-1-
PELUANG 1. KAIDAH PENCACAHAN 1.1 Aturan Pengisian Tempat
n1 , n2 , n3 ,....... cara yang berbeda , maka keseluruhan peristiwa itu dapat terjadi dengan n1 n 2 n3 ....... ........ cara yang berbeda. Jika beberapa peristiwa dapat terjadi dengan
Contoh 1: Ali mempunyai 2 celana dan 3 baju yang berbeda. Berapa stelan celana dan baju berbeda yang dipunyai Ali ? Jawab
: Banyak stelan yang berbeda = banyak celana x banyak baju = .......x........ = .......stelan
Contoh 2: Suatu bilangan terdiri atas 3 angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilangan yang terjadi dari angka-angka 0 - 9 ? Jawab
: Banyaknya = ratusan x puluhan x satuan = .....x.....x..... = .....bilangan Keterangan : angka-angka ratusan : ........ angka-angka puluhan : .......... angka-angka satuan : ..........
LATIHAN SOAL 1. Budi mempunyai 4 celana, 6 baju, 3 dasi dan 3 sepatu. Tentukan banyaknya stelan baju, celana, dasi dan sepatu yang berbeda yang dipunyai Budi ! 2. Dari kota A ke kota B ada 2 jalan yang berbeda, dari kota B ke kota C ada 3 jalan, dan dari kota C ke kota D ada 2 jalan. Tentukan banyaknya jalan yang berbeda yang dapat ditempuh dari kota A ke kota D melalui kota B dan C ! 3. Suatu bilangan terdiri atas 3 angka. Jika angka-angka penyusunnya 1 - 9, tentukan banyak bilangan yang terjadi, jika : a. angka-angkanya boleh berulang b. angka-angkanya tidak boleh berulang c. bilangannya kurang dari 500 d. bilangannya lebih dari 400 dan angka-angkanya tidak boleh berulang e. bilangannya ganjil f. bilangannya genap dan tidak boleh berulang angka-angkanya 4. Suatu bilangan terdiri atas 4 angka. Angka-angka penyusunnya 0 - 9. Tentukan banyaknya bilangan yang terjadi, jika : a. angka-angkanya boleh berulang b. angka-angkanya tidak boleh berulang c. bilangannya kurang dari 8000 dan tidak boleh berulang angka-angkanya d. bilangannya lebih dari 3000 e. bilangannya genap dan tidak boleh berulang angka-angkanya f. bilangannya kurang dari 7500
Peluang
-2-
5. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri atas suatu huruf dan diikuti dua buah angka yang berbeda. Jika angka pertama bukan 0 dan angka kedua bilangan genap, tentukan banyaknya nomor undian yang mungkin terjadi !
1.2 NOTASI FAKTORIAL n faktorial (n!) yaitu semua perkalian bilangan asli dari 1 sampai n
Jadi
n! = n(n-1)(n-2)(n-3).....3.2.1
Contoh 1: Tentukan nilai 5! Jawab
: 5! = ......
Karena n! = n(n-1)(n-2)(n-3).....3.2.1 dan (n-1)! = ... Maka : n! = ... Atau :
n
............. ..............
Contoh 2: Sederhanakan
Jawab
:
7!4! 5! 3!
7!4! = ...... 5! 3!
= .................
Contoh 3: Tulislah dengan notasi faktorial dari perkalian 8.7.6 Jawab
: 8.7.6 =
.................. ........! = ................... ........!
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan nilai dari : a. 10 ! e.
12! 2! 10!
7! 3! 6!3! f. 8121
10! 8! 12! 6! g. 10!7131
b.
2. Dengan menggunakan rumus
c.
n
d.
8! 11!
n! , buktikan bahwa 0! = 1 (n 1)!
Peluang
-3-
3. Tulislah dalam notasi faktorial dari :
a. 6.5.4.3
b.
1 1110 .
e. n(n-1)(n-2)
f.
1 (n 2)(n 3)
b.
(n 3)! (n 1)!
7.8 5.4 n(n 1) g. 7.6.5 c.
d.
1312 . .8.7 9.10
4. Sederhanakan ! a.
n! (n 3)!
5. Tentukan n, jika : a.
(n 1)! 8 n!
b.
(n 2)! 72 n!
c.
(n 3)! 1 (n 1)! 132
1.3 PERMUTASI 1.3.1 Permutasi nPr Suatu permutasi r unsur dari n unsur yang berbeda yaitu semua susunan berbeda yang mungkin dari n unsur yang diambil r unsur yang berbeda. Jadi ab ba Permutasi r unsur dari n unsur ditulis nPr atau
Prn atau P(n,r)
Untuk mendapatkan rumus nPr kita gunakan bantuan notasi faktorial. Dari 5 huruf a,b,c,d dan e akan disusun 2 huruf, 3 huruf dan 4 huruf yang berbeda, sbb:
....! = 5P2 ....! ....! Susunan 3 huruf dari 5 huruf = .....x..... = = 5P3 ....! ....! Susunan 4 huruf dari 5 huruf = .....x..... = = 5P4 ....! Susunan 2 huruf dari 5 huruf = .....x..... =
Dari keteraturan di atas, maka coba tentukan : 6P2 = ......... 7P3 = ......... 10P3 = .........
...............! (.............)! ...............! = (.............)! ...............! = (.............)!
=
Sehingga dapat disimpulkan :
nPr = ........
Jika r = n maka nPn = ….
Peluang
-4-
Contoh 1: Tentukan banyak susunan panitia yang berbeda yang terdiri dari ketua, wakil dan bendahara dari 10 orang calon ! Jawab
: Banyaknya = ..........
1.3.2 Permutasi Dengan Beberapa Unsurnya Sama Pada permutasi yang berbeda dari kata “MAMA” hanya ada 6 permutasi, yaitu MAMA, MAAM, MMAA, AAMM, AMAM dan AMMA. Karena 2 huruf M dan A yang sama dianggap 1. Jadi
6
4P4 4! 2 P 2 2 P 2 2! 2!
Permutasi n unsur dengan k,l,m unsur yang sama, yaitu : P=
..................... .......................
Contoh 2: Tentukan banyaknya susunan huruf yang berbeda dari huruf-huruf pada kata “MATEMATIKA” Jawab
: MATEMATIKA = ....... huruf huruf M = ......huruf huruf A = ......huruf huruf T = .......huruf Jadi P = ..............
= ..............
= ......
susunan
1.3.3 Permutasi Siklis Permutasi dengan susunan seperti siklus (tanpa awal dan tanpa ujung) Permutasi siklis dari n unsur yaitu : Ps = (n-1)!
Contoh 3: Tentukan banyaknya permutasi dari 4 orang yang duduk mengelilingi meja ! Jawab
: Banyaknya = ............. Yaitu :
= ...............
= ....... permutasi
Peluang
-5-
LATIHAN SOAL 1. Tentukan nilai dari : a. 7P2
b. 10P3
2. Tentukan n jika : a. nP2 = 56
c. 12P4
d. 5P5
e. 6P6
f. 6P1
g. 10P1
b. nP4 = 30.nP2
3. Tentukan susunan duduk 8 orang yang berbeda yang akan menduduki 3 kursi ! 4. Ada 3 pelajar putri dan 4 putra. Berapa cara mereka duduk secara : a. berdampingan b. berdampingan, tetapi putra dan putri tetap berkelompok 5. Tentukan banyaknya susunan huruf yang berbeda dari kata : a. BOROBUDUR b. MISSISIPPI c. BULAN 6. Ada 10 bendera, terdiri dari 4 bendera merah, 3 kuning dan 3 hijau. Tentukan banyak susunan bendera secara berjajar yang berbeda ! 7. Delapan orang duduk mengelilingi meja berbentuk persegi panjang. Tentukan banyaknya susunan duduk yang berbeda dari 8 orang tersebut ! 8. Ada 5 pria dan 4 wanita duduk secara melingkar. Berapa macam susunan duduk mereka yang berbeda, jika dua orang yang jenis kelaminnya sama, tidak boleh duduk berdekatan ? 9.
Dari angka-angka 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilangan yang kurang dari 400 !
1.4 KOMBINASI Yaitu susunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan susunan/urutannya Jadi ab = ba Kombinasi r unsur dari n unsur ditulis nCr atau
Crn atau C(n,r)
Dari 4 huruf a,b,c dan d akan disusun permutasi dan kombinasi 3 huruf yang berbeda, sbb: Kombinasi abc ... ... ...
abc .... .... ....
acb .... .... ....
Permutasi bac bca .... .... .... .... .... ....
cab ... ... ...
cba ... ... ...
Dari tabel di atas terlihat bahwa : 24 = .... x .... atau 4P3 = .... x ......
............. .............. ........... ................ ................... Jadi nCr = .......... .................. ............ .................... Sehingga : 4C3 =
Peluang
-6-
Sehingga
nCr =
................... ....................
Contoh 1: Tentukan nilai 6C2 Jawab
: 6C2 = .................
Contoh 2: Tentukan banyaknya team bola volley yang berbeda yang dapat terbentuk dari 10 orang ! Jawab
: Banyaknya = ..............
Contoh 3: Tentukan banyak kemungkinan terambil 3 bola yang terdiri dari 2 bola merah 1 putih pada suatu kotak yang terdiri dari 4 bola merah 5 putih ! Jawab
: Banyaknya = ............
Karena 5C2 = 5C3, 6C1 = 6C5, 10C3 = 10C7 dan seterusnya maka :
nCr = .........
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan nilai dari : a. 10C3 b. 12C9
2. Tentukan n jika : a. nC3 = 35
c. 6C6
d. 9C9
b. (n+1)C2 = 36
e. 7C1
f. 10C1
c. nP2 = nC3
3. Tentukan banyaknya pasangan ganda dari 9 orang ! 4. Tentukan banyaknya campuran 3 warna yang berbeda dari 5 warna dasar ! 5. Pada sebuah bidang ada 10 titik, dimana tidak ada 3 titik yang segaris. Tentukan banyaknya : a. garis yang dapat terbentuk dari titik-titik itu b. segi tiga yang dapat terbentuk dari titik-titik itu 6. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola merah, 5 putih dan 4 biru. Diambil 5 bola sekaligus. Tentukan kemungkinan terambilnya : a. 2 bola merah, 2 putih dan 1 biru b. 3 bola putih dan 2 biru 7. Di dalam tas ada 5 lembar Rp. 10.000, 7 lembar Rp. 5.000 dan 3 lembar Rp.1.000. Diambil 4 lembar sekaligus dari dalam tas itu. Berapa banyaknya kemungkinan terambilnya uang sebesar : a. Rp.26.000 b. Rp.25.000 c. Rp.17.000 8. Jika nC3 = 2n, maka tentukan nilai 2nC7
Peluang
-7-
9. Dari sekelompok remaja, terdiri atas 10 pria dan 7 wanita. Dipilih 2 pria dan 3 wanita. Tentukan banyaknya kemungkinan yang terjadi ! 10. Seorang murid diminta mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 – 5 harus dikerjakan. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil murid tersebut !
1.5 EKSPANSI BINOMIAL (BINOMIUM NEWTON) Perhatikan susunan binomial berikut :
a b 0 ......... a b1 ......... a b 2 ......... a b 3 ......... a b 4 a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab3 b4 Dan seterusnya. Jika kita hanya mengambil koefisiennya, maka didapatkan bentuk : 1 0C0 1 1 1C0 1C1 1 2 1 2C0 2C1 2C2 1 3 3 1 3C0 3C1 3C2 3C3 1 4 6 4 1 4C0 4C1 4C2 4C3 4C4 dst dst
Susunan bilangan di atas disebut susunan segitiga Pascal Dari keteraturan di atas, maka :
a b5 .................... a b 6 ...................... Dengan bantuan notasi sigma, disimpulkan :
a b n nC0a n 0b0 nC1a n 1b1 nC2a n 2b 2 .......... nCna n nbn n
a b
Atau
nCra n r b r r0
Rumus di atas dikenal dengan Binomium Newton
Contoh 1: Jabarkan Jawab
:
x 2 y 3
x 2 y 3 = ..........................
Contoh 2: Diketahui a)
2x 3y5 . Tentukan koefisien dari :
x2 y3
b) suku ke-3
Peluang
-8-
Jawab
2x 3y5 maka n = .....
: a)
x 2 y 3 maka r =.... r
nCr (2 x ) n r 3y ................
Jadi koefisien
x 2 y 3 = .......
b) suku ke-4 maka r = .....
nCr (2 x )
nr
3y
r
(ingat r dimulai dari 0)
................
Jadi koefisien suku ke-4 = .......
LATIHAN SOAL 1.
Diketahui a.
x3 y4
2. Diketahui a.
xy 7
(2 x y ) 7 ,. Tentukan koefisien dari : 2 5 b. x y c. suku ke-2
d. suku ke-7
( 3x 2 y ) 8 . Tentukan koefisien dari : 6 2 b. x y c. suku ke-5 d. suku ke-7
3. Jabarkan binomium berikut :
2.
a.
( x y) 4
e.
( 4 x 3 y ) 5
( 3x 2 y ) 5 1 4 f. ( 2 x y ) 2
b.
c.
(2 x 2 y ) 5
d.
( x 3 y) 4
PELUANG SUATU KEJADIAN Pada suatu percobaan, himpunan semua kejadian yang mungkin terjadi disebut Ruang Sampel (Sampel). Himpunan bagian dari ruang sampel yang diharapkan terjadi disebut Kejadian. Definisi: Peluang kejadian A yaitu banyaknya kejadian A dibagi dengan banyaknya ruang sampel.
P ( A)
n( A) n(S )
Di mana P(A) : peluang kejadian A n(A) : banyaknya kejadian A n(S) : banyaknya ruang sampel Karena n ( A) n ( S ) maka kisaran suatu peluang kejadian A yaitu :
0 p ( A) 1
P(A) = 0 disebut kejadian mustahil P(A) = 1 disebut kejadian pasti Contoh 1: Tentukan peluang munculnya mata dadu prima pada pelemparan 1 dadu sekali ! Jawab
: S : {.........................................................} sehingga n(S) = ..... P : munculnya mata dadu prima
Peluang
-9-
P : {........................} sehingga n(P) = ...... Jadi
P( P)
n( P) ....... n(S )
Frekuensi Harapan suatu kejadian A yaitu peluang kejadian A dikalikan banyaknya percobaan
Jadi :
F ( A)
n( A) xn n( S )
Contoh 2: Tentukan frekuensi harapan munculnya jumlah mata dadu 5 pada pelemparan 2 dadu sebanyak 10 kali Jawab
: S: {............................................................................} maka n(S) = .... L: jumlah dua mata dadu 5 L:{...................................................} maka n(L) = ..... Sehingga F(L) = ................. = ............... kali
LATIHAN SOAL 1.
Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang kejadian keluarnya : a. mata genap b. mata 5
2. Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya : a. jumlah mata dadu 10 b. jumlah mata dadu kurang dari 11 3. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge. Tentukan peluang terambilnya : a. kartu As b. kartu keriting c. kartu merah 4. Pada suatu kotak terdapat 5 bola biru dan 4 hijau. Diambil 3 bola sekaligus. Tentukan peluang terambilnya : a. 2 bola biru 1 hijau b. 1 bola biru 2 hijau c. 3 bola biru 5. Pada kantong Ali terdapat 6 lembar uang Rp 1.000 dan 5 lembar uang Rp 500. Diambil 3 lembar sekaligus. Tentukan peluang terambilnya jumlah uang : a. Rp 1.500 b. Rp 2.500 c. Rp 2.000 6. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge sebanyak 26 kali. Tentukan frekuensi harapan terambilnya : a. kartu as b. kartu keriting 7.
Dari 1000 kaleng sari buah terdapat 4 buah yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah tersebut secara acak, berapakah peluang keduanya rusak ?
8. Dari 100 mahasiswa terdaftar, 45 orang mengikuti kuliah Bahasa Indonesia, 50 orang mengikuti kuliah Sejarah dan 25 orang mengikuti kuliah kedua mata kuliah itu. Dipanggil seorang mahasiswa. Berapa peluang mahasiswa yang dipanggil itu tidak mengikuti kuliah Bahasa Indonesia maupun Sejarah ? 9. Doorprize dari 100 tiket pertunjukan berjumlah dua buah hadiah. Jika seseorang mempunyai 3 tiket, berapa peluang mendapatkan salah satu hadiah tersebut !
Peluang
-10-
10. 4 pria dan 3 wanita dalam acara makan malam duduk melingkar. Jika mereka duduk secara acak, berapa peluang pria dan wanita duduk berselang-seling ?
2.1 Peluang Komplemen Suatu Kejadian
S
Ac
A
n( A) n ( Ac ) ........... : n( S ) n ( A) ..................... n(S ) P(A) + ......... = .......
P ( Ac ) ...........
Jadi
Contoh 1: Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu bukan 12 Jawab
: A = Jumlah mata dadu 12 A : {..........................} maka n(A) = .....
Ac : jumlah mata dadu bukan 12 P ( Ac ) ...........
2.2 Kejadian Saling Lepas Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas, jika pada waktu yang sama antara A dan B dapat terjadi secara bersama-sama. Jika sebaliknya dikatakan A dan B tidak saling lepas.
S A
Kejadian A dan B saling lepas. Jadi n ( A B ) n ( A) n ( B )
B
Sehingga :
P ( A B ) P ( A) P ( B )
S A
B
Kejadian A dan B tidak saling lepas Jadi n ( A B ) n ( A) n ( B ) n ( A B ) Sehingga :
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B )
Peluang
-11-
Contoh 2: Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya : a) dua mata dadu berjumlah 10 atau 12 b) dua mata dadu berjumlah genap atau prima Jawab
: a) Termasuk kejadian ............ A : jumlah mata dadu 10 A : {.................................................} maka n(A) = ....... B : jumlah mata dadu 12 B : {................................................} maka n(B) = .....
P ( A B ) ..............................
b) Termasuk kejadian ................. G : dua mata dadu berjumlah genap G : {..............................................................} maka n(G) = ....... P : dua mata dadu berjumlah prima P : {..........................................................................} maka n(P) = .......
P ( G P ) ..............................
LATIHAN SOAL 1.
Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu : a. bukan 6 b. genap atau ganjil c. prima atau ganjil
2. Dua dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu : a. bukan 11 c. 10 atau 11 b. bukan 10 atau 11 d. lebih dari 4
3. Sebuah kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge. Tentukan peluang terambilnya kartu : a. bukan As e. As atau keriting b. bukan keriting f. merah atau daun c. As atau King g. bukan King atau merah d. As atau merah 4. Pada suatu pertemuan yang dihadiri oleh 50 ibu-ibu PKK, terdapat 24 orang mempunyai hobby menjahit dan 30 orang mempunyai hobby memasak. Jika dipilih secara acak seorang dari ibu-ibu tadi, berapa peluang yang terpilih adalah ibu yang mempunyai hobby memasak atau menjahit ? 5. Dalam suatu gudang terdapat 30 komputer, 5 diantaranya rusak. Jika diambil 5 komputer secara acak, berapa peluang mendapatkan sedikitnya 2 komputer tidak rusak ?
Peluang
-12-
2.3 Kejadian Saling Bebas Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas, jika terjadi atau tidaknya A tidak mempengaruhi terjadi atau tidaknya B. Jika sebaliknya, maka dikatakan A dan B tidak saling bebas (kejadian bikondisional/bersyarat) S1
S2 A
B
Kejadian A dan B dikatakan Saling bebas
P ( A B ) P ( A) xP ( B )
Contoh 1: Pada sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 biru. Diambil 1 bola secara berturut-turut dengan pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola bola biru pada pengambilan kedua ! Jawab
: P (1 M 1B ) P (1 M ) xP (1B )
S1
S2/S1 A
B/A
Kejadian A dan B tidak saling bebas B/A : kejadian B terjadi
setelah A
P ( A B ) P ( A) xP ( B / A)
Contoh 2: Pada sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 4 bola biru. Diambil 1 bola berturut-turut tanpa pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya bola merah lalu biru ! Jawab
: P (1 M 1B ) P (1 M ) xP (1B / 1 M )
LATIHAN SOAL 1.
Pada sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 5 bola biru. Diambil 1 bola berturut-turut dengan pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya : a. bola merah dan biru b. bola biru, merah dan merah
2. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola merah, 4 biru dan 5 putih. Diambil 1 bola secara berturutturut tanpa pengembalian bola pertama. Tentukan peluang terambilnya bola : a. merah dan biru b. biru, merah dan merah c. biru, merah dan putih
Peluang
-13-
3. Pada sebuah kotak terdapat 6 bola putih dan 4 bola hitam. Diambil 2 bola berturut-turuut tanpa pengembalian bola pertama. tentukan peluang terambilnya : a. 2 bola putih dan 2 bola hitam b. 4 bola putih 4. Pada seperangkat kartu bridge diambil 2 kartu berturut-turut tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambilnya : a. 2 kartu As dan 2 King b. 2 kartu hitam dan 2 kartu merah 6. Pada satu set kartu Bridge diambil secara acak 3 kartu sebanyak 2 kali berturut-turut dengan pengembalian. Berapa peluang pada pengambilan pertama mendapatkan 3 King dan pada pengambilan kedua mendapatkan 3 Queen ? 6. Dalam suatu boks terdapat 3 disket paket WS, 4 disket LOTUS dan 5 disket Dbase. Semua disket tidak berlabel. Diambil 1 disket berturut-turut sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Berapa peluang mendapatkan : a. disket pertama dan kedua paketnya sama-sama LOTUS b. disket kedua paket Dbase 7. Pada suatu kolam berisi 5 ekor ikan mas dan 6 ekor ikan mujaer. Tentukan peluang terpancingnya : a. 1 ekor ikan emas dan 2 mujaer. b. 2 ekor ikan emas dan 2 mujaer c. 3 ekor ikan mas
Peluang
