Optimisasi Robust Melalui Second Order Cone Programming dengan Aplikasi pada Penentuan Portofolio Optimal

Jurnal Matematika & Sains, Desember 2014, Vol. 19 Nomor 3

Optimisasi Robust Melalui Second Order Cone Programming dengan Aplikasi pada Penentuan Portofolio Optimal Epha Diana Supandi1) Dedi Rosadi1), dan Abdurakhman2) Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga, Yogyakarta 2) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta e-mail:[email protected], [email protected], [email protected] 1)

Diterima 30 Oktober 2014, disetujui untuk dipublikasikan 10 Desember 2014 Abstrak Pada makalah ini, kami meneliti mengenai optimisasi robust (robust optimization), metode ini berguna untuk menangani masalah optimisasi dimana data permasalahan tidak diketahui dengan pasti tetapi diasumsikan berada dalam suatu himpunan ketidakpastian (uncertainty set). Selanjutnya Second Order Cone Programming (SOCP) digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi robust. SOCP adalah masalah pemrograman konveks dimana fungsi tujuannya berbentuk linear dengan kendala second order cone. Penerapan SOCP pada pembentukan masalah portofolio mean variance berhasil dilakukan. Berdasarkan studi kasus, portofolio robust melalui SOCP lebih unggul dibandingkan portofolio klasik ditinjau dari capital gain. Kata Kunci : Optimisasi robust, Second order cone programming, Portofolio mean-variance.

Robust Optimization Through Second Order Cone Programming with Applications on the Establishment of Optimal Portfolio Abstract In this paper, we studied about robust optimization, this method is useful for dealing with optimization problems where data are not known certainly but assumed belong to uncertainty set. Furthermore, Second Order Cone Programming (SOCP) is used to solve the robust optimization problems. SOCP is a convex programming problem where the objective function in the form of linear with constraints in the form of second order cone. Application of SOCP in the formation of mean variance portfolio problem successfully conducted. Based on case studies, robust portfolios through SOCP are superior compared to classical portfolios in terms of capital gain. Keywords: robust optimization, second order cone programming, mean variance portfolio. oleh Ben-Tal dan Nemirovski (2000, 2001, 2002, 2009). Dalam metodologi ini, diasumsikan bahwa vektor data  berada dalam himpunan ketidakpastian U. Sehingga masalah masalah optimisasi tak pasti (optimization under uncertainty) ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

1. Pendahuluan Banyak permasalahan optimisasi di dalam prakteknya menghadapi kendala yaitu data yang tersedia tidak diketahui dengan pasti ketika permasalahan harus diselesaikan (Lobo, 2000). Hal ini bisa disebabkan karena kesalahan pengukuran, kesalahan dalam pemodelan, atau tidak tersedianya informasi yang diperlukan ketika keputusan harus diambil (Chaerani, 2006). Secara umum, masalah optimisasi ini dapat dirumuskan sebagai berikut : min  f 0  x,   : fi  x,    0, i  1, 2, , q

min  f 0  x,   : f i  x,    0, i  1, 2, , q ,  U x

(2) Metodologi Robust Counterpart merupakan salah satu metode yang dapat menyelesaikan kelas masalah Robust Optimization (RO). Sejak diperkenalkannya metodologi RO oleh Ben-Tal dan Nemirovski, topik ini menjadi topik riset yang terus bersaing dan penting untuk dikerjakan. Teknik optimisasi robust ini telah berhasil di aplikasikan di bidang keuangan terutama pada masalah pembentukan portofolio optimal. Beberapa penelitian diantaranya Goldfarb dan Iyengar (2003), Tütüncü dan Koenig (2004), Engels (2004), Ceria

(1)

dengan x adalah vektor variabel keputusan, f0 adalah fungsi objektif/fungsi tujuan, fi adalah fungsi kendala dan  merepresentasikan data terkait yang spesifik dengan masalah yang dikaji. Sebuah metodologi baru yang sangat menjanjikan untuk menangani ketidakpastian dalam data untuk suatu masalah optimisasi adalah metodologi robust counterpart (RC) yang diusulkan

106

Supandi dkk., Optimisasi Robust Melalui Second Order Cone Programming dengan Aplikasi pada .......................107 dan Stubbs (2006), Garlappi dkk. (2007) dan Ye dkk. (2012). Dalam beberapa tahun belakangan ini, sebuah kelas baru untuk teknik optimisasi yang disebut Second Order Cone Programming (SOCP) telah diperkenalkan. SOCP memegang peranan penting dalam dunia robust optimization. Kelas optimisasi ini ditujukan untuk menyelesaikan masalah minimisasi sebuah fungsi objektif linier dengan kendala berbentuk second order cone. Penerapan SOCP dalam menentukan portfolio optimal telah dilakukan oleh Paramita (2013) dan Supandi dkk. (2014). Pada penelitian ini akan dibahas bagaimana optimisasi robust melalui second order cone programming (SOCP) secara lebih teoritis. Lebih lanjut perbedaan dengan Paramita, (2013) dan Supandi dkk. (2014) selain terletak pada data studi kasus adalah kriteria kinerja portofolio optimal yang dihasilkan. Penelitian sebelumnya menggunakan kriteria sharpe ratio sedangkan pada makalah ini menggunakan kriteria capital gain. Tulisan ini terdiri dari bagian 2 berisi penjelasan SOCP serta sifat-sifatnya, bagian 3 mengenai optimisasi portofolio robust, bagian 4 aplikasi SOCP pada pembentukan portofolio meanvariance sedangkan kesimpulan dan saran disajikan pada bagian 5. 2. Second Order Cone Programming (SOCP) Second order cone programming adalah kelas pemrograman yang terletak di antara pemrograman linear (atau pemrograman kuadratik) dan pemrograman semidefinit (Alizadeh dan Goldfarb, 2002). SOCP adalah masalah pemrogram konveks dimana fungsi tujuannya berbentuk linear dengan kendala second order cone. Menurut Bazaraa dkk. (2006) bentuk second order cone dijelaskan dengan definisi berikut ini : Definisi 2.1. Second Order Cone (SOC) Sebuah second-order cone berdimensi k didefinisikan sebagai    t       : t  R, u  R k 1 untuk u  t  u    

dengan u  u T u . Second Order Cone disebut juga quadratic atau Lorentz cone. Untuk k = 1, second-order cone berdegenerasi menjadi sebuah berkas pada sumbu t mulai dari t = 0. Second-order cone dengan k = 2 dan k = 3 diperlihatkan pada Gambar 1.

Secara umum SOCP dimodelkan sebagai berikut : (Lobo dkk.,1998) min f T x x

kendala Ai x  ci  biT x  d i untuk i = 1, 2, ..., q dengan

f  R m1 , x  R m1 , Ai  R m( ki 1) , bi  R m1 ,

ci  R ( ki 1)1 , dan di skalar. Kendala pada masalah di

atas disebut SOC berdimensi ki, hal ini dapat dijelaskan berdasarkan lemma berikut ini. Lemma 2.1. Himpunan titik-titik yang memenuhi kendala second order cone adalah image invers dari second order cone satuan terhadap pemetaan affine:  bT  d  Ai x  ci  biT x  di   i  x   i  ki  ci   Ai  dan konveks, i = 1, 2, ..., q. Model optimisasi dengan SOCP dapat menjadi pemrogram liniear ketika ki = 1 dengan i = 1, 2, ..., q maka model SOCP menjadi: Meminimumkan f T x dengan kendala 0  biT x  di untuk i = 1, 2, ..., q. Hal lain yang menarik dari model SOCP adalah ketika bi = 0, maka kendala SOC ke-i menjadi Ai x  ci  di setara dengan Ai x  ci 2  di 2 . Oleh karena itu ketika semua bi dihilangkan maka SOCP menjadi pemrograman linear dengan kendala kuadratik. Masalah optimisasi SOCP dapat diselesaikan dengan metode titik interior primal-dual seperti yang dibahas oleh Lobo dkk. (1998) dan Alizadeh dan Goldfarb (2002). Algoritma metode titik interior primal-dual dalam menyelesaikan masalah optimisasi SOCP dibahas oleh Benson ( 2001) dan Sturm (2002). Pada penelitian ini, penyelesaian masalah SOCP dengan metode titik interior primal-dual dilakukan dengan bantuan software MATLAB dan solver SeDuMi seperti yang dijelaskan oleh Engels (2004). 3. Portofolio Mean -Variance Optimisasi portofolio merupakan salah satu metode seleksi portofolio yang terkenal dan paling banyak digunakan. Teknik optimisasi portofolio pertama kali dikembangkan oleh Markowitz (1952), yaitu model mean-variance (MV). Misalkan seorang investor ingin mengalokasikan dananya pada N aset dengan vektor return r  (r1 , r2 ,, rN ) maka,

E (r )    ( 1 , ,  N )T dan

Gambar 1. Second-order cone dimensi (a) k = 1, (b) k = 2 dan (c) k = 3.

  11   1N  Var (r )          N 1   NN 

108 Jurnal Matematika & Sains, Desember 2014, Vol. 19 Nomor 3 Menurut tulisan Elton dan Gruber (1991) portofolio adalah sekumpulan aset, maka return portofolio adalah rata-rata terboboti setiap aset rport  w1r1  w p rp  wT r . Dalam hal ini w adalah vektor bobot/komposisi aset pada portofolio. Selanjutnya dapat dicari expected return portofolio adalah  T w dan variansi portolio adalah wT w . Pada model Markowitz (klasik) masalah menentukan portofolio optimal adalah menyelesaikan masalah berikut ini: min  T w  w

 2

wT w

(3a)

kendala

, i  1, 2, , N

 ijL   ij   ijU

, i, j  1, 2, , N

Adapun iL dan iU menunjukan batas bawah (lower bound) dan batas atas (upper bound) bagi mean aset ke-i. Sedangkan  ijL dan  ijU adalah kovariansi antara aset ke-i dan aset ke-j. Engels (2004) menentukan himpunan ketidakpastian bagi  dan  dalam bentuk selang konfidensi berikut ini:

(3b)

dengan   R N ,  R N  N dan  adalah matriks definit positif. Sedangkan  adalah koefisien risk aversion atau disebut indeks risiko, w ada variabel keputusan (bobot aset), dan kendala eT w  1 menjelaskan bahwa seluruh dana diinvestasikan pada portofolio. Walaupun model ini didukung oleh teori yang kuat dan memiliki kemudahan dalam komputasi, mean-variance menunjukkan beberapa kelemahan, salah satunya sangat sensitif terhadap perubahan parameter input (Fabozy dkk., 2007). Untuk mengurangi sensitivitas model ini, dikenalkan teknik optimisasi portofolio robust. 3.1 Optimisasi portfolio robust Pemikiran dasar dari optimisasi portofolio robust adalah untuk mengurangi sensitivitas portofolio optimal akibat adanya ketidakpastian dalam mengestimasi parameter vektor mean dan matriks kovariansi (Fabozy dkk., 2007). Dalam optimisasi portofolio robust, parameter inputnya dianggap tidak pasti, dalam hal ini terletak dalam sebuah himpunan ketidakpastian (uncertainty set), U. Dalam kasus optimisasi portofolio robust MV, persamaan (3) di bawah kasus terburuk terjadi pada saat expected return minimum dan risiko (diukur dengan variansi) maksimum. Model optimisasi portofolio robust model MV adalah:





1   max w min U   T w   max U   wT w 2   kendala eT w  1

U

(4) dan

UΣ

adalah

himpunan

ketidakpastian bagi vektor mean dan matriks kovariansi. Ada banyak cara yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan himpunan ketidakpastian. Pada penelitian ini himpunan ketidakpastian yang digunakan adalah dalam bentuk selang seperti yang diusulkan oleh Engels (2004). Interval bagi parameter sebagai berikut:

   : 



U   :0      0   ,   0

(5)



(6)

U

eT w  1

dengan

iL  i  iU

0

      0  ,   0

dalam hal ini:

 0  ( 10 , ,  N0 )T dan   ( 1 , ,  N )T , sedangkan,   110  Σ0     N0 1  i0 dengan

 11  1N    10N        dan Δ       0   N 1   NN    NN     ( iL  iU ) / 2 ,  i  ( iU  iL ) / 2 ,

 ij0  ( ijL   ijU ) / 2 ,

dan

 ij  ( ijU   ijL ) / 2 ,

i, j  1, 2, N . Oleh karena itu model optimisasi portfolio robust oleh Engels (2004) dinyatakan dalam bentuk proposisi 3.1.

Proposisi 3.1. Model optimisasi portofolio robust (4) dengan tambahan kendala pada persamaan (5) dan (6) setara dengan menyelesaikan masalah optimisasi berikut ini max w (  0 )T w   T w 

 2

wT  0 w  wT w

kendala ; eT w  1 ηi  w i , i ηi   w i ,

i

(7)

Bukti proposisi (3.1) dapat di lihat pada apendiks. Selanjutnya model optimisasi (7) dapat dibawa ke dalam bentuk SOCP. Proposisi 3.2. Model optimisasi portofolio robust (7) melalui SOCP adalah T 1 min   0 w   T   (    ) 2 kendala eT w  1

 

2( 0 )1/ 2 w 1  21/ 2 1 

 1 

 1

i  wi , i

Supandi dkk., Optimisasi Robust Melalui Second Order Cone Programming dengan Aplikasi pada .......................109

i   wi ,

i

(8)

Bukti proposisi (3.2) dapat di lihat pada apendiks. Masalah optimisasi (8) merupakan masalah SOCP dengan tambahan kendala linear. Pedekatan pemrograman conic pada penentuan portofolio optimal sudah dilakukan oleh Ye dkk., (2012) yaitu dengan menyelesaikannya ke dalam bentuk SOCP dan SDP (Semi Definite Programming). Adapun Paramita (2013) telah menerapkan SOCP pada pembentukan portofolio optimal dan melihat kinerja portofolio robust dengan kriteria return, risk dan sharpe ratio. Sedangkan Supandi dkk. (2014) melakukan penentuan portfolio robust melalui SOCP dan Fast-MCD (Minimum Covariance Determinant). Tulisan ini merupakan lanjutan penelitian sebelumnya dimana aspek teoritis SOCP lebih diutamakan serta ukuran kinerja portofolio dengan menggunakan kriteria lain yaitu berdasarkan capital gain. 4. Studi Kasus: Aplikasi SOCP Pembentukan Portofolio Optimal

dalam

Pada penelitian ini penerapan SOCP dalam pembentukan portofolio akan digunakan dalam menyelesaikan persamaan (7). Misalkan investor akan menanamkan modalnya pada 3 aset saham yang terdaftar di Bursa Efek Jakarta (BEJ). Adapun saham yang terpilih adalah Charoen Pokphand Indonesia Tbk. (CPIN), Media Nusantara Citra Tbk. (MNCN) dan Unilever Indonesia Tbk. (UNVR). Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah harga penutupan saham harian pada periode 2 Januari 2008–31 Oktober 2014 sehingga terdapat 1710 pengamatan. Untuk membentuk portofolio robust mean variance, maka ditentukan dulu himpunan ketidakpastian bagi paramater ( dan ) dengan mencari lower bound dan upper bound bagi vektor mean dan matriks kovariansi. Metode yang digunakan untuk menentukan himpunan ketidakpastian (uncertainty set) yaitu dengan metode moving window (jendela bergerak). Metode ini mengacu kepada penelitian Tütüncü dan Koenig (2004). Misalkan banyaknya pengamatan N, maka algoritma dari metode moving window adalah: Langkah 1. Tentukan selang jendela pengamatan, misalkan L. Dalam kasus ini ditentukan L = 90 hari. Langkah 2. Ambil pengamatan L pertama dari data, yaitu r1,  , r90 Langkah 3. Cari vektor mean dan matriks kovariansi. Langkah 4. Geser jendela (window) ke 90 pengamatan diatasnya r91,  , r180 . Lakukan langkah ke – 3. Langkah 5. Lakukan langkah 3 dan 4 sampai pada periode pengamatan terakhir. Dalam kasus ini terdapat 19 sampel vektor mean dan matriks kovariansi. Dengan menggunakan data dari metode moving window, maka diperoleh

batas bawah dan batas atas vektor mean tiap saham seperti pada Tabel 1. Tabel 1. Batas bawah (BB) dan batas atas (BA) mean untuk setiap saham.

Saham Batas bawah (  L )

CPIN -0,00423

MNCN -0,01080

UNVR -0,00161

Batas atas (  U )

0,01448

0,01359

0,00379

Selanjutnya dihitung vektor  0 dan  dengan menggunakan

rumus

i0  ( iL  iU ) / 2

dan

i  (    ) / 2 , sehingga diperoleh: U i

L i

 0   0, 00513; 0, 00140; 0, 00109 

T

dan

   0, 00935; 0, 01219; 0, 00270 

T

Sedangkan batas bawah dan batas atas bagi matriks kovariansi dapat dilihat pada tabel 2. Tabel 2. Batas atas (BA) dan batas bawah (BB) bagi kovariansi setiap saham.

CPIN CPIN MNCN UNVR

MNCN

UNVR

BA

0,00251

0,00041

0,00068

BB

0,000296

-0,00021

-0,000025

BA

0,00041

0,00467

0,00019

BB

-0,00021

0,0004

-0,00026

BA

0,00068

0,00019

0,00552

BB

-0,00025

-0,00026

0,00018

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan  ij0  ( ijL   ijU ) / 2 dan  ij  ( ijU   ijL ) / 2 diperoleh matriks 0 dan  sebagai berikut:  0, 00140 0, 00010 0, 00033     0, 00010 0, 00025 0, 00004   0, 00033 0, 00004 0, 00285  0

dan  0, 00111 0, 00031 0, 00035     0, 00031 0, 00214 0, 00023  0, 00035 0, 00023 0, 00267 

Setelah nilai 0, , 0 dan  diketahui, maka nilai tersebut dimasukan ke dalam model persamaan (8). Untuk dapat menyelesaikan masalah SOCP, software yang digunakan pada penelitian ini adalah Matlab dengan solver SeDuMi seperti yang dilakukan oleh Engles (2004). Dalam kasus ini, akan digunakan berbagai nilai koefisien risk aversion, yaitu  = 3, 20 dan 100. Pemilihan koefisien risk aversion ini tergantung dari preferensi investor. Bagi investor yang risk taker maka memilih  yang kecil begitu juga sebaliknya.

110 Jurnal Matematika & Sains, Desember 2014, Vol. 19 Nomor 3

Tabel 3. Bobot portfolio robust dan klasik pada berbagai nilai risk aversion. Model Saham CPIN MNCN UNVR

Robust

Klasik

=3

 = 20

 = 100

=3

 = 20

 = 100

0,5296 0,0000 0,4704

0,4392 0,3517 0,2091

0,3957 0,4297 0,1745

0,02021 0,32402 0,65577

0,19481 0,30536 0,49983

0,2196 0,30272 0,47782

Tabel 4. Alokasi dana pada portofolio robust.

=3

 = 20

 = 100

Alokasi

Lembar saham

Alokasi

Lembar saham

alokasi

lembar saham

CPIN

Harga Saham (31/10/14) 4200

Rp 33.360.000

7943

Rp 43.920.000

10457

Rp 39.570.000

9421

MNCN

2800

Rp 0

0

Rp 35.170.000

12561

Rp 42.970.000

15346

UNVR

30400

Rp 66.640.000

2192

Rp 20.910.000

688

Rp 17.450.000

574

Tabel 5. Alokasi dana pada portofolio klasik.

=3

 = 20

 = 100

Alokasi

jumlah saham

Alokasi

jumlah saham

Alokasi

jumlah saham

CPIN

Harga Saham (31/10/14) 4200

Rp 2.021.000

481

Rp 19.481.000

4638

Rp 21.960.000

5229

MNCN

2800

Rp 32.402.000

11572

Rp 30.536.000

10906

Rp 30.272.000

10811

UNVR

30400

Rp 65.577.000

2157

Rp 49.983.000

1644

Rp 47.782.000

1572

Tabel 3 menjelaskan bahwa ketika seorang investor memilih  = 3, maka portofolio robust optimal dapat diperoleh dengan mengalokasikan dananya sebesar 52,96% pada saham CPIN dan sisanya sebesar 47,04% diinvestasikan pada saham UNVR. Pada  = 20 komposisi portofolio yang terbentuk 43,92% pada saham CPIN, 35,17% pada saham MNCN dan 20,91% pada saham UNVR. Sedangkan pada kasus  = 100, maka bobot saham CPIN, MNCN dan UNVR berturut-turut adalah 39,57%, 42,97% dan 17,45% . Dapat diamati bahwa semakin besar risk aversion maka komposisi dana yang diinvestasikan pada saham MNCN semakin naik. Hal yang terjadi sebaliknya ketika risk aversion semakin kecil maka komposisi dana yang dialokasikan pada saham UNVR semakin naik. Adapun pembentukan portofolio klasik pada  = 3 mengalokasikan dananya sebesar 2,026% , saham CPIN sebesar 32,4% dan 66,64% diinvestasikan pada saham UNVR. Pada  = 20 komposisi portofolio klasik diperoleh dengan mengalokasikan dana 19,49%, saham CPIN sebesar 30,54% dan pada saham MNCN 49,98%. Sedangkan pada kasus  = 100, maka bobot saham CPIN, MNCN dan UNVR berturut-turut adalah 21,96%, 30,27% dan 47,78%. Misalkan pada tanggal 31 Oktoboer 2014 seorang investor ingin menginvestasikan dananya sebesar Rp. 100.000.000. Harga saham CPIN sebesar

Rp. 4.200 per lembar, MNCN sebesar Rp. 2.800 per lembar saham dan UNVR sebesar Rp 30.400 per lembar saham. Selanjutnya apabila investor memilih model portofolio robust, maka alokasi dana yang harus dilakukan dengan berbagai risk aversion dapat dilihat pada Tabel 4. Sedangkan alokasi dana yang harus dilakukan apabila menggunakan model portofolio klasik dijelaskan pada Tabel 5. Lebih lanjut pada penelitian ini adalah mengetahui kinerja dari portofolio robust dan klasik. Adapun indikator dari kinerja portfolio diukur dengan menggunakan capital gain (keuntungan modal). Capital gain adalah suatu keuntungan atau laba yang diperoleh dari investasi dalam surat berharga atau efek, seperti saham. Capital gain diperoleh dengan mencari selisih antara harga jual yang lebih tinggi dan harga pembelian yang lebih rendah, sehingga akan menghasilkan keuntungan finansial bagi investor tersebut. Sedangkan kerugian modal (capital loss) terjadi jika surat berharga dijual dengan harga lebih rendah dari harga pembeliannya (Tandelilin, 2007).

Supandi dkk., Optimisasi Robust Melalui Second Order Cone Programming dengan Aplikasi pada .......................111 Tabel 6. Capital Gain (Loss) portofolio robust dan klasik pada kondisi pasar bagus. Harga Saham (3/11/14)

Robust

Klasik

=3

 = 20

 = 100

 = 20

 = 100

CPIN

4220

Rp. 252.190

Rp. 209.143

Rp. 188.429

Rp. 9.624

=3

Rp. 92.767

Rp. 104.571

MNCN

2800

Rp. 0

Rp. 0

Rp. 0

Rp. 0

Rp. 0

Rp. 0

UNVR

30450

Rp. 77.368

Rp. 34.391

Rp. 28.701

Rp. 107.857

Rp. 82.209

Rp. 78.589

Total

Rp. 329.559

Rp. 243.534

Rp. 217.129

Rp. 117.481

Rp. 174.976

Rp. 183.160

Tabel 7. Capital Gain (Loss) untuk portofolio robust dan klasik pada kondisi pasar kurang baik. Harga Saham (4/12/14)

Robust

=3

 = 20

 = 100

CPIN

4195

Rp. -39.715

Rp. -52.285

Rp. -47.105

Rp. -2.405

Rp. -23.190

Rp. -26.145

MNCN

2420

Rp. 0

Rp. -4.773.180

Rp. -5.831.480

Rp. -4.397.360

Rp. -4.144.280

Rp. -4.108.180

31575 Rp. 2.575.600

Rp. 808.400

Rp. 674.450

Rp. 2.534.475

Rp. 1.931.700

Rp. 1.847.100

Total Rp. 2.535.885

Rp. -4.107.065

Rp. -5.204.135

Rp. -1.865.290

Rp. -2.235.770

Rp. -2.287.225

UNVR

=3

 = 20

Klasik

Selanjutnya capital gain untuk setiap portofolio robust dan klasik disajikan pada tabel 6. Pada kasus ini, capital gain diukur pada periode pendek yaitu keuntungan model yang dihasilkan investor pada periode 3 November 2014. Pada tanggal tersebut harga saham CPIN, MNCN dan UNVR berturut – turut Rp Rp. 4.220, Rp. 2.800 dan Rp. 30.450 per lembar saham. Oleh karena itu saham CPIN dan UNVR mengalami peningkatan masing – masing sebesar 0,47% dan 0,16% sedangkan saham MNCN tidak mengalami kenaikan. Pada kasus risk aversion sebesar 3, keuntungan modal yang dihasilkan investor dengan menggunakan portofolio robust sebesar Rp. 329.559. Sedangkan apabila investor memilih portofolio klasik maka hanya akan memperoleh keuntungan modal sebesar Rp. 117.481. Pada kondisi ini portofolio robust unggul dibanding portofolio klasik. Dapat diamati pada tabel 6, pada kasus ini portofolio robust melalui SOCP lebih unggul dibandingkan portofolio klasik pada berbagai kondisi. Hal ini dibuktikan dengan nilai capital gain pada portofolio robust selalu lebih tinggi nilainya dibandingkan portofolio klasik. Pada keadaan pasar kurang baik, yaitu pada periode 4 Desember 2014 terjadi penurunan harga saham CPIN dan saham MNCN yaitu masing – masing menjadi Rp 4.195 dan Rp. 2.420 per lembar

 = 100

saham. Dengan kata lain terjadi penurunan harga saham CPIN sebesar 0.12% dan penurunan sebesar 13,57% untuk saham MNCN. Sedangkan harga saham UNVR naik menjadi Rp. 31.575 per lembar saham atau naik sebesar 3,86 % (lihat Tabel 7). Pada keadaan pasar kurang baik ternyata portofolio klasik menghasilkan kerugian (capital loss) pada berbagai nilai risk aversion. Sedangkan portofolio robust menghasilkan keuntungan (capital gain) hanya pada kondisi  = 3 dan pada saat  = 20 dan 100 menghasilkan kerugian sama halnya dengan portofolio klasik. Hanya saja besaran kerugian yang dialami portofolio robust lebih tinggi di bandingkan portofolio klasik. Meskipun demikian, portofolio robust lebih unggul karena bagi investor yang menyukai resiko yaitu dengan memilih  = 3, walaupun keadaan pasar kurang baik masih dapat memberikan keuntungan sebesar Rp. 2.535.885. Lebih lanjut kajian dilakukan dengan membandingkan return portofolio yang diharapkan akan diperoleh oleh investor dengan menggunakan portofolio robust maupun klasik. Pada kasus  = 3 pergerakan return portofolio dari periode 3 November 2014 sampai dengan 30 Desember 2014 disajikan pada Gambar 2.

112 Jurnal Matematika & Sains, Desember 2014, Vol. 19 Nomor 3

Gambar 2. Pergerakan return portofolio periode 3 November 2014 – 30 Desember 2014.

Berdasarkan gambar di atas dapat diamati bahwa return portofolio yang dihasilkan oleh metode robust selalu memberikan tingkat keuntungan yang lebih besar dibandingkan metode klasik. Hal ini diperlihakan oleh grafik portofolio robust posisinya sebagian besar terletak di atas portofolio robust. 5. Kesimpulan dan Saran

5.1 Kesimpulan Teknik Second Order Cone Programming (SOCP) merupakan kelas optimisasi yang memegang peranan penting dalam dunia robust optimization. Kelas optimisasi ini ditujukan untuk menyelesaikan masalah minimisasi sebuah fungsi objektif linier dengan kendala berbentuk second order cone. Pada penelitian ini SOCP dapat menyelesaikan masalah portofolio mean variance dimana himpunan ketidakpastian bagi vektor mean dan matriks kovarian dalam bentuk interval. Berdasarkan studi kasus yang telah dilakukan, portofolio robust melalui pendekatan SOCP menunjukkan kinerja yang lebih baik daripada portofolio klasik ditinjau dari capital gain (loss) dan return portfolio yang dihasilkan. 5.2 Saran Dalam metodologi robust optimization (RO), diasumsikan bahwa data berada dalam himpunan ketidakpastian (uncertainty set). Sehingga metode ini sangat bergantung pada bagaimana memilih himpunan tersebut. Sebagai konseksuensi, metode RO dapat dilakukan hanya jika himpunan

ketidakpastian dipilih dengan cara yang tepat. Dalam penelitian ini penentuan selang konfidensi bagi parameter menggunakan teknik moving window. Oleh karena itu, kajian lebih lanjut dapat dikembangkan, yaitu pembentukan selang atau interval bagi vektor mean dan matriks kovariansi dengan menggunakan metode lain, diantaranya dengan menggunakan selang konfidensi bootstrap. Daftar Pustaka

Alizadeh, F., and D. Goldfarb, 2002, Second-Order Cone Programming, Springer-Verlag, New York. Bazaraa, M. S., H. D. Sherali, and C. M. Shetty, 2006, Nonlinear Programming: Theory and Algorithms (3rd Edition). John Wiley & Sons, Inc., New Jersey. Ben-Tal, A., and A. Nemirovski, 2000, Robust Solutions of Linear Programming Problems Contaminated with Uncertain Data, Mathematical Programming, 88, 411-424. Ben-Tal, A. and A. Nemirovski, 2001, Lectures on Modern Convex Optimization, Analysis, Algorithms, and Engineering Applications. 2 MPS/ SIAM Series on Optimization. Ben-Tal, A., and A. Nemirovski, 2002, Robust Optimization methodology and Applications, Mathematical Programming, 92, 453–480. Ben-Tal, A., L. El Ghaoui, and A. Nemirovski, 2009, A Robust Optimization, Princeton University Press, Princeton Series in Applied Mathematics.

Supandi dkk., Optimisasi Robust Melalui Second Order Cone Programming dengan Aplikasi pada .......................113

Benson, H. Y., 2001, Interior Point Methods for Nonlinear Second Order Cone and Semidefinite Programming, Dissertation, Department of Operation research and Financial Engineering, Princeton University. Ceria, S., and R. A. Stubbs, 2006, Incorporating estimation errors into portfolio selection: robust portfolio construction, Journal of Asset Management, 7, 109-127. Chaerani, D., 2006, Modelling Robust Design Problems via Conic Optimization, Ph.D, Thesis, Technische Universiteit Delft. Elton, E. J. and M. J. Gruber, 1991, Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, John Wiley & Sons, Inc., New York. Engels, M., 2004, Portfolio Optimization: Beyond Markowitz, Thesis, Universiteit Leiden, Leiden. Fabozzi, F. J., P. N. Kolm, D. Pachamanova, and S. M. Focardi, 2007, Robust Portfolio Optimization and Management, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey. Garlappi, L., R. Uppal, and T. Wang, 2007, Portfolio selection with parameter and model uncertainty: multi-prior approach, Review of Financial Studies, 20, 41-81. Goldfarb, D., and G. Iyengar, 2003, Robust portfolio Mathematics of selection problems, Operations Research, 28, 1-38. Lobo, M. S., 2000, Robust and Convex Optimization with Applications in Finance, Dissertation,

Department of Electrical Engineering, Standford University. Lobo, M. S., L. Vandenberghe, S. Boyd, and H. Lebret, 1998, Applications of second-order cone programming, Journal of Linear Algebra and Its Applications, 284, 193–228. Markowitz, H., 1952, Portfolio Selection, The Journal of Finance, 7, 77-91. Paramita, D., 2013, Optimisasi Portofolio Robust menggunakan Second Order Cone Programming (SOCP). Skripsi. Jurusan Matematika. FMIPA. UGM. Supandi, E. D., D. Rosadi dan Abdurakhman, 2014, Penerapan Fast-MCD dan SOCP dalam Pembentukkan Portofolio Robust Mean Variance. Jurnal Statistika: Forum Teori dan Aplikasi Statistika , 14, 41-50. Sturm, J. F., 2002, Implementation of Interior Point Methods for Mixed Semidefinite and Second Order Cone Optimization Problems, Department of Econometrics Tilburg University, Netherlands. Tandelilin, E., 2007, Analisis Investasi dan Manajemen Portofolio, Edisi Pertama. Yogyakarta : BPFE. Tütüncü, R. and M. Koenig, 2004, Robust asset allocation, Annals of Operations Research, 13, 157-187. Ye, K., Parpas. P, and B. Rustem, 2012, Robust portfolio optimization : A conic programming approach, Compute Optimal Application, 52, 463-481.

114 Jurnal Matematika & Sains, Desember 2014, Vol. 19 Nomor 3

Apendiks Lemma 1. Himpunan titik-titik yang memenuhi kendala second order cone adalah image invers dari second order cone satuan terhadap pemetaan affine:  bT  d  Ai x  ci  biT x  di   i  x   i  ki  ci   Ai 

dan konveks, i = 1, 2, ..., q. Bukti: Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan q = 1, m = 3, ki = 4 dan di = d ∈ ℝ, maka parameter masalah SOCP berdimensi 4 adalah :  a11 a12 a13   b1   c1   x1        A   a21 a22 a23  ; b  b2  ; c  c2  ; dan x   x2   a31 a32 a33  b3   c3   x3  Kendala masalah SOCP berdimensi 4 adalah Ax  c  bT x  d  a11   a21  a31

a12 a22 a32

a13   x1   c1  a23   x2   c2   b1 b2 a33   x3   c3 

 x1  b3   x2   d  x3 

 a11 x1  a12 x2  a13 x3  c1    a21 x1  a22 x2  a23 x3  c2   b1 x1  b2 x2  b3 x3  d  a31 x1  a32 x2  a33 x3  c3 



 a11 x1  a12 x2  a13 x3  c1    a21 x1  a22 x2  a23 x3  c2    a31 x1  a32 x2  a33 x3  c3  2

2

2

 b1 x1  b2 x2  b3 x3  d  b1 x1  b2 x2  b3 x3  d  a x a x a x c   bT  d  11 1 12 2 13 3 1   4   i  x   i  4  a21 x1  a22 x2  a23 x3  c2   ci   Ai     a31 x1  a32 x2  a33 x3  c3 

■

Proposisi 3.1. Model optimisasi portofolio robust (4) dengan tambahan kendala pada persamaan (5) dan (6) setara dengan menyelesaikan masalah optimisasi berikut ini

 

max w  0

T

w Tw

 2

wT  0 w  wT w .

kendala eT w  1 i  wi , i i   wi , i

(7)

Bukti : Model optimisasi portofolio robust didefinisikan pada persamaan (4) ditambah kendala pada persamaan (5) dan (6) menjadi: 1   max w min U   T w   max U   wT w . 2  





kendala eT w  1

   : 



U   :0      0   ,   0 U

0



       ,   0 0

(9)

Himpunan ketidakpastian bagi parameter i dan ij dapat ditulis dalam bentuk: i0  i  i  i0  i i

Supandi dkk., Optimisasi Robust Melalui Second Order Cone Programming dengan Aplikasi pada .......................115

 ij0   ij   ij   ij0   ij

i, j

Optimisasi robust bekerja pada kasus terburuk, yaitu pada saat expected return terkecil dan risiko (kovariansi) terbesar. Sehingga langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan nilai expected return: min  μT w   min i wi  



i

 i0 wi  i

 

0 i



 

  i wi 

i:wi  0

i:wi  0

 w    w   

i:i  0

i

i

i



  i wi

0 i

i

i: i  0

0 i

wi   i wi

i



(10)

Sedangkan penentuan besarnya risiko diukur dengan mencari nilai variansi maksimum: max wT w  max  ij wi w j  

Σ

i, j

 

0 ij



  ij wi w j 

i , j , wi , w j  0

 

i , j :wi w j  0

0 ij



  ij wi w j

  ij0 wi w j   ij wi w j   ij0 wi w j   ij wi w j i, j

i, j

i, j

i, j

 w  w w  w T

0

T

(11)

Persamaan (10) dan (11) disubstitusikan terhadap persamaan (9) menjadi

 

T

max  0 w

w T w 

 2

wT  0 w  wT  w

eT w  1

kendala

(12)

Untuk mengatasi masalah tanda mutlak pada w, maka w dapat diganti dengan vektor η yang berdimensi N dan menambah fungsi kendala ηi ≥ wi dan ηi ≥ −wi untuk setiap i yang menjamin ηi ≥ |wi | . Sehingga persamaan (12) dapat ditulis kembali dalam bentuk:

 

T

max w  0

kendala

w Tw

 2

wT  0 w  wT w

eT w  1 i  wi , i

i   wi ,

i

■

Proposisi 3.2. Model optimisasi portofolio robust (7) melalui SOCP adalah 1 w   T   (    ) 2 T e w 1

 

min   0

kendala

T

 2( 0 )1/ 2 w     1   1  

 21/ 2     1  1   i  wi , i

i   wi ,

i

(8)

Bukti : Model optimisasi (7) dapat diubah ke dalam bentuk SOCP dengan menambahkan variabel  dan  ke dalam fungsi tujuan, sehingga diperoleh 1 1 max (  0 )T w   T w     2 2 kendala eT   1   wT 0 w

  wT w

116 Jurnal Matematika & Sains, Desember 2014, Vol. 19 Nomor 3

i  wi , i i   wi , i

(13)

Karena  matriks definit positif, w vektor kolom serta  dan  skalar, kendala   w  w dapat ditulis dalam bentuk Second Order Cone (SOC) yaitu : wT  0 w   0

T

0

 4 wT 0 w  4   4 wT  0 w  2    2  1  2    2  1 1

1

 4 wT ( 0 ) 2 ( 0 ) 2 w  1     1    2

2

1   0 2   2( ) w   1     1     Dengan cara yang sama, kendala   wT w dapat dubah dalam bentuk SOC yaitu: 1   2 2( ) w   1       1   

(14)

(15)

Menggunakan persamaan (14 ) dan (15) maka model (13) menjadi T 1 1 max  0 w   T w     2 2 kendala eT w  1

 

 2( 0 )1/ 2 w     1   1    21/ 2 w     1  1   i  wi , i

i   wi ,

(16)

i

Model optimisasi (16) dapat di bawa ke dalam SOCP dengan kendala linear yaitu: T 1 min   0 w   T   (    ) 2 kendala eT w  1

 

 2( Σ 0 )1/ 2 w     1   1    2Δ1/ 2 η     1  1  i  wi , i

i   wi ,

i

■