PEMBANDINGAN METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL GANDA DUA PARAMETER HOLT DAN METODE BOX-JENKINS PADA PERAMALAN DATA DERET WAKTU TREND (Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2016)
(Skripsi)
Oleh RASYD ROSIDI
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017
ABSTRAK PEMBANDINGAN METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL GANDA DUA PARAMETER HOLT DAN METODE BOX-JENKINS PADA PERAMALAN DATA DERET WAKTU TREND
Oleh RASYD ROSIDI
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan metode terbaik untuk meramalkan jumlah penumpang di Bandara Juanda dengan menggunakan metode penghalusan eksponensial ganda dua parameter Holt dan Box-Jenkins berdasarkan nilai Mean Square Error (MSE) terkecil. Hasil penelitian menunjukkan bahwa peramalan jumlah penumpang di Bandara Juanda dengan menggunakan metode penghalusan eksponensial ganda dua parameter Holt lebih baik dibandingkan dengan menggunakan metode BoxJenkins. Kata kunci: Peramalan, Metode Penghalusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt, Metode Box-Jenkins.
ABSTRACT A COMPARISON TWO PARAMETER DOUBLE EXPONENTIAL SMOOTHING HOLT METHOD AND BOX-JENKINS METHOD IN FORECASTING TREND TIME SERIES
By RASYD ROSIDI
The aim of this study is to determine the best method to predict the number of passengers at Juanda airport by using two parameter double exponential smoothing Holt method and Box-Jenkins method based on the smallest value of Mean Square Error (MSE). The result showed that forecasting the number of passengers at Juanda airport by using two parameter double exponential smoothing Holt method is more appropriate than using Box-Jenkins method. Key words : Forecasting, Two Parameter Double Exponential Smoothing Holt Method, Box-Jenkins Method.
PEMBANDINGAN METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL GANDA DUA PARAMETER HOLT DAN METODE BOX-JENKINS PADA PERAMALAN DATA DERET WAKTU TREND (Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2016)
Oleh RASYD ROSIDI
Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 14 Maret 1995 sebagai anak pertama dari dua bersaudara pasangan bapak Amari, ST dan Ibu Ratna Juwita.
Penulis telah menyelesaikan jenjang pendidikan mulai dari Pendidikan Taman Kanak-Kanak di TK Handayani Bandar Lampung lulus pada tahun 2001, Sekolah Dasar (SD) Kartika II-6 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2007, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 10 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2010, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) YP Unila Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2013.
Pada tahun 2013 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Selama menjadi Mahasiswa, penulis pernah menjadi Anggota Biro Dana dan Usaha HIMATIKA dan Natural Fmipa Unila periode 2014/2015. Kemudian penulis menjadi Kepala Biro Dana dan Usaha HIMATIKA periode 2015/2016. Pada awal tahun 2016, penulis melakukan kegiatan Kuliah Praktik (KP) selama satu bulan di Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung. Di Tahun yang sama, pada bulan Juli 2016 penulis juga melakukan kegiatan Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari di Desa Way Petay, Kecamatan Sumber Jaya, Kabupaten Lampung Barat.
PERSEMBAHAN
Dengan segala rasa syukur kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dalam hidupku dan dengan segala kerendahan hati, kupersembahkan sebuah karya kecil ini untuk:
Ayah dan Ibu tercinta yang tak henti-hentinya mendoakan dan memberikan dukungan moril untuk kesuksesanku.
Adikku Rahma Rosita yang menjadi penyemangatku untuk menjadi kakak yang bisa dibanggakan.
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa, seluruh sahabat-sahabatku dan Almamaterku Universitas Lampung.
KATA INSPIRASI
“Sesungguhnya sesudah kesulitan ituada kemudahan. Maka apabila kamu telah selesai dari suatu urusan kerjakanlah dengan sungguh-sungguh urusan yang lain. Dan hanya kepada Tuhanmulah hendaknya kamu berharap” (Q.S. Al-Insyirah:6-8).
“Tetaplah berikhtiar dan tingkatkanlah taqwa kepada Allah SWT, maka Allah SWT akan memudahkan setiap urusanmu” (Rasyid Rosidi)
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat, nikmat iman serta hidayah-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi inidengan judul “Pembandingan Metode Penghalusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt Dan Metode Box-Jenkins Pada Peramalan Data Deret Waktu Trend” sebagai salah satu syarat meraih gelar sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dan dukungan dari semua pihak, baik secara langsung maupun tidak langsung. Untuk itu penulis ingin menyampaikan rasa hormat dan ucapan terima kasih kepada: 1. Bapak Drs. Nusyirwan, M.Si., selaku pembimbing I yang selalu membimbing, memberikan arahan, ide, saran dan kritik dalam proses penyelesaian skripsi ini. 2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku pembimbing II yang selalu memberi dukungan dan semangat serta sabar dalam membimbing penulis dalam proses penyelesaian skripsi ini. 3. Ibu Ir. Netti Herawati, M.Sc., Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan saran dan nasihatnya dalam menyelesaikan skripsi ini.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. 5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D., selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. 6. Seluruh dosen, staf, serta karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. 7. Ayah dan Ibu yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan memotivasiku dalam menggapai cita-citaku. 8. Teman-teman, Suyitno, Aiman, Karina, Della, Maimuri, Eka, Suci, Efrizal, Dimas, Alfan, Musa dan teman-teman angkatan 2013 yang tidak bisa disebutkan satu persatu, terima kasih telah menjadi teman baik di dalam maupun diluar kampus. 9. Keluarga besar HIMATIKA yang telah banyak memberikan motivasi dan kenangan selama di kampus. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi sedikit harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membaca. Aamiin.
Bandar Lampung, Juli 2017 Penulis,
Rasyd Rosidi
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR TABEL .....................................................................................
vi
DAFTAR GAMBAR .................................................................................
vii
I.
PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 1.2. Tujuan Penelitian ..................................................................... 1.3. Manfaat Penelitian....................................................................
II.
1 2 2
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 2.2 2.3
2.4
2.5
2.6 2.7 2.8
2.9
Analisis Deret Waktu .............................................................. Kestasioneran Data Deret Waktu ............................................. Pemeriksaan Kestasioneran Data Deret Waktu ........................ 2.3.1 Uji Stasioner Data Secara Correlogram ....................... 2.3.2 Uji Stasioner Secara Kuantitatif .................................... Metode Box-Jenkins (ARIMA) ................................................
3 3 4 5 6 7
2.4.1 Model Autoregressive (AR(p)) ....................................... 2.4.2 Model Moving Average (MA(q)) .................................... 2.4.2 Model Autoregressive and Moving Average ................... Prosedur Box-Jenkins ............................................................... 2.5.1 Identifikasi Model ARIMA ............................................. 2.5.2 Estimasi Model ARIMA ................................................. 2.5.3 Evaluasi Model................................................................ 2.5.4 Prediksi atau Peramalan .................................................. Metode Pemulusan ................................................................... Metode Pemulusan Eksponensial ............................................. Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Ganda Dua Parameter dari Holt .......................................................... 2.8.1 Proses Inisialisasi ............................................................ Kriteria Kebaikan Model.......................................................... 2.9.1 Mean Absolute Deviation (MAD) ................................. 2.9.2 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) ....................
8 8 9 9 9 11 11 12 13 13 15 16 17 18 18
2.9.3
Mean Square Error (MSE) ....................................
19
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 3.2 3.3
Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. Data Penelitian ......................................................................... Metode Penelitian ....................................................................
20 20 21
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1
4.2
V.
Peramalan Jumlah Penumpang Bandara Juanda dengan Menggunakan Metode Box-Jenkins ......................................... 4.1.1 Plot Data Deret Waktu .................................................... 4.1.2 Identifikasi Model ........................................................... 4.1.3 Estimasi Parameter Model .............................................. 4.1.4 Evaluasi Model Box-Jenkins ........................................... Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda dengan Menggunakan Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt .................................................................. 4.2.1 Pemeriksaan Kestasioneran Data .................................... 4.2.2 Pemeriksaan Kecenderungan Data .................................. 4.2.3 Pendugaan Parameter α dan γ ......................................... 4.2.4 Perhitungan nilai Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt ............................................. 4.2.5 Pembandingan Metode Box-Jenkins dengan Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt..... 4.2.6 Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda dengan Model Terpilih ....................................................
KESIMPULAN ……………………………………………………
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
24 24 27 28 29
31 31 32 32 35 39 39 41
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1. Pola ACF dan PACF ............................................................................
11
2. Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda ........................................
20
3. Pemeriksaan Kestasioneran Data Melalui ADF ....................................
25
4. Pemeriksaan Kestasioneran Data Melalui ADF ....................................
27
5. Estimasi Parameter Model Box-Jenkins ...............................................
29
6. Correlogram Pengujian Keacakan Model ............................................
30
7. Nilai MSE Parameter α dan γ ................................................................
33
8. Nilai Pemulusan Jumlah Penumpang Bandara Juanda dengan Model Terbaik .......................................................................................
36
9. Pembandingan metode Box-Jenkins dan Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt ...................................................................
39
10. Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda ...............................
40
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
1. Plot Data Jumlah Penumpang Bandara Juanda .....................................
24
2. Plot Autokorelasi Data Jumlah Penumpang Bandara Juanda ...............
25
3. Plot Data Penumpang Bandara Juanda Hasil Diferensiasi ke-1.............
26
4. Correlogram Jumlah Penumpang Bandara Juanda ................................
28
5. Pengujian Normalitas Galat ...................................................................
30
6. Plot Autokorelasi Jumlah Penumpang Bandara Juanda .........................
31
7. Plot Kecenderungan Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda ........
32
8. Grafik Model Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt ....
34
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Peramalan merupakan suatu teknik untuk memprediksikan suatu nilai pada masa yang akan datang dengan memperhatikan data masa lalu maupun data saat ini. Terdapat banyak metode peramalan yang dapat digunakan, namun tidak semua metode peramalan yang dapat dengan tepat memprediksikan keadaan data di masa yang akan datang. Untuk menentukan metode peramalan pada data deret waktu perlu diketahui pola data dari data tersebut sehingga peramalan dengan metode yang sesuai dengan pola data dapat dilakukan. Pola suatu data deret waktu dapat dibedakan menjadi empat jenis, yaitu pola trend, pola musiman, pola siklis dan pola yang tidak beraturan.
Untuk meminimalisir terjadinya kesalahan pada hasil peramalan yang diinginkan maka perlu digunakan metode yang sesuai. Metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk meramalkan data yang memuat pola trend. Sedangkan metode Box-Jenkins merupakan metode yang dikembangkan oleh Geroge Box dan Gwilym Jenkins yaitu metode sering digunakan dalam peramalan data deret waktu. Metode Box-Jenkins
2
mencakup proses-proses stasioner dan nonstasioner, Autokorelasi, Autokorelasi Parsial dan lain-lain.
Dalam rangka meramalkan jumlah penumpang di Bandara Juanda, akan dibandingkan dua metode peramalan, yaitu metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dan metode Box-Jenkins. Berdasarkan data yang diperoleh, jumlah penumpang pesawat terbang di Bandara Juanda menunjukkan pola trend sehingga metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dan metode Box-Jenkins dapat digunakan untuk meramalkan jumlah penumpang di masa yang akan datang.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penulisan laporan ini adalah : 1
Mengkaji metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dan metode Box-Jenkins pada peramalan data deret waktu.
2
Membandingkan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dan metode Box-Jenkins pada peramalan data deret waktu.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini yaitu dapat menjadi referensi bagi pembaca apabila ingin melakukan penelitian mengenai peramalan dengan data yang memuat trend.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Deret Waktu
Deret waktu merupakan serangkaian pengamatan terhadap suatu variabel yang diambil dari waktu ke waktu dan dicatat secara berurutan menurut urutan waktu kejadiannya dengan interval waktu yang tetap. Rangkaian data pengamatan deret waktu dinyatakan dengan variabel Yt, dengan t adalah indeks waktu dari urutan pengamatan (Wei, 2006).
2.2 Kestasioneran Data Deret Waktu
Menurut Juanda dan Junaidi (2012), data deret waktu dikatakan stasioner jika memenuhi dua kriteria yaitu nilai tengah dan ragamnya konstan dari waktu ke waktu. Secara statistik dinyatakan sebagai, ( ) ( )
(
)
(rata-rata yang konstan) serta Var
(ragam Y konstan).
Berdasarkan nilai tengah dan ragamnya, terdapat dua jenis kestasioneran data yaitu data stasioner pada nilai tengahnya, jika data berfluktuasi disekitar suatu nilai tengah yang tetap dari waktu ke waktu dan data stasioner pada ragamnya, jika data berfluktuasi dengan ragam yang tetap dari waktu ke waktu.
4
Untuk mengatasi data yang tidak stasioner pada nilai tengahnya, dapat dilakukan proses pembedaan atau diferensiasi terhadap deret data asli. Proses diferensiasi adalah proses mencari perbedaan antara data satu periode dengan periode sebelumnya secara berurutan. Data yang dihasilkan disebut data diferensiasi tingkat pertama. Selanjutnya, jika diferensiasi pertama belum menghasilkan deret yang stasioner, dilakukan diferensiasi tingkat berikutnya. Pembedaan data diferensiasi tingkat pertama akan menghasilkan diferensiasi tingkat kedua. Pembedaan data diferensiasi tingkat kedua akan menghasilkan diferensiasi tingkat ketiga, dan seterusnya.
Untuk mengatasi data yang tidak stasioner pada ragamnya, umumnya dilakukan transformasi data asli kebentuk logaritma natural atau akar kuadrat. Data yang tidak stasioner pada ragam dapat juga disebabkan oleh pengaruh musiman, sehingga setelah dihilangkan pengaruh musimnya dapat menjadi data stasioner. Selanjutnya, jika data tidak stasioner baik pada nilai tengah maupun ragamnya, dilakukan proses diferensiasi dan transformasi Ln atau akar kuadrat.
2.3 Pemeriksaan Kestasioneran Data Deret Waktu
Terdapat dua cara untuk menguji data bersifat stasioner atau tidak, yaitu dengan cara grafik berupa tampilan correlogram dengan nilai ACF (Autocorrelation Function), dan PACF (Partial Autocorrelation Function) beserta nilai statistiknya, atau secara kuantitatif berupa uji Unit Root dengan metode ADF (Dickey-Fuller Test) dengan uji hipotesis.
5
2.3.1 Uji Stasioner Data Secara Correlogram
Uji stasioner secara correlogram dengan tampilan grafik batang berupa nilai koefisien ACF dan PACF dari lag yang tidak lain merupakan data runtun waktu dari jumlah penumpang Bandara Juanda Tahun 2008-2016 maupun nilai galat. Koefisien autokorelasi menunjukan tingkat keeratan hubungan antara nilai dari variabel yang sama untuk periode waktu yang berbeda yang disebut time lag. Pengidentifikasian sifat stasioner data mengacu kepada penurunan nilai koefisien ACF maupun PACF, bila nilai koefisien baik ACF maupun PACF menurun secara eksponensial seiring dengan meningkatnya k (lag), hal tersebut menunjukan data sudah dalam kondisi stasioner. Sebaliknya data tidak stasioner, bila nilai koefisien ACF dan PACF tidak menurun menuju nol seiring dengan meningkatnya k.
Fungsi ACF yang dipergunakan untuk identifikasi sifat stasioner data tidak lain adalah memberikan informasi mengenai korelasi antara data-data runtun waktu yang berdekatan. Secara matematis, fungsi autokorelasi lag ke k ditulis sebagai: = kovarian lag ke k / varian (
)
( )
(
)
(2.1)
Untuk data yang bersifat stasioner, maka nilai varian akan konstan, sehingga ( )
(
). Dengan demikian persamaan (
)
akan menjadi,
( ) (2.2)
6
2.3.2 Uji Stasioner Secara Kuantitatif
Yang dimaksud dengan pengujian sifat stasioner data secara kuantitatif adalah uji akar-akar unit yang menggunakan metode ADF. Pengujian secara kuantitatif apakah data deret waktu jumlah penumpang di Bandara Juanda bersifat stasioner atau tidak stasioner, sangatlah penting agar hasil kesimpulan tidak bersifat subjektif sebagaimana bila dalam bentuk tampilan grafik.
Pengujian dengan menggunakan metode ADF mensyaratkan data bersifat stasioner jika hasil ADF lebih kecil dari nilai kritis 5%.
(
)
(2.3) (
Dengan kata lain, jika
)
atau
yang berarti data tidak bersifat
stasioner atau sebaliknya. Metode transformasi dengan cara pembedaan untuk mengatasi data deret waktu yang tidak stasioner menjadi stasioner adalah sebagai berikut: (2.4) Persamaan (2.4) merupakan model yang tidak stasioner. Dengan transformasi pembedaan pertama, yaitu dikurangi
(
)
(
, maka nilai rata-rata dan varian menjadi:
)
(2.5)
7
(
)
(
)
(2.6)
Tampak jelas bahwa setelah ditransformasi, baik nilai rata-rata maupun varian telah konstan, yang berarti data ( ) sudah stasioner.
2.4 Metode Box-Jenkins (ARIMA)
Model ARIMA dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins, dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang ditetapkan untuk analisis deret waktu, peramalan, dan pengendalian. Model autoregressive (AR) pertama kali diperkenalkan oleh Yule dan kemudian dikembangkan oleh Walker, sedangkan model moving average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky. Akan tetapi Wold-lah yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dari proses kombinasi ARMA. Wold membentuk model ARMA yang dikembangkan pada tiga arah yaitu identifikasi, efisiensi, dan prosedur penafsiran (untuk proses AR, MA, dan ARMA). Perluasan hasil tersebut untuk mencangkup deret waktu musiman dan pengembangan sederhana yang mencangkup proses-proses non stasioner (ARIMA). Box dan Jenkins secara efektif telah berhasil mencapai kesepakatan mengenai informasi relevan yang diperlukan untuk memahami dan memakai model-model ARIMA. Metode ARIMA akan bekerja dengan baik apabila data deret berkala yang dipergunakan bersifat dependen atau berhubungan satu sama lain secara statistik (Makridakis dkk, 1999).
8
2.4.1 Model Autoregressive (AR(p))
Model Autoregressive (AR) merupakan regresi deret Yt terhadap amatan waktu sebelumnya Yt-k dari dirinya sendiri, untuk k = 1,2,…p. banyaknya nilai sebelumnya yang digunakan oleh model (sebanyak p) menentukan tingkat model ini. Bentuk umum model Autoregressive (AR)(p) adalah: (2.7) dengan: Yt αi t
: nilai variabel pada waktu ke-t : koefisien autoregressive, I : 1,2,3,…,p : nilai galat pada waktu ke-t
2.4.2 Model Moving Average (MA(q))
Model moving average pertama kali diperkenalkan oleh Slutsky. Model ini regresinya melibatkan selisih nilai variabel sekarang dengan nilai dari variabel sebelumnya. Model moving average disingkat sebagai MA(q), persamaannya adalah: (2.8) dengan: Yt βi t t-q Q
: nilai variabel pada waktu ke-t : parameter model moving average (MA) : nilai galat pada waktu ke-t : nilai kesalahan pada saat t-q : orde MA
9
2.4.3 Model Autoregressive dan Moving Average (ARMA(p,q))
ARMA(p,q) merupakan suatu model yang terdiri dari penggabungan antara model AR dan MA. Nilai Yt tidak hanya dipengaruhi oleh nilai peubah tersebut, tetapi juga oleh galat peubah tersebut pada periode sebelumnya. Bentuk umum model ARMA(p,q) adalah sebagai berikut: (2.9)
2.5 Prosedur Box-Jenkins
Untuk menentukan apakah perilaku data mengikuti pola AR, MA, ARMA atau ARIMA dan untuk menentukan ordo AR, MA serta tingkat proses diferensiasi untuk menjadi data stasioner. Box dan Jenkins (1982), telah mengembangkan suatu prosedur yang dikenal dengan prosedur Box-Jenkins, yaitu 1. Identifikasi Model 2. Estimasi Parameter Model 3. Evaluasi Model 4. Prediksi atau Peramalan
2.5.1 Identifikasi Model ARIMA
Langkah pertama yang perlu dilakukan dalam membangun model adalah mendeteksi masalah stasioner data yang digunakan. Jika data tidak stasioner pada level, diperlukan proses diferensiasi untuk mendapatkan data yang stasioner (baik pada level maupun pada differens), langkah selanjutnya adalah mengidentifikasi model.
10
Metode yang umum digunakan untuk pemilihan model melalui correlogram Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF). Misalnya, jika dimiliki data deret waktu sebagai berikut dibangun pasangan nilai ( lag k (korelasi antara ∑
)(
dengan ( ∑
(
). Autocorrelation untuk
) dinyatakan sebagai
̅ )( (
)
, maka dapat
, yaitu:
̅)
(2.10)
̅)
Dimana
= koefisien autokorelasi untuk lag k dan ̅ = rata-rata data deret waktu.
Karena
merupakan fungsi dari k, maka hubungan autokorelasi dengan lagnya
dinamakan fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function = ACF). Fungsi autokorelasi pada dasarnya memberikan informasi bagaimana korelasi antara datadata ( ) yang berdekatan. Selanjutnya , jika fungsi autokorelasi tersebut digambarkan dalam bentuk kurva, dikenal dengan istilah correlogram ACF.
PACF didefinisikan sebagai korelasi antara
dan
setelah menghilangkan
pengaruh autokorelasi lag pendek dari korelasi yang diestimasi pada lag yang lebih panjang. Algoritma untuk menghitung PACF sebagai berikut:
{
∑ ∑
̂ ̂
̂
}
(2.11)
̂
dengan, ̂ : partial autocorrelation pada lag k dan
adalah autocorrelation pada
lag k. pemilihan modelnya dengan ACF maupun PACF secara grafis mengikuti ketentuan sebagai berikut:
11
Tabel 1. Pola ACF dan PACF Model
Pola ACF
Pola PACF
Exponential, Exponential Menurun drastis pada lag AR(p) oscillation atau sinewave
tertentu
Menurun drastis pada lag Exponential, Exponential MA(q) tertentu
oscillation atau sinewave
Exponential, Exponential Exponential, Exponential ARMA(p,q) oscillation atau sinewave
oscillation atau sinewave
2.5.2 Estimasi Model ARIMA
Tahap selanjutnya dilakukan estimasi parameter model untuk mencari parameter estimasi yang paling efisien untuk model. Pada tahap ini dilakukan pengujian kelayakan model dengan mencari model terbaik. Model terbaik didasarkan pada goodness of fit, yaitu tingkat signifikasi koefisien peubah independen (termasuk konstanta) melalui uji t, uji F, maupun nilai koefisien determinasi (R2) serta dengan menggunakan MSE.
2.5.3 Evaluasi Model
Pada tahap ini dilakukan pengujian terhadap galat model yang diperoleh. Model yang baik memiliki galat yang bersifat acak. Analisis galat dilakukan dengan correlogram, baik melalui ACF maupun PACF. Jika koefisien ACF maupun PACF
12
secara individual tidak bersifat acak, harus kembali ketahap sebelumnya untuk memilih model yang lain. Pengujian signifikasi ACF dan PACF dapat dilakukan melalui uji Ljung-Box.
2.5.4 Prediksi atau Peramalan
Tahap terakhir adalah melakukan peramalan berdasarkan model terpilih. Menurut Assauri (1993), peramalan merupakan seni dan ilmu dalam memprediksikan kejadian yang mungkin dihadapi pada masa yang akan datang.
Masalah dalam peramalan biasanya dibagi kedalam tiga istilah. Istilah pendek, sedang, dan panjang dalam peramalan. Istilah pendek menyangkut kejadian yang hanya beberapa waktu periode (hari, minggu, dan bulan) kedepannya. Lalu istilah sedang artinya peramalannya secara luas dari satu sampai dua tahun kedepannya. Istilah panjang sendiri dalam masalah peramalan dapat diperluas menjadi dua tahun atau lebih (Shewhart and Wilks, 2007).
Dengan metode peramalan yang tepat, hasil peramalannya dapat dipercaya ketetapannya. Oleh karena masing-masing metode peramalan berbeda-beda, maka penggunannya harus hati-hati terutama dalam pemilihan metode dalam peramalan. Untuk mengevaluasi kesalahan peramalan bisa menggunakan Mean Square Error (MSE), Mean Absolute Error (MAE), dan Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
13
2.6 Metode Pemulusan Eksponensial
Pemulusan eksponensial merupakan suatu model peramalan rata-rata bergerak yang melakukan pembobotan terhadap data masa lalu dengan cara eksponensial sehingga data paling akhir mempunyai bobot atau timbangan lebih besar dalam rata-rata bergerak. Metode pemulusan eksponensial telah digunakan selama beberapa tahun sebagai suatu metode yang sangat berguna pada begitu banyak situasi peramalan.
Pada tahun 1957 C. C. Holt mengusulkan metode eksponensial yang berlaku untuk data deret waktu yang tidak memiliki unsur trend dan musiman. Kemudian pada tahun 1957 diusulkan suatu prosedur pemulusan eksponensial untuk data deret waktu yang memuat pola trend yang kemudian biasa disebut metode penghalusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt (Makridakis, dkk., 1999).
2.7 Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal
Metode pemulusan eksponensial tunggal dikenal juga sebagai pemulusan eksponensial sederhana yang digunakan pada peramalan jangka pendek. Model mengasumsikan bahwa data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang tetap, tanpa trend atau pola pertumbuhan konsisten (Makridakis, dkk., 1999). Rumus untuk pemulusan eksponensial tunggal adalah sebagai berikut : ( (
) )
14
(
)
(2.12)
dengan: = pemulusan eksponensial pada tahun ke= pemulusan eksponensial pada tahun ke= data pada periode waktu ke= konstanta pembobot pemulusan eksponensial (
)
Nilai α disebut pemulusan konstan, dalam model pemulusan eksponensial tunggal, nilai α bisa ditentukan secara bebas, artinya tidak ada suatu cara yang pasti untuk mendapatkan nilai α. Pemilihan nilai α dapat dilakukan dengan cara coba-coba, akan tetapi untuk mencari nilai α yang optimal dapat dilakukan dengan bantuan software (Brockwell, 2002).
2.8 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt
Pada metode pemulusan eksponensial tunggal tidak dapat digunakan untuk data yang memuat pola trend, sehingga Holt (1957) mengembangkan metode ini dengan memasukkan unsur trend pada persamaan tersebut yang kemudian biasa disebut metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt. Rumus untuk pemulusan eksponensial ganda dari Holt adalah sebagai berikut : (
)
(
) (
) (
( )(
) )
(2.13)
15
dengan : = pemulusan eksponensial pada tahun ke= pemulusan eksponensial pada tahun ke= data pada periode waktu ke= konstanta pembobot pemulusan eksponensial ( = nilai pemulusan unsur trend pada periode ke-
)
Untuk menghitung pemulusan unsur trend digunakan persamaan sebagai berikut: (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(2.14)
dengan : = konstanta pembobot pemulusan unsur trend ( = pemulusan eksponensial pada tahun ke= pemulusan eksponensial pada tahun ke= pemulusan unsur trend pada periode ke= pemulusan unsur trend pada periode ke-
)
Peramalan menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt yaitu dengan menghitung pemulusan eksponensial dan pemulusan unsur trend. Setelah kedua faktor ditemukan nilai pemulusannya, langkah terakhir adalah peramalan data pada periode m yang akan datang dengan rumus:
16
(2.15) dengan : = nilai yang ingin diramalkan = pemulusan eksponensial pada tahun ke= pemulusan unsur trend pada periode ke= periode waktu yang akan diramalkan (Makridakis, dkk., 1999).
2.8.1 Proses Inisialisasi
Proses inisialisasi atau penentuan nilai awal memiliki peranan cukup penting dalam melakukan peramalan dengan metode pemulusan eksponensial. Hal ini dapat dilihat pada persamaan pemulusan eksponensial tunggal pada persamaan (2.12). Misalkan untuk menghitung pemulusan periode ke depan maka (
)
(2.16)
Bila t = 1, persamaan (2.17) menjadi (
)
Untuk memperoleh nilai S2, S1 harus diketahui terlebih dahulu. Nilai S1 tersebut adalah:
(2.17)
17
(
)
(2.18)
Akan tetapi, nilai X1 dan S0 tidak ada. Begitu juga dengan nilai S1 yang harus diketahui untuk menghitung nilai S2. Akan tetapi nilai tersebut tidak diperoleh dari data yang ada. Oleh karena itu, diperlukan suatu cara untuk menentukan nilai S1 (nilai awal) tersebut. Banyak cara dalam menentukan nilai awal, berikut ini adalah beberapa cara penentuan nilai awal untuk beberapa jenis metode pemulusan eksponensial: a. Metode pemulusan eksponensial tunggal (2.19) b. Metode pemulusan eksponensial ganda ( dua parameter dari Holt) (2.20) (
) (
)
(2.21) (Pindyck, 1998).
2.9 Kriteria Kebaikan Model
Dalam melakukan peramalan ada beberapa metode yang digunakan untuk mencari ramalannya. Sebuah model dengan galat peramalan terkecil tentunya akan dipilih untuk melakukan prediksi di masa mendatang. Besarnya galat tersebut dapat dihitung melalui ukuran galat peramalan, sebagai berikut:
18
2.9.1 Mean Absolute Deviation (MAD)
Simpangan rata-rata MAD mengukur akurasi peramalan dengan meratakan nilai absolut galat peramalan. Nilai galat diukur dalam unit yang sama seperti pada data aslinya. (|
(∑
1|
1
|
t
|
2
2|
|
3
3|
|
n
n|)
t|
)
(2.22)
dengan: n = banyaknya data yang diamati = peramalan ke-t = data ke-t (Makridakis, dkk., 1999).
2.9.2 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
MAPE digunakan untuk melakukan perhitungan perbedaan antara data asli dan data hasil peramalan. Perbedaan tersebut diabsolutkan, kemudian dihitung ke dalam bentuk persentase terhadap data asli. Hasil persentase tersebut kemudian didapatkan nilai mean-nya. Suatu model mempunyai kinerja sangat bagus jika nilai MAPE berada di bawah 10%, dan mempunyai kinerja bagus jika nilai MAPE berada di antara 10% dan 20%. Adapun diberikan persamaan untuk menghitung MAPE yaitu:
19
(|
|
(∑
|
|
|
|
|
|
|
|)
)
(2.23)
dengan: n = banyaknya data yang diamati = peramalan ke-t = data ke-t
2.9.3 Mean Squared Error (MSE) atau Mean Squared Deviation (MSD)
Mean Square Error merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menganalisis atau mengukur kesalahan metode peramalan. Pada metode ini hampir mirip dengan metode MAD, rumus MSE adalah (∑
|
|)
dengan: n = banyaknya data yang diamati = peramalan ke-t = data ke-t
(2.24)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil dan semester genap tahun ajaran 2016/2017 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data penumpang Bandara Juanda pada tahun 2008-2016. Data tersebut merupakan data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS). Data tersebut adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda Bulan Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt Nov Des
2008 328446 282242 310829 275959 281806 281428 313235 298881 221823 340406 294919 309608
2009 331528 289383 319658 311808 337949 356683 391103 381083 308402 433271 427065 417994
2010 388819 349148 337764 405263 422810 441067 476358 367383 455251 477450 449044 474367
2011 457763 413489 436203 429024 448132 518562 529225 386770 548400 504393 516875 521433
Tahun 2012 530692 494799 544229 522512 542413 528568 602625 528977 651697 586731 607904 608329
2013 624398 518487 585913 560613 590532 627701 512111 658784 682269 685386 593909 624290
2014 617838 479197 538497 510996 554213 609753 455747 743304 604342 636143 593137 644533
2015 565027 474994 501031 513301 568271 518583 608491 699259 545042 605010 587291 671396
2016 656208 571726 618357 596085 675702 523451 825715 792232 649375 718451 699285 693048
21
3.3 Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : A. Metode Box Jenkins
1. Membuat Plot data jumlah penumpang Bandara Juanda. 2. Memeriksa kestasioneran data dengan melihat grafik ACF dan uji hipotesis ADF. Jika data tidak stasioner dilakukan proses diferensiasi pada data. 3. Mengidentifikasi model Box-Jenkins dengan menggunakan metode pemilihan model melalui ACF dan PACF. 4. Mengestimasi parameter model Box-Jenkins terbaik melalui a. uji signifikansi koefisien peubah independen termasuk konstanta dengan pvalue < α = 0,05 b. Kritieria nilai MSE 5. Mengevaluasi model Box-Jenkins terhadap model dengan pengujian normalitas galat menggunakan Model Jargue-Bera.
B. Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt
1. Memeriksa kestasioneran data dengan melihat grafik ACF 2. Pemeriksaan kecenderungan data dengan menyajikan grafik analisis kecenderungan. Apabila grafik analisis kecenderungan menunjukkan kecenderungan naik atau turun, maka data memuat unsur kecenderungan.
22
3. Pendugaan parameter α dan γ untuk mengestimasi parameter model dengan cara simulasi, yakni mensimulasikan kisaran α dan γ pada interval (0,1). Kemudian menentukan parameter α dan γ terbaik dengan mempertimbangkan nilai MSE. 4. Perhitungan nilai pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dengan cara sebagai berikut: a. Perhitungan Mencari Nilai Pemulusan ( ) (
)(
)
b. Perhitungan mencari nilai trend pemulusan ( ) (
)
(
)
c. Peramalan pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt
dengan: = pemulusan eksponensial pada tahun ke= pemulusan eksponensial pada tahun ke= data pada periode waktu ke= konstanta pembobot pemulusan eksponensial ( = konstanta pembobot pemulusan unsur trend ( = pemulusan unsur trend pada periode ke= pemulusan unsur trend pada periode ke= nilai yang ingin diramalkan = periode waktu yang akan diramalkan
) )
C. Pembandingan Metode Box-Jenkins dan Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt
23
Hasil pemilihan model yang diperoleh dari metode Box-Jenkins kemudian dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dari metode pemulusan eksponensial Ganda Dua Parameter Holt. Pembandingan dilakukan dengan mempertimbangkan nilai MSE untuk dua model tersebut.
D. Peramalan Jumlah Penumpang Bandara Juanda Dengan Model Terpilih
Melakukan peramalan penumpang di Bandara Juanda dengan menggunakan model terpilih selama satu tahun kedepan.
V. KESIMPULAN
Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Metode Box-Jenkins dan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dapat digunakan untuk meramalkan data jumlah penumpang Bandara Juanda dikarenakan data mengandung faktor trend. 2. Model Box-Jenkins yang paling tepat dengan data adalah ARIMA (0,1,1) atau
Dengan nilai MSE sebesar 59883,12. 3. Model pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt yang paling tepat adalah dengan parameter pemulusan α = 0,23 dan γ = 0,001. Dengan nilai MSE sebesar 59465,56. 4. Peramalan jumlah penumpang Bandara Juanda tahun 2008 sampai 2016 lebih tepat menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt karena menghasilkan nilai MSE yang lebih kecil dibandingkan metode BoxJenkins.
DAFTAR PUSTAKA
Assauri, S. 1984. Teknik dan Metoda Permalan. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta.
Brockwell, J.P. and Davis, A.R.2002. Introduction to Time Series and Forecasting. Springer, New York.
Juanda, B. dan Junaidi. 2012. Ekonometrika Deret Waktu Teori dan Aplikasi. IPB Press, Bogor.
Makridakis, S., Wheelwright, S. C., dan McGee, V. E. 1992. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi Kedua. Terjemahan Untung Sus Andriyanto. Erlangga, Jakarta.
Makridakis, S., Spyros, and Wheelwright, S. C. 1999. Forecasting Methods and Application. Erlangga, Jakarta.
Shewhart, W.A. and Wilks, S.S. 2008. Wiley Series in Probability and Statistics. John Wiley & Sons, Inc., New York.
Pindyck, R. dan Rubinfeld, D. 1998. Mikroekonomi. PT. Ikar Mandiri Abadi, Indonesia.
Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods. Second Edition. Pearson Education Inc., Canada.
