2
Mnozˇiny a intervaly Algebraicke´ vy´razy
2.1 Mnozˇiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme prvky) do jediného celku M. Tedy: Množina je rozhodnutelný soubor (konečný či nekonečný) různých prvků, tj. o každém prvku lze jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří nebo nepatří. „Definice množiny používá např. pojem shrnutí, resp. soubor, souhrn, hromada aj. Co si pod tímto pojmem představit? Množinu? Jedná se o definici kruhem. Navíc vede tato „definice k různým paradoxům. Russelův paradox : Buď M množina všech množin K takových, že K nepatří do K. Zjišťujeme, že z K patří do K plyne K nepatří do K, a naopak z K nepatří do K plyne K patří do K. Russelovu paradoxu se vyhneme, pokud si na začátku vezmeme nějakou velmi velkou základní množinu Z, kterou se dále nezabýváme, ale pracujeme s jejími prvky nebo částmi. Často pracujeme jen s částí základní množiny, která má pro naše úvahy smysl, tzv. oborem úvahy U. Urcˇenı´ mnozˇiny charakteristickou vlastnostı´ Každá vlastnost vztahující se k prvkům základní množiny určuje množinu těch prvků, které mají příslušnou vlastnost. Je důležité si uvědomit, že vlastností příslušících k dané množině může být více. Úmluva 1. Množinu určenou vlastností A(·) na daném oboru úvahy označíme A. Patří-li prvek a do množiny A, píšeme a ∈ A (čteme a patří do A nebo a je prvkem A). Je-li výrok a ∈ A nepravdivý, pak vzhledem k zákonu vyloučení třetí možnosti musí platit ¬(a ∈ A). Tuto skutečnost budeme zapisovat a ∈ / A. Jestliže vlastnost Q(x) určuje množinu Q, zapisujeme obvykle Q = {x; Q(x)}. Místo znaku ; se užívá | nebo : aj. Prvek a z oboru proměnosti proměné x je prvkem množiny A určené vlastností A(x), právě když je pravdivý výrok A(a). Prázdná množina. Je-li daná vlastnost P (x) na daném oboru úvahy vždy nepravdivá, určí množinu, která nemá žádný prvek. Tuto množinu nazveme prázdná množina a označujeme ji ∅. 3
Urcˇenı´ mnozˇiny vy´cˇtem (extenzı´) Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}. Urcˇenı´ mnozˇiny rekurzı´ (induktivneˇ) Patří-li do množiny A prvek a a víme-li jak ze znalosti nějakého prvku A zkonstruovat jiný prvek množiny A, pak dokážeme postupně vygenerovat všechny prvky množiny A. Např. A = {ai : a1 = 1, a2 = 2, ai = ai−2 + kai−1 , i = 1, . . . , 10}. Vztahy mezi mnozˇinami Základní množinu a množiny jejích prvků se dají graficky znázornit tzv. Vennovými diagramy. Odvození provedené na základě Vennových diagramů je rovnocené logickému důkazu. Vennovy diagramy: Jsou to grafická přihrádková schémata, na kterých modelujeme vztahy mezi množinami. Uzavřený rovinný útvar znázorňuje množinu. Každý útvar přitom musí mít část společnou postupně nejen se všemi ostatními útvary, ale i se všemi jejich společnými částmi. (Musíme být schopni v diagramu vyznačit prvek, který patří libovelně výbraným množinám.) Ukázky Vennových diagramů:
Vztahy mezi dveˇma mnozˇinami patrˇ´ıcı´ch do te´hozˇ oboru u´vahy 1. Množiny A a B jsou disjunktní (neslučitelné) nemají-li společný prvek: ¬(∃x (x ∈ A ∧ x ∈ B)) Disjunktnost dvou množin může být dvojího druhu: A a B jsou disjunktní a a) existuje prvek oboru úvahy nepatřící do žádné z nich b) neexistuje prvek oboru úvahy nepatřící do žádné z nich, tj. každý prvek oboru úvahy patří buď do A, anebo do B. Disjunkce se běžne chápe právě v tomto smyslu. 2. Množiny A a B jsou incidentní (slučitelné), právě když mají aspoň jeden společný prvek: ∃x (x ∈ A ∧ x ∈ B) Množina A je podmnožinou množiny B, právě když patří-li nějaký prvek do A, pak patří také do B. Označujeme A ⊆ B. A ⊆ B ⇐⇒ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B) 4
Tomuto vztahu říkáme (neostrá) inkluze množin. Inkluze množin není komutativní. Pro každou množinu A platí A ⊆ A. Říkáme, že A je nevlastní podmnožinou. Zavádíme další množinový symbol: B ⊇ A ⇔ A ⊆ B Množina A je vlastní podmnožinou množiny B, právě když A ⊆ B a B ⊆ A. Označujeme A ⊂ B. A ⊂ B ⇐⇒ ((A ⊆ B) ∧ (∃x (x ∈ B ∧ x ∈ / A)) Tj. A ⊂ B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A). Tomuto vztahu říkáme (ostrá) inkluze množin. Zavádíme další množinový symbol: B ⊃ A ⇔ A ⊂ B Množina A je rovna množině B, právě když A ⊆ B a zároveň B ⊆ A. Označujeme A = B. Tedy: A = B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) Platí A = B ⇐⇒ (∀x) (x ∈ A ⇔ x ∈ B). Dvě množiny se rovnají, když mají všechny prvky společné. Definujeme A = B ⇔ ¬(A = B). Věta 1. Pro každou množinu A platí (1) ∅ ⊆ A, (2) A ⊆ U. Věta 2. Rovnost množin je reflexivní (A = A), symetrická (A = B ⇒ B = A), tranzitivní ((A = B ∧ B = C) ⇒ A = C). Operace mezi mnozˇinami Všimneme si jen několika nejdůležitějších operací, i když z výrokové logiky n víme, že např. pro n = 2 máme celkem 16 (22 ) binárních operací. Nechť A a B jsou množiny oboru úvahy U. Doplněk množiny. Ozn. A (∀x) (x ∈ A ⇔ x ∈ / A) množinově: A = {x ∈ U; x ∈ / A} def
Sjednocení množin. Ozn. A ∪ B (∀x) (x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)) množinově: A ∪ B = {x ∈ U; x ∈ A ∨ x ∈ B} def
Průnik množin. Ozn. A ∩ B (∀x) (x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)) množinově: A ∩ B = {x ∈ U; x ∈ A ∧ x ∈ B} def
5
Rozdíl množin. Ozn. A \ B (∀x) (x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ / B)) / B} = A ∩ B množinově: A \ B = {x ∈ U; x ∈ A ∧ x ∈ def
Všechny důkazy vět teorie množin lze převést na dokazování v matematické logice. Skutečnost, že „prvek c náleží množině C představuje jednoduchý výrok cj . Shrnutí. Mějme proměnou x s oborem proměnosti Ox a vlastnosti A(x), B(x). Označme A = {x; A(x)}, B = {x; B(x)} a symbolem aj výrok a ∈ A, symbolem bj výrok b ∈ B. Potom všechny zápisy na řádku a ilustrační obrázky s týmž číslem vyjadřují totéž: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
A(x) ∧ B(x) A(x) ∨ B(x) A(x) (∀x) A(x) (∀x) A(x) (∃x) A(x) (∃x) A(x) (∀x) A(x) ⇒ B(x) (∀x) A(x) ⇔ B(x) A
∅
A B
(1)
(2)
(3)
A
A
(5)
(6)
∅
(4) A
aj ⇒ bj aj ⇔ bj
A B
A
aj ∧ bj aj ∨ bj ¬aj
x∈A∩B x∈A∪B x ∈ A A = Ox A=∅ A = ∅ A = Ox A⊆B A=B
∅
∅
A B
A B ∅
(7) (8) (9) Čárkovaná čára spojuící body v obr. (2) značí, že nevíme přesně, v které přihrádce se bod nachází, ale že někde určitě je.
6
2.2 Intervaly V matematické analýze velmi často pracujeme se speciálními podmnožinami množiny R, které nazýváme intervaly. Co je to vlastně interval? Nejprve pro a, b ∈ R zavedeme označení a, b = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}. Pak definujeme: Definice 1. Množina J ⊂ R se nazývá interval, jestliže pro každé dva prvky c, d ∈ J, c < d, platí c, d ⊂ J. Definice 2. Nechť a ∈ R a b ∈ R, a ≤ b. Intervalem s krajními body a a b rozumíme kteroukoli z těchto množin: (a, b) = {x ∈ R; a < x < b} — otevřený interval, a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b} — polootevřený nebo polouzavřený interval, (a, b = {x ∈ R; a < x ≤ b} — polootevřený nebo polouzavřený interval, a, b = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} — uzavřený interval. Délka d(a, b) intervalu s krajními body a a b je dána vzorcem d(a, b) = b − a. Intervalem s krajním bodem a a nevlastním krajním bodem +∞ nebo −∞ rozumíme kteroukoli z těchto množin: (a, +∞) = {x ∈ R; x > a} — otevřený interval, (−∞, a) = {x ∈ R; x < a} — otevřený interval, a, +∞) = {x ∈ R; x ≥ a} — polootevřený nebo polouzavřený interval, (−∞, a = {x ∈ R; x ≤ a} — polootevřený nebo polouzavřený interval. Intervalem s nevlastními krajními body −∞ a +∞ rozumíme množinu (−∞, +∞) = {x ∈ R; −∞ < x < +∞} — otevřený interval. První, resp. druhé, vlastní nebo nevlastní číslo zleva v označení intervalu je levý, resp. pravý, krajní bod intervalu. Každý bod intervalu, který není jeho krajním bodem, nazýváme vnitřním bodem intervalu. Množinu všech vnitřních bodů intervalu nazýváme vnitřkem intervalu.
Graficky znázorňujeme interval, který není prázdnou množinou, jako bod, úsečku, polopřímku nebo přímku. Plným nebo prázdným kroužkem vyznačujeme, zda jeho krajní bod k němu patří či nikoli. a b a b a b a, b
a, b)
(a, b
a
a
(−∞, a
(a, +∞)
Obr. 1: Grafické znázornění některých intervalů 7
Poznámka 1. Uzavřený interval s krajními body a a a, tj. a, a, je množina {a}, ostatní intervaly s krajními body a a a, tj. a, a), (a, a a (a, a), jsou prázdné množiny. Vnitřek intervalu je vždy otevřený interval, včetně prázdné množiny. Např. vnitřek každého z intervalů a, b, a, b), (a, b a (a, b) je interval (a, b). (Pozor na záměnu krajních bodů, např. (3, 1 je prázdná množina.) Speciálním typem otevřeného intervalu je okolí bodu. Okolí bodu je důležitým pojmem matematické analýzy, v mnoha úvahách přispívá k přehlednému vyjadřování. Definice 3. Nechť c ∈ R a δ ∈ R+ . δ-okolím bodu c nazýváme otevřený interval (c − δ, c + δ). Číslo δ nazýváme poloměrem δ-okolí bodu c. δ-okolí bodu c značíme U(c, δ) nebo Uδ (c). δ
c−δ
δ
c
c+δ
Obr. 2: Grafické znázornění δ-okolí bodu c δ-okolí bodu c můžeme vyjádřit následujícími způsoby: 1. U(c, δ) = {x ∈ R; x ∈ (c − δ, c + δ)},
2. U(c, δ) = {x ∈ R; c − δ < x < c + δ}, 3. U(c, δ) = {x ∈ R; |x − c| < δ}.
2.3 Algebraicke´ vy´razy Algebraickým výrazem nazveme názvovou formu obsahující pouze číselné konstanty a proměnné a konstanty pro operace sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování. Pro některá dosazení konstanty za proměnnou nebo jiné proměnné se stejným oborem proměnnosti za proměnou však nemusí výraz existovat (např. 0 ve jmenovateli zlomku, záorné číslo pod sudou odmocninou). Proto je s algebraickým výrazem spojena množina těch hodnot, pro něž má výraz smysl, tzv. definiční obor výrazu. Upravit výraz pak znamená zjednodušit jeho zápis, při tom využíváme známých pravidel a vzorců. Např. 2 r 4 − s4 s2 r + s2 s2 − 2rs + r 2 2r r 2 r 4 − s4 + 2 : 1+ 2 · 1− = 2 2 : = r 2 s2 r s s r s r2 s2 r 2 s2 (r − s)(r + s) r+s (r 2 − s2 )(r 2 + s2 ) · = = = 2 2 2 2 2 2 r s (r + s )(r − s) (r − s) r−s za podmínek r = 0, s = 0, r = s. 8
Při úpravě se často uplatňují: 1. Základní vzorce pro počítání s mnohočleny Pro všechna a, b ∈ R, n ∈ N platí • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 • (a2 − b2 ) = (a + b)(a − b) • (a3 + b3 ) = (a + b)(a2 − ab + b2 ) • (a3 − b3 ) = (a − b)(a2 + ab + b2 ) • (a + b)n = n0 an b0 + n1 an−1 b1 + · · · + nk an−k bk + · · · + nn a0 bn , tj. binomická věta 2. Rozklad kvadratického trojčlenu Věta 3. Jsou-li x1 , x2 kořeny trojčlenu ax2 + bx + c, pak platí ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ). Věta 4 (Viétova). Jsou-li x1 , x2 kořeny trojčlenu x2 + px + q, pak platí x1 x2 = q a zároveň x1 + x2 = −p. Důkaz. Podle věty 3 je x2 + px + q = (x − x1 )(x − x2 ) = x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 . Porovnáním koeficientů původního a výsledného trojčlenu již máme tvrzení Viétovy věty. V některých jednoduchých případech tak můžeme kořeny pomocí Viétovy věty odhadnout. Např. x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5), 10 lze rozložit na součin 10 · 1 nebo 5 · 2, 10 + 1 = 11 (to je moc), 5 + 2 = 7 (to je až na znaménko akorát), stačí tedy vzít opačná čísla x1 = −5 a x2 = −2. 3. Pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami Pro všechna a, b ∈ R, r, s ∈ Z, n ∈ N platí • ar · as = ar+s • (ar )s = ars • ar · br = (ab)r , • a0 = 1,
ar br
=
a r b
a = 0
• a−r = a1r √ 1 • n a = an Hojně se užívá rozšiřování, krácení a usměrňování zlomků i jiné nápadité postupy. 9
