PEMODELAN DAN KENDALI NETWORKED CONTROL SYSTEM MELALUI PENDEKATAN MARKOV JUMP LINEAR SYSTEMS

PEMODELAN DAN KENDALI NETWORKED CONTROL SYSTEM MELALUI PENDEKATAN MARKOV JUMP LINEAR SYSTEMS Asep Najmurrokhman1), Bambang Riyanto2), Arief Syaichu-Rohman2) 1) Jurusan Teknik Elektro, Universitas Jenderal Achmad Yani 2) Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi Bandung e-mail : [email protected]

Abstrak Makalah ini menjelaskan tentang pemodelan dan desain kendali Networked Control Systems (NCS) melalui pendekatan Markov Jump Linear Systems (MJLS). NCS adalah sistem kendali yang melibatkan jaringan komunikasi sebagai bagian dari lingkar kendali. Perkembangan yang sangat pesat dalam teknologi internet mendorong penelitian seputar NCS tumbuh dengan cepat. Implementasi NCS dipandang menguntungkan karena berkurangnya biaya instalasi, kemudahan dalam pemeliharaan, mudah dikonfigurasi ulang, dan sebagainya. Namun, masuknya jaringan komunikasi dalam lingkar kendali menambah kompleksitas dalam analisis dan sintesis pengendalinya, karena adanya parameter yang dipunyai oleh jaringan komunikasi seperti adanya waktu tunda transmisi (time delay), kemungkinan hilangnya paket data yang dikirimkan (packet loss), dan keterbatasan lebar pita dan kecepatan transmisi data. Beberapa parameter dalam jaringan tersebut bisa menyebabkan penurunan performansi dalam sistem, bahkan mungkin menyebabkan ketidakstabilan. Oleh karena itu, salah satu tujuan penelitian dalam NCS adalah merancang pengendali yang mampu menangani parameter tersebut sehingga lingkar tertutup NCS bersifat stabil dan mencapai performansi tertentu. Dalam makalah, representasi NCS dimodelkan dalam bentuk MJLS. MJLS adalah sebuah tipe sistem linier yang mengakomodasi sifat stokastik dari parameternya. Hal tersebut cocok untuk diterapkan dalam NCS, karena parameter dalam jaringan berubah secara acak. Beberapa hasil analisis dan sintesis kendali untuk MJLS diterapkan dalam studi tentang NCS. Ukuran performansi yang digunakan dalam makalah ini adalah H-infinity norm dari sinyal output terhadap sinyal gangguan, yaitu suatu kondisi yang menggambarkan seberapa besar tingkat kekokohan (robustness) pengendali yang dirancang terhadap sinyal gangguan yang masuk ke dalam sistem. Hasil utama dalam makalah ini berupa syarat perlu dan cukup agar sistem kendali NCS yang dirancang bersifat stabil dan memenuhi ukuran performansi yang diinginkan. Syarat tersebut dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan matriks linier (linear matrix inequality). Kata kunci : H-infinity norm, Markov Jump Linear Systems (MJLS), Networked Control Systems (NCS), pertidaksamaan matriks linier, stabilitas.

1. PENDAHULUAN Dewasa ini berkembang sebuah sistem kendali yang melibatkan jaringan komunikasi sebagai bagian dari lingkar kendali. Sistem tersebut dikenal sebagai networked control systems (NCS) [Antsaklis, et al. (2007)]. Sebuah NCS melibatkan interaksi seluruh komponen dalam sistemnya melalui jaringan komunikasi. Asumsi yang dipakai dalam sistem kendali konvensional seperti bandwidth tak terhingga dan tidak adanya delay proses tidak bisa dipakai dalam analisis NCS. Penggunaan jaringan komunikasi sebagai bagian dari sistem kendali sebenarnya bukan hal yang baru dalam otomasi [Yang, et al. (2008)]. Modern Electrical Engineering Technology and Its Applications Seminar (MEETAS 2010) 20 Maret 2010, Bandung

1

Teleoperasi mungkin menjadi sistem kendali pertama yang melibatkan komunikasi komputer dan memiliki banyak aplikasi dalam teknologi ruang angkasa dan penanganan di lingkungan yang berbahaya, misalnya reaktor nuklir, penjinak bom, dan sebagainya. Teleoperasi adalah mekanisme kerja sistem dimana bagian sistem yang dikendalikan (disebut dengan plant) terpisah secara geografis dengan pengendalinya dan saling berkomunikasi menggunakan saluran komunikasi. Beberapa keuntungan implementasi NCS ini adalah berkurangnya biaya instalasi, kemudahan dalam pemeliharaan, mudah dikonfigurasi ulang, dan sebagainya [Antsaklis, et al. (2007)]. Disamping keuntungannya, penggunaan jaringan komunikasi dalam lingkar kendali menambah kompleksitas analisis dan perancangan NCS. Satu isu utama adalah adanya waktu tunda transmisi. Dalam literatur, waktu tunda ini disebut network-induced time delay. Waktu tunda dalam sistem kendali biasanya menurunkan kinerja sistem dan juga dapat menyebabkan ketidakstabilan dalam sistem. Selain itu, dalam jaringan komunikasi selalu dijumpai adanya packet loss karena data yang cukup besar tidak bisa dikirim secara sempurna karena keterbatasan bandwidth saluran. Adanya antrian dalam jaringan karena lalu lintas data yang padat juga memungkinkan terjadinya kehilangan data. Kondisi tersebut tentunya akan mempengaruhi kinerja sistem keseluruhan dari NCS. Untuk mengevaluasi kinerja NCS, maka diperlukan pemodelan NCS yang melibatkan atribut dalam jaringan komunikasi seperti waktu tunda, kehilangan paket data, dan keterbatasan bandwidth. Beberapa peneliti melakukan pemodelan, analisis, dan sintesis NCS yang melibatkan waktu tunda dan kehilangan paket data dalam dua pendekatan. Pendekatan pertama adalah perancangan pengendali dilakukan terlebih dahulu kemudian menentukan kondisi jaringan, misalnya interval waktu transfer maksimum yang diperbolehkan, yang menjamin kestabilan dan mencapai tingkat kinerja yang diinginkan. Pendekatan tersebut misalnya dilakukan oleh Zhang et al. (2001) dan Carnevale et al. (2007). Sementara pendekatan kedua adalah melibatkan secara langsung waktu tunda dalam pemodelan sistemnya kemudian dirancang pengendalinya. Pendekatan tersebut bisa dilihat dalam makalah Gao et al. (2008) dan Shi et al. (2009). Dalam makalah ini, pendekatan yang dilakukan mengikuti pendekatan kedua dengan menggunakan Markov Jump Linear Systems (MJLS) sebagai model NCSnya. Dalam MJLS, parameter sistem berubah mengikuti rantai Markov. Matriks-matriks dalam persamaan ruang keadaan yang menyusun sistem tersebut berubah mengikuti perubahan parameter sistemnya. Sebuah pengendali yang dibentuk berdasarkan perubahan parameter dalam rantai Markovnya biasanya disebut mode-dependent controller [Shi, et al. (2009), Aberkane, et al. (2008)]. 2. KONFIGURASI DAN KARAKTERISTIK NCS Konfigurasi NCS dapat digambarkan dalam bentuk diagram blok seperti diperlihatkan pada gambar 1.

Gambar 1. Diagram NCS [Lin, et al. (2006)] Gambar 1, diambil dari paper Lin, et al. (2006), memberikan ilustrasi sebuah bentuk umum NCS. Dari gambar tersebut terlihat bahwa dalam NCS, proses pengendalian sistemnya Modern Electrical Engineering Technology and Its Applications Seminar (MEETAS 2010) 20 Maret 2010, Bandung

2

dilakukan melalui jaringan. Beberapa atribut dalam jaringan yang menjadi batasan (constraints) diantaranya waktu tunda (delay), hilangnya paket data selama transmisi (dropout), keterbatasan laju pengiriman data (finite bit rate), dan sebagainya. Dengan demikian, problem kendali dalam NCS biasanya adalah bagaimana membangun sistem kendali dengan performansi yang diinginkan dihadapkan pada kendala (constraints) tersebut. Masuknya jaringan komunikasi dalam loop kendali umpan balik membuat analisis dan desain dari suatu NCS menjadi kompleks. Teori kendali konvensional dengan banyak asumsi ideal (seperti pencacahan dengan interval sama, kendali tersinkronisasi, deteksi output dan aktuasi tanpa penundaan) harus dievaluasi kembali sebelum diaplikasikan pada NCS. Heemels et al. (2009) merangkum bahwa faktor-faktor yang terjadi karena ketidaksempurnaan jaringan komunikasi dapat dikategorikan dalam lima buah, yaitu sebagai berikut :  Error kuantisasi (quantization errors) pada sinyal yang ditransmisikan melalui jaringan karena panjang kata yang terbatas dalam paket yang dikirim  Kehilangan data (packet dropouts) yang disebabkan oleh ketidakhandalan jaringan  Interval pencacahan atau transmisi yang berubah-ubah  Waktu tunda yang bervariasi  Kendala komunikasi yang disebabkan oleh pembagian jaringan bersama-sama oleh beberapa node dan faktanya adalah hanya satu node yang diizinkan mengirimkan paketnya setiap transmisi Keberadaan faktor-faktor tersebut menjadi penyebab degradasi kinerja NCS bahkan menyebabkan ketidakstabilan dalam sistem. Karena penelitian seputar NCS masih berkembang, beberapa peneliti biasanya hanya melibatkan satu atau dua faktor-faktor diatas dalam analisis NCSnya, dan mengabaikan faktor lainnya. Dalam makalah ini diuraikan pemodelan NCS melalui pendekatan Markov Jump Linear Systems. Pendekatan tersebut sudah dilakukan oleh beberapa peneliti, misalnya Aberkane, et al. (2008), Shi, et al. (2009), dan Zhang, et al. (2009). Secara umum MJLS bisa digunakan untuk memodelkan sistem yang dinamikanya berubah karena ada parameter internal atau eksternal yang berubah, misalnya ada perubahan mendadak yang bersifat acak dalam komponennya, perubahan titik operasi sistemnya, perubahan lingkungan, dan sebagainya [Aberkane, et al. (2008)]. 3. MODEL MARKOV JUMP LINEAR SYSTEMS Analisis dan sintesis sistem melalui pendekatan Markov Jump Linear Systems (MJLS) dimulai dengan menyatakan dinamika sistemnya melalui persamaan ruang keadaan dengan entri-entri matriks-matriks sistemnya fungsi dari state rantai Markovnya. State tersebut biasanya disebut mode sistem dan menyatakan kondisi operasi sistem. Representasi MJLS kemudian menjadi lengkap dengan mendefinisikan himpunan yang membangun state sekaligus probabilitas transisi state-state tersebut. Persamaan ruang keadaan sistem dinyatakan dalam bentuk diskrit berikut : ( + 1) = ( ) ( ) + ( ) ( ) (1) ( )= ( ) ( )+ ( ) ( ) dengan x(k) menyatakan state sistem, u(k) adalah sinyal input ke sistem, y(k) menandai sinyal output dari sistem, dan k adalah state dari rantai Markov yang terdefinisi dalam himpunan S = {1, 2, …, N} dan probabilitas transisi dari satu state ke state lain ditandai dengan dengan i dan j adalah anggota dari himpunan S. Nilai untuk adalah antara 0 dan 1 serta jumlah probabilitas transisi dari satu state tertentu ke state lainnya berharga 1 atau ∑ = 1. Untuk memudahkan penulisan, setiap matriks sistem ditandai dengan , , , dan , saat statenya bernilai k = i. Konsep penting yang berhubungan dengan model MJLS adalah kestabilan. Dalam konteks MJLS, ada beberapa definisi kestabilan yang sifatnya ekivalen [Geromel, et al. (2009), Seiler, et al. (2005)]. Definisi kestabilan tersebut dinyatakan dalam bentuk berikut : Modern Electrical Engineering Technology and Its Applications Seminar (MEETAS 2010) 20 Maret 2010, Bandung

3

Definisi 1. Tinjau persamaan (1) dengan sinyal kendali u(k) = 0 untuk semua k dan kondisi awal (0) = ∈ ℝ , ∈ S. Sistem tersebut bersifat : (a) Mean square stable (MSS) jika untuk seluruh kondisi mula ( , ) berlaku lim

→

ℰ { ( )′ ( )| ,

}=0

(2)

(b) Stochastically stable (SS) jika untuk seluruh kondisi mula ( , ℰ {∑

( )′ ( )|

,

}<∞

) berlaku

(3)

(c) Exponentially MSS (EMSS) jika untuk seluruh kondisi mula ( , ) terdapat bilangan 0 <  <1 dan  > 0 sehingga terpenuhi bentuk ℰ { ( )′ ( )|

,

}<

(4)

Seluruh definisi tersebut dalam beberapa literatur (misalnya dalam Seiler, et al. (2005) dan Geromel, et al. (2009)) dirujuk sebagai second-moment stability (SMS). Selanjutnya, metode untuk memeriksa kestabilan MJLS dapat dilakukan dengan menerapkan analisis kestabilan melalui pengujian fungsi Lyapunov yang dinyatakan dalam definisi berikut: Definisi 2. Sebuah sistem MJLS bersifat stabil apabila terdapat fungsi Lyapunov ′( ) ( ) yang memenuhi syarat berikut: ( ) >0  ( + 1) = ( + 1) − ( ) <0  ∆

( ) =

Definisi tersebut diambil dari referensi Costa, et al. (2005) halaman 22. Dengan menggunakan definisi tersebut, pengujian kestabilan sistem MJLS dinyatakan dalam proposisi berikut : Proposisi 1. Sebuah sistem MJLS (1) dengan u(k) = 0 bersifat stabil apabila terdapat sebuah matriks simetrik definit positif Pi yang memenuhi pertidaksamaan berikut − <0 (5) untuk seluruh i  S. Ppi adalah sebuah matriks yang terbentuk dari Pi setelah dikalikan dengan probabilitas transisi dari rantai Markov-nya dan dinyatakan dalam bentuk =∑ (6) Bukti: ( ) = Proposisi 1 diatas dapat dibuktikan dengan mengambil sebuah fungsi Lyapunov ( ) ( ) ( ) ( ′ dan menguji ∆ + 1 < 0 sepanjang persamaan keadaan + 1) = ( ). Untuk kasus sistem linier deterministik, matriks Ppi = Pi dan bernilai konstan, sehingga pertidaksamaan matriks (4) berbentuk − < 0 . Dengan demikian, kestabilan suatu MJLS dijamin apabila dapat ditemukan sebuah matriks definit positif P yang memenuhi pertidaksamaan matriks (4) untuk seluruh mode pada rantai Markovnya. 4. ANALISIS STABILITAS NCS MELALUI PEMODELAN MJLS Tinjau diagram blok NCS yang diperlihatkan pada gambar 2 berikut. Persamaan ruang keadaan sistem tersebut dinyatakan dalam bentuk berikut: ( + 1) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( ) (7) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( )

Modern Electrical Engineering Technology and Its Applications Seminar (MEETAS 2010) 20 Maret 2010, Bandung

4

Gambar 2. Diagram blok NCS x(k)n, u(k)m, w(k)p, z(k)r masing-masing menyatakan variabel state, input kendali, sinyal gangguan, dan keluaran yang dikendalikan. Matriks-matriks pada persamaan (7) bergantung kepada rantai Markov yang setiap modenya anggota dari suatu himpunan berhingga S = {1, 2, …, N} dan probabilitas transisi dari satu mode ke mode lainnya ditandai dengan dengan i dan j adalah anggota dari himpunan S. Untuk memudahkan penulisan, notasi Ai berarti matriks A pada saat mode k = i, B1i menandai matriks B1 saat mode k = i, dan sebagainya. Definisi berikut menyatakan norm H dari MJLS G yang persamaan ruang keadaannya dinyatakan oleh persamaan (7). Definisi formalnya adalah sebagai berikut: Definisi 2. Norm H untuk sistem stabil G dari input w ke output z diberikan oleh ‖ ‖ ‖ ‖ = sup (8) , ∈ ‖ ‖ dengan ‖ ‖ =

{ ′( ) ( )}

(9)

dan E{.} menandai operator ekspektasi matematis. Lemma berikut diberikan oleh Geromel, et al. (2009) menyatakan cara menghitung norm H sebuah MJLS (7). Lemma 1. Sistem G bersifat stabil dan memenuhi batasan norm ‖ ‖ < jika dan hanya jika terdapat matriks definit positif Pi yang memenuhi pertidaksamaan matriks berikut: 0 0 − <0 (10) 0 0 untuk seluruh i  S. Bukti: Lihat Lemma 2.7 pada referensi Geromel, et al. (2009). Dengan menggunakan komplemen Schur, pencarian norm ‖ ‖ bentuk berikut: ‖ ‖ = inf (11)

dapat dinyatakan dalam

( , )∈

dengan  adalah himpunan seluruh matriks definit positif Pi dan    sedemikian sehingga pertidaksamaan matriks berikut

Modern Electrical Engineering Technology and Its Applications Seminar (MEETAS 2010) 20 Maret 2010, Bandung

5

0 ⎡ ⎤ ⎢∗ ⎥ > 0 (12) ⎢∗ ∗ 0⎥ ⎣∗ ∗ ⎦ ∗ terpenuhi untuk seluruh i  S. Tanda bintang (*) pada entri matriks menandai simetri. 5. SINTESIS NCS Bagian ini menjelaskan tentang perancangan pengendali untuk NCS agar sistem lingkar tertutupnya bersifat stabil sekaligus mencapai performansi tertentu yang dinyatakan dengan norm H. Tinjau persamaan ruang keadaan pengendali K sebagai berikut: ( + 1) = ( ) ( ) + ( ) ( ) : (13) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( ) n dengan xc (k) , xc(0) = 0, dan matriks-matriks Aci, Bci, Cci, serta Dci dimensinya bersesuaian dengan sinyal-sinyal tersebut. Tujuan dari sintesis pengendali ini adalah menemukan matriks-matriks pengendali tersebut sehingga norm H dari sistem lingkar tertutupnya minimal. Untuk mendapatkan itu, langkah awal dengan mengkoneksikan persamaan ruang keadaan sistem (7) dengan persamaan pengendali (13), sehingga diperoleh bentuk sistem kendali lingkar tertutup sebagai berikut: ( + 1) = ( ) ( ) + ( ) ( ) : (14) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( ) dengan ( ) menyatakan variabel state gabungan (augmented state) antara state sistem dan pengendalinya yang berbentuk ( ) ( )= (15) ( ) serta matriks-matriks sistem lingkar tertutupnya berbentuk + = (16) = =[ =

+

(17)

+ +

] +

(18) (19)

Dengan memanfaatkan Lemma 1, desain pengendali untuk menghasilkan sistem lingkar tertutup (14) bersifat stabil dan memiliki norm H <  dapat dinyatakan dalam proposisi berikut. Proposisi 2. Sistem lingkar tertutup (14) bersifat stabil dan ‖ ‖ < jika dan hanya jika terdapat matriks definit positif yang memenuhi pertidaksamaan matriks (20) 0 ⎡ ⎤ ⎢∗ ⎥ ⎢ ⎥ > 0 (20) 0⎥ ⎢∗ ∗ ⎣∗ ∗ ⎦ ∗ untuk seluruh i  S. Bukti: Pertidaksamaan matriks (20) diperoleh dengan memanfaatkan lemma 1 terutama bentuk pertidaksamaan matriks (12) dengan mensubstitusi matriks-matriks lingkar tertutup (16) – (19) kemudian menerapkan komplemen Schur terhadap pertidaksamaan matriks tersebut. Dengan memperhatikan pertidaksamaan matriks (20), pengendali dengan orde yang sama dengan orde plant G, yang disebut full order controller, akan menghasilkan sistem lingkar Modern Electrical Engineering Technology and Its Applications Seminar (MEETAS 2010) 20 Maret 2010, Bandung

6

tertutup GK dengan jumlah orde dua kali lipat dari plant G. Dengan demikian, perhitungan norm H untuk sistem lingkar tertutup memerlukan matriks simetrik berdimensi 2n  2n, sehingga memberikan kompleksitas tersendiri dalam komputasi numeriknya. Dengan teknik linierisasi pada matriks maka akan didapat persamaan matriks yang menyatakan syarat perlu dan cukup agar sistem lingkar tertutup GK bersifat stabil dan norm H-nya kurang dari  seperti dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema.Sebuah pengendali linier dengan umpan balik output dalam bentuk (13) serta terdapat matriks yang memenuhi persamaan matriks (20) dan norm ‖ ‖ < jika dan hanya jika terdapat matriks simetrik Xi, Yi, Zij, dan matriks Mi, Li, Fi, Ki, dan Hi yang memenuhi pertidaksamaan matriks berikut 0 + + ⎡ ⎤ ∗ 0 + + + ⎢ ⎥ ⎢∗ ∗ ⎥ + + + (22) ⎢ ⎥>0 + − 0 ⎢∗ ∗ ∗ ⎥ ⎢∗ ∗ ∗ ∗ 0 ⎥ ⎣∗ ∗ ∗ ⎦ ∗ ∗ dan >0

∗

(23)

untuk seluruh i  S. Bukti teorema tersebut tidak dapat diberikan dalam makalah ini karena keterbatasan halaman. Apabila pertidaksamaan matriks (22)-(23) dapat dipecahkan, maka desain pengendalinya dapat dikonstruksi sebagai berikut : (1) Matriks pengendali dicari dari komposisi matriks berikut : = (2) Matriks

dan

−

0

0 diperoleh dari bentuk berikut =

(25)

=

(26)

(24)

dengan =

−

(27)

dan =

(28)

6. PENUTUP Telah diuraikan pemodelan dan perancangan pengendali untuk NCS dengan pendekatan MJLS. Pengendali dikonstruksi agar menghasilkan sistem lingkar tertutup yang bersifat stabil serta memenuhi tingkat performansi tertentu yang dinyatakan dengan norm H. Pengendali tersebut dapat dicari dengan memecahkan terlebih dahulu dua persamaan matriks yang harus berlaku untuk seluruh mode rantai Markovnya. Algoritma untuk merancang pengendali juga telah diuraikan. Penelitian lebih lanjut diarahkan kepada implementasi desain Modern Electrical Engineering Technology and Its Applications Seminar (MEETAS 2010) 20 Maret 2010, Bandung

7

pengendali dalam sistem real. Penggunaan ukuran performansi sistem kendali lain seperti disipativitas, yang dibahas misalnya oleh Mahmoud, et al (2010) dengan pendekatan sistem switching, dalam desain pengendali NCS dengan pendekatan MJLS juga sangat menarik untuk diteliti. 7. DAFTAR PUSTAKA [1] Aberkane, S., Ponsart, J.C. & Sauter, D. (2008): Output-Feedback H2/H Control of A Class of Networked Fault Tolerant Control Systems, Asian Journal of Control Vol. 10, No. 1, January 2008, pp. 34 – 44. [2] Antsaklis, P. & Baillieul, J. (2007): Special Issue on Technology of Networked Control System, Proceedings of IEEE Vol. 95, No. 1, January 2007, pp. 5 – 8. [3] Carnevale, D., Teel, A. R., & Nesic, D. (2007): A Lyapunov Proof of An Improved Maximum Allowable Transfer Interval for Networked Control System, IEEE Trans. Automatic Control Vol. 52, No. 5, May 2007, pp. 892 – 897. [4] Costa, O.L.V., Fragoso, M.D. & Marques, R.P. (2005): Discrete-Time Markov Jump Linear Systems, Penerbit Springer-Verlag London Ltd. [5] Gao, H., Chen, T., & Lam, J. (2008): A New Delay System Approach to Network-based Control, Automatica Vol. 44, No. 1, January 2008, pp. 39 – 52. [6] Geromel, J. C., Goncalves, A. P. C. & Fioravanti, A. R. (2009): Dynamic Output Feedback Control of Discrete-Time Markov Jump Linear Systems through Linear Matrix Inequalities, SIAM Journal on Control and Optimization, Vol. 48, No. 2, pp. 573 – 593. [7] Heemels, W. P. M. H, Teel, A.R., van de Wouw, N. & Nesic, D. (2009): Networked Control Systems with Communication Constraints: Tradeoffs between Transmission Intervals and Delays, muncul dalam European Control Conference Proceedings, August 2009. [8] Lin, et al. (2006): Asymptotic Stability and Disturbance Attenuation Properties for a class of Networked Control Systems, Journal Control Theory and Application, Vol. 4, No. 1, February 2006, pp. 76 – 85. [9] Mahmoud, M. S., Nounou, H. N. & Xia, Y. (2010): Robust dissipative control for internetbased switching systems, Journal of the Franklin Institute Vol. 347, No. 1, February 2010, pp. 154 – 172. [10]Najmurrokhman, A., Riyanto, B. & Rohman, A.S. (2009): Pemodelan dan Kendali Networked Control Systems, Prosiding Seminar Nasional Teknologi Informasi dan Aplikasinya 2009 (SENTIA09), 12 Maret 2009, Politeknik Negeri Malang, pp. E54 – E59. [11]Seiler, P. & Sengupta, R. (2005): An H Approach to Networked Control, IEEE Trans. on Automatic Control, Vol. 50, No. 3, March 2005, pp. 356 – 364. [12]Shi, Y. & Yu, B. (2009): Output Feedback Stabilization of Networked Control Systems with Random Delays Modeled by Markov Chains, IEEE Trans. Automatic Control Vol. 54, No. 7, July 2009, pp. 1668 – 1674. [13]Yang, S.H. & Cao, Y. (2008): Networked control systems and wireless sensor networks: theories and applications, International Journal of Systems Science, Vol. 39, No. 11, November 2008, pp. 1041 – 1044. [14]Zhang, W., Branicky, M.S. & Phillips, S.M. (2001): Stability of Networked Control Systems, IEEE Control Systems Magazine, Vol. 21, No. 2, 2001, pp. 84 – 99. [15]Zhang, B., Xu, S. & Zou, Y. (2009): Output Feedback Stabilization for Delayed Large Scale Stochastic Systems with Markovian Jumping Parameters, Asian Journal of Control, Vol. 11, No. 4 (July), pp. 457 – 460.

Modern Electrical Engineering Technology and Its Applications Seminar (MEETAS 2010) 20 Maret 2010, Bandung

8