P esnost nivela ních p evýšení ur ených digitálním nivela ním p ístrojem Leica SPRINTER

ýESKÉ VYSOKÉ UýENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE

PĜesnost nivelaþních pĜevýšení urþených digitálním nivelaþním pĜístrojem Leica SPRINTER

Accuracy of Diffirences of Elevation Deterrmined by Levelling and Digital Level Instrument Leica SPRINTER

Diplomová práce

Studijní program: Studijní obor:

Geodézie a kartografie Geodézie a kartografie

Vedoucí práce:

Dr. Ing. ZdenČk SkoĜepa

Jakub Sadílek

Praha 2012

MístopĜísežné prohlášení: Prohlašuji , že jsem diplomovou práci vypracoval samostatnČ, pouze s použitím uvedené literatury a poskytnutých konzultací.

V Praze dne 5. kvČtna 2012 vlastnoruþní podpis autora

Abstrakt: Diplomová práce je zamČĜena na zjištČní pĜesnosti nivelaþního pĜístroje Leica Sprinter 250M a posouzení, zda je tento pĜístroj vhodný pro pĜesné mČĜení.

Klíþová slova: Nivelace, nivelaþní pĜístroj Leica Sprinter 250M, stĜední chyba kilometrová, metoda nejmenších þtvercĤ.

Abstract: This thesis focuses on the accuracy of leveling Leica Sprinter 250M and an assessment of whether this device is suitable for accurate measurement.

Key words: Levelling, Level instrument Leica Sprinter 250M, Standart km deviation, Method least squares.

PodČkování: Na tomto místČ bych rád podČkoval Dr. Ing. ZdeĖku SkoĜepovi za vedení diplomové práce a také za obČtovaný þas, trpČlivost a cenné rady nejen pĜi vypracování této diplomové práce.

RovnČž patĜí mĤj dík vedoucí katedry železniþních staveb doc. Ing. HanČ KrejþiĜíkové, CSc. za pĤjþení pĜístroje.

Obsah x

c

Obsah : Kap. 1 Úvod

7

Kap. 2 PĜístroj Leica Sprinter 250M

9

Kap. 3 Nivelaþní chyby

11

3.1 Hrubé chyby

11

3.2 Nevyhnutelné chyby

11

3.2.1 Systematické chyby

11

3.2.2 Náhodné nivelaþní chyby

13

Kap. 4 Zkouška vodorovnosti zámČrné pĜímky nivelaþního pĜístroje

15

Kap. 5 Charakteristiky pĜesnosti nivelaþní sítČ

17

Kap. 6 Metoda nejmenších þtvercĤ

22

6.1 Podmínkové vyrovnání

22

6.1.1 ěešení vyrovnání podmínkových mČĜení 6.2 ZprostĜedkující vyrovnání

22 25

6.2.1 OdstranČní sloupce matice A

27

6.2.2 Dekompozice matice

28

Kap. 7 ýíselné výsledky mČĜení

34

ZávČr

41

Literatura

42

Kap. 8 Seznam pĜíloh

43

PĜílohy

44

-6-

1. Úvod x

c

Kap. 1 Úvod Cílem této diplomové práce bylo porovnat a zjistit možnosti pĜístroje Leica Sprinter 250M s 3m kódovou latí (v jednom kusu) pro úþely pĜesného mČĜení - pĜesná nivelace ve IV. Ĝádu. Experiment byl proveden v nivelaþní síti (obr. 1.1 a obr. 1.2), která již byla v minulosti zamČĜena pĜesnČjším pĜístrojem Leica DNA 03, výsledky jsou uvedeny v [1]. Výsledky dosažené pĜi mČĜení obČma pĜístroji jsou v této práci porovnány. Nivelaþní pĜístroj Sprinter (obr. 2.2) patĜí do kategorie stavebních pĜístrojĤ. Tento pĜístroj spolu s teleskopickou hliníkovou nivelaþní latí (obr. 2.1) se používá pro bČžná technická mČĜení - technická nivelace. PĜi použití latČ z jednoho kusu výrobce udává stĜední chybu kilometrovou obousmČrné nivelace 0,7 mm. PĜístroj by tedy mČlo být možné použít pro "pĜesnou nivelaci", tzn. sledování výškových deformací, urþování výšek základních výškových bodĤ stavby. MČĜení probČhlo podle schématu ZZPP, tedy každá nivelaþní zámČra byla mČĜena dvakrát. Za tímto úþelem byl využit program pĜístroje pro poĜadovou nivelaci ZPPZ (angl. BFFB), postup programu tedy nebyl dodržen, ale pro zobrazení odchylky mezi dvojím cílením pĜímo pĜi mČĜení to nevadilo. Indexová chyba nivelaþních latí se nevyskytuje, aþ nemají všechny poĜady sudý poþet sestav, protože byla k dispozici pouze jedna nivelaþní laĢ. Nivelaþní laĢ použita pro mČĜení byla celistvá sklolaminátová s kódovou stupnicí s roztažností uvedenou výrobcem 10 ppm/°C (zmČna 10 µm na 1°C). Tato laĢ je pomČrnČ úzká a má malá držadla, takže se drží hĤĜe než laĢ urþená pro pĜesnou nivelaci s výsuvnými podpČrami. Nivelaþní laĢ byla na pĜestavových bodech pokládána na tČžkou nivelaþní podložku, nivelace byla provedena na zpevnČném asfaltovém nebo betonovém povrchu. PĜístroj byl vždy upevnČn na tČžký kvalitní dĜevČný stativ se zasouvacími nohami, protože stativ s pevnými nohami, který se obvykle používá pro pĜesnČjší nivelaþní práce, nebyl dostupný. MČĜické práce probíhaly rychle a v nesluneþném prostĜedí, takže nehrozilo kroucení nohou. MČĜení nivelaþních sestav tam a zpČt bylo provádČno v jiný den. Veškeré þíselné výpoþty byly provedeny v Matlabu (programu pro vČdeckotechnické výpoþtu) a zdrojové kódy jsou souþástí pĜíloh.

-7-

1. Úvod x

c

Parametry nivelaþní sítČ: celková délka nivelované tratČ:

2843,68 m

prĤmČrná délka nivelaþní zámČry:

17,45 m

poþet nivelaþních oddílĤ:

9

poþet sestav všech oddílĤ:

81

poþet bodĤ nivelaþní sítČ:

6

Body nivelaþní sítČ:

ýíslo bodu 35 36 34 1858 2010 2013

Oznaþení bodĤ podle obr 1.1 a [1] A B C D E F

Obr. 1.1 Schéma nivelaþní sítČ

Druh bodu

Stabilizace

ýSNS – 3.Ĝád ýSNS – 3.Ĝád ýSNS – 3.Ĝád PNS Praha PNS Praha PNS Praha

þepová znaþka þepová znaþka hĜebová znaþka þepová znaþka þepová znaþka hĜebová znaþka

Obr. 1.2 Zobrazení nivelaþní sítČ v mapČ

-8-

2. PĜístroj Leica Sprinter 250M (popis a technické parametry) x

a

Kap. 2 PĜístroj Leica Sprinter 250M (popis a technické parametry) Leica Sprinter je nivelaþní pĜístroj urþený pro práce ve stavebnictví. Svou pĜesností i cenou je alternativou k optickým pĜístrojĤm. KromČ mČĜení nivelaþních pĜevýšení umožĖuje mČĜit vzdálenosti na kódové stupnici a úhly na vodorovném kruhu. S pĜístrojem lze mČĜit i opticky,

jak

pĜevýšení

nivelaþní

tak

vzdáleností

pomocí dálkomČrných rysek. Elektronické odeþítání na lati s kódovou

stupnicí

minimalizuje chyby, kterých se mĤže

dopustit

mČĜiþ

a zrychluje mČĜení. NamČĜená data se ukládají do pamČti pĜístroje, kapacita pamČti je až pro 1000 bodĤ. PĜístroj lze použít

i

ve

zhoršených

podmínkách a podle výrobce obstojí i v prostĜedí se sníženou viditelností latČ pod 20 luxĤ. PĜístroj s

má

magnetickým

umožĖuje i v nestabilním

kompenzátor tlumením, odþítání prostĜedí

s otĜesy. Možnost optického

Obr. 2.1 GSS 113 Sprinter sklolaminátová laĢ

mČĜení na laĢ s klasickou stupnicí bez použití baterií, vþetnČ vzdáleností pomocí nitkového dálkomČru.

-9-

2. PĜístroj Leica Sprinter 250M (popis a technické parametry) x Technické parametry: • zvČtšení dalekohledu 24 krát • stĜední chyba kilometrová obousmČrné nivelace • 1,0 mm (teleskopická laĢ) • 0,7 mm (pĜi použití latČ z jednoho kusu) • pĜesnost mČĜení délek • 10 mm pro délky do 10 m • 0,001⋅ D pro délky nad 10 m • dosah elektronického mČĜení délek 2 – 100 m • mČĜící þas pod 3 s, pĜi osvČtlení umČlým svČtlem je doba mČĜení delší • kompenzátor magneticky tlumený • rozsah kompenzátoru ±10´ • napájení pomocí AA baterií (4 kusy) • hmotnost 2 kg.

Obr. 2.2 Nivelaþní pĜístroj Leica Sprinter 250M

- 10 -

a

3. Nivelaþní chyby x

a

Kap. 3 Nivelaþní chyby BČhem nivelace se vyskytují hrubé chyby a nevyhnutelné chyby (hrubých chyb je nutné se vyvarovat, nevyhnutelné chyby mohou mít charakter buć chyb systematických nebo nahodilých). Vliv tČchto chyb je tĜeba z mČĜení vylouþit nebo alespoĖ omezit na co nejmenší hodnotu.

3.1

Hrubé chyby Hrubých chyb je nutné se pĜi mČĜení vyvarovat pĜedevším zvýšením peþlivosti

a soustĜedČnosti mČĜiþe a jeho pomocníkĤ. Mezi nejþastČji se vyskytující hrubé chyby patĜí opomenutí urovnání krabicové libely u nivelaþních pĜístrojĤ s kompenzátorem, zámČna smČru þíslování stupnice na nivelaþní lati, pohyb nivelaþní podložky, zámČna výstupku na podložce þi odeþítání na nivelaþní lati podle dálkomČrné rysky pĜi optickém mČĜení.

3.2 Nevyhnutelné chyby Nevyhnutelné chyby se vyskytují i pĜi maximální peþlivosti. DČlí se na systematické a náhodné, jde o chyby, které doprovází každé mČĜení.

3.2.1 Systematické chyby Tyto chyby ve stejném smyslu ovlivĖují v þase celou skupinu mČĜení, proto se hromadí a je tĜeba je vylouþit mČĜickým postupem. MĤže být stálá, jednostranná, periodická nebo skupinová.

• Chyba ze zakĜivení horizontu je zpĤsobená tím, že pĜístrojem se realizuje zdánlivý horizont (urovnaným nivelaþním pĜístrojem) místo skuteþného horizontu. Rozdíl mezi nimi je chyba c, pro níž platí - 11 -


a

s2 , c= 2R

(3.1)

kde s je délka zámČry a R je polomČr ZemČ.

Obr. 3.1 Chyba ze zakĜivení horizontu

Tuto chybu odstraníme geometrickou nivelací ze stĜedu, u moderních pĜístrojĤ lze zakĜivení nastavit.

• Chyba ze sklonu zámČrné pĜímky U nivelaþních pĜístrojĤ s kompenzátorem ji nevylouþíme stejnou délkou zámČr vzad a vpĜed pĜi geometrické nivelaci ze stĜedu. Tuto chybu lze poþetnČ urþit (viz Kap. 4) a pro pĜesné práce mĤžeme mČĜení opravit. U moderních nivelaþních pĜístrojĤ ale dosahuje malé hodnoty a opravu do bČžných prací nezavádíme.

• Chyba z nivelaþní refrakce Velikost chyby závisí pĜedevším na zmČnČ teploty s výškou nad terénem. Pokud je terén vodorovný, je teplotní gradient konstantní v celé délce obou dvou zámČr, vzniká v obou þteních stejná chyba, která se v hodnotČ pĜevýšení vylouþí. Chyba se tedy vylouþí geometrickou nivelací ze stĜedu. Minimální výška nivelaþní zámČry nad terénem je 0,4 – 0,5 m. - 12 -


a

• Chyba z nesprávné délky laĢového metru je rozdíl mezi vyznaþenou hodnotou na lati a skuteþnou délkovou hodnotou pĜíslušného úseku na lati zjištČnou komparací. Pro malou velikost se chyba uplatní jen u pĜesných nivelaþních mČĜeních, hlavnČ pĜi velkých pĜevýšeních. Velikost chyby se zjišĢuje pro rĤzné úseky stupnic laboratorní komparací na laĢových komparátorech.

• Chyba z nesvislé polohy latČ vzniká v dĤsledku nesvislosti latČ v okamžiku odeþítání. Nebezpeþné je hlavnČ vyboþení ve smČru zámČry, které mČĜiþ prakticky nemá možnost poznat. Je proto dĤležité laĢ vždy urovnávat podle rektifikované krabicové libely þi kýváním ve smČru zámČry s odeþtením nejmenší hodnoty ve svislé poloze latČ.

• Nula dČlení má ležet v patČ latí PĜi použití dvou latí je nutné pro odstranČní této chyby dodržet sudý poþet pĜestav v nivelaþním oddílu. Použijeme-li jednu laĢ, sudý poþet pĜestav dodržet tĜeba není, chyba výsledky neovlivní.

• Pata latČ není kolmá ke stupnici Tuto chybu zjistíme odeþtením laĢového úseku na krajích a ve stĜedu latČ, z tČchto namČĜených hodnot ji pak lze snadno urþit a opravit mČĜené hodnoty. PĜi použití úzké latČ se ale urþuje špatnČ, neboĢ i v pĜípadČ, že pata latČ není kolmá na stupnici se odeþtené laĢové úseky na krajích a stĜedu latČ témČĜ rovnají.

3.2.2 Náhodné nivelaþní chyby • Chyba ze þtení laĢové stupnice závisí na délce zámČry, zvČtšení dalekohledu, velikosti a tvaru laĢového dílku, paralaxe nitkového kĜíže, parametrech optického mikrometru v pĜípadČ jeho použití, vibraci atd. Chybu lze zmírnit vhodnou volbou délky zámČry a observaþních podmínek.

- 13 -


a

• Chyba ze zmČny výšky pĜístroje a latČ je zpĤsobena poklesem noh stativu a nivelaþní podložky v málo únosném terénu nebo jejich vytlaþováním. Chybu zmírĖujeme použitím kompenzátorového stroje, co nejrychlejším mČĜením a dobrým zašlapováním nivelaþní podložky a noh stativu.

• Chyba z nestejnomČrného dČlení laĢové stupnice a nekolmosti má charakter obdobný chybČ ze þtení laĢové stupnice, také ji lze zmírnit vhodnou volbou délky zámČry.

• Chyba z pĜeostĜení dalekohledu se vyskytuje pĜi nepĜesném rozmČĜení sestav, kratší zámČry je tĜeba rozmČĜovat pĜesnČji jak zámČry delší.

- 14 -

4. Zkouška vodorovnosti zámČrné pĜímky nivelaþního pĜístroje x

a

Kap. 4 Zkouška vodorovnosti zámČrné pĜímky nivelaþního pĜístroje

Zkouška polohy zámČrné pĜímky se provádí nivelací ze stĜedu, délky zámČr do 40 m, v rovinatém, pĜípadnČ mírnČ svažitém terénu. MČĜická základna, která je ohraniþená dvČma stabilizovanými výškovými body nebo nivelaþními podložkami, se rozdČlí na dva stejnČ dlouhé úseky. V dĤsledku nevodorovnosti zámČrné pĜímky, je vodorovná rovina vychýlená o úhel α (oznaþení v souladu s obr. 4.1). Odeþítáme þtení na lati na úseku s/2 o ∆ jiné. Tuto odchylku je možné pomocí zkoušky zjistit a opravovat o ni každé þtení.

PĜístroj umístíme do stĜedu základny a odeþítáme úseky a’1 a b‘1 na nivelaþních latích umístČných na krajních bodech A a B. Poté umístíme pĜístroj co nejblíže k jednomu z krajních bodĤ A a B tak, aby bylo možné odeþíst na lati þtení (cca 2 m) a opakujeme odeþtení na latích a‘2 a b2. PĜevýšení mezi body A a B lze vypoþítat z obou postavení pĜístroje, tyto pĜevýšení se pochopitelnČ musejí rovnat

h AB = (a'1 − ∆ ) − (b'1 −∆ ) = (a' 2 −2 ∆ ) − b2 .

(4.1)

Po úpravČ lze vyjádĜit neznámou odchylku od vodorovné zámČry ∆

∆=

a ' 2 −b2 − a '1 +b'1 2

,

(4.2)

v úhlové míĜe pak

§ a ' 2 −b2 − a '1 +b'1 · ¸ . s ¹ ©

α = arctg ¨

- 15 -

(4.3)

4. Zkouška vodorovnosti zámČrné pĜímky nivelaþního pĜístroje x

a

Obr. 4.1 Zkouška vodorovnosti zámČrné pĜímky nivelaþního pĜístroje

Zkouška byla provedena pĜed každým mČĜením, výsledky jednotlivých zkoušek jsou uvedeny v tabulce (4.1).

α

1. den -5,6’’

2. den +1,6’’

3. den -2,9’’

4. den +2,0’’

Tab. 4.1 Výsledky zkoušky vodorovnosti zámČrné pĜímky nivelaþního pĜístroje

- 16 -

5. Charakteristiky pĜesnosti nivelaþní sítČ x

a

Kap. 5 Charakteristiky pĜesnosti nivelaþní sítČ 1. krok: Pro nelineární model bezchybného mČĜení (soubor mČĜení, která splĖují geometrické podmínky) platí

F (L) = 0 .

(5.1)

2. krok: Vyrovnaná mČĜení a opravy mČĜení musí splĖovat rovnice (5.1) F ( L ) = F (L + v ) = 0 .

(5.2)

3. krok: Jestliže pĜedchozí vztah linearizujeme, dostáváme systém pĜetvoĜených podmínkových rovnic

AT v + u = 0 ,

(5.3)

kde AT je maticí parciálních derivací (5.1) a u vektorem uzávČrĤ u = F (L) ,

∂F1 (L) º ª ∂F1 (L) « ∂L ∂Ln » 1 « » T A =« » . « ∂Fr (L) ∂Fr (L) » « ∂L1 ∂Ln » ¬ ¼

- 17 -

(5.4)

(5.5)


a

5. krok: Pomocí Ĝešení podmínkového vyrovnání popsaného v kapitole 6 se dostáváme k výsledným vztahĤm pro opravy mČĜení v

v = − P −1A T (D P −1DT ) −1u .

(5.6)

Obr. 5.1 Chybový model

6. krok: Z obrázku 5.1 mĤžeme snadno odvodit vztah pro bezchybná mČĜení L

F ( L ) = F (L + İ L ) = 0 .

(5.7)

7. krok: Jestliže tento vztah linearizujeme, získáme

AT İL + u = 0 .

(5.8)

8. krok: Odtud pak mĤžeme snadno vyjádĜit vztah pro vektor uzávČrĤ, který je funkcí skuteþných chyb

u = − A Tİ L .

- 18 -

(5.9)


a

9. krok: Dosadíme-li pak výše uvedený vztah pro vektor uzávČru do rovnice oprav (5.6), získáme

v = P −1 A(A T P −1 A) −1 A T İ L .

(5.10)

10. krok: Z obrázku 5.1 dále mĤžeme odvodit vztah pro vektor zbylých chyb İ'L ve vyrovnaných mČĜení

İ'L = İ L − v

(5.11)

11. krok: Dosadíme-li pak do rovnice (5.10), získáváme

İ' L = İ L − P −1 A(A T P −1 A) −1 A T İ L ,

(5.12)

po úpravČ pak

İ'L = (E − P −1A(A T P −1A) −1A T ) İ L = K İ L .

(5.13)

kde

K = E − P −1A(AT P −1A) −1A T .

(5.14)

Matice K nám vyjadĜuje vztah mezi skuteþnou a zbylou chybou a mĤžeme pomocí ní odhadnout nejslabší þlánky sítČ.

- 19 -


a

Numerické vyjádĜení matice K pro konfiguraci nivelaþní sítČ na obr. 1.1:

ε

1

ª 0,815 «- 0,160 « «- 0,108 « «- 0,007 K = « 0,097 « «- 0,558 « 0,257 « «- 0,104 «- 0,045 ¬

ε

2

ε

3

ε

4

ε

5

ε

ε

6

7

- 0,078 - 0,025 - 0,003

0,081

- 0,186

0,517

0,117

0,134

0,349

- 0,160 - 0,205

0,247

0,506

- 0,307

0,060

- 0,108 - 0,139

0,168

- 0,183

0,569

0,264

- 0,007 - 0,009

0,204

0,017

0,123

0,672

0,097

0,124

- 0,235 - 0,076 - 0,008

0,243

0,442

0,247

- 0,313 - 0,101 - 0,010

0,323

0,257

0,330

- 0,037 - 0,200

- 0,409 - 0,103 - 0,133

0,103

0,445

- 0,206 - 0,128

0,025

0,082

- 0,045 - 0,058

ε

8

ε

9

- 0,023 - 0,025º - 0,016 0,117 »» - 0,187 - 0,494» » 0,249 - 0,183» - 0,107 0,017 » » - 0,068 - 0,076» - 0,090 - 0,101» » 0,355 - 0,199» - 0,078 0,795 »¼

ε '1 ε '2 ε '3 ε '4 ε '5 ε '6 ε '7 ε '8 ε '9

Tímto mĤžeme stanovit deformaci výškové sítČ, která zpĤsobí vČtší (i hrubé) nivelaþní chyby. Velká hodnota na diagonále matice K naznaþuje citlivé místo v síti. Matice K nezávisí na velikostech pĜevýšení, ale pouze na konfiguraci sítČ a prvky matice udávají jakým dílem skuteþné hodnoty pĜispívá každá chyba ε k vytvoĜení chyby ε’.

- 20 -

5. Charakteristiky pĜesnosti nivelaþní sítČ x oddíl 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a

K ii 0,81 0,52 0,51 0,57 0,67 0,44 0,33 0,36 0,79

< 0,4 0,4 - 0,7 > 0,7

Tab. 5.1 Diagonální prvky matice K

Obr. 5.2 Grafické znázornČní slabších a silnČjších þlánkĤ výškové sítČ

- 21 -

6. Metoda nejmenších þtvercĤ x

a

Kap. 6 Metoda nejmenších þtvercĤ (MNý) SíĢ obsahuje 6 uzlových bodĤ (obr. 1.1), z nichž bod A je referenþní (má pevnou výšku,

σΗ = 0), od jeho pevné výšky se odvozují výšky ostatních bodĤ. Bylo nivelováno 9 nivelaþních oddílĤ (síĢ je tvoĜena þtyĜmi polygony). NamČĜená nivelaþní pĜevýšení h1 až h9 (prĤmČr mČĜení tam a zpČt) jsou zatížena skuteþnými chybami (mají pouze náhodný charakter) ε1 až ε9, stĜední chyby tČchto pĜevýšení jsou σ hi = σ 02 Ri

,

kde σ 02 [mm/km] je stĜední chyba kilometrová

oboustranné nivelace a Ri je délka oddílu v kilometrech. Nivelaþní síĢ se vyrovná jako volná pomocí MNý a to pomocí zprostĜedkujících mČĜení a podmínkových mČĜení (vyrovnání jsou ekvivalentní).

6.1

Podmínkové vyrovnání

6.1.1

ěešení vyrovnání podmínkových mČĜení Poþet mČĜených pĜevýšení n = 9, poþet podmínek (ve volné nivelaþní síti poþet

polygonĤ) r = 4. PĜi urþování podmínek vycházíme z toho, že souþet pĜevýšení po obvodČ uzavĜeného polygonu by se mČl rovnat nule. Protože mČĜení nejsou bezchybná, ale zatížena skuteþnými chybami (uvažujeme pouze jejich náhodný charakter bez vlivu systematických chyb), obdrží každé mČĜené nivelaþní pĜevýšení opravu v.

1. krok: Volba nezávislých podmínek a urþení uzávČrĤ u, jejichž poþet odpovídá poþtu nadbyteþných mČĜení

F (L) = 0 ,

(6.1)

nebo-li je obecnČ definován systém geometrických podmínek, které mČĜení mají splĖovat. Funkce (6.1) jsou obecnČ nelineární, ale protože MNý pracuje se vztahy lineárními, provede se linearizace. Jestliže dosadíme do podmínkových rovnic mČĜení (6.1), dostaneme uzávČry F (L ) = u ,

- 22 -

(6.2)


a

kde L je vektor mČĜení a L je bezchybné mČĜení.

2. krok: Jestliže pĜedchozí vztah linearizujeme, dostáváme systém pĜetvoĜených podmínkových rovnic.

AT v + u = 0 ,

(6.3)

kde v je n × 1 vektor oprav mČĜení a A T je r × n matice parciálních derivací podmínkových rovnic podle mČĜení

∂F1 (L) º ª ∂F1 (L) « ∂L ∂L n » 1 « » AT = « » . « ∂Fr (L) ∂Fr (L) » « ∂L1 ∂L n » ¬ ¼

(6.4)

3. krok: Váhy se volí pĜi nivelaci pi =

1 , platnost tohoto vztahu byla dokázána v [1]. Váhová Ri

matice mČĜení P má tvar

ª1 «R « 1 «0 P=« «0 « «0 «¬

0 1 R2 0 0

º 0 » » 0 0 » » , 0 » 1 » 0 » Rn »¼ 0

(6.5)

kde Ri je délka oddílu v kilometrech. 4. krok: Kritérium MNý pro (6.3)

φ = v T P v − 2 k T ( A T v + u) = min ,

- 23 -

(6.6)


a

kde koreláty k (tzv. Lagrangeovy neurþité koeficienty) i opravy v jsou neznámé. Má-li platit pro skalární hodnotu v pĜedešlém vztahu (6.6) minimum, musíme funkci derivovat podle vT ∂φ = 2P v − 2Ak = 0 . ∂ vT

(6.7)

5. krok: Ze vztahu (6.7) se vyjádĜí vektor oprav v

v = P −1A k .

(6.8)

6. krok: Získané opravy následnČ dosadíme do linearizovaných vztahĤ (6.3)

( A T P −1A) k + u = 0 ,

(6.9)

kde koreláty jsou jedinou neznámou a mĤžeme je vyjádĜit

(

k = − A T P −1A

)

−1

u .

(6.10)

7. krok: Nyní, když známe hodnotu korelát, mĤžeme je dosadit do vztahu (6.8) a získat tak vektor oprav v

(

v = − P −1A A T P −1A

)

−1

u .

(6.11)

,

(6.12)

8. krok: StĜední chyba kilometrová obousmČrné nivelace

σ '02 =

kde n’ je poþet nadbyteþných mČĜení.

- 24 -

vTP v n'


a

BČhem numerického výpoþtu podmínkového vyrovnání byly voleny následující podmínky, oznaþení pĜevýšení v souladu s obr 1.1

h3 + h9 + h2 + h4 = 0 h5 + h8 − h4 = 0 h2 + h5 − h7 = 0

.

(6.13)

h1 + h6 − h7 = 0

6.2

ZprostĜedkující vyrovnání (volná nivelaþní síĢ) Zatímco u podmínkového vyrovnání jsou výsledkem vyrovnání opravy mČĜených

nivelaþních pĜevýšení, tak u zprostĜedkujícího vyrovnání jsou neznámými výšky všech bodĤ sítČ 1…k, které jsou ve funkþních vztazích s mČĜenými pĜevýšeními.

1. krok: ObecnČ nelineární model je funkcí bezchybných hodnot nivelaþních pĜevýšení a neznámých výšek bodĤ sítČ

F(L, X) = 0 .

(6.14)

L = L + İL ,

(6.15)

X = X 0 + ∆x ,

(6.16)

2. krok: Linearizace

kde İ L jsou skuteþné chyby mČĜených nivelaþních pĜevýšení, ∆x korekce pĜibližných výšek bodĤ nivelaþní sítČ a X 0 hodnoty pĜibližných výšek.

3. krok: Když funkci F (L + İ L , X 0 + ǻx) = 0 linearizujeme, získáme - 25 -


a

D İ L + A ǻx + l = 0 ,

(6.17)

kde l je vektor redukovaných mČĜení

(

l = F L, X 0

)

.

(6.18)

Matice parciálních derivací A a D mají tvar

D r ×n

∂F1 (L, X) º ª ∂F1 (L, X) « ∂L ∂L n » 1 « » =« » , ∂ F L X ∂ F L X ( , ) ( , ) r « r » « ∂L1 ∂L n » ¬ ¼

(6.19)

A r×k

∂F1 (L, X) º ª ∂F1 (L, X) « ∂X ∂X k » 1 « » =« » , ( , ) ( , ) ∂ F L X ∂ F L X r « r » « ∂X1 ∂X k » ¼ ¬

(6.20)

v našem pĜípadČ je matice D jednotková.

4. krok: Hledáme odhad korekcí ∆x a vektor oprav v pĜibližných hodnot výšek, protože skuteþné

opravy İ L spoþítat nelze. Ve smyslu MNý Ĝešíme v + A ∆x + l = 0 .

Skuteþné chyby se nahrazují opravami, které se vypoþtou.

5. krok: Ve smyslu nejmenších þtvercĤ dostaneme normální rovnice

- 26 -

(6.21)


a

(A

T

P ǹ ∆ x = A T P −1 l ,

)

(6.22)

zjednodušenČ pak

N ∆x = c .

(6.23)

Matice soustavy normálních rovnic (6.23) v dĤsledku toho, že všechny body považujeme za urþované, je singulární, tedy detN = 0 ,

není tedy možné provést inverzi. Volná síĢ nemá

dostatek informací k umístČní ve výškovém systému a má tak nekoneþnČ mnoho Ĝešení.

Tento problém máme možnost Ĝešit dvČma zpĤsoby: 1. vypuštČním jednoho sloupce v matici A 2. dekompozicí semidefinitní matice.

6.2.1

OdstranČní sloupce matice A

Vypustíme z vyrovnání jednu neznámou, fixujeme jeden bod a považujeme ho za pevný. Po vyškrtnutí jednoho sloupce je systém normálních rovnic regulární a dostaneme tak odhady výšek. V této DP byl za pevný bod zvolen bod A s nadmoĜskou výškou H A = 216,856 (která se rovná výšce tohoto bodu uvedenou v nivelaþních údajích).

6. krok: Po vypuštČní jednoho sloupce má tedy matice A rozmČry n × (k − 1) , hodnost matice je rovna poþtu sloupcĤ a lze již snadno invertovat soustavu normálních rovnic. Opravy mČĜených pĜevýšení urþíme dle vztahu

v = − (A ǻx + l ) ,

(6.24)

z þehož pak stĜední chyba kilometrová obousmČrné nivelace je

σ '02 =

vTP v n − h (A )

.

(6.25)

Tento vztah platí tehdy, vstupují-li do vyrovnání prĤmČrná obousmČrná pĜevýšení, h( A ) pak znaþí hodnost matice A. - 27 -

6. Metoda nejmenších þtvercĤ x 6.2.2

a

Dekompozice matice

V tomto pĜípadČ je problém Ĝešen rozkladem (dekompozicí) matice normálních rovnic N. Konfiguraþní matice A nemá díky defektu dostatek informací, aby byla nivelaþní síĢ urþena v systému. Podmínku k urþení volné sítČ nese matice G, jejíchž rozmČr je n × 1 , obsahuje nuly a na pozici, která odpovídá fixovanému bodu je 1. SíĢ urþujeme v systému pomocí podmínky

G Tx = 0 .

(6.26)

Pro výškovou síĢ o k bodech má podmínka tvar xi = δ H i = 0 (bod nezmČní výšku). Obecné

Ĝešení soustavy lineárních rovnic se skládá z jednoho partikulárního Ĝešení a ze všech Ĝešení soustavy pĜidružené - z homogenní soustavy lineárních rovnic [2].

x = x0 + γ H ,

(6.27)

kde H je nulový prostor matice A ( A H = 0 ) a γ skalární hodnota. ExplicitnČ má vektor H tvar H = (1,...,1) T .

6. krok: Do rovnice (6.26) dosadíme pĜedchozí vztah, získáváme rovnici G T (x 0 + Ȗ H ) = 0 ,

(6.28)

po roznásobení mĤžeme vyjádĜit skalární hodnotu γ

γ = −(G T H ) −1 G T x 0 .

(6.29)

Po dosazení do vztahu (6.27) pak platí x = x 0 − H (G T H ) −1 G T x 0 = (E − H (G T H ) −1 G T ) x 0 , x = S x 0 , S = E − H (G T H ) −1 G T .

- 28 -

(6.30)

(6.31)


a

7. krok: Pro matice normálních rovnic N existuje podle [2] rozklad (dekompozice)

N = U ȁ UT ,

(6.32)

kde ȁ je diagonální matice vlastních þísel λ a U je matice ortogonální.

8. krok: Pro ortogonální matici platí

U UT = UTU = E ,

(6.33)

kde E je jednotková matice.

9. krok: Obecný pĜedpis Ĝešení MNý pak lze pĜepsat na

ATP A = U ȁ UT ,

(U ȁ U T ) x 0 = A T P l = c .

(6.34)

(6.35)

10. krok: Protože matice U je ortonormální, lze hoĜejší rovnici pĜepsat na tvar ȁ U T x 0 = U Tc ,

(6.36)

zjednodušenČ pak jako ȁz = d ,

(6.37)

kde pro z a d platí z = UTx0

- 29 -

,

(6.38)


a d = U Tc

.

(6.39)

Odsud pro nenulové diagonální prvky matice ȁ platí

Ȝii zi = d i , zi = d i /Ȝii .

(6.40)

Pro Ȝi = 0 se volí zi = 0 , pak odhadnutý vektor x T x = min , protože ortogonální transformace nemČní velikost vektoru. Z ortogonality matice U plyne, že je minimální i velikost vektoru odhadnutých korekcí neznámých výšek x 0 = U z , þímž jsou splnČny normální rovnice. Výsledné Ĝešení je dáno (6.36) a pro opravy mČĜených pĜevýšení platí v = A x0 − l = A x − l .

(6.41)

11. krok: Odhad stĜední chyby kilometrové obousmČrné nivelace se pak provede podle (6.12)

Tab. 6.1 StĜední chyba kilometrová obousmČrné nivelace

mČĜické dvojce

podmínkové vyrovnaní

zprostĜedkující vyrovnání

dekompozice vyškrtnutí

1 1 ρρ Σ 2 n R

Σpvv n − h(A)

matice

sloupce

N = ATP A

matice A

1,07

1,07

[mm] 0,56

1,07

Všechny tĜi postupy výpoþtĤ podmínkového a zprostĜedkujícího vyrovnání jsou ekvivalentní a opravy musejí vyjít stejnČ. Z vyrovnáni vychází stĜední chyba kilometrová obousmČrné nivelace vČtší, protože do výpoþtu vstupují mČĜená pĜevýšení v síti, dochází ke kompozici skuteþných chyb jednotlivých nivelaþních pĜevýšení. U mČĜických dvojic nejsou vytvoĜené polygony a porovnávají se pouze samostatnČ mČĜení tam a zpČt. Hodnota stĜední chyby kilometrové vychází pĜíznivČ vzhledem k tomu, že pĜístroj je urþen jako stavební. - 30 -


a

ýíselný tvar normálních rovnic:

Podmínkové vyrovnání:

§ 13,87 − 3,24 − 4,06 0,00 · ¨ ¸ ¨ − 3,24 11,99 − 6,93 0,00 ¸ N1 = ¨ . − 4,06 − 6,93 13,66 − 2,66 ¸ ¨ ¸ ¨ 0,00 0,00 − 2,66 13,75 ¸¹ ©

ZprostĜedkující vyrovnání:

§ 6,57 ¨ ¨ − 4,64 ¨ 0,00 N2 = ¨ ¨ − 1,93 ¨ 0,00 ¨ ¨ 0,00 ©

0,00 · ¸ 19,68 − 8,32 0,00 − 4,06 − 2,66 ¸ − 8,32 11,08 0,00 0,00 − 2,77 ¸ ¸ , kde det N 2 = 0 . 0,00 0,00 6,98 − 3,24 − 1,81 ¸ ¸ − 4,06 0,00 − 3,24 14,24 − 6,93 ¸ − 2,66 − 2,77 − 1,81 − 6,93 14,17 ¸¹ − 4,64

0,00

− 1,93

- 31 -

0,00


a

Vyrovnání nivelaþních pĜevýšení na pĜímku pomocí MNý

PĜedpis pro pĜímku y = ax+b ,

(6.41)

kde a je úsek vyĢatý pĜímkou na ose y a b je smČrnice pĜímky.

V našem pĜípadČ jsou hodnoty y mČĜené nivelaþním pĜístrojem Sprinter a hodnoty x jsou hodnoty mČĜené pĜístrojem DNA a považujeme je za bezchybné. Rovnice oprav mají tvar y i + v yi = a + b xi .

(6.42)

Zapsáno v maticovém tvaru pak

ª v y1 º ª1 x1 º ª y1 º ªa º « » « » « » « » = « » «b » − « » , «v y 9 » «¬1 x9 »¼ ¬ ¼ «¬ y9 »¼ ¬ ¼

(6.43)

ve zjednodušené podobČ pak v = Ax−l ,

(6.44)

kde neznámé x získáme z normálních rovnic x = ( A T P A ) −1 ( A T P l ) .

(6.45)

Matice vah P je inverzní diagonální maticí délek nivelaþních oddílĤ

ª1 «R « 1 «0 P=« «0 « «0 «¬

0 1 R2 0 0

- 32 -

º 0 » » 0 0 » » . 0 » 1 » 0 » Rn »¼ 0

(6.46)


a

Tab. 6.2 Numerické výsledky vyrovnání na pĜímku Niv. pĜevýšení

Niv. pĜevýšení

DNA x [m] 0,1248 -2,6620 0,8271 8,3462 -3,1444 -5,9311 -5,8062 11,4911 -6,5121

Sprinter y [m] 0,1251 -2,6611 0,8286 8,3459 -3,1448 -5,9301 -5,8058 11,4915 -6,5123

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a = + 0,3 mm b = 0.999998

vyi

yi

[mm] -0,1 -0,6 -1,2 0,5 0,7 -0,8 -0,1 -0,2 0,5

[m] 0,1250 -2,6617 0,8274 8,3464 -3,1441 -5,9309 -5,8059 11,4913 -6,5118

σ a = 0,170 σ b = 0,033

Dle výsledkĤ vyrovnání mĤžeme soudit, že hodnoty oprav v nezáleží na velikosti nivelaþního pĜevýšení. StĜední chyba kilometrová:

σ ' 02 =

Σpvv = 0,71 . n−2

- 33 -

(6.47)

7. ýíselné výsledky mČĜení x

a

Kap. 7 ýíselné výsledky mČĜení Tab. 7.1 Výsledky mČĜení nivelaþních oddílĤ TAM a ZPċT, Sprinter 250M Oddíl (1)

Délka oddílu R

Poþet sestav

(2)

(3)

Nivelaþní pĜevýšení (4)

(5)

(6)

ρ=Τ+Ζ (4)+(5)

(m)

(m)

(m)

(mm)

Tam

(km)

Rozdíly

Výsledná hodnota

ZpČt

ρimax (8) (mm)

1

0,12024

4

0,1251

-0,1251

0,1251

0,0

1,0

2

0,24630

5

-2,6614

2,6607

-2,6611

-0,7

1,4

3

0,51860

21

0,8280

-0,8291

0,8286

-1,1

2,0

4

0,30842

11

8,3455

-8,3463

8,3459

-0,8

1,5

5

0,14422

4

-3,1449

3,1447

-3,1448

-0,2

1,0

6

0,36146

8

-5,9305

5,9296

-5,9301

-0,9

1,6

7

0,37538

8

-5,8061

5,8055

-5,8058

-0,6

1,7

8

0,55280

15

11,4911

-11,4919

11,4915

-0,8

2,0

9

0,21552

5

-6,5121

6,5124

-6,5123

0,3

1,3

Σ:

-4,8

Pro všechny oddíly platí |ρi| < ρimax, proto mĤžeme soudit, že rozdíly mezi mČĜením tam a zpČt ρi jsou produktem pouze náhodných chyb a nepĤsobí na nČ systematické chyby.

ρ i max = 3,92 σ 02

Ri

,

kde σ 02 = 0,7 a jde o stĜední chybu kilometrovou uvedenou výrobcem.

Tab. 7.2 Porovnání mČĜených nivelaþních oddílu pĜístrojem DNA03 [1] a Sprinter 250M Opravy z vyrovnání

MČĜená pĜevýšení

MNý

Oddíl

Vyrovnaná pĜevýšení

(3)

(3) - (2)

Sprinter 250M (4)

(5)

Sprinter 250M (6)

(7)

(7) - (6)

(m)

(m)

(mm)

(mm)

(mm)

(m)

(m)

(mm)

1

0,1251

0,12476

-0,89

-0,2

0,02

0,1249

0,12478

-0,12

2

-2,6611

-2,66198

-0,93

0,0

-0,13

-2,6611

-2,66211

-1,01

3

0,8286

0,82712

-1,43

-0,8

+0,27

0,8278

0,82739

-0,41

4

8,3459

8,34618

+0,28

0,0

+0,24

8,3459

8,34642

0,52

5

-3,1448

-3,14439

+0,41

0,0

-0,05

-3,1448

-3,14444

0,36

6

-5,9301

-5,93114

-1,09

-0,6

+0,07

-5,9307

-5,93107

-0,37

7

-5,8058

-5,80620

-0,40

0,0

-0,08

-5,8058

-5,80628

-0,48

8

11,4915

11,49106

-0,44

-0,8

-0,20

11,4907

11,49086

0,16

9

-6,5123

-6,51207

+0,18

-0,3

+0,11

-6,5126

-6,51196

0,64

Σ:

-4,31

(1)

Sprinter 250M (2)

DNA03

Rozdíl

DNA03

DNA03

Rozdíl

-0,71

- 34 -


a

Doposud bylo pĜedmČtem této práce srovnání dvou digitálních nivelaþních pĜístrojĤ Leica Sprinter 250M a DNA03, které používají stejný software pro interpolaci na kódové lati. Pro objektivitu bylo tedy provedeno další mČĜení, jehož pĜedmČtem bylo zamČĜení stejné pomocné výškové sítČ pĜístrojem Sprinter 250M a klasickým nivelaþním pĜístrojem pro pĜesnou nivelaci Zeiss Ni 007. Pomocná výšková síĢ byla tvoĜena pČti body v pĜímce po 20m (obr. 7.1), které byly pĜed mČĜením vytyþeny a stabilizovány nivelaþní podložkou.

Parametry nivelaþní sítČ: neznámé výšky:

4

pĜevýšení:

10

mČĜené hodnoty:

10 zámČr vpĜed 10 zámČr vzad

délky zámČr:

10, 20, 30 a 40 m

Obr. 7.1 Výškový profil pomocné výškové sítČ

- 35 -


a

Nivelaþní sestava

Tab. 7.3 MČĜené hodnoty pĜístrojem Sprinter 250M þtení na lati vzad (Z=B)

délky zámČr

pĜevýšení vpĜed (P=F) Z [m]

P [m]

rozdíl [m]

I [m]

II [m]

(I+II)/2 [m]

1-2

1,4051

1,4047

1,4049

1,3125

1,3125

1,3125

+0,0924

9,8805

10,0105

0,13

1-3

1,4595

1,4589

1,4592

1,3526

1,3527

1,3527

+0,1066

19,976

19,864

0,11

2-3

1,4047

1,4044

1,4046

1,3903

1,3904

1,3904

+0,0142

9,8885

10,0135

0,13

1-4

1,4976

1,4967

1,4972

1,3102

1,3101

1,3102

+0,1870

29,858

29,9815

0,12

2-4

1,4030

1,4024

1,4027

1,3080

1,3080

1,3080

+0,0947

19,885

19,974

0,09

1-5

1,4958

1,4946

1,4952

1,2205

1,2203

1,2204

+0,2748

39,847

39,981

0,13

3-4

1,3416

1,3417

1,3417

1,2612

1,2613

1,2613

+0,0804

10,0075

9,8885

0,12

2-5

1,3556

1,3555

1,3556

1,1737

1,1736

1,1737

+0,1819

29,983

29,879

0,10

3-5

1,4566

1,4575

1,4571

1,2890

1,2892

1,2891

+0,1680

19,9305

19,943

0,01

4-5

1,3916

1,3914

1,3915

1,3036

1,3037

1,3037

+0,0878

10,014

9,901

0,11

I [m]

II [m]

(I+II)/2 [m]

[m]

Nivelaþní sestava

Tab. 7.4 MČĜené hodnoty pĜístrojem Ni 007

1

1-2

2

1-3

3

2-3

4

1-4

5

2-4

6

1-5

7

3-4

8

2-5

9

3-5

10

4-5

stupnice I. II. I. II. I. II. I. II. I. II. I. II. I. II. I. II. I. II. I. II.

þtení na lati vzad (Z=B) I 31649 92298 32625 93271 31249 91898 33341 93987 31778 92430 33879 94528 29586 90236 30142 90790 32379 93027 31133 91780

II 31647 92293 32619 93268 31249 91897 33339 93988 31780 92432 33876 94528 29584 90235 30139 90788 32376 93028 31130 91777

(I+II)/2 31648 92296 32622 93270 31249 91898 33340 93988 31779 92431 33878 94528 29585 90236 30141 90789 32378 93028 31132 91779

- 36 -

pĜevýšení

vpĜed (P=F) I 29798 90450 30498 91146 30970 91620 29598 90252 29899 90548 28392 89044 27979 88629 26499 87152 29017 89670 29381 90032

II 29802 90450 30498 91147 30965 91615 29599 90252 29898 90550 28392 89043 27979 88629 26505 87155 29017 89668 29381 90033

(I+II)/2 29800 90450 30498 91147 30968 91618 29599 90252 29899 90549 28392 89044 27979 88629 26502 87154 29017 89669 29381 90033

[m] +0,0924 +0,0923 +0,1062 +0,1062 +0,0141 +0,0140 +0,1871 +0,1868 +0,0940 +0,0941 +0,2743 +0,2742 +0,0803 +0,0803 +0,1819 +0,1818 +0,1680 +0,1679 +0,0875 +0,0873

+0,0923 +0,1062 +0,0140 +0,1869 +0,0941 +0,2743 +0,0803 +0,1819 +0,1680 +0,0874


a

Tab. 7.5 Porovnání mČĜených hodnot obou pĜístrojĤ Nivelaþní sestava

Sprinter 250M [m]

Ni 007 [m]

rozdíl [mm]

(1)

(2)

(3)

(3) – (2)

1-2

+0,0924

+0,0923

-0,1

1-3

+0,1066

+0,1062

-0,4

2-3

+0,0142

+0,0140

-0,2

1-4

+0,1870

+0,1869

-0,1

2-4

+0,0947

+0,0941

-0,6

1-5

+0,2748

+0,2743

-0,5

3-4

+0,0804

+0,0803

-0,1

2-5

+0,1819

+0,1819

0,0

3-5

+0,1680

+0,1680

0,0

4-5

+0,0878

+0,0874

-0,4

Σ:

-2,4

PĜi vyrovnání tohoto mČĜení byly pĜiĜazovány opravy zvlášĢ pro nivelaþní zámČry vpĜed i vzad. Výška bodu 1 byla pro vyrovnání volena jako fixní.

Nelineární model je funkcí bezchybných hodnot nivelaþních pĜevýšení a neznámých výšek bodĤ sítČ

F ( L , X) = 0 .

(8.1)

ZprostĜedkující rovnice, napĜíklad pro pĜevýšení mezi bodem 1 a 2, má následující tvar

( z11 + v11 ) − ( p 21 + v 21 ) − ( H 20 + δH 2 − H 1 ) = 0 .

(8.2)

StejnČ jako v kapitole 6.2 Ĝešíme linearizovaný model D v + A įH + l = 0 ,

(8.3)

kde l je vektor redukovaných mČĜení, D je matice parciálních derivací F dle mČĜení a A maticí parciálních derivací dle neznámých výšek

- 37 -


a

D=

∂F ∂L

,

(8.4)

A=

∂F ∂X

.

(8.5)

Hodnoty oprav mČĜení pak vypoþteme ze vztahu

v = − P −1 D T Q l−1 (E − A N −1 A T Q l−1 ) l ,

(8.6)

kde matice váhových koeficientĤ zprostĜedkujících mČĜení Ql má tvar Q l = D P −1 D T ,

(8.7)

N = AT P ǹ ,

(8.8)

normání rovnice N urþíme ze vztahu

a matice P je diagonální matice naplnČná prvky pi =

1 . Ri

StĜední chybu kilometrovou jednosmČrné nivelace pak urþíme stejnČ jako v kapitole 6 podle vztahu 6.12, kde v tomto pĜípadČ máme poþet nadbyteþných mČĜení 6.

- 38 -


a

Leica Sprinter 250M

Zeiss Ni 007

Vyrovnání mČĜených zámČr zámČra Kij

mČĜená hodnota

z11 p21 z12 p32 z23 p33 z14 p24 z25 p45 z16 p56 z37 p47 z28 p58 z39 p59 z410 p510

Vyrovnání mČĜených zámČr

délka zámČry

opravy z vyrovnání

vyrovnaná hodnota

[m]

[km]

[mm]

[m]

1,4049 1,3125 1,4592 1,3527 1,4046 1,3904 1,4972 1,3102 1,4027 1,3080 1,4952 1,2204 1,3417 1,2613 1,3556 1,1737 1,4571 1,2891 1,3915 1,3037

0,00988 0,01001 0,01998 0,01986 0,00989 0,01001 0,02986 0,02998 0,01989 0,01997 0,03985 0,03998 0,01001 0,00989 0,02998 0,02988 0,01993 0,01994 0,01001 0,00990

0,00 -0,01 +0,04 -0,04 -0,01 +0,01 -0,02 +0,02 -0,07 +0,08 -0,07 +0,08 -0,01 +0,01 +0,17 -0,17 +0,03 -0,03 -0,06 +0,05

1,4049 1,3125 1,4592 1,3527 1,4046 1,3904 1,4972 1,3102 1,4026 1,3081 1,4951 1,2205 1,3417 1,2613 1,3558 1,1735 1,4571 1,2891 1,3914 1,3038

zámČra

mČĜená hodnota

délka zámČry

opravy z vyrovnání

vyrovnaná hodnota

[m]

[km]

[mm]

[m]

z11 p21 z12 p32 z23 p33 z14 p24 z25 p45 z16 p56 z37 p47 z28 p58 z39 p59 z410 p510

1,5823 1,4900 1,6310 1,5249 1,5624 1,5484 1,6669 1,4800 1,5890 1,4949 1,6939 1,4196 1,4793 1,3990 1,5070 1,3251 1,6189 1,4509 1,5565 1,4691

0,00988 0,01001 0,01998 0,01986 0,00989 0,01001 0,02986 0,02998 0,01989 0,01997 0,03985 0,03998 0,01001 0,00989 0,02998 0,02988 0,01993 0,01994 0,01001 0,00990

+0,02 -0,02 +0,09 -0,09 -0,03 +0,03 -0,12 +0,12 +0,11 -0,11 -0,07 +0,07 +0,04 -0,04 -0,03 +0,03 -0,05 +0,05 +0,06 -0,05

1,5823 1,4900 1,6311 1,5248 1,5624 1,5484 1,6668 1,4801 1,5891 1,4948 1,6938 1,4197 1,4793 1,3990 1,5070 1,3251 1,6188 1,4510 1,5566 1,4690

Legenda: Kij … K – zámČra (z – zámČra vzad, p – zámČra vpĜed) … i – bod výškové sítČ, na který je mČĜena zámČra … j – nivelaþní sestava

Leica Sprinter 250M

Zeiss Ni 007

Vyrovnání výšek

Vyrovnání výšek

výška

pĜibližná hodnota

opravy

vyrovnaná hodnota

[m]

[mm]

[m]

H1 H2 H3 H4 H5

100,0000 100,0924 100,1065 100,1870 100,2748

-0,01 -0,08 +0,04 +0,15

100,0924 100,1064 100,1870 100,2749

výška

pĜibližná hodnota

opravy

vyrovnaná hodnota

[m]

[mm]

[m]

H1 H2 H3 H4 H5

100,0000 100,0923 100,1061 100,1869 100,2743

-0,03 -0,17 +0,25 +0,14

100,0923 100,1059 100,1871 100,2744

StĜední chyba kilometrová jednosmČrné

StĜední chyba kilometrová jednosmČrné

nivelace z vyrovnání:

nivelace z vyrovnání:

σ ' 01 = 0,79 mm

v T P v = 3,7654 mm / km

- 39 -

σ '01 = 0,89 mm

v T P v = 4,7695 mm / km


a

StĜední chyba kilometrová obousmČrné nivelace σ ' 02 :

σ ' 02 =

σ ' 01

(8.9)

2

Leica Sprinter 250M

Zeiss Ni 007

σ ' 02 = 0,56 mm

σ ' 02 = 0,63 mm

Tímto byla ovČĜena stĜední chyba kilometrová oboustranné nivelace v pĜípadČ pĜístroje Sprinter, neboĢ vyšla stejná hodnota, jako ta, která byla urþena z mČĜických dvojic (tab. 6.1).

Tab. 7.6 Porovnání vyrovnaných pĜevýšení obou pĜístrojĤ Nivelaþní sestava

Sprinter 250M [m]

Ni 007 [m]

rozdíl [mm]

(1)

(2)

(3)

(3) – (2)

1-2

0,0924

0,0923

-0,1

1-3

0,1065

0,1063

-0,2

2-3

0,0142

0,0140

-0,2

1-4

0,1870

0,1867

-0,3

2-4

0,0945

0,0943

-0,2

1-5

0,2746

0,2741

-0,5

3-4

0,0804

0,0803

-0,1

2-5

0,1823

0,1819

-0,4

3-5

0,1680

0,1678

-0,2

4-5

0,0876

0,0876

0,0

- 40 -

ZávČr x

a

ZávČr Na základČ provedeného mČĜení lze Ĝíci, že pĜístroj Leica Sprinter 250M v kombinaci s 3m celistvou sklolaminátovou latí lze použít pro pĜesné práce menšího rozsahu, neboĢ stĜední kilometrová chyba oboustranné nivelace dosahuje 1,1 mm (viz tab. 6.1). Použitá sklolaminátová laĢ má uvádČnou délkovou roztažnost 10 ppm/°C, což odpovídá zmČnČ o 10 µm na jeden délkový metr pĜi zmČnČ teploty o 1 °C. Délková roztažnost invaru je uvádČna jako 2 µm/°C, což odpovídá 2 ppm/°C. Lze tedy tvrdit, že použitá laĢ má délkovou roztažnost 5 krát vČtší, než invarové latČ, které se pro pĜesné nivelaþní práce bČžnČ používají. Probíhá-li ale mČĜení za pĜibližnČ stejných teplotních podmínek, jako v tomto pĜípadČ, neovlivĖuje použití sklolaminátové latČ výsledky mČĜení témČĜ vĤbec.

- 41 -

Literatura x

a

Literatura

[1]

DUŠEK, R., SKOěEPA, Z. Digitální nivelaþní pĜístroj DNA03 a pĜesnost urþení nivelaþních pĜevýšení. Geodetický a kartografický obzor. 2010, roþ. 56, s. 137-141.

[2]

FIEDLER, M.: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. Praha 1981. nakladatelství technické literatury. 266 s

[3]

BÖHM, J., RADOUCH, V., HAMPACHER, M.: Teorie chyb a vyrovnávací poþet. Praha 1990. Geodetický a kartografický podnik. 416 s

[4]

BLAŽEK, R., SKOěEPA, Z.: Geodézie 3, Výškopis. Praha 2004. ýVUT. 162 s

[5]

VÍT, P.: Nivelace versus GNSS. [Diplomová práce.] Praha 2010. ýVUT. Fakulta stavební.

[6]

Gefos [www.gefos.cz] [online]. [cit. 2012-05-05]. Dostupný z WWW: .

[7]

ýADA, V.: PĜednáškové texty z geodézie. [www.gis.zcu.cz] [online]. [cit. 2012-05-05]. Dostupný z WWW: .

- 42 -

8. Seznam pĜíloh x

a

Kap. 8 Seznam pĜíloh 8.1 MČĜená data pĜístrojem Sprinter 250M – výšková síĢ

44

8.2 Zdrojový kód pro výpoþet vyrovnání pomocí MNý v programu Matlab

54

– podmínkové vyrovnání výškové sítČ 8.3 Zdrojový kód pro výpoþet vyrovnání pomocí MNý v programu Matlab

55

– odstranČní sloupce matice A 8.4 Zdrojový kód pro výpoþet vyrovnání pomocí MNý v programu Matlab

56

– dekompozice semidefinitní matice 8.5 Zdrojový kód pro výpoþet vyrovnání pomocí MNý v programu Matlab

58

– výšková základna, pĜístroj Sprinter 250M 8.6 Zdrojový kód pro výpoþet vyrovnání pomocí MNý v programu Matlab – výšková základna, pĜístroj Ni 007

- 43 -

60

PĜílohy x

a

8.1 MČĜená data pĜístrojem Sprinter 250M – výšková síĢ Ukázka neupravených namČĜených dat ve formátu *.asc: Oddíl A - B PtID BS_HEIGHT FS_HEIGHT dH MEAN_dH Elevation BS_DIST IS_DIST FS_DIST TYPE 1 1,0962 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 4,346 0 0 BFFB 1,2364 1,0962 0,0000 0,0000 0,0000 3,921 0 4,347 BFFB 2 0,0000 1,2364 0,0000 0,0000 0,0000 0 0 3,922 BFFB 2 0,9103 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 21,456 0 0 BFFB 1,4122 0,9103 -0,0001 0,0000 0,0000 21,068 0 21,452 BFFB 3 0,0000 1,4121 0,0000 0,0000 0,0000 0 0 21,062 BFFB 3 1,3557 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 15,916 0 0 BFFB 1,1999 1,3557 -0,0001 0,0000 0,0000 15,939 0 15,917 BFFB 4 0,0000 1,1999 0,0000 0,0000 0,0000 0 0 15,94 BFFB 4 1,2687 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 18,211 0 0 BFFB 0,6575 1,2686 0,0000 0,0000 0,0000 18,032 0 18,21 BFFB 5 0,0000 0,6572 0,0002 0,0001 0,0001 0 0 18,034 BFFB

Úprava mČĜených dat: Oddíl A – B

I [m] 1,0962 0,9103 1,3557 1,2687

- mČĜení TAM (4 sestavy, poþet ĜádkĤ = poþet sestav) þtení na lati délky zámČr vzad (Z=B) vpĜed (P=F) Z [m] P [m] rozdíl [m] II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 1,0962 1,0962 1,2364 1,2364 1,2364 4,35 3,92 0,43 0,9103 0,9103 1,4122 1,4121 1,4122 21,45 21,07 0,39 1,3557 1,3557 1,1999 1,1999 1,1999 15,92 15,94 0,02 1,2686 1,2687 0,6575 0,6572 0,6574 18,21 18,03 0,18 Σ = 59,93 58,96 0,97 Rm=

m

Oddíl B – A

I [m] 0,7508 1,1851 1,4480 1,3826

- mČĜení ZPċT (4 sestavy) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 0,7507 0,7508 1,3627 1,3627 1,3627 1,1851 1,1851 1,3388 1,3388 1,3388 1,4481 1,4481 0,9792 0,9794 0,9793 1,3825 1,3826 1,2118 1,2119 1,2119 Σ=

118,89

délky zámČr Z [m]

P [m]

18,00 16,20 21,10 5,30 60,59

18,34 16,03 21,05 5,58 61,00

Rm=

Obr. 8.1 Výškový prĤbČh poĜadu 1

- 44 -

121,59

rozdíl [m] 0,34 0,17 0,04 0,29 0,41 m

PĜílohy x

a

Oddíl A – E

I [m] 1,0092 0,9059 0,8534 0,8742 1,2453

- mČĜení TAM (5 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 1,0092 1,0092 1,6426 1,6428 1,6427 0,9059 0,9059 1,7158 1,7158 1,7158 0,8535 0,8535 2,1098 2,1099 2,1099 0,8743 0,8743 1,7495 1,7496 1,7496 1,2447 1,2450 0,3311 0,3314 0,3313 Σ=


P [m]

rozdíl [m]

25,07 25,02 26,65 17,11 29,57 123,42

24,73 24,81 26,50 16,81 30,07 122,92

0,34 0,21 0,15 0,30 0,49 0,50

Rm=

m

Oddíl E – A

I [m] 0,3719 1,7888 2,0980 1,7500 1,6390

- mČĜení ZPċT (5 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 0,3719 0,3719 1,2872 1,2873 1,2873 1,7887 1,7888 0,9091 0,9088 0,9090 2,0979 2,0980 0,8443 0,8442 0,8443 1,7501 1,7501 0,9401 0,9399 0,9400 1,6387 1,6389 1,0064 1,0063 1,0064 Σ=

246,34


P [m]

30,11 16,77 26,39 24,62 24,70 122,59

29,57 17,27 26,76 25,04 25,04 123,68

Rm=


- 45 -

246,27

rozdíl [m] 0,54 0,50 0,37 0,42 0,34 1,09 m

PĜílohy x

a

Oddíl D – C

I [m] 0,7089 1,6254 1,8992 1,9036 1,9636 2,0100 1,9713 1,9738 0,8911 0,9459 0,9573 1,1581 0,9522 1,0660 0,7954 0,5632 1,1830 1,5709 1,7223 1,1204 1,8385 1,5659

- mČĜení TAM (22 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 0,7089 0,7089 1,3092 1,3092 1,3092 1,6254 1,6254 1,1325 1,1325 1,1325 1,8993 1,8993 0,8174 0,8174 0,8174 1,9036 1,9036 0,6715 0,6715 0,6715 1,9635 1,9636 0,6820 0,6819 0,6820 2,0100 2,0100 0,7730 0,7730 0,7730 1,9713 1,9713 0,7336 0,7335 0,7336 1,9738 1,9738 0,6905 0,6907 0,6906 0,8910 0,8911 1,7716 1,7716 1,7716 0,9459 0,9459 1,9693 1,9693 1,9693 0,9573 0,9573 1,7111 1,7112 1,7112 1,1580 1,1581 1,6027 1,6028 1,6028 0,9522 0,9522 1,8053 1,8052 1,8053 1,0659 1,0660 1,8104 1,8103 1,8104 0,7955 0,7955 2,0399 2,0398 2,0399 0,5631 0,5632 2,0070 2,0071 2,0071 1,1830 1,1830 1,7607 1,7607 1,7607 1,5708 1,5709 1,2239 1,2239 1,2239 1,7223 1,7223 1,3827 1,3828 1,3828 1,1204 1,1204 1,4814 1,4814 1,4814 1,8384 1,8385 0,9793 0,9792 0,9793 1,5660 1,5660 1,2028 1,2028 1,2028 Σ= Rm=

Z [m]

P [m]

rozdíl [m]

5,05 8,45 12,56 12,40 12,37 12,16 12,24 12,28 11,17 14,95 12,23 9,58 15,68 14,94 12,90 15,18 8,35 11,94 16,68 7,13 20,26 2,30 260,81

4,47 8,62 12,32 12,29 12,36 12,53 12,40 12,49 11,77 14,80 12,56 10,23 15,75 14,76 13,52 14,69 8,25 12,06 15,71 7,36 19,29 1,96 260,20

0,58 0,18 0,24 0,11 0,01 0,37 0,17 0,22 0,60 0,15 0,33 0,65 0,07 0,17 0,62 0,49 0,10 0,12 0,97 0,23 0,97 0,35 0,60

521,01

m

Oddíl C – D

I [m] 0,6935 1,3535 1,3475 1,1670 1,7339 1,9680 1,9849 1,7085 1,8881 1,6620 1,8962 1,9552 1,8328 0,7728 0,7823 0,7986 0,7476 0,6581 0,8717 1,1440

- mČĜení ZPċT (21 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 0,6937 0,6936 1,9157 1,9157 1,9157 1,3535 1,3535 0,9901 0,9901 0,9901 1,3477 1,3476 1,6951 1,6951 1,6951 1,1671 1,1671 1,5078 1,5077 1,5078 1,7339 1,7339 1,1458 1,1458 1,1458 1,9679 1,9680 0,5228 0,5229 0,5229 1,9848 1,9849 0,7322 0,7323 0,7323 1,7086 1,7086 0,9823 0,9822 0,9823 1,8880 1,8881 1,0358 1,0359 1,0359 1,6619 1,6620 1,2258 1,2258 1,2258 1,8961 1,8962 1,1299 1,1300 1,1300 1,9551 1,9552 0,9255 0,9253 0,9254 1,8328 1,8328 0,9731 0,9735 0,9733 0,7728 0,7728 2,0523 2,0523 2,0523 0,7823 0,7823 2,0174 2,0176 2,0175 0,7987 0,7987 2,0422 2,0422 2,0422 0,7474 0,7475 2,0216 2,0215 2,0216 0,6582 0,6582 1,8896 1,8896 1,8896 0,8716 0,8717 1,9569 1,9569 1,9569 1,1440 1,1440 1,6422 1,6423 1,6423

délky zámČr

- 46 -

délky zámČr Z [m] 20,12 7,31 15,96 11,87 8,33 14,68 13,41 14,70 15,78 10,11 12,49 14,74 11,77 12,53 12,42 12,46 12,25 12,59 12,50 8,38

P [m] 20,52 7,10 16,49 12,02 8,28 15,31 13,09 14,99 15,71 9,63 12,45 14,95 10,93 12,43 12,15 12,42 12,27 12,14 12,50 8,49

rozdíl [m] 0,40 0,21 0,52 0,16 0,06 0,63 0,32 0,29 0,08 0,47 0,04 0,21 0,84 0,11 0,26 0,04 0,03 0,45 0,00 0,11

PĜílohy x 1,4880

a 1,4880

1,4880

0,8788

0,8788

0,8788 Σ=

4,87 259,26

Rm=

4,97 258,82

518,09

0,09 -0,44 m


Oddíl E – D

I [m] 0,9564 2,0312 1,9606 1,9388 2,3549 1,4245 1,5318 1,7528 1,9703 1,9441 1,5584

- mČĜení TAM (11 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 0,9564 0,9564 1,5447 1,5447 1,5447 2,0313 2,0313 0,8193 0,8195 0,8194 1,9606 1,9606 1,0601 1,0601 1,0601 1,9387 1,9388 0,9185 0,9185 0,9185 2,3549 2,3549 0,6193 0,6193 0,6193 1,4245 1,4245 1,2622 1,2623 1,2623 1,5318 1,5318 1,0919 1,0919 1,0919 1,7526 1,7527 1,1167 1,1167 1,1167 1,9703 1,9703 0,8379 0,8380 0,8380 1,9441 1,9441 0,8695 0,8696 0,8696 1,5583 1,5584 0,9378 0,9379 0,9379 Σ= Rm=

- 47 -


P [m]

rozdíl [m]

3,77 22,10 19,88 19,87 33,02 11,11 7,60 7,25 12,43 12,18 4,76 153,96

3,84 21,99 19,88 19,83 33,26 11,04 7,12 7,61 12,65 12,34 4,74 154,30

0,07 0,11 0,00 0,03 0,24 0,07 0,48 0,36 0,22 0,16 0,02 0,34

308,26

m

PĜílohy x

a

Oddíl D – E

I [m] 0,8795 0,8500 0,8317 1,1111 1,1109 1,2008 0,5326 0,9083 1,0301 0,7868 1,5196

- mČĜení ZPċT (11 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 0,8795 0,8795 1,4881 1,4881 1,4881 0,8503 0,8502 1,9153 1,9153 1,9153 0,8317 0,8317 1,9640 1,9639 1,9640 1,1112 1,1112 1,7510 1,7510 1,7510 1,1110 1,1110 1,5435 1,5435 1,5435 1,2008 1,2008 1,3663 1,3663 1,3663 0,5319 0,5323 2,2670 2,2668 2,2669 0,9082 0,9083 1,9283 1,9285 1,9284 1,0299 1,0300 1,9292 1,9292 1,9292 0,7869 0,7869 2,0022 2,0022 2,0022 1,5196 1,5196 0,9526 0,9526 0,9526 Σ=


P [m]

4,94 12,40 12,58 7,72 7,07 11,14 33,13 19,78 19,83 21,98 3,85 154,40

4,87 12,23 12,53 7,26 7,58 10,94 33,14 19,97 19,80 22,14 3,70 154,17

Rm=


- 48 -

308,56

rozdíl [m] 0,07 0,17 0,05 0,46 0,51 0,19 0,01 0,19 0,03 0,16 0,14 -0,23 m

PĜílohy x

a

Oddíl E – F

I [m] 0,8896 0,9156 0,7112 0,6411

- mČĜení TAM (4 sestavy) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 0,8896 0,8896 1,4578 1,4578 1,4578 0,9156 0,9156 1,8232 1,8231 1,8232 0,7111 0,7112 1,7428 1,7426 1,7427 0,6412 0,6412 1,2786 1,2788 1,2787 Σ=


P [m]

rozdíl [m]

3,85 23,71 23,40 20,68 71,63

3,72 23,90 23,86 20,96 72,43

0,13 0,19 0,46 0,28 0,80

Rm=

m

Oddíl F – E

I [m] 1,3258 1,8105 1,8972 1,5059

- mČĜení ZPċT (4 sestavy) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 1,3258 1,3258 0,6874 0,6874 0,6874 1,8107 1,8106 0,7807 0,7804 0,7806 1,8971 1,8972 0,9872 0,9874 0,9873 1,5059 1,5059 0,9395 0,9395 0,9395 Σ=

144,06


P [m]

20,88 23,76 24,12 4,05 72,81

20,78 23,50 23,64 3,65 71,56

Rm=


- 49 -

144,37

rozdíl [m] 0,10 0,26 0,48 0,41 -1,25 m

PĜílohy x

a

Oddíl B – F

I [m] 0,6292 0,9475 0,8374 0,902 0,9786 0,9459 0,9331 1,4134

- mČĜení TAM (8 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 0,6291 0,62915 1,4781 1,4781 1,4781 0,9475 0,9475 2,0325 2,0326 2,03255 0,8374 0,8374 1,8195 1,8195 1,8195 0,9015 0,90175 1,7019 1,702 1,70195 0,9779 0,97825 1,6171 1,6161 1,6166 0,9459 0,9459 1,5964 1,596 1,5962 0,9331 0,9331 1,941 1,9412 1,9411 1,4133 1,41335 1,3309 1,3309 1,3309 Σ=


P [m]

rozdíl [m]

19,50 30,65 19,59 18,87 30,23 33,03 27,30 3,93 183,10

18,29 29,53 19,55 18,59 29,64 31,41 27,00 3,89 177,91

1,21 1,12 0,04 0,28 0,60 1,61 0,30 0,04 5,19

Rm=

m

Oddíl F – B

I [m] 1,2234 1,9824 1,4340 1,5019 1,7455 1,8634 2,0730 1,5075

- mČĜení ZPċT (8 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 1,2235 1,2235 1,2981 1,2981 1,2981 1,9825 1,9825 0,9777 0,9786 0,9782 1,4339 1,4340 0,7864 0,7865 0,7865 1,5020 1,5020 0,8577 0,8575 0,8576 1,7457 1,7456 0,9656 0,9655 0,9656 1,8633 1,8634 0,8689 0,8690 0,8690 2,0732 2,0731 0,9529 0,9530 0,9530 1,5077 1,5076 0,6941 0,6941 0,6941 Σ=

361,00


P [m]

3,90 26,90 32,33 29,68 18,92 19,62 29,43 19,86 180,63

4,00 27,18 33,00 29,74 18,83 19,67 29,44 19,44 181,30

Rm=


- 50 -

361,92

rozdíl [m] 0,10 0,28 0,67 0,06 0,08 0,05 0,02 0,42 0,67 m

PĜílohy x

a

Oddíl A – F

I [m] 1,0883 0,9997 0,8419 0,8752 1,2271 1,0030 0,8558 0,7668

- mČĜení TAM (8 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 1,0887 1,0885 1,7450 1,7450 1,7450 0,9996 0,9997 1,8047 1,8048 1,8048 0,8418 0,8419 2,1021 2,1021 2,1021 0,8751 0,8752 1,7467 1,7467 1,7467 1,2270 1,2271 0,8831 0,8829 0,8830 1,0029 1,0030 1,9113 1,9112 1,9113 0,8558 0,8558 1,8887 1,8887 1,8887 0,7667 0,7668 1,3823 1,3822 1,3823 Σ=


P [m]

rozdíl [m]

24,93 24,91 26,71 17,06 26,00 23,66 23,59 20,81 187,66

24,79 24,84 26,44 16,78 26,20 23,94 23,75 20,89 187,63

0,14 0,07 0,27 0,28 0,20 0,29 0,16 0,08 0,03

Rm=

m

Oddíl F – A

I [m] 1,2911 1,7945 1,8515 0,8207 1,7629 2,0695 1,6728 1,5946

- mČĜení ZPċT (8 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 1,2911 1,2911 0,6542 0,6543 0,6543 1,7946 1,7946 0,7596 0,7597 0,7597 1,8510 1,8513 0,9429 0,9430 0,9430 0,8207 0,8207 1,1701 1,1701 1,1701 1,7630 1,7630 0,8881 0,8881 0,8881 2,0696 2,0696 0,8140 0,8139 0,8140 1,6729 1,6729 0,8619 0,8619 0,8619 1,5945 1,5946 0,9612 0,9611 0,9612 Σ=

375,28


P [m]

20,78 23,79 23,86 26,06 16,73 26,31 24,71 24,72 186,95

20,83 23,64 23,85 26,06 17,19 26,76 25,13 25,04 188,51

Rm=


- 51 -

375,46

rozdíl [m] 0,05 0,16 0,01 0,00 0,47 0,45 0,42 0,33 1,55 m

PĜílohy x

a

Oddíl F – D

I [m] 1,1944 1,1507 0,8970 1,5692 1,8864 1,9792 2,5012 1,8805 2,3263 1,3308 1,4193 1,6688 1,8796 1,8907 1,4879

- mČĜení TAM (15 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 1,1944 1,1944 1,2704 1,2706 1,2705 1,1507 1,1507 1,6043 1,6042 1,6043 0,8971 0,8971 1,7558 1,7559 1,7559 1,5693 1,5693 0,5441 0,5441 0,5441 1,8863 1,8864 0,6057 0,6058 0,6058 1,9794 1,9793 0,4919 0,4919 0,4919 2,5012 2,5012 0,2350 0,2349 0,2350 1,8805 1,8805 0,8394 0,8395 0,8395 2,3262 2,3263 0,5897 0,5897 0,5897 1,3309 1,3309 1,1687 1,1687 1,1687 1,4194 1,4194 0,9790 0,9791 0,9791 1,6687 1,6688 1,0336 1,0337 1,0337 1,8796 1,8796 0,7482 0,7483 0,7483 1,8907 1,8907 0,8173 0,8173 0,8173 1,4879 1,4879 0,8877 0,8877 0,8877 Σ= Rm=

Z [m]

P [m]

rozdíl [m]

3,77 24,84 31,21 22,77 21,43 24,70 39,27 19,93 32,94 10,93 7,29 7,06 12,52 12,28 5,01 275,96

3,98 24,96 31,03 22,99 21,38 24,97 38,69 19,76 33,40 11,21 7,45 7,77 12,58 12,25 4,51 276,92

0,20 0,12 0,18 0,22 0,05 0,26 0,58 0,17 0,46 0,28 0,16 0,71 0,06 0,03 0,50 0,97

552,88

m

Oddíl D – F

I [m] 0,9379 0,9014 0,8214 1,1013 1,0648 1,2634 0,5699 0,9208 0,3929 0,7250 0,7481 0,8100 1,9083 1,7598 1,4343

- mČĜení ZPċT (15 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 0,9379 0,9379 1,5583 1,5584 1,5584 0,9015 0,9015 1,9777 1,9777 1,9777 0,8213 0,8214 1,9529 1,9531 1,9530 1,1014 1,1014 1,7364 1,7365 1,7365 1,0648 1,0648 1,5039 1,5039 1,5039 1,2635 1,2635 1,4268 1,4268 1,4268 0,5699 0,5699 2,3028 2,3027 2,3028 0,9208 0,9208 1,9449 1,9448 1,9449 0,3928 0,3929 2,6764 2,6763 2,6764 0,7250 0,7250 2,2140 2,2140 2,2140 0,7482 0,7482 2,0278 2,0278 2,0278 0,8100 0,8100 1,8330 1,8330 1,8330 1,9081 1,9082 1,0511 1,0509 1,0510 1,7596 1,7597 1,3087 1,3095 1,3091 1,4343 1,4343 1,3360 1,3360 1,3360 Σ=

délky zámČr

Rm=

- 52 -


P [m]

rozdíl [m]

4,74 12,11 12,67 6,53 6,98 11,03 33,33 19,75 38,68 24,88 21,46 23,09 31,05 24,97 3,95 275,22

4,75 12,47 12,34 8,30 7,77 11,08 32,95 19,92 39,29 24,76 21,36 22,72 31,17 24,79 3,81 277,49

0,01 0,37 0,33 1,77 0,79 0,05 0,37 0,17 0,61 0,12 0,10 0,38 0,12 0,18 0,13 2,27

552,72

m

PĜílohy x

a


Oddíl C – A

I [m] 0,6605 0,7893 0,3810 1,0192 0,8584

- mČĜení TAM (5 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 0,6606 0,6606 1,8833 1,8833 1,8833 0,7889 0,7891 2,1145 2,1145 2,1145 0,3808 0,3809 2,3564 2,3561 2,3563 1,0190 1,0191 1,9854 1,9855 1,9855 0,8584 0,8584 1,8806 1,8807 1,8807 Σ=


P [m]

rozdíl [m]

20,49 20,05 29,60 16,60 20,60 107,33

20,40 20,07 29,75 17,20 20,89 108,31

0,09 0,03 0,15 0,60 0,29 0,98

Rm=

m

Oddíl A – C

I [m] 1,7663 1,7734 2,2134 1,9825 1,9014

- mČĜení ZPċT (5 sestav) þtení na lati vzad (Z=B) vpĜed (P=F) II [m] (I+II)/2 [m] I [m] II [m] (I+II)/2 [m] 1,7664 1,7664 0,7398 0,7397 0,7398 1,7734 1,7734 0,8124 0,8126 0,8125 2,2129 2,2132 0,2312 0,2311 0,2312 1,9825 1,9825 0,6601 0,6602 0,6602 1,9021 1,9018 0,6812 0,6812 0,6812 Σ=

215,64


P [m]

20,81 16,97 29,60 20,03 20,34 107,75

20,85 16,66 29,77 20,13 20,26 107,66

Rm=


- 53 -

215,41

rozdíl [m] 0,04 0,31 0,17 0,10 0,08 -0,08 m

PĜílohy x

a

8.2 Zdrojový kód pro výpoþet vyrovnání pomocí MNý v programu Matlab – podmínkové vyrovnání výškové sítČ clc clear all; format long; mereni=[ 1 0.12024 0.1251 -0.1251 2 0.24630 2.6614 -2.6607 3 0.51860 0.828 -0.8291 4 0.30842 8.3455 -8.3463 5 0.14422 -3.1449 3.1447 6 0.36146 -5.9305 5.9296 7 0.37538 -5.8061 5.8055 8 0.55280 11.4911 -11.4919 9 0.21552 -6.5121 6.5124 ];

Lmer1 = mereni(:,3); Lmer2 = mereni(:,4); r = mereni(:,2); %prumerny vektor mereni Lmer Lmer = 0.5*(Lmer1-Lmer2);

%korelaty k k = -inv(A'*Q*A)*u; %opravy v v = Q*A*k %P2=2*inv(diag(r)); P2=inv(diag(r)); Pvv=v'*P2*v; sigma02=sqrt(Pvv/4) %vyrovnane prevyseni Lvyr Lvyr = Lmer+v; %splneni podminek vyrovanym vektorem prevyseni u_vyr = [Lvyr(3)+Lvyr(9)-Lvyr(2)+Lvyr(4); Lvyr(5)-Lvyr(4)+Lvyr(8); Lvyr(2)+Lvyr(7)-Lvyr(5); Lvyr(1)+Lvyr(6)-Lvyr(7)]; D=A'; K=eye(9,9)-inv(P2)*D'*inv(D*inv(P2)*D')*D; Kdiag=diag(K);

h35 = [216.856]; % 1 2 3 4 5 6 % 34 35 36 1858 2010 2013 H=[h35-Lmer(9,1);h35;h35+Lmer(1,1);h35Lmer(2,1)+Lmer(4,1);h35Lmer(2,1);h35+Lmer(7,1)]; %volba podminek u u = [Lmer(3)+Lmer(9)-Lmer(2)+Lmer(4) Lmer(5)-Lmer(4)+Lmer(8) Lmer(2)+Lmer(7)-Lmer(5) Lmer(1)+Lmer(6)-Lmer(7)]; %matice planu A A= [0 -1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 -1 0 0]'; R=diag([r;r]); P=inv(R); D = [eye(9,9),-eye(9,9)]; Q = D*inv(P)*D';

- 54 -

PĜílohy x

a

8.3 Zdrojový kód pro výpoþet vyrovnání pomocí MNý v programu Matlab – odstranČní sloupce matice A

mereni=[ 1 0.12024 0.1251 -0.1251 2 0.24630 -2.6614 2.6607 3 0.51860 0.828 -0.8291 4 0.30842 8.3455 -8.3463 5 0.14422 -3.1449 3.1447 6 0.36146 -5.9305 5.9296 7 0.37538 -5.8061 5.8055 8 0.55280 11.4911 -11.4919 9 0.21552 -6.5121 6.5124 ];

% 1 2 3 4 5 6 % 34 35 36 1858 2010 2013 A=[0 1 0 0 0 0 0010 1 0 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 -1 0 0 1 0 0001 0 0 1 0 -1 -1 0 0 0 0]; l=Lmer-A*H; dh=inv(A'*P*A)*(A'*P*l); v=A*dh-l Pvv=v'*P*v; sigma02 = sqrt((Pvv)/4)

r = [0.12024 0.24630 0.51860 0.30842 0.14422 0.36146 0.37538 0.55280 0.21552]; Lmer1 = mereni(:,3); Lmer2 = mereni(:,4); %prumerny vektor mereni Lmer Lmer = 0.5*(Lmer1-Lmer2) b=length(Lmer); for i=1:b R(i)=0.5*(r(i)+r(i)); end R=[R(1:b)]'; R=diag(R); %% Matice vah - obousmČrnČ P=inv(R); h35 = [216.856]; % 1 2 3 4 5 6 % 34 35 36 1858 2010 2013 H=[h35-Lmer(9,1);h35+Lmer(1,1);h35Lmer(2,1)+Lmer(4,1);h35-Lmer(2,1);h35+Lmer(7,1)]

- 55 -

PĜílohy x

a

8.4 Zdrojový kód pro výpoþet vyrovnání pomocí MNý v programu Matlab – dekompozice semidefinitní matice

TAM=[ 1 0.12024 0.1251 -0.1251 2 0.24630 2.6614 -2.6607 3 0.51860 0.828 -0.8291 4 0.30842 8.3455 -8.3463 5 0.14422 -3.1449 3.1447 6 0.36146 -5.9305 5.9296 7 0.37538 -5.8061 5.8055 8 0.55280 11.4911 -11.4919 9 0.21552 -6.5121 6.5124 ]; ZPET=[ 1 0.12024 0.1251 -0.1251 2 0.24630 2.6614 -2.6607 3 0.51860 0.828 -0.8291 4 0.30842 8.3455 -8.3463 5 0.14422 -3.1449 3.1447 6 0.36146 -5.9305 5.9296 7 0.37538 -5.8061 5.8055 8 0.55280 11.4911 -11.4919 9 0.21552 -6.5121 6.5124 ]; %% Base point "5" h35 = [216.856]; %% Vektor pĜibližných výšek % 1 2 3 4 5 6 % 34 35 36 1858 2010 2013 H=[h35-TAM(9,3);h35;h35+TAM(1,3);h35TAM(2,3)+TAM(4,3);h35TAM(2,3);h35+TAM(7,3)]; L1 = TAM(:,3); L2 = ZPET(:,4); R1= TAM(:,2); R2= ZPET(:,2); b=length(L1); for i=1:b L(i)=0.5*(L1(i)-L2(i)); R(i)=0.5*(R1(i)+R2(i)); end %% Matice zprĤmČrovaných pĜevýšení L=[L(1:b)]'; %% Matice zprĤmČrovaných délek R=[R(1:b)]'; R=diag(R); %% Matice vah - obousmČrnČ P=inv(R); %% Matice parciálních derivací

% 1 2 3 4 5 6 % 34 35 36 1858 2010 2013 A=[0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 -1 -1 1 0 0 0 0 ]; %% Vektor redukovaných mČĜení l=L-A*H; %% Volání funkce rozklad.m [v,Pvv,Q_x,N]=rozklad(A,P,l); %% Vyrovnaná pĜevýšení dh_vyr=L+v; a=v %% Empirická hodnota stĜední chyby jednotkové (kilometrové) m=size(A)'; n=m(1)-rank(A); m_2 = sqrt((Pvv)/4)

funkce rozklad.m %% Funkce Ĝeší singularitu pomocí rozkladu function [v,Pvv,Q_x,N]=rozklad(A,P,l) NN=A'*P*A; N=0.5*(NN+NN'); %% Symetrie matice %% Volání funkce pozit.m if pozit(N)==0 disp('Matice N není pozitivnČ definitní resp. semidefinitní') else disp('Matice prošla zkouškou na pozitivní definitu resp. semidefinitu') end [U,LAM]=eig(N); c=A'*P*l; d=U'*c; z=d./diag(LAM); z(1)=0; %% Opravy nivelaþních pĜevýšení v=A*U*z-l; Pvv=v'*P*v; %% Kovarianþní matice Q_x=U*inv(LAM)*U';

- 56 -

PĜílohy x

a

funkce pozit.m %%Kontroluje jestli je matice symetrická a pozitivnČ definitní %%resp. semi-definitní function [odpoved] = pozit(A) odpoved = false; [n k] = size(A); if n==k %% Kontrola symetrie B = A; podminka1 = true; for i=1:length(A) for j=1:length(A) if A(i,j)~=B(j,i) podminka1 = false; end end end %% Kontrola pozitivní definity a semidefinity (lambda > 0) podminka2 = true; lam = eig(A); for m=1:length(lam) if lam(m)==0 && lam(m)< 0 podminka2 = false; end end if (podminka1 == true && podminka2 == true) odpoved = true; end end end

- 57 -

PĜílohy x

a

8.5 Zdrojový kód pro výpoþet vyrovnání pomocí MNý v programu Matlab – výšková základna, pĜístroj Sprinter 250M A=[ %H2 H3 1 0 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 1 -1 0 1 0 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 ];

H4 H5 0 %1 0 %2 0 %3 0 %4 0 %5 1 %6 0 %7 1 %8 1 %9 1 %10

H1 = 100; %[m] fix R=[ 0.00988 0.01001 0.01998 0.01986 0.00989 0.01001 0.02986 0.02998 0.01989 0.01997 0.03985 0.03998 0.01001 0.00989 0.02998 0.02988 0.01993 0.01994 0.01001 0.00990];

% merene zamery vzdad (z) a vpred (p) mereni0 = [1.4049 % 1 z11 1.3125 % 2 p21 1.4592 % 3 z12 1.3527 % 4 p32 1.4046 % 5 z23 1.3904 % 6 p33 1.4972 % 7 z14 1.3102 % 8 p24 1.4027 % 9 z25 1.3080 %10 p45 1.4952 %11 z16 1.2204 %12 p56 1.3417 %13 z37 1.2613 %14 p47 1.3556 %15 z28 1.1737 %16 p58 1.4571 %17 z39 1.2891 %18 p59 1.3915 %19 z410 1.3037 %20 p510 ]; % merena prevyseni L = [mereni0(1)-mereni0(2) mereni0(3)-mereni0(4) mereni0(5)-mereni0(6) mereni0(7)-mereni0(8) mereni0(9)-mereni0(10) mereni0(11)-mereni0(12) mereni0(13)-mereni0(14) mereni0(15)-mereni0(16) mereni0(17)-mereni0(18) mereni0(19)-mereni0(20)]; %priblizne vysky H1, H2 ... H5 H0 = [H1 H1+L(1) H1+L(2) H1+L(4) H1+L(6)] L0 = [ H0(2)-H0(1) H0(3)-H0(1) H0(3)-H0(2) H0(4)-H0(1) H0(4)-H0(2) H0(5)-H0(1) H0(4)-H0(3) H0(5)-H0(2) H0(5)-H0(3) H0(5)-H0(4)];

- 58 -

PĜílohy x

a

l = L-L0; P = inv(diag(R)); D=[ %z11 p21 z12 p32 z23 p33 z14 p24 z25 p45 z16 p56 z37 p47 z28 p58 z39 p59 z410 p510 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %2 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %3 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 %6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 %7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 %8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 %9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 %10 ]; Ql = D*inv(P)*D'; N = A'*inv(Ql)*A; %opravy mereni v = -inv(P)*D'*inv(Ql)*(eye(10)-A*inv(N)*A'*inv(Ql))*l mereni = mereni0 + v %opravy vysek H2,H3,H4 a H5 ...H1=100 -fix, bez oprav dH = -inv(N)*A'*inv(Ql)*l H = [H0(2) + dH(1) H0(3) + dH(2) H0(4) + dH(3) H0(5) + dH(4)] Lvyr = [mereni(1)-mereni(2) mereni(3)-mereni(4) mereni(5)-mereni(6) mereni(7)-mereni(8) mereni(9)-mereni(10) mereni(11)-mereni(12) mereni(13)-mereni(14) mereni(15)-mereni(16) mereni(17)-mereni(18) mereni(19)-mereni(20)]; Pvv = v'*P*v sigma01 = sqrt(Pvv/6)*1000 %[mm]

- 59 -

PĜílohy x

a

8.6 Zdrojový kód pro výpoþet vyrovnání pomocí MNý v programu Matlab – výšková základna, pĜístroj Ni 007 A=[ %H2 H3 1 0 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 1 -1 0 1 0 0 0 0 -1 1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 ];

H4 H5 0 %1 0 %2 0 %3 0 %4 0 %5 1 %6 0 %7 1 %8 1 %9 1 %10

H1 = 100; %[m] fix R=[ 0.00988 0.01001 0.01998 0.01986 0.00989 0.01001 0.02986 0.02998 0.01989 0.01997 0.03985 0.03998 0.01001 0.00989 0.02998 0.02988 0.01993 0.01994 0.01001 0.00990];

% merene zamery vzdad (z) a vpred (p) mereni0 = [ 1.5823 1.4900 1.6310 1.5249 1.5624 1.5484 1.6669 1.4800 1.5890 1.4949 1.6939 1.4196 1.4793 1.3990 1.5070 1.3251 1.6189 1.4509 1.5565 1.4691 ]; % merena prevyseni L = [mereni0(1)-mereni0(2) mereni0(3)-mereni0(4) mereni0(5)-mereni0(6) mereni0(7)-mereni0(8) mereni0(9)-mereni0(10) mereni0(11)-mereni0(12) mereni0(13)-mereni0(14) mereni0(15)-mereni0(16) mereni0(17)-mereni0(18) mereni0(19)-mereni0(20)]; %priblizne vysky H1, H2 ... H5 H0 = [H1 H1+L(1) H1+L(2) H1+L(4) H1+L(6)] L0 = [ H0(2)-H0(1) H0(3)-H0(1) H0(3)-H0(2) H0(4)-H0(1) H0(4)-H0(2) H0(5)-H0(1) H0(4)-H0(3) H0(5)-H0(2) H0(5)-H0(3) H0(5)-H0(4)];

- 60 -

PĜílohy x

a

l = L-L0; P = inv(diag(R)); D=[ %z11 p21 z12 p32 z23 p33 z14 p24 z25 p45 z16 p56 z37 p47 z28 p58 z39 p59 z410 p510 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %2 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %3 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 %6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 %7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 %8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 %9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 %10 ]; Ql = D*inv(P)*D'; N = A'*inv(Ql)*A; %opravy mereni v = -inv(P)*D'*inv(Ql)*(eye(10)-A*inv(N)*A'*inv(Ql))*l mereni = mereni0 + v %opravy vysek H2,H3,H4 a H5 ...H1=100 -fix, bez oprav dH = -inv(N)*A'*inv(Ql)*l H = [H0(2) + dH(1) H0(3) + dH(2) H0(4) + dH(3) H0(5) + dH(4)] Lvyr = [mereni(1)-mereni(2) mereni(3)-mereni(4) mereni(5)-mereni(6) mereni(7)-mereni(8) mereni(9)-mereni(10) mereni(11)-mereni(12) mereni(13)-mereni(14) mereni(15)-mereni(16) mereni(17)-mereni(18) mereni(19)-mereni(20)]; mereni0 Pvv = v'*P*v sigma01 = sqrt(Pvv/6)*1000 %[mm]

- 61 -

P esnost nivela ních p evýšení ur ených digitálním nivela ním p ístrojem Leica SPRINTER

Recommend Documents