PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS MATEMATIKA PEMINATAN XI - IPA SOAL 1 Perhatikan segitiga di bawah ini!

Tentukan nilai

sec   cosec  cot 

Jawab: INGAT definisi: sin 

depan miring

cosec 

1 miring  sin depan

cos 

samping miring

sec 

1 miring  cos samping

tan 

depan samping

cot 

1 samping  tan depan

Pada soal di atas, sisi depan = 15 cm, sisi miring = 17 cm. Sisi samping dicari dengan rumus Pythagoras.

 172  152  289  225  64  8 cm

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa

Hal. 1

Maka sec  

17 17 8 , cosec  dan cot   8 15 15

17 17 255 136 391 1   sec   cosec 8 15 120 120 120 391 15 391 Sehingga .       8 8 8 cot  120 8 64 15 15 15 8 (Hitung-hitungan mengenai pecahan mengingatkan kenangan indah waktu sd….)

SOAL 2

 2

Nilai dari sin 2 ( )  cos

   tan  .... 3 4

Jawab: Ingat tabel ini aaahhhh…..!!

O ya, untuk mengubah satuan radian ke satuan derajat, gunakan konversi:

Kembali pada soal,

   sin 2 ( )  cos  tan 2 3 4 2

      sin   cos  tan 2 3 4  180 180  sin 902  cos  tan 3 4  (sin 90) 2  cos 60  tan 45  12 

1 1 1  2 2


Hal. 2

SOAL 3 Jika p  a cos330 , dan q  a tan 120 serta p  q  6 3 maka nilai dari a = ….

Jawab: o

Untuk sudut yang lebih besar dari 90 , ingat kuadran-kuadran:

INGAT!! Acuan sudut adalah terhadap sumbu X bukan sumbu Y…!! INGAT….. INGAT!!! Untuk menghitung cos 330 , perhatikan bahwa sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X o o (BUKAN sumbu Y!!!!) adalah 30 . Sudut 330 ada di kuadran IV, nilai cos adalah positif.

o

o

Jadi, cos 330 = cos 30 =

1 3. 2

o

o

Untuk menghitung tan 120 , perhatikan sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X adalah 60 . o Sudut 120 ada di kuadran II, nilai tan adalah negatif.

o

o

Jadi, tan 120 = – tan 60 =  3

Dari soal,

pq 6 3 a cos 330  a tan 120  6 3 1 a 3  a( 3 )  6 3 2


Hal. 3

1 3  3)  6 3 2 1 a( 3)  6 3 2 6 3 a  12  1  3   2  a(

SOAL 4 Diketahui sin x  2 p dengan x sudut lancip. Maka nilai dari tan x = …. 5

Jawab: Buat segitiga bantu. Ingat, sin = depan/miring.

 52  ( 2 p ) 2  25  4 p 2

Maka nilai tan x adalah: tan x 

depan  samping

2p 25  4 p

. 2

SOAL 5 Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos3x  1 3 untuk 0  x  360 2

adalah….

Jawab: INGAT! Penyelesaian cos X   cos A adalah X  A  k.360 atau X   A  k.360 . 1 3 2 cos3x  cos 60

cos 3x 

Pada soal, 3x  60  k.360 x  20  k.120


atau

3x  60  k.360 x  20  k.120 Hal. 4

x  20  k.120

atau

x  20  k.120

k  0  x  20

k  0  x  20

k  1  x  140

k  1  x  100

k  2  x  260

k  2  x  220

k  3  x  380

(di luar batas 0–360)

(di luar batas)

k  3  x  340

Jadi, HP = {20, 100, 140, 220, 260, 340} Solusinya ada 6 buah.

SOAL 6 Himpunan penyelesaian dari persamaan ( 2 sin x  1)(sin x  2)  0 untuk 0  x  2 adalah….

Jawab: ( 2 sin x  1)(sin x  2)  0

2 sin x  1  0 sin x 

atau

1 2

sin x  2

[Tidak ada penyelesaian sebab batas nilai sin x adalah  1  sin x  1]

1 2 2 sin x  sin 45 sin x 

x  45  k.360

x  (180  45)  k.360 (lihat pengumuman di bawah!)

k  0  x  45 k  1  x  405

sin x  2  0

x  135  k.360 k  0  x  135

(di luar batas)

k  1  x  485

(di luar batas)

Jadi , HP = {45O, 135O}  3  =  ,  4 4 

SOAL 7 Banyaknya penyelesaian x dari persamaan 4 tan 2 x  4  0 dengan 0  x  360 ada berapa buah?

Jawab: 4 tan 2 x  4  0 4 tan 2 x  4

tan 2 x  1 Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa

Hal. 5

tan 2 x  tan 45 2 x  45  k.180 x  22,5  k.90 k  0  x  22,5 k  1  x  112,5 k  2  x  202,5 k  3  x  292,5 k  4  x  382,5

(di luar batas)

HP = {22,5 ; 112,5 ; 202,5 ; 292,5} Banyak penyelesaian ada 4 buah!

CARA CEPAT: Banyak penyelesaian x dari tan bx  c pada selang 0  x  360 adalah 2b (asalkan c  0) Pada soal, b = 2. Maka banyak penyelesaiannya = 2b = 2 x 2 = 4 buah.

SOAL 8 o

Nilai dari cos 105 = ….

Jawab: INGAT RUMUS:

sin(  )  sin  cos  cos  sin  sin(  )  sin  cos  cos  sin  cos(  )  cos  cos  sin  sin  cos(  )  cos  cos  sin  sin 

cos(105)  cos(60  45)  cos 60 cos 45  sin 60 sin 45 1 1 1 1   2 3 2 2 2 2 2 1 1  2 6 4 4

(Catatan: Perhatikan tanda plus-minus pada rumus cos(  )  cos  cos  sin  sin  )


Hal. 6

SOAL 9 Diketahui tan x  15 , maka tan 2 x  ....

Jawab: Gunakan rumus: tan 2 x 

2 tan x 1  tan 2 x



2 15 1  15

2



30 30 15   1  225  224 112

SOAL 10 Jika diubah ke bentuk penjumlahan, maka bentuk 2 cos84 sin 20 = ….

Jawab: Hafalkan rumuz berikut:

2 sin A cos B  sin( A  B)  sin( A  B) 2 cos A sin B  sin( A  B)  sin( A  B) 2 cos A cos B  cos(A  B)  cos(A  B)  2 sin A sin B  cos(A  B)  cos(A  B)

Maka 2 cos84 sin 20  sin(84  20)  sin(84  20)  sin(104)  sin(64)

SOAL 11 Jika diubah ke bentuk perkalian, maka cos8  cos  ....

Jawab: Hafalkan rumuz berikut:

 A B  A B sin A  sin B  2 sin   cos   2   2   A B  A B sin A  sin B  2 cos  sin    2   2   A B  A B cos A  cos B  2 cos  cos   2   2   A B  A B cos A  cos B  2 sin   sin    2   2 


Udah hafal belum 4 rumuz ini? Kalau belum ….. hafalkan ya…!

Hal. 7

 8     8    cos8  cos   2 sin   sin    2   2   9   7  .  2 sin   sin    2   2 

Maka

SOAL 12 Nilai

cos 78  cos12  .... sin 78  sin 12

Jawab: 0

0

 78  12   78  12  2 cos  cos  cos 78  cos12 2 cos 45. cos33 cos 45 2  2       0 0 sin 78  sin 12 2 sin 45 cos33 sin 45  78  12   78  12  2 sin   cos   2   2  

1 2 1 2

2 2

 1.

SOAL 13 Jika

3 sin x  cos x diubah menjadi bentuk k cos(x  ) , tentukan nilai k dan  .

Jawab: INGAT!

a sin x  b cos x  k cos(x  )

k  a 2  b2

dan

tan  

a b

dengan sudut  sesuai dengan tanda positif negatif koefisien dari sin x dan cos x.

Pada soal, a  3 dan b  1. Maka k  a 2  b 2 

 3 2  (1) 2 

3 1  4  2 .

dan tan   a  3   3 . b 1 Nilai  dengan tan    3 ada 2 macam, yaitu

  120 dan   300 .

Yang mana yang benerr?? Lihatlah pada koefisien sin (yaitu a  3 ) bernilai positif, sedangkan koefisien cos (yaitu b  1) bernilai negatif.


Hal. 8

Naahhh… sudut dengan sin positif dan cos negatif ada di kuadran berapa hayoooo…??

Di kuadran II. Sehingga,   120 (karena di kuadran II). Jadi, k = 2 dan   120 .

SOAL 14 Nilai maksimum dari fungsi f ( x)  5 sin 4 x  6 cos 4 x adalah….

Jawab: Yuk jadikan bentuk f ( x)  5 sin 4 x  6 cos 4 x ke bentuk k cos(4 x  ) , dengan k  52  6 2  25  36  61 . Maka f ( x)  5 sin 4 x  6 cos 4 x  61 cos(4 x  ) Jelas nilai maksimum fungsi ini adalah ketika cos  1 . Jadi f maks  61 .

SOAL 15 Sederhanakan bentuk  sin x  cos x  cos x .  cos x sin x 

Jawab: Samakan dulu penyebut pecahan yang ada di dalam kurung. Maka:  sin x cos x   sin x sin x cos x cos x      cos x    cos x  cos x sin x   cos x sin x cos x sin x   sin 2 x  cos2 x   cos x     cos x sin x 

 1     sin x   cosec x


Hal. 9

SOAL 16 Tuliskan rumus-rumus sudut ganda dong!

Jawab: Boleh.. Ini: sin 2  2 sin  cos cos 2  cos2   sin 2 

 2 cos2   1  1  2 sin 2  tan 2 

2 tan  1  tan 2 

SOAL 17 Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini! a) Lim sin 5 x  .... x0

3x

2 b) Lim sin 7 x  .... x0 5 x tan 4 x

c) Lim 8 x. tan 9 x  .... x0

sin 2 x

Jawab: Gunakan rumuz-rumuz berikut:

sin ax ax tan ax ax sin ax tan ax a  Lim  Lim  Lim  Lim  Lim  x0 bx x0 sin bx x0 bx x0 tan bx x0 tan bx x0 sin bx b

Lim

a) Lim sin 5 x  5 . (Mudah …. Alhamdulillah….) x0

3x

3

2 b) Lim sin 7 x  Lim sin 7 x.sin 7 x  7  7  49 . x0 5 x tan 4 x x0 5 x tan 4 x 5 4 20

c) Lim 8 x. tan 9 x  Lim 8 x tan 9 x  8 . tan 0  4  0  0 . x0

sin 2 x

x0

sin 2 x

2

INGAT! Pada soal c) tan 9x tidak ada pasangannya, jadi dimasukkan saja x = 0 ke tan 9x.


Hal. 10

SOAL 18 Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini! a) Lim (cos6 x)  1  .... 2 x0

3x

b) Lim 3  3 cos(2 x  6)  .... 2 ( x  3)

x3

Jawab: a) Rumus cos 2  1  2 sin 2  sering digunakan dalam menghitung limit trigonometri yang mengandung fungsi cos. Dengan mengambil   3x , maka cos 6 x  cos 2(3x)  1  2 sin 2 (3x). 2 Sehingga Lim (cos6 x)  1  Lim 1  2 sin (3x)  1  Lim  2 sin(3x) sin(3x) 2 2 x0

3x

x0

3x

x0

3x  x

3 3  2    6 3 1

b) Untuk limit x tidak mendekati nol (0), maka buat variabel baru yang mendekati nol. Misalkan u  x  3 . Jika x  3 maka u  0 . Maka: Lim

3  3 cos(2 x  6)

x3

( x  3)

2

 Lim

3  3 cos[2( x  3)] ( x  3) 2

x3

 Lim

3  3 cos 2u u2

u 0

 Lim

3  3(1  2 sin 2 u ) u2

u 0

 Lim

3  3  6 sin 2 u

u 0

u2

6 sin u  sin u u 0 u u

 Lim

1 1  6  1 1 6

SOAL 19 Lim xq

cos x  cos q x2  q2

 ....

Jawab:


Hal. 11

Gunakan rumus selisih cos: cos A  cos B  2 sin  A  B  sin  A  B  

Maka Lim

cos x  cos q x2  q2

x q

2





2



 xq  xq  2 sin   sin   2   2    Lim x q ( x  q)( x  q)  xq  xq  2 sin     2  2     Lim . Lim x q x q ( x  q ) ( x  q) qq 1  2 sin      2 . 2   (q  q) (1)



 2 sin q   1  .  2q 2



sin q . 2q

Perhatikan jawabannya dalam q.

CARA CEPAT: Gunakan teorema l’Hopital dengan turunan

Lim xa

f ( x) f ( x)  Lim g ( x) xa g ( x)

Pada soal, Lim cos x  cos q  Lim  sin x   sin q . xq xq 2x 2q x2  q2

INGAT TURUNAN FUNGSI TRIGONO: y = sin x  y’ = cos x y = cos x  y’ = – sin x

SOAL 20 Jika Lim 2a  cos x  4 , maka nilai a + b = …. 2 x0

3bx

Jawab: Coba masukkan x = 0, maka 2a  cos x  2a  cos 0  2a  1 . 2 2 3bx


3b.0

0

Hal. 12

Karena Lim 2a  cos x  4 , maka 2 x0

3bx

2a  1  4. 0

Hal ini mengharuskan 2a  1  0 sehingga bentuknya menjadi 0 .

0 2 a  1 2a  1 (Jika 2a  1  0 maka  4 . Sedangkan jika 2a  1  0 , maka   . Kontradiksi dengan 0 0 persamaan 0  4 masih memungkinkan). 0

Jadi,

2a  1  0 1 a 2

Masukkan a  1 ke dalam limit, maka: 2

Lim x0

Lim x0

2a  cos x 3bx 2 1  cos x 3bx 2

4

4

Lim

1  cos 2( 12 x)

Lim

1  (1  2 sin 2 ( 12 x))

Lim

2 sin 2 ( 12 x)

Lim

2 sin( 12 x) sin( 12 x)

x0

3bx 2 3bx 2

x0

x0

4

3bx 2

4

3bx  x

x0

2  12  12 3b 1 1 1 2

4

4

4

 12b

1 24

b

1  12  1  13 . Jadi, a  b  12  24 24 24 24


Hal. 13

SOAL 21 Perhatikan busur lingkaran berikut ini!

Jika jari-jari r = 8 cm dan panjang busur s = 10 cm, maka besar sudut   ... radian.

Jawab: Besar sudut dalam radian didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang busur lingkaran (s) di hadapan sudut dengan jari-jari lingkaran (r). Rumusnye:



Pada soal,  

s r

s 10   1,25 radian. r 8 Ternyata soal mengenai radian tidak sesulit membuka tutup botol dengan peniti!!

SOAL 22 Tentukan persamaan grafik fungsi trigonometri berikut ini!

Jawab: Sebelum menjawab soal, mari kita ingat-ingat grafik fungsi dasar sin dan cos !


Hal. 14

Bentuk umum fungsi sinus dan cosinus adalah:

y  a sin b( x  c)  d y  a cos b( x  c)  d

Dimana:

a = amplitudo b = banyaknya gelombang pada rentang 0o – 360o (atau 0 – 2) c = digeCer grafik dasar ke kiri (+) atau ke kanan (-) d = diangkat grafik dasar ke atas (+) atau ke bawah (-)

Grafik pada soal:

1 gelombang

1 gelombang

1 gelombang

Terlihat bahwa fungsi ini adalah fungsi cos karena mulainya dari puncak. Nilai a = 6 b = 3 (ada 3 gelombang pada rentang 0 – 2) c=0 d=0 Jadi, persamaan fungsinya y = 6 cos 3x.


Hal. 15

SOAL 23 Dari gambar grafik menawan berikut ini,

tentukan himpunan penyelesaian: 8 sin x  4 2 .

Jawab: Karena yang ditanya daerah 8 sin xo yang lebih kecil sama dengan 4 2 , lihat aje bagian grafik y = 8 sin x0 yang berada di bawah garis y = 4 2 . Lalu arsir deh!

Jawabannye: HP = {x 0  x  45 atau 135  x  360}


Hal. 16

SOAL 24 o

Perhatikan grafik fungsi y = 10 sin (x – 40) berikut ini!

Tentukan koordinat P, Q dan R!

Jawab: Titik P dan Q adalah titik-titik ketika y = 0 Karena Maka

y  10 sin( x  40) 0  10 sin( x  40) 0  sin( x  40)  sin(x  40)  sin 0

x  40  0  k.360 x  40  k.360 k  0  x  40 k  1  x  400

atau

x  40  180  k.360

atau

x  220  k.360 k  0  x  220

Perhatikan grafik, untuk titik P nilai x yang sesuai adalah x = 40, sedangkan untuk titik Q, nilai x = 400 Jadi, koordinat titik P(40, 0) dan Q(400, 0)

Titik R adalah perpotongan grafik dengan sumbu Y, maka nilai x = 0 . Sehingga y  10 sin( x  40)  10 sin(0  40)  10 sin 40 . Jadi, koordinat titik R(0, –10 sin40o). Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa

Hal. 17

SOAL 25 Gambarkan grafik fungsi: (a)

y  1 sin 2 x

(b)

y  4 sin( x  30)

(c)

y   sin x

(d)

y  sin 2 x

Jawab: (a)

y  1 sin 2 x

Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya naik 1 satuan ke atas, dan ada 2 gelombang pada rentang 0 – 360o .

(b)

y  4 sin( x  30)

Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya mempunyai amplitudo 4 dan posisinya geser 30 satuan ke kiri.


Hal. 18

(c)

y  sin x

y   sin x Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = – sin x dapat diperoleh dari mencerminkan grafik y = x terhadap sumbu X. (Komen: biasanya anak perempuan ahli deh dalam hal cermin-bercermin)

(d)

y  sin x y  sin 2 x

Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = sin2 x selalu berada di atas sumbu X (karena bentuknya kuadrat sehingga nilainya selalu positif atau nol). Grafik y = sin2 x lebih ramping daripada grafik y = sin x.

Pembahasan selesai…. Alhamdulillah…..


Hal. 19

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS

Recommend Documents