentukan nilai a dan b sehingga P(a < U < b ) = 0,90
f(u) 0,05
0,90
0,05 u
Gambar 2.7.1. Grafik fungsi densitas eksponensial Salah satu cara untuk menentukan nilai a dan b adalah a
P (U < a ) = ∫ e − u du = 0,05 0
35
1 − e − a = 0,05 kedua ruas dikurangi 1 dan dikalikan 1, maka persamaan menjadi
e − a = 0,95 kedua ruas dilogaritmakan, maka persamaan menjadi
− a = − ln(0,95) kedua ruas dikalikan 1, maka persamaan menjadi
a = ln(0,95)
a = 0,051 . 0
Sedangkan P(U > b) = ∫ e − u du = 0,05 b
e − b = 0,05 kedua ruas dilogaritmakan, maka persamaan menjadi − b = − ln(0,05) kedua ruas dikalikan 1, maka persamaan menjadi
b = ln(0,05) a = 2,996 atau dengan kata lain a = 0,051 dan b = 2,996. Jadi diperoleh
Y ⎛ ⎞ 0,90 = P(0,051 < U < 2,996) = P⎜ 0,051 < < 2,996 ⎟ θ ⎝ ⎠ Karena akan mencari penduga interval untuk θ , maka dengan memanipulasi pertidaksamaan diatas maka diperoleh
36
0,90 = P(0,051 <
Y ⎞ ⎛ Y ⎛ 0,051 1 2,996 ⎞ < 2,996) = P⎜ < < <θ < ⎟ ⎟ = P⎜ θ θ 0,051 ⎠ Y ⎠ ⎝ Y ⎝ 2,996
Y
Jadi batas bawah dan atas untuk interval kepercayaan θ adalah Y/2,996 dan Y/0,051. Untuk menentukan nilai numerik dari batas ini, maka perlu dilakukan pengamatan sehingga dihasilkan nilai Y dan nilai ini disubstitusikan sehingga nilai itu menghasilkan nilai numerik untuk batas interval kepercayaan θ .
Interval Kepercayaan Sampel Besar
Untuk parameter target θ adalah µ , p, µ1 − µ 2 , atau p1 − p2 maka untuk sampel besar ^
θ −θ Z= σ
(2.25)
^
θ
^
θ −θ akan mendekati distribusi normal standar. Ini berarti bentuk Z = adalah σ ^
θ
suatu besaran pivot, dan metode pivot dapat digunakan untuk menentukan penduga interval untuk parameter target θ . Contoh 2.8.2: ^
Misalkan θ adalah suatu statistik yang berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi θ dan σ θ2 . Tentukan interval kepercayaan untuk θ yang memiliki koefisien kepercayaan (1 − α ) . Jawab :
37
Besaran ^
θ −θ Z= σ ^
θ
mempunyai distribusi normal standar. Sehingga nilai dua ekor dari distribusi ini adalah − Z α dan Z α , sedemikian sehingga P(− Zα / 2 < Z < Zα / 2 ) = 1 − α 2
2
1- α
α /2
α /2 0 Gambar 2.7.2. Grafik fungsi densitas N(0, 1)
Substitusikan Z ke dalam pernyataan probabilitas diatas, maka diperoleh ^ ⎛ ⎞ θ −θ ⎜ P⎜ − Zα / 2 < < Zα / 2 ⎟⎟ = 1 − α σ^ ⎜ ⎟ θ ⎝ ⎠
jika kedua ruas dikalikan dengan σ ^ maka diperoleh θ
^ ⎛ ⎞ P⎜ − Zα / 2σ ^ < θ − θ < Zα / 2σ ^ ⎟ = 1 − α θ θ ⎝ ⎠
^
dan kurangkan kedua sisi dengan θ , maka diperoleh ^ ⎛ ^ ⎞ P⎜ − θ − Zα / 2σ ^ < −θ < −θ Zα / 2σ ^ ⎟ = 1 − α θ θ ⎝ ⎠
kalikan kedua ruas dengan -1, maka diperoleh
38
^ ⎛^ ⎞ P⎜θ − Zα / 2σ ^ < θ < θ + Zα / 2σ ^ ⎟ = 1 − α θ θ ⎠ ⎝
Jadi diperoleh batas kepercayaan bawah dan atas untuk θ adalah : ^
Batas kepercayan bawah = θ − Zα / 2σ ^ dan θ
^
Batas kepercayan atas = θ + Zα / 2σ ^ θ
Contoh diatas dapat digunakan untuk menentukan interval kepercayaan sampel besar untuk µ , p, µ1 − µ 2 , dan p1 - p2, dengan menggunakan penduga parameter.
I. Simulasi Komputer
Model yang akan dikembangkan untuk penafsiran harga saham akan meliputi bilangan
random dan akan digunakan simulasi komputer untuk
melakukan percobaan, menggambarkan pemikiran dan juga untuk menduga kuantitas yang tidak dapat ditunjukkan secara analitik. Simulasi disini dapat diartikan sebagai suatu sistem yang digunakan untuk memecahkan atau menguraikan persoalan-persoalan dalam kehidupan nyata yang penuh dengan ketidakpastian dengan tidak atau menggunakan model atau metode tertentu dan lebih ditekankan pada pemakaian komputer untuk mendapatkan solusinya. Simulasi menyangkut pembangkitan proses serta pengamatan dari proses untuk menarik kesimpulan dari sistem yang diwakili. Sedangkan menurut Naylor (1966 dalam Rubinstein & Melamed) simulasi adalah teknik numerik untuk melakukan eksperimen pada komputer, yang melibatkan jenis matematika dan model tertentu yang menjelaskan perilaku bisnis atau ekonomi pada suatu periode waktu tertentu.
39
Menurut Borowsky & Borwein simulasi didefinisikan sebagai teknik untuk membuat konstruksi model matematika untuk suatu proses atau situasi, dalam rangka menduga secara karakteristik atau menyelesaikan masalah berkaitan dengannya dengan menggunakan model yang diajukan. Beberapa keuntungan simulasi : o Menghemat waktu o Dapat melebar-luaskan waktu o Mengoreksi kesalahan-kesalahan perhitungan o Dapat dihentikan dan dijalankan kembali o Mudah diperbanyak
Jika didalam suatu laboratorium simulasi unsur manusianya dikeluarkan maka yang tertinggal adalah komputer, prosedur operasi, fungsi-fungsi matematis dan juga distribusi probabilitas, maka akan diperoleh inti dari simulasi komputer. Simulasi komputer hanya menggunakan komputer untuk memecahkan masalah sesuai kebutuhan yang kemudian diprogramkan kedalam komputer. Semua tingkah laku yang dijadikan sebagai persoalan dialihkan kedalam program, termasuk ketentuan logika pengambilan keputusan dan pelaksanaannya. Didalam model pergerakan harga saham akan digunakan bilangan random. Bilangan random itu sendiri adalah suatu bilangan yang diambil dari sekumpulan bilangan, dimana tiap-tiap elemen dari kumpulan bilangan ini mempunyai peluang yang sama untuk terambil. Berdasarkan pada tingkat kesulitan untuk memprediksi bilangan yang akan dibangkitkan selanjutnya maka bilangan random dibagi menjadi dua yaitu bilangan random sepenuhnya (Trully Random) dan bilangan
40
random semu (Pseudo-Random). Didalam skripsi ini hanya akan digunakan bilangan random pseudo . Bilangan random pseudo adalah kumpulan bilangan yang dihasilkan menggunakan algoritma yang menerapkan rumus matematika untuk menghasilkan bilangan yang terlihat acak. Salah satu algoritma untuk pembangkitan bilangan random pseudo adalah Linear Congruential Generator (LCG). Algoritma LCG mempunyai bentuk xn = (axn −1 + b) mod m
(2.26)
dengan, xn = bilangan random ke n xn −1 = bilangan random ke n-1 m = angka modulo
a dan b merupakan konstanta dalam LCG, dengan a adalah faktor pengali dan b adalah increament factor Contoh 2.9.1:
Membangkitkan bilangan random sebanyak 8 kali dengan a = 2, b = 7, m = 10 dan x(0) = 2. Jawab : X(1) = (2(2) + 7) mod 10 = 1 X(2) = (2(1) + 7) mod 10 = 9 X(3) = (2(9) + 7) mod 10 = 5 X(4) = (2(5) + 7) mod 10 = 7 X(5) = (2(7) + 7) mod 10 = 1
41
X(6) = (2(1) + 7) mod 10 = 9 X(7) = (2(9) + 7) mod 10 = 5 X(8) = (2(5) + 7) mod 10 = 7 Bilangan yang dibangkitkan adalah : 1, 9, 5, 7, 1, 9, 5, 7 Didalam komputer bilangan random yang dibangkitkan adalah bilangan random pseudo. Disini akan digunakan program Matlab untuk membangkitkan bilangan random pseudo berdistribusi tertentu. Pada Tabel 2.9.1 berikut akan ditunjukkan dua himpunan yang terdiri dari sepuluh bilangan. Bilangan-bilangan ini diperoleh dengan membangkitkan bilangan random pseudo dengan menggunakan fungsi rand dan randn pada Matlab untuk memperoleh sampel U(0,1) dan N(0,1). Tabel 2.9.1 Sepuluh bilangan random pseudo berdistribusi U(0,1) dan N(0,1) U(0,1)
N(0,1)
0.9501
-0.4326
0.2311
-1.6656
0.6068
0.1253
0.4860
0.2877
0.8913
-1.1465
0.7621
1.1909
0.4565
1.1892
0.0185
-0.0376
0.8214
0.3273
0.4447
0.1746
42
Dapat dilihat pada Tabel 2.9.1 bahwa dugaan sampel U(0,1) tersebar dalam interval (0,1), sedangkan dugaan sampel N(0,1) berada disekitar nol. Berikut ini akan dibandingkan rata-rata dan variansi yang didapat secara teoritis dari suatu distribusi tertentu dengan rata-rata dan variansi yang didapat dari pembangkitan bilangan random. Secara teoritis untuk distribusi N(0,1) dengan menggunakan persamaan (2.3) dan (2.6) nilai harapan dan variansinya adalah sebagai berikut, ∞
E(X) =
∫
x
−∞
⎡ 1 ⎛ x − 0 ⎞2 ⎤ 1 exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ dx 1 2π ⎢⎣ 2 ⎝ 1 ⎠ ⎥⎦
=0
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 ⎡ 1 ⎛ x − 0 ⎞2 ⎤ 1 2 = ∫x exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ dx − 1 = 1 2 1 π 1 2 ⎝ ⎠ ⎢⎣ −∞ ⎦⎥ ∞
2
sedangkan untuk U(0,1) nilai harapan dan variansinya, ∞
E(X) =
∫
−∞
x
1 dx = b−a
a
b
−∞
a
∫ 0dx + ∫ x
∞
1 1 b2 − a 2 dx + ∫ 0dx = = 2(b − a ) 2 b−a b
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 2
∞
2
⎛ b2 − a 2 ⎞ 1 b3 − a 3 ⎛ b 2 − a 2 ⎞ 1 1 1 ⎟⎟ = ⎟ = − = . = ∫x dx − ⎜⎜ −⎜ 3(b − a ) ⎜⎝ 2(b − a ) ⎟⎠ 3 4 12 b−a ⎝ 2(b − a ) ⎠ −∞ 2
Sekarang akan digunakan pembangkitan bilangan random dengan M sampel
{ξi }iM=1
untuk mencari rata-rata
µM = dan variansi
1 M
M
∑ξ i =1
i
(2.27)
43
σ M2 =
1 M ∑ (ξi − µM )2 M − 1 i =1
(2.28)
untuk bilangan random berdistribusi N(0,1) dan U(0,1). Setelah didapat bilangan random berdistribusi N(0,1) dan U(0,1), kemudian dicari rata-rata dan variansinya dengan mengetikkan pada ‘command window’ mean(A) dan var(A) (A adalah bilangan random berdistribusi tertentu yang telah dibangkitkan). Tabel 2.9.2 Nilai harapan dan variansi menggunakan M sampel dari pembangkitan bilangan random U(0,1) dan N(0,1) U(0,1)
N(0,1)
M
µM
σ M2
µM
σ M2
102
0.5221
0.0808
0.0012
0.8862
103
0.5012
0.0881
-0.0448
1.0499
104
0.5041
0.0837
0.0043
1.0120
105
0.5009
0.0837
0.0033
1.0049
Dari Tabel 2.9.2 dapat dilihat bahwa rata-rata dan variansi sampel U (0,1) mendekati nilai
1 1 dan sedangkan untuk N(0,1) rata-rata dan variansi 2 12
mendekati 0 dan 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa rata-rata dan variansi yang didapat dari pembangkitan bilangan random berdistribusi N(0,1) dan U(0,1) akan mendekati nilai harapan dan variansi teoritisnya.
44
J. Penduga Densitas Kernel
Tes statistik selanjutnya adalah dengan menggunakan grafik untuk melihat apakah nilai dari fungsi densitas yang didapat dari pembangkitan bilangan random berdistribusi tertentu akan mendekati nilai densitas teoritisnya. Untuk mencari penduga nilai densitas dari suatu distribusi tertentu dengan bilangan random, pertama-tama sumbu x akan dibagi kedalam subinterval-subinterval, dengan lebar ∆x dan akan dihitung berapa banyak sampel dalam setiap subinterval. Disini akan
diberikan M sampel dan Ni yang didefinisikan sebagai banyaknya sampel dalam subinterval [i∆x, (i + 1)∆x] . Jika probabilitas dari X mengambil nilai dalam subinterval [i∆x, (i + 1)∆x] maka dengan menggunakan frekuensi relatif didapat, Ρ(i∆x ≤ X ≤ (i + 1)∆x) ≈
Ni M
(2.29)
dari Definisi 2.2.2 didapat, Ρ(i∆x ≤ X ≤ (i + 1)∆x) = ∫
( i +1) ∆x
i∆x
f ( x)dx .
(2.30)
Misal xi adalah titik tengah dari subinterval [i∆x, (i + 1)∆x] , dengan menggunakan pendekatan jumlah Riemann diperoleh
∫
( i +1) ∆x
i∆x
f ( x)dx ≈ ∆xf ( xi ) .
(2.31)
Dari persamaan (2.29) – (2.31) didapat
Ni = ∆x f ( x) M f ( x) =
Ni . M ∆x
Persamaan 2.32 ini disebut persamaan penduga nilai densitas kernel.
(2.32)
45
Sekarang akan dilihat apakah grafik penduga nilai densitas kernel U(0,1) dan N(0,1) yang didapat dengan pembangkitan bilangan random akan mendekati nilai dalam grafik fungsi densitas teoritisnya. Pertama-tama akan dilihat untuk grafik fungsi densitas secara teoritis. Untuk fungsi densitas U(0,1) didapat,
Gambar 2.10.1. Densitas U(0,1)
dan untuk fungsi densitas N(0,1) didapat
Gambar 2.10.2. Densitas N(0,1).
46
Sekarang dengan menggunakan persamaan (2.32) akan ditunjukkan grafik penduga nilai densitas kernel dengan menggunakan pembangkitan bilangan random U(0,1) sebanyak 103, 104, 105, 106 dan lebar interval 0,05. Sumbu x menunjukkan titik tengah tiap subinterval dan sumbu y menunjukkan nilai penduga densitas kernelnya. Dengan menggunakan Program 2.1 pada lampiran akan didapat,
Gambar 2.10.3 Grafik penduga densitas kernel untuk pembangkitan bilangan random U(0,1)
Selanjutnya akan ditunjukkan juga grafik penduga densitas kernel untuk pembangkitan bilangan random N(0,1) dengan interval -4 ≤ x ≤ 4, lebar interval 0,05 dan banyaknya bilangan random yang akan dibangkitkan sebanyak 103, 104, 105, 106.. Sumbu x menunjukkan titik tengah tiap subinterval dan sumbu y menunjukkan nilai penduga densitas kernelnya. Dengan menggunakan Program 2.2 pada lampiran akan didapat,
47
Gambar 2.10.4. Grafik penduga densitas kernel untuk pembangkitan bilangan random N(0,1).
Dari Gambar 2.10.4 diatas dapat ditunjukkan bahwa jika M semakin besar maka akan diperoleh grafik penduga nilai densitas kernel yang akan mendekati grafik fungsi densitas teoritisnya.
K. Kuantil-Kuantil Plot
Untuk selanjutnya akan dipelajari tentang kuantil-kuantil plot, yang akan digunakan untuk memeriksa bilangan random yang telah dibangkitkan. Pada dasarnya jika diberikan titik-titik data ξ1 , ξ 2 ,..., ξ M , maka kuantil-kuantil plot akan dihasilkan dengan langkah-langkah berikut ini : ^
^
^
a. Titik-titik data ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ M diurutkan dari yang terkecil.
48
^
b. Penggambaran kuantil-kuantil plot dengan sumbu x adalah ξ k (data yang telah diurutkan) dan sumbu y adalah z(k/(M+1)). Pada dasarnya penggambaran kuantil adalah untuk melihat apakah bilangan yang telah dibangkitkan menyebar secara merata dalam interval tersebut. Jika dibangkitkan M bilangan random dengan distribusi tertentu dan diurutkan dari yang terkecil, maka perlu dilihat apakah bilangan-bilangan random tersebut menyebar secara merata. Untuk melihatnya, bilangan random yang telah dibangkitkan tadi dibandingkan dengan nilai-nilai dari kuantilnya. Karena kuantil itu sendiri adalah nilai-nilai yang membagi sejumlah data menjadi n bagian yang sama besar. Jika nilai dari pembangkitan bilangan random tersebut mendekati nilai dari kuantilnya, maka dapat disimpulkan bahwa bilangan yang telah dibangkitkan tersebut telah menyebar secara merata. Definisi 2.11.1 :
Jika f(x) adalah fungsi densitas dan 0 < p < 1, maka kuantil p dari f adalah
z(p), dan memenuhi
∫
z( p)
−∞
f ( x) dx = p .
(2.33)
Definisi 2.11.2 :
Eror fungsi (erf(x)) adalah integral ganda dari distribusi Gaussian dengan mean 0 dan variansi
1 yang didefinisikan sebagai 2 erf(x) =
2
x
e π ∫ 0
−t 2
dt .
(2.34)
49
Teorema 2.11.1:
Jika N(x) adalah fungsi distribusi N(0,1) dan erf(x) =
2
x
e π ∫
−t 2
dt maka diperoleh
0
⎛ x ⎞ erf ⎜ ⎟ +1 2⎠ ⎝ N(x) = . 2
(2.35)
Bukti :
Jika erf(x) =
2
x
e π ∫
−t 2
dt maka
0
x
erf(x/ 2 ) =
misal t =
2
π
2
∫e
−t 2
dt
0
1 s maka dt = ds , sedangkan untuk t = 0 maka s = 0 dan untuk t = 2 2
x maka s = x, sehingga diperoleh 2
erf(x/ 2 ) =
2
x
e π ∫
−
s2 2
ds 2
0
x
erf(x/ 2 ) =
s2
− 2 2 e ds 2π ∫0
⎛ 1 x −s ⎞ e 2 ds ⎟ erf(x/ 2 ) = 2⎜ ⎟ ⎜ 2π ∫ 0 ⎠ ⎝ 2
50
karena distribusi normal merupakan distribusi yang simetris dan memenuhi sifatsifat fungsi densitas maka
1 2π
∞
∫e
−
s2 2
ds = 1 , sehingga jika batasnya diubah dari 0
−∞
sampai x menjadi - ∞ sampai x maka persamaan harus dikurangi
⎛ 1 erf(x/ 2 ) = 2⎜ ⎜ 2π ⎝
x
∫e
−
s2 2
−∞
1 , maka didapat 2
1⎞ ds − ⎟ 2 ⎟⎠
1⎞ ⎛ erf(x/ 2 ) = 2⎜ N ( x) − ⎟ 2⎠ ⎝
⎛ x ⎞ erf ⎜ ⎟ +1 ⎝ 2⎠ N(x) = 2
▄
Dari definisi 2.11.1 N(z(p)) = p, maka diperoleh ⎛ z ( p) ⎞ erf ⎜ ⎟ +1 ⎝ 2 ⎠ =p 2 kalikan kedua ruas dengan p dan kurangkan dengan 1 erf (
z ( p) )= 2 p −1 2
z ( p) == erfinv(2 p − 1) 2 z(p) = (erfinv(2p-1)) 2 ( Nilai z(p) ini akan digunakan untuk menentukan nilai kuantil N(0,1) ) Gambar 2.11.1 dan 2.11.2 berikut akan menunjukkkan hubungan antara kuantil N(0,1) dengan fungsi densitas dan fungsi distribusinya, dengan M = 9. Gambar 2.11.1 menekankan bahwa untuk z(k/(M+1)) terdapat titik-titik didalam
51
sumbu x yang disebut kuantil z(p) yang akan membagi kurva densitas N(0,1) menjadi M = 9 wilayah dan semua wilayah mempunyai luas yang sama. Sedangkan Gambar 2.11.2 memberikan fungsi f(x) dan menunjukkan bahwa z(k/(M+1)) adalah titik-titik dalam sumbu x yang berpasangan dengan titik-titik p pada sumbu y, dimana nilai-nilai yang berada didalam sumbu y mempunyai kenaikan yang sama. Dengan Program 2.3 dan Program 2.4 pada lampiran didapat
Gambar 2. 11.1. Titik kuantil dalam sumbu x yang memberikan wilayah yang sama dibawah kurva densitas.
52
Gambar 2.11.2 Titik kuantil didalam sumbu x, dimana N(x) mempunyai kenaikan yang sama.
Sekarang akan dilihat hubungan distribusi suatu sampel dengan kuantilkuantilnya. Untuk M yang besar, jika kuantil-kuantil plot menghasilkan titik yang mendekati garis miring fungsi y=x, maka dapat disimpulkan bahwa titik data tersebut menggambarkan distribusi yang bersesuaian dalam f(x) atau dengan kata lain sampel dan kuantilnya berdistribusi sama. Untuk melihatnya, jika sumbu x dibagi kedalam M subinterval dimana setiap nilai didalam k subinterval tertutup untuk z(k/(M+1), maka didapat satu nilai dalam tiap subinterval. Jadi untuk titik ^
^
data terkecil ξ 1 tertutup untuk z(1/(M+1)), data terkecil kedua, ξ 2 akan tertutup z(2/(M+1)), dan seterusnya. Sekarang akan dicari empat kemungkinan kombinasi dari sampel N(0,1) dan U(0,1) dengan kuantil N(0,1) dan U(0,1). Jika kuantil-kuantil plot berada disekitar garis miring y=x, maka dapat dikatakan bahwa nilai sampel dan
53
kuantilnya menggambarkan distribusi yang bersesuaian. Tetapi sebelumnya perlu dicari terlebih dahulu rumus untuk kuantil U(0,1).
Definisi 2.11.3 :
X merupakan variabel random kontinu yang berdistribusi seragam bila fungsi densitasnya ⎧ 1 ⎫ , a ≤ x ≤ b⎪ ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎬. ⎪⎩0, selainnya ⎪⎭
(2.36)
Dari definisi fungsi densitas diatas didapat ⎧1, 0 ≤ x ≤ 1 ⎫ f ( x) = ⎨ ⎬ untuk U(0,1), maka menurut definisi kuantil selainnya ⎭ ⎩0, z( p)
∫ f ( x) = p
−∞ 0
∫
−∞
z( p)
0dx + ∫1dx = p 0
0 + z ( p) = p z(p) = p. ( Nilai z(p) inilah yang akan digunakan untuk menentukan nilai kuantil U(0,1)) Dengan Program 2.5 pada lampiran didapat gambar 2.11.3, dengan sumbu x menunjukkan sampel data sedangkan sumbu y menunjukkan kuantilnya.
54
Gambar 2.11.3. Kuantil-kuantil plot dengan M = 100, penggambaran ^
^
^
sampel-sampel ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ M pada sumbu x terhadap z(k/(M+1) pada sumbu y.
L. Teorema Limit Pusat Dalam Simulasi Komputer
Sekarang akan diberikan grafik penduga densitas kernel dan kuantilkuantil plot untuk menunjukkan “kehebatan” teorema limit pusat. Jika diambil sampel dengan pembangkitan bilangan random yang berdistribusi sembarang (misal U(0,1)), maka untuk n yang besar distribusi samplingnya akan mendekati distribusi normal. Seperti yang telah diketahui melalui pembahasan sub bab J dan K tentang penduga densitas kernel dan kuantil-kuantil plot, bahwa suatu sampel random yang berdistribusi normal maka histogram penduga densitas kernelnya akan mendekati grafik fungsi densitas normal teoritisnya untuk M yang besar. Dan juga kuantil-kuantil plot yang akan berada disekitar garis y = x.
55
Untuk pembahasan kali ini akan diperlihatkan bahwa untuk suatu sampel yang didapat dengan pembangkitan bilangan random yang berdistribusi U(0,1), maka menurut teorema limit pusat distribusi sampling harga meannya akan mendekati distribusi normal. Hal ini akan ditunjukkan dalam histogram densitas kernelnya yang akan mendekati grafik fungsi densitas normal teoritisnya (dengan syarat M besar), karena distribusi sampling inilah yang akan digunakan untuk mencari nilai penduga densitas kernelnya. Pertama-tama akan dibangkitkan bilangan random U(0,1), dan akan dimasukkan kedalam persamaan 2.7.1(Teorema Limit Pusat), dimana µ =
σ2 =
1 dan 2
1 . Dalam Gambar 2.12.1 digunakan ∆x = 0,5 dalam interval [-4,4]. Disini 12
akan digunakan histogram, sehingga setiap persegi panjang mempunyai titik tengah xi dan mempunyai tinggi N i /( M ∆x) . Untuk melihat perbedaan pada histogramnya maka akan digunakan M dan n dengan berbagai macam ukuran. Kurva densitas N(0,1) teoritisnya digambarkan dengan garis putus-putus. Dengan menggunakan Program 2.6 didapatkan,
56
Gambar 2.12.1. Penduga densitas kernel untuk sampel dalam persamaan (2.1). Dalam Gambar 2.12.1 diatas dapat dilihat kurva penduga densitas kernel yang mendekati kurva fungsi densitas N(0,1) seiring dengan bertambahnya nilai M. Untuk baris pertama dapat dilihat untuk nilai n kecil (diambil n = 10) dan nilai M yang semakin membesar, maka histogram penduga densitas kernelnya semakin mendekati grafik penduga densitas N(0,1). Hal ini dikarenakan syarat mutlak dari penduga densitas kernel yaitu M harus besar. Jadi ketika nilai n kecil maka nilai M yang semakin membesar seperti “menutupinya” sehingga grafik penduga densitas kernelnya tetap mendekati grafik fungsi densitas N(0,1) teoritisnya. Untuk baris kedua dapat dilihat grafik yang jauh dari grafik fungsi densitas N(0,1), hal ini dikarenakan syarat dari penduga densitas kernel tidak dipenuhi (M harus besar). Sedangkan untuk baris ketiga dapat dilihat histogram yang semakin mendekati grafik fungsi densitas N(0,1) seiring bertambahnya nilai M dan n.
57
Untuk lebih jelas lihat gambar baris 1 kolom 4 dengan gambar baris 3 kolom 4. Melalui dua gambar tersebut dapat dilihat jika nilai n besar maka garfik penduga densitas kernelnya akan semakin mendekati grafik densitas N(0,1) teoritisnya. Sedangkan untuk Gambar 2.12.2 berikut akan menggambarkan kuantil N(0,1) dengan sampel data ξi yang berdistribusi U(0,1) dan dimasukkan kedalam persamaan (2.2.1) (Teorema Limit Pusat). Dengan nilai M dan n yang bermacammacam, dan µ = 0.5, σ 2 = 1 / 12 . Seperti telah dipelajari diatas bahwa jika suatu sampel data dan kuantilnya berdistribusi sama, maka akan didapatkan titik-titik yang berada disekitar garis y = x. Dengan menggunakan Program 2.7 didapatkan,
Gambar 2.12.2. Kuantil-kuantil plot untuk sampel dalam persamaan (2.2.1) terhadap kuantil N(0,1). Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa titik-titik kuantilnya berada disekitar garis y=x seiring bertambahnya nilai M (syarat untuk menggambar kuantil). Untuk baris pertama dapat dilihat untuk nilai n kecil (diambil n = 10) dan nilai M yang
58
semakin membesar, maka titik-titik kuantilnya akan semakin mendekati garis y = x. Hal ini dikarenakan syarat mutlak dari penduga densitas kernel yaitu M harus besar. Jadi ketika nilai n kecil maka nilai M yang semakin membesar seperti “menutupinya” sehingga titik-titik kuantilnya tetap berada disekitar garis y = x. Untuk baris kedua dapat dilihat bahwa titik-titik kuantilnya jauh dari garis y = x, hal ini dikarenakan syarat dari penduga densitas kernel tidak dipenuhi (M harus besar). Tetapi dari tiga gambar tersebut (baris kedua) dapat dilihat dengan jelas, ketika nilai n semakin membesar maka titik-titik kuantilnya semakin mendekati garis y = x. Sedangkan untuk baris ketiga dapat dilihat titik-titik kuantilnya yang semakin mendekati garis y = x seiring bertambahnya nilai M dan n. Untuk lebih jelas lihat gambar baris 1 kolom 3 dengan gambar baris 3 kolom 3. Melalui dua gambar tersebut dapat dilihat jika nilai n besar maka titik-titik kuantilnya akan semakin mendekati garis y = x. Jadi dari Gambar 2.12.1 dan 2.12.2 dapat dilihat “kehebatan” Teorema Limit Pusat melalui grafik penduga densitas kernel dan kuantil-kuantil plot.
BAB III MODEL MATEMATIKA PERGERAKAN HARGA SAHAM
A. Pergerakan Harga Saham Saham merupakan suatu obyek finansial yang nilainya diketahui pada saat ini, tetapi dapat berubah pada masa yang akan datang. Pergerakan harga saham pada dasarnya merupakan suatu kepercayaan bagi seorang investor. Harga saham itu sendiri dipengaruhi beberapa faktor antara lain, berita yang sedang berkembang, desas-desus, spekulasi, keadaan geografis, dan lain sebagainya. Meskipun sederhana hal ini mengasumsikan bahwa respon pasar seketika itu juga dipengaruhi pengaruh dari luar dan karena itu, harga saham yang sedang berkembang menggambarkan semua informasi masa lalu. Menurut Hipotesis Efisiensi Pasar, jika ingin memprediksi harga saham untuk masa yang akan datang maka harus diketahui secara lengkap tentang sejarah dari data harga saham
sebelumnya dan faktor-faktor lain seperti keadaan
perusahaan, keadaan geografis, spekulasi dan lain sebagainya. Tetapi dalam pembahasan kali ini hanya akan digunakan sejarah dari data harga saham sebelumnya untuk memprediksi pergerakan harga saham. Untuk model yang akan ditunjukkan, jika Hipotesis Efisiensi Pasar diterima maka persamaan yang mendeskripsikan perubahan saham pada waktu t ke t + ∆t perlu melibatkan harga saham pada waktu t dan pada waktu sebelumnya.
60
Data Harga Saham Dalam Gambar 3.1.1 menunjukkan harga saham harian IBM dari bulan Januari -September 2001. Harga penutupan dari setiap transaksi dibuat dalam setiap hari perdagangan. Sedangkan Gambar 3.1.2 menunjukkan harga saham mingguan IBM dari Januari 1998 sampai Desember 2001. Dalam Gambar 3.1.1 terdapat 184 titik data dan 212 titik data untuk Gambar 3.1.2. IBM Harian 120 100
60 40 20
Gambar.3.1.1. Harga Saham Harian IBM dari bulan Januari sampai September 2001
2-Sep-01
2-Aug-01
2-Jul-01
2-Jun-01
2-May-01
2-Apr-01
2-Mar-01
2-Feb-01
0 2-Jan-01
Harga
80
61
IBM Mingguan 140 120 Harga
100 80 60 40 20 2-Oct-01
2-Jul-01
2-Apr-01
2-Jan-01
2-Oct-00
2-Jul-00
2-Apr-00
2-Jan-00
2-Oct-99
2-Jul-99
2-Apr-99
2-Jan-99
2-Oct-98
2-Jul-98
2-Apr-98
2-Jan-98
0
Gambar.3.1.2. Harga Saham Mingguan IBM dari Januari 1998 sampai Desember 2001 Dari Gambar 3.1.1 dapat dilihat bahwa untuk data harga saham harian bulan januari sampai dengan September 2001, pada gambar dapat dilihat dengan jelas harga saham pada awal bulan januari sampai akhir bulan januari cenderung naik, tetapi mulai pada pertengahan februari sampai dengan pertengahan maret harga sahamnya cenderung turun. Secara keseluruhan harga saham pada tahun 2001 tersebut fluktuatif dan jika melihat dari sifat pergerakan grafik tersebut bisa diprediksi harga saham untuk bulan oktober akan mengalami penurunan. Hal ini bisa dilihat dari sifat pergerakan harga saham dari akhir bulan juni sampai akhir bulan September yang cenderung turun. Sedangkan untuk Gambar 3.1.2 adalah data harga saham mingguan dari tahun 1998 sampai tahun 2001. Dari gambar dapat dilihat harga saham pada awal tahun 1998 sampai pertengahan tahun 1999 mengalami kenaikan, tetapi pada awal September tahun 1999 sampai November 1999 harga sahamnya cenderung turun.
62
Sedangkan pada bulan Mei sampai Juli 2001 terlihat harga sahamnya bergerak secara horizontal. Secara keseluruhan dapat dilihat bahwa harga saham untuk tahun 1998 sampai tahun 2001 cenderung naik. Kesimpulannya akan diperoleh perkiraan tentang pergerakan harga saham yang baik jika interval waktunya semakin panjang. Untuk memeriksa data harga saham ini apakah berdistribusi normal atau tidak akan digunakan tes statistik yang telah dipelajari dalam Bab II. Dalam gambar 3.1.3, 3.1.4, dan 3.1.5 berikut akan ditunjukkan hasil dari tes statistik tersebut. Dalam tes statistik ini akan melibatkan nilai return. Return merupakan hasil yang diperoleh dari investasi yang digunakan untuk mengukur perubahan kemakmuran yaitu perubahan kekayaan pada saat waktu tertentu. Perubahan kemakmuran ini menunjukkan tambahan kekayaan dari kekayaan sebelumnya. Gambar 3.1.3 melibatkan return harian ri harian =
S (ti +1 ) − S (ti ) , S (ti )
(3.1)
dengan S (ti ) dan S (ti +1 ) adalah harga saham ti dan ti+1.
Apabila dimiliki return harian dengan rata-rata µ dan standar deviasi σ , maka return harian dengan skala Z nya adalah sebagai berikut, ^ harian
ri
dengan µ dan σ
2
=
ri harian − µ
σ
(3.2)
sebagai perhitungan rata-rata dan variansi sampel yang
didefinisikan dalam persamaan (2.27) dan (2.28).
63
Gambar 3.1.3 dan 3.1.4 bagian kiri memberikan histogram frekuensi relatif ^
untuk r i , dengan sumbu x menunjukkan titik tengah tiap subinterval dan sumbu y menunjukkan frekuensi relatifnya. Kurva densitas N(0,1) ditunjukkan oleh garis putus-putus. Untuk perkiraan bagi fungsi yang berhubungan dengan distribusi akan digunakan histogram kumulatif. Dengan sumbu x menunjukkan titik tengah tiap subinterval dan sumbu y menunjukkan frekuensi relatif kumulatifnya. Hasil dari histogramnya ditunjukkan pada gambar 3.1.3, 3.1.4, dan 3.1.5 bagian tengah. Pada Gambar 3.1.3, 3.1.4, dan 3.1.5 bagian kanan menunjukkan kuantil-kuantil ^
plot yang telah didefinisikan dalam Bab II. Dengan sumbu x menunjukkan r i dan sampel dari pembangkitan bilangan random N(0,1) yang telah diurutkan sedangkan sumbu y menunjukkan nilai kuantil normal dari data dan sampel random tersebut. Dengan program 3.1, 3.2, dan 3.3 dalam lampiran diperoleh,
^ harian
Gambar 3.1.3. Histogram frekuensi relatif r i
, Histogram kumulatif
dan Kuantil dari data IBM Harian. ^ harian
Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa histogram frekuensi relatif r i
dan
histogram kumulatifnya sudah dapat dikatakan mendekati grafik densitas N(0,1)
64
dan grafik frekuensi kumulatifnya. Sedangkan untuk titik-titik kuantilnya juga sudah berada disekitar garis y = x. Untuk Gambar 3.1.4 berikut akan digunakan data IBM mingguan dan program 3.4, 3.5, dan 3.6 dalam lampiran.
^ min gguan
Gambar 3.1.4. Histogram frekuensi relatif r i
, Histogram kumulatif
dan Kuantil dari data IBM Mingguan ^
Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa histogram frekuensi relatif r i
min gguan
dan
histogram kumulatifnya sudah dapat dikatakan mendekati grafik densitas N(0,1) dan grafik frekuensi kumulatifnya. Sedangkan untuk titik-titik kuantilnya juga sudah berada disekitar garis y = x. Untuk Gambar 3.1.5 berikut akan digunakan pembangkitan bilangan random dan program 3.7, 3.8, dan 3.9 dalam lampiran.
Gambar 3.1.5. Penduga densitas kernel, Histogram frekuensi relatif kumulatif dan Kuantil dari sampel random Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa histogram penduga densitas kernel dan histogram
kumulatifnya sangat mendekati grafik densitas N(0,1) dan grafik
65
frekuensi kumulatifnya. Sedangkan untuk titik-titik kuantilnya berada disekitar garis y = x. Secara keseluruhan Gambar 3.1.3 dan 3.1.4 memberi kesan bahwa ^
histogram frekuensi relatif r i dan histogram kumulatif untuk return saham harian dan mingguan mendekati grafik fungsi densitas N(0,1) dan histogram frekuensi relatif kumulatifnya, sedangkan kuantil-kuantil plotnya mendekati garis y = x. ^
Maka dapat dikatakan r i berdistribusi normal standar, maka data dari return harian tersebut juga akan berdistribusi normal dengan nilai harapan µ dan variansi
σ2. Selanjutnya return data harga saham harian dan mingguan tersebut sekali lagi akan diuji apakah benar berdistribusi normal atau tidak, kali ini dengan menggunakan kolmogorov Smirnov dalam SPSS. Untuk return data harga saham harian hasilnya, Tabel 3.1.1. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorof Smirnov Return harian N
183 Mean
Normal Parameters(a,b) Most Extreme Differences
Std. Deviation Absolute
.0000 38.77281 .082
Positive
.052
Negative
-.082
Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) a Test distribution is Normal. b Calculated from data.
1.104 .175
66
Dari hasil diatas karena nilai Asymp. Sig. (2-tailed) > 0,05 maka return hariannya berdistribusi normal. Berikutnya akan diuji untuk return data harga saham mingguan. Dengan menggunakan SPSS hasilnya, Tabel 3.1.2. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorof Smirnov Return mingguan N
211 Mean
Normal Parameters(a,b) Most Extreme Differences
.0000
Std. Deviation Absolute
19.74709 .053
Positive
.053
Negative
-.043
Kolmogorov-Smirnov Z
.763
Asymp. Sig. (2-tailed)
.606
a Test distribution is Normal. b Calculated from data.
Dari hasil diatas nilai Asymp. Sig. (2-tailed) > 0,05 maka return mingguannya berdistribusi normal. Jadi dengan menggunakan tes statistik dengan Matlab dan SPSS dapat disimpulkan bahwa return data harga saham harian dan mingguannya berdistribusi normal. Untuk return harian dan mingguan yang sangat kecil maka, ⎛ S (t ) ⎞ ⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞ ⎟⎟ log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ = log⎜⎜1 + S (ti ) ⎝ S (ti ) ⎠ ⎝ ⎠
menurut deret Maclaurin log(1+x) =
∞
k ∑ (− 1) k =0
x k +1 , sehingga persamaan menjadi k +1
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ∞ S (ti ) ⎛ S (ti +1 ) ⎞ k ⎝ ⎠ ⎟⎟ = ∑ (− 1) log⎜⎜ S ( t ) k + 1 i ⎝ ⎠ k =0
k +1
67
2
3
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞ ⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ S (ti ) S (ti ) ⎛ S (ti +1 ) ⎞ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − .... ⎟⎟ = − + log⎜⎜ S t ( ) 2 3 S ( t ) i i ⎝ ⎠ karena nilai return sangat kecil maka nilai 2
3
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞ ⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ S (ti ) S (ti ) ⎝ ⎠ +⎝ ⎠ − .... 2 3 menjadi sangat kecil, oleh karena itu nilai tersebut diabaikan. Maka
⎛ S (t ) ⎞ S (ti +1 ) − S (ti ) . log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ ≈ S (ti ) ⎝ S (ti ) ⎠
(3.3)
Untuk selanjutnya dengan menggunakan histogram frekuensi relatif untuk ⎛ S (t ) ⎞ log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ , histogram kumulatif dan kuantil-kuantil plot untuk data harga ⎝ S (ti ) ⎠
saham harian dan mingguan akan dilihat apakah persamaan (3.3) tepat. Gambar 3.1.6 dan 3.1.7 memberikan hasilnya,
⎛ S (t ) ⎞ Gambar 3.1.6. Histogram frekuensi relatif log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ , Histogram kumulatif ⎝ S (ti ) ⎠
dan Kuantil-kuantil plot untuk data harga saham harian
68
⎛ S (t ) ⎞ Gambar 3.1.7. Histogram frekuensi relatif log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ , Histogram kumulatif ⎝ S (ti ) ⎠
dan Kuantil-kuantil plot untuk data harga saham mingguan Dari Gambar 3.1.3, 3.1.4 dan Gambar 3.1.6, 3.1.7 dapat disimpulkan bahwa nilai ⎛ ⎛ S (t ) ⎞ ⎞ log ratios ⎜⎜ log⎜⎜ i +1 ⎟⎟ ⎟⎟ mendekati nilai return. ⎝ ⎝ S (ti ) ⎠ ⎠
B. Model Matematis Harga Saham
Tujuan dalam bab ini adalah untuk mendapatkan suatu model dari pergerakan harga saham yang akan digunakan untuk memprediksi harga saham pada waktu berikutnya. Jika diberikan harga saham S0 pada saat t = 0, tujuannya adalah untuk membuat model matematika yang mendeskripsikan harga saham S(t) untuk setiap waktu t (0 ≤ t ≤ T). Karena pergerakan harga saham pada dasarnya tidak dapat diprediksi secara pasti, maka S(t) merupakan sebuah variabel random untuk setiap t. Meskipun harga saham biasanya dibulatkan menjadi satu atau dua tempat desimal, diasumsikan bahwa harga saham memiliki nilai ≥ 0. 1. Model Saham Diskret
Diberikan t i = i δt , sehingga harga saham dapat ditentukan pada titik diskret {t i }. Jika δ t → 0 dan 0 ≤ t ≤ T maka model saham diskretnya adalah S (ti +1 ) = S (ti ) + µ δt S (ti ) + σ δt Yi S (ti )
(3.4)
69
dengan
µ adalah parameter konstan, yaitu nilai harapan return dari harga saham.
σ ≥ 0 adalah parameter konstan yang menentukan fluktuasi harga saham.
Y0 , Y1 , Y2 , ... adalah bilangan random berdistribusi N(0,1) yang independen dan identik. Pergerakan harga saham pada dasarnya akan bergerak secara diskret
biasanya yang terekam tiap bulan, hari dan jam. Tetapi untuk memperoleh prediksi tentang harga saham yang baik, maka model harga saham diskretnya perlu didekatkan kekontinu.
2. Model Saham Kontinu
Misalkan akan diduga interval waktu [0,t] dan interval tersebut akan dibagi menjadi L subinterval, maka t = L δt dengan δt adalah panjang subinterval. Dan jika δt → 0 maka L → ∞ . Telah diketahui bahwa S (0) = S0 maka dari model saham diskrit (3.4) didapat S (δt ), S (2δt ),...., S ( Lδt = t ) . Untuk S (ti +1 ) = S (ti ) + µ δt S (ti ) + σ δt Yi S (ti ) maka, S (t1 ) = S0 + µδt S0 + σ δtY0 S0 = S0 (1 + µδt + σ δtY0 ) S (t2 ) = S (t1 )(1 + µδt + σ δtY1 ) . . . . . . S (t L −1 ) = S (t L − 2 )(1 + µδt + σ δtYL − 2 )
S (t L ) = S (t L −1 )(1 + µδt + σ δtYL −1 )
70
Jadi untuk setiap interval waktu δt , harga saham akan dikalikan dengan faktor 1 + µδt + σ δtYi . Maka untuk L subinterval diperoleh
S ( Lδt = t ) = S (t L −1 )(1 + µδt + σ δtYL −1 ) = S (t L − 2 )(1 + µδt + σ δtYL − 2 )(1 + µδt + σ δtYL −1 )
= S (t L − 3 )(1 + µδt + σ δtYL − 3 )(1 + µδt + σ δtYL − 2 )(1 + µδt + σ δtYL −1 ) . . . . . . = S (t2 )(1 + µδt + σ δtY2 )(1 + µδt + σ δtY3 ).......(1 + µδt + σ δtYL −1 ) = S (t1 )(1 + µδt + σ δtY1 )(1 + µδt + σ δtY2 ).......(1 + µδt + σ δtYL −1 ) = S0 (1 + µδt + σ δtY0 )(1 + µδt + σ δtY1 ).......(1 + µδt + σ δtYL −1 ) L −1
S (t ) = S0 ∏ (1 + µδt + σ δtYi ) . i =0
Jika kedua ruas dibagi dengan S0 dan dilogaritmakan maka persamaan tersebut menjadi L −1 ⎛ S (t ) ⎞ ⎟⎟ = log ∏ (1 + µδt + σ δtYi ) log⎜⎜ i =0 ⎝ S0 ⎠
= log{(1 + µδt + σ δtY0 ) ((1 + µδt + σ δtY1 ) ....((1 + µδt + σ δtYL −1 )}
= log(1 + µδt + σ δtY0 ) + log(1 + µδt + σ δtY1 ) + .... + log(1 + µδt + σ δtYL −1 ) L −1
= ∑ log(1 + µδt + σ δtYi )
(3.5)
i =0
karena mengarah kepada lim δt → 0 maka dari deret Maclaurin log(1+x) = x−
x 2 x3 ε2 ε3 + − ... didapat log(1+ ε ) = ε − + − ... , untuk ε yang sangat kecil . 2 3 2 3
Sehingga log(1 + µδt + σ δtYi ) = µδt + σ δtYi −
( µδt + σ δtYi ) 2 ( µδt + σ δtYi )3 + − ... 2 3
71
= µδt + σ δtYi −
µ 2δt 2 + 2µ δt 2 σYi + σ 2δtYi 2 2
+
µ 3δt 3 + 3µ 2δt 2σ δtYi + 3µ δt σ 2δtY 2i + σ 3 ( δt )3Yi 3 3
− .. .
Karena ε sangat kecil dan δt → 0, maka semakin besar pangkat δt maka nilai δt akan mendekati nol, oleh karena itu untuk δt yang mempunyai pangkat 3/2 atau lebih besar nilainya akan diabaikan. Sehingga diperoleh ⎛ S (t ) ⎞ L −1 1 ⎟⎟ ≈ ∑ ( µ δt + σ δtYi − σ 2δt Yi 2 ) . log⎜⎜ 2 ⎝ S0 ⎠ i = 0
(3.6)
Sekarang dengan menggunakan sifat-sifat nilai harapan dan variansi akan dicari 1 2 nilai harapan dan variansi untuk µ δt + σ δtYi − σ 2δt Yi , 2
1 1 2 2 E ( µ δt + σ δtYi − σ 2δt Yi ) = E ( µδt ) + E (σ δtYi ) − E ( σ 2δt Yi ) 2 2 1 = µ δt − σ 2δt 2
(3.7)
1 1 2 2 Var ( µ δt + σ δtYi − σ 2δt Yi ) = Var ( µ δt ) + Var (σ δtYi ) − Var ( σ 2δtYi ) 2 2 1 = σ 2δt Var (Yi ) − σ 4δt 2 Var (Yi 2 ) 4
(
(
))
2 ⎫ ⎧ 1 = σ 2δt + ⎨− σ 4δt 2 E (Yi 4 ) − E (Yi 2 ) ⎬ ⎩ 4 ⎭
dengan menggunakan persamaan (2.11) dan (2.13) diperoleh, ⎧ 1 ⎫ = σ 2δt + ⎨− σ 4δt 2 (3 − 1)⎬ 4 ⎩ ⎭ = σ 2δt + ( δt dengan pangkat besar)
72
= σ 2δt
(3.8)
Selanjutnya karena Yi dalam persamaan (3.6) berdistribusi normal standar maka log
S (t ) S0
akan menjadi seperti variabel random normal dengan mean
1 1 1 ⎞ ⎛ ⎞ t ⎛ ⎞ ⎛ L⎜ µ δt − σ 2δt ⎟ = ⎜ µδt − σ 2δt ⎟ = ⎜ µ − σ 2 ⎟t 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ δt ⎝ ⎠ ⎝ Lσ 2δt =
dan
variansi
t 2 σ δt = σ 2t , atau dengan kata lain δt ⎛ S (t ) ⎞ ⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ ~ N ⎜⎜ ⎛⎜ µ − σ 2 ⎞⎟t ,σ 2t ⎟⎟ . log⎜⎜ 2 ⎠ ⎠ ⎝⎝ ⎝ S0 ⎠
(3.9)
⎛ S (t ) ⎞ σ2 ⎟⎟ , µ x = µt − Jadi untuk x = log⎜⎜ t , dan σ x = σ t maka akan diperoleh 2 ⎝ S0 ⎠
model untuk harga saham kontinunya, Z=
x − µx
σx
⎛ S (t ) ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ − ⎜ µt − σ 2t ⎟ log⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ S0 ⎠ ⎝ Z= σ t
kalikan kedua ruas dengan σ t maka persamaan menjadi ⎛ S (t ) ⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ − ⎜ µt − σ 2t ⎞⎟ Zσ t = log⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ S0 ⎠ ⎝
1 ⎛ ⎞ tambahkan kedua ruas dengan ⎜ µt − σ 2t ⎟ maka persamaan menjadi 2 ⎝ ⎠ ⎛ S (t ) ⎞ 1 ⎛ ⎞ ⎟⎟ Zσ t + ⎜ µt − σ 2t ⎟ = log⎜⎜ 2 S ⎝ ⎠ 0 ⎝ ⎠
73
1 ⎛ ⎞ t +⎜ µ t − σ 2t ⎟ 2 ⎝ ⎠
Zσ S (t ) =e S0
kalikan kedua ruas dengan S0 maka persamaan menjadi 1 2⎞ ⎛ ⎜ µ − σ ⎟ t +σ t Z 2 ⎠
S (t ) = S0 e⎝
, dengan Z ~N(0,1).
(3.10)
Pada dasarnya tidak penting untuk harga saham pada saat t = 0, keterangan yang sama tentang perkembangan harga saham dapat diperoleh pada saat t = t1 sampai t = t2 dimana t2 > t1 . Maka ⎛ S (t ) ⎞ ⎛⎛ ⎞ 1 ⎞ log⎜⎜ 2 ⎟⎟ ~ N ⎜⎜ ⎜ µ − σ 2 ⎟(t2 − t1 ),σ 2 (t2 − t1 ) ⎟⎟ . 2 ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ S (t1 ) ⎠
(3.11)
Karena Yi dalam persamaan (3.4) identik dan independen, maka untuk t3 > t2 > t1 didapat ⎛ S (t ) ⎞ ⎛⎛ ⎞ 1 ⎞ log⎜⎜ 3 ⎟⎟ ~ N ⎜⎜ ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 − t2 ),σ 2 (t3 − t2 ) ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ S (t2 ) ⎠ ⎛ S (t ) ⎞ ⎛ S (t ) ⎞ dan log⎜⎜ 3 ⎟⎟ independen. Untuk x = log⎜⎜ 3 ⎟⎟ maka ⎝ S (t2 ) ⎠ ⎝ S (t2 ) ⎠ Z=
x − µx
σx
⎛ S (t ) ⎞ ⎛ 1 ⎞ log⎜⎜ 3 ⎟⎟ − ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 − t2 ) 2 ⎠ ⎝ S (t2 ) ⎠ ⎝ Z2 = σ (t3 − t2 ) kalikan kedua ruas dengan σ (t3 − t2 ) maka persamaan menjadi ⎛ S (t ) ⎞ ⎛ 1 ⎞ Z 2σ (t3 − t2 ) = log⎜⎜ 3 ⎟⎟ − ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 − t2 ) 2 ⎠ ⎝ S (t2 ) ⎠ ⎝
(3.12)
74
1 ⎞ ⎛ tambahkan kedua ruas dengan ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 − t2 ) maka persamaan menjadi 2 ⎠ ⎝ ⎛ S (t ) ⎞ 1 ⎞ ⎛ Z 2σ (t3 − t2 ) + ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 − t2 ) = log⎜⎜ 3 ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎝ S (t2 ) ⎠ Z 2σ S (t3 ) =e S (t2 )
1 ⎛ ⎞ (t 3 − t 2 ) + ⎜ µ − σ 2 ⎟(t3 −t 2 ) 2 ⎝ ⎠
kalikan kedua ruas dengan S(t2) maka persamaan menjadi S (t3 ) = S (t2 ) e
1 2⎞ ⎛ ⎜ µ − σ ⎟ ( t 3 − t 2 ) +σ ( t 3 − t 2 )Z 2 2 ⎝ ⎠
.
(3.13)
Jadi perubahan harga saham untuk titik data yang berurutan 0 = t1 < t2 < ... < t M dapat ditentukan oleh 1 2⎞ ⎛ ⎜ µ − σ ⎟ ( t i +1 − t i ) +σ t i +1 − t i Z i 2 ⎠
S (ti +1 ) = S (ti ) e⎝
(3.14)
untuk Zi ~N(0,1).
3. Distribusi Lognormal Harga Saham Teorema 3.2.1: Jika variabel random S (t ) = S0 e
1 2⎞ ⎛ ⎜ µ − σ ⎟ t +σ t Z 2 ⎝ ⎠
dengan Z ~N(0,1) dan S(t) = X, maka
S(t) =X mempunyai fungsi densitas
.
⎧ exp⎛⎜ − (ln( x / S 0 ) − ( µ2 −σ 2 / 2 )t ) 2 ⎞⎟ ⎟ 2σ t ⎠ ⎪ ⎜⎝ , x >0 xσ 2π t ⎪⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ ⎪ 0 , x≤0 ⎪⎩
(
2
(3.15)
)
dengan nilai harapan S 0e µ t dan variansi S0 e 2 µ t eσ t − 1 . 2
75
Bukti : 1 2⎞ ⎛ ⎜ µ − σ ⎟t + σ t Z 2 ⎠
Misalkan x = S(t) = S0e⎝
, jika kedua ruas dibagi dengan S0 maka
diperoleh ⎛⎛
1
⎜⎜ ⎜ µ − σ x = e⎝ ⎝ 2 S0
2
⎞ ⎞ ⎟ t + σ t Z ⎟⎟ ⎠ ⎠
algoritmakan kedua ruas ⎛ x ⎞ ⎛ σ2 ⎞ ⎟t + σ t Z ln⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ µ − 2 ⎟⎠ ⎝ S0 ⎠ ⎝ ⎛ σ2 ⎞ ⎟t kurangkan kedua ruas dengan ⎜⎜ µ − 2 ⎟⎠ ⎝
⎛ x⎞ ⎛ σ2 ⎞ ⎟t = σ t Z ln⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ µ − 2 ⎟⎠ ⎝ S0 ⎠ ⎝ bagi kedua ruas dengan
tZ
⎛ x⎞ ⎛ σ2 ⎞ ⎟t ln⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ µ − S0 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ Z= . σ t Karena Z berdistribusi normal standar dan dimisalkan w(x) = Z, dengan w’(x) = 1 xσ t
maka dengan menggunakan persamaan (2.16) dalam metode transformasi
satu-satu didapatkan, fx(x)
= f z (Z )
d w(x) dx
76
=
=
=
1 e 2π
⎛ ⎛ x ⎜ ln ⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎝ S0 − ⎜ 2⎜ ⎜⎜ ⎝
1 e xσ 2π t
1 e xσ 2π t
⎞ ⎛ σ2 ⎟⎟ − ⎜ µ − ⎜ 2 ⎠ ⎝ σ t
⎛ ⎛ x ⎜ ln ⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎝ S0 − ⎜ 2⎜ ⎜⎜ ⎝
⎛ ⎛ ⎜ ⎜ ⎛ x ⎜ − ⎜ ln ⎜⎜ S ⎜ ⎝ ⎝ 0 ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
2
1 xσ t
⎞ ⎛ σ2 ⎜ ⎟⎟ − ⎜ µ − 2 ⎠ ⎝ σ t
⎞ ⎛ σ2 ⎟⎟ − ⎜ µ − ⎜ 2 ⎠ ⎝
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
2
2σ 2 t
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
Sekarang dengan menggunakan persamaan (2.3) dan (2.6) akan dicari nilai harapan dan variansinya,
E (S (t ) )
∞
=
∫x 0
∞
=
∫ 0
misalkan
Z =
e
e
2 1 ⎛ (ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ / 2 )) t ) ⎞⎟ − ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ σ t ⎠
dx
xσ 2πt 2 1 ⎛ (ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ / 2 )) t ) ⎞⎟ − ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ σ t ⎠
σ 2πt
(ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ 2 / 2 )) t ) σ t
maka didapatkan Zσ t = ln⎛⎜⎜ x ⎞⎟⎟ − ⎛⎜⎜ µ − σ 2 ⎝ S0 ⎠ ⎝
2
⎞ ⎟⎟t ⎠
⎛ σ2 ⎞ ⎟t kurangkan kedua ruas dengan ⎜⎜ µ − 2 ⎟⎠ ⎝
2
2
dx
, jika kedua ruas dikalikan dengan σ t
77
⎛ σ 2 ⎞ = ln⎛⎜ x ⎟t Zσ t + ⎜⎜ µ − ⎜S 2 ⎟⎠ ⎝ 0 ⎝
x = S 0e sehingga dx = σ t S0 e
E (S (t ) ) =
∞
∫
e
⎞ ⎟⎟ ⎠
2 ⎞ ⎛ ⎜ µ − σ ⎟t +σ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
⎛ σ2 ⎞ ⎜ µ − ⎟ t +σ t Z ⎜ 2 ⎟⎠ ⎝
e
1 − Z2 2
−∞
∞
=
∫
2
dx
σ 2πt
∞
∫
dz
2 1 ⎛ (ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ / 2 )) t ) ⎞⎟ − ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ σ t ⎠
0
=
t Z
e
2 ⎛ ⎜ µ −σ ⎜ 2 ⎝
σ t S0 e σ 2πt
1 − Z2 2
S0 e
S eµ t = 0 2π
S eµ t = 0 2π
dz
⎞ ⎟t +σ t Z ⎟ ⎠
dz
2π
−∞
S eµ t = 0 2π
2 ⎛ ⎜ µ −σ ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟ t +σ t Z ⎟ ⎠
∞
∫e
σ2 1 − Z 2 +σ t Z − t 2 2
dz
−∞ ∞
∫e
(
)
−
1 2 1 Z − 2 Zσ t − σ 2 t 2 2
−
1 Z −σ t 2
dz
−∞
∞
∫e
(
)2
dz
−∞
misal v = Z − σ t maka Z = v + σ t dan dz = dv , sehingga persamaan menjadi E (S (t ) ) =
S0e µ t 2π
∞
∫e
−∞
1 − v2 2
dv
78
1
− 1 misalkan w = v 2 maka v = 2 w dan dv = (2 w) 2 dw sehingga persamaan 2
menjadi E (S (t ) ) =
∞
1 2 S0e µ t − w − e (2 w) 2 dw ∫ 2π 0 ∞
=
=
2S0e µ t −w − 1 e (w) 2 dw 2 π ∫0 ∞
S0e µ t
∫ e (w)
π
−w
−
1 2
dw
0
dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8) didapatkan =
=
S0e µ t ⎛ 1 ⎞ Γ⎜ ⎟ π ⎝2⎠
S0e µ t
π
π
= S0e µ t .
(3.16)
Sekarang akan dicari E (S (t ) 2 ) ,
E (S (t ) 2 )
∞
=
∫x
2
e
2 1 ⎛ (ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ / 2 )) t ) ⎞⎟ − ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ σ t ⎠
∞
=
∫x
e
2 1 ⎛ (ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ / 2 )) t ) ⎞⎟ − ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ σ t ⎠
0
misalkan
Z =
dx
xσ 2πt
0
σ 2πt
(ln( x / S 0 ) − ( µ − (σ 2 / 2 )) t ) σ t
kalikan kedua ruas dengan σ t
2
2
dx
79
Zσ t = ln⎛⎜⎜ x ⎞⎟⎟ − ⎛⎜⎜ µ − σ 2 ⎝ S0 ⎠ ⎝
2
⎞ ⎟⎟t ⎠
⎛ σ2 ⎞ ⎟t kurangkan kedua ruas dengan ⎜⎜ µ − 2 ⎟⎠ ⎝ ⎛ σ 2 ⎞ = ln⎛⎜ x ⎞⎟ ⎟t Zσ t + ⎜⎜ µ − ⎜S ⎟ 2 ⎟⎠ ⎝ 0⎠ ⎝
x = S 0e
2 ⎛ ⎜µ−σ ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟t +σ ⎟ ⎠
t Z
dan dx = σ t S0 e
⎛ σ2 ⎞ ⎜ µ − ⎟ t +σ t Z ⎜ 2 ⎟⎠ ⎝
dz
sehingga persamaan menjadi E (S (t )
2
)
∞
=
∫Se 0
2 ⎛ ⎜ µ −σ ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟t +σ t Z ⎟ ⎠
−∞
2
S = 0 2π 2
S = 0 2π 2
S = 0 2π 2
S = 0 2π 2
S = 0 2π 2
S = 0 2π
∞
∫e
2 ⎛ ⎜ µ −σ ⎜ 2 ⎝
σ 2πt
⎞ ⎟ t +σ t Z ⎟ ⎠
e
σ t S0 e
⎛ σ2 1 ⎜ − Z2 ⎜µ− 2 ⎝ 2
e
2 ⎛ ⎜ µ −σ ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟ t +σ t Z ⎟ ⎠
−∞
∞
∫e
⎛ σ2 1 − Z 2 + 2σ t Z + 2 ⎜⎜ µ − 2 2 ⎝
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
dz
−∞
∞
∫e
⎛ σ2 1 − ( Z 2 − 4σ t Z ) + 2 ⎜⎜ µ − 2 2 ⎝
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
dz
−∞
∞
∫e
1 − ( Z 2 − 4σ t Z ) + 2 µ t − σ 2 t 2
dz
−∞ ∞
∫e
1 − ( Z − 2σ t ) 2 + 2 σ 2 t + 2 µ t − σ 2 t 2
−∞ ∞
∫e
1 − ( Z − 2σ t ) 2 + 2 µ t + σ 2 t 2
dz
−∞
S e ( 2 µ +σ = 0 2π 2
e
1 − Z2 2
2
)t ∞
∫e
−∞
1 − ( Z − 2σ t ) 2 2
dz
dz
⎞ ⎟t +σ t Z ⎟ ⎠
dz
dz
80
misalkan v = Z − 2σ t maka Z = v + 2σ t dan dz = dv , sehingga persamaan menjadi E (S (t ) 2 )
S0 e ( 2 µ +σ 2π 2
=
)t ∞
2
∫e
1 − v2 2
dv
−∞
1
− 1 misalkan w = v 2 maka v = 2w dan dv = (2w) 2 dw , sehingga persamaan 2
menjadi E (S (t )
2
)
2 S 0 e( 2 µ +σ = 2π
2
2S0 e ( 2 µ +σ = 2 π
2
2
2
)t ∞
−
1
−w ∫ e (2w) 2 dw 0
)t ∞
−
1
−w ∫ e (w) 2 dw 0
dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8) didapatkan =
S0 e ( 2 µ +σ
=
S 0 e ( 2 µ +σ
2
2
)t
2
)t
π 2
⎛1⎞ Γ⎜ ⎟ ⎝2⎠
π
π
= S 0 e ( 2 µ +σ 2
2
)t
.
(3.17)
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3.16) dan (3.17) akan dicari nilai Var(S(t)). Var(S(t))
= E(X2) – (E(X))2
(
= S 0 e ( 2 µ +σ
2
)t
− S0 e µ t
= S 0 e ( 2 µ +σ
2
)t
− S02 e 2 µ t
2
2
(
2
)
= S0 e 2 µ t eσ t − 1 . 2
)
2
(3.18)
81
Jadi teorema diatas sudah terbukti.
▀
Fungsi densitas untuk S(t) adalah ⎧ exp⎛⎜ − (ln( x / S 0 ) − ( µ2 −σ 2 / 2 )t ) 2 ⎞⎟ ⎟ 2σ t ⎠ ⎪ ⎜⎝ , x >0 σ π 2 x t ⎪⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ ⎪ 0 , x≤0 ⎪⎩
⎛ − (ln( x) − ln(S0 ) − ( µ − σ 2 / 2)t ) 2 ⎞ ⎟⎟ exp⎜⎜ 2σ 2t ⎝ ⎠ f ( x) = σ t x 2π 2 ⎛ ⎡ ⎞ 2 ⎜ − ln( x) − ⎧ln(S ) + ⎛⎜ µt − σ t ⎞⎟⎫⎤ ⎟ ⎢ ⎥ ⎨ ⎬ 0 ⎜ ⎜ 2 ⎟⎠⎭⎦⎥ ⎟ ⎢ ⎝ ⎩ ⎟ exp⎜ ⎣ 2σ 2t ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f ( x) = σ t x 2π
⎛ ⎛ σ 2t ⎞ 2 ⎞⎟ ⎟,σ t ⎟ . maka X = S(t) ~ lognormal ⎜⎜ ln(S0 ) + ⎜⎜ µt − 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝
Contoh 3.2.1 : Berikut ini akan diberikan grafik dari fungsi densitas lognormal (3.15), dengan S0 = 1, µ = 0,05 , dan untuk σ = 0,3 dan σ = 0,5 . Gambar (3.2.1) diberikan untuk t = 1 dan t = 3 untuk gambar (3.2.2). Dengan menggunakan program (3.10) dan (3.11) pada lampiran didapat,
82
Gambar (3.2.1) : Kurva Densitas Lognormal untuk S0 = 1, µ = 0,05 , t = 1, dan σ = 0,3 dan σ = 0,5
Gambar (3.2.2) : Kurva Densitas Lognormal untuk S0 = 1, µ = 0,05 , t = 3, dan σ = 0,3 dan σ = 0,5 Dari kedua gambar dapat dilihat bahwa fungsi densitas tersebut tidak mempunyai sumbu simetri vertikal. Diketahui dalam persamaan (3.18) variansi dari fungsi densitas harga saham akan naik bersama dengan kenaikan nilai t, dan hal ini jelas
83
dapat dilihat dalam gambar (3.2.1) dan (3.2.2). Ketika nilai t naik, maka fungsi densitasnya akan melebar. Nilai harapan dari S(t) juga akan naik bersama t, meskipun hal ini kurang jelas dalam gambar.
4. Interval Konvidensi Harga Saham ⎛ S (t ) ⎞ ⎟⎟ adalah Dari persamaan (3.9) nilai harapan dan variansi untuk ln⎜⎜ ⎝ S0 ⎠ 1 2⎞ ⎛ 2 ⎜ µ − σ ⎟t dan σ t , maka dengan menggunakan bab II. H interval konvidensi 2 ⎠ ⎝ 95% untuk Z adalah P ( − Z α / 2 ≤ Z ≤ Zα / 2 ) = 1 − α P(− Z 0,05 / 2 ≤ Z ≤ Z 0, 05 / 2 ) = 1 − 0,05 P(− Z 0,025 ≤ Z ≤ Z 0,025 ) = 0,95 P(− 1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.95
⎛ ⎞ ⎛ S (t ) ⎞ ⎛ σ2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟⎟ − ⎜⎜ µ − ⎟⎟t ln⎜⎜ S0 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ P⎜ − 1.96 ≤ ≤ 1.96 ⎟ = 0.95 σ t ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ S (t ) ⎞ ⎛ σ2 ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ µ − ⎟⎟t ≤ 1.96σ t ⎟ = 0.95 P⎜⎜ − 1.96σ t ≤ ln⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ S0 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
⎛⎛ ⎞ ⎛ S (t ) ⎞ ⎛ σ2 ⎞ σ2 ⎞ ⎟⎟ ≤ ⎜⎜ µ − ⎟⎟t − 1.96σ t ≤ ln⎜⎜ ⎟⎟t + 1.96σ t ⎟ = 0.95 P⎜⎜ ⎜⎜ µ − ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ S0 ⎠ ⎝ ⎝⎝ ⎠
84
⎛ ⎛⎜⎜ µ − σ 2 ⎞⎟⎟t −1.96σ 2 ⎠ ⎜ P⎜ e ⎝ ⎜ ⎝
⎛ −1.96σ ⎜ P⎜ S 0 e ⎜ ⎝
t
⎛
⎜µ− ⎜ S (t ) ≤ ≤ e⎝ S0
⎛ σ2 t + ⎜⎜ µ − 2 ⎝
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
σ 2 ⎞⎟
t +1.96σ t 2 ⎟⎠
⎞ ⎟ ⎟⎟ = 0.95 ⎠
⎛ σ2 1.96σ t + ⎜⎜ µ − 2 ⎝
≤ S (t ) ≤ S0e
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟⎟ = 0.95 ⎠
sehingga ⎛ −1.96σ ⎜ ⎜⎜ S0e ⎝
⎛ σ2 t + ⎜⎜ µ − 2 ⎝
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
⎛ σ2 1.96σ t + ⎜⎜ µ − 2 ⎝
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
, S0e
⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠
(3.19)
adalah interval konvidensi 95% untuk harga saham S(t). Jika t kecil maka
e
⎛ σ2 −1.96σ t + ⎜⎜ µ − 2 ⎝
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
≈ e −1.96σ
( nilai
t
⎛ σ 2 ⎞⎟ ⎜⎜ µ − ⎟t 2 ⎠ ⎝
dihilangkan karena nilai t <
penambahan untuk nilai
⎛ σ 2 ⎞⎟ ⎜⎜ µ − ⎟t 2 ⎠ ⎝
Kemudian dengan menggunakan deret Maclaurin e
x
t , sehingga
sangatlah kecil ).
=
∞
∑
k = 0
xk k!
maka
didapatkan e
−1.96σ t
(− 1,96σ t ) = (− 1,96σ t ) + (− 1,96σ t ) + (− 1,96σ t ) =∑ k =0
0
k
∞
k!
0!
1
1!
(− 1,96σ t ) t+
2
2!
+ .....
2
= 1 − 1,96σ
2!
+ ...
(− 1,96σ t ) + (− 1,96σ t ) + (− 1,96σ t ) karena nilai 2
2!
3
3!
nilai itu diabaikan. Sehingga persamaan menjadi e −1.96σ
t
≈ 1 − 1.96σ t
4
4!
+ ... sangatlah kecil maka
85
Sedangkan untuk ⎛ σ2 1.96σ t + ⎜⎜ µ − 2 ⎝
e
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
≈ e1.96σ
t
( nilai
⎛ σ 2 ⎞⎟ ⎜⎜ µ − ⎟t 2 ⎠ ⎝
dihilangkan karena nilai t <
penambahan untuk nilai
⎛ σ 2 ⎞⎟ ⎜⎜ µ − ⎟t 2 ⎠ ⎝
Kemudian dengan menggunakan deret Maclaurin e
x
t , sehingga
sangatlah kecil ).
=
∞
∑
k = 0
xk k!
maka
didapatkan 1.96σ t
e
(1,96σ t ) = (1,96σ t ) + (1,96σ t ) + (1,96σ t ) =∑ k =0
0
k
∞
k!
1
0!
2
1!
(1,96σ t ) t+
2!
+ .....
2
= 1 + 1,96σ
+ ...
2!
(1,96σ t ) + (1,96σ t ) + (1,96σ t ) karena nilai 2
3
2!
3!
4
4!
+ ... sangatlah kecil maka nilai
itu diabaikan. Sehingga persamaan menjadi e1.96σ
t
≈ 1 + 1.96σ t
Jadi nilai
e
⎛ σ2 −1.96σ t + ⎜⎜ µ − 2 ⎝
⎛ σ2 1.96σ t + ⎜⎜ µ − 2 ⎝
e
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
⎞ ⎟t ⎟ ⎠
≈ 1 − 1.96σ t dan
≈ 1 + 1.96σ t .
Interval konvidensi dengan tingkat kepercayaan 95% nya adalah perkiraan
(
) (
)
⎡ S 1 − 1.96σ t , S 1 + 1.96σ t ⎤ . 0 ⎢⎣ 0 ⎦⎥ Lebar dari interval ini adalah
(3.20)
86
(
) (
= S0 1 + 1.96σ t − S0 1 − 1.96σ t
(
)
) (
= S0 + S01.96σ t − S0 − S01.96σ t
)
= S0 + S01.96σ t − S0 + S01.96σ t = 2 S01.96σ t .
(3.21)
Jika lebar interval konvidensi diperhatikan sebagai ukuran ketidakpastian untuk harga saham yang akan datang, maka hasil ini menerangkan bahwa semakin kecil periode waktunya maka lebar intervalnya akan bergantung dari akar t. Karena µ dan σ bernilai positif dan 2 lim E ( S (t ) 2 ) = lim S02e(2 µ +σ )t = ∞ , untuk t → ∞
t →∞
t →∞
(
(3.22)
)
maka harga saham akan menuju takhingga pada E S (t ) 2 sebagai hasil dari kenaikan t. Untuk nilai t → ∞ maka, 1 2⎞ ⎛ ⎛ ⎜ µ − σ ⎟t +σ lim S (t ) = lim⎜ S0 e⎝ 2 ⎠ t →∞ t →∞⎜ ⎝
karena nilai
⎛ ⎞ ⎜⎜ µ − 1 σ 2 ⎟⎟ t 2 ⎝ ⎠
tZ
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
lebih dominan dibandingkan dengan nilai σ t Z maka
⎧⎪ ∞ , jika µ − σ 2 lim S (t ) = ⎨ 2 σ t →∞ ⎪⎩ 0 , jika µ − 2
2
> 0 < 0
.
Jadi menurut model tersebut,
µ−
σ2 2
<0
tambahkan kedua ruas dengan
σ2 2
maka persamaan menjadi
(3.23)
87
µ<
σ2 2
kalikan kedua ruas dengan 2 maka persamaan menjadi 2µ < σ 2
(
)
atau dengan kata lain volatilitas cukup besar σ 2 > 2 µ , maka harga saham akan menuju nol.
C. Komputasi Aset Path Dalam pembangkitan simulasi komputer dari harga saham, akan digunakan persamaan (3.14). Andaikan ingin menyimulasikan perubahan S(t) pada titik-titik diskret {ti }i = 0 dengan 0 = t0 < t1 < t2 < ... < t K = T , digunakan K
perhitungan nilai {Si }i = 0 menurut K
Si +1 = Si e
2 ⎛ ⎜ µ −σ ⎜ 2 ⎝
⎞ ⎟ (t i +1 − t i )+ σ t i +1 − t i ξ i ⎟ ⎠
(3.24)
dimana tiap ξi adalah sampel dari pembangkitan bilangan random N(0,1). Hasil dari persamaan (3.24) adalah titik (ti , Si ) yang membentuk diskret asset path. Titik-titik asset path tersebut nantinya akan menjadi simulasi untuk pergerakan harga saham. Contoh berikut ini akan menunjukkan simulasi pergerakan harga saham dengan menggunakan asset path.
Contoh 3.3.1 : Dalam Gambar (3.3.1) berikut menunjukkan hasil dari simulasi komputer untuk 103 titik waktu dalam interval waktu [0, 3]. Diberikan S0 = 1, µ = 0,05 dan
88
σ = 0,1 . Dalam gambar (3.3.1) titik-titik data (ti , Si ) dihubungkan dengan garis lurus. Dengan menggunakan program (3.12) dalam lampiran didapat,
Gambar (3.3.1). Diskret asset path untuk persamaan (3.18). Titik-titik diskret dihubungkan dengan garis lurus untuk memperoleh kurva yang kontinu. Gambar (3.3.1) tersebut menyerupai kurva pergerakan harga saham pada gambar (3.1.1) dan (3.1.2). Melalui gambar diatas dapat dilihat simulasi komputer untuk pergerakan harga saham. Gambar diatas tidak “mutlak”, tetapi akan berbeda-beda sesuai bilangan random yang telah dibangkitkan. Jadi dengan menggunakan asset path, dapat dilihat berbagai macam kurva pergerakan harga saham. Gambar (3.3.1) diatas menunjukkan titik-titik yang kontinu, tetapi “bergerigi”. Hal ini akan menunjukkan bahwa asset path dengan δt → 0 menurut persamaan (3.4) akan menjadi fungsi yang kontinu untuk t. Dalam persamaan (3.4) mengatakan bahwa kenaikan parameter volatilitas
σ akan “memperbesar gerigi” dalam kurva. Jika parameter volatilitas σ semakin
89
membesar maka “gerigi-gerigi” dalam asset path akan semakin besar atau “curam”, demikian pula sebaliknya. Contoh berikut ini akan menunjukkan hal tersebut.
Contoh 3. 3.2 : Gambar (3.3.2) dan (3.3.3) akan menunjukkan komputasi asset path dengan parameter yang sama dalam contoh 3.3.1 , dengan σ = 0.05 untuk Gambar (3.3.2) dan σ = 0.5 untuk Gambar (3.3.3). Hasilnya akan menunjukkan bahwa parameter
σ mengendalikan “gerigi” dalam path. Dengan menggunakan program (3.13) dan (3.14) didapat,
Gambar (3.3.2). Diskret asset path untuk persamaan (3.18), dengan σ = 0.05 .
90
Gambar (3.3.3). Diskret asset path untuk persamaan (3.18), dengan σ = 0.5 .
Kedua gambar diatas (Gambar (3.3.2) dan (3.3.3)) menggunakan pembangkitan bilangan random berdistribusi N(0,1) yang sama. Dari Gambar (3.3.2) dan (3.3.3) dapat dilihat perbedaan antara kurva dengan σ = 0,05 dan kurva dengan σ = 0,5. Nilai volatilitas yang besar akan menghasilkan kurva dengan “gerigi” yang lebih besar atau “curam” dibandingkan dengan kurva dengan volatilitas lebih kecil. Jika dicermati lebih teliti kedua gambar diatas (Gambar (3.3.2) dan (3.3.3)) membentuk pola yang sama, tetapi dengan tingkat “kecuraman” pada tiap perpindahan nilai harga saham yang berbeda. Dengan kata lain jika volatilitas besar maka tingkat “kecuramannya” akan lebih besar. Untuk Gambar (3.3.2) tingkat “kecuramannya” lebih kecil (kurva lebih halus), artinya bagi seorang investor yang ingin menanamkan modalnya untuk saham ini akan mempunyai tingkat resiko yang kecil sedangkan untuk Gambar (3.3.3) memiliki tingkat “kecuraman” yang besar maka resiko yang harus ditanggung juga besar. Untuk
91
lebih jelasnya, dapat dilihat pada interval waktu dari [0, 0.5], kenaikan nilai harga saham pada Gambar (3.3.2) sampai pada titik 1.06 sedangkan untuk Gambar (3.3.3) kenaikan mencapai titik 1.45. Dan juga jika dilihat pada interval waktu [2.6, 3], penurunan nilai harga saham untuk Gambar (3..3.2) pada interval tersebut dari titik 1.26 sampai 1.24, sedangkan untuk Gambar (3.3.3) penurunannya cukup signifikan dari titik 2.45 sampai 1.6. Artinya bagi seorang investor yang ingin menanamkan modalnya ada dua kemungkinan, jika ia memilih Gambar (3.3.2) sebagai pilihan untuk menanamkan modal maka ia akan mendapatkan keuntungan yang kecil tetapi dengan resiko yang kecil pula atau memilih Gambar (3.3.3) dengan keuntungan yang besar tetapi dengan resiko yang besar pula. Meskipun tiap asset path adalah fungsi dengan kurva yang “tidak halus”, tetapi nilai harapan dari S(t) dalam persamaan (3.16) merupakan fungsi dengan kurva yang “halus”. Contoh berikut akan menunjukkan kesamaan antara kurva nilai harapan dalam persamaan (3.16) dengan kurva rata-rata dari asset path.
Contoh 3.3.3 : Diberikan µ = 0,2 , σ = 0,3 dan menggunakan 103 titik waktu dalam interval waktu [0, 3]. Disini akan dibangkitkan 104 diskret path, dimulai untuk S0 = 1, tetapi menggunakan pembangkitan sampel bilangan random yang berbeda untuk tiap-tiap path. Dengan menggunakan program (3.15) dan (3.16) pada lampiran didapat,
92
Gambar (3.3.4). Gambar 20 diskret asset path
Gambar (3.3.5.1). Sampel mean dari 104 diskret asset path dan mean dalam persamaan (3.16).
Gambar (3.3.4) menunjukkan 20 asset path pertama. Sedangkan pada Gambar (3.3.5.1) tiap titik waktunya dihitung rata-rata dari 104 nilai asset yang berbeda. Rata-rata dari asset path ditunjukkan dengan garis titik-titik biru sedangkan nilai harapan dari persamaan (3.16) ditunjukkan dengan garis merah. Dapat dilihat bahwa kurva untuk rata-rata dari asset path pada Gambar (3.3.5.1) sungguh “halus”, dalam gambar tersebut tidak dapat dibedakan antara kurva rata-rata asset path dengan kurva nilai harapan dalam persamaan (3.16).
93
Dalam Gambar (3.3.5.1) diatas digunakan 104 asset path, tetapi sekarang akan timbul pertanyaan bagaimana jika digunakan jumlah asset path yang berbeda-beda. Hal tersebut akan ditunjukkan dalam Gambar (3.3.5.2) berikut ini. Dengan menggunakan program (3.17) didapatkan,
Gambar (3.3.5.2). Sampel mean dengan 10, 102, 103, 104 diskret asset path Dari Gambar (3.3.5.2) diatas dapat dilihat, jika jumlah asset path semakin banyak maka kurva rata-rata asset pathnya akan semakin mendekati kurva nilai harapan dari persamaan (3.16). Jadi dari Gambar (3.3.5.1) dan Gambar (3.3.5.2) dapat disimpulkan kurva rata-rata asset path akan mendekati kurva nilai harapan dalam persamaan (3.16) (teorisnya) jika jumlah asset pathnya besar. Untuk selanjutnya akan diberikan contoh untuk melihat apa yang Teorema 3.2.1 katakan tentang distribusi harga saham S(t). Dalam simulasi berikut ini akan diberikan histogram penduga densitas kernel untuk harga saham S(t).
94
Contoh 3.3.5 : Diberikan S0 = 1, µ = 0.05 dan σ = 0.5 , dan perhitungan asset path dalam interval waktu [0, T], dengan T = 1. Disini akan digunakan lebar interval yang sama dari ti +1 − ti = δt = 10−2 . Gambar (3.3.6) menunjukkan 50 asset path. Sedangkan Gambar (3.3.7) memperlihatkan gambar penduga densitas kernel untuk asset path. Dengan menggunakan histogram dengan lebar tiap subinterval 0,05. Dengan menggunakan program 3.18 dan 3.19 dalam lampiran didapatkan,
Gambar. (3.3.6). Gambar 50 diskret asset path dalam interval [0, T] dengan S0 = 1, µ = 0.05 , σ = 0.5 , T = 1 dan δt = 10−2 .
Gambar. (3.3.7). Gambar histogram penduga densitas kernel untuk harga saham dengan path yang berbeda-beda.
95
Gambar (3.3.6) memberikan kurva untuk 50 asset path. Sedangkan gambar (3.3.7) memberikan penjelasan, bahwa harga saham S(t) berdistribusi lognormal. Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa untuk asset path yang semakin banyak akan didapatkan gambar histogram penduga densitas kernel yang mendekati kurva dengan garis putus-putus yang tak lain adalah kurva fungsi densitas lognormal. Jadi dengan menggunakan asset path dan penduga densitas kernel dapat ditunjukkan bahwa S(t) berdistribusi lognormal (dengan syarat path yang besar). 1. Pola Pergerakan Harga Saham Dengan Skala Waktu Yang Berbeda
Pembahasan berikut ini akan memperjelas pembahasan pada model harga saham. Dalam Gambar (3.3.8) akan terlihat “gerigi-gerigi” walaupun skala waktunya berbeda. Dalam pengecilan atau pembesaran skala dapat dilihat kwalitas yang sama. Dalam gambar (3.1.1) dan (3.1.2) yang telah dibahas diatas dapat dilihat pola yang sama pada saat data harian diubah menjadi data mingguan. Dalam Gambar (3.1.2) dapat dilihat gambar harga saham mingguan dari tahun 1998 sampai 2001. Jika dicermati pada interval januari sampai September dalam gambar tersebut akan membentuk pola yang sama dengan pola gambar yang ada pada Gambar (3.1.1). Tetapi dalam Gambar (3.1.1) terdapat lebih banyak “gerigi” dibandingkan pada Gambar (3.1.2) (dalam interval januari sampai September 2001).
Hal
tersebut
dikarenakan
δt
yang
diperkecil,
sehingga
akan
memperbanyak titik-titik waktu dalam interval tersebut. Dalam Gambar (3.1.1) dapat dilihat pola fluktuasi yang lebih detail dibandingkan dengan pola fluktuasi yang ada pada Gambar (3.1.2).
96
Simulasi berikut ini akan menunjukkan hal yang sama seperti yang terjadi pada Gambar (3.1.1) dan (3.1.2). Dengan menggunakan asset path akan ditunjukkan pola yang sama jika interval waktunya diperkecil atau diperbesar. Contoh 3.3.5 :
Untuk membangkitkan Gambar (3.3.8) digunakan singgel asset path dengan S0 = 1, µ = 0.05 ,σ = 0.5 dan δt = 10−4 dalam interval [0,1], [0, 0.1] dan [0, 0.01].
Dengan menggunakan program (3.20) dalam lampiran didapatkan,
Gambar (3.3.8). Satu sampel path yang sama dengan skala waktu berbeda.
o Gambar paling atas menunjukkan path pada 100 titik-titik dengan jarak
sama dalam interval [0, 1]. o Gambar tengah menunjukkan path pada 100 titik-titik dengan jarak sama
dalam interval [0, 0.1]. o Gambar paling bawah menunjukkan path pada 100 titik-titik dengan jarak
sama dalam interval [0, 0.01].
97
Dalam gambar diatas dapat dilihat bahwa pembesaran pada path tidak menunjukkan banyak perubahan didalam pola (path tetap “bergerigi” untuk setiap skala waktu). Didalam Gambar (3.3.8) dapat dilihat, jika skalanya diperkecil maka akan diperoleh pola pergerakan yang lebih detail untuk skala waktu tertentu. Pada Gambar (3.3.8) paling atas untuk interval antara [0, 0.1] dapat dilihat pola yang mempunyai sedikit “gerigi” bahkan hanya terlihat beberapa titik yang dihubungkan dengan garis lurus, tetapi setelah skalanya diperkecil (gambar bagian tengah) maka dapat dilihat kurva dengan pola fluktuasi yang sama tetapi lebih detail dengan banyak “gerigi”. Demikian pula untuk gambar bagian tengah jika dilihat dari interval waktu [0, 0.1] maka didapatkan kurva yang sedikit “halus”, tetapi ketika skalanya lebih diperkecil lagi (gambar paling bawah) maka akan terlihat pola fluktuasi yang sama dengan “gerigi” yang lebih banyak. Secara keseluruhan akan diperoleh kurva dengan pola fluktuasi yang sama dan lebih detail jika digunakan interval waktu yang kecil. Untuk lebih jelasnya, maka harus melihat kembali model diskret (3.4) dan mempertimbangkan : 1. Interval waktu yang kecil δt . ∧
2. Interval waktu yang sangat kecil δt = δt / L , dimana L adalah bilangan bulat besar. ∧
Menggunakan persamaan (3.4) untuk memperoleh t = 0 sampai t = δt , S (ti +1 ) = S (ti ) + µ δt S (ti ) + σ δt Yi S (ti ) ∧ ∧ ⎛∧⎞ S ⎜ δt ⎟ = S0 + µ δt S0 + σ δt Y0 S0 ⎝ ⎠
kurangkan kedua ruas dengan S0 maka didapatkan
98
∧ ∧ ⎛∧⎞ S ⎜ δt ⎟ − S0 = µ δt S0 + σ δt Y0 S0 ⎝ ⎠ ∧ ⎛ ∧ ⎞ ⎛∧⎞ S ⎜ δt ⎟ − S0 = S0 ⎜⎜ µ δt + σ δt Y0 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(3.25)
bagi kedua ruas dengan S0 ⎛∧⎞ S ⎜ δt ⎟ − S0 ∧ ∧ ⎝ ⎠ = µ δt + σ δt Y0 S0 ⎛∧⎞ S ⎜ δt ⎟ − S0 Sekarang akan dicari nilai harapan dan variansi dari ⎝ ⎠ S0 ∧ ⎞ ⎛ ∧ ⎛ ∧ E ⎜⎜ µ δt + σ δt Y0 ⎟⎟ = E ⎜ µ δt ⎝ ⎠ ⎝
∧ ∧ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ + E ⎜⎜ σ δt Y0 ⎟⎟ = µ δt ⎠ ⎠ ⎝
∧ ∧ ∧ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ∧ ⎛ ∧ ⎞ var⎜⎜ µ δt + σ δt Y0 ⎟⎟ = var⎜ µ δt ⎟ + var⎜⎜ σ δt Y0 ⎟⎟ = σ 2 δt , sehingga ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
⎛∧⎞ S ⎜ δt ⎟ − S0 ∧ ⎛ ∧ ⎞ ⎝ ⎠ ~ N ⎜ µ δt ,σ 2 δt ⎟ S0 ⎝ ⎠ ^
Untuk t = 0 sampai t = δt = δt L , maka ^ ^ ⎧⎛ ⎞ ⎛ ^ ⎞⎫ ⎞ ⎛ ^ ⎞⎫ ⎧⎛ S (δt ) − S0 = ⎨⎜ S (0) δt ⎟ − S ⎜ 0 δt ⎟⎬ + ⎨⎜ S (2) δt ⎟ − S ⎜1δt ⎟⎬ + .... ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎩⎝ ⎩⎝ ^ ^ ⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫ …. + ⎨⎜ S ( L) δt ⎟ − S ⎜ (L − 1)δt ⎟⎬ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎩⎝ L −1 ^ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ^ ⎞⎞ S (δt ) − S0 = ∑ ⎜ ⎜ S (i + 1) δt ⎟ − S ⎜ i δt ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎠ i =0 ⎝ ⎝
menggunakan persamaan (3.25) maka diperoleh
(3.26)
99
L −1 ^ ⎞ ⎛ ^ ⎞⎛ ^ S (δt ) − S0 = ∑ S ⎜ i δt ⎟⎜⎜ µ δt + σ δtYi ⎟⎟ ⎠⎝ i =0 ⎝ ⎠
⎛^⎞ Jika diperkirakan nilai S ⎜ δt ⎟ = S0 dan menggunakan pengertian dari Teorema ⎝ ⎠ Limit Pusat maka didapatkan L −1 ^ ⎞ ⎛ ^ ⎞⎛ ^ S (δt ) − S0 = ∑ S ⎜ i δt ⎟⎜⎜ µ δt + σ δtYi ⎟⎟ ⎠⎝ i =0 ⎝ ⎠ ^ ^ ^ ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ ^ ⎛ ^ ⎞⎛ ^ ⎛ ^ ⎞⎛ ^ = S0 ⎜⎜ µ δt + σ δtY0 ⎟⎟ + S ⎜ δt ⎟⎜⎜ µ δt + σ δtY1 ⎟⎟ + S ⎜ 2 δt ⎟⎜⎜ µ δt + σ δtY2 ⎟⎟ + .... ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ^ ⎛ ^ ^ ⎞ ⎛ ⎞ ... + S ⎜ (L − 1)δt ⎟⎜⎜ µ δt + σ δtYL −1 ⎟⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ^ ^ ^ ⎛ ^ ⎞ ⎛ ^ ⎞ ⎛ ^ ⎞ ≈ S0 ⎜⎜ µ δt + σ δtY0 ⎟⎟ + S0 ⎜⎜ µ δt + σ δtY1 ⎟⎟ + S0 ⎜⎜ µ δt + σ δtY2 ⎟⎟ + .... ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ^ ⎞ ⎛ ^ ... + S0 ⎜⎜ µ δt + σ δtYL −1 ⎟⎟ ⎠ ⎝ ^ ^ ^ ⎡⎛ ^ ⎞ ⎞ ⎛ ^ ⎞ ⎛ ^ ≈ S0 ⎢⎜⎜ µ δt + σ δtY0 ⎟⎟ + ⎜⎜ µ δt + σ δtY1 ⎟⎟ + ⎜⎜ µ δt + σ δtY2 ⎟⎟ + .... ⎢⎣⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ^ ⎞⎤ ⎛ ^ ..... + ⎜⎜ µ δt + σ δtYL −1 ⎟⎟⎥ ⎠⎦⎥ ⎝ L −1 ⎛ ^ ^ ⎞ S (δt ) − S0 ≈ S0 ∑ ⎜⎜ µ δt + σ δtYi ⎟⎟ i =0 ⎝ ⎠
bagi kedua ruas dengan S0
S (δt ) − S0 S0
=
L −1
⎛
i =0
⎝
^
∑ ⎜⎜ µ δt + σ
^
⎞
δtYi ⎟⎟ ⎠
100
jadi
∧ ∧ S (δt ) − S0 ⎛ ⎞ ~ N ⎜ µL δt , σ 2 L δt ⎟ S0 ⎝ ⎠
^
karena L δt = δt maka
S (δt ) − S0 ~ N (µ δt ,σ 2δt ) S0
dimana didapatkan lagi persamaan (3.26) dengan skala waktu yang lebih besar.
2. Jumlah kuadrat return
Dalam Bab III. bagian A telah dibahas tentang return dari harga saham. Untuk lebar interval waktu yang kecil δt = ti +1 − ti , model harga saham diskret dalam persamaan (3.4) mengasumsikan bahwa S (ti +1 ) = S (ti ) + µ δt S (ti ) + σ δt Yi S (ti )
jika kedua ruas dikurangi S (ti ) maka persamaan menjadi S (ti +1 ) − S (ti ) = S (ti ) + µ δt S (ti ) + σ δt Yi S (ti ) − S (ti )
(
)
S (ti +1 ) − S (ti ) = S (ti ) 1 + µ δt + σ δt Yi − 1
(
S (ti+1 ) − S (ti ) = S (ti ) µ δt + σ δt Yi
)
jika kedua ruas dibagi S(ti) maka persamaan menjadi
S (ti +1 ) − S (ti ) = µδt + σ δt Yi . S (ti )
(3.27)
sehingga returnnya berupa variabel random dengan nilai harapan µδt dan variansi
(σ δt )
2
= σ 2δt . Atau dengan kata lain returnnya adalah variabel random yang
berdistribusi N (µδt , δ 2δt ). Melalui model ini maka dapat diketahui nilai statistik dari return, misalkan diberikan bilangan a dan b maka dapat diketahui bahwa
101
pergerakan nilai return untuk interval yang akan datang berada diantara a dan b, tetapi pergerakan nilai return tersebut tidak dapat diprediksi dengan pasti. Gambar (3.3.9) berikut ini akan memberikan suatu pergerakan return yang didapatkan dengan menggunakan pembangkitan bilangan random N(0, 1) dalam interval [0, 0.5].
Gambar 3.3.9. Raturn hasil pembangkitan bilangan random N(0, 1) Dalam Gambar (3.3.9) diatas sangatlah sulit untuk melihat pergerakan dari return untuk waktu-waktu selanjutnya. Berbeda dengan return, pergerakan jumlah kuadrat return dapat diprediksi. Misalkan interval [0, t] dibagi menjadi subinterval [0, t1], [t1, t2],…, [tL-1, tL], dengan ti = iδt dan δt = menggunakan persamaan (3.27) dapat ditunjukkan
⎡⎛ S (t ) − S (t ) ⎞ 2 ⎤ 2 i ⎟⎟ ⎥ = E ⎡ µδt + σ δtYi ⎤ E ⎢⎜⎜ i +1 ⎥⎦ ⎢ ⎣ S (ti ) ⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦
(
[
)
= E (µδt ) + 2 µδtσ δtYi + σ 2δtYi 2 2
]
t . Maka dengan L
102
[
] (
)
= E (µδt ) + E 2 µδtσ δtYi + E (σ 2δtYi 2 ) 2
= (µδt ) + 2 µδtσ δt E (Yi ) + σ 2δtE (Yi 2 ) 2
= σ 2δt + (µδt )
2
karena nilai δt sangat kecil maka nilai (µδt ) diabaikan sehingga persamaan 2
menjadi
⎡⎛ S (t ) − S (t ) ⎞ 2 ⎤ i ⎟⎟ ⎥ ≈ σ 2δt . E ⎢⎜⎜ i +1 S ( t ) ⎢⎣⎝ i ⎠ ⎥⎦
(3.28)
Sedangkan untuk nilai variansinya adalah ⎡⎛ S (t ) − S (t ) ⎞ 2 ⎤ i ⎟⎟ ⎥ Var ⎢⎜⎜ i +1 S ( t ) ⎢⎣⎝ i ⎠ ⎥⎦
(
)
2 = var ⎡ µδt + σ δtYi ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣
[
2
[
2
= var (µδt ) + 2µδtσ δtYi + σ 2δtYi 2
]
(
]
)
(
= var (µδt ) + var 2 µδtσ δtYi + var σ 2δtYi 2
(
)
)
= var 2 µδtσ δtYi + var(σ 2δtYi 2 ) = 4 µ 2δt 2σ 2δt var(Yi ) + σ 4δt 2 var(Yi 2 )
[
(
= 4µ 2δt 3σ 2 var(Yi ) + σ 4δt 2 E (Yi 4 ) − E (Yi 2 )
)] 2
dengan menggunakan persamaan (2.11) dan (2.13) diperoleh, ⎡⎛ S (t ) − S (t ) ⎞ 2 ⎤ i ⎟⎟ ⎥ = 4 µ 2δt 3σ 2 + σ 4δt 2 (3 − 1) Var ⎢⎜⎜ i +1 S ( t ) ⎢⎣⎝ i ⎠ ⎥⎦
= 4 µ 2δt 3σ 2 + 2σ 4δt 2 karena nilai δt sangat kecil maka nilai 4 µ 2δt 3σ 2 diabaikan sehingga persamaan menjadi
103
⎡⎛ S (t ) − S (t ) ⎞ 2 ⎤ i ⎟⎟ ⎥ var ⎢⎜⎜ i +1 S ( t ) ⎢⎣⎝ i ⎠ ⎥⎦
Sekarang dari
≈ 2σ 4δt 2 .
(3.29)
2
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ didapatkan ∑ S (ti ) i =0 ⎝ ⎠ L −1
⎛ S − S0 ⎞ ⎟⎟ a1 = ⎜⎜ 1 ⎝ S0 ⎠
2
⎛ S − S1 ⎞ ⎟⎟ a2 = ⎜⎜ 2 ⎝ S1 ⎠ . . .
2
⎛ S − S n −1 ⎞ ⎟⎟ an = ⎜⎜ n S 1 n − ⎝ ⎠
2
maka menurut persamaan jumlah kuadrat return
b1 = a1 + a0 b2 = a2 + a1 . . . bn = an + an −1 dengan b1 , b2 , ...., bn adalah variabel-variabel random yang berdistribusi bebas stokastik
dan
identik.
Maka
menggunakan
Teorema
Limit
Pusat
2
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ akan berdistribusi N (Lσ 2δt , L 2σ 4δt 2 ) atau dengan kata lain ∑ S ( t ) i =0 ⎝ i ⎠ L −1
akan berdistribusi N (σ 2t , 2σ 4tδt ) . Variabel random ini mempunyai variansi konstan. Meskipun nilai tunggal return tidak dapat diprediksi, tetapi jumlah kuadrat dari return adalah perkiraan yang senilai dengan σ 2t . Hal ini akan ditunjukkan dalam contoh berikut.
104
Contoh 3.3.6 :
Gambar (3.3.12) sampai (3.3.14) berikut akan memberikan hasil gambar dari jumlah kuadrat return. Disini akan digunakan S0 = 1, µ = 0,05 dan σ = 0,3 . Sepuluh asset path dalam interval [0, 0.5] ditunjukkan dalam Gambar (3.3.10). Dalam Gambar (3.3.10) menggunakan δt =
0,5 = 5 × 10− 3 , jadi L = 100. 100
Sedangkan Gambar (3.3.11) mengambarkan sepuluh path dengan δt = 5 × 10−4 . Untuk Gambar (3.3.12) sampai (3.3.14) akan menggambarkan jumlah kuadrat return
⎛ S (ti +1 ) − S (ti ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ∑ S (ti ) i =0 ⎝ ⎠ k
2
(3.30)
terhadap titik-titik waktu tk untuk setiap asset path. Perkiraan nilai persamaan (3.30) diatas adalah σ 2tk (untuk t = 0,5 maka σ 2t =
σ2 2
ditunjukkan dengan garis
titik-titik lurus bewarna biru). Dengan menggunakan program (3.21), (3.22), dan (3.23) didapatkan
105
Gambar 3.3.10. Sepuluh asset path dengan δt = 5 × 10−3
Gambar 3.3.11. Sepuluh asset path dengan δt = 5 × 10−4
106
Gambar (3.3.12). Jumlah kuadrat return dengan δt = 5 × 10−3
Gambar (3.3.13). Jumlah kuadrat return dengan δt = 5 × 10−4
107
Gambar (3.3.14). Jumlah kuadrat return dengan δt = 5 × 10−5
Dalam gambar diatas dapat dilihat setiap pergerakan jumlah kuadrat return akan menuju kekurva σ 2t . Jika semakin kecil lebar interval ( δt ) waktunya maka akan didapatkan kurva yang semakin “halus” dan semakin jelas setiap pergerakannya menuju kekurva σ 2t .
BAB IV APLIKASI PADA HARGA SAHAM INDONESIA
Pada bab ini akan diberikan analisa saham Indonesia dengan menggunakan model matematika dan komputasi asset path. Berikut ini akan diberikan gambar pergerakan harga saham harian PT Indosiar Karya Mandiri Tbk dari 4 Januari 2007 sampai dengan 20 Desember 2008. Dalam gambar terdapat 470 titik harga saham.
11/4/2008
9/4/2008
7/4/2008
5/4/2008
3/4/2008
1/4/2008
11/4/2007
9/4/2007
7/4/2007
5/4/2007
3/4/2007
700 600 500 400 300 200 100 0 1/4/2007
Harga Saham
Saham PT Indosiar Karya Mandiri
t
Gambar. 4.1. Pergerakan harga saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk
Dari Gambar (4.1) diatas dapat dilihat pergerakan harga saham dari bulan Januari sampai dengan Juni 2007 cenderung berada disekitar nilai 400. Bulan Juli 2007 pergerakan harga sahamnya cenderung naik. Sedangkan bulan Juni sampai bulan Desember 2008 pergerakannya cenderung turun. Sekarang dengan menggunakan model matematika dan simulasi akan diberikan analisa mengenai perkiraan pergerakan saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk.
109
Sebelum melakukan analisa pergerakan harga saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk, terlebih dahulu akan dicek apakah return dari harga saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk tersebut berdistribusi normal atau tidak. Hal ini dilakukan karena model harga saham dan komputasi asset path hanya berlaku untuk return yang berdistribusi normal. Jika return dari suatu harga saham yang akan dianalisa tidak berdistribusi normal maka model tidak dapat digunakan. Dengan menggunakan bahasan dan program pada Bab II didapatkan,
Gambar 4.2. Histogram frekuensi relatif, Kuantil-kuantil plot, dan Histogram kumulatif untuk data dua tahun PT Indosiar Karya Mandiri Tbk
Gambar 4.3. Histogram frekuensi relatif, Kuantil-kuantil plot, dan Histogram kumulatif untuk data satu tahun PT Indosiar Karya Mandiri Tbk
110
Gambar 4.4. Histogram frekuensi relatif, Kuantil-kuantil plot, dan Histogram kumulatif untuk data enam bulan PT Indosiar Karya Mandiri Tbk
Gambar 4.5. Histogram frekuensi relatif, Kuantil-kuantil plot, dan Histogram kumulatif untuk data dua bulan PT Indosiar Karya Mandiri Tbk
Pada Gambar (4.2) sampai (4.5) sebelah kiri dapat dilihat histogram frekuensi relatif untuk return harga saham PT Indosiar Karya Mandiri, dari ketiga gambar dapat dilihat histogramnya tidak mendekati kurva fungsi densitas N(0,1). Gambar (4.2) sampai (4.5) bagian kanan, histogram kumulatifnya dapat dikatakan sudah mendekati grafik frekuensi kumulatifnya. Dari histogram relatif dan histogram kumulatifnya sangat susah dilihat apakah data tersebut normal. Sedangkan Gambar (4.2) sampai (4.5) bagian tengah memberikan gambar kuantil return yang berada disekitar kurva y = x, maka antara return dan kuantil normalnya ada kemungkinan bersesuaian. Secara keseluruhan dari Gambar (4.2) sampai (4.5), ada kemungkinan bahwa return untuk harga saham PT Indosiar Karya Mandiri
111
Tbk tersebut berdistribusi normal dan ada kemungkinan juga ada data yang tidak berdistribusi normal. Oleh karena itu perlu dicek sekali lagi dengan menggunakan Kolmogorov Smirnov dalam SPSS. Hasil tes ini dapat dilihat dalam lampiran. Dari Tabel 4.1 dalam lampiran dapat dilihat, karena nilai Asymp. Sig. (2tailed) > 0,05 hanya pada dua bulan terkhir maka return harian untuk harga saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk yang berdistribusi normal hanya pada bulan tersebut. Kesimpulannya, model matematika dan simulasi pergerakan harga saham hanya bisa menggunakan historis data dua bulan tersebut untuk menganalisa pergerakan harga saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk. Misalkan ingin memperkirakan pergerakan harga saham PT Indosiar Karya Mandiri pada bulan Desember, maka hanya dapat digunakan historis data pada bulan November. Berikut ini akan diberikan asset path untuk memperkirakan pergerakan harga saham pada bulan Desember dan juga kurva pergerakan harga saham dengan menggunakan data aslinya. Dengan menggunakan µ = 0,0067 ,
σ = 0,0388 dan S0 = 250 yang didapatkan pada data bulan November maka didapatkan
112
12 /1 9 /2 00 8
12 /9 /2 0 08 12 /1 1 /2 00 8 12 /1 3 /2 00 8 12 /1 5 /2 00 8 12 /1 7 /2 00 8
12 /3 /2 0 08 12 /5 /2 0 08 12 /7 /2 0 08
260 255 250 245 240 235 230
12 /1 /2 0 08
H a r g aS a h a m
Pergerakan harga saham bulan Desember
t
Gambar 4.6. Bagian atas memberikan gambar pergerakan harga saham bulan Desember dari tanggal 1 – 20, sedangkan bagian bawah memberikan asset path selama satu bulan penuh.
Dari Gambar (4.6) diatas dapat dilihat pola pergerakan asset path pada tanggal 1 sampai 7 menyerupai pola pergerakan harga saham sesungguhnya. Untuk gambar bagian atas diberikan pola pergerakan sampai dengan tanggal 20 Desember, perkiraan pergerakan tanggal 10 sampai 20 Desember menurut asset path agak meleset. Hal ini dikarenakan ada kemungkinan data pada tanggal 10 sampai 20 tersebut tidak lagi berjalan dalam distribusi normal (terlihat dalam gambar bahwa dari tanggal 10 – 20 data bergerak konstan) . Untuk selanjutnya akan diberikan suatu pergerakan harga saham harian PT Bank Rakyat Indonesia Tbk dari Januari 2007 sampai Desember 2008. Dalam gambar terdapat 472 titik data harga saham yang akan dihubungkan dengan garis lurus.
113
11/2/2008
9/2/2008
7/2/2008
5/2/2008
3/2/2008
1/2/2008
11/2/2007
9/2/2007
7/2/2007
5/2/2007
3/2/2007
10000 8000 6000 4000 2000 0 1/2/2007
Harga Saham
Pergerakan Harga Saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk
t
Gambar. 4.7. Pergerakan harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk.
Dari Gambar (4.7) diatas dapat dilihat pergerakan harga saham dari bulan Januari 2007 sampai bulan
November 2007 cenderung naik. Sedangkan dari bulan
November 2007 sampai November 2008 cenderung turun, kemudian mulai naik dari Desember. Sekarang akan digunakan model matematika dan simulasi pergerakan harga saham untuk menganalisanya. Pertama-tama akan dicek normalitas dari return harga saham PT Bank Rakyat Indonesia dengan menggunakan histogram frekuensi relatif, kuantilkuantil plot dan histogram kumulatif. Dengan menggunakan bahasan dan program pada Bab II didapatkan,
Gambar 4.8. Histogram frekuensi relatif , Kuantil-kuantil plot dan Histogram kumulatif untuk data harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk selama 2 tahun.
114
Gambar 4.9. Histogram frekuensi relatif , Kuantil-kuantil plot dan Histogram kumulatif untuk data harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk selama 1 tahun.
Gambar 4.10. Histogram frekuensi relatif , Kuantil-kuantil plot dan Histogram kumulatif untuk data harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk selama enam bulan.
Gambar 4.11. Histogram frekuensi relatif , Kuantil-kuantil plot dan Histogram kumulatif untuk data harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk selama 3 bulan.
Pada Gambar (4.8) sampai (4.11) sebelah kiri dapat dilihat histogram frekuensi relatif untuk return harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk mendekati kurva fungsi densitas N(0,1). Gambar (4.8) sampai (4.11) bagian kanan, histogram kumulatifnya dapat dikatakan juga mendekati grafik frekuensi kumulatifnya. Dari histogram relatif dan histogram kumulatifnya sangat susah dilihat apakah data
115
tersebut normal atau tidak. Sedangkan Gambar (4.8) sampai (4.11) bagian tengah memberikan gambar kuantil dari return harga saham yang mendekati kurva y = x, maka bisa dikatakan antara return dan kuantil normalnya ada kemungkinan bersesuaian. Secara keseluruhan dari Gambar (4.8) sampai (4.11), ada kemungkinan bahwa return untuk harga saham PT Bank Rakyat Indonesia tersebut berdistribusi normal. Untuk memastikannya hasil dari Gambar (4.8) sampai (4.11) akan digunakan uji Kolmogorov Smirnov dengan bantuan SPSS, hasilnya bisa dilihat dalam lampiran. Dari Tabel 4.2 dalam lampiran karena return satu tahun, enam bulan, tiga bulan, dan dua bulan mempunyai nilai Asymp. Sig. (2-tailed) > 0,05 maka return harian untuk periode tersebut dapat disimpulkan berdistribusi normal. Kesimpulannya, model matematika dan simulasi pergerakan harga saham hanya dapat menggunakan data satu tahun tersebut untuk menganalisa pergerakan harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk. Pertama-tama akan digunakan komputasi asset path untuk memperkirakan pergerakan harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk pada bulan Desember 2008, kemudian akan dibandingkan dengan pergerakan dari data asli pada bulan tersebut. Untuk Gambar (4.13) bagian kiri atas akan digunakan sejarah data harga saham dua bulan sebelumnya, yaitu bulan Oktober dan November. Dari dua bulan tersebut diperoleh, µ = 0,0134 , dan σ = 0,0767 . Untuk gambar bagian kanan atas akan digunakan sejarah data harga saham untuk tiga bulan sebelumnya (September – November). Dari data harga saham lima bulan sebelumnya diperoleh µ = 0,0121 , dan σ = 0,0672 . Untuk gambar bagian kiri bawah akan
116
digunakan sejarah data harga saham untuk enam bulan sebelumnya (Juni – November). Dari data harga saham lima bulan sebelumnya diperoleh µ = 0,006 , dan σ = 0,0517 . Untuk gambar bagian kanan bawah akan digunakan sejarah data harga saham untuk sebelas bulan sebelumnya (Januari 2008 – November 2008). Dari data harga saham sebelas bulan sebelumnya diperoleh µ = 0,0046 , dan
σ = 0,0448 . Dengan S0 = 3400 dan menggunakan asset path maka akan diperoleh, Pergerakan Harga Saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk bulan Desember Harga Saham
5000 4500 4000 3500
12 /1 /2 00 8 12 /3 /2 00 8 12 /5 /2 00 8 12 /7 /2 00 8 12 /9 /2 00 8 12 /1 1/ 20 08 12 /1 3/ 20 08 12 /1 5/ 20 08 12 /1 7/ 20 08 12 /1 9/ 20 08
3000
t
Gambar 4.12. Pergerakan harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk bulan Desember 2008
Gambar 4.13. Asset path dengan µ dan σ dari data asli
117
Dari gambar (4.12) memberikan gambar pergerakan data harga saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk sampai tanggal 20 atau 14 titik harga saham. Sedangkan Gambar (4.13) memberikan berbagai macam perkiraan pergerakan harga saham pada bulan Desember dengan empat historis data yang berbeda. Jika dilihat secara keseluruhan keempat perkiraan tersebut mempunyai pola kenaikan yang sama, pola tersebut sama dengan pola kurva pergerakan harga saham (Gambar (4.12)) yang menggunakan data asli. Menurut asset path perkiraan pergerakan setelah tanggal 20 Desember akan cenderung naik sampai tanggal 25 Desember, kemudian akan kembali turun sampai akhir tahun. Kesimpulan dari keseluruhan analisa, bahwa akan didapatkan prediksi untuk pergerakan harga saham walaupun menggunakan historis data yang pendek tetapi dengan syarat return dari historis data tersebut harus berdistribusi normal.
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan Pergerakan harga saham pada dasarnya bersifat diskret, biasanya yang diberikan dalam bulan, hari, dan jam. Tetapi untuk memperoleh prediksi yang baik, maka model perlu didekatkan kekontinu. Dari model harga saham kontinu tersebut dapat diperoleh suatu formula matematis untuk simulasi komputer. Dengan memanfaatkan pembangkitan bilangan random yang bersifat acak, maka akan diperoleh suatu simulasi pergerakan harga saham. Model matematika harga saham dan komputasi asset path hanya bisa dipergunakan untuk data-data harga saham yang mempunyai return yang berdistribusi normal. Jika data-data tersebut mempunyai return berdistribusi normal, maka dapat diperoleh perkiraan pergerakan harga saham untuk waktu selanjutnya. Selain itu dapat pula diperoleh kurva pergerakan harga saham yang lebih detail jika interval waktunya diperkecil, tentu saja tanpa mengubah pola yang telah ada. B. SARAN Model matematika dan simulasi pergerakan harga saham dalam skripsi ini hanya bisa digunakan untuk data harga saham yang mempunyai return berdistribusi normal saja, mungkin akan lebih baik jika ada suatu model yang juga bisa digunakan untuk data harga saham yang mempunyai return yang berdistribusi tidak normal.
119
DAFTAR PUSTAKA
Hanselman, Duane dan Littlefield, Bruce. (2002). MATLAB Bahasa Komputasi Teknis. Yogyakarta: ANDI OFFSET. Higham, Desmond J. (2004). An Introduction to Financial Option Valuation. Cambridge: Cambridge University Press. Jogiyanto, H.M. (2003). Teori Portofolio dan Analisis Investasi. Edisi Ketiga Yogyakarta: BPFE. Kakiay, Thomas J. (2003). Pengantar Sistem Simulasi. Yogyakarta: ANDI OFFSET. Ross, Sheldon M. (1997). Introduction To Probability Models. Sixth Edition. San Diego: Academic Press. Ross, Sheldon M. (1997). Simulation. Second Edition. San Diego: Academic Press. Shiyaev, AN. (1997). Essential of Stochastic Finance (Facts, Models and Theory). Singapore: World Scientific. Syamsir, Hendra. (2004). Solusi Investasi di Bursa Saham Indonesia. Jakarta: PT Elek Media Komputindo. Walpole, R. E. (1995). Pengantar Statistika. Edisi ke-Tiga. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.
121
Harga saham IBM mingguan : Tanggal
Harga
31-Dec-01
113.57
26-Feb-01
95.69
8-May-00
97.34
12-Jul-99
126.41
21-Sep-98
24-Dec-01
115.39
20-Feb-01
97.28
1-May-00
100.42
6-Jul-99
127.46
14-Sep-98
57.62
17-Dec-01
114.54
12-Feb-01
107.56
24-Apr-00
103.8
28-Jun-99
122.7
8-Sep-98
58.48 55.16
61.69
10-Dec-01
113.7
5-Feb-01
104.76
17-Apr-00
96.82
21-Jun-99
114.23
31-Aug-98
3-Dec-01
113.04
29-Jan-01
103.02
10-Apr-00
97.75
18-Jun-99
112.03
24-Aug-98
56.63
26-Nov-01
108.52
22-Jan-01
106.69
3-Apr-00
114.62
14-Jun-99
112.03
17-Aug-98
59.09
19-Nov-01
108.3
16-Jan-01
103.94
27-Mar-00
110.19
7-Jun-99
106.06
10-Aug-98
57.93
12-Nov-01
107.5
8-Jan-01
87.64
20-Mar-00
112.29
1-Jun-99
107.63
3-Aug-98
59.67
5-Nov-01
107.11
2-Jan-01
87.82
13-Mar-00
102.4
24-May-99
107.63
27-Jul-98
61.12
29-Oct-01
102.68
26-Dec-00
79.41
6-Mar-00
97.98
17-May-99
106.87
20-Jul-98
57.32
22-Oct-01
104.24
18-Dec-00
83.15
28-Feb-00
100.54
10-May-99
110.99
13-Jul-98
55.44
15-Oct-01
96.26
11-Dec-00
82.04
22-Feb-00
100.54
3-May-99
100.78
6-Jul-98
54.66
8-Oct-01
94.56
4-Dec-00
90.62
14-Feb-00
104.73
26-Apr-99
96.93
29-Jun-98
53.14 52.13
1-Oct-01
91.91
27-Nov-00
89.34
7-Feb-00
107.4
19-Apr-99
92.56
22-Jun-98
24-Sep-01
86.01
20-Nov-00
93.37
31-Jan-00
107.52
12-Apr-99
78.95
15-Jun-98
48.95
10-Sep-01
84.86
13-Nov-00
95.24
24-Jan-00
103.74
5-Apr-99
86.33
8-Jun-98
53.62 54.83
4-Sep-01
90.57
6-Nov-00
86.89
18-Jan-00
112.99
29-Mar-99
82.02
1-Jun-98
27-Aug-01
93.72
30-Oct-00
93.42
10-Jan-00
111.24
22-Mar-99
79.88
26-May-98
54.2
20-Aug-01
100.33
23-Oct-00
87.42
3-Jan-00
105.55
15-Mar-99
78.11
18-May-98
56.25
13-Aug-01
98.07
16-Oct-00
88.41
27-Dec-99
100.31
8-Mar-99
82.48
11-May-98
57.63
6-Aug-01
98.41
9-Oct-00
101.76
20-Dec-99
101.01
1-Mar-99
82.66
4-May-98
55.35
30-Jul-01
101.31
2-Oct-00
108.24
13-Dec-99
102.29
22-Feb-99
78.66
27-Apr-98
53.81
23-Jul-01
98.05
25-Sep-00
105.08
6-Dec-99
101.36
16-Feb-99
79.53
20-Apr-98
54.04
16-Jul-01
98.99
22-Sep-00
115.58
29-Nov-99
104.03
8-Feb-99
80.05
13-Apr-98
49.61
9-Jul-01
101.64
18-Sep-00
115.58
22-Nov-99
97.64
1-Feb-99
76.82
6-Apr-98
48.98
2-Jul-01
99.73
11-Sep-00
116.64
15-Nov-99
96.66
25-Jan-99
84.8
30-Mar-98
48.2
25-Jun-01
106.29
5-Sep-00
120.84
8-Nov-99
89.15
19-Jan-99
83.18
23-Mar-98
48.05
18-Jun-01
105.7
28-Aug-00
124.69
1-Nov-99
83.82
11-Jan-99
85.58
16-Mar-98
46.99
11-Jun-01
106.38
21-Aug-00
120.37
25-Oct-99
91.25
4-Jan-99
86.8
13-Mar-98
45.87
4-Jun-01
108.72
14-Aug-00
112.38
18-Oct-99
87.24
28-Dec-98
85.32
9-Mar-98
45.87
29-May-01
105.72
7-Aug-00
112.55
11-Oct-99
100.18
21-Dec-98
86.97
2-Mar-98
45.18
21-May-01
110.32
31-Jul-00
108
4-Oct-99
105.41
14-Dec-98
79.39
23-Feb-98
48.09
14-May-01
109.98
24-Jul-00
104.21
27-Sep-99
109.36
7-Dec-98
77.74
17-Feb-98
47.25
7-May-01
104.71
17-Jul-00
106.95
20-Sep-99
116.09
30-Nov-98
76.01
9-Feb-98
47.13
30-Apr-01
108.37
10-Jul-00
96.88
13-Sep-99
116.43
23-Nov-98
78.67
2-Feb-98
45.12
23-Apr-01
108.69
3-Jul-00
97.92
7-Sep-99
125.38
16-Nov-98
74.1
26-Jan-98
45.38
16-Apr-01
107.41
26-Jun-00
102.11
30-Aug-99
119.67
9-Nov-98
72.86
20-Jan-98
45.58
9-Apr-01
89.98
19-Jun-00
104.27
23-Aug-99
115.16
2-Nov-98
69.39
12-Jan-98
48.25
2-Apr-01
91.62
12-Jun-00
105.55
16-Aug-99
113.07
26-Oct-98
68.62
5-Jan-98
45.98
2-Jan-98
48.53
26-Mar-01
89.96
5-Jun-00
111.56
9-Aug-99
114.57
19-Oct-98
65.41
19-Mar-01
87.46
30-May-00
101.42
2-Aug-99
114.7
12-Oct-98
62.82
12-Mar-01
84.27
22-May-00
99.67
26-Jul-99
116.62
5-Oct-98
58.83
5-Mar-01
92.87
15-May-00
99.21
19-Jul-99
115.8
28-Sep-98
57.67
122
Harga saham PT Indosiar Karya Mandiri Tbk : Tanggal
Harga
12/19/2008
250
10/20/2008
285
8/8/2008
305
6/6/2008
385
4/4/2008
385
12/18/2008
250
10/17/2008
280
8/7/2008
305
6/5/2008
385
4/3/2008
380
12/17/2008
250
10/16/2008
285
8/6/2008
305
6/4/2008
385
4/2/2008
365
12/16/2008
250
10/15/2008
290
8/5/2008
325
6/3/2008
385
4/1/2008
365
12/15/2008
250
10/14/2008
295
8/4/2008
305
6/2/2008
385
3/31/2008
400
12/12/2008
250
10/8/2008
280
8/1/2008
340
5/30/2008
395
3/28/2008
300
12/11/2008
250
10/7/2008
270
7/31/2008
350
5/29/2008
380
3/27/2008
295
12/10/2008
250
10/6/2008
270
7/29/2008
310
5/28/2008
385
3/26/2008
310
12/9/2008
250
9/29/2008
300
7/28/2008
335
5/27/2008
380
3/25/2008
310
12/5/2008
240
9/26/2008
360
7/25/2008
340
5/26/2008
390
3/19/2008
310
12/4/2008
250
9/25/2008
355
7/24/2008
335
5/23/2008
380
3/18/2008
335
12/3/2008
250
9/24/2008
350
7/23/2008
305
5/22/2008
380
3/14/2008
330
12/2/2008
250
9/23/2008
295
7/22/2008
295
5/21/2008
380
3/13/2008
340
12/1/2008
255
9/22/2008
295
7/21/2008
305
5/19/2008
395
3/12/2008
345
11/28/2008
250
9/19/2008
305
7/18/2008
300
5/16/2008
400
3/11/2008
350
11/27/2008
245
9/18/2008
335
7/17/2008
305
5/15/2008
400
3/10/2008
340
11/26/2008
245
9/17/2008
295
7/16/2008
305
5/14/2008
400
3/6/2008
375
11/25/2008
240
9/16/2008
300
7/15/2008
285
5/13/2008
410
3/5/2008
360
11/24/2008
250
9/15/2008
290
7/14/2008
330
5/12/2008
410
3/4/2008
335
11/21/2008
250
9/12/2008
295
7/11/2008
330
5/9/2008
395
3/3/2008
370
11/20/2008
240
9/11/2008
300
7/10/2008
305
5/8/2008
400
2/29/2008
410
11/19/2008
260
9/10/2008
290
7/9/2008
335
5/7/2008
375
2/28/2008
360
11/18/2008
265
9/9/2008
360
7/8/2008
315
5/6/2008
370
2/27/2008
385
11/17/2008
280
9/8/2008
305
7/7/2008
335
5/5/2008
375
2/26/2008
365
11/14/2008
275
9/5/2008
305
7/4/2008
340
5/2/2008
345
2/25/2008
370
11/13/2008
270
9/4/2008
330
7/3/2008
340
4/30/2008
375
2/22/2008
365
11/12/2008
285
9/3/2008
330
7/2/2008
350
4/29/2008
365
2/21/2008
370
11/11/2008
285
9/2/2008
360
7/1/2008
375
4/28/2008
370
2/20/2008
370
11/10/2008
290
9/1/2008
360
6/30/2008
385
4/25/2008
375
2/19/2008
375
11/7/2008
265
8/29/2008
365
6/27/2008
345
4/24/2008
380
2/18/2008
375
11/6/2008
275
8/28/2008
385
6/26/2008
355
4/23/2008
375
2/15/2008
360
11/5/2008
280
8/27/2008
395
6/25/2008
360
4/22/2008
370
2/14/2008
355
11/4/2008
280
8/26/2008
325
6/24/2008
400
4/21/2008
370
2/13/2008
355
11/3/2008
280
8/25/2008
340
6/23/2008
350
4/18/2008
365
2/12/2008
355
10/31/2008
285
8/22/2008
365
6/20/2008
315
4/17/2008
385
2/11/2008
370
10/30/2008
290
8/21/2008
365
6/19/2008
365
4/16/2008
375
2/6/2008
360
10/29/2008
290
8/20/2008
370
6/18/2008
360
4/15/2008
360
2/5/2008
400
10/28/2008
260
8/19/2008
400
6/17/2008
370
4/14/2008
345
2/4/2008
410
10/27/2008
275
8/15/2008
370
6/16/2008
380
4/11/2008
350
2/1/2008
400
10/24/2008
280
8/14/2008
320
6/13/2008
385
4/10/2008
320
1/31/2008
435
10/23/2008
280
8/13/2008
295
6/12/2008
380
4/9/2008
350
1/30/2008
370
10/22/2008
300
8/12/2008
290
6/11/2008
375
4/8/2008
370
1/29/2008
380
10/21/2008
280
8/11/2008
285
6/10/2008
370
4/7/2008
385
1/28/2008
380
123
Harga Saham PT Bank Rakyat Indonesia Tbk : Date
Close
12/19/2008
4425
10/20/2008
3850
8/8/2008
6050
6/6/2008
5500
4/4/2008
5800
12/18/2008
4425
10/17/2008
3750
8/7/2008
6250
6/5/2008
5700
4/3/2008
5650
12/17/2008
4550
10/16/2008
4150
8/6/2008
6050
6/4/2008
5700
4/2/2008
5950
12/16/2008
4375
10/15/2008
4275
8/5/2008
6050
6/3/2008
5950
4/1/2008
5950
12/15/2008
4275
10/14/2008
4625
8/4/2008
5900
6/2/2008
5950
3/31/2008
6300
12/12/2008
3675
10/8/2008
4275
8/1/2008
5900
5/30/2008
5800
3/28/2008
6350
12/11/2008
4075
10/7/2008
4800
7/31/2008
6100
5/29/2008
5850
3/27/2008
6350
12/10/2008
4050
10/6/2008
4950
7/29/2008
6050
5/28/2008
6050
3/26/2008
6500
12/9/2008
3700
9/29/2008
5400
7/28/2008
6050
5/27/2008
5950
3/25/2008
6050
12/5/2008
3400
9/26/2008
5400
7/25/2008
6000
5/26/2008
6000
3/19/2008
5450
12/4/2008
3450
9/25/2008
5500
7/24/2008
6400
5/23/2008
6200
3/18/2008
5600
12/3/2008
3200
9/24/2008
5600
7/23/2008
5950
5/22/2008
6250
3/14/2008
6000
12/2/2008
3100
9/23/2008
5550
7/22/2008
5800
5/21/2008
6450
3/13/2008
6100
12/1/2008
3175
9/22/2008
5900
7/21/2008
5950
5/19/2008
6700
3/12/2008
6400
11/28/2008
3400
9/19/2008
5600
7/18/2008
5700
5/16/2008
6400
3/11/2008
6350
11/27/2008
3325
9/18/2008
5200
7/17/2008
5350
5/15/2008
6500
3/10/2008
6300
11/26/2008
2875
9/17/2008
5300
7/16/2008
5250
5/14/2008
6400
3/6/2008
6850
11/25/2008
2550
9/16/2008
5150
7/15/2008
5200
5/13/2008
6350
3/5/2008
6900
11/24/2008
2525
9/15/2008
4800
7/14/2008
5500
5/12/2008
5950
3/4/2008
6800
11/21/2008
2525
9/12/2008
5050
7/11/2008
5750
5/9/2008
6050
3/3/2008
7050
11/20/2008
2600
9/11/2008
5400
7/10/2008
5500
5/8/2008
6250
2/29/2008
7200
11/19/2008
2850
9/10/2008
5500
7/9/2008
5600
5/7/2008
6250
2/28/2008
7400
11/18/2008
2975
9/9/2008
5750
7/8/2008
5350
5/6/2008
6550
2/27/2008
7300
11/17/2008
3250
9/8/2008
5950
7/7/2008
5400
5/5/2008
6900
2/26/2008
7350
11/14/2008
3275
9/5/2008
5800
7/4/2008
5400
5/2/2008
6600
2/25/2008
7500
11/13/2008
3425
9/4/2008
6300
7/3/2008
5400
4/30/2008
5950
2/22/2008
7450
11/12/2008
3800
9/3/2008
6400
7/2/2008
5500
4/29/2008
5850
2/21/2008
7400
11/11/2008
3700
9/2/2008
6250
7/1/2008
5300
4/28/2008
5650
2/20/2008
7250
11/10/2008
3675
9/1/2008
5950
6/30/2008
5100
4/25/2008
5850
2/19/2008
7300
11/7/2008
3525
8/29/2008
5850
6/27/2008
5050
4/24/2008
5950
2/18/2008
7000
11/6/2008
3500
8/28/2008
5700
6/26/2008
5150
4/23/2008
6200
2/15/2008
7150
11/5/2008
3700
8/27/2008
5850
6/25/2008
4825
4/22/2008
6200
2/14/2008
6900
11/4/2008
3550
8/26/2008
5750
6/24/2008
4775
4/21/2008
6350
2/13/2008
6700
11/3/2008
3875
8/25/2008
5850
6/23/2008
4725
4/18/2008
6250
2/12/2008
6750
10/31/2008
3450
8/22/2008
5850
6/20/2008
4900
4/17/2008
6000
2/11/2008
6750
10/30/2008
2900
8/21/2008
5800
6/19/2008
4900
4/16/2008
6000
2/6/2008
6850
10/29/2008
2650
8/20/2008
5800
6/18/2008
5100
4/15/2008
5850
2/5/2008
7050
10/28/2008
2675
8/19/2008
5850
6/17/2008
5100
4/14/2008
5900
2/4/2008
7200
10/27/2008
2950
8/15/2008
6100
6/16/2008
5150
4/11/2008
6050
2/1/2008
6900
10/24/2008
3275
8/14/2008
6000
6/13/2008
5150
4/10/2008
5700
1/31/2008
7000
10/23/2008
3625
8/13/2008
6050
6/12/2008
5200
4/9/2008
5550
1/30/2008
6850
10/22/2008
3900
8/12/2008
5800
6/11/2008
5150
4/8/2008
5850
1/29/2008
6800
10/21/2008
4050
8/11/2008
5850
6/10/2008
5100
4/7/2008
6000
1/28/2008
6750
124
Tabel untuk Bab IV Tabel 4. 1. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorof Smirnov Untuk data harga saham PT Indosiar Karya Mandiri Zscore (return 2thn) N Normal Paramete rs(a,b)
Most Extreme Differenc es
Zscore (return 1thn)
Zscore (return 6bln)
Zscore (return 3bln)
Zscore (return 2bln)
Zscore (return nov)
469
231
134
72
34
20
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
1.00000000
1.00000000
1.00000000
1.00000000
1.00000000
1.00000000
.140
.126
.153
.207
.232
.132
Mean
Std. Deviation Absolute
Positive
.113
.116
.122
.207
.232
.126
Negative
-.140
-.126
-.153
-.176
-.209
-.132
3.025
1.912
1.767
1.757
1.353
.591
.000
.001
.004
.004
.051
.875
Kolmogorov-Smirnov Z Asymp. Sig. (2-tailed) a Test distribution is Normal. b Calculated from data.
Tabel 4.2. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorof Smirnov untuk data harga saham PT BRI Tbk Zscore (return 5 tahun) N Normal Paramete rs(a,b)
Most Extreme Differenc es
1280 Mea n Std. Devi ation Abs olute
Zscore (return 4 tahun) 1243
Zscore (return 3 tahun) 982
Zscore (return 2 tahun) 721
Zscore (retun 1 tahun) 231
Zscore (return 6bln) 134
Zscore (return 3bln)
Zscore (return 2bln)
72
34
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.0000000
.00000 00
1.000000 00
1.000000 00
1.000000 00
1.000000 00
1.000000 00
1.000000 00
1.000000 00
1.0000 0000
.097
.092
.079
.063
.063
.071
.051
.094
.092
.079
.063
.052
.071
.046
.059
-.092
-.079
-.063
-.063
-.069
-.051
-.094
3.261
2.479
1.698
.956
.816
.435
.548
.000
.000
.006
.321
.518
.992
.925
Posi .096 tive Neg -.097 ative Kolmogorov3.485 Smirnov Z Asymp. Sig. (2.000 tailed) a Test distribution is Normal. b Calculated from data.
125
Program-Program untuk BAB II Program 2. 1: clf rand('state',100); u=rand(1000,1);u1=rand(10000,1);u2=rand(100000,1);u3=rand(1000000,1); dx=0.05; a=(1/dx)-1; for i = 0:a x(i+1)=(((i+1)*dx)+(i*dx))/2; x1(i+1)=(((i+1)*dx)+(i*dx))/2; x2(i+1)=(((i+1)*dx)+(i*dx))/2; x3(i+1)=(((i+1)*dx)+(i*dx))/2; A=find((u>=i*dx) & (u<(i+1)*dx)); B=find((u1>=i*dx) & (u1<(i+1)*dx)); C=find((u2>=i*dx) & (u2<(i+1)*dx)); D=find((u3>=i*dx) & (u3<(i+1)*dx)); N(i+1)=length(A); N1(i+1)=length(B); N2(i+1)=length(C); N3(i+1)=length(D); F(i+1)=N(i+1)/(1000*dx); F1(i+1)=N1(i+1)/(10000*dx); F2(i+1)=N2(i+1)/(100000*dx); F3(i+1)=N3(i+1)/(1000000*dx); i=i+1; end subplot(2,2,1) plot(x,F,'.:r',x,F,'k-'),title('1000 Sampel') axis equal subplot(2,2,2) plot(x1,F1,'.:r',x1,F1,'k-'),title('10000 Sampel') axis equal subplot(2,2,3) plot(x2,F2,'.:r',x2,F2,'k-'),title('100000 Sampel') axis equal subplot(2,2,4) plot(x3,F3,'.:r',x3,F3,'k-'),title('1000000 Sampel') axis equal
Program 2. 2: clf randn('state',100) u=randn(1000,1);u1=randn(10000,1);u2=randn(100000,1);u3=randn(1000000,1); dx=0.05;
126
a=dx/2;b=-4+a;c=b+dx;x=b:dx:4; y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi);k=(8/dx)-1; for i = 0:k A=find((u>=-4+i*dx) & (u<-4+(i+1)*dx)); A1=find((u1>=-4+i*dx) & (u1<-4+(i+1)*dx)); A2=find((u2>=-4+i*dx) & (u2<-4+(i+1)*dx)); A3=find((u3>=-4+i*dx) & (u3<-4+(i+1)*dx)); N(i+1)=length(A); N1(i+1)=length(A1); N2(i+1)=length(A2); N3(i+1)=length(A3); F(i+1)=N(i+1)/(1000*dx); F1(i+1)=N1(i+1)/(10000*dx); F2(i+1)=N2(i+1)/(100000*dx); F3(i+1)=N3(i+1)/(1000000*dx); end subplot(2,2,1) plot(x,F,'^:r',x,F,'k-','MarkerSize',3),title('1000 Sampel') hold on subplot(2,2,1) plot(x,y,'y-','linewidth',2) grid on subplot(2,2,2) plot(x,F1,'^:r',x,F1,'k-','MarkerSize',3),title('10000 Sampel') hold on subplot(2,2,2) plot(x,y,'y-','linewidth',2) grid on subplot(2,2,3) plot(x,F2,'^:r',x,F2,'k-','MarkerSize',3),title('100000 Sampel') hold on subplot(2,2,3) plot(x,y,'y-','linewidth',2) grid on subplot(2,2,4) plot(x,F3,'^:r',x,F3,'k-','MarkerSize',3),title('1000000 Sampel') hold on subplot(2,2,4) plot(x,y,'y-','linewidth',2) grid on
Program 2. 3 : M=9; for i=1:M
127
p(i)=i/(M+1); Z(i)=sqrt(2)*erfinv(2*p(i)-1); end x=linspace(-4,4,100); y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi); plot(x,y,'b-',Z,0,'*:r') grid on
Program 2. 4 : M=9; for i=1:M p(i)=i/(M+1); Z(i)=sqrt(2)*erfinv(2*p(i)-1); end x=-5:0.5:5; N=(1+erf(x/sqrt(2)))/2; plot(x,N,'k-',Z,0,'*:r',Z,p,'. r') grid on
Program 2.5 : randn('state',100) M=100; sampel1=randn(M,1); s1=sort(sampel1); rand('state',100); % sampel2=rand(M,1); s2=sort(sampel2); p=[1:M]/(M+1); z1=sqrt(2)*erfinv(2*p-1); z2=p; subplot(2,2,1) plot(s1,z1,'rx') hold on x=-5:0.001:5; y=x; plot(y,x,'g-') title('N(0,1) sampel and Kuantil N(0,1)') grid on subplot(2,2,2) plot(s1,z2,'rx') hold on
128
x=-5:0.001:5; y=x; plot(y,x,'g-') title('N(0,1) sampel and Kuantil U(0,1)') grid on subplot(2,2,3) plot(s2,z1,'rx') hold on x=-5:0.001:5; y=x; plot(y,x,'g-') title('U(0,1) sampel and Kuantil N(0,1)') grid on subplot(2,2,4) plot(s2,z2,'rx') hold on x=-1:0.001:2; y=x; plot(y,x,'g-') title('U(0,1) sampel and Kuantil U(0,1)') grid on
Program 2.6 : clf clear mu=0.5;sigma=sqrt(1/12);dx=0.5;x=linspace(-4,4,100); y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi);centers=[-4:dx:4];n=10;M=50; for k=1:M S(k)=(sum(rand(n,1))/n-mu)/(sigma/sqrt(n)); end N=hist(S,centers); subplot(3,4,1); bar(centers,N/(M*dx)) title('n=10 dan M=50') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2); %%%% n1=10;M1=100; for k=1:M1 S1(k)=(sum(rand(n1,1))/n1-mu)/(sigma/sqrt(n1)); end N1=hist(S1,centers); subplot(3,4,2); bar(centers,N1/(M1*dx))
129
title('n=10 dan M=100') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2); n2=10;M2=1000; for k=1:M2 S2(k)=(sum(rand(n2,1))/n2-mu)/(sigma/sqrt(n2)); end N2=hist(S2,centers); subplot(3,4,3); bar(centers,N2/(M2*dx)) title('n=10 dan M=1000') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2); n3=10;M3=10000; for k=1:M3 S3(k)=(sum(rand(n3,1))/n3-mu)/(sigma/sqrt(n3)); end N3=hist(S3,centers); subplot(3,4,4); bar(centers,N3/(M3*dx)) title('n=10 dan M=10000') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2); n4=50;M4=10; for k=1:M4 S4(k)=(sum(rand(n4,1))/n4-mu)/(sigma/sqrt(n4)); end N4=hist(S4,centers); subplot(3,4,5); bar(centers,N4/(M4*dx)) title('n=50 dan M=10') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2); n5=100;M5=10; for k=1:M5 S5(k)=(sum(rand(n5,1))/n5-mu)/(sigma/sqrt(n5)); end N5=hist(S5,centers); subplot(3,4,6); bar(centers,N5/(M5*dx)) title('n=100 dan M=10') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2); n6=1000;M6=10; for k=1:M6 S6(k)=(sum(rand(n6,1))/n6-mu)/(sigma/sqrt(n6));
130
end N6=hist(S6,centers); subplot(3,4,7); bar(centers,N6/(M6*dx)) title('n=1000 dan M=10') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2); n7=10000;M7=10; for k=1:M7 S7(k)=(sum(rand(n7,1))/n7-mu)/(sigma/sqrt(n7)); end N7=hist(S7,centers); subplot(3,4,8); bar(centers,N7/(M7*dx)) title('n=10000 dan M=10') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2); n8=10;M8=10; for k=1:M8 S8(k)=(sum(rand(n8,1))/n8-mu)/(sigma/sqrt(n8)); end N8=hist(S8,centers); subplot(3,4,9); bar(centers,N8/(M8*dx)) title('n=10 dan M=10') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2); n9=100;M9=100; for k=1:M9 S9(k)=(sum(rand(n9,1))/n9-mu)/(sigma/sqrt(n9)); end N9=hist(S9,centers); subplot(3,4,10); bar(centers,N9/(M9*dx)) title('n=100 dan M=100') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2); n10=1000;M10=1000; for k=1:M10 S10(k)=(sum(rand(n10,1))/n10-mu)/(sigma/sqrt(n10)); end N10=hist(S10,centers); subplot(3,4,11); bar(centers,N10/(M10*dx)) title('n=1000 dan M=1000') hold on
131
plot(x,y,'r--','linewidth',2); %%%% n11=10000;M11=10000; for k=1:M11 S11(k)=(sum(rand(n11,1))/n11-mu)/(sigma/sqrt(n11)); end N11=hist(S11,centers); subplot(3,4,12); bar(centers,N11/(M11*dx)) title('n=10000 dan M=10000') hold on plot(x,y,'r--','linewidth',2);
Program 2.7 : clear clf clear mu=0.5;sigma=sqrt(1/12); n=10;M=50; for k=1:M S(k)=(sum(rand(n,1))/n-mu)/(sigma/sqrt(n)); p(k)=k/(M+1); z=sqrt(2)*erfinv(2*p-1); end n1=10;M1=100; for k=1:M1 S1(k)=(sum(rand(n1,1))/n1-mu)/(sigma/sqrt(n1)); p1(k)=k/(M1+1); z1=sqrt(2)*erfinv(2*p1-1); end n2=10;M2=1000; for k=1:M2 S2(k)=(sum(rand(n2,1))/n2-mu)/(sigma/sqrt(n2)); p2(k)=k/(M2+1); z2=sqrt(2)*erfinv(2*p2-1); end n3=50;M3=10; for k=1:M3 S3(k)=(sum(rand(n3,1))/n3-mu)/(sigma/sqrt(n3)); p3(k)=k/(M3+1); z3=sqrt(2)*erfinv(2*p3-1); end n4=100;M4=10; for k=1:M4
132
S4(k)=(sum(rand(n4,1))/n4-mu)/(sigma/sqrt(n4)); p4(k)=k/(M4+1); z4=sqrt(2)*erfinv(2*p4-1); end n5=1000;M5=10; for k=1:M5 S5(k)=(sum(rand(n5,1))/n5-mu)/(sigma/sqrt(n5)); p5(k)=k/(M5+1); z5=sqrt(2)*erfinv(2*p5-1); end n6=10;M6=10; for k=1:M6 S6(k)=(sum(rand(n6,1))/n6-mu)/(sigma/sqrt(n6)); p6(k)=k/(M6+1); z6=sqrt(2)*erfinv(2*p6-1); end n7=100;M7=100; for k=1:M7 S7(k)=(sum(rand(n7,1))/n7-mu)/(sigma/sqrt(n7)); p7(k)=k/(M7+1); z7=sqrt(2)*erfinv(2*p7-1); end n8=1000;M8=1000; for k=1:M8 S8(k)=(sum(rand(n8,1))/n8-mu)/(sigma/sqrt(n8)); p8(k)=k/(M8+1); z8=sqrt(2)*erfinv(2*p8-1); end A=sort(S);A1=sort(S1);A2=sort(S2);A3=sort(S3);A4=sort(S4);A5=sort(S5); A6=sort(S6);A7=sort(S7);A8=sort(S8); subplot(3,3,1);plot(A,z,'rx') hold on x=-5:0.001:5;y=x; plot(y,x,'g-') title('n=10 dan M=50') grid on subplot(3,3,2);plot(A1,z1,'rx') hold on x=-5:0.001:5;y=x; plot(y,x,'g-') title('n=10 dan M=100') grid on subplot(3,3,3);plot(A2,z2,'rx') hold on x=-5:0.001:5;y=x;
133
plot(y,x,'g-') title('n=10 dan M=1000') grid on subplot(3,3,4);plot(A3,z3,'rx') hold on x=-5:0.001:5;y=x; plot(y,x,'g-') title('n=50 dan M=10') grid on subplot(3,3,5);plot(A4,z4,'rx') hold on x=-5:0.001:5;y=x; plot(y,x,'g-') title('n=100 dan M=10') grid on subplot(3,3,6);plot(A5,z5,'rx') hold on x=-5:0.001:5;y=x; plot(y,x,'g-') title('n=1000 dan M=10') grid on subplot(3,3,7);plot(A6,z6,'rx') hold on x=-5:0.001:5;y=x; plot(y,x,'g-') title('n=10 dan M=10') grid on subplot(3,3,8);plot(A7,z7,'rx') hold on x=-5:0.001:5;y=x; plot(y,x,'g-') title('n=100 dan M=100') grid on subplot(3,3,9);plot(A8,z8,'rx') hold on x=-5:0.001:5;y=x; plot(y,x,'g-') title('n=1000 dan M=1000') grid on
134
Program-Program untuk BAB III Program 3.1 : clf sampel=[ Data IBM Harian]; [M,r]=size(sampel);% for j=1:M-1 samp(j)=(sampel(j+1)-sampel(j))/sampel(j); end sampel1=samp; mu=mean(sampel1); sigma=std(sampel1); sampel=(sampel1-mu)/sigma; dx=0.5; centers=[-4:dx:4]; N=hist(sampel,centers); bar(centers,N/((M-1)*dx)) hold on x=linspace(-4,4,100); y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi); plot(x,y,'r--','linewidth',2); legend('N(0,1)density','Data IBM harian') grid on
Program 3.2 : clf sampel=[ Data IBM Harian]; [M,r]=size(sampel); for j=1:M-1 samp(j)=(sampel(j+1)-sampel(j))/sampel(j); end sampel1=samp; mu=mean(sampel1); sigma=std(sampel1); sampel=(sampel1-mu)/sigma; dx=0.5; centers=[-4:dx:4] N=hist(sampel,centers); g=N/(M-1) y=cumsum(g); bar(centers,y)
135
hold on x=-5:0.001:5; y=(1+erf(x/sqrt(2)))/2; plot(x,y,'r--','linewidth',2); legend('N(0,1)density','Data IBM harian') grid on
Program 3.3 : clf sampel=[ Data IBM Harian]; [M,r]=size(sampel1); for j=1:M-1 samp(j)=(sampel1(j+1)-sampel1(j))/sampel1(j); end sampel=samp; mu=mean(sampel); sigma=std(sampel); sampel2=(sampel-mu)/sigma; s=sort(sampel2); p=[1:(M-1)]/M; z=sqrt(2)*erfinv(2*p-1); plot(s,z,'rx') hold on x=-5:0.001:5; y=x; plot(y,x,'g-') title('Data IBM harian dan N(0,1) quantile-quantile plot') grid on
Program 3.4 : clf sampel=[ % data IBM mingguan ]; [M,r]=size(sampel); for j=1:M-1 samp(j)=(sampel(j+1)-sampel(j))/sampel(j); end sampel1=samp; mu=mean(sampel1); sigma=std(sampel1);
136
sampel=(sampel1-mu)/sigma; dx=0.5; centers=[-4:dx:4]; N=hist(sampel,centers); bar(centers,N/((M-1)*dx)) hold on x=linspace(-4,4,100); y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi); plot(x,y,'r--','linewidth',2); legend('N(0,1)density','Data IBM mingguan') grid on
Program 3.5 : clf sampel=[ % data IBM mingguan ]; [M,r]=size(sampel); for j=1:M-1 samp(j)=(sampel(j+1)-sampel(j))/sampel(j); end sampel1=samp; mu=mean(sampel1); sigma=std(sampel1); sampel=(sampel1-mu)/sigma; dx=0.5; centers=[-4:dx:4]; N=hist(sampel,centers); g=N/(M-1); y=cumsum(g); bar(centers,y) hold on x=-5:0.001:5; y=(1+erf(x/sqrt(2)))/2; plot(x,y,'r--','linewidth',2); legend('N(0,1)density','Data IBM mingguan') grid on
Program 3.6 : Sampel1=[ % data IBM mingguan ]; [M,r]=size(sampel1);
137
for j=1:M-1 samp(j)=(sampel1(j+1)-sampel1(j))/sampel1(j); end sampel=samp; mu=mean(sampel); sigma=std(sampel); sampel2=(sampel-mu)/sigma; s=sort(sampel2); p=[1:(M-1)]/M; z=sqrt(2)*erfinv(2*p-1); plot(s,z,'rx') hold on x=-5:0.001:5; y=x; plot(y,x,'g-') title('Data IBM mingguan dan N(0,1) quantile-quantile plot') grid on
Program 3.7 : clf rand('state',100) n=1000; M=10000; S=randn(M,1); dx=0.5; centers=[-4:dx:4]; N=hist(S,centers); bar(centers,N/(M*dx)) hold on x=linspace(-4,4,100); y=exp(-0.5*x.^2)/sqrt(2*pi); plot(x,y,'r--','linewidth',2); legend('N(0,1)density','Sampel Random') grid on
Program 3.8 : clf clear sampel=randn(1000,1); [M,r]=size(sampel); dx=0.5;
138
centers=[-4:dx:4] N=hist(sampel,centers); g=N/(M-1); y=cumsum(g) bar(centers,y) hold on x=-5:0.001:5; y=(1+erf(x/sqrt(2)))/2; plot(x,y,'r--','linewidth',2); legend('N(0,1)density','Sampel Random') grid on
Program 3.9 : rand('state',100) M=1000; sampel=randn(M,1); s=sort(sampel); p=[1:M]/(M+1); z=sqrt(2)*erfinv(2*p-1); plot(s,z,'rx') hold on x=-5:0.001:5; y=x; plot(y,x,'g-') title('Sampel Random dan kuantil-kuantil plot') grid on
Program 3.10 : clf x=linspace(.01,4,500); t=1;S=1;mu=0.05; sigma=0.3; tempa=((log(x/S)-(mu-0.5*sigma^2)*t).^2)/(2*t*sigma^2); tempb=x*sigma*sqrt(2*pi*t); y1=exp(-tempa)./tempb; plot(x,y1,'r-') ylim([0 1.5]) hold on sigma=0.5; tempa=((log(x/S)-(mu-0.5*sigma^2)*t).^2)/(2*t*sigma^2);
139
tempb=x*sigma*sqrt(2*pi*t); y2=exp(-tempa)./tempb; plot(x,y2,'b:') legend('\sigma=0.3','\sigma=0.5',1) title('Densitas Lognormal,t=1,S0=1,\mu=0.05') xlabel('x'),ylabel('f(x)') grid on
Program 3.11 : clf x=linspace(.01,4,500); t=3;S=1;mu=0.05; sigma=0.3; tempa=((log(x/S)-(mu-0.5*sigma^2)*t).^2)/(2*t*sigma^2); tempb=x*sigma*sqrt(2*pi*t); y1=exp(-tempa)./tempb; plot(x,y1,'r-') ylim([0 1.5]) hold on sigma=0.5; tempa=((log(x/S)-(mu-0.5*sigma^2)*t).^2)/(2*t*sigma^2); tempb=x*sigma*sqrt(2*pi*t); y2=exp(-tempa)./tempb; plot(x,y2,'b:') legend('\sigma=0.3','\sigma=0.5',1) title('Densitas Lognormal,t=3,S=1,\mu=0.05') xlabel('x'),ylabel('f(x)') grid on
Program 3.12 : randn('state',1000) clf So=1;mu=0.05;sigma=0.1;L=1000;T=3;dt=T/L;M=1; t=[0:dt:T]; S=So*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2); S=[So*ones(M,1) S];%add initial asset price plot(t,S) title('Diskret aset path') xlabel('ti'),ylabel('Si')
140
Program 3.13 : clf So=1;mu=0.05;sigma=0.05;L=1000;T=3;dt=T/L;M=1; t=[0:dt:T]; S=So*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2); S=[So*ones(M,1) S];%add initial asset price plot(t,S) title('Diskret aset path') xlabel('ti'),ylabel('Si') grid on
Program 3.14 : randn('state',100000) clf S0=1;mu=0.2;sigma=0.5;L=1000;T=3;dt=T/L;M=1; t=[0:dt:T]; S=S0*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2); S=[S0*ones(M,1) S];%add initial asset price plot(t,S) xlabel('ti'),ylabel('Aset')
Program 3.15 : randn('state',100000) clf S0=1;mu=0.2;sigma=0.3;L=1000;T=3;dt=T/L;M=20; t=[0:dt:T]; S=S0*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2); S=[S0*ones(M,1) S];%add initial asset price plot(t,S) xlabel('ti'),ylabel('Aset')
Program 3.16 : clf clear S0=1;mu=0.2;sigma=0.3;L=1000;T=3;dt=T/L;M=10000; t=[0:dt:T]; S=mean(S0*cumprod(exp((mu0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2));
141
S=[S0*ones(1,1) S];%add initial asset price y=S0*exp(mu*t); plot(t,y,'r-'); hold on plot(t,S,'b:') legend(nilai harapan S(t)','rata-rata asset path',1) xlabel('ti'),ylabel('Mean') grid on
Program 3.17 : clf clear randn('state',100); S0=1;mu=0.2;sigma=0.3;L=1000;T=3;dt=T/L; M=10;M1=100;M2=1000;M3=10000; t=[0:dt:T]; S=mean(S0*cumprod(exp((mu0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2)); S=[S0*ones(1,1) S]; S1=mean(S0*cumprod(exp((mu0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M1,L)),2)); S1=[S0*ones(1,1) S1]; S2=mean(S0*cumprod(exp((mu0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M2,L)),2)); S2=[S0*ones(1,1) S2]; S3=mean(S0*cumprod(exp((mu0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M3,L)),2)); S3=[S0*ones(1,1) S3]; y=S0*exp(mu*t); subplot(2,2,1)% plot(t,y,'r-'); hold on subplot(2,2,1) plot(t,S,'b:') legend(nilai harapan S(t)','rata-rata asset path',1) xlabel('ti'),ylabel('Mean') title('10 path') grid on subplot(2,2,2)% plot(t,y,'r-');
142
hold on subplot(2,2,2) plot(t,S1,'b:') legend(nilai harapan S(t)','rata-rata asset path',1) xlabel('ti'),ylabel('Mean') title('100 path') grid on subplot(2,2,3)% plot(t,y,'r-'); hold on subplot(2,2,3) plot(t,S2,'b:') legend(nilai harapan S(t)','rata-rata asset path',1) xlabel('ti'),ylabel('Mean') title('1000 path') grid on subplot(2,2,4)% plot(t,y,'r-'); hold on subplot(2,2,4) plot(t,S3,'b:') legend(nilai harapan S(t)','rata-rata asset path',1) xlabel('ti'),ylabel('Mean') title('10000 path') grid on
Program 3.18 : clf S=1;mu=0.05;sigma=0.5;L=100;T=1;dt=T/L;M=50; tvals=[0:dt:T]; Svals=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2); Svals=[S*ones(M,1) Svals];%add initial asset price plot(tvals,Svals) xlabel('ti'),ylabel('Aset')
Program 3.19 : clf clear S=1;mu=0.05;sigma=0.5;L=10;T=1;dt=T/L;
143
M=10;M1=100;M2=1000;M3=10000; S1=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2); S1=[S*ones(M,1) S1]; S11=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M1,L)),2); S11=[S*ones(M1,1) S11]; S12=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M2,L)),2); S12=[S*ones(M2,1) S12]; S13=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M3,L)),2); S13=[S*ones(M3,1) S13]; for j=1:M S2(j)=S1(j,L); end for j=1:M1 S21(j)=S11(j,L); end for j=1:M2 S22(j)=S12(j,L); end for j=1:M3 S23(j)=S13(j,L); end a=dt/2; b=0+a; x=b:dt:5; k=(5/dt)-1; for i = 0:k A=find((S2>=0+i*dt) & (S2<0+(i+1)*dt)); A1=find((S21>=0+i*dt) & (S21<0+(i+1)*dt)); A2=find((S22>=0+i*dt) & (S22<0+(i+1)*dt)); A3=find((S23>=0+i*dt) & (S23<0+(i+1)*dt)); N(i+1)=length(A); N1(i+1)=length(A1); N2(i+1)=length(A2); N3(i+1)=length(A3); F(i+1)=N(i+1)/(M*dt); F1(i+1)=N1(i+1)/(M1*dt); F2(i+1)=N2(i+1)/(M2*dt); F3(i+1)=N3(i+1)/(M3*dt); end ta=((log(x/S)-(mu-0.5*sigma^2)*T).^2)/(2*T*sigma^2); tb=x*sigma*sqrt(2*pi*T); y2=exp(-ta)./tb;
144
subplot(2,2,1) bar(x,F) title('10 path') hold on subplot(2,2,1) plot(x,y2,'r-') grid on subplot(2,2,2) bar(x,F1) title('100 path') hold on subplot(2,2,2) plot(x,y2,'r-') grid on subplot(2,2,3) bar(x,F2) title('1000 path') hold on subplot(2,2,3) plot(x,y2,'r-') grid on subplot(2,2,4) bar(x,F3) title('10000 path') hold on subplot(2,2,4) plot(x,y2,'r-') grid on
Program 3.20 : clf clear S=1;mu=0.05;sigma=0.5;L=100;M=1; T=1;dt=T/L; tvals=[0:dt:T]; Svals=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2); Svals=[S*ones(M,1) Svals];%add initial asset price subplot(3,1,1); plot(tvals,Svals) title('1 asset paths dalam interval [0,1]') T1=0.1; dt1=T1/L; tvals1=[0:dt1:T1];
145
Svals1=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt1+sigma*sqrt(dt1)*randn(M,L)),2); Svals1=[S*ones(M,1) Svals1];%add initial asset price subplot(3,1,2); plot(tvals1,Svals1) title('1 asset paths dalam interval [0, 0.1]') T2=0.01; dt2=T2/L; tvals2=[0:dt2:T2]; Svals2=S*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt1+sigma*sqrt(dt1)*randn(M,L)),2); Svals2=[S*ones(M,1) Svals2];%add initial asset price subplot(3,1,3); plot(tvals2,Svals2) title('1 asset paths dalam interval [0, 0.01]')
Program 3.21 : clear clf So=1;mu=0.05;sigma=0.3;L=1000;T=0.5;dt=T/L;M=10; t=[0:dt:T]; S=So*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2); S=[So*ones(M,1) S];%add initial asset price plot(t,S) title('dt=5x10^-4') xlabel('ti'),ylabel('Asset path')
Program 3.22 : clear clf So=1;mu=0.05;sigma=0.3;L=10000;T=0.5;dt=T/L;M=10; t=[0:dt:T]; S=So*cumprod(exp((mu-0.5*sigma^2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)),2); S=[So*ones(M,1) S];%add initial asset price plot(t,S) title('dt=5x10^-4') xlabel('ti'),ylabel('Asset path')
146
Program 3.23 : clear clf mu=0.05;sigma=0.3;L=10000;T=0.5;dt=T/L;M=10; r=cumsum((mu*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(M,L)).^2,2); t=[0:dt:T-dt]; plot(t,r) hold on A=(sigma^2)*T; plot(t,A,'b:') xlabel('ti'),ylabel('Sum of square returns')
