OPTIMAL TEST UNTUK HIPOTESIS KOMPOSIT SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Mencapai Derajat Sarjana S-1
OLEH: CAKRA PURNAWATI F1A1 11 047
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2016
i
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahi rabbilan „aalamiin. Segala puji dan syukur penulis panjatkan hanya kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya kepada penulis, sehingga sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Optimal Test untuk Hipotesis Komposit”. Shalawat dan salam, penulis sampaikan kepada suri tauladan kita, baginda Rasulullah SAW, dengan semangat dan perjuangan beliaulah penulis bisa sampai ditahap ini. Penulis sepenuhnya menyadari bahwa dalam penyelesaian skripsi ini, dihadapkan dengan berbagai macam kendala dan hambatan, namun dengan bantuan berbagai pihak akhirnya penyusunan tugas akhir ini dapat terselesaikan juga. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada Bapak Dr.rer.nat. Wayan Somayasa S.Si., M.Si., selaku Pembimbing I dan Bapak Rasas Raya, S.Si, M.Si., selaku Pembimbing II yang telah meluangkan waktunya, memberikan petunjuk, arahan dan bimbingan sejak awal penyusunan hingga selesainya penulisan hasil penelitian ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak La Gubu, S.Si., M.Si, Bapak Dr. Makkulau, S.Si., M.Si. dan Ibu Rahmaliah Sahupala, S.Si., M.Sc., selaku tim Penguji yang telah memberikan saran dan kritik sehingga tugas akhir ini menjadi lebih baik. Ungkapan rasa cinta dan terima kasih yang dalam ditujukan kepada keluarga besar penulis, ayahanda tercinta La Ode Djiki dan ibunda tercinta Sitti Herna yang telah memberikan dorongan, semangat, pengorbanan, nasehat dan iii
do‟a serta kesabaran demi kesuksesan penulis. Saudara-saudaraku tercinta, kakakkakakku yang selalu sabar Muhammad Asril (kaka Tonji), Sitti Saira, dan Nurlinawati Nurman serta adik bungsuku La Ode Andi Rahmat (Andika) terima kasih atas segala dukungan dan menjadi sumber motivasi besar selama penulis melaksanakan studi.
Ucapan terima kasih juga penulis hanturkan: 1. Rektor Universitas Halu Oleo, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse, M.S. 2.
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si, M.Si, M.Sc.
3. Ketua Jurusan dan Sekretaris Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si, M.Si. dan Bapak Rasas Raya, S.Si, M.Si. 4. Ketua Jaminan Mutu FMIPA UHO, Bapak Dr.rer.nat. Wayan Somayasa, S.Si, M.Si. 5. Kepala Laboratorium Komputasi Matematika FMIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muhtar, S.Si, M.Si. 6. Kepala Perpustakaan FMIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Indrawati, M.Si. 7. Penasehat Akademik Bapak Dr.rer.nat. Wayan Somayasa S.Si., M.Si., dan Bapak Rasas Raya, S.Si, M.Si., yang selalu membimbing dan memberikan dorongan motivasi. 8. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika Fakultas MIPA UHO yang selalu membimbing dan memberikan dorongan motivasi. 9. Seluruh Staf Pengajar pada jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo. 10. Seluruh Staf KASUBAG dan Perlengkapan FMIPA Universitas Haluoleo. iv
11. Tempat saya tinggal selama menjalani perkuliahan, La Ode Asrafil, S.H., M.H. (Om Bapa E), Rini, S.T., (Bu De) dan Wa Ode Mayzhara Averina (Kaka Eing) yang telah membantu, menjaga dan memberikan perhatian. 12. Nurmin Suryati, S.S., M.Hum. (Kaka Umin), Kaka Imu, Kaka Ratna, Kaka Uji yang memberikan dorongan, perhatian dan arahan. 13. Sepupuh-sepupuh saya, Sitti Yerniwati, S.Pd. (Erni), Asra, Risa Nurul Amalia, A.M.Keb. (Icha), Okang, L.M. Adlu Razaaq Gafar, S.H., M.H. (Gulung), Harvin Sarawati, S.Pd. (Vini) dan semuanya serta Bibi Jurnalistik (Ayu), yang siap menemani dan menghibur. 14. Bapak AS dan Mama AS, Andini, Sabila yang telah memperhatikan saya diawal semester penulis memasuki jenjang perkuliahan. 15. Sahabat-sahabat saya, Melo, Wa Ode Isra Nur Am.Keb., Fitri Nengsing, S.Kep., Sitti Nurhasanah, Am.Keb., Wa Ode Putri Anasari, S.Pd., Wa Ode Nurtimasia, AK,. S. ST. 16. Asqa, Asti, Rama, Edi, Fahmi, Fadila, Owen, Akbar Cinho, Ica dan adeadeku yang lainnya. 17. Tim divisi Somayasa (Nini Karlis, S.Mat., Wayan Eka Murtiawan S.Mat., Riska Juliani, S.Mat., Mega Puspita Sari, S.Mat, Hijrawati, S.Mat., Ridayani, S.Mat, Peni Saputra, S.Mat., dan Sartika calon S.Mat), yang selalu mendukung satu sama lain. 18. Andi Nurul M, S.Mat., Halma, S.Mat., Muh. Naim, S.Mat., Rita Rukaya, S.Mat., Sitti Erna Linda, S.Mat., Tendri Sompa, S.Mat, Ririn, Nisfa, Cici, Asran, Safar serta teman-teman angkatan 2011 yang lagi sama-sama berjuang. v
19. Teman-teman angkatan 2011, Sitti Sardianti, S.Mat., Nining S.Mat., Wa Ode Faulina, S.Mat., Nini, Ade Rahayu Putri, S.Mat., Wahyu Mustika Ningrum, S.Mat., Wa Ode Sarfin Tala, S.Mat., Edikun B.J., S.Mat., Kalvin, S.Mat, Kasliono, S.Mat., Raful Sudirman, S.Mat., Al Mustakim, S.Mat., Wa Ode Amarita, S.Mat dan yang lainnya, yang sudah sarjana agar segera dapat kerja yang layak, amiin. 20. Teman-teman angkatan 2011 yang masih menjalankan studi Nurlian, Safiul dan lainnya, SEMANGAT! 21. Senior-senior angkatan 2010, 2009, yang siap memberikan arahan. 22. Teman-teman KKN saya¸ Fila, Wa Ode Sri Rahmawati S, Farm. (rahma), Hesti, Syawal, Muh. Ichsan Rusdin, S.H. (Bang Iksan), Bang Kordes, Ka PeDe, Ayu Dwi Puspa, S.Pd. (Ka Ayu). 23. Wa Ode Isnawati, A.M.Keb. (Ka Sissi), Bosu, Mama Adam, Nenek, Bapak Bosu, Mama Bosu, Pak Sekdes dan keluarga besar desa Maperaha Kec. Sawerigadi, Kab Muna Barat yang telah membantu dalam melaksanakan tugas KKN. 24. Mama Amat, Mama Dedi, Biong, Yati, Fitri, Kaka Besar, Banpol, Ani, Yani, Kaka Syam, Kaka Awang, Dapo, Mama Ato, Bapak Ato, Atun yang yang sudah bertentangga dengan penulis. 25. Adik-adik siswa serta seluruh pengajar SD Negeri 1 Saweriga desa Maperaha Kec. Sawerigadi Kab. Muna yang siap memberikan berbagi dengan peserta KKN. 26. Teman-teman seperjuangan sewaktu SMA Negeri 1 Kontunaga, SMP Negeri 1 Kosambi, SD Negeri 9 Kontunaga. vi
27. Semua pihak yang telah membantu penulis dengan dukungan dan doanya. Penulis menyadari bahwa penyusunan tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang sifatnya membangun penulis terima dengan tangan terbuka. Akhir kata, semoga tugas akhir ini bermanfaat dan memberikan sumbangan yang berharga serta bernilai amal kebaikan.
Kendari,
April 2016
Penulis
vii
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL .............................................................................
i
HALAMAN PENGESAHAN ..............................................................
ii
KATA PENGANTAR ...........................................................................
iii
DAFTAR ISI ..........................................................................................
viii
ABSTRAK .............................................................................................
x
ABSTRACT ...........................................................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 1.2 1.3 1.4
LatarBelakang.................................................................. RumusanMasalah ............................................................ TujuanPenelitian .............................................................. ManfaatPenelitian ............................................................
1 3 3 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 2.2 2.3 2.4
2.5
Variabel Acak .................................................................. Fungsi Distribusi Peluang................................................ Distribusi Normal ............................................................ Pengujian Hipotesis ......................................................... 2.4.1 Perumusan Hipotesis .............................................. 2.4.2 Hipotesis Statistik ................................................... 2.4.3 Statistik Uji ............................................................ 2.4.4 Menentukan daerah Kritis ...................................... Metode Memilih Tes Terbaik ......................................... 2.5.1 Tes UMP untuk Hipotesis Sederhana ..................... 2.5.2 Tes UMP untuk Hipotesis Komposit...................... 2.5.3 Keluarga Monotone Likelihood Ratio (MLR) .......
4 5 6 7 8 10 12 13 13 14 15 15
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 3.2 3.2
Waktu dan Tempat Penelitian ......................................... Materi Penelitian ............................................................. Metode dan Prosedur Penelitian ......................................
17 17 17
viii
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1
4.2 4.3
Metode Tes Terbaik ......................................................... 4.1.1 Tes UMP untuk Hipotesis Sederhana ..................... 4.1.2 Tes UMP untuk Hipotesis Komposit...................... 4.1.3 Keluarga Monotone Likelihood Ratio (MLR) ....... Uji Hipotesis dengan Membandingkan Fungsi Likelihood (Likelihood Ratio Test = LR test) ................................... Uji Kenormalan Data .......................................................
19 19 21 23 26 32
BAB V PENUTUP 5.1 5.2
Kesimpulan ...................................................................... Saran ................................................................................
35 35
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................
36
LAMPIRAN
ix
OPTIMAL TEST UNTUK HIPOTESIS KOMPOSIT
Oleh
Cakra Purnawati F1A1 11 047
Abstrak
Uji paling kuasa seragam (UMP Test) dapat dikatakan sebagai uji terbaik (Optimal Test) dalam menguji sebuah hipotesis. Dalam penelitian ini, ditunjukkan uji terbaik untuk hipotesis komposit. Pertama, mendefinisikan uji paling kuasa seragam (UMP-test) dengan menggunakan metode tes Neyman Pearson untuk hipotesis sederhana. Selanjutnya mendefinisikan metode uji Neyman Pearson untuk hipotesis komposit satu sisi. tes Neyman Pearson berukuran yang tidak bergantung pada selama . Tes untuk hipotesis-hipotesis tersebut merupakan tes UMP. Uji paling kuasa seragam (UMP-test) tidak dapat diturunkan untuk hipotesis komposit dua sisi. Dengan membandingkan fungsi Likelihood Ratio, dapat diturunkan uji Likelihood Ratio (LR test) untuk hipotesis komposit dua sisi. Dengan hasil implementasi data pengukuran tinggi badan mahasiswa FMIPA UHO, diperoleh ̅ maka tidak ditolak pada tingkat signifikansi = 5%. Kata Kunci: Hipotesis Komposit, Uji paling kuasa seragam (UMP test), Neyman Pearson test, Likelihood Ratio Test
x
OPTIMAL TEST FOR COMPOSITE HYPOTHESIS
By
Cakra Purnawati F1A1 11 047
Abstract
Uniformly Most Powerful test (UMP Test) can be as Optimal Test for testing a hypothesis. In this research, showed optimal test for composite hypothesis. First, definition of UMP test by method test by Neyman Pearson for simple hypothesis. Next, of method test by Neyman Pearson for composite hypothesis one side. Neyman Pearson test have the size of that not independent at during . tes for that hypothesis are UMP test. But UMP test that can not degraded for composite hypothesis two side. By comparing the function of Likelihood Ratio, can degraded Likelihood Ratio test for composite hypothesis two side. By the result of data implementation of the body altimetry of the student F-MIPA UHO, it is obtained ̅ , so not in reject at the level of significance = 5%.
Keywords : Composite Hypothesis, Uniformly Most Powerful test (UMP test), Neyman Pearson Test, Likelihood Ratio Test.
xi
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang Tanpa disadari statistika telah banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari.
Pemerintah
menggunakan
statistika
untuk
menilai
hasil
pembangunan masa lalu dan juga untuk membuat rencana masa depan. Statistika merupakan pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisaanya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisaan yang dilakukan (Sudjana, 1996). Dalam penggunaan statistika terdapat dua bagian utama, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensi. Statistika deskriptif bertujuan untuk menyajikan informasi data sebagai deskripsi fakta dalam bentuk numerik, tabel, grafik atau kurva distribusi, sehingga suatu fakta atau peristiwa dapat secara mudah untuk dipahami dan disimpulkan. Sedangkan statistika inferensi menggunakan konsep probabilitas untuk membuat perkiraan, prediksi, peramalan, ataupun generalisasi dari suatu objek berdasarkan informasi data yang diambil sebagai fakta dari populasi atau sampel (Mustafid, 2003). Statistika inferensia mencakup semua metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data untuk kemudian melakukan peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan gugus data induknya. Penarikan kesimpulan
tersebut
dapat
dilakukan
dengan
dua
hal,
yaitu 1
estimasi/pendugaan parameter dan pengujian hipotesis mengenai parameter populasi. Dalam pengujian hipotesis itu sendiri terdapat istilah hipotesis statistik, yaitu pernyataan dari distribusi sampel dari variabel acak. Berbeda dengan estimasi/pendugaan titik atau interval, pada uji hipotesis pendugaan awal terhadap distribusi dari populasi diberikan, selanjutnya berdasarkan sampel ditarik kesimpulan apakah pendugaan awal tersebut ditolak atau diterima (Somayasa, 2008). Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan karenanya perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis (Sudjana, 1996). Tujuan dari uji hipotesis adalah memutuskan berdasarkan sampel dari populasi, mana dari dua hipotesis yang saling asing yang didukung oleh sampel, yaitu hipotesis nol dinotasikan dan hipotesis alternatif dinotasikan
(Widiharih, 2009).
Dalam Uji Hipotesis ada beberapa macam metode memilih tes terbaik, diantaranya uji paling kuasa seragam (Uniformaly Most Powerfull Test = UMP-Test) untuk hipotesis sederhana dan hipotesis komposit serta keluarga Monotone Likelihood Ratio = MLR dan uji hipotesis dengan membandingkan fungsi likelihood (Likelihood Ratio Test = LRT). Dalam hal ini akan dibahas metode terbaik untuk hipotesis komposit.
2
1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana metode tes terbaik untuk hipotesis komposit. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan yang hendak dicapai dari penelitian ini adalah untuk menunjukkan metode tes terbaik untuk hipotesis komposit. 1.4 Mamfaat Penelitian Adapun manfaat dari penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan khususnya bagi penulis serta memberikan informasi yang bermanfaat pembaca tentang “Optimal Test untuk Hipotesis Komposit”.
3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Variabel Acak Definisi 1 : Variabel acak adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S, yang memetakan semua nilai di dalam ruang sampel S dengan bilangan-bilangan real. Variabel acak dinyatakan dengan huruf besar X, Y dan Z, sedangkan nilai realnya dinyatakan dengan huruf kecil x, y, z (Bain & Engelhardt). Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat distrik dan bersifat kontinu maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak distrik dan variabel acak kontinu (Supranto, 2001). Variabel acak
dibedakan menjadi dua jenis, yaitu varibel acak diskrit
dan variabel acak kontinu. Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang mempunyai nilai-nilai terhitung (countable). Jadi, variabel acak diskrit bernilai
dapat
. Sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel acak
yang nilai-nilainya tak terhitung (uncountable). Jadi nilai-nilai variabel acak kontinu
dapat merupakan semua nilai dalam satu interval terhingga, yaitu
[a,b], dimana banyaknya bilangan yang terkandung pada interval tersebut adalah tak terhingga atau tak terbilang (Walpole & Myers, 1995:53).
4
2.2 Fungsi Distribusi Peluang Definisi 2 : Himpunan pasangan terurut * distribusi peluang variabel acak diskrit
( )+merupakan fungsi peluang atau jika untuk setiap kemungkinan hasil
memenuhi: 1.
( )
2. ∑
( )
(
3.
)
( )
Maka distribusi peluang dari acak diskrit
tersebut disebut distribusi peluang variabel
(Walpole & Myers, 1995:77).
Definisi 3 : Fungsi ( ) adalah distribusi peluang variabel acak kontinu
, yang
didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real , bila: 1.
( )
.
( )
2. ∫ 3.
untuk semua
(
)
∫
( )
(Walpole & Myers, 1995:85) Dalam banyak soal diperlukan menghitung peluang bahwa nilai amatan variabel acak
akan lebih kecil atau sama dengan suatu bilangan real . Bila
untuk setiap bilangan real (kumulatif) variabel acak
, maka
( ) disebut sebagai fungsi distribusi
(Walpole & Myers, 1995;79).
5
Distribusi kumulatif
( ) suatu variabel acak diskrit
dengan
distribusi peluang ( ) dinyatakan oleh: ( )
(
)
∑
( ) untuk
(Walpole & Myers, 1995:79) Distribusi kumulatif ( ) suatu variabel acak kontinu
dengan fungsi
peluang ( )diberikan oleh: ( )
(
)
∫
( )
Untuk -∞<x<∞
(Walpole & Myers, 1995:87). 2.3 Distribusi Normal Model distribusi ini pertama kali dipublikasikan oleh Abraham de Moivre tahun 1733 sebagai suatu pendekatan untuk distribusi untuk suatu jumlahan variabel-variabel binomial. Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dalam statistik. Distribusi Normal sering pula disebut distribusi Gauss untuk menghormati Karl Friedrich Gauss (1777-1855), yang juga menemukan persamaanya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama. Distribusi peluang variabel normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ, yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat X dinyatakan dengan N(x:μ,σ) (Walpole & Myers, 1995). Definisi 4 : Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi dentitas pada X = x dengan persamaan: ( )
( ),
-
√
6
dengan:
nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal parameter, merupakan rata-rata untuk populasi parameter, merupakan simpangan baku untuk populasi.
Sifat-sifat distribusi Normal : 1. Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x. 2. Bentuknya simetris terhadap 3. Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal tercapai pada
4. Grafiknya mendekati sumbu datar x dimulai dari
sebesar
ke kanan dan
ke kiri. 5. Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi. Untuk setiap pasang
dan , sifat-sifat diatas selalu dipenuhi, hanya bentuk
kurvanya saja yang berlainan. Jika (platikurtik) dan untuk
makin besar, kurvanya makin rendah
makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik)
(Sudjana, 1996). 2.4 Pengujian Hipotesis Pengujian dilakukan terhadap parameter populasi dalam bentuk hipotesis statistik. Adapaun prosedur umum pengujian hipotesis adalah: 1. Nyatakan hipotesis nol (
) dan alternatifnya (
)
2. Menentukan statistik uji yang sesuai, hal ini tergantung pada asumsi tentang bentuk sembarang dan bentuk hipotesisnya. 3. Menentukan daerah kritis (daerah penolakan
)
7
4. Mengambil kesimpulan, jika statistik yang dihitung terletak pada daerah penolakan, maka tolak
atau sebaliknya (Somayasa, 2008).
Untuk menjelaskan langkah-langkah di atas, berikut diterangkan beberapa konsep dalam pengujian hipotesis 2.4.1 Perumusan Hipotesis Hipotesis yang akan diuji diberi simbol H0 (hipotesis nol) dan langsung disertai dengan H1 (hipotesis alternatif). H1 akan secara otomatis diterima, apabila H0 ditolak. Cara merumuskan H0 dan H1 tergantung pada jenis parameter yang akan diuji dan jenis data yang tersedia. Sebagai contoh misalnya, seorang ahli ekonomi merencanakan untuk memperkirakan fungsi permintaan linear sebagai berikut: Q = c + dP dimana, Q = banyaknya barang yang diminta dalam satuan, P = harga barang dalam satuan mata uang, sedangkan c dan d konstan. Berdasarkan teori ekonomi, ahli ekonomi tersebut akan mengharapkan bahwa jumlah barang yang diminta akan berkurang (menurun) apabila harga barang tersebut mengalami kenaikan. Pada umumnya kalau P naik maka Q turun, dengan asumsi faktor lain tidak berpengaruh. Oleh sebab itu, nilai d akan kurang dari 0 (d = 0), sehingga perumusan hipotesis menjadi: H0 : d = 0 H1 : d < 0 (Supranto, 2001).
8
Kalau yang sedang diuji itu paramaeter
(dalam penggunaannya nanti
bisa
rata-rata µ, proporsi π, simpangan baku σ dan lain-lain), maka akan didapat hal-hal: a) Hipotesis mengandung pengertian sama. Dalam hal ini pasangan H0 dan H1 adalah: 1) H0 :
=
0
2) H0 :
=
0
H1 :
=
1
H1 :
≠
1
3) H0 :
=
0
4) H0 :
≠
0
H1 :
˃
1
H1 :
˂
1
Dengan
0
,
1
dua harga yang berlainan yang diketahui. Pasangan 1
dinamakan pengujian sederhana lawan sederhana sedangkan yang lainnya merupakan pengujian sederhana lawan komposit. b) Hipotesis mengandung pengertian maksimum. Untuk ini H0 dan H1 berbentuk : H0 :
≤
H1 :
˃
0
1
Yang biasa dinamakan pengujian komposit lawan komposit c) Hipotesis mengandung pengertian minimum. Perumusan H dan H1 berbentuk : H0 :
≥
H1 :
˂
0
1
(Sudjana,1996:222)
9
2.4.2 Hipotesis Statistik Definisi 7 (
Misalkan
)
. Hipotesis statistik adalah pernyataan
tentang distribusi dari . Dalam kasus parametrik ini hipotesis statistik adalah pernyataan tentang . Dalam uji hipotesis ruang parameter
dibagi atas dua bagian yang
saling asing yaitu : 1. Hipotesis nol (
) yang menyatakan bahwa
2. Hipotesis alternatif ( sehingga ruang sampel
) yang menyatakan bahwa dibagi menjadi dua himpunan yang saling asing, yaitu
)
*(
, dan
ditolak} dan
. Selanjutnya
penolakan (daerah kritis), sedangkan
disebut daerah
disebut daerah penerimaan
(Somayasa, 2008). Definisi 8 Suatu tes untuk hipotesis * ( Jadi
adalah suatu fungsi
+, sedemikian hingga )
,
(
)
{
merupakan fungsi penolakan dari dan tidak ditolak jika ( )
(
( (
) )
, dimana
akan ditolak jika
. Selanjutnya berlaku : ).
(Somayasa, 2008).
10
Pada setiap eksperimen yang melibatkan pengamatan pasti ada kesalahan yang berimbas pada proses pengambilan keputusan terhadap
,
yaitu : 1. Kesalahan tipe I, yaitu kesalahan yang dilakukan karena menolak padahal
benar.
2. Kesalahan tipe II, yaitu kesalahan yang dilakukan karena tidak menolak padahal
salah.
Probabilitas kedua kesalahan dinyatakan sebagai : (
)
(
)
( | ( |
)
( ) dibawah
)
,
( ) dibawah
,
(Somayasa, 2008) Sebagai contoh kesalahan yang berimbas pada pengambilan keputusan yaitu pengaruh penggunaan obat jenis baru terhadap rata-rata lama waktu sembuh dibandingkan menggunakan obat yang telah ada. Hipotesis null (
) : tidak terdapat perbedaan rata-rata lama waktu sembuh
antara obat baru dengan obat yang telah ada. Hipotesis alternatif (
) : terdapat perbedaan rata-rata lama waktu sembuh
antara obat baru dengan obat yang telah ada. Kesalahan tipe I terjadi apabila disimpulkan bahwa rata-rata lama waktu sembuh obat jenis baru berbeda dari yang telah ada, padahal kenyataannya tidak demikian. Kesalahan tipe II jika disimpulkan bahwa rata-rata lama waktu sembuh obat jenis baru tidak berbeda dari yang telah ada, padahal kenyataannya berbeda.
11
2.4.3 Statistik Uji Statistik uji adalah statistik yang digunakan untuk membantu membuat kesimpulan menerima atau menolak hipotesis (pernyataan) pada pengujian hipotesis. penolakan
Suatu ruang sampel dibagi menjadi dua daerah yaitu daerah dan daerah tidak menolak
. Selanjutnya daerah penolakan
disebut daerah kritis. Sesuai dengan aturan keputusan, jika nilai statistik uji jatuh pada daerah kritis maka membawa keputusan pada penolakan
. Sebaliknya, bila nilai
statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis atau berada pada daerah tidak menolak
maka keputusannya tidak menolak
.
Definisi 9 Fungsi power dari tes diberikan oleh (size) dari
( )
( |
adalah
)
,
( )
( ) untuk
jika
( )
- yang
. Selanjutnya , ukuran
( ). Untuk suatu bilangan
dikatakan tes dengan signifikansi setiap
,
adalah suatu fungsi
(
), tes
. Karena untuk
( ) , maka setiap tes adalah tes dengan
tingkat signifikansi yang diberikan oleh ukurannya (Somayasa, 2008). Definisi 10 Suatu hipotesis yang berbentuk , bahwa
untuk suatu
disebut hipotesis sederhana. Sedangkan hipotesis yang menyatakan berada pada suatu interval disebut hipotesis komposit. Jadi hipotesis
yang terbentuk
untuk suatu
adalah hipotesis
komposit (Somayasa, 2008).
12
2.4.4. menentukan daerah Kritis Dari penjelasan diatas secara logika tes yang baik adalah tes yang (
meminimumkan
)
(
dan
)
secara
simultan. Akan tetapi karena kedua kesalahan ini tidak dapat diminimumkan secara bersamaan (lihat Lehman dan Romano, 2005:57), prosedur terbaik yang dapat dilakukan adalah kita memilih terlebih dahulu bilangan kecil , biasanya dipilih
atau (
sedemikian hingga power (
sebagai tingkat signifikansi )
) dibuat minimum. Karena ( )
dan pada sisi lain (
)
, jadi daerah kritik yang dipilih adalah daerah kritik yang
memenuhi (
)
maksimum , yaitu
( )
sedemikian sehingga power dibawah maksimum (Somayasa, 2008).
2.5 Metode Memilih Tes Terbaik Tes berukuran
untuk suatu hipotesis yang sama adalah tidak tunggal.
Dua atau lebih tes dapat mempunyai ukuran yang sama, tetapi power di bawah alternatif H1 belum tentu sama. Metode memilih tes yang terbaik (tes dengan power di bawah H1 terbesar) diantara semua tes berukuran . Definisi 11. Misalkan
dan
merupakan dua tes dengan ukuran . Tes
, jika
( )
semua tes berukuran
untuk hipotesis
dikatakan secara seragam lebih baik dari
( ) untuk hipotesis
. Misalkan
merupakan himpunan . Suatu tes
dikatakan terbaik secara seragam (Uniformly Most Powerful
13
Test) atau tes UMP berukuran , jika
( )
( )
dan
(Somayasa, 2008). 2.5.1 Tes UMP untuk hipotesis sederhana Misalkan
merupakan variabel acak dengan fungsi densitas
bersama (
), θ
*
. Suatu tes
+ untuk hipotesis
dengan
, disebut tes
Neyman-Pearson (tes N-P) berukuran , jika:
(
( ( ( (
) {
untuk setiap titik (
)
, dimana
konstanta yang akan ditentukan dari persamaan diasumsikan (
)
) ) ) ) ,
) merupakan sembarang ( )
. Pada definisi ini
.
Teorema 3 : Tes Neyman Pearson (N-P) berukuran
untuk hipotesis
merupakan tes UMP. Tes N-P untuk hipotesis sederhana pada tingkat
(
adalah:
)
{
(
)
( (
) )
(
)
14
2.5.2 Tes UMP untuk hipotesis komposit Tes UMP berukuran α untuk hipotesis H0 : θ = θ0 vs H1 : θ < θ1. Metode yang ditempuh adalah dengan pertama-tama mendefinisikan tes N-P berukuran α untuk hipotesis sederhana H0 : θ = θ0 vs H1 : θ = θ1 untuk sembarang θ1 dengan θ1 < θ0. Jika dapat ditunjukkan bahwa tes ini tidak bergantung pada θ1, maka tes ini adalah tes UMP berukuran α untuk hipotesis komposit H0 : θ = θ0 vs H1 : θ < θ1. 2.6.3 Keluarga Monotone Likelihood Ratio (MLR) mempunyai fungsi densitas bersama (
Misalkan dengan θ
θ
(
. Misalkan T : x
),
merupakan statistik. Maka
) , dikatakan dari keluarga monotone likelihood ratio (MLR)
dalam T, jika terdapat suatu fungsi non negatif g(t) sedemikian hingga untuk setiap
1
dan
2
dengan ( (
dengan ( (
1
<
2
berlaku: ) )
)
( (
)
) monoton naik dalam (
) ).
Definisi 12 : Densitas bersama
( | ) dikatakan mempunyai sifat monotone
likelihood ratio (MLR) dalam statistik ( ) jika dua harga parameter rasio
( | )
( | ) tergantung X hanya melalui
( ) dan rasio
merupakan fungsi tidak turun dari ( ).
15
Teorema 4 : ( | ) mempunyai sifat MLR dalam statistik
Jika densitas bersama
( ) maka uji paling kuasa seragam ukuran
untuk :
adalah: (
)
dengan k ditentukan dari ( ( )
(
{ |
)
}
)
dengan mengingat sifat baik dari keluarga eksponensial diantaranya sifat MLR. Teorema 5 : Jika ( dalam
)
(
merupakan anggota dari keluarga MLR
) maka tes UMP berukuran
untuk hipotesis
adalah : (
)
( (
{
) )
dimana k adalah konstanta yang ditentukan dari persamaan * (
)
|
+
jika nilai k yang memenuhi persamaan ini adalah
, maka daerah kritik dari
tes ini adalah: *(
)
(
)
+.
(Somayasa, 2008).
16
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini berlangsung dari bulan Januari sampai dengan Maretl 2016. Penelitian ini berlokasi di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam serta ruang lingkup Universitas Halu Oleo. 3.2 Materi Penelitian Materi yang digunakan dalam penelitian ini adalah tes terbaik untuk Hipotesis Komposit 3.3 Metode dan Prosedur Penelitian Metode yang diterapkan dalam penyelesaian penelitian ini yaitu metode kepustakaan (library research) serta studi literatur yang diperoleh dari jurnal – jurnal ilmiah dan sumber – sumber lain yang diperoleh dari internet. Metode kepustakaan (library research) ini digunakan peneliti untuk memilih teori-teori yang dapat mendukung pokok permasalahan yang dimunculkan pada penelitian ini, agar pembahasannya dapat diselesaikan secara tuntas. Teori-teori pendukung tersebut telah dibahas pada Bab II. Adapun lngkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mencari referensi dan data melalui buku dan jurnal yang dibutuhkan dalam penelitian ini. 2. Menuliskan referensi dan data yang telah diperoleh.
17
3. Meneliti dan menganalisa referensi dan data yang telah diperoleh, dengan cara menunjukan test terbaik untuk hipotesis komposit, selanjutnya melakukan pengujian hipotesis berdasarkan data. 4. Membuat kesimpulan dari penelitian ini.
18
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Metode Tes Terbaik Dalam menunjukan tes terbaik dari hipotesis komposit, metode yang ditempuh adalah pertama-tama mendefinisikan tes N-P berukuran untuk hipotesis sederhana. 4.1.1 Tes UMP untuk Hipotesis Sederhana Teorema 4.1.1: tes UMP berukuran α Misalkan
merupakan n variabel acak dengan fungsi dentitas
bersama (
)
*
suatu tes dengan
+ untuk hipotesis
disebut tes Neyman-
Pearson (tes N-P) berukuran α, jika:
)
(
untuk setiap titik (
)
{
(
)
( (
) )
(
)
,
dimana
konstanta yang akan ditentukan dari persamaan diasumsikan (
Pada definisi ini
merupakan sembarang tes berukuran α untuk hipotesis
sederhana
(
( )
)
Bukti: misalkan
Jika (
) merupakan sembarang
( )
yaitu
Misalkan:
*(
)
(
)
(
)+
*(
)
(
)
(
)+
)
, maka (
)
(
)
Ini berakibat
) Sebaliknya, jika (
)
,
19
maka
(
)
( )
( )
Ini berakibat
(
)
(
).
Maka (
∫( ( (
)
(
)) (
)
∫( ( (
)
(
)) (
)
∫( ( (
)
∫( ( (
)
∫( ( (
. ( )
)
( )
(
(
)
∫( ( (
Jadi
)
)) (
)
(
)
))
(
(
( )/
(
))
))
(
(
)
)
)
( ).
Kasus 1. Misalkan X1, X2 … , Xn merupakan sampel acak dari populasi berdistribusi Exp(),> 0. Akan dirumuskan tes N-P berukuran untuk hipotesis H0 : vs H1 :
, dimana diasumsikan >.
20
Karena (
)
(
)
.(
(
) / )
∑
i
exp{(1/1 – 1/0) ∑
≥
1,
dimana
1
i}
(
:=
)
.
–
Pada kasus ini (1/ - 1/) < 0 sehingga tanda “≤” berubah menjadi “≥”. Maka daerah penolakan berukuran diturunkan dari persamaan: *∑
1≥
=
{
∑
} = .
/ berdistribusi
Selanjutnya karena 2 ∑
(
) , maka 2k1/ =
(
). Jadi tes N-P berukuran akan menolak H0 jika 2∑
(
) atau ∑
(
≥
)
, untuk
/ ≥
. Jika diasumsikan
, maka dapat ditunjukan bahwa tes N-P berukuran untuk hipotesis H0 : 0 vs H1 : = 2 akan menolak H0 jika 2∑ ∑
(
)
/ ≥
. Kedua tes tersebut adalah sama asalkan
diasumsikan lebih besar dari
(
) atau dan
.
Selanjutmya, akan didefinisikan hipotesis komposit berdasarkan tes UMP untuk hipotesis sederhana di atas. 4.1.2 Tes UMP untuk hipotesis Komposit Berikut ini akan ditunjukan tes UMP berukuran
untuk hipotesis
. Dapat dilihat dari prosedur tes UMP untuk hipotesis
untuk sembarang
dapat ditunjukan bahwa tes ini tidak tergantung pada tes UMP berukuran
untuk hipotesis komposit
dengan
. Ini
, maka tes ini adalah .
21
*
Dari kasus 1, Misalkan untuk (
+ merupakan tes untuk hipotesis
sembarang
dengan
dimana
)
)
(
{
(
)
( (
) )
(
)
Tes UMP berukuran α untuk hipotesis ini akan menolak (
) Tes ini tidak akan berubah selama
Jadi
tes N-P berukuran α yang tidak bergantung pada
̅
jika
merupakan
selama
maka
adalah tes UMP berukuran α untuk hipotesis Fungsi power dari ( )
)(
(
) (
}
{
)
̅
(
)
} )
/
) adalah fungsi distribusi komulatif dari variabel
(
(
Karena
(
̅
{ dimana
adalah: ̅
{
.
}
) merupakan fungsi turun dari
fungsi monoton naik dari
( )
( )
.
juga merupakan tes UMP berukuran
hipotesis komposit
).
( ) merupakan
maka
sehingga berlaku
Berdasarkan hasil tersebut,
(
).
(
untuk
.
Secara analog tes UMP berukuran
bersadarkan sampel acak dari
populasi Eks ( ) untuk menguji hipotesis
, akan
̅
adalah
menolak ( )
jika {
̅
( (
)
}
) . Misalkan tes ini sebagai {
̅
(
)}
(
)(
(
)).
22
( ) merupakan fungsi turun dari
Sehingga jelas ( )
( )
. Jadi
, oleh karena itu
merupakan tes UMP berukuran
untuk hipotesis
.
4.1.3 Keluarga Monotone Likelihood Ratio (MLR) Kasus 2, Jika
merupakan sampel random dari populasi
dengan
(
)
maka berlaku: (
μ)
{
√ {
( )
(
dengan (
)
∑
) }
.
* ( ) (
= Dengan
̅
∑(
)
(
∑
)
( √
( )
)/} )
( )+ ( √
)
,
̅ q merupakan fungsi fungsi monoton naik tegas dari μ) dari kelurga MLR dalam ̅
, sehingga dapat disimpulkan ( Teorema 4.1.2: Jika ( MLR dalam
), (
merupakan anggota dari keluarga
) maka tes UMP berukuran α untuk hipotesis adalah : (
)
( (
{
) )
Dimana k adalah konstanta yang ditentukan dari persamaan * (
)
|
+
23
Jika nilai k yang memenuhi persamaan ini adalah nilai k*, maka daerah kritisnya adalah: *(
)
(
)
k*}
Bukti: Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa
merupakan tes N-P berukuran α
untuk hipotesis sederhana dengan
untuk sebarang
, dan ditunjukkan bahwa tes ini bergantung pada
Kedua, akan ditunjukkan bahwa fungsi power monoton naik dari . Karena (
asalkan
( ) merupakan fungsi
) merupakan fungsi naik dari t , maka
berlaku: (
dimana
)
(
( (
)
(
)
)
( (
) )
( (
) )
jadi tes
equivalen dengan
)
( ( ( (
{
(
(
) )
) ) ) )
Selanjutnya, * (
)
|
+
,
( (
) )
-
24
adalah tes N-P berukuran α untuk hipotesis
Jadi
. Tes tersebut tidak bergantung pada pemilihan
, asalkan
adalah tes UMP berukuran α untuk hipotesis
Sehingga
( ) monoton naik pada
. Bahwa fungsi power
( )
( ) , berlaku
kemonoton dari
adalah tes UMP berukuran
. Akibat dari
( )
. Jadi
untuk hipotesis
.
Dari kasus 2, distribusi bersama dari
adalah dari keluarga MLR
dalam ̅ . Berdasarkan Teorema 4.3.4, tes UMP berukuran α untuk hipotesis adalah (
)
Dengan { ̅
}
maka daerah kritis dari
adalah:
Jika
̅
. Jika
merupakan nilai sebenarnya dari ,
{(
)
√ ( ̅
{(
) ̅
(
(
̅
{
)
} √ }
) merupakan anggota dari keluarga MLR ) , maka tes UMP berukuran
dalam
untuk hipotesis
adalah ( Dimana
)
( (
{
) )
adalah konstanta yang ditentukan dari persamaan * ((
)
|
)}
25
Jika
(
) merupakan anggota dari keluarga MLR
( turun
), untuk
, maka
(
dari
*(
)
(
).
)
(
)
(
)
sehingga
(
)
(
)
merupakan fungsi monotone
*(
(
+ untuk
dalam
suatu
,
) dimana
4.2 Uji Hipotesis dengan Membandingkan Fungsi Likelihood (Likelihood Ratio test = LR test) Pada prosedur di atas, tes UMP diturunkan terbatas hipotesis sederhana dan hipotesis satu sisi. Tetapi hipotesis komposist dua sisi tes UMP tidak dapat diturunkan. Permasalahan ini dan permasalahan tes dengan kehadiran parameter penggangu dapat ditangani dengan tes likelihood ratio yang dalam kasus merupakan tes UMP. (
Misalkan
) merupakan fungsi likelihood dari variabel acak
, maka:
( Tes LR berukuran
) )
untuk hipotesis
( dimana
( (
)
)
adalah
{
( (
) )
adalah konstanta yang tidak diketahui yang ditentukan dari
persamaan * (
)
+
26
Remark 5.3.2. Misalkan ̂0 adalah MLE untuk pada
pada daerah yang dibatasi
) dan ̂ adalah MLE untuk
(MLE yang dibatasi pada
pada daerah
( MLE yang tidak dibatasi). Maka (
(̂ ( ( ̂(
)
) )
Jadi daerah kritis dari tes LR dikontruksikan dengan cara sedemikian rupa sehingga titik-titik sampel mempunyai rasio yang kecil. Kasus 3 (paramaternya diketahui), LR untuk hipotesis , dimana
adalah konstanta yang diketahui. Karena pada
dispesifikansikan
dengan
( MLE untuk
jelas
)
(
)
( (̅
Selanjutnya, karena ∑
[∑(
* (
)
maka
)
̅ , maka berlaku
)
∑
) )
,
) )
(
(
+
(
adalah ̂
{
maka diperoleh
)
pada daerah
(
*
bahwa
(
̅)
(̅
{
∑(
(̅
̅) ]}
) ,
) }.
Selanjutnya
{
+
{
{.√ ( ̅
* ( (̅ )/
)
) }
|
+
} }
27
Karena (√ ( ̅ menolak
) ) berdistribusi
, jika ( ̅
)
( ), maka tes LR berukuran
( )
*
atau
( )
akan
+.
Cara lain adalah {(√ ( ̅ {(√ ( ̅ Karena √ ( ̅ menolak
)
)
} √ (̅
√
) berdistribusi
, jika √ ( ̅
(
)
√
}
) , maka tes LR berukuran √ (̅
)
)
.
Kasus 4 (paramaternya tidak diketahui), misalkan (
sampel acak berdistribusi
) , dengan
dan
, dimana dan
*(
)
*(
)
∑
̂
adalah +
*
+ +
dan
̅ ) . Sedangkan MLE untuk
(
∑
dan ̂
(
untuk hipotesis
adalah bilangan yang diketahui. Pada kasus ini
Dengan estimasi titik, diperoleh MLE untuk dan ̂
)
parameter-parameter
.
Akan diturunkan prosedur tes LR berukuran
ruang parameter
merupakan
dan
yang tidak diketahui,
akan
(
(
)
(
) pada
dan
(
)
adalah ̂ pada
̂
adalah
) . Sehingga
(
̂ )
{
(
)
{
̂
∑
(
) }
∑
(
̅) }
28
(
(
̂
̂
)
∑ ∑
{
)
) )
(
(
∑
[√ ( ̅
(
( ( ) (
)
)] (
)
∑
(
∑
̅)
(
̅)
}
)
)
Selanjutnya, * ( [√ ( ̅
{( *
(
dimana (
(
)
)] (
)
{ (
)
) )
)
{ (
)]
)
jika [√ ( ̅
(
). Karena
juga ditolak jika [√ ( ̅
)]
)] (
√ }
(
, dan
) berdistribusi t dengan derajat bebas
akan menolak
}
+ √ }
[√ ( ̅
+
)
maka tes LR berukuran ) atau [√ ( ̅
(
) berdistribusi ( (
. Karena
)]
) , maka
).
Dalam Teorema 4.1.1 dsan Teorema 4.1.2, untuk pengujian hipotesis komposit uji UMP dapat diturunkan. Tetapi dengan membandingkan fungsi likelihood uji yang digunakan adalah uji LR.
29
Misalkan
variabel acak saling bebas dan berdistribusi (
identik dengan fungsi kepadatan probabilitas Untuk pengujian
)
dan
.
pada tingkat , suatu uji
didasarkan pada
dikatakan tak bias jika
Untuk semua
, (
)-
, (
)-
dan
Untuk semua
. Suatu uji tak bias bila probabilitas kesalahan tipe I
paling banyak
dan kuasa dari uji paling sedikit .
Suatu uji dikatakan uji UMP yang tak bias jika uji tersebut UMP dalam kelas semua uji yang tak bias. Kasus 5 Misalkan
merupakan sampel acak berdistribusi
diketahui dan
. Akan diuji hipotesis
(
) dengan .
Fungsi kepadatan probabilitas ( untuk
)
*
√
(
)
+
. Fungsi probabilitas tersebut dapat dinyatakan sebagai (
)
*
√
(
)
+
atau (
)
(
)
(
)
√
*
+
30
sehingga ( )
dan ( )
̅
∑
. Oleh karena itu uji UMP
yang tak bias ada ̅ ( )
Dengan
dan
̅
{ , ( )- dan
ditentukan sehingga , ( ) ( )-
, ( )-
Uji tersebut akan ekuivalen dengan ( )
√ (̅
{
Pada sisi yang lain, dibawah (
√ (̅
)
, berlaku sifat
) simetri maka
√ (̅
(yaitu √ (̅
)
(
)
). Karena
) sehingga menjadi
)
Atau √ (̅
)
√ (̅ (
)
Yang ekuivalen dengan
dibawah
)
benar. Akibatnya uji UMP yang tak bias menjadi
( )
{
(
√ (̅
)
)
31
Dengan
ditentukan sehingga (
)
.
Dari kasus 3, 4 dan 5 dengan hipotesis komposit yang sama uji LR dapat ditrurnkan dan uji UMP dapat diturunkan dalam uji UMP yang tak bias. 4.3 Uji Kenormalan Data Data yang digunakan dalam tugas akhir ini merupakan data sekunder yang diperoleh dari hasil pengukuran tinggi badan 50 mahasiswa F-MIPA UHO pada tahun 2016. Hasil pengukuran sebagai berikut: 143, 170, 175, 160, 161, 162, 163 167, 168, 166, 157, 160, 162, 165, 170, 169, 168, 170, 169, 165, 166, 166, 167, 168, 157, 158, 157, 156, 155, 154, 161, 162, 163, 165, 164, 170, 169, 168, 170, 175, 165, 164, 163, 162, 160, 160, 161, 160, 160, 161 Selanjutnya akan dilakukan uji Kolmogorov-Smirnov untuk 50 sampel data mahasiswa, adapun langkah-langkah untuk uji Kolmogorov-Smirnov adalah: 1. Hipotesis = data sampel berdistribusi normal = data sampel tidak berdistribusi normal 2. Statistik uji | ( )
( )|
3. Kesimpulan ditolak pada tingkat signifikansi α jika dan hanya jika Dimana
diperoleh dari tabel Kolmogorov-Smirnov (Tabel A.15 pada
Conover, 1980. Hal 453).
32
Berdasarkan hasil perhitungan dengan bantuan softwere R (lampiran) diperoleh nilai
. Selanjutnya pada tingkat signifikansi
dipeoleh nilai
sebesar 0,112. Karena
pada tingkat signifikansi
maka
5%
tidak ditolak
5%.
Sekarang dimisalkan akan dilakukan pengujian hipotesis pada tingkat signifikasi
α=5%
dari
data
di
atas.
Akan
diuji
hipotesis
. Uji UMP untuk hipotesis tersebut adalah: ( Dengan
)
{
̅
{ ̅
}
. Jika
sebenarnya dari , maka daerah kritis dari {(
)
{(
)
*(
)
*(
)
Tes berukururan menolak
(
adalah:
√ ( ̅
)
} √
̅
}
+ ̅ + ̅
untuk hipotesis
jika √ ( ̅
ditolak jika √ ( ̅
merupakan nilai
)
)
( (
)
, ) , sebaliknya
tidak
), sehingga diperoleh ( (
) )
33
Ini berarti dengan menggunakan tingkat signifikasi sebesar diperoleh ̅ karena √ ( ̅
maka dapat ditarik kesimpulan bahwa )
(
ditolak
).
34
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Dari hasil yang diperoleh dalam penulisan skripsi ini, dapat disimpulkan bahwa uji terbaik dalam menguji hipotesis komposit adalah uji paling kuasa seragam (Uniformly Most Powerful test) disingkat UMPtest dengan menggunakan metode uji Neyman Pearson untuk hipotesis komposit satu sisi. Sedangkan hipotesis komposit dua sisi uji paling kuasa seragam (UMP-test) tidak dapat diturunkan, dengan membandingkan fungsi Likelohood, uji Likelihood Ratio (LR test) dapat diturunkan. Dengan mengimplementasikan data pengukuran tinggi badan mahasiswa F-MIPA UHO diperoleh ̅ signifikansi sebesar
maka
ditolak pada tingkat
= 5%.
5.2 Saran Dalam tugas akhir ini, dilakukan suatu uji terbaik untuk hipotesis komposit tetapi terbatas hanya untuk hipotesis komposit satu sisi, untuk penelitian selanjutnya diharapkan dapat menunjukkan metode uji terbaik untuk hipotesis komposit dua sisi.
35
DAFTAR PUSTAKA Bain, L. J. & Engelhardt, M, 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics 2nh Edition. California: Duxbury Press. Conover, W.J. 1971. Practical Nonparametric Statistics. New York: John Wiley & Sons Inc. Mustafid. 2003. Statistika Elementer. Semarang: Universitas Diponegoro. Somayasa, W. 2001. Statistika Elementer. Kendari: Universitas Halu Oleo. _______ , 2008. Diktat Kuliah Statistika Matematika I. Kendari: Universitas Halu Oleo. Sudjana. 1996. Metode Statistik Edisi ke-6. Bandung : Tarsiro. Sugiharto, T. 2009. Bahan Kuliah Statistik 2. Universitas Gunadarma Supranto, J. 2001. Statistik Edisi ke-6. Jakarta Walpole, R .E dan Myers, R. H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwa Edisi ke - 4. Alih bahasa oleh Sembiring, R.K. Penerbit ITB; Bandung. Widiharih, T. 2009. Buku Ajar Statistika Matematika II. Semarang : UNDIP Semarang.
36
37
Lampiran Program Uji Kolmogorov-Smirnov
> tinggi
ni=sort(nikel/100) > sdr<-c((ni-mean(ni))/sqrt(var(ni))) #standarisasi data > luas_kurva<-pnorm(sdr) > a<-1:50 > fk<-a/50 #frekuensi komulatif > sup<-abs(fk-luas_kurva) > T<-max(sup) #T_hitung >T [1] 0.05593958
38
