Bab 4 PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK
4.1
Kasus 2 buah Balok
Dalam bahasan ini akan dipelajari proses transmisi dan refleksi yang terjadi untuk kasus 2 buah balok dengan bentuk geometri yang identik, yaitu dengan tinggi h0 − h1 , lebar L1 dan antara kedua balok terpisah pada jarak L0 .
Gambar 4.1: Skema pemecah gelombang berupa 2 buah balok
25
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK
26
Perhatikan Gambar 4.1, misalkan gelombang datang berupa gelombang monokromatik yang menjalar dari arah kiri dinyatakan sebagai A0 ei(k0 x−ωt) , kemudian melalui pemecah gelombang berupa sebuah balok yang ditanam di dasar laut, maka terjadi perubahan kedalaman (discontinuous depth) di titik x = 0, x = L1 , x = L0 + L1 dan x = L0 + 2L1 sehingga kedalaman h(x) dapat dinyatakan h , berlaku untuk 0 < x < L atau (L + L ) < x < (L + 2L ); 1 1 0 1 0 1 h(x) = h , berlaku untuk x yang lain. 0 (4.1.1) dengan h1 < h0 . Ketika gelombang datang A0 ei(k0 x−ωt) melalui kedalaman h1 , maka sebagian gelombang tersebut akan ditransmisikan dan sebagian lagi akan direfleksikan berbalik arah. a0 ei(k1 x−ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kanan yang menjalar di atas kedalaman h1 dan r0 e−i(k0 x+ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kiri yang menjalar di atas kedalaman h0 . Ketika gelombang superposisi a0 ei(k1 x−ωt) melalui kedalaman awal h0 , maka gelombang tersebut akan ditransmisikan dan sebagian direfleksikan, b0 e−i(k0 x+ωt) menyatakan superposisi gelombang ke arah kiri, dan A1 ei(k0 x−ωt) menyatakan superposisi gelombang ke arah kanan. Kemudian, gelombang superposisi A1 ei(k0 x−ωt) akan melalui kedalaman h1 , sehingga juga akan ditransmisikan dan sebagian direfleksikan. a1 ei(k1 x−ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kanan dan r1 e−i(k0 x+ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kiri. Hal yang serupa terjadi saat gelombang superposisi a1 ei(k1 x−ωt) melalui kedalaman h0 , maka gelombang tersebut akan ditransmisikan dan direfleksikan. tei(k0 x−ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kanan dan b1 e−i(k1 x+ωt) menyatakan superposisi gelombang ke kiri. Sehingga profil gelombang tiap saat t dapat dinyatakan sebagai η(x, t) = e−iωt v(x)
(4.1.2)
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK
27
dimana A0 eik0 x + r0 e−ik0 x , a eik1 x + b0 e−ik1 x , 0 v(x) = A1 eik0 (x−L1 ) + r1 e−ik0 (x−L1 ) , a1 eik2 (x−(L1 +L0 )) + b1 e−ik2 (x−(L1 +L0 )) , ik0 (x−(2L1 +L0 )) te ,
4.1.1
x < 0; 0 ≤ x < L1 ; L 1 ≤ x < L 1 + L0 ;
(4.1.3)
L1 + L0 ≤ x < 2L1 + L0 ; 2L1 + L0 ≤ x.
Ukuran Balok yang Optimal
Kemudian akan dicari nilai L0opt dan L1opt yang akan memberikan nilai gelombang transmisi minimum melalui argumentasi fisis, karena jika dilakukan secara analitik akan menghasilkan banyak persamaan dan cukup sulit dalam perhitungan.
Gambar 4.2: Proses transmisi refleksi pada model 2-balok
Berikut ini adalah interpretasi fisis untuk kasus pemecah gelombang berupa 2 buah balok. Seperti terlihat pada Gambar 4.2 yaitu ketika gelombang membentur balok di x = 0, sebagian dari gelombang akan ditransmisikan ke 0 < x < L1 , dan sebagian lagi akan direfleksikan berbalik arah. Saat gelombang transmisinya mencapai x = L1 , maka akan terjadi proses yang sama, yaitu gelombang akan terpecah menjadi dua bagian, sebagian akan ditransmisikan menuju L1 < x < L1 + L0 , dan sebagian lagi direfleksikan menuju 0 < x < L1 .
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK
28
Kemudian saat gelombang transmisinya mencapai x = L1 +L0 , maka akan terjadi proses yang sama, yaitu gelombang akan terpecah menjadi dua bagian, sebagian akan ditransmisikan menuju L1 + L0 < x < 2L1 + L0 , dan sebagian lagi direfleksikan menuju L1 < x < L1 + L0 . Saat gelombang transmisinya mencapai x = 2L1 + L0 , maka akan terjadi proses yang sama, yaitu gelombang akan terpecah menjadi dua bagian, sebagian akan ditransmisikan menuju x > 2L1 +L0 , dan sebagian lagi direfleksikan menuju L1 +L0 < x < 2L1 + L0 . Proses terpecahnya gelombang menjadi gelombang transmisi dan refleksi terjadi berulang kali untuk waktu yang tidak terbatas. Seperti telah dijelaskan pada bab sebelumnya pada kasus 1 balok, maka dapat dicari nilai amplitudo transmisi yang minimum ketika interferensi gelombang tersebut destruktif (saling melemahkan). Maka agar | At | minimum haruslah memenuhi L opt = 1 λ 1 4 1 L opt = 1 λ 0
4.1.2
4
0
Perbandingan Antara Hasil Analitik dan Numerik
Untuk melihat apakah argumentasi fisis berlaku maka akan diberikan simulasi data untuk perbandingan argumentasi fisis dan numerik. Berikut dilakukan perhitungan secara numerik dengan amplitudo gelombang datang A = 1, gravitasi g = 10, dan frekuensi ω = 1. Perhitungan numerik menggunakan metode Lax, dipilih selang variabel ruang [0,150] dan selang waktu [0,22]. Perhatikan Tabel 4.1, untuk kasus 2 balok dengan pemilihan lebar balok L1opt = 10 diperoleh pengurangan amplitudo yang maksimal, yaitu sebesar 31 % saat jarak antar kedua balok L0 = 15.7. Kemudian dilakukan perhitungan numerik dengan pemilihan L0opt = 15.7, perhatikan Tabel 4.2, dapat dilihat bahwa untuk L0opt = 15.7 diperoleh pengurangan amplitudo yang maksimal sebesar 31% saat lebar balok L1 = 10.
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK L1opt 10
L0
∆t = 0.1, ∆x = 1
15.7 -0.6794 atau 0.6975
29
Pengurangan amplitudo 31%
18
0.6896 atau 0.7158
30%
20
0.7296 atau 0.7528
26%
22
0.7871 atau 0.8041
20%
24
0.8502 atau 0.8365
15%
26
0.8960 atau 0.8523
13%
28
0.9291 atau 0.8635
11%
30
0.9471 atau 0.8682
9%
31.4
0.9487 atau 0.8678
9%
34
0.9306 atau 0.8563
11%
Tabel 4.1: Hasil numerik untuk kasus 2 buah balok dengan lebar L1opt untuk beberapa nilai L0 L1
L0opt
∆t = 0.1, ∆x = 1
Pengurangan amplitudo
10
15.7
0.6794 atau 0.6975
31%
12
0.7090 atau 0.7209
28%
14
0.8318 atau 0.8421
16%
16
0.9341 atau 0.9048
7%
18
1.0096 atau 0.9417
6%
20
1.0364 atau 0.9551
5%
22
1.0122 atau 0.9375
6%
Tabel 4.2: Hasil numerik untuk kasus 2 balok yang terpisah dengan jarak L0opt untuk beberapa nilai L1 Dari hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa argumentasi fisis juga berlaku pada kasus 2 buah balok. Sehingga dengan pemasangan pemecah gelombang berupa 2 buah balok, diperoleh ukuran optimal balok dengan lebar balok L1opt = 10 dan jarak antar balok L0opt = 15.7 yang dapat mengurangi amplitudo gelombang datang sebesar 31%.
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK
4.2
30
Kasus n-buah Balok
Pada kasus 2 buah balok dapat dicari ukuran optimal balok yang dapat menghasilkan amplitudo gelombang transmisi yang minimum. Dari kasus 2 buah balok dapat dikembangkan rumusan untuk kasus n-buah balok untuk n > 2 dengan masing-masing balok identik.
Gambar 4.3: Skema pemecah gelombang berupa n-buah balok
Perhatikan Gambar 4.3, untuk kasus n-buah balok identik maka dapat dicari ukuran balok optimal yang akan memberikan amplitudo transmisi yang kecil. Seperti telah dijelaskan pada kasus 2 buah balok, maka dapat dicari nilai amplitudo transmisi yang minimum ketika interferensi gelombang tersebut destruktif atau (saling melemahkan). Pada kasus n-buah balok, agar interferensi gelombang destruktif maka • gelombang transmisi pada balok 1,...,n dengan kedalaman h1 berinterferensi destruktif jika 2L1 = (m + 12 )λ1 dengan λ1 =
2π , k1
m = 0, 1, 2, ...
• gelombang transmisi pada jarak antar kedua balok dari balok 1,...,n dengan kedalaman h0 berinterferensi destruktif jika 2L0 = (m + 21 )λ0 dengan λ0 =
2π , k0
m = 0, 1, 2, ... sehingga gelombang transmisi setelah melalui n-buah balok mempunyai amplitudo minimum.
BAB 4. PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK
31
Dari interpretasi fisis pada kasus 2 buah balok diperoleh rumusan 1 1 L1 opt = λ1 dan L0 opt = λ0 4 4 sehingga untuk kasus n-buah balok yang identik juga berlaku hal yang sama. Maka agar | At | minimum haruslah memenuhi L opt = 1 λ 1 4 1 L opt = 1 λ 0
4
0
Dari perhitungan numerik pada kasus 2 buah balok diperoleh ukuran optimal balok, yaitu L1opt = 10 dan L0opt = 15.7. Kemudian dari hasil tersebut digunakan untuk simulasi kasus n-balok, yang memberikan hasil bahwa untuk pemasangan 3 buah balok, dari perhitungan numerik diperoleh bahwa amplitudo gelombang datang dapat dikurangi sebesar 40%, sedangkan untuk 4 buah balok amplitudo gelombang datang berkurang sebesar 51%.
