PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X MATEMATIKA PEMINATAN

PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X MATEMATIKA PEMINATAN

Soal 1 Diberikan dua vektor sebagai berikut:

 a

Gambarkan vektor

 b   a) 2a  b





b) a  b

Jawab:

   a) Untuk menggambar vektor 2a  b , gambar dahulu vektor 2a , lalu disambung dengan

   vektor b . Vektor 2a adalah vektor yang panjangnya 2 kali vektor a dan arahnya sama   dengan arah vektor a . Gambar dulu yuk vektor 2a :

 2a





Kemudian, dilanjutkan dengan menggambar vektor b . Letakkan pangkal vektor b pada

 ujung vektor 2a :

 b

 2a   Lalu mana vektor 2a  b ?

 Buat garis berarah (vektor) dari pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor 2a ) ke    ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b ). Itulah vektor 2a  b . Gambarnye:

SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT

Hal. 1

 b

  2a  b

 2a

   b) Untuk menggambar vektor a  b , gambar dahulu vektor a , lalu disambung dengan   vektor  b . Pertama, gambar vektor a :

 a



Selanjutnya, vektor  b adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor

  b , tapi arahnya berlawanan dengan arah vektor b .  Kalau vektor b arahnya ke kanan atas:

 b



Maka vektor  b arahnya ke kiri bawah:

 b    Geser vektor  b ini ke vektor a , pangkal vektor  b ditempelkan ke ujung vektor  a.

 b

 a


Hal. 2

 Nah, hubungin pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a ) ke    ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor  b ), jadi deh vektor a  b .

 a

 b   a b

Soal 2

    Diketahui a  4 , a  b  61 , sudut apit antara vektor a dan b adalah 60o. Maka b  .... Jawab: Untuk soal ini, gunakan rumus menawan berikut:

  a b 

Hafalin rumus ini yuuuk…!!

2 2   a  b  2 a b cos 

dengan  adalah sudut apit antara vektor

 a

dan

 b.

Masukkan nilai-nilai yang ada,

  a b 

2 2   a  b  2 a b cos 

61 

2  42  b  2  4  b  cos 60

2  1 61  16  b  2  4  b  2 kuadratkan

2  61  16  b  4 b

2  0  b  4 b  16  61 2  0  b  4 b  45


Hal. 3







  0  b 9 b 5  b 9 0 atau  b  9 atau

 b 5  0  b 5





Solusinya adalah b  5 sebab panjang vektor diasumsikan positif. Jadi, b  5 . (Ternyata, memecahkan soal vektor tidak sesulit memecahkan batu karang dengan gergaji!!)

Soal 3

 5   9   k              Diketahui persamaan 2a  3b  c dengan a    1 , b   m  dan c   8  .  2   2n  1   3       Maka nilai k + m + n = …. Jawab: Kita mulai dari persamaan:

   2a  3b  c .

   Masukkan nilai vektor a, b , dan c , sehingga menjadi:

 5   9   k        2  1  3 m    8   2    3   2n  1        10   27   k          2    3m    8   4    9   2n  1        10   27  k        2    3m  8   4    9  2n  1     Dari sini, kita peroleh:

10  27  k  k  17  2  3m  8  m  2 4  9  2n  1  n  7 Sehingga k  m  n  17  2  7  12 .


Hal. 4

Soal 4 Titik D(4, 7), E(5, –1) dan F(p, 6) terletak pada satu garis lurus. Maka nilai 30p – 1 = … Jawab:

Jika titik D, E dan F segaris, maka berlaku: 



DF  m DE

    f  d  m(e  d )

 5   4  p   4       m        6  7    1  7    p  4  1     m   1  8     Dari sini,

p  4  m 1

dan

 1  8m

1 m 8

1 1 8 1 p 4 8 1 p4 8 33 p 8

p4

Maka nilai dari 30 p  1  30.

33 990 8 982 491 3 1      122 . 8 8 8 8 4 4


Hal. 5

Soal 5

Apakah syarat dua vektor sejajar? Jelaskan!

 12   3        Nah, jika vektor s   2 p  sejajar dengan vektor t   1  .maka nilai p 2  q 2  ....  q    2     Jawab:

Dua vektor sejajar jika vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang lain.   Jika vektor s sejajar dengan vektor t , maka dapat ditulis

  s  mt (dengan m suatu bilangan riil)

  Masukkan nilai vektor s dan t pada soal, didapatkan:  12   3       2 p   m 1   q    2     Dari komponen pertama, 12 = m . 3 m=4 Dari komponen kedua,

2 p  m 1 2 p  4 1 p=2 Dari komponen ketiga,

q  m  (2) q  4  (2) q  8 Maka nilai p 2  q 2  22  (8) 2  4  64  68.

Soal 6

         Jika p  2i  j dan q  i  j  k maka p  3q  .... Jawab:


Hal. 6

               p  3q  (2i  j )  3(i  j  k )  2i  j  3i  3 j  3k  5i  2 j  3k .   Maka p  3q 

52  22  32 

25  4  9  38 .

Soal 7

6   3       Diberikan a   2  dan b   5  . 0  2        Tentukan: (i) hasil kali skalar a  b  ....

 (ii) vektor satuan searah vektor b   (iii) panjang proyeksi vektor a pada b   (iv) proyeksi vektor orthogonal a pada b

Jawab:

(i)

 6    3       Hasil kali a  b   2    5   18  10  0  8 .  0  2     

(ii)

  b Vektor satuan searah vektor b adalah  . b

 b   b

  3    5   2    2

2

(3)  5  2

2



  3    5   2    9  25  4



  3    5   2   

    38   

3   38 5  . 38  2  38 

    a b (iii) Panjang proyeksi vektor a pada b adalah  . b

  a b   b

 6    3      2   5  0  2      (3) 2  52  2 2



 18  10  0 8  . 38 38

Kalau mau dirasionalkan penyebutnya juga boleh!!

8 8   38 38

38  8 4  38   38 . 38 19 38


Hal. 7

     a b   (iv) Proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah   b . 2  b     6    3      2   5       3 0  2   a b        5    2 b   2  b   (3) 2  52  2 2   2            3   18  10  0   5   (3) 2  52  2 2    2 

  3  8   5  38    2    3  4   5  19    2 

Kalau bilangan

4 dimasukin ke dalam komponen-komponen vektor juga boleh, nggak 19

dimarahin kok!

 12   19    3      20  4  5    19  . 19     2    8   19  Soal 8 Diberikan titik-titik P(3, 1, 2), Q(4, 1, –2) dan R(0, 2, 2). Tentukan: (i) Jarak PQ 



(ii) Jika  adalah sudut yang dibentuk antara vektor PQ dan PR , tentukan nilai cos  . Jawab: 

(i) Cari dulu vektor PQ , kemudian hitung panjangnya (yaitu PQ).

 4   3  1          PQ  q  p   1    1    0  .   2  2   4       



Maka PQ  PQ  12  0 2  (4) 2  1  0  16  17 .


Hal. 8

(ii) Gunakan rumus cos  









PQ PR PQ PR

 1     Dari soal (i) sudah didapatkan PQ   0  dan PQ  17 . Sekarang kita cari   4   





PR dan PR .  0   3    3         PR  r  p   2    1    1  ,  2  2  0        



sehingga PR 

(3) 2  12  0 2 

9  1  0  10 .

 1    3     0  1     PQ PR   4   0   3  0  0 3    Maka cos   .   17 10 170 170 PQ PR

Soal Matematika ada 2 macam: 1. Soal yang singkat, mudah dan simpel. 2. Soal yang mengasyikkan …

Soal 9 Di suatu bidang terletak titik A(7, 0) dan titik B(–14, 7). Titik P terletak pada ruas garis AB sehingga AP : PB = 4 : 3. Sedangkan titik Q terletak pada perpanjangan AB sedemikian sehingga AB : BQ = 7 : 2. Tentukan koordinat titik P dan titik Q! Jawab:


Hal. 9

Perhatikan gambar!

Titik P terletak di dalam ruas garis AB. Vektor posisi titik P dapat dicari dengan persamaan:

  14  7    3   4 7   4b  3a  0  p   43 7

  56   21       28   0   7

  35     28     5  .  4  7  

sehingga koordinat titik P adalah (–5, 4).

Untuk titik Q, perhatikan bahwa titik Q terletak di luar ruas garis AB.

Perhatikan gambar di atas! Karena AB : BQ = 7 : 2 , maka AQ : QB = 9 : –2 sehingga vektor posisi titik Q dapat dinyatakan dengan persamaan

  14  7    2   9 7   9b  2a  0  q   92 7

  126  14        63   0   7

  140     63     20   9  7  

Sehingga koordinat titik Q adalah (–20, 9).

Soal 10

 9   1        Vektor a    3  tegak lurus vektor b   4  . Tentukan nilai m.  4   3m  1     Jawab:

    Jika vektor a tegak lurus b maka berlaku persamaan: a  b  0


Hal. 10

  (Bukti: Jika vektor a tegak lurus b maka sudut apitnya   90 , sehingga         a  b  a b cos   a b cos 90  a b  0  0 , terbukti)

 

Jadi, a  b  0

 9   1        3   4   0  4   3m  1     9.1  3.4  4(3m  1)  0 9  12  12m  4  0 12m  1  0 12m  1 1 m 12

Soal 11 Diberikan vektor a = –2i + j + xk dan vektor b = 4i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 8, maka x = .... Jawab: INGAT! Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

ab . b

Dalam bentuk vektor kolom, vektor a dan b bisa juga ditulis:   2   a = –2i + j + xk   1   x   

 4    b = 4i – 2j + 6k    2   6   

Karena panjang proyeksinya 8, maka:

ab =8 b  -2   4       1     2 x  6      2

2

4  (2)  6

2

8

 8  2  6x 8 16  4  36

 10  6 x 8 56 SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT

Hal. 11

 10  6 x 8 2 14

 10  6 x  16 14 6 x  16 14  10 x

16 14  10 6

x

8 14  5 3

(Pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 2)

Soal 12

 



Diketahui vektor-vektor satuan arah sumbu X, Y dan Z berturut-turut adalah i , j , dan k .  





Tentukan: (a) i

(iii) k  k

(ii) k

 

(d) i  j

Jawab:



(a) i  1



(Alasan: Karena i adalah vektor satuan, panjangnya tentu 1 satuan dong!)



(b) k  1 (Alasan:

 k juga vektor satuan)

    k  k  k k cos 0  1.1.1  1 (c)   o (INGAT! Sudut antara vektor k dengan k adalah 0 . INGAT juga nilai cos 0  1)  

 

(d) i  j  i j cos 90  1.1.0  0





(INGAT! Sudut antara vektor i dan j adalah 90 . INGAT juga cos 90  0)

Soal 13

    Diketahui a  8 dan b  2 3 . Sudut apit antara vektor a dan b adalah 30o. Nilai dari   a b  .... SMAN 3 Jakarta/X-IPA/Matematika Peminatan/QCQC PAT

Hal. 12

Jawab:

    Gunakan definisi perkalian skalar a  b  a b cos  . Maka: 8     1 a  b  a b cos   8  2 3 cos 30  16 3  3  8  3  24. 2

Soal 14     Pada jajargenjang PQRS, vektor QP  u dan QR  v .

Titik X adalah titik tengah SR, sedangkan titik Y adalah titik tengah PS. Nyatakan vektor: 

(a) QX 

(b) XY   dalam u dan v ! Jawab: (a) Perhatikan gambar! .

    1 QX  QR  RX  v  u 2

(b) Perhatikan gambar!







XY  XS  SY 

1 1 u v 2 2

  (Lihat vektor SY dan v berlawanan arah)


Hal. 13

Soal 15 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini:

( x  6)( x  1) 2

(a)

( x  9)3

x2  9 

(b)

0

x 2  3x  2

Jawab:

(a) Pertidaksamaan

( x  6)( x  1) 2 ( x  9)3

0

Pertama, tentukan titik-titik batas, yaitu nilai-nilai x sehingga:

x60

( x  1) 2  0

( x  9)3  0

x 1  0

x 9  0

x 1

x9

x  6

Lalu letakkan nilai-nilai batas ini pada garis bilangan:

Perhatikan bahwa pada angka –6 titiknya satu buah, angka 1 titiknya dua buah, sedangkan pada angka 9 titiknya tiga buah, sesuai dengan pangkat pada soal

( x  6)( x  1) 2 ( x  9)3

 0.

Ingat aturan pengisian tanda:

Jika titiknya ganjil, maka daerah kanan dan kirinya berbeda tanda Jika titiknya genap, maka daerah kanan dan kirinya sama tanda.


Hal. 14

Cek tanda untuk daerah paling kanan. Ambil sembarang bilangan yang > 9, misalkan 10. Masukkan x = 10 ke bentuk

( x  6)( x  1) 2 ( x  9)3



( x  6)( x  1) 2 ( x  9)3

(10  6)(10  1) 2 (10  9)3



.

16  9 2 13

 0 hasilnya positif.

Jadi kita isi deh daerah paling kanan positif:

Karena angka 9 titiknya ada tiga (ganjil), maka daerah tepat di sebelah kiri 9 tandanya berbeda, yaitu negatif:

Dan karena angka 1 titiknya ada dua (genap), maka daerah tepat di kiri 1 tandanya sama, yaitu negatif:

Kemudian, karena angka –6 titiknya ada satu (ganjil), maka daerah tepat di kiri –6 tanda berbeda dengan di kanannya, yaitu bertanda positif:

Lengkaplah sudah pengisian tanda!

Pada soal ,

( x  6)( x  1) 2 ( x  9)3

 0 berarti yang diminta adalah daerah yang bertanda

negatif.


Hal. 15

Sehingga himpunan penyelesaian (HP)nya dapat ditulis sebagai:

HP  {x  6  x  1 atau 1  x  9 , x bilangan riil }

atau bisa juga ditulis:

HP  {x  6  x  9 , x  1, x bilangan riil }

x2  9 

(b) Cara menyelesaikan pertidaksamaan

x 2  3x  2

adalah dengan mengkuadratkannya menjadi:

x 2  9  x 2  3x  2

………………….. (I)

dengan syarat bentuk di bawah tanda akar harus  0 :

x2  9  0 dan

x 2  3x  2  0

……………………..(II) ……………………… (III)

Pertama, kita selesaikan dulu pertidaksamaan (I):

x 2  9  x 2  3x  2 3x  2  9 3x  11

x

11 3

……………………(*)

Bagannya:


Hal. 16

Berikutnya, kita kerjakan pertidaksamaan (II):

x2  9  0 ( x  3)( x  3)  0

x  3 atau x  3

………………... (**)

(Catatan: Karena ada tanda = nya, bulatannya penuh)

Juga kita kerjakan pertidaksamaan (III):

x 2  3x  2  0 ( x  1)( x  2)  0

x 1

atau x  2

………………... (***)

(Catatan: Karena ada tanda = nya, bulatannya penuh) Nah, penyelesaian akhirnya adalah irisian dari ketiga daerah tersebut (daerah (*), (**), dan (***)). Irisan adalah bagian yang berada di bawah tiga garis. Yuuk kita iris:

Maka HP  {x x 

11 , x bilangan riil} . 3


Hal. 17


Hal. 18

PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X MATEMATIKA PEMINATAN

Recommend Documents