PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS MATEMATIKA PEMINATAN XI - IPA SOAL 1 Perhatikan segitiga di bawah ini!
Tentukan nilai
sec cosec cot
Jawab: INGAT definisi: sin
depan miring
cosec
1 miring sin depan
cos
samping miring
sec
1 miring cos samping
tan
depan samping
cot
1 samping tan depan
Pada soal di atas, sisi depan = 15 cm, sisi miring = 17 cm. Sisi samping dicari dengan rumus Pythagoras.
172 152 289 225 64 8 cm
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 1
Maka sec
17 17 8 , cosec dan cot 8 15 15
17 17 255 136 391 1 sec cosec 8 15 120 120 120 391 15 391 Sehingga . 8 8 8 cot 120 8 64 15 15 15 8 (Hitung-hitungan mengenai pecahan mengingatkan kenangan indah waktu sd….)
SOAL 2
2
Nilai dari sin 2 ( ) cos
tan .... 3 4
Jawab: Ingat tabel ini aaahhhh…..!!
O ya, untuk mengubah satuan radian ke satuan derajat, gunakan konversi:
Kembali pada soal,
sin 2 ( ) cos tan 2 3 4 2
sin cos tan 2 3 4 180 180 sin 902 cos tan 3 4 (sin 90) 2 cos 60 tan 45 12
1 1 1 2 2
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 2
SOAL 3 Jika p a cos330 , dan q a tan 120 serta p q 6 3 maka nilai dari a = ….
Jawab: o
Untuk sudut yang lebih besar dari 90 , ingat kuadran-kuadran:
INGAT!! Acuan sudut adalah terhadap sumbu X bukan sumbu Y…!! INGAT….. INGAT!!! Untuk menghitung cos 330 , perhatikan bahwa sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X o o (BUKAN sumbu Y!!!!) adalah 30 . Sudut 330 ada di kuadran IV, nilai cos adalah positif.
o
o
Jadi, cos 330 = cos 30 =
1 3. 2
o
o
Untuk menghitung tan 120 , perhatikan sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X adalah 60 . o Sudut 120 ada di kuadran II, nilai tan adalah negatif.
o
o
Jadi, tan 120 = – tan 60 = 3
Dari soal,
pq 6 3 a cos 330 a tan 120 6 3 1 a 3 a( 3 ) 6 3 2
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 3
1 3 3) 6 3 2 1 a( 3) 6 3 2 6 3 a 12 1 3 2 a(
SOAL 4 Diketahui sin x 2 p dengan x sudut lancip. Maka nilai dari tan x = …. 5
Jawab: Buat segitiga bantu. Ingat, sin = depan/miring.
52 ( 2 p ) 2 25 4 p 2
Maka nilai tan x adalah: tan x
depan samping
2p 25 4 p
. 2
SOAL 5 Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos3x 1 3 untuk 0 x 360 2
adalah….
Jawab: INGAT! Penyelesaian cos X cos A adalah X A k.360 atau X A k.360 . 1 3 2 cos3x cos 60
cos 3x
Pada soal, 3x 60 k.360 x 20 k.120
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
atau
3x 60 k.360 x 20 k.120 Hal. 4
x 20 k.120
atau
x 20 k.120
k 0 x 20
k 0 x 20
k 1 x 140
k 1 x 100
k 2 x 260
k 2 x 220
k 3 x 380
(di luar batas 0–360)
(di luar batas)
k 3 x 340
Jadi, HP = {20, 100, 140, 220, 260, 340} Solusinya ada 6 buah.
SOAL 6 Himpunan penyelesaian dari persamaan ( 2 sin x 1)(sin x 2) 0 untuk 0 x 2 adalah….
Jawab: ( 2 sin x 1)(sin x 2) 0
2 sin x 1 0 sin x
atau
1 2
sin x 2
[Tidak ada penyelesaian sebab batas nilai sin x adalah 1 sin x 1]
1 2 2 sin x sin 45 sin x
x 45 k.360
x (180 45) k.360 (lihat pengumuman di bawah!)
k 0 x 45 k 1 x 405
sin x 2 0
x 135 k.360 k 0 x 135
(di luar batas)
k 1 x 485
(di luar batas)
Jadi , HP = {45O, 135O} 3 = , 4 4
SOAL 7 Banyaknya penyelesaian x dari persamaan 4 tan 2 x 4 0 dengan 0 x 360 ada berapa buah?
Jawab: 4 tan 2 x 4 0 4 tan 2 x 4
tan 2 x 1 Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 5
tan 2 x tan 45 2 x 45 k.180 x 22,5 k.90 k 0 x 22,5 k 1 x 112,5 k 2 x 202,5 k 3 x 292,5 k 4 x 382,5
(di luar batas)
HP = {22,5 ; 112,5 ; 202,5 ; 292,5} Banyak penyelesaian ada 4 buah!
CARA CEPAT: Banyak penyelesaian x dari tan bx c pada selang 0 x 360 adalah 2b (asalkan c 0) Pada soal, b = 2. Maka banyak penyelesaiannya = 2b = 2 x 2 = 4 buah.
SOAL 8 o
Nilai dari cos 105 = ….
Jawab: INGAT RUMUS:
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
cos(105) cos(60 45) cos 60 cos 45 sin 60 sin 45 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 2 6 4 4
(Catatan: Perhatikan tanda plus-minus pada rumus cos( ) cos cos sin sin )
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 6
SOAL 9 Diketahui tan x 15 , maka tan 2 x ....
Jawab: Gunakan rumus: tan 2 x
2 tan x 1 tan 2 x
2 15 1 15
2
30 30 15 1 225 224 112
SOAL 10 Jika diubah ke bentuk penjumlahan, maka bentuk 2 cos84 sin 20 = ….
Jawab: Hafalkan rumuz berikut:
2 sin A cos B sin( A B) sin( A B) 2 cos A sin B sin( A B) sin( A B) 2 cos A cos B cos(A B) cos(A B) 2 sin A sin B cos(A B) cos(A B)
Maka 2 cos84 sin 20 sin(84 20) sin(84 20) sin(104) sin(64)
SOAL 11 Jika diubah ke bentuk perkalian, maka cos8 cos ....
Jawab: Hafalkan rumuz berikut:
A B A B sin A sin B 2 sin cos 2 2 A B A B sin A sin B 2 cos sin 2 2 A B A B cos A cos B 2 cos cos 2 2 A B A B cos A cos B 2 sin sin 2 2
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Udah hafal belum 4 rumuz ini? Kalau belum ….. hafalkan ya…!
Hal. 7
8 8 cos8 cos 2 sin sin 2 2 9 7 . 2 sin sin 2 2
Maka
SOAL 12 Nilai
cos 78 cos12 .... sin 78 sin 12
Jawab: 0
0
78 12 78 12 2 cos cos cos 78 cos12 2 cos 45. cos33 cos 45 2 2 0 0 sin 78 sin 12 2 sin 45 cos33 sin 45 78 12 78 12 2 sin cos 2 2
1 2 1 2
2 2
1.
SOAL 13 Jika
3 sin x cos x diubah menjadi bentuk k cos(x ) , tentukan nilai k dan .
Jawab: INGAT!
a sin x b cos x k cos(x )
k a 2 b2
dan
tan
a b
dengan sudut sesuai dengan tanda positif negatif koefisien dari sin x dan cos x.
Pada soal, a 3 dan b 1. Maka k a 2 b 2
3 2 (1) 2
3 1 4 2 .
dan tan a 3 3 . b 1 Nilai dengan tan 3 ada 2 macam, yaitu
120 dan 300 .
Yang mana yang benerr?? Lihatlah pada koefisien sin (yaitu a 3 ) bernilai positif, sedangkan koefisien cos (yaitu b 1) bernilai negatif.
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 8
Naahhh… sudut dengan sin positif dan cos negatif ada di kuadran berapa hayoooo…??
Di kuadran II. Sehingga, 120 (karena di kuadran II). Jadi, k = 2 dan 120 .
SOAL 14 Nilai maksimum dari fungsi f ( x) 5 sin 4 x 6 cos 4 x adalah….
Jawab: Yuk jadikan bentuk f ( x) 5 sin 4 x 6 cos 4 x ke bentuk k cos(4 x ) , dengan k 52 6 2 25 36 61 . Maka f ( x) 5 sin 4 x 6 cos 4 x 61 cos(4 x ) Jelas nilai maksimum fungsi ini adalah ketika cos 1 . Jadi f maks 61 .
SOAL 15 Sederhanakan bentuk sin x cos x cos x . cos x sin x
Jawab: Samakan dulu penyebut pecahan yang ada di dalam kurung. Maka: sin x cos x sin x sin x cos x cos x cos x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin 2 x cos2 x cos x cos x sin x
1 sin x cosec x
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 9
SOAL 16 Tuliskan rumus-rumus sudut ganda dong!
Jawab: Boleh.. Ini: sin 2 2 sin cos cos 2 cos2 sin 2
2 cos2 1 1 2 sin 2 tan 2
2 tan 1 tan 2
SOAL 17 Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini! a) Lim sin 5 x .... x0
3x
2 b) Lim sin 7 x .... x0 5 x tan 4 x
c) Lim 8 x. tan 9 x .... x0
sin 2 x
Jawab: Gunakan rumuz-rumuz berikut:
sin ax ax tan ax ax sin ax tan ax a Lim Lim Lim Lim Lim x0 bx x0 sin bx x0 bx x0 tan bx x0 tan bx x0 sin bx b
Lim
a) Lim sin 5 x 5 . (Mudah …. Alhamdulillah….) x0
3x
3
2 b) Lim sin 7 x Lim sin 7 x.sin 7 x 7 7 49 . x0 5 x tan 4 x x0 5 x tan 4 x 5 4 20
c) Lim 8 x. tan 9 x Lim 8 x tan 9 x 8 . tan 0 4 0 0 . x0
sin 2 x
x0
sin 2 x
2
INGAT! Pada soal c) tan 9x tidak ada pasangannya, jadi dimasukkan saja x = 0 ke tan 9x.
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 10
SOAL 18 Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini! a) Lim (cos6 x) 1 .... 2 x0
3x
b) Lim 3 3 cos(2 x 6) .... 2 ( x 3)
x3
Jawab: a) Rumus cos 2 1 2 sin 2 sering digunakan dalam menghitung limit trigonometri yang mengandung fungsi cos. Dengan mengambil 3x , maka cos 6 x cos 2(3x) 1 2 sin 2 (3x). 2 Sehingga Lim (cos6 x) 1 Lim 1 2 sin (3x) 1 Lim 2 sin(3x) sin(3x) 2 2 x0
3x
x0
3x
x0
3x x
3 3 2 6 3 1
b) Untuk limit x tidak mendekati nol (0), maka buat variabel baru yang mendekati nol. Misalkan u x 3 . Jika x 3 maka u 0 . Maka: Lim
3 3 cos(2 x 6)
x3
( x 3)
2
Lim
3 3 cos[2( x 3)] ( x 3) 2
x3
Lim
3 3 cos 2u u2
u 0
Lim
3 3(1 2 sin 2 u ) u2
u 0
Lim
3 3 6 sin 2 u
u 0
u2
6 sin u sin u u 0 u u
Lim
1 1 6 1 1 6
SOAL 19 Lim xq
cos x cos q x2 q2
....
Jawab:
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 11
Gunakan rumus selisih cos: cos A cos B 2 sin A B sin A B
Maka Lim
cos x cos q x2 q2
x q
2
2
xq xq 2 sin sin 2 2 Lim x q ( x q)( x q) xq xq 2 sin 2 2 Lim . Lim x q x q ( x q ) ( x q) qq 1 2 sin 2 . 2 (q q) (1)
2 sin q 1 . 2q 2
sin q . 2q
Perhatikan jawabannya dalam q.
CARA CEPAT: Gunakan teorema l’Hopital dengan turunan
Lim xa
f ( x) f ( x) Lim g ( x) xa g ( x)
Pada soal, Lim cos x cos q Lim sin x sin q . xq xq 2x 2q x2 q2
INGAT TURUNAN FUNGSI TRIGONO: y = sin x y’ = cos x y = cos x y’ = – sin x
SOAL 20 Jika Lim 2a cos x 4 , maka nilai a + b = …. 2 x0
3bx
Jawab: Coba masukkan x = 0, maka 2a cos x 2a cos 0 2a 1 . 2 2 3bx
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
3b.0
0
Hal. 12
Karena Lim 2a cos x 4 , maka 2 x0
3bx
2a 1 4. 0
Hal ini mengharuskan 2a 1 0 sehingga bentuknya menjadi 0 .
0 2 a 1 2a 1 (Jika 2a 1 0 maka 4 . Sedangkan jika 2a 1 0 , maka . Kontradiksi dengan 0 0 persamaan 0 4 masih memungkinkan). 0
Jadi,
2a 1 0 1 a 2
Masukkan a 1 ke dalam limit, maka: 2
Lim x0
Lim x0
2a cos x 3bx 2 1 cos x 3bx 2
4
4
Lim
1 cos 2( 12 x)
Lim
1 (1 2 sin 2 ( 12 x))
Lim
2 sin 2 ( 12 x)
Lim
2 sin( 12 x) sin( 12 x)
x0
3bx 2 3bx 2
x0
x0
4
3bx 2
4
3bx x
x0
2 12 12 3b 1 1 1 2
4
4
4
12b
1 24
b
1 12 1 13 . Jadi, a b 12 24 24 24 24
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 13
SOAL 21 Perhatikan busur lingkaran berikut ini!
Jika jari-jari r = 8 cm dan panjang busur s = 10 cm, maka besar sudut ... radian.
Jawab: Besar sudut dalam radian didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang busur lingkaran (s) di hadapan sudut dengan jari-jari lingkaran (r). Rumusnye:
Pada soal,
s r
s 10 1,25 radian. r 8 Ternyata soal mengenai radian tidak sesulit membuka tutup botol dengan peniti!!
SOAL 22 Tentukan persamaan grafik fungsi trigonometri berikut ini!
Jawab: Sebelum menjawab soal, mari kita ingat-ingat grafik fungsi dasar sin dan cos !
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 14
Bentuk umum fungsi sinus dan cosinus adalah:
y a sin b( x c) d y a cos b( x c) d
Dimana:
a = amplitudo b = banyaknya gelombang pada rentang 0o – 360o (atau 0 – 2) c = digeCer grafik dasar ke kiri (+) atau ke kanan (-) d = diangkat grafik dasar ke atas (+) atau ke bawah (-)
Grafik pada soal:
1 gelombang
1 gelombang
1 gelombang
Terlihat bahwa fungsi ini adalah fungsi cos karena mulainya dari puncak. Nilai a = 6 b = 3 (ada 3 gelombang pada rentang 0 – 2) c=0 d=0 Jadi, persamaan fungsinya y = 6 cos 3x.
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 15
SOAL 23 Dari gambar grafik menawan berikut ini,
tentukan himpunan penyelesaian: 8 sin x 4 2 .
Jawab: Karena yang ditanya daerah 8 sin xo yang lebih kecil sama dengan 4 2 , lihat aje bagian grafik y = 8 sin x0 yang berada di bawah garis y = 4 2 . Lalu arsir deh!
Jawabannye: HP = {x 0 x 45 atau 135 x 360}
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 16
SOAL 24 o
Perhatikan grafik fungsi y = 10 sin (x – 40) berikut ini!
Tentukan koordinat P, Q dan R!
Jawab: Titik P dan Q adalah titik-titik ketika y = 0 Karena Maka
y 10 sin( x 40) 0 10 sin( x 40) 0 sin( x 40) sin(x 40) sin 0
x 40 0 k.360 x 40 k.360 k 0 x 40 k 1 x 400
atau
x 40 180 k.360
atau
x 220 k.360 k 0 x 220
Perhatikan grafik, untuk titik P nilai x yang sesuai adalah x = 40, sedangkan untuk titik Q, nilai x = 400 Jadi, koordinat titik P(40, 0) dan Q(400, 0)
Titik R adalah perpotongan grafik dengan sumbu Y, maka nilai x = 0 . Sehingga y 10 sin( x 40) 10 sin(0 40) 10 sin 40 . Jadi, koordinat titik R(0, –10 sin40o). Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 17
SOAL 25 Gambarkan grafik fungsi: (a)
y 1 sin 2 x
(b)
y 4 sin( x 30)
(c)
y sin x
(d)
y sin 2 x
Jawab: (a)
y 1 sin 2 x
Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya naik 1 satuan ke atas, dan ada 2 gelombang pada rentang 0 – 360o .
(b)
y 4 sin( x 30)
Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya mempunyai amplitudo 4 dan posisinya geser 30 satuan ke kiri.
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 18
(c)
y sin x
y sin x Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = – sin x dapat diperoleh dari mencerminkan grafik y = x terhadap sumbu X. (Komen: biasanya anak perempuan ahli deh dalam hal cermin-bercermin)
(d)
y sin x y sin 2 x
Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = sin2 x selalu berada di atas sumbu X (karena bentuknya kuadrat sehingga nilainya selalu positif atau nol). Grafik y = sin2 x lebih ramping daripada grafik y = sin x.
Pembahasan selesai…. Alhamdulillah…..
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa
Hal. 19