Přednáška z MA Michal Tuláček 16. prosince 2004
Obsah 1 IV.7 Průběhy funkce
3
2 Vyšetřování průběhu funkce - KUCHAŘKA
4
3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení
4
4 Příklady na dobu mezi kaprem a husou
7
Definice: Nechť f : M ⊂ R → R. Řekneme, že f je konvexní (ryze konvexní, konkávní, ryze konkávní), jestliže pro ∀x1 , x2 , x3 ∈ M, x1 < x2 < x3 platí: f (x2 )−f (x1 ) x2 −x1
x1
6 < > >
x2
Lemma (Jiná definice konvexity): I, x1 < x2 < x3 platí:
f (x3 )−f (x1 ) x3 −x1
konvexní ryze konvexní ryze konkávní konkávní
x3 f je na intervalu I konvexní, právě když ∀x1 , x2 , x3 ∈
f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x2 ) 6 6 x2 − x1 x3 − x1 x3 − x2 (analogicky pro další 3 případy) Důkaz :
Plyne z obrázku, přesný důkaz cvičení.
Věta IV.29 (Konvexita a existence jednostranných derivací): 0 0 na intervalu I, nechť a ∈ Int I. Potom v a existuje f+ (a) ∈ R a f− (a) ∈ R. 1
Nechť f je konvexní
Poznámka:
0 0 Nemusí platit f− (a) = f+ (a).
Důkaz : 0 f+ (a) = lim
x→a+
f (x) − f (a) x−a
(a) Def: F (x) := f (x)−f x−a Pak F je neklesající na nějakém P + (a, δ). (a) (a) 6 f (xx22)−f . Neboť pro x1 < x2 , x1 > a: f (xx11)−f −a −a Tedy ∃ limx→a+ F (x) Je konečná? Nechť y ∈ I, y < a, potom
f (x) − f (a) f (a) − f (y) 6 a−y x−a tedy F je na P + (a, δ) zdola omezená číslem
f (a)−f (y) . a−y
∀x ∈ P + (a, δ)
Věta IV.30 (Vztah konvexity a spojitosti): Nechť f je konvexní na otevřeném intervalu (a,b). Pak f je na (a,b) spojitá. Poznámka:
Otevřenost intervalu je podstatná. Konvexní nespojitá:
V 29
0 0 Nechť x ∈ I. I je otevřený ⇒ x ∈ Int I. ⇒ f+ (x) ∈ R & f− (x) ∈ R (f (y)−f (x)) 0 (y − x) = f (x) · 0 = 0 ⇒ f je spojitá zprava & zleva v x limy→x+ (f (y) − f (x)) = limy→x+ y−x ⇒ f je spojitá v x ∀x ∈ I ⇒ f je spojitá na I.
Důkaz :
Věta IV.31 (Vztah konvexity a druhé derivace): intervalu I = (a, b).Pokud: f 00 (x)
> 0 > 6 <
∀x ∈ (a, b) , pak f je
Nechť f má spojitou 1. derivaci na
ryze konvexní konvexní konkávní ryze konkávní
na (a, b)
Důkaz : Nechť např. f 00 (x) > 0 ∀x ∈ (a, b). Potom f 0 je neklesající na (a, b). Zvolíme x1 < x2 < x3 x1 , x2 , x3 ∈ (a, b). Dle Lagrangeovy věty existuje ξ1 ∈ (x1 , x2 ), ξ2 ∈ (x2 , x3 ) tak, že f 0 (ξ1 ) =
f (x2 ) − f (x1 ) 0 f (x3 ) − f (x2 ) , f (ξ2 ) = . x2 − x1 x3 − x2
2
f je neklesající ⇒ f 0 (ξ1 ) 6 f 0 (ξ2 ) ⇒
f (x3 ) − f (x2 ) f (x2 ) − f (x1 ) 6 x2 − x1 x3 − x2 f (x2 ) +
f (x2 ) − f (x1 ) (x3 − x2 ) 6 f (x3 ) x3 − x1 f (x )−f (x1 )
2 f (x2 )−f (x1 )+ x3 −x1 x3 −x1
(x3 −x2 )
⇓ cvičení
f (x2 )−f (x1 ) x2 −x1
·(x3 − x2 ) +f (x2 ) : (x3 − x1 ) −f (x1 )
6
f (x3 )−f (x1 ) x3 −x1
6
f (x3 )−f (x1 ) x3 −x1
Ostatní případy analogicky
1
IV.7 Průběhy funkce
Definice: Řekneme, že funkce f má asymptotu ax + b v +∞ (v −∞), jestliže f je definovaná na okolí +∞ (−∞) a lim f (x) − ax − b = 0. x → +∞ (−∞)
Věta IV.32 (O asymptotě): lim
x→+∞
Funkce f má v +∞ asymptotu ax+b, právě když
f (x) =a∈R x
&
lim (f (x) − ax) = b ∈ R.
x→+∞
Důkaz : ”⇒”: Předpokládejme, že f má v +∞ asymptotu ax + b. Potom
lim
x→∞
f (x) − ax − b f (x) f (x) − ax − b ax + b = lim + = lim | x x→∞ x→∞ x x x {z } →0
+ a
+
b =a x |{z} →0
Dále:
lim f (x) − ax = lim f (x) − ax − b + b = lim f| (x) −{zax − }b + x→∞ x→∞ →0
x→∞
”⇐”: lim f (x) − ax − b =
x→∞
h
i lim f (x) − ax − b = b − b = 0.
x→∞
Poznámka:
Příklady:
3
b =b
1. f (x) =
√ 1 + x2
√ 1 + x2 f (x) lim = lim =1 ⇒ a=1 x→∞ x x→∞ x p p √ 1 + x2 − x2 √ =0 1 + x2 − x2 = lim √ lim f (x) − ax = lim 1 + x2 − x = lim x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ 1 + x2 + x2
⇒
Asymptota: y = x (v +∞) 2. Asymptoty mohou být konstantní: f (x) = arctg x f má asymptotu
π 2
v +∞. (a = 0, b =
π 2)
f (x) = arctg x f má asymptotu − π2 v −∞. (a = 0, b = − π2 ) 3. Asymptota nemusí existovat f (x) = ex , limx→∞ (a = 0, b = 0)
2
ex x
= +∞, takže f není asymptotou v +∞, ale f má asymptotu 0 v −∞
Vyšetřování průběhu funkce - KUCHAŘKA 1. Určíme definiční obor a obor spojitosti. 2. Určíme průsečíky se souřadnými osami (f (0) - průsečík s osou y [0, f (0)], najít x: f (x) = 0 - průsečíky s osou x). 3. Určíme symetrii funkce (sudost, lichost, periodicita) 4. Dopočítáme limity v krajních bodech def. oboru (limx→∞ f (x), limx→ π2 + tg x, . . . ). 5. Spočítáme první derivaci, určíme intervaly monotonie, lokální a globální extrémy a obor hodnot. 0 0 V bodech, kde neexistuje derivace spočítáme f− , f+ (pokud existují). (Pokud použiju větu o limitě derivací, musím napsat, že funkce je na okolí spojitá)
6. Spočítáme druhou derivaci, určíme intervaly konvexity, určíme inflexní body. 7. Určíme asymptoty ±∞ pokud tam je D(f ) a pokud existují. 8. Načrtneme graf funkce.
3
Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení
Vyšetřete průběh funkce f (x) = |x| + arctg |x − 1| 1. Definiční obor: D(f ) = R, obor spojitosti S(f ) = R. 2. Průsečík s osou: y: f (0) = |0| + arctg |0 − 1| = arctg 1 =
π 4 ?
x: 0 = |x| + arctg |x − 1| ⇒ −|x| = arctg |x − 1| ⇒ x = 0
0 6= arctg 1 =
π 4
⇒ s osou x průsečík není. ?
3. Periodicita: ani sudá (f (−1) = f (1) ⇒ 1 + arctg 2 6= 1 + arctg 0 ⇒ f (−1) 6= f (1)), ani lichá (neprochází počátkem), ani periodická (nebyla utvořena z periodických funkcí)
4
b=0
4. Limity v krajních bodech D(f ): v −∞, +∞.
|x − 1| lim |x| + arctg |x − 1| = lim |x| + |arctg{z } = +∞ x→∞ π → 2
x→∞
|x − 1| lim |x| + arctg |x − 1| = lim |x| + |arctg{z } = +∞ x→−∞ π → 2
x→−∞
5. Derivace: 0
|x| =
−1 x ∈ (−∞, 0) 1 x ∈ (0, +∞)
R = (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, ∞) ∪ {0} ∪ {1} (1, ∞) :
(x + arctg (x − 1))0 = 1 +
(0, 1) :
(x + arctg (1 − x))0 = 1 −
(−∞, 0) :
1 2 + (x − 1)2 = 1 + (x − 1)2 1 + (x − 1)2
(1 − x)2 1 = 2 1 + (1 − x) 1 + (1 − x)2
(−x + arctg (1 − x))0 = −1 −
1 −2 − (1 − x)2 = 1 + (1 − x)2 1 + (1 − x)2
Máme f 0 (x) pro x ∈ R \ {0, 1}.
Existence f 0 (0), f 0 (1): Funkce je spojitá na R, takže jsme oprávněni zde použít větu o limitě derivace 1 VOLD (1 − x)2 0 = f+ (0) = 1 + (1 − x)2 2 3 VOLD −2 − (1 − x)2 =− = 1 + (1 − x)2 2
0 f− (0)
0 f+ (1) 0 f− (1)
VOLD 2 + (x − 1)2 = =2 1 + (x − 1)2 VOLD =
(1 − x)2 =0 1 + (1 − x)2
Derivace zprava a zleva se nerovnají ⇒ derivace neexistují. 6. Monotonie: f 0 > 0 na I ⇒ f na I neklesající.
(1, ∞): Vždy f 0 (x) > 0 ⇒ rostoucí.
(0, 1): Vždy f 0 (x) > 0 ⇒ rostoucí.
(−∞, 0): Vždy f 0 (x) < 0 ⇒ klesající. 7. Extrémy: Globální minimum: 0
f (0) =
π 4
[(−∞, 0) &, (0, 1) %]
Kandidáti na extrém: 0,1 (místa kde @ f 0 (x)), místa kde f 0 (x) = 0. 0 - globální minimum 1 - není extrém [(0, 1) %, (1, ∞) %]
f 0 (x) 6= 0
∀x ∈ R (viz monotonie). 5
8. Obor hodnot: [ π4 , +∞) f je spojitá na R, limx→0 f (x) = (−∞, 0].
π 4,
limx→−∞ f (x) = ∞ ⇒ funkce f je darbouxovská na
9. Druhá derivace:
(1, ∞) :
1+
1 1 + (x − 1)2
0
=
1 + (x − 1)2
−1
= (−1) 1 + (x − 1)2
2
(2x−2) =
2 − 2x
2
(1 + (x − 1)2 )
Další obdobně. . . 10. Intervaly konvexity: f 00 < 0 na (−∞, 0) ⇒ f je ryze konkávní.
f 00 < 0 na (0, 1) ⇒ f je ryze konkávní.
f 00 < 0 na (1, ∞) ⇒ f je ryze konkávní.
11. Inflexní body: f 00 neexistuje v 0,1 ⇒ nejsou inflexní body. 12. Asymptoty:
lim
x→−∞
f (x) |x| + arctg |x − 1| −x + arctg (1 − x) −x arctg (1 − x) = lim = lim = lim + = −1 x→−∞ x→−∞ x→−∞ x x x x x lim [f (x) − ax] = lim [−x + arctg (1 − x) + x] =
x→−∞
x→−∞
Asymptota v −∞: y = -x + lim
x→∞
π 2
π 2.
|x| + arctg |x − 1| x + arctg (x − 1) x arctg (x − 1) f (x) = lim = lim = lim + =1 x→∞ x→∞ x→∞ x x x x x lim [f (x) − ax] = lim [x + arctg (x − 1) − x] =
x→∞
Asymptota v +∞: y = x + 13. Informace o funkci: (−∞, 0) f −x + arctg (1 − x)
x→∞
π 2.
(0, 1) x + arctg (1 − x)
(1, ∞) x + arctg (x − 1)
f’
−2−(1−x)2 1+(1−x)2
(1−x)2 1+(1−x)2
2+(x−1)2 1+(x−1)2
f”
2x−2 (1+(x−1)2 )2
2x−2 (1+(x−1)2 )2
2−2x (1+(x−1)2 )2
f monotonie konvexita
π 2
(−∞, 0) −x + arctg (1 − x) & ∩
(0, 1) x + arctg (1 − x) % ∩
6
0 — neexistuje + 1 − 32 2 —
(1, ∞) x + arctg (x − 1) % ∩
1 — neexistuje + 0 2 —
14. Graf:
y
π 2
1
π 4
Globalni minimum 0
4
1
x
Příklady na dobu mezi kaprem a husou
Vyšetřete průběhy funkcí
f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x)
1 = arccos 1 + x2 p = x 1 − x2 1 = |2x + 10| + x e −1 = 3 − x2 − 1
(1) (2) (3) (4)
= esin x cos x
(5)
= x2 − x + 1 e−|x| = 2x − tg x
(6) (7)
= |3 cos x| + 2 cos3 x
Určete limity funkcí a posloupností
7
(8)
lim π
x→ 2 +
√
1 − sin x log 2x π cotg2 x
lim (− cos x) x 1 lim − x→1 x − 1 log x x→π
(Past na L’Hôpitalisty)
(9) (10) (11)
2
(x − 1) x→1 log (cos (π2x )) 1 lim n n − cotg n→∞ n 2 n2 n +1 lim n→∞ n2 − 3 3 n log n2 + 31 − log n2 n arctg lim n→∞ 1 27 1 − cos √ lim
n
8
(12) (13) (14) (15)
