PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK TERENDAM
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh: Haryuninglistia Setiantini 101 03 066
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007
PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK TERENDAM
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh: Haryuninglistia Setiantini 101 03 066
Telah diperiksa dan disetujui, Bandung, Juni 2007 Dosen pembimbing
Dr. Sri Redjeki Pudjaprasetya NIP. 131835249
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007
Let no one ignorant of mathematics enter here (Plato)
We are not meant for each other, and being friends is the best thing for us, there isn’t a single thing we have in common, so I claimed there’s no way we can be lovers, but I don’t want to make excuses anymore. (To You..)
We need to learn to love ourselves first, in all our glory and our imperfections. If we cannot love ourselves, we cannot fully open to our ability to love others or our potential to create. Evolution and all hopes for a better world rest in the fearlessness and open-hearted vision of people who embrace life. (Lao Tzu)
Abstract The incoming wave that propagates towards the shore can have a large amplitude because of entering a region with shallower depth. The large amount of the amplitude can cause a destruction of the shore. To prevent the destruction, we build a series of bars on the bottom of the sea bed in order to reduce the amplitude of the incoming wave. In this final project we study a reduction of the amplitude of an incoming wave due to submerged parallel bars as a wave reflector or a barrier using the linear Shallow Water Equation. First, we recall the analytical study from literature about finding an optimal width of a one-bar wave reflector with a specific height. Comparison between analytical and numerical solutions using the Lax discretization method shows a good agreement, qualitatively and quantitatively. Using an analogous argument as in the case of one-bar wave reflector, we can obtain an optimal dimension of a two-bar wave reflector. Numerical computations are made and they confirm this optimal dimension. The analogous argument can be used to find an optimal dimension of a wave reflector that consist of n-bar. On the other hand, we also study about the effect of the slowly varying depth to the wave above. The characteristic of wave that propagate through the series of bars is different to those that propagate through slowly varying depth. However those have the depth changed, the series of bars can reduce the amplitude of the incoming wave. On the contrary, the slowly varying depth cause the incoming wave being transmitted completely and no parts of the wave being reflected.
iv
Abstrak Gelombang datang dari laut yang bergerak ke arah pantai memiliki amplitudo yang besar sebagai akibat dari penjalarannya menuju kedalaman yang semakin dangkal. Besarnya amplitudo gelombang datang berpotensi menyebabkan kerusakan di pantai. Salah satu penanggulangan yang dapat dilakukan adalah dengan membangun pemecah gelombang berupa serangkaian balok terendam yang berfungsi untuk memperkecil amplitudo gelombang yang menuju ke arah pantai. Tugas akhir ini mempelajari tentang pemecah gelombang berupa serangkaian balok yang berfungsi sebagai penahan gelombang dengan menggunakan persamaan air dangkal linier (Linear SWE). Mula-mula ditentukan lebar optimal dari pemecah gelombang berupa satu balok dengan ketinggian tertentu. Perbandingan antara hasil analitik dan numerik yang dilakukan dengan metode Lax menunjukkan kesesuaian, baik secara kualitatif maupun kuantitatif. Dengan menggunakan argumentasi yang serupa seperti pada kasus satu balok, dapat diperoleh ukuran optimal dari pemecah gelombang berupa 2-balok. Simulasi numerik dilakukan, dan mendukung ukuran optimal tersebut. Argumentasi yang serupa dapat dikembangkan untuk mencari ukuran optimal bagi pemecah gelombang yang terdiri dari n-buah balok. Selain itu juga dibahas kasus kedalaman yang berubah secara lambat (slowly varying depth) terhadap gelombang yang menjalar di atasnya. Perilaku gelombang yang mengalami perubahan kedalaman akibat adanya balok berbeda dengan perilaku gelombang yang melalui slowly varying depth. Jika pada kasus gelombang melalui balok gelombang akan terpecah, sedangkan melalui slowly varying depth, semua gelombang akan ditransmisikan dan tidak ada bagian gelombang yang direfleksikan.
v
Prakata Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah S.W.T atas karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini berjudul ”Pemecah Gelombang Berupa Serangkaian Balok Terendam” yang disusun untuk memenuhi salah satu persyaratan mengikuti sidang sarjana Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung. Penulis berharap tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pengembangan ilmu matematika. Penulis menyadari bahwa keberhasilan penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini tidak terlepas dari dukungan, saran, kritik serta doa dari berbagai pihak. Untuk itu penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Dr. Sri Redjeki P sebagai dosen pembimbing. Terima kasih atas bimbingannya selama penyusunan tugas akhir ini. 2. Dr. Leo. H. Wiryanto sebagai dosen penguji pada seminar 1. Terima kasih untuk semua pertanyaan, saran dan kritiknya. 3. Dr. Agus Yodi G sebagai dosen penguji pada seminar 2. Terima kasih untuk semua pertanyaan, saran dan kritiknya. 4. Dr. R.A.D. Kooswinarsinindyah sebagai dosen penguji pada seminar 2. Terima kasih untuk semua pertanyaan, saran dan kritiknya. 5. Dr. Rieske Hadianti sebagai dosen wali penulis. Terima kasih atas saran dan bimbingan selama penulis mengikuti kuliah.
vi
PRAKATA
vii
6. Warsoma Djohan, M.Si. Terima kasih atas bantuannya dalam penyelesaian tugas akhir penulis. 7. Dr. Saladdin Utunggadewa dan Dr. Yudi Soeharyadi selaku ketua dan wakil ketua Program Studi Matematika. 8. Para dosen Program Studi Matematika ITB atas ilmu yang selama ini telah diberikan kepada penulis. 9. Papa, Mama, Adikku Wiwid dan segenap keluarga penulis, terima kasih untuk semua kasih sayang dan dukungan yang diberikan kepada penulis. 10. Jimmy Stefanus Repie, terima kasih untuk semangat, kasih sayang dan perhatiannya. 11. Angga B 1402 PC, terima kasih untuk doa, semangat dan impian terindahnya. 12. Mbak Sinta dan Dik Pandhu, terima kasih telah menjadi kakak dan atas bantuan materi, semangat,dan dukungannya. 13. Haykal, terima kasih untuk nasehat dan kata-kata bijaknya. 14. Sahabat tercinta ”Beruk-beruk”, Vania, Sarah, Lona dan Rieska. Terima kasih atas persahabatan, dukungan, semangat, dan kenangan termanis. 15. Sahabat tercinta, terutama Viska, Manes, Tami, Imelda. Terima kasih atas persahabatan, dukungan, dan kenangan termanis. 16. Teman-teman MA’03, terutama Yohanna, Riswan, Andrew, Stefanus, Ijal, Amir, Uthe, Eka, Fiska, Islah, Savit, Rahma, Erma, Witha, Lido, dan Hendrik atas dukungan, bantuan pemikiran dan masukan dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 17. Teman-teman setiap weekend, Ardaya, Reza, Etienz, Grace. Terima kasih untuk waktunya.
PRAKATA
viii
18. Sahabat kecilku, Cici dan Grethy, terima kasih atas saran dan dukungannya. 19. Teman-teman dan sahabat, Reza, Ayu, Wido, Putti, Dita, Asta, Ina, Nanien, Kuntum, Nancy, Bekti, Dini, Tiwi, dan Risti, terima kasih atas persahabatan dan dukungannya. 20. Achy, Surya dan keluarga, terima kasih atas semangat dan bantuannya. 21. Ikan cupang biru muda, Hunny and Bunny kelinciku, A 1872 A yang telah setia menemani kemana pun penulis pergi. 22. Staf TU, Perpustakaan, dan Laboratorium Program Studi Matematika ITB. 23. Pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan penulis satu per satu. Penulis menyadari tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun bagi kesempurnaan tugas akhir ini. Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak yang membutuhkan. Bandung, Juni 2007
Penulis
Daftar Isi Abstract
iv
Abstrak
v
Prakata
vi
1 PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
Kerangka Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6
Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 LANDASAN TEORI 2.1
5
Penurunan Persamaan Air Dangkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Hukum Konservasi Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.2
Persamaan Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2
Linierisasi Persamaan Air Dangkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3
Solusi Monokromatik Persamaan Air Dangkal Linier Untuk Dasar Rata 12
3 PEMECAH GELOMBANG BERUPA 1 BUAH BALOK
14
3.1
Gelombang Transmisi dan Refleksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2
Ukuran Balok yang Optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ix
DAFTAR ISI 3.3
x
Perbandingan Antara Prediksi Analitik dan Numerik . . . . . . . . . 21
4 PEMECAH GELOMBANG BERUPA SERANGKAIAN BALOK 25 4.1
4.2
Kasus 2 buah Balok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.1
Ukuran Balok yang Optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2
Perbandingan Antara Hasil Analitik dan Numerik . . . . . . . 28
Kasus n-buah Balok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 PERILAKU GELOMBANG AKIBAT KEDALAMAN YANG BERUBAH SECARA LAMBAT 32 6 KESIMPULAN
37
Daftar Pustaka
39
Daftar Tabel 3.1
Perbandingan antara nilai |t/A| yang diperoleh secara analitik dan numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1
Hasil numerik untuk kasus 2 buah balok dengan lebar L1opt untuk beberapa nilai L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2
Hasil numerik untuk kasus 2 balok yang terpisah dengan jarak L0opt untuk beberapa nilai L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
xi
Daftar Gambar 2.1
Domain pengamatan dengan batas kiri x1 (t) dan batas kanan x2 (t) .
6
2.2
Gaya tekan pada partikel fluida di posisi z . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.1
Skema pemecah gelombang berupa 1 buah balok . . . . . . . . . . . . 15
3.2
Kurva |t/A|2 (kurva atas), |r/A|2 (kurva bawah) sebagai fungsi dari L dengan pemilihan h0 = 10, h1 = 0.4h0 , ω = 1 dan g = 10 . . . . . . 19
3.3
Kurva |t/A| sebagai fungsi dari
h1 h0
dengan pemilihan ω = 1, lebar balok Lopt
dan g = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4
Proses transmisi refleksi pada model 1-balok . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5
Perbandingan |t/A| analitik dan numerik . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1
Skema pemecah gelombang berupa 2 buah balok . . . . . . . . . . . . 25
4.2
Proses transmisi refleksi pada model 2-balok . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3
Skema pemecah gelombang berupa n-buah balok . . . . . . . . . . . . 30
5.1
Skema slowly varying depth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
xii
