Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia
Přednáška 7, ODM, prostorové a příčně zatížené prutové konstrukce • • • • • •
Výpočtový model prostorové konstrukce Tvorba výpočtového modelu Analýza prutu v prostoru Příklad řešení prostorového rámu Prut roštového typu Příklad řešení příčně zatíženého rámu
Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1
Prostorová prutová soustava Prostorové prutové soustavy nesplňují alespoň některou z těchto podmínek: střednice všech prutů leží v rovině soustavy (RS) jedna z hlavních rovin každého prutu leží v RS funkční roviny kloubů splývají s RS každá jednoduchá vnější vazba buď leží v RS (nebo je kolmá – u příčně zatížených konstrukcí) veškerá zatížení působí v RS (nebo kolmo u PZK)
2
Poloha prutu v prostoru [1] Prutovou soustavu umísťujeme v globálním souřadném systému s osami x, y a z. Poloha prutu je jednoznačně určena osou prutu a bodem určujícím s osou prutu jednu jeho hlavní rovinu (bod c). Lokální souřadný systém má počátek v bodě a prutu. Osou prutu prochází lokální osa x*. 1. hlavní rovina lokálními osami x*, y*, 2. hlavní rovina lokálními osami
x*, z*.
3
Tvorba výpočtového modelu
Vychází ze stejných zásad jako u rovinné prutové konstrukce Monolitický styčník má v prostoru 6 stupňů volnosti Kladné směry globálních parametrů deformace vyplývají z obrázku Kloubový styčník (dokonalý kloub) umožňuje pootáčení v libovolné rovině, má jen tři nenulové globální složky posunutí ui, vi, wi Kloubové připojení prutu k monolitickému styčníku má v prostoru více variant dle funkční roviny (funkčních rovin) kloubu(ů) 4
Stupeň přetvárné neurčitosti prostorové prutové soustavy Stejně jako u rovinné soustavy je np roven celkovému počtu neznámých parametrů deformace soustavy. U nevázaného monolitického uzlu (bez vnějších vazeb) je to vždy šestice parametrů. U čistě kloubového uzlu (bez vnějších vazeb) jsou to minimálně tři parametry.
5
Analýza prutu v prostoru, přímý oboustranně monoliticky připojený prut Vektor výsledných globálních složek koncových sil prutu ab: R ab = {X ab Yab Z ab M x ,ab M y ,ab M z ,ab X ba Yba Z ba M x ,ba M y ,ba M z ,ba }
T
6
Analýza prutu v prostoru, přímý oboustranně monoliticky připojený prut Vektor primárních globálních složek koncových sil prutu ab:
{
R ab = X ab Y ab Z ab M x ,ab M y , ab M z ,ab X ba Y ba Z ba M x ,ba M y ,ba M z ,ba
}
T
Vektor globálních složek deformace prutu ab: rab = {ua va wa ϕ x ,a ϕ y ,a ϕ z ,a ub vb wb ϕ x ,b ϕ y ,b ϕ z ,b }
T
Výsledný globální vektor koncových sil prutu ab:
R ab = R ab + k abrab kab … globální matice tuhosti prutu ab 12. řádu 7
Analýza prutu v prostoru, přímý oboustranně monoliticky připojený prut Lokální uzlové parametry deformace:
{
r = u v w ϕ * ab
* a
* a
* a
* x ,a
ϕ
* y ,a
ϕ
* z ,a
u v w ϕ * b
* b
* b
* x ,b
ϕ
* y ,b
ϕ
}
* T z ,b
8
Analýza prutu v prostoru, přímý oboustranně monoliticky připojený prut Lokální vektory výsledných a primárních složek koncových sil: R
* ab
{
* ab
= X Y Z
R
* ab
= X
* ab
{
* ab
Y
* ab
* ab
Z
M
* ab
* x , ab
M
M
* x , ab
* y , ab
M
M
* y , ab
* z , ab
M
* ba
* ba
* ba
X Y Z M
* z , ab
X
* ba
Y
* ba
Z
* ba
* x ,ba
M
M
* x ,ba
* y ,ba
M
M
* y ,ba
}
T * z ,ba
M
}
T * z ,ba
9
Analýza prutu v prostoru, přímý oboustranně monoliticky připojený prut Příklady zatížení prutu:
n qz qy mx
… vyvolává … vyvolává … vyvolává … vyvolává
* ab * ab * ab * x , ab
* ba * ba * ba
X ,X * * Z , Z , M y ,ab , M y ,ba * * Y , Y , M z ,ab , M z ,ba * M , M x ,ba
10
Analýza prutu v prostoru, prvky primárního vektoru koncových sil v LSS Prvky primárního vektoru R *
*
*
* ab
od zatížení v rovině x*z*
*
( Z ab , Z ba , M y ,ab , M y ,ba ) a od zatížení v ose prutu x* * ab
* ba
( X , X ) se shodují s prvky primárního vektoru pro rovinné rámy.
x* y*
* ab
* ba
* z , ab
* z ,ba
Prvky od zatížení v rovině (Y ,Y , M , M ) se určí analogicky. Vzhledem ke znaménkové konvenci mají * * však složky ( M z ,ab , M z ,ba ) opačná znaménka.
11
Analýza prutu v prostoru, prvky primárního vektoru koncových sil v LSS Složky koncových sil M*x,ab a M*x,ba se určí silovou metodou. Pro konstantní průřez platí: T0T1 * 1 l T0 * 1 l mx x * mx l 2 ϑ0 = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = G 0 It G 0 It 2GI t 0 GI t l
T12 * 1 l 1 l dx = ∫ dx = ϑ1 = ∫ G 0 It GI t 0 GI t l
M
* x ,ba
M
* x , ab
=−
ml ϑ0 =− x ϑ1 2
= −M
* x ,ba
− MR = +
mx l ml − mx l = − x 2 2 12
Analýza prutu v prostoru, prvky primárního vektoru koncových sil v LSS
Pro oboustranně monoliticky připojený prizmatický prut ab zatížený dle obr. je primární vektor koncových sil v LSS: R
R
{
* ab
* ab
= X
* ab
1 1 1 1 1 1 2 nl q l q l m l q l q yl 2 − − − − − y z x z 2 2 2 12 12 2 = T 1 1 1 1 1 1 − nl − q y l − q z l − mx l − q z l 2 q yl 2 2 2 2 2 12 12
Y
* ab
Z
* ab
M
* x , ab
M
* y , ab
M
* z , ab
X
* ba
Y
* ba
Z
* ba
M
* x ,ba
M
* y ,ba
M
}
T * z ,ba
13
Analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu Zatížení prutu ab v LSS v prostoru lze rozdělit na zatížení působící: * * 1. v ose prutu Xˆ ab , Xˆ ba (uplatní se A) * * ˆ * , Mˆ * (uplatní se I ) 2. v rovině x*z* Zˆ , Zˆ , M ab
ba
y , ab
y ,ba
y
* * ˆ * , Mˆ * (uplatní se I ) 3. v rovině x*y* Yˆab , Yˆba , M z , ab z ,ba z
4. kolem osy
x * Mˆ x*,ab , Mˆ x*,ba (uplatní se It)
Při sestavování matice tuhosti k*ab lze využít:
pro ad1) a ad2) matici tuhosti pro rovinné konstrukce pro ad3) při zvážení znaménkové konvence také matici tuhosti pro rovinné konstrukce pro ad4) nutno řešit vliv kroucení 14
Analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu Sekundární kroutící momenty Mˆ x,ab , Mˆ x,ba jsou indukovány pootočením ϕx,a a ϕx,b. V matici tuhosti k*ab představuje příslušný koeficient kij moment, který vyvolává jednotkové potočení. Platí tedy: GI t
kij =
l
Pro výpočet momentu tuhosti v kroucení It pro např. obdélníkový průřez platí:
I t = α b3h 15
Analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu
k *ab
EA l 0 0 0 0 0 = EA − l 0 0 0 0 0
0
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6 EI - 2z l
0
0
0
0
12 EI y l3
0 0
-
0 GI t l
0 −
6 EI y
0
l2
−
6 EI y l2 0
4 EI y l
-
EA l
0
-
0
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
-
12 EI y
0
l3 0 6 EI y l2
−
GI t l 0
−
6 EI y l2 0
2 EI y l
6 EI z l2
0
0
0
4 EI z l
0
0
0
0
0
EA l
0
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12 EI z l3
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6 EI - 2z l
0
−
12 EI y
0 0 6 EI z l2
l
−
0 −
6 EI y l 0
0
3
2
GI t l 0 0
6 EI y l
2 EI y l 0
−
2 EI z l
12 EI y l
3
0 6 EI y
0 GI t l
2
0
0
0
l
6 EI y l2 0 4 EI y l 0
6 EI z l2 0 0 0 2 EI z l 0 6 EI z − 2 l 0 0 0 4 EI z l 0
16
Analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně kloubově připojeného prutu
k *ab
EA l 0 0 0 0 = 0EA − l 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
-
EA l 0 0 0 0 0 EA l 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = EA 0 0 l − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Pro příhradovou konstrukci lze úsporněji psát k *ab =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
EA 1 l − 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
− 1 1 17
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru [1] Poloha hlavní roviny x*z* je určena přímkou ab a bodem c [xc, yc, zc]. Globální osa x svírá s osami x*, y* a z* úhly αi (i = 1, 2, 3), osa y úhly βi a osa z úhly γi.
18
Transformační matice v prostoru Transformační matice Tab je 12. řádu. t ab 0 Tab = 0 0 ai = cos α i
0 t ab 0 0
0 0 t ab 0
0 0 0 t ab
submatice má tvar t ab
a1 = a2 a 3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
i = 1, 2 , 3
bi = cos β i ci = cos γ i
platí : cos 2 α i + cos 2 β i + cos 2 γ i = 1
19
Určení směrových kosinů prutu v prostoru z globálních souřadnic tří bodů 1. Směrové kosiny a1, b1, c1, se určí stejně jako u prutu příhradové konstrukce v prostoru: x −x x y −y y z −z z zba a1 = b a = ba , b1 = b a = ba , c1 = b a = ba = 2 2 2 l l l l l l ( xba + yba + zba ) 2. Z obecné rovnice roviny A(x-xa)+B(y-ya)+C(z-za) = 0 procházející bodem a se po postupném dosazení souřadnic bodů b a c vypočtou konstanty A, B a C:
A = yca zba − yba zca , B = xba zca − xca zba , C = xca yba − xba yca Osa y* je normálou k rovině, její směrové kosiny proto vyplývají ze vztahů:
A B C a2 = , b2 = , c2 = , kde d = ( A2 + B2 + C 2 ) d d d
20
Určení směrových kosinů prutu v prostoru z globálních souřadnic tří bodů 3. Pro směrové kosiny osy z* platí podmínka ortogonality:
a3 = b1c2 − b2 c1 ,
b3 = a2 c1 − a1c2 , c3 = a1b2 − a2b1
4. Určením směrových kosinů z globálních souřadnic bodů a, b a c lze určit transformační matici Tab a inverzní −1 matici Tab = TabT .
21
Převodní transformační vztahy s maticemi pro prut v prostoru Tyto vztahy jsou obecně stejné jako pro rovinné rámové konstrukce: r * = T r ab
ab ab
R *ab = Tab R ab * rab = TabT rab
R ab = TabT R *ab R ab = T R T ab
* ab
k ab = TabT k *ab Tab 22
Příklad 8, prostorový rám, zadání [0 0 0]
x y z
q z = 5 kN/m
b
d c
r = 0,2 m E = 27 GPa
ν = 0,2 lab = 4 m lbc = 3 m
a
lcd = 2 m 23
Příklad 8, prostorový rám, výpočtový model x
[0 0 0]
(1 2 3 4 5 6 ) b [0 2 0]
y
z
(13 14 0 15 16 17 ) d [3 0 0] (7 8 9 10 11 12 ) 2 2 A = π ⋅ r = 0 , 1257 m c [3 2 0] Iy = Iz =
n p = 17
1 π ⋅ r 4 = 1,257 ⋅10 −3 m 4 4
I t= I y + I z =
a [0 2 4]
(0 0 0 0 0 0)
G=
e[3 2 4]
1 π ⋅ r 4 = 2,513 ⋅10 −3 m 4 2
E = 11,25 GPa 2(1 + ν )
24
Příklad 8, prostorový rám, analýza prutu 1 (ab) x y z
a 0 2 4
t ab 0 Tab = 0 0 t ab
0 = 0 1
b 0 2 0
0 t ab 0 0 0 1 0
[0 0 0]
c 3 2 0
0 0 t ab 0
− 1 0 0
0 0 0 t ab
b [0 2 0]
a [0 2 4]
d [3 0 0] c [3 2 0]
e [3 2 4] 25
Příklad 8, prostorový rám, analýza prutu 1 (ab)
k *ab =
26
Příklad 8, prostorový rám, analýza prutu 2 (bc) x y z
b 0 2 0
c 3 2 0
t bc 0 Tbc = 0 0 1 t bc = 0 0
0 t bc 0 0 0 1 0
0 0 1
[0 0 0]
a 0 2 4
0 0 t bc 0
0 0 0 t bc
b [0 2 0]
a [0 2 4]
d [3 0 0] c [3 2 0]
e [3 2 4] 27
Příklad 8, prostorový rám, analýza prutu 2 (bc)
k *bc =
28
Příklad 8, prostorový rám, analýza prutu 3 (cd) x y z
t cd 0 Tcd = 0 0 0 t cd = 1 0
c 3 2 0
d 3 0 0
0 t cd 0 0 −1 0 0
[0 0 0]
e 3 2 4
0 0 t cd 0 0 0 1
0 0 0 t cd
b [0 2 0]
a [0 2 4]
d [3 0 0] c [3 2 0]
e [3 2 4] 29
Příklad 8, prostorový rám, analýza prutu 3 (cd)
k *cd =
30
Příklad 8, prostorový rám, analýza prutu 3 (cd)
b
a
0 0 0 0 qz = 5 kN/m 1 1 0 − q z lcd − 5 ⋅ 2 0 d 2 2 −5 c 0 0 0 1 q z lcd2 1 5 ⋅ 2 2 lab = 4 m 12 1,67 12 * 0 0 0 R cd = = = 0 0 0 lbc = 3 m 0 0 0 − 1 q l − 1 5⋅ 2 − 5 lcd = 2 m 2 z cd 2 0 − 1,67 0 0 1 1 2 2 0 5 2 q l − − ⋅ z cd 12 12 0 0
0 0 −5 1,67 0 0 * T R cd = Tcd R cd = 0 0 −5 − 1,67 0 0
31
Příklad 8, prostorový rám, matice tuhosti soustavy K
32
Příklad 8, prostorový rám, zatěžovací vektor a řešení soustavy rovnic 0 0 0 0 0 0 0 0 F = −R = 5 − 1,67 0 0 0 0 1,67 0 0
ub 1,53 vb w 1,34 b 0,00 ϕ x ,b 0,67 ϕ y ,b − 0,76 ϕ z ,b 0,00 uc 1,53 vc 1,34 r = K −1F = wc = 2,87 ⋅10 −3 ϕ x ,c 1,27 ϕ − 1,05 y ,c 0 , 00 ϕ z ,c 1 , 53 ud vd 1,34 ϕ 1,54 x,d − 1 , 05 ϕ y ,d 0 , 00 ϕ z ,d
qz = 5 kN/m b
c
d
a
33
Příklad 8, prostorový rám, vektory deformací jednotlivých prutů
34
Příklad 8, prostorový rám, koncové síly jednotlivých prutů Globální koncové síly:
Lokální koncové síly:
35
Příklad 8, prostorový rám, reakce a kontrola rovnováhy ve styčnících q z = 5 kN/m d b
c
a 36
Příklad 8, prostorový rám, kontrola ΣFz = 0 q z = 5 kN/m
Raz = 2,16 kN(↑ ) Rdz = 7,84 kN(↑ )
d b
c
∑ Fz = 0 : Raz + Rdz − q ⋅ 2 = 0 2,16 + 7,84 − 5 ⋅ 2 = 0 a 37
Příklad 8, prostorový rám, normálové síly N d c
_
-2,16
b
a 38
Příklad 8, prostorový rám, posouvající síly Vy a Vz d 2,16
b
+
c
a 39
Příklad 8, prostorový rám, kroutící momenty T d 5,68
b
+
c
a 40
Příklad 8, prostorový rám, ohybové momenty My a Mz d
-6,48
c
_
-6,48 6,48
b
_
5,68
a 41
Řešení roštů Rošt je pravoúhlá nebo kosoúhlá rovinná soustava prutů,
která je zatížena kolmo na rovinu roštu. Leží-li rošt v rovině určené globálními osami
xy, pak v něm nevznikají složky sil ve směru těchto os a momenty Mz. Totéž platí o posunutích u, v, a o potočení ϕz.
V prutu
ab roštového typu vznikají koncové síly
Z ab , Z ba , M y ,ab , M y ,ba , M x ,ab , M x ,ab a parametry deformace
wa , wb , ϕ x ,a , ϕ x ,b , ϕ y ,a , ϕ y ,b . 42
Příklad roštové konstrukce [1]
43
Řešení roštů x y
Lokální vektor koncových sil prutu: R
z
* ab
{
= Z
* ab
M
* x , ab
M
* y , ab
Z
* ba
M
* x ,ba
M
}
T * y ,ba
Globální vektor parametrů deformací prutu:
{
rab = wa
ϕ x ,a
ϕ y ,a
wb
ϕ x ,b
ϕ y ,b }
T
ϕx ϕy w 44
Řešení roštů, matice tuhosti prutu
k
* ab
12 EI l3 0 − 6 EI 2 = l 12 EI − 3 l 0 6 EI − 2 l
k ab
0 GI t l 0 0
−
6 EI l2
−
12 EI l3
0
0
4 EI l 6 EI l2
6 EI l2 12 EI l3
0 −
GI t l 0 0
GI − t l
0
0
GI t l
0
2 EI l
6 EI l2
0
t = TabT k *ab Tab , kde Tab = ab 0
0 t ab
6 EI l2 0 2 EI l 6 EI l2 0 4 EI l
−
t ab
a α
x
b
1 = 0 0
0 cos α − sin α
0 sin α cos α 45
Rošt, lokální matice tuhosti prutu
k *ab
EA l 0 0 0 0 0 = EA − l 0 0 0 0 0
EA l
0
0
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12 EI y l3
0 0
-
0 GI t l
0 −
6 EI y l
0
2
−
6 EI y l2 0
4 EI y l
-
-
0
0
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
-
12 EI y
0
l3 0 6 EI y
−
GI t l
−
6 EI y 0
2 EI y
0
6 EI z l2
0
0
0
2 EI z l 0
l
0
0
4 EI z l
0
0
0
0
0
0
EA l
0
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12 EI z l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 EI z l
0
0
−
12 EI y
0 0 6 EI z l2
l3 −
0 −
0
6 EI y l 0
2
GI t l 0 0
6 EI y l2 0 2 EI y l 0
-
6 EI z l2
12 EI y l3 0 6 EI y
0 GI t l
2
0
0
0
l
0
l
0
−
0
2
6 EI z l2
-
0
l2
6 EI y l2 0 4 EI y l 0
−
6 EI z l2 0 0 0
4 EI z l
X* Y* Z* Mx* My* Mz* X* Y* Z* Mx* My* Mz* 46
Rošt, lokální matice tuhosti prutu
k *ab
EA l 0 0 0 0 0 = EA − l 0 0 0 0 0
EA l
0
0
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12 EI y l3
0 0
-
0 GI t l
0 −
6 EI y l
0
2
−
6 EI y l2 0
4 EI y l
-
-
0
0
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
-
12 EI y
0
l3 0 6 EI y
−
GI t l
0
0
2 EI z l
0
0
4 EI z l
0
0
0
0
0
0
EA l
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12 EI z l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 EI z l
0
12 EI y
0 0 6 EI z l2
l3 −
0 −
0
6 EI y l 0
2
GI t l 0 0
6 EI y l2 0 2 EI y l 0
-
2 EI y
0
0
0
−
0
0
6 EI z l2
l
0
0
l2
0
0
−
6 EI y
2
6 EI z l2
-
−
6 EI z l2
12 EI y l3 0 6 EI y
0 GI t l
2
0
0
0
l
l
6 EI z l2 6 EI y
−
l2 0 4 EI y l 0
0
0 0 0 0 4 EI z l
X* Y* Z* Mx* My* Mz* X* Y* Z* Mx* My* Mz* 47
Rošt, lokální matice tuhosti prutu
k *ab
EA l 0 0 0 0 0 = EA − l 0 0 0 0 0
EA l
0
0
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12 EI y l3
0 0
-
0 GI t l
0 −
6 EI y l
0
2
−
6 EI y l2 0
4 EI y l
-
-
0
0
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
-
12 EI y
0
l3 0 6 EI y
−
GI t l
0
0
2 EI z l
0
0
4 EI z l
0
0
0
0
0
0
EA l
0
0
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12 EI z l3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 EI z l
0
12 EI y
0 0 6 EI z l2
l3 −
0 −
0
6 EI y l 0
2
GI t l 0 0
6 EI y l2 0 2 EI y l 0
-
2 EI y
0
0
0
−
0
0
6 EI z l2
l
0
0
l2
0
0
−
6 EI y
2
6 EI z l2
-
−
6 EI z l2
12 EI y l3 0 6 EI y
0 GI t l
2
0
0
0
l
l
6 EI z l2 6 EI y
−
l2 0 4 EI y l 0
0
0 0 0 0 4 EI z l
X* Y* Z* Mx* My* Mz* X* Y* Z* Mx* My* Mz* 48
Rošt, lokální matice tuhosti prutu
k *ab
12 EI l3 0 − 6 EI 2 = l 12 EI − 3 l 0 6 EI − 2 l
0 GI t l
6 EI l2
−
12 EI l3
0 −
GI t l
0
0
4 EI l 6 EI l2
6 EI l2 12 EI l3
GI t l
0
0
GI t l
0
2 EI l
6 EI l2
0
0 0 −
−
0 0
6 EI l2 0 2 EI l 6 EI l2 0 4 EI l
−
Z* Mx * My* Z* Mx * My*
49
Rošt, transformační matice a1 a2 a 3 Tab =
b1 b2 b3 0
0
0
c1 c2 c3
0 a1 a2 a3
b1 b2 b3 0
0
c1 c2 c3 a1 a2 a3
0
0
0
0
b1 b2 b3 0
c1 c2 c3
0 a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
X* Y* Z* Mx* My* Mz* X* Y* Z* Mx* My* Mz* 50
Rošt, transformační matice a1 a2 a 3 Tab =
b1 b2 b3 0
0
0
c1 c2 c3
0 a1 a2 a3
b1 b2 b3 0
0
c1 c2 c3 a1 a2 a3
0
0
0
0
b1 b2 b3 0
c1 c2 c3
0 a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
X* Y* Z* Mx* My* Mz* X* Y* Z* Mx* My* Mz* 51
Rošt, transformační matice a1 a2 a 3 Tab =
b1 c1 b2 c2 b3 c3c3= 1 0
0
0
0 a1 a2 a3
b1 b2 b3 0
0
c1 c2 c3 a1 a2 a3
0
0
0
0
b1 c1 b2 c2 b3 c3c= 3 1
0
0
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
X* Y* Z* Mx* My* Mz* X* Y* Z* Mx* My* Mz* 52
Rošt, transformační matice 1 0 0 Tab =
0 cos α − sin α 0
0 sin α cos α
0 1 0 0
0 cos α − sin α
0 sin α cos α
Z* M x* My* Z* M x* My*
53
Příklad 9, rošt, zadání q2 = 4 kN/m 3 P1 = 3 kN P = 10 kN 2 2 M = 5 kNm q1 = 3 kN/m 2 1 4 1 3 1 1 2 1 b / h = 0,2 / 0,3 m
E = 27 GPa
1 3 I = bh = 4,5 ⋅10 − 4 m 4 12
ν = 0,2
I t = αb h = 0,1958 ⋅ b h = 4,7 ⋅10 m 3
3
−4
4
G=
E = 11,25 GPa 2(1 + ν )
54
Příklad 9, rošt, výpočtový model 3 (0 4 0)
q2 P1
P2
(0 0 0) 1
q1 1
r = {w2
ϕ x2
2 M
2 (1 2 3)
ϕ y2
4 3 (0 0 0)
ϕ x3 } T
55
Příklad 9, rošt, analýza prutu 1
56
Příklad 9, rošt, analýza prutu 2
57
Příklad 9, rošt, analýza prutu 3
58
Příklad 9, rošt,
řešení soustavy rovnic K⋅⋅r = F
r = {w2
ϕx2
ϕ y2
ϕ x 3 } T = 10 −4 ⋅ {7,54
2,15
2,74
5,13}
T
59
Příklad 9, rošt, koncové síly − 13,01 − 0,38 11,91 * R 12 = R 12 = 1,01 0 , 38 7,63 12,51 0,57 − 8,35 * R 24 = R 24 = − 12,51 − 0,57 − 11,68
− 3,53 − 0,95 0,72 R 23 = − 4,47 0 , 00 − 0,72 − 3,53 − 0,72 − 0,95 * R 23 = T23R 23 = − 4,47 0,72 0,00
60
Příklad 9, rošt, reakce a rovnováha ve styčnících
61
Příklad 9, rošt, kontrola ΣFz = 0 q2 = 4 kN/m 3 P1 = 3 kN P = 10 kN 2 M = 5 kNm q1 = 3 kN/m
R1z = 13,01 kN (↑ ) M 1x = −0,38 kNm M 1 y = 11,91 kNm R3 z = 4,47 kN(↑ )
M 3 y = −0,72 kNm R4 z = 12,51 kN(↑ )
M 4 x = −0,57 kNm M 4 y = 11,68kNm
2
1 1
2
1
4 1
∑ Fz = 0 R1z + R3 z + R4 z − P1 − P2 − q1 ⋅ 3 − q2 ⋅ 2 = 0 13,01 + 4,47 + 12,51 − 3 − 10 − 3 ⋅ 3 − 4 ⋅ 2 ≅ 0 62
Příklad 9, rošt, průběhy posouvajících sil V
13,01 10,01 7,01 +
1,01 _ -12,51
-12,51
63
Příklad 9, rošt, průběhy kroutících momentů T
0,38
0,38 +
_ _
-0,57
64
Příklad 9, rošt, průběhy ohybových momentů M
-11,91
-11,68 _
-0,4
1,01 +
-4,16
_
0,84 7,63 8,35
65
Použitá literatura [1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. VUTIUM, Brno 2001.
66
