Pandu Gelombang. Bila gelombang hanya berupa sinus saja, dapat dituliskan, (3.30) Bila pers.(3.30) dimasukkan ke pers.(3

Gelombang Mikro

5

Pandu Gelombang Pandu gelombang adalah alat untuk memandu gelombang atau mengarahkan penjalaran gelombang pada arah dan pola tertentu. Gelombang electromagnet umum yang tak terpolarisasi bidang, dapat diarahakan penjalarannya ke arah tertentu melalui rongga pandu gelombang (wave guide). Bentuk rongga pandu gelombang yang umum digunakan adalah segi empat panjang dan silinder dengan bahan dari konduktor. 3.1 Pandu Gelombang Segi Empat Pandu gelombang berbentuk segi empat panjang, dengan lebar, tinggi dan panjang tertentu. Gelombang menjalar di dalam rongga arah sumbu panjang seperti aliran caiaran dalam pipa. Gelombang yang dapat menjalar adalah hanya yang mempunyai pola tertentu saja, dimana ini dikaitkan dengan panjang gelombang dan ukuran geometri pandu gelombang. Untuk menyajikan bentuk gelombang dalam pandu gelombang ini, digunakan koordinat Kartesian. Pola umum dari gelombang dinyatakan dengan TE atau TM. Pada pola TE (Transverse Electric Mode), medan listrik E yang menjalar Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

Gelombang Mikro

6

tidak mempunyai komponen ke z, jadi hanya komponen ke x dan y (transversalnya), sedang medan magnetnya mempunyai komponen ke x, y dan z. Pada pola TM (Transverse magnetic Mode), medan magenetnya tidak mempunyai komponen ke z, jadi hanya komponen transversalnya saja, sedang medan listriknya mempunyai semua komponen ke x, y dan z. Ditinjau gelombang mikro pola TE yang menjalar pada pandu gelombang segi 4 panjang dengan sumbu panjang arah z. Gelombang TE tidak mempunyai komponen ke arah z, pada penjalarannya ke z dapat dituliskan secara umum, E = E ( x, y )ei (k z z −ωt ) Bila gelombang hanya berupa sinus saja, dapat dituliskan, E = E ( x, y )sin (k z z − ωt ) (3.30) Bila pers.(3.30) dimasukkan ke pers.(3.31), maka  ∂2 ∂2  2 2  2 + 2  E ( x, y ) − k z E ( x, y ) = −ω εµE ( x, y ) ∂y   ∂x

ω2

E ( x, y ) v2 = − k 2 E ( x, y ) . =−

(3.32)

Bila dituliskan, k 2 − k z2 = kc2 , maka persamaan menjadi,

 ∂2 ∂2  + E ( x, y ) = − kc2 E ( x, y )  2 2 ∂y   ∂x Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

(3.33)

Gelombang Mikro

7

Penyelesaian umum persamaan ini yaitu komponen Ex dan E y adalah fungsi sinus atau cosinus, masing-masing mengandung campuran variabel x dan y.

Gelombang Mikro

8

3.1.1 Syarat Batas Ditinjau pandu gelombang segi 4 lebar a, tinggi b dan panjang ke arah z bebas.

Diambil bentuk sederhana fungsi sinus semua, dapat dituliskan, E x = E x 0 sin ( px + α )sin (qy + β ) p, q, α dan β adalah tetapan-tetapan.

(3.34)

Bila komponen ini dimasukkan ke pers. Maxwell (2.6a) yang dapat dituliskan,

∂E x ∂E y ∂E z + + = 0. (3.35) ∂x ∂y ∂z Dengan komponen Ez = 0, diperoleh, ∂E − y = pEx 0 cos( px + α )sin (qy + β ), ∂y Bila diintegralkan, dihasilkan komponen medan Ey , p cos( px + α )cos(qy + β ). (3.36) q Harga-harga tetapan p, q, α dan β dapat ditentukan dari syarat batas. E y = Ex0

Gambar 3.1 Pandu gelombang segi 4. Gelombang pola TE dimasukkan dengan penjalaran ke z. Agar gelombang dapat mejalar di dalam pandu gelombang sejauh-jauhnya, serapan gelombang oleh dinding harus sesedikit mungkin. Bahan pandu gelombang harus bersifat konduktor yang baik, sehingga gelombang dapat terpantul-pantul oleh dinding secara sempurna. Agar tidak terjadi serapan pada dindingnya, komponen medan E // dinding (tangensial) = 0. Jadi syarat batasnya dapat diyatakan, di x = 0 dan x = a komponen E y = 0 dan di y = 0 dan y = b komponen Ex = 0. Di x = 0 komponen E y (3.36) menjadi,

Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]


(3.37)

Gelombang Mikro

Ex0

9 p cos(α )cos(qy + β ) = 0 q

(3.38)

Hanya cos α yang boleh = 0, maka α = 90 . 0

Di y = 0, komponen Ex = 0, dari (3.34), menjadi, E x 0 sin ( px + 90)sin (β ) = 0,

(3.39)

maka sin β = 0, sehingga diperoleh β = 0. Komponen medan Ex dapat dituliskan,

(

)

masing-masing

10

Bila p dan q disubstitusikan, dapat dituliskan,  mπ   nπ  E x = Ex 0 cos x  sin  y  a   b  mb  mπ   nπ  E y = − Ex 0 sin  x  cos y na  a   b 

(3.41a) (3.41b)

Bila disertakan pula komponen waktunya, maka,  mπ   nπ  (3.42a) E x = E x 0 cos x  sin  y  sin (k z z − ωt )  a   b  mb  mπ   nπ  E y = − Ex 0 sin   cos  sin (k z z − ωt ) (3.42b) na  a   b  Ez = 0. (3.42c)

E x = E x 0 sin px + 900 sin (qy )

Dapat dituliskan menjadi,

Gelombang Mikro

komponen

E x = Ex 0 cos( px )sin (qy ). p E y = − Ex 0 sin ( px ) cos(qy ). q

(3.40a) (3.40b)

Selanjutnya dimasukkan syarat batas di x = a, E y = 0, maka sin ( pa ) = 0, sehingga diperoleh,

p = mπ a dan di y = b, Ex = 0, maka sin (qb ) = 0, sehingga diperoleh, q = n π b. Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

Apabila pers. (3.42) disubstitusikan lagi persamaan Maxwell (3.31), untuk komponen Ex saja, diperoleh pers. m 2π 2 n 2π 2 ω2 2 + + k = = k2 z 2 2 2 a b v atau kc2 + k z2 = k 2 .

(3.43) (3.44)

Dapat dituliskan pula masing-masing dalam λ , 1

λ

2 c

+

1

λ

2 z

=

1

λ2


(3.45)

Gelombang Mikro

2π kz penjalaran z .

dengan λz =

11 adalah komponen λ ke arah

Penjalaran komponen gelombang arah z ini biasa dinyatakan sebagai gerakan kelompok gelombang (wave group). Kelompok gelombang ini mempunyai panjang gelombang kelompok (group), dari pers. (3.45) dapat dituliskan,

λg = λz =

λ

(1 − (λ λ ) )

2 12

(3.46)

c

Apabila dituliskan λ λC = cos θ , maka

λg =

λ sin θ

.

(3.47)

Dari pers. (3.43) dan (3.44), dapat dituliskan, m 2π 2 n 2π 2 4π 2 2 + = k = c a2 b2 λ2c Dapat dituliskan pula, 1 λc = 12  m2 n2   4a 2 + 4b 2   


(3.48)

(3.49)

Gelombang Mikro

12

λc ini besarnya ditentukan oleh panjang a dan b dan bilangan n dan m yang berharga 0, 1, 2, 3 dst. λc ini disebut λ cut-off dimana ini merupakan panjang gelombang paling besar yang dapat menjalar dalam pandu gelombang. Harga n dan m ini menentukan pola gelombang yang dapat dilewatkan. Pola gelombang mikro secara umum dituliskan dengan TEmn dan TMmn. Apabila λ gelombang masuk > λc , dari pers. (3.46) harga λz akan menjadi tidak nyata, akibatnya tidak ada gelombang yang diteruskan. Jadi hanya gelombang dengan λ yang < λc saja yang dapat dilewatkan dalam pandu gelombang. Ditinjau gerakan gelombang dalam 2 dimensi dengan membuat panjang b >> . Dari pers. (3.49) dapat dituliskan. 2a λc = . m Apabila diambil orde terendah yaitu m = 1, maka λc = 2a. Ini merupakan λ cut-off untuk pola gelombang TE10. Hubungan antara λ , λc dan panjang a, dapat dilihat pada gambar 3.2a. Pada Gbr. (3.2b) digambarkan pula hubungan kecepatan gelombang datang v, kecepatan kelompok (group) dan kecepatan fase gelombang.


Gelombang Mikro

13

Gelombang Mikro

14

gelombang, biasa disebut gelombang kelompok maju (wave group). Apabila kecepatan gelombang asli dari B ke C = v, kecepatan gelombang kelompoknya adalah, dari gambar 3.2b, vg = v sin θ = v 1 − [λ λc ]

2

Gambar 3.2 Penampang pandu gelombang untuk b = ∞. Hubungan antara θ , v, vg dan v p .

Gelombang datang dari B ke arah E , kemudian gelombang dipantulkan oleh dinding di E sambil maju ke arah z. Agar gelombang tidak terserap oleh dinding, panjang lintasan BE = kelipatan dari λ 2 . Untuk BE = λ, maka proyeksi λ ke x adalah AB = 2a = λc . Dari gambar 3.2 kiri, dapat dituliskan, BE λ λ cosθ = = = (3.50) AB 2a λc dan

sin θ = 1 − cos 2 θ = 1 − [λ λc ]

2

(3.52)

Pada waktu gelombang berjalan dari B ke C, proyeksi ke z nya adalah dari F ke C. Ini merupakan gerakan gelombang arah pandu Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

(3.53)

Sewaktu gelombang berjalan dari B ke C, diikuti oleh muka gelombang, sampai di C, muka gelombangnya adalah sepanjang AD dimana AD ⊥ BC. Gerakan muka gelombang dari B ke D ini adalah gerakan phase. Dari gambar 3.2b, dapat dituliskan,

vp =

Bila

v v = 2 sin θ 1 − (λ λc )

λ < λc

kecepatan

(3.54)

vp >

kecepatan

gelombang v, sedang kecepatan kelompok atau kecepatan arah maju gelombang vg < v. vc adalah harga proyeksi λ ke x dan y yang terpanjang, dimana gelombang dapat menjalar maju secara penuh (tidak terjadi serapan oleh dinding di dalam pandu gelombang). λc ini biasa disebut λ cut-off (pancung) besarnya bergantung pada pola (mode) gelombang (lihat pers. (3.49)).


Gelombang Mikro

15

Gelombang Mikro

16

Makin besar sudut θ , kecepatan group vg

r ∂B ∇× E = − ∂t

makin besar. Untuk θ = 900 , vg = v = v p . Sedang untuk θ = 00 , vg = 0 dan v p = ∞. Bila λ > λc dari

Bila diambil komponen ke x nya,

(3.53), vg menjadi imaginer, artinya tidak ada gelombang yang dapat diteruskan. Harga k z = 2π λg juga menjadi imaginer. Dengan harga

k z yang imaginer, gelombang medan E pola TE dari (3.42) akan mengandung faktor komplex. Gelombang medan berjalan bentuk sinus dapat dinyatakan secara umum dalam exponensial, E ( x, y , t ) = E ( x , y ) e

i ( k z z −ωt )

(3.56)

Substitusikan medan E y dari (3.42b), dan Ez = 0, ∂Bx mbk z mπ nπ = Ex 0 sin y cos(k z z − ωt ) (3.57) x cos ∂t na a b

Bx =

(3.55)

Dengan demikian gelombang mengalami penyusutan amplitudo dan mengarah ke 0, akhirnya tidak ada gelombang yang dikeluarkan. Kejadian ini biasa disebut efek kulit (skin effect). Penurunan Medan Magnet B Komponen medan magnet B dapat diturunkan dari medan listrik E berdasarkan persamaan Maxwell. Dari pers Maxwell (2.4c),


∂Bx ∂Ez ∂E y = − ∂t ∂y ∂z

Bila diintegralkan ke t diperoleh,

Bila sekarang k z imaginer, dituliskan, E ( x, y, t ) = E ( x, y ) ei (ik z z −ωt ) = E ( x, y ) e − k z z e −iωt

−

Ex 0 mbk z mπ nπ x cos sin sin (k z z − ωt ) ω na a b

Dengan cara yang komponen ke y, By =

Ex 0 k z

ω

cos

sama,

dapat

(3.58)

dituliskan

mπ nπ x sin y sin (k z z − ωt ) a b

(3.59)

Untuk komponen ke z nya, dari pers. Maxwell, ∂E y ∂x

−

∂Ex ∂B =− z ∂y ∂t


(3.60)

Gelombang Mikro

17

Substitusi Ex dan E y dari (3.42a) dan (3.42b),

∂E y ∂x

= − Ex 0

m 2πb  mπ   nπ  cos x  cos y  sin (k z z − ωt ) 2 na  a   b 

∂Ex nπ  mπ   nπ  = Ex 0 cos x  cos y  sin (k z z − ωt ) ∂y b  a   b 

Masukkan ke pers. (3.60), diperoleh,

 m 2πb nπ ∂B − z = Ex 0  + 2 ∂t b  na

  mπ   nπ   cos x  cos y  sin (k z z − ωt )   a   b 

Bila diintegralkan ke t , diperoleh,

Ex 0  m 2πb nπ   mπ   nπ  Bz = + cos x  cos y  cos(k z z − ωt ) b   a   b  ω  na 2 =

=

Ex 0 b  m 2π 2 n 2π 2   nπ   mπ  + 2  cos x  cos y  cos(k z z − ωt ) b   a   b  ω nπ  a 2 Ex0 b 2  mπ kc cos ω nπ  a

  nπ  x  cos y  cos(k z z − ωt ). (3.61)   b 

Apabila semua komponen medan dikumpulkan,

Gelombang Mikro

18

 mπ   n π  (3.62a) E x = Ex 0 cos x  sin  y  sin (k z z − ωt ).  a   b  mb  mπ   nπ  E y = − Ex0 sin  x  cos y  sin (k z z − ωt ) (3.62b) na  a   b  Ez = 0 (3.62c)

bkc2  mπ   nπ  sin x  cos y  sin (k z z − ωt ) (3.62d) ωa  a   b  k  mπ   n π  By = E x 0 z cos x  sin  y  sin (k z z − ωt ) (3.62e) ω  a   b 

Bx = Ex 0

Bz = Ex 0

bkc2  mπ   nπ  cos x  cos y  cos(k z z − ωt ) (3.62f) ωnπ  a   b 

Besaran medan gelombang mikro dalam pandu gelombang yang biasa diukur adalah amplitudo gelombang dari gelombang yang arahnya sejajar pandu gelombang. Untuk gelombang pola TE ini, medan yang searah pandu Bz , dengan gelombang adalah medan amplitudonya, Bz 0 = Ex 0  mπ Bz = Bz 0 cos  a

bkc2 ωnπ

  nπ  x  cos y  cos(k z z − ωt )   b 

(3.63)

(3.64)

Semua komponen medan yang lain amplitudonya dapat dinyatakan dengan Bz 0 . Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]


Gelombang Mikro

19

Untuk gelombang mikro pola TM, komponen medan magnetnya hanya bersifat transversal, tidak punya komponen ke z jadi Bz = 0. Amplitudo gelombang yang terukur, yang sejajar pandu gelombang adalah komponen medan Ez dengan amplitudonya Ez 0 . Semua komponen medan dapat diturunkan berdasarkan persamaan Mawxell seperti yang dikerjakan pada gelombang pola TE dimuka. Untuk gelombang TMmn, misalkan sebagai gelombang dasar Ez berbentuk kombinasi sin dan cos, dapat dituliskan,  mπ   nπ  Ez = Ez 0 sin  x  sin  y  cos(k z z − ωt ) (3.65a)  a   b  nπk z  mπ   nπ  E y = − Ez 0 sin x  cos y  sin (k z z − ωt ) bkc2  a   b  (3.65b) mπk z  mπ   nπ  Ex = − Ez 0 cos x  cos y  sin (k z z − ωt ) 2 akc  a   b  (3.65c) ωmπ  mπ   nπ  Bx = − E z 0 2 2 sin x  cos y  sin (k z z − ωt ) c bkc  a   b  (3.65d)

By = − Ez 0

ωmπ

 mπ cos c ak  a 2

2 c

  nπ x  sin   b

 y  sin (k z z − ωt ) 


Gelombang Mikro

20 (3.65e) (3.65f)

Bz = 0. 3.1.2 Impedansi

Penjalaran gelombang elektromagnet di dalam medium tertentu akan mengalami hambatan oleh adanya medium sendiri. Ditinjau dimensi perbandingan medan E dan B yaitu E B . Dari sistem kumparan dengan jumlah lilitan N , panjang l dan arusnya i, besarnya medan magnet dalam kumparan adalah, B=

µNi l

(3.66)

Maka perbandingan E dan B dapat dituliskan, E El = B µNi

(3.67)

Apabila µ dibawa ke kiri, maka dimensi kanan adalah volt/Amp.

µ

E El = satuannya V/Amp = Ohm (3.68) B Ni

Dengan demikian harga perbandingan medan E dan B menyatakan besaran hambatan atau sebagai impedansi Z. Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

Gelombang Mikro

21 Z=

µE

(3.69)

B

Pada pandu gelombang pola TE, dapat diturunkan persamaan impedansi Z nya. Untuk komponen Ex , persamaan medan B yang sephase adalah By . Impedansinya, Z=

µEx Bz

, dari pers. (3.62a) dan (3.62f),

Z=

µEx 0

Ex 0 k z ω

=

µω

=

kz

µ 2πv λg λ 2π

1 − (λ λc )

2

(3.70)

Dari pers. (3.69), dapat dituliskan, Z=

µE

=

B

E E = B H H

(3.73)

Besaran H ini biasa dinamakan kuat medan magnet. Untuk pola TM, dari bentuk gelombang komponen E y pers. (3.65b), Bx (3.65d), dapat

Z= =

µ Ey Bx

µ c 2k z µc 2 2π 2π = = ω 2π c λ λg

µ ε

(3.74)

1 − (λ λc )

2

(3.71)

Apabila kecepatan gelombang v dinyatakan dalam tetapan µ dan ε , dapat dituliskan,

Z=

22

diturunkan besar impedansinya Z,

Substitusi λg dari pers. (3.46), diperoleh, Z = µv

Gelombang Mikro

3.1.3 Tenaga Gelombang Dari pengertian elektromagnet pers. (2.28)

daya

gelombang

P = uv,

µ ε 1 − (λ λc )

2

(3.72)

Untuk medium udara, bila diambil µ0 dan ε 0 ruang kosong, Z 0 = µ0 ε 0 = 377 Ω. Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

(3.75)

P merupakan rapat tenaga gelombang per satuan luas persatuan waktu (detik), u adalah rapat tenaga gelombang (per satuan volum). Dari pers. (2.24),

u = ε E 2 = B2 µ . Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

(3.76)

Gelombang Mikro

23

Dari persamaan tenaga di atas, dapatlah diturunkan persamaan tenaga gelombang di dalam pandu gelombang segi empat, untuk ragam TE, W = ∫ P dA = ∫ u vg dA

(3.77)

Kecepatan disini adalah kecepatan group vg yaitu kecepatan gelombang yang searah pandu gelombang. Untuk pandu gelombang dengan lebar a dan tinggi b, dan komponen medan E yang tegak lurus arah pandu gelombang adalah Ex dan E y , dari pers. (2.42), dapat dituliskan, a

0

∫

b

0

ε (Ex2 + E y2 )vg dxdy

 Ex20 cos 2 mπx a sin 2 nπy b +  = ∫ ∫ εvg  (mb )2 2 2 2  (na )2 Ex 0 sin mπx a cos nπy 

24

∫ sin xdx = 1 2 x − 1 4 sin 2 x dan ∫ cos xdx = 1 2 x + 1 4 sin 2 x, 2

2

(3.79)

Dapatlah diturunkan bentuk tenaga gelombang,  ab (mb )2 ab  W = ε2 vg Ex20  +  2 (3.80)  4 (na ) 4 

= ε8 vg Ex20ab kc2b 2 (na )

2

= ∫ ε E 2 vg dx dy

W =∫

Gelombang Mikro

  (3.78) b 

sin 2 (k z z − ωt )dxdy.

Bila diambil rata-rata sin 2 (ωt − k z z ) = 1 2 , dan dari integral


Harga vg akan imaginer bila λ gelombang yang masuk > λc , jadi tidak ada gelombang yang diteruskan. Satuan W ini sama dengan daya, yaitu joule/det atau Watt. 3.1.4 Pandu Gelombang Segi 4 Tertutup (Rongga, Cavity) Apabila pada pandu Gelombang segi 4 pada ujung yang terbuka diberikan tutup, disebut pandu gelombang tertutup. Apabila dimasukkan gelombang, akan terjadi pantulan gelombang ditempat tutup. Gelombang pantul ini akan berinterferensi dengan gelombang datang. Ditinjau pandu gelombang segi empat lebar a, tinggi b dan panjang l, dimasukkan gelombang pola TEmn.


Gelombang Mikro

25

Gelombang Mikro

26

E x = 2 E x 0 cos mπx a sin nπy b sink z z cosωt (3.84) Gelombang ini merupakan gelombang tidak berjalan, dimana,

berdiri,

k z = 2π λz = 2π λg = 2πp l

Gambar 3.3 Pandu Gelombang tertutup panjang l. Komponen medan Ex dari pers. (3.62a) untuk gelombang datang, E = Ex 0 cos mπx a sin nπy b sin (k z z − ωt ), (3.81) d x

gelombang terpantulnya dapat dituliskan, E xp = − E x 0 cos mπx a sin nπy b sin (k ′z z − ωt ) (3.82)

E x = 2 E x 0 cos mπx a sin pπz l cos ωt m = 0,1,2,3,... n = 0,1,2,3,... p = 0,1,2,3,... Komponen medan Ex bilangan m, n, dan p. Untuk yang lain, dengan cara yang (3.62b, ..., 3.62f), dengan Ez = 0,

(3.83)

Apabila panjang l merupakan kelipatan bilangan bulat dari 12 λ akan terjadi pantulan sempurna maka k z = k ′z , dapat diturunkan gelombang interferensi penguatan, dapat dituliskan,


ditentukan oleh komponen medan sama, dari pers. dapat dituliskan,

E y = −2 E x 0

mb sin mπx a cos nπy b sin pπz l cos ωt na (3.86a)

Bx = 2 Ex 0

bkc2 sin mπx a cos nπy b cos pπz l sinωt ωa (3.86b)

Kedua gelombang ini akan berinterferensi menghasilkan gelombang jumlahan. E x = Exd + Exp .

(3.85)

By = Ex 0

kz z

ω

cos mπx a sin nπy b cos pπz l sinωt

(3.86c)


Gelombang Mikro

Bz = Ex 0

27 bkc2 cos mπx a cos nπy b cos pπz l sinωt ωnπ (3.86d)

Gelombang berdiri dalam rongga (cavity) ini polanya biasa dituliskan TEmnp, sedang untuk gelombang transfermagnetik dituliskan TMmnp. Ukuran cavity ditentukan oleh besarnya panjang gelombang masuk λ dan polanya yaitu bilangan m, n dan p. Persamaan (3.43) dapat dituliskan, m 2π 2 n 2π 2 p 2π 2 4π 2 2 k + + = = = εµω 2 = k 2 (3.87) c λc2 a2 b2 l2 Selanjutnya dapat dituliskan besar λc ,cut −off ,

λc =

2 m2 n 2 p 2 + + a2 b2 l 2

(3.88)

λc merupakan panjang gelombang terbesar yang dapat dimasukkan dalam rongga (cavity). Apabila λ > λc gelombang akan cepat hilang karena akan terserap oleh dinding adanya interferensi pelemahan. Ukuran rongga/cavity bergantung pada panjang gelombang λ yang dimasukkan dan pola atau ragam gelombang mikro yaitu TEmnp atau TMmnp. Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

Gelombang Mikro

28

Soal-soal: 1. Turunkan semua komponen medan pola TE yang lain seperti pers. (3.64). 2. Turunkan semua komponen medan yang lain untuk medan gelombang pola TMmn seperti yang dinyatakan pers. (3.65). 3. Diketahui pandu gelombang bentuk segi 4 dengan lebar 3 cm, tinggi 4 cm. Dimasukkan gelombang mikro pola TE12 dengan λ = 5 cm. Tuliskan semua komponen medan gelombang E dan B dalam pandu gelombang. Semua satuan dalam SI. 4. Suatu pemancar TV dengan λ = 10 cm, disuatu tempat daya gelombangnya terukur = 10 Watt. Apabila gelombang dapat dinyatakan dalam gelombang bidang dengan arah penjalaran x, tuliskan semua komponen medan E dan B ditempat tersebut, dan gambarkan penjalaran gelombangnya. 5. Bila pada soal no 3 diketahui amplitudo komponen E x 0 = 10 Volt/m, hitunglah tenaga gelombang di dalam pandu gelombang per detiknya (W ). 6. Bila pada soal no 3 pandu gelombang dibuat tertutup dengan pola TE123, tuliskan semua komponen gelombang berdiri dalam rongga tersebut. Bila panjang pandu gelombang 5 cm, berapa λ terbesar yang Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

Gelombang Mikro

29

dapat dimasukkan pada pandu gelombang tersebut.

Gelombang Mikro

Dalam koordinat silinder, untuk medan magnetnya, dapat dituliskan,

komponen

1 ∂ ∂B 1 ∂ 2 B ∂ 2 B ∂2B r + 2 + = εµ (3.88) r ∂r ∂r r ∂ϕ 2 ∂z 2 ∂t 2

3.2 Pandu Gelombang Silinder Pandu gelombang ini berbentuk silinder panjang dengan salah satu ujungnya terbuka. Gelombang mikro menjalar kearah ujung yang terbuka. Untuk pembahasan penjalaran gelombang mikro dalam pandu silinder ini, digunakan sistem koordinat silinder.

30

Untuk gelombang pola TE yang menjalar ke arah z, dimana komponen Ez = 0 sedang Bz ≠ 0 , dapat dituliskan, Bz = B0 z (r ,ϕ ) cos(k z z − ωt )

(3.89)

Bila dimasukkan ke (3.88),

Gambar 3.4 Pandu Gelombang Silinder. Gelombang mikro menjalar ke z.

1 ∂ ∂B0 z (r ,ϕ ) 1 ∂B02z (r ,ϕ ) 2 r + 2 − k z B0 z (r ,ϕ ) = r ∂r ∂r r ∂ϕ 2

− εµω 2 B0 z (r ,ϕ )

(3.90) Persamaan umum gelombang elektromagnet baik medan listrik maupun medan magnetnya, dari pers. (2.10) dapat dituliskan, ∂2E ∂t 2 ∂2B ∇ 2 B = εµ 2 ∂t

∇ 2 E = εµ


(3.87a) (3.87b)

Substitusikan kc2 = ω 2εµ − k z2 = ω 2 v 2 − k z2

(3.91)

Maka,

1 ∂ ∂B(r ,ϕ ) 1 ∂ 2 B0 z (r ,ϕ ) r + 2 = −kc2 B0 z (r ,ϕ ) (3.92) 2 r ∂r ∂r r ∂ϕ


Gelombang Mikro

31

Selanjutnya dapat digunakan pemisahan variabel. Bila dituliskan,

metode

B0 z (r ,ϕ ) = R(r )φ (ϕ ) maka,

1 ∂ ∂R 1 ∂ 2φ r + 2 = − kc2 (3.93) 2 Rr ∂r ∂r r φ ∂ϕ

(3.94)

Dengan penyelesaian,

φ (ϕ ) = φ0e

imϕ

= A cos mϕ + B sin mϕ dengan m = m1, m 2, m 3,...

1 ∂kc r ∂R  m2  R = 0 + 1 − kc r ∂kc r ∂kc r  kc2 r 2 

(3.97)

Ini merupakan persamaan khas Bessel dengan penyelesaian, R(r ) = Cm J m (kc r ) + Dm N m (kc r )

(3.98)

(3.95)

m

 r   1 ∂  sin kc r J m (kc r ) =  −     kc   r ∂r  kc r m

(3.96)

Dapat dituliskan menjadi,

(3.100)

Penyelesaian umum gelombang medan magnet dari pers. (3.89), (3.95) dan (3.100), dapat dituliskan, Bz (r ,ϕ , z ) = B0 z J m (kc r )( Am cos mϕ + Bm sin mϕ ) cos(k z z − ωt )


(3.99)

N m (kc r ) adalah fungsi Bessel sekawan atau biasa disebut fungsi Neuman, bentuknya seperti Bessel J m , tetapi pada r → 0, N m → ∞. Fungsi Neuman tidak memenuhi syarat batas fisis. Jadi yang memenuhi adalah fungsi Bessel, dapat dituliskan, R(r ) = C J m (kc r ) .

Pers. (3.93) menjadi,

 1 ∂ ∂R  m 2 r +  − 2 + kc2  R = 0 r ∂r ∂r  r 

32

dimana J m (kc r ) adalah fungsi Bessel,

Dapat dituliskan pemisahan persamaan,

1 ∂ 2φ = −m2 φ ∂ϕ 2

Gelombang Mikro


(3.101)

Gelombang Mikro

33

Dapat dituliskan dalam bentuk komplek,

Gelombang Mikro

34

Maka,

cos mϕ  i (k z z −ωt ) Bz (r ,ϕ , z ) = B0 z J m (kc r ) . e  sin mϕ 

(3.102)

1  ∂Ez ∂rEϕ  − r  ∂ϕ ∂z

  = iωBr 

(3.105b)

Untuk komponen ke ϕˆ dari Bϕ , Pemilihan bentuk sin atau cos bergantung syarat batas untuk sudut ϕ . Komponen medan B yang lain dan medan E nya dapat diperoleh dari persamaan Maxwell (2.6c) dan (2.6d), r r ∂E ∇ × B = εµ ∂rt r ∂B ∇× E = − ∂t

(3.103a) (3.103b)

Dalam koordinat silinder, bentuk ∇ × dituliskan, rˆ r 1 ∂ ∇× A = r ∂r Ar

rϕˆ ∂ ∂ϕ rAϕ

zˆ ∂ ∂z Az

dapat

(3.104)

 ∂Er ∂Ez  −   = iωBϕ ∂r   ∂z

(3.106)

Dari pers. (3.103), bila diuraikan semua akan diperoleh 6 persamaan, dimana Ez = 0, ∂Eϕ

= iωBr ∂z ∂Er = iωBϕ ∂z 1 ∂rEϕ 1 ∂Er − = iωBz r ∂r r ∂ϕ 1 ∂Bz ∂Bϕ − = −iεµωEr r ∂ϕ ∂z ∂Bz ∂Br + = −iεµωEϕ ∂r ∂z 1 ∂rBϕ 1 ∂Br − =0 r ∂r r ∂ϕ

−

(3.107a) (3.107b) (3.107c) (3.107d) (3.107e) (3.107f)

Untuk komponen ke rˆ dari Br ,

(∇ × E ) r

r

=−

∂Br = iωBr ∂t


(3.105a)

Selanjutnya, mengingat semua persamaan mengandung ei (k z z −ωt ) , dapat dituliskan,


Gelombang Mikro

35 − k z Eϕ = ωBr

(3.108a)

k z Er = ωBϕ

(3.108b)

1 ∂ (rEϕ ) 1 ∂Er − = iωBz r ∂r r ∂ϕ 1 ∂Bz − ik z Bϕ = −iεµωEr r ∂ϕ ∂B − z + ik z Br = −iεµωEϕ ∂r 1 ∂rBϕ 1 ∂Br − =0 r ∂r r ∂ϕ

Gelombang Mikro

Dari pers. (3.108b) dan (3.108d) mengeliminasi Er , dapat diperoleh, Bϕ = −

(3.108c) (3.108d)

36

Er = −

(3.108f)

(3.109) Eϕ =

Dari pers. (3.108a) dan (3.108e), dapat dituliskan

Br =

kc2 Br kz

Atau, Br = −

k z ∂Bz kc2 ∂r


(3.108d),

dengan

(3.112)

(3.108e),

dengan

iω ∂Bz kc2 ∂r

(3.113)

Dari pers. (3.110) dan (3.102), dapat diperoleh komponen medan Br ,

∂Bz + ik z Br = iεµω 2 Br k z ∂r  εµω 2   ∂B i  ω2 − z = i − k z  Br =  2 − k z2  Br ∂r kz  v   kz  −

=i

(3.111)

iω 1 ∂Bz kc2 r ∂ϕ

Dari pers. (3.108a) dan mengeliminasi Br , diperoleh,

Dari pers.(3.91), dapat dituliskan, kc2 + k z2 = ω 2 v 2

i k z ∂Bz r kc2 ∂ϕ

Dari pers. (3.108b) dan mengeliminasi Bϕ , diperoleh,

(3.108e)

dengan

kz ∂J (k r ) cos mϕ  B0 z m c  cos(k z z − ωt ) (3.114) kc ∂kc r  sin mϕ 

Dari pers. (3.111) komponen medan Bϕ ,

dan

(3.102),

diperoleh

(3.110)


Gelombang Mikro

Bϕ =

37

 sin mϕ  kz m B0 z J m (kc r )  sin (k z z − ωt ) (3.115) 2 ϕ cos m kc r  

Dari pers. (3.112) dan (3.102) diperoleh komponen medan Er ,  sin mϕ  Er = 2 B0 z J m (kc r )  sin (k z z − ωt ) (3.116) kc r cos mϕ 

ω m

Dari pers. (3.113) dan (3.102) diperoleh komponen medan Eϕ , Eϕ = −

ω kc

B0 z

∂J m (kc r ) cos mϕ  sin (k z z − ωt ) (3.117) ∂kc r  sin mϕ 

(3.118)

Dan komponen Ez = 0. Pada pandu gelombang bentuk silinder ini dapat dipenuhi hukum divergensi, dari persamaan Maxwell untuk ruang tanpa sumber,

r ∇⋅E = 0 r ∇⋅B = 0 Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

38

Dalam koordinat silinder, bentuk divergensinya adalah, r 1 ∂rA 1 ∂Aϕ ∂A r ∇⋅ A = + + z r ∂r r ∂ϕ ∂z

(3.120)

Buktikan pers. (3.119) dengan memasukkan A, medan E dan B dari pers. (3.114) s/d (3.118). 3.2.1 Impedansi Pada pandu gelombang silinder ini juga dapat diturunkan besaran impedansi Z. Persamaan impedansi (3.69) Z = µ E B , disini dapat diambil komponen medan Er dengan pasangannya medan Bϕ . Dari medan Er (3.116) dan medan Bϕ (3.115) dapat diperoleh impedansi,

Komponen Bz sendiri dapat dituliskan, cos mϕ  Bz = B0 z J m (kc r )  cos(k z z − ωt )  sin mϕ 

Gelombang Mikro

(3.119a) (3.119b)

Z=

µEr Bϕ

=

µω

=

kz

µ 2πv λz λ = µv z λ 2π λ

(3.121)

Dari pers. (3.109), dapat dituliskan, 1

λ

2 c

+

[

1

λ

2 z

=

1

λ2

λz = λ 1 − (λ λc )

]

−1

λz biasa dinyatakan sebagai λg ( λ group). λc = λ cut-off merupakan λ maksimum yang dapat Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

Gelombang Mikro

39

dilewatkan pandu gelombang. Dapat dituliskan persamaan impedansi,

Z=

µv  λ 1 −     λc 

2 12

  

µ ε 

=

1

λ 1 −     λc 

2 12

  

(3.122)

Bentuknya ternyata sama dengan pada pandu gelombang segi 4 pers. (3.72). Persamaan di atas dapat pula diturunkan dari komponen yang lain Z = µEϕ Br . Bila dalam pandu gelombang hanya berisi udara maka,

Impedansi Z dapat ditentukan bila λc sudah tertentu. λc dapat ditentukan dari harga kc yang bergantung pada syarat batas. Untuk gelombang mikro ragam TM, impedansinya dapat diturunkan pula,

µEϕ Br

=

µ ε

(1 − (λ λ ) ) 2

c

3.2.2 Syarat Batas


(3.123)

40

Pandu gelombang biasanya dibuat dari bahan konduktor yang baik, sehingga tahanan listriknya ≅ ∞. Pada bidang batas yaitu pada dinding silinder akan dipenuhi bahwa komponen medan E yang sejajar dinding = 0, sedang untuk medan B nya adalah komponen normalnya B ⊥ 0. Ditinjau pandu gelombang silinder dengan jari-jari = a. Untuk gelombang mikro ragam (pola) TE, maka komponen medan listrik yang sejajar dinding, Eϕ = 0, sedang komponen normal medan magnetnya Br = 0. Dari kedua syarat batas tersebut, dapat dituliskan, dari pers. (3.114) dan (117) untuk r = a, dipenuhi, ∂J m (kc r ) = J 'm (kc r ) = 0 r =a ∂kc r

µ0 = 377 ohm. ε0

Z=

Gelombang Mikro

(3.124)

Fungsi Bessel J 'm (kc a ) = 0, menghasilkan banyak harga kc yang memenuhi. Harga-harga ini dapat diperoleh dari persamaan rekurernsi fungsi Bessel yaitu hubungan J m dengan J 'm . Dari sifatsifat fungsi Bessel dan turunannya, diperoleh hubungan sebagai berikut, J m−1 ( x ) + J m+1 ( x ) =

2m J m (x ) x J m−1 ( x ) − J m+1 ( x ) = 2 J 'm ( x ) m J 'm ( x ) = J m−1 ( x ) − J m ( x ) x Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

(3.125a) (3.125b) (3.125c)

Gelombang Mikro

J 'm ( x ) = − J m+1 ( x ) +

41 m J m (x ) x

(3.125d)

Untuk m = 0, dapat dituliskan hubungan J 0 ( x ) = − 12 J1 ( x ). Dari grafik fungsi Bessel, dapat ditentukan harga x dengan J m = 0. Disini x = kc a. Grafik fungsi Bessel untuk berbagai harga m dapat dilihat pada gambar 3.5.

Gambar 3.5 Grafik fungsi Bessel J 0 , J1 dan J 2 . Grafik turunan J 'm dapat diturunkan dari J m . Dari grafik fungsi Bessel J m maupun J 'm , tampak ada banyak harga kc a yang harga fungsinya = 0. Tempat-tempat tersebut secara berturutan dinyatakan dengan bilangan n = 1, 2, 3, 4, . . . Untuk m = 0, yaitu J 0 (kc a ), dari grafik besarnya kc a = nπ . n merupakan titik-titik simpul dari fungsi Bessel. Karena medan E ataupun B harus memenuhi syarat batas, dimana E// dinding dan B ⊥ dinding harganya = 0, maka gelombang medan E atau B yang memenuhi syarat batas tersebut mempunyai harga tertentu. Dengan Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

Gelombang Mikro

42

demikian ragam gelombang mikro pada pandu gelombang silinder biasa dinyatakan dalam bilangan ragam (m, n). Apabila jenis ragam gelombang mikro yang dinyatakan oleh bilangan (m, n) diketahui, dari grafik fungsi Bessel, akan dapat diketahui harga kc a, jadi harga kc dan λc dapat ditentukan. Sebagai contoh untuk ragam TE01, dari grafik, untuk m = 0 dan n = 1, harga kc a = 3,8. Harga yang lebih tepat dapat dilihat di tabel fungsi Bessel. Panjang gelombang terbesarnya,

λc = 2π kc =

2πa . (kc a )mn

(3.126)

Untuk harga jari-jari silinder r = 3 cm, m = 0, dan n =1, besar λc = 4,95 cm. Gelombang mikro dengan λ > 4,95 cm tidak dapat diteruskan oleh pandu gelombang ini. Pada tabel 3.1 diberikan harga kc a untuk berbagai ragam gelombang mikro TEmn.


Gelombang Mikro

43

Tabel 3.1 Harga kc a untuk berbagai ragam TEmn. Ragam m 0 1 2 0 3 4 1 2 0

N 1 1 1 1 1 1 2 2 2

TEmn

kca

TE01 TE11 TE21 TE01 TE31 TE41 TE12 TE22 TE02

3,8 1,84 3,054 3,832 4,201 5,318 5,332 6,706 7,016

Untuk gelombang mikro TM (transverse magnetic), tidak mempunyai komponen medan B searah penjalaran gelombang, untuk pandu gelombang silinder ini adalah z. Jadi komponen medan Bz = 0 sedang E z ≠ 0. Dapat dituliskan, cos mϕ  i (k z z −ωt ) E z = E0 J m (kc r ) e  sin mϕ 

(3.127)

Komponen medan yang lain dapat diturunkan dengan cara yang sama Er = −

cos mϕ  i (k z z −ωt ) kz E0 J 'm (kc r ) (3.127a) e kc  sin mϕ 


Gelombang Mikro

44

Eϕ = −

 sin mϕ  i (k z z −ωt ) mk z E0 J m (kc r ) (3.127b) e 2 m ϕ cos rkc   Br = −

Bϕ =

µ Er Z

µ Eϕ

(3.127c)

Z

lihat Z

(3.129).

(3.127d)

Pada syarat batas harus dipenuhi komponen medan E// dinding = 0 atau Br ⊥ = 0 yaitu di r = a. Dari persamaan di atas, dapat dituliskan, J m (kc a ) = 0, sehingga dari grafik fungsi Bessel Jm, dapat ditentukan harga kc a dan panjang gelombang cut-off,

λc =

2π 2π = kc (kc a )mn

Pada tabel 3.2 diberikan harga berbagai ragam TMmn.

(3.128)

kc a


untuk

Gelombang Mikro

45

Tabel 3.2 Harga kc a untuk berbagai ragam TMmn. TMmn

k ca

TM01 TM11 TM21 TM02 TM31 TM12 TM41

2,405 3,832 5,136 5,520 6,380 7,016 7,588

Z=

Br

λ

12

 λ  1 −     λ 

2

  

=

2 12

  2 2  1 −      2,6  

2

= 3,65 cm.

2

Impedansi

1

  λ  2 = µ ε 1 −     λc 

λg =

46

λ λ vg = c 1 −   = 3.108 1 −   = 1,6 × 108 cm  λc   λc 

Impedansi Z untuk pandu gelombang silinder ragam TMmn ini adalah,

µ Eϕ

Gelombang Mikro

(3.129)

Contoh perhitungan. Suatu pandu gelombang silinder diketahui jari-jarinya = 2 cm, dimasukkan gelombang mikro ragam TE12 dengan λ = 2 cm. Hitung λc , λg , vg dan Z.

  λ 2  Z = µ0 ε 0 1 −      λc  

−1 2

= 377 × 1,83 = 690 Ω.

3.2.3 Tenaga Gelombang Mikro Dalam Pandu Gelombang Silinder Tenaga gelombang mikro yang mengalir dalam pandu gelombang per satuan waktu (det) secara umum dari pers. (3.77), W = ∫ PdA = ∫ Uvz = ∫ ε 0 E 2vg dA

(3.130)

Dari tabel 3.1 untuk m = 1 dan n = 2, harga 5,3 = 2,65 rad. kc a = 5,3, sehingga kc = 2 2π 2π λc = = = 2,4 cm kc 2,65

menjalar dalam pandu gelombang silinder, jadi Ez = 0 dan elemen luas ⊥ penjalaran,



vz adalah komponen kecepatan searah penjalaran gelombang = vg . Ditinjau gelombang ragam TEmn

Gelombang Mikro

47

Gelombang Mikro

dA = r dr dϕ .

2 J 'm = J m−1 − J m+1 , untuk m = 0,

Persamaan tenaga gelombang mikro di atas,

(

)

W = ε 0 ∫ Er2 + Eϕ2 vg r dr dϕ

48

2 J '0 = J1 (kc r ) = −

(3.131)

=−

Dari Er dan Eϕ pers. (3.116) dan (3.117), dapat dituliskan, W = ε 0vg ∫

R

0

∫

2π

0

ω 2 B02 2 2  sin mϕ  2  4 2 m J m (kc r )  sin (k z z − ωt ) + cos mϕ   kc r

 cos mϕ  2 ω − B J ' ( k r ) sin ( k z t ) rdrdϕ c z   kc4  sin mϕ  

ω2

= ε 0v g

2 0

2 m

ω 2 B02 kc4

R

∫∫ 0

2π

0

 m2 2  sin mϕ   2 J m (kc r ) + cos mϕ  r

k

4 c

ε 0 B02vg

π

4∫

R

0

J '02 (kc r )rdr

2

kc =

2π

λc

ω2 kc4

ε 0 B02vg

π

R

4 ∫0

 cos kc r sin 2 kc r  − 2 2  rdr (3.134)  kc r   kc r

Apabila suku ke 2 diabaikan, dapat diturunkan,

(3.132) Bila diambil ragam dengan m = 0, dan diambil harga rata-ratanya, dapat dituliskan,

ω2

cos kc r sin kc r − 2 2 kc r kc r

Harga kc ditentukan oleh bilangan ragam n (lihat tabel). Persamaan tenaga gelombang rataratanya,

W =

cos mϕ   2 J '2m (kc r )   sin (k z z − ωt ) rdr dϕ .  sin mϕ  

W =

λ vg = v 1 −    λc 

r 1 ∂ sin kc r kc r ∂r kc r

W =

ω 2π 4kc6

ε 0 B02vg sin kc R

(3.133)

Dari hubungan rekurensi fungsi Bessel, dapat dituliskan, Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]


(3.135)

Gelombang Mikro

49

3.3 Pengaruh Koduktivitas Dalam Pandu Gelombang

E = E0ei (k z z −ωt )

(3.136a)

B = B0ei (k z z −ωt )

(3.136b) besarnya

r r J =σ E

50

Substitusikan B dan J ke persamaan (3.138a), diperoleh,

Apabila di dalam pandu gelombang dimasukkan bahan yang bersifat konduktor, σ ≠ 0, akan terjadi induksi arus litrik. Akibatnya timbul panas, tenaga gelombang akan makin berkurang. Amplitudo gelombang dalam gerak majunya di dalam pandu gelombang akan mengalami penurunan. Gerakan maju gelombang mikro dalam arah z dapat dituliskan,

Dari teori elektrodinamika, induksi adalah,

Gelombang Mikro

arus

r r r ∂2E ∂E ∇ E = µσ + εµ 2 ∂t ∂t 2

(3.139)

Gelombang medan listrik E pola TE yang mengalami serapan oleh adanya σ , dalam koordinat Kartesian, dapat dituliskan,

r r E = E0 ( x, y ) ei (k z z −ωt )e − χz

(3.140)

χ

adalah faktor penurunan medan atau redaman. Apabila (3.140) disubstitusikan ke (3.139), untuk komponen Ex , (lihat pers. (3.44)), dapat dituliskan,

− kc2 + (k z − iχ ) = −iωµσ − εµω 2 2

(3.137)

kc2 + k z2 − χ 2 + i 2k z χ = iωµσ + εµω 2

(3.141)

Dari persamaan Maxwell, r r ∂B ∇× E = − ∂t r r r ∂E ∇ × B = µJ + εµ ∂t


Bila dipilih bagian nyata dan imaginernya, (3.138a)

2k z χ = ωµσ

(3.142a)

(3.138b)

kc2 + k z2 − χ 2 = εµω 2

(3.142b)


Gelombang Mikro

51

Dari pers. (3.142a) dan (3.142b), ω dieliminasikan, dapat diperoleh,

χ2 =

dengan k z =

2π

λg

εµ 3σ 2 k 2 εµ 3σ 2 + 4k z2

dan kc =

2π

λc

bila

(3.143)

, σ = 1 R, R dalam Ω.

Gelombang Mikro

52

Parabola mempunyai sumbu utama, dan mempunyai titik pusat. Bidang parabola berupa garis lengkung memotong sumbu utama dan bersifat simetris terhadap sumbu. Dikenal suatu garis tetap yang disebut garis arah. Sifat utama lintasan parabola adalah jarak antara suatu titik pada lintasan tersebut terhadap titik pusatnya = jarak dari titik tersebut terhadap garis arah.

Bila σ = 0, χ = 0, tidak ada penurunan amplitudo, makin besar σ , makin besar penurunan amplitudo gelombang (skin effect). 3.4 Pandu Gelombang Parabola Pandu gelombang berbentuk parabola dengan diameter penampang lingkaran tertentu atau panjang sumbu parabola tertentu. Parabola merupakan salah satu bentuk irisan kerucut pada arah tertentu, yaitu irisan miring, lintasan garis bersifat terbuka, kemudian diputar dengan sumbu garis tengahnya.

Gambar 3.7 Lintasan Parabola dengan pusat P(a,0) dan titik puncak di (0,0). Garis arah l yaitu di x = -a. Dari sifat khusus parabola untuk suatu titik sebarang Q(x,y) pada lintasan parabola, maka jarak terhadap pusat QP = jarak terhadap garis yaitu QR, jadi QP = QR. Dapat dituliskan,

(x + a )2 = y 2 + (a − x )2 Gambar 3.6 Irisan kerucut Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

Bila diuraikan, dapat diperoleh pers., Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

(3.144)

Gelombang Mikro

53 y 2 = 4ax.

(3.145)

Ini merupakan persamaan lintasan parabola dengan pusat (a,0) dan garis arahnya x = -a.

Gelombang Mikro

pantul akan sejajar sumbu X. Jadi ∆RPQ harus bersifat sama sisi. Dari persamaan garis parabola (3.145), dapat diturunkan besar arah garis singgung dititik Q (p,q). Dari diferensialnya, 2y

3.4.1 Pemandu Gelombang Parabola Sifat utama dari parabola ini dapat memusatkan gelombang mikro (elektromagnet) yang datangnya sejajar sumbu ke pusat parabola atau gelombang mikro dengan sumber yang berada dipusat akan dipantulkan oleh parabola sehingga gelombang yang dipantulkan semua akan sejajar sumbu parabola. Ditinjau arah pantulan gelombang berasal dari pusat P yang menuju suatu titik Q (p,q).

54

∂y ∂y a = 4a → =2 . ∂x ∂x y

Harga kemiringan garis singgung di Q (p,q) a m=2 . q

Sifat pantulan gelombang adalah sudut datang sama dengan sudut pantul. Untuk ini perlu diketahui garis normalnya, yaitu garis singgung pada titik pantul Q. Garis singgung ini memotong sumbu di R(r,0). Apabila dapat dibuktikan bahwa ∆PQR = ∆PRQ, maka garis Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

(3.147)

Persamaan garis singgung lewat titik Q dapat dituliskan,

( y − q ) = m( x − p ) =2

Gambar 3.8 Sifat pantulan pada lintasan parabola.

(3.146)

a (x − p ). q

(3.148)

Titik potong dengan sumbu X, bila y = 0, maka, −q = 2

a ( x − p ) → ( x − p ) = − q 2 2a . q

(3.149)

Dari persamaan lintas parabola dititik Q (p,q), dipenuhi,


Gelombang Mikro

55 q 2 = 4ap

Eliminasikan q, diperoleh, x − p = −2 p → x = − p = r.

Jadi jarak

PR = p + a.

(3.150)

Dari titik P dan Q kuadrat jaraknya dapat dituliskan, PQ 2 = q 2 + (a − p) 2 = 4ap + a 2 − 2ap + p 2 = (a + p ) → 2

(3.161)

PQ = a + p

Jadi PR = PQ dan ∆PQR bersifat sama kaki, sehingga dapat disimpulkan bahwa garis pantulan sejajar sumbu X. Semua gelombang datang dari titik pusat P akan dipantulkan sejajar sumbu. Makin besar jarak titik pusat a makin besar pelebaran luas parabola. Untuk penerima atau pemancar gelombang mikro umumnya, jarak a mendekati diameter lingkaran bukaan parabola. Bahan pandu gelombang dapat sebagai luasan konduktor penuh atau jaringan kawat, dimana jarak antar kawat < λ gelombang mikro. Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

Gelombang Mikro

56

Pandu gelombang parabola mempunyai efisiensi yang berkaitan dengan pengurangan daya pancar terhadap jarak pancar. Makin jauh penjalaran, daya gelombang akan makin berkurang oleh kemungkinan pelebaran pancaran, hamburan udara, serapan oleh bahan medium yang dilewatinya dsb. Untuk mencapai jangkau pemancaran yang jauh diperlukan daya pancar yang kuat dan permukaan parabola yang lebih luas. Untuk pemancar gelombang TV lokal, kesegala arah (dalam kota) digunakan pemancar berupa antena tegak seperti pamancar radio. Gelombang mikro TV dapat memancar bebas kesemua sudut dengan sumbu tegak antena. Soal. 1. Gelombang mikro pola TE dengan λ = 3 cm, dimasukkan pada pandu gelombang silinder yang mempunyai diameter 5 cm. Tuliskan semua komponen medan listrik dan magnet, untuk ragam TE21. Diketahui amplitudo komponen B0 z = 2 ⋅10 −10 T. 2. Gelombang mikro pola TM dengan λ = 2,5 cm, dimasukkan dalam pandu gelombang silinder dengan diameter 4 cm. Tuliskan semua komponen medan listrik dan magnet untuk ragam TM21. Diketahui amplitudo komponen E0 z = 3 ⋅10 −2 V/m. Oleh: Dr. Mitrayana, M.Si., E-mail: [email protected]

Gelombang Mikro

57

Gelombang Mikro

3. Dari soal no 1 hitunglah impedansi dan tenaga gelombang mikro dalam pandu gelombang tersebut. 4. Apabila pandu gelombang silinder dengan jari-jari = R diberikan tutup ditempat sejauh h dari gelombang mikro dimasukkan, hitunglah panjang gelombang yang bersesuaian (resonansi) dengan pola TE123 yang dapat dimasukkan dalam rongga tersebut.



58

Pandu Gelombang. Bila gelombang hanya berupa sinus saja, dapat dituliskan, (3.30) Bila pers.(3.30) dimasukkan ke pers.(3

Recommend Documents