Oslavy 150. výročí založení Jednoty českých matematiků a fyziků

Výročí založení JČMF Oslavy 150. výročí založení Jednoty českých matematiků a fyziků Josef Kubát, předseda JČMF Na březen příštího roku 2012 připadá 150. výročí založení Jednoty českých matematiků a fyziků (JČMF) – 28. března 1862 se konala ustavující schůze Spolku pro volné přednášky z mathematiky a fysiky, z něhož se postupem času vyvinula dnešní Jednota českých matematiků a fyziků. JČMF tak patří mezi nejstarší profesní organizace sdružující matematiky a fyziky na světě a nejstarší profesní organizaci v naší republice. K oslavě tohoto kulatého výročí je chystána řada akcí pro členy JČMF i širší veřejnost. Hlavní události oslav zde nyní stručně představíme. Dopoledne 28. března 2012, právě v den 150. výročí, se v aule Karolina v Praze uskuteční slavnostní shromáždění JČMF za účasti významných hostů. Odpoledne bude v nedaleké Modré posluchárně následovat panelová diskuse na téma postavení matematiky a fyziky v současném vzdělávání a ve vědě. Program slavnostního dne pak uzavře koncert v Betlémské kapli. Ke 150. výročí bude vydán pamětní almanach, který připomene světlá i temná období v dějinách JČMF, přiblíží její současnou činnost a představí strukturu této odborné společnosti. První číslo 57. ročníku časopisu Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, které vyjde zkraje roku 2012, bude celé věnováno historii i současnosti JČMF. Stejně tak se bude v příštím roce tomuto výročí věnovat i náš časopis Rozhledy matematickofyzikální. V průběhu roku 2012 se v souvislosti s výročím uskuteční mnoho dalších akcí. Pobočky a sekce JČMF chystají svá slavnostní shromáždění, přednášky o význačných osobnostech, které v JČMF působily, a o zajímavých momentech v historii JČMF. Ve spolupráci s dalšími institucemi JČMF chystá výstavy a přednášky popularizující matematiku, fyziku. Založení JČMF připomene také Česká pošta vydáním známky k tomuto výročí. Ročník 86 (2011), číslo 4

1

Výročí založení JČMF

Záštitu nad oslavami převzaly čelní osobnosti veřejných i akademických institucí v našem státě: prezident České republiky prof. Ing. Václav Klaus, CSc., předseda vlády ČR RNDr. Petr Nečas, primátor hlavního města Prahy doc. MUDr. Bohuslav Svoboda, CSc., předseda Akademie věd ČR prof. Ing. Jiří Drahoš, DrSc., dr. h. c., rektor Univerzity Karlovy prof. RNDr. Václav Hampl, DrSc., rektor Českého vysokého učení technického prof. Ing. Václav Havlíček, CSc., a ministr školství ČR Mgr. Josef Dobeš . S programem oslav, seznamem doprovodných akcí a podrobnostmi o jejich konání se můžete seznámit na webových stránkách JČMF na adrese http://jcmf.cz. Tyto stránky budou průběžně doplňovány a aktualizovány. Uvítáme další návrhy na uspořádání akcí, které by veřejnosti připomněly roli matematiky a fyziky v dnešním světě a případně i úlohy odborných společností, jako je JČMF, v jejich rozvoji. Návrhy prosím posílejte na adresu JČMF, Žitná 25, 117 10, Praha 1 nebo na e-mail [email protected].

2

Rozhledy matematicko-fyzikální

MATEMATIKA Vektorové důkazy geometrických nerovností Jarmila Elbelová, PřF MU Brno Abstract. First, the article mentions basic characteristics of the dot product of two vectors in a plane or in a space, and the implementation of the dot product in a contemporary grammar school textbook. Then, the work focuses on the solution of more demanding problems where the dot product of vectors is effectively applicable, although the operation is not mentioned in the problem statement.

Výuka vektorové algebry se na většině současných gymnázií opírá o učebnici [1]. Podle ní proto nejprve připomeneme pojetí velikosti vektoru, skalárního součinu vektorů, Cauchyovu–Schwarzovu a trojúhelníkovou nerovnost. V hlavní části článku pak na šesti úlohách ukážeme, jak lze vektorovou metodu využít k rychlému a efektivnímu řešení úloh, které na první pohled nemají s vektory nic společného. Přesvědčíme se, že mnohdy opomíjené vektorové výpočty mohou poskytnout u některých problémů jednoduchou a přehlednou cestu k jejich řešení. Velikost vektoru u, značená |u|, je v učebnici [1] chápána jako velikost −→ kterékoliv orientované úsečky AB, která tento vektor určuje, takže pak píšeme −→ u = AB = B − A. −→ Zvláštní postavení mezi všemi vektory má nulový vektor o = AA, jehož velikost je rovna nule. V analytické geometrii vektory obvykle určujeme v některé kartézské soustavě souřadnic roviny nebo prostoru. Velikost každého vektoru u = (u1 , u2 ) v rovině je pak dána vztahem |u| =

u21 + u22 ,

podobně pro velikost každého vektoru u = (u1 , u2 , u3 ) v prostoru platí |u| = Ročník 86 (2011), číslo 4

u21 + u22 + u23 . 3

MATEMATIKA

Skalární součin dvou vektorů u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) v rovině je v učebnici [1] definován jako číslo u · v = u1 v1 + u2 v2 , součin dvou vektorů u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) v prostoru pak jako číslo u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . Z takové definice skalárního součinu ihned plyne důležitá rovnost u · u = |u|2 . Rutinními výpočty přes kartézské souřadnice v rovině či prostoru se rovněž ověří důležité vlastnosti skalárního součinu u · v = v · u, cu · v = c(u · v ),

pro každé c ∈ R,

u · (v + w) = u · v + u · w, které budeme při řešení úloh využívat. V učebnici [1] nechybí zdůvodnění důležitého poznatku, že pomocí souřadnic zavedený skalární součin dvou vektorů nezávisí na tom, kterou konkrétní kartézskou soustavu k této konstrukci vybereme. Poté je odvozen vzorec, který vyjadřuje geometrický význam skalárního součinu dvou nenulových vektorů u · v = |u| · |v | cos ϕ,

(1)

kde ϕ ∈ 0, je velikost úhlu, který vektory u a v svírají. K ověřování geometrických nerovností pomocí vektorové metody budeme využívat především Cauchyovu–Schwarzovu nerovnost, která je důsledkem předchozí rovnosti (1), −|u| · |v | ≤ u · v ≤ |u| · |v |.

(2)

Připomeňme, že (2) platí pro libovolné dva vektory u a v v rovině nebo prostoru. Kromě případů u = o a v = o v první, resp. druhé, nerovnosti přitom nastane rovnost, jen když jsou vektory u a v nesouhlasně, 4


MATEMATIKA

resp. souhlasně, rovnoběžné. V některých úlohách budeme namísto nerovnosti (2) využívat její významný důsledek, totiž známou trojúhelníkovou nerovnost |u + v | ≤ |u| + |v |. (3) Rovnost v této nerovnosti nastane právě tehdy, když je buď alespoň jeden z vektorů u, v nulový, nebo jsou (nenulové) vektory u, v souhlasně rovnoběžné. Při důkazech některých nerovností ovšem vystačíme s pouhou zřejmou nerovností |u| ≥ 0, je ovšem třeba správně zvolit vektor u. Úloha 1. Nechť ABC je trojúhelník s těžištěm T . Najděte polohu bodu P v rovině trojúhelníku ABC, při které je hodnota součtu |AP | · |AT | + |BP | · |BT | + |CP | · |CT | minimální.1) Řešení: Pro součiny ze zkoumaného součtu platí odhady −→ −→ −→ −→ −→ −→2 −→ −→ |AP | · |AT | ≥ AP · AT = AT + T P · AT = AT + T P · AT , −→ −→ −→ −→ −→ −→2 −→ −→ |BP | · |BT | ≥ BP · BT = BT + T P · BT = BT + T P · BT , −→ −→ −→ −→ −→ −→2 −→ −→ |CP | · |CT | ≥ CP · CT = CT + T P · CT = CT + T P · CT . −→ −→ −→ Sečtením těchto tří nerovností a s využitím rovnosti AT + BT + CT = o dostaneme |AP | · |AT | + |BP | · |BT | + |CP | · |CT | ≥ |AT |2 + |BT |2 + |CT |2 + −→ −→ −→ −→ + T P · AT + BT + CT = |AT |2 + |BT |2 + |CT |2 . Přitom je zřejmé, že rovnosti ve sčítaných odhadech nastanou pouze pro P = T , neboť bod P musí ležet současně na třech polopřímkách AT , BT , CT . V tomto jediném případě má tedy zkoumaný součet minimální hodnotu. 1)

[2], str. 314, úloha 17, navržená Velkou Británií pro 42. MMO v USA r. 2001.

Ročník 86 (2011), číslo 4

5

MATEMATIKA

Úloha 2. Dokažte, že pro libovolný trojúhelník ABC a každý bod O platí2) |AB|2 + |BC|2 + |CA|2 ≤ 3 |OA|2 + |OB|2 + |OC|2 . Řešení: Na zadanou nerovnost budeme aplikovat ekvivalentní úpravy: −→ −→ −→ −→ −→ −→ 3|OA|2 + 3|OB|2 + 3|OC|2 − |AB|2 − |BC|2 − |CA|2 ≥ 0 −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ 3|OA|2 +3|OB|2 +3|OC|2 −|OB − OA|2 −|OC − OB|2 −|OA− OC|2 ≥ 0 −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ 3|OA|2 + 3|OB|2 + 3|OC|2 − |OB|2 − |OA|2 + 2OB · OA − |OC|2 − −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ − |OB|2 + 2OC · OB − |OA|2 − |OC|2 + 2OA · OC ≥ 0 −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ |OA|2 + |OB|2 + |OC|2 + 2OA · OB + 2OA · OC + 2OB · OC ≥ 0 −→ −→ −→ |OA + OB + OC|2 ≥ 0 Poslední (a tedy i původní) nerovnost platí vždy. Poznámka: Dokázaný výsledek ve speciálním případě, kdy bod O je střed kružnice opsané trojúhelníku ABC, vede při označení r poloměru zmíněné kružnice k odhadu |AB|2 + |BC|2 + |CA|2 ≤ 9r 2 . Úloha 3. Dokažte, že pro kosiny vnitřních úhlů libovolného trojúhelníku ABC platí3) 3 cos α + cos β + cos γ ≤ . 2

Obr. 1 2) 3)

6

[3], str. 299, úloha 15. [4], str. 99, úloha 13.4, část 1.


MATEMATIKA

Řešení: Označme α, β, γ vnitřní úhly trojúhelníku ABC a e1 , e2 , e3 −→ −→ jednotkové vektory souhlasně rovnoběžné po řadě s vektory AB, BC, −→ CA stran trojúhelníka. Pro skalární součiny těchto jednotkových vektorů podle úhlů, které svírají, dostáváme e1 · e2 = − cos β,

e1 · e3 = − cos α,

e2 · e3 = − cos γ.

Pro velikost vektoru e1 + e2 + e3 platí zřejmá nerovnost e1 + e2 + e3 2 ≥ 0, ze které roznásobením a dosazením kosinů úhlů dostaneme 2 0 ≤ e1 + e2 + e3 = 1 + 1 + 1 + 2e1 · e2 + 2e1 · e3 + 2e2 · e3 = = 3 − 2 cos α − 2 cos β − 2 cos γ. Odtud již plyne dokazovaná nerovnost. Úloha 4. Jsou dány dva trojúhelníky, jeden s vnitřními úhly α, β, γ, druhý s úhly α1 , β1 , γ1 . Dokažte, že platí cos β1 cos γ1 cos α1 + + ≤ cotg α + cotg β + cotg γ, sin α sin β sin γ

(4)

přičemž rovnost nastane právě tehdy, když α = α1 , β = β1 , γ = γ1 .4)

Obr. 2

Řešení: Dva trojúhelníky s odpovídajícími úhly podle zadání označme ABC, A1 B1 C1 . Nejprve nerovnost (4) ze zadání vynásobíme číslem sin α sin β sin γ > 0, a dostaneme tak ekvivalentní nerovnost sin β sin γ cos α1 + sin α sin γ cos β1 + sin α sin β cos γ1 ≤ ≤ sin β sin γ cos α + sin α sin γ cos β + sin α sin β cos γ. 4)

(5)

[6], str. 31.


7

MATEMATIKA

Zafixujme α, β, γ a levou stranu L nerovnosti (5) považujme za funkci proměnných α1 , β1 , γ1 , kde α1 > 0, β1 > 0, γ1 > 0 a α1 + β1 + γ1 = . Máme dokázat, že tato funkce nabývá své maximální hodnoty pouze pro α = α1 , β = β1 , γ = γ1 , kdy zřejmě v (5) nastane rovnost. Uvažujme vektory a, b, c souhlasně rovnoběžné postupně s vektory −−→ −−→ −−→ B1 C 1 , C1 A1 , A1 B 1 o velikostech |a| = sin α, |b| = sin β, |c| = sin γ. Pak pro vzájemné skalární součiny těchto vektorů platí a · b = |a| · |b| · (− cos γ1 ) = − sin α sin β cos γ1 , a · c = − sin α sin γ cos β1 , b · c = − sin β sin γ cos α1 . Pro levou stranu L nerovnosti (5) tak dostáváme 1 |a|2 + |b|2 + |c|2 − |a + b + c|2 ≤ L = − a · b + a · c + b · c = 2 ≤

1 2 2 |a| + |b| + |c|2 . 2

Rovnost nastane právě tehdy, když a + b + c = o, když tedy může být z vektorů a, b, c zkonstruován trojúhelník, tzn. trojúhelník s délkami stran sin α, sin β, sin γ a velikostmi protilehlých úhlů α1 , β1 , γ1 . Ze sinové věty plyne, že to lze právě tehdy, když α = α1 , β = β1 a γ = γ1 . Tím je tvrzení o maximu levé strany (5) dokázáno. Úloha 5. Dokažte, že pro délky stran a, b, c, d a úhlopříček e, f libovolného rovinného (konvexního či nekonvexního) nebo prostorového čtyřúhelníku ABCD platí (a + c)2 + (b + d)2 ≥ 2 e2 + f 2 ,

(6)

přičemž rovnost nastane právě tehdy, když ABCD je rovnoběžník.5) 5)

8

Soutěžní úloha na česko-polsko-slovenském střetnutí MO v roce 2010.


MATEMATIKA

Obr. 3

Řešení: Pro vektory stran čtyřúhelníku ABCD −→ a = AB,

b = −→ BC,

−→ c = CD,

−→ d = DE

platí zřejmá rovnost a + b + c + d = o

(7)

a trojúhelníkové nerovnosti |a| + |c| ≥ |a − c| ,

≥ |b − d|. |b| + |d|

(8)

Nerovnosti (8) umocníme na druhou a sečteme, takže dostaneme (a + c)2 + (b + d)2 ≥ a2 + b2 + c2 + d2 − 2a · c − 2b · d = 2 − 2a · b − 2c · d − 2a · c − 2b · d = = |a + b|2 + |c + d| 2 − a · (b + c) − b · (a + d) − c · (a + d) − d · (b + c) = = |a + b|2 + |c + d| −→2 −→2 →2 · (b + c) = 2− AC − 2(−b − c) · (b + c) = = AC + CA − 2(a + d) −→2 −→2 = 2AC + 2BD = 2(e2 + f 2 ), a tím je nerovnost (6) dokázána. Rovnost v ní nastane právě tehdy, když nastane rovnost v obou trojúhelníkových nerovnostech (8), neboli když jsou jak vektory a a c, tak vektory b a d nesouhlasně rovnoběžné. Právě tehdy existují kladná čísla p a q, pro která platí rovnosti c = −pa a d = −qb. Dosazením do (7) dostaneme podmínku (1 − p)a + (1 − q)b = o, Ročník 86 (2011), číslo 4

9

MATEMATIKA

jež s ohledem na lineární nezávislost vektorů a a b znamená, že p = q = 1. Poslední je vyjádřením toho, že ABCD je rovnoběžník. Úloha 6. Mějme posloupnost pětiúhelníků M, M1 , M2 , . . . sestrojených tak, že vrcholy každého následujícího pětiúhelníku leží ve středech stran předchozího pětiúhelníku. Dokažte, že součet obvodů všech těchto pětiúhelníků nepřevyšuje osminásobek obvodu prvního z nich.6)

Obr. 4

Řešení: Nechť ABCDE je počáteční pětiúhelník M s obvodem o, A1 . . . E1 je pětiúhelník M1 s obvodem o1 atd. Trojúhelník BCD rozšíříme na rovnoběžník BCKD tak, že platí −→ −−→ BC = DK,

−→ −−→ BD = CK.

Vrcholy pětiúhelníku A1 . . . E1 mají vyjádření A1 =

1 (A + B), 2 D1 =

odkud

6)

B1 = 1 (D + E), 2

1 (B + C), 2 E1 =

C1 =

1 (C + D), 2

1 (E + A), 2

1 −−→ A1 B 1 = (C − A), 2

[5], str. 103, úloha 5.25.

10


MATEMATIKA

neboli

−→ −−→ AC = 2A1 B 1 .

Analogicky dostaneme −→ −−→ BD = 2B1 C 1 ,

−→ −−→ CE = 2C1 D1 ,

−→ −−→ DA = 2D1 E 1 ,

−→ −−→ EB = 2E1 A1 .

−−→ Pro vektor A1 C 1 platí 1 −→ −→ 1 −−→ A1 C 1 = (C + D − A − B) = AD + BC = 2 2 =

1 −→ −−→ 1 −−→ AD + DK = AK, 2 2

což znamená, že díky trojúhelníkové nerovnosti máme −−→ 1 −−→ 1 −→ −−→ 1 −−→ −→ A1 C 1 = AK ≤ AD + DK = 2D1 E 1 + BC . 2 2 2 Pro vektory stran dalšího pětiúhelníku M2 podobně platí −−→ 1 −−→ 1 −−→ −→ A2 B 2 = A1 C 1 ≤ 2D1 E 1 + BC , 2 4 analogicky −−→ 1 −−→ −→ B2 C 2 ≤ 2E1 A1 + CD , 4 −−→ 1 −−→ −→ C2 D2 ≤ 2A1 B 1 + DE , 4 −−→ 1 −−→ −→ D2 E 2 ≤ 2B1 C 1 + EA , 4 −−→ 1 −−→ −→ E2 A2 ≤ 2C1 D1 + AB . 4 Po sečtení všech pěti nerovností dostáváme o2 ≤ Ročník 86 (2011), číslo 4

1 (2o1 + o), 4 11

MATEMATIKA

a protože je zřejmě o1 ≤ o, plyne odtud o2 ≤

3 o. 4

Dále indukcí pro každé k ≥ 1 získáme odhad o2k+1 ≤ o2k ≤

k 3 o. 4

Součet o + o1 + . . . všech obvodů tedy nepřevyšuje součet řady

2 2 k k 3 3 3 3 3 3 + + ···+ + + ... o = 1+1+ + + 4 4 4 4 4 4

3 =2 1+ + 4

k 2 3 3 2o + ... + + ··· o = = 8o, 4 4 1 − 34

což je právě tvrzení, které jsme měli dokázat.

Literatura [1] Kočandrle, M., Boček, L.: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, 3. vyd. Prometheus, Praha, 2009.

[2] Djukic, D. et al.: The IMO Compendium: A Collection of Problems Sugges-

[3] [4] [5] [6]

ted for the International Mathematical Olympiads: 1959–2004. Springer, New York, 2006. Engel, E.: Problem Solving Strategies. Springer, New York, 1997. Ponarin, Ja. P.: Elementarnaja geometrija, díl 1. MCNP, Moskva, 2004. Prasolov, V. V.: Plane geometry, díl 1. Nauka, Moscow, 1986. Savchev, S., Andreescu, T.: Mathematical Miniatures. The Mathematical Association of America, Washington D.C., 2003.

Řešení úlohy ze str. 33: Sestrojíme kružnice a(A; |AP |), b(B; |BP |), jejich průsečík P , kružnice p(P ; |P S|), p (P ; |P S|), jejich průsečík S , kružnici k (S ; |SA|). Průsečíky kružnic k a k jsou hledané průsečíky kružnice k a kolmice. 12


FYZIKA Entropie nejen ve fyzice Jaromír Kukal, FJFI ČVUT v Praze Abstract. The paper is oriented to physical, statistical and information meaning of the term entropy. Various entropy definitions are used for the calculations and estimations on small examples. The concept of Alfred Renyi is demonstrated here as a generalization of Shannon entropy. The entropy estimates, which are useful in many areas of data processing, are biased in general and this effect is also demonstrated.

Úvod Od té doby, co se Homo Sapiens naučil mluvit, může kdokoli povolaný hovořit v klidu o čemkoli, pokud ovšem posluchači neví, o co jde. Příliš mnoho znalců rozumí medicíně a přesně ví, co je to hysterie, deprese či demence jiných osob. Ani matematika, fyzika či informatika nejsou ušetřeny vpádu nadšenců, kteří vědí, co je to chaos, neuspořádanost, informace či fraktál. Cílem tohoto článku je poskytnout základní informace, které umožní se seznámit s pojmem entropie coby míry neuspořádanosti, která se hojně využívá nejen ve fyzice a matematické statistice, ale i v informatice. Nejlepším úvodem do problematiky entropie je hádka dvou kamarádek o tom, která má větší nepořádek v kabelce. Po vzájemném prošacování bylo zjištěno, že Amélie tam má dvě rtěnky různých barev, hřeben, nůžky a sedm papírových kapesníků. Zuzana tam má dva stejné hřebeny (co kdyby se jeden zlomil), tři stejné rtěnky, dvoje nůžky (člověk nikdy neví) a tři papírové kapesníky. V obou případech je vše jen tak naházeno na dně kabelky. Odpověď nejen na otázku, která z nich je víc nepořádná, naleznete v následujícím pojednání o entropii. Entropie ve fyzice Pojem entropie má svou historii, která začíná studiem termodynamiky tepelných strojů. Mladý francouzský inženýr Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796–1832) pokračoval v rodinné tradici a dospěl k pojmu Carnotův cyklus, čímž usnadnil formulaci druhé věty termodynamické. Na jeho práci navázali mnozí. Jedním z nich byl Rudolf Julius Emanuel Ročník 86 (2011), číslo 4

13

FYZIKA

Clausius (1822–1888), který zavedl pojem entropie. Je to veličina S definovaná jako ΔQ , (1) ΔS = T kde Q je teplo dodané do systému, T je absolutní teplota a Δ je symbol změny příslušné veličiny. Z uvedeného vztahu názorně plyne, že Clausiova entropie je definována pouze relativně a nikoli absolutně. Zároveň vidíme, že jednotkou entropie je J · K−1 . S rozvojem fyziky v 19. století souvisí i nová disciplína: statistická termodynamika. Tu zajímá spíše počet stavů, resp. mikrostavů, daného systému a je lhostejné, zda jde o ideální plyn, krystal nebo obsah kabelky. V souvislosti se studiem počtu mikrostavů ideálního plynu dospěl Ludwig Boltzmann (1844–1906) k vyjádření absolutní entropie libovolného systému v jednoduchém tvaru S = k ln W,

(2)

kde W je počet možných uspořádání (stavů) systému a k = R/NA je Boltzmannova konstanta. Čím větší je neuspořádanost (nepořádek, binec a pod.) systému, tím větší je počet stavů, a tím i entropie. Proto je právem považována za míru neuspořádanosti systému. Položme si otázku, v kolika stavech se mohou nacházet obsahy těch dvou kabelek. Úplně bude stačit si představit, že v příslušné kabelce šmátráme poslepu a bez opakování postupně vyndáváme věci po jedné. Počet stavů kabelky W pak určíme jako počet možností, jak vyprázdnit kabelku. Je-li v ní n druhů objektů o celkovém počtu N , pak jejich četnosti označíme postupně N1 , N2 , . . . , Nn a počet stavů určíme jako počet permutací s opakováním podle známého vztahu W =

N! . N1 !N2 ! . . . Nn !

(3)

Co se Amélie týče, tak n = 5, neboť ty rtěnky mají různou barvu, N = 11, což na první pohled vypadá jako mnohem větší nepořádek než u Zuzany, kde n = 4 a N = 10. Úsudek nás zklamal, neboť 11! = 7 920, 1! 1! 1! 7! 10! = 25 200. = 2! 3! 2! 3!

WAmélie = WZuzana 14


FYZIKA

V Zuzanině kabelce je tedy mnohem více stavů, tedy je větší bordelářka. Počet stavů raději nebudeme dosazovat do vztahu (2), neboť nejde o systém částic ve fyzikálním slova smyslu. Při zkoumání fyzikálních systémů obsahujících velké množství částic, tedy i stavů, ve kterých se mohou nacházet, není příliš vhodné pracovat s faktoriály velkých čísel. Místo toho se pracuje s jejich přirozenými logaritmy a využívá se aproximace ln N ! ≈ N ln N − N,

(4)

kterou odvodil James Stirling (1692–1770). Pokuste se sami dosadit (3) do (2) a po úpravách využít Stirlingův vzorec (4). Pokud se vám podaří využít substituce Ni (5) pi = N pro i = 1, . . . , n, pak jste dospěli ke stejné formuli pro entropii, kterou odvodil Josiash Willard Gibbs (1839–1903), tedy ke vztahu S = −kn

n

pi ln pi .

(6)

i=1

Zde n je počet mikrostavů (např energetických hladin) a pi je kladná pravděpodobnost, že se systém nachází v i-tém mikrostavu. Pokud studujeme 1 kmol látky, pak N = NA a kN = R. Entropie ve statistice a informatice V polovině 20. století se pojmu entropie chopila matematická statistika a teoretická informatika. Claude Elwood Shannon (1916–2001) se nechal inspirovat Gibbsovou formulí (6) a definoval entropii jako základní pojem teorie informace vztahem H =−

n

pi log2 pi .

(7)

i=1

Zde H je Shannonova entropie vyjádřená v bitech, n je počet různých hodnot diskrétní náhodné veličiny a pi jsou kladné pravděpodobnosti jejich výskytu, jejichž součet je roven jedné. Ročník 86 (2011), číslo 4

15

FYZIKA

Pro pocvičení pohlédneme do kabelek očima statistika či informatika. Při náhodném vytažení předmětu z kabelky máme u Amélie jen 5 možností s pravděpodobnostmi 1/11, 1/11, 1/11, 1/11, 7/11. U Zuzany jsou pouze 4 možnosti s pravděpodobnostmi 2/10, 3/10, 2/10, 3/10. Po dosazení dostaneme příslušné entropie jako 1 7 7 1 log2 − log2 ≈ 1,672 9, 11 11 11 11 3 2 3 2 log2 −2 log2 ≈ 1,971. = −2 10 10 10 10

HAmélie = −4 HZuzana

Za příklad dokonalého pořádku by jim mohla sloužit igelitka se šesti stejnými rohlíky, neboť je jenom jedna možnost, co z ní vytáhnout, a to s pravděpodobností rovnou 1. Pak by byla Shannonova entropie H = 0 a menší být ani nemůže (dokažte). Alfréd Renyi a jeho pojetí entropie Pochybovat je lidské, ale jen někdy tím vznikají nové hodnoty. Vzpomeňme euklidovskou geometrii a pochybnosti o tom, zda daným bodem lze vést pouze jednu rovnoběžku s danou přímkou. Pochybovat o tomto axiomu se vyplatilo a dalo to prostor pro vznik neeuklidovských geometrií (Boylai, Lobačevskij, Gauss). Podobně je tomu i se Shannonovou entropií, která splňuje čtyři axiomy. Pokud na nich trváme, tak Shannonova entropie je ta jediná možná. Alfréd Renyi (1921–1970) rozpoznal, že čtvrtý axiom je mnohem slabší než předchozí tři, a tak se rozhodl ho nerespektovat, čímž vytvořil prostor pro jiné pojetí entropie. Rényiova entropie splňující pouze prvé tři axiomy je definována vztahem log2 Hq =

n

i=1

1−q

pqi ,

(8)

kde q je reálný parametr různý od jedné, který určuje konkrétní podobu entropie. Vztah (8) je nejčastěji využíván pro následující hodnoty parametru q: 0, 1, 2 a +∞. Potíž je v tom, že hodnoty q = 1 a q = +∞ nelze přímo dosadit do uvedeného vztahu. Několik limit na procvičení Máme štěstí, že uznáváme pouze kladné hodnoty pravděpodobností. Pak snadno dosadíme q = 0 a dostaneme Hartleyovu entropii jako 16


FYZIKA

log2

n

i=1

p0i

= log2 n. (9) 1−0 Všimněte si, že nezáleží vůbec na příslušných pravděpodobnostech. Je ovlivněna pouze počtem hodnot. Obtížnější situace nastává pro q = 1, kdy musíme vyšetřit příslušnou limitu, která je typu 00 . Pro její výpočet doporučuji vyjádřit dvojkový logaritmus pomocí přirozeného, vzpomenout si na l’Hospitalovo pravidlo a na pravidla pro derivování. Příslušné pravděpodobnosti považujte přitom za kladné konstanty. Po troše námahy vyjde n pi log2 pi . (10) lim Hq = − H0 =

q→1

i=1

Pomocí hodnoty limity (10) můžeme dodefinovat entropii H1 a vzhledem ke shodě se vztahem (7) je Shannonova entropie též označována jako H1 . Prosté dosazení q = 2 vede k pojmu kolizní (kvadratická, korelační) entropie, která je dána vztahem H2 = − log2

n

p2i .

(11)

i=1

S Rényiovou entropií jsou spojeny ještě dvě limity, na kterých můžete trénovat: H+∞ = lim Hq = − log2 max pi

(12)

H−∞ = lim Hq = − log2 min pi

(13)

q→+∞

q→−∞

1≤i≤n

1≤i≤n

Entropie H+∞ se nazývá min-entropie, zatímco méně často používaná entropie H−∞ se nazývá max-entropie. Názvy entropií (12) a (13) souvisí s faktem, že Rényiova entropie Hq (po dodefinování H1 ) je nerostoucí spojitou funkcí parametru q. Takové tvrzení se pokuste dokázat (těžké). Určitě se vám podaří najít případ, kdy Rényiova entropie nezávisí na q (lehké). V případě Amélie již víme, že H1 = 1,672 9. Snadno určíme H0 = 11 = log2 5 = 2,321 9, H2 = log2 121 53 = 1,190 9, H+∞ = log2 7 = 0,652 1 a konečně i H−∞ = log2 11 = 3,459 4, takže názorně vidíme pokles Réniyovy entopie s rostoucí hodnotou parametru q. Ročník 86 (2011), číslo 4

17

FYZIKA

Analogicky je u Zuzany H1 = 1,971, H0 = log2 4 = 2, H2 = log2 100 26 = = 1,737 a H = log 5 = 2,321 9, tedy opět = 1,943 4, H+∞ = log2 10 −∞ 2 3 pokles entropie. Při použití Shannonovy, kolizní nebo min-entropie sice zjistíme, že Zuzana je více nepořádná, avšak použití Hartleyovy nebo max-entropie hovoří naopak v neprospěch Amélie. Takové dilema čeká každého, kdo měří různými metry“, a těžko se ” tomu můžeme divit. Constantino Tsallis a jeho pojetí entropie Při zobecňování Boltzmann–Gibbsovy entropie dospěl Constantino Tsallis (nar. 1943) čistě fyzikálními úvahami k alternativnímu vzorci pro tzv. Tsallisovu entropii 1−

n i=1

Tq =

pqi

q−1

,

(14)

kde q je opět reálný parametr různý od jedné, který určuje konkrétní podobu entropie. Zajímavé jsou opět některé jednoduché a limitní případy formule (14) uvedené již jen jako přehled vztahů k individuálnímu procvičení: 1− T0 =

n

i=1

p0i

0−1

lim Tq = −

q→1

n

=n−1

(15)

pi ln pi

(16)

i=1

lim Tq = 0

(17)

lim Tq = +∞

(18)

q→+∞

q→−∞

Tsallisova entropie je opět nerostoucí funkcí parametru q (dokažte) a nemůže být záporná (to jsme očekávali). Zajímavé je rovněž porovnat vztahy (16), (10) a (7). Tsallisova entropie tedy není zobecněním 18


FYZIKA

Shannonovy entropie, neboť se liší základem logaritmu. Pokud bychom v aplikacích cítili potřebu porovnání Renyiovy, Shannonovy a Tsallisovy entropie, pak musíme Tsallisovu entropii vydělit přirozeným logaritmem dvou. Odhad entropie s využitím experimentálních četností Loutkoherec Josef Skupa (1892–1957) řekl ústy Spejbla památnou větu: Fyzika je teorie a pokusy jsou praxe.“ Rozpor mezi teorií a její ” praktickou realizací může vzniknout i ve statistice a informatice. Představme si ideální hrací kostku, pro kterou je n = 6 a příslušné teoretické pravděpodobnosti jsou rovny 1/6. Pak dostaneme snadno teoretickou hodnotu Shannonovy entropie H1 = log2 6 = 2,585. Praxe začíná tím, že se rozhodneme kostku několikrát vrhnout a sledovat experimentální četnosti jednotlivých hodnot. Přitom je lhostejné, zda kostka je dokonale vyvážena (nerealizovatelné) nebo ne, či zda místo vrhání kostkou raději využijeme generátor pseudonáhodných čísel na počítači. Při 10 vrzích reálnou kostkou mi vyšly četnosti: 2, 2, 1, 2, 3, 0. Po vydělení počtem vrhů snadno obdržíme odhady pravděpodobností nastalých pěti jevů jako 2/10, 2/10, 1/10, 2/10 a 3/10. Po dosazení do vztahu (7) nás čeká rozčarování z praxe“, neboť vyjde odhad Shan” nonovy entropie H1 = 2,246 4, což je žalostně málo“. Pokud bychom ” uvedených 10 vrhů několikrát opakovali a ze získaných hodnot entropie vypočetli aritmetický průměr, pak to odstranit systematické vychýlení odhadu nepomůže. Matematická statistika definuje pojem vychýlení odhadu jako rozdíl mezi střední hodnotou odhadu a hodnotou teoretickou. V případě hrací kostky tedy musíme konstatovat záporné vychýlení odhadu Shannonovy entropie. S uvedeným nešvarem, kdy odhad je o kus vedle“ než skuteč” nost, bojuje matematická statistika například zvyšováním počtu experimentů. Proto jsem se odhodlal, tentokrát s využitím počítače, simulovat 100, 1 000 a 10 000 vrhů kostkou. Příslušné odhady Shannonovy entropie pak byly: 2,579 2, 2,579 6 a 2,584 7, což již vypadá optimisticky, i když soustavné záporné vychýlení přetrvává. Plyne z toho velké poučení: pokud chceme odhadovat entropii z experimentálních četností jednotlivých jevů, potom musíme mít k dispozici velký počet pokusů (realizací náhodného jevu). Uvedeným postupem můžeme potlačit vychýlení odhadu entropie na přijatelnou míru, ale obecně ho nemůžeme vynulovat.


19

FYZIKA

K obdobnému jevu dochází i při odhadování Renyiovy nebo Tsallisovy entropie a při zpracování dat s ním musíme počítat. Rozhodně je třeba učinit vše pro to, aby četnosti sledovaných jevů byly co nejvyšší, což je jedna z cest, jak zmenšit vychýlení odhadů entropie. Díky smysluplným aplikacím entropie existuje celá řada odhadů, které nejsou založeny na relativních četnostech jevů, ale na podmíněných pravděpodobnostech. Takové odhady mají malé vychýlení i při relativně malém množství dat, ale jejich teorie překračuje rámec tohoto článku. Aplikace entropie Klasická entropie ve fyzikálním slova smyslu nachází široké uplatnění při termodynamických výpočtech souvisejících s návrhem i provozováním tepelných strojů (turbíny, kompresory, motory, chladící zařízení) a chemických zařízení (chemické reaktory, absorbéry, destilační kolony). Entropie jako nástroj statistiky a informatiky slouží k charakterizaci neuspořádanosti dat. Z relativních četností znaků v neznámém textu můžeme odhadnout entropii, a tak se pokusit o charakterizaci jazyka, stylu psaní nebo dokonce autora textu. Někdy se ke stejným cílům analýzy textového dokumentu hodí lépe relativní výskyt dvojic (obecně n-tic) za sebou jdoucích znaků. Obecně jde o analýzu fragmentů textu, celých slov a jejich skupin. Pomocí entropie můžeme analyzovat hudební melodie, rytmy či celé skladby, které jsou snadno konvertovatelné na posloupnost znaků. Analogicky můžeme posloupnosti znaků vytvářet z libovolných časových průběhů (EKG, EEG, technologické veličiny), a tak získat cenné informace pro biomedicínskou nebo technickou diagnostiku. Samostatnou kapitolou je využití entropie při analýze bodových množin, kdy z hodnot entropie v různém rozlišení usuzujeme na možný fraktální charakter množiny a odhadujeme její dimenzi. Literatura [1] Novák, J.: Fyzikální chemie I. VŠCHT, Praha, 1999. [2] Rényi, A.: On measures of information and entropy. Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability, 1961, str. 547–561. [3] Tsallis, C.: On measures of information and entropy. Journal of Statistical Physics 52 (1988), str. 479–487.

20


INFORMATIKA Oblouky Stanislav Trávníček, PřF UP, Olomouc Abstract. The paper shows how mathematical calculations and computational technology made it possible to solve a practical problem which occurred during a house construction. Computational technology enabled the user to choose the shape of the archs at the entrance terraces of the house. It also provided the information necessary for direct preparation of practical equipment needed for the construction to be realized.

Pro člověka 21. století, i když není informatik, se počítač stává pracovní pomůckou, která jemu nebo lidem blízkým pomáhá řešit různé problémy, s nimiž se setkává. A někdy k tomu ani nemusí používat nějaký speciální špičkový software a vystačí si s tím, co se naučil ve škole. Projekt novostavby jednoho domu obsahoval kryté vstupní terasy, které byly shora uzavřeny vyzděnými oblouky. Tyto oblouky měly být všechny stejného charakteru, různé šířky, ale stejné výšky. Při vlastní stavbě zedníci (jen s malými zkušenostmi s oblouky) zhotovili pomocnou konstrukci, po jejímž osazení se ukázalo, že její tvar má do plánovaného tvaru kruhových oblouků docela daleko. Úkolem proto bylo nalézt jiný vhodný tvar oblouku, který by co nejvíce kopíroval tvar provedené stavební přípravy a přitom by oblouky zůstaly mírné a působily příjemně. Stanovení, který oblouk působí příjemně, je ovšem věcí subjektivního rozhodnutí, to nerozhodne počítač. Avšak pomocí počítače můžeme poskytnout podporu rozhodování tím, že předložíme k posouzení výběr různých tvarů oblouků; tak to v praxi skutečně proběhlo. Ukažme si nyní postup v daném konkrétním případě, při němž autor aktivně spolupracoval. Pracovalo se za rozumného předpokladu, že všechny tyto oblouky mají být souměrné podle svislé osy, takže při jejich konstrukci stačí počítat jen jednu polovinu oblouku a pro znázornění druhé už pak lze využít osové souměrnosti. Zavedeme si souřadnicovou soustavu dle obr. 1 vzhledem k tomu, že číslování řádků v grafice jde shora dolů. Šířku vstupu – velikost úsečky AB – nazveme 2G, výšku oblouku AOB nazveme H; bod B má tedy souřadnice [G; H] a bod A má souřadnice [−G; H]. Parametry G a H budou volitelné. Nyní uvážíme některé Ročník 86 (2011), číslo 4

21

INFORMATIKA

křivky, které by mohly sloužit jako horní oblouk vstupů do domu. O

x

A

B y Obr. 1

a) Kruhový oblouk Rovnice hledané kružnice (prochází počátkem a střed má na kladné poloose y) je x2 + (y − r)2 = r 2 , tedy

x2 + y 2 − 2ry = 0.

(1)

Dosaďme sem souřadnice bodu B a dostaneme G2 + H 2 − 2rH = 0, odkud r=

G2 + H 2 . 2H

Z (1) pak máme y=r−

(2)

r 2 − x2 ,

(3)

kde r je dáno vztahem (2). (Před odmocninou je znaménko −“, neboť ” nás zajímá dolní“ oblouk kružnice.) ” b) Oblouk kvadratické paraboly Jde o parabolu s rovnicí

y = ax2 .

(4)

Dosaďme sem souřadnice bodu B, odkud H = aG2 , tedy a= Ze (4) pak máme y= 22

H . G2 Hx2 . G2

(5) Rozhledy matematicko-fyzikální

INFORMATIKA

c) Oblouk kubické paraboly Jde o parabolu s rovnicí y = ax3 . Postupujeme stejně – dosadíme do rovnice souřadnice bodu B, odkud H = aG3 , tedy H a = 3. G Dostaneme y=

Hx3 . G3

(6)

d) Oblouk elipsy Rovnice elipsy (prochází počátkem a střed má na kladné poloose y) je x2 (y − b)2 + = 1. (7) 2 a b2 Zajímá nás dolní“ půlelipsa, resp. její část, v okolí vedlejšího vrcholu O. ” Tuto část budeme volit pomocí reálného čísla K ∈ (0, 1), a to tak, že H = Kb. (Pro K = 1 je obloukem celá půlelipsa, pro K < 1 jen její část kolem vedlejšího vrcholu.) Volbou H a K je tedy zadáno i b: b=

H K

(8)

Do rovnice (7) dosaďme souřadnice bodu B: G2 (H − b)2 + =1 2 a b2 Druhý člen na levé straně je (H − b)2 = b2

2 H K2 h− · 2 = K 2 − 2K + 1, K H

takže a2 = Ročník 86 (2011), číslo 4

G2 . K(2 − K) 23

INFORMATIKA

Ze (7) máme

x2 (y − b)2 = b2 1 − 2 , a

odkud H y= K

1−

K(2 − K)x2 1− G2

.

(9)

Nyní můžeme na základě zadání G, H, K tyto křivky vykreslovat. Pro větší názornost přidejme ještě svislé boční stěny (od bodů A, B dolů) o délce H0. Zadává se tedy: výška boků, tj. H0, např. 200 cm, výška oblouku, tj. H, např. 30 cm, poloviční šířka, tj. G, např. 100 cm a při volbě elipsy se zadává ještě koeficient K, např. 0,7. Sestavíme-li program jen se zcela minimálním komfortem, ale tak, aby byl názorný pro uživatele, můžeme dostat např. tento: program Oblouky; {$F+} uses Graph, Crt; const Ox = 100; {poloha osy x: pocet bodu shora} Oy = 320; {poloha osy y: pocet bodu zleva} type UserFunc = function(X: Real): Real; var grDriver, grMode, ErrCode: Integer; OrigMode, DruhObl, G, H0, H: Integer; K: Real; function Y1(X: Real): Real; {kruznice (3)} var Q, R: Real; begin {Y1} R := (G * G + H * H)/(2 * H); Q := (R * R - X * X); Y1 := R - Sqrt(Q) end; {Y1} function Y2(X: Real) : Real; begin {Y2} Y2 := H * (X / G) * (X / G) end; {Y2} 24

{kvadr.parabola (5)}


INFORMATIKA

function Y3(X: Real): Real; {kubic.parabola (6)} begin {Y3} Y3 := H * (X / G) * (X / G) * (X / G) end; {Y3} function Y4(X: Real) : Real; {cast K pulelipsy (9)} var Q: Real; begin {Y4} Q := 1 - K * (2 - K) * (X / G) * (X / G); Y4 := (H / K) * (1 - Sqrt(Q)) end; {Y4} procedure SestrojBoky; var Ii,Jj : Integer; begin SestrojBoky SetColor(White); Line(-G+Oy,Ox+H,-G+Oy, Ox+H0+H); Line(-G+Oy-1,Ox+H,-G+Oy-1, Ox+H0+H); Line(G+Oy,Ox+H,G+Oy, Ox+H0+H); Line(G+Oy+1,Ox+H,G+Oy+1, Ox+H0+H) end; {SestrojBoky} procedure ZobrazFunkci(F: UserFunc; FuncColor: Integer); var Xx, Yy: LongInt; {souradnice na obrazovce} X, Y: Real; {skutecne hodnoty} begin {ZobrazFunkci} for Xx := 0 to G do begin X := Xx; Y := F(X); Yy := Round(Y) + Ox; PutPixel(Xx + Oy, Yy, FuncColor); PutPixel(Xx + Oy, Yy-1, FuncColor); PutPixel(-Xx+ Oy, Yy, FuncColor); PutPixel(-Xx+ Oy, Yy-1, FuncColor) end end; {ZobrazFunkci} Ročník 86 (2011), číslo 4

25

INFORMATIKA

begin program repeat OrigMode := LastMode; TextMode(C80+Font8x8); ClrScr; WriteLn(’Oblouky:’); WriteLn; WriteLn(’1 = kruhovy’); WriteLn(’2 = kvadraticka parabola’); WriteLn(’3 = kubicka parabola’); WriteLn(’4 = elipticky’); WriteLn(’0 = konec’); WriteLn; Write(’Volba: ’); ReadLn(DruhObl); if not(DruhObl in [1..4]) then Halt; WriteLn; WriteLn(’Zadej v cm:’); Write(’vyska boku = ’); ReadLn(H0); Write(’vyska oblouku = ’); ReadLn(H); Write(’polovicni sirka = ’); ReadLn(G); if DruhObl = 4 then begin Write(’Zadej K v (0,1): ’); ReadLn(K) end; {Zobrazeni} grDriver := Detect; InitGraph(grDriver,grMode,’’); ErrCode := GraphResult; if ErrCode = grOk then begin SestrojBoky; case DruhObl of 1: ZobrazFunkci(Y1,Yellow); 2: ZobrazFunkci(Y2,Yellow); 3: ZobrazFunkci(Y3,Yellow); 4: ZobrazFunkci(Y4,Yellow) end; ReadLn; CloseGraph end else 26


INFORMATIKA

begin CloseGraph; WriteLn(’Graphics error: ’, GraphErrorMsg(ErrCode)) end until false end. {program} Užitím tohoto programu je možné (vhodnou volbou parametrů) předvádět různé případy oblouků. Uživatel zadá výšku a šířku svých vstupů i výšku a tvar oblouků a na základě jejich zobrazení v příjemné velikosti posoudí jejich estetické působení. Program volí měřítko 1 cm = 1 bod obrazovky, takže není třeba nic přepočítávat, čáry jsou zdvojeny, takže na obrazovce je zajištěna i zřetelnost a názornost. Ukázky výsledků práce programu jsou na obr. 2a až 2d. V obrázcích je zvoleno G = 75 cm, H = 30 cm, H0 = 50 cm (zde jen pro šetření místem v časopisu, ale celkový dojem je možné lépe posoudit, když se zadá výška H0 bočních zdí v plné hodnotě).

Obr. 2a: Kruhový oblouk

Obr. 2c: Kubická parabola

Obr. 2b: Kvadratická parabola

Obr. 2d: Eliptický oblouk, K = 0,7

Oblouků elipsy lze vytvořit více nejen volbou různých výšek a šířek oblouku, ale též různou volbou parametru K. V daném konkrétním případě se posuzují jednotlivé oblouky pro všechny projektované vstupní terasy o zadaných výškách a šířkách a po ukázce více případů může zvítězit u stavebníka eliptický oblouk s parametrem K = 0,5 (obr. 3; zde G = 125 cm, H = 40 cm). Ročník 86 (2011), číslo 4

27

INFORMATIKA

Obr. 3: Eliptický oblouk, K = 0,5

Reálně zadané parametry vedou k vytvoření požadovaných oblouků (obr. 4a až 4c).

Obr. 4a: Čelní vstupní terasa

Obr. 4b: Zadní terasy

28


INFORMATIKA

Obr. 4c: Boční vstupy

Pomoc při rozhodování o tvaru oblouků však je jen první částí akce. Počítač pak totiž pomůže i při samotné stavbě domu. V Excelu se dají vytvořit tabulky souřadnic bodů vybraných oblouků a pomocí nich zhotovit šablony určené přímo pro zedníky vytvářející a vyzdívající zvolené oblouky (obr. 5). Připomeňme, že x jsou vzdálenosti od vrcholu oblouku k jeho okrajům.

Obr. 5

Zde je proveden výpočet pro oblouk šířky 2G = 2 m, ale vzhledem k jeho symetrii se uvažuje jen jeho polovina. Výška oblouku je zde H = 30 cm, koeficient K = 0,5. Výraz pod odmocninou ve vzorci (9) dostaneme jako Q ve sloupci B =1-$H$1*(2−$H$1)*A4*A4/($D$1*$D$1) Ročník 86 (2011), číslo 4

29

INFORMATIKA

(příkaz umístíme do B4) a odsud vypočteme y do sloupce C vztahem =$F$1*(1−ODMOCNINA(B4))/$H$1 (příkaz umístíme do C4). To slouží pro vytvoření šablon, tedy lišt, na nichž je odměřeno 0,1 + y dolů od vodorovné linky vedené 10 cm nad vrcholem oblouku (obr. 6a,b).

Obr. 6a: Vodorovná linka

Obr. 6b: Definitivní vyzdívání

Obr. 6c: Hotovo

30


PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL O jedné geometrické konstrukci Emil Calda, MFF UK Praha Abstract. The article deals with the construction of a perpendicular from a given point to the diameter of a given circle. The construction has to be done using only a straightedge.

Představme si, že je dána kružnice k s průměrem AB a bod P , který na přímce AB neleží. Máte-li k dispozici pravítko a kružítko, není jistě problém vést bodem P k přímce AB kolmici. Dokážete ji však sestrojit i v případě, že můžete používat pouze pravítko? Je tato konstrukce s vyloučením kružítka vůbec proveditelná? Jestliže se nad touto úlohou zamyslíte a načrtnete si několik obrázků, brzy zjistíte, že je nutno uvážit, jakou polohu bod P vzhledem k dané kružnici zaujímá. Jde zřejmě o následující možnosti: 1. bod P leží vně kruhu ohraničeného kružnicí k, a to a) vně pásu určeného tečnami k této kružnici v bodech A, B, b) uvnitř tohoto pásu, c) na tečnách ke kružnici v bodech A, B; 2. bod P leží uvnitř kruhu ohraničeného kružnicí k; 3. bod P leží na kružnici k. V první z uvedených možností postupujeme podle obr. 1a takto: Určíme průsečíky C, D kružnice k s přímkami P A, P B a dále společný bod P přímek BC a AD. Než budete číst dále, zkuste si zdůvodnit, že přímka P P je hledaná kolmice k přímce AB. Důvod je zřejmý: Podle Thaletovy věty jsou úhly ADP a ACP pravé, což znamená, že úsečky P D a P C jsou výšky trojúhelníku P AP na strany AP a AP , které se protínají v bodě B. Výška na stranu P P prochází nutně bodem B, což znamená, že přímka P P je kolmá na přímku AB. Ve druhém případě znázorněném na obr. 1b sestrojíme hledanou kolmici podobně jako v obr. 1a. Bod P je průsečík přímek BC a AD; to, že přímka P P je hledaná kolmice k přímce AB si už jistě umíte zdůvodnit sami. Ročník 86 (2011), číslo 4

31

PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL

P

P k

D C

C

B

P

A

B

A D

P

k

Obr. 1a

Obr. 1b

Ve třetím případě předpokládejme, že bod P leží například na tečně v bodě B. Pak buď bod C, nebo D splyne s bodem B a přímka P B je přímo hledaná kolmice. Leží-li bod P uvnitř kruhu ohraničeného kružnicí k, určíme podle obr. 2 bod P jako společný bod přímek AC a BD a snadno zdůvodníme, že přímka P P je kolmá na přímku AB. P

D C

P

A

B

k Obr. 2

32


PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL

Poslední z pěti možností je ta, ve které bod P leží na kružnici k. Je znázorněna na obr. 3, kde Q je libovolný bod zvolený tak, že leží vně kruhu ohraničeného kružnicí k a uvnitř pásu určeného tečnami k této kružnici v bodech A, B. Bodem Q vedeme pouze s použitím pravítka kolmici k přímce AB (což už umíme) a sestrojíme její průsečíky Q1 , Q2 s kružnicí k. Označme dále R průsečík přímek AB a P Q2 a sestrojme bod P jako společný bod kružnice k a přímky Q1 R. Z této konstrukce plyne, že přímka P P je kolmá na přímku AB. Stačí si uvědomit, že přímka Q1 R je obrazem přímky Q2 R v osové souměrnosti s osou AB a dále že kružnice je souměrná podle svého průměru. Odtud dostáváme, že bod P je v souměrnosti s osou AB obrazem bodu P , takže přímka P P je kolmá na přímku AB. Q Q1

P

R A

B k P

Q2 Obr. 3

V řešené úloze je ke konstrukci kolmice k dané přímce použito pouze pravítko. Zkuste vyřešit podobnou úlohu, kde můžete použít pouze kružítko. V takovém případě je přímka chápána jen jako dvojice bodů. Úloha: Je dána kružnice k se středem S a koncové body A, B průměru této kružnice. Dále je dán bod P , ležící na kolmici k úsečce AB, ale ne na úsečce AB, přičemž kolmice neprochází bodem S. Pouze užitím kružítka sestrojte průsečíky kolmice a kružnice k. (Řešení najdete na str. 12 ) Literatura [1] Herman, J. a kol.: Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií, Geometrické konstrukce. Prometheus, Praha, 2009. Ročník 86 (2011), číslo 4

33

SOUTĚŽE 53. ročník Fyzikální olympiády, úlohy 1. kola kategorií E a F Ivo Volf, Pavel Kabrhel, ÚKFO, UHK, Hradec Králové V 1. kole dostává soutěžící nabídku sedmi úloh, z toho jedna úloha je experimentální. Řešení alespoň pěti úloh musí odevzdat a ty by měly být hodnoceny aspoň 5 body z 10 možných. FO53EF1: Stavební materiál Palety s pórobetonovými tvárnicemi se z automobilu, jehož ložná plocha je ve výšce 1,6 m, zvedají na stavbě domu do výše 4. nadzemního podlaží; zvýšené přízemí má výšku podlahy 2,4 m nad terénem, změna výšky podlah mezi dvěma sousedními podlažími je 2,8 m. Tvárnice o rozměrech 300 mm×249 mm×599 mm mají hustotu 650 kg·m−3 , prodávají se na dřevěných paletách o hmotnosti 65 kg, na každé je umístěno celkem 30 tvárnic. a) Jak velkou práci musí vykonat jeřáb, jestliže zvedá paletu s tvárnicemi z automobilu do 4. podlaží? b) Jestliže účinnost, tj. poměr užitečné a celkové práce, je u jeřábu 70 %, jak velkou práci musí vykonat elektromotor jeřábu? c) Po upevnění palety lanky na rameno jeřábu nastane zvedání, které trvá 3,0 minuty. Jaký nejmenší výkon musí mít motor jeřábu? d) Jestliže ponese stavební dělník v krosně“ na zádech dvě tvárnice ” z přízemí a do 4. podlaží se dostane za 4,0 min, jaký je výkon dělníka? FO53EF2: Stavíme zeď z pórobetonu Při stavbě prodejny je třeba nejprve postavit zadní stěnu skladu o délce 24 m a o výšce 6,0 m, ve které nebudou ani dveře ani okna. Pórobetonové tvárnice mají rozměry 300 mm × 249 mm × 599 mm; hustota tvárnic je 650 kg · m−3 . Tvárnice se kladou na betonový základ a vytvoří se stěna o šířce 30 cm. Cena jedné tvárnice je podle ceníku asi 140 Kč. a) Kolik tvárnic je třeba na postavení takové zdi? Kolik palet je třeba objednat? Kolik korun budou stát tvárnice na tuto stěnu? 34


SOUTĚŽE

b) Jaká je hmotnost uvedených tvárnic? Jakou silou působí na betonový základ? Jaký tlak tyto tvárnice vytváří na betonový základ? c) Kdyby stejná zeď byla vytvořena z cihel spojovaných klasickou maltou, byly by síla působící na základ a tlak na úrovni základu stejné nebo různé? Hustota cihel se pohybuje mezi 1 400 až 2 000 kg · m−3 (pro výpočet berte střední hodnotu) a hustota malty spojující cihly je asi 1 700 kg · m−3 . d) Jak se dá vypočítat práce, kterou je třeba vykonat při postavení této stěny? FO53EF3: Pokusy na stavbě Žáček-fyzikáček se dostavil za tatínkem na stavbu, kde našel několik různých předmětů a vanu tvaru dutého kvádru s vodou. Jeho nalezené předměty byly: půl cihly o hustotě 1 700 kg · m−3 , půlka pórobetonové tvárnice o rozměrech 3,0 dm × 2,5 dm × 3,0 dm o hustotě 650 kg · m−3 , půlka stejné tvárnice určené k vnitřnímu zdění o hustotě 550 kg · m−3 , špalík tvaru kvádru o rozměrech 10 cm × 20 cm × 25 cm ze smrkového dřeva o hustotě 450 kg·m−3 a plechový kanystr tvaru kvádru o rozměrech dna 20 cm×25 cm, objemu přibližně 15 litrů a hmotnosti 0,50 kg, v němž je neprodyšně uzavřen zbytek oleje o hmotnosti 2,5 kg. Žáček začal klást postupně jednotlivé předměty na povrch vody. a) Co mohl pozorovat žáček-fyzikáček poté, co položil předměty na povrch vody? b) Dá se stanovit, do jaké hloubky se ponořily jednotlivé předměty po uvolnění ruky? Nakresli náčrty a snaž se vypočítat některý údaj, který by charakterizoval chování předmětů. c) Co se stalo s hladinou vody, když umístil všechny předměty na vodní hladinu? d) Náhle žáčka tatínek odvolal a předměty zůstaly ve vodě. Žáček se vrátil zpátky až druhý den ráno. Popište, co mohl žáček-fyzikáček vidět, když se nikdo jiný předmětů nedotýkal? FO53EF4: Cesty po Austrálii Několik bohatých přátel se dohodlo, že uspořádají automobilový výlet po dálnici v jižní Austrálii, z okraje Perthu až na hranici města Adelaide. Pokusili se celou cestu naplánovat. Protože je lepší se opřít o mapu, najděte si na internetu příslušný článek volné encyklopedie Wikipedia (viz obrázek): http://en.wikipedia.org/wiki/Highways in Australia Ročník 86 (2011), číslo 4

35

SOUTĚŽE

a) Zjistěte si čísla dálkových silnic a na stránkách si odměřte vzdálenosti celé trasy. b) Najděte si příslušné dálkové trasy na seznamu Highways a zkontrolujte si své měření. c) Kdybyste jeli po celé trase mírnou rychlostí 90 km/h, jak dlouho by cesta trvala? d) Jak dlouho byste jeli stejnou rychlostí až do Brisbane, pokud pojedete po dálkových silnicích nejkratší cestou? e) Na silnici najdete zajímavou dopravní značku, kterou v České republice neuvidíte. Co tato značka asi vypovídá? FO53EF5: Rychlíková souprava Rychlíková souprava stojí u nádražního nástupiště a právě se dala do pohybu. Zrychluje se po dobu 40 s, až dosáhne rychlosti 72 km/h, touto stálou rychlostí jede po dobu 1,5 min a potom začne znova zrychlovat tak, že za dalších 50 s zvýší svou rychlost na 108 km/h. Touto rychlostí pokračuje rychlík po dobu 3,5 min a nakonec začne mírně brzdit, takže za dobu 2,5 min se zastaví u nástupiště následující železniční stanice. 36


SOUTĚŽE

Rozjíždění a zpomalování rychlíku budeme považovat za lineární změny v závislosti na čase. a) Jak dlouho souprava jede z první stanice do druhé, tj. od startu k zastavení? b) Nakresli si graf závislosti rychlosti pohybu rychlíku na čase, v(t). c) Urči dráhu, kterou urazí rychlík při rovnoměrných pohybech. d) Urči, jakou dráhu ujel rychlík při zrychlování a při zpomalování. e) Jaká je vzdálenost obou železničních stanic? Jaké průměrné rychlosti rychlík dosáhl? FO53EF6: Kudy cestoval Marco Polo? Jeden z největších italských cestovatelů středověku byl Marco Polo, který se vydal na svých cestách až do daleké Číny. Jeho cestu lze přibližně sledovat na následující mapě:

a) Najdi trasu, popsanou v přiložené mapce, na soudobých mapách a stanov délku cesty mezi jednotlivými popsanými místy. b) Představ si, že máš k dispozici malé letadlo, jež dosáhne cestovní rychlosti 360 km/h. Podle popisu cesty stanov, kde jsou vhodná letiště, a urči, jak dlouho by daná cesta trvala dnes. Ročník 86 (2011), číslo 4

37

SOUTĚŽE

c) Přečti si nebo alespoň prohlédni české vydání cestopisu Marka Pola. d) Na podrobnější satelitové mapě na www.GoogleEarth3D.com se pokus sledovat cestu Marca Pola po střední a východní Asii. FO53EF7: Voda v rychlovarné konvici Do rychlovarné konvice s příkonem 2 000 W bylo nalito 0,5 l vody o měrné tepelné kapacitě c = 4 200 J/(kg · K) a teplotě 20 ◦C. Voda se ohřála na teplotu 100 ◦C. a) Vypočítej teplo, které bylo potřeba k ohřátí vody. b) Voda se ohřívala 110 s. Vypočítej výkon rychlovarné konvice a její účinnost. c) Při dalším ohřívání bylo do konvice nalito 1,5 l vody opět o teplotě 20 ◦C. Voda se nyní ohřívala 280 s. Vypočítej účinnost rychlovarné konvice a porovnej výsledky v případech b) a c). Čím je způsoben rozdílný výsledek? FO53EF8: Vlak mezi stanicemi Jeden strojvůdce vyjíždí ze stanice Výchozí, po dobu 100 s se rychlost vlaku rovnoměrně zvětšuje a v okamžiku, kdy vlak dosáhne rychlosti 72 km/h, začne vlak rovnoměrně brzdit, až po době 100 s zastaví ve stanici Následující. Další den jede ve vlaku po stejné trase ze stanice Výchozí druhý strojvůdce, který rychlosti 72 km/h dosáhne již po době 50 s, chvíli touto rychlostí jede rovnoměrně a pak po stejnou dobu 50 s rovnoměrně brzdí, až zastaví ve stanici Následující. a) Nakresli graf změn rychlosti vlaku v závislosti na čase pro vlak řízený prvním strojvůdcem. b) Bez výpočtu, jen prostou úvahou urči, který strojvůdce projel vzdálenost mezi stanicemi dříve. c) Nakresli do téhož grafu záznam změn rychlosti vlaku řízeného druhým strojvůdcem a ověř svou úvahu graficky. d) Ověř svou úvahu v části b) úlohy výpočtem. FO53EF9: Čištění bazénu a déšť Z hygienických důvodů bylo třeba vyčistit plavecký bazén, a proto byla vypuštěna voda. Bazén má rozměry 20 m × 50 m a vodorovné dno. Náhle se spustil prudký liják, který přinesl srážky 120 litrů na čtverečný metr plochy bazénu. Pak se liják změnil na vytrvalý déšť, který způsobil srážky dalších 80 litrů na každý metr čtverečný. a) Do jaké výšky dosáhla celkem hladina dešťové vody v bazénu? b) Kolik vody napršelo do bazénu (urči objem i hmotnost vody)? 38


SOUTĚŽE

c) Ve skutečnosti nebývá dno bazénu vodorovné, ale mírně klopené, takže představuje změnu 10 cm na 5 metrů ve směru délky bazénu. Pomocí logické úvahy urči, zda po lijáku či po vytrvalém dešti bylo alespoň zaplněno celé skloněné dno bazénu. FO53EF10: Přeprava dubových kmenů Na přívěsu nákladního tahače je naloženo celkem 14 kmenů, každý o délce 6,0 m a průměru 45 cm na užším a 55 cm na širším konci, které je třeba dopravit na pilu. Hustota bukového dřeva je 720 kg/m3 . Hmotnost prázdného tahače je 6,0 t. a) Vymysli jednoduchý způsob, jak určit nejprve objem každého kmenu, nahradíme-li skutečný tvar válcem. Objem válce je V = r 2 l, kde r je poloměr válce a l jeho délka. b) Jakou silou musí zvedat jeřáb při nakládání každý z kmenů? c) Jak určíte práci jeřábu při zvedání každého kmene na ložnou plochu? Výsledek své úvahy alespoň odhadněte. d) Na ložnou plochu, která je ohraničena na každém boku třemi kovovými svislými tyčemi, se naloží čtyři kmeny, na ně se umístí tři kmeny, poté opět čtyři a nakonec tři kmeny. Náklad je pak zajištěn řetězy. Nejprve dobře promysli a potom nakresli, jak vypadá náklad, pozorovaný zezadu. FO53EF11: Rychlíková souprava v pohybu Rychlíková souprava se skládá z 15 vagónů určených pro osobní dopravu, každý o délce mezi nárazníky 26,4 m, jež táhne elektrická lokomotiva o celkové délce 14,0 m. Souprava vyjíždí přesně v 16.00 po dvojkolejné trati z klidu ze stanice Výchozí a dosáhne po době 1,5 min rychlosti 90 km/h, kterou jede dále. Po následujících 2,0 minutách dorazí lokomotiva na okraj mostu o délce 480 m, který projíždí stálou rychlostí. Když most opouští konec posledního vagónu, začne rychlík mírně brzdit a po době 3,0 min se zastaví v následující stanici. a) Načrtni graf změn rychlosti v závislosti na čase, v(t). b) Jaká je dráha, kterou urazí lokomotiva rychlíku mezi startem a zastavením v následující stanici? c) V kolik hodin zastaví rychlík v následující stanici? d) Jak dlouho míjí strojvůdce rychlíku most? e) Jak dlouho jede rychlík po mostě? f) Na základě výpočtů sestroj přesněji graf rychlosti v závislosti na čase při pohybu mezi oběma stanicemi. Ročník 86 (2011), číslo 4

39

SOUTĚŽE

FO53EF12: Ledovce v Arktidě jsou ohroženy? Dlouhodobá měření glaciologů (vědců, kteří se zabývají geofyzikálními problémy ledu) dospívají k závěrům, že v posledních letech neustále ubývá led v Arktidě v okolí severního zeměpisného pólu. V zimě bývá rozloha ledu v Arktidě asi 12 milionů km2 a průměrná tloušťka ledu asi 5,0 m, v létě je rozloha ledové pokrývky asi 9 milionů km2 a průměrná tloušťka ledové vrstvy jen asi 3,0 m. Rozloha ledu v létě se však postupně zmenšuje. Hustota ledu je 920 kg/m3 , hustota mořské vody 1 020 kg/m3 . a) Vysvětli, proč právě v arktické a antarktické oblasti se led udržuje. Načrtni obrázek. b) Vypočti, jaký je objem ledu v Arktidě v zimě a v létě. c) Vypočti, jaká je hmotnost ledové vrstvy v Arktidě v zimě a v létě. d) Jestliže k roztátí 1 kg ledu je třeba dodat ledu 330 kJ, urči, kolik tepla spotřebuje ledová vrstva k roztátí během jarního období. Odkud se teplo ledové vrstvě dodává? e) Najdi si na Wikipedii stránku, která se zabývá změnami ledové pokrývky v Arktidě. f) Proč může být ohrožena populace ledních medvědů? FO53EF13: Kolik energie spotřebuje počítač? V dnešní době se většina domácností snaží zmenšit energetickou spotřebu, a tím i rostoucí náklady. Jedním z velmi častých spotřebičů v domácnostech je počítač. a) Vypočítej elektrický příkon počítače při normálním provozu, je-li připojen ke střídavému napětí 230 V a odebírá-li ze sítě proud 0,5 A. b) Při startu počítače, nebo při hraní některých her se energetická spotřeba výrazně zvýší. Jaký proud odebírá počítač, je-li připojen k napětí 230 V a jeho příkon je 207 W? c) Dnešní průměrná cena elektrické práce je 4,5 Kč za každou kWh. Jestliže je počítač využíván ke hraní her průměrně 2,5 hodiny denně, jaká bude roční cena za spotřebu při hraní her? d) I přesto, že počítač vypneme, stále koná elektrickou práci. Jeho příkon je zmenšen asi na 10 W. Kolik korun zaplatíme za roční spotřebu spícího“ počítače, který nebude zapnutý, pouze jen zapojen do elek” trické sítě? Jak se tato cena změní, nebude-li se jednat o domácnost, ale o školu s 50 počítači, když se nevypínají ani na noc ani na víkendy? 40


SOUTĚŽE

FO53EF14: Monitory u počítačů Není to moc dávno, kdy většina lidí měla na stole místo plochého LCD displeje rozměrnou CRT obrazovku. Aby se prodloužila její životnost a lehce se ušetřila energetická spotřeba, používal se na ní spořič obrazovky; čím obrazovka méně svítila, tím se její životnost více prodlužovala. U dnešních LCD displejů nemá spořič obrazovky žádný význam, naopak spotřebu zvyšuje. Místo spořiče se většinou monitor při nečinnosti vypne, nebo počítač přejde do tzv. režimu spánku. a) Kolik korun ušetříš za rok, jestliže místo spořiče obrazovky“ využí” váš režim spánku? Příkon počítače při zapnutém spořiči je asi 90 W, při režimu spánku jen asi 12 W. Za každou spotřebovanou elektrickou práci 1 kWh zaplatíš 4,5 Kč. Počítač je zapnutý a nevyužíván denně průměrně 1 hodinu. b) Při snížení jasu monitoru si chráníme nejen zrak, ale i ušetříme. Kolik korun ušetříš při snížení jasu ze 100 % na 50 % ? Příkon monitoru při jasu 100 % je 50 W a při jasu 50 % 40 W. Počítač je denně průměrně používán 6 hodin, z toho 1 hodinu je v režimu spánku. c) Při vypnutí počítač zůstává v pohotovostním režimu (tzv. stand-by). Jaké jsou výhody a nevýhody tohoto režimu? FO53EF15: Rezistory mezi dvěma body sítě Při sestavování elektrických obvodů se může stát, že mezi třemi body A, B, C elektrické sítě jsou zapojeny tři rezistory. V prvním případě vytvoří trojúhelník: mezi body A, C je rezistor RB , mezi body A, B je rezistor RC a mezi body B, C je rezistor RA . Můžeme však uvnitř trojúhelníku ABC zvolit bod O a rezistory R1 , R2 , R3 zapojíme postupně mezi body A-O, B-O, C-O, takže vznikne trojcípá hvězda. První zapojení rezistorů se nazývá do trojúhelníku“ a druhé do hvězdy“. Existuje ” ” velmi jednoduchý způsob, jak ze zapojení do trojúhelníku, jež obsahuje uzavřenou smyčku a píšou se pro ni obtížně matematické vztahy, obdržet zapojení do hvězdy. Provede se to tak, že např. mezi dvěma body A, C při zapojení do trojúhelníku musíme uvážit dvě větve, v jedné je rezistor RB , ve druhé sériově zapojené rezistory RC a RA . Při zapojení do hvězdy jsou oba body sítě spojeny dvěma rezistory R1 a R3 . Napište si obdobně vztahy pro dvojice bodů A, B a B, C a najděte způsob výpočtu. FO53EF16: Tělesa se po nakloněné rovině mohou sunout nebo valit Tělesa umístěná na nakloněnou rovinu se můžou sunout, valit, nebo zůstanou na místě, kam byla položena. Záleží na tvaru tělesa, respektive na rozložení látky v tělese a na úhlu, který svírá nakloněná rovina Ročník 86 (2011), číslo 4

41

SOUTĚŽE

s rovinou horizontální. Na těleso, například tvaru krychle, umístěné na nakloněnou rovinu působí gravitační síla, kterou můžeme rozložit na dvě složky (obr. 1). První složka způsobuje pohyb tělesa po nakloněné rovině, druhá těleso k nakloněné rovině přitahuje. Dále na těleso působí nakloněná rovina normálovou silou a proti pohybu tělesa třecí silou. Jestliže úhel nakloněné roviny budeme zvětšovat, při určitém úhlu nebude již úsečka znázorňující gravitační sílu procházet podstavou tělesa a může dojít k jeho převrácení (obr. 2). Jsou-li podmínky i nadále stejné, dochází k dalšímu převracení tělesa a těleso se začne valit. Příkladem takového tělesa je například tužka, která se i při malém úhlu nakloněné roviny začne valit. Ještě lepší je kulička.

FN Ft F1

α

Fg

Obr. 1

F2 α

Fg

Obr. 2

Úkolem úlohy je prozkoumání pohybu těles po nakloněné rovině při sunutí a valení. Úvodní otázky: 1) Kdy dojde při projíždění zatáčky automobilem ke smyku? 2) Kdy dojde při projíždění zatáčky automobilem k jeho převrácení na bok? 3) Čím je způsobeno, že terénní automobil Hummer na rozdíl od běžného městského automobilu může vyjet strmé kopce? 4) Plastové eurofólie se prodávají například po padesáti kusech. Jsou velmi hladké, a tak se stává, že při rozdělání balíčku se všechny po sobě hladce sunou a rozsypají se. Jak by se daly eurofólie upravit, aby zůstaly průhledné, hladké a zároveň se po sobě nesmekaly? 42


SOUTĚŽE

5) Lepší pračky s vrchním plněním zastaví buben s prádlem po praní tak, aby byl víkem nahoru a nemusel s ním člověk otáčet. Těsně předtím můžeme slyšet, jak motor pračky lehce pootočí bubnem, aby dostal víko bubnu nahoru. Buben pračky se však častokrát vrátí do původní polohy. Vysvětli toto chování. Dřevěná kostička na nakloněné rovině Pomůcky: Delší dřevěná deska nebo prkno (asi 2 metry, je možné použít například i delší stůl, který lze vypodložit, apod.), dřevěná krychle (vhodná je například kostička o délce strany asi 4 cm), gumička, úhloměr. Popis: Dřevěnou kostičku umísti na horní konec nakloněné roviny. Rovina musí být vypodložená tak, aby se kostička pohybovala dolů ve směru nejdelší hrany a nespadla z nakloněné roviny dříve, než bude na dolním konci. Proveď tři měření pro tři různé úhly. První úhel nakloněné roviny by měl být co nejmenší, ale zároveň takový, aby se kostička dala do pohybu. Druhý úhel by měl být asi kolem 40◦ a poslední úhel asi kolem 60◦ . Poté navlékni na kostičku dvě gumičky, každou gumičku na jinou stranu. Proveď opět tři měření se stejnými úhly nakloněné roviny, jako jsi měl v prvním případě. Při každém měření zkus vypozorovat, jaký pohyb kostička koná a jak se tento pohyb mění s větším úhlem nakloněné roviny. Zamysli se ve všech třech případech nad výslednicí síly F1 a třecí síly. Dutý a plně naplněný válec na nakloněné rovině Pomůcky: Delší dřevěná deska nebo prkno (opět asi 2 metry), dutý otevíratelný válec (vhodná je například nádoba ve tvaru válce od léků nebo od instantního čaje), úhloměr, voda, olej a sypký materiál (písek, mouka apod.). Popis: Prázdný válec umísti na horní konec nakloněné roviny. Rovina musí být vypodložená tak, aby se válec pohyboval dolů ve směru nejdelší hrany a nespadl z nakloněné roviny dříve, než bude na dolním konci. Proveď jedno měření. Úhel nakloněné roviny by měl být co nejmenší, ale zároveň takový, aby se válec dal do pohybu. Poté naplň plně válec sypkým materiálem. Proveď opět jedno měření se stejným úhlem nakloněné roviny, jako jsi měl v prvním případě. Při každém měření zkus vypozorovat, jaký pohyb válec koná. Stejné měření proveď s válcem plně naplněným vodou a nakonec olejem. Porovnej pohyb válce ve všech čtyřech měřeních. Ročník 86 (2011), číslo 4

43

SOUTĚŽE

Válec z poloviny naplněný na nakloněné rovině Pomůcky: Stejné jako v předchozím měření. Popis: Válec z poloviny naplněný sypkým materiálem umísti na horní konec nakloněné roviny. Rovina musí být vypodložená tak, aby se válec pohyboval dolů ve směru nejdelší hrany a nespadl z nakloněné roviny dříve, než bude na dolním konci. Proveď jedno měření. Úhel nakloněné roviny by měl být co nejmenší, ale zároveň takový, aby se válec dal do pohybu. Poté naplň z poloviny válec vodou. Proveď jedno měření. Úhel nakloněné roviny by opět měl být co nejmenší, ale zároveň takový, aby se válec dal do pohybu. Při každém měření zkus vypozorovat, jaký pohyb válec koná. Stejné měření proveď s válcem z poloviny naplněným olejem. Porovnej pohyb válce ve všech třech měřeních. Na závěr experimentální úlohy zodpověz úvodní problémové otázky. Olej nevylévej do odpadu, dá se použít ještě na smažení. K zápisu protokolu o řešení experimentální úlohy si zvol vhodný pracovní list, v němž uvedeš jednak všechny použité pomůcky, jednak popíšeš pokusy, které je potřeba vykonat, popíšeš pozorované výsledky. Pokus se také vysvětlit, proč děje probíhají tak, jak je můžeš pozorovat. Nezapomeň ke každému pokusu nakreslit situační nákresy a další obrázky, aby bylo jasné, jak jsi pokus vykonal. Náměty pro práci ve Fyzikální olympiádě můžeš najít na webové stránce Fyzikální olympiády http://fyzikalniolympiada.cz, případně na www.uhk.cz/fo, či na http://cental.uhk.cz.

44


ZPRÁVY Ústřední kolo 60. ročníku Matematické olympiády Jiří Herman, Gymnázium Brno, tř. Kpt. Jaroše, předseda KK MO Jihomoravského kraje Organizací ústředního kola jubilejního 60. ročníku nejstarší předmětové soutěže v České republice, Matematické olympiády, bylo pověřeno Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše. Letošní ročník tak vyvrcholil na celostátní úrovni od neděle 27. března do soboty 2. dubna 2011 v Brně. Ve dnech 27. 3. – 30. 3. probíhalo ústřední kolo kategorie A, kterého se zúčastnilo čtyřicet nejlepších řešitelů krajských kol, a ve dnech 30. 3. – 2. 4. se konalo ústřední kolo kategorie P s dvaceti devíti soutěžícími. Osm soutěžících z uvedených počtů prožilo v Brně celý týden – tito studenti se totiž probojovali do nejvyššího kola obou kategorií. V pondělí 28. března zároveň proběhlo zasedání Ústřední komise Matematické olympiády. Záštitu nad pořádáním celostátního kola Matematické olympiády přijali rektor Masarykovy univerzity Petr Fiala, hejtman Jihomoravského kraje Michal Hašek a primátor města Brna Roman Onderka. Soutěž byla slavnostně zahájena v neděli 27. března 2011 v aule gymnázia na třídě Kpt. Jaroše. Slavnostního ceremoniálu, v jehož úvodu zahráli a zazpívali studenti místního gymnázia, se kromě soutěžících a členů ÚK MO zúčastnili zástupci sponzorů a partnerských škol a také představitelé města Brna a Jihomoravského kraje. Večerem provázel ředitel pořádajícího gymnázia Jiří Herman, který k mikrofonu postupně pozval místohejtmana Jihomoravského kraje, senátora Stanislava Juránka, děkana spolupořádající Fakulty informatiky Masarykovy univerzity Jiřího Zlatušku a předsedu Jednoty českých matematiků a fyziků Josefa Kubáta. S matematickou přednáškou vystoupil nedávný absolvent gymnázia a současný učitel Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity Lukáš Vokřínek , bývalý úspěšný reprezentant ČR v mezinárodních matematických olympiádách, který v letech 1997–99 vybojoval jednu stříbrnou a dvě bronzové medaile. Na závěr slavnosti pronesl otevírací formuli předseda Ústřední komise Matematické olympiády Jaromír Šimša. Ročník 86 (2011), číslo 4

45

ZPRÁVY

V Brně se však v průběhu týdne nejen soutěžilo. Pro účastníky připravili organizátoři zajímavé doprovodné akce, mezi které patřily prohlídka historické části města Brna, exkurze do Moravského krasu či večerní návštěva představení v divadle Radost. S velkým zájmem se u řešitelů kategorie P setkala i podrobná prohlídka počítačových laboratoří na Fakultě informatiky. Ke kvalitnímu zvládnutí celého soutěžního týdne značnou měrou přispěli partneři soutěže z řad brněnských podnikatelů a firem i Skupina ČEZ, která má jako jedna z mála velkých firem ve své sponzorské strategii podporu vzdělávání a která již čtvrtým rokem konání ústředního kola MO podporuje. Vyhlášení výsledků kategorie A proběhlo ve středu 24. 3. v aule gymnázia. Slavnostní ukončení ústředního kola a vyhlášení výsledků kategorie P se konalo v pátek 1. 4. v budově Fakulty informatiky Masarykovy univerzity (viz další článek). Vítězové kategorie A: 1. Anh Dung Le (3/6, G Tachov, Pionýrská), 41 b. 2. Tomáš Zeman (8/8, GJK Praha 6, Parléřova), 37 b. 3. Michael Bílý (8/8 GJV Klatovy, Nár. mučedníků), 34 b. 4. Miroslav Koblížek (8/8 G Žamberk, Nádražní), 28 b. 5. Jan Kuchařík (3/4 G Jihlava, Jana Masaryka), 25 b. 6. – 9. Tadeáš Dohnal (8/8 GChD Praha 5, Zborovská), Filip Hlásek (8/8 G Plzeň, Mikulášské nám), Jakub Solovský (4/4 GMK Bílovec) a Štěpán Šimsa (6/8 GJJ Litoměřice, Svojsíkova), všichni 23 b. 10. – 11. Ondřej Bartoš (7/8 G Žďár n. S., Neumannova) a Dan Šafka (8/8 GJK Praha 6, Parléřova), oba 22 b. Další úspěšní řešitelé kategorie A: 12. – 13. Jiří Biolek (6/6 GPB Frýdek-Místek) a Lubomír Grund (6/8 G Zábřeh), oba 21 b. 14. Jan Sopoušek (8/8 G Brno, Řečkovice), 20 b. 15. – 20. Hana Dlouhá (6/8 GJK Praha 6, Parléřova), Matěj Hudec (4/4 G Liberec, Jeronýmova), Dominik Steinhauser (3/4 GJK Praha 6, Parléřova), Jan Stopka (3/4 G Brno, tř. Kpt. Jaroše), Helena Svobodová (6/6 G Frýdlant n. O.) a Dominik Teiml (4/6 The English College, Sokolovská), všichni 19 b. 46


ZPRÁVY

Na závěr ještě uveďme, jaké úlohy soutěžící řešili: 1. Určete velikosti vnitřních úhlů všech trojúhelníků ABC s vlastností: Uvnitř stran AB, AC existují po řadě body K, M , které s průsečíkem L přímek M B a KC tvoří tětivové čtyřúhelníky AKLM a KBCM se shodnými opsanými kružnicemi. (Jaroslav Švrček ) 2. Určete všechny trojice (p, q, r) prvočísel, pro něž platí (p + 1)(q + 2)(r + 3) = 4pqr. (Jaromír Šimša) 3. Předpokládejme, že reálná čísla x, y, z vyhovují soustavě rovnic x + y + z = 12,

x2 + y 2 + z 2 = 54.

Dokažte, že pak platí následující tvrzení: a) Každé z čísel xy, yz, zx je alespoň 9, avšak nejvýše 25. b) Některé z čísel x, y, z je nejvýše 3 a jiné z nich je alespoň 5. (Jaromír Šimša) 4. Uvažujme kvadratický trojčlen ax2 + bx + c s reálnými koeficienty a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2. Adam a Boris hrají následující hru: Je-li na tahu Adam, vybere jeden z koeficientů trojčlenu a nahradí ho součtem zbylých dvou. Pokud je na tahu Boris, vybere jeden z koeficientů a nahradí ho součinem zbylých dvou. Adam začíná a hráči se pravidelně střídají. Hru vyhrává ten, po jehož tahu má vzniklý trojčlen dva různé reálné kořeny. Určete, který z hráčů má vítěznou strategii v závislosti na koeficientech a, b, c počátečního trojčlenu. (Michal Rolínek ) 5. V ostroúhlém trojúhelníku ABC, který není rovnostranný, označme P patu výšky z vrcholu C na stranu AB, V průsečík výšek, O střed kružnice opsané, D průsečík polopřímky CO se stranou AB a E střed úsečky CD. Dokažte, že přímka EP prochází středem úsečky OV . (Karel Horák ) 6. Označme R+ množinu všech kladných reálných čísel. Určete všechny funkce f : R+ → R+ takové, že pro libovolná x, y ∈ R+ platí 1 . f (x) f (y) = f (y) f x f (y) + xy (Pavel Calábek )


47

ZPRÁVY

Ústřední kolo 60. ročníku Matematické olympiády – kategorie P Pavel Töpfer, MFF UK Praha Letošní jubilejní 60. ročník Matematické olympiády byl zakončen ústředním kolem kategorií A a P, které se konalo v Brně ve dnech 27. 3. – 2. 4. 2011. Kategorie P probíhala již tradičně ve druhé polovině týdne, od středy 30. 3. 2011, v přímé návaznosti na ústřední kolo kategorie A. Ústřední kolo kategorie P organizovali pracovníci gymnázia na tř. Kpt. Jaroše v Brně ve spolupráci se svými kolegy z Fakulty informatiky Masarykovy univerzity v Brně. V prostorách fakulty se také celá soutěž odehrávala. Odbornou část soutěže zajistili pracovníci a studenti z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze. Připravili soutěžní úlohy, zajistili opravování a také soutěžní prostředí na počítačích (testovací data, vyhodnocovací software). V ústředním kole MO kategorie P soutěžilo 29 ze 30 pozvaných nejlepších řešitelů krajských kol soutěže. Přitom osm z nich se probojovalo do ústředního kola MO v obou kategoriích. První soutěžní den ústředního kola je teoretický, stejně jako v krajském kole se v něm nepoužívají počítače. Studenti v této části soutěže řeší tři úlohy zaměřené na návrh efektivního algoritmu pro zadaný problém. Úlohy obvykle tematicky navazují na domácí a krajské kolo, jedna z teoretických úloh vždy pracuje s nějakým neobvyklým výpočetním modelem, který prochází všemi koly příslušného ročníku olympiády. Druhý soutěžní den ústředního kola je praktický, studenti v něm soutěží u počítačů. Řešení dvou praktických úloh je třeba dovést až do podoby odladěných funkčních programů. Odevzdané programy jsou po skončení soutěže testovány pomocí předem připravené sady testovacích vstupních dat, přičemž se hodnotí nejen správnost dosažených výsledků, ale i rychlost výpočtu. Pomocí časových limitů omezujících dobu výpočtu programu lze odlišit kvalitu různých řešení z hlediska časové složitosti zvoleného algoritmu. Praktická část ústředního kola MO-P probíhá v obdobných podmínkách a podle stejných pravidel, jaká se uplatňují i při mezinárodních středoškolských olympiádách v informatice. Za každou teoretickou soutěžní úlohu lze získat maximálně 10 bodů, za každou z praktických úloh až 15 bodů. V každém ze soutěžních dnů 48


ZPRÁVY

tak může soutěžící obdržet nejvýše 30 bodů. Úspěšnými řešiteli letošního ústředního kola se stalo prvních 15 účastníků, z nichž 7 nejlepších bylo vyhlášeno vítězi ústředního kola. Pro všechny úspěšné řešitele připravili organizátoři s přispěním místních sponzorů pěkné věcné odměny. Vítězové: 1. Hynek Jemelík (4/4 G Brno, tř. Kpt. Jaroše), 45 b. 2. Lukáš Folwarczný (7/8 G Havířov, Komenského), 37 b. 3. Filip Hlásek (8/8 G Plzeň, Mikulášské nám), 36 b. 4. Jakub Zíka (8/8 G Praha, Nad Alejí), 33 b. 5. Vojtěch Přikryl (4/4 G Brno, tř. Kpt. Jaroše), 29 b. 6. – 7. David Krška (4/4 G České Budějovice, J. V. Jirsíka) a Michal Mojzík (4/4 SPŠ a VOŠ Chomutov), oba 27 b. Další úspěšní řešitelé: 8. Jiří Setnička (6/6 G Praha, Čakovice), 26 b. 9. Jan Polášek (8/8 G Turnov), 25 b. 10. Štěpán Šimsa (6/8 G Litoměřice, Josefa Jungmanna), 24 b. 11. – 12. Daniel Stahr (8/8 G Litoměřice, Josefa Jungmanna) a Martin Zikmund (7/8 G Turnov), oba 23 b. 13. Martin Raszyk (1/4 G Karviná), 22 b. 14. Vojtěch Hlávka (6/8 G a ZUŠ Šlapanice), 19 b. 15. Ondřej Hübsch (1/4 G Praha, Arabská), 18 b. Na základě výsledků dosažených v ústředním kole 60. ročníku MO kategorie P byli vybráni čtyři reprezentanti, kteří se v druhé polovině července 2011 zúčastnili v Thajsku 23. mezinárodní olympiády v informatice IOI 2011. Další naše čtyřčlenné reprezentační družstvo se zúčastnilo 18. středoevropské olympiády v informatice CEOI 2011, která se uskutečnila v první polovině července v Polsku. Družstvo pro IOI je tvořeno čtyřmi nejlepšími řešiteli ústředního kola, do družstva pro CEOI jsou zařazeni další čtyři mladší úspěšní řešitelé, kteří v tom roce ještě nematurují. Podrobnější informace o průběhu celého 60. ročníku MO kategorie P, kompletní výsledkovou listinu, texty soutěžních úloh i jejich vzorová řešení najdete na Internetu na adrese http://mo.mff.cuni.cz/. Na stejném místě se můžete seznámit i se staršími ročníky této soutěže a také se všemi aktuálními informacemi týkajícími se Matematické olympiády – kategorie P. Ročník 86 (2011), číslo 4

49

ZPRÁVY

Tři zlaté, čtyři stříbrné a tři bronzové na 42. Mezinárodní fyzikální olympiádě Ivo Volf, Bohumil Vybíral, Jan Kříž, ÚKFO, UHK, Hradec Králové Abychom předešli nějakým nedorozuměním, uvedený výsledek patří letos dohromady oběma družstvům, jež reprezentovala Českou republiku a Slovenskou republiku na této vrcholné světové předmětové soutěži. Původně mělo tuto soutěž v roce 2011 uspořádat Belgické království, avšak zástupci Belgie koncem roku 2009 oznámili presidentu International Physics Olympiad (IPhO) dr. Hansu Jordensovi, že nejsou schopni zajistit její uskutečnění. Následně se nabídlo Thajské království, že 42. MFO uspořádá, a tak začátkem roku 2011 se rozlétly z Bangkoku pozvánky do všech států, které vyslaly v posledních několika letech na mezinárodní fyzikální olympiády svá družstva. Pořadatelé pak mají možnost pozvat ještě nové státy, které se zatím MFO aktivně nezúčastnily, a tak se v červenci 2011 setkala družstva z 85 států z pěti kontinentů. Výběr českého družstva na 42. MFO probíhal tradičním způsobem. Navazoval na celostátní kolo FO, které proběhlo v České republice začátkem března na Přírodovědecké fakultě Palackého univerzity v Olomouci, kde bylo vyhlášeno 10 vítězů Fyzikální olympiády pro účastníky v kategorii A. Tradičně jsme počkali na to, jak dopadne celostátní kolo Matematické olympiády, a vítězové těchto vrcholových soutěží dostali na výběr, které ze dvou soutěží MMO či MFO by se chtěli zúčastnit. ÚKMO uspořádala své první výběrové soustředění, zájemci o MFO byli pozváni ve dnech 1. až 3. dubna na výběrové soustředění na Katedru fyziky Přírodovědecké fakulty Univerzity Hradec Králové. Během tří dnů byly vybraným účastníkům předloženy tři teoretické a dva experimentální náročné testy na úrovni úloh zadávaných na MFO. Na základě výsledků z krajského a celostátního kola FO a tohoto soustředění pak vybrala komise FO pět členů reprezentačního družstva a jednoho náhradníka. 50


ZPRÁVY

Ústřední komise Fyzikální olympiády potom navrhla Jednotě českých matematiků a fyziků následující složení družstva: prof. Ing. Bohumil Vybíral, CSc., Univerzita Hradec Králové, vedoucí reprezentace, RNDr. Jan Kříž, Ph.D., Univerzita Hradec Králové, pedagogický vedoucí; soutěžili Martin Bucháček , Gymnázium L. Pika v Plzni, Stanislav Fořt, Gymnázium Pierra de Coubertina v Táboře, Jakub Vošmera, Gymnázium Matyáše Lercha v Brně, Ondřej Bartoš , Gymnázium ve Žďáru nad Sázavou, Hynek Kasl, Gymnázium v Plzni, Mikulášské nám. Náhradníkem, který sice necestoval na MFO, ale do poslední chvíle musel být připraven, byl Jan Sopoušek z Gymnázia Brno-Řečkovice. Náklady na vyslání delegace České republiky, včetně předběžného soustředění, byly uhrazeny z prostředků Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy.

Obr. 1. Česko–Slovenská výprava na Mezinárodní fyzikální olympiádě v Thajském království

Účastníci MFO včetně náhradníka a tří nadějí“ pro příští ročník sou” těže byli pozváni na katedru fyziky PřF UHK na přípravné soustředění. To proběhlo v červnu 2011, přičemž první týden jako společné setkání českých a slovenských mladých fyziků. Zde se soutěžící věnovali doplnění některých témat z fyzikální teorie, která je požadována podle sylabu MFO a nebývá zařazena nebo alespoň důkladně probrána při výuce fyziky na středních školách, dále každý den absolvovali dvě náročná laboratorní cvičení na úrovni mezinárodní soutěže, včetně úplného zpracování naměřených hodnot (katedře fyziky se podařilo získat vybavení pro několik experimentálních úloh z mezinárodních fyzikálních olympiád). V dalším týdnu pro účastníky soustředění z České republiky pokračovala každý den teoretická a experimentální příprava. Ročník 86 (2011), číslo 4

51

ZPRÁVY

Letošní 42. Mezinárodní fyzikální olympiáda byla uspořádána v Bangkoku v Thajském království ve dnech 10. až 18. července 2011. Organizaci soutěže měla na starosti Univerzita Chulalongkorn v Bangkoku a nadace POSN (Promotion of Academic Olympiad and Development of Science Education Foundation). Časový průběh olympiády byl pro soutěžící obvyklý: 1. den – příjezd, 2. den – slavnostní zahájení, 3. den – řešení teoretických úloh, 4. den – den odpočinku mezi úlohami, 5. den – řešení experimentálních úloh, 6. a 7. den – turistický a kulturní program, 8. den – slavnostní zakončení, 9. den – odjezd delegací. Vedoucí delegací také absolvovali několik zasedání mezinárodní komise (jury), posuzovali a překládali texty z angličtiny do národních jazyků a účastnili se posuzování řešení svých soutěžících. Zatímco letecké spojení Praha–Vídeň–Bangkok a zpět hradila česká strana, ubytování, stravování, turistický a kulturní program, výdaje organizačního a administrativního zaměření hradili (podle organizačního řádu) pořadatelé mezinárodní soutěže. A že to byly výdaje nemalé, lze soudit podle toho, že vedoucí delegací i soutěžící byli ubytováni v prvotřídních hotelích a že se této mezinárodní soutěže letos zúčastnilo 397 soutěžících z 85 států (jeden další stát byl účasten jako pozorovatel). Delegace může mít zpravidla pět soutěžících (některé státy z různých důvodů – ekonomických nebo prostě, že více talentů nemají – mají soutěžících méně), které doprovázejí vedoucí delegace a pedagogický vedoucí, jež jsou členy mezinárodní jury rozhodující o zadaných úlohách, jejich hodnocení a sestavení pořadí, včetně počtu účastníků, kteří obdrží jednotlivé medaile. Nad soutěží převzal záštitu král Thajského království, Jeho Veličenstvo Bhumibol Adulyadej, známý též jako král Rama IX, který vládne od roku 1946, tedy 65 let. Slavnostního zahájení i zakončení se osobně zúčastnila Její královská Výsost korunní princezna Maha Chakri Sirindhorn. Během experimentální soutěže zavítal mezi studenty ministerský předseda Thajského království Abhisit Vejjajiva. Organizátoři připravili pro soutěžící zajímavé úlohy s přiměřenou náročností. Teoretické úlohy 1. Problém tří těles a gravitační interferometr LISA. Šlo o klasickou úlohu z teorie gravitačního pole, jejímž cílem bylo řešení analyticky neřešitelného problému tří těles za zjednodušujících předpokladů. Ve druhé části úlohy studenti použili výsledky první části na principiální řešení 52


ZPRÁVY

funkce plánovaného kosmického gravitačního interferometru, založeného na systému tří družic umístěných ve vrcholech rovnostranného trojúhelníku o délce stran 5,0 milionů km, který by měl umožnit registraci gravitačních vln. 2. Elektricky nabitá mydlinová bublina. Úkolem této komplexní klasické úlohy, kombinující termodynamiku, mechaniku a elektrostatické pole, bylo studium různých podmínek pro vznášení se mydlinové bubliny ve vzduchu v tíhovém poli. 3. Připomenutí 100 let Rutherfordova atomového jádra: rozptyl iontu na neutrálním atomu. V této semiklasické úloze z atomové fyziky řešitelé studovali jevy při rozptylu iontu na neutrálním atomu včetně mezního případu srážky s výměnou náboje. Experimentální úlohy Byly zadány dvě vtipné a nezávislé úlohy, které byly na realizaci potřebného vybavení jednoduché, avšak na řešení poměrně náročné. U obou úloh byla studentům ponechána relativně velká volnost výběru postupu řešení, což nebývá obvyklé. 1. Elektrická černá skříňka – kapacitní senzor posunutí. Studenti měli za úkol zjistit tvar a parametry desek skrytého posuvného kondenzátoru užitím relaxačního (útlumového) oscilátoru, sady 4 kondenzátorů pro kalibraci a digitálního multimetru (fungujícího i jako kmitočtoměr). V závěru úlohy diskutovali možnost principiálního využití takovéhoto kondenzátoru ke konstrukci digitálního posuvného měřidla. 2. Mechanická černá skříňka – válec s kuličkou uvnitř. Studentům byl předložen dutý uzavřený kovový válec, o němž věděli, že uvnitř v neznámé poloze je pevně umístěna kulička. Pomocí hledání statické rovnováhy a kmitů válce jako fyzického kyvadla (s předem stanovenou soustavou bodů otáčení – předvrtaných otvorů) měli za úkol určit polohu kuličky uvnitř válce, moment setrvačnosti celé soustavy a poměr hmotností kuličky a válce. Rovněž určovali tíhové zrychlení, včetně chyb měření. Každá z úloh se tradičně hodnotila 10 body, jejichž rozložení do jednotlivých částí úlohy bylo předem schváleno mezinárodní jury. Každou úlohu hodnotily speciální komise a současně byly úlohy předány vedoucím delegací, aby také připravili své hodnocení. V procesu zvaném moderování potom postupně docházelo ke shodě mezi názorem místní hodnotící komise, která většinou nezná jazyk řešitelů, a názorem vedoucích delegace. Podle statutu MFO mají být potom uděleny medaile, a to nejméně 8 % Ročník 86 (2011), číslo 4

53

ZPRÁVY

účastníků zlaté (letos to mělo být 32 soutěžících), dalším 17 % stříbrné medaile (letos 68), dalším 25 % bronzové medaile (letos 99) a dalším 17 % účastníků čestná uznání (letos 68), tedy celkem 267 účastníků mělo být vyhodnoceno jako úspěšní ve 42. MFO. Tím bylo také stanoveno, že limit pro úspěšného účastníka je 18,00 bodů. Tak se stalo, že po procesu moderování, tj. po opravě hodnocení bylo schváleno, že zlatých medailí bude 54, stříbrných 68, bronzových 93 a celkem dalším 67 soutěžícím bylo uděleno čestné uznání, tedy 282 soutěžících se stalo úspěšnými řešiteli této soutěže. Nejlepšího výsledku dosáhl Tzu Ming Hsu z Tchaj-wanu (48,60 bodů z 50 možných); ten kromě ceny za nejlepší bodový výsledek získal vyhodnocení jako nejlepší řešitel teoretických i experimentálních úloh. Podle starých pravidel by se úspěšnost zastavila u posledního bronzového medailisty; letošní hodnocení je spravedlivější k talentovaným mladým fyzikům, neboť už jen účast na mezinárodní soutěži je velkým oceněním každého nadaného studenta. Jak dopadli naši soutěžící? České družstvo dosáhlo na 42. MFO velmi dobrých úspěchů, když všichni jeho členové získali medaili. Letošní úspěch jednotlivých českých řešitelů je tento: Stanislav Fořt; 35,90 bodů, stříbrná medaile (celkové pořadí 93), Jakub Vošmera; 35,80 bodů, stříbrná medaile (pořadí 95), Martin Bucháček; 35,00 bodů, stříbrná medaile (pořadí 113), Ondřej Bartoš; 31,45 bodů, bronzová medaile (pořadí 133) a Hynek Kasl; 24,70 bodů, bronzová medaile (pořadí 210). Výsledky porovnejte například se světovými žebříčky tenistů či cyklistů, krasobruslařů apod. Přitom oproti sportu se mezinárodních fyzikálních olympiád mohou středoškoláci zúčastnit nejvýše třikrát, zpravidla však dvakrát nebo jen jednou. Slovenské družstvo letos dosáhlo mimořádného úspěchu, když získalo celkem tři zlaté medaile (s umístěním na 48., 49. a 51. místě v celkovém žebříčku soutěžících), jednu stříbrnou (na 118. místě) a jednu bronzovou medaili (na 148. místě). Mezinárodní fyzikální olympiáda je soutěží jednotlivců, přičemž se jí účastní nejvýše pět soutěžících z každého státu. To vede pořadatele i vedoucí delegací, aby zvažovali i dosažené pořadí jednotlivých reprezentačních družstev. Pořadí je možno vytvořit na základě hodnocení počtu získaných medailí (za zlatou jsme počítali 5 bodů, za stříbrnou 3 body, za bronzovou 2 body a za čestné uznání 1 bod). Družstva Čínské lidové republiky, Korejské republiky, Singapuru a Tchaj-wanu získala po pěti zlatých medailí (účastnící z Tchaj-wanu se dokonce všichni umístili do 54


ZPRÁVY

sedmého místa v pořadí), jim jsme přidělili 1.–4. místo v celkovém umístění. Družstva z Hong-Kongu, Indie a Japonska obdržela každé 3 zlaté a 2 stříbrné medaile; jim jsme přidělili 5. až 7. místo v celkovém umístění. Na 8.–10. místě se skončila družstva Slovenska, Thajska a Kazachstanu se 3 zlatými, 1 stříbrnou a 1 bronzovou medailí, na 11.–12. místě se 2 zlatými a 3 stříbrnými medailemi se umístila družstva Rumunska a USA. Další pořadí až do 30. místa: Izrael, Německo, Turecko, Ruská federace, Bělorusko, Francie, Irán, Vietnam, Estonsko, Indonézie, Ukrajina, na 24.–27. místě se umístila Brazílie (1 zlatá a 4 bronzové), Česká republika, Maďarsko a Velká Británie (všechna družstva získala 3 stříbrné a 2 bronzové medaile), dále Bulharsko, Moldávie a Polsko.

Obr. 2. Úspěšná česká reprezentace na 42. MFO v Thajském království roku 2011. Zleva: RNDr. Jan Kříž (pedagogický vedoucí), Hynek Kasl (B), Ondřej Bartoš (B), Martin Bucháček (S), Jakub Vošmera (S), Stanislav Fořt (S) a prof. Bohumil Vybíral (vedoucí reprezentace)

Vytvoříme-li pořadí na základě součtu dosaženého bodového hodnocení všech účastníků v družstvu, dostaneme druhou možnost; toto pořadí bude: na 1.–10. místě Tchaj-wan, Čínská lidová republika, Singapur, Korejská republika, USA, Hong Kong, Indie, Thajsko, Japonsko, Kazachstan, na 11.–20. místě Irán, Rumunsko, Izrael, Německo, Turecko, Slovensko, Ruská Federace, Ukrajina, Bulharsko, Maďarsko, Ročník 86 (2011), číslo 4

55

ZPRÁVY

na 21.–30. místě Francie, Vietnam, Brazílie, Indonézie, Estonsko, Česká republika, Velká Británie, Polsko, Bulharsko, Moldavie. Je vidět, že příliš velké rozdíly v pořadí, sestaveném podle medailí i podle součtu bodového hodnocení, nejsou. Podívejme se ještě na pořadí států Evropské unie. Z Evropské unie se 42. Mezinárodní fyzikální olympiády zúčastnila družstva 25 států, nepřijela družstva Lucemburska a Malty. Pořadí: 1.–8. místo: Slovensko, Rumunsko, Německo, Francie, Estonsko, Česká republika, Maďarsko, Velká Británie, 9.–15. místo: Bulharsko, Polsko, Finsko, Itálie, Španělsko, Slovinsko, Belgie, 16.–25. místo: Rakousko, Dánsko, Řecko. Litva, Lotyšsko, Portugalsko, Nizozemsko, Irsko, Švédsko, Kypr. Řečeno slovy ze sportu: Česká republika zůstala v rámci Evropské unie v první lize soutěže MFO, kdežto Slovensko ji letos vyhrálo. Poté, co Její královská Výsost, korunní princezna Thajského království Maha Chakri Sirindhorn, předala na závěrečném setkání medaile úspěšným řešitelům, byli přítomní pozváni na 43. Mezinárodní fyzikální olympiádu v roce 2012 do Estonska. Tam se mohou probojovat čtenáři časopisu Rozhledy matematicko-fyzikální poté, co vyřeší školní kolo Fyzikální olympiády v kategorii A (6 úloh teoretických a jedna experimentální, absolvují s úspěchem krajské kolo v této kategorii, které bude složeno ze čtyř teoretických úloh, a stanou se vítězi v celostátním kole, jež proběhne v Pardubicích (vyřeší čtyři teoretické a jednu experimentální úlohu). Úlohy školního kola 53. ročníku FO, jakož i studijní text pro kategorii A naleznete na webovské stránce Fyzikální olympiády http://fyzikalniolympiada.cz. Úspěch v Mezinárodní fyzikální olympiádě je dán několika předpoklady. Především to jsou hluboké vědomosti a dovednosti i značná tvořivost každého účastníka. Důležité jsou široké zkušenosti v řešení obtížnějších fyzikálních problémů, znalost strategie řešení s příslušným využitím veškerého poznatkového zázemí řešitele. Samozřejmě nelze opominout správné pochopení úlohy, vniknutí do problému, správné vytvoření fyzikálního modelu a jeho vhodnou matematizaci. Toho všeho nabude řešitel pouze tím, že průběžně řeší obtížnější fyzikální úlohy, zejména svou samostatnou studijní činností. Odkazujeme čtenáře Rozhledů na oficiální stránky International Physics Olympiad: http://www.jyu.fi/tdk/kastdk/olympiads/, kde jsou publikovány texty a řešení většiny úloh, zadaných v mezinárodní soutěži. Podrobněji o 42. MFO v Bangkoku, včetně zadání a řešení úloh a výsledků soutěžících naleznete na stránce http://www.ipho2011.org/. 56


NAŠE SOUTĚŽ NAŠE SOUTĚŽ V předchozích dvou ročnících Rozhledů matematicko-fyzikálních byla znovu otevřena rubrika Naše soutěž . V každém čísle byly vždy zadány dvě úlohy, jedna matematická, druhá fyzikální. V tomto čísle jsou předloženy další dvě úlohy. Můžete je vyřešit a řešení poslat na adresu redakce. Řešení může být v elektronické či papírové podobě. Redakce vaše řešení opraví a opravené vám je zašle zpět. V některém z následujících čísel pak najdete úlohy vyřešené. Za řešení každé úlohy můžete získat až 5 bodů. Soutěž je kontinuální, což znamená, že se výsledky jednotlivých řešitelů sčítají a vede se průběžná výsledková listina (za minulý i letošní ročník dohromady). V listině se nerozlišují úlohy matematické a fyzikální. Nejlepším řešitelům bude každým rokem zaslána odborná literatura. Nyní předkládáme dvě úlohy, jejichž řešení pošlete do 29. února 2012 na adresu redakce. Úloha 23. Pravoúhlému trojúhelníku ABC je vepsána kružnice, která se dotýká odvěsny AC v bodě M a odvěsny BC v bodě L. Úsečku AM otočíme kolem bodu A do polohy AQ kolmé k AB a analogicky otočíme úsečku BL kolem bodu B do polohy BP kolmé k AB, přičemž body C, P , Q leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou AB. Dokažte, že bod C leží na úsečce P Q, právě když |AQ| = |BP |. (Jaroslav Zhouf ) Úloha 22. Dva bodové náboje. Ve všech bodech křivky p na obrázku je potenciál elektrického pole vytvořeného dvěma bodovými náboji q1 = 4 nC a q2 = 1 nC ve vakuu roven ϕ = 900 V. Určete vzdálenost nábojů l. Konstanta Coulombova zákona k = 9 · 109 N · m2 · C−2 .

p q1

q2

(Přemysl Šedivý, námět úlohy je převzat z Moskevské olympiády)


57

NAŠE SOUTĚŽ

Řešení úloh z čísla 2/2011 Úloha 19. Do čtverce ABCD je vepsán čtyřúhelník KLM N podle obrázku. Určete v centimetrech délku a strany čtverce ABCD, jestliže |KB| = 1 cm a obsahy trojúhelníků KBL, LCM , M DN , N AK jsou po řadě 1 cm2 , 2 cm2 , 3 cm2 , 4 cm2 . D

M 3

C 2

N

L

4 1 A

K

B

(Jaroslav Zhouf ) Řešení: Udělejme označení podle obr. 1, kde údaje jsou délky úseků v centimetrech. D x+1−

8 x

x+1−

4 x−1

3

2 x−1

N

8 x

4

M x−1 C

L

4

1 2 A

x

K 1 B

Obr. 1

Vyjdeme od označení úseků KB a AK strany AB čtverce a postupně vyjadřujeme pomocí známých hodnot obsahů trojúhelníků další úseky. Pro obsah trojúhelníku M N D pak platí 4 8 x+1− = 6. x+1− x x−1 58


NAŠE SOUTĚŽ

Postupnými ekvivalentními úpravami dostaneme x2 + x −

x1,2

4 8 32 4x +x+1− −8− +− − 6, x−1 x−1 x x(x − 1) x4 + x3 − 19x2 + x + 40 = 0, 2 x − 2x − 5 x2 + 3x − 8 = 0, √ √ √ 2 ± 24 −3 ± 41 = 1 ± 6, x3,4 = . = 2 2

Z √těchto čtyř√možných hodnot je nutné vyloučit záporné hodnoty 1 − 6, (−3 − 41)/2, které tudíž nemohou být délkami úseček. Navíc je ještě nutné ověřit, zda je (x + 1)2 > 10, kde 10 cm2 je součet obsahů čtyř rohových trojúhelníků: 2 √ 2 √ √ 1 + 6 + 1 = 2 + 6 = 10 + 4 6 > 10 √ 2 √ √ √ 2 −1 + 41 −3 + 41 21 − 41 42 − 2 41 +1 = = < 10 = 2 2 4 2 √ Délka strany čtverce je tedy a = 2 + 6 cm.

Úloha 20. Snímání povrchu Země. V současné době jste již určitě všichni slyšeli o navigačním systému GPS (Globální Polohový Systém). To, že funguje a že ho můžeme používat, zajišťuje 24 satelitů obíhajících kolem Země. Hmotnost jedné družice GPS je m = 1,8 tuny, tato družice obletí Zemi za 11 hodin 58 minut. Poloměr Země je 6 370 km, hmotnost Země je 6,00 · 1024 kg. Určete a) výšku satelitu nad povrchem Země, b) velikost gravitační síly, kterou působí Země na satelit GPS při pohybu po kruhové oběžné dráze, a rychlost jeho pohybu na této oběžné dráze, c) zorný úhel ve stupních, pod kterým satelit GPS snímá Zemi, a největší vzdálenost bodů (měřenou po povrchu Země), které ještě může tento jeden satelit v daném okamžiku zaměřit. Ve všech úlohách zanedbejte vliv odporu prostředí. Řešte nejprve obecně, potom pro zadané hodnoty. (Miroslava Jarešová)


59

NAŠE SOUTĚŽ

Autorské řešení: Označme T oběžnou doby družice kolem Země, Rz poloměr a M hmotnost Země, h výšku satelitu nad povrchem Země. a) Ze vztahu m

42 mM r=κ 2 , T2 r

r

vyjádříme neznámou r (obr. 1). Dostaneme 2 3 T κM r= . 42

2ϕ

Rz

Protože je r = Rz +h, dostaneme h=

3

T 2 κM . − Rz = 20 200 km. 42

Obr. 1

b) Vztah pro r z úlohy a) dosadíme do vztahu pro gravitační sílu Fg a upravíme. Obdržíme mM Fg = κ 2 = r

3

164 κM . m = 1 020 N. T4

Velikost rychlosti v satelitu pak určíme pomocí vztahu 2r v= = T

3

2κM . = 3,9 km · s−1 . T

c) Dle obr. 1 a po dosazení za r z úlohy a) můžeme pro zorný úhel ϕ psát Rz Rz = , sin ϕ = r 3 T 2 κM 42

. . z čehož ϕ = 14◦ . Potom zorný úhel ze satelitu je 2ϕ = 28◦ . Největší vzdálenost bodů měřená po povrchu Země je s = ( − 2ϕ) · Rz , kde je . úhel ϕ nutno zadat v radiánech. Pro dané hodnoty je s = 16 900 km. 60


ROZHLEDY matematicko-fyzikální obsah 86. ročníku

ÚVODNÍK

strana/číslo

Josef Kubát: Oslavy 150. výročí založení Jednoty českých matematiků a fyziků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1/4

MATEMATIKA Emil Calda: Stewartova věta a příčky v trojúhelníku . . . . . . . . . .

1/2

Emil Calda: O počtu prvočísel tvaru 6k − 1 a o posloupnosti √ s n-tým členem 1 + 24n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1/3

Jarmila Elbelová: Vektorové důkazy geometrických nerovností . .

3/4

Filip Křížek, Michal Křížek: Astronomický ciferník pražského orloje 1/1 Vladimír Strečko: Dva príklady substitúcií na riešenie rovníc . . .

5/2

FYZIKA Jan Frýbort: Monte Carlo není jenom hazard . . . . . . . . . . . . . . .

4/3

Zdeňka Koupilová, Dana Mandíková: Elektronická sbírka řešených úloh z fyziky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7/1

Jaromír Kukal: Entropie nejen ve fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13/4 Ivo Volf: Takřka kouzelné číslo 6,022 · 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . .

8/3

INFORMATIKA

strana/číslo

Stanislav Trávníček: Úloha o kartách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17/1 Stanislav Trávníček: Oblouky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21/4

HISTORIE Zdeněk Janout: Známka a mince k 600. výročí Staroměstského orloje v Praze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24/1 František Jáchim: Velký objev malé částice J. J. Thomsonem . . . 13/3 Dušan Jedinák: Čo poznáme z dejín matematiky . . . . . . . . . . . . . 28/1 Dušan Jedinák: Listy z kalendára (T. A. Edison) . . . . . . . . . . . . . 30/1 Dušan Jedinák: Listy z kalendára (W. Heisenberg) . . . . . . . . . . . 31/1 Dušan Jedinák: Listy z kalendára (G. W. Leibniz) . . . . . . . . . . . . 20/2 Dušan Jedinák: Listy z kalendára (Michael Faraday) . . . . . . . . . . 17/3 Lubomír Sodomka: Nanotechnologie a Nobelova cena za fyziku pro rok 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14/2

PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL Emil Calda: O jedné geometrické konstrukci . . . . . . . . . . . . . . . . 31/4 František Kuřina: Deset úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33/1 Kateřina Vondřejcová: Archimedův život v experimentech . . . . . 21/2

SOUTĚŽE 53. ročník Fyzikální olympiády, úlohy 1. kola . . . . . . . . . . . . . . . . 19/3 61. ročník Matematické olympiády, úlohy domácího kola kategorie P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36/2

SOUTĚŽE

strana/číslo

Ivo Volf, Pavel Kabrhel: 53. ročník Fyzikální olympiády, úlohy 1. kola kategorií E a F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34/4 Úlohy domácího kola 61. ročníku Matematické olympiády pro žáky středních škol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35/1 Úlohy domácího kola 61. ročníku Matematické olympiády pro žáky základních škol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27/2 Úlohy 52. ročníku fyzikální olympiády kategorie G – Archimédiáda 38/1

ZPRÁVY Zdeněk Dvořák, Pavel Töpfer: 22. mezinárodní olympiáda v informatice IOI 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51/1 Jiří Herman: Ústřední kolo 60. ročníku Matematické olympiády . 45/4 Milan Koman: Vzpomínka na dobrého člověka docenta Jiřího Mídu 54/2 Jan Kožuško: 4. ročník Mezinárodní olympiády v astronomii a astrofyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45/3 Daniel Kráľ: 17. ročník Středoevropské olympiády v informatice . 53/1 Aleš Kubíček: Osmnáct ročníků Celostátní matematické soutěže žáků středních odborných škol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47/2 Martin Panák: 51. Mezinárodní matematická olympiáda . . . . . . . 41/1 Martin Panák: 4. Středoevropská matematická olympiáda . . . . . . 47/1 Zuzana Poláková: Logická olympiáda ve školním roce 2010–2011 . 44/2 Miroslav Rapčák: Cesta do nanosvěta ! Zkušenosti studenta se soutěží SOČ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48/3 Pavel Töpfer: Ústřední kolo 60. ročníku Matematické olympiády, kategorie P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48/4 Ivo Volf: Rozloučili jsme se s docentem Zdeňkem Kluiberem . . . . 52/2

ZPRÁVY

strana/číslo

Ivo Volf, Bohumil Vybíral: Celostátní kolo 52. ročníku Fyzikální olympiády . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52/3 Ivo Volf, Bohumil Vybíral, Jan Kříž: Tři zlaté, čtyři stříbrné a tři bronzové na 42. mezinárodní fyzikální olympiádě . . . . . . . . . . 50/4 Bohumil Vybíral: Desátý ročník Præmium Bohemiæ studentům . 38/3

NAŠE SOUTĚŽ Naše soutěž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55/1 Naše soutěž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56/2 Naše soutěž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56/3 Naše soutěž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57/4

RECENZE Ivo Kraus: Recenze knihy Jak se měří svět. Příběhy z dějin měření autora A. Robinsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61/1 Ivo Kraus: Recenze knihy Dějiny fyziky autora I. Štolla . . . . . . . . 61/3 Lucie Růžičková: Recenze knihy Tvorba matematických problémů pro talentované žáky autora J. Zhoufa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61/2

OBSAH 86. ROČNÍKU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61/4

Oslavy 150. výročí založení Jednoty českých matematiků a fyziků

Recommend Documents