PERANCANGAN REFLEKTOR GELOMBANG BERUPA DERETAN N-BALOK, Sebuah Tinjauan Matematis
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh: Hendrik Darmawan Chendra 10103075
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007
PERANCANGAN REFLEKTOR GELOMBANG BERUPA DERETAN N-BALOK, Sebuah Tinjauan Matematis
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh: Hendrik Darmawan Chendra 101 03 075
Telah diperiksa dan disetujui, Bandung, Juni 2007 Dosen pembimbing
Dr. Sri Redjeki Pudjaprasetya NIP. 131835249
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007
Concern for future cares and problems will only brings us pain and sorrow; The Lord has told us not to worry about the troubles of tomorrow -Sper-
Serahkanlah kuatirmu kepada TUHAN. maka Ia akan memelihara engkau! Tidak untuk selama-lamanya dibiarkanNya orang benar itu goyah. (Mazmur 55:23)
Tugas Akhir ini kudedikasikan kepada : Papah, Mamah, Jelly, Ricky dan semua orang yang kukasihi
Abstrak Tugas akhir ini membahas tentang deretan balok terendam sebagai reflektor gelombang dengan menggunakan persamaan Shallow Water Equation (SWE) linier. Gelombang laut setiap melewati daerah dengan kedalaman yang berbeda akan terpecah menjadi gelombang refleksi dan transmisi. Sifat inilah yang pertama-tama dikaji secara analitik guna mencari ukuran optimal dari 1 balok terendam sebagai reflektor gelombang. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa untuk balok dengan ketinggian tertentu lebar optimumnya merupakan kelipatan bilangan genap dari setengah panjang gelombang. Studi numerik dilakukan dengan menggunakan metode LaxWendroff dengan partisi yang berbeda pada sumbu x untuk menghindari munculnya numerical diffusion error. Hasil analitik dan numerik menunjukkan kesesuaian, baik secara kualitatif maupun kuantitatif. Selanjutnya hasil dari satu balok dapat diperluas untuk kasus deretan n-balok dengan ukuran dan jarak antar balok yang sebarang. Untuk deretan n-balok identik dengan ketinggian 60% dari kedalaman semula dan lebar yang optimal, diperoleh hasil sebagai berikut. Deretan 2-balok dapat mereduksi amplitudo gelombang datang sebesar 27%, sedangkan deretan 4balok dapat mereduksi amplitudo sebesar 50%. Hal ini berarti deretan balok terendam dapat berfungsi sebagai penahan gelombang. Untuk dapat sampai pada aplikasinya perlu dipelajari pula pengaruh adanya pantai yang dimisalkan berjarak Lp terhadap deretan n-balok. Jika jarak Lp sama dengan bilangan genap kali setengah panjang gelombang datang maka gelombang akan menabrak pantai dengan amplitudo paling besar.
iv
Abstract This final project studies submerged parallel bars as wave reflector using linear Shallow Water Equation (SWE). Each time an incoming wave enters a region with a change of depth, it will scatter into a transmitted wave and a reflected wave. This phenomena is first studied in order to find an optimal width of a one-bar wave reflector with a certain height. The result show that the optimal width of a bar is an odd number times plus one half multiple of wavelength. Numerical study is carried using the Lax-Wendroff discretization scheme with varying partitions along spatialaxis in order to avoid numerical diffusion error. Comparison between analytical and numerical solutions shows a good agreement qualitatively and quantitatively. The result from one-bar can be generalized into n-bar wave reflector. For a system of 2-bar wave amplitude is reduced by 27%, and for 4-bar system, incoming wave amplitude is reduced by 50%. We conclude that when the wave number of the incident wave and the bars are matched, the amplitude of transmitted wave can decrease monotonically towards the shore, suggesting that a parallel bars can serve as a breakwater. We also study the effect of shore where its distance from the bar is Lp . We conclude that if Lp is half of the wave length then the transmitted wave will hit the shore with the largest amplitude.
v
Prakata Puji Syukur pada Tuhan Yesus, karena berkat karunia-Nya sajalah penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat pada waktunya. Tugas Akhir ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat kelulusan pada Program Studi Matematika, Institut Teknologi Bandung. Tugas akhir yang berjudul ” Perancangan Reflektor Gelombang Berupa Deretan N-Balok, Sebuah Tinjauan Matematis ” ini disusun atas dasar ketertarikan penulis untuk mengetahui penerapan matematika pada dunia nyata. Dalam penyusunan tugas akhir ini banyak sekali bantuan yang diterima oleh penulis juga ketika penulis menjalani masa perkuliahan di Institut Teknologi Bandung. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Suritati Wiredjo dan David S kedua orang tua penulis yang selalu memberikan perhatian, kasih sayang selama ini. Tak dapat penulis balas semua kebaikan mamah, papah selain dengan menyelesaikan tugas akhir ini. 2. Dr. Sri Redjeki Pudjaprasetya, dosen pembimbing Tugas Akhir penulis. Terima kasih atas perhatian, kesabaran dalam membimbing penulis. 3. Dr.Andonowati, Dr.Yudi Soeharyadi dan Dr.Kuntjoro Adji yang telah bersedia menjadi dosen penguji dan memberi banyak masukan pada tugas akhir ini. 4. Dr.Johanes Matheus Tuwankotta, dosen wali penulis selama kuliah di ITB ini. Terima kasih atas bimbingan dan nasehat selama penulis menjalani kuliah di ITB.
vi
PRAKATA
vii
5. Tante Aan, Om Afat , Aih yang membantu penulis dalam hal ekonomi sehingga penulis sampai menyelesaikan tugas akhir ini.Tuhan memberkati. 6. Adik-adik penulis, Jelly dan Ricky, jadilah orang yang lebih baik daripada kakak kalian ini dan keluarga besar penulis di Bandung, Surabaya, Tasik. 7. Lydia atas segala perhatian dan supportnya selama penulis mengerjakan tugas akhir ini. 8. Teman-teman Kriskat Matematika 2003, Willy, Pangi, Eben, Lona, Manes, Riswan, Yohanna, Stefanus, Samuel, Patrick, Andrew, Uthe, Freddy, Vania. 9. Teman-teman satu bimbingan penulis, Viska, Ayu dan Gustian. Terima kasih atas dukungannya selama ini. 10. Keluarga matematika itb 2003. Great to have family like you guys. Semoga pertemanan kita semua tidak lekang oleh waktu. Teman-teman di Penelitian HIMATIKA yang telah menjadi keluarga penulis di tingkat 4, terimakasih banyak. Agus atas pinjaman laptopnya, Gita dan Erdi atas semua bantuannya dan pinjaman komputer. 11. Semua anggota HIMATIKA ’02,03 sampai 06 yang telah membuat penulis tidak hanya belajar matematika, tapi belajar berorganisasi dan berkawan. Kawan-kawan penghuni himpunan yang menemani hari-hari dimana penulis menyelesaikan tugas akhir ini. Hail HIMATIKA! 12. Teman-teman penulis di SMA 2 Bandung, pembimbing rohani penulis bang andri, k gia atas nasihat-nasihatnya. 13. Semua dosen matematika ITB atas ilmu yang sudah diberikan , staff TU matematika terutama bu Diah atas perhatiannya. 14. Serta seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu
PRAKATA
viii
Seluruh perhatian dan bantuan dari bapak, ibu dan teman-teman sekalian terhadap penulis sangatlah berarti dan tak akan penulis lupakan. Tuhan memberkati. Saran dan kritik terhadap tugas akhir ini akan sangat penulis hargai. Akhir kata semoga tugas akhir ini dapat berguna bagi para pembaca pada umumnya dan juga bagi penulis khususnya. Bandung, Juni 2007
Penulis
Daftar Isi Halaman Pengesahan
ii
Abstrak
iv
Abstract
v
Prakata
vi
1 Pendahuluan
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6
Sistematika Penyajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Landasan Teori
5
2.1
Persamaan Air Dangkal (SWE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Metoda Beda Hingga
7
2.3
Analisa Kestabilan Persamaan Beda
2.4
Kekonsistenan Persamaan Beda dengan Persamaan Diferensial Par-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
sialnya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.5
Kekonvergenan Persamaan Beda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
ix
DAFTAR ISI
x
3 Reflektor Gelombang 1 balok
12
3.1
Hasil Analitik Reflektor Gelombang Berupa Satu Balok . . . . . . . . 12
3.2
Diskretisasi SWE Menggunakan Metode Lax . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3
Simulasi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4
Perbandingan antara Hasil Analitik dan Numerik . . . . . . . . . . . 25
3.5
Metode Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6
Simulasi Numerik Menggunakan Metode Lax-Wendroff . . . . . . . . 29
4 Reflektor Gelombang Berupa Serangkaian Balok
31
4.1
Kasus 2 Balok
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2
Desain Reflektor Gelombang n-Balok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3
Kaitan antara Deretan n-Balok Periodik dengan Fenomena Resonansi Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4
Contoh Perancangan Reflektor Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Pengaruh Adanya Pantai Terhadap Reflektor Gelombang
40
5.1
Berbagai Sifat Pantai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2
Jarak Antara Balok Dengan Garis Pantai . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6 Kesimpulan dan Saran
43
Daftar Pustaka
45
Daftar Gambar 2.1
Domain fluida keberlakuan SWE dengan dasar tidak rata . . . . . . .
3.1
Daerah pengamatan dengan 1 balok terendam selebar L sebagai reflektor gelombang
3.2
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
kurva periodik | At |2 (atas) dan | Ar |2 (bawah) sebagai fungsi dari L. Di sini digunakan h1 = 0.4h0 dengan h0 = 10 . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3
Kurva | At | sebagai fungsi dari
h1 . h0
Di sini digunakan lebar optimum
balok L = 14 λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4
Hasil simulasi numerik SWE linier dengan 1 balok terendam, terlihat pada gambar gelombang masuk dari kiri dan setelah melalui balok mengalami proses perpecahan menjadi gelombang refleksi dan transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5
Daerah λ pada bidang kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6
Hasil simulasi numerik menggunakan metode Lax-Wendroff dengan akurasi O(4x2 , 4t2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1
Domain Fluida dengan dua balok tak identik sebagai reflektor gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2
Hasil simulasi numerik dengan L1opt = 10 dan L0opt = 15, terlihat pada gambar amplitudo gelombang datang berkurang sebesar 27%
. 33
4.3
Domain fluida dengan n-balok sebagai reflektor gelombang . . . . . . 34
4.4
Deretan balok sepanjang LD dengan tinggi (h0 − h1 ) dan lebar L1 . . 36
4.5
Dasar sinusoidal yang menyebabkan resonansi bragg jika K = 2k . . . 36 xi
DAFTAR GAMBAR 4.6
xii
Dasar laut berupa deretan balok yang bersifat periodik dengan periode L1 + L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1
Adanya pantai berjarak Lp dari deretan balok . . . . . . . . . . . . . 42
Daftar Tabel 3.1
Tabel perbandingan antara hasil analitik dengan numerik menggunakan grid yang berbeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1
Hasil numerik untuk kasus 2 buah balok dengan lebar L1opt untuk beberapa nilai L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
xiii
