OPTIMASI RANCANGAN EKSPERIMEN KOKOH YANG DINAMIS BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUALITAS. Abstrak

OPTIMASI RANCANGAN EKSPERIMEN KOKOH YANG DINAMIS BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUALITAS Trianingsih Eni Lestari 1), Haryono2), M. Sjahid Akbar2) 1) Mahasiswa Program Magister Jurusan Statistika FMIPA ITS Surabaya 2) Dosen Jurusan Statistika FMIPA ITS Surabaya

Abstrak Tuntutan dalam dunia industri yang diinginkan adalah adanya perbaikan kualitas untuk setiap produk yang dihasilkan sehingga diharapkan dapat meghasilkan pendapatan yang optimal dengan kerugian yang seminimal mungkin. Taguchi mengenalkan suatu desain yang kokoh (robust) yaitu suatu prosedur untuk mengoptimalkan hasil dan desain proses yang sesuai pada target serta meminimalkan variasi dari target yang diinginkan. Tujuannya adalah merancang suatu sistem sehingga tidak sensitif terhadap variabel yang tidak terkontrol (noise). Hal penting yang perlu diperhatikan sebelum optimasi dilakukan adalah pembentukan model robust yang sesuai. Pola data yang ada sering tidak homogen karena adanya pencilan sehingga diperlukan estimator robust yang mampu bertahan terhadap kehadiran pencilan. Salah satu estimator tersebut adalah Least Trimmed Square (LTS). Metode ini tidak membuang bagian dari data melainkan menemukan model fit dari mayoritas data. Pada penelitian ini akan dibahas optimasi pada respon yang dinamis menggunakan Algoritma Genetika untuk mencari level-level dari variabel bebas yang optimum. Algoritma ini merupakan pendekatan untuk menentukan global optimum yang didasari oleh Teori Darwin dimana didasarkan pada mekanisme seleksi alamiah dan genetika alamiah. Optimasi menggunakan Algoritma Genetika menghasilkan variabel faktor optimal untuk nilai diameter luar tubing = 1.5 inch, nilai transfersal spacing = 3,5 inch, nilai kerapatan fin = 3.4 fin/inch, nilai optimum variabel respon efektifitas perpindahan panas sebesar 5.75 % dan respon biaya operasi sebesar 13.001 $/jam Kata kunci : Desain robust, Faktor signal, Least Trimmed Square, Signal to Noise Ratio, Algoritma Genetika. 1. Pendahuluan Pendekatan desain robust yang dikenalkan oleh Taguchi merupakan suatu prosedur untuk mengoptimalkan hasil dan desain proses yang sesuai pada target serta meminimalkan variasi dari target yang diinginkan (Bagchi,1993). Tujuannya adalah untuk merancang suatu sistem sehingga tidak sensitif terhadap variabel yang tidak terkontrol (noise). Hal ini dilakukan dengan menyelidiki secara sistematis hubungan antara faktor kontrol yang sesuai dengan variabel noise. Desain robust dapat diaplikasikan pada sistem yang statis dan sistem yang dinamis. Sistem yang statis menginginkan output dari sistem berupa nilai target yang tetap (fixed), dimana faktor signal pada sistem yang statis merupakan suatu nilai konstan, sedangkan sistem

1

dinamis menggunakan beberapa nilai faktor signal. Faktor signal merupakan faktor yang nilai kebenarannya bisa berubah-ubah sehingga bisa digunakan dalam suatu pengukuran.. Optimasi pada respon yang dinamis ditentukan untuk mencari level-level dari variabel bebas yang optimum. Hal ini tentunya tidak akan lepas dari pembentukan model yang sesuai dengan pola sebaran data. Dimana pola data yang ada sering tidak homogen yang menyebabkan model yang robust sulit diperoleh. Salah satu penyebab masalah tersebut adalah adanya pencilan yang mengakibatkan distribusi galat ei tidak lagi berdistribusi normal atau variansi galat tidak lagi homogen, sehingga pengujian statistik untuk melihat signifikansi parameter regresi yang didasarkan pada distribusi normal tidak dapat dilakukan ketika model yang dicari dengan metode konvensional. Salah satu alternatif yang bisa dilakukan untuk menentukan model dari data yang mengandung pencilan adalah dengan estimator Least Trimmed Square (LTS). Metode ini tidak membuang bagian dari data melainkan menemukan model fit dari mayoritas data. Banyak metode optimasi yang bisa diterapkan pada masalah multirespon yang dinamis. Salah satu optimasi yang berkembang adalah dengan Algoritma Genetika. Algoritma ini merupakan pendekatan untuk menentukan global optimum yang didasari oleh Teori Darwin. Algoritma ini didasarkan pada mekanisme seleksi alamiah dan genetika alamiah (Gen dan Cheng, 1997). Pasandideh dan Niaki (2006) pernah meneliti masalah optimasi multirespon dengan menerapkan Algoritma Genetika. Pada penelitian ini akan dikaji optimasi respon yang dinamis dengan pendekatan Algoritma Genetika yang diterapkan pada economizer yaitu salah satu bagian dari alat penukar panas dalam boiler 2. Pencilan Pada data sering ditemukan satu atau beberapa data yang jauh dari pola kumpulan data keseluruhan, yang lazim didefinisikan sebagai data pencilan (outlier). Keberadaan data pencilan akan mengganggu dalam proses analisis data dan harus dihindari dalam banyak hal. Pencilan dapat menyebabkan hal-hal berikut ini dalam kaitannya dengan analisis regresi antara lain residual yang besar dari model yang terbentuk atau E[e] ≠ 0, varians pada data tersebut menjadi lebih besar, dan taksiran interval memiliki rentang yang lebar

Gambar 1. Identifikasi pencilan menggunakan IQR atau boxplot

2

Salah satu metode yang bisa digunakan untuk mendeteksi adanya pencilan dalam data adalah boxplot. Metode ini paling umum digunakan yakni dengan mempergunakan nilai kuartil dan jangkauan. Kuartil 1, 2, dan 3 akan membagi sebuah urutan data menjadi empat bagian. Jangkauan (IQR, Interquartile Range) didefinisikan sebagai selisih kuartil 1 terhadap kuartil 3, atau IQR = Q3 – Q1. Data-data pencilan dapat ditentukan dengan melihat nilai yang kurang dari 1.5*IQR terhadap kuartil 1 dan nilai yang lebih dari 1.5*IQR terhadap kuartil 3. 3. Least Trimmed Square (LTS) Metode Least Trimmed Squares sebagai salah satu metode penaksiran parameter model regresi yang robust terhadap kehadiran nilai pencilan. Adapun tujuan yang ingin dicapai adalah mendapatkan nilai parameter model regresi yang robust terhadap kehadiran nilai pencilan. Metode robust merupakan metode alternatif yang sesuai untuk data yang terkontaminasi nilai pencilan. LTS diusulkan oleh Rousseeuw (1984) sebagai alternatif robust untuk mengatasi kelemahan Ordinary Least Square (OLS), yaitu dengan menggunakan sebanyak h (h  n) kuadrat galat yang diurutkan nilainya: h  θ LTS ( Z )  argmin  (e2 (θ))i:n  i 1

dimana (e2)1:n  (e2)2:n  …  (e2)n:n merupakan kuadrat galat ke-i yang diurutkan dari nilai terkecil hingga paling besar. Nilai h sekaligus menunjukkan jumlah data untuk digunakan mengestimasi parameter regresi dan memberikan bobot nol pada (n – h) sisa data. Nilai h dipilih untuk menghasilkan tingkat kekekaran tinggi dan disebut sebagai nilai breakdown  n* yang dipilih yaitu h = [(n + p + 1)/2]. Dimana n merupakan banyaknya pengamatan dan p adalah banyaknya parameter. Nilai tersebut digunakan untuk menghasilkan nilai breakdown atau kemampuan mendeteksi pencilan sebesar  n* = (n – h + 1)/n (Rousseeuw dan Hubert, 1997). Pada estimator regresi ada beberapa transformasi regresi dapat dilakukan dalam menghasilkan estimasi yang diinginkan. Estimator regresi yang digunakan harus mempunyai sifat-sifat: regression equivariant, scale equivariant, dan affine equivariant. Sifat- sifat tersebut diperlukan agar hasil transformasi tetap dapat diartikan sama dengan data sebelum ditransformasi. Sifat regression equivariant digunakan dalam mendeskripsikan bagaimana studi Monte Carlo dilakukan, biasanya dimulai dengan kata-kata ‘without loss of generality, let  = 0’, yang berarti hasilnya akan valid pada sebarang vektor parameter. Sifat scale equivariant menjelaskan bahwa pengepasan mempunyai sifat bebas terhadap semua unit pengukuran untuk peubah respons y sedangkan sifat affine equivariant berguna untuk menjelaskan transformasi linier bagi xi akan secara langsung berpengaruh pada estimator  , sebab 

y i = xi 

= (xi A)(A-1  ). Sehingga dengan demikian peubah bebas dapat 

menggunakan sistem koordinat lainnya tanpa berpengaruh pada hasil estimasi y i Sifat Umum Estimator Regresi LTS

3

Estimator LTS mempunyai sifat regression equivariant, scale equivariant, dan affine equivariant. Regression Equivariant :

h

h

i 1

i 1

 (({yi + xiv} – xi{ + v})2)i:n =  ((yi – xi )2)i:n h

Scale Equivariant

:

 ((cyi – xi{c })2)i:n = i 1

Affine Equivariant

:

h

c2  ((yi – xi )2)i:n i 1

h

h

i 1

i 1

 ((yi – {xiA}{A-1 })2)i:n =  ((yi – xi )2)i:n

dengan v = vektor kolom sembarang. c = konstanta sembarang. A = matriks bujur sangkar non-singular. 4. Sistem Dinamis Phadke (1989) dalam Bagchi (1993) mengungkapkan bahwa untuk menggambarkan pengaruh faktor dalam strategi Taguchi untuk desain optimasi terdiri dari 4 golongan, yaitu: 1. Faktor signal (M) Dalam suatu rancangan percobaan terdapat pengaturan faktor secara selektif pada proses untuk mencapai target yang diinginkan. Faktor signal mempunyai suatu hal yang khusus yaitu mengubah seting pengaruh dari rata-rata respon bukan pada variabilitasnya. Penentuan faktor signal didasarkan pada pengetahuan engineering dari desain suatu sistem. Untuk lebih mudahnya akan menguntungkan jika hasil yang diinginkan sangat sensitif terhadap faktor signal. 2. Faktor kontrol (C) Secara umum faktor kontrol berpengaruh pada rata-rata dan variabilitas dari respon. Suatu desain produk akan menetapkan dengan bijaksana level dari parameter sehinga dapat menerima kemungkinan terbaik dari yang diharapkan yaitu stabilitas maksimum dan hasil yang robust dengan biaya yang minimum. 3. Level dari faktor (r) Level faktor merupakan bagian dari faktor kontrol yang dirancang dapat menyesuaikan dengan mudah dalam desain proses untuk mencapai hubungan fungsional antara faktor signal (M) dengan variabel respon dalam sistem dinamis. Untuk sistem yang statis, level faktor dapat membantu menyesuaikan rata-rata sistem yang diinginkan yaitu nilai target yang tetap. 4. Faktor noise (N) Faktor noise merupakan semua faktor yang tidak bisa dikontrol. Secara umum hanya pengaruh statistik (mean, varian, distribusi, dll) pada faktor noise yang bisa diketahui. Dalam optimasi percobaan akan dipelajari interaksi antara faktor kontrol dengan faktor noise yang mempengaruhi desain akhir yang robust. Karakteristik kualitas Y secara umum merupakan fungsi dari faktor signal M pada sistem yang dinamis. M dan Y bisa berupa nilai kontinu yang positif ataupun negatif. Ketika nilai signal M adalah nol, nilai karakteristik kualitas Y juga nol. Fungsi idealnya adalah Y = M. Scaling factor dapat digunakan untuk mengatur slope pada 4

hubungan antara Y dan M. Hubungan antara faktor signal Mi dengan karakteristik kualitas Y adalah sebagai berikut: yij   M i  eij dengan β adalah slope dan eij merupakan error. β dapat diestimasi dengan metode kuadrat terkecil 2 m q 2 SSE    eij    yij   M i i 1 j 1 i 1 j 1 m q





(1)

Jika persamaan (4.2) diturunkan terhadap β akan diperoleh 2  q m q d m  y   M   2   ij   yij   M i M i i  d  i 1 j 1  i 1 j 1  









m q

m q

 2   yij M i  2    M i 2 (2) i 1 j 1 i 1 j 1 Apabila persamaan (4.3) disamakan dengan 0 (nol) akan diperoleh estimasi dibawah ini.

β

m q

   yij M i  

i 1 j 1 m q

  M i2

i 1 j 1

Misalkan respon y dipengaruhi faktor kontrol C, faktor signal M = (M1, M2,..., Mm), dan masing-masing faktor signal menggunakan noise N1, N2,.., Nq. dengan yij merupakan pengamatan untuk p faktor kontrol maka rata-rata kualitas kerugian tanpa adjustment diberikan 2 q k m Q  y    yij  M i mq i 1 j 1





(3)

dengan k merupakan konstanta koefisien kerugian. Dari persamaan (3) akan didapatkan rata-rata kerugian kualitas Q(y) dengan scaling factor vij  yij /  dan variansi error  e2 

q 2 1 m yij   M i .   mq  1 i 1 j 1





2 q k m Q y    vij  M i mq i 1 j 1





5

k Q( y )  mq

2 m q y  ij      M i   i 1 j 1

q  y 2 2y M  k m  ij  ij i  M 2    2 i  mq  i 1 j 1   m q k 1  yij 2  2  yij M i  M i 2   2 mq  i 1 j 1 q 2 k 1 m  yij   M i   mq  2 i 1 j 1 mq  1  e2 2 k  k. e mq  2 2 









sehingga signal to noise ratio dari karakteristik dinamis didefinisikan dibawah ini   10log Q( y)  10 log

2  e2

(4)

Konstanta k dari Q(y) untuk karakteristik kualitas tunggal secara umum diabaikan karena tidak mempunyai pengaruh pada optimasi sedangkan pada percobaan karakteristik kualitas yang ganda, koefisien k memiliki peran penting dalam menentukan kondisi optimal. 5. Algoritma Genetika (AG) Algoritma genetika adalah suatu algoritma pencarian yang meniru mekanisme dari genetika alam dimana diperkenalkan pertama kali oleh John Holand awal tahun 1975. Algoritma Genetika banyak dipakai pada aplikasi bisnis, teknik maupun pada bidang keilmuan lainnya. Algoritma ini dimulai dengan kumpulan solusi yang disebut dengan populasi. Solusi-solusi dari sebuah populasi diambil dan digunakan untuk membentuk populasi yang baru. Hal ini dimotivasi dengan harapan bahwa populasi yang baru dibentuk tersebut akan lebih baik daripada yang lama. Langkah-langkah yang dilakukan dalam Algoritma Genetika yang pertama adalah inisialisasi populasi. Proses ini bertujuan untuk membangkitkan sebuah populasi yang berisi sejumlah kromosom. Setiap kromosom berisi sejumlah gen yang mengkodekan informasi yang disimpan didalam kromosom. Setelah skema pengkodean ditentukan, Algoritma Genetik diinisialisasi untuk sebuah populasi dengan N kromosom. Gen-gen yang mengisi masing-masing kromosom dibangkitkan secara random. Masing-masing kromosom akan dikodekan menjadi individu dengan nilai fitness tertentu. Sebuah populasi baru dihasilkan dengan mengunakan mekanisme seleksi ilmiah, yaitu memilih individu-individu secara proporsional terhadap nilai fitness-nya dan genetika alamiah yakni pindah silang dan mutasi (Suyanto, 2005). Skema langkah-langkah Algoritma Genetika diperlihatkan dalam sebuah pseducode dibawah ini:

6

Inisialisasi populasi, N kromosom Loop Loop untuk N kromosom Dekodekan Kromosom Evaluasi kromosom End Buat satu atau dua kopi kromosom terbaik (elitisme) Loop sampai didapatkan N kromosom baru Pilih dua kromosom Pindah silang Mutasi End End

Gambar 2 . Pseducode AG Pada dasarnya Algoritma Genetik memiliki tujuh komponen. Tujuh komponen tersebut yaitu: 1. Skema pengkodean Ada tiga skema yang paling umum digunakan dalam pengkodean yaitu  Real number encoding yaitu nilai gen berada dalam interval [0,R] dimana R adalah bilangan real positif.  Discrete decimal encoding yaitu setiap gen bisa bernilai salah satu bilangan bulat dalam interval [0,9],  Binary encoding yakni setiap gen hanya bisa bernilai 0 atau 1 Pengkodean dapat dilakukan menggunakan batas interval tertentu yaitu batas bawah rb dan batas atas ra, maka pengkodean untuk masing-masing skema diperoleh :  real number encoding x  rb  (ra  rb ) g (5)  discrete decimal encoding x  rb  (ra  rb )( g1.101  g 2 .102  ...  g n .10n ) (6)  binary encodinng. x  rb  (ra  rb )( g1.21  g 2 .22  ...  g n .2n ) (7) Dimana n adalah jumlah gen dalam kromosom (panjang kromosom) dan gi, i=1,2,…,n adalah gen. Ketiga cara representasi kromosom tersebut digunakan berdasarkan masalah yang dihadapi. Tidak semua permasalahan dapat direpresentasikan dengan cara yang sama. 2. Nilai fitness Fungsi fitness adalah fungsi obyektif yang digunakan untuk menentukan solusi dari permasalahan dalam Algoritma Genetika. Fungsi fitness merupakan dasar untuk proses seleksi. Setiap kromosom dievaluasi berdasarkan fungsi. Pada evolusi alam, individu yang bernilai fitness tinggi yang akan bertahan hidup sedangkan yang bernilai fitness rendah akan mati.

7

3. Seleksi orang tua Ada beberapa metode seleksi dalam algoritma genetika, yaitu seleksi roulette wheel, seleksi peringkat, seleksi kondisi tetap. a. Seleksi roulette wheel. Roulette wheel menyeleksi populasi baru dengan distribusi probabilitas yang berdasarkan nilai fitness (F). Untuk setiap kromosom i dengan nilai fitness Fi, probabilitas seleksi Pi adalah:

Pi 

Fi , i = 1, 2, ....., n FTotal

Metode ini umum digunakan dimana masing-masing kromosom menempati potongan lingkaran pada roda roulette secara proporsional sesuai dengan nilai fitness-nya. Kromosom yang mempunyai nilai fitness lebih besar menempati potongan lingkaran yang lebih besar dibandingkan dengan kromosom bernilai fitness rendah. b. Seleksi peringkat Setiap kromosom dalam populasi diatur dengan cara menentukan peringkat berdasarkan nilai fitnessnya. Kromosom terburuk pertama akan mempunyai fitness 1, kromosom terburuk kedua akan mempunyai fitness 2, dan kromosom terbaik akan mempunyai fitness n (banyaknya kromosom dalam populasi). c. Seleksi kondisi tetap Ide utama dari seleksi kondisi tetap adalah bahwa sebagian besar kromosom dapat bertahan hidup hingga generasi berikutnya. Dalam setiap generasi, sejumlah kromosom dengan nilai fitness lebih besar daripada nilai fitness kromosom lain diseleksi untuk membentuk individu baru. Beberapa kromosom dengan nilai fitness lebih kecil daripada nilai fitness kromosom lain, dihilangkan dan generasi baru ditempatkan pada posisi kromosom yang dihilangkan tersebut. 4. Pindah silang (crossover) Pindah silang berperan penting dalam Algoritma Genetika. Sebuah kromosom yang mengarah pada solusi yang bagus bisa diperoleh dari proses memindahsilangkan dua buah kromosom. Gen dan Cheng (1997) mengungkapkan bahwa crossover membangkitkan offspring (generasi) baru dengan mengganti sebagian informasi dari parents (orang tua/induk). Operator crossover yang akan dijelaskan di sini adalah one-cut-point crossover. kromosom yang dijadikan induk dipilih secara acak dan jumlah kromosom yang mengalami crossover dipengaruhi oleh parameter crossover rate (ρc). Algoritmanya adalah :  Memilih posisi gen secara acak dari orangtua pertama.  Isi di sebelah kanan posisi gen pada orangtua pertama ditukar dengan orangtua kedua untuk menghasilkan offspring (anak). 5. Mutasi Mutasi merupakan operator genetika kedua dan hanya bekerja pada beberapa gen yang melakukan penyesuaian diri terhadap kondisi lingkungan

8

sekitar. Proses mutasi terjadi agar makhluk hidup dapat terus bertahan hidup dengan kualitas yang lebih baik. Pada algoritma genetika, proses mutasi yang menghasilkan gen yang lebih baik dapat membuat kromosom tetap bertahan dalam proses seleksi dan diharapkan akan dapat makin mendekati solusi optimum. Sebaliknya, proses mutasi yang menghasilkan gen yang lebih buruk dapat membuat kromosom tereliminasi dalam proses seleksi. Prosedur mutasi sangat sederhana. Untuk semua gen yang ada, jika bilangan random yang dibangkitkan kurang dari probabilitas mutasi yang ditentukan maka diubah gen tersebut menjadi nilai kebalikannya. Misalkan dalam binary encoding 0 diubah menjadi 1 dan 1 diubah 0. 6. Elitisme Prosedur elitisme dilakukan karena adanya seleksi yang dilakukan secara random. Hal ini menyebabkan tidak ada jaminan bahwa suatu individu bernilai fitness tertinggi akan selalu dipilih. Kalaupun individu tersebut terpilih, mungkin saja individu tersebut akan rusak (nilai fitness-nya akan menurun karena proses pindah silang). Supaya tidak hilang selama evolusi maka perlu dibuat satu atau beberapa kopinya. Prosedur ini dikenal sebagai elitisme. 7. Penggantian populasi Semua individu (misal N individu dalam satu populasi) dari suatu generasi digantikan sekaligus oleh N individu baru hasil pindah silang dan mutasi. 6. Aplikasi AG pada Economizer yang Dinamis Hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan kondisi optimum dalam proses optimasi adalah penentuan variabel respon dan prediktor dari kerja economizer. Dimana respon pada model dinamis dipengaruhi oleh faktor kontrol, faktor noise dan faktor signal. Pada proses desain economizer PT Alstom terdapat dua variabel respon yaitu efektifitas perpindahan panas (y1) dengan karakteristik kualitas larger the better dan biaya operasional (y2) dengan karakteristik kualitas smaller the better. Variabel proses (kontrol) yang terlibat yaitu diameter luar tubing  x1  , transfersal spacing  x2  , dan kerapatan fin  x3  yang masing-masing mempunyai tiga level. Ada satu faktor signal yaitu sisa gas hasil pembakaran oleh burner yang mempunyai sebelas level dimana nilainya berkisar antara 50% sampai dengan 100% sedangkan terdapat satu variabel noise yaitu bahan bakar yang memiliki dua level, bahan bakar dari gas (flue gas) dan bahan bakar dari oil (flue oil). Penentuan model respon dengan adanya faktor signal dilakukan setelah data dihitung dalam bentuk signal to noise ratio dengan karakteristik dinamis pada persamaan (4). Hal ini dilakukan untuk mengurangi pengaruh faktor noise yang ada. Setelah diperoleh signal to noise ratio dari y1 dan y2 baru akan ditentukan model yang sesuai. Metode estimasi yang digunakan untuk menentukan model dari permasalahan diatas adalah Least Trimmed Square karena terdapat pencilan pada respon. Hal tersebut tampak pada boxplot dibawah ini.

9

Boxplot of y1, y2 -23.0 -23.5

Data

-24.0 -24.5 -25.0 -25.5 -26.0 -26.5 y1

y2

Gambar 7. Boxplot dari respon y1 dan y2 Berdasarkan Gambar 7. diatas terlihat bahwa untuk respon y1 yaitu respon efektifitas perpindahan panas tidak terdapat pencilan. Hal ini terbukti bahwa tidak ada data yang mempunyai nilai kurang dari 1.5*IQR = 1.5*(-0.498) = -0.747 terhadap kuartil 1 (-25.805) dan nilai yang lebih dari 0.747 terhadap kuartil 3 (-25.307). Sebaliknya pada respon y2 yaitu respon biaya operasi terdapat adanya pencilan yakni ada data yang mempunyai nilai kurang dari 1.5*IQR = 1.5* 0.182 = 0.273 terhadap kuartil 1 (-23.275) dan nilai yang lebih dari 0.747 terhadap kuartil 3 (-23.182). Terdapat 4 pengamatan dari respon y2 yang merupakan pencilan yaitu pengamatan ke-3 (-24.5665), pengamatan ke-12 (-25.3524), pengamatan ke-23 (-23.6161), dan pengamatan ke-24 (23. 5481). Model untuk semua faktor terhadap variabel respon perpindahan panas dengan menggunakan metode Least Trimmed Square diperoleh hubungan regresi polinomial yaitu : yˆ1  25,5159  0, 2201x1  0,11408x2  0, 2372 x3  0, 0183x12

 0, 02499 x22  0, 0220 x32  0, 01747 x1 x2  0, 002381x1 x3

(8)

 0, 0030 x2 x3 Model diatas memiliki koefisien determinasi robustnya sebesar 99,87 % dan Final LTS Scale sebesar 0,0094. Hal tersebut menunjukkan model sangat layak digunakan, karena mampu menjelaskan lebih dari 90% keragaman data serta nilai Final LTS Scale sangat kecil. Sedangkan pada variabel respon biaya operasi diperoleh hubungan regresi polinomial dengan pendekatan estimator LTS yaitu: yˆ 2  23,1583  0, 0403x1  0, 0174 x2  0, 00186 x3   0, 03764 x12  0, 0069 x22  0, 04924 x32  0, 0269 x1 x2

(9)

 0, 224 5 x1 x3  0, 0309 x2 x3

Koefisien determinasi robust dari model y2 sebesar 84,16 % dan Final LTS Scale sebesar 0,018. Proses optimasi dengan Algoritma Genetika pada desain economixer dimulai dengan representasi kromosom. Pada permasalahan ini dipilih real number encoding yaitu pengkodean dimana nilai gen berada pada interval [0,R] dengan R adalah bilangan real positif. Tujuan dari pengkodean kromosom untuk mengkodekan 10

kromosom yang berisi gen bilangan real menjadi individu x yang bernilai real dalam interval yang diinginkan yaitu dalam batas bawah rb dan batas atas ra. Pengkodean dilakukan berdasarkan persamaan 5 diatas. Tahap kedua adalah inisialisasi populasi yang dibentuk secara acak dengan 10-bit kromosom yang didapatkan dari variabel bebas serta kombinasinya yaitu x1, x2, x3, x12 , x22 , x32, x1x2, x1 x3, x2 x3 dan konstanta. Pada tahapan ini dibangkitkan sejumlah ukuran populasi kromosom dan jumlah gen dalam kromosom. Ukuran populasi yang diambil adalah 200 dengan jumlah gen diperoleh dari perkalian jumlah variabel yang ingin dicari kondisi optimumnya sebanyak 3 yaitu x1, x2, x3 dengan banyaknya bit yaitu 10 menghasilkan 30 gen dalam kromosom. Langkah selanjutnya adalah mengevaluasi nilai fitness dengan menghitung fitness f (x) dari setiap kromosom x dalam populasi. Fungsi fitness dari optimasi menggunakan Algoritma Genetika berdasarkan model y1 (efektifitas perpindahan panas) pada persamaan 8 dan y2 (biaya operasi) pada persamaan 9 yang diperoleh. Kriteria yang diharapkan adalah larger the better untuk y1 dan smaller the better untuk y2. Nilai fitness diperoleh secara simultan dimana memaksimumkan model efektifitas perpindahan panas dan meminimumkan model biaya operasi. Hal tersebut didapatkan dengan mencari solusi nilai fitness yang memaksimalkan fungsi y1/y2. Setelah ditentukan nilai fitness-nya maka dilakukan setting batas atas ra yang merupakan nilai level bawah dari x1, x2, x3 = [2;4.5;5] dan setting batas bawah rb variabel bebas x1, x2, x3 = [1.5;3.5;3]. Tahap keempat yaitu mengevaluasi fitness dengan menghitung fitness f (x) dari setiap kromosom x dengan menciptakan populasi baru yang berasal dari populasi awal. Proses yang terjadi adalah mutasi dan pindah silang (crossover). Jumlah kromosom yang mengalami proses crossover pada satu generasi ditentukan secara random berdasarkan tingkat probabilitas crossover tertentu. Suyanto (2005) mengungkapkan bahwa pada umumnya probabilitas crossover ditentukan antara 0.6 sampai 0.9. Sebaliknya probabilitas mutasi biasanya sangat kecil sebesar 1/n dimana n adalah jumlah gen. Pada kasus ini ditentukan probabilitas crossover 0.8 dan probabilitas mutasi sebesar 0.03. Proses tersebut berulang-ulang sampai dengan 1500 generasi untuk mendapatkan level-level yang optimum. Titik optimum yang didapatkan dari optimasi untuk respon efektifitas perpindahan panas sebesar -24.80 dan respon biaya operasi sebesar -22.28. Kedua respon yang dihasilkan sudah optimum karena sudah ditransformasi dalam bentuk signal to noise ratio. Nilai optimum untuk variabel faktor diperoleh level-level optimum sebagai berikut, nilai diameter luar tubing = 1.5 inch, nilai transfersal spacing = 3,5 inch, nilai kerapatan fin = 3.4 fin/inch. Hasil efektifitas perpindahan panas yang diperoleh sebesar 5.7% cukup kecil. Hal ini kemungkinan disebabkan pada sistem kerja economizer dimana panas yang mengalir dari pembakaran ke boiler disirkulasi kembali melalui tubing spacing yang rapat sehingga perpindahan panas yang terjadi menjadi lebih sedikit. Sedangkan biaya operasi setelah ditransformasi didapatkan 13.001 $/jam. 7. Kesimpulan Dari hasil analisis yang telah dilakukan dan berdasarkan penjelasan yang telah diberikan, maka dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut:

11

1. Estimator robust LTS merupakan metode untuk mendeteksi adanya pencilan sekaligus memberikan estimasi parameter regresi. Metode ini mempunyai kemampuan untuk mendeteksi pencilan dalam data yang dinyatakan dalam nilai breakdown  n* . 2. Algoritma Genetika merupakan salah satu pendekatan optimasi untuk menentukan global optimum berdasarkan nilai fitness . 3. Optimasi menggunakan Algoritma Genetika menghasilkan variabel faktor optimal untuk nilai diameter luar tubing = 1.5 inch, nilai transfersal spacing = 3,5 inch, dan nilai kerapatan fin = 3.4 fin/inch. Hasil optimasi tersebut didapatkan nilai optimum variabel respon efektifitas perpindahan panas sebesar 5.75 % dan respon biaya operasi sebesar 13.001 $/jam 8. Daftar Pustaka Bagchi, T. P. (1993), Taguchi Methods Explained Practical Steps to Robust Design, Prentice-Hall International, New York. Gen, M. dan Cheng, R. (1997), Genetic Algorithms and Engineering Design, John Wiley & Sons, New York. Gujarati, D. N. (2003), Basics Econometrics, McGraw Hill Book, 2nd edition, New York, USA. Joseph, V. R. dan Wu, C. F. J. (2002), “Robust Parameter Design of Multiple-Target Systems”, Technometrics, Vol . 44, hal. 338–346. Kamarasary, A. A.(2007), Optimasi Respon Dinamis Economizer yang Robust (Studi Kasus PT Alstom Power ESI), Skripsi Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Lee, Y. dan Nelder, J. A. (2003), Robust Design Via Generalized Linear Models, Journal of Quality Technology, Vol. 35, hal. 2–12. McCaskey, S. D. dan Tsui, K. L. (1997), “Analysis of Dynamic Robust Design Experiments”, International Journal of Production Research, Vol. 35, hal. 1561–1574. Park S.H. (1996), Robust Design and Analysis for Quality Engineering, First Edition. Chapman and Hall, London. Pasandideh, S.H.R, and Niaki, S.T.A. (2006), “Optimizing Multi-Response Statistical Problems Using a Genetic Algorithm”, Scientia Iranica, Vol13, hal. 50-59. Rousseeuw, P.J. (1984), “Least Median of Squares Regression”, Journal of the American Statistical Association, Vol 79, hal. 871-880. , and Van Driessen, K. (2006), “Computing LTS Regression for Large Data Sets”, Journal of the Data Mining and Knowledge Discovery, Vol 12, hal. 29-45. , and Leroy, A. M. (1987), Robust Regression and Outlier Detection, John Wiley and Sons, New York, USA , and Hubert, M. (1997), “Recent Development in PROGRESS”, dalam L1- Statistical Procedure & Related Topics, diedit oleh Y. Dodge., Suyanto, (2005), Algoritma Genetika Dalam MATLAB, Andi, Yogyakarta.

12

Lampiran 1 . Data Desain economizer pada PT ALSTOM X1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

X2 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1

X3 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1

X12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

X22 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

X32 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

X1X2 1 1 1 -0 -0 -0 -1 -1 -1 -0 -0 -0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1

13

X1X3 1 -0 -1 1 -0 -1 1 -0 -1 -0 0 0 -0 0 0 -0 0 0 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1

X2X3 1 -0 -1 -0 0 0 -1 0 1 1 -0 -1 -0 0 0 -1 0 1 1 -0 -1 -0 0 0 -1 0 1

y1 -25.9315 -25.5995 -25.4255 -26.0167 -25.8048 -25.5307 -26.077 -26.129 -25.6217 -25.6337 -25.3718 -25.1661 -25.8183 -25.5226 -25.3003 -25.8726 -25.6727 -25.3782 -25.408 -25.1661 -24.8548 -25.5823 -25.3066 -25.0364 -25.6843 -25.418 -25.2042

y2 -23.28 -23.1832 -24.5665 -23.2451 -23.2412 -23.2148 -23.2749 -23.1765 -23.2567 -23.2066 -23.1814 -25.3524 -23.2012 -23.1892 -23.1996 -23.2214 -23.262 -23.1503 -23.1941 -23.1464 -23.1139 -23.2203 -23.6161 -23.5481 -23.2757 -23.1669 -23.1823

14

Lampiran 2. Diagram alur Proses Estimasi dengan LTS MULAI

Baca banyaknya: n = data p = jumlah peubah bebas + 1 (jika ada intersep) m = jumlah iterasi Beri indeks untuk tiap pasang data

Ambil sebanyak m subset, masing-masing berisikan ppasangan data dari n dengan cara kombinasi Jk = {z1, z2, …, zp}

T

Jk punya matriks X full rank ? Y *

Tetapkan nilai h dan hitung nilai breakdown  n

Hitung Estimasi Parameter Regresi k untuk Tiap Jk

Y Ada intersep ?

T Hitung Nilai Tujuan FTk untuk Tiap Jk

untuk estimator LTS: FTk =

1 h 2 ~  r ( ) i:n h i 1

Menetapkan Estimasi k dengan Nilai FTk yang Terkecil

SELESAI

15

Adjust Nilai Intersep untuk Tiap Jk