peluang Contoh 6.1 Ali mempunyai 2 celana dan 3 baju yang berbeda. Berapa stelan celana dan baju berbeda yang dipunyai Ali? Matematika Dasar Page 46

peluang

6.1 Kaidah Pencacahan A. Aturan Perkalian Misal suatu plat nomor sepeda motor terdiri atas dua huruf berbeda yang diikuti tiga angka dengan angka pertama bukan 0. Berapa banyak plat nomor berbeda yang dapat dibuat? -

Huruf pertama dapat dipilih dari 26 huruf berbeda,

-

Huruf kedua dapat dipilih dari 25 huruf berbeda,

-

Angka pertama dapat dipilih dari 9 angka berbeda,

-

Angka kedua dapat dipilih dari 10 angka berbeda,

-

Angka ketiga dapt dipilih dari 10 angka berbeda.

Jadi ada 26 × 25 × 9 × 10 × 10 = 585.000 plat nomor berbeda yang dapat dibuat. Secara Umum Jika suatu prosedur dapat dibentuk dalam 𝑛1 cara berbeda, prosedur berikutnya, yaitu prosedur kedua dapat dibentuk dalam 𝑛2

cara berbeda,

prosedur berikutnya, yaitu prosedur ketiga dapat dibentuk dalam 𝑛3 cara berbeda, dan seterusnya, maka banyak cara berbeda prosedur tersebut dapat dibentuk adalah: 𝑛1 × 𝑛2 × 𝑛3 × … Contoh 6.1 Ali mempunyai 2 celana dan 3 baju yang berbeda. Berapa stelan celana dan baju berbeda yang dipunyai Ali? Matematika Dasar

Page 46

Jawaban: Banyak stelan yang berbeda = banyak celana x banyak baju =2x3 = 6 stelan Contoh 6.2 Suatu bilangan terdiri atas 3 angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilangan yang terjadi dari angka-angka 0 - 9? Jawaban: Banyaknya = ratusan x puluhan x satuan = 9 x 9 x 8 = 648 bilangan Keterangan: angka-angka ratusan = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 angka-angka puluhan = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 angka-angka satuan = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Latihan 6.1 1. Budi mempunyai 4 celana, 6 baju, 3 dasi dan 3 sepatu. Tentukan banyaknya stelan baju, celana, dasi dan sepatu yang berbeda yang dipunyai Budi! 2. Dari kota A ke kota B ada 2 jalan yang berbeda, dari kota B ke kota C ada 3 jalan, dan dari kota C ke kota D ada 2 jalan. Tentukan banyaknya jalan yang berbeda yang dapat ditempuh dari kota A ke kota D melalui kota B dan C! 3. Suatu bilangan terdiri atas 3 angka. Jika angka-angka penyusunnya 1 - 9, tentukan banyak bilangan yang terjadi, jika: a. angka-angkanya boleh berulang b. angka-angkanya tidak boleh berulang c. bilangannya kurang dari 500 d. bilangannya lebih dari 400 dan angka-angkanya tidak boleh berulang e. bilangannya ganjil f. bilangannya genap dan tidak boleh berulang angka-angkanya Matematika Dasar

Page 47

4. Suatu bilangan terdiri atas 4 angka. Angka-angka penyusunnya 0 - 9. Tentukan banyaknya bilangan yang terjadi, jika: a. angka-angkanya boleh berulang b. angka-angkanya tidak boleh berulang c. bilangannya kurang dari 8000 dan tidak boleh berulang angka-angkanya d. bilangannya lebih dari 3000 e. bilangannya genap dan tidak boleh berulang angka-angkanya f. bilangannya kurang dari 7500 5. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri atas suatu huruf dan diikuti dua buah angka yang berbeda. Jika angka pertama bukan 0 dan angka kedua bilangan genap, tentukan banyaknya nomor undian yang mungkin terjadi! B. Faktorial Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan 𝑛, yaitu 1.2.3. . . . (𝑛 − 2). (𝑛 − 1). 𝑛 sering digunakan dalam matematika yang diberi notasi 𝑛! (dibaca n faktorial). Jadi 1.2.3. . . . (𝑛 − 2). (𝑛 − 1). 𝑛 = 𝑛! 1.2.3. . . . (𝑛 − 2)(𝑛 − 1)𝑛 = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) . . . 3.2.1 sehingga selanjutnya didefinisikan: 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) . . . 3.2.1 Contoh 6.3 1. 2! = 2.1 = 2 2. 5! = 54.3.2.1 = 120 3. 6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! 4. 5.

7! 6! 8!

=

= 6!

7.6! 6!

=7

8.7.6! 6!

Matematika Dasar

= 56

Page 48

Latihan 6.2 1. Tentukan nilai dari: 7!

a) 10! e)

b) 3!

12!2!

c)

6!3!

8!

d) 11!

8! 12!6!

f) 8!2!

10!

10!

g) 10!7!3! 𝑛!

2. Dengan menggunakan rumus 𝑛 = (𝑛−1)!, buktikan bahwa 0! = 1 3. Sederhanakanlah! (𝑛+3)!

𝑛!

a) (𝑛−3)!

b) (𝑛−1)!

4. Tentukan 𝑛 jika: a)

(𝑛+1)! 𝑛!

=8

b)

(𝑛+2)! 𝑛!

= 72

(𝑛−3)!

1

c) (𝑛−1)! = 132

C. Permutasi 1. Permutasi 𝒏𝑷𝒓 Suatu permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur yang berbeda yaitu semua susunan berbeda yang mungkin dari 𝑛 unsur yang diambil 𝑟 unsur yang berbeda. Jadi 𝑎𝑏 ≠ 𝑏𝑎 Permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur ditulis 𝑛𝑃𝑟 atau 𝑃𝑟𝑛 atau 𝑃(𝑛, 𝑟) Untuk mendapatkan rumus 𝑛𝑃𝑟 kita gunakan bantuan notasi faktorial. Dari 5 huruf a,b,c,d dan e akan disusun 2 huruf, 3 huruf dan 4 huruf yang berbeda, sbb: 5!

Susunan 2 huruf berbeda dari 5 huruf = 5 × 4 = (5−2)! = 5𝑃2 5!

Susunan 3 huruf berbeda dari 5 huruf = 5 × 4 × 3 = (5−3)! = 5𝑃2 5!

Susunan 4 huruf berbeda dari 5 huruf = 5 × 4 × 3 × 2 = (5−2)! = 5𝑃2 Dari keteraturan di atas, maka coba tentukan: 6𝑃2 = 6 × 5 =

Matematika Dasar

6! (6 − 2)!

Page 49

7𝑃3 = 7 × 6 × 5 =

7! (7 − 3)!

10𝑃3 = 10 × 9 × 8 =

10! (10 − 3)!

Sehingga dapat disimpulkan: 𝑛𝑃𝑟 = 𝑛!

Jika 𝑟 = 𝑛, maka 𝑛𝑃𝑛 = (𝑛−𝑛)! =

𝑛! 0!

𝑛! (𝑛 − 𝑟)! = 𝑛!

Contoh 6.4 Tentukan banyak susunan panitia yang berbeda yang terdiri dari ketua, wakil dan bendahara dari 10 orang calon! Jawaban: 10𝑃3 =

10! 10 × 9 × 8 × 7! = = 10 × 9 × 8 = 720 (10 − 3)! 7!

Jadi, banyaknya susunan panitia yang dapat dibentuk adalah 720 susunan. 2. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama Pada permutasi yang berbeda dari kata “MAMA” hanya ada 6 permutasi, yaitu MAMA, MAAM, MMAA, AAMM, AMAM dan AMMA. Karena 2 huruf M dan A yang sama dianggap 1. Jadi 6=

4𝑃4 4! = 2𝑃2 2𝑃2 2! 2!

Permutasi 𝑛 unsur dengan 𝑘, 𝑙, dan 𝑚 unsur yang sama, yaitu: 𝑃=

𝑛! 𝑘! 𝑙! 𝑚!

Contoh 6.5 Tentukan banyaknya susunan huruf yang berbeda dari huruf-huruf pada kata “MATEMATIKA” Jawaban: “MATEMATIKA” = 10 huruf Huruf M = 2 huruf Huruf A = 3 huruf Matematika Dasar

Page 50

Huruf T = 2 huruf 10!

Jadi 𝑃 = 2!3!2! =

3628800 24

= 151200 susunan

3. Permutasi Siklis Permutasi dengan susunan seperti siklus (tanpa awal dan tanpa ujung) Permutasi siklis dari n unsur yaitu: 𝑃𝑠 = (𝑛 − 1)! Contoh 6.6 Tentukan banyaknya permutasi dari 4 orang yang mengelilingi 4 meja! Jawaban: 𝑃𝑠 = (4 − 1)! = 3! = 6 Latihan 6.3 1. Tentukan nilai dari: a. 7𝑃2

b. 10𝑃3

c. 12𝑃4

d. 5𝑃5

e. 6𝑃6

f. 6𝑃1

g. 10𝑃1 2. Tentukan n jika: a. 𝑛𝑃2 = 56

b. 𝑛𝑃4 = 30. 𝑛𝑃2

3. Tentukan susunan duduk 8 orang yang berbeda yang akan menduduki 3 kursi! 4. Ada 3 pelajar putri dan 4 putra. Berapa cara mereka duduk secara: a. berdampingan b. berdampingan, tetapi putra dan putri tetap berkelompok 5. Tentukan banyaknya susunan huruf yang berbeda dari kata: a. BOROBUDUR

b. MISSISIPPI

c. BULAN

6. Ada 10 bendera, terdiri dari 4 bendera merah, 3 kuning dan 3 hijau. Tentukan banyak susunan bendera secara berjajar yang berbeda! 7. Delapan orang duduk mengelilingi meja berbentuk persegi panjang. Tentukan banyaknya susunan duduk yang berbeda dari 8 orang tersebut! Matematika Dasar

Page 51

8. Ada 5 pria dan 4 wanita duduk secara melingkar. Berapa macam susunan duduk mereka yang berbeda, jika dua orang yang jenis kelaminnya sama, tidak boleh duduk berdekatan? 9. Dari angka-angka 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilangan yang kurang dari 400! D. Kombinasi Yaitu

susunan

unsur-unsur

yang

berbeda

tanpa

memperhatikan

susunan/urutannya. Jadi 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 Kombinasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur ditulis 𝑛𝐶𝑟 atau 𝐶𝑟𝑛 atau 𝐶(𝑛, 𝑟) 𝐶𝑟𝑛 = 𝑛𝐶𝑟 =

𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Contoh 6.7 Tentukan 6𝐶2! Jawaban: 6𝐶2 =

6! 2!((6−2)!

=

6! 2!4!

=

6×5×4! 2!4!

=

30 2

= 15

Contoh 6.8 Tentukan banyaknya team bola volley yang berbeda yang dapat terbentuk dari 10 orang! Jawaban: Dari 10 orang akan dibentuk team bola volley sebanyak 6 orang, maka: 10𝐶6 =

10! 10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6! 5040 = = = = 210 6! (10 − 6)! 6! 4! 6! 4! 24

Latihan 6.4 1. Tentukan nilai dari : a. 10𝐶3

b. 12𝐶9

c. 6𝐶6

d. 9𝐶9

e. 7𝐶1

f. 10𝐶1

2. Tentukan n jika : a. 𝑛𝐶3 = 35 Matematika Dasar

b. (𝑛 + 1)𝐶2 = 36

c. 𝑛𝑃2 = 𝑛𝐶3 Page 52

3. Tentukan banyaknya pasangan ganda dari 9 orang ! 4. Tentukan banyaknya campuran 3 warna yang berbeda dari 5 warna dasar ! 5. Pada sebuah bidang ada 10 titik, dimana tidak ada 3 titik yang segaris. Tentukan banyaknya : a. garis yang dapat terbentuk dari titik-titik itu b. segi tiga yang dapat terbentuk dari titik-titik itu 6. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola merah, 5 putih dan 4 biru. Diambil 5 bola sekaligus. Tentukan kemungkinan terambilnya : a. 2 bola merah, 2 putih dan 1 biru b. 3 bola putih dan 2 biru 7. Di dalam tas ada 5 lembar Rp. 10.000, 7 lembar Rp. 5.000 dan 3 lembar Rp.1.000. Diambil 4 lembar sekaligus dari dalam tas itu. Berapa banyaknya kemungkinan terambilnya uang sebesar : a. Rp.26.000

b. Rp.25.000

c. Rp.17.000

8. Jika 𝑛𝐶3 = 2𝑛, maka tentukan nilai 2𝑛𝐶7 9. Dari sekelompok remaja, terdiri atas 10 pria dan 7 wanita. Dipilih 2 pria dan 3 wanita. Tentukan banyaknya kemungkinan yang terjadi ! 10. Seorang murid diminta mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 – 5 harus dikerjakan. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil murid tersebut ! 6.2 Peluang A. Ruang Sampel dan Titik Sampel Dari pandangan intuitif, peluang terjadinya suatu peristiwa atau kejadian adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu akan terjadi. Misalnya, peluang yang rendah menunjukkan kemungkinan terjadinya peristiwa itu sangat kecil. Konsep peluang berhubungan dengan pengertian eksperimen yang menghasilkan “hasil” yang tidak pasti. Artinya eksperimen yang diulangulang dalam kondisi yang sama akan memberikan “hasil” yang dapat berbedaMatematika Dasar

Page 53

beda. Istilah eksperimen yang kita gunakan disini tidak terbatas pada eksperimen dalam laboratorium. Melainkan, eksperimen kita artikan sebagai prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu, dimana kondisi itu dapat diulang-ulang beberapa kali pada kondisi yang sama, dan setelah prosedur itu selesai berbagai hasil dapat diamati. Himpunan S dari semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen yang diberikan disebut ruang sampel. Suatu hasil yang khusus, yaitu suatu elemen dalam S, disebut suatu titik sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S. kejadian { a } yang terdiri atas suatu titik sampel tunggal a , S disebut suatu kejadian yang elementer (sederhana). Notasi yang biasa digunakan adalah sebagai berikut. Untuk ruang sampel ditulis dengan huruf : S Untuk kejadian ditulis dengan huruf-huruf capital, seperti : A, B, …, X, Y, Z. Untuk titik sampel ditulis dengan huruf-huruf kecil, seperti a, b, …, y, z, atau dengan : a1, a2, … x1, x2, …xn … Contoh 6.9 Eksperimen : Melambungkan sebuah dadu satu kali dan dilihat banyaknya mata dadu yang tampak/muncul (yang diatas) Ruang sampel : Dadu mempunyai 6 sisi, dan masing-masing sisi bermata satu, dua, tiga, empat,lima dan enam. Himpunan semua hasil yang mungkin dari lambungan tersebut adalah : {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jadi ruang sampelnya : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Himpunan semua hasil (outcomes) yang mungkin muncul

dalam suatu

percobaan (eksperimen statistik) disebut ruang sampel (sample space), dilambangkan dengan S. Setiap elemen S disebut titik sampel.

Matematika Dasar

Page 54

Contoh 6.10 (a). Dalam percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya adalah S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. (b). Ruang sampel dalam percobaan melempar dua koin adalah S={AA,AG,GA,GG}.

B. Kejadian (Events) Sebuah himpunan bagian (subset) dari ruang sampel disebut kejadian (event). Contoh 6.11 a) Dalam percobaan melempar sebuah dadu, munculnya dadu bermata genap yaitu { 2, 4, 6 } adalah sebuah kejadian; muncul dadu bermata prima yaitu { 2, 3} juga sebuah kejadian b) Dalam percobaan melempar dua koin, muncul ‘muka ’ koin sama yaitu {AA, GG} adalah sebuah kejadian. C. Menghitung Titik Sampel Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara, dan setiap kejadian pertama diikuti oleh kejadian kedua yang terjadi dalam n cara, maka kejadian pertama dan kejadian kedua tersebut secara bersama-sama terjadi dalam (mxn) cara. Contoh 6.10 a) Berapakah banyaknya titik sampel jika dua dadu dilempar satu kali? Penyelesaian: Dadu pertama dapat muncul dalam m = 6 cara yang berbeda dan untuk setiap dari cara-cara tersebut dadu kedua dapat muncul dalam n = 6 cara. Sehingga kedua dadu dapat muncul dalam m x n = 6 x 6 = 36 cara. b) Dari 10 orang siswa SMP, akan dibentuk sebuah kepengurusan yang terdiri dari satu ketua dan satu wakil ketua. Ada berapa kepengurusan yang mungkin terbentuk dengan memperhatikan urutan ?

Matematika Dasar

Page 55

Penyelesaian: Terdapat m = 10 cara untuk memilih ketua dan diikuti oleh n = 9 cara untuk memilih wakil ketua. Dengan demikian, terdapat m x n = 10 x 9 = 90 kepengurusan yang mungkin terbentuk. D. Peluang Suatu Kejadian Definisi: Peluang kejadian A yaitu banyaknya kejadian A dibagi dengan banyaknya ruang sampel. 𝑃(𝐴) = Dimana

𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)

𝑃(𝐴) = Peluang Suatu Kejadian 𝑛(𝐴) = Banyaknya Kejadian A 𝑛(𝑆) = Banyaknya Ruang Sampel

Karena 𝑛(𝐴) ⊂ 𝑛(𝑆) maka kisaran suatu peluang kejadian A yaitu : 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 𝑃(𝐴) = 0 disebut kejadian mustahil 𝑃(𝐴) = 1 disebut kejadian pasti Contoh 6.11 Tentukan peluang munculnya mata dadu prima pada pelemparan 1 dadu sekali! Jawaban: S : {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga 𝑛(𝑆) = 6 P : munculnya mata dadu prima P : {2, 3, 5} sehingga 𝑛(𝑃) = 3 Jadi 𝑃(𝑃) =

𝑛(𝑃) 𝑛(𝑆)

3

1

=6=2

E. Frekuensi Harapan Dari pengalaman seorang penjual mangga, maka peluang sebuah mangga 7

dagangannya seperti pada saat itu rasanya manis sama dengan 8. Jika ada 40 mangga, berapakah banyak mangga yang kita harapkan rasanya manis? Matematika Dasar

Page 56

Karena ada 40 mangga, maka banyak mangga yang kita harapkan rasanya 7

manis = 8 × 40 = 35 buah. Sesuatu yang kita harapkan seperti tersebut diatas secara matematis biasa disebut dengan frekuensi harapan. 𝐹ℎ = 𝑃(𝐴) × 𝑛 karena 𝑃(𝐴) =

𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)

, maka persamaan di atas juga dapat ditulis: 𝐹ℎ =

𝑛(𝐴) ×𝑛 𝑛(𝑆)

dengan P(A) = peluang terjadinya peristiwa A n

= banyaknya kejadian

Contoh 6.12 9

Peluang sebutir telor jika ditetaskan akan menetas adalah 10. Jika ada 100 butir telor yang akan ditetaskan, berapakah banyak telor diharapkan akan menetas? Jawaban: Karena ada 100 butir telor yang akan ditetaskan, maka harapan banyaknya telor yang akan menetas adalah: 9 × 100 = 90 10 Contoh 6.13 Tentukan frekuensi harapan munculnya jumlah mata dadu berjumlah 5 pada pelemparan 2 dadu sebanyak 1 kali! Jawaban: S: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)}, maka 𝑛(𝑆) = 21 L: Mata dadu berjumlah 5 L: {(1,4), (2,3)}, maka 𝑛(𝐿) = 2

Matematika Dasar

Page 57

Sehingga, 𝐹ℎ =

𝑛(𝐿) 2 1 ×𝑛= ×1= 𝑛(𝑆) 21 21

Latihan 6.5 1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang kejadian keluarnya: a. mata genap

b. mata 5

2. Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya: a. jumlah mata dadu 10

b. jumlah mata dadu kurang dari 11

3. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge. Tentukan peluang terambilnya: a. kartu As

b. kartu keriting

c. kartu merah

4. Pada suatu kotak terdapat 5 bola biru dan 4 hijau. Diambil 3 bola sekaligus. Tentukan peluang terambilnya: a. 2 bola biru 1 hijau b. 1 bola biru 2 hijau c. 3 bola biru 5. Pada kantong Ali terdapat 6 lembar uang Rp 1.000 dan 5 lembar uang Rp 500. Diambil 3 lembar sekaligus. Tentukan peluang terambilnya jumlah uang: a. Rp 1.500

b. Rp 2.500

c. Rp 2.000

6. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge sebanyak 26 kali. Tentukan frekuensi harapan terambilnya: a. kartu as

b. kartu keriting

7. Dari 1000 kaleng sari buah terdapat 4 buah yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah tersebut secara acak, berapakah peluang keduanya rusak? 8. Dari 100 mahasiswa terdaftar, 45 orang mengikuti kuliah Bahasa Indonesia, 50 orang mengikuti kuliah Sejarah dan 25 orang mengikuti kuliah kedua mata kuliah itu. Dipanggil seorang mahasiswa. Berapa peluang mahasiswa yang dipanggil itu tidak mengikuti kuliah Bahasa Indonesia maupun Sejarah? Matematika Dasar

Page 58

9. Doorprize dari 100 tiket pertunjukan berjumlah dua buah hadiah. Jika seseorang mempunyai 3 tiket, berapa peluang mendapatkan salah satu hadiah tersebut! 10. 4 pria dan 3 wanita dalam acara makan malam duduk melingkar. Jika mereka duduk secara acak, berapa peluang pria dan wanita duduk berselang-seling? F. Peluang Bersyarat Peluang bersyarat kejadian B jika diberikan kejadian A, dilambangkan dengan P(B|A), didefinisikan sebagai berikut: 𝑃(𝐵|𝐴) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃(𝐴) > 0. 𝑃(𝐴)

Contoh 6.14 Dari sebuah sampel acak beranggotakan 900 orang dibuat klasifikasi berdasarkan perbedaan gender dan perbedaan pekerjaan mereka, diperoleh data seperti tampak pada table berikut. Pekerja

Pengangguran

Total

Laki-Laki

460

40

500

Wanita

140

260

400

Total

600

300

900

Jika satu orang dipilih secara acak, berapakah peluang orang yang terpilih tersebut berjenis kelamin Laki, dari seorang PEKERJA? Jawaban: Misalkan kejadian L adalah seorang LAKI terpilih dan kejadian K adalah orang yang terpilih PEKERJA. Dalam hal ini, 460 23 = 𝑑𝑎𝑛 900 45 600 2 𝑃(𝐾) = = 900 3

𝑃(𝐿 ∩ 𝐾) =

Sehingga, Matematika Dasar

Page 59

23 23 𝑃(𝐿|𝐾) = 45 = 2 30 3 G. Peluang Komplemen Suatu Kejadian S AC

A

𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐴𝑐 ) = 𝑛(𝑆) ⟺

𝑛(𝐴)

𝑛(𝐴𝑐

+ 𝑛(𝑆) = 1 ⟹ 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 𝑛(𝑆) 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴)

Contoh 6.15 Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu yang bukan genap. Jawaban: A : Jumlah mata dadu 12 A : {(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1) (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)}, maka 𝑛(𝐴) = 18 Ac : Jumlah mata dadu bukan 12 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 −

18 1 1 =1− = 36 2 2

H. Kejadian Saling Lepas Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas, jika pada waktu yang sama antara A dan B dapat terjadi secara bersama-sama. Jika sebaliknya dikatakan A dan B tidak saling lepas.

Matematika Dasar

Page 60

Kejadian A dan B saling lepas. S

A

B

Jadi 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) Sehingga: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

S

A

B

Kejadian A dan B tidak saling lepas. Jadi 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) Sehingga: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Contoh 6.16 Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya : a) dua mata dadu berjumlah 10 atau 12 b) dua mata dadu berjumlah genap atau prima Jawaban: a) Termasuk kejadian saling lepas A : Jumlah mata dadu 10 A : {(5,5), (4,6), (6,4)} maka 𝑛(𝐴) = 3 B : Jumlah mata dadu 12 B : {(6,6)} maka 𝑛(𝐵) = 1 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =

3 1 4 1 + = = 36 36 36 9

b) Termasuk kejadian tidak saling lepas G : dua mata dadu berjumlah genap G : {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2) (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}, maka 𝑛(𝐺) = 18 P : dua mata dadu berjumlah prima

Matematika Dasar

Page 61

P : {(1,1), (1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (5,2), (5,6), (6,1), (6,5)} maka 𝑛(𝑃) = 15 𝑃(𝐺 ∪ 𝑃) =

18 15 1 32 + − = 36 36 36 36

Latihan 6.6 1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu : a. bukan 6 b. genap atau ganjil c. prima atau ganjil 2. Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu : a. bukan 11

c. 10 atau 11

b. bukan 10 atau 11

d. lebih dari 4

3. Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge. Tentukan peluang terambilnya kartu : a. bukan As

e. As atau keriting

b. bukan keriting

f. merah atau daun

c. As atau King

g. bukan King atau merah

d. As atau merah 4. Pada suatu pertemuan yang dihadiri oleh 50 ibu-ibu PKK, terdapat 24 orang mempunyai hobby menjahit dan 30 orang mempunyai hobby memasak. Jika dipilih secara acak seorang dari ibu-ibu tadi, berapa peluang yang terpilih adalah ibu yang mempunyai hobby memasak atau menjahit ? 5. Dalam suatu gudang terdapat 30 komputer, 5 diantaranya rusak. Jika diambil 5 komputer secara acak, berapa peluang mendapatkan sedikitnya 2 komputer tidak rusak ?

Matematika Dasar

Page 62

I. Kejadian Saling Bebas Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas, jika terjadi atau tidaknya A tidak mempengaruhi terjadi atau tidaknya B. Jika sebaliknya, maka dikatakan A dan B tidak saling bebas (kejadian bikondisional/bersyarat) S1

A

S2

B

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) Contoh 6.17 Pada sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 biru. Diambil 1 bola secara berturut-turut dengan pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola biru pada pengambilan kedua! Jawaban: Kejadian tersebut tidak saling bebas Latihan 6.7 1. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 5 bola biru. Diambil 1 bola berturut-turut dengan pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya : a. bola merah dan biru b. bola biru, merah dan merah 2. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola merah, 4 biru dan 5 putih. Diambil 1 bola secara berturut-turut tanpa pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya bola : a. merah dan biru b. biru, merah dan merah Matematika Dasar

Page 63

c. biru, merah dan putih 3. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola putih dan 4 bola hitam. Diambil 2 bola berturut-turut tanpa pengembalian bola pertama. tentukan peluang terambilnya : a. 2 bola putih dan 2 bola hitam b. 4 bola putih 4. Pada seperangkat kartu bridge diambil 2 kartu berturut-turut tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambilnya : a. 2 kartu As dan 2 King b. 2 kartu hitam dan 2 kartu merah 5. Pada satu set kartu Bridge diambil secara acak 3 kartu sebanyak 2 kali berturut-turut dengan pengembalian. Berapa peluang pada pengambilan pertama mendapatkan 3 King dan pada pengambilan kedua mendapatkan 3 Queen ? 6. Dalam suatu boks terdapat 3 disket paket WS, 4 disket LOTUS dan 5 disket Dbase. Semua disket tidak berlabel. Diambil 1 disket berturut-turut sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Berapa peluang mendapatkan : a. disket pertama dan kedua paketnya sama-sama LOTUS b. disket kedua paket Dbase

7. Pada suatu kolam berisi 5 ekor ikan mas dan 6 ekor ikan mujair. Tentukan peluang terpancingnya : a. 1 ekor ikan emas dan 2 mujair. b. 2 ekor ikan emas dan 2 mujair c. 3 ekor ikan mas

Matematika Dasar

Page 64