PEMODELAN DAN SIMULASI SISTEM DINAMIKA PROPAGASI POTENSIAL AKSI TERSTIMULASI ARUS EKSTERNAL SERTA SINKRONISASI CHAOTIK JARINGAN SYARAF
MADA SANJAYA WS
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASINYA Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pemodelan dan Simulasi Sistem Dinamika Propagasi Potensial Aksi Terstimulasi Arus Eksternal serta Sinkronisasi Chaotik Jaringan Syaraf adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Januari 2009 Mada Sanjaya WS NIM G751070061
ABSTRACT
MADA SANJAYA WS. Modeling and Simulation Dynamical Systems of Propagating Action Potentials Stimulated by External Current and Chaotic Synchronization in Neuronal Networks. Under direction of AGUS KARTONO and IRZAMAN System of signals propagation from one neuron to another represent event of very complex electrochemical mechanism. Through model of Hodgkin-Huxley obtained that at membrane there are special channels which can only be entered by certain ion (selective permeable), in experiment which Hodgkin-Huxley proceeded that there are two main channels membrane, potassium channel (K +) and the sodium channel (Na+). That channels were hypotetized had influenced by three variables that is m, h, and n. From analysis of Fitzhugh-Nagumo models, it was obtained a phase space curve which very depend on external current stimulation. When external current was zero, the oscillation was not happened but there will be oscillation after external current was stimulated. But there was limit of maximum current where oscillation of membrane potentials was not happened anymore because the potential have stabilized asymptotically. From approach of dynamics, it also seen bifurcation process when the parameter was changed ,in this case the changes is external current and fulfill theory of Hopf bifurcation with the appearances of critical point that have “stable limit cycle” character. In this paper, it shown that there was qualitative similarity between Hodgkin-Huxley model and Fitzhugh-Nagumo two dimension models. This examination naturally comes to the study of neuron networks. The analysis of these networks uses the synchronization theory via connections between neurons and can give rise to emergent properties and self-organization. Keywords : Hodgkin-Huxley models, Fitzhugh-Nagumo, action potentials, synchronization, chaos.
RINGKASAN
MADA SANJAYA WS. Pemodelan dan Simulasi Sistem Dinamika Propagasi Potensial Aksi Terstimulasi Arus Eksternal serta Sinkronisasi Chaotik Jaringan Syaraf. Dibimbing oleh AGUS KARTONO dan IRZAMAN Salah satu bidang yang menjadi awal berkembangnya biofisika adalah studi tentang fisiologi syaraf, yang pada beberapa dekade lalu telah dipahami bahwa terjadi proses dasar sistem komunikasi unik elektrokimia yang berperan penting dalam sistem syaraf kita. Otak kita dan setiap subsistem lain pada sistem syaraf terdiri dari sel yang disebut neuron (sel syaraf). Penelitian ini bertujuan untuk mengkonstruksi model dan membuat simulasi proses propagasi sinyal potensial aksi dari sel syaraf (neuron) tunggal sampai membentuk jaringan syaraf sederhana (neuronal networks) dengan menggunakan model Hodgkin-Huxley dan model Fitzhugh-Nagumo yang telah dimodifikasi, dalam hal ini modifikasinya berupa arus eksternal yang menjadi stimulus dan membuat modifikasi model untuk beberapa neuron yang terkopel membentuk jaringan syaraf (neuronal networks) melalui teori sinkronisasi chaotik. Sistem propagasi sinyal dari satu neuron ke neuron lainya merupakan peristiwa elektrokimia yang sangat kompleks. Melalui model Hodgkin-Huxley diperoleh bahwa pada membran terdapat saluran-saluran khusus yang hanya dapat dimasuki oleh ion tertentu, dalam eksperimen yang dilakukannya HodgkinHuxley menyatakan bahwa terdapat dua saluran utama membran yaitu saluran potassium (ion K+) dan saluran sodium (ion Na+). Kedua saluran tersebut dihipotesiskan dipengaruhi oleh tiga variabel yaitu m, h dan n. Variabel m merupakan probabilitas aktivasi (terbukanya) saluran sodium sedangkan h adalah probabilitas inaktivasi (tertutupnya) saluran sodium dan variabel n yang merupakan probabilitas aktivasi saluran potassium. Dari grafik hasil simulasi parameter Hodgkin-huxley diketahui bahwa m berubah secara cepat sehingga berpengaruh sebagai penyebab terjadinya depolariazation potensial aksi kemudian diikuti dengan variabel n yang menyebabkan setelah mencapai puncak, potensial aksi akan mengalami hyper-polarization dan h merupakan variabel yang paling lambat berubah memiliki peranan sebagai penyebab potensial aksi turun melebihi batas potensial istirahat. Selain itu dalam penelitian ini juga diperoleh grafik pengaruh suhu terhadap terjadinya potensial aksi, dalam penelitian diperoleh bahwa semakin besar suhu yang diberikan maka terjadinya potensial aksi semakin cepat (Depolarization) karena gerakan ion sodium semakin cepat dengan meningkatnya suhu sesuai dengan teori yang mendasarinya. Dengan memasukan data tentang akson tak bermyelin dengan a = 0.0238 cm, 2 1 / 35.4(.cm) 1 , C m 1F / cm diperoleh kecepatan propagasi potensial aksi sebesar 18.80 m/s pada suhu 6.3 0C ketika tidak ada arus stimulus eksternal. Sedangkan ketika diberikan stimulus arus eksternal maka kecepatan propagasinya akan semakin besar karena frekuensi osilasinya bertambah besar, hasil ini terdapat kesesuaian dengan penelitian sebelumnya. Melalui analisis Dinamika persamaan Fitzhugh-Nagumo diperoleh grafik ruang fase yang amat bergantung pada besarnya arus eksternal yang diberikan.
Saat arus eksternalnya nol maka tidak terjadi osilasi tetapi setelah pemberian arus eksternal terjadi osilasi pada potensial membran yang memiliki frekuensi bergantung pada arus yang diberikan. Tetapi terdapat batas arus maksimal dimana ketika arus dinaikan tidak lagi terjadi osilasi potensial membran karena potensial sudah stabil asimtotik. Dari pendekatan teori dinamika juga terlihat terjadinya bifurkasi atau perubahan sifat titik kritis ketika parameternya diubah dalam hal ini arus eksternal dan memenuhi teori bifurkasi Hopf dengan kemunculan titik kritis bersifat ”Stable Limit Cycle”. Dalam penelitian inipun dikaji terjadinya gejala chaotik ketika arus stimulus yang diberikan berupa arus stimulus eksternal yang periodik sinusoidal. Hasil terakhir dalam penelitian ini adalah mempelajari mekanisme komunikasi antara beberapa neuron membentuk jaringan syaraf dengan pendekatan teori sinkronisasi diperoleh bahwa dengan semakin banyaknya neuron yang berinteraksi maka terjadinya ambang sinkronisasi semakin kecil. Dari simulasi yang dibuat terlihat adanya pengaturan diri (self-organization) dari sel neuron yakni ketika jumlah neuron yang berinteraksi semakin banyak maka secara otomatis hanya dibutuhkan konstanta kopling yang kecil untuk menghasilkan sinyal yang sinkron (sesuai antara satu neuron dengan yang lain) meski sinyal dari neuron tunggal berupa potensial aksi yang bersifat chaotik. Untuk kelanjutan penelitian diperlukan pembuktian secara eksperimen lanjutan mengenai hasil simulasi perhitungan numerik sehingga penelitian teori ini selain menjadi dasar teori juga dapat diaplikasikan secara nyata dalam bidang medis dan neuroscience. Selain itu, metode sistem dinamika dan sinkronisasi chaotik yang terdapat dalam penelitian ini dapat digunakan dalam penelitian bidang lain seperti penelitian karakteristik distribusi potensial pada jantung yang bermanfaat di bidang medis (pemodelan jantung), sistem dinamika penyebaran penyakit (epidemics), sistem dinamika pada ekologi, untuk meningkatkan kekuatan laser, untuk mensinkronisasi output sirkuit elektronik, untuk mengkontrol osilasi pada reaksi kimia, atau untuk mengkode pesan elektronik untuk keamanan komunikasi dan lannya. Sehingga, teori ini dapat dipakai dalam berbagai bidang disiplin ilmu. Kata kunci : model Hodgkin-Huxley, Fitzhugh-Nagumo, potensial aksi, sinkronisasi, chaos.
(C) Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutioan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
PEMODELAN DAN SIMULASI SISTEM DINAMIKA PROPAGASI POTENSIAL AKSI TERSTIMULASI ARUS EKSTERNAL SERTA SINKRONISASI CHAOTIK JARINGAN SYARAF
MADA SANJAYA WS
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Biofisika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Judul Tesis
Nama NIM
: Pemodelan dan Simulasi Sistem Dinamika Propagasi Potensial Aksi Terstimulasi Arus Eksternal serta Sinkronisasi Chaotik Jaringan Syaraf. : Mada Sanjaya WS : G751070061
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Agus Kartono Ketua
Dr. Irzaman Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Biofisika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Akhiruddin Maddu
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S
Tanggal Ujian :
Tanggal Lulus :
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Akhiruddin Maddu
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan taufik dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis berjudul “Pemodelan dan Simulasi Sistem Dinamika Propagasi Potensial Aksi Terstimulasi Arus Eksternal serta Sinkronisasi Chaotik Jaringan Syaraf “, yang dilakukan dalam rangka tugas akhir untuk menyelesaikan program pendidikan S2 Biofisika pada Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan banyak terima kasih dan memberikan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada Bapak Dr. Agus Kartono dan Bapak Dr. Irzaman atas segala bimbingan dan motivasinya yang diberikan kepada penulis untuk segera menyelesaikan penelitian ini serta kepada Departemen Pendidikan Nasional melalui Beasiswa Unggulan yang diterima penulis. Kepada orangtua dan seluruh sanak keluarga penulis, juga kepada “Dua Rembulan dalam HatiKu”, seluruh staff dan dosen Fisika khususnya, dan IPB pada umumnya. Serta seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tak mungkin disebutkan satu-persatu, juga kepada semua teman-teman seperjuangan Fisika. Penulis memahami bahwa tiada gading yang tak retak. Oleh karena itu, segala macam saran dan kritik yang membangun akan penulis terima dengan senang hati. Semoga apa yang disampaikan oleh penulis akan bermanfaat bagi ilmu pengetahuan.
Bogor, Januari 2009
Mada Sanjaya WS
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cirebon, pada tanggal 11 Oktober 1985 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, pasangan Waryano Sunaryo dan Eti. Penulis menyelesaikan studinya di SMU Negeri 1 Lemah Abang,Cirebon pada tahun 2003 dan pada tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama duduk di bangku kuliah, penulis aktif dalam berbagai kegiatan (kepanitiaan) dan organisasi intra kampus seperti menjadi anggota DKM Masjid Al Hurriyah IPB pada tahun 2003 – 2007 , Departemen Kerohanian Himpunan Mahasiswa Fisika (HiMaFi) IPB pada tahun 2003 – 2004, staff Departemen kerohanian BEM FMIPA pada tahun 2004-2005,staff Departemen Kebijakan Nasional BEM KM IPB pada tahun 2005. Penulis pernah menjadi asisten praktikum mata kuliah Fisika Dasar I dan II 2004-2006, Penulis juga aktif mengajar private di kota Bogor, menjadi staff pengajar A-Project ,Physics Challange dan Best Student Program pada tahun 2004 – 2006. Serta menjadi tutor di Bimbingan Belajar Bintang Pelajar Regional Bogor pada tahun 2006, Bimbingan Belajar Nurul Fikri pada tahun 2007 dan guru fisika SMA Dwi Warna pada tahun 2007. Setelah menyelesaikan pendidikan S1 Fisika, penulis mendapatkan Beasiswa Unggulan Depdiknas pada tahun 2007 untuk melanjutkan kuliah pada program S2 Biofisika Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Sekarang penulis bekerja sebagai peneliti Balai Besar Kulit, Karet dan Plastik Yogyakarta Departemen Perindustrian.
i
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
iii
DAFTAR GAMBAR
iv
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang
1
1.2
Perumusan Masalah
3
1.3
Tujuan Penelitian
3
1.4
Manfaat Penelitian
4
1.5
Ruang Lingkup Penelitian
4
2 MODEL NEURON HODGKIN-HUXLEY
5
2.1
Potensial Membran
5
2.2
Model Sirkuit Hodgkin-Huxley
7
2.3
Pengaruh Suhu pada Model Hodgkin-Huxley
9
2.4
Propagasi Potensial Aksi
10
2.5
Hipotesis Propagasi Seragam
11
3 ANALISIS DAN SIMULASI MODEL HODGKIN-HUXLEY 3.1
Analisis Dinamik Model Hodgkin-Huxley
14 14
3.1.1
Kuat Arus Stimulus I = 0
14
3.1.2
Kuat Arus Stimulus I > 0
16
3.2
Simulasi Pengaruh Suhu pada Model Hodgkin-Huxley
17
3.3
Metode Numerik Kecepatan Propagasi Potensial Aksi
18
4 MODEL DINAMIK NEURON FITZHUGH-NAGUMO
20
4.1
Model Dinamik Neuron Fitzhugh-Nagumo
20
4.2
Teori Dasar Sistem Dinamik
21
4.2.1
Sistem Dinamik dan Deterministik
21
4.2.2
Persamaan Diferensial Orde Pertama
21
4.2.3
Titik Kritis (Critical Point)
22
ii
4.2.4
Konstruksi Matrik Jacobi
22
4.2.5
Vektor Eigen dan Nilai Eigen
22
4.2.6
Orbit Kestabilan
23
4.2.7
Bifurkasi Hopf
24
4.3
Penentuan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo
25
4.4
Matrik Jacobian Model Fitzhugh-Nagumo
26
4.5
Nilai Eigen dan Syarat Kestabilan Model Fitzhugh-Nagumo
26
4.6
Analisis Kestabilan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo
26
4.6.1
Kasus Arus Stimulus I = 0
27
4.6.2
Kasus Arus Stimulus I = 0.33
28
4.6.3
Kasus Arus Stimulus I = 1.25
29
4.6.4
Kasus Arus Stimulus I = 1.43
30
4.6.5
Kasus Arus Stimulus I = 1.45
31
4.6.6
Kasus Arus Stimulus I = 2
32
5 SINKRONISASI CHAOTIK NEURONAL NETWORK
34
5.1
Gejala Chaos Model Neuron Fitzhugh-Nagumo
34
5.2
Sensitivitas Terhadap Kondisi Awal
36
5.3
Kopling Neuron Model Fitzhugh-Nagumo
38
5.3.1
Model Dua Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo
39
5.3.2
Model Tiga Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo
41
5.3.3
Model Empat Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo
42
SIMPULAN
45
DAFTAR PUSTAKA
47
iii
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Analisis numerik kestabilan titik tetap Fitzhugh-Nagumo
27
iv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.
Struktur dasar neuron
2
Gambar 2.
Model sirkuit membran Hodgkin-Huxley
7
Gambar 3.
Sistem dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat I = 0; (a) potensial aksi saat t = 5 ms, (b) dinamika variabel m, h dan n saat t = 5 ms
Gambar 4.
14
Sistem dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat I > 0; (a) potensial aksi (mV) saat t = 100 ms saat diberi stimulus I = 7 mA, (b) dinamika variabel m, h dan n saat t = 100 ms, I = 7 mA,(c) potensial aksi (mV) saat t = 100 ms diberi stimulus I = 15 mA, (d) dinamika variabel m, h dan n saat
Gambar 5.
t = 100 ms diberi stimulus I = 15 mA
16
Sistem dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat I =15 mA; (a) grafik hubungan antara potensial aksi (mV) dan variable n, (b) grafik 3D hubungan antara V, n dan t
Gambar 6.
17
Sistem dinamika model Hodgkin-Huxley dengan variasi suhu 6.3 0C, 18.5 0C, 250C, dan 320C
18
Gambar 7.
Propagasi Potensial aksi pada saat K = 3x 10 5
19
Gambar 8.
Orbit kestabilan disekitar titik kritis; (a) spiral stabil, (b) spiral tak stabil, (c) titik saddle, (d) center, (e) titik stabil dan (f) titik tak stabil
Bifurkasi pada persamaan van der Pol ketika parameter divariasikan Gambar 10. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat
24
Gambar 9.
25
I = 0; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral stabil (b) dinamika v, w terhadap waktu t.
27
Gambar 11. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 0.33; (a) bidang fase antara v dan w bersifat stabil limit cycle, (b) dinamika v, w terhadap waktu t = 100, (c) dinamika v, w terhadap waktu t = 100 dan (d) grafik 3D v,w terhadap t
29
v
Gambar 12. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.25; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral tak stabil (b) dinamika v, w terhadap waktu t.
30
Gambar 13. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.43;
(a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral
stabil (b) dinamika v, w terhadap waktu t.
31
Gambar 14. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.45; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral stabil (b) dinamika v, w terhadap waktu t.
31
Gambar 15. Sistem dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 2; (a) bidang fase antara v dan w bersifat stabil node (b) dinamika v, w terhadap waktu t.
32
Gambar 16. Model Fitzhugh-Nagumo saat A = 0.7; (a) respon waktu saat = 0.4 (b) bidang fase saat = 0.4, (c) respon waktu saat = 0.8145 (d) bidang fase saat = 0.8145, (e) respon waktu saat = 0.93 dan (f) bidang fase saat
= 0.93
35
Gambar 17. Model Fitzhugh-Nagumo saat A = 0.7 dan = 0.945 serta memvariasikan kondisi awal potensial aksi V0
36
Gambar 18. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama; (a) gs = 0.1, (b) gs = 0.125, (c) gs = 0.1255, dan (d) gs = 0.15
40
Gambar 19. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama; (a) gs = 0.01,(b) gs = 0.062, (c) gs = 0.064, dan (d) gs = 0.069.
42
Gambar 20. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama; (a) gs = 0.015, (b) gs = 0.018, (c) gs = 0.019, dan (d) gs = 0.0195.
43
vi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Penurunan Persamaan Kabel
49
Lampiran 2. Analisis Titik Kritis Model Dinamika Fitzhugh-Nagumo
54
Lampiran 3. Analisis Nilai Eigen Model Dinamik Fitzhugh-Nagumo
55
Lampiran 4. Sintaks Plot Grafik Dengan Software Matlab 7.01
57
Lampiran 5. Diagram Alir Penelitian
60
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang
Salah satu bidang yang menjadi awal berkembangnya biofisika adalah studi tentang fisiologi syaraf, yang pada beberapa dekade lalu telah dipahami bahwa terjadi proses dasar sistem komunikasi unik elektrokimia yang berperan penting dalam sistem syaraf kita. Otak kita dan setiap subsistem lain pada sistem syaraf terdiri dari sel yang disebut neuron (sel syaraf). Dalam neuron terdapat axon berupa struktur panjang menyerupai tabung (Edelstein, 1988) dan diketahui bahwa propagasi sinyal syaraf berasal dari listrik yang timbul secara alami. Setelah menginisiasi bagian yang disebut axon hillock, propagasi turun melalui axon ke terminal berikutnya dengan konveksi bebas (synapses) yang dekat dengan neuron. Sinyal propagasi tersebut disebut sebagai ”potensial aksi”. Sebuah neuron memiliki bagian yang disebut dendrit
yang
menerima sinyal yang diterimanya dan membawanya menuju soma (badan sel). Secara detail peristiwa elektrokimia yang terjadi pada neuron sangatlah kompleks. Diketahui bahwa sinyal neuronal berjalan sepanjang membran sel dari axon dalam bentuk beda potensial lokal sepanjang membran. Dalam keadaan istirahat, sitoplasma (cairan sel) dalam axon memiliki komposisi ionik yang membuat bagian dalam sel berpotensial negatif (beda potensial -70 mV) yang dipengaruhi oleh bagian luarnya. Perbedaan potensial menyebabkan metabolisme dalam sel dengan pompa aktif yang terletak pada membrannya. Secara kontinu, transport ion (Na+) keluar sel dan membawa ion potassium (K+) ke arah sebaliknya, sehingga gradien konsentrasi dapat dipertahankan. Perbedaan ini dan konsentrasi lainnya sepanjang membran menghasilkan potensial total yang dipertahankan sepanjang membran sel hidup (Edelstein KL 1988).
2
Gambar 1. Struktur dasar neuron
Deskripsi lengkap telah dilakukan pada tahun 1952 oleh Hogkin, Huxley dan Katz dengan melakukan eksperimen pada sebuah axon berukuran besar dari squid (gurita). Setelah melakukan eksperimen, mereka membuat sebuah model membran yang analogi dengan sirkuit listrik yang memiliki kandungan fisis, seperti konduktivitas ionik yang digambarkan dengan sebuah elemen sirkuit berupa resistor. Model Hodgkin-Huxley adalah berupa empat persamaan diferensial nonlinier terkopel dan membuat hipotesis dengan mengusulkan adanya tiga variabel m, h, dan n yang mempengaruhi koduktivitas ion K+ dan ion Na+ saat melewati membran. Keempat persamaan ODE (Ordinary Differential equation) ini sulit untuk dipecahkan secara eksak, karena derajat nonliniernya yang tinggi. Tetapi dengan memanfaatkan sifat dinamika dari keempat variabel tersebut makna fisis dari eksperimen Hodgkin-Huxley dapat diteliti. Untuk membuat analisis yang lebih umum, pada tahun 1961 Fitzhugh dan Nagumo membuat sebuah model penyederhanaan dari model Hodgkin-Huxley menjadi dua persamaan diferensial nonlinier terkopel. Model yang diusulkan ini mampu menerangkan proses dasar eksitasi dan osilasi pada neuron secara kualitatif (Edelstein KL 1988; Medvedev GS, Kopell N 2001; Georgiev NV 2003). Analisis
propagasi
potensial
aksi
dari
model
Hodgkin-Huxley
dikembangkan melalui pendekatan teori gelombang berjalan (Rinzel J, Keller JB. 1973; Tonnelier A 2003; Phillipson PE & Schuster P 2004; Muratov CB 2008). Sedangkan untuk menggambarkan tentang proses propagasi sinyal potensial aksi dari satu neuron ke neuron lainnya membentuk neuronal network (jaringan syaraf) dapat dimodelkan dengan teori sinkronisasi chaotik (Catherine DB et al 2001; Yu L et al 2007; Batista CAS et al 2007), Proses sinkronisasi jaringan
3 syaraf dapat dipelajari dengan pendekatan chaos controlling (Mishra D et al 2006) dan sistem terkopel (Medvedev GS, Kopell N 2001; Igor Belykh et al 2008). Permasalahan menarik dalam penelitian pemodelan neuron adalah adanya arus eksternal sebagai trigger yang menghasilkan potensial aksi (impuls syaraf) sebagai informasi dari satu neuron menuju
neuron lainnya
dalam neuronal
network. Arus eksternal ini dapat berupa arus konstan, arus periodik maupun berupa medan listrik (Mishra D et al 2006; Sims BA 2008)
1.2
Perumusan Masalah
a. Bagaimanakah membangun persamaan yang dapat menjelaskan fenomena terjadinya potensial aksi ( impuls syaraf ) dan apakah fenomena tersebut merupakan sistem yang bersifat deterministik ataukah non-deterministik. b. Bagaimanakah memodelkan sistem tersebut dan apakah simulasinya memberikan hasil yang sesuai kenyataan (eksperimen). c. Bagaimanakah bentuk persamaan yang lebih umum yang dapat menjelaskan fenomena perambatan potensial aksi yang secara kualitatif terdapat kemiripan dengan hasil eksperimen. d. Jika telah dibangun persamaan umum untuk sebuah sel neuron, bagaimanakah bentuk persamaan yang dapat menjelaskan interaksi antara banyak neuron membentuk jaringan syaraf.
1.3
Tujuan
a. Mempelajari model Dinamika nonlinier yang berlaku pada sistem perambatan impuls sel syaraf. b. Menganalisis kondisi kestabilan dinamika pada model Hodgkin-Huxley. c. Mempelajari propagasi impuls sel syaraf dari model Hodgkin-Huxley. d. Menganalisis kondisi kestabilan dinamika pada model Fitzhugh-Nagumo. e. Mencari parameter kritis terjadinya bifurkasi pada model Fitzhugh-Nagumo
4 f. Membandingkan hasil analisis model Hodgkin-Huxley dengan model Fitzhugh-Nagumo. g. Membuat model mekanisme sinkronisasi jaringan syaraf berdasarkan model Fitzhugh-Nagumo serta Memahami arti fisis dari semua pemodelan impuls syaraf.
1.4
Manfaat Penelitian
Penelitian ini menjadi dasar acuan teori biofisika tentang mekanisme kerja sel syaraf yang berawal dari transport membran menjadi sinyal potensial aksi yang dapat ditransfer dari satu sel ke sel lainnya. Selain itu, mekanisme inipun memiliki kesamaan dengan sistem sel lainya sehingga dapat digunakan sebagai dasar mempelajari mekanisme yang terjadi pada berbagai sel makhluk hidup yang bermanfaaf bagi dunia medis, fisiologi maupun bioteknologi. Selain terkait bidang neurologi prinsip kerja pemodelan dan simulasi jaringan syaraf yang berdasar pada teori sistem dinamika, ini dapat diaplikasikan juga untuk bidang lainnya seperti sinkronisasi sinar laser dibidang sains dan teknik, propagasi gelombang seismik pada seismologi, pemodelan sistem jaringan otot jantung dalam bidang medis,
dan sinkronisasi pada sirkuit pada bidang
elektronika dan instrumentasi.
1.5
Ruang Lingkup Ruang lingkup penelitian ini meliputi pengetahuan tentang sel neuron
secara biologi, pemodelan menggunakan system sirkuit seperti pada model Hodgkin-Huxley, Persamaan Fitzhugh-Nagumo, teori sistem Dinamika yang meliputi persamaan diferensial orde pertama (ODE), matriks Jacobi, analisis kestabilan titik kritis, teori bifurkasi serta analisis sinkronisasi chaotik dari persamaan diferensial terkopel. Pembuatan program dengan bahasa pemrograman Maple 11 dan Matlab 7.01 diperlukan untuk memudahkan perhitungan secara numerik maupun eksak juga memudahkan dalam pembuatan grafik solusi persamaan baik ruang fasenya maupun laju perubahan potensial aksi pada model neuron yang dibuat (Brette R et al 2007).
BAB 2 MODEL NEURON HODGKIN-HUXLEY 2.1
Potensial Membran
Saluran ionik pada membran terlihat sebagai pori makroselular. Saluran tersebut dapat melewatkan molekul memasuki membran. Terdapat saluran antara bagian dalam dan luar sel. Terdapat banyak tipe saluran ionik. Sebagai contoh, kita bisa lihat itu dapat terbuka yang bergantung pada potensial atau menseleksi molekul yang akan melewatinya. Dua diantaranya bergantung pada potensial yaitu saluran sodium dan saluran potassium (Jackson MB 2006). Disebut saluran sodium karena khusus untuk ion sodium. Faktanya, mereka memiliki kekhususan: mereka bisa dalam keadaan aktif atau tidak aktif. Saluran potassium terbuka dan tertutup dengan delay. Saluran leak (kebocoran) selalu terbuka. Neuron ditutupi sebuah membran yang membatasi bagian dalam sel dari bagian luar sel. Dalam sel, konsentrasi ion berbeda dari cairan yang mengelilinginya. Perbedaan konsentrasi menghasilkan potensial listrik yang berperan penting dalam Dinamika neuronal. Ketika neuron tidak mengirim sinyal, disebut “keadaan istirahat”. Dalam kasus ini, bagian dalam neuron negative dibandingkan dengan bagian luarnya. Saat istirahat, ion potassium (K+) dapat memasuki membran dengan mudah. Juga saat istirahat, saluran sodium (Na+) mengalami kesulitan saat melewatinya. Muatan negatif molekul protein di dalam neuron tidak dapat melewati membran. Ketika beda potensial antara dalam dan luar neuron diukur, kita dapatkan potensial istirahat. Potensial istirahat membran neuron adalah sekitar -70 mV, artinya bagian dalam neuron memiliki potensial 70 mV lebih kecil dibandingkan bagian luarnya. Ketika istirahat, terdapat lebih banyak ion sodium di luar neuron dan lebih banyak ion potassium di dalam neuron (Corson N et al 2007). Pada potensial equilibrium aliran ion melewati membran tidak berhenti, ion selalu bergerak, tetapi yang memiliki nomor ionik sama akan mengalir dalam
6 arah yang sama. Keadaan equilibrium dapat diprediksi melalui persamaan Nernst, pada membran sel berbentuk; vS
RT [ S ] out ln zF [ S ]inp
(1)
Potensial istirahat memberikan informasi kepada kita apa yang terjadi ketika neuron istirahat. Potensial aksi terjadi ketika neuron mengirim informasi melewati axon menjauhi tubuh sel. Ahli syaraf menggunakan nama lain, seperti ”spike” atau ”impulse” untuk potensial aksi. Potensial aksi adalah sebuah ledakan dari aktivitas listrik yang terbentuk dengan arus depolarisasi. Artinya, sebuah stimulus menyebabkan potensial istirahat bergerak ke arah 0 mV. Ketika polarisasi naik sekitar -55 mV, neuron akan mengalami potensial aksi. Ini yang disebut batas ambang. Jika neuron tidak melewati batas ambang, tidak terjadi potensial aksi (Corson N et al 2007). Potensial aksi disebabkan oleh pertukaran ion melewati membran neuron. Sebuah stimulus awal menyebabkan saluran sodium terbuka. Karena banyak ion sodium dibagian luar dan dibagian dalam neuron bernilai negatif dibandingkan bagian luarnya, menyebabkan ion sodium menekan memasuki neuron. Karena sodium bermuatan positif, neuron menjadi bermuatan positif dan terjadi depolarisasi. Mengambil waktu sebelum saluran potassium terbuka. Ketika keduanya terbuka, potassium menekan keluar sel, mengembalikan keadaan depolarisasi. Dengan tiba-tiba, saluran sodium mulai menutup. Hal ini menyebabkan potensial aksi kembali ke keadaan -70 mV (repolarisasi). Potensial aksi seringkali melewati -70 mv (terjadi hiperpolarisasi) karena saluran potassium terbuka terlalu lama. Secara bertahap, konsentrasi ionik kembali pada keadaan istirahat dan potensial sel kembali menjadi -70 mV (Corson N et al 2007).
7 2.2
Model Sirkuit Hodgkin – Huxley
Model ini menggunakan sirkuit listrik yang memiliki kandungan fisis seperti konduktivitas ionik yang digambarkan dengan sebuah elemen sirkuit berupa resistor (Hodgkin AL & Huxley AF 1952; Marquie P 2004). Tegangan melewati membran memiliki analogi tegangan yang melewati resistor. Salah satu penggambaran pori ionik yang selektif terhadap arus ionik. Akan kembali dibahas bahwa konduktivitas pori tergantung dari tegangan.
Gambar 2. Model sirkuit membran Hodgkin-Huxley
Dalam sirkuit yang analogi dengan axon, hambatan aliran ionik melewati membran digambarkan dengan gK, gNa, dan gL. Hambatan dari gerakan ionik di dalam axon pada suatu arah digambarkan dengan elemen longitudinal dengan hambatan persatuan panjang, bernilai tetap dan lebih tinggi dari medium dibandingkan dengan bagian luar membran (axon memiliki jari-jari yang kecil sehingga hambatannya menjadi besar). Ukuran finite dari membran diasosiasikan dengan kandungan kapasitansinya yang sebanding dengan muatannya. Kita harus ingat, bahwa bentuk axon adalah silinder, sehingga perlu adanya modifikasi dalam menganalogikan.
Terdapat sebuah hubungan
q ( x, t ) 2aCv ( x, t )
(2)
Sekarang kita asumsikan tegangan jepit digunakan pada axon sehingga q = q(t), i = i(t), dan v = v(t) kemudian setiap titik dari axon memiliki tegangan yang sama secara serempak. Berarti muatan tidak akan bergerak longitudinal. Ini
8 hanya dapat berubah dengan arus yang membawa ion melewati membran sel. Dalam kasus ini, perubahan muatan internal rata-rata dapat ditulis,
dq 2 aI i dt
(3)
Arus i dapat diekspresikan menjadi penjumlahan INa, IK,dan IL (sodium, potassium dan ion lainnya) yang berelasi dengan beda potensial yang menyebabkannya. Seperti persamaan berikut;
dq 2a ( I Na I K I L ) dt
(4)
I Na g Na (v v Na )
(5)
I K g K (v v K ) I L g L (v v L )
Dimana vNa, vK dan vL menggambarkan potensial membran karena adanya berkontribusi dari ion Na, K, dan L. Lebih jauh, persamaaan (4) dapat ditulis kembali sebagai,
dv 1 g Na (v)(v v Na ) g K (v)(v v k ) g L (v v L ) I eks dt C
(6)
Dengan asumsi bahwa gL konstan. Pada titik ini Hodgkin-Huxley dan Katz menganalisis listrik secara langsung dan menghitung mekanisme yang mungkin dari konduktivitas ionik yaitu g Na dan g K. Setelah membuat trial and error model, dengan kerja keras dipecahkan melalui kalkulkator mekanik. Mereka menemukan bahwa diperlukan tiga buah variabel n, m dan h
pada Dinamika ion pori.
Hipotesis ini secara kuantitatif mungkin berkaitan dengan penggambaran konsentrasi pada protein yang harus diberikan untuk membuka atau menutupnya sebuah pori. Bagaimanapun, persamaan ini menggunakan data experimen bukan berasal dari pemahaman dasar dari mekanisme molekular (Jackson MB 2006). Hodgkin-Huxley mendefinisikan,
9
g Na g Na m 3 h
(7)
gK gK n4
(8)
Dimana g adalah parameter konduktivitas yang konstan. Mereka mengajukan n, m dan h sensitif terhadap tegangan pada jembatan protein. Mereka membuat persamaan diferensial yang bergantung tegangan, yang digambarkan,
dn n ( v )(1 n) n ( v ) n dt
(9a)
dm m (v )(1 m) m ( v) m dt
(9b)
dh h ( v )(1 h) h ( v ) h dt
(9c)
Dengan beberapa variabel yang diasumsikan,
m (v ) 0.1(v 40)(1 e (v 40 ) / 10 ) 1 , m (v ) 4e
( v 65 ) / 18
h (v) 0.07e ( v 65) / 20 , h (v) (e ( v 35) / 10 1) 1
(10a) (10b)
n (v) 0.01(v 55)(1 e ( v 55) / 10 ) 1 , n (v) 0.125e ( v 65) / 80 (10c)
Nilai konstanta lain yang terdapat pada persamaan yaitu g Na = 120, g K = 36 dan g L = 0.3 mmho cm-2, vNa = 50 mV, vK = -77 mV dan vL = -54.4 mV. Dari persamaan diatas (6 dan 9) terdapat empat persamaan diferensial biasa yang terkopel sehingga berdimensi (v, n, m, h) yang merupakan inti persamaan Hodgkin-Huxley. Kesuksesan dalam model ini adalah yaitu kemampuannya untuk memprediksi secara akurat hasil dari banyak pengamatan eksperimen.
2.3
Pengaruh Suhu Pada Model Hodgkin Huxley
Model Hodgkin Huxley original dikembangkan berdasarkan hasil eksperimen pengukuran pada suhu 6.30C. untuk suhu yang berbeda maka terdapat
10 faktor koreksi terhadap variabel dan , dan sangat efektif untuk banyak aplikasi (Fitzhugh R 1966; Kuang S 2008). Faktor koreksi tersebut adalah berupa mengkalikan bagian kanan persamaan (9) dengan faktor suhu k,
k 3 (T 6.3) / 10 2.4
(11)
Propagasi Potensial Aksi
Untuk propagasi potensial aksi, membrannya tereksitasi di atas ambang. Di bawah kondisi ini, persamaan sebagai berikut : im cm
v m iion v m , t t
(12)
dengan iion adalah arus ionik tiap unit panjang. Melalui substitusi Persamaan (12) ke Persamaan kabel (lampiran 1) berikut : 1 2 vm im ri re x 2
(13)
Diperoleh persamaaan atas-ambang yang sesuai adalah. : v 1 2 vm c m m iion (v m , t ) 2 ri re x t
(14)
Pada kondisi ini, untuk kasus khusus serat lingkar dengan radius a, parameter rm, cm, dan ri pada Persamaan (14) bisa diekspresikan dalam bentuk Rm, Cm, dan σi, yaitu secara berurutan, resistansi membran dikali unit luas, kapasitansi per unit luas, dan konduktivitas intraselular:
r m = Rm
2a
cm = 2πaCm
ri =
1 a 2
i
11
Dengan potensial membran lagi-lagi dinyatakan dalam bentuk deviasi dari nilai potensial diamnya (resting potential), Vr. Jika diasumsikan kabel melingkar dan re = 0, didapatkan, a i 2 v m v C m m I ion (v m , t ) 2 2 x t
(15)
Dengan Iion adalah arus ionik tiap unit luas membran. Dengan mengganti nilai Iion, didapatkan
a i 2 m C m m g K ( m Vr E K ) g Na ( m Vr E Na ) g L ( m Vr E L ) (16) 2 2 x t
Variasi pada konduktansi g K dan gNa diberikan oleh persamaan (7) dan (8) (Hodgkin AL & Huxley AF 1952; Gulrajani RM 1998; Muratov CB 2008).
2.5
Hipotesis Propagasi “Seragam”
Untuk mencari solusi dari potensial aksi propagasi, bagaimanapun, harus dipecahkan persamaan differensial parsial (16). Pada tahun 1952, dengan hanya menggunakan kalkulator mekanik sebagai panduannya, Hodgkin dan Huxley tidak memecahkan Persamaan (16). Namun, dengan dibantu pengamatan eksperimennya, mereka mengasumsikan bahwa potensial aksi muncul dengan kecepatan konstan sepanjang akson, dan, karena sifat regeneratif dari membran, tanpa adanya penurunan atau distorsi pada bentuk gelombangnya. Propagasi tanpa penurunan dengan kecepatan konstan ini dinamakan propagasi “seragam” . Sebagai hasilnya, dapat ditulis
2 m 1 2 m x 2 2 t 2
Persamaan (17)
terkenal sebagai “persamaan
(17)
gelombang”,
yang
menunjukkan posisi dari potensial aksi pada dua tempat sepanjang akson pada
12 waktu 0 dan t. Jika dimisalkan saat t = 0, variasi ruang dari potensial aksi sepanjang akson diberikan oleh ύm(x), di bawah dua asumsi dari Hodgkin dan Huxley, dapat dengan mudah dilihat bahwa untuk tiap nilai x dan t, harus diperoleh hubungan
m ( x, t ) m ( x t )
(18)
Akibatnya bisa ditulis turunan berikut:
m 2 m v 'm , v "m x x 2
(19)
2 m v m 2v "m v ' m , 2 t t
(20)
dengan persamaan awal menyatakan turunan dari ύm terhadap nilai (x – t). Jelas, dari Persamaan (19) dan (20), vm memenuhi persamaan gelombang Persamaan (17). Dengan melakukan substitusi Persamaan (17) ke dalam Persamaan (16), didapatkan
ai d 2vm dv Cm m gK vm Vr EK gNavm Vr ENa gL vm Vr EL 2 2 2 dt dt
(21)
Jika Persamaan (16) merupakan persamaan turunan parsial, maka persamaan (21) adalah persamaan turunan biasa. Hodgkin dan Huxley memecahkan Persamaan (21) dengan menggunakan prosedur trial-and-error yang melibatkan penerkaan nilai awal untuk kecepatan , dan menghitung hasil vm(t). Pemilihan nilai awal yang salah mengakibatkan nilai vm(t) yang mendekati takhingga. Solusi konvergen dari vm(t) hanya dihasilkan untuk nilai yang sesuai dengan kecepatan propagasi yang diamati pada pengamatan eksperimental pada bahan akson gurita. Lebih jauh lagi, solusi bentuk gelombang vm(t) dari nilai ini sangat mirip dengan bentuk gelombang dari potensial aksi eksperimental, sehingga melengkapi pengabsahan yang indah dari hipotesis propagasi seragam. (Gulrajani RM 1998; Muratov CB 2008).
13 Dengan mengasumsikan karakteristik membran (Cm, gK, g Na, gL) tetap tak berubah, setiap solusi dari Persamaan (21) tetap merupakan solusi jika nilai aσi/2Cm 2 konstan (=1/K). Lalu, kecepatan propagasi yang baru didapatkan dengan berbagai cara selain yang mempengaruhi membran, misalnya, yang didapatkan dengan merubah konduktivitas aksoplasmik atau dengan mengubah diameter akson, yang harus memenuhi hubungan
Ka i 2C m
1/ 2
(22)
Hubungan di atas pertama kali didemonstrasikan oleh Hodgkin dan Huxley (1952), selama akson diasumsikan propagasi seragam.
Dapat dilihat
bahwa kecepatan propagasi sebanding dengan akar kuadrat dari radius akson (Muratov CB 2008).
BAB 3 ANALISIS DAN SIMULASI MODEL HODGKIN-HUXLEY
3.1
Analisis Dinamika Model Hodgkin Huxley
Persamaan Hodgkin-Huxley berisi empat persamaan ODE terkopel dengan derajat nonlinear yang tinggi dan sangat sulit untuk dicari pemecahan secara matematikanya bahkan dengan menggunakan komputasi sekalipun. Tetapi meski tidak dapat dicari solusi secara eksaknya, dari persamaan tersebut disertai dengan parameter hasil eksperimen kita dapat mengambil banyak informasi mengenai perilaku eksitasi dan osilasi yang terjadi pada membran axon sel syaraf melalui grafik Dinamika potensial aksi dan variabel m, n, dan h.
3.1.1
Kasus Arus Stimulus I = 0
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan memasukan nilai-nilai parameter (10) dapat diperoleh grafik hubungan tiga variabel m, n dan h serta grafik Dinamika potensial aksi ketika tidak ada pemberian arus (impuls) eksternal .
(a) (b) Gambar 3. Sistem Dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat I = 0 ; (a) potensial aksi saat t = 5 ms, (b) Dinamika variabel m, h dan n saat t = 5 ms
15
Gambar 3 (a) menunjukan mekanisme potensial aksi yanng terdiri dari tiga tahapan, yang terdiri dari tahap pertama fase naik (Depolarization) yaitu peningkatan potensial yang tajam dan bernilai positif dalam gambar terlihat potensial maksimum pada 35-38 mV. tahap kedua fase jatuh (hyper-polarization) yaitu fase mengiringi fase naik yang cepat, terjadi penurunan drastis pada potensial membran yang akhirnya melampaui potensial istirahat hingga mencapai 75 mV. Fase ketiga adalah fase balik yaitu Potensial membran berangsur-angsur kembali ke nilai istirahat pada potensial sekitar 65-70 mV. Jika tidak ada arus eksternal yang mempengaruhi maka potensial membran akan konstan stabil pada kondisi istirahat yang terlihat dalam gambar 3 (a). Sedangkan gambar 3 (b) menggambarkan Dinamika antara variabel m, h dan n. Dari grafik terlihat bahwa variabel m merupakan variabel yang meningkat dan berubah paling cepat, dimana variabel m memiliki peranan fase pertama dari potensial aksi yaitu terjadinya depolarisasi, jika m adalah peluang membukanya tiga subunit saluran ion sodium (Na+) maka meningkatnya m menyebabkan terbukanya subunit saluran sodium dan membran menjadi berlimpah ion sodium (Na+) sehingga meningkatkan potensial aksi (Depolarization). Setelah variabel m meningkat kemudia diikuti dengan meningkatnya variabel n dengan perubahan yang lebih lambat. Variabel n memiliki peranan pada fase kedua potensial aksi yakni fase jatuh (hyper-polarization) karena jika variabel n adalah peluang membukanya empat subunit saluran ion potassium maka dengan meningkatnya variabel n menyebabkan banyak ion potassium yang keluar dari membran dan potensial membran menjadi turun sedangkan penurunan variabel n berarti peluang menutupnya saluran potassium sehingga potensial membran kembali pada fase istirahat. Sedangkan variabel h merupakan variabel yang paling lambat berubah, jika variabel h merupakan peluang menutupnya saluran sodium maka dengan meningkatnya h menyebabkan saluran sodium tertutup dan penurunan tegangan berlangsung sampai melebihi batas potensial istirahat. Potensial membran akan tetap stabil asimtotik pada fase istirahat jika tidak ada arus eksternal yang diberikan seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.
16 3.1.2
Kasus Arus Stimulus I > 0
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan memasukan nilai-nilai parameter (10) dapat diperoleh grafik hubungan tiga variabel m, n dan h serta grafik Dinamika potensial aksi ketika diberi arus (impuls) eksternal. Pada kasus arus eksternal diberikan sebesar 7 mA maka potensial aksi akan mengalami osilasi secara periodik. Begitupun dengan Dinamika variabel m, h dan n akan berosilasi secara periodik. Jika kita naikan terus arus eksternalnya maka frekuensi osilasi dari potensial aksi akan semakin besar. Pada gambar 5 dapat dilihat grafik osilasi potensial aksi dan Dinamika variabel m, h dan n pada kasus arus eksternal yang diberikan sebesar 15 mA.
(a)
(b)
(c) (d) Gambar 4. Sistem Dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat I > 0 ; (a) potensial aksi (mV) saat t = 100 ms saat diberi stimulus I = 7 mA, (b) Dinamika variabel m, h dan n saat t = 100 ms I = 7 mA, (c) potensial aksi (mV) saat t = 100 ms diberi stimulus I = 15 mA, (d) Dinamika variabel m, h dan n saat t = 100 ms diberi stimulus I = 15 mA
17
(a)
(b)
Gambar 5. Sistem Dinamika membran model Hodgkin-Huxley saat I =15 mA ; (a) grafik hubungan antara potensial aksi (mV) dan variable n, (b) grafik 3D hubungan antara V, n dan t
Dari grafik pada gambar 4 (c) terlihat jelas bahwa frekuensi osilasi dari potensial membran akan semakin bertambah seiring dengan bertambah besarnya arus eksternal yang diberikan , hal ini dapat terlihat jika kita membandingkan gambar 4 (a) dengan gambar 4(c). konsekuensi yang sama pun berlaku pada Dinamika variabel m, h dan n. Dalam gambar 4 (a) dan 4 (c) juga terlihat bahwa potensial maksimum sekitar 35 mV sedangkan potensial terendah sekitar – 70 mV. Gambar 5 (a) dan 5 (b) menggambarkan grafik ruang fase dari potensial aksi terhadap variabel n. Pada grafik terlihat ruang fase tersebut membentuk sebuah trayektori “stable limit cycle” disekitar titik yang ditunjukkan tanda panah. Titik tersebut sebenarnya merupakan titik kritis (steady state) dimana semua vektor dari kondisi awal akan mengelilinginya dan pada titik tersebut juga dimungkinkan merupakan titik tejadinya bifurkasi dari satu keadaan ke keadaan yang lain. Secara lebih lengkap titik kritis tersebut akan dibahas pada model Fitzhugh-Nagumo.
3.2
Simulasi Pengaruh Suhu pada Potensial Aksi Model Hodgkin-Huxley
Dengan memasukan faktor koreksi suhu pada persamaan Hodgkin-Huxley, untuk arus stimulasi I = 0 dan mensubstitusikan suhu yang divarisikan diperoleh grafik pengaruh suhu terhadap potensial aksi sebagai berikut:
18
Gambar 6. Sistem Dinamika model Hodgkin-Huxley dengan variasi suhu 6.30C, 18.50C, 250C, dan 320C
Dalam gambar 6. memperlihatkan semakin besar suhu yang diberikan maka terjadinya potensial aksi semakin cepat (Depolarization) karena gerakan ion sodium semakin cepat dengan meningkatnya suhu sesuai dengan teori yang mendasarinya (Fitzhugh R 1966; Kuang S 2008).
3.3
Metode Numerik Penentuan Kecepatan Propagasi Potensial Aksi
Dengan sedikit manipulasi matematika persamaan (21) yang merupakan persamaan diferensial orde dua dapat diubah menjadi persamaan diferensial biasa berode satu (Scott AC 2002; Muratov CB 2008), melalui pemisalan sebagai berikut : dv w dt
(23)
dw 2 2 Cm (w ( g K n 4 (v vK ) g Na m3h(v vNa ) g l (v vL )) / Cm ) (24) dt a i dn n ( v )(1 n) n ( v ) n dt
(9a)
dm m (v )(1 m ) m ( v) m dt
(9b)
dh h ( v )(1 h) h ( v ) h dt
(9c)
19
Sekarang persamaan (21) telah diubah menjadi persamaan diferensial biasa berode satu yang terkopel sehingga terdapat lima variabel (v, w, n, m, h) yang merupakan fungsi waktu. Dengan teknik trial and error akan dihitung besarnya kecepatan propagasi potensial aksi pada axon gurita, sebagai berikut :
Gambar 7. Propagasi Potensial aksi pada saat K = 10470
Dengan memasukan data tentang akson tak bermyelin dengan a = 0.0238 cm, 1 / 35.4(.cm) 1 , C m 1F / cm 2 diperoleh kecepatan propagasi ( persamaan 22) potensial aksi sebesar 18.80 m/s pada suhu 6.30C ketika tidak ada arus stimulus eksternal. Sedangkan ketika diberikan stimulus arus eksternal maka tentunya kecepatan propagasinya akan semakin besar karena frekuensi osilasinya bertambah besar, hasil ini terdapat kesesuaian dengan penelitian sebelumnya (Muratov CB 2008).
BAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO 4.1
Model Dinamika Neuron Fitzhugh-Nagumo
Dalam papernya pada tahun 1961, Fitzhugh mengusulkan untuk menerangkan model Hodgkin-Huxley menjadi lebih umum, yang di dalamnya terdapat eksitasi dan osilasi. Pendekatan serupapun telah dilakukan secara terpisah oleh Nagumo (1962), sehingga model itu disebut persamaan Fitzhugh- Nagumo. Untuk menghindari kesalahan persepsi, maka harus ditegaskan bahwa tujuan utama model ini tidak untuk menggambarkan kandungan kuantitatif secara akurat dari impuls axon, variabel dari persamaan tersebut memiliki apa yang disebut ketidaktelitian dan hubungan relasi tidak berhubungan secara eksak dari fakta fisiologi atau hanya perkiraan saja. Juga, sistem ini menjadi lebih sederhana. Dimana, kita bisa menunjukkan interaksi singkat antara variabel yang menunjukkan sebuah eksitasi dan osilasi (impuls berulang). Persamaan Fitzhugh (persamaan tak berdimensi),
dv 1 v v3 w I dt 3 dw ( v a bw ) dt
(25)
Dimana v menggambarkan rangsangan pada sistem dan diidentifikasi dengan tegangan (potensial membran pada oxon), w adalah variabel recovery (kembali ke keadaan awal) yang menggambarkan kombinasi gaya untuk kembali pada keadaan dimana membran axon istirahat, dan I merupakan arus listrik sebagai stimulus untuk membuat eksitasi (arus input). dalam fisiologi, impuls dapat berupa fungsi bertahap atau pulsa periodik (Mishra D et al 2006).
21
4.2
Teori Dasar Sistem Dinamika
4.2.1
Sistem Dinamika dan Deterministik
Dinamika berhubungan dengan perubahan perilaku sistem terhadap waktu. Sistem dinamika dapat bersifat konservatif atau disipatif. Sistem yang konservatif memiliki energi yang konstan terhadap waktu, sedangkan sistem yang disipatif kehilangan energi terhadap waktu. Salah satu sistem yang konservatif adalah bandul sederhana. Pada bandul sederhana gesekan udara diabaikan sehingga energi potensial dan kinetik sistem konstan untuk setiap waktu. Sebaliknya jika gesekan udara diperhitungkan, ada energi dalam sistem yang terus menerus berkurang terhadap waktu dalam bentuk energi panas atau gesekan maka sistem ini bersifat disipatif (Guckenheimer J& Holmes P 1983). Sebuah sistem yang perilakunya dimasa depan ( atau dimasa lalu ) dapat diperkirakan bila kondisi awalnya diketahui adalah sistem yang deterministik. Setiap sistem mekanik klasik adalah deterministik. Contohnya pada hukum gerak Newton, jika posisi dan momentum pada suatu waktu dapat ditentukan maka perilaku sistem dapat ditentukan untuk waktu-waktu lainnya. Sedangkan sistem non-deterministik menggunakan konsep probabilitas untuk menggambarkan perilakunya terhadap waktu. Molekul gas dalam termoDinamika, teori kinetik gas, gerak brown, dan kuantum merupakan contoh sistem probabilistik (Guckenheimer J & Holmes P 1983).
4.2.2
Persamaan Differensial Orde Pertama
Sistem persamaan differensial orde pertama interaksi dua persamaan differensial terkopel (Hirsch MW et al 2004) dapat dinyatakan sebagai:
dx f1 ( x, y ) dt dy f 2 ( x, y ) dt
(26)
22 f1 dan ,f2 adalah fungsi kontinu bernilai real dari x dan y, dengan laju perubahan x dan y sendiri dan tidak mengandung t di dalamnya. Sistem persamaan differensial disebut sebagai sistem persamaan differensial mandiri (Autonomous).
4.2.3
Titik Kritis (critical point)
Analisis sistem persamaan differensial sistem dua persmaan terkopel sering digunakan untuk menentukan solusi yang tidak berubah terhadap waktu (Hirsch MW et al 2004), yaitu untuk tiap dx / dt 0, dy / dt 0 . Titik kritis ( x * , y * ) dari sistem dapat diperoleh dengan menentukan
dx / dt 0, dy / dt 0
4.2.4
(27)
Konstruksi Matrik Jacobi
Dengan melakukan pelinieran pada persamaan interaksi dua persamaan terkopel maka diperoleh matriks Jacobi (Hirsch MW et al 2004) berikut :
f1 x Ji 1 f 2 x1
4.2.5
f1 x 2 f 2 x 2
(28)
Vektor Eigen dan Nilai Eigen
Diberikan matrik dengan koefisien konstan J berukuran n n dan SPD homogen berikut:
x Jx , x(0) x 0 Suatu vektor tak nol x dalam ruang
n
(29) disebut vektor eigen dari J jika
untuk suatu skalar berlaku:
Jx x Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari J.
(30)
23 Untuk mencari nilai eigen dari matrik J maka persamaan (30) dapat ditulis kembali sebagai:
( J I ) x 0
(31)
Dengan I matrik diagonal satuan. Persamaan (31) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
p( ) det(J I ) J I 0
(32)
Persamaan (32) disebut persamaan karakteristik dari matrik Jacobi (Hirsch MW et al 2004).
4.2.6
Orbit Kestabilan
Berdasarkan uraian di atas maka kestabilan titik kritis memiliki tiga kondisi (Hirsch MW et al 2004), yaitu
Stabil, jika : a. tiap nilai eigen real adalah negatif ( i 0 untuk semua i ) b. tiap komponen nilai eigen kompleks adalah lebih kecil atau sama dengan nol, Re (i ) 0 untuk setiap i.
Tak Stabil, jika : a. tiap nilai eigen real adalah positif ( i 0 untuk semua i ) b. tiap komponen nilai eigen kompleks adalah lebih besar dari nol, Re( i ) 0 untuk semua i.
Saddle, jika : Perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif (i j ) 0 untuk sembarang i dan j. Titik saddle ini bersifat tak stabil.
24
(a)
(b)
(c)
(d) (e) (f) Gambar 8. Orbit kestabilan disekitar titik kritis; (a) spiral stabil, (b) spiral tak stabil, (c) titik saddle, (d) center, (e) titik stabil dan (f) titik tak stabil (Hirsch MW et al 2004)
4.2.7
Bifurkasi Hopf
Bifurkasi secara sederhana dapat diartikan sebagai suatu perubahan karakteristik orbit kestabilan disuatu titik kritis yang biasanya ditandai dengan kehadiran suatu limit cycle. Sebagai contoh sederhana terjadinya bifurkasi pada persamaan van der Pol berupa persamaan diferensial pada R2 (Hirsch MW et al 2004).
dx y x 3 x dt dx x dt
(33)
Dengan parameter berada pada interval [-1, 1]. Dengan menggunakan Linierisasi diperoleh nilai eigen berikut :
1 2 4 2
(34)
Kemudian dari nilai eigen tersebut dapat diamati sebuah bifurkasi pada titik kritisnya ketika parameter divariasikan sebagai berikut :
25
Gambar 9. Bifurkasi pada persamaan van der Pol ketika parameter (Hirsch MW et al 2004)
4.3
divariasikan
Penentuan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo
Untuk memperoleh letak titik kritis dapat ditentukan melalui analisis nullcline dari tiap persamaan Fitzhugh-Nagumo ,yaitu sebagai berikut, v nullcline terjadi pada saat w 0 , sehingga diperoleh; 1 w v v3 I 3
(35)
w nullclline terjadi pada saat v 0 , sehingga diperoleh; w
va b
(36)
Dari persamaan (35) dan (36) di peroleh persamaan kubik sebagai berikut, 1 3 a v v 1 I 0 3 b
(37)
Dari persamaan (37) dapat diperoleh tiap titik kritis untuk setiap arus eksternal yang diberikan (Izhikevich EM 2007).
26 4.4
Matrik Jacobian Model Fitzhugh-Nagumo
Dengan mensubstitusikan persamaan (25) kedalam persamaan Jacobi (28) diperoleh matriks Jacobi untuk model Fitzhugh-Nagumo sebagai,
1 v 2 J
4.5
1 b
(38)
Nilai Eigen dan Syarat Kestabilan Model Fitzhugh-Nagumo
Dari persamaan (32) diperoleh persamaan karakteristik untuk persamaan Fitzhugh-Nagumo :
2 ( 1 vˆ 2 b ) ( b bvˆ 2 ) 0
(39)
Sehingga nilai eigen dari persamaan karakteristik tersebut dapat ditulis sebagai 1, 2
(1 vˆ 2 b ) (1 vˆ 2 b ) 2 4(b bvˆ 2 ) 2
(40)
Maka kondisi stabil dari ruang fase akan diperoleh jika memenuhi ketentuan, 1 vˆ 2 b 0 b bvˆ 2 0
4.6
(41)
Analisis Kestabilan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo
Melalui perhitungan numerik menggunakan software Maple 11, dengan mensubstitusikan parameter ke dalam persamaan (25) dapat diperoleh nilai eigen dari tiap parameter yang divariasikan dan melalui simulasi Matlab 7.01 diperoleh grafik ruang fase dan Dinamika dari tiap parameter yang digunakan pada persamaan Fitzhugh – Nagumo. Melalui analisis kestabilan dari nilai eigennya kita dapat menentukan jenis kestabilan yang terjadi di sekitar titik kritisnya dan parameter kritis terjadinya bifurkasi pada titik kritisnya (Hirsch MW et al 2004; Izhikevich EM 2007). Dalam penelitian ini yang akan divariasikan adalah
27 besarnya arus eksternal yang diberikan I dan parameter tetap yaitu a = 0.7, b = 0.8, = 0.08.
Dengan menggunakan software maple 11 diperoleh hasil
numerik sebagai berikut : Tabel 1. Analisis numerik kestabilan titik kritis model Fitzhugh-Nagumo
No 1
Variasi Ieks 0.00
Titik kritis -1.1994,-0.6243
Nilai eigen -0.2513 0.211900 i
kestabilan Spiral stabil
2
0.32
-0.9769,-0.3461
-0.009176 0.2774 i
Spiral stabil
3
0.33
-0.9685,-0.3357
-0.001045 0.2757 i
Limit cycle
4
0.50
-0.1311,-0.8048
+0.1441 0.191500 i
Spiral tak stabil
5
1.25
1.8810, 0.8048
+0.1441 0.191500 i
Spiral tak stabil
6
1.42
2.0857, 0.9685
-0.001045 0.2757 i
Spiral stabil
7
1.43
0.9769, 2.0961
-0.009176 0.2774 i
Spiral stabil
8
1.45
0.9933, 2.1166
-0.02532 0.28020 i
Spiral stabil
9
1.50
2.1656, 1.0325
-0.06501 0.282800i
Spiral stabil
10
2.00
1.3341, 2.5426
-0.6412, -0.2026
Stabil node
4.6.1
Kasus Arus Stimulus I = 0
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t.
(a) (b) Gambar 10. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 0 ; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
28 Dari perhitungan numerik pada tabel 1 diketahui bahwa ketika arus yang eksternal yang diberikan I = 0 maka menghasilkan nilai eigen berupa nilai kompleks dengan bagian real bernilai negatif menunjukkan bahwa titik kritis tersebut bersifat spiral stabil artinya berapapun kondisi awal yang diberikan maka trayektorinya akan menuju titik kritis tersebut membentuk spiral. Namun, jika dilihat pada grafik Dinamikanya terhadap waktu maka pada saat I = 0 tidak tejadi osilasi karena potensial aksi dan potensial recovery langsung menuju kestabilan yaitu pada saat neuron berada pada fase istirahat. Gambar 10 model FitzhughNagumo menunjukkan suatu kemiripan secara kualitatif dengan gambar 3 pada model Hodgkin-Huxley.
4.6.2
Kasus Arus Stimulus I = 0.33
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t. Gambar 11 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat “stable limit cycle.“ Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal yang diberikan I = 0.33 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real mendekati nol sehingga terbentuk trayektori yang bergerak mengelilingi titik kritisnya dengan lintasan tertutup. Pada gambar 11(b) dan 11(c) terlihat terjadinya osilasi potensial aksi v dan potensial recovery w menuju kestabilan. Gambar 11 dari model FitzhughNagumo memiliki kesamaan secara kulitatif dengan gambar 5 dari model Hodgkin-Huxley. Dari gambar terlihat potensial aksi berbeda fase dengan potensial recovery secara periodik.
29
(a)
(b)
(c) (d) Gambar 11. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 0.33 ; (a) bidang fase antara v dan w bersifat stabil limit cycle , (b) Dinamika v, w terhadap waktu t = 100 (c) Dinamika v, w terhadap waktu t = 100 dan (d) grafik 3D v,w terhadap t
Melalui analisis bifurkasi Hopf (Hirsch MW et al 2004; Medvedev GS, Yoo Y 2007), pada parameter
I = 0.33 merupakan parameter kritis terjadinya
transisi dari orbit spiral stabil menjadi orbit trayektori“limit cycle“ dan ketika parameter I dinaikan menjadi I = 0.5 mulai terjadi transisi dari stabil“limit cycle“ menjadi spiral tak stabil sebagaimana terlihat dalam tabel 1.
4.6.3
Kasus Arus Stimulus I = 1.25
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t. Gambar 12 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat spiral tak stabil. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal yang diberikan I = 1.25 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real bernilai positif
sehingga
30 terbentuk trayektori yang bergerak menjauhi
titik kritisnya dengan lintasan
tertutup sehingga sifat titik kritisnya merupakan spiral tidak stabil.
(a) (b) Gambar 12. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.25 ; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral tak stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
Dari gambar 11 (c) dan 12 (b) memperlihatkan fenomena osilasi pada potensial aksi yang frekuensinya bertambah besar seiring dengan bertambah besarnya arus eksternal yang melewati membran, hal ini sejalan dengan hasil yang didapat pada model Hodgkin-Huxley. Melalui analisis bifurkasi Hopf (Hirsch MW et al 2004; Medvedev GS, Yoo Y 2007), pada parameter
I = 0.25
merupakan parameter kritis terjadinya transisi dari orbit spiral tak stabil menjadi orbit trayektori spiral stabil menuju keadaan istirahat.
4.6.4
Kasus Arus Stimulus I = 1.43
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t. Gambar 13 berikut memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat spiral stabil. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal yang diberikan I = 1.43 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real bernilai negatif terbentuk trayektori yang bergerak mendekati
sehingga
titik kritisnya dengan lintasan
tertutup sehingga sifat titik kritisnya merupakan spiral stabil. Pada gambar 13(b) mulai memperlihatkan fenomena berkurangnya osilasi akibat adanya ateunasi
31 dimana berapapun arus diperbesar tidak akan mempengaruhi potensial aksi yang bergerak menuju kestabilan pada keadaan istirahat.
(a) (b) Gambar 13. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.43 ; (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
4.6.5
Kasus Arus Stimulus I = 1.45
Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t.
(a) (b) Gambar 14. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 1.45 (a) bidang fase antara v dan w bersifat spiral stabil (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
Gambar 14 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat spiral stabil. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal yang diberikan I = 1.45 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai eigen kompleks dengan bagian real bernilai negatif sehingga terbentuk trayektori
32
yang bergerak mendekati titik kritisnya dengan lintasan tertutup sehingga sifat titik kritisnya merupakan spiral stabil. Pada gambar 14 (b) mulai memperlihatkan fenomena berkurangnya osilasi akibat adanya ateunasi dimana berapapun arus diperbesar tidak akan mempengaruhi potensial aksi yang bergerak menuju kestabilan pada keadaan istirahat. Pada konsisi ini penambahan arus eksternal hanya akan menambah kecepatan potensial membran menuju stabil pada keadaan istirahat.
4.6.6
Kasus Arus Stimulus I = 2 Melalui simulasi numerik menggunakan software Matlab 7.01, dengan
mensubstitusikan nilai parameter ke persamaan (25) dapat diperoleh grafik hubungan antara v dan w serta Dinamika v, w terhadap waktu t.
(a) (b) Gambar 15. Sistem Dinamika membran model Fitzhugh-Nagumo saat I = 2 ; (a) bidang fase antara v dan w bersifat stabil node (b) Dinamika v, w terhadap waktu t.
Gambar 15 memperlihatkan suatu kodisi bidang fase bersifat
stabil
asimtotik. Jika dilihat dari nilai eigennya dari tabel 1. menunjukkan ketika arus eksternal yang diberikan I = 2 maka akan menghasilkan titik kritis yang memiliki nilai eigen real bernilai negatif mendekati
sehingga terbentuk trayektori yang bergerak
titik kritisnya tanpa osilasi.
Keadaan ini memperlihatkan bahwa
potensial membran sudah stabil sehingga arus yang diperbesar tidak lagi berpengaruh. Melalui analisis bifurkasi Hopf (Hirsch MW et al 2004; Medvedev GS, Yoo Y 2007), pada parameter I = 2.0 merupakan parameter kritis terjadinya
33 transisi dari orbit spiral stabil menjadi orbit trayektori stabil node menuju keadaan istirahat yang sudah tidak dipengaruhi lagi oleh perubahan oleh arus eksternal.
BAB 5 SINKRONISASI CHAOTIK NEURONAL NETWORK
5.1
Gejala Chaos Model Neuron Fitzhugh Nagumo
Jika pada pembahasan sebelumnya, yang menjadi parameter adalah arus stimulasi eksternal kontinu dapat menghasilkan bidang fase yang bersifat periodik, maka jika arus stimulasi eksternal berupa arus periodik sinusoidal yang merupakan fungsi waktu akan diperoleh grafik bidang fase yang merupakan gejala chaos, dengan ciri utama memiliki sensitifitas yang yang tinggi terhadap perubahan kondisi awal meski tetap bersifat deterministik, dan munculnya attractor asing (Guckenheimer J & Holmes P 1983). Persamaan Dinamika model Fitzhugh-Nagumo untuk neuron tunggal tak terkopel disajikan dalam persamaan (25). Parameter yang digunakan dalam simulasi model tersebut antara lain a = 0.7, b = 0.8 dan = 0.08. serta dengan memvariasikan arus stimulan yang diberikan. Telah diperoleh dari tabel 1 titik equilibrium pada saat I = 0 berada pada (v*, w*) = ( -1.1994, -0.6243 ) dengan nilai eigen pada titik ini sebesar (-0.2513 0.211900 i ). Jadi dengan memvariasikan arus stimulan akan diperoleh kestabilan asimtotik di sekitar titik equilibrium pada I = 0, dan dengan memvariasikan arus stimulan yang diberikan maka akan menghasilkan beberapa sifat bifurkasi seperti pada tabel 1. Dalam pembahasan ini, arus stimulan eksternal yang diberikan berupa arus periodik sinusoidal dengan fungsi berikut (Mishra D et al 2006),
I (t ) ( A / ) cos(t )
(42)
Dimana A merupakan magnitudo arus stimulasi dan merupakan frekuensi arus stimulasi yang diberikan. Dalam penelitian ini magitudo dibuat konstan A = 0.71 sedangan yang frekuensi arus stimulan divariasikan. Hasil simulasi menggunakan software Matlab 7.01 diperoleh seperti pada gambar berikut :
35
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) (f) Gambar 16. Model Fitzhugh-Nagumo saat A = 0.7 ; (a) respon waktu saat = 0.4 (b) bidang fase saat = 0.4 , (c) respon waktu saat = 0.8145 (d) bidang fase saat = 0.8145 , (e) respon waktu saat = 0.93, (f) bidang fase saat = 0.93
Dalam gambar diatas terlihat begitu besar pengaruh dari variasi frekuensi arus stimulasi eksternal yang mempengaruhi dapat menyebabkan perubahan
36 perilaku dinamikanya dari sifat periodik pada gambar 16.a dan 16.b sampai pada perilaku dinamika yang bersifat chaotik seperti terlihat pada gambar 16 e dan 16 f.
5.2
Sensitivitas Terhadap Kondisi Awal
Telah terlihat pada gambar 16 terjadinya bifurkasi pada bidang fase dari kondisi periodik seperti gambar 16.a menjadi kondisi chaotik seperti terlihat pada gambar 16.e. Pada kondisi chaotik ini memiliki sifat yang khas yaitu amat sensitif terhadap perubahan kondisi awal. Pada gambar berikut diperlihatkan adanya gejala sensitivitas terhadap perubahan kondisi awal dari potensial aksi yang merupakan ciri gejala chaotik (Guckenheimer J & Holmes P 1983).
Gambar 17. Model Fitzhugh-Nagumo saat A = 0.7 dan = 0.945 serta memvariasikan kondisi awal potensial aksi V0
Dalam gambar 17. memperlihatkan adanya perubahan Dinamika potensial aksi ketika kondisi awal potensial aksinya sedikit diubah yaitu V0 = 2.0000, V0 = 2.0001 dan V0 = 2.0002. Sistem jaringan syaraf terdiri dari banyak sel syaraf (neuron) yang bekerja sama menerima, meneruskan dan mengolah atau menyimpan sinyal eksternal yang diterima oleh tubuh. Dalam otak kita terdapat sekitar 1011 buah neuron yang menjadi penyusunnya. Oleh karena itu penting untuk diketahui bagaimana mekanisme kerjasama antar neuron membentuk suatu jaringan (network neuronal). Dalam penelitian ini akan dilakukan pemodelan dan simulasi sistem
37 jaringan syaraf berdasarkan teori sinkronisasi yang terjadi antar neuron (AzizAlaoui MA 2006). Sinkronisasi secara umum merupakan karakteristik banyak proses dalam sistem alam dan sains nonlinier serta meruapakan salah satu dasar fenomena nonlinier yang dipelajari dalam matematika, fisika, teknik dan ilmu biologi. Sinkronisasi berasal dari bahasa Yunani dari kata syn = umum dan chronos = waktu, sehingga dapat diartikan berbagi waktu secara umum atau terjadi pada waktu yang sama, yang merupakan korelasi atau kesesuaian waktu dari proses yang berbeda (Aziz-Alaoui MA 2006). Kemudian sinkronisasi dua sistem Dinamika secara umum diartikan suatu sistem dengan cara tertentu terkait dengan gerakan (Dinamika) sistem yang lain. Osilator Chaotik ditemukan dalam banyak sistem Dinamika. Perilaku sistem dikarakterisasi dengan ketidakstabilan, dan sebagai hasilnya tidak dapat diprediksi (terbatas pada rentang waktu kecil). Secara kasar sistem dikatakan chaotik jika tetap deterministik (tidak acak), jika memiliki karakter takperiodik dalam rentang waktu yang besar, dan jika memiliki sensitifitas yang tinggi terhadap perubahan kondisi awal yang diberikan. Konsekuensinya, untuk sebuah sistem chaotik, lintasan awal berubah-ubah mendekati satu sama lain berbeda eksponensial terhadap waktu, dan dengan cepat menjadi tak terkait. Hal ini menyebabkan dua sistem chaotik yang identik tak dapat disinkronisasi. Hal ini berarti bahwa mereka tak dapat memproduksi sinyal chaotik identik, terkecuali jika kondisi awal secara eksak dibuat sama, yang secara umum menurut fisika tidaklah mungkin. Sehingga keadaan chaos dipercaya takbisa terkontrol dan kemudian takbisa digunakan (Aziz-Alaoui MA 2006). Meskipun demikian, dalam beberapa dekade, penelitian sinkronisasi telah bergeser kepada sistem chaotik. Banyak peneliti yang tertarik dan sebagai hasilnya, menunjukkan bahwa dua sistem chaotik dapat disinkronisasi dengan mengkopling sistem tersebut. Sinkronisasi chaos kemudian terkenal dan sistem chaos banyak dikembangkan. Sejak itu banyak peneliti yang mendiskusikan teori, desain atau aplikasi gerak sinkronisasi pada sistem chaotik terkopel.
Maka
berkembanglah banyak aplikasi, seperti untuk meningkatkan kekuatan laser, untuk mensinkronisasi output sirkuit elektronik, untuk mengkontrol osilasi pada reaksi
38 kimia, atau untuk mengkode pesan elektronik untuk keamanan komunikasi (AzizAlaoui MA 2006).
5.3
Kopling Neuron Model Fitzhugh-Nagumo
Mari kita perhatikan sebuah jaringan dari n buah neuron FitzhughNagumo. Neuron ini terkopel oleh variabel v. Jaringan ini dapat dimodelkan sebagai sistem : dv i 1 3 v i v i wi I h(vi , v j ) dt 3 dw i (v i a bw i ) dt
Dimana , i j , i 1,..., n,
(43)
j 1,..., n dan arus stimulus ( I ) yang
diberikan berupa fungsi sinusoidal bergantung waktu.
Fungsi kopling h diberikan sebagai :
n
h(vi , v j ) (vi Vs ) g s cij (v j )
(44)
j 1
Dimana kopling sinaptik dimodelkan sebagai fungsi sigmoid (Lange E et al 2005; Belykh I & Shilnikov A 2008) dengan batas :
(v j )
1 1 exp( (v j s ))
(45)
s adalah ambang yang dicapai oleh setiap potensial aksi dari sebuah neuron. Neuron-neuron tersebut dibuat identik dan sinapsis terjadi sangat cepat dan saat itu juga. Parameter gs berkaitan dengan kekuatan kopling sinaptik. Sinapsis tereksitasi, karena itu kenapa potensial pembalik Vs harus lebih besar dari vi (t) untuk semua i dan semua t (Lange E et al 2005; Belykh I & Shilnikov A 2008).
39
C n (cij ) adalah matrik koneksi n n : cij 1 jika i dan j terkoneksi, i = 1,...,n, j = 1,...,n
cij 0 jika i dan j tidak terkoneksi
Matrik C ini dapat simetri ataupun tidak, sehingga kopling satu arah atau dua arah dimungkinkan. Solusi sinkronisasi ada jika dan hanya jika setiap neuron memiliki input yang sama dari neuron yang lain (Lange E et al 2005; Belykh I & Shilnikov A 2008).
5.3.1
Model Dua Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo
Langkah awal dalam hal ini adalah mengadaptasi metode sebelumnya untuk dua neuron Fitzhugh-Nagumo. Dalam kasus ini, kita gunakan dua arah koneksi karena jumlah input harus sama untuk semua neuron agar memiliki solusi sinkronisasi (Corson N & Aziz-Alaoui MA 2007).
v1
v2
0 1 C2 1 0
Sinkronisasi dua arah untuk dua neuron dan matrik koneksivitas C2. Sistem dua neuron terkopel model Fitzhugh-Nagumo berdasarkan persamaan (43) dan (44) dapat ditulis sebagai,
dv1 1 3 1 v1 v1 w1 I (v1 Vs ) g s dt 3 1 exp( (v 2 s )) dw1 (v1 a bw1 ) dt dv 2 1 1 v 2 v 23 w2 I (v 2 Vs ) g s dt 3 1 exp( (v1 s )) dw2 (v 2 a bw2 ) dt
(46)
40 Dengan parameter tetap yaitu : a = 0.7, b = 0.8, = 0.08, Vs = 1, s = -0.25, =1 sedangkan I merupakan arus stimulus eksternal yang merupakan
fungsi waktu sinusoidal I (t ) ( A / ) cos(t ) , dengan A = 0.71 dan = 0.95.
(a)
(b)
(c) (d) Gambar 18. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama ; (a) gs = 0.1, (b) gs = 0.125, (c) gs = 0.1255 , dan (d) gs = 0.15
Dalam penelitian ini diperoleh sinkronisasi dengan pendekatan numerik terjadi pada kekuatan kopling g s 0.15 . Fenomena ini juga dapat diamati untuk variabel recovery w untuk parameter numerik yang sama.
41 5.3.2
Model Tiga Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo
Pada kasus tiga neuron inipun, kita menggunakan dua arah koneksi karena jumlah input (dua) harus sama untuk semua neuron agar memiliki solusi sinkronisasi (Corson N & Aziz-Alaoui MA 2007).
1 0 0 C3 0 1 0 0 0 1 Sinkronisasi dua arah untuk tiga neuron dan matrik koneksivitas C3.
Sistem tiga neuron terkopel model Fitzhugh-Nagumo dapat ditulis sebagai,
dv1 1 3 1 1 v1 v1 w1 I (v1 Vs ) g s ( ) dt 3 1 exp((v2 s )) 1 exp( (v3 s )) dw1 (v1 a bw1 ) dt dv2 1 1 1 v2 v23 w2 I (v2 Vs ) g s ( ) dt 3 1 exp( (v1 s )) 1 exp( (v3 s )) (47) dw2 (v2 a bw2 ) dt dv3 1 1 1 v3 v33 w3 I (v3 Vs ) g s ( ) dt 3 1 exp( (v1 s )) 1 exp((v2 s )) dw3 (v3 a bw3 ) dt
42
(a)
(b)
(c) (d) Gambar 19. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama ; (a) gs = 0.01, (b) gs = 0.062, (c) gs = 0.064 , dan (d) gs = 0.069.
Nilai kekuatan kopling minimum unrtuk dapat menghasilkan sinkronisasi adalah sekitar g s 0.069 . Fenomena ini juga dapat diamati untuk variabel recovery w untuk parameter numerik yang sama.
5.3.3
Model Empat Neuron Terkopel Fitzhugh-Nagumo Pada kasus empat neuron, kita menggunakan dua arah koneksi karena
jumlah input (dua) harus sama untuk semua neuron agar memiliki solusi sinkronisasi (Corson N & Aziz-Alaoui MA 2007).
43
Sinkronisasi dua arah untuk model empat neuron Dengan menggunakan persamaan (36) dan (37) dapat disusun persamaan diferensial terkopel yang menggambarkan model empat neuron. Melalui metode komputasi diperoleh grafik berikut:
(a)
(b)
(c) (d) Gambar 20. Bidang fase antara v1 dan v2 dengan memvariasikan kekuatan kopling gs saat kondisi awalnya tak sama ; (a) gs = 0.015, (b) gs = 0.018, (c) gs = 0.019 , dan (d) gs = 0.0195.
44
Nilai kekuatan kopling minimum unrtuk dapat menghasilkan sinkronisasi adalah sekitar g s 0.0195 . Dari beberapa model kopling neuron diatas terlihat jika jumlah neuron n semakin banyak maka ambang sinkronisasi gs akan semakin kecil.
BAB 6 SIMPULAN DAN SARAN
Sistem propagasi sinyal dari satu neuron ke neuron lainya merupakan peristiwa elektrokimia yang sangat kompleks. Melalui model Hodgkin-Huxley diperoleh bahwa pada membran terdapat saluran-saluran khusus yang hanya dapat dimasuki oleh ion tertentu, dalam eksperimen yang dilakukannya HodgkinHuxley menyatakan bahwa terdapat dua saluran utama membran yaitu saluran potassium (ion K+) dan saluran sodium (ion Na+). Kedua saluran tersebut dihipotesiskan dipengaruhi oleh tiga variabel yaitu m, h dan n. Variabel m merupakan probabilitas aktivasi (terbukanya) saluran sodium sedangkan h adalah probabilitas inaktivasi (tertutupnya) saluran sodium dan variabel n yang merupakan probabilitas aktivasi saluran potassium. Dari grafik hasil simulasi parameter Hodgkin-huxley diketahui bahwa m berubah secara cepat sehingga berpengaruh sebagai penyebab terjadinya depolariazation potensial aksi kemudian diikuti dengan variabel n yang menyebabkan setelah mencapai puncak, potensial aksi akan mengalami hyper-polarization dan h merupakan variabel yang paling lambat berubah memiliki peranan sebagai penyebab potensial aksi turun melebihi batas potensial istirahat. Selain itu dalam penelitian ini juga diperoleh grafik pengaruh suhu terhadap terjadinya potensial aksi, dalam penelitian diperoleh bahwa semakin besar suhu yang diberikan maka terjadinya potensial aksi semakin cepat (Depolarization) karena gerakan ion sodium semakin cepat dengan meningkatnya suhu sesuai dengan teori yang memasukan data tentang akson tak bermyelin
mendasarinya. Dengan
dengan a = 0.0238 cm,
2 1 / 35.4(.cm)1 , C m 1F / cm diperoleh kecepatan propagasi potensial aksi
sebesar 18.80 m/s pada suhu 6.3 0C ketika tidak ada arus stimulus eksternal. Sedangkan ketika diberikan stimulus arus eksternal maka kecepatan propagasinya akan semakin besar karena frekuensi osilasinya bertambah besar, hasil ini terdapat kesesuaian dengan penelitian sebelumnya. Dari analisis Dinamika persamaan Fitzhugh-Nagumo diperoleh grafik ruang fase yang amat bergantung pada besarnya arus eksternal yang diberikan.
46 Saat arus eksternalnya nol maka tidak terjadi osilasi tetapi setelah pemberian arus eksternal terjadi osilasi pada potensial membran yang memiliki frekuensi bergantung pada arus yang diberikan. Tetapi terdapat batas arus maksimal dimana ketika arus dinaikan tidak lagi terjadi osilasi potensial membran karena potensial sudah stabil asimtotik. Dari pendekatan teori dinamika juga terlihat terjadinya bifurkasi atau perubahan sifat titik kritis ketika parameternya diubah dalam hal ini arus eksternal dan memenuhi teori bifurkasi Hopf dengan kemunculan titik kritis bersifat ”Stable Limit Cycle”. Dalam penelitian inipun dikaji terjadinya gejala chaotik ketika arus stimulus yang diberikan berupa arus stimulus eksternal yang periodik sinusoidal. Pembahasan terakhir dalam penelitian ini adalah mekanisme komunikasi antara beberapa neuron membentuk jaringan syaraf dengan pendekatan teori sinkronisasi diperoleh bahwa dengan semakin banyaknya neuron yang berinteraksi maka terjadinya ambang sinkronisasi semakin kecil. Dari simulasi yang dibuat terlihat adanya pengaturan diri (self-organization) dari sel neuron yakni ketika jumlah neuron yang berinteraksi semakin banyak maka secara otomatis hanya dibutuhkan konstanta kopling yang kecil untuk menghasilkan sinyal yang sinkron (sesuai antara satu neuron dengan yang lain) meski sinyal dari neuron tunggal berupa potensial aksi yang bersifat chaotik. Saran dari penulis terkait penelitian ini adalah perlu adanya pembuktian secara eksperimen lanjutan mengenai hasil simulasi perhitungan numerik sehingga penelitian teori ini selain menjadi dasar teori juga dapat diaplikasikan secara nyata dalam bidang medis dan neuroscience. Selain itu, metode sistem dinamika dan sinkronisasi chaotik yang terdapat dalam penelitian ini sangat baik digunakan dalam penelitian bidang lain seperti penelitian karakteristik distribusi potensial pada jantung yang bermanfaat di bidang medis (pemodelan jantung), sistem dinamika penyebaran penyakit (epidemics), sistem dinamika pada ekologi, untuk meningkatkan kekuatan laser, untuk mensinkronisasi output sirkuit elektronik, untuk mengkontrol osilasi pada reaksi kimia, atau untuk mengkode pesan elektronik untuk keamanan komunikasi dan lannya. Sehingga, teori ini dapat dipakai dalam berbagai bidang disiplin ilmu.
DAFTAR PUSTAKA Aziz-Alaoui MA. 2006. Complex emergent properties and chaos (De) synchronization, Emergent Properties in Natural and Artificial Dynamical Systems. Heidelberg : Springer p129-147. Batista CAS, Batista AM, de Pontes JAC, Viana RL, Lopes SR. 2007. Chaotic phase synchronization in scale-free networks of bursting neurons. PHYSICAL REVIEW E 76, 016218. Belykh I, Shilnikov A. 2008. When Weak Inhibition Synchronizes Strongly Desynchronizing Networks of Bursting Neurons. PRL 101, 078102. Brette R et al. 2007. Simulation of networks of spiking neurons: A review of tools and strategies. J Comput Neurosci . volume 23:349–398. Catherine DB, Francoise JP, Piquet C. 2001. Bursting Oscillations in Two Coupled FitzHugh-Nagumo Systems. ComPlexUs Volume 2:101–111. Corson N, Aziz-Alaoui MA. 2007. Dynamics and complexity of Hindmarsh-Rose neuronal systems. Didalam : EPNACS'2007 -Emergent Properties in Natural and Artificial Complex Systems; Dresden, 4-5 Oktober 2007. Germany : A Satellite Conference within the 4th European Conference on Complex Systems (ECCS'07). Edelstein KL. 1988. Mathematical Models in Biology. New York :Random House Lange E, Belykh I, Hasler M. 2005. Synchronization of Bursting Neurons: What matters in the Network Topology. PRL 94, 188101. Fitzhugh R. 1961. Impulses and Physiological state in theoretical models of nerve membrane. Biophysics Journal., I, 445-466. Fitzhugh R. 1966. Theoretical Effect of Temperature on Threshold in the Hodgkin-Huxley Nerve Model. The Journal Of General Physiology. volume 49. Georgiev NV. 2003. Identifying generalized Fitzhugh-Nagumo equation from a numerical solution of Hodgkin-Huxley model. Mathematics. Volume 8 :397–407.
Journal of Applied
48 Guckenheimer J, Holmes P. 1983. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of vector Fields. Applied Mathematical Sciences, vol. 42. New York: Springer-Verlag. Gulrajani RM. 1998. Bioelectricity and Biomagnetism. J. wiley, pp.53-88. Hirsch MW, Smale S, Devaney RL. 2004. Differential Equations, Dynamical Systems and An Introduction to Chaos. USA : Elsevier Academic Press. Hodgkin AL, Huxley AF. 1952. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. J. Physiol.,117.500544. Izhikevich EM. 2007. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. USA: MIT Press. Kuang S, Wang J, Zeng T, Cao A. 2008. Thermal impact on spiking properties in Hodgkin-Huxley neuron with synaptic stimulus. PRAMANA
journal of
physics. Vol. 70, No. 1pp. 183-190. Jackson MB. 2006. Molecular and Cellular Biophysics. UK: Cambridge University Press. Marquie P, Comte JC, Morfu S. 2004. Analog simulation of neural information propagation using an electrical FitzHugh–Nagumo lattice. Chaos, Solitons and Fractals. Volume 19: 27–30. Medvedev GS, Kopell N. 2001. Synchronization and transient Dynamics in the chains of electrically coupled Fitzhugh-Nagumo oscillators. SIAM J. APPL. MATH. Vol. 61, No. 5, pp. 1762–1801. Medvedev GS, Yoo Y. 2007. Multimodal oscillations in systems with strong contraction. Physica D. Volume 228 : 87–106. Mishra D, Yadav A, Ray S, Kalra PK. 2006. Controlling Synchronization of Modified FitzHugh-Nagumo Neurons Under External Electrical Stimulation. NeuroQuantology |Issue 1|Page 50-67. Muratov CB. 2008. A quantitative approximation scheme for the traveling wave solutions in the Hodgkin-Huxley model. http://arXiv.org/abs/nlin/0209053v1 Phillipson PE, Schuster P. 2004. An analytic picture of neuron oscillations, Internat. I. Bifur. Chaos, Appl. Sci. Engrg bf 14 , pp.1539-1548.
49
Rinzel J, Keller JB. 1973. Traveling wave solutions of a nerve conduction equation.Biphysc J. Volume 13: 1313-1337. Scott AC. 2002. Neuroscience : A Mathematical Primer. New York: SpringerVerlag Inc. Sims BA. 2008. Magnetic Field Profiles Generated by a Solitary Propagating Action Potential via Hodgkin-Huxley Type Membrane Dynamics. Journal of Mathematical Sciences & Mathematics Education. Vol. 3 No. 2. Tonnelier A. 2003.
McKean caricature of the FitzHugh-Nagumo model:
Traveling pulses in a discrete diffusive medium. PHYSICAL REVIEW E 67, 036105. Yu L, Chen Y, Zhang P. 2007. Frequency and phase synchronization of two coupled neurons with channel noise. Eur. Phys. J. B 59, 249.
50 Lampiran 1. Penurunan Persamaan Kabel
Pembahasan berhubungan dengan persamaan “kabel” mengkarakterisasi propagasi potensial aksi satu-dimensional, misalnya propagasi pada serat syaraf, otot, atau akson yang berbentuk silindris dan panjang, dan memiliki penampang yang seragam (uniform cross section). Diasumsikan pada serat dengan panjang tak-hingga sehingga refleksi pada ujung serat bisa diabaikan.
Gambar 1 (a) Serat satu-dimensional, diasumsikan memiliki panjang tak-hingga, menggambarkan arus intraselular (ii), ekstraselular (ie), dan membran (im). (b) sirkuit listrik ekivalen untuk serat.
Serat satu-dimensional (Gambar 1a) bisa direpresentasikan oleh sirkuit ekivalen
seperti
direpresentasikan
ditunjukkan oleh
sebuah
pada
Gambar
hambatan
ri
1b. dan
Medium medium
intraselular ekstraselular
direpresentasikan oleh sebuah hambatan re, keduanya dinyatakan dalam satuan ohm per unit panjang. Secara implisit, karakterisaisi dari ruang intraselular dan ekstraselular oleh hambatan ri dan re memberikan asumsi bahwa aliran arus intraselular maupun ekstraselular hanya berada pada arah longitudinal. Dengan kata lain, tidak ada arus radial, dan konsekuensinya, tidak ada variasi potensial sepanjang penampang lintang kabel. Potensial intraselular dan ekstraselular, secara berurutan Фi dan Фe, hanya bergantung kepada koordinat longitudinal z
51
sepanjang aksis serat. Sehingga potensial transmembran, Vm, sama dengan Фi – Фe. Perlu dicatat bahwa serat tidak harus memiliki penampang melingkar (circular cross section), tetapi penampangnya harus seragam (uniform) secara keseluruhan. Untuk sementara, representasi “kotak hitam” digunakan untuk membran (Gambar 1). Asal dari model “kawat penghantar (core-conductor)” untuk serat akson ini bisa dilacak kembali berasal dari Hermann (1879a, 1879b). Dengan menggunakan hukum Ohm, kita dapat menentukan tegangan jatuh intraselular dan ekstraselular (secara berurutan, ∂Фi dan ∂Фe) sepanjang perubahan kecil panjang serat, ∂x sebagai:
ΔФi = – ( ri Δx)ii
(1a)
ΔФe = – ( re Δx)ie
(1b)
dengan ii dan ie, secara berurutan adalah arus intraselular dan ekstraselular longitudinal. Dalam limit ∂z mendekati nol, Persamaan (1a) dan (1b) diturunkan menjadi:
i = – ri ii x
(2a)
e = – re ie x
(2b)
Turunan parsial digunakan di atas karena ∂Фi dan ∂Фe juga bisa bergantung terhadap variabel waktu t. Arus intraselular dan ekstraselular, ii dan ie, juga merupakan fungsi t dan x. Dengan menyertakan potensial transmembran, Persamaan (2a) dan (2b) bisa digabung sehingga menghasilkan:
V m i e = = – ri ii + re ie x x x
(3)
Sekarang, jika im menyatakan arus membran tiap unit panjang, dan ia sebagai arus stimulus terapan tiap unit panjang yang diinjeksikan ke dalam ruang intraselular melalui proses injeksi mikroelektroda, maka akan didapatkan persamaan:
52
Δii = – im Δx + ia Δx
(4a)
Δie = im Δx
(4b)
dan
Dengan kata lain, perubahan ∂ii pada ii sepanjang panjang serat ∂x adalah penjumlahan aljabar dari arus membran yang meninggalkan ruang intraselular melalui lubang membran, dan setiap arus stimulus yang diterapkan. Arus transmembran im∂x tentu saja memberikan kontribusi terhadap peningkatan arus ekstraselular. Tidak ada asumsi tentang adanya arus stimulus ekstraselular, namun jika ada, bisa ditambahkan ke dalam Persamaan (4b), tepat seperti yang telah dilakukan pada Persamaan (4a). Dengan mengambil nilai limit ∂x mendekati nol, didapatkan:
ii = – im + ia x
(5a)
ie = im x
(5b)
dan
Dari Persamaan (3), dapat pula dituliskan:
Vm = – (ri + re) ii + re I = (ri + re) ie – ri I x
(6)
dengan I = ii + ie. Dari Persamaan (5a) dan (5b), didapatkan ∂I / ∂x = ia, yang menandakan bahwa, kecuali terdapat arus stimulus terapan, I harus sama dengan nol, karena pada kondisi ini, konservasi arus mengharuskan ie = – ii. Jadi, tanpa adanya stimulasi, pasti didapatkan ie = – ii. Dengan menggunakan Persamaan (6) dan melakukan substitusi nilai arus pada Persamaan (2a) dan (2b), bisa didapatkan, secara berurutan:
53
i ri Vm rr i e I x ri re x ri re
(7a)
e r Vm r e e I x ri re x ri re
(7b)
Dari Persamaan (7) tersebut bisa diturunkan nilai фi, фe dan vm yaitu deviasi dari potensial intraselular, ekstraselular dan transmembran, dari nilai-nilai diamnya. Nilai-nilai diam ini bisa diasumsikan seragam di seluruh panjang kawat. Dengan mengintegrasikan Persamaan (7a) dan (7b) terhadap x dari x sampai ∞ didapatkan secara berturut-turut :
фi(∞,t) - фi(x,t) =
ri rr [ vm(∞,t) - vm(x,t) ] – i e I ( x)dx (8a) ri re x ri re
re rr фe(∞,t) – фe(x,t) = – [ vm(∞,t) - vm(x,t) ] – i e ri re ri re
I ( x)dx (8b) x
Saat x = ∞, kabel diasumsikan selalu pada kondisi diam (at rest), sehingga nilai vm(∞,t) = 0. Jika lebih lanjut diasumsikan bahwa pada x = ∞ deviasi dari potensial ekstraselular, фe(∞,t), juga selalu bernilai nol maka begitu pula nilai deviasi dari potensial intraselular фi(∞,t). Oleh karena itu, Persamaan (8a) dan (8b) secara berturut-turut bisa direduksi menjadi:
фi(x,t) =
ri rr vm(x,t) + i e ri re ri re
I ( x)dx
(9a)
x
re rr фe(x,t) = – vm(x,t) + i e ri re ri re
I ( x)dx
(9b)
x
Jika sekarang bisa diasumsikan bahwa I(x) = 0, maka faktor integral akan hilang. Asumsi I(x) = 0 berimplikasi adanya stimulus, baik yang muncul sebelum t = 0
54
maupun yang diterapkan pada daerah kabel tanpa melihat pertimbangan tersebut. Sebagai contoh, stimulus yang diterapkan untuk x < 0 dengan integrasi hanya di atas x > 0. Sebagai hasil dari stimulus semacam ini, timbul gerakan perturbasi, dan deviasi di dalam potensial intraselular dan ekstraselular yang mencirikan perturbasi ini secara berturut-turut diberikan oleh фi(x,t) =
ri vm(x,t) ri re
фe(x,t) = –
re vm(x,t) ri re
(10a)
(10b)
Persamaan di atas adalah tipe persamaan “pembagi-tegangan” yang sangat sederhana antara amplitudo dari perturbasi potensial intraselular,ekstraselular dan transmembran. Persamaan tersebut adalah dasar dari teknik eksperimental yang sering digunakan untuk menentukan rasio ri/re dengan cara mengukur rasio nilai amplitudo dari potensial aksi intraselular dan ekstraselular. Secara
berkesinambungan,
untuk
menyederhanakan
perlakuan
diasumsikan bahwa setiap arus stimulus intraselular selalu diinjeksikan pada posisi awal, x = 0. Alih-alih memasukkan arus ini ke dalam Persamaan (5a), lebih mudah untuk menetapkan
ia = 0 dalam persamaan ini, dan kemudian
menempatkan arus stimulus sebagai kondisi batas. Dengan mendiferensiasikan Persamaan (6) terhadap x (perlu diingat bahwa ∂I/∂x sekarang bernilai nol), dan mensubstitusikan ∂ie / ∂x dari Persamaan (15b)(atau ∂ii / ∂x dari persamaan (5a) dengan nilai ia = 0) menghasilkan:
1 2Vm i m ri re x 2
(11)
Persamaan (11) menghubungkan antara arus transmembran per unit panjang dengan turunan spasial kedua dari potensial transmembran, dan merupakan persamaan fundamental yang dihasilkan dari asumsi-asumsi pada teori kabel satudimensional. Perlu dicatat bahwa persamaan ini tetap valid jika Vm diganti oleh vm (Gulrajani,R.M ,1998).
55 Lampiran 2. Analisis Titik Kritis Model Dinamika Fitzhugh-Nagumo
Analisis sistem persamaan differensial sering digunakan untuk menentukan solusi yang tidak berubah terhadap waktu, yaitu untuk tiap dv / dt 0, dw / dt 0. Titik kritis ( v * , w * ) dari sistem persamaan dapat diperoleh dengan menentukan
dv / dt 0, dw / dt 0.
Analisis Titik Kritis Model Dinamika Fitzhugh-Nagumo
Dalam penelitian ini variabel yang divariasikan adalah arus eksternal yang menjadi stimulusnya. Dengan menggunakan software maple 11 diperoleh titik kritis sebagai berikut :
Untuk arus eksternal i = 0, diperoleh :
> per1:=v-1/3*v^3-w+i;
> per2:=phi*(v+a-b*w);
> a:=0.7; b:=0.8; phi:=0.08; i:=0;
> solve({per1=0,per2=0},{v,w});
Demikian juga untuk nilai arus eksternal yang lainya, titik kritis (equilibrium) dapat dianalisis melalui cara yang sama.
56 Lampiran 3. Analisis Nilai Eigen Model Dinamik Fitzhugh-Nagumo
Dengan melakukan pelinearan pada persamaan maka diperoleh matriks komunitas
F F v * * w * * (v ,w ) (v ,w ) J G G v ( v* , w* ) w ( v* ,w* )
Kondisi kestabilan dari tiap titik kritis dapat diperoleh dengan mengetahui terlebih dahulu nilai eigen. Nilai eigen tersebut dapat diperoleh melalui persamaan karakteristiknya, sebagai berikut:
p ( ) det( J I ) J I 0
Dengan Menggunakan software Maple 11 dapat diperoleh nilai eigen dari tiap titik kritis dari model dinamik Fitzhugh-Nagumo sebagai berikut:
Dengan melakukan pelinearan pada persamaan maka diperoleh matriks komunitas
1 v 2 J
1 b
Nilai Eigen Secara Numeric Dengan Maple 11
Solusi ini di peroleh dengan memvariasikan parameter arus stimulasi eksternal Misalkan arus stimulus eksternal i = 0
> restart; > with(linalg): > J:=matrix(2,2,[1-v^2,-1, phi, -b*phi]);
57
> a:=0.7;b:=0.8;phi:=0.08;i:=0;
> v := -1.199408035; w := -.6242600440;
> nilai_e1:=eigenvals(J);
Selanjutnya untuk varisi nilai arus eksternal yang lain dapat dianalisis nilai eigennya melalui cara yang sama , seperti yang tertera dalam table 1.
58 Lampiran 4. Sintaks Plot Grafik Dengan Software Matlab 7.01
Dengan persamaan Hodgkin-Huxley berikut akan dibuat solusi grafik menggunakan software maple 7.01
dv 1 g Na m 3 h(v)(v v Na ) g K n 4 (v)(v v k ) g L (v v L ) I eks dt C
dn n ( v )(1 n) n ( v ) n dt
(12a)
dm m (v )(1 m ) m ( v) m dt
(12b)
dh h ( v )(1 h) h ( v ) h dt
(12c)
Dengan konstanta variabel tersaji pada persamaan (10).
% GRAFIK RUANG FASA MODEL HODGKIN-HUXLEY % MADA SANJAYA WS % Departemen Fisika IPB 2008
% Orbit dan Kestabilan Sistem Dinamika Neuron Model Hodgkin-huxley
function dy = tesisHH7(t,y) dy = zeros(4,1);
% a column vector
dy(1) = (120*y(2)^3*y(3)*(50-y(1))+36*y(4)^4*(-77y(1))+0.3*(-54.4-y(1))+7)/1; dy(2) =((0.1*y(1)+4)/(1-exp(-(y(1)+40)/10)))*(1-y(2))(4*exp(-(y(1)+65)/18))*y(2); dy(3) = 0.07*exp(-(y(1)+65)/20)*(1-y(3))-(1/(1+exp((y(1)+35)/10)))*y(3); dy(4) = ((0.01*y(1)+0.55)/(1-exp(-(y(1)+55)/10)))*(1y(4))-(0.125*exp(-(y(1)+65)/80)*y(4));
59 % A. Plot Grafik Ruang phasa Sistem Dinamika Model Hodgkin-huxley
tspan=[0 100]; y0=[0.5 0.5 0.4 0.4]; [t,y]=ode23('tesisHH7',tspan,y0); plot(y(:,1),y(:,4)) title('Dynamical system Hodgkin-Huxley models'); xlabel('Potensial aksi V(mV)'); ylabel('variable n');
% B. Plot Grafik Perubahan Potensial Aksi Sistem Dinamika Model Hodgkin-huxley
tspan=[0 100]; y0=[0.5 0.5 0.4 0.4]; [t,y]=ode23('tesisHH7',tspan,y0); plot(t,y(:,1)) title('Dynamical system Hodgkin-Huxley models'); xlabel('Time t(ms)'); ylabel('Potensial aksi V(mV)');
60 Grafik yang di hasilkan :
61
Lampiran 5. Diagram Alir Penelitian
