PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy

Učivo

Průřezová témata

Poznámky, přesahy

Žák  určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů  pracuje s racionálními čísly ve tvaru zlomku i ve tvaru desetinných čísel, znázorní je na číselné ose  znázorní absolutní hodnotu reálného čísla na číselné ose a chápe její geometrický význam  ovládá výpočty s mocninami s přirozeným i celočíselným exponentem  zapisuje čísla ve formě a.10k  určí číselně 2. a 3. odmocninu

Základní poznatky z matematiky (45)

Osobnostní a sociální výchova



číselné obory, jejich vlastnosti



pojem absolutní hodnoty reálného čísla



mocniny s přirozeným a celým mocnitelem



druhá a třetí odmocnina

Seberegulace, organizační dovednosti a efektivní řešení problémů  reflexe sebeovládání, strategie zvládání stresových situací, organizace času, systematičnost snah a činností, organizační schopnosti a dovednosti, myšlenkové postupy pro řešení problémů, ovládání sociálních dovedností potřebných při řešení problémů v interakci s druhými lidmi.

Předpokládané počty hodin jsou spočítány pro 4 hodiny a 33 týdnů, to je 132 hodin za rok

    

  

      

Sociální komunikace Dělitelnost přirozených čísel

rozliší mezi prvočíslem a číslem složeným, mezi číslem a cifrou zapisuje čísla v desítkové soustavě, užívá znaky dělitelnosti 2,4,3,6,8,9,…, ovládá mechanismus určení nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele rozloží čísla na prvočísla aplikuje poznatky o dělitelnosti při úpravách zlomků a ve slovních úlohách Pravoúhlý trojúhelník definuje funkci tangens, kotangens, sinus, kosinus pro pravoúhlý trojúhelník ovládá práci s kalkulačkou při výpočtu hodnoty funkce a velikosti úhlu aplikuje funkce při řešení slovních úloh

zapisuje a čte text zapsaný matematickou symbolikou pozná co je výrok a určí pravdivostní hodnotu, rozliší definici a větu, předpoklad a závěr věty, správný a nesprávný úsudek správně užívá výroky obsahující slova „aspoň“, „ nejvýše“, „právě“, „každý“, „žádný“ a umí tyto výroky negovat používá existenční a obecný kvantifikátor správně používá logické spojky k tvorbě a rozboru složených výroků, složené výroky neguje vysloví k implikaci, její negaci i obměnu vytváří hypotézy, zdůvodňuje jejich pravdivost, vyvrací nesprávná tvrzení

Výroková logika  logické spojky  kvantifikátory  důkazy – přímý, nepřímý  sporem



přesná komunikace (srozumitelnost, jasnost, přesnost sdělení, přesvědčování a argumentace), pozitivní komunikace (vyváženost negativních a pozitivních výroků, otevřenost), tvořivá komunikace (plynulost, pohotovost, nápaditost, účelově efektivní komunikace) vyjednávání a řešení problémových situací

Školní výstupy

  

    

            

používá pojmy podmnožina, průnik, sjednocení a rozdíl množin pracuje s Vennovými diagramy na číselné ose znázorňuje intervaly a určuje jejich sjednocení, průnik, doplněk, rozdíl

na konkrétních příkladech mnohočlenů určí koeficient, člen, stupeň mnohočlenu provádí operace s mnohočleny – sčítání, násobení, dělení, vytváří opačný mnohočlen aktivně užívá vzorce pro 2. a 3. mocninu dvojčlenu upravuje efektivně výrazy s proměnnými, provádí rozklad na součin vytýkáním nebo rozkladem na součin užitím vzorce ovládá početní operace s lomenými výrazy, určí jejich definiční obor.

při řešení využívá ekvivalentních i důsledkových úprav rovnic a nerovnic vyjadřuje neznámou ze vzorce diskutuje o řešitelnosti nebo počtu řešení řeší všechny typy lineárních rovnic nahradí v rovnici absolutní hodnotu příslušným výrazem užívá dosazovací a sčítací metodu při řešení soustav rovnic se dvěma a třemi neznámými dovednosti aplikuje ve slovních úlohách a grafickém řešení řeší kvadratické rovnice užitím diskriminantu používá vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice pro efektivní řešení vysvětlí pojem parametr v rovnici rozloží kvadratický trojčlen a řeší nerovnici metodou nulových bodů upraví různé typy rovnic na kvadratickou rovnici v základním tvaru aplikuje řešení kvadratických rovnic ve slovních úlohách

Učivo Množiny  základní množinové pojmy - rovnost, doplněk, sjednocení, průnik, rozdíl množin  Vennovy diagramy  intervaly

Výrazy s proměnnými  mnohočleny



výrazy s mocninami a odmocninami



lomené výrazy

Rovnice a nerovnice (45)  lineární a kvadratické rovnice a nerovnice a jejich soustavy  rovnice a nerovnice s jednou neznámou 

  

lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou soustavy lineárních rovnic se dvěma a třemi neznámými grafické řešení soustav rovnic slovní úlohy kvadratické rovnice, iracionální rovnice

 

lineární a kvadratické rovnice s parametrem soustavy lineárních a kvadratických rovnic

 

kvadratické nerovnice rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli



slovní úlohy



Průřezová témata

Poznámky, přesahy

Školní výstupy

Učivo

Průřezová témata

Poznámky, přesahy

Základy planimetrie (42)          

používá geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v rovině třídí útvary na základě jejich vlastností dokáže shodnost trojúhelníků užitím vět o shodnosti trojúhelníků řeší úlohy, v nichž využívá vlastnosti středového a obvodového úhlu užívá vlastnosti podobnosti v praktických úlohách - měřítko aktivně užívá Euklidovy věty, větu Pythagorovu, určuje obvody a obsahy rovinných útvarů

 

 

klasifikace rovinných útvarů, přímky a jejich vzájemná poloha, úhel, dvojice úhlů trojúhelník, shodnost trojúhelníků mnohoúhelníky – konvexní a nekonvexní kružnice, kruh a její části, středový a obvodový úhel podobnost trojúhelníků Pythagorova věta, Euklidovy věty

řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím všech bodů dané vlastnosti a pomocí konstrukce na základě výpočtu využívá náčrt při řešení rovinného nebo prostorového problému, symbolicky zapisuje konstrukci v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy řeší úlohy z praxe

 

množiny bodů dané vlastnosti konstrukční úlohy

  

Z – měřítko mapy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA

ROČNÍK: DRUHÝ/SEXTA

Školní výstupy

Učivo

Žák

Planimetrie



vysvětlí pojmy: geometrické zobrazení v rovině, shodné zobrazení, podobné zobrazení



definuje osovou a středovou souměrnost, posunutí, otočení, stejnolehlost



sestrojí obraz geometrického útvaru v daném zobrazení



řeší polohové i nepolohové konstrukční úlohy pomocí shodných zobrazení



definuje pojmy: kartézský součin, relace, zobrazení, funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, shora a zdola omezená, omezená, sudá, lichá, periodická, maximum a minimum funkce



rozhodne, zda daný předpis či graf představuje funkci



z grafu funkce popíše její vlastnosti



sestrojí grafy elementárních funkcí (v základním i posunutém tvaru) a určí jejich vlastnosti



sestrojí grafy elementárních funkcí s absolutní hodnotou



znalostí funkcí využívá při grafickém řešení rovnic a nerovnic, dále při řešení aplikačních úloh



modeluje závislosti reálných dějů pomocí známých funkcí



provádí úpravy výrazů s mocninami a odmocninami



definuje pojem inverzní funkce, dokáže určit k dané funkci funkci inverzní a sestrojit její graf



definuje logax, ovládá a dokáže aplikovat věty o logaritmech



aplikuje vlastnosti exponenciálních a logaritmických funkcí přiřešení exponenciální a logaritmické rovnice



převádí stupňovou míru na obloukovou a naopak



definuje goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens v pravoúhlém trojúhelníku i pomocí jednotkové kružnice



používá vztahy mezi goniometrickými funkcemi a vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument



řeší goniometrické rovnice



pojem zobrazení v rovině



shodná zobrazení – osová a středová souměrnost, posunutí, otočení



konstrukční úlohy řešené pomocí shodných zobrazení



podobné zobrazení – stejnolehlost

Funkce  základní pojmy teorie funkcí 

lineární funkce



funkce s absolutními hodnotami



kvadratická funkce



lineární lomená funkce



mocninná funkce, mocniny, odmocniny



inverzní funkce, funkce druhá odmocnina



exponenciální funkce a exponenciální rovnice



logaritmická funkce a logaritmické rovnice



goniometrická funkce a goniometrické rovnice

Průřezová témata

Poznámky, přesahy Možné využití geometrického softwaru

Možné využití vhodného softwaru (Cabri, Derive)

Školní výstupy

Učivo



vysloví sinovou a kosinovou větu a věty z nich odvozené (větu pro obsah trojúhelníka a větu pro poloměr kružnice opsané trojúhelníku)

Trigonometrie  sinová a kosinová věta



řeší obecný trojúhelník a jednoduché praktické úlohy užitím sinové a kosinové věty



zobrazí jednoduchá tělesa ve volném rovnoběžném promítání



popíše všechny možnosti pro vzájemnou polohu dvou přímek, přímky a roviny, dvou a tří rovin



rozhodne o rovnoběžnosti přímek a rovin užitím kritérií pro rovnoběžnost



Stereometrie  volné rovnoběžné promítání 

polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru

sestrojí rovinný řez hranolu a jehlanu, průsečnici rovin, průnik přímky s tělesem



rovinné řezy hranolu a jehlanu



rozhodne o kolmosti přímek a rovin užitím kritérií pro kolmost



metrické vztahy v prostoru



definuje odchylku dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin a dané odchylky vypočítá

 

určí vzdálenost bodu od přímky a od roviny charakterizuje základní mnohostěny a rotační tělesa (hranol, jehlan, komolý jehlan, rotační válec, rotační kužel, rotační komolý kužel, koule, části koule a kulové plochy) vypočítá objem a povrch základních těles (hranol, jehlan, komolý jehlan, rotační válec, rotační kužel, rotační komolý kužel, koule, části koule a kulové plochy), poznatků využívá v praktických úlohách



tělesa



objem a povrch těles



Průřezová témata

Poznámky, přesahy

Možné využití geometrického softwaru

PŘEDMĚT MATEMATIKA

ROČNÍK: TŘETÍ/SEPTIMA

Školní výstupy

Učivo

Žák

Souřadnice



ovládá zavedení souřadnic v rovině



souřadnice v rovině



vypočítá souřadnice středu úsečky a vzdálenost dvou bodů



vzdálenost bodů



střed úsečky

Vektory  orientovaná úsečka



definuje vektor jako množinu všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr



určí souřadnice vektoru



vektory



vypočítá velikost vektoru



operace s vektory



sečte dva vektory graficky i pomocí souřadnic



vypočítá souřadnice rozdílu vektorů, násobku vektoru reálným číslem



vypočítá skalární součin dvou vektorů



vypočítá úhel dvou vektorů Analytická geometrie v rovině



určí směrový vektor přímky



parametrické vyjádření přímky



vyjádří přímku parametricky



obecná rovnice přímky



určí normálový vektor přímky



zapíše obecnou rovnici přímky



zapíše směrnicový tvar rovnice přímky



popíše vzájemnou polohu dvou přímek v rovině



polohové úlohy v rovině



vypočítá vzdálenost bodu od přímky



metrické úlohy v rovině



vypočítá odchylku dvou přímek v rovině



definuje kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu



vyjádří kružnici, elipsu a hyperbolu středovou rovnicí, parabolu vrcholovou rovnicí

Kuželosečky  kružnice  elipsa  parabola  hyperbola

Průřezová témata

Mezipředmětové vztahy

F -práce s vektory

Školní výstupy 

převede obecnou rovnici kuželosečky na středový nebo vrcholový tvar, určí základní údaje a kuželosečku načrtne



popíše vzájemnou polohu kuželosečky a přímky



napíše rovnici tečny kuželosečky v zadaném bodě



používá základní kombinatorická pravidla



v jednoduchých příkladech rozhodne, zda se jedná o kombinace, permutace či variace a podle vzorce vypočítá jejich počet



upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly

 

používá binomickou větu řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem

 

odlišuje pojem náhodný jev a množina možných výsledků vypočítá pravděpodobnost jevu, je-li znám počet příznivých a všech možných výsledků



vypočítá pravděpodobnost opačného jevu, pravděpodobnost sjednocení jevů, pravděpodobnost nezávislých jevů

Učivo

Kombinatorika  základní kombinatorická pravidla    

variace permutace kombinace kombinační číslo, Pascalův trojúhelník



binomická věta

Pravděpodobnost  náhodný jev a jeho pravděpodobnost

 

pravděpodobnost sjednocení a průniku jevů nezávislost jevů

Průřezová témata

Mezipředmětové vztahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA

ROČNÍK: ČTVRTÝ/OKTÁVA

Školní výstupy

Učivo

Žák

Zpracování dat, statistika 10  analýza a zpracování dat v různých reprezentacích  statistický soubor  absolutní a relativní četnost  vážený aritmetický průměr,  medián, modus, percentil, kvartil, směrodatná odchylka, mezikvartilová odchylka



diskutuje a kriticky hodnotí statistické informace a daná statistická sdělení



volí a užívá vhodné statistické metody k analýze a zpracování dat



využívá výpočetní techniku



reprezentuje graficky soubory dat



čte a interpretuje tabulky, diagramy



rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k jejich odlišným charakteristikám

    

chápe společné znaky a odlišnosti komplexních čísel a ostatních číselných oborů zapíše algebraický a goniometrický tvar, převádí tyto dva tvary komplexních čísel mezi sebou ovládá početní operace v C v obou tvarech komplexních čísel řeší základní typy rovnic v C (lineární, s absolutní hodnotou, kvadratickou, binomickou, bikvadratickou) vyznačí v Gaussově rovině množinu obrazů komplexních čísel dané vlastnosti

Průřezová témata

Komplexní čísla 22  pojem komplexního čísla  Gaussova rovina  algebraický tvar komplexního čísla  goniometrický tvar komplexního čísla  operace s komplexními čísly  rovnice v C



chápe posloupnost jako speciální případ funkce

Posloupnosti a řady  posloupnost, vzorec pro n-tý člen



určí posloupnost rekurentně a vzorcem pro n-tý člen



rekurentní určení posloupnosti



rozliší aritmetickou a geometrickou posloupnost



vlastnosti posloupnosti



používá vztahy pro geometrickou a aritmetickou posloupnost k řešení jednoduchých slovních úloh





vysvětlí indukční krok při důkazu matematickou indukcí a jednoduchý důkaz provede



aritmetická a geometrická posloupnost, užití matematická indukce



vysvětlí pojem limity posloupnosti,



limita posloupnosti



vysvětlí rozdíl mezi konvergentní a divergentní posloupností



vypočítá základní typy limit posloupností 

nekonečná řada

 vysvětlí rozdíl mezi nekonečnou posloupností a nekonečnou řadou

 vysvětlí pojem konvergentní, resp. divergentní nekonečná řada  určí podmínky pro součet nekonečné geometrické řady

 nekonečná geometrická řada

30

Poznámky, přesahy 2hod. týdně, to je cca 56 hodin

Školní výstupy

Učivo

Průřezová témata

Poznámky, přesahy

 určí podmínku konvergence nekonečné geometrické řady a určí její součet



interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování



řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích a aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice



spočítá výši daně ze mzdy při rovné a progresivní daňové kvótě



posoudí výhodnost kvóty v daném případě



rozhodne o výhodách a nevýhodách jednotlivých druhů spoření

Daňová a finanční matematika  jednoduché a složené úrokování

10



využití geometrické posloupnosti a řady – jednoduché úlohy



daň z úroku, čistý výnos



základní úlohy z finanční matematiky



posouzení výhodnosti nabízených finančních produktů

ZSV – ekonomika  6 hodin na opakování a písemné práce

PŘEDMĚT: CVIČENÍ Z MATEMATIKY

ROČNÍK: ČTVRTÝ/OKTÁVA

Školní výstupy

Učivo

Žák  určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů  pracuje s racionálními čísly ve tvaru zlomku i ve tvaru desetinných čísel, znázorní je na číselné ose  znázorní absolutní hodnotu reálného čísla na číselné ose a chápe její geometrický význam  ovládá výpočty s mocninami s přirozeným i celočíselným exponentem  zapisuje čísla ve formě a.10k  určí číselně 2. a 3. odmocninu

Základní poznatky z matematiky (45)

      

   

    

zapisuje a čte text zapsaný matematickou symbolikou pozná co je výrok a určí pravdivostní hodnotu, rozliší definici a větu, předpoklad a závěr věty, správný a nesprávný úsudek správně užívá výroky obsahující slova „aspoň“, „ nejvýše“, „právě“, „každý“, „žádný“ a umí tyto výroky negovat používá existenční a obecný kvantifikátor správně používá logické spojky k tvorbě a rozboru složených výroků, složené výroky neguje vysloví k implikaci, její negaci i obměnu



číselné obory, jejich vlastnosti



pojem absolutní hodnoty reálného čísla



mocniny s přirozeným a celým mocnitelem



druhá a třetí odmocnina

Průřezová témata

Poznámky, přesahy

Výroková logika  logické spojky  kvantifikátory  důkazy – přímý, nepřímý  sporem

vytváří hypotézy, zdůvodňuje jejich pravdivost, vyvrací nesprávná tvrzení Lineární funkce a rovnice

4h

Kvadratická funkce a rovnice

8h

Rovnice vyšších řádů

5h

řeší různé typy rovnic vedoucí na lineární rovnici využívá k řešení graf lineární funkce řeší úlohy s využitím parametru řeší slovní úlohy s využitím lineární rovnice

 

chápe vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice řeší rovnice s neznámou pod odmocninou, ve jmenovateli využívá algebraických úprav při řešení rovnic sestrojí různými způsoby kvadratickou funkci využívá vlastnosti kvadratické funkce při řešení kvadratických rovnic a slovních úloh řeší úlohy na kvadratickou rovnici s využitím parametru řeší slovní složitější úlohy s využitím kvadratické rovnice



řeší bikvadratické rovnice , reciproké rovnice 3. a 4. řádu

Školní výstupy 

využívá substituci při řešení rovnic

  

zná vlastnosti a graf lineární lomené funkce chápe pojem asymptota určí rovnice asymptot



řeší různé typy lineárních a kvadratických rovnic s absolutní hodnotou různými úpravami (ekvivalentními i důsledkovými) metodu nulových bodů využívá k sestrojení grafu lineární, kvadratické, lineární lomené funkce s absolutní hodnotou využívá graf funkce k řešení rovnic

     

     



vysvětlí pojem inverzní funkce využívá vlastností inverzní funkce při sestrojování grafů obou funkcí řeší různé typy exponenciálních a logaritmických rovnic s použitím vztahů obou funkcí vysvětlí souvislost grafu funkce a řešení rovnice v jednodušších úlohách

Učivo

Průřezová témata

Poznámky, přesahy

Lineární lomená funkce

3h

Funkce a rovnice s absolutní hodnotou

8h

Exponenciální a logaritmické funkce a rovnice

8h

Goniometrické funkce a rovnice

10h

sestrojí graf základních i složitějších goniometrických funkcí, určí periodu složených goniometrických funkcí u složených goniometrických funkcí určí posunutí v soustavě souřadnic, definiční obor a obor hodnot sestrojí graf základních cyklometrických funkcí řeší různé typy goniometrických rovnic metodami s využitím vzorců včetně součtových vysvětlí souvislost mezi grafem funkce a řešením rovnice v jednodušších úlohách Řeší různé typy soustav rovnic metodou sčítací i dosazovací a s využitím grafů funkcí , aplikuje tyto metody na řešení úloh z analytické geometrie

Soustavy rovnic

10h

Školní výstupy

Učivo



Analytická geometrie v prostoru

Znázorní bod, přímku a rovinu v soustavě souřadnic , odvodí analytickou rovnici přímky a roviny v prostoru , využívá pojmů směrový a normálový vektor , řeší úlohy na vzájemnou polohu přímek a rovin , najde jejich průsečík ( průsečnici ) , pokud existuje , řeší úlohy na odchylky přímek a rovin , kolmost přímek a rovin , vysvětlí pojem vzdálenosti v prostoru a využije ho v konkrétních úlohách ( vzdálenost bodu od roviny , dvou rovnoběžných přímek a rovin , přímky rovnoběžné s rovinou )

Průřezová témata

Poznámky, přesahy 14 h