´ OS ´ PALY ´ AZAT ´ HABILITACI
Optikai terek lokaliz´aci´oja szabadt´erben ´es terjed´ese fotonikus strukt´ur´akban Dr. Nyitray Gergely 2015
Szakmai önéletrajz Név: Születési hely és idő: Végzettség:
Nyitray Gergely Miskolc, 1975. december 10. Ph.D. fokozat (2004) SZTE Fizika Doktoriskola Kvantumoptika Alprogram fizika szakos középiskolai tanári diploma, 1999
Tanulmányok: 1999-2002: 1994-1999: 1990-1994:
Ph.D-hallgató, Pécsi Tudományegyetem, SZTE Fizika Doktoriskola (kihelyezett alprogram) Janus Pannonius Tudományegyetem, fizika középiskolai tanári szak Révai Miklós Gimnázium, Győr
Munkahelyek: 2007-: 2005-2007: 2003-2004:
Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki és Informatikai Kar Egyetemi adjunktus Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki és Informatikai Kar Tudományos munkatárs Pécsi Tudományegyetem, TTK, Fizikai Intézet – tudományos segédmunkatárs
Oktatási feladatok: 2001-2004: 2005-:
Elektromosságtan laboratóriumi mérési gyakorlatok Műszaki fizika I, Műszaki fizika II, Elektromágneses terek, Anyagismeret, Localization of Optical Waves, Villamosságtan I (gyakorlat)
Diplomamunka témavezetése (lezárt): Az indukciós hevítés alkalmazási lehetőségei és hatásfokproblémái. Szakmai tanulmányutak: 2001-2002: 2003:
Brno-i Műszaki Egyetem (Csehország) – MÖB ösztöndíj (18 hónap) Antwerpen-i Egyetem (Belgium); röntgen kapilláris optika (2 hét)
Kutatási tevékenységek: Hullámvezetőben terjedő fényhullámok és impulzusok modellezése, röntgen-optika, elektromágneses hullámterjedés modellezése egydimenziós frekvencia szelektív struktúrákban, diffrakcióelmélet Pályázati részvétel: 2004-2007: Kisüléssel gerjesztett lágy-röntgen lézer kutatása (OTKA T/F 046811, 2004-2006)
Tudományos egyesületi tagságok: Eötvös Loránd Fizikai Társaság Nyelvismeret: Angol középfokú C típusú állami nyelvvizsga
Adatlap a habilitás elbírálásához 1. Oktatási tevékenység 1.1. Milyen intézményekben, mit, mióta, mennyit oktat rendszeresen? Pécsi Tudományegyetem (PTE), Fizikai Intézet, 1999-2004: Elektromosságtani laboratóriumi mérési gyakorlatok PTE Műszaki és Informatikai Kar, 2005-2015: Műszaki Fizika I (mechanika) 2 előadás/hét, 2 gyakorlat/hét Műszaki Fizika II (termodinamika, optika) 2 előadás/hét, 1 gyakorlat/hét Fizika (általános fizika) 2 előadás/hét, 0 gyakorlat/hét Elektromágneses Terek (elektrodinamika) Villamosipari Anyagismeret 2 előadás/hét, 0 gyakorlat/hét Villamosságtan I (egyenáramú hálózatok) szemináriumi gyakorlat 2gy/hét Localization of Optical Waves 2 előadás/hét, 0 gyakorlat/hét 1.2. Mióta tart tantermi előadásokat (mennyit, milyen nyelven)? Adja meg egy oktatott (vagy bevezetni szándékozott) tárgy tematikáját! Tantermi előadásokat 2005 óta tartok a Műszaki Karon, ezeket az 1.1. pontban részletesen felsoroltam. Az előadások nyelve általában magyar. A Localization of Optical Waves kurzus nyelve angol, de ezt csak egy szemeszterben tanítottam. Műszaki fizika I 1. Bevezetés, a fizikai mennyiségek, modell-alkotás, a fizika mint tudomány-terület felosztása. 2. Kinematika (mozgástan): Alapfogalmak: anyagi pont, tér, idő, sebesség, gyorsulás. 3. Mozgások: egydimenziós mozgások, kinematikai egyenletek. 4. Síkmozgások (hajítás, körmozgás). 5. Kinetika (dinamika vagy erőtan) Alapfogalmak: inerciarendszer, erő, tömeg, Newton axiómái (I, II, III, IV), mozgásegyenlet, erőtörvények. 6. Kényszer, kényszererő, kényszereknek alávetett testek mozgása. Súrlódás. 7. A mechanika megmaradási tételei. A mechanikai energia megmaradás, az impulzus és impulzusmomentum megmaradása. Ütközések. 8. Pontrendszerek mozgása. A pontrendszerekre vonatkozó tételek. 9. A merev test statikája. A statika alaptörvényei. Az erővektor eltolhatósága, a merev testre ható erők összetevése, forgatónyomaték, erőpár, erőrendszer redukálása, súlypont, kényszerek és erőhatásaik. 10. A merev test síkmozgása. A forgómozgás dinamikája. 11. Mechanikai rezgések: amplitúdó, körfrekvencia, harmonikus rezgés. Forgási rezgések. 12. Csillapodó rezgés, gerjesztett csillapított rezgés, rezonancia. 13. Rugalmasságtan. Anyagállandók, elemi igénybevételek. 14. Hullámmozgás egy kettő és három dimenzióban. 15. Hullámegyenlet és megoldása. 1.3. Mióta vezet szemináriumot vagy gyakorlatot, kredit pontos kurzusokat (milyen nyelven)? Adja meg az oktatott tárgyak tematikáját! A kurzusokat az 1.1 pontban leírtam. A tematikák a következők: Műszaki fizika II (termosztatika) ideális gáz, reális gáz, gáztörvények, termodinamikai rendszer, paraméterek, állapotjelzők, állapotegyenlet, kinetikus gázelmélet, főtételek, entrópia, Carnot-körfolyamat, Gibbs-relációk, termodinamikai potenciálok, Maxwell-
relációk, fázisátalakulások. (optika): geometriai optika, fényvisszaverődés, fénytörés törvénye, Fermat-elv. Lencsék, tükrök képalkotása. Hullámoptika. Fényelhajlás, interferencia. Interferométerek. Elektromágneses terek (elektrodinamika) nyugvó töltés és elektromos mezője, térerősség, feszültség, potenciál, kapacitás, dipólus, anyagok elektromos mezőben, elektromos permittivitás és szuszceptibilitás, térkomponensek viselkedése határfelületen, statikus mágneses mező, mágneses indukció, mágneses térerősség, BiotSavart törvény, gerjesztési törvény, az anyagok mágneses tulajdonságai, mágneses permeabilitás és szuszceptibilitás, térkomponensek viselkedése határfelületen, áramvezetés fémekben és félvezetőkben, szupravezetés, időben változó terek, mozgási és nyugalmi indukció, eltolási áram, elektromágneses hullámok. Maxwell-egyenletek. Villamosipari anyagismeret. Az anyagtudomány fogalma, anyagszerkezeti ismeretek fejlődése, atommodellek, monolit anyagok, kompozit anyagok, intelligens anyagok, elektroreológiai és mágneses folyadékok, gélek, periódusos rendszer, kemény, lágy, könnyű, nehéz, gyakori, ritka, olcsó, drága, az életfolyamatokhoz nélkülözhetetlen, mérgező anyagok, ötvözetek. Nyersvas, acél és alumínium gyártás. Anyagvizsgálati módszerek. Röntgen sugárzás, roncsolásmentes anyagvizsgálati módszerek. Kristályok, kristályrendszerek, elemi cellák, kristályhibák. Egykristálynövesztés. Folyadékok, műanyagok, polimerek tulajdonságai. 1.4. Megjelent tankönyvei (ebből szerkesztés, fejezet): Nyomtatott formában megjelent tankönyv írásában vagy szerkesztésében eddig nem vettem részt. 1.5. Megjelent oktatási anyagai (jegyzet, könyv, kompendium, informatikai jellegű segédanyagok közül a legjobbnak ítélt munka 1 példányát a pályázathoz mellékelni kell); ebből szerkesztés, fejezet: Villamosipari anyagismeret elektronikus jegyzet 1.6. Tudományos diákköri és diplomamunka-irányító munkát, tehetséggondozást folytat-e? Hány TDK-munka, szak-, illetve diplomadolgozat készítését irányította? A hallgatók neveit és a védés (TDK előadás) évét adja meg! TDK témavezetés: - Lajos Ildikó (2006) - Godthardt Viktor (2006) Szakdolgozat (BSc) témavezetés: - Kaszás Attila (2013) 1.7. Posztgraduális, PhD képzésben betöltött szerepe, feladatai. Az általa irányított hallgatók neveit és az esetleges doktori védések időpontjait adja meg! 1.8. Külföldi oktatói tevékenysége 1.9. Adjon meg három témát, amelyben habilitációs tantermi előadását tartaná! 1) Néhány rezgésre képes fizikai rendszer leírása 2) Bevezetés az analitikus mechanikába 3) A Drude-Lorentz modell 2. Tudományos munka 2.1. Fő tudományos érdeklődési köre, tudományos fokozata, értekezéseinek címe, időpontja: Érdeklődési kör: - Optikai és röntgensugárzás terjedése különféle hullámvezetőkben - Elektromágneses hullámterjedés fotonikus struktúrában és frekvencia szelektív
eszközökben - Nemdiffraktáló nyalábok Tudományos fokozat: PhD Értekezés címe: Hullámvezetőben terjedő optikai és Röntgen sugárzás modellezése Időpontja: 2004 2.2. Milyen tudományos támogatással rendelkezett az utolsó öt évben (OTKA, ETT, OMFB, alapítvány, külföldi kutatás támogatás, egyéb pályázatok)? Megadandó az azonosító szám, elnyerés éve, időtartama, elnyert összeg, részvétel formája (témavezető, résztvevő). 2.3. Dokumentálható nemzetközi kapcsolatai, ezek tartalma, eredményei. Akadémiai partnerek: -
Wigner Research Centre for Physics, Budapest, Hungary, Zs Kis, Közös cikket írtunk a Journal of Modern Optics folyóiratban University of Antwerpen (Két hetet töltöttem az egyetemen. Röntgensugárzás terjedését szimuláltuk polikapilláris lencsében). Eredménye: Bevontak bennünket egy nagyszabású nemzetközi pályázatba.
2.4. Tudományos közleményeinek száma: 2.4.1. idegen nyelven: 13 folyóiratcikk, 4 cikk konferenciakötetben, 10 konferencia előadás: összesen 27. 2.4.1.1. ebből az utolsó 10 évben, a kandidátus, illetve PhD cím megszerzése óta: Utolsó 10 évben: 2 folyóiratcikk, 2 cikk konferenciakötetben, 8 konferencia előadás: összesen 12 PhD cím megszerzése (2004) óta: ebből az utolsó 10 évben, a kandidátus, illetve PhD cím megszerzése óta: Utolsó 10 évben: 2 folyóiratcikk, 2 cikk konferenciakötetben, 8 konferencia előadás: összesen 12 2.4.2. magyar nyelven: 1 konferencia előadás: összesen 1 2.4.2.1. ebből az utolsó 10 évben, a kandidátusi, illetve PhD cím megszerzése óta: Utolsó 10 évben: 1 konferencia előadás: összesen 1 PhD cím megszerzése (2003) óta: 1 konferencia előadás: összesen 1 2.4.3. megjelent könyv (ebből szerkesztett): 2.4.4. megjelent könyvfejezet (ebből magyar nyelven): 2.4.5. nemzetközi folyóiratban: 13 2.4.6. hazai idegen nyelvű folyóiratban: 2.4.7. magyar nyelvű folyóiratban: 2.4.8. kongresszusi előadás: 2.4.8.1. ebből felkért előadás: 2.4.8.2. impakt faktorral rendelkező, idézhető absztraktok száma: 2.4.9. egyéb publikáció: 2.5. Tudományos közleményeinek minősítése (a 2. sz. melléklet szerint) 2.5.1. eddigi összesített impakt faktora (előadás kivonatok nélkül): 16,7 2.5.2. az utolsó 10 év összesített impakt faktora: 3,182 2.6. Tudományos közleményeinek idézettsége tételes bibliográfiai felsorolásban (önidézetek nélkül). 2.6.1. valamennyi cikk idézettsége összesen: 92 2.6.2. a legtöbbet idézett cikk idézettségi száma: 29 2.6.3. az utolsó 10 évben megjelent cikkeinek idézettségi száma: 2 2.7. Új tudományos eredmények, módszerek, szabadalmak: 2.8. Tudományos közéleti tevékenysége: hazai és nemzetközi szervezeti tagság, tisztség, szerkesztőbizottsági tagság, lektorálás szakfolyóiratok számára, szakreferensi tevékenység:
2.9. Adja meg a kérelemhez csatolt publikációjának listáját [1] G. Nyitray, Detailed structure of electromagnetic pulses passing through one-dimensional photonic crystal Journal of Physics B-Conference Series 268 1-12. (2011) [2] G. Nyitray, Temporal-spatial evolution of modulated femtosecond light pulses International Journal of Electrical and Computer Systems (accepted for publication) [3] G. Nyitray, Vincent Mathew, Sergei V Kukhlevsky: Generation and interference collapse of distorsion-less fs pulses in free space by Fresnel sources Opt. Commun., 281, 1082-1086 (2008) [4] G. Nyitray, Z Kis Self-confining waves Journal of Modern Optics, 59:(18) 1558-1568. (2012) 2.10 Adja meg a megtartani szándékozott, habilitációs szakmai (tudományos) előadásának címét magyar és idegen nyelven Önmagukba ágyazott hullámok Self confining waves 3. Vezetői tevékenység 3.1. Eddigi vezetői tevékenysége, beosztása: 3.2. Munkacsoportjának eddigi eredményei 3.2.1. Milyen és hány munkacsoportot vezetett eddig? 3.2.2. Munkatársai közül kik szereztek tudományos fokozatot? 3.2.3. Munkatársai közül kik kaptak külföldi ösztöndíjat, tanulmányutat? 3.2.4. PhD doktoranduszképzésben résztvevő munkatársainak adatai: 3.3 Egyéb vezetői tevékenysége, az egyetemi közéletben betöltött tisztségei: 4. Egyéb tevékenység
Tézispontok és a PhD utáni tevékenységhez kap solódó kutatási eredmények összefoglalása Nyitray Gergely 2015. már ius 20.
Tézispontok 1. John B. S hneider professzor úr kiváló monográ áját felhasználva id®beli véges dieren iákon (FDTD-módszeren) alapuló, egy dimenziós C kódot írtam elektromágneses hullámterjedés szimulá iójára dielektrikum rétegeket tartalmazó közegekben és hagyományos fotonikus kristályokban. A multiréteg struktúra azt jelenti, hogy a közeg két különböz® elektromos permittivitású réteg váltakozásaként épül fel.
Ha a periodikusan váltakozó permittivitású rétegek
vastagságai a struktúra mentén végig állandóak, akkor egy dimenziós fotonikus struktúráról beszélünk.
Fotonikus struktúra esetén még általában azt is követelmény, hogy az optikai
rétegvastagságok az alkalmazott hullámhossz negyedével legyenek egyenl®k
λ0 /4.
n1 d1 = n2 d2 =
Az egyes rétegeket lineárisnak, homogénnek, nem-mágnesesnek tekintettük, de veszteség
felléphetett. A dielektrikum multiréteg struktúrákat gyakran frekven ia szelektív elemeknek is nevezik mert az átviteli karakterisztika nagyon érzékenyen függ a rétegek elektromos permittivitásától, illetve az optikai rétegvastagságoktól. A program harmonikus, impulzus és wavelettípusú gerjesztést is lehet®vé tesz [1℄. 2. Transzfer-mátrix (TMM) módszeren alapuló programot dolgoztam ki Matlab környezetben egy dimenziós frekven ia szelektív elemek átviteli karakterisztikájának a modellezésére.
A
programmal sikerült meghatároznunk a fáziskorrigáló vékonyréteg tükrök és THz-es frekven ia tartományban m¶köd® sz¶r®k frekven ia karakterisztikáját is.
A számított frekven ia-
átviteli függvények megegyeztek a szakirodalomból ismert transzmissziós karakterisztikákkal. A fáziskorrigáló vékonyréteg tükör rövidebb elnevezése sörpölt tükör ( hirped mirror). Csörpölt tükrökben az eltér® permittivitású rétegek váltakoznak, de a rétegvastagságok valamilyen szabály szerint változnak a struktúra mentén. A szabály attól függ, hogy a fényimpulzus milyen tulajdonságát kívánják a tükörrel megváltoztatni. Általában véve az ultrarövid impulzusokat el®állító lézer-rendszerek fontos tartozéka a fáziskorrigáló tükör.
A THz-es frekven ia
tartományban m¶köd® sz¶r® konstruálásának egy módja, hogy a fotonikus struktúrában két azonos permittivitású réteget helyezünk egymás után.
Ez a periodikusan váltakozó struk-
túrához viszonyítva egyfajta defektusnak tekinthet® [1℄, [2℄. 3. Matlab környezetben két dimenziós programot dolgoztam ki ultrarövid-impulzusok transzverzális modulá iójának modellezésére. A paraboloid és a parabola tükör ideális fókuszáló elemek. Ez azt jelenti, hogy ezek a tükrök a geometria optika szerint az optikai tengellyel párhuzamosan érkez® sugarakat egyetlen pontba gy¶jtik. Hullámoptika alapján tudjuk, hogy a fényelhajlás miatt mindig véges kiterjedés¶ foltot tapasztalunk.
A tükör véges mérete miatt az optikai
tengellyel párhuzamosan érkez® sík hullámfrontból kivág egy hengerszimmetrikus négyszögfüggvényt. Ennek a függvénynek a Fourier-transzformálta jelenik meg a tükör fókuszsíkjában. Impulzusok esetén a tükör minden frekven ia komponensre nézve elvégzi ezt a transzformá iót és a fókuszsíkbeli impulzus ezen elhajlási képek összességeként jelenik meg. Mivel a len sékkel ellentétben a tükrök nem rendelkeznek a diszperzióból származó kromatikus aberrá ióval a tükrök impulzusok fókuszálására jobban használhatók.
Kimutattam, hogy az im-
pulzusok fókuszálása során a tükör periodikus modulá iója (hullámosság) hasonló hatással van az impulzus intenzitáseloszlására a fókuszsíkban mint az amplitúdó fázisrá s egy síkhulláméra. Aperiodikus modulá ió esetén az impulzus energiája a fókuszsíkban oly módon is átrendezhet®, hogy a sötét nyaláb terminológiát használva sötét-impulzus keletkezzen. Ez azt jelenti, hogy az intenzitás-eloszlást tekintve a központi impulzus sú s helyett a fókuszsíkban sötét régió van, amelyet egyfajta fény-fal határol [2℄. 2
4. Matlab környezetben, egy a Szabó Zsolt által írt robosztus FDTD programot módosítottam úgy, hogy fáziskorrigáló vékonyréteg tükrök modellezésére is alkalmas legyen. A program segítségével 10 fs-os impulzusok id®beli terjedését is követni tudtam ultranagy-sávszélesség¶ tükörben. Az adott sörpölt tükör frekven ia-átviteli karakterisztikája alapján három átviteli szintet választottam ki: zéró, közepes és saknem teljes átvitel. Mindhárom kiválasztott szinthez meghatározott frekven ia-érték rendelhet®.
Ezeket az értékeket választottam a tükörbe érkez® fényim-
pulzusok viv®frekven iájának. Az impulzusterjedést tér-id®beli képként rögzítettem. Minden tér-id® kép egy szimulá iónak felel meg. Az impulzusterjedés tér-id® képei az átviteli karakterisztika alapján el®zetesen várt viselkedést mutatták. A nagy sávszélesség miatt természetesen kisebb eltérések is meg gyelhet®k.
Érdemes megjegyezni, hogy az FDTD-módszer nagy ne-
hézsége a számítási tartomány peremér®l visszaver®d® nem- zikai hullámok megjelenése, amelyeket Szabó Zsoltnak köszönhet®en nagyon jól sikerült eltüntetni. A program gyorsasága is gyelemre méltó: mindössze néhány per ig tart személyi számítógépen [2℄. 5. MathCad környezetben számításokat végeztem két dimenzós Fresnel-hullámvezet®vel létrehozott ultrarövid fényimpulzusok terjedésének szimulá iójára. Kimutattam, hogy bizonyos távolságra a Fresnel-rendszert®l az impulzusok intenzitásukat és fázisukat tekintve a három dimenziós Bessel nyalábokhoz hasonlóan összeomlanak [3℄. 6. A PhD disszertá ióban szerepl® két dimenziós Fresnel-hullámvezet® kon ep iót sikeresen alkalmaztam három dimenziós, hengeres vezet® falú, lineárisan sz¶kül® hullámvezet®ben terjed® optikai tér modellezésére. Ezen kon ep ió szerint a hullámvezet® falait elhagyjuk és a falakról visszaver®d® teret egy a mag-régiót is tartalmazó de azon kívüli elhelyezked® térstruktúrából induló hullámokkal helyettesítjük.
Ezt a tér struktúrát nevezhetjük Fresnel-rendszernek.
A
Fresnel-rendszer a virtuális mag régiót tekintve reprodukálni tudja a hullámvezet®re jellemz® teret szabadtérben, határolófalak nélkül.
Kimutattam, hogy a nemdiraktáló nyaláb néven
híressé vált hullám téreloszlását leíró ilindrikus Bessel-függvény-b®lszimmetria transzformá iók révén megkonstruálható az említett tulajdonságokkal bíró hullámvezet® Fresnel-rendszere. Ekkor a hengerszimmetrikus Bessel-függvény le seng® hullámait egy meghatározott sugarú gömbfelület körül a felületre mer®legesen rendezzük el [4℄. 7. A szimmetria transzformá iók révén kapott, a gömbfelület körül osz illáló tér-struktúra terjedését mind a skalár-dirak ió keretein belül, mind a vektor-dirak ió alapján sikerült modelleznem.
Vektor-dirak ió alatt a Maxwell-egyenletekb®l levezethet®, ún. Stratton-Chu in-
tegrális alakot értjük. A Stratton-Chu integrálok oly módon adják meg az
E
és
B
teret, hogy
gyelembe veszik a térkomponensek Maxwell-egyenletek szerinti satolását is. Kis nyílásszög¶ bejöv® hullámot feltételezve rámutattam, hogy a rendszer terjedése a fókuszált Bessel nyalábéval gyakorlatilag azonos. Azonban a teljes
4π
térszögbe kiterjesztett hullámteret tekintve az
el®bbi azonosság megsz¶nik. Ennek f® oka az, hogy ekkor már az optikai tengellyel ellentétes irányú energiaáramlást is gyelembe kell venni.
Ilyen eektus fókuszált Bessel nyaláboknál
nin s [4℄. 8. A vektor-dirak ión alapuló megfontolások alapján igazoltam, hogy a Poynting vektor a gömbfelület minden pontjában mer®leges a felületre és befelé a virtuális hullámvezet® sú sa felé mutat.
4π
térszögbe kiterjesztett hullámteret tekintve vezettem be a veszteségi félgömb és az
önmaga által körülfogott (önmagába zárt) hullám elnevezést.
3
Igazoltam, hogy a lineárisan
sz¶kül® hullámvezet®ben terjed® tér mindaddig reprodukálható szabadtérben, amíg a hullámvezet® keresztmetszete nem kisebb mint a vezetett fény hullámhossza. Ha a keresztmetszet a hullámhossz alá sökken olyan eektusok (felületi plazmon-fonon köl sönhatás, Fabry-Perotjelleg¶ rezonan iák) jelennek meg, amelyek nem reprodukálhatóak a Fresnel-rendszerrel [4℄. 9. Közvetett módon igazoltam, hogy a ilindrikus hullámvezet® alapmódusának központi sú sa és a Bessel nyaláb kon entrikus gy¶r¶rendszere között kap solat van.
Új szimmetria elem
megjelenése a Bessel nyaláb struktúrájában a nyaláb megfelel® mérték¶ összehúzódását vonta maga után. Ez a feltevés prediktív erejét mutatja [4℄. A tézispontok a következ® ikkeken alapulnak: [1℄ G. Nyitray, `Detailed stru ture of ele tromagneti pulses passing through one-dimensional photoni rystal'
Journal of Physi s B-Conferen e Series
268 1-12. (2011)
[2℄ G. Nyitray, `Temporal-spatial evolution of modulated femtose ond light pulses'
Journal of Ele tri al and Computer Systems
International
(a
epted for publi ation)
[3℄ G. Nyitray, Vin ent Mathew, Sergei V Kukhlevsky: `Generation and interferen e ollapse of distorsion-less fs pulses in free spa e by Fresnel sour es' [4℄ G. Nyitray, Z Kis `Self- on ning waves'
Opt. Commun., 281, 1082-1086 (2008)
Journal of Modern Opti s
4
59:(18) 1558-1568. (2012)
1.
Elektromágneses hullámterjedés leírása fotonikus kristályban
Fotonikus kristályoknak olyan mesterségesen el®állított (meta)anyagokat tekintünk, amelyek képesek szabályozni vagy megváltoztatni a bennük terjed® fény tulajdonságait. A megfelel®en elkészített fotonikus kristályok képesek a fényt bizonyos tartományokban lokalizálni vagy bizonyos irányokba vezetni. Bár f®leg egy dimenziós struktúrákkal foglalkoztunk, léteznek kett® és három dimenziós fotonikus kristályok is. A fényterjedés tulajdonságainak változtatása az ún. fotonikus sávszerkezetnek köszönthet®.
Épp úgy, ahogy a fémek és félvezet®k sávszerkezete megengedett és tiltott sávokra
tagolódik, a fotonikus kristályok sávszerkezete is fotonikus megengedett és tiltott sávokból áll. Olyan közegekben, ahol az elektromos permittivitás periodikusan változik, a szilárdtestek sávszerkezetéhez hasonló eektusokra számíthatunk. Fotonikus tiltott sávval rendelkez® anyagoknak az a jellegzetes tulajdonsága, hogy a tiltott frekven iasávon belül minden fényterjedési állapot tiltott. A frekven ia spektrumban megjelen® tiltott sávot Yablonovit h fedezte fel dielektrikum struktúrákban [5℄. Hasonló fotonikus tiltott sávok (gap-ek) láthatók egy konven ionális fotonikus kristály [6℄ frekven iaspektrumában (1. ábra).
Ilyen egy dimenziós fotonikus struktúrát hozhatunk létre oly módon,
hogy nagy és kis törésmutatójú dielektrikum rétegeket váltakozva helyezünk egymás után.
A fo-
tonikus anyagok elméleti és kísérleti kutatásával számos kutató soport foglalkozik szerte a világon. A metaanyagok vizsgálata egy gyorsan fejl®d®, rendkívül intenzív kutatási területnek számít.
A
Transmittance
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
1. ábra.
1
2
3
frequency
4
5
6
Egy dimenziós fotonikus struktúra átviteli karakterisztikája (n1 λ0 ) 4
= 1, 4; n2 = 2; N =31;
n1 d1 = n2 d2 =
fotonikus struktúrák modellezésére leginkább a következ® három módszert használják: plane-wave method (PW), transfer matrix method (TMM) és nite-dieren e time-domain (FDTD) method. Ezeket a síkhullám módszernek, átviteli mátrix módszernek és id®beli véges dieren iákon alapuló módszernek nevezhetjük. A magyar elnevezéseket ritkábban használjuk.
1.1. A PW módszer A PW módszerben egy végtelen struktúra diszperziós relá ióját
ω(k)
lehet meghatározni. Ehhez az
eredeti problémát egy sajátérték feladattá alakítják át [7℄. A rendszernek végtelennek és frekven ia függetlennek kell lennie.
Mivel a továbbiakban véges struktúrákkal foglalkozunk ez a módszer
számunkra nem megfelel®.
5
1.2. Egy dimenziós átviteli mátrix módszer Az átviteli mátrix módszert fotonikus struktúra számítására Pendry és Ma Kinnon [8℄ használta el®ször.
Egyszer¶sített változata az impedan ia illesztés alapján alkalmas a struktúra re exiós és
transzmissziós koe ienseinek ismeretében frekven ia átviteli karakterisztika meghatározására [9℄. Itt kihasználják, hogy az érint®irányú elektromos és mágneses térkomponensek folytonosak a határfelületeken. Tekintsünk homogén, izotróp multiréteg struktúrát (lásd 2. ábrát).
+
Incident wave
Reflected wave
layer0 layer1
E0
−
E0
h1 h2
layer(l) ε l µ l σ l layer(l+1)
h(l) h(l+1)
hN
layerN layer(N+1)
+
E(N+1)
Transmitted wave
2. ábra. Multiréteg dielektrikum struktúra mint frekven ia szelektív elem Ha a hullám mer®legesen érkezik a felületre a TE és TM spektrumok azonosak. Vezessük be
t-t
r -et
és
mint a struktúra teljes re exiós és transzmissziós koe iensét
E0− r = E0+ + EN +1 t = E0+ Szintén de niáljuk az
R, T
és
A
ha
l = 0,
ha
l = N + 1.
(2)
koe ienseket:
R = rr ∗ , nN+1 ∗ T = tt , n0 A = 1 − (R + T ),
(3) (4) (5)
n0 az (N + 1).-ik és a 0.-ik közeg törésmutatói. Bevezetjük az [I] határrétegen átviv® ± ′± mátrix-ot és a [L] amplitúdó átviteli mátrix-ot (lásd 3. ábrát). E és E jelöli az el®re és vissza haladó hullámokat a rétegek végén és az elején. [I](l+1)l a határfelület mátrixa az l .-ik és az (l + 1).-ik réteget tekintve. [L](l+1) pedig az az (l + 1).-ik réteg amplitúdó átviteli mátrixa. + ′+ E(l+1) ′ = [I](l+1)l El− , (6) − El E(l+1) + ′+ E(l+1) E . = [L](l+1) (l+1) (7) − ′ E(l+1) E− ahol
nN+1
(1)
és
(l+1)
6
[ L]
[I] +
El
− boundary
+
E (l+1)
’+
E (l+1)
’−
E (l+1)
−
E (l+1)
El
[ I]
boundary
[ L]
l’th layer
(l+1)’th layer
3. ábra. El®re és hátra haladó hullámok a l .-ik és
(l + 1).-ik
rétegben
Ebb®l következ®en
+ E(l+1) − E(l+1)
= [L](l+1) [I](l+1)l
El+ El−
,
(8)
és a réteg transzfer mátrixa ezek alapján:
[T ](l+1)l = [L]l+1 [I](l+1)l ,
l = 0, 1, . . . , N − 1.
(N + 1).-ik + E0 = [T ](N +1)0 . E0−
A hullámok a multiréteg struktúra küls® rétegeiben (0.-ik és az
+ E(N+1) − E(N+1)
(9) rétegekben):
(10)
A teljes átviteli mátrixot az egyes mátrixok megfelel® sorrend¶ szorzásaival állítjuk el®:
[T ](N +1)0 =
0 Y
[L][I] =
N +1 Ha a (10).-ik egyenletet elosztjuk
T11 T21
T12 T22
E0+ -al, a következ® összefüggést 1 t , = [T ](N +1)0 r 0
− feltéve, hogy a küls® félsíkr®l nin s re exió (EN +1
t 0
=
.
(11)
kapjuk:
(12)
= 0).
T11 T21
T12 T22
1 r
(13)
A re exiós és transzmissziós koe iensek eleget tesznek a következ® rekurzív összefüggéseknek:
r = −
T21 , T22
t = T11 − T12 7
(14)
T21 . T22
(15)
Ha a közeg veszteségmentes és nemmágneses
[L](l+1) = ahol
λ0
nr =
√
exp{−j 2π λ
εr
0
[L]
p µr εr hr }
exp{−j 2π λ
0 = p 0 exp{j 2π µ ε h } r r r λ
nr hr }
0 , exp{j 2π n h } r r λ
a réteg törésmutatója. Érdemes megjegyezni, hogy az optikai rétegvastagságokat a nr hr = λ40 . Ekkor az [I] mátrix alakja
központi hullámhossz negyedének szokták választani
[I](l+1)l
1 = 1 − r(l+1)l
ahol
r(l+1)l = és
a következ® formába írható:
ηl , η(l+1)
az l .-ik és az
(l + 1).-ik
"
1 − r(l+1)l
− r(l+1)l
1
#
,
η(l+1) − ηl , ηl + η(l+1)
réteg hullámimpedan iája. Az átviteli mátrix módszeren alapuló
kódok a függelékben találhatók.
1.3. Thz-es sz¶r® modellezése Átviteli mátrix módszeren alapuló Matlab kódot sikeresen alkalmaztuk fáziskorrigáló vékonyréteg tükör és THz tartományban m¶köd® sz¶r® frekven ia átvitelének meghatározására. A THz-es sz¶r®
Inserted line defect na
n1 n2 n1 n2
n1 n2 n2 n1 n2 n1 n2
n1 n2 n2 n b
...
...
N
N
4. ábra. THz tartományban m¶köd® lter megvalósításának egy módja, hogy a periodikusan váltakozó struktúrába egy vonal-defektust hozunk létre.
Ez azt jelenti, hogy a tökéletes fotonikus struktúrába negyedhullámú n2 réteg beépítésével N N struktúra helyett (n1 n2 ) n2 (n1 n2 ) struktúrát alakítunk ki. Ez tulajdonképpen egy
(n1 n2 )N (n1 n2 )N
Fabry-Perot rezonátor. Más elnevezése a negyed hullámú fázistolt Brag tükör. Ha a tükör jobb oldali N N szélre is egy n2 törésmutatójú réteget helyezünk akkor (n1 n2 ) n2 (n1 n2 ) n2 struktúra kialakításával elérjük, hogy a központi hullámhosszon nagyon keskeny transzmissziós karakterisztikát kapunk. Ezt a karakterisztikát az 5. ábrán láthatjuk. Li eredeti ikkében ([10℄) a struktúra azonos törésmutatójú környezetben van. Megmutattam, hogy eltér® törésmutatójú környezetebe helyezve a transzmissziós karakterisztika romlása nem dramatikus.
8
Transmittance
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0 0.8
0.9
1 Wavelength [m]
1.1
0 0.998
1.2
0.999
−3
x 10
1 1.001 Wavelength [m]
Transmittance
5. ábra. A THz-es sz¶r® frekven ia karakterisztikája (N
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0 0.8
6. ábra.
0.9
1 Wavelength [m]
1.1
0 0.998
1.2 −3
x 10
A THz-es sz¶r® frekven ia karakterisztikája (N
nagyságú a sz¶r® kezdetén és a végén (na
0.999
1.002 −3
x 10
= 10, na = nb = 1.52)
1 1.001 Wavelength [m]
= 10).
1.002 −3
x 10
A közeg törésmutatója eltér®
= 1, nb = 2.315)
Két eltér® törésmutatójú közegbe helyezve a struktúrát a transzmissziós karakterisztika kis mértékben módosul, ahogy ezt a 6. ábrán láthatjuk. A transzmissziós sú s az eredeti érték 85%-ra esik vissza.
9
1.4. Fáziskorrigáló vékonyréteg tükör modellezése Az általam írt (és a függelékben megtalálható) Matlab kód-ot sikeresen alkalmaztuk fáziskorrigáló vékonyréteg tükrök jellemz®inek számítására.
A fáziskorrigáló vékonyréteg tükrök fontos szerepet
játszanak a fs-os lézerrendszerek impulzusjellemz®inek optimális kialakításában [11℄, [12℄, [13℄.
A
sörpölt dielektrikum tükör váltakozó törésmutatójú SiO2 és TiO2 rétegekb®l épül fel. A nagyobb törésmutatójú réteg törésmutatója
nH = 2, 315, a kisebbé pedig nL = 1, 45.
Az optikai rétegvastagsá-
gok nem állandóak, hanem a 790 nm körül ingadoznak. A 7. ábra jól mutatja a váltakozó törésmutatójú rétegek ingadozó rétegvastagságait egy impulzuskompresszióhoz tervezett tükör esetén.
A
rétegvastagság ingadozások fontos szerepet játszanak az impulzus jellemz®inek kialakításában. 2.6
Refractive Index
2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1
0
1
2
3
4
5
6
Optical Distance from Air (micron)
7. ábra. Fáziskorrigáló vékonyréteg tükör rétegvastagság-törésmutató görbéje
Phase (Re. Coef.)
4
Transmission
1 0.8
2
0.6
0
0.4 −2
0.2 0
400
500
600
800
900
1000
1100
1200
−4 300
x 10
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
Wavelength [nm] 0 −1000
Group Delay Dispersion
Group Delay [fs]
15
700
Wavelength [nm]
4
10 −2000 −3000 5 −4000 0
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
−5000 650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
Wavelength [nm]
Wavelength [nm]
8. ábra. A 7. ábrán látható jellemz®kkel rendelkez® sörpölt tükör transzmissziója, fázisa, soportkésése, soport késés diszperziója a hullámhossz függvényében A széles frekven iatartományon közel lineáris soport késés nagyon fontos az impulzuskompresszió szempontjából.
A tükör sökkenti az impulzus komponenseinek frekven iamodulá ióját, így közel
transzformá ió-limitált impulzusok létrehozását teszi lehet®vé. A 8. ábrán látható függ®leges vonalak abból származnak, hogy a fázis bizonyos pontokban nem dieren iálható töréspontokkal rendelkezik.
10
A soport késést és a soport késés diszperziót pedig a fázis frekven ia szerinti els® (dϕ/dω ) és második 2 2 (d ϕ/dω ) deriváltjaként értelmezzük. A töréspontokban ezek a deriváltak nem értelmezhet®k.
1.5. Id®beli véges dieren iákon alapuló módszer Az FDTD módszer szerint a Maxwell-egyenletekben szerepl® dieren iálegyenleteket dieren iaegyenletekké alakítjuk [15℄. A dieren iaegyenletekb®l kapható lineáris egyenletrendszert pedig valamilyen számítógépes környezetben (C, Matlab) oldjuk meg. Ezt a módszert sokszor id® léptet® vaqy Yee-algoritmusnak is nevezik [16℄. Az egy dimenziós FDTD problémát a nem folytonos tér-id® rá son ábrázoljuk ahogy ez a 9. ábrán is látható. Nódusoknak nevezzük az elektromos és mágneses mez®
time, t
time, t
Future n+1 Future n+1/2 i+1/2
i−1/2 ∆t
∆t
i
i+1
Past
n−1/2
∆x
position, x
Past n position, x
∆x
9. ábra. Az egy dimenziós Yee-algoritmus tér-id® rá sa. mintavételezési pontjait. Ezeket láthatjuk 9. ábrán. Az elektromos mez® nódusai piros pontok, a mágneses mez®é kékek. A mintavételezési pontok közötti térbeli eltolás mértéke tolásé pedig
∆t.
A térbeli lépéseket
i-vel
indexeljük, az id®beli lépésekét pedig
∆x,
n-nel.
az id®beli elFeltételezzük,
hogy a piros vonal alatt lév® nódusokat ismerjük, még a vonal feletti nódusokhoz tartozó térjellemz®k ismeretlenek. Az ismeretlen nódusok térjellemz®it kiszámíthatjuk az FDTD algoritmus segítségével. Ha a Faraday törvény diszkretizált formáját tekintjük
n ∆t ∂ Hy ∂ Ez µ0 µr = ∂ t (i+1/2)∆x ∂x
n ∆t
(16)
(i+1/2)∆x
az ismeretlen mágneses mez® egy adott nódusban kifejezhet® a következ® formában:
n+1/2 n−1/2 n n 1 ∆t = Hy + . Hy Ez − Ez µ µ ∆ x 0 r i+1 i+1/2 i+1/2 i
A (17) egyenlet szerint
Hy
sak korábbi értékét®l és a szomszédos elektromos mez®kt®l függ.
(17)
Az
összes elektromos nódust végigjárva a múltat és a jöv®t elválasztó vonal egy fél id®lépést eltolódik. Az Ampere törvény diszkretizált formájából kiindulva
(n+1/2) ∆t (n+1/2) ∆t ∂ Hy ∂ Ez = ε0 εr ∂ t i ∆x ∂ x i ∆x 11
(18)
a hiányzó elektromos nódusok számítására nyílik lehet®ség:
n+1 n n+1/2 n+1/2 1 ∆t = Ez + − Hy . Ez Hy ε0 εr ∆ x i i i+1/2 i−1/2
(19)
Az összes mágneses nódust végigjárva a múltat és a jöv®t elválasztó vonal újabb fél id®lépéssel el®rehalad [17℄. Sok esetben nyílt tartományon lezajló folyamatokat akarunk modellezni egy véges számítási tartományon. Ún. elnyel® peremfeltételek megfelel® alkalmazásával a véges számítási tartomány peremér®l elkerülhet®k a nem zikai visszaver®dések.
Ekkor a véges térrész úgy viselkedik
mintha végtelen lenne.
1.5.1.
Az algoritmus pontossága és numerikus stabilitása
A Yee-algoritmus által adott megoldások mind a négy Maxwell-egyenletnek megfelelnek. A
c ∆t/∆x
hányadost Courant számnak nevezik. A Courant szám fontos szerepet játszik az algoritmus stabilitása szempontjából. A stabilitási feltétel a következ®
c ∆t ≤ ∆x amelyben
Sc = c ∆t/∆x.
Tehát a térbeli lépésköz nem növelhet®
c ∆t
fölé.
1.6. Hullámterjedés szimulá iója fáziskorrigáló vékonyréteg tükörben Szabó Zsolt által egy dimenzós fotonikus struktúrára írt, rendkívül stabil és gyors Matlab programot sikerült úgy módosítanom, hogy aperiodikus struktúra számítására is alkalmas legyen. Ahogy korábban is említettük a sörpölt dielektrikum tükör váltakozó törésmutatójú SiO2 és TiO2 rétegekb®l épül fel. A nagyobb törésmutatójú réteg törésmutatója
nH = 2, 315
a kisebbé pedig
nL = 1, 45.
Az
optikai rétegvastagságok nem állandóak, hanem a 790 nm körül ingadoznak, ahogy ezt a 7. ábrán el®z®leg láthattuk. A számítási tartományt 1715 ellára osztottuk fel, így a térbeli lépések hossza
∆x = λ/200 = 3.95 nm (λ = 790 nm).
A fáziskorrigáló tükör kezdete a 200. ellára esik a vége pedig
az 1605.-re. A tükör leveg® (0-200) és szubsztrát között (1605-1715) helyezkedik el. A leveg® és a szubsztrát törésmutatói
nA = 1.0 és nS = 1.51.
Az egyes rétegekre es® kerekített térbeli lépések számai a
következ®ek: 2, 31, 29, 20, 9, 33, 24, 24, 13, 33, 20, 28, 21, 27, 19, 29, 21, 35, 24, 32, 18, 36, 21, 38, 20, 41, 29, 38, 23, 38, 24, 41, 25, 50, 25, 33, 21, 51, 29, 39, 26, 36, 31, 53, 14, 49, 37, 45 (az össz lépésszám 1405). A nm-ben kifejezett valódi rétegvastagságok a következ®k: 9, 123, 115, 80, 35, 132, 93, 94, 51, 131, 79, 109, 84, 108, 77, 116, 84, 138, 95, 127, 71, 143, 82, 151, 78, 162, 113, 151, 92, 148, 95, 161, 98, 199, 100, 132, 84, 200, 113, 155, 102, 142, 124, 211, 56, 195, 145, 178 (az összesített szám 5561 nm). Az id®beli lépéshossz
∆t = ∆x/c = 13.167
as. Az egyes szimulá iók során az algoritmus 3000
(39.6 fs) iterá iót végzett. A számítási tartományt az elnyel® peremfeltételek miatt total- led-re és s attered- eld tartományokra osztottuk. Az FDTD-módszer lehet®séget ad arra, hogy a struktúra átviteli karakterisztikáját is meghatározzuk. Ilyen FDTD szimulá ió során rögzített karakterisztika látható a 10. ábra a) gra konján (kék görbe). Ez igen jó egyezést mutat az átviteli mátrix módszerrel 14 számolt b) ga konnal (piros görbe). Az A ponttal jelölt 4 × 10 Hz frekven ián az átvitel nulla. A C ponttal jelölt 6 × 1014 Hz frekven ián saknem tökéletes átvitelt láthatunk. A B ponttal jelölt 5.61 × 1014 Hz frekven ián az átvitel közepes (0,44). Ezeket a frekven iákat választottam a tükörbe belép® impulzusok viv®frekven iájának. A következ® ábrákon különböz® viv®frekven iájú, 10 fs-os 12
a) Transmission
1
C
0.8 0.6
b)
0.4
B
0.2 A 0 0
1
2
3
4
5 5.61 6
Frequency [Hz]
7
8
9 x 10
14
10. ábra. a) és b) gra konok a korábban említett fáziskorrigáló tükör frekven ia átvitelét mutatják . a) gra kon TMM módszerrel számolt átviltelt mutat b) gra on egy FDTD szimulá ió során rögzítettük. Piros körökkel három különböz® frekven i-átvitelt jelöltünk.
félértékszélesség¶, id®ben Gauss-os lefutású impulzusok tér-id® képeit láthatjuk. A viv®frekven iák 14 14 14 Hz, 2π × 5.61 × 10 Hz és 2π × 6 × 10 Hz. a következ®k: 2π × 4 × 10
13
1
Spatial Stepping (nm)
790
0.8
1580
0.4
2370
0.2
3160 0 3950 −0.2 4740 −0.4 5530 −0.8 6320 6.6
13.2
19.8
26.4
33.0
39.6
−1
Temporal Stepping (fs)
11. ábra. Az impulzus terjedésének tér-id® képe. A sörpölt tükör nagyon ala sony transzmisszióval 14 rendelkezik az impulzus központi frekven iáján (4 × 10 Hz) 1
Spatial Stepping (nm)
790
0.8
1580
0.4
2370
0.2
3160
0
3950 −0.2 4740 −0.4 5530 −0.8 6320 6.6
13.2
19.8
26.4
33.0
39.6
−1
Temporal Stepping (fs) 12. ábra. A sörpölt tükör közepes transzmisszióval rendelkezik az impulzus központi frekven iáján 14 (5.61 × 10 Hz) 1
Spatial Stepping (nm)
790
0.8
1580
0.4
2370
0.2
3160 0 3950 −0.2 4740 −0.4 5530 −0.8 6320 6.6
13.2
19.8
26.4
33.0
39.6
−1
Temporal Stepping (fs)
13. ábra.
A sörpölt tükör saknem tökéletes transzmisszióval rendelkezik az impulzus központi 14 frekven iáján (6 × 10 Hz)
14
2.
Ultrarövid impulzusok fókuszálása hullámos tükrökkel
Az utóbbi két évtizedben intenzíven foglalkoztak ultrarövid impulzusok fókuszálásának problémájával.
Len sék esetén a len se anyagának diszperziója miatt különleges eektusok lépnek fel.
impulzusfront patkó alakban meggörbül, majd
α
Az
alakban bef¶z®dik. Ezt a jelenséget már 1988-ban
geometriai optika alapján Bor Zsolt megjósolta [18℄.
Horváth és Bor által végzett hullámoptikai
számítások meger®sítették ezt az eektust és egy a len se peremér®l visszaver®d® az impulzusfront elött járó, ún. szélihullám impulzus megjelenését is leírták [19, 20, 21, 22, 23, 24℄.
Ezek miatt
ω
frekven iájú
fs-os impulzusok fókuszálására akromatikus len séket használnak.
Tekintsünk egy
xoy síkban fekv® p ponU1 (p, t) = U1 (p, ω) exp(−iωt). A fényelhajlás során a tér amplitúdója valamilyen L távolságra x′ o′ y ′ síkban fekv® p′ pontjában az ún. Kir hho-Fresnel dirak iós integrállal számítható: ZZ 1 exp(iωr/c) ′ Uf (p , ω) = (20) U1 (p, ω) χ(θ)dσ, iλ r
monokromatikus síkhullámot. Ennek amplitúdója legyen a tér egy adott tjában lév®,
Tegyük fel, hogy a bejöv® impulzus id®beli változását Gauss féle haranggörbe írja le.
2 ) t exp(iω0 t), UINC (p, t) = U0 exp −2 ln 2 τ (
ahol
ω0
az impulzus központi frekven iája és
τ
az impulzus id®beli hossza.
(21)
A spektrális eloszlást
ekkor szintén haranggörbe írja le:
UINC (p, ω) = U0 τ
r
) ( π (ω − ω0 )2 τ 2 . exp − 2 ln 2 8 ln(2)
(22)
A parabolikus tükör a monokromatikus síkhullámkomponenseket a fókuszpont felé tartó
f
sugarú,
gömbhullámszer¶ hullámokká alakítja. Egy dimenziós tükör esetén a dirak iós integrál lényegesen egyszer¶bb alakban írható
1 Uf (p′ , ω) = iλ
Za
UINC (p, ω)
exp(iωr/c) χ(θ)dx. r
(23)
−a
A tükör teljes fázistolása is egyszer¶ formában megadható
ϕ = 2ik(−Ax2 + Aa2 ).
Itt
A = 1/4f , ahol
f
a tükör fókusztávolsága. A tér amplitúdója a fókuszsík közelében az egyes spektrális komponensek (−1) szuperpozí iójával számíthatjuk F {Uf (p, ω)}. Végül
( ) ′ 2 Za 1 t 1 ′ exp −2 ln(2) + iω0 t Uf (x , t) = − 2π r τ −a t′ × ω0 + 4i ln(2) 2 U(x)dx, τ ′
ahol
ω0
központi frekven ia,
τ
amplitúdójának változása az
(24)
t′ = t − (r/c + δ/c) és U(x) a bejöv¶ impulzus fázistolás pedig δ = ϕid /2ik . Hullámos felület
id®beli impulzushossz,
x-tengely
mentén.
A
esetén
δ = ϕid /2ik + hϕper /ik, 15
(25)
ahol
h
a modulá ió mélysége. A hullámzás okozta perturbá ió pedig
ϕper = cos(2πν0 x) ≈ ahol
ν0
térbeli frekven ia.
N X (−1)j (2πν0 x)(2j)
(2j)!
j=0
,
(26)
A numerikus számításokhoz a koszinusz függvény Taylor-sorát élszer¶
használni. Aperiodikus zavart a tükör peremén úgy állíthatunk el®, hogy a térbeli frekven iát változtatjuk, ahogy a 14. ábrán láthatjuk.
Az aperiodikus térbeli modulá iót leírhatjuk a következ®
függvénnyel
ϕ ahol
ap per
(x) = cos
2πν0 |x| 1 − b 2πν0 |x|
b paraméter jellemzi a frekven ia változás mértékét.
,
(27)
A numerikus számításokhoz spline interpolá-
Normalized Phase Delay
iót élszer¶ használni. A modulá iós függvény amplitúdójának változtatásával hangsúlyozhatjuk a
1
0.8
A) B)
0.6
0.4
0.2
0
−2000
−1500
−1000
−500
0
500
1000
1500
2000
Transverse Coordinate (micron)
14. ábra. (A)) zavarmentes parabolikus fázisfront (B)) aperiodikusan modulált fázis eloszlás. A görbe a
cos(2πν0 |x|/(1 − b 2πν0 |x|))
B)
függvény spline interpolá ióját ábrázolja
perturbá iót a tükör közepén vagy a szélénél. Az amplitúdó változást leíró függvények a következ®k:
ϕ1 = h m1 (x)ϕper
és
ϕ2 = h m2 (x)ϕper .
Melyekben
h
a modulá iós mélység,
x2 m1 (x) = exp − 2 , 2v x2 . m2 (x) = 1 − exp − 2 2v Látható, hogy
m1
és
m2
függvények haranggörbék ahol FWHM=2
m1 (x)
és
m2 (x)
pedig
(28)
(29)
√
2 ln 2 v .
2.1. A számítások végeredménye c = 0.3 µm/fs (vákuumbeli fénysebesség), λ0 = 0.5 µm (központi hullámhossz), τ = 10 fs (id®beli szélesség), a = 2150 µm (2a tükör átmér®je), A = 5 × 10−6 1/µm (a tükör alakját határozza meg), f = 4.999 × 104 −1 (fókusztávolság), 2πν0 = 1/110 µm (1/ν0 = 691 µm térbeli periódus), h = 0.1 modula iós mélység, A dirak iós integrált numerikusan számítottuk ki a következ® paraméterekkel:
16
b = 0.1/2π ≈ 0.0159 µm−1 ( sörp paraméter), FWHM=2.8841×103 µm (félértékszélesség).
Az ideális
tükör (18 a)) el®állítja az apertúrafüggvény Fourier transzformá ióját (sin fgv.) ahogy 18 e) ábrán is látható. A numerikus számítások szerint a tükör enyhe periodikus zavara komoly változásokat idéz el® a fókuszsíkban, ahogy ezeket a 18. ábra f )-h) gra konjain láthatjuk. A teljes tér-id® képek pedig a 17. ábra b)-d) gra konjain láthatók. Az amplitúdó fázisrá s m¶ködéséhez hasonlóan a modulá ió
1
1
a)
1
b)
c)
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0
0
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−0.5
−1 −2000 −1000 1
0
1000
−1 2000 −2000 −1000 1
e)
0
1000
−1 2000 −2000 −1000 1
f)
0
1000
−1 2000 −2000 −1000 1
g)
0.8
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.2
0
0
0
−50
0
50
−50
0
50
−50
0
d)
50
0
0
1000
2000
h)
−50
0
50
Transverse Coordinate (micron)
15. ábra.
Az a) gra kon zavarmentes parabolikus fázis eloszlást mutat.
zitáseloszlás látható az e) gra konon.
Neki megfelel® inten-
Az e) gra kon a Fraunhofer intenzitás eloszlását mutatja
a fókuszsíkban. A föls® sorban lév® gra konok (b)-d)) periodikus függvényeket mutatnak amelyek módosítják a parabolikus fázispro lt. Az alsó sor gra konjai a modulált impulzusok intenzitáseloszlásait mutatják a fókuszsíkban
energiát juttat a központi sú sból a mellékmaximumokba, így azok intenzitása növekszik. Az energia nagyobb térrészbe szóródik szét Aperiodikus zavart a térbeli hullámosságot kialakító függvény térbeli frekven iájának változtatásával állíthatjuk el®. (lásd 16. ábra a) gra kon). A zavarfüggvényt er®síthetjük vagy elnyomhatjuk Gauss féle haranggörbével, ahogy a 16. ábra b) gra konján láthatjuk. Az aperiodikus modulá ió és a szélek felé sökken® zavar együttes hatására dupla központi sú s jelenik meg a 16. ábra e) gra konján és a 17. ábra f ) gra konján. Ha a zavar a szélek felé növekszik a központi sú sok majdnem összeolvadnak. Ezt a jelenséget mutatja a 16. ábra f ) gra konja és a 17. ábra g) gra konja.
17
1.5
1.5
a)
1
1
b)
c)
1 0.5
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−0.5
−1.5 −2000 1
0
−1000
0
1000
−1.5 −2000
2000
1
d)
−1000
0
1000
2000
−1 −2000 1
e)
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0 −60
−40
−20
0
20
40
0 −60
60
−40
−20
0
20
40
60
0 −60
−1000
0
1000
2000
f)
−40
−20
0
20
40
60
Transverse Coordinate (micron)
16. ábra. A fels® sor gra konjai (a)- )) nemperiodikus függvényeket ábrázolnak. Az alsó sor gra konjai (d)-f )) intenzitáseloszlások
−25
−25
b)
Time (fs)
a) 0 25 −50
−25
0
25
50
0
−50
−25
0
25
−25
c)
d)
0 25 −50
−25
0
25
50
0
−50
−25
0
25
−25
e)
f)
0 25 −50
−25
0
25
50
−50
−25
0
0 25 −50
−25
0
25 50 −25 0
−25
g)
25 50 −25
25
50
25
25 50
1 0.8 0.4 0.2 0
Transverse Coordinate (micron) 17. ábra. A modulált impulzusok tér-id® képei a fókuszsíkban (Ezen gra konok metszeteit korábbi ábrákon láthattuk a 18. és a 16. ábrákon)
3.
Fresnel rendszerrel generált, lokalizált, ultrarövid impulzustér összeomlása szabadtérben
Lokalizált hullámterjedés két legf®bb akadálya a diszperzió és a dirak ió. Még a diszperzió hatása közeg hiányában elkerülhet®, a dirak ió a hullámterjedés minden formájánál jelen van. Ha egy hullámot kis keresztmetszetre fókuszálunk vagy a hullámfrontból kivágunk egy kis darabot a dirak ió a terjedés során elmossa a térben lokalizált struktúrát. Ezért sokáig azt gondolták, hogy az egyetlen hullámforma amely nin s alávetve a dirak ió destruktív hatásának az a síkhullám. viszont nemlokális jelenség azaz mindenütt van.
18
A síkhullám
Mintha a lokalitás teljes hiánya lenne az az ár,
amelyet a térbeli változatlanságért zetni kell. A múlt század elején vetették fel el®ször, hogy létezik olyan valóban lokalizált térstruktúra, amely a terjedéssel szemben invariáns tulajdonságot mutat. Ilyen transzverzális nyalábpro lt ír le pl. a nulladrend¶ Bessel-függvény. Az invariáns terjedés végte-
40
30 20 20 10 10 0 0 −40 −30 −10
−20 −10 −20
0 10 −30
20 30 40
−40
18. ábra. A véges méret¶, nulladrend¶ Besselnyaláb elhajlási képe a kritikus távolságon belül alig változik (föls® gra kon). A v alakú metszés sak a hullámok jobb láthatósága miatt van. A kritikus távolságon túl a nyalábpro l összeomlik és az energia a szélek felé áramlik, ahogy ez az alsó ábrán látszik
len nagy kiterjedés¶ nyalábátmér®t kíván. Ez a sajátság a gyakorlatban megvalósíthatatlan, ezért sokáig úgy gondolták, hogy a Bessel nyaláb pusztán elméleti konstruk ió. Az 1980-as években újból el®térbe kerültek a skaláris hullámegyenlet lokalizált megoldásai [26℄. Durnin mutatott rá arra, hogy véges kiterjedés¶
J0
nyalábpro llal rendelkez® Bessel nyaláb nagy távolságig meg®rzi lokalizált struk-
túráját [27℄, [28℄. Erre már a tudományos közvélemény tényleg fel gyelt és a terület rövid id®n belül komoly elméleti és gyakorlati jelent®ségre tett szert [29, 30, 31, 32℄. Nagyon érdekes az a tény, hogy a különféle nemdiraktáló nyalábok egyben valamilyen hullámvezet® struktúra sajátfüggvény rendszerei is egyben.
A Bessel-függvények a ilindrikus hullámvezet® módusai, a Mathieu függvények
az elliptikus hullámvezet®é. A véges szélesség¶, intenzitáspro l ®rz® nyalábok és impulzusok közös jellemz®je, hogy egy kritikus távolságon túl intenzitásuk összeomlik. Azonban két dimenziós esetben sem a folytonos, sem az impulzusjelleg¶ terek összeomlását nem vizsgálták. Két dimenziós, stabil lokalizált struktúrájú, nyalábterek összeomlásával még a PhD munkám során foglalkoztunk. Ebb®l a munkánkból ikket is írtunk [33℄. Ezt a problémát az ún. Fresnel-hullámvezet® eljárás alapján írtuk le. A Fresnel-hullámvezet® módszer során a hullámvezet® falait elhagyjuk és a falakról viszaver®d® teret egy a mag-régiót is tartalmazó, de azon kívüli elhelyezked® térstruktúrából induló hullámokkal helyettesítjük. Ezt a tér struktúrát nevezhetjük Fresnel-rendszernek. A Fresnel-rendszer a virtuális 19
mag régiót tekintve reprodukálni tudja a hullámvezet®re jellemz® teret szabadtérben, határolófalak nélkül.
A két dimenziós impulzusterek összeomlása is egy olyan terület, amelyre a folytonos es-
ethez hasonlóan kevés gyelmet fordítottak. Optikában jól ismert, hogy egy térbeli harmonikus
Black Screens
X’
X max
X
Non causal region
Fresnel Wave Field
αm
0.5X max
X max
X max
Planar−mirror Waveguide k
k
αm
αm
Waveguide core Observer
δ∼ ∼0
L
Causality cone
Spatial harmonic
D
Z
2X max
αm
19. ábra. A hullámvezet®ben terjed® alapmódus a hullámvezet®be tekint® meg gyel® számára véges szélesség¶ térbeli harmonikusnak látszik (bal oldal). Véges szélesség¶, térbeli harmonikus egy kritikus távolság után (ahol már nem fedik át egymást a résznyalábok) összeomlik
két síkhullám interferen iájaként is leírható.
Ahol a résznyalábok átfedik egymást ott szabadtér-
ben is hullámvezet® módushoz hasonló terjedést kapunk. 19. ábra jobb oldalán láthatjuk, hogy egy meghatározott távolság után a résznyalábok nem fedik többé át egymást (kék tartomány vége). Itt kezd®dik meg a hullám összeomlása. Természetesen az éles összeomlást a dirak ió kissé elmossa. Alapmódus esetén a hullámot folytonosnak tekintjük.
Impulzus esetén viszont sok-sok különböz®
hullámhosszú, de azonos térbeli periodi itású harmonikusunk van jelen. A periodi itás egyben modulá ió is. Az azonos mérték¶ térbeli modulá ió a különböz® hullámhosszú komponensekre más és más mérték¶ elhajlásat jelent. A rövid hullámhosszú kék komponenseké kisebb a hosszú hullámhosszú vörös komponenseké nagyobb. Ezért a vörösök lemaradnak a kékekhez képest. Ezt az eektust nevezik hullámvezet® diszperziónak. A sokféle diszperzió közül ez az egyetlen, amely nem kerülhet® el és az impulzus szétfolyásához vezethet.
Egy id®ben Gauss-alakú lefutással rendelkez® térbeli
harmonikus elhajlását a következ® képlet alapján számíthatjuk:
xZmax
(
) ′ 2 t 1 1 exp −2 ln(2) + iω0 t′ Uf (x′ , t) = − (30) 2π r τ x min πx t′ × ω0 + 4i ln(2) 2 cos dx, τ 2a πx ′ ahol ω0 központi frekven ia, τ id®beli impulzushossz, t = t − r/c és cos a bejöv¶ impulzus am2a plitúdójának változása az x-tengely mentén (most a hullámvezet® alapmódusának felel meg). Ezt a formulát a parabolatükörnél már használtuk. A 20. ábrán szabadtérben létrehozott, ultrarövid, térbeli harmonikusok összeomlását láthatjuk. A Fresnel-rendszer mérete mikron,
λ0 = 500
nm,
τ =15,
2Xmax = 4100 mikron. d = 200
25, 50 és 100 fs. A szimulá ió a Fresnel-rendszert®l 10 m távolságban 20
1
C
D
0.9 0.8
Intensity
0.7 0.6 0.5 0.4
B
0.3
A
0.2 0.1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Longitudinal Coordinate (micron)
4
4.5
5 6
x 10
20. ábra. Fresnel rendszerrel el®állított ultrarövid terek összeomlása szabadtérben (Az impulzusok hossza 15 fs (A), 25 fs (B), 50 fs (C) és 100 fs (D))
kezd®dik és attól 5m-re fejez®dik be.
A D ábra már nagyon hasonló a folyamatos fényhullámmal
generált tér összeomlásához. Az inerferen ia struktúra érdekes módon egy végtelen féltéren elhajló síkhullám dirak iós képéhez is hasonlít. A véges átmér®j¶ Bessel nyalábok összeomlása is nagyon hasonló karakterisztikával jellemezhet®. Ott a két interferáló nyalábot egy kúpfelület mentén meg is forgatják.
21
4.
Összehúzódó nyaláb generálása szabadtérben
Ez a fejezet sok szállal kap solódik az el®z®höz. Két dimenzióban a hullámvezet®ben terjed® terek és a lokalizált terek között köl sönösen egyértelm¶ megfeleltetés van. Sajnos ez a kap solat három dimenzióban megsz¶nik.
Ennek oka az, hogy szimmetria és ponttranszformá iók alapján nagyon
nehéz megadni a ilindrikus hullámvezet® alapmódusa és a Bessel nyaláb gy¶r¶rendszere közötti kap solatot. Ennek ellenére munkahipotézisként feltételeztem, hogy ez a transzformá ió létezik és a hullámvezet® szimmetriájával kap solatos. Ha a hullámvezet® falai lineárisan, igen kis mértékben közelednek egymáshoz az egy új szimmetria megjelenésével jár. Ha ezen új szimmetria alkalmazásával szabadtérben a Bessel nyaláb központi sú sából a terjedés során összehúzódó nyalábot generálunk, az közvetett bizonyítékául szolgálhat a transzformá ió létezésére. Egy hullám összehúzódása a terjedés során meg gyelhet® parabolikus és szférikus tükrök esetén is. Most viszont az összehúzódás a hullámvezet® képzelt falai mentén kell, hogy végbemenjen. Két dimenzióban szimmetria transzfor-
Y
ρ
J0 ( Nϑ)
spherical cap
P
Z
ρ
ϑ
r ρ
ϑ’ ρ’
Q
ϕ
δ X’ X
21. ábra. Az optikai rendszert jellemz® zikai mennyiségek má iók alapján megmutatható, hogy kis hajlásszöggel rendelkez®, lineárisan sz¶kül® hullámvezet® a kezdeti téreloszlást, periodikusan egy körre képezi le. A kör középpontja a hullámvezet® oldalainak metszéspontja lesz, sugara pedig hullámvzet® oldalának hosszával lesz egyenl®. Három dimenzióban a transzformá ió nem körvonalra, hanem gömbfelületre képez. Ha a kezdeti téreloszlást a ilindrikus hullámvezet® alapmódusának választjuk, akkor a hengerszimmetrikus, nulladrend¶ Bessel-függvényt kell az említett gömbre leképezni. A struktúra osz illá ióinak a gömb felületére mer®legeseknek kell lenniük. Ezen osz illá iókat ábrázoltam a 21. ábra bal oldalán és a 24. ábrán. A Fresnel-Kir hho elmélet alapján le tudjuk írni a tér-struktúra egy relatíve kis nyílásszög¶ részének terjedését.
Az
interferen ia kép alapján ellen®rizhet®, hogy a központi sú s a terjedés során összehúzódik-e. Az elhajlási integrált élszer¶ gömbi koordinátákkal leírni (ρ,ϑ,ϕ). zuk a következ®képp
µm
N = (α1 /xα1 ) ρ, α1 ≈ 2.405 J0
N
J0 függvényt skálázxα1 = 209.1 µm ívhossz. ρ = 104
paraméterrel
els® zérushelye,
a küls® gömb sugara.
1 U(ϑ , ϕ ) = iλ ′
′
ZZ
exp(ikr) J0 (Nϑ)ρ2 sin(ϑ)χ(γ)dϑdϕ, r
ϑ,ϕ
22
(31)
i2 = −1, λ a hullámhossz, k = 2π/λ a hullámszám, r = r(P, Q) P és Q pontok közötti 2 távolság, ρ sin(ϑ) Ja obi determináns, χ(γ) = 1/2 (1 + cos(γ)) inkliná iós tényez®, ahol γ a bels® felületi normálvektor n és r vektor közötti szög. P a gömbsüveg tetsz®leges pontja, Q egy pont a meg gyelési síkban. A χ(γ) inkliná iós tényez® gyakran egynek vehet®. δ a kúp sú sa és a ′ meg gyelési pont közötti távolság. A forgásszimmetria miatt elegend® a számítást az X tengely ′ ′ mentén végezni. Ezért ϕ = 0. Ezért Q sak δ és ϑ változók függvénye. A gömbsüveg sugara a ahol
és a koordináta rendszerünk kezd®pontja a gömb középpontjában van. A numerikus számítások a 4 következ® paraméterekkel történtek: a = 4400 µm, ρ = 10 µm, λ = 500 nm Valódi hullámvezet®
xα1 a belép® apertúra átmér®jének tekinthet®. A hullámvezet® hossza L = ρ cos(xα1 /ρ). L = 9.9978 × 103 µm L majdnem akkora mint ρ (L ≈ ρ). A zikailag mérhet® mennyiséget az ′ 2 intenzitást I = |U(ϑ )| számoljuk. A lineáris hullám összehúzódás a szimulá iók során jól észlelhet®. A sú stól való távolságok a következ®k: δA = 25 µm, δB = 75 µm, δC = 125 µm, δD = 250 µm és δE = 500 µm. A kezdeti nyalábsugár 209.1 µm-r®l 0.5 µm-re sökkent. Valódi hullámvezet®ben az esetén Mivel
Normalized Intensity
1
0.8
E D
0.6
0.4
C B
A 0.2
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
T r a n s v e r s e C o o r d i n a t e (m i c r o n) ′ 2 22. ábra. Az összehúzódó nyalábra vonatkozó intenzitáseloszlások (|U(ϑ )| ). elektromos tér tangen iális komponense elt¶nik a határfelületen. Most viszont az interferen ia miatt
R(z) a virtuális hullámvezet® átmér®je az optikai R(δB ) = 1.568 µm, R(δC ) = 2.614 µm. Az egyezés saknem
kapunk nulla intenzitást a virtuális falak mentén. tengely mentén.
R(δA ) = 0.523 µm,
tökéletes. Tehát az összehúzódás a szimmetriatranszformá ió hatására az el®re megjósolt mértékben következett be.
4.1. Nyaláb kontrak ió leírása vektoriális elmélet keretében A vektor-dirak ió elmélet keretében (Stratton-Chu elmélet) nagy nyílásszög¶ bejöv® hullámot is modellezni lehet [34℄.
Mivel a Bessel struktúra egy zárt gömbön helyezkedik el használhatjuk az
önmagába ágyazott hullám elnevezést. A élunk most az, hogy nagy nyílásszög¶ bejöv® nyalábot feltételezve írjuk le a mez®t a virtuális hullámvezet® sú s közelében. Ha az elektromos és a mágneses mez® tangen iális komponense ismert egy zárt
A
felületen és nin senek források és nyel®k a térfogaton belül az elektromos és a mágneses
mez® egyértelm¶en meghatározható a következ® formulából:
1 E(P ) = 4π
I
[ik(n × H)G + (n × E) × ∇G + (n · E)∇G]dA′.
A
23
(32)
Normalized Intensity
1
0.5
0 0 Tr an
23. ábra.
1 sv 2 e (m r s e ic Co 3 ro o n) r d 4 in at
200
250
150 pex the a 50 m o fr a n c e i c r o n) Dist (m 100
e 5
0
Az összehúzódó nyalábra vonatkozó intenzitáseloszlások különböz® távolságra a hul-
lámvezet® sú sától
δ =25,
75, 125, 175 és 225 mikron (A szagatott vonal a virtuális hullámvezet®
falát jelzi)
Ha
A
felületen egy
C
kontúrral határolt nyílás van
1 E(P ) = 4π
Z
[ik(n × H)G + (n × E) × ∇G
(33)
A
1 +(n · E)∇G]dA + 4πik ′
I
∇G(H · ds),
C ahol
n
felületi normálvektor:
G(r)
(xex + yey + zez ) , n=− p x2 + y 2 + z 2
pedig a szabtér Green függvénye
G(r) = r = r(P, Q) P
és
Q
pontok közötti távolság. A
exp (ikr) r
∇-át
élszer¶
Q
pontban számolni:
G(r) 1 (∆xex + ∆yey + ∆zez ) . ∇G(r) = ik 1 − ikr r A Maxwell-egyenletek szimmetriáját kihasználva
E → H és H → −E behelyettesítve (33). be kapjuk
24
1 0.5 0 −0.5
−1 −0.5
−1 0 −1
0.5 −0.5 0
1
24. ábra. A önmagába ágyazott struktúra megjelenítése. A láthatóság miatt a gömböt sonkoltuk.
a mágneses mez®re a következ® összefüggést:
1 H(P ) = 4π
Z
[ik(E × n)G + (n × H) × ∇G
(34)
A
1 +(n · H)∇G]dA − 4πik ′
I
∇G(E · ds).
C
A releváns változókat élszer¶ gömbi koordinátákkal kifejezni
∆x = ρ sin(ϑ) cos(ϕ) − δ tan(ϑ′ ), ∆y = ρ sin(ϑ) sin(ϕ), ∆z = ρ cos(ϑ) − δ.
25
(35a) (35b) (35 )
a)
b)
c)
Y eυ
Hϕ
eυ eϕ n
eϕ Y
eϕ Z
eυ
X
eυ
X
Z
Y Z X
eϕ n
Eυ
eϕ eυ
eϕ eυ
Boundaries of the external sphere 25. ábra. Az er®vonalak (a)) és normálvektorok (b)) vetületei az X-Y síkban és a normálvektorok orientá iója a Z-Y síkban ( )).
Tekintsünk
T M0
vektoriális Bessel módust ([35℄)
Eϑ Eϕ En Hϑ Hϕ Hn ahol
k⊥ = itt
J0′
α1 xα1
,
kz =
p
k 2 − k⊥ 2 ,
N=
(36a) (36b) (36 ) (36d) (36e) (36f )
α1 ρ = k⊥ ρ ≈ 115 , xα1
(37)
α1 ≈ 2.405 els® zérushely J0 , xα1 = 209.1p µm ívhossz közelít®leg a központi 4 J0 (Nϑ), ρ = 10 µm a küls® gömb sugara, η = µ0 /ε0 ≈ 377 Ω a szabadtér hul-
els® derivált,
sú s sugara
ik⊥ kz J0′ (Nϑ) eϑ , 0, 2 k⊥ J0 (Nϑ) en , 0, k = ik⊥ J0′ (Nϑ) eϕ , η = 0,
= = = =
lámimpedan iája. Az elektromos és mágneses térkomponensekhez tartozó ortogonális egységvektorok a következ®k:
eϑ = [cos(ϕ) cos(ϑ)ex + sin(ϕ) cos(ϑ)ey − sin(ϑ)ez ], en = n, eϕ = [− sin(ϕ)ex + cos(ϕ)ey ]. Mivel
J0′ (Nϑ) = −J1 (Nϑ)N = −J1 (Nϑ)ρk⊥
(38a) (38b) (38 )
a térkomponensek a következ®k:
Eϑ = −ik⊥ 2 kz ρ J1 (Nϑ) eϑ , En = k⊥ 2 J0 (Nϑ) en , k Hϕ = −ik⊥ 2 ρ J1 (Nϑ) eϕ . η
26
(39a) (39b) (39 )
A két elektromos komponens nagyságát összehasonlítva
Eϑ ∼ ρkz ≈ 105 , En láthatjuk, hogy
En
elhanyagolható.
Figyelembe véve (36), (38) egyenleteket a (32) egyenletben
szerepl® vektoriális szorzatok felírhatók a következ®képpen
[n × eϕ ] = − cos (ϕ)2 ex − cos(ϕ) sin(ϕ)ey + sin(ϑ)ez , [n × eϑ ] = sin(ϕ)ex − cos(ϕ)ey = −eϕ , G(r) 1 × [(n × eϑ ) × ∇G] = ik 1 − ikr r2 × {−∆z cos(ϕ)ex − ∆z sin(ϕ)ey + [∆y sin(ϕ) + ∆x cos(ϕ)] ez } .
(40a) (40b) (40 )
Végül
E(P )surf
ahol
J = ρ2 sin(ϑ)
I
2 k ik k⊥ ρ J1 (Nϑ) [n × eϕ ] G(r)+ η A 2 +ik⊥ kz ρ J1 (Nϑ) [(n × eϑ ) × ∇G(r)] J dA′ ,
1 =− 4π
(41)
a Ja obi determináns.
A kontúr integrál a következ® formába írhatjuk
E(P ) ont
1 = 4πik
I
1 ∇G(r) (Hϕ · ds) = − 4π
C
I
∇G(r)
2 k⊥ ρ J1 (Nϑ) ρ sin (ϑ) dϕ. η
(42)
C
A numerikus számítások szerint a kontúr integrál hatása a felületi integrálhoz képest elhanyagolható. Az id® átlagolt Poynting vektort a vektoriális elmélet keretében könnyen meghatározhatjuk
hSi =
1 2 k 1 2 2 ∗ Re Eϑ × Hϕ = k⊥ (J1 (Nϑ)) kz n ∼ (J1 (Nϑ)) n. 2 2 η
Egy teljes optikai iklusra vett id®beli átlagolást szögletes zárójellel jelöltük konjugálást jelöli. Ahogy várható
hSi
(43)
h i.
a virtuális hullámvezet® sú sa felé mutat.
∗ ( ) a komplex
ϑ
növelésével az
id®átlagolt Poynting-vektor lüktet egyre kisebb amplitúdóval. A nagyon kis nyílásszög miatt (α ≈ 1.2◦ ) Ez -t tangen iális komponensnek tekinthetjük. A numerikus számítások szerint a határfeltételek addig teljesülnek amíg
δ rit ≈ 10 µm.
A lokális hullámvezet® sugár
27
R(δ rit )
0.2
µm.
1
Intensity
0.8
A B
0.6
0.4
0.2
C
0 0
D
0.05
0.1
0.15
0.2
Transverse Coordinate (micron) 26. ábra.
Valódi hullámvezet® esetén az elektromos térer®sség tangen iális komponense nulla a 2 határokon. A görbe a bal oldali félgömb intenzitását (|Ez | ), B görbe a jobb oldaliét ábrázolja. C-D
görbék
Ex
komponensb®l számított intenzitások.
Ey
komponens amplitúdója nagyon ki si
Ez -hez
viszonyítva
Hivatkozások [1℄ G. Nyitray,
Journal of Physi s B-Conferen e Series
[2℄ G. Nyitray,
International Journal of Ele tri al and Computer Systems
268 1-12. (2011)
(a
epted for publi ation)
[3℄ G. Nyitray, Vin ent Mathew, Sergei V Kukhlevsky:
Opt. Commun., 281, 1082-1086 (2008) [4℄ G. Nyitray, Z Kis
Journal of Modern Opti s
59:(18) 1558-1568. (2012)
[5℄ Yablonovit h E, Gmitter T J and Leung K M 1991 [6℄ Shen X, Chen X, Jiang M and Shie D 2005 [7℄ Villeneuve P R and Pi he M 1994 [8℄ Pendry J B 1994
Optoele troni Letters 1 0201
Progr. Quantum Ele tron.
18 153
Journal of Modern Opti s, 41 209
[9℄ Oriazi H and Afsahi M 2007 [10℄ Li J 2010
Phys. Rev. Lett. 67 2295
Opt. Commun.
Progress in Ele tromagneti Resear h 74 217
283 2647
[11℄ R. Szipo s et al
Opti s Letters 19 1994
[12℄ R. Szipo s et al
Applied Physi s B: Lasers and Opti s
65 1997
[13℄ R. Szipo s et al
Applied Physi s B: Lasers and Opti s
70 2000
[14℄ K. S. Yee
IEEE Trans. Antenas and Propagation 28
14 1966
[15℄ Yee K S 1996
IEEE.Trans. Antennas and Propagation, 14 302
[16℄ Ta ove A and Hagness S C 2000
Computational Ele trodynami s: The Finite-Dieren e Time-
Domain Method 2nd ed. (Boston, London:
Arte h House)
[17℄ S hneider J B, Le ture notes by John S hneider, [18℄ Z. Bor
Journal of Modern Opti s 35 1988
[19℄ Z. Bor
Opti s Communi ations 94 1992
[20℄ Kempe M. et al
Opti s Communi ations 94 1992
[21℄ Kempe M. et al
Opti s Communi ations 89 1992
www.ee s.wsu.edu/~s hneidj/
[22℄ Z. L. Horváth et al
Opti s Communi ations 100 1993
[23℄ Z. L. Horváth et al
Opti s Communi ations 108 1994
[24℄ Z. L. Horváth et al
Phys Rew E 60 1999
[25℄ Z. L. Horváth et al
Phys Rew E 63 2001
[26℄ Engheta N and Ziolkowski R W 2006 (Wiley Inters ien e, A John Wiley
&
[27℄ Durnin, J.; Mi eli, J.J.; Eberly, J.H. [28℄ Durnin, J.; Mi eli, J.J.Jr.
Metamaterials Physi s and Engineering Explorations
Sons, In . , Publi ation)
Phys. Rev. Lett. 1987, 58, 14991501.
Opt. Lett. 1988, 13, 7980.
[29℄ Volke-Sepulveda, K.; Gar éz-Chávez, V.; Chávez-Cerda, S.; Arlt, J.; Dholakia, K. 2002,
4, S82S89.
J. Opt. B
[30℄ Butkus, R.; Gadonas, R.; Janusonis, J.; Piskarskas, A.; Regelskis, K.; Smilgevi ius, V.; Stabnis, A.
Opt. Commun. 2002, 206, 201209.
[31℄ Arlt, J.; Gar éz-Chávez, V.; Sibbett, W.; Dholakia, K. [32℄ Vel hev, I.; Uba hs,W.
Opt. Lett. 2001, 26, 530532.
[33℄ S. V. Kukhlevsky, G. Nyitray [34℄ Stratton, J.; Chu, L.J. [35℄ Yu, Y.Z.; Dou, W.B.
Opt. Commun. 2001, 170, 239245.
Opti s Communi ations 218 2003
Phys. Rev. 1939, 56, 99107.
Progress in Ele tromagnetism Resear h Lett. 2008, 5, 5771.
29
Mell´eklet A t´ezispontokban szerepl˝o programok (C ´es Matlab k´odok)
##################################################################################### # I d o b e l i Veges D i f f e r e n i a k o n (FDTD) a l a p u l o e g y d i m e n z i o s C program # # HAGYOMANYOS FOTONIKUS KRISTALY ( 3 0 r e t e g ) # # # Minden harmadik i d o l e p e s n e l r o g z i t j u k a t e r e t ( sim− f i l e o k ) ##################################################################################### #in lude <s t d i o . h> #in lude <math . h> #define SIZE 1000 int main ( ) { double e z [ SIZE ℄ , hy [ SIZE − 1℄ , epsR [ SIZE ℄ , S =0.5 , imp0 =377.0 , p i = 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 4 , N= 3 0 . 0 ; int qTime , maxTime=2550 , mm;
har basename [ 8 0 ℄ = " sim " , f i l e n a m e [ 1 0 0 ℄ ; int frame =0; FILE ∗ s n a p s h o t ;
for
(mm=0; mm<SIZE ; mm++) e z [mm℄ = 0 . 0 ;
for
(mm=0; mm<SIZE − 1; mm++) hy [mm℄ = 0 . 0 ;
for (mm=0; mm<SIZE ; if (mm<100)
mm++)
epsR [mm℄ = 1 . 0 ;
else if
(mm>850) epsR [mm℄ = 1 . 0 ;
else
epsR [mm℄=(mm/ 5 ) % 2 ? 9 : 1 ;
for ( qTime =0; qTime<maxTime ; qTime++) for (mm=0; mm<SIZE − 1; mm++)
{
hy [mm℄ = hy [mm℄ + S ∗ ( e z [mm+1℄− e z [mm℄ ) / imp0 ; /∗ e z [ 9 ℄
−= e x p ( − ( qTime +0.5 − ( − 0.5) − 30.) ∗ (qTime +0.5 − ( − 0.5) − 30.)/100.)/ imp0 ; ∗ / e z [0℄ − =(1 − 2 ∗ p i ∗ p i ∗ ( S ∗ qTime/N− 1 . ) ∗ ( S ∗ qTime/N− 1 . ) ) ∗ exp(− p i ∗ p i ∗ ( S ∗ qTime/N− 1.) ∗ ( S ∗ qTime/N− 1 . ) ) / imp0 ;
ez [0℄= ez [ 1 ℄ ; e z [ SIZE −1℄= e z [ SIZE − 2 ℄ ;
for
(mm=1; mm<SIZE − 1; mm++) e z [mm℄ = e z [mm℄ + S ∗ imp0 ∗ ( hy [mm℄ − hy [mm− 1℄)/ epsR [mm℄ ; / ∗ e z [ 1 0 ℄ += e x p ( − ( qTime +0.5 − ( − 0.5) − 30.) ∗ (qTime + 0 . 5 − ( − 0 . 5 ) − 3 0 . ) / 1 0 0 . ) ; ∗ /
e z [ 1 ℄ +=(1−2∗ p i ∗ p i ∗ ( S ∗ qTime/N− 1 . ) ∗ ( S ∗ qTime /N− 1 . ) ) ∗ exp(− p i ∗ p i ∗ ( S ∗ qTime/N− 1.) ∗ ( S ∗ qTime/N− 1 . ) ) ;
if
( qTime%3 == 0 ) { s p r i n t f ( f i l e n a m e , "%s .%d" , basename , frame ++); s n a p s h o t=f o p e n ( f i l e n a m e , "w" ) ; (mm=0; mm<SIZE ; mm++) f p r i n t f ( snapshot , "%g \n" , e z [mm℄ ) ; f l o s e ( snapshot ) ; }
for
}
return
}
0;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Matrix Method−on alapulo MATLAB program % NARROW BANDPASS TERAHERTZ WAVE FILTER % % ket e l t e r o n1 | n2 toresmutatoju reteg ismetlodik % % Kozepen es a vegen plussz egy n2 reteg van beiktatva % % % % KEZDET VEG % % | na | n1 | n2 | n1 | n2|+n2 | n1 | n2 | n1 | n2|+n2 | nb | i k k b e l i N = 2 % % na=nb szubsztrat % % % % [ I ℄ matrix most mas alakban van f o l i r v a % % A hullamhossz fuggvenyeben szamolunk % % szamoljuk : Transzmisszos koef . , Reflexios koef . % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %kozponti hullamhossz [m℄ lambda = 1e − 3; epszSub = 2 . 3 1 0 4 ; %szubsztrat permittivitasa epsz1 = 4.41; %reteg1 permittivitasa epsz2 = 1.96; %reteg2 −|| − NN = 4; %ezt adja meg a ikk : 2 ,4 ,6 ,8 ,10 N = 4 ∗NN; %i n d i v i d u a l i s retegek szama (4 ∗NN)+2, de ket − ket %n2 reteget osszevonunk egy −egy retegge %(N+1). reteg toresmutatoja : nb ; 0. retege : na
= 2 . 9 9 7 9 2 4 5 8 e08 ; %fenysebesseg %kezdeti hullamhossz [m℄ L0 = 0 . 8 e − 3; %hullamhossz lepes [m℄ dL = 1e − 7; Lm = 1 . 2 e − 3; %maximalis hullamhossz [m℄ LL = L0 : dL :Lm; DIM = length (LL ) ; B = zeros ( 2 , 2 ,DIM ) ; Tr = zeros (DIM, 1 ) ; Re = zeros (DIM, 1 ) ; k = 1; for l = LL E=eye ( 2 ) ;
for n = N: − 1:0
%nullakkal t o l t j u k f e l
%hullamhossz %egysegmatrix %egy adott l −re v e g i g f u t minden n−en
i f n == N
h = lambda / 2 ;
%h : optikai retegvastagsag (a vegen ket n2−es reteg )
end i f n > N/2 && n < N h = lambda / 4 ;
end i f n == N/2 end
h = lambda / 2 ;
%a kozepen ket n2−es reteg egymas utan
i f n < N/2 && n > 0 h = lambda / 4 ;
end
i f n == N end
tm = sqrt ( e p s z 2 ) / sqrt ( epszSub ) ;
%veg
i f n < N && n > 0 tm = ( ( sqrt ( e p s z 1 ) / sqrt ( e p s z 2 ) ) . ^ ( ( − 1 ) . ^ ( n + 1 ) ) ) ;
%kozbulso
end i f n == 0 end
tm = sqrt ( epszSub ) / sqrt ( e p s z 1 ) ;
%kezdet %0. retegben nem terjesztunk %(N+1). reteg meg n−ben nem szerepel
i f n == 0 Gamma = 0 ;
end
if n > 0 Gamma =i ∗ 2 ∗ pi ∗ h . / l ; end
A1=exp ( Gamma) ; A2=exp(−Gamma) ; L I T E
= = = =
%matrixelem %retegben t e r j e s z t o matrix %reteghataron atvivo matrix %ezt szorozzuk ossze N− szer a kov . sorban %produktum (T)
[ A1 0 ; 0 A2 ℄ ; [(1+tm ) (1 −tm ) ; (1 −tm ) (1+tm ) ℄ / 2 ; I ∗L ; E∗T ;
%n l e p te t o i k l us vege B( : , : , k) = E; %ez tartalmazza a produktum (T)− t az egyes l −ekre Tr ( k ) = B( 1 , 1 , k) − (B( 2 , 1 , k ) ∗ B( 1 , 2 , k ) /B( 2 , 2 , k ) ) ; %transzmisszios koef . %r e f l e x i o s koef . Re ( k ) = −B( 2 , 1 , k ) /B( 2 , 2 , k ) ; k = k+1; end %l l e p te t o i k l u s vege TT = abs ( Tr ) . ^ 2 ; %Transmittan e TT1 = abs ( Re ) . ^ 2 ; %Refle tan e subplot ( 2 , 2 , 1 ) ; %olyan plot , amely 2 sorbol es ket oszlopbol a l l end
plot (LL , TT, ' l i n e W i d t h ' , 2 , ' o l o r ' , ' red ' ) xlabel ( ' Wavelength [m℄ ' ) ; ylabel ( ' Transmittan e ' ) ; axis ( [ min (LL) max(LL) 0 1 . 1 ℄ ) %tengelyek
ertekeinek b e a l l i t a s a
subplot ( 2 , 2 , 2 ) plot (LL , TT1, ' l i n e W i d t h ' , 2 , ' o l o r ' , ' b l u e ' ) xlabel ( ' Wavelength [m℄ ' ) ; ylabel ( ' R e f l e t a n e ' ) ; subplot ( 2 , 2 , 3 ) plot (LL , TT, ' l i n e W i d t h ' , 2 , ' o l o r ' , ' red ' ) xlabel ( ' Wavelength [m℄ ' ) ; ylabel ( ' Transmittan e ' ) ; axis ( [ 0 . 9 9 8 e −3 1 . 0 0 2 e −3 0 1 . 1 ℄ ) ; subplot ( 2 , 2 , 4 ) plot (LL , TT, ' l i n e W i d t h ' , 2 , ' o l o r ' , ' b l u e ' ) xlabel ( ' Wavelength [m℄ ' ) ; ylabel ( 'T, R, T+R ' ) ; hold on %megtartja az abrat plot (LL , TT1, ' l i n e W i d t h ' , 2 , ' o l o r ' , ' red ' ) plot (LL ,TT+TT1, ' l i n e W i d t h ' , 2 , ' o l o r ' , ' g r e e n ' ) ; axis ( [ min (LL) max(LL) 0 1 . 1 ℄ ) ; hold o f f
2
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Modositott
Transfer
% Csorpolt
tukor
% Kozponti
frekven ia
% A
frekven ia
Method−on
Matrix
a l a p u l o MATLAB p r o g r a m% %
3 . 7 5 e14
fuggvenyeben
% szamoljuk : Transzmisszos
nm,
%
szamolunk
koef . ,
%
Reflexios
k o e f . , Group
Delay %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
lear lambda = 7 9 0 . 0 ; %k o z p o n t i h u l l o m h o s s z nm epszlev = 1.0; %l e v e g o p e r m i t t i v i t a s a epszSub = 2 . 2 8 ; %s z u b s z t r a t epsz1 = 5.3592; %r e t e g 1 p e r m i t t i v i t a s a epsz2 = 2.1025; %r e t e g 2 − || − N = 48; %r e t e g e k szama
= 2 . 9 9 7 9 2 4 5 8 e08 ; %f e n y s e b e s s e g %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− %L0
=
375;
%k e z d e t i
%dL
=
0.05;
%h u l l a m h o s s z
hullamhossz
%Lm
= 1250;
%m a x i m a l i s
%nm
= 1 e −09;
%n a n o m e t e r
nm 4 5 0
lepes
hullamhossz
nm 1 2 0 0
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
F0 = 0; %k e z d e t i f r e k v e n i a THz−b e n dF = 0.001; %f r e k v e n i a l e p e s %m a x i m a l i s f r e k v e n i a THz−b e n Fm = 9 e − 01; THZ = 1 e +15; NM = 1 e − 09; %−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− FF = F0 : dF :Fm; DIM = length (FF ) ; B = zeros ( 2 , 2 ,DIM ) ; Tr = zeros (DIM , 1 ) ; Re = zeros (DIM , 1 ) ; % s o r p o l t
tukor
optikai
retegvastagsag
koeffi iensei :
a
vegetel
az
elejeig !
X=[0 1 . 3 1 1 . 7 0 1 . 4 3 0 . 6 6 1 . 5 5 1 . 4 5 1 . 0 4 1 . 2 0 1 . 1 4 1 . 3 2 1 . 4 7 0 . 9 9 ℄ ; %F o r r a s : Y= [ 0 . 9 7 1 . 1 7 1 . 4 6 1 . 1 5 1 . 1 8 1 . 1 1 1 . 0 9 1 . 0 8 1 . 1 1 1 . 3 3 1 . 1 9 ℄ ; W= [ 0 . 9 1 1 . 1 1 0 . 9 6 1 . 0 5 0 . 8 3 0 . 9 3 1 . 1 1 1 . 0 1 0 . 9 8 0 . 8 5 0 . 9 0 ℄ ; Z=[0.79 0.99 0.80 0.93 0.96 0.60 0.69 1.09 0.97 0.41 0.59 1.35 0.90 0 . 1 0 ℄ ; opt =[X Y W Z ℄ ; k = 1; for f = FF
%Az
osszes
koeffi iens
egyben
( l a m b d a /4− e t
szorozzuk
Appl .
Phys .
B
65 ,
veluk )
%h u l l a m h o s s z
E = eye ( 2 ) ;
%e g y s e g m a t r i x
for n = N: − 1:0
%e g y
adott
l −r e
vegigfut
minden
n−e n
Gamma = i ∗ ( 2 ∗ pi ∗ f ∗THZ/ ) . ∗ opt (N+1−n ) . ∗ lambda ∗NM/ 4 . 0 ; A1 = exp(−Gamma) ; A2 = exp ( Gamma) ;
%m a t r i x e l e m
( komplex )
%m a t r i x e l e m
( komplex )
r 0 = ( sqrt ( e p s z 2 )− sqrt ( epszSub ) ) / ( sqrt ( epszSub)+ sqrt ( e p s z 2 ) ) ; %m a t r i x e l e m r e t e g h a t e r r r = ( ( sqrt ( e p s z 1 )− sqrt ( e p s z 2 ) ) . ∗ ( ( − 1 ) . ^ ( n + 1 ) ) ) / ( sqrt ( e p s z 2 )+ sqrt ( e p s z 1 ) ) ; %m a t r i x e l e m r r l = ( sqrt ( e p s z l e v )− sqrt ( e p s z 1 ) ) / ( sqrt ( e p s z l e v )+ sqrt ( e p s z 1 ) ) ; %r e t e g 1 − s z u b s z t r a t
i f n == N end
R = r0 ;
%s z u b − r e t e g 2
( vege )
(1997)
i f n < N && 0 < n R = rr ;
%r e t e g 1 − r e t e g 2
R = rrl ;
%r e t e g 1 − s z u b s z t r e t
end i f n == 0 end L I T E
end
end TT1 TT
= = = =
[ A1 0 ; 0 A2 ℄ ; [ 1 −R; −R 1℄/(1 −R ) ; L∗ I ; E∗T ;
%n
lepteto
iklus
−r e t e g 1
...
( kezdet )
%r e t e g b e n
terjeszto
%r e t e g h a t o r o n %e z t
( kozbulso )
matrix
atvivo
matrix
ossze
N− s z e r
szorozzuk
a
kov . sorban
%p r o d u k t u m (T)
vege
B( : , : , k) = E; %e z t a r t a l m a z z a a p r o d u k t u m (T)− t a z e g y e s l − e k r e Tr ( k ) = B( 1 , 1 , k) − (B( 2 , 1 , k ) ∗ B( 1 , 2 , k ) /B( 2 , 2 , k ) ) ; %t r a n s z m i s s z i o s k o e f . Re ( k ) = −B( 2 , 1 , k ) /B( 2 , 2 , k ) ; %r e f l e x i o s k o e f . k = k+1; %l
leptete
iklus
vege
= abs ( Re ) . ^ 2 ; = ( sqrt ( epszSub ) / sqrt ( e p s z l e v ) ) ∗ abs ( Tr ) . ^ 2 ;
D i f f 1= d i f f (− angle ( Re ) ) ; D i f f 1 ( s i z e (FF) ) = 0 ;
%k i b o v e t j u k
D i f f 2= d i f f (− angle ( Re ) , 2 ) ; D i f f 2 ( s i z e (FF) ) = 0 ; GDRe = D i f f 1 ; GDDRe = D i f f 2 ;
1− e l e m m e l
%k i b o v i t e t t u k
%Group
Delay
%Group
Delay
1− e l e m m e l
subplot ( 2 , 2 , 1 ) ; plot (FF , TT, ' l i n e W i d t h ' , 2 , ' o l o r ' , ' r e d ' ) xlabel ( ' Frequen y THz ' ) ; ylabel ( ' Trans . Coef . ' ) ; axis ( [ min (FF) max(FF) 0 1 ℄ ) subplot ( 2 , 2 , 2 ) plot (FF, − angle ( Re ) , ' l i n e W i d t h ' , 2 , ' o l o r ' , ' r e d ' ) xlabel ( ' Frequen y THz ' ) ; ylabel ( ' Phase ( Re . Coef . ) ' ) ; GDTr( s i z e (FF ) ) = GDRe( s i z e (FF ) ) = GDDTr( s i z e (FF))= GDDRe( s i z e (FF))=
0; 0; 0; 0;
%k i b e v e t e t t u k
GDTr
vektort
%k i b e v e t e t t u k
GDRe
vektort
%k i b e v e t e t t u k
GDDTr
vektort
%k i b e v e t e t t u k
GDDRe
vektort
/ s i z e ( FF ) / s i z e ( FF )
subplot ( 2 , 2 , 3 ) plot (FF , GDRe, ' l i n e W i d t h ' , 2 , ' o l o r ' , ' b l u e ' ) xlabel ( ' Frequen y THz ' ) ; ylabel ( ' Group Delay [ f s ℄ ' ) ; axis ( [ min (FF) max(FF) 0 1 ℄ ) ; subplot ( 2 , 2 , 4 ) plot (FF ,GDDRe, ' l i n e W i d t h ' , 2 , ' o l o r ' , ' b l u e ' ) xlabel ( ' Frequen y THz ' ) ; ylabel ( ' Group Delay Disp [ f s ^ 2 ℄ ' ) ; axis ( [ min (FF) max(FF) − 0.3 0 ℄ ) ;
2
nonequal nonequal
s i z e (GDTr) / s i z e (GDDTr) /
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % A program %
% Numerikus %
fs
−o s
fókusztávolság
impulzus
intenzitás
közelében ,
optikai
integrál
típusa :
quadgk ,
alapján
számol .
A
kvadratúra
−e l o s z l á s á t
tengelyre amely
% m y f u n2 . m, m yfun21 . m, m yfun22 . m,
adaptív
M file
következ®
számítja
mer®leges
−
m yfun2200 . m,
G au s s
−o k a t
a
geometriai
síkban . K r onr od
%
használjuk
m y f u n23 . m,
%
m y f u n24 . m,
%
% m y f un25 .m % 1)
A
%
parabolikus
%
1.1)
nin s
%
1.2)
o s ( x ) _Tay
%
1.3)
G aus s
%
1.4)
fázisfrontot
periodikus
függvényekkel
moduláljuk
modulá ió
% % %
% %
függvény
Taylor
sora
%
∗ o s ( x ) _Tay / G aus s=e x p (− z . ^ 2 . /FWHM) (1 − G aus s ) ∗ o s ( x ) _Tay
% %
% %
% %
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2 ) t é r b e n v á l t o z ó p e r i o d i i t á s ú ( h i r p − ö l t ) o s ( aa ∗ x / ( aa−b b ∗ x ) ) f g v . ( lasd i l l e s z t e s 2 1 . m− f i l e ) a minimum−maximum é r t é k e i r e s p l i n e −t i l l e s z t ü n k és a z z a l számolunk
%
% % % % %
%
2.1)
os_spline
%
%
2.2)
%
%
2.3)
∗ os_spline 1− G aus s ∗ o s _ s p l i n e G aus s
%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
lear %
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%g l o b á l i s
global global
változók
Amp F aa
%myfun2 ,
S FWHM
m yfun21
%myfun23 ,
bb m
Amp= 0 . 1 ;
%a
F= 3 5 ;
%T a y l o r
fázismodulá ió sor
file
myfun24 ,
−o k b a n −f i l e o k b a n
m y f u n25
mélysége ,
maximális
(Amp=0
esetén
szerepel
nin s
modulá ió ! )
rendje
s =0.7; S=1/(157.
∗s );
FWHM=5 1 e 0 6 ;
∗
a a=2
%a
os
%a
Gauss
fgv
periodi itását
−a l a k ú
változtatja
haranggörbe
szélessége
4.2
∗ pi ;
bb = 1 ;
%e z
m= 0 : 1 3 ;
%e z z e l
a
paraméter lehet
felel®s
a
változtatni
változó a
változó
periódusért periódusú
osz illá iók
számát
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%l o k á l i s
változók
%f é n y s e b e s s é g
=0.3;
( mikrometer / f s )
lambda = 0 . 5 ;
%h u l l á m h o s s z
k=2
%1/ m i k r o m e t e r
∗ pi / lambda ;
tau =10;
%a z
a =2150;
%a
impulzus tükör
fél
( mikrometer )
félértékszélessége szélessége
( fs )
( mikrometer )
− 0 6 ; %a p a r a b o l a a l a k j á t m e g h a t á r o z ó f a k t o r ( 1 / m i k r o m e t e r ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− f o k 1 = 1 . / ( 4 ∗AA)−AA. ∗ a . ^ 2 ; %a g e o m e t r i a i f ó k u s z t á v o l s á g o t megadó ö s s z e f ü g g é s
AA=5e
%
f o k =4.999 e4 ;
%a
%f o k = 4.98 e 4 ;
%
geometriai el®tte
is
fókusztávolság és
utána
is
( mikrometer )
számolhatunk
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
A= 1 . / ( 2
∗ pi ∗ sqrt ( i ∗ f o k ) ) ; %a F r e s n e l ∗ k ∗ f o k ) . / s q r t ( i ∗ lambda ∗ f o k ) ;
%A=e x p ( i
J =400;
%a
felosztás
s¶r¶sége
integrálhoz
tartozó
tényez®
Xmin=
− 20;
%m a x i m á l i s %a
Xmax= 0 ;
távolság
szimmetria
i n =(Xmax Xmin ) / J ;
−
az
miatt
optikai
nem
tengelyre
érdemes
0
−nál
mer®leges
tovább
síkban
számolni
%l é p é s k ö z
Y=Xmin : i n : Xmax ;
t =0; %
lokális
%t =0
kor
id® az
a
fókuszsíkban
impulzus
id®beli
maximuma
van
a
fókuszsíkan
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%p r e
alloká ió
zeros ( 1 , length (Y ) ) ; P21=zeros ( 1 , length (Y ) ) ; P22=zeros ( 1 , length (Y ) ) ; P2200=zeros ( 1 , length (Y ) ) ; P23=zeros ( 1 , length (Y ) ) ; P24=zeros ( 1 , length (Y ) ) ; P25=zeros ( 1 , length (Y ) ) ;
P=
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −o s f á z i s v á l t o z á s t megadó i n t e g r á l %i n t e g r a n d u s a myfun2−b e n
% o s
l =1;
for
x 1=Y ;
Q=q u a d g k (( x ) myfun2 ( x ,
x1 ,
k,
a,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
F,
S) ,
−a ,
a);
P ( : , l )=Q ; l=l +1;
end
e l h=A .
∗P ;
abs ( e l h ) . ^ 2 ;
i t=
%i n t e n z i t á s
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −o s f á z i s v á l t o z á s Gauss− f g v . − e l m o d u l á l v a %i n t e g r a n d u s a myfun21 −b e n
% o s
l =1;
for
x 1=Y ;
Q21=q u a d g k (( x ) myfun21 ( x ,
x1 ,
k,
a ,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
F,
S,
FWHM) ,
−a ,
a);
P21 ( : , l )=Q21 ; l=l +1;
end
e l h 2 1=A .
∗ P21 ;
abs ( e l h 2 1 ) . ^ 2 ;
i t 2 1=
%i n t e n z i t á s
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −o s f á z i s v á l t o z á s 1− Gauss− f g v . e l m o d u l á l v a %i n t e g r a n d u s a myfun22 −b e n
% o s
l =1;
for
x 1=Y ;
Q22=q u a d g k (( x ) myfun22 ( x ,
x1 ,
k,
a ,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
F,
S,
FWHM) ,
−a ,
P22 ( : , l )=Q22 ; l=l +1;
end
e l h 2 2=A .
∗ P22 ;
abs ( e l h 2 2 ) . ^ 2 ;
i t 2 2=
%i n t e n z i t á s
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%m o d u l á i ó
nélkül
%i n t e g r a n d u s
a
m yfun2200
−b e n
l =1;
for
x 1=Y ;
2
a);
Q2200=q u a d g k (( x ) m y f u n 2 2 0 0 ( x ,
x1 ,
k,
a,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
F,
S,
FWHM) ,
−a ,
a );
P2200 ( : , l )=Q2200 ; l=l +1;
end
e l h 2 2 0 0=A .
∗ P2200 ;
abs ( e l h 2 2 0 0 ) . ^ 2 ;
i t 2 2 0 0=
%i n t e n z i t á s
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%a
térben
változó
%i n t e g r a n d u s
a
periódusú
myfun23
−b e n
os
fgv
os
l =1;
for
x 1=Y ;
Q23=q u a d g k (( x ) myfun23 ( x ,
x1 ,
k,
a ,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
FWHM,
aa ,
bb ,
m) ,
−a ,
a);
m) ,
−a ,
a);
m) ,
−a ,
a);
P23 ( : , l )=Q23 ; l=l +1;
end
e l h 2 3=A .
∗ P23 ;
abs ( e l h 2 3 ) . ^ 2 ;
i t 2 3=
%i n t e n z i t á s
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− t é r b e n v á l t o z ó p e r i ó d u s ú G∗ o s f g v %i n t e g r a n d u s a myfun24 −b e n %a
l =1;
for
x 1=Y ;
Q24=q u a d g k (( x ) myfun24 ( x ,
x1 ,
k,
a ,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
FWHM,
aa ,
bb ,
P24 ( : , l )=Q24 ; l=l +1;
end
e l h 2 4=A .
∗ P24 ;
abs ( e l h 2 4 ) . ^ 2 ;
i t 2 4=
%i n t e n z i t á s
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− t é r b e n v á l t o z ó p e r i ó d u s ú (1 −G) o s f g v %i n t e g r a n d u s a myfun25 −b e n %a
l =1;
for
x 1=Y ;
Q25=q u a d g k (( x ) myfun25 ( x ,
x1 ,
k,
a ,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
FWHM,
aa ,
bb ,
P25 ( : , l )=Q25 ; l=l +1;
end
e l h 2 5=A .
∗ P25 ;
abs ( e l h 2 5 ) . ^ 2 ;
i t 2 5=
%i n t e n z i t á s
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%a
os
fugv .
Taylor
sora
( az
algoritmus
a
hatványsort
sokkal
z= a : a ;
−
f f =1; y f f =1;
for
f f = 1 :F ;
y f f = y f f +(
−1)^ f f ∗ ( S . ∗ z ) . ^ ( 2 ∗
gamma( 2 ∗ f f + 1 ) ;
f f )/
f f = f f +1;
end
exp(− z . ^ 2 . /FWHM) ;
G=
∗ yff ; y f f 2 1 =(1−G ) . ∗
%G aus s
alakú
haranggörbe
%Gauss
y f f 2=G.
yff ;
−f ü g g v é n n y e l m o d u l á l t o s f g v . %1− G aus s f g v . − e l m o d u l á l t o s f g v .
3
gyorsabban
számolja )
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = o s ( aa . ∗ x x . / ( aa−b b . ∗ x x ) ) %f ( x x )− n e k s a k a minimum−maximum h e l y e i t t a r t j u k meg %e z t ö r e d e z e t t , v á l t o z ó p e r i ó d u s ú f ü g g v é n y h e z v e z e t , a m e l y e t s p l i n e −a l %f ( x x )
%s i m í t u n k
∗pi ;
%aa =2
%b b = 0 . 2 ;
%e z
%m= 0 : 1 0 ;
%e z z e l
a
paraméter lehet
felel®s
a
változtatni
hullámhossz az
változásáért
osz illá iók
számát
length (m ) ;
M=
%p r e
alloká ió
zeros ( 1 , length ( 1 :M− 1 ) ) ; =zeros ( 1 , length ( 1 : 2 ∗M− 1 ) ) ;
YY1= yy
y=(
pi /2+m. ∗ pi ) . / ( 1 + ( bb / a a ) . ∗ ( m. ∗ pi+pi / 2 ) ) ;
for
%a
hirp
−ö l t
os
fgv
zérushelyei
j = 1 :M
−1;
YY=y ( j ) + ( y ( j +1)
−y ( j
))/2;
YY1 ( : , j )=YY ;
end for end
j =1:2.
∗M− 1 ; − 1)^ j
yy ( : , j )=(
;
YY2=YY1 ; y y 2=yy ;
YY3=(a . /
max( YY2 ) ) . ∗ [ − f l i p l r ( YY2)
0
YY2 ℄ ;
x x 1= a : 0 . 5 : a ;
−
D e l t a _ 1=(
−AA. ∗ x x 1 .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) ;
Sp =
spline ( YY3 , yy2 , x x 1 ) ;
%s i m í t j a
a
töredezett
függvényt
exp(− x x 1 . ^ 2 . /FWHM) ;
G_xx1=
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Á b r á z o l á s % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%a z
osz illá iók
Amp1 = 1 . 5 ;
a
fázisban
%f ö l n a g y í t j u k
subplot ( 2 , 3 , 1 ) ; plot ( z , −AA. ∗ z .^2+AA. ∗ a .^2+Amp1 . ∗ y f f hold on plot ( z , −AA. ∗ z .^2+AA. ∗ a . ^ 2 , ' o l o r ' , axis ( [ min ( z ) max( z ) 0 2 5 ℄ ) hold o f f
, ' o l o r ' , ' red ' )
' blue ' )
subplot ( 2 , 3 , 2 ) ; plot ( z , −AA. ∗ z .^2+AA. ∗ a .^2+Amp1 . ∗ y f f . ∗ G, ' o l o r hold on plot ( z , −AA. ∗ z .^2+AA. ∗ a . ^ 2 , ' o l o r ' , ' b l u e ' ) axis ( [ min ( z ) max( z ) 0 2 5 ℄ ) hold o f f
' , ' red ' )
4
subplot ( 2 , 3 , 3 ) ; plot ( z , −AA. ∗ z .^2+AA. ∗ a .^2+Amp1 . ∗ y f f . ∗ ( 1 −G) , hold on plot ( z , −AA. ∗ z .^2+AA. ∗ a . ^ 2 , ' o l o r ' , ' b l u e ' ) axis ( [ min ( z ) max( z ) 0 2 5 ℄ ) hold o f f
' o l o r ' , ' red ' )
subplot ( 2 , 3 , 4 ) ; plot ( xx1 , D e l t a _ 1 , ' o l o r ' , ' b l u e ' ) hold on axis ( [ min ( x x 1 ) max( x x 1 ) 0 2 5 ℄ ) plot ( xx1 , D e l t a _ 1+Amp1 . ∗ Sp , ' o l o r ' , ' r e d ' ) hold o f f subplot ( 2 , 3 , 5 ) ; plot ( xx1 , D e l t a _ 1 , ' o l o r ' , ' b l u e ' ) hold on axis ( [ min ( x x 1 ) max( x x 1 ) 0 2 5 ℄ ) plot ( xx1 , D e l t a _ 1+Amp1 . ∗ Sp . ∗ G_xx1 , hold o f f
' o l o r ' , ' red ' )
subplot ( 2 , 3 , 6 ) ; plot ( xx1 , D e l t a _ 1 , ' o l o r ' , ' b l u e ' ) hold on axis ( [ min ( x x 1 ) max( x x 1 ) 0 2 5 ℄ ) plot ( xx1 , D e l t a _ 1+Amp1 . ∗ Sp . ∗ ( 1 − G_xx1 ) , hold o f f
' o l o r ' , ' red ' )
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%p r e
alloká ió
zeros ( 1 , 2 . ∗ length (Y ) ) ; zeros ( 1 , 2 . ∗ length (Y ) ) ; i t 2 2 0=zeros ( 1 , 2 . ∗ length (Y ) ) ; i t 2 2 0 1=zeros ( 1 , 2 . ∗ length (Y ) ) ; i t 2 2 1=zeros ( 1 , 2 . ∗ length (Y ) ) ; i t 2 2 2=zeros ( 1 , 2 . ∗ length (Y ) ) ; i t 2 2 3=zeros ( 1 , 2 . ∗ length (Y ) ) ; i t 0=
i t 2 1 0=
YYY=Xmin : i n :
− Xmin ;
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%m i v e l % s a k %a
az
eloszlások
Xmin
−t o l
iklusok
%0
−tól
0
−ig
az
optikai
számítjuk
kiegészítik
a
az
tengelyre
szimmetrikusak
integrált
számításokat
a
számolt
értékeket
Xmax
−i g
n =1;
for
YY=YYY
if
YY<=0
else end
i t 0 ( n)= i t ( n ) ;
i t 0 ( n)=
%e d d i g
nin s
változás
f l i p l r ( i t (1+ length (YYY)−n ) ) ;
%m e g s e r é l i
n=n + 1 ;
end
n1 = 1 ;
for
YY=YYY
if
YY<=0 i t 2 1 0 ( n1 )= i t 2 1 ( n1 ) ;
5
felhasználva
else end
i t 2 1 0 ( n1 )=
f l i p l r ( i t 2 1 (1+ length (YYY)− n1 ) ) ;
n1=n1 + 1 ;
end
n2 = 1 ;
for
YY=YYY
if
YY<=0
else end
i t 2 2 0 ( n2 )= i t 2 2 ( n2 ) ;
i t 2 2 0 ( n2 )=
f l i p l r ( i t 2 2 (1+ length (YYY)− n2 ) ) ;
n2=n2 + 1 ;
end
n21 =1;
for
YY=YYY
if
YY<=0
else end
i t 2 2 0 1 ( n 2 1 )= i t 2 2 0 0 ( n 2 1 ) ;
i t 2 2 0 1 ( n 2 1 )=
f l i p l r ( i t 2 2 0 0 (1+ length (YYY)− n 2 1 ) ) ;
n 2 1=n 2 1 + 1 ;
end
n3 = 1 ;
for
YY=YYY
if
YY<=0
else end
i t 2 2 1 ( n3 )= i t 2 3 ( n3 ) ;
i t 2 2 1 ( n3 )=
f l i p l r ( i t 2 3 (1+ length (YYY)− n3 ) ) ;
n3=n3 + 1 ;
end
n4 = 1 ;
for
YY=YYY
if
YY<=0
else end
i t 2 2 2 ( n4 )= i t 2 4 ( n4 ) ;
i t 2 2 2 ( n4 )=
f l i p l r ( i t 2 4 (1+ length (YYY)− n4 ) ) ;
n4=n4 + 1 ;
end
n5 = 1 ;
for
YY=YYY
if
YY<=0
else end
i t 2 2 3 ( n5 )= i t 2 5 ( n5 ) ;
i t 2 2 3 ( n5 )=
f l i p l r ( i t 2 5 (1+ length (YYY)− n5 ) ) ;
n5=n5 + 1 ;
end
YYY(
length (YYY)+1)=YYY( length (YYY ) ) ;
%k i b ® v í t e t t ü k
figure subplot ( 2 , 4 , 1 ) ; plot ( z , ( −AA. ∗ z .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) / 2 5 ) axis ( [ min ( z ) max( z ) − 1 . 1 1 . 1 ℄ )
6
−el
1
subplot ( 2 , 4 , 2 ) ; plot ( z , y f f ) axis ( [ min ( z ) max( z ) − 1 . 1
1.1℄)
subplot ( 2 , 4 , 3 ) ; hold on plot ( z , y f f 2 ) axis ( [ min ( z ) max( z ) − 1 . 1 plot ( z , G) plot ( z , −G) hold o f f
1.1℄)
subplot ( 2 , 4 , 4 ) ; hold on plot ( z , y f f 2 1 ) axis ( [ min ( z ) max( z ) − 1 . 1 plot ( z ,1 −G) plot ( z , − (1 −G ) ) hold o f f
1.1℄)
subplot ( 2 , 4 , 5 ) ; plot (YYY, i t 2 2 0 1 ) axis ( [ min (YYY) max(YYY) − 0 . 0 1 max( i t 2 2 0 1 ) ℄ ) subplot ( 2 , 4 , 6 ) ; plot (YYY, i t 0 ) axis ( [ min (YYY) max(YYY) − 0 . 0 1 max( i t 0
)℄)
subplot ( 2 , 4 , 7 ) ; plot (YYY, i t 2 1 0 ) axis ( [ min (YYY) max(YYY) − 0 . 0 1 max( i t 2 1 0 ) ℄ ) subplot ( 2 , 4 , 8 ) ; plot (YYY, i t 2 2 0 ) axis ( [ min (YYY) max(YYY) − 0 . 0 1 max( i t 2 2 0 ) ℄ ) %
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
figure subplot ( 2 , 3 , 1 ) ; plot ( xx1 , Sp ) axis ( [ min ( x x 1 ) max( x x 1 ) − 1 . 3
1.3℄)
subplot ( 2 , 3 , 2 ) ; plot ( xx1 , G_xx1 . ∗ Sp ) axis ( [ min ( x x 1 ) max( x x 1 ) − 1 . 3
1.3℄)
subplot ( 2 , 3 , 3 ) ; plot ( xx1 , ( 1 − G_xx1 ) . ∗ Sp ) axis ( [ min ( x x 1 ) max( x x 1 ) −1
1℄)
subplot ( 2 , 3 , 4 ) ; plot (YYY, i t 2 2 1 ) axis ( [ min (YYY) max(YYY) − 0 . 0 1 max( i t 2 2 1 ) ℄ ) subplot ( 2 , 3 , 5 ) ; plot (YYY, i t 2 2 2 ) axis ( [ min (YYY) max(YYY) − 0 . 0 1 max( i t 2 2 2 ) ℄ ) subplot ( 2 , 3 , 6 ) ; plot (YYY, i t 2 2 3 )
7
axis ( [ min (YYY) max(YYY) − 0 . 0 1 max( i t 2 2 3 ) ℄ ) %
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− e l h a j l á s o k k ü l ö n −k ü l ö n
%a z
%f i g u r e %p l o t (YYY, i t 0 , ' o l o r ' , ' b l u e ' )
%f i g u r e %p l o t (YYY, i t 2 1 0 , ' o l o r ' , ' r e d ' )
%f i g u r e %p l o t (YYY, i t 2 2 0 , ' o l o r ' , ' g r e e n ' )
%f i g u r e %p l o t (YYY, i t 2 2 1 , ' o l o r ' , ' b l a k ' )
%f i g u r e %p l o t (YYY, i t 2 2 2 , ' o l o r ' , ' yan ' )
%f i g u r e %p l o t (YYY, i t 2 2 3 , ' o l o r ' , ' m ag e nt a ' )
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%mind
egyben
max( i t 0 ) ; max( i t 2 1 0 ) ; i t 2 2 0 _ m a x=i t 2 2 0 . / max ( i t 2 2 0 ) ; i t 2 2 1 _ m a x=i t 2 2 1 . / max ( i t 2 2 1 ) ; i t 2 2 2 _ m a x=i t 2 2 2 . / max ( i t 2 2 2 ) ; i t 2 2 3 _ m a x=i t 2 2 3 . / max ( i t 2 2 3 ) ;
it0_max= i t 0 . /
i t 2 1 0 _ m a x=i t 2 1 0 . /
figure plot (YYY, it0_max , ' o l o r ' , ' b l u e ' ) hold on plot (YYY, it210_max , ' o l o r ' , ' r e d ' ) plot (YYY, it220_max , ' o l o r ' , ' g r e e n ' ) plot (YYY, it221_max , ' o l o r ' , ' b l a k ' ) plot (YYY, it222_max , ' o l o r ' , ' y a n ' ) plot (YYY, it223_max , ' o l o r ' , ' m a g e n t a ' ) %h o l d
off
8
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Az M f i l e
−
−o k
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fun tion
y
= myfun2 ( x ,
x1 ,
k,
a,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
F,
S)
∗ (AA. ∗ a . ^ 2 ) . / ; −AA. ∗ x .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) ;
R=f o k . / + 2 . d e l t a =(
f =1; y f =1;
for
f = 1 :F ;
y f=y f +(
−1)^ f ∗ ( S . ∗ x ) . ^ ( 2 ∗ f ) /gamma( 2 ∗ f + 1 ) ;
f=f +1;
end
y f 1=Amp .
∗ yf ;
exp ( − 2 . ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / t a u ) . ^ 2 ) ; exp ( i ∗ k ∗ . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) ) ; D=(k ∗ +4∗ i ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / ( ( t a u ) . ^ 2 ) ) ; B=
C=
y=B .
∗ C . ∗D ;
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
fun tion
y
= myfun21 ( x ,
x1 ,
k,
a,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
F,
S,
FWHM)
R=f o k . / + 2 .
∗ (AA. ∗ a . ^ 2 ) . / ; −AA. ∗ x .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) ;
d e l t a =(
f =1; y f =1;
for
f = 1 :F ;
y f=y f +(
−1)^ f ∗ ( S . ∗ x ) . ^ ( 2 ∗ f ) /gamma( 2 ∗ f + 1 ) ;
f=f +1;
end
exp(− x . ^ 2 . /FWHM) ;
G=
y f 1=Amp .
∗ y f . ∗G ;
exp ( − 2 . ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / t a u ) . ^ 2 ) ; exp ( i ∗ k ∗ . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) ) ; D=(k ∗ +4∗ i ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / ( ( t a u ) . ^ 2 ) ) ; B=
C=
y=B .
∗ C . ∗D ;
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
fun tion
y
= myfun22 ( x ,
x1 ,
k,
a,
fok ,
AA,
tau ,
∗ (AA. ∗ a . ^ 2 ) . / ; −AA. ∗ x .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) ;
R=f o k . / + 2 . d e l t a =(
f =1; y f =1;
for
f = 1 :F ;
y f=y f +(
−1)^ f ∗ ( S . ∗ x ) . ^ ( 2 ∗ f ) /gamma( 2 ∗ f + 1 ) ;
f=f +1;
9
,
t ,
Amp,
F,
S,
FWHM)
end exp(− x . ^ 2 . /FWHM) ;
G=
y f 1=Amp.
∗ ( 1 −G ) . ∗ y f ;
exp ( − 2 . ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / t a u ) . ^ 2 ) ; exp ( i ∗ k ∗ . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) ) ; D=(k ∗ +4∗ i ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / ( ( t a u ) . ^ 2 ) ) ; B=
C=
y=B .
∗ C . ∗D ; −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%
fun tion
y
=
myfun2200 ( x ,
x1 ,
k,
a ,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
F,
S,
FWHM)
∗ (AA. ∗ a . ^ 2 ) . / ; −AA. ∗ x .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) ;
R=f o k . / + 2 . d e l t a =(
y f 1 =0;
exp ( − 2 . ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / t a u ) . ^ 2 ) ; exp ( i ∗ k ∗ . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) ) ; D=(k ∗ +4∗ i ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / ( ( t a u ) . ^ 2 ) ) ; B=
C=
∗ C . ∗D ; −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
y=B .
%
fun tion
y
= myfun23 ( x ,
x1 ,
k,
a,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
FWHM,
aa ,
bb ,
m)
R=f o k . / + 2 .
∗ (AA. ∗ a . ^ 2 ) . / ; −AA. ∗ x .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) ;
d e l t a =(
length (m ) ;
M=
y=(
pi /2+m. ∗ pi ) . / ( 1 + ( bb / a a ) . ∗ ( m. ∗ pi+pi / 2 ) ) ;
for
%a
hirp
−ö l t
os
fgv
zérushelyei
j = 1 :M
−1;
YY=y ( j ) + ( y ( j +1)
−y ( j
))/2;
YY1 ( : , j )=YY ;
end for end
j =1:2.
∗M− 1 ; − 1)^ j
yy ( : , j )=(
;
YY2=[YY1 ℄ ; y y 2 =[ yy ℄ ;
YY3=(a . /
Sp =
max( YY2 ) ) . ∗ [ − f l i p l r ( YY2)
0
YY2 ℄ ;
spline ( YY3 , yy2 , x ) ;
exp(− x . ^ 2 . /FWHM) ;
G=
y f 1=Amp .
∗ Sp ;
exp ( − 2 . ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / t a u ) . ^ 2 ) ; exp ( i ∗ k ∗ . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) ) ; D=(k ∗ +4∗ i ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / ( ( t a u ) . ^ 2 ) ) ; B=
C=
y=B .
∗ C . ∗D ;
10
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
fun tion
y
= myfun24 ( x ,
x1 ,
k,
a,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
FWHM,
aa ,
bb ,
m)
∗ (AA. ∗ a . ^ 2 ) . / ; −AA. ∗ x .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) ;
R=f o k . / + 2 . d e l t a =(
length (m ) ;
M=
y=(
pi /2+m. ∗ pi ) . / ( 1 + ( bb / a a ) . ∗ ( m. ∗ pi+pi / 2 ) ) ;
for
%a
hirp
−ö l t
os
fgv
zérushelyei
−1;
j = 1 :M
YY=y ( j ) + ( y ( j +1)
−y ( j
))/2;
YY1 ( : , j )=YY ;
end for
j =1:2.
∗M− 1 ; − 1)^ j
yy ( : , j )=(
end
;
YY2=[YY1 ℄ ; y y 2 =[ yy ℄ ;
YY3=(a . /
Sp =
max( YY2 ) ) . ∗ [ − f l i p l r ( YY2)
0
YY2 ℄ ;
spline ( YY3 , yy2 , x ) ;
exp(− x . ^ 2 . /FWHM) ;
G=
y f 1=Amp .
∗ Sp . ∗ G ;
exp ( − 2 . ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / t a u ) . ^ 2 ) ; exp ( i ∗ k ∗ . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) ) ; D=(k ∗ +4∗ i ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / ( ( t a u ) . ^ 2 ) ) ; B=
C=
y=B .
∗ C . ∗D ;
%
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
fun tion
y
= myfun25 ( x ,
x1 ,
k,
a,
fok ,
AA,
tau ,
,
t ,
Amp,
FWHM,
aa ,
bb ,
m)
∗ (AA. ∗ a . ^ 2 ) . / ; −AA. ∗ x .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) ;
R=f o k . / + 2 . d e l t a =(
length (m ) ;
M=
y=(
for
pi /2+m. ∗ pi ) . / ( 1 + ( bb / a a ) . ∗ ( m. ∗ pi+pi / 2 ) ) ;
%a
−1;
j = 1 :M
YY=y ( j ) + ( y ( j +1)
−y ( j
))/2;
YY1 ( : , j )=YY ;
end for end
j =1:2.
∗M− 1 ; − 1)^ j
yy ( : , j )=(
;
YY2=[YY1 ℄ ; y y 2 =[ yy ℄ ;
YY3=(a . /
max( YY2 ) ) . ∗ [ − f l i p l r ( YY2)
0
YY2 ℄ ;
11
hirp
−ö l t
os
fgv
zérushelyei
spline ( YY3 , yy2 , x ) ;
Sp =
exp(− x . ^ 2 . /FWHM) ;
G=
y f 1=Amp .
∗ Sp . ∗ ( 1 −G ) ;
exp ( − 2 . ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / t a u ) . ^ 2 ) ; exp ( i ∗ k ∗ . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) ) ; D=(k ∗ +4∗ i ∗ log ( 2 ) . ∗ ( ( t+R) − ( ( sqrt ( ( x1−x ) . ^ 2 + f o k ^ 2 ) ) . / + 2 . ∗ d e l t a . / + 2 . ∗ y f 1 / ) ) . / ( ( t a u ) . ^ 2 ) ) ; B=
C=
∗ C . ∗D ; −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
y=B .
%
i l l e s z t e s 2 1 .m
lear
∗ pi ;
a a=2
bb = 0 . 1 ;
%e z
a
m= 0 : 1 0 ;
%e z z e l
paraméter
lehet
felel®s
a
változtatni
hullámhossz
az
változásáért
osz illá iók
length (m ) ; y=( pi /2+m. ∗ pi ) . / ( 1 + ( bb / a a ) . ∗ ( m. ∗ pi+pi / 2 ) ) ;
számát
M=
for
%a
hirp
−ö l t
os
fgv
zérushelyei
j = 1 :M
−1;
YY=y ( j ) + ( y ( j +1)
−y ( j
))/2;
YY1 ( : , j )=YY ;
end for end
j =1:2.
∗M− 1 ; − 1)^ j
yy ( : , j )=(
;
YY2=[YY1 ℄ ; y y 2 =[ yy ℄ ; a =2150; YY3=(a . /
i n =(2.
max( YY2 ) ) . ∗ [ − f l i p l r ( YY2)
∗ a ) . / ( length ( YY3) − 1 ) ;
0
%u g y a n %a
YY2 ℄ ;
annyi
pontja
parabolának
mint
kell a
legyen
töredezett
−a : i n : a ; AA=5e − 0 6 ; d e l t a =(−AA. ∗ xx .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) ; xx=
xx1
=
Sp =
−a : 0 . 5 : a ;
spline ( YY3 , yy2 , x x 1 ) ; −AA. ∗ x x 1 .^2+AA. ∗ a . ^ 2 ) ;
d e l t a _ x x 1 =(
plot ( YY3 , yy2 , ' L i n e S t y l e ' , ' x ' , ' o l o r axis ( [ min ( YY3) max( YY3 ) − 1 . 1 1 . 1 ℄ ) hold on plot ( YY3 , y y 2 ) hold o f f figure plot ( xx1 , d e l t a _ x x 1 ) hold on plot ( xx1 , d e l t a _ x x 1+Sp ) axis ( [ min ( x x 1 ) max( x x 1 ) hold o f f
0
' , ' red ' ,
' LineWidth ' ,
25℄)
12
2)
függvénynek
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%
% Szabo
Zsolt
altal
irt
es
nagyobb
kisse
es
bonyolultabb
%
%
egyszerusitett
%
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
%
ultrarovid
impulzus
% ( visszaverodes ,
modositott
FDTD p r o g r a m
valtozata .
%
kol sonhatasa
terjedes )
egy
% %
konkret
sorpolt
tukorrel
%
%
%
%
%
% tukor
v a s t a g s a g a : 4 . 3 0 6 7 e −06
% Kozponti % retegek
hullamhossz : szama :
mikrometer
%
7 9 0 nm
%
48
%
%
%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fun tion photoni _1D_TEM %s a t t e r i n g %l o s s l e s s
of
a
plane
simulation
%1D FDTD a l g o r i t h m
wave
( sigma
with
type boundary o n d i t i o n s
on
1D
photoni
rystal
=0)
total
field
−
s attered
field
formulation
and MUR
eps_0 =8.854 ∗ 1 e − 12; %p e r m i t i v i t y o f va uum mu_0=4∗ pi ∗ 1 e − 7; %p e r m e a b i l i t y o f va uum %t h e
dimensions
of
the
photoni
rystal
n_ ells = 49;
%t h e
n_front = 1 0 0 ; n_ba k = 1 0 0 ; n_st =10;
%t h e
number
of
ells
in
front
%t h e
number
of
ells
in
ba k
%t h e
s attered
field
%t h e
material
n_mater eps_r ( 1 ) mu_r( 1 ) eps_r ( 2 ) mu_r( 2 ) eps_r ( 3 ) mu_r( 3 ) eps_r ( 4 ) mu_r( 4 )
= = = = = = = = =
number
of
elementary
−
ells
total
of of
the the
field
photoni photoni
rystal
rystal
interfa e
parameters
4 ; %t h e number o f m a t e r i a l s 1 ; %m a t e r i a l i n f r o n t o f t h e s t r u t u r e 1; 5 . 3 5 9 ; %m a t e r i a l w i t h h i g h r e f . i n d e x 1; 2 . 1 0 2 5 ; %m a t e r i a l w i t h l a w r e f . i n d e x 1; 2 . 2 8 ; %m a t e r i a l b e h i n d t h e s t r u t u r e ( s u b s t r a t e ) 1;
jel_Geom = 1 ; i f jel_Geom == 1 %B r a g g m i r r o r [ dx , lambda , n_x , dt , K_G1, K_G2, mat_zone ℄ = Geom_Bragg ( n_st , n_front , n _ e l l s , n_ba k , . . . eps_0 , mu_0, eps_r , mu_r ) ; end ; x = ( 1 : n_x) ∗ dx ; %t h e %i n
parameters front
_0
_f K_M1_f K_M2_f
= = = =
%b e h i n d
of
the
%t h e of
investigated
spa e
t h e MUR ABC
stru ture
1 . / sqrt ( eps_0 ∗mu_0 ) ;
_0/ sqrt ( eps_r ( 1 ) ∗ mu_r ( 1 ) ) ; ( _f ∗ dt−dx ) / ( _f ∗ dt+dx ) ; 2 ∗ dx / ( _f ∗ dt+dx ) ;
the
stru ture
_b = _0/ sqrt ( eps_r ( 4 ) ∗ mu_r ( 4 ) ) ; K_M1_b = ( _b ∗ dt−dx ) / ( _b ∗ dt+dx ) ; K_M2_b = 2 ∗ dx / ( _b ∗ dt+dx ) ; Ez_n=zeros ( 1 , 4 ) ; %t h e
parameters
E0 = 1 0 ;
of
%m a g n i t i d e
the
ex itation
( required
for
plotting )
type_ex it = 3; T_op = lambda / _0 ; i f t y p e _ e x i t == 1 %G a u s s i a n
pulse
tw = T_op / 2 . 5 ; %w i d t h t 0 = 2 ∗ tw ; %d e l a y e l s e i f t y p e _ e x i t == 2 %S i n u s o i d a l
plane
wave
f r e =3.75 e14 ; %f r e q u e n y two_pi_fre = 2 ∗ pi ∗ f r e ; e l s e i f t y p e _ e x i t == 3 %S i n u s o i d a l
modulated
Gauss
[ Hz ℄
8 0 0 nm−n e k
megfelel ?
pulse
f r e = 0 . 4 e15 ; %f r e q u e n y [ Hz ℄ %3.75 e 1 4 two_pi_fre = 2 ∗ pi ∗ f r e ; % pulse width [ f s ℄ %t w = 2 . 5 e − 1 5 ; tw=2e − 15; t 0 = 2 ∗ tw ; %d e l a y e l s e i f t y p e _ e x i t == 4 %R i k e r %
end ;
wavelet
pulse
tw = 200∗ d t ;
tw = T_op / 1 . 5 ; %T_op/ 5 t 0 = 4 ∗ tw ; %d e l a y
Ez = zeros ( 1 , n_x ) ; %t h e e l e t r i f i e l d Hy = zeros ( 1 , n_x − 1); %t h e m a g n e t i f i e l d t = 0; iter = 1; n _ f o l l o w e d = n_x−n_x+2; = n_x − e i l ( n_ba k ) + 1 ;
%n _ f o l l o w e d
%t h e
total
number
of
ells
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
n_t = f l o o r ( 1 6 0 . 0 ∗ T_op/ dt ) ;
%number
of
FDTD
iterations
%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Ez_followed = zeros ( 1 , n_t ) ;
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %I n i t i a l i z e
the
graphi al
representation
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
a b r a z o l = 0 %PUT 1 TO ENABLE THE PLOTTING i f a b r a z o l == 1 f i g =figure ; set ( f i g , ' p o s i t i o n ' , [ 1 29 1024 6 7 2 ℄ , ' o l o r ' , [ 1 1 1 ℄ ) ; sp2 = subplot ( 2 , 1 , 2 ) ; p_h_2 = plot ( x ( 1 : n_x − 1) ,Hy , ' C o l o r ' , ' b ' , ' LineWidth ' , 1 ) ; set (p_h_2 , ' EraseMode ' , ' xor ' ) hold on ; ratio_Hy = 0 . 6 ∗ E0/ sqrt (mu_0∗mu_r/ ( eps_0 ∗ eps_r ) ) ;
xlabel ( ' \ i t x \rm [m℄ ' , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 6 ) ; ylabel ( ' \ i t H_y \rm [A/m℄ ' , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 6 ) ; axis ( [ x ( n_st +1) x (n_x− 2) −ratio_Hy ratio_Hy ℄ ) sp1 = subplot ( 2 , 1 , 1 ) ; p_h_1 = plot ( x , Ez , ' C o l o r ' , ' r ' , ' LineWidth ' , 1 ) ; set (p_h_1 , ' EraseMode ' , ' xor ' ) ratio_Ez = 0 . 6 ;
xlabel ( ' \ i t x \rm [m℄ ' , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 6 ) ; ylabel ( ' \ i t E_z \rm [V/m℄ ' , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 6 ) ; axis ( [ x ( n_st +1) x (n_x− 2) −E0 ∗ ratio_Ez E0 ∗ ratio_Ez + 0 . 1 ℄ )
szam =1;
2
end ; % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Start
of
the
main FDTD l o o p
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
while ( i t e r < n_t ) %t h e
ele tri
fields
required
f o r MUR ABC
Ez_n_1 = Ez_n ; Ez_n ( 1 : 2 ) = Ez ( 1 : 2 ) ; Ez_n ( 3 : 4 ) = Ez (n_x− 1:n_x ) ; %u p d a t e
for
the
ele tri
field
Ez ( 2 : n_x− 1) = Ez ( 2 : n_x− 1) + K_G1( 2 : n_x − 1). ∗ d i f f (Hy ) ;
%Mur ABC %a t
x =0;
Ez ( 1 ) = −Ez_n_1( 2 ) + K_M1_f ∗ ( Ez ( 2 ) + Ez_n_1( 1 ) ) + K_M2_f ∗ ( Ez_n ( 1 ) + Ez_n ( 2 ) ) ; %a t
x=h
Ez (n_x) = −Ez_n_1( 3 ) + K_M1_b∗ ( Ez (n_x− 1) + Ez_n_1( 4 ) ) + K_M2_b∗ (Ez_n ( 4 ) + Ez_n ( 3 ) ) ; %t h e
in ident
field
i f t y p e _ e x i t == 1 %G a u s s i a n
pulse
Ez_in = E0 ∗ exp ( − 4 ∗ log ( 2 ) ∗ ( t −t 0 )^2/ tw ^ 2 ) ; e l s e i f t y p e _ e x i t == 2 Ez_in = E0 ∗ sin ( t ∗ two_pi_fre ) ; e l s e i f t y p e _ e x i t == 3 Ez_in = E0 ∗ exp ( − 4 ∗ log ( 2 ) ∗ ( t −t 0 )^2/ tw ^2) ∗ os ( t ∗ two_pi_fre ) ; e l s e i f t y p e _ e x i t == 4 %R i k e r
wavelet
Ez_in = −E0 ∗ exp ( − 4 ∗ log ( 2 ) ∗ ( t −t 0 )^2/ tw ^ 2 ) ∗ ( ( 8 ∗ log ( 2 ) ∗ ( t −t 0 )^2/ tw ^2) − 1);
end ;
Hy_in = −Ez_in / sqrt (mu_0∗mu_r( 1 ) / ( eps_0 ∗ eps_r ( 1 ) ) ) ;
Ez ( n_st ) = Ez ( n_st ) − K_G1( n_st ) ∗ Hy_in ; %u p d a t e
for
the
magneti
Hy = Hy + K_G2. ∗ d i f f ( Ez ) ;
%t f / s f
field
Hy( n_st ) = Hy( n_st ) − K_G2( n_st ) ∗ Ez_in ;
%t f / s f
t = t + dt ; Ez_followed ( i t e r ) = Ez ( n _ f o l l o w e d ) ; iter = iter + 1; %g r a p h i a l
%e z t
hasznalja
az
FFT
representation
i f a b r a z o l ==1 i f szam == 2 t i t l e ( [ ' t = ' num2str ( t , 2 ) ℄ , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 6 ) ; set (p_h_1 , ' xdata ' , x , ' ydata ' , Ez ) ; set (p_h_2 , ' xdata ' , x ( 1 : n_x − 1) , ' ydata ' ,Hy ) ; pause ( 0 . 0 1 ) end ;
szam = 1 ;
szam = szam + 1 ;
end ; end ;
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % End
of
the
main FDTD l o o p
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Fourier
analysis
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
f = ( 0 : n_t − 1)/ dt /n_t ;
3
Ez_sp = f f t ( Ez_followed ) ; %t h e F o u r i e r t r a n s f o r m a_Ez = abs ( Ez_sp ) / n_t ; %t h e a b s o l u t v a l u e
of
the
transmitted
wave
t = ( 0 : n_t − 1) ∗ dt ; i f t y p e _ e x i t == 1 %G a u s s i a n
pulse
Ez_in = E0 ∗ exp ( − 4 ∗ log ( 2 ) ∗ ( t −t 0 ) . ^ 2 / tw ^ 2 ) ; e l s e i f t y p e _ e x i t == 2 %S i n
Ez_in = E0 ∗ sin ( t ∗ two_pi_fre ) ; e l s e i f t y p e _ e x i t == 3 %Sin_Gauss
Ez_in = E0 ∗ exp ( − 4 ∗ log ( 2 ) ∗ ( t −t 0 ) . ^ 2 / tw ^ 2 ) . ∗ sin ( t ∗ two_pi_fre ) ; e l s e i f t y p e _ e x i t == 4 %R i k e r
wavelet
Ez_in = −E0 ∗ exp ( − 4 ∗ log ( 2 ) . ∗ ( t −t 0 ) . ^ 2 / tw ^ 2 ) . ∗ ( ( 8 ∗ log ( 2 ) . ∗ ( t −t 0 ) . ^ 2 / tw ^2) − 1); end ;
Ez_in _sp = f f t ( Ez_in ) ; a_Ez_in = abs ( Ez_in _sp ) / n_t ; n_tr = find ( a_Ez_in ( 1 : e i l ( n_t/2)) >max( a_Ez_in ) / 2 0 0 ) ; %a z o k a t %a m e l y e k
n_tr_1 = n_tr ( 1 ) ; n_tr_2 = n_tr ( length ( n_tr ) ) ;
d i f f ( n_tr ) ;
%m i n t
a
nemzerus
elemeket
adja
meg ,
nagyobbak
a_Ez_in
legnagyobb
eleme /100)
% ZsK
W_Ez = 1 − (a_Ez ( n_tr_1 : n_tr_2 ) . / a_Ez_in ( n_tr_1 : n_tr_2 ) ) . ^ 2 ; % W_Ez = a b s ( Ez_sp ( n _ t r ) . / E z _ i n ( n _ t r ) ) . ^ 2 ;
% the
transfer
% the
transfer
fun tion
fun tion
% ZsK
figure set ( g f , ' C o l o r ' , [ 1 1 1 ℄ ) plot ( t , Ez_in , ' r ' ) ; hold on ; plot ( t , Ez_followed , ' b ' ) ; xlabel ( ' time ' , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 4 , ' FontWeight ' , ' Normal ' ) ; ylabel ( 'E_z a m p l i t u d e ( r e d : in , b l u e : out ) ' , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 4 , ' FontWeight ' , ' Normal ' ) ;
grid on ;
figure set ( g f , ' C o l o r ' , 'w ' ) ; plot ( f ( n_tr_1 : n_tr_2 ) , a_Ez_in ( n_tr_1 : n_tr_2 ) , ' r ' ) %p l o t ( f ( n _ t r ) , a_Ez_in ( n _ t r ) , ' r ' )
% ZsK
hold on ; plot ( f ( n_tr_1 : n_tr_2 ) , a_Ez ( n_tr_1 : n_tr_2 ) , ' b ' )
%p l o t ( f ( n _ t r ) , a_Ez ( n _ t r ) , ' b ' )
% ZsK
xlabel ( ' f r e q u e n y [ Hz ℄ ' , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 6 , ' FontWeight ' , ' Normal ' ) ; ylabel ( 'E_z s p e t r a ( r e d : in , b l u e : out ) ' , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 6 , ' FontWeight ' , ' Normal ' ) ;
%a x i s
([0
f ( n_tr_2 )
0
max ( a_Ez_in ) ℄ )
%a x i s ( ' s q u a r e ' )
figure set ( g f , ' C o l o r ' , 'w ' ) ; plot ( f ( n_tr_1 : n_tr_2 ) ,W_Ez, ' b ' ) %p l o t ( f ( n _ t r ) ,W_Ez, ' b ' )
% ZsK
xlabel ( ' f r e q u e n y [ Hz ℄ ' , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 6 , ' FontWeight ' , ' Normal ' ) ; ylabel ( ' t r a n s m i s s i o n | E_z( out ) /E_z( i n ) | ^ 2 ' , ' FontName ' , ' Times New Roman ' , ' F o n t S i z e ' , 1 6 , ' FontWeight ' , ' Normal ' ) ;
axis ( [ 0 f ( n_tr_2 ) 0 1 ℄ ) %a x i s ( ' s q u a r e ' )
end
4
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %I n i t i a l i z a t i o n
of
a
multilayer
stru ture
Chirped
−
dilele tri
laser
mirror
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fun tion [ dx , lambda , n_x , dt ,
K_G1, K_G2, mat_zone℄=Geom_Bragg ( n_st , n_front , n _ e l l s , n_ba k , . . . eps_0 , mu_0, eps_r , mu_r)
speed_ = 1/ sqrt ( eps_0 ∗mu_0 ) ;
%t h e
speed
of
the
light
[ dx lambda opt5 ℄ = s t r u t u r e ( ) ; dt = dx/ speed_ ;
%t h e
time
step ,
stability
riteria
d t <=d x / ! ! !
n_x = n_st + n_front + sum ( opt5 ) + n_ba k ; %t h e
parameters
of
the
K_G1 = zeros ( 1 , n_x ) ; K_G2 = zeros ( 1 , n_x − 1);
main FDTD e q u a t i o n s
j = n_st + n_front ; K_G1( 1 : j ) = dt / ( eps_0 ∗ eps_r ( 1 ) ∗ dx ) ∗ o n e s ( 1 , j ) ; K_G2( 1 : j ) = dt / (mu_0∗mu_r( 1 ) ∗ dx ) ∗ o n e s ( 1 , j ) ; mat_zone ( 1 ) = j ;
eps = repmat ( [ eps_r ( 2 ) , eps_r ( 3 ) ℄ , [ 1 , 2 4 ℄ ) ; o = 1; k = 2; for i = 1 : n _ e l l s −1
%1− t ? l
a
48.
peri
dusig
K_G1( j +1: j+opt5 ( o ) ) = dt / ( eps_0 ∗ eps ( o ) ∗ dx ) ∗ o n e s ( 1 , opt5 ( o ) ) ; %a n n y i e l e m i v e k t o r m i n t d t / ( eps_0 ∗ e p s ( o ) ∗ d x ) ∗ o n e s ( 1 , o p t 5 ( o + 1 ) ) ;
%K_G1( j +o p t 5 ( o ) + 1 : j +o p t 5 ( o)+ o p t 5 ( o + 1 ) ) =
K_G2( j +1: j+opt5 ( o ) ) = dt / (mu_0∗mu_r( 2 ) ∗ dx ) ∗ o n e s ( 1 , opt5 ( o ) ) ; d t / (mu_0 ∗ mu_r ( 3 ) ∗ d x ) ∗ o n e s ( 1 , o p t 5 ( o + 1 ) ) ;
%K_G2( j +o p t 5 ( o ) + 1 : j +o p t 5 ( o)+ o p t 5 ( o + 1 ) ) =
j = j + opt5 ( o ) ; mat_zone ( k)= j ; %f o r o = o + 1; k = k + 1;
plotting
%e n d ;
K_G1( j +1:n_x) = dt / ( eps_0 ∗ eps_r ( 4 ) ∗ dx ) ∗ o n e s ( 1 , n_x− j ) ; K_G2( j +1:n_x− 1) = dt / (mu_0∗mu_r( 4 ) ∗ dx ) ∗ o n e s ( 1 , n_x−1− j ) ;
%e n d
fun tion [ dx lambda l a y e r s ℄ = s t r u t u r e ( ) lambda=790e − 09; X= [ 1 . 3 1 Y= [ 0 . 9 7 W= [ 0 . 9 1 Z=[0.79 %Az
1.70 1.17 1.11 0.99
osszes
%
1.43 1.46 0.96 0.80
[ lambda ℄
0.66 1.15 1.05 0.93
koeffi iens
= 1nm
1.55 1.18 0.83 0.96
1.45 1.11 0.93 0.60
egyben
1.04 1.09 1.11 0.69
1.20 1.08 1.01 1.09
( l a m b d a /4− e t
1.14 1.11 0.98 0.97
1.32 1.33 0.85 0.41
szorozzuk
1 . 4 7 0 . 9 9 ℄ ; %F o r r a s : A p p l . P h y s . B 6 5 , ( 1 9 9 7 ) 1 . 1 9 ℄ ; % , , T h e o r y and d e s i g n o f h i r p e d d i e l e t r i 0 . 9 0 ℄ ; %R . S z i p o s , A . K o h a z i −K i s ; 1 2 6 . o l d a l −−> F 0.59 1.35 0.90 0 . 1 0 ℄ ; veluk )x
k o e f =[X Y W Z ℄ ; A=repmat ( [ 1 . 4 5 , 2 . 3 1 5 ℄ , [ 1 , 2 4 ℄ ) ; val_r=k o e f ∗ lambda . / ( 4 ∗ A) ;
%v a l o d i
retegvastagsagok
dx = lambda / 6 0 0 ; opt5 = val_r /dx ;
%a z
egyes
retegekre
eso
lepesek
5
szama
d x=l a m b d a / 2 0 0
round ( opt5 ) ;
%a z
egyes
l a y e r s = f l i p l r ( round ( opt5 ) ) ;
end
retegekre %f o r d i t v a
eso
lepesek
olvassuk
6
be
kerekitett
szama
Nyitray Gergely publiká iós jegyzéke
Referált nemzetközi folyóiratokban megjelent ikkek 1. S. V. Kukhlevsky, G. Nyitray, Kantsyrev, V.L.: `Field of opti al waveguides as waves in free spa e', Phys. Rev. E, 64128107 (2001). 2. S. V. Kukhlevsky, G. Nyitray, V. L. Kantsyrev , J. Kaiser: `Detailed stru ture of fs pulses passing through straight and tapered opti al waveguides', Opt. Commun., 192, 209-213 (2001). 3. S. V. Kukhlevsky, G. Nyitray: `Propagation of X-ray fs pulses in tapered nanometer s ale manipulator', Phys. Lett. A, 291, 459-464 (2001). 4. S. V. Kukhlevsky, F. Flora, A. Marinai, L. Palladino, A. Reale, G. Tomassetti, A. Ritu
i, G. Nyitray and L. Kozma: `Dira tion of X-rays in apillary opti s', Appl. Opt., 39, 1059-1063 (2000). 5. S. V. Kukhlevsky, G. Nyitray, F. Flora, A. Marinai, A. Ritu
i, L. Palladino, A. Reale and G. Tomassetti: `Dira tion of X-ray beams in apillary waveguide', Nu l. Ins. Meth. in Phys. Resear h B, 168, 276-282 (2000). 6. S. V. Kukhlevsky, F. Flora, A. Marinai, G. Nyitray, Z. Kozma, A. Ritu
i, L. Palladino, A. Reale and G. Tomassetti: `Wave-opti s treatment of X-rays passing through tapered apillary guides', X-Ray Spe tr., 29, 354-359 (2000). 7. S. V. Kukhlevsky, F. Flora, A. Marinai, G. Nyitray, Zs. Kozma, A. Ritu
i, L. Palladino, A. Reale and G. Tomassetti: `Wave-opti s treatment of X-rays passing through tapered apillaries', Sele ted Resear h Papers on Kumakhov Opti s and Appli ation of 1998-2000, M. A. Kumakhov, Ed., in book SPIE-Russia-Chapter, vol. 4155, 61-72 (2000). 8. S. V. Kukhlevsky, G. Nyitray: `Ultra-high temporal and spatial resolutions using femtose ond and attose ond pulses', J. Opt. A: Pure Appl. Opt., 4, 271-273 (2002). 9. S. V. Kukhlevsky, G. Nyitray: `Correlation between spatial and temporal un ertainties of a wavepa ket', Opt. Commun., 209, 377-382 (2002). 10. S. V. Kukhlevsky, G. Nyitray: `Stopping of dira tion-free beams by interferen e
ollapse', Opt. Commun., 218, 213-219 (2003). 11. S. V. Kukhlevsky, G. Nyitray: `Reprodu tion in free spa e of elds on ned by 3-dimensional opti al waveguides', J. Mod. Opt., 50, 2043-2056 (2003). 12. G. Nyitray, Vin ent Mathew, Sergei V Kukhlevsky: `Generation and interferen e
ollapse of distorsion-less fs pulses in free spa e by Fresnel sour es' Opt. Commun., 281, 1082-1086 (2008) 13. G. Nyitray, Z Kis `Self- on ning waves' 1568. (2012)
Journal of Modern Opti s
59:(18) 1558-
Konferen ia kötetben megjelent munkák:
[K1℄ S. V. Kukhlevsky, G. Nyitray, Miroslav Liska.: `Wave ee ts in X-ray apillary opti s', SPIE vol. 4502, 192-199 (2001). [K2℄ S. V. Kukhlevsky, Vi tor Kantsyrev, Dmitry Fedin, G. Nyitray, Bruno Bauer, N. Quart.: `Features of X-ray radiation from a point-like laser plasma and z-pin h sour es transported by glass apillary onverters (theory)', SPIE vol. 4502, 184191 (2001). [K3℄ G. Nyitray, `Detailed stru ture of ele tromagneti pulses passing through one-dimensional photoni rystal' Journal of Physi s B-Conferen e Series 268 1-12. (2011) [K4℄ G. Nyitray, `Temporal-spatial evolution of modulated femtose ond light pulses' International Journal of Ele tri al and Computer Systems (a
epted for publi ation)
2
nyomtatobarat forma
https://vm.mtmt.hu/search/download.php?type=3...
Nyitray Gergely 2014 1. Nyitray Gergely Temporal-spatial evolution of modulated femtosecond light pulses In: Ivanyi Peter (szerk.) 10th International Miklós Iványi PhD & DLA Symposium: Abstract Book . 122 p. Konferencia helye, ideje: Pécs , Magyarország , 2014.10.20 -2014.10.21. (Pécsi Tudományegyetem) Pécs: Pollack Mihály Műszaki Kar, Pollack Press, 2014. (ISBN:978-963-7298-56-1)
2013 2. Nyitray Gergely Waveguide-like field contraction in free space In: Peter Ivanyi (szerk.) Architectural, Engineering and Information Sciences - 9th International PhD & DLA Symposium: Abstracts Book . Konferencia helye, ideje: Pécs , Magyarország , 2013.10.21 -2013.10.22. Pécs: University of Pécs Pollack Mihály Faculty of Engineering, 2013. p. 115. (ISBN:978-963-7298-54-7)
2012 3. Nyitray G , Kis Z Self-confining waves JOURNAL OF MODERN OPTICS 59:(18) pp. 1558-1568. (2012)
2011 4. G Nyitray Detailed structure of electromagnetic pulses passing through one-dimensional photonic crystal JOURNAL OF PHYSICS-CONFERENCE SERIES 268: pp. 1-12. (2011) 5. Nyitray Gergely Wave optics properties of focused light pulses In: Nyitray Gergely Dr Zsolt Temesvári (szerk.) Wave optics properties of focused light pulses . Konferencia helye, ideje: Budapest , Magyarország , 2011.11.17 -2011.11.18. Budapest: 2011. p. 27. (ISBN:978-615-5018-19-0)
2010 6. Nyitray Gergely Prof Dr Habil Peter Iványi PhD (szerk.) Detailed structure of electromagnetic pulses passing through one-dimensional photonic crystal Konferencia helye, ideje: Pécs , Magyarország , 2010.05.31 -2010.06.03. Pécs: 2010. (ISBN:978-963-7298-39-4)
2009 7. Nyitray Gergely Adam Schiffer (szerk.) Modeling of Electromagnetic Wave propagation in One-dimensional Photonic Crystals Konferencia helye, ideje: Pécs , Magyarország , 2009.10.19 -2009.10.20. Komló: 2009. (ISBN:978-963-7298-34-9)
2008
1/5
2015-05-13 13:27
nyomtatobarat forma
https://vm.mtmt.hu/search/download.php?type=3...
8. G Nyitray , V Mathew , S V Kukhlevsky Generation and interference collapse of distorsion-less fs pulses in free space by Fresnel sources OPTICS COMMUNICATIONS 281: pp. 1082-1086. (2008) Független idéző: 2 Összesen: 2 1
Carlos Zapata-Rodríguez
2
J J Miret C J Zapata-Rodriguez Surface-assisted ultralocalization in nondiffracting beams, 2010.
J. Opt. Soc. Am. B 25: 1449-1457 (2008)
9. Nyitray Gergely Computer Implementation of a One-Dimensional FDTD Algorithm for Modelling Multilayered Systems In: Ivanyi M , Schiffer A (szerk.) Abstracts of the Fourth International PhD Symposium in Engineering . Konferencia helye, ideje: Pécs , Magyarország , 2008.10.20 -2008.10.21. Pécs: Pécsi Tudományegyetem, 2008. pp. 42-43. ( Abstracts of the Fourth International PhD Symposium in Engineering ) (ISBN:978-963-7298-27-1)
2006 10. Nyitray Gergely The Fresnel-Waveguide In: Nyitray Gergely The Fresnel waveguide . Konferencia helye, ideje: Budapest , Magyarország , 2006.01.12 -2006.01.13. Budapest: pp. 56-58.
2003 11. S V Kukhlevsky , G Nyitray Stopping of diffraction-free beams by interference collapse OPTICS COMMUNICATIONS 218: pp. 213-219. (2003) Független idéző: 1 Összesen: 1 1
V Mathew STARS: Int. Journal (Sciences) 1: 168 (2007)
12. S V Kukhlevsky , G Nyitray Reproduction in free space of fields confined by 3-dimensional optical waveguides JOURNAL OF MODERN OPTICS 50: pp. 2043-2056. (2003) Független idéző: 1 Összesen: 1 1
V Mathew STARS: Int. Journal (Sciences) 1: 168 (2007)
2002 13. S V Kukhlevsky , G Nyitray Ultra-high temporal and spatial resolutions using femtosecond and attosecond pulses JOURNAL OF OPTICS A-PURE AND APPLIED OPTICS 4: pp. 271-273. (2002) Független idéző: 9 Összesen: 9 1
R Solimene et al
JOURNAL OF OPTICS A-PURE AND APPLIED OPTICS 6: 529-536 (2004)
2
M Labardi et al
APPLIED PHYSICS LETTERS 86: Paper 031105. (2005)
3
Y Ben-Aryeh
INTERNATIONAL JOURNAL OF QUANTUM INFORMATION 3: 111-116 (2005)
4
R Solimene et al
JOURNAL OF OPTICS A-PURE AND APPLIED OPTICS 8: 10-16 (2006)
5
Y Ben-Aryeh
APPLIED PHYSICS B-LASERS AND OPTICS 84: 121-126 (2006)
6
Наркис Мусавирович Арсланов
Нанооптика ближнеполевой микроскопии: эффекты распространения светового поля в сужающемся субволновом зонде, 2006.
7
R F Alvarez-Estrada et al
Neutron Waveguides and Applications In: Optical Waveguides. From Theory to Applied Technologies, Taylor & Francis, CRC Press, 2007.
8
María L Calvo et al
Optical Waveguides: From Theory to Applied Technologies, CRC Press Taylor and Francis Group, 2007.
9
R Solimene et al
J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 10: Paper 015010. (2008)
14. S V Kukhlevsky , G Nyitray Correlation between spatial and temporal uncertainties of a wavepacket OPTICS COMMUNICATIONS 209: pp. 377-382. (2002)
2/5
2015-05-13 13:27
nyomtatobarat forma
https://vm.mtmt.hu/search/download.php?type=3...
Független idéző: 4 Összesen: 4 1
Y Ben-Aryeh
INTERNATIONAL JOURNAL OF QUANTUM INFORMATION 3: 111-116 (2005)
2
R Solimene et al
Journal of Optics A – Pure and Applied Optics 8: 10-16 (2006)
3
Y Ben-Aryeh
APPLIED PHYSICS B-LASERS AND OPTICS 84: 121-124 (2006)
4
Carlos Zapata-Rodríguez J. Opt. Soc. Am. B 25: 1449-1457 (2008)
2001 15. S V Kukhlevsky , G Nyitray Propagation of X-ray femtosecond pulses through tapered nanometer-scale capillary waveguides PHYSICS LETTERS A 291:(6) pp. 459-464. (2001) Független idéző: 6 Függő idéző: 2 Összesen: 8 1 * Kukhlevsky SV
X-RAY SPECTROMETRY 32: 223-228 (2003)
2 * Kukhlevsky SV et
Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics 319: 439-447 (2003)
3
I R Prudnikov
J. Appl. Cryst. 40: 427-435 (2007)
4
Alvarez-Estrada RF Neutron Waveguides and Applications In: Optical Waveguides: From Theory to Applied Technologies, et al Taylor & Francis, CRC Press, 2007.
5
S B Dabagov
6
Sebastian Panknin Opt. Comm. 281: 2779-2783 (2008) et al
7
Teng Yuepeng et al Acta Optica Sinica 30: 542-545 (2010)
8
Bukreeva I et al
al
Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment 580: 756-763 (2007)
OPTICS LETTERS 36: 2602-2604 (2011)
16. S V Kukhlevsky , G Nyitray , V L Kantsyrev Field of optical waveguides as waves in free space PHYSICAL REVIEW E - STATISTICAL, NONLINEAR AND SOFT MATTER PHYSICS 64:(2) Paper 64128107. 6 p. (2001) Független idéző: 14 Összesen: 14 1
E Comay
Remarks on the Physical Meaning of Diffraction-Free Solutions of Maxwell Equations, 2002.
2
J Canning et al
ELECTRONICS LETTERS 39: 311-312 (2003)
3
J Canning et al
OPTICS EXPRESS 11: 347-358 (2003)
4
J Canning et al
Optical fibre Fresnel lenses and zone plates In: Microwave and Optoelectronics Conference, 2003. IMOC 2003. Proceedings of the 2003 SBMO/IEEE MTT-S International, IEEE, 2003.
5
J Canning et al
CHINESE OPTICS LETTERS 28: 230-232 (2003)
6
E Comay
Remarks on the Physical Meaning of Diffraction- Free Solutions of Maxwell Equations In: Focus on Lasers and Electro-Optics Research, Nova Publishers, 2004.
7
K G Makris et al
Physical Review E 73: Paper 036616. (2006)
8
V Mathew
STARS: Int. Journal (Sciences) 1: 168 (2007)
9
J Canning
Fresnel Optics Inside Optical Fibres In: Photonics Research Developments, Nova Publishers, 2008.
10
K Makris
Optical solitons in periodic structures, 2008.
11
Jesly Jacob et al
SUPERLATTICES AND MICROSTRUCTURES 44: 282 (2008)
12
Carlos ZapataRodríguez
J. Opt. Soc. Am. B 25: 1449-1457 (2008)
J Jacob et al
Surface plasmon polaritons in nano-waveguides with semiconductor guiding layer In: Electron Devices and Semiconductor Technology, 2009. IEDST '09. 2nd International Workshop, IEEE, 2009.
Hugo E HernándezFigueroa et al
Non-diffracting Waves, Wiley-VCH Verlag GmbH et Co. KGaA, 2014.
13 14
17. S V Kukhlevsky , G Nyitray , V L Kantsyrev , J Kaiser Detailed structure of fs pulses passing through straight and tapered optical waveguides OPTICS COMMUNICATIONS 192: pp. 225-229. (2001) Független idéző: 1 Összesen: 1 1
María L Calvo et al
Optical Waveguides: From Theory to Applied Technologies, CRC Press Taylor and Francis Group, 2007.
2000 18. S V Kukhlevsky , F Flora , A Marinai , G Nyitray , Zs Kozma , A Ritucci , L Palladino , A Reale , G Tomassetti Wave-optics treatment of X-rays passing through tapered capillaries
3/5
2015-05-13 13:27
nyomtatobarat forma
https://vm.mtmt.hu/search/download.php?type=3...
PROCEEDINGS OF SPIE - THE INTERNATIONAL SOCIETY FOR OPTICAL ENGINEERING 4155: pp. 61-72. (2000) 19. S V Kukhlevsky , G Nyitray , F Flora , A Marinai , A Ritucci , L Palladino , A Reale , G Tomassetti Diffraction of X-ray beams in capillary waveguide NUCLEAR INSTRUMENTS & METHODS IN PHYSICS RESEARCH SECTION B-BEAM INTERACTIONS WITH MATERIALS AND ATOMS 168: pp. 276-282. (2000) Független idéző: 29 Összesen: 29 1
S B Dabagov et X-Ray scattering in capillary waveguides, 2000. al
2
E Burattini et al
3
G Cappuccio et APPLIED PHYSICS LETTERS 78: 2822-2824 (2001) al
NUOVO CIMENTO DELLA SOCIETA ITALIANA DI FISICA B-GENERAL PHYSICS RELATIVITY ASTRONOMY AND MATHEMATICAL PHYSICS AND METHODS 116: 361-370 (2001)
V L Kantsyrev et al
Powerful microfocus x-ray and hard x-ray 1 MA x-pinch plasma source for imaging, spectroscopy, and polarimetry In: Proc. SPIE The International Society for Optical Engineering Advances in Laboratory-based X-Ray Sources and Optics II, SPIE, 2001.
5
Sultan B Dabagov
Quantum theory of X-ray channeling in capillary systems In: Proc. SPIE 4765, International Conference on X-ray and Neutron Capillary Optics, 87, SPIE, 2001.
6
E Burattini et al
NUOVO CIMENTO DELLA SOCIETA ITALIANA DI FISICA B-GENERAL PHYSICS RELATIVITY ASTRONOMY AND MATHEMATICAL PHYSICS AND METHODS 117: 769-779 (2002)
7
B Rohwedder
Physical Rewiew A 65: Paper 043619. (2002)
8
S B Dabagov et NUCLEAR INSTRUMENTS & METHODS IN PHYSICS RESEARCH SECTION B-BEAM INTERACTIONS al WITH MATERIALS AND ATOMS 187: 169-177 (2002)
9
S Bellucci et al On X-Ray Channeling in µ- and n-capillaries, 2002.
10
I Szaloki et al
ANALYTICAL CHEMISTRY 74: 2895-2917 (2002)
11
S B Dabagov
PHYSICS-USPEKHI 46: 1053-1075 (2003)
12
S Bellucci et al JOURNAL OF PHYSICS-CONDENSED MATTER 15: 3171-3180 (2003)
13
L Vincze et al
X-RAY SPECTROMETRY 32: 2008-2014 (2003)
14
S B Dabagov
X-RAY SPECTROMETRY 32: 179-185 (2003)
15
V K Egorov et al
X-RAY SPECTROMETRY 33: 360-371 (2004)
16
V K Egorov et al
Spectrochemica Acta Part B-Atomic Spectroscopy 59: 1049-1069 (2004)
17
S B Dabagov
Channeling projects at LNF: From crystal indulators to capillary waveguides, 2005.
18
P Berger et al
Microsonde nucleaire-Principe et appareillage, 2005.
19
S V Dabagov
On X-Ray Waveguiding in Nanochannels, 2006.
20
S B Dabagov et International Journal of Modern Physics A 22: 4280-4309 (2007) al
21
A Bjeoumikhov Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics 360: 405-410 (2007)
22
S B Dabagov et Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, al Detectors and Associated Equipment 580: 756-763 (2007)
23
A Bjeoumikhov Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics 366: 283-288 (2007) et al
24
L Alianelli et al Spectrochemica Acta Part B-Atomic Spectroscopy 62: 593-597 (2007)
25
J Werner
26
S B Dabagov et Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and al Atoms 266: 3881-3887 (2008)
27
S Panknin et al Opt. Comm. 281: 2779-2783 (2008)
28
M Osterhoff et al
29
C A MacDonald X-Ray Optics and Instrumentation 2010: Paper 867049. (2010)
4
X-ray waveguides and refractive optics, 2007.
Opt. Commun. 282: 3250-3256 (2009)
20. S V Kukhlevsky , F Flora , A Marinai , G Nyitray , Z Kozma , A Ritucci , L Palladino , A Reale , G Tomassetti Wave-optics treatment of X-rays passing through tapered capillary guides X-RAY SPECTROMETRY 29: pp. 354-359. (2000) Független idéző: 13 Összesen: 13
4/5
1
T A Bobrova et al
On the sensitivity of wave channelling of x-ray beam to the shape of the interface channels, 2000.
2
P J Potts et al
JOURNAL OF ANALYTICAL ATOMIC SPECTROMETRY 16: 1217-1237 (2001)
3
L I Ognev
X-RAY SPECTROMETRY 31: 274-277 (2002)
4
I Szaloki et al
ANALYTICAL CHEMISTRY 74: 2895-2917 (2002)
5
Si-Pins
Modern Equipment-Modern Instruments (Chinese) 3: 1-5 (2003)
2015-05-13 13:27
nyomtatobarat forma
https://vm.mtmt.hu/search/download.php?type=3...
6
R Mroczka et al
JOURNAL OF ALLOYS AND COMPOUNDS 382: 311-319 (2004)
7
R Mroczka et al
JOURNAL OF ALLOYS AND COMPOUNDS 362: 88-95 (2004)
8
Yanagihara M et al
X-Ray Optics In: X-Ray Spectrometry: Recent Technological Advances, John Wiley&Sons, Ltd., 2004.
9
Diao Guinian
X-ray fluorescence spectrometry new progress (Chines), 2005.
10
Alvarez-Estrada R F Neutron Waveguides and Applications In: Optical Waveguides: From Theory to Applied et al Technologies, Taylor & Francis, CRC Press, 2007.
11
María L Calvo et al
Optical Waveguides: From Theory to Applied Technologies, CRC Press Taylor and Francis Group, 2007.
12
N Schell et al
Parabolic capillary optics with less than 50 μm focus and large focal distance for synchrotron radiation scattering, 2007.
13
S Panknin et al
Opt. Comm. 281: 2779-2783 (2008)
21. S V Kukhlevsky , F Flora , A Marinai , K Negrea , L Palladino , A Reale , G Tomassetti , A Ritucci , G Nyitray , L Kozma Diffraction of X-rays in capillary optics APPLIED OPTICS (2004-) 39: pp. 1059-1063. (2000) Független idéző: 12 Összesen: 12
5/5
1
E Burattini et al
NUOVO CIMENTO DELLA SOCIETA ITALIANA DI FISICA B-GENERAL PHYSICS RELATIVITY ASTRONOMY AND MATHEMATICAL PHYSICS AND METHODS 116: 361-370 (2001)
2
S B Dabagov
Features of neutral particles channeling in capillary arrays In: Proc. SPIE 4509, Neutron Optics, SPIE, 2001.
3
Powerful microfocus x-ray and hard x-ray 1 MA x-pinch plasma source for imaging, spectroscopy, and V L Kantsyrev et polarimetry In: Proc. SPIE The International Society for Optical Engineering Advances in al Laboratory-based X-Ray Sources and Optics II, SPIE, 2001.
4
Ronald W Waynant et al
Transmission characteristics of an all-optical-waveguide biomedical system for x-ray delivery In: Proc. SPIE 4616, Optical Fibers and Sensors for Medical Applications II, 121 (March 27, 2002), SPIE, 2002.
5
S B Dabagov
PHYSICS-USPEKHI 46: 1053-1075 (2003)
6
R Mroczka et al
JOURNAL OF ALLOYS AND COMPOUNDS 382: 311-319 (2004)
7
R Mroczka et al
JOURNAL OF ALLOYS AND COMPOUNDS 362: 88-95 (2004)
8
Y Matsuura et al APPLIED OPTICS 44: 6193-6196 (2005)
9
A Bjeoumikhov et al
Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physic 366: 283-288 (2007)
10
S Panknin et al
Opt. Comm. 281: 2779-2783 (2008)
11
Chen Dingyang Xu
ACTA OPTICA SINICA 2009-09: 1 (2009)
12
M Osterhoff et al
Opt. Commun. 282: 3250 (2009)
2015-05-13 13:27
Angol nyelvű előadások 1) “Temporal-spatial evolution of modulated femtosecond light pulses” 10th Miklós Iványi International PhD & DLA Symposium. University of Pécs Pollack Mihály Faculty of Engineering, Pécs, 2014. 2) “Waveguide-like field contraction in free space” Architectural, Engineering and Information Sciences - 9th International PhD & DLA Symposium. University of Pécs Pollack Mihály Faculty of Engineering, Pécs, 2013 3) “Wave optics properties of focused light pulses” Science in Practice Conference Budapest, 2011 4) “Detailed structure of electromagnetic pulses passing through one-dimensional photonic crystal” 5th International Workshop on Multirate Processes & Hysteresis in Mathematics, Physics, Engineering and Information Sciences, University of Pécs Pollack Mihály Faculty of Engineering, Pécs, 2010 5) “Modeling of Electromagnetic Wave propagation in One-dimensional Photonic Crystals” Architectural, Engineering and Information Sciences - 5th International PhD & DLA Symposium, University of Pécs Pollack Mihály Faculty of Engineering, Pécs, 2009 6) “Computer Implementation of a One-Dimensional FDTD Algorithm for Modelling Multilayered Systems” Architectural, Engineering and Information Sciences - 4th International PhD & DLA Symposium, Pécs 2008 7) “Localization of eigenmode components in optical waveguides” Science in Practice Conference Germany, Schweinfurt, 2007 8) “The Fresnel-Waveguide” In memoriam Kandó Kálmán XXIII. Sientific Session, Budapest, 2006 9) “New description of wave propagation in waveguides” Czech Academy of Sciences, Brno, 2002 10) “Fields of optical waveguides as waves in free sapce” 3th eos topical meeting on diffractive optics, Budapest, 2001
Villamosipari anyagismeret
Polla k jegyzetek
Nyitray Gergely
Villamosipari anyagismeret Vezetési jelenségek, az anyagok elektromos és mágneses tulajdonságai
PTE PMMK Pé s, 2010
A jegyzet a Polla k Mihály M¶szaki Kar felkérésére készült
Lektorálta: dr. Ásványi József
f®iskolai tanár
ISBN
Nyitray Gergely, 2010
El®szó
Ez a dokumentum a Polla k Mihály M¶szaki Kar villamosmérnök hallgatói számára készült. Az anyagismeret tárgynak egy jól körülhatárolható de az egészhez viszonyítva kis részével, a vezetési jelenségekkel és az anyagok elektromos és mágneses tulajdonságaival foglalkozik. A jegyzet kevés gyelmet fordít az anyagok me hanikai tulajdonságainak vizsgálatára, illetve a szerkezeti anyagokra. Ez a terület azonban els®sorban az épít®mérnökök és a gépészmérnökök számára kiemelt jelent®ség¶.
A jegyzet témaválasztásában követi a hazai és
külföldi mérnökképzésben a villamosmérnökök számára oktatott anyagot. A tananyag ebb®l következ®en interdisz iplináris hiszen az elektrodinamika, a termodinamika és a kvantumme hanika fogalmai lépten nyomon megjelennek. Apróbet¶s szedéssel illetve a fejezetek, alfejezetek elé helyezett
⋆
jellel különítettük el a törzsanyagtól azokat a részeket, amelyek elsajátítása nem kötelez®. Ezek a részek sak olyan el®ismeretek birtokában érthet®k meg, amelyekkel a hallgatók tanulmányaik elején még nem rendelkeznek.
Köszönetnyivánítás A szerz® köszönetét fejezi ki Dr. Konior zyk Mátyás egyetemi adjunktusnak és Dr. Iványi Miklósné egyetemi tanárnak a kézirat gondos átolvasásáért és értékes szakmai észrevételeikért.
Hálával tartozunk
Ásványi József f®iskolai tanárnak a kézirat lektorálásáért és hasznos taná saiért.
5
Tartalomjegyzék
Az anyagtudomány fogalma és az atomfogalom kialakulása .
1. Áramvezetés fémekben és félvezet®kben 1.1.
17
A klasszikus Drude-modell . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.1.
Az elektronok termikus sebessége
18
1.1.2.
Az elektronok drift sebessége . . . . . . . . . . .
20
Hidrodinamikai analógia . . . . . . . . . . . . . . . .
22
⋆
1.1.3.
⋆ ⋆
1.2.
. . . . . . . .
A Joule-Lenz törvény . . . . . . . . . . . . . . .
A váltóáramú vezet®képesség
23
. . . . . . . . . . . . .
23
A klasszikus elektrongáz nagyfrekven iás viselkedése .
25
1.1.4.
A Wiedmann-Franz törvény
. . . . . . . . . . .
25
1.1.5.
A termikus elektronemisszió . . . . . . . . . . .
27
1.1.6.
A Hall-eektus
29
1.1.7.
A Drude-modell elégtelensége
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
A kvantumme hanika alapjai . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.2.1.
A trajektória a klasszikus zikában
32
1.2.2.
A S hrödinger-egyenlet és a kvantumme hanikai
. . . . . . .
állapot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⋆ ⋆
A spin, a Pauli-elv és a határozatlansági relá ió
34
. . .
36
A szabad része ske hullámfüggvénye . . . . . . . . . .
38
1.2.3.
Az atomi elektronok energianívói
. . . . . . . .
41
1.2.4.
Héjak, alhéjak és a periódusos rendszer . . . . .
43
A molekulák elektronrendszere . . . . . . . . . . . . .
48
⋆
1.2.5. 1.3.
10
. . . . . . . . . . . . . . . . .
51
A kristályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A kémiai kötések
55
1.3.1.
A szerkezetvizsgálat alapjai
. . . . . . . . . . .
55
1.3.2.
A kristály geometriai szerkezete . . . . . . . . .
59
1.3.3.
A rá ssíkok azonosítása . . . . . . . . . . . . . .
61
7
1.3.4.
A kristályhibák . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5.
A kristályok me hanikai tulajdonságainak vizsgálata
1.3.6. 1.4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Ron solásmentes anyagvizsgálat . . . . . . . . .
73
A fémek Sommerfeld-féle szabadelektron modellje 1.4.1.
⋆ ⋆
A kémiai poten iál h®mérsékletfüggése
77
. . . . . . . .
78
2.2.
79
A kilépési munka
. . . . . . . . . . . . . . . . .
81
1.4.3.
A termikus elektronemisszió . . . . . . . . . . .
82
1.4.4.
A kontaktpoten iál . . . . . . . . . . . . . . . .
83
A vezetési jelenségek fenomenológikus áttekintése
. .
85
A vezetési jelenségek egydimenzióban . . . . . . . . .
86
A kváziszabad elektron modell . . . . . . . . . . . . . .
87
⋆ ⋆ ⋆
. . . .
87
Energiasávok és az eektív tömeg . . . . . . . . . . .
88
A fémek elektromos ellenállásának értelmezése . . . .
91
A Blo h-függvény és a szoros kötés¶ közelítés
Vezet®k, szigetel®k és félvezet®k . . . . . . . . .
93
A félvezet®k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
⋆
96
Sajátvezet®k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1.
Szennyezéses félvezet®k . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2.
Félvezet® áramköri elemek . . . . . . . . . . . .
99
1.6.3.
Az integrált áramkörök el®állítása . . . . . . . .
110
2. Az anyagok elektromos és mágneses tulajdonságai 2.1.
76
. . . . . . . .
Az elektron- és fonongáz fajh®je . . . . . . . . . . . .
1.5.1. 1.6.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Fermi-Dira eloszlási függvény
1.4.2.
⋆ ⋆ 1.5.
66
98
115
A gázok permittivitása . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
⋆
119
A dipólusok véletlenszer¶ elrendez®dése . . . . . . . .
A folyadékok és szilárdtestek permittivitása
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
. . . . . .
120
A molekulák közötti intermolekuláris er®hatások . . .
123
A dipólusok között fellép® er®hatások . . . . . . . . .
123
Dipólus-dipólus köl sönhatások
124
. . . . . . . . . . . .
Dipólus és indukált dipólus köl sönhatása Az indukált dipólusok köl sönhatása
. . . . . .
125
. . . . . . . . .
126
2.3.
A villamos szigetel®anyagok
. . . . . . . . . . . . . . .
127
2.4.
Az anyagok mágneses tulajdonságai . . . . . . . . . . .
131
2.4.1.
132
A paramágnesség mikroszkopikus modellje . . .
⋆
2.5.
A mágneses momentumok véletlenszer¶ elrendez®dése
2.4.2.
A diamágnesség mikroszkopikus modellje . . . .
2.4.3.
A ferromágnesség értelmezése
2.4.4.
A ferromágneses hiszterézis
2.4.5.
Anti-ferromágnesség
. . . . . . . . . .
138
. . . . . . . . . . .
140
. . . . . . . . . . . . . . .
143
A szupravezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
2.5.1.
. . . . . . . . .
145
A szupravezetés BCS-elmélete . . . . . . . . . . . . .
149
⋆
2.5.2.
A Meissner-O hsenfeld-jelenség
Az ultraala sony h®mérsékletek el®állítása
. . .
3. Lézerek 3.1.
⋆
134 135
150
153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
A spontán és az indukált emisszió . . . . . . . . . . . . . .
A lézer története
156
3.1.1. 3.2.
3.2.1. 3.3.
A populá ióinverzió . . . . . . . . . . . . . . . .
A rezonátor és módusainak jellemz®i A lézerosz illá ió feltétele
159
. . . . . . . . . .
160
. . . . . . . . . . . .
163
A gyakorlatban alkalmazott lézerek
. . . . . . . . . . .
165
3.3.1.
Szilárdtestlézerek . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
3.3.2.
Gázlézerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
3.3.3.
Kémiai, ex imer- és festéklézerek
3.3.4.
Félvezet® lézerek
3.3.5.
Lézeranyagok
. . . . . . . .
167
. . . . . . . . . . . . . . . . .
167
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
4. Folyadékok, m¶anyagok és polimerek tulajdonságai
171
4.1.
Az egyszer¶ folyadékok Bernal-féle golyómodellje
. . .
172
4.2.
A víz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
4.2.1.
174
A víz szerkezeti modellje . . . . . . . . . . . . .
4.3.
Az üvegek szerkezete
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
4.4.
A folyadékkristályok
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
4.5.
Polimerek és m¶anyagok szerkezete
. . . . . . . . . . .
176
4.5.1.
A polimer molekulák elrendez®dése
. . . . . . .
178
4.5.2.
A m¶anyagok morfológiája . . . . . . . . . . . .
178
4.5.3.
A polimerek reológiai viselkedése
180
. . . . . . . .
5. Felhasznált irodalom
183
Felhasznált irodalom
183
10
Az anyagtudomány fogalma és az atomfogalom kialakulása Az anyag és az energia meghatározó szerepet játszik az emberi ivilizá ió életében. A használati tárgyak, eszközök nagy részét mérnökök tervezik, ugyan sak mérnökök irányítják azokat a gyártási folyamatokat, alkotják meg azokat a gyártási rendszereket, amelyekkel a termékek el®állítását, gyártását végzik. Ezért is fontos, hogy a mérnökök jól ismerjék a különféle anyagokat, az anyagok tulajdonságait, bels® szerkezetüket, a szerkezet és a tulajdonságok közötti kap solatokat. Ezen jegyzet mivel villamosmérnök hallgatók számára készült els®sorban az áramvezetési jelenségekkel illetve az anyagok elektromos és mágneses tulajdonságaival foglalkozik. Ez a nagy terület azonban sak egy kis részét alkotja egy sokkal nagyobb disz iplinának, amelyet anyagtudománynak nevezünk. Az
anyagtudomány
az anyagok zikai, kémiai
és me hanikai tulajdonságaival, e tulajdonságok közötti kap solatokkal és a tulajdonságok megváltoztatásának elvi alapjaival és gyakorlati módszereivel foglalkozó tudomány.
Az atomfogalom fejl®dése Aristoteles görög lozófus szerint az anyag négy elemb®l tev®dik össze: t¶z, víz, föld, leveg®. Kés®bb az elemeket egy szellemi természet¶ ötödik elemmel a Quinta Essentia-val is kiegészítették. Demokritos, Lukretius és Leokipos spekulatív (tisztán gondolati) úton jutottak el az anyag végs® épít®kövei, az atomok létezésének fogalmához. Az atom szó jelentése oszthatatlan és az ókori görög lozófusok idejéb®l származik. Az atom fogalmát tudományos modellben el®ször a
gázelmélet használta.
kinetikus
A kinetikus gázelmélet feltételezte, hogy a gázok
parányi gömb alakú része skékb®l állnak. A része skék h®mozgásuk révén rendezetlenül mozognak, mozgásukban kitüntetett irány nin s. A része skék egymással és a tartóedény falával tökéletesen rugalmasan ütköznek és a gömbök között más köl sönhatás nin s.
A része skék
egyensúlyi állapotban egyenletesen töltik ki a rendelkezésükre álló teret. A kinetikus gázelmélet a gázok nyomását és h®mérsékletét a része skék mozgásából kiindulva értelmezi. A kinetikus gázelmélet nagy
11
sikere abban rejlett, hogy egyszer¶ volt és eredményei a tapasztalatokkal kíválóan megegyeztek. A kinetikus gázelmélet szerint a része skék 10−10 m nagyságrend¶, azaz a gömbök a méter millio-
átlagos mérete
mod részénél tízezerszer kisebbek. A XIX. század végére olyan tapasztalati anyag gy¶lt össze, amely nem sak alátámasztotta az anyagok atomos szerkezetének hipotézisét, hanem annak módosítását is el®irányozta. A radioaktivitás felfedezése (Be querel, Curie-házaspár: Pierre Curie, Marie Curie) rámutatott arra, hogy bizonyos elemek pl. polónium, rádium (α, alakulnak.
β
és
γ)
sugárzás kibá sátása révén más anyagokká
Az radioaktív sugárzás során az anyagok pozitív, nega-
tív és semleges része skéket bo sátanak ki, amelyekr®l feltételezhet®, hogy az atomok alkotóelemei. Ezért az atomok része skékb®l állnak. Mengyelejev és Mayer egymástól függetlenül észrevették, hogy az ismert elemek kémiai, zikai tulajdonságai periodikusan ismétl®dnek, ha az elemeket tömegük szerint sorba rendezzük.
Ezek szerint sem
lehetnek az atomok parányi gömb alakú része skék, hanem olyan egységek, amelyek részekb®l (része skékb®l) épülnek fel.
Az anyagszer-
kezet szempontjából alapvet® fontosságú volt a katódsugárzás felfedezése. Ala sony nyomású gázba helyezett elektródák között a katódból elektromosan töltött része skék lépnek ki, amelyek egyenes vonalban terjednek, de mozgásirányukból elektromos vagy mágneses terekkel eltéríthet®k.
Thomson
volt az els®, aki mérései alapján egyértelm¶en
megállapította, hogy a katódsugárzás a katód anyagából kilép® elektronok sugárzása. Mivel ez a sugárzás független volt a katód anyagától, feltételezte, hogy minden anyag tartalmaz elektronokat. Mivel az anyag normál állapotban semleges, a negatív töltések mellett pozitív része skéket is tartalmaznia kell. A radioaktivitás és az elektron felfedezése után már nem az atomok létezése volt az alapvet® kérdés ezt már a legtöbb tudós nem vonta kétségbe , hanem az, hogy milyen a pozitív és negatív töltések elhelyezkedése az atomon belül. Az els® atommodellt maga Thomson az elektron felfedez®je adta.
Feltételezte, hogy a folytonos eloszlású
pozitív töltés¶ anyag seppben elszórtan vannak jelen a negatív töltések mint pudingban a mazsolák. A modell vitathatatlan érdeme, hogy mérési eredményeken alapul.
Legf®bb hiányossága, hogy nem tudta
értelmezni a gázok által kibo sátott vonalas spektrumot. Az anyagok gerjesztett állapotban (pl. hevítés hatására) fényt bo-
12
sátanak ki. szín¶ lesz. lángot.
Ha például NaCl-ot gázlángba szórunk, a láng sárgás
A sók összetételükt®l függ®en jellegzetesen megfestik a
Ha a kibo sátott sugárzást egy ún. spektrális bontó elemre
(prizmára, optikai rá sra) ejtjük, a különböz® hullámhosszú komponenseket (összetev®ket) térben szétválaszthatjuk egymástól. Fotolemezre ejtve detektálhatjuk (rögzíthetjük) az elem által kibo sátott sugárzás színképét. Meg gyelték, hogy a forró ritka gázok olyan színképet bo sátanak ki, amely az egyes gázokra jellemz® jellegzetes síkokat (vonalakat) tartalmaznak.
Ezek a vonalak azt jelentik, hogy bizonyos
hullámhosszokon er®sen világít az anyag, más hullámhosszokon meg egyáltalán nem. Azt a kérdést, hogy a pozitív töltés¶ anyag miként van jelen az atomon belül
Rutherford
válaszolta meg. Légritkított térben
α
sugárzás
áthaladását vizsgálta vékony aranyfóliákon. Az alfa sugárzásról akkoriban sak azt tudták, hogy nagy tömeg¶ pozitív töltés¶ része skékb®l áll. Az aranyfólia mindössze néhány ezredmilliméter vastag volt. Az
α
része skék be sapódását egy ZnS kirstály apró felvillanásai jelezték. A mérési eredmények szerint az
α
része skék nagyrésze irányváltoztatás
nélkül halad át az anyagon. Tehát az anyag nagyrésze ¶rt tartalmaz. A része skék kis része eltérül eredeti mozgásirányától, s®t ritkán teljes visszaver®dést is tapasztalt. Az eltérülés és visszaver®dés oka egy nagy tömeg¶ de kis méret¶ anyagkon entrátum: az
atommag.
A mérési
eredmények gondos elemzése lehet®vé tette a mag méretének megha−15 tározását. Ezek szerint a mag átmér®je 10 m nagyságrend¶. Azaz százezerszer kisebb mint az atom sugara. Rutherford atommodellje szerint az atom egy parányi naprendszerhez hasonlítható, azaz a pozitív töltés¶ mag körül keringenek a negatív töltés¶ elektronok. A modell legf®bb hiányossága az, hogy az elektrodinamika törvényei szerint a körpályán kering® elektron entripetális gyorsulása miatt elektromágneses hullámokat bo sát ki. Emiatt sökkenne a kering® elektron poten iális energiája és nagyon rövid id® alatt (1ns) mintegy bespirálozna a magba. A planetáris modell szerint az atom nem lehetne stabil. A XIX. század végének egyik rejtélye volt az ún.
abszolút fekete test
sugárzásának kérdése. Meg gyelték, hogy a testek által kibo sátott és elnyelt elektromágneses sugárzás aránya (adott h®mérsékleten) minden
13
testre azonos:
e1 e2 e3 e = = = ··· = , a1 a2 a3 1
és egyenl® annak a testnek az
e
emisszióképességével, amely minden
ráes® sugárzást elnyel, azaz abszorp iós tényez®je
a = 1.
Ezt nevezték
abszolút fekete testnek. A testek által kibo sátott h®mérsékleti sugárzás
f
a h®mérséklet és
a hullámhossz függvénye:
ei = e = f (λ, T ). ai Egy olyan testet, amely minden ráes® sugárzást elnyel a következ®képpen lehet realizálni. Vegyünk egy zárt platina-iridium ötvözetb®l készült dobozt. Fessük feketére és vágjunk rá egy pi i lyukat. (1. ábra). Ha rátekintünk a lyukra az feketébb a környezeténél. Ezt a lyukat tekinthetjük abszolút fekete testnek. Ha a dobozt hevítjük, ezen a lyukon elektromágneses sugárzás távozik a környezetbe. Ezt a sugárzást nevezzük h®mérsékleti sugárzásnak. fûtõszál
fémdoboz hõmérsékleti sugárzás
prizma
hõszigetelõ detektor
1. ábra. Az abszolút fekete test sugárzása
Az abszolút fekete test által kibo sátott spektrumot (lásd 2. ábra) két különböz® módon is le akarták írni. Mindkét levezetés ellentmondott a tapasztalatnak. Az egyik az infravörös tartományon m¶ködött,
14
de az ultraibolya tartományban végtelen értéket vett fel. A másik ultraibolya tartományban m¶ködött, de az infravörös tartományban vett fel végtelen értéket. T4 T3
I
T2 T1
λ
2. ábra. H®mérsékletis sugárzás egyra magasabb h®mérsékleteken
Plan k német zikus volt az, aki egy hipotézis segítségével sikeresen le tudta írni a h®mérsékleti sugárzás spektrumát.
A Plan k-féle
kvantum hipotézis szerint az üreg falában lév® atomok (osz illátorok) energiát nyelnek el és sugároznak ki. De az energia kibo sátása és elnyelése sak adagokban mehet végbe. Egy adott sugárzásra jellemz®
w = hf . Ahol h Plan k állandó f pedig a h = 6, 625 × 10−34 Js az egyik legfontosabb
legkisebb energiaadag a sugárzás frekven iája. természeti állandó.
Az elemi része skék szintjén ennek a felismerés-
nek hatalmas a jelent®sége.
Az atommodellek közül a Bohr-modell
használta fel el®ször Plan k eredményét. A Bohr-Sommerfeld modell az utolsó klasszikus zikán alapuló atommodell, amely a planetáris modell továbbfejlesztésének tekinthet®. Bevezeti a sta ionárius pályák (körpályák) fogalmát, amelyeken keringve az elektron nem bo sát ki elektromágneses sugárzást. Ezen a sta ionárius pályákon az atomi elektronok impulzusmomentuma (perdülete)
sak meghatározott érték¶ lehet. Az atom sak akkor bo sát ki elektromágneses sugárzást, ha a magasabb energiájú (a magtól távolabbi) sta ionárius pályáról ala sonyabb energiájú (a maghoz közelebbi) sta ionárius pályára kerül. A folyamat megfordítása a fényelnyelés abszorp ió.
A Bohr-modell legf®bb érdeme, hogy a tapasztalattal egyez®en
értelmezi a hidrogéngáz által kibo sátott vonalas spektrumot. Azon-
15
ban az atom stabilitására továbbra sem ad magyarázatot. Sommerfeld továbbfejleszti a modellt ellipszis-pályák bevezetésével. Heisenberg szerint a Bohr-modell alapvet® hiányossága abban rejlik, hogy a spektrumvonalak mögé konkrét klasszikus pályákat társít, amelyek viszont nem mérhet®k.
Heisenberg szerint a hidrogén-
atom elektronjához semmiféle konkrét mozgást társítani nem szabad. Heisenberg mátrixok segítségével írta le a hidrogénatom szerkezetét. Eljárását mátrixme hanikának nevezzük.
A kvantumme hanika má-
sik vezéralakja S hrödinger más útat járt.
De Broglie szerint min-
den elemi része skéhez egy hullámot lehet hozzárendelni.
Ezt a hi-
potézist S hrödinger is elfogadta és meg tudta adni azt a hullámegyenletet, amely le tudja írni ezeket a de Broglie hullámokat.
Ez
az egyenlet (S hrödinger-egyenlet) a nemrelativisztikus kvantumme hanika alapegyenlete. A nemrelativisztikus jelz® azt jelenti, hogy az egyenlet nem tesz eleget a spe iális relativitáselmélet bizonyos kritériumának (Lorentz-invarian ia). Ennek ellenére a kvantumme hanikában a S hrödinger-egyenlet olyan entrális jelent®ség¶ mint a Newtonegyenlet a klasszikus me hanikában. A S hrödinger-egyenlet (sok más egyéb mellett) a tapasztalattal egyez®en írja le a hidrogén atom atomi elektronjának tulajdonságait. A relativisztikus kvantumme hanika alapegyenletét Dira adta meg, amelyben már az elektronspin is megjelenik.
A Dira -egyenlet megdöbbent® jóslata volt, hogy pozitív elekt-
romos töltés¶ elektronállapotokat is leírt.
Ezeket a része skéket ké-
s®bb kísérletileg is kimutatták és ma pozitronoknak nevezzük ®ket. Az elektronhoz hasonlóan sok más része skének is van ellentétes elektromos töltés¶ párja, antirésze skéje.
Olyan atomok is elképzelhet®k,
amelyekben a negatív töltés¶ atommag körül (amely protonok helyett antiprotonokat tartalmaz) pozitív töltés¶ pozitronok keringenek. Az ilyen atomokból felépül® anyagot antianyagnak nevezzük. Kis mennyiség¶ antianyagot a világ számos kutatóintézetében már el®állítottak. Érdemes megemlíteni, hogy az atommag alkotóelemei a protonok, neutronok olyan része skék, amelyeknek bels® szerkezetük van. Azonban a nukleonok bels® szerkezetének leírásától, az alkotóelemek közötti köl sönhatások teljeskör¶ feltárásától még messze vagyunk.
16
1. fejezet Áramvezetés fémekben és félvezet®kben
Az elektron felfedezése után hamarosan természetes magyarázatként adódott, hogy a fémek legjellemz®bb tulajdonságai, a jó elektromos és h®vezet®-képesség, a fémben mozgó szabad elektronoktól származnak. Mivel a XVIII. század végén, els®sorban
Boltzmann
munkássága
nyomán, a klasszikus statisztikus me hanika a majdnem ideális gázok viselkedésének jól használható leírását adta,
Drude
(1900) a kinetikus
gázelmélet egy egyszer¶ megfogalmazását alkalmazta az elektronok gázára. Ezt a modellt
Lorentz
(1905) fejlesztette tovább a vezetési jelen-
ségek részletesebb leírására. A szabad elektronok klasszikus gázának ez a modellje a Drude-Lorentz-modell. A modell bizonyos sikerei ellenére hamarosan kiderültek annak hiányosságai is. Ezek jelent®s részben abból adódtak, hogy az elektrongáz, ha egyáltalán gáznak tekinthet®, a legritkább esetben kezelhet® klasszi-
kusan. Az elektronok mint kvantumme hanikai objektumok a FermiDira -statisztikának tesznek eleget. Közvetlenül a kvantumme hanika kidolgozása után Sommerfeld és munkatársai ennek gyelembevételével a fémek elektromos tulajdonságainak sokkal jobb, bár természetesen nem tökéletes leírását adták. Ezt Sommerfeld-féle szabadelektron modellnek nevezzük. Ez a modell a kristályrá s és a többi elektron hatását egy átlagpoten iállal közelíti. Valójában az elektronok nem egy átlagpoten iálban mozognak, hanem a kristályrá s alkotta periodikus poten iáltérben. A legegyszer¶bb olyan modell, amely a periodikus po17
18
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
ten iáltér hatását gyelembe veszi az ún. kváziszabad elektron modell. A jegyzetben mindhárom modellel meg fogunk ismerkedni.
1.1.
A klasszikus Drude-modell
Mint említettük a Drude-Lorentz modell (amelyet klasszikus elektronelméletnek is neveznek) a kinetikus gázelméletet módszereit alkalmazza a fémbeli elektronokra. A kinetikus gázelmélet a gázt igen nagyszámú, kis méret¶ golyóknak tekintette.
A gázrésze skék között a rugalmas
ütközésen kívül más köl sönhatást nem tételezett föl. Ez a közelítés
sak kis s¶r¶ség¶ és nyomású gázokra igaz maradéktalanul. A kinetikus gázelmélet sikeresen értelmezte a gázok nyomását, h®mérsékletét is.
1.1.1. Az elektronok termikus sebessége Mivel a fém kívülr®l elektromosan semleges, ezért atom zikai ismeretek nélkül is nyilvánvaló, hogy a negatív töltés¶ elektronok a pozitív töltés¶ fémionok között mozognak. Az elektronokat tekintsük a gázrésze skékhez hasonlóan ki siny töltött golyóknak (elektrongáz), amelyek egyenesek mentén mozognak mindaddig, amíg a fémkristály pozitív ionjaival nem ütköznek. Ha feltételezzük, hogy az elektronok két ütközés között szabadon mozognak, akkor eltekintünk a közöttük lév® elektron-elektron köl sönhatástól. Ezt a közelítést
ron közelítés nek nevezzük.
Azt, hogy a modellben az elektronok nem
érzékelik a kristályrá s ionjainak elektrosztatikus terét
közelítés nek nevezzük.
független elekt-
szabad elektron
Ez utóbbi úgy indokolható, hogy az elektronok
azért nem érzékelik a pozitív fémionok vonzását, mert az elektronok közötti taszítás kompenzálja azt. Azt is feltesszük, hogy a fém termodinamikai egyensúlyban van, azaz a h®mérséklet a fém minden térfogatelemében azonos. Az ekvipartí ió tétele szerint az elektron minden
1.1.
19
A KLASSZIKUS DRUDE-MODELL
1
termodinamikai szabadsági fokára
1 2
kT
termikus energia jut, így
1 1 m e v 2 = 3 k T. 2 2
(1.1)
Ez alapján az elektron sebessége:
vt =
r
3kT . me
(1.2)
−23 Ahol me az elektron tömege, k a Boltzmann-állandó (k = 1, 38 × 10 −1 Js ), T az abszolút h®mérséklet. v t az elektron ún. termikus sebessége, amely szobah®mérsékleten (T
= 300
K)
v t ≈ 117
km/s.
Ez
a rendkívül nagy sebesség azonban supán két ütközés között, igen rövid
τ
ideig érvényes, ugyanis az elektron ide-oda pattog a kristály-
rá sban elhelyezked® rá sionok között. Ezek az ütközések láthatók az 1.1. ábrán. Az elektron két ütközése között átlagosan
τ
Itt
az ún.
ütközési
vagy
relaxá iós id®, λ
az
λ utat
tesz meg.
átlagos szabad úthossz.
Az elektronok termikus mozgásában kitüntetett irány nin s, eloszlásuk gömbszimmetrikus. Ezt a gömbszimmetrikus sebességeloszlást láthatjuk az 1.1. ábrán. Egyirányú elektronáramlás küls® elektromos tér nélkül nem jöhet létre, mert bármely tetsz®leges irányt tekintve alapul, ugyanannyi elektron mozog a kiválasztott irányban mint azzal ellentétesen.
Viszont a félvezet®k ún. termikus zaja részben a termikus
elektron mozgás következménye.
Az elektronok mozgása küls® elektromos térben Küls® elektromos mez® esetén, az elektron két ütközés között egyenletesen gyorsul (az elektromos térer®sség-vektorral ellentétes irányban), mert állandó küls® er® hat rá, melynek nagysága: elektron
Qe
töltését a továbbiakban
törvényéb®l (F
= m a)
jelöljük.
F = Q e E.
Az
Newton második
kifejezve a gyorsulás:
a= 1
e-vel
eE . me
(1.3)
Termodinamikai szabadsági fok alatt értjük az energia-kifejezésben szerepl®
független négyzetes tagok számát. Azaz egy szabad tömegpontnak három szabad 1 2 2 2 sági foka van: 2 m vx + vy + vz .
20
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
vz az elektron trajektóriája
vy vx
ion
1.1. ábra.
Bal oldalt:
az elektronok szóródása a fémen belül; jobb oldalt:
a Des art-koordinátarendszer origójába helyezett termikus sebességvektorok végpontjai egy gömbfelületen helyezkednek el mert minden irányban mozog elektron
Két ütközés között az elektron maximális sebessége:
vmax = a τ = A
τ
eE τ. me
(1.4)
ütközési id® kifejezhet® az átlagos szabad úthossz és a termikus
sebesség hányadosaként:
τ = λ/v t .
Ez azért tehet® meg, mert mint
kés®bb látni fogjuk az ütközésekért els®sorban a termikus mozgás (nem pedig a küls® térb®l nyert sebesség) a felel®s. Így a maximális sebesség:
vmax =
eE λ . me vt
(1.5)
Mivel a maximális sebesség a termikus sebességgel fordítottan arányos, várható, hogy értéke jóval kisebb mint a termikus sebesség.
Mivel a
kristályrá s ionjai jóval nagyobb tömeg¶ek mint az elektronok, az ütközés során az elektronok az elektromos tért®l nyert mozgási energiájukat elveszítik.
1.1.2. Az elektronok drift sebessége Az elektron átlagos (más szóval sodródási),
Drift
sebességét tüntettük
fel a 1.2. ábrán. A drift sebesség az elektron minimális és maximális sebességének számtani közepe:
eE λ eE λ /2 = vD = 0 + . me vt 2 me vt
(1.6)
1.1.
21
A KLASSZIKUS DRUDE-MODELL
A drift sebesség vektoriális felírásánál gyelembe vesszük, hogy az elektron töltése negatív:
vD = −
eλ E. 2 me vt
(1.7)
v vmax vD t
τ 1.2. ábra.
A sodródási sebesség értelmezése mint a minimális és a maximális
sebesség számtani közepe
Habár pontosabb számítások szerint
vD =
vD
ezen érték kétszerese
eE λ , me vt
(1.8)
a további meggondolásaink során a korábbi eredményünket használjuk fel. Különböz® fémekre a
λ és τ értéke más és más. Általában az elekt0, 1 m/s-nél kisebb érték¶. Az elektronok
ronok sodródási sebessége
lassú mozgása a fémkristályban nin s ellentmondásban azzal a tapasztalati ténnyel, hogy egy vezetékben a küls® elektromos tér rákap solása után a forrástól nagyon távol is szinte azonnal bekövetkezik az elektronok elmozdulása. Az elektromos áram nem más, mint egy másodper alatt, egységnyi felületen a küls® elektromos tér által áthajtott elektronok száma.
J
árams¶r¶ség vektor kifejezhet® az
sebesség és az
e
ne
elektrons¶r¶ség, a
vD
A
drift
elektron töltés szorzataként:
J = −ne e v D .
(1.9)
22
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
A drift sebesség gyelembevételével az árams¶r¶ség és a küls® elektromos tér közötti összefüggéshez jutunk:
J=
n e e2 τ E. 2 me
(1.10)
Könny¶ belátni, hogy ez a kifejezés a dieren iális Ohm-törvény
σ E,
J =
ahol
σ= Itt bevezettük a
e τ 2 me
(n e e) = µ e (n e e) .
(1.11)
µ e kifejezést, amely az elektron mozgékonysága.
Érde-
kes, hogy az elektronok sebességeloszlásának már igen sekély mérték¶ megzavarása is elegend® nagy árams¶r¶ségek létrehozásához.
⋆
Hidrodinamikai analógia
Az elektronokat töltött folyadéknak tekintve is eljuthatunk a
vD
drift sebesség
fogalmához. Írjuk fel Newton törvénye alapján az elektron mozgásegyenletét:
me
dv = e E. dt
(1.12)
Tegyük fel, hogy az elektron viszkózus elektronfolyadékban mozog, amely sökkenteni igyekszik az elektron sebességét. A folyadék sebességgel arányos közegellenállást fejt ki, ahol az arányossági tényez®t
ζ -val
jelöljük. Így ez az er®
F = m ζ v.
Ekkor a mozgásegyenlet alakja:
me
dv = e E − m e ζ v. dt
(1.13)
Abban a határesetben mikor a viszkozitás dominál, a küls® tér teljes egészében a súrlódási er® legy®zésére fordítódik, az elektron nem gyorsul
m e d v/d t
a = 0.
Ekkor az
szorzat zérus. Így,
m e ζ v = e E,
(1.14)
amelyb®l az elektron drift sebessége:
v=
e 1 E me ζ
(1.15)
Eredményünk akkor van teljesen összhangban korábbi meggondolásainkkal ha, az
ζ
arányossági tényez® éppen
v t /λ-val
egyenl®.
1.1.
23
A KLASSZIKUS DRUDE-MODELL
1.1.3. A Joule-Lenz törvény Jól ismert, hogy egy ohmikus ellenálláson ség egyenesen arányos az átfolyó
t id® alatt fejl®d® h®mennyi-
R
ellenállás nagyságával és az ellenálláson 2 áram er®sségének négyzetével W h® (t) = I R t. A klasszikus
I
elektronelmélet alapján az elektron a két ütközés között az elektromos térb®l nyer energiát. Ez az energia az elektron gyorsítására fordítódik és a maximális mozgási energiával egyezik meg.
W1 =
1 1 1 e2 E 2 2 e2 τ 2 2 m e v max 2 = m e (a τ )2 = m e τ = E 2 2 2 m2e 2 me
Egységnyi térfogatban,
ne
számú elektron
τ
(1.16)
ütközési id® alatt fejl®d®
h®teljesítménye:
p=
∆W n e W1 n e e2 τ 2 E = σ E2 = = ∆t τ 2 me
(1.17)
A klasszikus elektronelmélet alapján tehát az egységnyi térfogatban, 2 két ütközés között fejl®d® p h®teljesítmény σ E . Tekintsünk egy A keresztmetszet¶, Adott
pV t
t
l
hosszúságú vezet®t, melynek térfogata
id®tartam során,
V
V = A l.
térfogatban fejl®dött h®teljesítményt a
mennyiségek szorzataként számíthajtuk ki:
2 1 U Alt W h® (t) = p V t = σ E A l t = ρ l U2 U2 t = t = I 2 R t. = l R ρA 2
(1.18)
(1.19)
Feltételeztük, hogy a vezet®ben az elektromos tér homogén, azaz ér-
U = E l összefüggés. Továbbá, hogy az ohmikus ellenállás R = ρ Al összefüggés alapján számítható, ahol ρ = 1/σ a fajlagos
vényes az az
ellenállás.
⋆
A váltóáramú vezet®képesség
A Drude-modell keretén belül az id®ben
ω
körfrekven iával változó elektromos tér
esetére is meghatározható a vezet®képesség. Mivel az elektromos térb®l nyert im-
24
FEJEZET 1.
pulzus átlagosan
τ
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
id®nként disszipálódik a rendszerb®l, az elektron mozgásegyen-
letét a következ® alakban írjuk fel:
me
d vD m e vD = −e E − . dt τ
(1.20)
Az id®beli változást mindkét mennyiségre (sebesség, térer®sség)
exp(−i ω t)
alakúnak feltételezve az amplitúdókra a következ® egyenletet írhatjuk
fel:
−i ω v(ω) = −e E(ω) − Mivel az áram
j = e ne vD , vD
helyére
v(ω)-t
J(ω) = −ne e v(ω) =
m e v(ω) . τ
(1.21)
behelyettesítve kapjuk, hogy:
ne e 2 E(ω), me (1/τ − i ω)
(1.22)
amib®l a frekven iafügg® vezet®képességre
σ(ω) =
ne e 2 σ0 = me (1/τ − i ω) 1 − i ωτ
(1.23)
adódik. A komplex vezet®képességet valós és képzetes részekre bontva: Re
{σ(ω)} =
σ0 1 − (ωτ )
Im
2
{σ(ω)} =
σ0 ωτ
(1.24)
2
1 + (ωτ )
Ezek frekven iafüggését a 1.3. ábrán láthatjuk. A vezet®képesség valós része van
σ Re σ Im σ
ω
1/ τ
1.3. ábra. A vezet®képesség valós és képzetes részének frekven iafüggése
kap solatban az ellenállással, az energia-abszorb ióval, ami a Joule-h®t okozza. Az
ω = 0-nál
megjelen® Lorentz-jelleg¶ sú sot
Drude- sú snak
nevezzük.
ven iafüggés félértékszélességét a relaxá iós id® határozza meg, imaginárius résznek viszont
ω/τ = 1-nél
van maximuma.
A frek-
∆ω ∼ 1/τ .
Az
1.1.
⋆
25
A KLASSZIKUS DRUDE-MODELL
A klasszikus elektrongáz nagyfrekven iás viselkedése
Az el®z® tárgyalás sak viszonylag ala sony frekven iákon érvényes. Magasabb frekven iákon az elektromágneses tér mágneses komponense jelent®ssé válik. Ilyenkor a Maxwell-egyenletek teljes rendszerét kell használni. A levezetés részleteit®l eltekintünk sak az eredményekre szorítkozunk. A számítások alapján a permittivitás frekven iafüggése a következ®:
ε(ω) = ε0 ahol
ωp2 = ne e2 /ε0 me .
ωp2 1− ω (ω + i/τ )
,
Olyan nagy frekven iáknál, ahol az
ε(ω) = ε0 Megmutatható, hogy
!
ω = ωp
ωp2 1− 2 ω
!
(1.25)
ωτ ≪ 1 feltétel
.
teljesül,
(1.26)
frekven iánál longitudinális rezgés terjedhet az elekt-
rongázban. A rendszerben a longitudinális elektromos tér küls® gerjesztés nélkül is jelen lehet, amely az elektronrendszer s¶r¶ségének osz illá iójával kap solatos.
plazmarezgéseknek vagy Langmuir-rezgéseknek, az ωp frekvenplazmafrekven iának nevezzük. Normál fémeknél ωp ≈ 1016 rad/ s.
Ezeket a rezgéseket
iát pedig
A szilárd testek optikai tulajdonságaiban a plazmafrekven ia lényeges szerepet játszik.
A plazmafrekven iánál kisebb frekven iájú, az optikai tartományba
es® elektromágneses sugárzás a szilárd testbe gyakorlatilag nem hatol be, teljesen visszaver®dik.
Ez okozza a fémek fémes színét.
Nagyobb frekven iájú sugarak
számára a fémek viszont átlátszóak.
1.1.4. A Wiedmann-Franz törvény Tapasztalati tény, hogy ugyanakkora h®mérséklet¶ fém és m¶anyag tárgyat megérintve a fémet hidegebbnek érezzük. Ennek oka az, hogy a fémek h®vezetése sokkal jobb mint a m¶anyagoké. H®vezetés a termikus energia sere azon módja, mikor az energia egy közegben úgy áramlik, hogy a közeg része skéi (pl. a fém rá sionjai) makroszkopikus méretekben nem mozdulnak el (nin s konvektív áramlás).
A h®vezetés alaptörvénye Egydimenzióban a h®vezetés alaptörvénye a következ®:
Φ = −κ A
dT , dx
(1.27)
26
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
a h®áramot, κ az ún. fajlagos h®vezet®-képességet [κ] = −1 dT −2 W m K , A a h®áramlásra mer®leges felületet, pedig az ún. h®dx mérsékleti gradienset jelenti. κ számértékileg azzal a h®mennyiséggel
ahol
Φ
egyezik meg, amely az adott anyagból készült, oldalán tökéletesen elszigetelt rúd egységnyi keresztmetszetén, egységnyi hosszra jutó egységnyi h®mérséklet-különbség hatására egységnyi id® alatt átáramlik. Mivel a fémek közismerten jó vezet®k a m¶anyagok pedig szigetel®k, a h®vezetés és az áramvezetés között kap solat van. Ezt a kap solatot fejezi ki az ún. Wiedmann-Franz törvény. Az és a
σ
κ
h®vezetési együttható
fajlagos vezetés hányadosa mérések alapján a h®mérséklettel
egyenesen arányos.
κ = C WF T σ , ahol
C WF
(1.28)
arányossági együttható az ún. Wiedmann-Franz konstans, C WF = 2, 31 × 10−8 W s−1 K−2 . Drude 1900-ban
melynek nagysága
a klasszikus elektronelmélet alapján magyarázta a Wiedmann-Franz törvényt. A következ®ekben Drude gondolatmenetét követjük. Egyensúlyban egy elektron átlagos kinetikus energiája az ekvipartí ió-tétele 3 k T -vel egyenl®. A CV állandó térfogathoz tartozó alapján W = 2 mólh®t pedig a következ®képp számoljuk:
CV = ne
dW 3 = ne k dT 2
(1.29)
Tegyük fel, hogy a h®t kizárólag elektronok közvetítik, amelyek egy-
x-tengely mentén mozdulnak x-tengely mentén két közeli pont
dimenzióban, az
el. Feltesszük, hogy a
h®mérséklet
között lassan változik.
Válasszunk ki egy olyan intervallumot, amely terjed (λ átlagos szabad úthossz).
(x − λ)-tól (x + λ)-ig
A kinetikus energia az interval-
W − (d W/d x) λ, W + (d W/d x) λ. A kinetikus enermegváltozása ebben az intervallumban: 2 (d W/d x) λ. A kinetikus
lum határain gia
gázelméletb®l ismert, hogy egy adott irányban áramló gázrésze skék 1 száma n e v t . Ezek alapján az egységnyi felületen áthaladó energia6 áram w = Φ/A:
1 w = ne vt 2 6
dW dx
1 λ = ne vt 3
dW dx
λ.
(1.30)
1.1.
27
A KLASSZIKUS DRUDE-MODELL
A h®vezetés alapegyenletéb®l következ® energiaáram pedig:
w=κ
dT dx
.
(1.31)
A két energiaáramra vonatkozó egyenlet összevetéséb®l kapjuk, hogy
1 κ = ne vt 3 Ezt és a korábbiakban a
σ
dW dT
1 λ = ne vt λ k 2
(1.32)
fajlagos ellenállásra kapott eredményt föl-
használva a kétféle vezetés hányadosa a következ®:
1 ne vt λ k 3 κ = = 2 2 σ n e e τ /m e 2
v 2t = 3 k T /m e arányos és a CWF
2 k T. e τ = λ/v t .
(1.33)
Felhasználtuk, hogy
és
a h®mérséklettel
konstans a Boltzmann állandót
A kétféle vezetés
és az elektron töltését tartalmazza. Drude elmélete alapján C WF = 3/2 (k/e)2, amelynek értéke 1, 22 × 10−8 Ws−1 K−2 . Ez az érték nagyságrendileg egyezik a kísérletileg meghatározott értékkel. A múlt szá-
zad elején úgy gondolták, hogy mindez az elektron része skemodelljét támasztja alá.
Viszont a mérések alapján
C WF
különböz® fémekre
kissé más és más érték¶nek bizonyult. A legproblematikusabb a fémek és a szigetel®k mólh®jének kérdése volt.
A klasszikus zika alapján
3R járulékot ad a Dulong-Petit R-rel jelöltük az univerzális gázállandót. Egy 3R = 3 n k , ahol n az egységnyi térfogatban lév®
a fémek mólh®jéhez a fémkristály is szabálynak megfelel®en. mólra vonatkoztatva
atomok száma. Ezek alapján azt várjuk, hogy az alkáli fémek mólh®je
%-kal nagyobb mint a szigetel®k mólh®je ugyanis az alkáli fémek szabad elektronjainak száma megegyezik az atomok számával (n e = n).
50
Ezt a várakozást azonban a mérések nem igazolják, ugyanis a fémek és a szigetel®k mólh®je közel azonos.
1.1.5. A termikus elektronemisszió Az elektronok a pozitív ionokból álló fémrá sból poten iálgödörb®l ala sony h®mérsékleten nem tudnak kilépni. Az elektronok kilépéséhez
28
WK
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
nagyságú gerjesztés szükséges.
W K -t kilépési munkának
nevezzük.
Ha az elektronok termikus gerjesztés hatására hagyják el a fémkristály felületét, akkor ún.
termikus elektronemisszió ról
beszélünk.
A
termikus elektronemisszió a folyadékok párolgásához hasonló jelenség, ezért föltesszük, hogy érvényes a folyadékokra vonatkozó ún. ClausiusClapeyron-egyenlet:
W dp = dT (V − V ′ ) T d p/d T n A WK
(1.34)
a nyomás h®mérséklet szerinti deriváltja. Jelen esetben
W =
a mólnyi mennyiség¶ elektron kilépéséhez szükséges munkát ′ jelenti. V az elektrongáz móltérfogata a fémen kívül, V pedig a fé-
men belül.
Ez utóbbit elhanyagoljuk mert az elektrongáz térfogata
több nagyságrenddel nagyobb a fémen kívül mint belül. Az ideális gázok termikus állapotegyenletéb®l (p V
= nA k T)
az elektrongáz fémen
kívüli térfogatát kifejezzük:
V =
nA k T , p
(1.35)
majd a Clausius egyenletbe írva kapjuk, hogy:
dp nA WK = nA kT dT T p
(1.36)
Egyszer¶sítés után a következ® dieren iálegyenlethez jutunk:
dp p WK = . dT k T2
(1.37)
Megmutatható, hogy a dieren iálegyenletet kielégíti a p(T ) = K függvény. Ebb®l az ún. termikus elektronárams¶r¶ség: C exp − W kT K . C, K h®mérséklett®l független konstansok. J(T ) = K exp − W kT Ezt az összefüggést nevezik. Nagy pontosságú
Ri hardson-formulának
mérések alapján a Ri hardson formula elég jól egyezik a tapasztalattal, de nem pontosan. Kvantumme hanikai számítások szerint lásd 2 kés®bb K valójában nem konstans, hanem T -el arányosan függ a h®mérséklett®l.
1.1.
29
A KLASSZIKUS DRUDE-MODELL
1.1.6. A Hall-eektus Bizonyos típusú anyagoknál az áramvezetés nem magyarázható pusztán elektronok transzlá iós mozgásával. Ha egy árammal átjárt fémlemezet mágneses mez®be helyezünk, a lemez alsó és fels® széle között poten iálkülönbség lép fel. Ezt az áram irányára mer®leges (transzverzális) elektromos mez® miatt kialakuló feszültséget Hall-feszültségnek, a feszültség megjelenését Hall-eektusnak nevezzük. Az eektus részletesebb vizsgálatához tekintsük a 1.4. ábrát, amely egy árammal átjárt téglalap alakú vezet®t ábrázol. A vezet®t síkjára mer®leges (y tengely irányába mutató) mágneses mez®be helyeztük. Az elektronok a te hnikai áram irányával ellentétesen (az ábrán balról jobbra
z
tengely irányába mozognak).
A negatív töltés¶ mozgó
elektronokra ható mágneses er®:
F m = −e (v D × B).
(1.38)
X fémlemez elektronok
U
Y
Z
I
vD
B EH
1.4. ábra. A Hall-feszültség mérésére szolgáló elrendezés sematikus rajza
Ez a mágneses er® az elektronok fölhalmozódásához vezet a fémlap föls® határán. A mágneses er® irányát úgy kapjuk, hogy kisebb szög mentén
B -vektorba
2
forgatjuk.
v D -vektort
a
Ha a fémlap küls® tér nél-
kül elektromosan semleges volt, akkor az elektronok fölhalmozódása 2
Jelen esetben ez a forgatás az óramutató járásával ellentétes irányú, azaz egy
jobbmenet¶ savart a negatív
x-irányba
mozgat. Vigyázzunk ez az irány pozitív
elektromos töltésre vonatkozik. Az elektronra ható er® ezért pozitív
x-irányú!
30
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
pozitív ionok visszamaradásával jár együtt a fémlap alsó felén.
Az
elektronok nem halmozódhatnak föl korlátlan mennyiségben, ugyanis a töltésszétválasztás során olyan elektrosztatikus tér jön létre a fémlap alsó és föls® széle között, amely gátolja a további elektronfölhalmozódást. A kétféle er® egyensúlyba kerül, amikor
E H = v D B. E H er®sség.
e E H = e v D B.
Ekkor
az eektusra jellemz® transzverzális elektromos tér-
Korábban már rámutattunk az árams¶r¶ség és a sodródási
sebesség közötti kap solatra:
EH =
J = n e e v D.
Ennek fölhasználásával:
J B = R H J B. ne e
(1.39)
R H -t Hall koe iensnek nevezzük. A kísérlet során lehet®ség van az E H transzverzális térer®sség, a J árams¶r¶ség és a B mágneses induk ió mérésére. Ezek alapján R H meghatározható. Ebb®l a vezetési elektronok kon entrá iójára következtethetünk különböz® anyagú vezet®k esetén. A 1.1. táblázatban föltüntettük a kísérletileg mért és elméletileg számolt
RHth
RHexp
Hall koe ienst.
1.1. táblázat.
elem
RHexp −10 [10
RHth
elem
3 m /As℄
RHexp −10 [10
RHth
3 m /As℄
Li
-1,7
-1,31
Be
+2,4
-0,25
Na
-2,1
-2,36
Cd
+0,53
-0,65
K
-4,2
-4,46
In
+1,77
-0,54
Cu
-0,54
-0,74
Zn
+1,0
-0,46
Ag
-0,88
-1,04
As
+45
-0,5
Au
-0,72
-1,05
Sb
+216
-0,43
Al
-0,35
-0,34
Bi
-7350
-0,44
Meglep® módon bizonyos fémekkel (Be, Cd) és félvezet®kkel (Si, Ge) végzett mérések során a transzverzális térer®sség iránya éppen ellentétesnek adódott azzal az iránnyal amire meggondolásainkból következettünk. A mérések aprólékos analízise alapján arra a következtetésre jutottak, hogy ez semmiképpen sem lehetett mérési hiba következménye. Ezt a jelenséget oly módon magyarázhatjuk, hogy bizonyos
1.1.
31
A KLASSZIKUS DRUDE-MODELL
anyagokban a negatív töltés¶ elektronokon kívül pozitív töltéshordozók is szerepet játszanak az elektromos vezetésben. A kés®bbiek során ezeket a pozitív töltéshordozókat lyukaknak nevezzük és megvizsgáljuk szerepüket az elektromos vezetés során.
1.1.7. A Drude-modell elégtelensége Az elmélet két alapvet® paramétere a vezetési jelenségekben részt vev® elektronok
ne
s¶r¶sége, illetve a
τ
relaxá iós id®.
Ezeket a paramé-
tereket nem ismerjük. Az elektrongáz s¶r¶sége atom zikai ismeretek birtokában ezerszer s¶r¶bbnek adódik mint a normál állapotú ideális gázoké. Ezért az elektronok között biztos, hogy a rugalmas ütközésen kívül az elektron-elektron köl sönhatást is gyelembe kell venni. Egy vegyérték¶ fémekre nagyon jó közelítésnek látszik az, ha atomonként egy elektront tekintünk szabadnak. Több vegyérték¶ fémeknél már egyáltalán nem világos, hogy mely elektronok szabadok, s melyek tartoznak az atomtörzshöz. Súlyos nehézséget jelent a fémek ellenállásának h®mérsékletfüggése és a kristályok mólh®jének értelmezése. A klasszikus elektronelmélet szerint az ohmikus ellenállás
√
T -vel
arányos.
rint viszont a fémek ellenállása inkább
T -vel
A tapasztalatok szearányos.
Tapasztalati
tény, hogy félvezet®k elektromos ellenállása a h®mérséklet növekedésével sökken. Az ún. termisztorok m¶ködése ezen alapszik. A Drudemodell ezt a jelenséget nem tudja magyarázni. A klasszikus zika (a Durde-modellen túlmen®) nehézsége a kristályok mólh®jének értelmezése. Erre a korábban már említett függést kaptuk.
Mérések alapján viszont
CV
3R
össze-
ala sony h®mérsékletek
felé egyre kisebb érték¶ és az abszolút zérus ponthoz közeledve nullához tart. A mólh® viselkedését ala sony h®mérsékleten Einstein majd még pontosabban Debye magyarázza meg.
32
FEJEZET 1.
1.2.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
A kvantumme hanika alapjai
A XX. század elejére egyre inkább világossá vált, hogy az elemi része skék szintjén a makroszkopikus testek mozgásait leíró klasszikus me hanika nem alkalmazható. Mivel eddig az áramvezetés értelmezésénél a klasszikus zika törvényeib®l indultunk ki, feltételezhet®, hogy a nehézségek a klasszikus tárgyalásmód következményei. A kvantumme hanika nem sak arra mutatott rá, hogy bizonyos klasszikus zikai fogalmak a mikrorésze skék szintjén (pl. trajektória, er®) nem értelmezhet®k, hanem arra is, hogy addig ismeretlen, új törvények (pl. határozatlansági relá ió, Pauli-féle kizárási elv) a meghatározók.
1.2.1. A trajektória a klasszikus zikában A kvantumme hanikában nem tudjuk az elektron pályáját és így a trajektóriáját sem értelmezni. Idézzük föl, hogy mit is jelent a trajektória a klasszikus me hanikában. A része skék teljes energiája a mozgásból származó kinetikus energia (W k ) és a térbeli helyzettel összefügg® poten iális energia (V ) összege:
W = W k + V. Ha
(1.40)
v
a része ske sebessége az adott id®pontban, 2 akkor W k = m v /2:
W = amit a
p = mv
m
pedig a tömege,
1 m v 2 + V, 2
(1.41)
impulzus bevezetésével a következ® alakba írhatunk:
W =
p2 + V. 2m
(1.42)
Egyenleteink alapján felírható a következ® dieren iálegyenlet:
dx = dt
2 (W − V ) m
1/2
.
(1.43)
1.2.
33
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
x(t)
v(t) t
0
x(t)
v(t)
t
0
1.5. ábra. Harmonikus rezg®mozgás pozí ió-id® és sebesség-id® függvénye, a mozgást
v(t)-x(t)
síkon ábrázolva ellipszist kapunk
Ha ezt az egyenletet adott energiaérték feltételezésével megoldjuk, az
x(t)
függvényb®l a része ske tetsz®leges id®pontbeli helyzetét meg-
határozhatjuk. A 1.5. ábrán egy harmonikus rezg®mozgást végz® test tipikus
x(t), v(t)
függvényeit ábrázoltuk.
Az adott id®pillanatra vonatkozó
x
értéket a
V
poten iális ener-
gia kifejezésbe beírva megkapjuk a része ske pillanatnyi sebességét és ezzel pillanatnyi impulzusát is. Minthogy az
x(t)
és a
p(t) értékek
hal-
maza de ní ió szerint a része ske trajektóriája, utolsó egyenletünk a trajektória pontos meghatározását teszi lehet®vé. A klasszikus me hanika alapegyenlete Newton második axiómája kimondja, hogy a része ske impulzusának id®szerinti deriváltja egyenl® a része skére ható
F
er®vel:
d p (t) = F (r, t) . dt
(1.44)
Ezt sok esetben a következ® alakban használjuk:
m
d2 r X = F i. d t2 i
(1.45)
A jobb oldalon a környezet által a része skére kifejtett összes er® vektori ered®je szerepel.
34
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
Annak ellenére, hogy a mikrorésze skék nem ennek a mozgásegyenletnek vannak alávetve, bizonyos határesetben a kvantumme hanika alapegyenlete a klasszikus mozgást eredményezi.
1.2.2. A S hrödinger-egyenlet és a kvantumme hanikai állapot 1900-ban fogalmazta meg
Plan k
az ún. kvantum hipotézist, miszerint
az elektromágneses sugárzás kibo sátása és elnyel®dése sak adagok 3
formájában lehetséges.
Egy adott
ν
frekven iájú sugárzás legkisebb
energiaadagja w = h ν . Itt h az ún. Plan -állandó, melynek értéke h = 6, 626 × 10−34 J Hz−1 , a fénysebesség mellett az univerzális állandók egyike. 1925-ben
Davisson
és
Germer
kísérletileg kimutatta, hogy az
elektronok kristályokról visszaver®dve hullámtulajdonságot mutatnak.
de Broglie 4 szerint, ez azzal magyarázható, hogy minden része skéhez,
az impulzusának ismeretében hozzárendelhet® egy hullám, amelynek hullámhossza:
λ=
h h = . p mv
(1.46)
Tehát de Broglie szerint tehát minden tömeggel rendelkez® objektumhoz egy hullám is tartozik. A makroszkopikus testekhez tartozó hullám hullámhossza azonban olyan ki siny, hogy a hullám sajátosság semmilyen körülmények között nem nyilvánul meg.
Ezzel szemben
az igen pi iny tömeg¶ elektronok hullámhossza már elegend® ahhoz, hogy pl. egy kristályrá
sal köl sönhatásba lépve hullámtulajdonságai megnyilvánuljanak. Nem beszéltünk arról, hogy mit értünk az objektumhoz rendelt hullám alatt. De Broglie elképzelése szerint a része ske és a hullám is önálló létezéssel bíró objektum és a kap solatuk abban áll, hogy a hullámtér mintegy vezeti a része skét a mozgásában. A Born-posztulátumoknál rá fogunk mutatni, hogy az elemi része skék elfogadott kvantumme hanikai értelmezése ett®l eltér®.
Azt viszont
érdemes megjegyezni, az elektront semmiképpen sem tekinthetjük a 3
Ez az eredmény annyira újszer¶ volt, hogy még Plan k is évekig küszködött
azzal, hogy eredményét beillessze a klasszikus zika keretei közé. 4
ejtsd: dö broj
1.2.
35
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
szó hagyományos értelmében hullámnak. A múlt század húszas éveire els®sorban
Heisenberg
és
S hrödinger
által született meg a kvan-
tumme hanika, amely az elemi része skék szintjén (a fénysebességnél kisebb sebesség¶ mozgások esetén) érvényes törvényszer¶ségek elmélete. A kvantumme hanika alapján értelmezhet®vé vált az elektronhéj szerkezete, a kémiai kötések kialakulása, az áramvezetés és a kristályok mágneses tulajdonságai is. Az
m
tömeg¶,
W
energiájú része skék mozgását leíró id®független
S hrödinger-egyenlet:
− ahol
V
~2 ∇ψ(r, t) + V ψ(r, t) = W ψ(r, t), 2m
a része ske poten iális energiája,
~
(1.47)
a Plan k állandó élszer¶
módosítása (h-vonás):
h . 2π
(1.48)
∂ ∂ ∂ i+ j+ k. ∂x ∂y ∂z
(1.49)
~= ∇
ún. nabla-operátor:
∇= ψ(r, t)
az ún. hullámfüggvény, amely megoldása a S hrödinger-egyen-
letnek és bizonyos egyéb kritériumoknak is megfelel. A hullámfüggvény (továbbiakban nin s.
ψ)
komplex függvény ezért, közvetlen zikai értelme
Azonban a hullámfüggvényt feltétlenül kap solatba kell hozni
valamilyen zikai mennyiséggel. A zikai értelmezés
Born -tól szárma-
zik, akit a fényhullámokkal kap solatos analógia vezetett nyomra. A Born-féle értelmezés szerint a hullámfüggvény abszolút értékének négy2 ∗ zete |ψ| (vagy ψ ψ itt a * jel komplex konjugálást jelent) a tér tetsz®-
leges pontjában arányos annak a valószín¶ségével, hogy a része skét e ∗ pont ki siny környezetében találjuk. A ψ ψ mennyiséget
s¶r¶ség nek
valószín¶ség-
nevezzük, hiszen értékét meg kell szorozni egy elemi
dV
térfogattal ahhoz, hogy valószín¶séget kapjunk. A S hrödinger-egyenlet általánosabb, id®t®l függ® alakja:
−
∂ψ ~2 ∇ψ + V ψ = i~ , 2m ∂t
(1.50)
36
⋆
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
Normálás
Ha ψ megoldása a hullámfüggvénynek akkor C ψ is megoldás lesz, ha C konstans. C ψ Cψ ∗ dV éppen egyenl® annak a valószín¶ségével, hogy a része ske a dV térfogatban van. Az ilyen egyedi valószín¶ségeket a teljes térre összegezve egységet kell kapnunk. Annak a valószín¶sége, hogy a része ske valahol a térfogatban van éppen 1 (valahol lennie kell). Ezek alapján:
C2
Z
ψ ∗ ψ dV = 1.
(1.51)
A normálási tényez®:
C=
⋆
s
Kvantálás
R
1 . ψ ∗ ψ dV
(1.52)
A Born-féle értelmezés szigorú követelményeket ró a hullámfüggvényekre.
Alap-
vet® követelmények a következ®k: folytonos, els® deriváltja folytonos, egyérték¶, véges (nem vehet fel végtelen értéket). Ezek a feltételek annyira szigorúak, hogy a része ske energiája általában supán meghatározott (diszkrét) értékeket vehet föl.
⋆
A spin, a Pauli-elv és a határozatlansági relá ió
A tapasztalat szerint az elemi része skék rendelkeznek egy saját mikro zikai paraméterrel, amelyet spinnek nevezünk. A spin az elektron saját impulzusmomen√ 1 3 ~. Ennek valamely kitüntetett irányba es® vetuma, amelynek értéke Ls = 2 tülete s = 1/2. A spin nem vezethet® le a S hrödinger-egyenletb®l, hanem sak a relativisztikus kvantumme hanika alapegyenletéb®l az ún. Dira -egyenletb®l. Az elektronok feles spin¶ része skék ún.
nok nak nevezzük.
fermionok.
Az egész spin¶ része skéket
bozo-
Régen a spin-t az elektron tegely körüli forgásával azonosították,
azonban a spin ilyen interpretá iója nem elfogadható. Egy kvantumállapotban sak két különböz® spin¶ elektron (fermion) tartózkodhat. Ennek következménye, hogy egy atomon belül nem lehet két olyan elektron, melynek mindegyik kvantumszáma megegyezik egymással. Ezt az elvet
Pauli
Wolfgang
ismerte fel, ezért Pauli-elvnek vagy Pauli-féle kizárási elvnek nevezzük.
A
Pauli-féle kizárási elv hátterében az húzódik meg, hogy a spe iális relativitáselmélet miatt egy kételektronos hullámfüggvénynek el®jelet kell váltania, ha az elektronok koordinátáit fel seréljük egymással:
ψ (r1 , r2 ) = −ψ (r2 , r1 ), ahol
r1 , r2
(1.53)
az egyes elektronok helyzetvektorai. Másképp fogalmazva a kételektro-
nos hullámfüggvény antiszimmetrikus. A kés®bbiek során látni fogjuk, hogy leginkább a Pauli-elv ismeretének hiánya okozza a klasszikus elektronelmélet súlyos elégtelenségét.
1.2.
⋆
37
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
A Heisenberg-féle határozatlansági relá ió
Kimutatható, hogy ha egy tetsz®leges állapotú része skén elvégzett koordinátamérések szórása
∆ x,
akkor az ugyanezen állapotú része skén végrehajtott impulzus-
mérések eredményeinek a szórása nem lehet kisebb mint
∆x · ∆px ≥
~/(2 ∆ x)-nél.
~ 2
(1.54)
Ez a matematikai eredmény er®s megkötést jelent az elképzelhet® mér®berendezésekre: nem létezhet még ideális formában sem, olyan mér®eszköz, amellyel egyidej¶leg meg lehetne pontosan mérni egy része ske koordinátáját és impulzusát. Kísérletek alapján igazolható, hogy ez a tulajdonság nem a mér®berendezések sajátsága, hanem a mikrorésze skék klasszikustól gyökeresen eltér® jellegéb®l fakad.
⋆
Hullámfüggvények lineáris szuperpozí iója
A kvantumme hanikában lehet®ség van az állapotok szuperpozí iójára. Ez a kvantumme hanika egyik meglep® következménye. Végezzünk el egy gondolatkísérletet. Vegyünk egy pénzérmét és egy tökéletesen sík felületet. Klasszikus értelemben az érmének két állapota lehetséges, fej vagy írás. állapotokat a következ®képpen: fej:
|feji,
5
írás:
A továbbiakban jelöljük a lehetséges
|írási.
Ezzel szemben egy kvantum
pénzérmének végtelen sok állapota van. Egy állapotnak felel meg a fele részben fej, fele részben írás állapot. De a kett® állapot tetsz®leges szuperpozí iója is állapot. A klasszikus gondolkodás szerint ez azért lehetetlen, mert a fej és az írás egymást
A klasszikus értelemben egymást kizáró jelenségek a kvantumme hanikában nem zárják ki egymást. Matematikailag ezt a szuperpozí iót
köl sönössen kizáró állapotok.
a következ®képpen írhatjuk föl:
ψ = c1 |feji + c2 |írási, Ahol c1 ,
c2
(1.55)
jelenti az állapotok súlyozását. Például az is lehetséges, hogy a része ske
egyszerre a tér több pontjában legyen jelen. Ha
ψ=
X
ci ψi
i
számú állapot lehetséges akkor: (1.56)
i
Niels Bohr véleménye minderr®l: Anyone who is not sho ked by quantum theory has not understood it. (Akit nem sokkol a kvantumelmélet az nem értette meg).
⋆
A kvantumme hanikai mérés
Ha mérést végzünk a rendszeren, az érmét sak fej vagy sak írás állapotban találjuk. Akkor hogy állíthatjuk, hogy a mérés el®tt az állapotok szuperpozí iója is 5
Esetleg meg lehet engedni egy harmadik, nagyon kevéssé valószín¶ állapotot
is, mikor az érme az oldalán áll.
38
FEJEZET 1.
lehetséges volt?
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
Ennek magyarázata abban van, hogy a mérés során a rendszer
állapotának zavarása a szuperponált állapotok összeomlását eredményezi. Eddig sak gondolatban végeztünk mérést, de mi a helyzet valójában? Fotonokkal, elektronokkal és neutronokkal végzett kísérletek során ki tudtak mutatni olyan állapotokat, amelyek kétséget kizáróan sak az állapotok szuperpozí iójának következményeként jöhettek létre. Így az állapotok szuperpozí iója kísérletileg igazolt. A kvantumme hanika törvényeinek helyességét közvetett módon számos tény igazolja pl. a félvezet® áramköri elemek, lézerek, szupravezetés, Bose-Einstein kondenzá ió létezése.
⋆
A koppenhágai értelmezés
A kvantumme hanika szerint az elképzelhet® legtöbb ismeret a része skér®l annak a valószín¶sége, hogy egy mérés során milyen állapotban találjuk.
Tehát nem
tudjuk megmondani, hogy a része ske a mérés során milyen állapotban lesz, sak azt, hogy a lehetséges állapotok közül melyik a legvalószín¶bb. Ha mérést végzünk a hidrogén elektronján, akkor a legnagyobb valószín¶séggel a protontól
0, 059
nm
távolságban találjuk meg. Ezt sokan a klasszikus zikához képesti visszalépésnek tartották vagy tartják a mai napig. Elképzelhet®, hogy a jöv®ben más interpretá iót fogadunk el a koppenhágai értelmezéssel szemben, azonban ez a kvantumme hanika törvényeit nem változtathatja meg.
Különféle kvantumme hanika számítások a
legmesszebbmen®leg egyeznek a kísérletileg mért eredményekkel, s®t általában a számítások pontossága fölülmúlja a legérzékenyebb mérések pontosságát is.
⋆
A szabad része ske hullámfüggvénye
Vizsgáljuk meg a lehet® legegyszer¶bb esetet, mikor a része ske er®mentes térben szabadon mozog. Ekkor a
V
poten iális energia zérus így a S hrödinger-egyenlet:
−
~ d2 ψ = W ψ. 2 m d x2
(1.57)
Ennek a dieren iálegyenletnek a megoldása olyan függvény, melynek második deriváltja önmagával arányos.
Ilyen az exponen iális függvény.
Megmutatható,
hogy a következ® alakú megoldás:
ψ(x) = ei k x = cos(k x) + i sin(k x) eleget tesz a 1.57. egyenletnek. A harmonikus hullám standard jával való egybevetés révén látjuk, hogy
cos(2 π x/λ)
alak-
olyan hullámot ír le, melynek
λ = 2π/k . Mivel a része skének sak mozgási energiája van, a teljes W = p2 /2 m alakba írható. Másrészt viszont az energia és k között az
hullámhossza energia az
cos(k x)
(1.58)
1.2.
39
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
W = k 2 ~2 /2 m
kap solat van, ezért
p = ~k p= A
p
(1.59)
h h 2π · = . 2π λ λ
(1.60)
impulzus kvantumme hanikai alakja tehát összhangban van a de Broglie-
hipotézissel. A szabad része ske hullámfüggvénye tehát egy síkhullám, amely sak ikx a partikuláris megoldása egy általános megoldásnak: A e + B e-i k x .6
Alagúteektus A kvantumme hanika másik érdekes következménye az, hogy egy része ske behatolhat olyan poten iálfalba is melynek magassága nagyobb mint a része ske összenergiája.
S®t keskenyebb szélesség¶ poten iál-
gáton át is haladhat egy alagúton keresztül. A klasszikus zikában
potenciálgát V
W r D 1.6. ábra.
Az alagúteektus során a része ske áthatolhat olyan poten iálfalon,
melynek energiája nagyobb mint a része ske összenergiája
ez jelenség analóg lenne azzal, hogy egy tökéletesen rugalmas golyó valamilyen valószín¶séggel magasabbra pattanhatna mint amilyen magasról elengedjük. hetséges.
Err®l tudjuk, hogy a klasszikus zikában nem le-
A 1.6. ábrán egy szabad része ske poten iálgátba ütközik.
A poten iálgát két oldalán a szabad része skére jellemz® síkhullámok láthatók. Kvantumme hanikai számítások alapján a része ske áthato6
Szigorúan véve ez a megoldás nem elfogadható. Valójában a része ske állapotát
ún. hullám somag írja le, melyben a síkhullám komponensek frekven iája folytonos.
40
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
lódásának valószín¶sége arányos a következ® értékkel:
e ahol
n o √ −D (2m/~2 )(V −W )
,
(1.61)
m a része ske tömege, V a poten iálgát magassága, W a része ske D a poten iálgát szélessége. Vagyis minél nagyobb a ré-
energiája és
sze ske tömege vagy a poten iálgát szélessége annál nehezebben tud a része ske átjutni. Valójában a része ske úgy gy®zi le a poten iálfalat, hogy a környezetéb®l (vákuum uktuá ióból) képes bizonyos mennyiség¶ energiát nyerni. Az alagúteektus fontos szerepet játszik a nukleáris folyamatokban, de mint kés®bb látni fogjuk az alagútdióda m¶ködése is ezen a kvantumme hanikai hatáson alapul.
1.2.
41
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
1.2.3. Az atomi elektronok energianívói Az elektromos vezetési jelenségek során a fémkristály pozitív ionjainak energianívói egymás közelsége miatt megváltoznak. Ez a jelenség
sak az atomok és molekulák elektronhéj szerkezetének ismeretében tárgyalható. Bár a kvantumme hanikában a legegyszer¶bb atom a hidrogénatom tárgyalása meglehet®sen bonyolult meggondolásokat igényel, a megoldás még visszavezethet® ismert függvényekre.
Más szóval a
megoldás analitikusan kifejezhet®. A több elektronos atomok és a molekulák elektronállapotai már nem fejezhet®k ki ismert függvényekkel, hanem egyszer¶sítéseket, közelítéseket igényelnek.
Azonban még az
egyszer¶sített modellek kiértékelése is komoly numerikusan számításokat igényel. Röviden összefoglaljuk a hidrogén atom elektronállapotainak megoldásához vezet® utat. Mivel a proton körüli elektron egy gömbszimmetrikus poten iáltérben mozog, a S hrödinger-egyenletet gömbi koordinátákban élszer¶ megoldani. A
ψ(r, ϑ, ϕ)
hullámfüggvényt szét
lehet választani egy radiális (sugárirányú) és azimutális (szögfügg®)
ψ(r, ϑ, ϕ) = ψ(r) ψ(ϑ, ϕ). A hullámfüggvényre kirótt feltéte(egyérték¶nek kell lennie és r → ∞-ben el kell t¶nnie) abban az
részre: lek
esetben teljesülnek ha
1. Az elektron sta ionárius állapotát három kvantumszám jellemzi:
n
f®,
l
mellék és
ml
mágneses kvantumszám.
n ≥ 1, l ≤ n − 1, |ml | ≤ 1, 2. Az
l
és
ml
(n = 1, 2, 3, . . . ), (l = 0, 1, 2, . . . , n − 1), (ml = −l, −l + 1, . . . , −1, 0, 1, . . . , l − 1, l).
kvantumszámok az elektron teljes impulzusmomentu-
mát, illetve annak egy
z -tengelyre
vonatkozó komponensét hatá-
rozzák meg.
|L| =
p
l(l + 1) ~,
Lz = ml ~,
3. A proton gömbszimmetrikus poten iálterében lév® elektron energiája nem lehet tetsz®leges, hanem sak jól meghatározott (diszk-
42
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
rét) értékeket vehet föl. A nívók
Wn energiáját a következ® össze-
függés határozza meg:
Wn = −
me4 13, 6 1 = − 2 eV. 2 2 2 2 32 π ε0 ~ n n
−19 Egy elektronvolt 1 eV = 1, 6 · 10 J. Látható, hogy a szintek 2 az 1/n miatt egyre bes¶r¶södnek és egy határhoz, az ún.
tinuum hoz
kon-
sorozathatár hoz tartanak. Az elektron kiszakítását a hidrogén mag vonzó teréb®l ionizá iós energiának nevezvagy
zük. A hidrogén ionizá iós energiája 13,6 eV. A kontinuum fölötti energiaszintekhez már folytonos spektrum tartozik. Ennek oka, hogy kontimuum fölött az elektron szabadnak tekinthet® ezért akármilyen energiaértéket fölvehet. A hidrogén atom esetén az energia nem függ sem a mellék, sem a mágneses kvantumszámtól, mászóval a nívók degeneráltak. 4. A legkisebb energiájú pályán kering® elektron legvalószín¶bb távolsága a magtól (Bohr-sugár):
r0 =
4 π ε 0 ~2 ≈ 0, 0529 nm. m e2
A kvantumszámok zikai tartalma Az atom poten iálterében vannak olyan síkok és felültek ahonnan az elektron ki van tiltva. Ezeket somósíkoknak illetve somógömböknek nevezzük. Ezekben a tartományokban az elektron megtalálási valószín¶sége nulla.
i)
A
n
f®kvantumszám dönt®en meghatározza az elektron energiá-
ját.
ii)
Az
l
mellékkvantumszám az elektron-állóhullámok somósíkjai-
nak számát adja meg, és ezzel a hullámfüggvény alakját, az elektron megtalálási valószín¶ségének irányfüggését (anizotrópiáját) jellemzi.
1.2.
43
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
iii)
Az
ml
mágneses kvantumszám az elektron-állóhullámok térbeli
orientá ióját határozza meg. Az elektron mágneses momentumának iránya is kvantált. Ez a jelleg, akkor válik lényegessé ha az atom mágneses térbe kerül.
iv)
Az
s
spinkvantumszám az elektron saját impulzusmomentumá-
nak állását határozza meg.
p
s
proton
d
2
3d y z
3d z
1.7. ábra. Az s, p, d állapotú elektronok megtalálási valószín¶ségének burkolófelületei. A protont fekete ponttal tüntettük föl
A 1.7. ábrán jellegzetes elektronállapotokat tüntettünk fel.
1.2.4. Héjak, alhéjak és a periódusos rendszer Az
n
f®kvantumszám adott értékeihez tartozó atomi pályák együtte-
sen ún. héjat alkotnak. A hidrogénszer¶ atomokban a közös
n értékkel
jellemezhet® atomi pályák energiája megegyezik. Az egymás után következ® héjakat gyakran bet¶kkel is jelölik:
n=
1
2
3
4
...
K
L
M
N
...
44
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
Azokat az atomi pályákat, amelyeknek
n kvantumszáma közös, l
kvan-
tumszáma viszont különbözik, az adott héj különféle alhéjaiba soportosítjuk. Az alhéjakra rendszerint az
s, p, d. . . stb. bet¶jelzést használ-
juk, a következ® megfeleltetés szerint:
l=
0
1
2
3
4
...
s
p
d
f
g
...
Az egyes alhéjakhoz tartozó atomi pályák és elektronok száma:
l→ n↓
0
1
2
3
4
s
p
d
f
g
1K
1
2L
1
3
3M
1
3
5
4N
1
3
5
össz pálya
össz elektron
1
2
7
4
8
9
18
16
32
A vegyértékhéj Az elemek kémiai tulajdonságait általában az atom legnagyobb f®kvantumszámú héjának
ronok
s-
és
p-állapotú
elektronjai, az ún.
vegyértékelekt-
szabják meg. Ezek az alhéjak kett® illetve nyol elektront tar-
talmaznak.
A sokelektronos atomok és a periódusos rendszer A sokelektronos atomok S hrödinger-egyenlete rendkívül bonyolult, mert minden elektron köl sönhatásban van az összes többi elektronnal. Így már a kételektronos hélium atom esetében sem tudunk analitikus képletet megadni. A többelektronos atomokra az ún.
közelítés t
atomipálya-
alkalmazzuk, amely azt feltételezi, hogy minden elektron
önálló atomi pályára kerül.
Az önálló atomi pályák a hidrogénszer¶
pályákhoz hasonlók, de a magtöltés a többi elektron jelenléte miatt módosul. vagy
Ennél pontosabb közelít® eljárás az ún.
Hartree-Fo k-eljárás,
önkonzisztens-tér
amely tulajdonképpen egy olyan iterá iós
módszer, amely gyelembe veszi az elektron-elektron köl sönhatást és a Pauli-féle kizárási elvet is. A módszer részleteit a hivatkozott szakirodalom ismerteti.
A sokelektronos atomoknál a Pauli-féle kizárási
1.2.
45
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
elv miatt nem lehet két olyan elektron, melynek az összes kvantumszáma megegyezik.
Következésképpen minden atomi energiaszintet
négy kvantumszámmal kell jellemezni, vagyis az számokhoz az
ms
n, l, ml
kvantum-
spin kvantumszámot is gyelembe kell venni.
Mi-
vel az alapállapothoz tartozó elektronkon gurá ió a Pauli-féle kizárási elv egyenes következménye, ebb®l következik, hogy az alapállapothoz tartozó energiaérték minimális.
Érdemes megjegyezni, hogy a több-
elektronos atomok esetén az elektron saját spinjéb®l származó mágneses momentum köl sönhat a pályamozgásból származó mágneses momentummal. Ezt spin-pálya satolásnak hívják és ez a hatás felel®s a sokelektronos atomok spektrumában meg gyelhet® nomszerkezet kialakításáért is. Tehát a sokelektronos atomok elektronjait fölfoghatjuk úgy is, mintha az egyes elektronok hidrogénszer¶ pályákon lennének. A többelektromos atomban egy adott n f®kvantumszámhoz tartozó elektronpályák 2 száma n . A mágneses kvantumszám miatt ugyanis minden l értékhez
2l + 1
állapot tartozik, s adott
n
mellett
l
fut végig, a pályák száma:
n−1 X
a
0, 1, 2, . . . , n − 1
(2l + 1) = n2 .
értékeken
(1.62)
l=0
A spin miatt az adott
n
f®kvantumszámmal jellemzett pályákon
2 n2
elektron tartózkodhat. Meg kell határoznunk a hidrogénszer¶ pályák feltölt®désének sorrendjét és így a semleges atom alapállapothoz tartozó kon gurá ióját. Ha egy
Z
Z
rendszámú atommaghoz hozzáadunk
számú elektront az atomi pályák a következ® sorrendben tölt®dnek
fel:
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s. Mindegyik pályán két elektron foglalhat helyet. Ez a feltöltési sorrend közelít®leg megfelel a pályák energetikai sorrendjének is. Az elektronok köl sönhatásából adódóan azonban bonyolító tényez®k is megjelennek. Ezek az egymáshoz közeli energiaszint¶ pályáknál válnak jelent®ssé: pl.
4s
és a
elektron, a
3d-pályákon (Ca, Sr). Az s-alhéjhoz egy pálya, így két p-alhéjhoz három pálya, így hat elektron, a d-alhéjhoz öt
pálya, így tíz elektron tartozhat maximálisan.
46
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
Ha az elektronok egyedül vannak az atomi pályákon, akkor spinjüknek nem kell párosítottnak lennie. Az alapállapotú atomban az elektronok olyan kon gurá iót vesznek fel, melyben a párosítatlan spin¶ elektronok száma maximális. Ezt Hund-szabálynak nevezzük. IA
VIIIA
1
1 H
IIA 4
3
2 Li
Be
B 13
12
11
19
20
37
38
4 K 5 Rb 55
21
Ca Sc 39
Sr
7 Fr
Y
56
Cs Ba 87
IIIB
La−Lu
IVB 22
Ra
Ac−Lr
57
6
24
V
Ti
VIIB VIII 25
26
VIII 27
VIII 28
IB 29
IIB 30
42
72
73
74
43
44
45
46
47
48
49
Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In
Hf Rf
58
Ta 105
Ha
90
75
W Re 106
Unh
59
60
91
92
Ac Th Pa
C 14
N 15
Si 32
VIA VIIA 8
7
Al 31
VA
P 33
9
O 16
S 34
Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se
41
La Ce Pr 89
7
23
VIB
40
104
88
VB
IVA 6
5
3 Na Mg
6
IIIA
107
Uns
76
77
108
109
Os
Uno
Ir
78
79
80
81
Pt Au Hg Ti
50
51
82
83
Sn Sb
Pb
52
Bi Po
He 10
F 17
Cl 35
Ne 18
Ar 36
Br Kr 53
Te 84
2
I 85
54
Xe
86
At Rn
Une
61
62
63
64
65
93
94
95
96
97
66
67
98
99
68
69
70
71
100
101
102
103
Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu U
Np Pu Am Cm Bk Cf
Es Fm Md No Lr
1.8. ábra. A periódusos rendszer
A 1.8. ábrán látható periódusos rendszer oszlopokból és periódusokból (sorokból) épül föl. Az oszlopokat általában római míg a periódusokat arab számokkal látják el. Gyakran a római számok mellett A bet¶vel az ún.
tok at
f® soportok at
B bet¶vel pedig a
mellék sopor-
jelölik. Az oszlopok száma a vegyértékhéjon található elektro-
nok (vagy protonok) számát adja meg, amely egyúttal az adott elem Z rendszámával egyezik meg. Kivételt képez a He, amelynek összesen két elektronja van mégis a nyol adik f® soportban van. Összesen hét periódus van és a periódus száma a f®kvantumszámmal egyezik meg. Egy perióduson belül a rendszám balról jobbra eggyel n®. Az elemek relatív atomtömege általában szintén n®. A Z=18 rendszámig (Ar) az elektronhéjak belülr®l kifelé haladva folyamatosan tölt®dnek fel. Mivel a kémiai tulajdonságokat els®sorban a legküls® héj elektronjainak száma határozza meg, az egy soportban elhelyezked® elemek kémiailag nagyon hasonlóak egymáshoz. Ezeket a tulajdonságokat a bels® héjak különösen a kívülr®l számított második héj elektronjai módosítják. Ez okozza a különbségeket egy soporton belül. A legküls® és
1.2.
47
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
a kívülr®l számított második héj betöltöttsége alapján különböztetjük meg egymástól a f® és mellék soportokat egymástól. A f® soportbeli elemek száma 44, amely 8 f® soportba rendez®dik. Egy perióduson belül a f® soportbeli elemek kémiai tulajdonságai nagyon különböznek. A 1.9. ábrán a jellegzetes f® soportokat emeltük ki. oszlop elemeinek küls® két elektronhéját
s
Az els® két
elektronok alkotják. Ezen
elemek (alkálifémek és alkáliföldfémek) reak ióképessége nagy.
A
p-
állapotok fokozatos betölt®désének megfelel®en az elemek fémes tulajdonságai sökkennek. A VI.A és VII.A oszlopban található elemek (oxigén soport, halogének) kifejezetten nemfémes tulajdonságúak. A nyol adik oszlop elemei, a
nemesgázok kémiailag közömbösek, sak kü-
lönleges körülmények között lépnek reak ióba más anyagokkal. IA
6
VB
VIB
VIIB VIII
VIII
VIII
IB
átmeneti fémek
IIB
VIA VIIA
nemesgázok
IVB
VA
halogének
IIIB
bórcsoport
4 5
alkálifémek
3
alkáliföldfémek
2
IVA
oxigéncsoport
IIIA
széncsoport
IIA
1
nitrogéncsoport
VIIIA
7 6
lantanidák
7
aktinidák transzurán elemek
1.9. ábra. A nevezetes soportok a periódusos rendszerben
A mellék soportba tartozó 63 elem 8 mellék soportba rendezhet®. Ezeket az átmeneti elemeket az jellemzi, hogy az el®ttük álló f® soportbeli elemek kívülr®l számított második és harmadik betöltetlen elektronhéja egymás után a teljes betöltöttségig feltölt®dik. A lantanoidák (lantanidák) átmeneti elemeinek nagy részénél el®ször a kívülr®l számított harmadik, majd a kívülr®l számított második héj tölt®dik fel. Az aktinoidák (aktinidák) egy részénél el®ször a kívülr®l számított második héj, majd a bels®bb héjak tölt®dnek fel. Mivel a kívülr®l számított második héj betölt®dése az elemek ké-
48
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
miai tulajdonságit sak kis mértékben befolyásolja, ugyanazon periódus átmenetei elemei nem különböznek olyan nagy mértékben egymástól, mint a periódus f® soportbeli elemei. Emiatt az átmeneti elemek periodi itása sekély mérték¶. Meg kell jegyeznünk, hogy azokat az atomokat, amelyekben a protonok száma azonos, a neutronok száma viszont különböz®,
izotópoknak
nevezzük. Pl. a hidrogénnek két izotópja ismert, a D deutérium a proton mellett egy neutront, a T trí ium két neutront tartalmaz. Egyazon elem izotópjai kémiailag azonosak. A kristályok szerkezetének ismerete az elektromos vezetés szempontjából nagyon fontos. Ugyanis a fémek polikristályos szerkezet¶ek. Ez sok egymás mellé dermedt egykristályt jelent, melyeket ún.
határok
szem se-
választanak el egymástól. Azonban a kristályok elektronszer-
kezete nem érthet® meg a molekulák elektronszerkezetének minimális szint¶ ismerete nélkül.
⋆
molekulák elektronrendszere
A molekulák szerkezetének kvantumme hanikai leírását szintén bizonyos közelítések keretében szokták tárgyalni.
A
Born-Oppenheimer-közelítés
szerint pl. a H2
molekulaion elektronját úgy tekinthetjük, mintha nyugvó protonok terében mozogna.
Így a magok közötti
r0
távolságot rögzítjük, és a S hrödinger egyenletet
sak az elektronra oldjuk meg.
elektron
r1
r
Proton 2
Proton 1
r0 2
r2
r0
r0 2
1.10. ábra. A hidrogén molekulaion energiakifejezésében szerpl® koordináták
A hidrogén molekulaion poten iális energiáját két vonzó entrum, a két pozitív töltés¶ proton alakítja ki, ahogy a 1.11. ábrán láthatjuk. A rendszer energiakife-
1.2.
49
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
jezésében gyelembe vesszük, hogy mindkét proton vonzza az elektront, viszont a protonok egymást taszítják.
V r0 r
0
P2
P1
1.11. ábra. A hidrogénmolekula poten iáltere
A 1.10. ábra jelöléseit követve a rendszer teljes energiája:
e2 p2 + W = 2m 4πǫ0 ahol r1 ,
1 1 1 − − r0 r1 r2
r2 az elektron távolsága az egyes protonoktól.
,
(1.63)
Általában a Born-Oppenheimer
közelítésen túl újabb közelítést kell alkalmazni. Ez az ún. LCAO-MO módszer. Ez azt jelenti, hogy a molekulapályákat atomi pályák linárkombiná iójaként kívánjuk el®állítani. Amikor az elektron az egyik protonhoz (P1 ) van közel, úgy tekintjük mintha sak annak a terében lenne. Ez így nyilvánvalóan hidrogénre jellemz® atomi pálya. Ugyanez a meggondolás igaz, ha az elektron a másik protonhoz van közel. A teljes hullámfüggvény a két 1s jelleg¶
ψ1 s
atomi pálya lineárkombiná iója:
ψ = C ψ1 s (P1 ) + ψ1 s (P2 )
(1.64)
A 1.12. ábrán a hidrogén molekulaion köt® és lazítópályáit láthatjuk.
ψ
ψ kötõpálya
lazítópálya
r 1.12. ábra. Köt® és lazító molekulapályák
r
50
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
Megmutatható, hogy bizonyos proton-proton távolság esetén a két proton közötti térrészben az elektron megtalálási valószín¶sége konstruktív interferen ia révén megnövekszik. Az elektron megtalálási valószín¶ségs¶r¶sége:
|ψ|2 = C 2 |ψ1 s (P1 )|2 + |ψ1 s (P2 )|2 + 2 |ψ1 s (P1 )| |ψ1 s (P2 )| . | {z }
(1.65)
er®sít® interferen ia
Ez a többlet elektrons¶r¶ség leárnyékolja a magok közötti taszítást és dönt®en hozzájárul a kötés kialakításához. Az ilyen típusú pályát köt®pályának nevezzük. Azt a proton-proton távolságot, amikor a molekula energiája minimális ún. egyensúlyi kötéshossz nak nevezzük. Az egyensúlyi kötéshossznál kisebb távolságon belül már a protonok közötti taszítás válik egyeduralkodóvá (lásd az 1.13. ábrát).
ψ
W konstruktív interferencia
egyensúlyi kötéshossz
r
r
1.13. ábra. Balra: a konstruktív interferen ia következtében megjelen® pályaátfedés a hidrogén molekulaion protonjai közötti térben. Jobbra: Poten iális energia, egyensúlyi kötéshossz
A kvantumme hanika szerint a hidrogénszer¶ pályákat a következ®képpen is lehet szuperponálni:
ψ = C {ψ1 s (P1 ) − ψ1 s (P2 )} .
(1.66)
Ez a pálya energetikailag kedvez®tlenebb (nagyobb energiájú) a köt® pályához képest, s®t a protonok közötti térrészb®l az elektronok destruktív interferen ia miatt kiszorulnak. Így a magok vonzását leárnyékoló stabilizá ió sem jön létre. Az ilyen típusú pályát
lazítópályának
nevezzük. Az elektron megtalálási valószín¶ség-
s¶r¶sége:
|ψ|2 = C 2 |ψ1 s (P1 )|2 + |ψ1 s (P2 )|2 − 2 |ψ1 s (P1 )| |ψ1 s (P2 )| . | {z }
(1.67)
gyengít® interferen ia
Ha a molekulapályákat atomi pályák szuperpozí iójaként keressük, akkor mindig egyenl® számú köt®- és lazítópálya keletkezik. Az azonos atomokból álló kétatomos molekulák létrejöttét úgy képzeljük, hogy az elektronok mindig az ala sonyabb
1.2.
51
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
energiájú köt®pályákat töltik be, s sak akkor lépnek lazítópályára, ha a köt®állapotok mind foglaltak. Két atom akkor kap solódik molekulává, ha a köt®állapotok száma nagyobb mint a lazítópályák száma. A 1.13. ábra jobb oldalán föltüntettük, hogy a hidrogén molekulaion poten iális energia függvényének minimuma van. A minimum környezetében a poten iál jó közelítéssel parabolikusnak vehet®. Az atommagok az egyensúlyi kötéshossz környezetében harmonikus rezg®mozgást végezhetnek. Ekkor elektromágneses sugárzást bo sátanak ki a molekulák, melyet vibrá iós spektrumnak nevezünk. Nagyobb energiákon a poten iál anharmonikussá válik. Az LCAO-MO közelítés alapján bevezetnek ún.
σ
és
π
pályákat. A
a két protont összeköt® tengelyre nézve forgásszimmetrikusak, míg a körszimmetrikusak. A molekulapályák lehetnek köt®
σ∗ , π∗
σ, π
π
σ
pályák
pályák tü-
(stabilizáló) vagy lazító
(destabilizáló) hatásúak is.
A hibridizá ió Egy atom kovalens kötéseinek számát, az ún. vegyértéket a párosítatlan elektronjainak a száma adja meg. Ezek alapján a szén elektronkon gurá iója miatt két vegyérték¶ lenne. Ezzel szemben a szén majdnem minden vegyületében négy vegyérték¶.
A kvantumme hanika szerint
ez azzal magyarázható, hogy a szénvegyületek keletkezésekor felsza2 baduló energia a párosított 2s elektronok egyikét magasabb energiájú pályára emeli. Ennek eredményeként a szénatom küls® elektronhéjában egy 3
sp
s- és
három
p-pályából négy
azonos energiájú teljesen egyenérték¶
hibridpálya jön létre. A folyamatot, amely az új elektroneloszlást
létrehozza,
hibridizá iónak nevezzük.
A molekulapályák egyébként sem egyszer¶ tulajdonságai a molekulák összetettségével drámai módon bonyolódnak. A molekulák szerkezetének mély vizsgálata egyrészt a kvantumkémia másrészt a spektroszkópia hatáskörébe tartozik.
1.2.5. A kémiai kötések Átlagos h®mérséklet- és nyomásviszonyok között Földünkön sak a nemesgázok (He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn) fordulnak el® atomos állapotban. Az összes többi elem atomja vagy egymáshoz, vagy más elemek atomjaihoz kap solódik. A kialakuló kap solatot
kémiai kötés nek nevezzük.
A kémiai kötéseket két nagy soportra szokás osztani: els®rend¶ (primer) és másodrend¶ (szekunder) kötésekre.
52
FEJEZET 1.
Az
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
els®rend¶ kémiai kötés
(ionos, kovalens és fémes kötés) kialaku-
lásakor a létrejöv® új szerkezet mindig kisebb energiájú mint amekkora a különálló atomok energiája együttesen. A
másodrend¶ kémiai kötés t (van der Waals-kötés, hidrogénkötés)
viszonylag gyenge elektrosztatikus vonzóer®k hozzák létre.
Az elektronegativitás Az atomok küls® elektronhéjának megváltozása energia befektetést igényel.
A legküls® elektronhéjhoz tartozó elektron ionizá iós energiája
annál nagyobb, minél er®sebben vonzza az atom saját elektronját. A legkisebb az alkálifémek (Li, Na, K, Rb, Cs) ionizá iós energiája, míg a nemesgázoké (He, Ne, Ar. . . ) a legnagyobb. Ugyanakkor a halogének (F, Cl, Br, I) ionizá iós energiája is jelent®s. A 1.2. táblázatban megadtuk ezen mennyiségeket néhány elem esetén.
1.2. táblázat.
Vegyjel
els® ionizáelektronelektro iós energia (I) a nitás (A) negativitás (X)
H
2,2
0,1
2,3
Li
0,9
0,1
1,0
Na
0,8
0,1
0,9
Be
1,5
0,0
1,5
B
1,3
0,1
1,4
C
1,8
0,2
2,0
N
2,3
0,1
2,4
O
2,2
0,2
2,4
F
2,8
0,6
3,4
Cl
2,1
0,6
2,7
Ha valamely semleges atom lezáratlan elelektronhéjába elektron épül be, akkor általában energia szabadul föl. Ezt az energiát
rona nitásnak
nevezzük, és abszolút értékét
A-val
jelöljük.
elekt-
Értéke
annál nagyobb minél nagyobb vonzóer®t gyakorol az atom egy kívülr®l érkez® elektronra. A halogének elektrona nitása a legnagyobb.
1.2.
53
A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI
Egy atom
X
elektronegativitása az
I
ionizá iós energia és az
A
elektrona nitás összege:
X =I +A
(1.68)
Az elektronegativitás-érték alapján megadhatjuk az egyes kötéstípusok kialakulásának feltételeit, továbbá megállapítható a kötések között fokozatos átmenetek jellege.
Az ionos kötés Ionkötés akkor jön létre, ha a kap solódó atomok közül az egyiknek ki si a másiknak nagy az elektronegativitása (pl.
XCl = 2, 7).
XNa = 0, 9,
Ebb®l kifolyólag a kap solódó atomok elektronegativitása
összege (XNa +XCl
= 3, 6) közepes, különbsége (XNa −XCl = 1, 8) pedig
viszonylag nagy érték¶. Ez utóbbi azt jelenti, hogy a nagy elektronegativitású atom (Cl) magához szippantja partnerének (Na) elektronját.
A kovalens kötés A hidrogén molekulaion esetén már rámutattunk, hogy egy közössé vált elektron egyetlen
kvantumme hanikai rendszerré kap solja össze a
−18 J. két protont. A hidrogén molekulaion kötési energiája: −2, 9 · 10 −18 A hidrogénatom kötési energiája −2, 2 · 10 J ennél magasabb vagyis
kevésbé stabil.
A fémes kötés A fémek általában
s állapotú elektronjai közössé válnak.
Az ilyen közös
elektron megtalálási valószín¶sége a kristály bármely atomja között azonos. A fémes kötés az ionos és a kovalens kötéssel rokon. Mind a fémes, mind az ionos kötés ionokkal kap solatos, de fémekben a leváló elektronok nem satlakoznak más atomhoz, hanem egyenletes eloszlású elektrongázt képeznek. A fémes és a kovalens kötésben a kap solatot kollektív elektronok hozzák létre, de fémekben nem két, hanem elvileg valamennyi atomtörzshöz tartoznak.
54
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
Átmenetek az els®rend¶ kötéstípusok között Az ionos, kovalens és fémes kötések supán határesetek, közöttük a valóságban folytonos átmenet van. A szimmetrikus felépítés¶ molekulákban (pl. H2 , O2 , Cl2 ) a pozitív atomtörzsek és a kovalens kötést létesít® negatív elektronpárok töltésközéppontja egybeesik. Az ilyen kötést nevezzük.
apoláros kovalens kötés nek
Ezzel szemben az aszimmetrikus felépítés¶ heteronukleá-
ris (több különböz® rendszámú atomból álló) molekulákban (pl. H2 O, HCl) a vegyértékelektronok nagyobb valószín¶séggel tartózkodnak a nagyobb elektronegativitású atomtörzs közelében, mint a kisebb elektronegativitású közelében. A töltésközéppontok többé már nem esnek egybe így dipólus-molekula alakul ki, a kovalens kötés ionos jelleget ölt. Ezt sokszor
poláros kovalens kötésnek
nevezik.
1.3.
55
A KRISTÁLYOK
1.3.
A kristályok
A környezetünkben található szilárd anyagok dönt® többsége (ásványok, k®zetek, fémek stb.) kristályos szerkezet¶. Kristályos szerkezetr®l akkor beszélünk, ha az anyagot felépít® atomok (ionok, molekulák) a tér mindhárom irányában szigorú rendben ismétl®dve kap solódnak egymáshoz.
A kristályok rá sszerkezetének egyértelm¶ kísérleti iga-
zolását a XX. század elején adta meg
Max von Laue
Laue, Frideri h
és
Knipping.
számításokat végzett a feltételezett kristályrá s és az
elektromágneses hullámok köl sönhatásáról. Az elméleti megfontolások igazolására CuSO4 -kristályt helyeztek a röntgensugarak útjába. A kristály mögött elhelyezett fotolemez elhajlási képet rögzített, amely egyértelm¶en igazolta a rá sszerkezet létezését.
1.3.1. A szerkezetvizsgálat alapjai A röntgendirak iós felvételek a kristályrá s létének igazolásán túl lehet®séget adnak a különböz® kristályok rá sszerkezetének pontos meghatározására is. Az elhajlási kép és a kristályrá s tulajdonságait összekap soló egyszer¶ mennyiségi összefüggést
Bragg
határozott meg el®ször.
Bragg
szerint a kristályon elhajló hullámok úgy tekinthet®k, mintha a kristály egy-egy meghatározott atomokat tartalmazó síkjáról mint egy tükörr®l ver®dtek volna vissza. Ezt láthatjuk a 1.14. ábra bal oldalán. Az erny®n fényes (vagy sötét) intenzitásmaximumot észlelünk, ha a szomszédos kristálysíkokról visszaver®d® hullámok útkülönbsége a hullámhossz egész számú többszöröse.
λ
Ilyen intenzitásmaximumokat
láthatunk a 1.14. ábrán. Így az intenzitásmaximum feltétele:
2 d sin(ϑ) = n λ, ahol
d
a szomszédos síkok távolsága,
zárt szög,
λ a röntgensugárzás
ϑ
(1.69)
a bees® sugár és a sík által be-
hullámhossza,
n pozitív egész
szám. Az
elhajlási képr®l a berendezés paramétereinek ismeretében leolvasható a megvilágító sugár és valamely intenzitásmaximumot adó sugár által bezárt szög (2ϑ). A megvilágító sugár hullámhosszát ismerve a Braggegyenletb®l meghatározható a re ektáló rá ssíkok
d
távolsága. Arra,
56
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
hogy milyen atomok, atom soportok foglalják el a rá sszerkezet által kijelölt helyeket, a
dirak iós kép
maximumainak intenzitásviszonyai-
ból lehet következtetni.
röntgensugárzás
ϑ
A
d
C B
kristálysíkok
1.14. ábra. Balra: a röntgensugárzás visszaver®dése kristálysíkokról; Jobbra: tipikus dirak iós kép röntgensugarak elhajlásáról kristályon; a foltok sötét árnyalása a röntgensugárzás intenzitásával arányos; a középs® nagy folt a primér sugárzás
Egyéb szerkezetvizsgálati eljárások az elektron- és a neutrondirak iós eljárás, valamint a térmikroszkópia. A része skék De-Broglie hullámhosszuk miatt alkalmasak a kristályok szerkezetének feltérképezésére. Az
elektrondirak iós eljárás
során az elektronok köl sönhatásba
lépnek az atomi elektronok és a magok töltésével, s az így bekövetkez® er®teljes szórás miatt szilárd minták belsejének vizsgálatára nem alkalmasak. A gázfázisban, felületen vagy vékony lmben lev® molekulák azonban vizsgálhatók az elektrondirak ió módszerével. A
neutrondirak iós eljárás
nagy el®nye, hogy az elektromosan
semleges neutronokat nem befolyásolja az atomokat felépít® része skék elektromos mez®je. Hátránya viszont, hogy atomreaktorra van szükség a neutronok el®állításához. A röntgensugarak szóródását az okozza, hogy a belép® hullám az atomok elektronjait rezgésre készteti. A neutronok szórása ugyanakkor
mag zikai
jelenség. A neutronok az atom
elektronburkán áthaladva a nukleonokat összetartó er®s köl sönhatáson keresztül a maggal kerülnek kap solatba. Ezzel magyarázható, hogy a neutronszórás intenzitása független az elektronszámtól, s ezt az intenzitást nem a molekulákban lev® nehéz atomok határozzák meg. A
térionmikroszkóp m¶ködésének alapja az ún. sú shatás.
A min-
1.3.
57
A KRISTÁLYOK
tát hegyes t¶vé alakítják. A sú s hegyének görbületi sugara kb. 0,1
µm kell hogy legyen.
A mintát egy búrába helyezik, amelyb®l a leveg®t
kiszivattyúzzák, majd a vákuumba igen kevés héliumot juttatnak. Ha a kristályt¶ és a gy¶r¶ alakú segédelektróda közé 10 000 V nagyságrend¶ feszültséget kap solunk, akkor a uoreszkáló erny®n világos és sötét foltok jelennek meg. A képen minden fényl® pont a kristály egyegy atomjának árnyképe. Ennek magyarázata abban keresend®, hogy a hegyes, pozitívan töltött fém sú s környezetében a térer®sség olyan nagy, hogy a t¶hegy közvetlen közelében lév® héliumatomokról elektront szakít le. A pozitív töltés¶ héliumionok a sugárirányú elektromos er®vonalak mentén felgyorsulva be sapódnak a uoreszkáló erny®be, amely a be sapódás helyén felvillan. A kristályok szerkezetének vizsgálatakor gyakran találkozunk az 10−10 m.
angström (Å) egységgel, amely
A röntgensugárzás el®állítása A röntgensugárzás olyan elektromágneses sugárzás, melynek hullámhossza 20 nm-t®l 0,01nm-es tartományba esik. A 20 nm-nél hosszabb hullámhosszú sugárzást vákuum-ultraibolya sugárzásnak hívják.
A
7
ne-
0,01 nm-nél rövidebb hullámhosszú sugárzást gamma sugárzásnak vezzük. A röntgensugárzást alapvet®en két folyamat hoz létre.
Egyrészt,
ha nagy energiájú elektronokat hirtelen lefékezünk, széles spektrumú ún. fékezési sugárzás jön létre, amely a töltéssel rendelkez® elektron negatív gyorsulása miatt keletkezik.
Az elektronok egy izzókatódból
lépnek ki és a gyorsításához minimum 30-80 kV-os gyorsító feszültséget alkalmaznak.
Egy röntgen sövet ábrázoltunk a 1.15. ábra bal
oldalán. Másrészt, ha nagy energiájú elektronok be sapódnak pl. egy röntgen s® wolfram anódjába, képesek a kristályrá s ionjainak lezárt elektronhéjáról elektronokat kiszakítani. A kilökött ún. Auger elektron helyére a vegyértékhéjról egy küls® elektron beugorhat, miközben keskeny spektrumú, az adott anyagra jellemz® ún.
gensugárzás t bo sát ki.
karakterisztikus rönt-
Ilyen tipikus karakterisztikus vonalakat lát-
hatunk a 1.15. ábra jobb oldalán. Gyakran a röntgen sugárzás ener7
A gamma sugárzás általában gerjesztett atommagok egyensúlyi helyzetbe való
relaxá iója (ritkábban anyag antianyag annihilá ió) során keletkezik.
58
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
giáját KeV-ban adják meg. Egy eV az energia, amelyre egy elektron tesz szert, miközben 1V poten iálkülönbséget befut. Ebb®l következik, −19 J. hogy 1 eV=1, 6 × 10
elektronok
Katód
karakterisztikus vonalak
Relatív intenzitás
Evakuált üvegbúra
Anód
fékezési sugárzás
Hullámhossz, nm röntgen sugárzás
1.15. ábra. Bal oldalt: röntgen s® sematikus rajza; Jobb oldalt: fékezési sugárzás és a rászuperponálódott karakterisztikus vonalak
A hagyományos röntgen sövek hatásfoka rendkívül rossz, mivel az elektronok gyorsításával nyert energia
99, 9 % h®vé, míg 0,1 %-a röntgen-
sugárzássá alakul. Intenzív röntgenforrásokat általában ipari méretekben valósítják meg. Ilyen a syn hrotron, amelyben elektronok keringenek több száz méter átmér®j¶ körpályán és a FEL (szabad elektron lézer), amelyben az elektronok periodikusan változó mágneses téren haladnak keresztül. A tapasztalat szerint, ha röntgensugár anyagba ütközik akkor egy
primer sugárzás ), egy része szóródik az anyag épít®elemeinek elektronhéján (szórt szekunder sugárzás ), egy része pedig másfajta ( uoresz ens, β , h®)
része irány- és hullámhosszváltozás nélkül áthalad rajta (
sugárzásokat indukál. A röntgennel végzett anyagvizsgálat során a sugárzás útjába helyezett anyagon átmen® röntgennyalábot tanulmányozzák. Az erny®n vagy lmen megjelen® ún.
szummá iós röntgenkép b®l
az iparban az
átvilágított anyagminta bels® egyenetlenségeire és hibáira (repedések, üregek, idegen zárványok) következtetnek. Az orvosi gyakorlatban képesek az emberi test rétegeir®l is felvételeket készíteni és azt számítógépen földolgozni (CT). Lehet®ség van az anyagban gerjesztett karakterisztikus sugárzás
1.3.
59
A KRISTÁLYOK
spektrumának tanulmányozására is. Ezzel a
röntgenspektroszkópia fog-
lalkozik. A spektrumvonalak hullámhosszából és intenzitásából az atomok min®ségét és százalékarányát határozzák meg. A röntgenspektroszkópia els®sorban nagy rendszámú elemek, nem túl kis kon entrá iójának kimutatására alkalmas. A röntgen nomszerkezet vizsgálat során az épít®elemek elektronhéján szóródó szekunder röntgensugárzástól származó elhajlási képéb®l az anyag felépítésére, szerkezetére következtetnek. Röntgen nomszerkezet vizsgálat során megállapítható a kristályrá sot alkotó tömegpontok köl sönös helyzete, távolsága és az anyag összetétele.
1.3.2. A kristály geometriai szerkezete Az atomok térbeli elrendez®dését a kristályban az ún. pontrá
sal jellemezzük.
A pontrá sban a kristály szabályosan ismétl®d® atomjait
anyagi min®ségükt®l függetlenül egy-egy pont jelképezi. rendszere tükrözi a kristály geometriáját.
A pontok
A pontrá s rá spontjai a
tér különböz® irányaiban szabályosan ismétl®dnek. A szerkezet ismétl®dése legegyszer¶bben a következ®képpen jellemezhet®. Kiválasztjuk a pontrá s egy tetsz®leges pontját, és ebb®l három, nem egy síkban fekv® irányba a legközelebbi rá spont felé egy-egy vektort irányítunk. ◦ A vektorok által bezárt szög kisebb kell legyen mint 90 . Az így meghatározott
nak
a, b, c
vektorokat a rá sszerkezet ún.
elemi rá svektorai-
nevezzük. Bármilyen ilyen vektor egész számú többszöröse szintén
rá spontba mutatat, s®t a három elemi rá svektor bármely egész számú többszörösének vektori ered®je is rá spontot határoz meg. Ha egy ilyen vektor mentén a kristályt eltoljuk, akkor önmagával fedésbe kerül. Ezt a tulajdonságot
eltolási
vagy
transzlá iós szimmetriának
nevezzük.
Egy adott pontrá s esetén az elemi rá svektorok többféleképpen is kijelölhet®k.
A három elemi rá svektor által meghatározott egye-
nes szakasz úgy is tekinthet®, mint egy paralelepipedon egy sarokba összefutó három éle. Az így meghatározott paralelepipedont a kristály
elemi ellájának
nevezzük. Az elemi ella minden sarka rá spont. A
rá s szorosan egymás mellé helyezett elemi ellákból mint téglákból építhet® fel. Egy adott pontrá s többféle elemi ellából is fölépíthet®.
60
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
A rá s szimmetriái Az eltolási szimmetria mellet a rá snak tükör vagy forgatási szimmetriája is lehet.
Tükörszimmetriája
van a rá snak akkor, ha található
olyan sík, amelyre nézve a kettéosztott kristály mindkét fele egyben a másik tükörképe is.
Forgásszimmetriáról
beszélünk akkor, ha a rá s-
ban kijelölhet® olyan egyenes, amely körül mint tengely körül elforgatva a rá sot az eredeti helyzetével egyenérték¶ helyzetbe kerül, miel®tt a teljes körülforgatást elérnénk. A rá s elemi ellája rendszerint nem tükrözi a szerkezet jellemz® szimmetriáit.
Ezért élszer¶ a kristályban olyan legkisebb egységet
elemi ellának felvenni, amely a tükrözési és a forgatási szimmetriákat is mutatja. Az így választott elemi ellákkal jellemzett kristályszerkezeteket
Bravais8-rá soknak
nevezzük. Ezek alapján az összes kristály
besorolható 14-féle kristályrendszerbe, ahogy ezt a 1.3. táblázatban látható. Érdemes megjegyezni, hogy a Kristályrendszer = Kristályszerkezet + Rá sszerkezet.
Kristályrendszerek: köbös primitív, köbös tér ent-
rált, köbös lap entrált, négyzetes primitív. . . . A 1.16. ábrán a primitív, lap entrált, tér entrált és a lappáron entrált Bravais-tipusú elemi ellát láthatjuk. A rombos kristályrendszerben mindegyik elemi ella-típus megtalálható.
1.16. ábra. primitív, lap entrált, tér entrált, lappáron entrált elemi ella
8
ejtsd brave
1.3.
61
A KRISTÁLYOK
1.3. táblázat.
Kristály-
Bravais-típusú
Cellaoldalak
szerkezet
rá sszerkezet
Cellaszögek
Köbös
primitív, tér entrált, lap entrált
a=b=
Négyzetes
primitív, tér entrált
Rombos
egyszer¶, tér entrált
α = β = γ = 90◦ a = b 6= α = β = γ = 90◦ a 6= b 6=
lap entrált, lappáron entrált
Egyhajlású
primitív, lappáron entrált
Háromhajlású
α = β = γ = 90◦ a 6= b 6= 6= a α = β = 90◦ 6= γ a 6= b 6= 6= a
primitív
α 6= β 6= γ6= α a=b=
Romboéderes
Hatszöges
primitív
α = β = γ 6= 90◦ a = b 6=
primitív
α = β = 90◦ γ = 120◦
1.3.3. A rá ssíkok azonosítása A kristály rá spontjai által meghatározott rá ssíkok távolsága a kristályszerkezet lényeges mennyiségi jellemz®je, s nagy szerepet játszik a dirak iós szerkezetvizsgálatban is.
Az adott kristályban azonban
sokféle síksereg található, s szükség van arra, hogy ezeket megfelel® módon tudjuk jelölni.
A Miller-indexek Az egyszer¶ség kedvéért tekintsünk kétdimenziós rá sot.
Egy
a
és
b
élhosszú elemi ellából létrehozott kétdimenziós derékszög¶ rá sot. Az
62
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
ábrán látható négyféle síksereget úgy különböztethetjük meg egymástól, hogy megadjuk, milyen távolságnál metszik az egyes síkseregekb®l kiválasztott reprezentatív síkok a tengelyeket. Ha megadjuk, hogy az egyes síkseregeknél mekkorák a legkisebb tengelymetszetek, akkor ezzel a síkok egy lehetséges jelölési módját vezetjük be.
(a) (110)
(b) (230)
b a
(c) (110)
(d) (010)
1.17. ábra. A térrá s pontjaira fektetett néhány sík és a megfelel® Miller-indexek
Az ábrán szerepl® síkokra e módszer szerint az (1a, 1b), (1/2a,1/3b), (-1a, 1b) és a (∞a, 1b) jelölést alkalmazhatjuk.
Ha megállapodunk
abban, hogy a tengelyekb®l levágott szakaszok hosszegységenként az elemi ella élhosszait választjuk, akkor a síkok jelölése egyszer¶bbé válik: (1,1), (1/2,1/3), (-1,1) és a (∞, 1).
Tekintsük az ábrán látható rá sot egy olyan háromdimenziós de-
rékszög¶ rá s felülnézetének, amelyben az elemi ella jedésének hossza
c.
A
z
z
irányú kiter-
tengelyt mind a négy kiválasztott síksereg a
végtelenben metszi, s ezért a teljes jelölés a következ®: (1, 1,
∞), (-1, 1, ∞) és (∞, 1, ∞). A ∞ szimbólum jelentése kevéssé
1/3,
∞), (1/2,
élszer¶, és meg is szüntethet®,
amennyiben az egyes jelölések re iprokát képezzük és a törteket kiküszöböljük, akkor az ún. ábrán (1, 1,
∞)
Miller-indexek hez jutunk.
Például a 1.17. (a)
síksereg Miller-féle jelölése (110), 1.17. (b) ábrán lev®
(1/2, 1/3, 0) síkseregé pedig (230). A negatív indexeket a szám fölé
1.3.
63
A KRISTÁLYOK
tett vonallal jelöljük, s ezt gyelembe véve 1.17. (c) ábrán bemutatott síksereg jelölése (¯ 110). A rá ssíkok távolságának meghatározásában a Miller-indexek igen hasznosak (lásd a 1.18. ábrát).
Egy négyzetes rá s (hk0) síkjainak
távolságát az
1 2
d hk0
=
1 2 (h + k 2 ) a2
(1.70)
képlet adja meg. Mindez három dimenzióra kiterjesztve:
1 2
d hkl
=
a/k
1 2 (h + k 2 + l2 ) 2 a
(1.71)
d hkl
a/h
1.18. ábra.
A rá sot összetartó kémia kötések szerint a kristályok négy soportba sorolhatók:
rá sok.
atomrá sok, ionrá sok, fémes rá sok
és
molekula-
Atomrá s Atomrá sról akkor beszélünk, ha a kristály rá spontjaiban atomok helyezkednek el. Az atomokat kovalens kémiai kötések kap solják össze. A kovalens kötések térben irányított molekulapályák kialakulásával
64
FEJEZET 1.
jönnek létre.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
A kötések irányítottsága a kristály bels® geometriáját
is meghatározza. A kovalens kötés er®ssége miatt az atomrá sú kristályok nagy keménység¶ek és magas olvadáspontúak. Az atomrá s tipikus képvisel®je a gyémánt. A gyémánt a gra t mellett a szén egyik kristályos módosulata. A kristály minden szénatomja négy másik szénatommal létesít kovalens kötést. A négy kötés egyenérték¶, a térben tetraéderesen irányított.
A szénatomok ilyen kap-
solódása sak magas h®mérsékleten és különlegesen nagy nyomáson 10 lehetséges. A gyémánt a földkéregben 200-300 km mélyen kb. 2 · 10
Pa nyomáson szilikátos magmából válik ki.
A gyémánthoz hasonló
szerkezet¶ a szilí ium és a germániumkristály is.
Ionrá s Az ionrá sban váltakozva pozitív és negatív ionok foglalnak helyet. Az ionrá sú kristályok geometriáját három dönt® tényez® szabja meg.
Az ionrá sot az ellentétes töltés¶ ionok közötti
Coulomb-vonzás
tartja össze.
Az ionkristályban nin senek kitüntetett kötési irányok.
A különböz® ionok mérete eltér®
Az ionkristályok
elektromosan semlegesek.
Ezért az elemi ellát felépít® ionok össztöltése nulla. A pozitív és negatív ionok az er®s elektrosztatikus vonzás miatt a lehet® legközelebb kerülnek egymáshoz, így szoros illeszkedés¶ kristályrá sot alakítanak ki. Azt a számot, amely megmutatja, hogy egy kérdéses tömegpontot hány közvetlen szomszédos tömegpont vesz körül,
koordiná iós számnak
nevezzük. A leggyakoribb koordiná iós számok
a 2, 3, 4, 6, 8, 12. A kristályos anyagok jelent®s része ionrá sban kristályosodik. Ti-
ézium-klorid (CsCl), nátrium-klorid kal ium- uorid (CaF2 ), titán-dioxid (TiO2 ). Az er®s elekt-
pikusan ionkristályos anyagok: (NaCl),
rosztatikus vonzóer® miatt az ionkristályok kemények, magas olvadáspontúak. Me hanikai tulajdonságaik nagymértékben irányfügg®k (anizotrópia). Az ionrá s legfontosabb energetikai jellemz®je a
Wr
rá senergia,
amely dönt® részben elektrosztatikus köl sönhatásból származó
WC
1.3.
65
A KRISTÁLYOK
Coulomb-energia, kisebb részben pedig az elektronhéjak átfedéséb®l származó taszító hatásból származó
Wt
taszítási energia.
A NaCl esetén a koordiná iós szám 6. Ha sak a legközelebbi szomszédokat vesszük gyelembe egy ion poten iális energiája
V = −6 ahol
a
e2 , 4 π ε0 a
(1.72)
legközelebbi szomszédok távolsága a kiválasztott iontól. Ha
viszont gyelembe vesszük a további szomszédokat is egy ion poten iális energiája:
e2 V =− 4 π ε0 a ahol
α
az ún.
8 e2 12 6 − √ + √ − . . . = −α , 4 π ε0 a 2 3
Madellung-állandó.
széd hatása, amelyek
a
(1.73)
Az els® tag a hat legközelebbi szom-
távolságra vannak a kiszemelt iontól, a má-
sodik tag a 12 következ® legközelebbi szomszéd hatása, amelyek távolságra vannak a kiszemelt iontól és így tovább. Madellung-állandó
α = 1, 747565.
CsCl-ra pedig
√
2a
NaCl esetén a
α = 1, 762675.
A fémek kristályszerkezete A 104 ismert elem közül kb. 75 a fémek közé tartozik.
Ha a fém-
kristályban a fémes kötés mellett ionos, kovalens vagy van der Waals kötés is jelentkezik, akkor ún.
metalloid szerkezetek
jönnek létre.
fémkristály pontrá sára a tökéletes térkitöltés jellemz®. ún.
szoros illeszkedéssel
valósul meg.
másrészt
A
Ez egyrészt
felületen entrált köbös elemi ellával
Tér entrált köbös kristályszerkezet¶ek az alkáli fémek
(K, Na stb.), a magas olvadáspontú fémek (W, V, Cr) és általában a vas is.
A makroszkopikus fémek nagyon sok, egymással szorosan
összen®tt apró kristályból, ún.
litból
kristályszem séb®l, más néven krisztal-
állnak. Az ilyen anyagot polikristályos szerkezet¶nek mondjuk.
Bonyolult te hnológiával, különlegesen tiszta anyagokból ún. fémegykristályok is el®állíthatók.
Molekulará sok A molekulará sokat általában dipólusuk között kialakuló gyenge kötések tartják össze.
Tipikus molekulará sos vegyület a szilárd szén-
66
FEJEZET 1.
dioxid.
Nagyon ala sony h®mérsékleten a nemesgázok is kristályos
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
állapotúak. A jégkristályt a másodrend¶ kötések közötti leger®sebb hidrogénkötés tartja össze. A kémiailag hasonló vegyületeknél a kristályalak és a megfelel® lapszögek azonosak.
Ezt a jelenséget
izomor ának
nevezzük.
Izo-
morfok tehát azok a kémiailag hasonló vegyületek, amelyek azonos kristályalakban jelennek meg.
Ilyen pl. a magnézium-karbonát és a
vas-karbonát. Gyakori jelenség a természetben, hogy kémiai szempontból azonos anyagok különböz® rá sszerkezet¶ A jelenséget
többalakúságnak
vagy
kristálymódosulatokban találhatók. polimor ának nevezzük. A szénnek
több módosulata ismert pl. a gyémánt és a gra t.
1.3.4. A kristályhibák A reális kristályokban a rendezettség mellett föllelhet® különböz® jelleg¶ és méret¶ rendezetlenség is, amelyet
rá shibának nevezünk.
Kiter-
jedésük alapján a rá shibák lehetnek pont-, vonal, felületi és térfogati hibák. A szilárdtestek zikai tulajdonságai sok esetben nagyobb mértékben függnek a kristályhibáktól, mint magától a kristály anyagától.
Ponthibák Saját rá shibák.
A 1.19. ábrán tipikus ponthibák láthatók. Els®-
sorban a kristály felületének közelében a termikus mozgás hatására bizonyos rá spontok képesek a rá shelyükb®l kimozdulni és diúzió révén távoli helyre távozni. Ekkor a kilép® tömegpont helyén üresedés, ún.
rá slyuk
vagy
vakan ia
keletkezik.
Ha a termikus hatásra a kristályrá sból kilép® tömegpont a rá s valamelyik hézagába épül be, vagyis rá sközi tartományba kerül akkor
beékel®dési
vagy
intersti iális
hiba jön létre. Termikus hatásra a
beékel®dési hiba is képes vándorolni. Rá slyukak és beékel®dési hibák nem sak termikus hatásra hanem alakváltozás hatására és nagyenergiájú része skék be sapódása során is keletkeznek.
1.3.
67
A KRISTÁLYOK
1.19. ábra. Vakan iák és intersti iális hibák a kéttdimenziós kristályrá sban
Idegen atomok és ionok okozta rá shibák.
A kristályrá sba be-
épül® idegen anyag atomjai, ill. ionjai is rá shibának min®sülnek lásd 1.20. ábrát.
Ha a szennyez® atomok átmér®je közel azonos a kris-
tályt alkotó rá spontok átmér®jével, akkor képesek helyettesíteni a rá s atomjait vagy molekuláit. Az ilyen idegen atomokat vagy ionokat
helyettesítéses
szubsztitú iós atomoknak ill. ionoknak nevezzük. A szilárdtestet pedig szubsztitú iós szilárd oldatnak nevezzük. Ebbe a vagy
típusba tartoznak az ötvözetek nagy része és az n- és p-típusú szennyezett félvezet®k.
1.20. ábra.
Idegen tömegpontok okozta szubsztitú iós és intersti iális hibák a
kétdimenziós kristályrá sban
Ha az idegen tömegpont mérete sokkal kisebb, mint a rá sot alkotó tömegpontoké, akkor a szennyez® atomok, ill. ionok a rá s hézagaiba ékel®dnek be. nevezzük.
Az ilyen tömegpontokat
intersti iális szilárd oldatnak
68
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
A ponthibák hatásai.
A ponthibák környezetében a kristály zi-
kai tulajdonságai módosulnak. A rá sszerkezet deformá iója rugalmas feszültséget ébreszt a kristályrá sban.
Ennek következtében megvál-
toznak a kristály me hanikai tulajdonságai, az anyag keményebbé, nehezebben alakíthatóvá válik. Ionkristályban sak olyan hibák keletkezhetnek, melyek nem borítják föl az ionkristály elektrosztatikus egyensúlyát. Az alkálifémek egyszer¶ halogenidjei (pl. KCl, KBr, NaCl) tiszta állapotban színtelenek. Azonban ha alkálifémek g®zében hevítik ®ket, vagy ionizáló sugárzásnak teszik ki ®ket színesekké válnak.
A KCl
kékre, a NCL pedig sárgásbarnára színez®dik. A jelenséget ún.
entrumok
szín-
létrejötte okozza. A legismertebb szín entrum az alkálifém-
halogenid kristályokban kialakuló
F- entrum.
A kísérleti vizsgálatok
alapján arra a megállapításra jutottak, hogy az F- entrumok az alkálihalogenid kristályrá s vakan iáiban megkötött elektronok. A megkötött elektronok befolyásolják a kristály elnyelési sávjait, ez okozza a színváltozást.
Vonalhibák (diszloká iók)
A’ A
A’
B
B
A
D
C
D
C
1.21. ábra. Az él és a savardiszloká ió
Az egydimenziós felépítés¶ vonalmenti hibákat bezzük.
diszloká ióknak
A 1.21. ábrán tipikus diszloká iók láthatók.
éldiszloká iók
és
savardiszloká iók.
ne-
Ezek lehetnek
Kialakulásuk a kristálynövekedési
folyamatokkal és a plasztikus deformá iókkal kap solatos (nyújtás, hajlítás, savarás).
1.3.
69
A KRISTÁLYOK
A diszloká iók jelent®sen befolyásolják a szilárdtestek me hanikai, termikus, elektromos és optikai tulajdonságait.
Éldiszloká ió nál a
kristály egyik térfelének hálózati síkja közé egy
újabb hálózati sík épül be.
Ennek éle mentén a kristály hibás.
A
diszloká ióvonal. Csavardiszloká ió úgy jön létre, hogy a kristály egyik része a másik-
hibavonal az ún.
hoz képest el súszik, a tömegpont-sorok meggörbülnek és a mellettük lev® szomszédos sorokhoz igazodnak. Ha a kristályrá s valamelyik pontjából, pl. az A pontból kiindulva a B, C, D rá spontokon haladva körüljárjuk a rá s egy viszonylag kis részét akkor egy ún.
Burgers-kör t
írunk le.
Ha az egymással párhu-
zamos irányokban egyenl® számú rá sparamétert megtéve, a kiindulóhelyzetbe érünk vissza, akkor a körüljárt rész kristálytanilag hibát′ Ha viszont az A és az A pont nem esik egybe,
lan tartományú.
akkor a körüljárt részben diszloká ió helyezkedik el. A savar- és él′ diszloká ióknál a Burgers-kör zárttá tételéhez egy AA vektorra az ún. Burgers-vektorra van szükség. Kimutatható, hogy egy diszloká ió energiája egyenesen arányos a Burgers-vektor négyzetével. Ezért a diszloká iók többsége a legkisebb rá svektorral egyezik meg. Az ennél nagyobb diszloká iók energetikailag nem stabilak ezért szétesnek.
Felületi hibák A kristályok tipikus felületi hibái a következ®k: a kristály felülete, a szem sehatár, az ikersík és a rétegz®dési hiba. A
kristályfelület
is jellegzetes hibahely. A kristály felületén lév® tö-
megpontok környezete más mint a kristály belsejében lév® tömegpontok szerkezete. A kristályok felülete képes idegen atomok megkötésére, pl. a fémek felületi korróziója nem más mint a felület köl sönhatása a leveg® oxigénjével. Az ún. ká iók.
kisszög¶ szem sehatár ok periodikusan
elrendezett éldiszlo-
Ekkor a kristály hálózati síkjai a diszloká iósor miatt nem
lesznek tökéletesen párhuzamosak, hanem kis
ϑ
szöget zárnak be egy-
mással.
Nagyszög¶ szem sehatárok
fokú rendezetlenség a jellemz®.
Nagyszög¶ szem sehatárokra a nagy-
70
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
Ikersík A kristályosodás és a képlékeny alakváltozás során létrejöhet olyan felület, melynek két oldalán a rá spontok egymás tükörképei.
Rétegz®dési hiba
akkor jön létre, amikor az egyes rétegek rossz sor-
rendben követik egymást.
A térfogati hibák
idegen atomok kiválása vagy kikristályosodása
okozza.
Egykristálynövesztés Egy kristályosodásra hajlamos anyag minden küls® hatás nélkül is kristályosodik. Ez az ún. spontán magnetizá ió, amely általában nagyon lassan megy végbe és ki si méret¶ egykristályokat szolgáltat.
Ezért
gyakoribb, hogy az egykristályok létrehozásához növesztéshez a kristály olvadékát használják fel.
A
Czo hralsky módszer
régóta ismert
eljárás az olvadékból készített egykristályok el®állítására. Az eljárás lényege az, hogy az olvadék felületéhez egy az olvadék anyagából készült egykristályt érintenek és azt meghatározott sebességgel állandóan emelik. A módszer sematikus rajza látható a 1.22. ábra bal oldalán. Az emelési sebbesség nem lehet sem túl lassú sem túl gyors. A túl lassú emelésnél a szilárd és folyékony fázishatáron a magképz®dés új kristályosodási magokat hozhat létre. Túl nagy emelési sebességnél viszont a kristály elszakadhat a folyadéktól. Különösen nehéz te hnikai feladat a folyadék felett a konstans h®mérséklet és a megfelel® h®mérsékleteloszlás biztosítása. Az olvadék felületén a h®mérséklet nagyobb mint a kristály olvadáspontja, utána viszon rövid távolságon belül az olvadáspont alá kell sökkennie.
Ha a kristály tengelyére mer®leges
h®mérséklet gradiens nem tengelyszimmetrikus, akkor asszimmetrikus kristálynövekedés jön létre. Az asszimmetrikus növekedést a kristály vagy a tégely (vagy mindkett®) lassú forgatásával lehet kompenzálni. A Czo hralsky módszert a félvezet®k gyártása során is alkalmazzák és a szili iumot és a germániumot kvar tégelyben olvasztják meg. A kvar nem tartalmazhat szennyez®ket, mert az olvasztás nagy h®mérsékletén kis mennyiség¶ szennyez®anyag oldódik az olvadékban. A
Bridgemann-féle eljárás során a függ®leges elrendezés¶ kemen é-
ben a hosszú tégelynek a vége annyira elsz¶kül, amennyire az megmunkálható (lásd 1.22. ábra jobb oldala). Az ellenállásf¶tés¶ álló kemen ében a tégelyt a kristályosodási sebességnek megfelel® sebességgel kell
1.3.
71
A KRISTÁLYOK
h olvadék
111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111
egykristály olvadék
11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11
T
Tolv Top
fûtõszál
léghûtés fémhenger
b)
a)
1.22. ábra. A Czo hralsky módszer és a Bridgemann-féle eljárás sematikus rajza
süllyeszteni. A megfelel® h®mérsékleti eloszlást h¶t®leveg®vel állítják el®. A kristályosodás a tégely elsz¶kült végében indul meg, amikor az olvadék az olvadáspont alá h¶l.
1.3.5. A kristályok me hanikai tulajdonságainak vizsgálata A fémeket az iparban leggyakrabban szerkezeti anyagként használják fel. A szerkezeti anyagok legfontosabb jellemz®je, hogy ellenállnak a küls® terhelésekkel szemben. Az anyagoknak a gyakorlatban összetett igénybevételeknek kell ellenállniuk.
Azonban az összetett terhelések
visszavezethet®k ún. egyszer¶ igénybevételekre mint a
savarás
és a
nyírás.
változásuk alapján három soportra oszthatjuk: és
fárasztó
húzás, nyomás,
A szerkezeti anyagokra ható terheléseket id®beli
igénybevételre.
statikus, dinamikus
Ha a terhelés id®ben állandó vagy lassan
változik, akkor az igénybevétel statikus.
Ha a terhelés id®ben hirte-
len, lökésszer¶en változik az igénybevétel dinamikus. Ha a terhelés az
72
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
id®ben sokszor ismétl®dik fárasztó igénybevételr®l beszélünk. Azt, hogy egy anyag mennyire áll ellen a húzó igénybevételnek ún.
szakítóvizsgálattal
lehet vizsgálni.
A szakítóvizsgálat elve, hogy
egy szabványosan kialakított próbatestet egytengely¶ igénybevétellel szakadásig terhelnek, és közben mérik a próbatestre ható er®t az alakváltozás függvényében. A szakítógép a próbatest összes megnyúlásának függvényében rajzolja meg a próbatestre ható er®t. Ez a szakítódiagram. Az anyagok keménységének meghatározását általában a
Vi kers
és a
Ro kwell
Brinell, a
módszerrel határozzák meg. Ekkor különböz®
alakú próbatesteket nyomnak az anyag sík felületébe és a terhel® er® és a lenyomat felületének hányados alapján, vagy lenyomat mélysége alapján következtetnek az anyag keménységére. A Brinell keménység◦ mérés során edzett a élgolyót, Vi kers mérés során 136 nyílásszög¶ gyémánt gúlát nyomnak
F
terhel®er®vel az anyagba. A Ro kwell mé-
rés különböz® benyomó szerszámokkal létrehozott lenyomat mélységéb®l következtet az anyagok keménységére. Különösen hasznosak az ún. ron solásmentes anyagvizsgálati módszerek, melyek során az anyagok keménységét mágneses, elektromos vagy akusztikus úton határozzák meg. Az anyag szívósságát ún.
Charpy
üt®vizsgálattal végezzük. A vizs-
gálatot ún. ingás üt®m¶vel végzik. Az üt®m¶ részét képz® inga egyetlen ütéssel eltöri a bemetszett próbatestet, majd továbblendül.
munkát
Az
üt®-
a kiindulási és végálapotbeli helyzeti energiák különbségeként
értelmezzük. Az anyagok kifáradására az ún.
Wöhler görbe
alapján következtet-
hetünk.
A diszloká iók szerepe a kristályok képlékeny alakváltozásában A kristályok megnyúlása küls® húzó terhelés hatására el®ször lineáris, majd a kristály típusától függ®en az anyag vagy törik vagy ún. folyás következik be. Ha a kristály eltörik, akkor ezt rideg törésnek nevezzük. A rideg törést a kristály teljes keresztmetszetében keletkez® mikrorepedések okozzák. A folyási határ után a kristály felkeményedik, majd utána törik el.
1.3.
73
A KRISTÁLYOK
Orwán, Polányi és Taylor szerint a súszás lokális folyamat.
A
képlékeny alakváltozás bizonyos el súszott tartományok fokozatos kiterjedése révén megy végbe. Az el súszott és a még el nem súszott tartományokat határok, diszloká iók választják el egymástól. A diszloká ióvonal környezetében lév® atomok kimozdulnak egyensúlyi helyzetükb®l.
A kristályrá s így rugalmasan deformálódik.
A
diszloká ió létrehozásakor a hibavonal torzult környezetében rugalmas energia halmozódik fel. A torzult kristályrá s rugalmas energiáját
tenergiának nevezzük.
sajá-
A diszloká ió a viszonylag hosszútávon érezhet®
feszültségtéren keresztül köl sönhatásba léphet a kristályban fellép® minden más rugalmas feszültséggel. A rugalmas feszültségterükön keresztül a diszloká iók egymással is köl sönhatásban állnak. A kristály képlékeny deformá iója a küls® deformáló er® hatására bekövetkez® diszloká iómozgással megy végbe. A folyás azért lép fel mert a kristályban mozgó diszloká iók elakadnak a kristályrá s hibahelyein és újabb diszloká iók forrásául szolgálnak. Egy id® után viszont a diszloká iók mozgása egymásra torlódik és nagy részük véglegesen elakad. Ekkor keményedik föl az anyag. Az anyag a felkeményedése után általában eltörik.
1.3.6. Ron solásmentes anyagvizsgálat A ron solásmentes vizsgálatok feladata az, hogy a szerkezeti anyagokban ron solás nélkül lehessen kimutatni azokat az anyaghibákat, amelyek a szilárdsági jellemz®ket jelent®sen rontják. Így a ron solásmentes, vagy hibakeres® anyagvizsgálat els®dleges élja a hiba kimutatása. A hiba elhelyezkedhet a tárgy belsejében vagy a felületen.
A bels® hi-
bákról tájékoztat a radiográ ai és az ultrahang vizsgálat.
A felületi
hibák néha szabad szemmel vagy mikroszkóppal észlelhet®k. Sokszor viszont sak mágneses, elektroinduktív vagy folyadékos vizsgálatokkal tárhatók fel.
Ultrahangvizsgálatok Az ultrahang nagyfrekven iájú me hanikai rezgés, amely az infra-, a hallható- és a hiperhangoktól alapvet®en sak frekven iában különbözik. Az anyagvizsgálati élú ultrahangos berendezéseknél az ultrahang
74
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
el®állítására túlnyomóan a piezoelektromos elvet alkalmazzák. A kvar egykristály megfelel® metszetében elektromos feszültség keletkezik, ha nyomásnak vagy húzásnak tesszük ki. A jelenség fordítottja is fennáll, azaz feszültség hatására a polaritástól függ®en a kristály összehúzódik, vagy kitágul. Az ultrahangos adóban a kristály felületére id®ben váltakozó feszültséget kap solnak. Az anyagvizsgálati élú ultrahang alkalmazás négy különböz® elvre, a rezonan ia, az akuszto-optikai, az ultrahang visszhang, és a hangátbo sátás elveire épül. A rezonan ia elvére épül® vizsgálatot vékony lemezek vastagságának meghatározására alkalmazzák. A
d
vastagságú lemezt ultrahang-
gal rezonan iaállapotba hozzák. A rezonan ia frekven ia
f rez = c/2d,
amelyb®l a vastagság meghatározható. Az akuszto-optikai eljárás során a vizsgált tárgyon belüli hibánál az ultrahang visszaver®dik. A hibátlan helyeken továbbjutó ultrahang hullámok érzékeléséhez egy üvegfalu küvettát alkalmaznak, amely folyadékban lebeg® alumínium-reszeléket tartalmaz. A tovaterjed® hanghullámok hatására a reszelék beáll a hullámokra mer®legesen.
Ha a
küvettára fényt bo sátunk, a fény visszaver®désekor a beállás érzékelhet®vé válik, ezáltal a bels® hiba alakja látható lesz. A hangvisszaver®dési elven alapuló eljárás során az adóbol a rezgésnyalábot a satoló közegen keresztül a vizsgálati tárgyba vezetjük. A tárgy tulsó felületér®l visszavert ultrahangot a vev®vel érzékeljük. A hibajel alakjából, nagyságából, következtetni lehet a bels® hiba típusára, és nagyságára. A hangátbo sátás elvére épül® vizsgálat során az adóval ellentétes oldalon elhelyezett vev®, a vizsgált tárgyon való áthaladás közben a hibahelynél sökken® mérték¶ elektromos jelet ad az osz illoszkópra. A végjel magasságának sökkenéséb®l a hibára következtethetünk.
Repedésvizsgálat folyadékkal A festékdiúziós vizsgálatok során a vizsgált felületet bevonják egy ún. penetráló folyadékkal majd szárazra törlésük után valamilyen porszer¶ anyaggal beszórják.
A port a repedésekbe behatoló folyadék
megnedvesíti és elszínezi, így a repedés kimutathatóvá válik. módszer sak felületi hibák kimutatására alkalmas.
Ez a
1.3.
75
A KRISTÁLYOK
Mágneses és elektroinduktív vizsgálatok Mágneses vizsgálati módszereket használnak hegesztési sarokvarratok ellen®rzésére.
Az árambevezetéses módszerrel hosszirányú repedések
mutathatók ki az anyagban.
Jó vezet®ben id®ben változó mágneses
mez®k hatására örvényáram alakul ki. Az örvényáramot a vezet® anyagában lév® hiba befolyásolja. Ezen az elven alapulnak az elektroinduktív vizsgálatok.
76
FEJEZET 1.
1.4.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
A fémek Sommerfeld-féle szabadelektron modellje
Sommerfeld modelljében a kristályt alkotó atomok legküls® elektronjai szabadon mozognak a fém belsejében. Egyetlen ilyen elektront kiszemelve és vizsgálva a viselkedését, azt az egyszer¶sít® feltevést tesszük, hogy a többi elektronnak és az iontörzsnek a hatása állandó mélység¶ poten iálgödörrel reprezentálható (lásd 1.23. ábrát). Ha a fémet
L
ol-
V 0
V0 0
L
r
1.23. ábra. Az állandó mélység¶ poten iálgödör
dalél¶ ko kának tekintjük, akkor egy ilyen méret¶ poten iálgödörbe zárt elektron hullámfüggvényei könnyen meghatározhatók. Tekintsük a fémben lév® összes szabad elektront.
A Pauli-elvb®l
kiindulva megmutatható, hogy a rendszer energiája akkor lesz a legkisebb, ha az elektronok az ún.
k -térben (T = 0
h®mérsékleten) egy
FermiFermi-hullámszámnak, a meg-
origó középpontú gömbfelületen helyezkednek el. Ezt a gömböt
gömbnek
nevezzük. A gömb
kF
sugarát
felel®
WF = energiát pedig
~2 kF 2 2m
Fermi-energiának
vagy
(1.74)
Fermi-nívónak
nevezzük.
A
fermi-energia tehát az az energia, amellyel abszolút nulla h®mérsékleten egy vezetési elektron maximálisan rendelkezhet. A Fermi-nívónak megfelel® energiaértékig az ún. egyrésze ske-állapotok be vannak töltve, fölötte pedig üresek. A Fermi-energia a legtöbb fém esetén 1,5-10 eV
1.4.
A FÉMEK SOMMERFELD-FÉLE SZABAD-
77
ELEKTRON MODELLJE
közé esik. Egy elektronra jutó
3/2 k T
termikus energia még szobah®-
mérsékletes is sak 0,01 eV nagyságrend¶. Ebb®l egyrészt az következik, hogy a vezetési elektronok energiája nem a h®mozgás eredménye (ellentétben a Drude-Lorentz modell alapfeltevésével), hanem kvantumme hanikai eredet¶. Másrészt a termikus gerjesztés sak a Fermigömb felületéhez közeli elektronokra van hatással. Ezért az elektronok szerepe a fajh® szempontjából fémek esetén nem lényeges. A 1.4. táblázat néhány elem Fermi-nívóját, -h®mérsékletét és hullámszámát mutatja.
1.4. táblázat.
Elem Fermi-nívó W
F
Fermi-h®mér- Fermi-hullámséklet T szám k F
F
[eV℄
4 [10 ℄ K
−1 8 [10 m ℄
Li
4,74
5,51
1,12
Na
3,24
3,77
0,92
Ka
2,12
2,46
0,75
Cu
7,00
8,16
1,36
Ag
5,49
6,38
1,20
Au
5,53
6,42
1,21
Be
14,3
16,6
1,94
Mg
7,08
8,23
1,36
Fe
11,1
13,0
1,71
Mn
10,9
12,7
1,70
Cd
7,47
8,68
1,40
Hg
7,13
8,29
1,37
Al
11,7
13,6
1,75
Pb
9,47
11,0
1,58
1.4.1. A Fermi-Dira eloszlási függvény Az el®z®ek szerint az egyelektron állapotok betöltöttségének valószín¶sége úgy alakul, hogy minden állapot be van töltve az
WF
Fermi-nívó
78
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
alatt, a fölötte lév® állapotok viszont üresek. Tetsz®leges
T > 0
h®-
f (W) FD
T=0 1
T>0
0,5
W
0
WF 1.24. ábra. Az egyelelektron állapotok betöltöttsége
W
mérsékleten, a statisztikus zika szerint egy
energiájú egyrésze ske
állapot elfoglalásának valószín¶sége az
1
f FD (W ) =
„
e ún.
W −µ kT
Fermi-Dira eloszlási függvénnyel
0 és 1 közé esik. A poten iálja.
µ
«
(1.75)
+1
írható le.
f FD (W ) értéke mindig
mennyiség a fémbeli szabadelekton-gáz kémiai
A Fermi-Dira eloszlás esetén
µ
annak az egyrésze ske-
állapotnak az energiája, amelynek a betöltöttségi valószín¶sége Abszolút zérus h®mérsékleten zik meg.
µ
éppen az
WF
1/2.
Fermi-energiával egye-
Így az eloszlási függvényt gyakran a következ® formában
használjuk:
f FD (W ) =
1 „
e ⋆
W −W kT
F
«
(1.76)
+1
A kémiai poten iál h®mérsékletfüggése
Az elektronok által betöltött nívók számának minden h®mérsékleten meg kell egyez-
n e V számával. A dW energiaintervallumba g(W ) az állapots¶r¶ség. Ezekben az állaszáma: f FD (W ) g(W ) d(W ). Az f FD (W ) g(W ) a
nie a kristálybeli szabad elektronok es® állapotok száma:
g(W ) d(W ),
potokban az elektronok átlagos betöltött állapotok s¶r¶sége.
ahol
1.4.
A FÉMEK SOMMERFELD-FÉLE SZABAD-
79
ELEKTRON MODELLJE
fFD (W)g(W) kT T=0 T>0
W
0
WF 1.25. ábra. A betöltött állapotok s¶r¶sége az energia függvényében
Az
N
kristálybeli elektronok számát úgy kaphatjuk meg, hogy a betöltött ál-
lapotok s¶r¶ségét az energia szerint integráljuk:
Z∞
f FD (W ) g(W ) dW = N e V,
(1.77)
0
ahol
N = N e V . Az integrál kT ≪ µ esetén egy sorfejtés segítségével kiszámítható, µ(T ) meghatározható: ( 2 ) π 2 kT µ(T ) = W F 1 − (1.78) 12 W F
és így
Mivel
kT ≪ W F
még szobah®mérsékleten is teljesül, a kémia poten iál h®mérsék-
letfüggése nagyon gyenge. A
µ
termodinamikai értelmezése szerint a része skék a
nagyobb kémiai poten iálú hely fel®l a kisebb kémiai poten iálú hely felé áramlanak. A kémiai poten iál h®mérsékletfüggése alapvet® szerepet játszik a termoelektromos jelenségek szempontjából.
⋆
Az elektron- és fonongáz fajh®je
Korábbiakban szó volt az elektrongáz
CV
mólh®jér®l. Az elektrongáz faj-, és mól-
h®je között a következ® kap solat van:
cV =
CV d hW k i = . ne dT
Ezek alapján a fajh® klasszikus értéke:
cV =
3 k. 2
(1.79)
80
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
Tehát a klasszikus értelmezés szerint az elektrongáz fajh®je a h®mérséklett®l függetlenül állandó. A fajh® helyes meghatározásához az elektrongáz átlagos kinetikus energiáját kell meghatározni. Mint korábban rámutattunk a klasszikus elektronelmélet szerint az elektrongáz energiáját a h®mozgásból nyeri, ezért abszolút zérus fokon az összes elektron mozgási energiája nullával egyenl®:
hW k i = lim
T →0
3 kT 2
= 0.
(1.80)
Ezzel szemben a kvantumme hanika alapján az elektronok abszolút zérus fokon is meghatározott átlagos kinetikus energiával rendelkeznek. Az átlagos kinetikus energiát a következ® integrál adja meg:
1 hWk i = N
Z∞
f FD (W ) g(W ) W dW.
(1.81)
0
Az integrál megoldásával kap solatban a szakirodalomra hivatkozunk (lásd [1℄). Az elektrongáz összenergiája energia átlaga:
W = W F − 2, 2kT . hWk i =
Ebb®l meghatározható a kinetikus
2, 2kT 3 kT . 2 WF
(1.82)
A számított fajh®:
cV = Ez az eredmény a klasszikus feledjük a
WF
3/2 k
π2 k2 T. 2 WF
(1.83)
értéknél kisebb, de a tapasztalattal egyezik. Ne
Fermi-nívó általában különböz® fémekre más és más.
Megmutatható, hogy a fémkristályban a pozitív fémionok az egész kristályra kiterjed® kvantált energiájú sajátrezgéseket végeznek. Ezen rezgések kvantált energiájuk miatt a része skékhez hasonlíthatók, így fononoknak nevezik ®ket. Tehát a fonongáz fajh®jét is gyelembe kell vennünk. A fonongáz fajh®je az abszolút nulla fok környezetében:
c fV = ahol
ΘD
az ún.
12 π 2 k 3 T , 5 Θ3D
Debye h®mérséklet.
(1.84)
Ala sony h®mérsékleten a teljes fajh®:
c eV + c fV = γ T + A T 3 , ahol
γ = π 2 k 2 /2 W F
az ún.
Sommerfeld-együttható,
(1.85) és
3 . A = 12 π 2 k /5 ΘD
Az ab-
szolút zérus foktól távol (pl. szobah®mérsékleten) a kristályok mólh®je (a Dulongf Petit-szabálynak megfelel®en) anyagtól függetlenül c V = 3R. A 1.5. táblázat néhány elem Debye-h®mérsékletét és Sommerfeld-együtthatóját mutatja:
1.4.
A FÉMEK SOMMERFELD-FÉLE SZABAD-
81
ELEKTRON MODELLJE
1.5. táblázat.
ΘD [ K]
[ mJ mol−1 K−2 ]
ΘD [ K]
[ mJ mol−1 K−2 ]
Li
400
1,63
Cu
315
0,69
Na
150
1,38
Ag
215
0,61
Ka Be
100
2,08
Au
170
0,75
1000
0,19
Zn
234
0,54
Mg
318
1,24
Cd
120
0,66
Ca
230
2,52
Hg
100
1,94
Al
394
1,35
Ga
240
0,6
elem
γ
elem
γ
In
129
1,66
Mn
400
14
Fe
420
5,0
Pb
88
2,72
Co
385
4,7
Pt
230
6,8
Ni
375
7,1
Bi
120
0,077
Sb
200
2,72
La
132
7,1
1.4.2. A kilépési munka Fémfelületb®l hevítés vagy ultraibolya sugárzás hatására elektronok léphetnek ki.
A kísérletek szerint a fémb®l való kilépéshez az elekt-
ronnal egy jól meghatározott zérus fokon ez a
Wk
Wk
energiértéket kell közölni. Abszolút
energia a Fermi-nívó fölötti poten iálként jelenik
meg. Más szóval az elektron a fémfelületb®l
W = WF + Wk
energia
esetén tud kilépni. A 1.6. táblázatban néhány fém kilépési munkáját tüntettük fel:
1.6. táblázat. fém
Wk
fém
2,48 2,3 2,2 1,9 4,45
Ba Al Cr Mo Ta
[eV℄ Li Na K Cs Cu
Wk
fém Ag
4,46
Wk
fém W
Wk
2,5 4,2 4,6 4,2 4,2
Au Mg Ca
4,9 3,6 3,2
Co Ni Pt
4,4 4,9 5,3
[eV℄
4,5
82
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
1.4.3. A termikus elektronemisszió A termikus elektronemisszióval kap solatban már megismertük az ún. Ri hardson formulát, amely elég jól egyezett a tapasztalattal. A fémek szabadelektron modellje alapján pontosabb eredményre jutunk. A szabadelektron modellben az elektronoknak sak poten iális energiájuk van és egymással sem hatnak köl sön.
Így az impulzus és a
kinetikus energia közötti kap solat a következ®:
Wk =
1 p2x + p2y + p2z . 2m
(1.86)
Ahhoz, hogy az elektron ki tudjon lépni a fémfelületb®l nem sak rendelkeznie kell a kilépéshez szükséges energiával, hanem a megfelel® irányba (a felület felé) kell haladnia. Tegyük fel, hogy az elektron a fém felületére mer®legesen
x-irányba
mozog:
p2x > WF + Wk 2m
(1.87)
Azonban még ilyen feltételek mellett sem biztos, hogy az elektron ki tud lépni a fémfelületb®l, ugyanis a kvantumme hanikában valamilyen valószín¶séggel visszaver®dik az elektron a poten iálfalról. A kijutás valószín¶sége
1 − r(p x ),
ahol
r(p x )
a re exiós koe iens. Ha azoknak
az elektronoknak a száma, amelyek impulzusa
px
és
dp x
közés esik
n(p x ) dp x , akkor azoknak az elektronoknak a számát, amelyek egy másodper alatt elérik a fém felületét (pontosaban annak egy egységnyi felület¶ részét) a következ®képpen adhatjuk meg:
px n(p x ) dp x . m
(1.88)
A kilép® elektronok száma:
{1 − r (p x )}
px n(p x ) dp x . m
(1.89)
A termikus elektronárams¶r¶séget megadó formulában még gyelembe vesszük, hogy az a legkisebb
p x 0 impulzus, amely esetén az elektron ki-
léphet akkora, hogy az ehhez tartozó kinetikus energia éppen egyenl®
1.4.
A FÉMEK SOMMERFELD-FÉLE SZABAD-
83
ELEKTRON MODELLJE
W F + W k -vel.
Másszóval a
p x 0 -nál
kisebb impulzusú elektronokról
feltettük, hogy nem képesek kilépni a fémfelületb®l. Ez alapján a termikus elektronárams¶r¶ség:
e J= m
Z∞
px0
{1 − r (p x )}
px n(p x ) dp x . m
(1.90)
Ennek az integrálnak a kiértékelése elég hosszadalmas és nehéz. Ezért ett®l eltekintünk. A végeredmény:
J=
4 π e m k2 (1 − r) T 2 e−Wk /k T . h3
(1.91)
Néhány megjegyzést kell tenni a levezetéssel kap solatban. Valódi kristályban a
WK
kilépési munka h®mérsékletfügg®, függ a kristály
felületét®l és a kristály tengelyeinek irányától. A sok egyszer¶sít® feltétel mellett azt sem vettük gyelembe, hogy az elektronok kilépése a fémfelületb®l pozitív töltések visszamaradását eredményezi, ami gátolja a további elektronok kilépését. Ezt elkerülhetjük úgy, hogy gondoskodunk az elektronok pótlásáról úgy, hogy az elektronforrást egy áramkörbe helyezzük (pl. elektron s® izzókatódja).
1.4.4. A kontaktpoten iál Ha két különböz® fémet érintkezésbe hozunk egymással, akkor közöttük poten iálkülönbség lép fel, amelyet
kontaktpoten iálnak
nevezünk.
Ez a jelenség értelmezhet® a fémek Sommerfeld-féle szabadelektron modelljével. Tegyük fel, hogy a két különböz® fém h®mérséklete abszolút nulla fok. Ekkor a poten iálgödör összes energianívója a Fermi-nívóig teljesen betöltött. hogy az
WF
A szabadelektron-modell alapján megmutatható,
és az elektronok
ne
kon entrá iója között a következ®
összefüggés áll fenn:
WF = Legyen az egyik fém
W F 2,
2/3 ~2 3 π2 n e . 2m
WF1
(1.92)
Fermi-nívója magasabb, mint a másiké
ahogy a 1.26. ábrán láthatjuk. A két nívó különbségéb®l követ-
kezik, hogy az els® fémben az elektronok kon entrá iója nagyobb mint
84
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
a másik fémben. Ennek következtében a magasabb Fermi-nívójú fémb®l elektronok diundálnak az ala sonyabb nívójúra. A diúzió után az els® fém pozitív a második negatív többlettöltésre tesz szert.
Az
elektronok diúziója addig tart amíg a két fém Fermi-nívója egyenl® érték¶ nem lesz. Ez a folyamat fémek energianívóinak eltolódása révén, már relatív kevés elektron hatására bekövetkezik. Az elektronok kilépéséhez szükséges energiaérték viszont nem változik. fém1
fém2 eU 1 2
Wk1
Wk
W1 WF
Wk
2
Wk1
2
W2
WF 2
WF 1
1
WF 2
eU ’
12
öszzeérintés elõtt
a kiegyenlítõdési folyamatok után
1.26. ábra. Két fém Fermi-nívói az összeérintés el®tt és után
A 1.26. árán látható
séget
U1 2
a két fém közötti
kontakt-poten iálkülönb-
jelenti. Értéke a következ®képpen határozható meg:
U1 2 =
Wk 2 − Wk 1 e
(1.93)
Mivel ez a feszültség a fémek felülete közelében lév® elektronokra vonatkozik ezt
különbségnek
Volta-féle feszültségnek
vagy
küls® kontakt-poten iál-
nevezzük megkülönböztetésül a fémek belsejében lév®
elektronokra ható feszültségt®l. Az els® fémben lév® elektron poten iális energiája
WF 1 − WF 2
értékkel kisebb, mint a második fémben lév®
elektroné. A poten iálkülönbség:
U1′ 2 =
WF 1 − WF 2 . e
bels® kontakt-poten iálkülönbséget
(1.94)
Ez a kifejezés a adja meg. A poten′
iál U1 2 értékkel sökken, ha az els® fémb®l a másodikba átlépünk.
1.4.
A FÉMEK SOMMERFELD-FÉLE SZABAD-
85
ELEKTRON MODELLJE
Volta ismerte föl, hogy a fémeket ún. feszültségi sorba lehet állítani. Ilyen
Volta-féle feszültségi sor
Fe-Cu-Ag-Au-Pt.
pl. a következ®: Al-Zn-Pb-Sb-Bi-
A sor két tagjainak összeérintésekor az el®bb álló
lesz pozitív. Érdemes rámutatnunk arra, hogy kontakt-poten iálkülönbség fém és elektrolit
9
érintkezésénél is föllép. Ezen alapul a galvánelemek m¶-
ködése.
⋆
A vezetési jelenségek fenomenológikus áttekintése
A
fenomenologikus módszer
szerint a mérhet®, makro zikai jellemz®k közötti kap-
solatokat vizsgáljuk. A küls® és bels® elektromos és mágneses terek, a h®mérsékletkülönbség hatására töltéstranszport folyamatok mehetnek végbe. A töltéshordozók irányított mozgásával nem sak elektromos áram jön létre, hanem energiaszállítás, h®áram is fellép.
Onsager
nevéhez f¶z®d® általános értelmezés szerint egy rendszert kétféle, az
extenzív (mennyiségt®l függ®) és az intenzív (mennyiségt®l független) paraméterhalmaz jellemez. Az intenzív mennyiségeket kiegyenlít®d® mennyiségeknek is nevezzük. Ilyen mennyiségek pl. a h®mérséklet, a nyomás, az elektromos poten iál. Az intenzív mennyiségek kiegyenlít®dése mindíg extenzív mennyiségek (pl. energia, tömeg, elektromos töltés) áramlásával megy végbe. A h®mérséklet különbség energiaáramlással, a nyomáskülönbség tömegáramlással a poten iálkülönbség elektromos töltések mozgásával egyenlít®dik ki. Általában, ha az intenzív jellemz®k gradiense nem zérus, felírható, hogy:
Ext. menny. árama = Vezetési együttható ×
int. mennyiség )
grad(
A gradiens egy olyan vektor, amely a skaláris mennyiség legnagyobb változásának irányába mutat.
grad (f (x, y, z))
A h®mérséklet
=
∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) , , ∂x ∂y ∂z
f (x, y, z) = T (x, y, z) = T gradiense: ∂T ∂T ∂T , , , grad (T ) = ∂x ∂y ∂z
amelyet természetesen sak a h®mérséklet eloszlásának ismeretében tudunk kiszámítani. Elektromos töltések áramlása nem sak elektromos poten iálkülönbség hatására hanem, kon entrá ió és h®mérsékletváltozás hatására is bekövetkezik: 9
Sók és savak vizes oldatát elektrolitnak nevezzük.
86
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
J = σ grad ( φ) − Az 1.95 egyenletben
Wf
a Fermi-nívó,
S
J
1 grad ( W F ) − σ S grad ( T ) q
árams¶r¶ség vektor,
Seebe k-tényez®,
T
φ az elektromos poten iál, q
(1.95)
töltés,
h®mérséklet.
Az elektromos árammal együtt h®áram is kialakul:
w = T SJ −κS
grad (T ) .
(1.96)
κ a fajlagos h®vezetési együttható. Gyakran az árams¶r¶séget a T S szorzat Π -vel, az ún. Peltier-tényez®vel szorozzuk, mert Π = T S . A h®vezetésért részben az elektronok κ elektron , részben a kristályrá s sajátrezgései a fononok κ fonon a felel®sek. Viszont fémek és ötvözetek esetén az elektronok Itt
helyett
járuléka a meghatározó.
⋆
A vezetési jelenségek egydimenzióban
Homogén anyagban
a Fermi-nívó gradiense zérus, így az 1.95 egyenlet a következ®
alakú:
J = σ grad ( φ) − σ S grad ( T ) .
(1.97)
A h®áram pedig a 1.96 egyenlet alapjan:
w = Π J −κS
grad (T ) .
(1.98)
Ha a vezet® állandó h®mérséklet¶, visszakapjuk a jól ismert dieren iális Ohmtörvényt:
J = 0,
J = σ E.
és grad(T )
A w = Π J a kialakuló h®áramra utal. Ha a vezeték nyitott 6= 0 φ = S (T2 − T 1), azaz a h®mérséklet különbség hatására
poten iálkülönbség jön létre. A h®áramra pedig a közönséges h®vezetés egyenletét kapjuk vissza
w = −κ
grad (T ).
Kétféle anyag kontaktusa esetén mint korábban rámutattunk a Fermi-nívók
kiegyenlít®dése töltésmozgással megy végbe. Ha a h®mérséklet gradiense nulla, a határfelülteken a h®áramnak ugrása van, itt h® keletkezik vagy nyel®dik el
w B = Π AB J .
Így m¶ködnek a Peltier-h¶t®elemek.
Ha az áramkör nyitott van, azaz grad(T )
6= 0
J = 0,
wA −
de a szabad végek között h®mérsékletkülönbség
a szabad végek között
U AB = (S A − S B ) (T2 − T1 ) = S AB (T2 − T1 )
(1.99)
termofeszültség keletkezik. Ilyen elven m¶ködnek a h®elemek. Mágneses tér jelenlétében a mozgó töltéshordozókra er® hat, melynek nagysága
F = q E + q (v × B). változás.
Ezzel kap solatos a Hall-eektus és a mágneses ellenállás-
1.5.
87
A KVÁZISZABAD ELEKTRON MODELL
1.5.
A kváziszabad elektron modell
A fémek legtöbb tulajdonsága jól modellezhet® a szabad elektron modell alapján.
Viszont félvezet®k és a szigetel®k tulajdonságait ez a
modell nem írja le helyesen. Valójában az elektronok nem egy
L
olda-
lél¶ poten iálgödörben, hanem a pozitív rá sionok alkotta periodikus poten iáltérben mozognak, így nem tekinthet®k szigorúan véve szabadnak. Ezt a periodikus poten iálteret a 1.27. ábrán szemléltettük. Így állapotukat sem síkhullám írja le. Számos esetben az elektron-ionrá s köl sönhatása egy kváziszabad modell keretében is modellezhet®. Ekkor a szabad elektron modellt®l eltér®en az elektronok tömegét egy ún. eektív tömeggel azonosítjuk. Az eektív tömeggel vesszük gyelembe az elektron-ionrá s köl sönhatást.
V x fém határfelület
0 potenciál
V0
fémion 1.27. ábra. A periodikus poten iáltér egydimenzióban
⋆
A Blo h-függvény és a szoros kötés¶ közelítés
A
szoros kötés¶ közelítés ben
azt feltételezzük, hogy az atomok kezdetben vona-
las energaiszintjei egymás közelében megváltoznak és az atomok hullámfüggvényei átfedik egymást. Az egyszer¶ség kedvéért vizsgáljunk egydimenziós kristályt. A periodikus poten iáltérben mozgó elektron id®független S hrödinger-egyenlete:
−
~2 d2 ψ k (x) + V (x) ψ k (x) = W (k) ψ k (x). 2m dx2
(1.100)
88
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
A poten iál periodikus, azaz teljesül, hogy
V (x + n a) = V (x), a
ahol
kristályra jellemz® rá sállandó
Az ún.
Blo h-Floquet tétel
n
(1.101)
pedig egész szám.
szerint a periodikus poten iáltérben mozgó elektron
hullámfüggvénye a következ® alakú:
ψ k (x) = u k (x) ei k x , amelyben
u k (x)
(1.102)
periodikus függvény melynek periódusa megegyezik
V (x)
periodi-
itásával:
u k (x + a) = u k .
(1.103)
Belátható, hogy az elektronra vonatkozó megtalálási valószín¶ségs¶r¶ség értéke ben
x + a-ban x + 2 a-ban
x-
azonosak, ezért
|ψ k(x) |2 = |ψ k (x + a)|2 .
(1.104)
A Blo h-függvény egy rá speriodikus függvénnyel modulált síkhullám.
A
k
hul-
lámszám lehetséges értékeit a határfeltételek határozzák meg. Általában ún. periodikus határfeltételt szoktak el®írni. Ez hasonló ahhoz, mikor egy igen hosszú,
N
atomot tartalmazó egydimenziós rá sot egy kör mentén önmagába visszahajlítunk
xN +1 = x1 .
A
ψ k (x)
hullámfüggvénynek meg kell egyeznie a rá sállandó egész
számú többszörösével eltranszformált kus határfeltétel megköveteli, hogy
ψ k (x − N a)
hullámfüggvénnyel. A periodi-
ei k N a = 1.
(1.105)
Ebb®l következik, hogy
k= Ha
N
vel a
2π n, Na
melyben
n = 1, 2, 3 . . .
1020 , akkor k majdnem folytonos 2π/a-val különbözhetnek egymástól.
nagyon nagy érték¶ pl.
k
értékek minimálisan
(1.106) eloszlású.
Mi-
Ezért a zikai
szempontból fontos tartomány a következ®:
−
π π
(1.107)
amelyet egydimenziós kristályokra vonatkozó els® Brillouin-zónának neveznek. Háromdimenzióban a Brillouin-zóna egy poliéder a
⋆
k-vektorok
terében.
Energiasávok és az eektív tömeg
Az egydimenziós S hrödinger-egyenlet megoldása a szoros kötés¶ közelítésben arra az eredményre vezet, hogy
W (k) = W0 − 2 W1 cos(k a),
(1.108)
1.5.
A KVÁZISZABAD ELEKTRON MODELL
ahol
W0
89
egy magányos atom elektronjának energiája és
W1
pedig egy ún. átfedési
integrál, amely függ a periodikus poten iáltól és attól, hogy az atomi hullámfüggvény milyen mértékben fedi át a szomszédos iont. A giasávok megjelenését a 1.28. ábrán láthatjuk. Az
s
és
p
s
W (k)
p
és
függvényt és az ener-
indexek a hidrogénszer¶
elektronpályákra utalnak.
Mivel az energia a
k
0-tól ±π/a
hullámszám függvénye, amely
az energiafüggvény változása:
változhat, így
W (0) = W0 − 2 W1
(1.109)
W (± π/a) = W0 + 2 W1
(1.110)
W(k) p
2 W1 W
p
0
s
W
2 W1
s
0
k −
/a
0
/a
1.28. ábra. Energiasávok a szoros kötés¶ közelítésben; az energiasávok szélességét az átfedési integrál határozza meg
Az
N
atomi energiaszint
szálesség arányos az
W1
4 W1
szélesség¶ energiasávvá szélesedik ki.
A sáv-
átfedési integrállal és növekszik, ha az atomok közötti
távolság sökken mivel ekkor az atomi elektronok hullámfüggvényeinek átfedése er®södik. Ha az atomokat nagy távolságra helyezzük egymástól az átfedési integrál elt¶nik (W1 Közel a
→ 0) és a sáv N k = 0 értékhez a
különálló energiaszintre redukálódik, ahol
W = W0 .
koszinusz függvény hatványsorba fejthet®:
k 2 a2 W (k) = W0 − 2 W1 1 − = W0 − 2 W1 + (W1 a2 ) k 2 2 Tehát az energiaminimumhoz közel, letet a következ® alakban írhatjuk:
W (k)
arányos
k 2 -tel.
(1.111)
Így a (1.111) egyen-
90
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
W (k) = konstans + ahol
m∗
~2 k 2 , 2 m∗
(1.112)
az adott sávban lév® elektron ún. eektív tömege
m∗ =
~2 , 2 W1 a2
(1.113)
a szoros kötés¶ közelítés keretein belül. Kis
k
értéknél az elektron tulajdon-
ságait úgy kezelhetjük, mintha egy m tömeg¶ szabad elektron tömegét egyszer¶en m∗ -ra serélnénk. A sáv sú sához közel viszont a π/a körüli sorfejtés negatív effektív tömeget ad. Ezt a jelenséget úgy magyarázzuk, hogy az elektron helyett egy
lyuk mozog. kvázi szabad elektron közelítés ben az energia hullámszámtól való függése
pozitív töltés¶ elektronhiány ún. A
W (k) =
~2 k 2 , 2 m∗
(1.114)
ahol az eektív tömeg függ a periodikus poten iál alakjától. Nagyon fontos, hogy közelítésünkben az energia a hullámszámnak nem folytonos függvénye. értékeinél ún.
tiltott sávok
k = ±n (π/a)
jelennek meg, ahogy a 1.29. ábrán látható.
hullámfüggvények Blo h típusúak
ψk (x) = ψk± 2π/a (x)
következésképpen
Mivel a
W (k) =
W (k ± 2π/a).
W Energia
Megengedett sáv
Tiltott sáv
Megengedett sáv Tiltott sáv Megengedett sáv
−2
/a
−
/a
/a Hullámszám
2 /a
k
1.29. ábra. Megengedett és tiltott energiasávok a szoros kötés¶ közelítésben; a
W (k) k 2 -tel
arányos (szaggatott vonal)
1.5.
⋆
91
A KVÁZISZABAD ELEKTRON MODELL
A fémek elektromos ellenállásának értelmezése
Egy szabad elektron állapotát jellemezhetjük a ha egy elektronra
F
k-vektorral.
Megmutatható, hogy
er® hat, a hullámfüggvény id®beli változása Newton második
törvényének tesz eleget:
F =
dk dp =~ dt dt
(1.115)
Ez az összefüggés jó közelítéssel igaz marad kváziszabad Blo h-elektronokra is.
E elektromos tér hatására a fémkristály elektronjainak hullámvektora id®ben F = −e E . Ki siny ∆ t id®tartam múlva a k = 0 középpontú, gömbszimmetrikus f0 FermiDira -eloszlás az F irányában eltolódik. Ezt szemlélteti a 1.30. ábra. Az új közép′ pont helye k = −(e E/~) ∆ t Küls®
változik a 1.115. összefüggésnek megfelel®en. Az elektronra ható er®
ky
ky
E a gyorsulás iránya
0
kx
0
(a)
kx
(b)
1.30. ábra. Az elektrongáz egyensúlyi és majdnem egyensúlyi eloszlása a k-térben konstans küls® elektromos tér hatására
A fémkristályban számos olyan me hanizmus van, amely az elektronhullám megváltozott eloszlását az egyensúlyi állapot felé tereli. jellemz®
Az egyensúlyi állapotra
f0 eloszlás elérésének gyorsaságát jellemzi w = 1/τ , ahol τ
az ún. relaxá iós
id®. Tételezzük föl, hogy a fémben lév®, küls® elektromos mez® alakja
E = (Ex , 0, 0).
Szemeljük ki az áram kialakításában részt vev® egyik elektront. Az általa létrehozott árams¶r¶ség vektor nagysága:
jx = −e vx = − Felhasználtuk, hogy
v = p/m.
összessége alakítja ki. az
f0
e ~ kx . m∗
(1.116)
Az ered® árams¶r¶séget az összes egyedi elektron
Egyensúlyi állapotban az ered® árams¶r¶ség zérus, mivel
eloszlás gömbszimmetrikus a
k = 0
entrum körül.
ban minden elektron hullámvektorára teljesül, hogy
A megzavart eloszlás-
kx = −e Ex τ /~.
Így a teljes
92
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
árams¶r¶ség (N darab elektront tekintve):
e~ e Ex τ N e2 τ Jx = N jx = N − ∗ − E = m ~ m∗ | {z }
(1.117)
kx
Mivel a fajlagos ellenállás és a fajlagos vezet®képesség:
J , E
ρ=
1 , σ
(1.118)
N e2 τ , m∗
ρ=
m∗ . N e2 τ
(1.119)
σ= így
σ= Mivel
N, e
és
m∗
egy adott anyagra jellemz®, az ellenállás függését a h®mér-
séklett®l és a kristály tökéletlenségét®l a
τ
paraméter tartalmazza. Az elektromos
ellenállást különböz® szórási folyamatok okozzák. A szórási folyamatok egyik része a kristály tökéletlensége miatt lép föl. Az elektronhullám szóródik az idegen atomokon, beékel®dési hibákon, rá slyukakon. Minél tökéletlenebb a kristály, annál nagyobb
w értéke vagy ami ugyanaz rövidebb a τ
relaxá iós id®. A relaxá iós id®
arra jellemz®, hogy a rendszer milyen gyorsan felejti el a küls® zavar (perturbá ió) hatását. Kis relaxá iós idej¶ rendszerek viszonylag gyorsan visszaállnak egyensúlyi állapotúkba valamilyen küls® behatás után. A tökéletesen hibamentes egykristály szerkezet is rendelkezik ellenállással. Ennek oka az, hogy az elektronhullám köl sönhatásban áll az egész kristályra kiterjed®, kvantált energiájú sajátrezgésekkel, a fononokkal. ája
h νf ,
ahol
A fononok száma függ a h®mérséklett®l.
νf
Mivel a fononok energi-
a rá srezgés frekven iája, a fononok száma egyenesen arányos a
kristály teljes termikus energiájával. A kristály termikus energiáját a mólh® h®3
mérséklet szerinti integráljaként számítjuk. A mólh® alakú, melyben
γ
ez elektronok,
A
C = Ce + Cf = γ T + A T
pedig a kristályrá s járuléka.
Az elektronok
járuléka a kristályrá s fajh®jéhez képest saknem minden h®mérsékleten elhanya4 golható Ce ≪ Cf . A rá srezgések járulékából származó Cf fajh® integrálja T -el arányos.
Pontosabb számítások szerint ala sony h®mérsékleten az ellenállás h®mérsékT 4 -al hanem T 5 -el arányos. A fononszórás miatt jelenlév®, ρi (T )
letfüggése nem
ideális ellenállás h®mérsékletfüggése a következ® alakú:
ρi (T ) = 500 ρi (ΘD ) ahol
T ΘD
5
,
(1.120)
ΘD az ún. Debye h®mérséklet és ρi (ΘD ) az ideális ellenállás a Debye-h®mérsékleten. Cf = 3 R. Ebb®l következik, hogy
Szobah®mérsékleten a fémkristály mólh®je
magas h®mérsékleten a fémkristály ellenállása lineárisan függ a h®mérséklett®l, mivel a konstans fajh® h®mérséklet szerinti integrálja
3RT.
1.5.
93
A KVÁZISZABAD ELEKTRON MODELL
Általában az elektromos ellenállást számos szórási folyamat együttes hatása eredményezi. Jó közelítéssel ezeket függetlennek tekinthetjük egymástól:
w= ahol
τ f , τ sz
és
τh
1 1 1 1 + + , = τ τf τ sz τh
(1.121)
relaxá iós id®k az elektronhullám köl sönhatására utalnak a
fononokkal, a szennyez® atomokkal és a kristályhibákkal.
A fajlagos ellenállást
ezért a következ® alakban szokták fölírni:
ρ = ρ id + ρ ma , ahol
ρ id
az
(1.122)
ideális kristály ellenállása, a ρ ma pedig a szennyez®atomokkal és krismaradék ellenállás. A fajlagos ellenállás h®mérsékletfüg-
tályhibákkal kap solatos
gését a 1.31. ábrán láthatjuk.
ρ
reális fém
α ρm ideális fém
0
T
1.31. ábra. A fajlagos ellenállás h®mérsékletfüggése, tiszta és ötvözött fémekre
1.5.1. Vezet®k, szigetel®k és félvezet®k Ha egy energiasáv sak részlegesen betöltött, egy sávbeli elektron a termikus uktuá iókból könnyen szerezhet annyi energiát, amennyi egy másik energiaszint betöltéséhez szükséges. Mivel egy
s
sáv
2N
számú
elektront tartalmazhat és pl. az alkáli fémek atomonként sak egy valen ia elektronnal rendelkeznek, a vezetési sáv sak részlegesen lehet betöltött.
Ez alapján az alkáli fémeknek jó vezet®knek kell lenniük
és a tapasztalatok szerint ez igaz is.
Viszont ez az okoskodás nem
igaz az alkáli-földfémek esetén, ugyanis az atomonkénti két vegyértékelektron a valen iasávjukat teljesen betölti. Valójában ezen elemek
s
94
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
W
p sáv
Wf
s sáv /a
k 1.32. ábra. Ha az
és
p
s
és a
p
sávok átfedik egymást, az anyag jó vezet®
sávjai átfedik egymást (lásd 1.32. ábrát), így egyik sáv sem le-
het teljesen betöltött. Az alkáli-földfémek elektronjai az alapasávban
s
és
p
pályákat egyaránt elfoglalhatnak, de betölteni teljesen egyiket
sem tudják, hiszen mindkett®nek van a Fermi-szintnél magasabb energiatartományú része. A fémek fajlagos vezet®képessége nagyobb mint 104 (Ω m)−1 . A vezet®képesség helyett az anyagokat a töltéshordozó elektronok számával is jellemezhetjük. Fémekben szobah®mérsékleten −3 22 a vezetési elektronok kon entrá iója nagyobb mint 10
m . A fémeknél a szokásosnál kisebb vezet®képességet kaphatunk akkor is, ha az energiaspektrumban a tiltott tartomány nagyon keskeny, vagy nin s is tiltott tartomány a Fermi-nívó közelében, de az elektronállapotok s¶r¶sége ott ki si. Az ilyen anyagokat
félfémek nek nevezzük.
Ide
tartozik a periódusos rendszer V.A oszlopában található arzén, antimon és bizmut, valamint a IV.A oszlophoz tartozó gra t. Vezet®képességük éppen a fémekre megadott alsó határnak felel meg. Félfémeknél 1017 és 1021 m−3 között van.
a vezetési elektronok kon entrá iója
Szigetel®k esetén a legmagasabb energiasáv ténylegesen betöltött és egy minimum 3 eV széles ún.
tiltott sáv
választja el a következ® ma-
gasabb energiájú sávtól. A szigetel®beli elektron nem képes termikus gerjesztés hatására az olvadáspont alatti h®mérséklettartományban magasabb energiasávba jutni. −10 (Ω m)−1 . mint 10
A szigetel®k vezet®képessége kisebb
A félvezet®k valójában szigetel®k, de a legföls® elektront tartalmazó
1.5.
95
A KVÁZISZABAD ELEKTRON MODELL
alap- vagy valen iasáv ot keskeny (0-1,5 eV szélesség¶) tiltott sáv választja el a következ® magasabb energiasávtól, a vezetési vagy konduk iós sávtól. Germánium esetén a tiltott sáv mérete 0,7 eV,
sávjukat, az
a szilí ium tiltott sávja 1,1 eV. A félvezet®k fajlagos vezet®képessége 104 (Ω m)−1 és 10−10 (Ω m)−1 között helyezkedik el. A germánium −2 fajlagos vezt®képessége 2, 1 · 10 (Ω m)−1 , a szilí iumé 3, 16 · 10−6 (Ω m)−1 . A töltéshordozók kon entrá iója 1013 és 1010 m−3 . A relatív keskeny energiasáv lehet®vé teszi, hogy az elektronok a termikus gerjesztés hatására a vezetési sávba kerüljenek.
Ennek ha-
tására az alapsávban pozitív töltés¶ lyuk marad vissza, amely szintén hozzájárul a vezetéshez. Mivel a vezetési sávba kerül® elektronok száma érzékenyen függ a h®mérséklett®l, a h®mérséklet növekedésével a vezet®képesség exponen iálisan növekszik. Azokat a félvezet®ket, amelyekben az alapsávbeli elektronok termikus gerjesztés hatására a vezetési sávba kerülhetnek ún.
sajátvezet®knek
nevezzük.
96
FEJEZET 1.
1.6.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
A félvezet®k
A két legfontosabb félvezet® elem a
germánium
(Ge) és a
szilí ium
(Si). Mint korábban említettük a germánium tiltott sávja 0,75, a szilí iumé pedig 1,1 eV szélesség¶. Atomi állapotban ezen elemek küls® elektronhéján 4-4 elektron található. A küls® s és p héjon elhelyezked® sp3 hibridizá ióval az egyes atomok között négy egyenrangú
elektronok
kovalens kötés jön létre, ezért a tiszta szilí ium és germánium gyémántrá sban kristályosodik.
⋆
Sajátvezet®k
Számítsuk ki a sajátvezet®k egyensúlyi elektron- és lyukkon entrá ióját. Feltételezzük, hogy a töltéshordozók energiája:
W (k) = ahol
m∗
~2 k 2 , 2 m∗
(1.123)
(eektív tömeg) értéke pozitív a vezetési sávban lév® elektronokra és ne-
gatív a valen ia sávban lév® lyukakra. Az
n
elektronkon entá ió:
n=
Z∞
gv (W ) f0 (W ) dW,
(1.124)
Wv ahol
f0 (W ) a Fermi eloszlás, gv (W ) az állapotok s¶r¶sége a vezetési sávban és Wv
a
vezetési sáv határa. Az alapsávban lév® lyukak kon entrá ióját (p-t) hasonló meggondolások alapján számíthatjuk ki, gyelembe véve azt, hogy a
ga (W ) alapsávbeli
állapots¶r¶séget a betöltetlen állapotok valószín¶ségével kell megszorozni.
p=
Z∞ 0
ga (W ) [1 − f0 (W )] dW.
(1.125)
Ahogy a 1.33. ábrán is láthatjuk, az energiaszint nulla értékét az alapsáv sú sánál választottuk meg. Így a vezetési sáv minimális értéke éppen az sáv energia értékével egyezik meg
WT
tiltott
Wv = WT .
Mivel sajátvezet®kben egy elektron sak úgy kerülhet a vezetési sávba, hogy az alapsávba egy lyukat hagy hátra
n = p.
(1.126)
Általában véve el®z® egyenleteinket nem tudjuk zárt alakban kiértékelni. Viszont sok esetben a Fermi-Dira eloszlást helyettesíthetjük a Maxwell-Boltzmann eloszlással. Ekkor az 1.124 és az 1.125 egyenletek könnyen meghatározhatók.
1.6.
97
A FÉLVEZETK
Energia
W
vezetési sáv
Wv tiltott sáv
WT
Wa
0
k alapsáv
1.33. ábra. Félvezet®k idealizált sávszerkezete
Sajátvezet®k esetén a Fermi energia körülbelül az alap- és a vezetési sáv közé esik.
Mivel az
kT ≈ 0, 025
WT
tiltott sáv értéke 0,2-1,5 eV közé esik és szobah®mérsékleten W ≥ Wv , e(W −WF )/kT ≥ e10 ≫ 1. Így vezetési
eV ebb®l következ®en
sáv összes állapotára:
f0 (W ) ≈ e−(W −WF )/kT .
(1.127)
Hasonlóan az alapsáv összes állapotára:
1 − f0 (W ) ≈ e−(WF −W )/kT . Ezen egyszer¶sít® feltételek gyelembevételével
ahol
n
= 2
p
= 2
mn és mp az elektron WF Fermi-nívó:
mn k T 2π~2 mp k T 2π~2
3/2
3/2
n
és
(1.128)
p
meghatározható:
e−(WF −W )/kT ,
(1.129)
e−WF /kT ,
(1.130)
és a lyuk eektív tömege. A két egyenletet összehason-
lítva az
1 3 WF = WT + kT ln 2 4 és az
n
mp mn
(1.131)
elektronkon entrá ió:
n=p=2
kT 2π~2
3/2
3/4
(mn mp )
e−WT /2kT .
(1.132)
98
FEJEZET 1.
Ha sak nem
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
mp mn ≫ 1
vagy
mp mn ≪ 1, kT
összemérhet®
WT -vel,
azaz a
Fermi-nívó a tiltott sáv közepéhez nagyon közel helyezkedik el.
1.6.1. Szennyezéses félvezet®k A leggyakrabban használt
szennyez®k
a három, illetve öt vegyérték-
elektronnal rendelkez® elemek. Három vegyértékelektronnal rendelkezik pl. a bór, az indium és a gallium, öttel pedig az arzén, az antimon és a foszfor. Ezek az elemek könnyen beépülnek a germánium-, ill. szilí iumrá sba és módosítják az alapkristály sávszerkezetét. Ezt láthatjuk a 1.34. ábrán. elektron
E vezetési sáv Donor nívók
A s+
elektron
lyuk
Ge Akceptor nívók
elektron
alapsáv lyuk
1.34. ábra. Bal oldalt: Arzénnal szennyezett germánium alapkristály; jobb oldalt: A szennyezés hatása a kristály sávszerkezetére
Öt vegyérték¶ szennyez® esetén az alapkristályhoz képest többletelektronok kerülnek a kristályrá sba. Ezért az öt vegyérték¶ szennyez®ket donor adományozó atomoknak nevezzük. A szennyez®kön lév® többletelektronok a tiszta félvezet® tiltott sávjában a vezetési sáv közelében fekv®, ezért könnyen gerjeszthet® energiaállapotokat hoznak létre. Így szennyezett anyagokban termikus aktiválás hatására többletelektron gerjeszt®dhet a vezetési sávban, mint a tiszta félvezet®ben. A küls® elektromos tér hatására meginduló elektromos áramot ekkor els®sorban a vezetési sávban lév® elektronok hozzák létre. Emiatt ezeket
n (negatív) típusú félvezet®knek nevezzük. három vegyérték¶ szennyez® knek az alaprá shoz képest elektron-
a félvezet®ket A
hiányuk van, ezért képesek az alaprá s egyes elektronjainak befogására.
1.6.
99
A FÉLVEZETK
Emiatt ezeket az atomokat
ak eptor
(befogadó) atomoknak nevezzük.
Ezek az elemek a tiszta félvezet® sávszerkezetét úgy módosítják, hogy a tiltott sávban az alapsáv közelében hoznak létre üres energianívókat. Küls® elektromos tér hatására ezekben az anyagokban is áram indul meg, a folyamat domináns része azonban az alapsávban visszamaradó lyukak révén megy végbe. Mivel pozitív töltés¶ lyukak vándorolnak az elektronokkal ellentétes irányban az ilyen típusú félvezet®ket
típusú
p (pozitív)
félvezet®knek nevezzük.
ln n
sajátvezetés tartománya
telítési szakasz
T nagy
T kicsiny
1/T 1.35. ábra. Az elektrons¶r¶ség változása 1/T függvényében
Szennyezéses félvezet®kben az elektronok vagy a lyukak száma:
|ND − NA |,
ahol
ND
és
NA a donor és az ak eptor szennyez®k száma. n-típusú félvezet® h®mérsékletfüggése olyan
Magas h®mérsékleten az
mint a szennyezetlen alapkristályé (lásd 1.35. ábrát). szakaszt a
sajátvezetés tartományának
nevezzük.
Ezért ezt a
Szobah®mérséklet
környezetében a töltéshordozók kon entrá iója állandó. Elég ala sony h®mérsékleten a töltéshordozók száma a termikus gerjesztés hiánya miatt exponen iálisan sökken.
Ekkor az exponen iális sökkenés
mértéke a szennyez®atomok ionizá iós energiájával arányos. Az a h®mérséklettartományt, amelyben a töltéshordozók száma független a h®mérséklett®l ún.
telítési szakasznak
nevezzük.
1.6.2. Félvezet® áramköri elemek A harmadik ipari forradalom a félvezet®k felfedezésével kezd®dött és a mikroelektronika igen nagyarányú fejl®déséhez vezetett.
100
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
A p -n átmenet Gondolatban érintsünk össze egy
n
és
p
10
típusú félvezet®anyagot.
Az
összeérintés el®tt az egyes kristályok Fermi-nívói különböznek egymástól. Ezt láthatjuk a 1.36. ábra bal oldalán. Termodinamikai megfontolások alapján kimutatható, hogy az összeérintés után a Fermi-nívó az egész kristályban azonos kell legyen (1.36. ábra jobb oldala).
Az
összeérintés után a mozgékony töltéshordozók a diúzió hatására igyekeznek a kon entrá iókülönbségeket kiegyenlíteni. oldalról elektronok a
p
nerá iós árams¶r¶ség et hoz létre.
n
típusú
Jg
ge-
Az elektronokhoz hasonlóan lyukak
diundálnak az ellenkez® irányba, amely egy
s¶r¶ség et hoz létre.
Ezért az
típusú régióba diundálnak, amely egy
Mindkét folyamat az
n
Jr
rekombiná iós áram-
típusú régió pozitív feltöl-
t®déséhez vezet. Egy id® múlva a folyó áramok kiegyenlítik egymást azaz
Jr + Jg = 0 ,
azaz
Jr = −Jg . Jr
p−típusú régió
n−típusú régió Ev Ed
Fermi−nívó
Jg Fermi−nívó Ed
Ea Ea Eal p−típusú régió 1.36. ábra.
Bal oldalt:
n−típusú régió
az egyes régiók az összeérintés pillanatában; jobb ol-
dalt: egyensúlyi állapotban az energiasávok és a Fermi-nívó elhelyezkedése a
p -n
átmenetben
Bizonyos egyszer¶sít® feltevésekkel a kialakuló tértöltés (töltéss¶r¶ség) és térer®sség értékét pontosan is meg tudjuk határozni. Ha az anyag ugrásszer¶en vált az
n típusból a p típusba, akkor a töltéss¶r¶ség
és a térer®sség közötti kap solatot az elektrosztatika alaptörvényei szabályozzák. Az átmenet mindkét oldalán a korábban többségben lév® 10
Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban
p-n átmenet soha nem alakítható ki a réte-
gek puszta összeillesztésével. A gyakorlati megvalósítást a kés®bbiekben érintjük.
1.6.
101
A FÉLVEZETK
töltéshordozók kon entrá iója egy jellegzetes
d
távolság alatt le sök-
ken. Ezen a távolságon, az ún. tértöltési tartományon belül épül fel a tértöltés. Végeredményben a
p-n
átmenetben egy töltéshordozókban
elszegényedett, nagy ellenállású réteg alakul ki, amelynek egyik oldalán pozitív töltés¶ donor ionok, a másik oldalán negatív töltés¶ ak eptor ionok egy elektromos kett®s réteget alkotnak.
Ennek az elektromos
kett®s rétegnek a térer®ssége olyan, hogy az elektronokat és a lyukakat a diúzióval ellentétes irányba igyekszik elmozdítani. Tegyük fel, hogy küls®
n
U
poten iálkülönbséget alakítunk ki a
átmenet végpontjai között.
Mivel a
p-n
p-
átmenet a generá iós és
a rekombiná iós áramoknak köszönhet®en töltésekben elszegényedett, ellenállása nagy a küls®
U
p
és
n
régiókhoz viszonyítva. Ebb®l következ®en a
feszültség dönt® része
p-n
átmeneten jelenik meg.
A küls®
feszültség hatása úgy tekinthet®, mintha a köztes tartományban a térer®sség megváltozott volna. A többlettér hatására a diúzió és az eredeti tér közötti egyensúly megbomlik, így a
p -n
átmeneten keresztül
áram folyik.
Fermi−nívó
U U
p−típusú régió
n−típusú régió
Jr
Jr
Jg
Jg
nyitóirány
záróirány
1.37. ábra. A sávszerkezet és a Fermi-nívó változása a p-n átmenetben különböz® irányú feszültségek esetén
Ha a küls® áramforrás pozitív sarkát a kát az
p tartományhoz, negatív sar-
n tartományhoz kap soljuk, az segíti mindkét oldalról a többségi
102
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
töltéshordozók átjutását, így az meg. Ekkor a
n
oldalon pl. többletlyukak jelennek
p-n átmenet hatásosan injektál elektronokat és lyukakat.
Ezt a 1.37. ábra bal oldalán láthatjuk. A küls® feszültség és a rétegek ilyen kap solatát
nyitó irányú el®feszítés nek nevezzük.
Ha a küls® feszültség ellentétes irányú a rekombiná iós áram iránya le sökken, mivel a töltéshordozók diúzióját a poten iálfal akadályozza (1.37. ábra jobb oldala). A generá iós áram értéke viszont nem válto−e U/kT zik. A poten iálfal legy®zésének valószín¶sége az e , Boltzmann faktorral arányos, ahol
U
a poten iálfal magassága. Így:
Jr = e e U/kT , Jr 0
(1.133)
Jr 0 a rekombiná iós áram mikor a küls® U feszültség zérus. Értéke ekkor Jr 0 = −J g . Mivel a p-n átmeneten átfolyó teljes árams¶r¶ség J = Jr 0 + J g J = J g ee U/kT − 1 . (1.134) ahol
10 −2 10 −3 I (amper)
nyitóirány
10
−4
10 −5 záróirány
10 −6 10 −7
0,001 0,01
0,1
1
10
U (volt) 1.38. ábra. A
p-n
dióda áram-feszültség karakterisztikája
Az áram nyitóirányban exponen iálisan növekszik záróirányban pedig telít®dik.
Konkrét (mért) áram-feszültség karakterisztikát látha-
tunk a 1.38. ábrán. Ha záróirányban drasztikusan növeljük a feszültséget, egy küszöb fölött a záróirányú áram hirtelen nagymértékben
1.6.
103
A FÉLVEZETK
növekedni kezd. Ezt a jelenséget ún.
lavina letörésnek
nevezik. Ennek
magyarázata az, hogy az átmenet közelében termikus hatásra gerjeszt®dött néhány elektron-lyuk pár a küls® tér hatására képes fölgyorsulni a
p -n
átmenetben. Az elektron-lyuk párok a nagyon er®s küls® térb®l
képesek annyi energiát fölvenni, hogy ütközéssel, ionizá ió révén újabb párokat hozzanak létre, amelyek szintén fölgyorsulnak és újabb párokat keltenek és így tovább. A Zener-diódák olyan eszközök, amelyeket ebben a letörési szakaszban is tartósan m¶ködhetünk, anélkül, hogy a dióda károsodna (lásd 1.39. ábra).
I
U Lavina letörés
1.39. ábra. A Zener-dióda lavina letörése a záróirányban
A Zener-diódák ebben a letörési szakaszban kiválóan alkalmasak feszültség-stabilizálásra.
Alagút-diódák Érdekes és hasznos áram-feszültség karakterisztikát lehet létrehozni az egyes rétegek nagy mérték¶ szennyezésével.
Ekkor az alapsáv és a
vezetési sáv szerkezete oly módon változik meg, hogy a Fermi-nívó a vezetési sáv fölé és az alpsáv alá kerül. Ezt a 1.40. ábrán láthatjuk. Ha a
p -n
átmenet megfelel®en keskeny, a töltéshordozók alagúteektussal
is legy®zhetik a poten iálgátat. Ezért a diúzió a nyitóirányú áramnak
sak egy részét képezi. Nagyobb nyitóirányú feszültség esetén az alagúthatás drasztikusan
sökken de a diúzió révén nyitóirányú áram továbbra is folyik.
A
nyitóirányú áramnak a feszültség függvényében maximuma van. Ez a maximum kis nyitóirányú feszültségnél lép föl.
104
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
vezetési sáv
Fermi−nívó alapsáv
1.40. ábra. Az alagút dióda sávszerkezete egyensúlyi állapotban és gyenge nyitóirányú el®feszítés során
negatív ellenállás
I 10 −3 (amper)
4 3 2 1 normál karakterisztika
0 0
U1
0,1
U2
0,2
U (volt) 1.41. ábra. Az alagút dióda nyitóirányú áram-feszültség karakterisztikája
Az
U1
feszültséghez tartozó árammaximum után növekv® nyitóirá-
nyú feszültség hatására az áramer®sség értéke sökken az alagúthatás
sökkenése miatt, egészen
U2
értékig.
Ezen a szakaszon a dióda ne-
gatív ellenállású, azaz aktív elemként viselkedik. Valós (mért) karakterisztikát láthatunk, a 1.41. ábrán. A kis méret és a gyors válasz az alagútdiódákat ideális eszközzé teszi nagy frekven iájú er®sítésre. Ezen 9 eszközök gigahertz (10 Hz) frekven ián is stabilan m¶ködnek.
1.6.
105
A FÉLVEZETK
Tranzisztorok 1948-1949-ben
Bardeen, Brattain, S ho kley
alkotta soport feltalálta
a tranzisztort, amelynek forradalmi hatása lett az elektronikára.
A
kisméret¶, f¶tést nem igényl® tranzisztorok a legfontosabb er®sít®eszközökké váltak a digitális te hnikában és az ipari elektronikában.
C
IC
−U
CB
p n p
B
E
C B
−UC E
IB
E IE
−U
BE
1.42. ábra. A pnp tranzisztor feszültségei és áramai
A tranzisztor három, különböz® adalékolású félvezet® rétegb®l épül fel. A rétegek sorrendje alapján megkülönbeztetjük a pnp és az npn
emitter (E), bázis kollektor (C). Mindegyik tartomány fémes kivezetéssel van ellátva.
tranzisztort. Az egyes rétegeket neve a következ®: (B),
A tranzisztorban két egymással szembefordított
p-n átmenet található:
a bázis-emitter és a bázis-kollektor átmenet. A tranzisztorok legfontosabb tulajdonsága az, hogy az toráramot az
IB
IC
kollek-
bázisárammal lehet vezérelni. A kollektoráram a bá-
zisáram többszöröse. Aktív üzemmódban a bázis-emitter diódán nyitófeszültség, a bázis-kollektor diódán pedig zárófeszültség van (lásd 1.42. ábrát). A bázis és az emitter közötti
U EB
néhány tizedvoltos fe-
szültség meghatározza a bázisáramot és vele együtt a kollektoráramot is. A néhány voltos kollektoráramot. Az
U CB kollektor-bázis feszültség alig befolyásolja a I E emitteráramot a kollektoráram és a bázisáram
összege szolgáltatja.
IE = IC + IB ≈ IC
(1.135)
106
FEJEZET 1.
A tranzisztor ún.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
átviteli tényez®je A
azt mutatja meg, hogy az
emitteráram hányszorosa jut a kollektorba:
I C = A I E. Jó tranzisztornál
A ≈ 1.
A tranzisztor
(1.136)
B
áramer®sítési tényez®je
a
kollektoráram és a bázisáram kap solatát jellemzi.
I C = B I B. B
(1.137)
értéke 100 körül van. Ha a tranzisztor kivezetéseit rövidre zárjuk az
az elektronok diúzióval átjutnak a
p
n-típusú
bázisból
típusú emitterbe és kollektorba,
az emitterb®l és kollektorból pedig lyukak diundálnak a bázisba. A bázisban keletkez® elektronhiány és lyukfelesleg pozitív többlettöltést hoz létre. Az emitterben és a kollektorban a határfelület közelében negatív többlettöltés jön létre. A határfelületnél keletkez® pozitív és negatív tértöltések miatt a bázis egy poten iálgödröt képez az elektronok számára és ugyanilyen nagyságú akadályt, poten iálkorlátot jelent a lyukak számára is. A 1.43. ábrán (felülr®l lefelé) láthatjuk a sávszerkezetet, a töltéshordozók kon entrá ióját és a tértöltés változását a tranzisztor egyes rétegeiben. Alapvet®en megváltozik a sávszerkezet és a töltéshordozók eloszlása, ha a bázis-emitter átmenetre
U CB záró feszültséget kap solunk.
A
küls® telep a bázisba negatív, az emitterbe pozitív tértöltést présel, így az ered® tértöltés és poten iálkorlát magassága is sökken az emitterbázis átmenetnél. A bázis-kollektor átmenetnél a küls® feszültség egy kiürített réteget hoz létre.
Az emitter-bázis átmenetnél a poten iál-
korlát le sökkentése megkönnyíti hogy elektronok jussanak a bázisból az emitterbe és lyukak továbbdiundáljanak a bázis-kollektor átmenet felé. Az átmenetnél fellép® elektromos tér a lyukakat továbbsodorja a kollektorba. Mivel az emitterb®l a bázisba jutó lyukak számát a bázis-emitter átmenetnél található poten iálkorlát határozza meg, így az emitteráram érzékenyen függ a bázis-emitter feszültségt®l. A kollektoráramot viszont a bázisban lejátszódó diúzió irányítja.
1.6.
107
A FÉLVEZETK
vezetési sáv tiltott sáv alapsáv p−típusú régió n p
n−típusú régió
E
B
p
n
p−típusú régió
C p x
ρ x
1.43. ábra. A pnp tranzisztor sávszerkezete abban az esetben mikor az elektródák rövidre vannak zárva
vezetési sáv
tiltott sáv alapsáv
E
B
C
n p p
n
p x
ρ x
1.44. ábra.
A pnp tranzisztor sávszerkezete abban az esetben mikor a bázis-
emitter tartományra nyitó, kollektor-bázis átmenetre pedig záró feszültséget kap solunk
A térvezérléses tranzisztor Az els® térvezérléses tranzisztort (JFET) S ho kley javasolta 1952-ben. Ebben, amint azt az ábrán láthatjuk, két er®sen adalékolt
p típusú kapu
108
FEJEZET 1.
között egy
n
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
típusú réteg volt, két végén egy-egy fémes kontaktussal,
amelyek az áram forrásául (sour e), illetve nyel®ként (drain) szolgáltak. A kapukra negatív feszültséget adva a
p−n
átmenetben a kiürítési
réteg vastagsága n®, s emiatt le sökken annak az
n típusú satornának
a mérete, melyen a forrásból a nyel®be folyhat az áram. A térvezérléses tranzisztor tehát olyan eszköz, melynek ellenállása a kapufeszültséggel szabályozható (lásd 1.45. ábrát).
Bemenõ jel
~
Kapu Nyelõ
Forrás
n Kapu Kimenõ jel p
1.45. ábra. A FET-tranzisztor sematikus rajza
A MOS-tranzisztor (MOSFET) olyan félvezet® eszköz, amely a fémoxid-félvezet® határfelületén kialakuló viszonyokat használja arra, hogy a rendszer ellenállását elektrosztatikusan szabályozza. A MOSFET aktív tartományát pl. egy
p
típusú szubsztrátum, az
erre növesztett szigetel® szilí ium-oxid réteg, majd az erre párologtatott fémkontaktus képezi. Ebben a fém-szigetel®-félvezet® átmenetben, a fémkontaktusra adott feszültség függvényében a félvezet® oldalon a többségi töltéshordozók felgyülhetnek, kiürülhetnek, esetleg a kisebbségi töltéshordozókból ellentétes réteg alakulhat ki. A kapu két oldalán, a szilí ium-oxid rétegben fotolitográ ás eljárással két kis lyukat készítenek, s azon keresztül er®s adalékolással ellentétes (n) típusú félvezet® anyagból álló szigetszer¶ tartományt alakítanak ki. Az ezekhez vezet® fémkontaktusok szolgálnak forrásként illetve nyel®ként. Mindaddig, amíg a vezérl®elektródára, a kapura adott feszültség ki si, a
p
típusú szubsztrátumon keresztül az
n
típusú forrás és nyel®
között nem folyik áram. Ha viszont a kapufeszültség elég nagy pozitív értéket ér el, az oxid és a
p
típusú tartomány határfelületén inverziós
1.6.
109
A FÉLVEZETK
réteg alakul ki. Ez azt jelenti, hogy egy
n
típusú satornán keresztül
megindulhat az áram a forrásból a nyel®be. A kapu feszültségének növelésével n® az inverziós réteg vastagsága, így n® az áram is. A nyel® és a forrás közötti feszültség függvényében az áram nem lineárisan, hanem annál gyengébben növekszik, hiszen a
satornában fellép® feszültségesés következtében a satorna egyes pontjai és a kapu közötti feszültségkülönbség helyfügg®, s emiatt a nyel®höz közeledve a satorna szélessége és a satornában lév® töltések száma is
sökken.
Optoelektronikai eszközök A félvezet®anyagoknak spe iális optikai tulajdonságai is vannak.
A
félvezet® anyagok fényabszorp iója a hullámhossz sökkenésével egy jellegzetes foton energiánál megn®. Ameddig a foton energiája kisebb mint a tiltott sáv energiája, addig a fény gyakorlatilag gyengítetlenül terjed a félvezet®ben. Nagyobb energiák esetén a vegyértéksávban igen nagyszámban meglev® elektronokat a fény a vezetési sávba gerjeszti. Ennek az átmenetnek a valószín¶sége arányos a vegyértékelektronok számával, ami a félvezet®kben közel annyi mint a fémekben. A természetben megtalálható szimmetria alapján, intuitív módon is lehet sejteni, hogy a foton abszorp iójával ellentétes folyamat is le tud folyni a félvezet®kben. Vagyis az elektron-lyuk rekombiná ió során felszabaduló energia fotont is gerjeszthet a
p-n átmenet síkjában.
Ilyen
folyamatot ábrázoltunk a 1.46. ábrán. A fény és félvezet®anyag köl sönhatását hasznosító eszközöket három f® soportra oszthatjuk: olyan eszközökre, amelyek az elektromos energiát fénnyé alakítják (világító és lézer diódák), olyan eszközökre, amelyek a köl sönhatást a fény detektálására hasznosítják (fotodetektorok), és végül olyan eszközökre, amelyek a fény energiáját közvetlenül elektromos energiává alakítják (napelemek).
Foto ellák.
A foto ellák a fotodetektorok legels® képvisel®inek szá-
mítanak. A foto ellák jelent®sége a félvezet® áramköri eszközök megjelenésével er®sen sökkent. Mivel egyszer¶ek, ol sók és lineáris karakterisztikájúak mégsem szorultak ki teljesen. A foto ellák m¶ködése során a fotokatódba be sapódó foton elektront üt ki. A kiütött elektronok
110
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
n
p Elektron Vezetési sáv
megvilágítás
Alap sáv n
Fotogerjesztés
p
Lyuk
1.46. ábra. Elektron-lyuk pár gerjesztése a
p-n
átmenetben küls® megvilágítás
révén
a pozitívan töltött anód felé repülnek tova és így keletkezett áramot,
fotoáramot
mérjük. Tehát foto ellával a fény árammá alakítható.
Világító diódák.
Ha
p-n
átmenetet nyitóirányban el®feszítjük, az
átmenet közvetlen közelében jelent®s többlet töltéskon entrá ió keletkezik, amely rekombinálódik.
sugárzásos rekombiná ió
Általában a fény kibo sátásával járó
lényegesen valószín¶tlenebb folyamat, mint
a h®t termel®, rá srezgéseket kelt®. energiának hanem a
k
Az átmenet folytán nem sak az
hullámszám megmaradásnak is teljesülnie kell.
Ez azt jelenti, hogy az átmenet sak ugyanolyan hullámszámú állapotok között lehetséges. Jellegzetes optoelektronikai anyagok a GaAs (gallium arzenid) és a GaP (gallium foszforid).
1.6.3. Az integrált áramkörök el®állítása Az
integrált áramkörök, IC-k
széleskör¶ és nagyszámú felhasználása
mind gazdasági, mind m¶szaki szempontból szükségessé tette, hogy a szükséges aktív és passzív áramköri elemekb®l olyan komplett egységeket létesítsünk, amelyek egy vagy több feladat elvégzésére képesek. Az ilyen integrált áramkörökben tehát sok alkatrész van összeépítve. Az integrált áramkörök el®állítási te hnológiájában el®ször az ún.
rid te hnológia
hib-
alakult ki, amelyben a különböz® passzív elemeket
(ellenállásokat, kondenzátorokat, öninduk iókat) g®zöléssel szigetel®
1.6.
111
A FÉLVEZETK
alapra viszik fel, az aktív elemeket (tranzisztorokat, diódákat) külön el®állítva viszik fel, s végül az áramkört tokozzák. A hibrid te hnológia szó arra utal, hogy ez az eljárás vegyes eredet¶, részben nyomtatott áramköri, részben pedig a félvezet®i te hnikához kap solódik. A hibrid te hnológiához tartozik az ún.
te hnológia.
vékonyréteg- és a vastagréteg-
A vékonyréteg-te hnológiát a nyomtatott áramköri te h-
nológiából fejlesztették ki. Az áramkört egy 20 mm×30 mm-es kerá-
mialapon építik fel.
A fémes vezet®pályákat vákuumpárologtatással
állítják el®. A pályák többnyire ezüstb®l vagy aranyból készülnek. Az ellenállásokat ugyan sak rág®zöléssel alakítják ki. A réteg hossza, szélessége és vastagsága, valamint a réteg anyaga határozza meg az alkatrészek ellenállásának értékét.
Utólagos módosításra is van lehe-
t®ség. Kis és közepes kapa itások szigetel®lap oldalaira felvitt fémrétegekkel valósíthatók meg. A teker sek nagyon nehezen valósíthatók meg, mert a kerámialapon sak síkteker sek helyezhet®k el, melyek viszonylag nagy helyet foglalnak el. A tokozott tranzisztorokat és diódákat beforrasztják az áramkörbe. A készre szerelt szerelt vékonyrétegáramkör úgy néz ki, mint egy miniat¶r áramköri lap. Az egységet az alkatrészek beszerelés után m¶anyaggal öntik ki, és így az áramkör önnálló modult alkot. A vastagréteg-te hnológiában hordozóanyagként szigetel® oxidréteggel ellátott aluminiumlapokat vagy különféle méret¶ kerámialapokat alkalmaznak.
A pályák anyagául elektromosan vezet® pasztákat
alkalmaznak, amit a felhordás után kikeményítenek vagy beégetnek. Az ellenállásokat különleges paszták felvitelével készítik. A kívánt ellenállásérték a méretekt®l és az alkalmazott paszta típusától függ. Az ellenállás értéke utólag pontosítható.
Kis kapa itások több, elektro-
mosan vezet® réteg felvitelével állíthatók el®, amelyek szigetel®rétegek választanak el egymástól. Teker set nem lehet vastagréteg te hnológiával el®állítani. Diódák, tranzisztorok, esetleg más félvezet® alkatrészek hipként (tokozatlanul) építhet®k be az áramkörbe. A hipeket a kivezetési helyeikkel közvetlenül a paszta síkra fektetik, és szilárd, vezet®képes kötést hoznak létre. Az áramkört végül tokozzák. A legkorszer¶bb gyártási te hnológia a
monolit te hnológia,
mely-
nél a félvezet® alkatrészek, az ellenállások és kondenzátorok egy szili ium félvezet® kristály felületi rétegében kerülnek kialakításra. Egy szili iumszeleten több integrált áramkör állítható el®. Az integrálandó
112
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
alkatrészek mérete a négyzetmilliméter törtrészét®l több négyzetmiliméterig terjedhet.
Bemaratott ablakok
SiO 2 bevonat
p
n 11 1110000 1111 11100 000 01000 p
n 1111111111111 0000000000000 p
Epitaxiális réteg n p
1.47. ábra. Az integrált áramkörök el®állításának menete
A gyártás során (lásd 1.47. ábrát) pl. egy szilí ium alaplemezre egy különleges (epitaxiális) növesztési eljárással egy
n
típusú kristályréte-
get visznek fel. Ezt a réteget SiO2 réteg fedi, amelyben meghatározott helyeken nyílásokat (ablakokat) maratnak. egy sziget kialakítása
1
11111100000 1111100000 1111100 11 0000000 1 n p
p
p
p
4
11 00 00 11
p
2
111111111111111111 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 n p
p
p
p
p n
11 00 00 11
7
n
p
p
00000000000 11111111111
p 00000000000 511111111111
B E
n
p
8
p n tipusú szigetek
3
11 00 p
n
11 00 p
n p
111 000 p
n
11 00 p
1111111111 0000000000 p n 0000000000 1111111111
6
C
111 000 00 0000 n 111 000 000p11 111 001111 11 0000 1111 n
1111 0000 p n 0000 0000 1111 1111
p
n
p
1.48. ábra. A szigetek kialakítása és a
pnp
tranzisztor kialakítása egy szigetben
Az ablakokon keresztül elérhet® helyeken idegen atomok bediundáltatásával
p
típusú tartományt alakítanak ki.
A bediundáltatás
után az ablakokat SiO2 réteggel újra lezárják, majd más helyeken újabb ablakokat maratnak. Ebben a szerkezetben a ket képeznek és egymástól
p -n
p
tartományok szigete-
átmenetekkel vannak elválasztva. Mint
ahogy a 1.48. ábrán láthatjuk a szigeteken szennyezéssel aktív elemek alakíthatók ki. Az egyes szigeteken lév® alkatrészeket jó vezet®anyaggal kötik össze, amelyek akár g®zöléssel is kialakíthatók. A te hnológia fejl®désével az egyes felületek felületigénye egyre kisebb lesz, ami egyre nagyobb integráltsági fokhoz vezet.
A bipolá-
1.6.
A FÉLVEZETK
113
2 ris tranzisztor felületigénye jelenleg 0,01 mm . Érdemes megemlíteni, hogy a digitális te hnikában gyakran egyetlen áramkörb®l 100 000 dbra van szükség, így igen gazdaságos az integrált áramkörök használata.
114
FEJEZET 1.
ÁRAMVEZETÉS FÉMEKBEN ÉS FÉLVEZETKBEN
2. fejezet Az anyagok elektromos és mágneses tula jdonságai
Az anyagok elektromos és mágneses tulajdonságainak vizsgálata során klasszikus zikai modellekre fogunk támaszkodni.
Ennek f® oka
az, hogy a szilárdtest zikai modellekhez magas szint¶ kvantumme hanikai, elektrodinamikai és termodinamikai ismeretekre lenne szükség. Ugyanakkor az is igaz, hogy a klasszikus modellek amellett, hogy lényegesen egyszer¶bbek, gyakran a kísérletekkel jól egyez® eredményeket szolgáltatnak. Az elektromos teret a szigetel®anyagok er®sen módosítják. A tér hatására a szigetel®anyagban dipólusok indukálódnak, vagy a már meglév® dipólusok a küls® térrel párhuzamosan állnak be. A polarizá ió miatt a küls® tér le sökken az anyagban:
P = χ ε0 E, ahol
P
a polarizá iós vektor,
χ
az
(2.1)
elektromos szusz eptibilitás, ε0
a
vákuum elektromos permittivitása (régebbi elnevezése dielektromos ál9 landó értéke 1/(4π 9 × 10 )), E pedig a le sökkent tér. Az elektromos polarizá ió segítségével a
D
elektromos eltolást a
D = ε0 E + P = ε0 (1 + χ) E = ε0 εr E
(2.2)
alakban de niáljuk. Az
εr
relatív elektromos permittivitás visszavezethet® mikroszer-
kezeti állandókra. A makroszkopikusan észlelhet® dipólmomentum az 115
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
116
TULAJDONSÁGAI
anyagot alkotó mikrorészek dipólmomentumainak ered®je.
A mikro-
szkopikus tulajdonságoktól függ®en a polarizá ió három, egymástól lényegesen eltér® módon alakulhat ki. Ha a dielektrikum része skéi küls® tér hiányában semlegesek, küls® tér hatására a része skék addig egybees® töltésközéppontja els®sorban a könny¶ elektronok elmozdulása révén szétválik. Ennek következtében minden része ske egyez® irányú dipólusmomentumhoz jut. Ezt a jelenséget
polarizá iónak nevezzük.
Ha az alkalmazott tér nem túlságosan nagy, akkor a dipólmomentum arányos az
E
E -vel
µ∗
indukált
küls® elektromos térer®sséggel, azaz
µ∗ = α E, ahol az
α
állandó a molekula
meg-
deformá iós
(2.3)
polarizálhatóságát
jelöli. Er®s villamos
térben viszont az indukált dipólusmomentum a térer®sség magasabb hatványaink a függvénye:
µ∗ = α E + β E 2 + . . . . Az elektromos dipólus az egymástól
l
távolságra lév®
sekb®l áll. A dipólus jellemzésére használt pozitív felé mutat. E vektor
mentum nak nevezzük. A poláris molekulák ban
ql
(2.4)
q
és
−q
tölté-
µ vektor a negatív töltést®l µ elektromos dipólusmo-
nagyságát a
az atomokon részleges töltések jelennek
meg s ennek következtében a molekulának állandó dipólusmomentuma van. Elektromos térben a nem poláros molekuláknak is lehet dipólusmomentuma. Minden különböz® magú kétatomos molekula poláris. A többatomos molekulák poláris vagy apoláris volta a szimmetriájuktól függ. A deformá iós polarizá ió egyik fajtája az ún.
ionos polarizá ió.
Az ionkristályok rá spontjaiban pozitív és negatív töltés¶ része skék helyezkednek el.
Küls® tér hiányában azonban a pozitív és a nega-
tív töltésközéppontok egybeesnek, az anyagnak makroszkopikus dipólusmomentuma nin s. Elektromos tér hatására azonban az ellentétes töltés¶ ionoknak ill. ionok elektronhéjának elmozdulása miatt ezek az anyagok is polarizálódnak. Ha a dielektrikumok része skéi eleve elektromos dipólusok, a küls® tér ezeket a dipólusokat egy irányba rendezi. Ezt
ió nak nevezzük.
orientá iós polarizá-
A rendez®dést a h®mozgás képes szétzilálni.
2.1.
117
A GÁZOK PERMITTIVITÁSA
Egyes anyagokban pl. az ún.
elektrétek ben,
az elemi dipólusmo-
mentumok tartományonként rendezetten helyezkednek el. A küls® tér ezeket a tartományokat változtatja úgy, hogy a tér irányába rendezett rész egyre nagyobb legyen. Ez az elektromos jelenség, amelyet
elektromos polarizá iónak
ferro-
nevezünk hasonló a ferromágneses anyagok
doménszerkezetének mágneses tér hatására bekövetkez® változásához (lásd kés®bb).
2.1.
A gázok permittivitása
A gázok atomjai és molekulái között a köl sönhatás gyenge, ezért a gázokban sak a deformá iós és orientá iós polarizá ió lép fel. A nem poláros gázokban az elektromos tér hatására minden egyes molekulának
µ = αE α
dipólusmomentuma lesz. Az
(2.5)
állandó a molekula szerkezetét®l füg-
g®en általában két részre bontható:
α = α e + α i, ahol
αe
(2.6)
az atomi polarizá iónak az elektronburok eltolódásából szár-
mazó járulékát jellemzi,
αi
pedig a gázmolekulákat alkotó ionok távol-
ságának megváltozása miatt létrejöv® ionos polarizá iót adja meg. Az elektronpolarizá ió els®sorban a nemesgázokra és az azonos atomokból felépül® kovalens kötés¶ molekulákból álló anyagokra jellemz®, míg az ionos polarizá ió a heteroatomos ionos kötés¶ molekulák esetén dominál.
Amennyiben a tér hatására minden molekula azonos módon
polarizálódik és
n
az egységnyi térfogatra jutó része skék száma, ak-
kor az elektromos polarizá ió:
P = n α E.
(2.7)
Ezt felhasználva
χ=
nα ε0
és
εr = 1 +
nα . ε0
(2.8)
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
118
TULAJDONSÁGAI
Tekintsünk egy olyan molekulát, amelynek momentuma az
E
µ
permanens dipólus-
elektromos térer®sség irányával
ϑ
µ-nek a tér irányába es® komponense: µϑ = µ cos(ϑ), V = −µ E cos(ϑ).
szöget zár be.
a dipólus poten-
iális energiája pedig
Z
Y
p
2.1. ábra.
X
Az elektromos dipólok ilyen elrendezése küls® tér hiányában zérus
ered® polarizá iót eredményez
Egyszer¶síthetjük, úgy a modellünket, hogy a dipólusokat egy derékszög¶ koordináta-rendszer tengelyeivel párhuzamosan állítjuk be (2.1. ábra).
Kezdetben az ered® dipólmomentum azért zérus mert
mindhárom koordinátatengely pozitív és negatív irányában a dipólusok 1/6-a áll. Tegyük fel, hogy a küls®
E
elektromos tér az
párhuzamos. Küls® elektromos tér hatására az
x-tengellyel
x-tengely mentén a küP polarizá iót a
lönböz® állású dipólusok egyensúlya megbomlik. Az
térrel párhuzamosan (n1 ) és ellentétesen (n2 ) álló dipólusok különbségeként számolhatjuk ki:
P = (n1 − n2 ) µ.
(2.9)
cos(0) = 1 miatt V (π/2) = −E µ. A térrel ellentétesen álló dipólusé a cos(π) = −1 miatt: V (π/2) = E µ. A nulla energiájú dipólusok száma n0 = n/6. A küls® térrel párhuzamosan álló dipólusok energiája a
n1 n2
n Eµ = exp 6 kT Eµ n exp − = 6 kT
2.1.
119
A GÁZOK PERMITTIVITÁSA
Mivel az
ex ≈ 1 + x n1 n2
közelítés kis
x
esetén teljesül:
n n Eµ Eµ = ≈ 1+ exp 6 kT 6 kT n Eµ Eµ n ≈ 1− exp − = 6 kT 6 kT
az ered® polarizá ió abszolút értéke:
n Eµ n Eµ n E µ2 P = 1+ − 1− µ= . 6 kT 6 kT 3 kT Vektoriálisan pedig:
P = Ezt összehasonlítva a
n µ2 n µ2 P = E. 3kT 3kT P = χ ε0 E χ=
(2.10)
összefüggéssel kapjuk, hogy
n µ2 . 3 ε0 k T
(2.11)
Így értelmezhet® az állandó dipólmomentummal rendelkez® molekulákból álló gázok (pl. szén-monoxid, víz) permittivitása. Küls® tér hiányában ezek a molekulák a h®mozgás hatására véletlenszer¶en állnak be, ezért a gáznak ered® dipólmomentuma nin s. A küls® tér hatására megindul az atomi dipólmomentumok rendez®dése. A rendez®dés ellen dolgozik azonban a molekulák h®mozgása.
⋆
A dipólusok véletlenszer¶ elrendez®dése
Küls® tér hiányában valójában a molekulák a h®mozgás hatására véletlenszer¶en állnak be, ezért a gáznak ered® dipólmomentuma nin s. megindul az atomi dipólmomentumok rendez®dése.
A küls® tér hatására
A rendez®dés ellen dolgozik
azonban a molekulák h®mozgása. A dipólusok irány szerinti eloszlásának meghatározásának éljából gondolatban valamennyi dipólus kezd®pontját egy
O
kezd®pontba helyezhetjük. Azoknak
a molekuláknak a száma (n dϑ), melyek momentumai az gömb ezzel
O köré írt egységsugarú ϑ és ϑ+dϑ között lév® 2 π sin(θ) dθ terület¶ zónáját metszik, arányos egyrészt a területtel, másrészt pedig az exp {µ E cos(ϑ)/kT } Boltzmann-faktorral: µ E cos (ϑ) sin(ϑ) dϑ n dϑ = áll. exp (2.12) kT
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
120
TULAJDONSÁGAI
Ennek alapján a tér irányába es® dipólusmomentum átlagértéke:
hµϑ i = µ
Rπ
exp
0
Rπ
n
µ E cos(ϑ) kT
exp
0
µ
∂ ln ∂x
Zπ
n
o
cos(ϑ) sin(ϑ) dϑ
µ E cos(ϑ) kT
o
=
(2.13)
∂ 2 sh(x) ln = µ L(x), ∂x x
(2.14)
sin(ϑ) dϑ
exp (x cos(ϑ)) sin(ϑ) dϑ = µ
0
ahol
(µ E/kT ) = x
és
L(x)
az ún.
Langevin-függvény, amely a következ® tulaj-
donságú:
1 1 ha x → ∞ L(x) = th(x) − = x . x ha x → 0 3
Szokásos térer®sségek és nem nagy h®mérsékletek esetén mos tér irányába es® dipólmomentum átlagértéke:
hµϑ i = n
(2.15)
µ E ≪ 1,
a küls® elektro-
µ2 E. 3kT
(2.16)
Mindezek alapján a polarizá iós vektor:
P =
n µ2 E. 3kT
(2.17)
Az elektromos szusz eptibilitás pedig:
χ=
2.2.
n µ2 . 3 ε0 k T
(2.18)
A folyadékok és szilárdtestek permittivitása
A gázok permittivitásának értelmezésénél feltételeztük, hogy minden molekulára ható küls® elektromos tér mellett a környez® molekulák tere elhanyagolható. Nagy s¶r¶ség esetén ez nyilvánvalóan nem teljesül, s az egyes molekulák polározódását a küls® térb®l adódó
Ei
eektív tér
szabja meg, azaz
µ = α Ei .
(2.19)
2.2.
Az
121
A FOLYADÉKOK ÉS SZILÁRDTESTEK PERMITTIVITÁSA
Ei
eektív tér meghatározása általában nagyon bonyolult. Egyes
esetekben azonban a
Lorentz-féle
Ei = E +
P 3 ε0
(2.20)
összefüggés jó közelítésnek tekinthet®. A polarizá iós vektorra vonatkozó
P = n α Ei
összefüggés felhasználásával adódik, hogy
P =
nα E 1 − 3nεα0
(2.21)
A relatív permittivitás ezek alapján:
εr = 1 +
nα nα ε0 1 − 3 ε0
Ezt a formulát átalakítva az ún.
(2.22)
Clausius-Mosotti-egyenlet hez
ju-
tunk:
εr − 1 nα = . εr + 2 3 ε0
(2.23)
A Clausius-Mosotti-egyenlet érvényes pl. a para n, benzol és a folyékony O2 , N2 , H2 esetén. Néhány szilárd anyag, így pl. a Seignette-só, valamint a báriumtitanát (BaTiO3 ) esetében a polarizá ióvektor nem egyérték¶ függvénye a térer®sségnek, a polarizá ió az elektromos tér változásával ún. hiszterézishuroknak megfelel®en változik. Ezekre az anyagokra érvényes a
Curie-Weiss-törvény, azaz ε∼
ahol
C
állandó,
Tkr
C , T − Tkr
(2.24)
pedig a kritikus h®mérséklet. A kritikus h®mér-
séklet felett a ferroelektromosság megsz¶nik. Változó elektromos térben vizsgálva a szigetel®ket, a különböz® polarizá iós me hanizmusok megjelenése a frekven ia függvénye.
A
könnyen mozgó elektronok nagy frekven iákig jól követik a gerjeszt® rezgést. A nagyobb tehetetlenség¶ ionok esetén a rezonan ia a vörösben vagy az infravörösben jelentkezik. A poláros dielektrikumokban a
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
122
polarizálhatóság
TULAJDONSÁGAI
Re ε
orientációs Rádió
Mikrohullám
Látható
ν
atom Abszorpciós csúcsok
elektron Rádió
Mikrohullám
Látható
ν
frekvencia
Im ε
ν frekvencia
2.2. ábra. Bal oldalt: az egyes polarizá iós me hanizmusok a frekven ia függvényében. Jobb oldalt: Az elektromos permittivitás valós és képzetes része
része skék rendez®dése sak viszonylag kis frekven iákon követi a küls® tér változását. Nagy frekven iákon sak a könny¶ elektronok képesek követni a tér gyors osz illá ióját.
Amint ezt a 2.2. ábrán is láthat-
juk a frekven ia növekedésével el®ször az orientá iós, majd az atom polarizá ió sz¶nik meg.
2.2.
⋆
123
A FOLYADÉKOK ÉS SZILÁRDTESTEK PERMITTIVITÁSA
A molekulák közötti intermolekuláris er®hatások
A másodrend¶ kötéseket általában két soportba osztják egyik a
kötés
a másik
hidrogénkötés.
van der Waals-
A van der Waals-kötések elektrosztatikus természe-
t¶ek és háromféle hatásból származnak: permanens dipólok elektrosztatikus köl sönhatásából
a meglév® dipólok elektromos mez®je által a nem dipól molekulákat dipólokká átalakító induk iós köl sönhatásból
az elektronoknak az atommaghoz viszonyított rezgése folytán átmenetileg képz®d® dipólok köl sönhatásából.
A hidrogénkötés során a hidrogénatom pozitív, a hozzá kap solódó másik atom negatív többlettöltésre tesz szert. A kialakuló többpólusú molekulák között elektrosztatikus köl sönhatás jön létre.
Szerepe f®ként a folyadékok és a polimerek
kialakításában jelent®s.
⋆
A dipólusok között fellép® er®hatások
A van der Waals er®k fogalmán a zárthéjú molekulák között fellép® köl sönhatásokat értjük. A van der Waals-er®k vonzó összetev®it a poláris molekulák par iális töltései között létrejöv® köl sönhatásokból állnak. A szóban forgó er®knek azonban vannak taszító összetev®i is, s ezek akadályozzák meg, hogy az anyag a mag s¶r¶ségének megfelel® állapotba húzódjék össze.
A taszító köl sönhatások azért
lépnek fel, mert a Pauli-elv értelmében az elektronok nem tartózkodhatnak olyan térrészekben, ahol a zárthéjú része skék átfedésbe kerülnek egymással. Egy
µ1 = q1 l
dipólus és egy
q2
ponttöltés között a köl sönhatás teljes poten-
iális energiáját megkaphatjuk, abban az esetben, ha a dipólus hossztengelyének meghosszabbítása átmegy a ponttöltésen:
V =−
µ1 q2 1 . 4πε0 r2
(2.25)
A köl sönhatás energiája a két ponttöltés esetéhez képest gyorsabban sökken a távolság növekedésével, s ezt a hogy a dipólus két résztöltése
r
q2
ponttöltés szemszögéb®l úgy magyarázhatjuk,
nagy értékénél összeolvad és elt¶nik.
Magasabb rend¶ multipólus a kvadropólus és az oktapólus.
Az el®bbi négy,
az utóbbi nyol váltakozó el®jel¶ töltésb®l áll. Minél nagyobb a multipólus rendje, annál gyorsabban sökken a köl sönhatási energia.
Egy
m-pólus
és egy
n
pólus
közötti köl sönhatás során a poten iális energia ugyanis a
V ∼
1 rn+m−1
(2.26)
képlet szerint változik a távolsággal. Egy dipólus elektromos térer®sségére pedig az
E=
µ2 2 4πε0 r3
(2.27)
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
124
TULAJDONSÁGAI
formulát kapjuk. A dipólus elektromos térer®ssége a távolsággal gyorsabban sökken mint egy magányos töltésé.
⋆
Dipólus-dipólus köl sönhatások
A két poláros molekula között fellép® köl sönhatás poten iális energiája a dipólusok közötti szög bonyolult függvénye. Ha azonban a két dipólus párhuzamos, akkor az energia kifejezése egyszer¶en
V =
µ1 µ2 f; 4πε0 r3
f = 1 − 3 cos2 (θ)
(2.28)
Ezt a formulát a szilárd testek rögzített helyzetben lev® poláris molekuláira alkalmazhatjuk. A folyadék állapotban ahol a molekulák szabadon foroghatnak a dipólusok közötti köl sönhatás átlaga elt¶nik: a
f
változtatja el®jelét, s emiatt
hf i
zérussá válik.
θ
szög változásával ugyanis
Ennek magyarázata az, hogy
két szabadon forgó molekula esetében az egynem¶ töltések ugyanolyan távolságra vannak egymástól mint a különnem¶ek, s a vonzás és a taszítás kiegyenlíti egymást. A poten iális energia azonban függ a térbeli helyzett®l, s a kisebb energiájú orientá iók valamivel kedvez®bbek. Emiatt a molekulák még a gázokban sem mozoghatnak teljesen szabadon, s így a poláros molekulák között zérustól különböz® köl sönhatás van. A köl sönhatás energia kiszámításának részletei nagyon bonyolultak, de a végeredmény alakja viszonylag egyszer¶:
µ1 µ2 hf · P i. 4πε0 r3
hV i = Melyben
P
(2.29)
az átlagolásnál belép® súlyfaktor, amely azt adja meg, hogy milyen
valószín¶séggel van a molekula valamely meghatározott
θ
szögnek megfelel® hely-
zetben. Ezt a valószín¶ségeloszlát a Boltzmann-eloszlás adja meg:
P ∼ melyben most
W
a két dipólus
P ∼
V
−W/kT
e
,
(2.30)
köl sönhatási energiája az adott helyzetben.
−V /kT e
V =
µ1 µ2 f . 4πε0 r3
(2.31)
A két dipólus között köl sönhatás poten iális energiája jóval kisebb, mint a h®mozgás energiája. akkor a
|V | ≪ kT
Ha a
P -ben
szerepl® exponen iális függvényt sorbafejtjük,
összefüggés miatt elegend® a sor els® két tagját tekintenünk.
P ∼1−
V + ... kT
(2.32)
Így az átlagos köl sönhatási energia:
hV i =
µ1 µ2 4πε0 r3
hf i −
µ1 µ2 hf 2 i r3
.
(2.33)
2.2.
125
A FOLYADÉKOK ÉS SZILÁRDTESTEK PERMITTIVITÁSA
Az f mennyiség átlagos értéke zérus, így az els® tag elt¶nik. Az
f2
azonban
mindig pozitív, s ezért átlaga nem lehet zérus. Ezért
hV i ∼ −
µ21 µ22 hf 2 i 2
(4πε0 ) k T
r6
=−
C . r6
(2.34)
Ennek az egyenletnek az egyik lényeges mondanivalója, hogy az átlagos köl sönhatási energia a távolság hatodik hatványával sökken. Másik fontos eleme a h®mérséklet re iproka szerinti függés, amely tükrözi, hogy magas h®mérsékleten a h®mozgás túlsúlyba kerül a dipólusok közötti rendez® er®höz képest.
⋆
Dipólus és indukált dipólus köl sönhatása µ1
dipólmomentumú poláris molekula képes arra, hogy egy polarizálható moleµ∗2 dipólust hozzon létre (az utóbbi molekula poláris és apoláris egyaránt lehet). Az indukált dipólusmomentum és az indukáló molekula perma-
Egy
kulában valamilyen
nens dipólmomentuma ezután köl sönhatásba kerül egymással, s a két molekula köl sönösen vonzza egymást. Tegyük fel, hogy a permanens dipólusmomentumból és az indukált dipólusmo-
θ=0
szögnél a két dipólus köl sönhatása:
2µ1 µ∗2 4πε0 r3
(2.35)
mentumból álló páros már kialakult. A
V =−
Az indukált dipólus azonban függ a poláris molekula elektromos terét®l, s ezért a két molekula távolságától is. arányos az
E
Mivel az indukált dipólusmomentum egyenesen
elektromos térer®sségt®l és a molekula
α
polarizálhatóságától:
µ∗2 = α2 E.
(2.36)
Ezért a poten iális energiára a következ® képletet kapjuk:
V =−
2µ1 α2 E . 4πε0 r3
(2.37)
A poláris molekulára terének er®sségét a 2.27. egyenletb®l átvéve azt írhatjuk, hogy
V =−
2µ1 α2 2µ1 4µ2 α2 1 · =− 1 2 · 6 3 3 4πε0 r 4πε0 r (4πε0 ) r
(2.38)
Az indukált dipólmomentum követi az ®t létrehozó momentum irányát, s így a két momentum irányát, s így a két momentum relatív helyzete a molekulák tetsz®legesen gyors véletlen mozgásánál is ugyanolyan marad. Így a h®mozgás nem átlagolhatja ki nullára a köl sönhatást. Az
r
távolságra lev® két molekula átlagos
köl sönhatási energiája:
V =−
C′ r6
C≈
µ21 α′2 , 4πε0
(2.39)
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
126
TULAJDONSÁGAI
′ ahol α2 a másik molekula polarizálhatósági térfogata, µ1 pedig az els® molekula permanens dipólusmomentuma. A dipólus és indukált dipólus köl sönhatási energiája független a h®mérséklett®l, mert az átlagolásnál nem kell a Boltzmann-eloszlást 6 használnunk. A dipólus-dipólus köl sönhatáshoz hasonlóan azonban itt is 1/r -os függést találunk.
⋆
Az indukált dipólusok köl sönhatása
Két molekula között akkor is lehet köl sönhatás, ha egyikük sem poláris, azaz egyiküknek sin s permanens dipólmomentuma. Az ilyen típusú köl sön hatások létét az bizonyítja, hogy az apoláros anyagok pl. a hidrogén és a hélium képeznek kondenzált (folyadék) fázist. Az apoláris molekulák közötti köl sönhatás a molekulák
pillanatonként változó,
átmeneti dipólusmomentumának következménye. Ez a
dipólusmomentum az elektronok pillanatnyi helyzetének megváltozásából származik, s ilyen dipólmomentuma minden molekulának van. Tegyük fel, hogy az egyik µ∗1 dipó∗ lusmomentum jön létre. Ez a dipólus polarizál egy másik molekulát, s abban µ2
molekulában az elektronok olyan helyzetbe kerülnek, hogy ennek révén
pillanatnyi dipólusmomentumot hoz létre. A két dipólus vonzza egymást, s ezért a molekulapár poten iális energiája sökken. Bár az els® molekula dipólusmomentumának iránya és nagysága folyamatosan változik, a második dipólus követi ezt a változást. A két molekula korrelá iója miatt két dipólus közötti köl sönhatás átlaga nem lesz zérus. Ez a magyarázata az indukált dipólusok közötti köl sönhatásnak. Ezt a köl sönhatást
diszperziós köl sönhatásnak vagy London-féle köl sönhatás nak Fritz London írta le el®ször az ilyen jelleg¶ köl sönha-
is szokás nevezni. Ugyanis
tást. A diszperziós köl sönhatás permanens dipólusok között is jelen van. A diszperziós köl sönhatás er®ssége függ az els® molekula polarizálhatóságától, µ∗1 pillanatnyi dipólusmomentumot az szabja meg, hogy mennyire tudják
mert a
a magtöltések a helyükön tartani a küls® elektronokat. A köl sönhatás er®sségét emellett a második molekula polarizálhatósága is befolyásolja, mert ett®l függ, hogy más molekulák milyen könnyen indukálnak dipólust ebben a molekulában. A diszperziós köl sönhatás pontos meghatározása nagyon bonyolult, de a
V =−
London-formula
C ′′ r6
C ′′ =
3 ′ ′ I1 I2 α α 2 1 2 I1 + I2
a köl sönhatási energia jó közelítését adja. A formulában
a molekula ionizá iós energiáját jelenti.
(2.40)
I1 , I2
Ez a köl sönhatás is a távolság hatodik
hatványával arányosan sökken. A forgásra képes molekulák közötti teljes vonzó köl sönhatás poten iális energiája az el®bbiekben tárgyalt három hozzájárulás összege. A pontosabb számítások során gyelembe kellene venni a kvadropólusok és a magasabb rend¶ multipólusok közötti köl sönhatásokat is. Az sem nyilvánvaló, hogy a több köl sönható molekula energiáját a páronkénti köl sönhatási energiák összegével meg lehet adni. Összepréselt molekulákban a magok közötti és az elektronok közötti taszítás meghatározóbbá válik mint a vonzó köl sönhatás. Sok esetben ezt a sajátságot egy viszonylag egyszer¶ modellel az ún.
merevgömb-poten iál lal írjuk le.
2.3.
127
A VILLAMOS SZIGETELANYAGOK
2.3.
A villamos szigetel®anyagok
A szigetel®anyagok és az ezekb®l kialakított szigetelések a villamosiparban nagyon fontosak. Nagy számuk miatt osztályozásuk felettébb hasznos.
Ez lehet halmazállapot szerint: szilárd, folyadék, gáz.
Kémiai
összetétel alapján: szerves és szervetlen. A szigetel®anyagokat ún. h®állósági osztályokba sorolják. A h®állóság azt jelenti, hogy a megadott h®mérséklethatárig az anyagi tulajdonságok nem térnek el lényegesen a szobah®mérsékleten mért értékekt®l.
Veszteségi tényez®. a
δ
A szigetel®anyagok veszteségének jellemzésére
szöget (veszteségi szög), ill. ennek tangensét (tan(δ) veszteségi té-
nyez®) adják meg. A
tan(δ)
egy kondenzátor veszteségi teljesítményé-
nek és látszólagos teljesítményének a hányadosaként mérhet®. A veszteségek részben a vezetési áramból, részben a polarizá ióra fordított munkából származnak, ez utóbbi a tisztán elektromos veszteség.
Jó
min®ség¶ szigetel®anyagoknál a vezetési áramból származó veszteség igen kis érték¶.
A gázok dielektromos vesztesége elhanyagolható. A
folyadékoknál és szilárd szigetel®anyagoknál a veszteségi tényez® elég 4 kis érték, ezért 10 -szeresét adják meg. Így értékük 10. . . 3000 közötti. A veszteségi tényez® h®mérséklet- és frekven iafüggése bonyolult. A vezetési áramból adódó veszteségek a h®mérséklet növelésének hatására monoton növekednek. A polarizá ió okozta veszteségek a h®mérséklet növelésével eleinte n®nek, majd egy maximum elérése után sökkennek. A valódi szigetel®anyagban e két hatás összegz®dik, bár általában az utóbbi a meghatározó. A frekven ia növelése a vezetési veszteségekre nem hat. A tisztán dielektromos veszteségek általában egy vagy több maximummal rendelkez® de sökken® tenden iájú görbét adnak.
A
veszteségek az elektromos térer®sség négyzetével arányosan növekednek.
Átütési szilárdság.
A szigetel®anyagok nagy elektromos térer®sség
hatására átütnek, vagyis szigetel®képességüket elveszítik.
Az átütési
feszültség nagyon sok tényez® függvénye, ezért mérés során a vizsgálat körülményei is fontosak. Gyakoribb, hogy az átütési feszültség helyett az átütési szilárdságot adják meg. Az átütési szilárdság meghatározott alakú és távolságú elektrodák mellett az az egységnyi elektródatávol-
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
128
TULAJDONSÁGAI
ságra vonatkoztatott feszültség, amelynél az átütés bekövetkezett. Az átütési szilárdság mértékegysége kV/m. Az átütési szilárdság a h®mérséklet növekedésével általában sökken.
Hosszabb idej¶ igénybevéte-
lekhez, kisebb átütési szilárdság tartozik.
Ívállóság és kúszóáramszilárdság.
Szilárd szigetel®anyagok ese-
tében jelent®sége van az ívállóságnak és kúszóáramszilárdságnak. Ívállóságon azt az id®t értjük, amely alatt meghatározott paraméterekkel jellemzett, az anyag felületén létrehozott elektromos ív a szigetel®anyagot még éppen nem ron solja.
A kúszóáram a tiszta állapotban jó
szigetel® anyag felületén keletkezik, vezet®képes szennyez®dés jelenlétében különböz® poten iálú elektródák között. A kúszóáram hatására ún. kúszónyom keletkezik, amely általában már a szigetel®anyag elváltozása, és általában a szigetel®képesség romlását idézi el®.
Szivárgási áram.
Tökéletes szigetel®anyagok nin sennek, feszültség
hatására a szigetel®kben is kialakul vezetési áram, ez nagyságrendekkel kisebb, mint az azonos fémekben fellép® áram. A vezetésre jellemz®
σ
a fajlagos vezet®képesség.
Szigetel®anyagok átütése.
Átütés következtében a szigetel®anya-
gok egy része ideiglenesen, vagy véglegesen vezet®vé válik. Szilárd dielektrikumok esetében ez bekövetkezhet az intenzív elektromos térer®sség hatására. El®ször reverzíbilis (megfordítható) folyamatok zajlanak le a dielektrikumban. Ez azt jelenti, hogy a térer®sség sökkentésével minden visszaáll az eredeti állapotba anélkül, hogy maradandó változás jönne létre. A stabil állapot határán, a térer®sség bármilyen ki si növelése a dielektrikumot labilis állapotba juttatja. Ekkor az árams¶r¶ség irreverzíbilisen megn®, majd bekövetkezik az átütés. Az átütési jelenségek mindig lokális jelleg¶ek, sohasem terjednek ki a dielektrikum teljes térfogatára, sak annak kis részére, amelyet átütési satornának nevezünk. Az átütés mindig ott következik be, ahol a helyi térer®sséghez viszonyítva leggyengébb az anyag, tehát nem feltétlen¶l ott ahol a tér intenzitása a legnagyobb. A szigetel®anyagok gyenge pontjai általában a mikropórusos inhomogenitások vagy lokális hibák. Az átütés bekövetkezhet a dielektrikum h®mérsékletének növekedés miatt is. Ezt
2.3.
129
A VILLAMOS SZIGETELANYAGOK
h®villamos átütés nek nevezzük.
Ennek egyik oka az, hogy a
σ
fajlagos
vezetés a h®mérséklet növekedésével exponen iálisan növekszik. A szigetel®anyagban keletkezett h®t így élszer¶ lenne elvezetni de ez nem könny¶, mert a szigetel®anyagok fajlagos h®vezetési együtthatója
κ ál-
talában ki si (0,130,59 W/mK). A h®vezetés javítására a szigetel®be adalékanyagokat kevernek (pl. kvar homok).
2.1. táblázat.
104 × tan(δ)
Ukrit
160. . . 250
60170
1016 . . . 1019
70. . . 200
200350
2,32,6
1015 . . . 1018
2. . . 8
200500
PVC
3,13,5
1011 . . . 1016
100. . . 400
250500
Trafo. olaj
2,22,3
1012 . . . 1014
10. . . 50
50300
Víz
81
Anyag
εr
Bakelit
2,85
Epoxigyanta
3,55,9
Polietilén
ρ [Ω m℄ 107
103
. . . 10
16
. . . 10
7
>10
6
Mint korábban utaltunk rá a szigetel®anyagok halmazállapotuk szerint gázok, folyadékok és szilárd anyagok lehetnek.
A gázokat pl. a
nagyfeszültség¶ te hnikában teljesítménykondenzátorok szigetel®anyagaként alkalmazzák.
Különböz® szén és kén uoridok ún. elektrone-
gatív gázok, vagyis elektronfelvétellel stabil negatív ionná válnak. Ez a tulajdonság javítja az átütési szilárdságot. Az átütési szilárdságot a
dp
szorzat jellemzi, ahol
nyomása.
d
az elektródák távolsága,
p
pedig a gáz
Átütés akkor következik be, ha minden a katódból kilép®
elektron ütközési ionizá ióval annyi pozitív iont hoz létre, hogy azok a katódba ütközve ismét egy elektront szabaddá tesznek.
Az elekt-
ronegatív gázoknak nagy az elektron elnyelése, ez is növeli az átütési szilárdságot.
A katód (negatív poten iálú elektróda) anyagául érde-
mes nagy kilépési munkával jellemezhet® fémet választani. Igen nagy 10−4 10−5 torr (higanymilliméter, 1 torr≈ 136 Pa)
feszültségeknél
nyomású vákuumot kell a gázok helyett alkalmazni, mert itt az üt-
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
130
TULAJDONSÁGAI
közés valószín¶sége nagyon ki si. Polírozott felülettel ilyen nyomáson 4000 kV/ m térer®sség is elérhet®. A folyadék halmazállapotú szigetel®ként ásványi olajat és kiönt®masszát alkalmaznak. A szilikonolajok nagy átütési szilárdságúak (50 kV/ m) és széles h®mérsékleti tartományban folyékonyak maradnak. Az ásványi olajok igen érzékenyek a szennyezettségre és öregedéskor polimerizá iós és oxidá iós termékek keletkeznek, amelyek lerontják a szigetelési ellenállást. etilalkohol
εr = 24,
εr = 20, εr = 80.
További szigetel® folyadékok: a eton
metilalkohol
εr = 36
és a desztilált víz
A légköri nedvesség káros hatásának megakadályozására alkalmazzák az ún. kiönt®masszákat mint pl. természetes viaszok, természetes gyanták, borostyán, selakk, kolofónium, termoplasztikus m¶anyagok.
2.4.
131
AZ ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI
2.4.
Az anyagok mágneses tulajdonságai
Az anyagokat három soportba soroljuk be mágneses tulajdonságaik alapján (2.3. ábra).
A
paramágneses
anyagok küls® mágneses térbe
helyezve enyhén er®sítik a küls® teret. Ilyen anyag pl. Al, Cr, K, Mg, Mn és Na. Ezen anyagok χ m mágneses szusz eptibilitása igen ki siny 10−5 . A relatív permittivitás ezek alapján kissé nagyobb mint egy:
kb.
µ r = (1 + χ m ) ≈ 1, 00001.
A paramágneses anyagok mikroszkopi-
kus modelljében minden része skének küls® tér nélküli állapotban is meglév® állandó mágneses momentumot tulajdonítunk. Viszont tér nélküli állapotban ezek a momentumok rendezetlenül a tér mindhárom irányában egyenl® valószín¶séggel állnak, s így az ered® makroszkopikus mágnesség zérus. A küls® mágneses tér a momentumokat igyekszik saját irányába fordítani.
paramágneses
diamágneses
ferromágneses
2.3. ábra. Az anyagok felosztása mágnességük alapján
A
diamágneses anyagok küls® mágneses térbe helyezve enyhén gyen-
gítik a küls® mágneses teret.
Ilyen anyagok pl. Cu, Bi, C, Ag, Au,
Pb, Zn, He. Ezen anyagok mágneses szusz eptibilitása igen kis nega−5 tív szám −10 . A relatív permittivitás ezek alapján egynél pi ivel
kisebb.
µ r = (1 + χ m ) ≈ 0, 99999.
A diamágneses anyagok mik-
roszkopikus modelljében minden része skéhez két ellentétes mágneses momentumot rendelünk. A küls® tér a térrel ellentétes momentumot növeli a vele ellentétest pedig sökkenti. A
ferromágneses
anyagok magas h®mérsékleten paramágnesesek,
majd egy kritikus h®mérséklet alá h¶tve másodrend¶ fázisátalakuláson mennek keresztül. A kritikus h®mérsékletet Curie-h®mérsékletnek nevezzük.
A ferromágneses anyagok a Curie-h®mérséklet alatti h®-
mérséklettartományban a küls® mágneses teret igen nagy mértékben
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
132
TULAJDONSÁGAI
er®sítik. Ilyen anyagok a vas, kobalt, nikkel, gadolínium és különböz® ötvözetek. Ezen anyagok χ m mágneses szusz eptibilitása igen nagy 103 − 105 . A relatív permittivitás ezek alapján szinten nagyon nagy
µ r = (1 + χ m ) ≈ 1001 − 100001.
A ferromágneses anyagokban kis
méret¶ spontán mágnesezettség¶ tartományok ún.
domain -ek vannak.
A küls® tér a tartományok falainak eltolódásával és a mágnesezettség irányának elforgatásával képes növelni a küls® teret. Mikroszkopikus szinten a mágnesség háromféle hatásra vezethet® vissza:
a mag körül mozgó, köráramként felfogható
pályamágneses momentumára,
elektronok
az elektronok spinjével kap solatos
saját mágneses momentumra,
az atommagot alkotó része skék
saját mágneses momentumra.
2.4.1. A paramágnesség mikroszkopikus modellje A paramágneses anyagokról tudjuk, hogy része skéik állandó mágneses dipólmomentummal rendelkeznek, de rendezetlenségük miatt küls® tér hiányában makroszkopikus mágnességet nem mutatnak. Tegyük fel, hogy az anyag térfogategységenként momentumú elemi mágnest tartalmaz. Célunk Egy mágneses dipólus
V (ϑ)
χr
db
m
mágneses
mágneses energiája a következ®:
V (ϑ) = −m · B = −m · B · cos(ϑ) Az
n
meghatározása.
(2.41)
n0 nulla energiájú dipólusok számának ismeretében a Boltzmann-
eloszlás alapján meghatározható, hogy átlagosan hány dipólus zár be egy bizonyos
ϑ
szöget a küls® tér irányával:
V (ϑ) . n(ϑ) = n0 exp − kT
(2.42)
Egyszer¶síthetjük úgy a modellünket, mint azt a permanens elektromos dipólusoknál tettük. Az elemi mágneseket egy derékszög¶ koordinátarendszer tengelyeivel párhuzamosan állítjuk be (2.4. ábra). Kezdetben
2.4.
133
AZ ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI
Z
Y
m
X
2.4. ábra. A mágneses momentumok ilyen elrendezése küls® tér hiányában zérus ered® mágneses momentumot eredményez
a mágnesezettség azért zérus mert mindhárom koordinátatengely pozitív és negatív irányában az elemi mágnesek 1/6-a áll. hogy a küls®
H
mágneses tér az
neses tér hatására az
x-tengely
x-tengellyel párhuzamos.
Tegyük fel, Küls® mág-
mentén a különböz® állású mágneses
dipólusok egyensúlya megbomlik. Az
M
ered® mágnességet a térrel
párhuzamosan (n1 ) és ellentétesen (n2 ) álló mágneses momentumok különbségeként számolhatjuk ki:
M = (n1 − n2 ) m.
(2.43)
cos(0) = 1 miatt W (π/2) = −B m. A térrel ellentétesen álló dipólusé a cos(π) = −1 miatt: W (π/2) = B m. A nulla energiájú dipólusok száma n0 = n/6. A küls® térrel párhuzamosan álló dipólusok energiája a
n1 n2
ex ≈ 1 + x közelítést: n n Bm Bm = ≈ 1+ exp 6 kT 6 kT n Bm Bm n ≈ 1− exp − = 6 kT 6 kT
Használjuk ismét az
n1 n2
Bm n exp = 6 kT n Bm = exp − 6 kT
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
134
TULAJDONSÁGAI
az ered® mágneses momentum abszolút értéke:
Bm n Bm n B m2 n 1+ − 1− m= . M= 6 kT 6 kT 3 kT Vektoriálisan pedig:
M= Ezt összehasonlítva a
n m2 n m2 µ0 B= H. 3kT 3kT M = χm H χm =
(2.44)
összefüggéssel kapjuk, hogy
n m2 µ0 . 3kT
(2.45)
Ez az eredmény jól egyezik a tapasztalatokkal, mindaddig amíg az abszolút zérus ponthoz nem közeledünk. Néhány kelvin h®mérsékleten azonban érvényét veszti.
⋆
A mágneses momentumok véletlenszer¶ elrendez®dése
A dipólusok mesterséges elrendezése nélkül is megkaphatjuk ezt az eredményt teljesen hasonlóan mint, ahogy tettük ezt az állandó elektromos dipólussal rendelkez® anyagoknál. A levezetést azért érdemes megismerni mert általában a szakkönyvek nem egyszer¶sítik le a problémát úgy, ahogy az el®z®ekben tettük. A dipólusok irány szerinti eloszlásának meghatározásának éljából valamennyi mágneses momentum kezd®pontját egy O kezd®pontba helyezzük. Azoknak a molekuláknak a száma (n dϑ), melyek momentumai az O köré írt egységsugarú gömb ϑ és ϑ + dϑ között lév® 2 π sin(ϑ) dϑ terület¶ zónáját metszik, arányos egyrészt ezzel a területtel, másrészt pedig az exp {m B cos(ϑ)/kT } Boltzmann-faktorral:
n dϑ = áll. exp
m B cos (ϑ) kT
ff
sin(ϑ) dϑ
(2.46)
Ennek alapján a tér irányába es® dipólusmomentum átlagértéke:
hmϑ i = m
Rπ
exp
0
Rπ 0
m
ahol
∂ ln ∂x
Zπ 0
n
m B cos(ϑ) kT
exp
n
o
cos(ϑ) sin(ϑ) dϑ
m B cos(ϑ) kT
o
=
(2.47)
sin(ϑ) dϑ
exp (x cos(ϑ)) sin(ϑ) dϑ = p
∂ 2 sh(x) ln = p L(x), ∂x x
(mB/kT ) = x és L(x) a már megismert Langevin-függvény:
(2.48)
2.4.
135
AZ ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI
8 < 1 ha x → ∞ 1 . L(x) = th(x) − = x : ha x → 0 x 3 Szokásos mágneses térer®sségek és nem nagy h®mérsékletek esetén romos tér irányába es® mágneses momentum átlagértéke:
hmϑ i = n
(2.49)
mB ≪ 1, a küls® elekt-
m2 B. 3kT
(2.50)
Mindezek alapján a mágnesezettség vektor:
M=
n m2 B. 3kT
(2.51)
n m2 µ0 . 3kT
(2.52)
A mágneses szusz eptibilitás pedig:
χm =
2.4.2. A diamágnesség mikroszkopikus modellje A következ®kben a hélium diamágnességét fogjuk egy klasszikus modell keretein belül megvizsgálni. A hélium két protonból, két neutronból és két elektronból áll. Úgy tekintjük, hogy az elektronok körpályákon keringenek az atommag körül.
Az elektronok mint köráramok mág-
neses momentumot hoznak létre.
m = IA n,
ahol
A
A mágneses momentum nagysága
az elektron keringése során súrolt terültet,
n
pedig
felületi normálvektor. Az elektron által létrehozott köráram nagyságát a
v
sebesség és az
r0
pályasugár határozza meg.
I=
Q (−e) v = = −e t (s/v) 2 π r0
(2.53)
Az elektron által keltett mágneses momentum nagysága:
m = −e
e v r0 v · ( r02 π) = − 2 π r0 2
(2.54)
Tegyük fel, hogy az elektronok egymással párhuzamos síkban, ellentétes irányban keringenek (2.5. ábra). Az elektronok közötti taszítást elhanyagoljuk. Küls® tér nélküli állapotban a két elektron azonos nagyságú, de ellentétes irányú mágneses momentumot hoz létre, amely
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
136
TULAJDONSÁGAI
m2
m2
B r0
r0 v1
r0
v1
r0
v2
v2
m1
m1
2.5. ábra. A hélium diamágnességének klasszikus modellje
küls® tér hiányában kioltja egymást. Feltételezzük, hogy a küls® mágneses tér síkja mer®leges a kering® elektronok síkjára. Célunk a hélium mágneses szusz eptibilitásának meghatározása. Els® lépésben meghatározzuk a kering® elektronra ható er®ket, majd ez alapján fölírjuk az elektronok mozgásegyenleteit.
Mindkét elekt-
ronra azonos nagyságú elektrosztatikus vonzóer® hat. Viszont a küls® tér miatt a mágneses er® nagysága különböz® lesz a két elektronra. A Coulomb-er®t a következ® alakban szoktuk felírni:
FC =
1 Q1 Q2 rˆ 4πε0 r 2
(2.55)
A Coulomb er® a ponttöltéseket összeköt® egyenes mentén hat.
Q1 = 2 e
töltés¶ mag és a
Q2 = e
A
töltés¶ elektronra aktualizálva a
Coulomb er® nagysága:
FC =
1 2 e2 4πε0 r02
(2.56)
Mivel a mágneses er®re vonatkozó összefüggés
F m = Q [v × B],
esetünkben a sebesség és a mágneses induk ió derékszöget zár be, így a mágneses er® nagysága mindkét elektron esetén
F m = e v B.
Az er®
irányát viszont mindkét elektronra tisztázni kell (2.6. ábra). A jobb savar-szabály alapján a
v1
elektronra olyan irányú mág-
neses er® hat, amely gyengíti a Coulomb-vonzást.
A
v2
elektronra
2.4.
137
AZ ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI
v2
B
B e
e
Fc
Fm
2e
Fm
Fc
2e
v
1
2.6. ábra. Az elektronra ható er®k küls® mágneses tér jelenlétében
ható mágneses er® viszont a Coulomb-er®vel egyirányú. Mivel egyenletes körmozgásnál annál nagyobb egy tömegpont kerületi sebessége, minél nagyobb, a középpont felé ható er® hat rá, az egyes elektron sebessége sökken a kettesé viszont n®. A kettes elektron hoz létre a küls® mágneses térrel ellentétes nagyságú mágneses momentumot. Az egyes elektron mágneses momentuma megegyezik a küls® tér irányával de kisebb érték¶, mint a másik elektron által keltett momentum. Így végeredményben a küls® mágneses térrel ellentétes irányú mágneses momentum lép föl. Az elektronok mozgásegyenletei:
m e v1 2 1 2 e2 + e v B = 1 4πε0 r02 r0 2 1 2e m e v2 2 − e v B = 2 4πε0 r02 r0 A küls® tér miatt fellép® ered® mágneses momentum:
m e = m2 − m1 = − Ezt ún.
e r0 (v2 − v1 ). 2
indukált mágneses momentum nak
nevezik.
(2.57)
A sebességek
különbségét a mozgásegyenletekb®l könnyen meg lehet határozni.
v2 − v1 =
e B r0 m
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
138
TULAJDONSÁGAI
Ezt behelyettesítve a 2.58 kifejezésbe kapjuk, hogy
me =
e2 r0 2 µ0 H 2m
(2.58)
Az atomi mágneses momentum ismeretében egyszer¶en meghatározhatjuk a mágnesezettséget, hiszen
M
a térfogategységre jutó mág-
neses dipólusmomentum. Ha térfogategységenként
n
db héliumatom
található a térben, akkor
M =−
e2 r0 2 n µ0 H, 2m
(2.59)
így a szusz eptibilitás:
χ=−
e2 r0 2 n µ0 , 2m
(2.60)
amely a kísérleti tapasztalatnak megfelel®en valóban független a mágneses tért®l és a h®mérséklett®l is.
r0 = 0, 5 · 10−10 m pályasugár és a normál −3 25 körülmények esetén adódó n = 2, 69 · 10 m érték felhasználásával −9 −9 a He szusz eptibilitása −1, 2 · 10 adódik. A mért érték −2, 25 · 10 . Az el®z® modellb®l
Ez a modell egyszer¶ségéhez képest gyelemreméltó egyezés.
A diamágnesség me hanizmusa a magasabb rendszámú anyagok esetén is a hélium mágnességére talált magyarázattal értelmezhet®. Ekkor azonban gyelembe kell venni az elektronpályák eltér® sugarát.
2.4.3. A ferromágnesség értelmezése A ferromágneses anyagok mint korábban említettük igen nagy mértékben feler®sítik a küls® mágneses teret. Már Ampere fölvetette, hogy a permanens mágnességért az anyagban folyó állandó áramok lehetnek felel®sek. A Bohr-féle atommodellben az elektronok kör vagy ellipszis pályákon keringenek az atommag körül. Mint korábban rámutattunk
m p = −e v r/2 mágneses momentumot hoz létre. Az elektron körmozgása révén L p = r × p impulzusmomentummal rendelkezik, amelynek abszolút értéke L p = r m e v . A p index a pályamozgásra utal. Az m p mágneses momentum és a pályamozgásból
a kering® elektron
2.4.
139
AZ ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI
származó
Lp
impulzusmomentum hányadosát ún.
tor nak nevezik:
giromágneses fak-
mp 1 e evr · =− =− Lp 2 r me v 2 me Viszont az elektronnak saját van, melyhez szintén tartozik
ms
Ls
(2.61)
mágneses momentuma, spinje is
impulzusmomentum.
A két érték
hányadosa:
e e~ ~ ms =− / =− , Ls 2 me 2 me ahol
e ~/2 m e
az ún.
Bohr-magneton.
(2.62)
Nem világos, hogy a kétféle
mágneses hatás közül melyik felel az anyagok ferromágnességéért. Ezt a kérdést tisztázta az ún.
Einstein-de Haas kísérlet.
A kísérlet során egy teker s belsejében torziós (rugalmas el savarodásra képes) szálon ki siny vasruda skát függesztettek fel. Felmágnesezték a rudat, miközben a rúd el savarta a torziós szálat. Ennek oka az, hogy az elemi mágnesek beállításával azok impulzusmomentuma is egyirányúvá válik. Viszont az impulzusmomentum megmaradás törvénye miatt az ered® impulzusmomentumnak továbbra is nullának kell lennie, amely sak a rúd el savarodásával teljesülhet.
A mérés pon-
tosságát kés®bb úgy növelték, hogy a torziós szál sajátfrekven iájának ütemében periodikusan átmegnesezték. Ennek hatására a rúd rezgéseket végzett. A kísérlet során a rúd ered® mágneses momentumának és az impulzusmomentumának aránya meghatározható. Feltételezzük, hogy mindkét hatás hozzájárul a ferromágnesség kialakulásáért:
ahol a
g
az ún.
P P e mp + ms P P =g· , Lp + Ls 2 me
Landé faktor.
kett®nek adódott.
(2.63)
g = 1, 88.
A kísérletek alapján a
g Fe = 1, 93, g Co = 1, 85, g Ni
értéke közel Ebb®l azt a
következtetést vonhatjuk le, hogy a ferromágnességért dönt® mértékben az atomi elektronhéjakon lév® elektronok párhuzamos spinbeállása a felel®s. Kis mértékben a ferromágnességhez hozzájárul az elektron mag körüli mozgása is.
A spinek a lezáratlan 3d, 4f alhéjakkal ren-
delkez® elemek esetében tudnak párhuzamosan beállni (2.7. ábra). Az
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
140
TULAJDONSÁGAI
2s
1s
2p
3s
3p
3d
4s
Fe Co Ni 2.7. ábra. Tipikus ferromágneses anyagok elektronkon gurá iója
atomi elektronok spinjének párhuzamosodása a szomszédos atomokra is hatással van. A spinek párhuzamos beállása a Pauli-elvnek és az elektronok Coulomb-taszításának következménye.
Az elektronrendszer energiájához
hozzájárul egy tisztán kvantumme hanikai eektus, az ún.
köl sönhatás
és az ehhez tartozó
ki serél®dési energia.
ki serél®dési
A kísérleti tapasztalatok azt mutatják, hogy a ferromágneses anyagok nagy tartományaiban a doménekben az atomi mágneses dipólusok azonos irányban állnak be. azonban ellentétes.
A szomszédos domének mágnesezettsége
Az energetikailag kedvez® doménméret igen sok
paramétert®l függ, általában azonban nem nagyobb néhány mikrométernél.
2.4.4. A ferromágneses hiszterézis A tapasztalat szerint a ferromágneses anyagok mágnesezési görbéje (B−H görbe) nemlineáris. (B a mágneses induk ió,
H
pedig mágneses
térer®sség.) Ha áram gerjesztés¶ teker s alkalmazásával mágnesezünk egy vasmagot, a
H
az
I
gerjesztési árammal arányos. A mágnesezési
görbéhez a mérés során kapott létrejöv®
B
H
gerjesztéshez tartozó az anyagban
értékek ábrázolásával jutunk.
A görbe el®ször hirtelen
növekszik, majd egy telítési értékhez tart. Ha az anyag még nem volt fölmágnesezve akkor ezt ún.
els® mágnesezési görbének
telítés akkor következik be, mikor a
B
nevezzük.
A
értéke olyan mértékben növek-
szik mintha a mágnesezend® anyag nem is lenne jelen. Ha a gerjeszt® áram er®sségét sökkentjük, a mágnesezési görbe olyan állapotok sorozatát veszi föl, amelyek nem illeszkednek az els® mágnesezési görbére.
2.4.
141
AZ ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI
S®t nulla gerjesztésre is egy visszamaradó mágneses induk iót kapunk. Ezt ún.
remanens mágnesség nek nevezzük.
Az anyag mágnesezettségét
sak ellentétes irányú árammal lehet megszüntetni. Azt a gerjesztést, melynek során az egyszer már felmágnesezett anyag ismét mágnesezetlen lesz ún.
koer itív er® nek
nevezzük. Az áram er®sségének további
növelése ismét telítésbe viszi az anyagot. Az áramer®sség sökkentése majd ellenkez® irányú áram növelésével a mágneses állapotok egy zárt hurkot alkotnak, melyet
hiszterézis hurok nak nevezünk (2.8. ábra). B
B telítés
Br
doménforgás
irreverzibilis faleltolódás
Hc
reverzibilis faleltolódás
H
H
elsõ mágnesezési görbe
2.8. ábra.
Bal oldalon: a hiszterézishurok és nevezetes pontjai; jobb oldalt: a
doménfalak hirtelen áthaladása a kristályrá s hibahelyein apró ugrásokat okoz a mágnesezési görbén
Ki siny gerjesztés során azoknak a doméneknek a mérete, amelyek mágnesezettsége a küls® mágneses térer®sség irányával párhuzamos, növekszik az egyéb mágnesezettség¶ domének rovására. A növekedés a doménfalak eltolódásával jár. Ha a gerjesztést megszüntetjük a domének mérete visszaáll az eredeti nagyságra, más szóval a falak eltolódása megfordítható, reverzibilis folyamat. Ezt az eektust ún.
faleltolódásnak
reverzibilis
nevezzük. Nagyobb gerjeszt® tér esetén a doménfalak
addig tolódnak, amíg meg nem akadnak a kristály valamely hibahelyén. Ha a tér elég er®s képes a doménfalat a hibahelyen hirtelen átpréselni, amely a mágnesezési görbén jellegzetes ugrásokat eredményez (2.8. ábra).
Ezt a jelenséget ún.
Barkhausen-eektus nak
nevezzük.
A doménfal a kristályhibán túljutva a tér megszüntetése után nem
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
142
TULAJDONSÁGAI
képes eredeti méretére visszahúzódni. Ezért a folyamatot
lis faleltolódás nak nevezzük.
irreverzibi-
A doménfalak irreverzibilis kiterjedésével
már sak olyan kis méret¶ domének maradtak, melyek mágnesezettsége nem párhuzamos a gerjeszt® térrel. A telítés akkor következik be, mikor ezen domének mágnesezettségét a küls® gerjesztés saját magával párhuzamos irányba állítja és már az anyagban semmilyen hatás nem tudja a mágneses teret tovább növelni. A hiszterézishurok területe arányos az anyagban keletkez® h®mennyiséggel.
Ezért a periodikus mágnesezésnek kitett alkatrészeket olyan
ferromágneses anyagból élszer¶ készíteni, amelyek az átmágnesezés során kevés h®t termelnek.
gok nak nevezzük.
Az ilyen anyagokat
lágy mágneses anya-
A permanens mágneseket olyan anyagokból élszer¶
készíteni, amelyek nagy remanens mágnességgel rendelkeznek. Ehhez viszont nagy terület¶ hiszterézishurok tartozik.
Az ilyen anyagokat
kemény mágneses anyagok nak nevezzük (2.9. ábra). B kemény
H
lágy
2.9. ábra. Kemény és lágy ferromágneses anyag hiszterézis görbéje
A következ® táblázatokban néhány kemény mágneses anyag koer itív erejének és remanens mágnességének nagyságát adtuk meg.
2.4.
143
AZ ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI
anyag vas 0,9
%szén
1
%mangán
ötvözet
Alni o 5 Ferroxdur ESD Fe-Co Alni o 9 SmCo5
H [ Am−1 ℄ 4, 0 · 103 4, 0 · 104 1, 6 · 105 8, 2 · 104 1, 3 · 105 7 · 105
B r [T ] 0,9 1,25 1,25 0,9 1,05 0,8
2.4.5. Anti-ferromágnesség 1933-ban
Landau
elméletileg jutott arra a következtetésre, hogy lé-
tezniük kell olyan anyagoknak, amelyekben ala sony h®mérsékleten a szomszédos mágneses momentumok ellentétes irányba állnak be. 1938ban felfedezték, hogy pl. a MnO, MnS, Cr2 O3 valóban ilyen sajátossággal rendelkez® anyagok. Mivel az ilyen anyagok nem mágnesezhet®k, antiferromágneseknek nevezik ®ket. A ferromágnességhez hasonlóan az antiferromágnesség is a mágneses momentumok szabályos rendjének a következménye. Ezt a rendet a h®mozgás képes szétzilálni. kus h®mérsékletét
Az antiferromágnesség kriti-
Nèel-h®mérséklet nek nevezzük.
A Nèel-h®mérséklet
fölött az antiferromágneses anyagok paramágnesesekké válnak. Érdekes tulajdonságú anyagok az ún.
ferritek, amelyekben egy ferromágne-
ses és egy antiferromágneses alrá s ismétl®dik periodikusan. Ezek az anyagok jól mágnesezhet®k, ugyanakkor elektromos ellenállásuk nagy, ezért nagyfrekven iás áramkörökben vasmagként jól használhatók. Villámhárító köré helyezett ferrit-gy¶r¶t a villám által létrehozott áram felmágnesezi és a felmágnesesz®dés mértékéb®l kiszámolható a villám által szállított töltés mennyisége.
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
144
TULAJDONSÁGAI
2.5.
A szupravezetés
Bizonyos fémek (iridium, titán, kadmium, ólom), ötvözetek (MoC, NbN, Nb3 Sn) és fém-oxidból készült egyes kerámiaanyagok (pl. yttriumbárium-réz oxid (YBCO), TBCCO, HBCCO) ellenállása h¶tés során egy meghatározott, az anyagra jellemz®
TC h®mérsékleten ugrásszer¶en
megváltozik, mérhetetlenül ki sinnyé válik. Ezt a jelenséget melyet szupravezetésnek nevezünk 1911-ben Kamerlingh Onnes fedezte fel. Meg gyelte, hogy a higany elektromos ellenállása hirtelen öt nagyságrenddel sökken, amikor 4,2 K alá h¶tik. Érdemes megjegyezni, hogy ezt a felfedezést a He sepfolyósítása tette lehet®vé melyet 1908-ban a híres leindeni kriogenikus laboratóriumban szintén Kamerlingh Onnes valósított meg. Azt, hogy a szupravezet® anyag ellenállása mennyire ki siny, érzékelteti az a kísérlet melynek során a szupravezet® anyagból zárt gy¶r¶t készítenek, s ezt a gy¶r¶t síkjára mer®leges mágneses térbe helyezik. Ezután a gy¶r¶t a kritikus h®mérséklet alá h¶tik, majd a mágneses teret megszüntetik. A keletkez® induk iós lökés hatására a gy¶r¶ben áram keletkezik.
Kutatóintézetekben évekig h¶töttek a kritikus h®-
mérséklet alatt ilyen áramjárta szupravezet® gy¶r¶ket, anélkül, hogy az áramer®sség sökkenését észlelték volna. Az áram jelenléte pl. mágneses hatása alapján ellen®rizhet®. Közönséges vezet®ben az így kel−12 tett áram élettartama pikoszekundumos (10 s) nagyságrend¶. A kísérletek szerint egy ilyen ún. 105 évig biztosan meg-
perzisztens áram
maradna. A szupravezet® állapotban az anyag nem követi a Wiedman-Franz törvényt, s®t kimondottan rosszul vezeti a h®t. Kés®bb meg gyelték, hogy más fémek is hasonló tulajdonságot mutatnak.
Újabban sike-
resen állítottak el® ún. magas h®mérséklet¶ szupravezet® kerámiákat. Ezen kerámiák
TC
kritikus h®mérséklete 100 K-nél is magasabb. En-
nek jelent®sége az, hogy az anyag h¶tésére a rendkívül költséges hélium helyett ol só nitrogént lehet fölhasználni. Ha olyan anyagokat is el® lehetne állítani, amelyek szobah®mérsékleten szupravezet®ként m¶ködnének, akkor igen jelent®s mennyiség¶ olyan energia megtakaríthatóvá válna, amely jelenleg a távvezetékhálózatban h®vé alakul. Az ilyen jelleg¶ alkalmazásokkal kap solatban azonban problémák is vannak. A kritikus h®mérséklet alatt is megsz¶nhet a szupravezet® állapot, ha az
2.5.
145
A SZUPRAVEZETÉS
anyag elegend®en nagy mágneses térbe kerül. A mágneses teret létrehozhatja küls® hatás, de létrehozhatja saját árama is. Ezért az anyagban nem folyhat egy
I
kritikus értéknél nagyobb áram. Ez az áram 1
mm-es átmér®j¶ vezetékben akár 100 A is lehet. Másrészt az-az állítás, hogy az áram nem disszipálódik, sak egyenáramra vagy ala sony frekven iás váltakozóáramra igaz. Az anyagra jellemz®, az infravörös vagy mikrohullámú tartományba es®
ν
küszöbfrekven ia fölött a váltóáram
disszipálódik. Ennek ellenére a szupravezetés gyakorlati felhasználása (mint pl. nagy érzékenység¶ mér®eszközökben) jelent®s.
2.5.1. A Meissner-O hsenfeld-jelenség Meissner
és
O hsenfeld
azt tapasztalta, hogy a szupravezet® belsejé-
ben a mágneses induk ió mindig zérus. Szupravezet®t mágneses térbe téve a küls® tér nem tud a mintába behatolni. Ha pedig a normális állapotban tesszük a mintát a mágneses térbe, s ezután h¶tjük le a
T
h®mérséklet alá a mágneses tér kiszorul a mintából (2.10. ábra). Ezt
Meissner-O hsenfeld-jelenség nek nevezzük.
A szupravezet®knek ezt a viselkedését úgy érthetjük meg, ha föltételezzük, hogy a mágneses tér hatására a minta felületén egy keskeny, de az atomi méreteknél nagyobb vastagságú tartományban felületi áramok keletkeznek. Ezek rontják le a tér hatását és tartják fenn azt az állapotot, melyben a mágneses induk ió a mágneses térben elt¶nik. A
B=0
feltétel miatt, a
B = µ0 (H + M ) = 0
összefüggésb®l követke-
z®en a szupravezet® mágnesezettsége:
M = −H.
(2.64)
A szupravezet® mágneses szusz eptibilitása tehát viselkedik, mint egy ideális diamágnes.
χm = −1,
amely úgy
A Meissner-O hsenfeld-jelenség általában sak viszonylag gyenge terekben gyelhet® meg. Attól függ®en, hogy hogyan következik be a normális fázisba való átmenet, a szupravezet®ket két nagy soportba lehet besorolni. Az
els®fajú szupravezet®knél a küls® mágneses tér er®sségének növe-
lésével a minta belsejében mindig igaz marad a
B=0
a küls® mágnese tér el nem ér egy h®mérsékletfügg®
egyenlet, amíg
H (T )
kritikus
értéket, ahol a minta vezet®képessége véges értékre ugrik (2.11. ábra).
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
146
TULAJDONSÁGAI
H
2.10. ábra. A mágneses tér er®vonalai az anyag normális és szupravezet® állapotában
H
H c (0) Hc( T) normális fém szupravezetõ
0
Tc
T
2.11. ábra. Az els®fajú szupravezet® fázisdiagrammja
A
T kritikus h®mérsékleten H (T ) = 0. A h®mérséklet sökkenH véges értéket vesz föl, mégpedig folytonosan növekedve. A
tésével
mérési eredményeket viszonylag jól közelíti a következ® összefüggés:
H (T ) = H (0) [1 − (T /T )2 ]. Az els®fajú szupravezet®kkel szemben a
(2.65)
másodfajú szupravezet®k ben
a Meissner-O hsenfeld eektus el®bb következik be, minthogy az elektromos árammal szembeni ellenállás megjelenne (2.12. ábra). A
H 1 alsó kritikus értéknél kisebb küls® terek esetén a minta homo-
gén módon ideális diamágnesként viselkedik. Ez a
Meissner-fázis.
A
2.5.
147
A SZUPRAVEZETÉS
H normális fém vortex−rács
H c2
H c1 szupravezetõ
0
T
Tc
2.12. ábra. Az másodfajú szupravezet® fázisdiagrammja
κ
H c (0) H > Hc H =0
0
T
Tc
2.13. ábra. A h®vezet®képesség h®mérsékletfüggése
H 2
föls® kritikus értéknél nagyobb tereknél pedig normális viselkedést
kapunk. A
H 1
és
H 2
közötti tereknél az ún.
Subnyikov-fázis ban a
minta belsejében váltakozva találunk normális és szupravezet® tartományokat. Ezért ezt kevert fázisnak nevezik. A minta a küls® mágneses tér irányában álló, s®szer¶ tartományokon belül válik normálissá. Ide hatol be a mágneses tér.
A sövön áthaladó teljes mágneses uxus
éppen egy uxuskvantumnyi. A sövek felületén körbefolyó áram leárnyékolja ezt a uxust, s a sövek közötti tartomány szupravezet®. Az örvényszer¶ áram miatt ezeket a söveket
vortex eknek
nevezzük.
A
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
148
TULAJDONSÁGAI
kristályos rend hibái megakadályozzák, hogy ezek a sövek elmozduljanak, ezért az áram ellenállás nélkül folyhat a minta ezen állapotában is. Te hnikai alkalmazások szempontjából a másodfajú szupravezet®k sokkal fontosabbak mert
H 2
értéke jóval nagyobb mint
lehet er®s szupravezet® mágnest létrehozni.
H 1 .
Ezekb®l
Másodfajú szupravezet®
pl. a nióbium, a tantál és a te hné ium. A Wiedmann-Franz-törvény szerint a jó elektromos vezet®k jó h®vezet®k is.
Ennek alapján a vezet®képességgel együtt a h®vezet®-
képességnek is végtelenné kellene válnia. Ezzel szemben a szupravezet® fázis megjelenésekor az
κ
sökkenni kezd (2.13. ábra).
2.5.
⋆
149
A SZUPRAVEZETÉS
A szupravezetés BCS-elmélete
A szupravezetés a kvantumjelenségek makroszkopikus megnyilvánulása. évvel a Meissner-eektus felfedezése után, 1935-ben a
London-testvérek
Néhány egyszer¶
termodinamikai megfontolás segítségével igazolták, hogy permanens áramot feltételezve , a mágneses térnek ki kell szorulnia az anyagból. Kimutatták, hogy a küls® mágneses tér sak egy
λL
behatolási mélységig
jut be a szupravezet® anyagba. A
szupravezet® áramok is sak a behatolási mélység tartományában alakulnak ki. A szupravezetés elméletét
Bardeen, Cooper, S hrieer
dolgozták ki, 1957-ben.
A szerz®k nevének kezd®betüib®l származik a BCS elnevezés. Mivel ez az elmélet rendkívül bonyolult ezért sak legf®bb vonásainak rövid érzékeltetésére van lehet®ségünk. A BCS-elmélet alapját az képezi, hogy kristályrá s periodikus poten iálterében mozgó elektronok között a taszító Coulomb-köl sönhatáson kívül egy kvantumme hanikai eredet¶ köl sönös vonzás is fellép. Ez a vonzás a szupravezet® állapotban legy®zi a taszítást. Ennek eredményeként az elektronok ún.
Cooper-párokká
kap-
solódnak össze. A Cooper-párokban az elektronok ellentétes spin¶ek, így a párok ered® spinje zérus. A zérus spin¶ része skéket bozonoknak nevezzük. A bozonokra nem érényes a Pauli-féle kizárási elv, ezért ala sony h®mérsékleten az összes pár a legala sonyabb energiaállapotba kerülhet. Az elektronok közötti vonzás a kristályrá s gerjesztési kvantumainak a fononoknak az elektronok közötti seréjével értelmezhet®.
A fononok seréje az
ellentétes spin¶ elektronok között a legintenzívebb. A fononok ki serél®dése következtében jön létre a vonzó köl sönhatás, amelynek végeredményeként az elektronok párokká kap solódnak össze. Az elektronok közötti távolság mikroszkopikus méretekben igen nagy kb. 0,001 mm. Ez négy nagyságrenddel nagyobb mint a kristály két szomszédos atomjának távolsága. Nem minden vezetési elektron kap solódik Cooper-párba. Abszolút zérus foktól különböz® h®mérsékleten egy pár fölbomlásának van bizonyos valószín¶sége. Következésképpen mindig vannak a kristályrá sban hagyományos elektronok is. A Cooper-párok képz®dése a fém energiasávjainak újrarendez®déséhez vezet. A szupravezet® tartományban lév® elektronok energiasávja a Fermi-nívó tartományban egy
Ek szélesség¶ tiltott sávval rendelkezik.
Ez az érték egyenl® a pár fölbomlásához
szükséges disszo iá iós energiával. Kis energiákon az elektronrendszer nem gerjeszt®dik, amely a surlódás nélküli mozgást jelent. Ez azért lehetséges mert a Cooperpár ered® impulzusa zérus, azaz teljesen meghatározott érték¶.
Ehhez viszon a
határozatlansági relá ió következtében végtelen hosszú de Broglie-hullámhossz tartozik. A teljes fémre kiterjed® elektronpár így kikerüli a kristályrá s hibahelyeit, amely az elektromos ellenállás egyik forrása. A BCS-elmélet következménye, hogy egy szupravezet® gy¶r¶ben a mágneses uxus értéke kvantált:
φ=n ahol
n
egész szám,
h 2e
,
φ0 = h/2e = 2, 0679 × 10−15
(2.66)
2 T·m .
φ0
pedig a
mágneses uxus
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
150
TULAJDONSÁGAI
kvantuma
vagy
uxoid.
Ha mágeses tér zavarja a szupravezetést, akkor a Cooper-párok hirtelen bekövetkez®, mérhet® feszültségváltozás kíséretében felbomlanak. Ezen az elven alapulnak az ún.
szupravezet® kvantuminterferen ia eszközök
(SQUID). A SQUID-eket
az ala sony h®mérsékleten m¶köd® voltmér®khöz használják, így többek között a mesterséges holdakban is; továbbá olyan, nagy érzékenység¶ magnetométerekben, amelyekkel mérhet® egy elhaladó tengeralattjáró, az emberi agy, a szív vagy akár egyetlen neuron mágneses tere.
2.5.2. Az ultraala sony h®mérsékletek el®állítása Az ultaraala sony h®mérsékletek el®állításának kezdete a hélium sepfolyósításával kezd®dött, bár addig is rögös út vezetett (
war, Cailletet ).
Newton, De-
A gázok összenyomás hatására általában felmeleged-
nek, tágulás hatására pedig h¶lnek. Ahhoz, hogy a gáz táguljon, el®bb össze kell nyomni. Ezért az összenyomott meleg gázt h¶teni kell. Az ala sony h®mérsékletekhez ún. kaszkád eljárással közelítettek (
Wroblewski
és
Olszewski ).
Pi tet,
Ennek során úgy sökkentették valamely
gáz h®mérsékletét, hogy iklikusan tágulni engedték, így a gáz folyamatosan h¶lt. A gáz végül seppfolyósodott és ezzel a seppfolyósodott gázzal h¶tötték a következ® gázt, majd a másodikként sepfolyósodott gázzal a harmadikat és így tovább. Ezt kaszkád eljárásnak nevezzük. ◦ négyfokozatú gépének els® fokozatában 21 C-on 15
Kamerling Ones
atm nyomással összes¶rített metilklorid (CH3 CL) 0,26 atm nyomáson ◦ párologtatva -87 C h¶lt le. A második fokozat etilént -87-r®l -145 ◦ C-ra h¶tött le. A harmadik fokozat ezen a h®mérsékleten az O2 -t 17 atm nyomással seppfolyósította, majd ezt 0,26 atm-án párologtatva a ◦ C -ra sökkent. A negyedik fokozat 1 atm nyomáson
h®mérséklet -190
a leveg®t seppfolyósította. Ezzel a módszerrel a h®mérsékletet már 63 K-re le tudták sökkenteni. A kaszkád eljárással leh¶tött gázt ún. h¶tötték tovább.
Joule-Thomson eektus sal
Ennek során a nagynyomású gázt egy porózus du-
gón keresztül tágulni engedték egy ala sonyabb nyomású térrészbe. A gáz a tágulás közben leh¶lt.
A kaszkád eljárással leh¶tött héliu-
mot Joule-Thomson eektusnak vetették alá így sikerült végül 4,5 K h®mérsékleten seppfolyósítani. Természetesen a h¶tési folyamat megvalósításához rengeteg nehéz te hnikai problémát meg kellett oldani. Például olyan ken®anyagokat kellett el®állítani, amelyek ala sony h®-
2.5.
151
A SZUPRAVEZETÉS
mérsékleten sem fagynak meg. A héliumot bányászott homokból vonták ki, amelyhez els® lépésben a homokot oxigén jelenlétében fel kellett robbantani. Következ® lépésben pedig a szennyez® anyagokat a homokból folyékony hidrogénnel kellett kifagyasztani. A sepfolyósításához szükséges mennyiség¶ hélium el®állítása és tisztítása több vegyész intenzív munkájával három évig tartott.
A folyékony hélium g®zének
kiszivattyúzásával a h®mérsékletet 1,04 K-re sökkentették.
1
További h®mérséklet sökkenéshez vezet az ún. demagnetizá ió, amelyet egymástól függetlenül
Debye és Giauque javasolt.
Az eljárás során
paramágneses sót mágneses térben h¶tenek le, majd a mágneses teret megszüntetik, amely az anyagból h®t szabadít fel. Ha a felszabadult h®t elvezetik az anyag 0,004 K-re h¶l. Az ilyen kis h®mérsékletek mágneses eljárásokkal határozhatók meg, pl. a kristály mágneses szusz eptibilitásának mérése alapján.
Az atommagok mágneses tulajdon-
ságát kihasználva a h®mérséklet rövid id®re tovább sökkenthet® T ≈ 10−5 K. Ilyen mérések egyik vezéralakja volt a magyar származású
Kürti Miklós (Oxford).
Ennél ala sonyabb h®mérsékletek elérését léze-
res h¶téssel valósították meg. Ennek során olyan frekven ián gerjesztik az atomokat, hogy azok több energiát sugároznak ki mint amennyit elnyelnek. A kell®en lelassított atomok elektrooptikai és magnetooptikai
sapdákba zárhatók és tovább h¶thet®k. A sapdába fogott atomok 10−9 K is lehet, amely látszólag alig magasabb az
h®mérséklete akár
abszolút zérus h®mérsékletnél, de az abszolút zérus pont nem érhet® el. Az ultraala sony h®mérsékleten az anyagok tulajdonságai általában nagy mértékben megváltoznak. A rideg anyagok rugalmassá a rugalmasok rideggé válnak. S®t hélium esetében a változás még érdekesebb. Érdemes megjegyezni, hogy a folyékony héliumnak két fázisát különböztetik meg. A He forráspontja 4,2 K és a buborékképz®dés 2,2 K-en sz¶nik meg, amelyet ún.
lambda pontnak
neveznek. A lambda ponton
bekövetkez® hirtelen változások miatt a folyékony hélium külön fázist alkot 4,2 és 2,2 K h®mérséklet intervallumban, és 2,2 K alatt. Az el®bbit hélium I-nek az utóbbit hélium II-nek nevezi. A hélium II-nek a hélium I-gyel összehasonlítva kisebb a s¶r¶sége, nagyobb a párolgási 1
A mai gyakorlatban néhány kelvin h®mérsékletet nagyvákuum te hnológiával
állítanak el®. Ehhez el®vákuumot kell létrehozni, melyb®l egy nagy teljesítmény¶ ún. turbó molekuláris szivattyú löködi ki a molekulákat.
FEJEZET 2.
AZ ANYAGOK ELEKTROMOS ÉS MÁGNESES
152
TULAJDONSÁGAI
h®je és kisebb a felületi feszültsége. A h®vezet®-képessége a hárommilliószorosa a hélium I h®vezet®-képességének.
A legérdekesebb mégis
az, hogy a hélium II szuperfolyékony tulajdonságot mutat, azaz nin s viszkozitása (bels® súrlódása) ezért egy gy¶r¶ alakú s®ben áramlását korlátlan ideig fönntartja.
S®t pohár aljába töltve fölkúszik a falán
és kifolyik bel®le. A másodrend¶ fázisátalakulások ezen belül a hélium szuperfolyékonyságának megértésében nagy szerepe volt munkásságának.
Landau
3. fejezet Lézerek
A lézerek felfedezése a te hnológiában is forradalmi változásokat idézett el®. M¶szaki alkalmazásuk igen széleskör¶, pl. optikai informá ióátvitel, pre íziós anyagmegmunkálás, orvosi gyakorlat, mikrolitográ a, nyomtatók, CD-DVD lejátszók, b¶nügyi anyagvizsgálatok, hadite hnika, holográ a. Ezért indokolt legalább bevezet® jelleggel megismerkednünk a lézer zika alapjaival és a leggyakoribb aktív közegek tulajdonságaival. A lézer egy különleges fényforrás, az elektromágneses hullámforrások saládjának egyik tagja. M¶ködésének alapja az elektromos töltések mozgása. Míg azonban a klasszikus elektromágneses hullámforrásoknál e mozgások eleve rendezettek s a kisugárzott hullám koherens, addig a hagyományos fényforrások sugárzása az elemi sugárforrások fázisainak kötetlensége miatt inkoherens. A lézer különlegessége, tehát abban rejlik, hogy vele sikerült megvalósítani atomi szinten az elemi sugárforrások rendezését s ennek következményeként az optikai tartományban is koherens elektromágneses hullám létrehozását.
3.1.
A lézer története
Einstein indukált fénysugárzás
A lézerek felfedezésében az els® lépést
tette meg, aki 1916-
ban el®ször ismerte fel az
létét. 1920-1950 kö-
zött számos atom zikus és spektroszkópus foglalkozott a termikustól eltér®, szelektív gerjesztési folyamatok sajátságaival és tette lehet®vé 153
154
FEJEZET 3.
LÉZEREK
populá ió-inverzió és a fényer®sítés megvalósítását. Az út végén többek között Towns, Basov és Prohorov neve áll, akik felsimerték a vissza satolás lehet®ségét el®bb a mikrohullámú, majd az optikai
az ún.
tartományban. Mindezek vezettek 1954-ben a mézer, 1960-ban pedig a lézer megszületéséhez. A múlt század els® felében a lézerek szempontjából nagyon fontosnak bizonyultak azok a vizsgálatok, melyek keretében a gázok, a folyadékok és kristályok színképeit a teljes spektrumtartományban összegy¶jtötték.
A nagypontosságú optikai és elektronikus mérési mód-
szerek kifejl®dése is segítette a lézerek felfedezését.
Már az 1930-as
években észrevették, hogy bizonyos esetekben eltérések tapasztalhatók a h®mérsékleti egyensúlyi viszonyoktól.
Gázkisülésekben eseten-
ként bizonyos színképvonalak igen intenzívek voltak, ami arra utalt, hogy egyes nívókon sokkal több atom gy¶lt össze, mint ahogyan a Boltzmann-eloszlás alapján várni lehetett volna. 1938-ban
Suga
japán
spektroszkópusnak sikerült adott energiájú elektronokkal a neon atom egy meghatározott energianívóját szelektíven gerjeszteni. Ez azt jelentette, hogy egy nívóra sok elektron jutott, míg más gerjesztett nívók üresek maradtak. Ezek a tapasztalatok arra utaltak, hogy lehetséges a h®mérsékleti egyensúlytól eltér® gerjesztés. A következ® lépést érdekes módon a radarte hnikában tették meg. Felismerték, hogy a mikrohullámú tartományban az indukált emisszió hatása még termikus egyensúlyi gerjesztési viszonyok között sem elhanyagolható. S®t a mikrohullámú tartományban a spontán emisszió elhanyagolhatóvá válik az indukált emisszióhoz képest.
A mikrohul-
lámú spektroszkópia iránt a kémikusok és a sillagászok is érdekl®dni kezdtek. E módszer ugyanis ígéretesnek t¶nt a kristályokba ágyazott ionok sajátságainak vizsgálatára, illetve a távoli sillagok rádiósugárzásának tanulmányozására. Az elméleti be slések azt mutatták, hogy az indukált emissziós me hanizmus révén igen érzékeny, kis zajú mikro-
maser -nek nevezték (magyarosan mézer) az angol mi rowave ampli aton by stimulated emission of rahullámú er®sít®ket lehet építeni. Ezt
diation (mikrohullámú er®sítés indukált sugárzással) elnevezés alapján. Azonban kés®bb kiderült, hogy a gázmézer er®sít®k er®sít®képessége és sávszélessége az elektronikus eszközökéhez képest ki si. A szilárdtest mézerek tulajdonságai már jobbak voltak, így gyakorlati élokra is fel lehetett ®ket használni.
3.1.
155
A LÉZER TÖRTÉNETE
Két soport egy a New York-i Columbia Egyetemen és egy a moszkvai Lebegyev Intézetben a mézerb®l, alkalmas vissza satolással mikrohullámú generátort épített. Az els® mézerben, amely 1954ben született, az ammónia molekula két rezgési energiaállapota közötti átmenetet használták fel.
Az ehhez tartozó hullámhossz 1,25 m, a
megfelel® ferkven ia 23,9 GHZ. A populá ió inverzió (a h®mérsékleti egyensúlyhoz képesti fordított energiaeloszlás: több atom van gerjesztett állapotban mint alapállapotban) megvalósításához a kutatók azt használták fel, hogy inhomogén elektromos térben a kétfajta (W1 ,
W2 )
állapotban lév® molekulák ellentétes módon mozdulnak el, ily módon térben szétválaszthatók. Az ammónia-molekulasugarat kis nyíláson át engedték be az el®z®leg nagyvákuumra leszívott nyalábszétválasztó térbe. Áthaladva itt egy kvadráns elektródákból kialakított inhomogén elektromos téren az
W2 állapotú molekulák fókuszálódtak, az W1 ala sonyabb állapotbeliek kiszóródtak az eredeti irányhoz képest. A sak W2 állapotú molekulákat tartalmazó maradéknyalábot ezután egy mikrohullámú üregbe engedték, melynek mérete által meghatározott rezonan ia-frekven ia pontosan megfelelt az
W2 → W1
átmenet frekven iájának. Az üreg-
ben haladó molekulasugárban néhány spontán emissziós fénykvantum, mint zaj, sugárzódik ki. Ezek az üreg faláról visszaver®dve a többi molekulát sugárzásra indukálják. A hasznos sugárzás az üreg falán vágott kis nyíláson keresztül satolódik ki. Az ammónia mézer bonyolult eszköz és a ki satolt teljesítménye is igen ki siny volt. Azonban a kisugárzott hullám frekven iája rendkívül stabil, a sávszélessége pedig nagyon keskeny volt. Te hnikailag alapvet® újdonság volt a vissza satoló rezonátor alkalmazása, melyben a gyenge indukált emisszió fázis-helyesen feler®södhetett.
A kutatók
felismerték, hogy a keskeny sávszélesség oka az, hogy a tér koherens módon épül fel. Az ammónia mézer vissza satolásának elve nem alkalmazható optikai tartományban, mert az egy mikron méret¶
zárt rezonáns üreg
kialakítását igényelte volna. 1958-ban ismerték fel, hogy optikai tartományon a vissza satolást meg lehet valósítani a hullámhossznál sokezerszer nagyobb, ún.
nyitott rezonátor ban
is. A nyílt rezonátor leg-
egyszer¶bb típusa két pontosan szembeállított síktükör. Vissza satolás
sak a tükrök közös tengelye irányában van, oldalirányban nin s. Két
156
FEJEZET 3.
párhuzamos tükörb®l
Fabry és Perot
LÉZEREK
fran ia optikusok már a mult szá-
zad végén igen érzékeny, nagy felbontóképesség¶ interferométert szerkesztettek.
Lényegében ezt az elevet alkalmazták az optikai mézer
kigondolásánál.
A f® különbség abban állt, hogy míg a Fabry-Perot
interferométer a kívülr®l bees® és rajta áthaladó sugárzásra reagált szelektív módon, szétválasztva a különböz® komponenseket, addig az optikai mézerben azt az esetet vizsgálták, amikor a fény a két tükör közötti térben az interferométeren belül keletkezik s a tükör rezonátor e sugárzásra reagál szelektív módon. A számítások azt mutatták, hogy e nyitott rezonátornak is lehetnek kis veszteség¶ stabil módusai, amelyek közelít®leg a tükörre mer®leges irányban terjed® síkhullámoknak felelnek meg. Egy osz illáló módus sávszélessége itt is ki si. Az els® m¶köd® optikai mézert
Maiman
amerikai zikus készítette
el. Fényer®sít® közegként rubintkristályt (krómmal gyengén szennyezett alumíniumoxidot) alkalmazott, melyben egy sötétvörös, 694 nm-es hullámhosszon sikerült a fényer®sítés illetve az említett tükrös rezonátorral indukált emissziós fényhullám-generátort megvalósítani. Hamarosan az optikai mézer elnevezést a lézer váltotta fel. A rubin lézert gyorsan követte az ún. hélium-neon lézer elkészítése. A hélium-neon lézerben az inverzió hélium és neon atomok energiaki serél® ütközései révén keletkezik. A hélium-neon lézer sokkal tisztábban mutatta a lézer-sajátságokat: kis nyalábszélesség, igen kis sávszélesség, nagyfokú térbeli és id®beli koheren ia. Az id®beli koheren ia (interferen iaképesség) a kibo sátott elektromágneses hullámvonulatok egymáshoz képesti fáziskülönbségével kap solatos. A térbeli koheren ia azzal kap solatos, hogy egy nyaláb keresztmetszetében milyen távoli részek képesek stabil interferen iaképet létrehozni. Az els® magyar hélium-neon lézert Csillag és társai 1963-ban hozták létre. Az eltelt saknem ötven év alatt a lézer zika igen nagy jelent®ség¶ disz iplínává n®tte ki magát, s®t mint CD-DVD alkatrészek lassan a mindennapi élet részét képezik.
⋆
A spontán és az indukált emisszió
Tegyük fel, hogy egy rezonátorban termikus egyensúlyban lév® kibo sátását és elnyelését vizsgáljuk
T
h®mérsékleten.
N
Az egyes
db atom fény-
Wn
energiájú
3.1.
157
A LÉZER TÖRTÉNETE
szinteken lév® atomok számát a Boltzmann-eloszlás határozza meg:
Nn = C e−Wn /k T , ahol
C
konstans. Az
Wi
és
Wj
(3.1)
nívókhoz tartozó atomok száma közötti kap solat:
Ni = e(Wj −Wi )/k T Nj
(3.2)
A meleg testek elektromágneses sugárzást bo sátanak ki magukból. A kibo sátott sugárzás intenzitása a h®mérséklet negyedik hatványával arányos (StefanBoltzmann törvény).
Ha vasat hevítünk, el®ször mélyvörös lesz a színe, utána
vörös, naran s sárga, fehér és végül kékes. Minél nagyobb h®mérséklet¶ egy test, annál jobban a rövidebb hullámhosszak felé tolódik el az általa kibo sátott elektromágneses sugárzás maximuma (Wien-féle eltolódási törvény).
A meleg testek
által kibo sátott elektromágneses sugárzást feketetest sugárzásnak nevezzük.
A
rezonátorban lév® feketetest sugárzás átjárja a teljes elektromágneses spektrumot és köl sönhatásba lép az atomokkal. Einstein szerint az atomi elektronok energiája háromféleképpen tud megváltozni (3.1. ábra). Az els®t fényelnyelésnek vagy
porb iónak
absz-
nevezzük. Ekkor az elektron foton elnyelése révén magasabb energianí-
vóra kerül. A második ennek a megfordítottja, mikor a magasabb energiaszintr®l az ala sonyabbra az atomi elektron a küls® elektromágneses tér hatására kerül. Ezt a folyamatot
indukált emisszió nak
nevezzük. Ha ugyanez a folyamat a küls®
elektromágneses tér jelenléte nélkül zajlik azt
spontán emisszió nak
nevezzük.
A
spontán emisszió élettartama általában nagyon rövid (ns nagyságrend¶).
spontán emisszió hν hν
hν
hν indukált emisszió
abszorpció
3.1. ábra. A fényelnyelés és kibo sátás három lehetséges módja
Az
Wi
és
Wj
szintek közötti indukált átmenet valószín¶sége a tér
I(ν)
intenzi-
tásával arányos. A sugárzás frekven iája:
ν=
|Wj − Wi | . h
I(ν)-t®l. Jelöljük az említett Bij I(ν), Bji I(ν) és Aij . Itt feltételeztük,
A spontán emisszió valószín¶sége feltehet®en független valószín¶ségeket a következ®képpen
(3.3)
158
FEJEZET 3.
hogy a
j
szint ala sonyabb energiájú, mint az
abszorp ió valószín¶sége.
A, B
i szint. Bij
és
Aij
LÉZEREK
az emisszió,
Bji
az
valószín¶ségek függnek az atomok tulajdonságaitól,
de függetlenek az üreg h®mérsékletét®l. A föls® szintre gerjesztés valószín¶sége, mely során az elektron
j -b®l i-be
ugrik
Nj Bji I(ν).
(3.4)
Az alsó szintre gerjesztés valószín¶sége, mely során az elektron i-b®l
j -be
ugrik
Ni [Bij I(ν) + Aij ].
(3.5)
Dinamikus egyensúlyi állapotban a fel és legerjesztett elektronok száma megegyezik egymással
Nj Bji I(ν) = Ni [Bij I(ν) + Aij ].
(3.6)
Tegyük fel, hogy a rendszer h®mérsékleti egyensúlyban van azaz:
Bji I(ν) e hν/kT = Bij I(ν) + Aij .
(3.7)
Utolsó eredményünkb®l érdemes az elektromágneses tér intenzitását kifejezni
I(ν) =
Aij 1 hν/kT Bji e +
Bij Bji
.
(3.8)
Ezt az eloszlást viszont ismerjük, ez a Plan k-spektrum
I(ν) =
1 8 π h ν3 . hν/kT c3 e +1
(3.9)
A két kifejezést összehasonlítva kapjuk, hogy:
Bij = Bji
, és
Aij =
8 π h ν3 Bji . c3
(3.10)
Ezek alapján könny¶ belátni, hogy a spontán emisszió relatív súlya a frekven ia köbével arányosan növekszik.
Másképpen fogalmazva a spontán emisszió relatív
súlya a hullámhossz harmadik hatványával arányosan sökken. Most már érthet®, hogy miért jelent®s az indukált emisszió a mikrohullámú tartományban. A lézerkutatás egyik iránya a minél rövidebb hullámhosszú (minél nagyobb frekven iájú) lézersugárzás el®állítása. Ennek egyik nehézsége éppen az indukált emisszió relatív súlyának sökkenése a rövid hullámhosszak felé.
3.1.
159
A LÉZER TÖRTÉNETE
3.1.1. A populá ióinverzió A lézerhatás létrejöttének feltétele, hogy létezzék a rendszerben
stabil
meta-
gerjesztett állapot, amelynek élettartama elegend® ahhoz, hogy
indukált emisszióban vehessen részt. További feltétel az, hogy a metastabil állapot betöltöttsége nagyobb legyen, mint az átmenet végállapotául szolgáló ala sonyabb energiájú állapoté. Mivel termikus egyensúlyban (a Boltzmann-eloszlás értelmében) e feltételeknek éppen az ellenkez®je igaz, látjuk, hogy a fordított betöltést, azaz
verziót
kell létrehozni.
populá ióin-
Ez utóbbinál tehát több molekula van a na-
gyobb energiájú állapotban, mint a kisebb energiájúban. Háromnívós lézer ben az elektronokat egy magasabb szintre gerjesztik, mint amely
szinten a populá ióinverzió létrejön (3.2. ábra). Ezt a gerjesztési folyamatot el®idézhetik elektronnyalábbal, elektromos kisüléssel és optikai pumpálással is. Az optikai pumpálás során a lézer aktív anyagát xenon villanólámpával vagy másik lézer fényével világítják meg. A moleku-
W’
metastabil nívó
Wm pumpálás lézer
W0 3.2. ábra. A háromnívós lézerben fellép® átmenetek
lát tehát az
W′
állapotba gerjesztjük, ahonnan az sugárzás nélküli
legerjeszt®déssel az során a molekula
Wm
állapotba jut. A lézerátmenet az, amelynek
Wm -b®l W0 -ba
jut. Minthogy a teljes folyamatban
három szint szerepel, innen ered a háromnívós lézer elnevezés. A gya′ korlatban W szintek egész sokaságát jelenti. Általánosságban inkább a négynívós lézerek az elterjedtebbek (3.3. ábra). Fölmerül a kérdés, lehet-e populá ióinverziót két nívós rendszerrel létrehozni? A válasz nemleges, mert pl. az optikai gerjesztés hatására
160
FEJEZET 3.
W’
LÉZEREK
metastabil nívó
Wm lézer pumpálás
W’m
W0 3.3. ábra. A négynívós lézerben fellép® átmenetek
jelenlév® küls® tér a molekulák felét tudja sak a magasabb szintre emelni, míg a másik részük indukált emisszió révén folyamatosan az alsó szintre kerül.
3.2.
A rezonátor és módusainak jellemz®i
A lézer közeget alkotó anyag egyfajta rezonátorban helyezkedik el. A rezonátor látható a 3.4. ábrán.
A rezonátor biztosítja, hogy supán
bizonyos típusú fotonok képz®dhessenek nagy mennyiségben. A rezonátor lényegét tekintve két tükör közötti térrész, amelybe a tükrök a fényt újra és újra visszajuttatják. A ki satoló tükör re exiós tényez®je ala sonyabb mint a másik tüköré.
Így az elektromágneses sugárzás
egy része ki satolódik a rendszerb®l. A rezonátor sak azokat a hullámhosszakat tartja fenn, amelyekre
L
N · λ/2 = L,
ahol
N
egész szám,
pedig a rezonátor hossza. Ez azt jelenti, hogy sak a félhullámhossz
egész számú többszörösei illeszkednek a rezonátorba, minden más hullám gyengít® interferen iába lép önmagával. A szomszédos tartozó frekven iák különbsége
∆ν = c/2L.
N
értékhez
A lézer közege nem er®-
sít fel minden olyan hullámot, amelyet a rezonátor fenn tud tartani, hanem sak azokat, amelyek a lézerátmenet frekven iatartományába esnek. Ezeket a lézer
longitudinális módusainak
nevezzük.
3.2.
161
A REZONÁTOR ÉS MÓDUSAINAK JELLEMZI
elliptikus tükör kicsatoló tükör
rezonátor tükör
lézeranyag
lézernyaláb xenon villanólámpa
L 3.4. ábra. Egy szilárdtestlézer rezonátorának sematikus rajza; az aktív közeg és a villanólámpa egy elliptikus tükör gyújtóvonalaiba van elhelyezve; ennek következtében a villanófény saknem egésze a lézeranyagban nyel®dik el; a rezonátortükrök szférikusak; a ki satolótükör re exiója ala sony így az elektromágneses sugárzás egy része távozik a rendszerb®l
Azokat a fotonokat, amelyeknek a hullámhossza megfelel a rezonátornak, frekven iája pedig megfelel a lézerátmenetnek, a rendszer nagymértékben megsokszorozza. Az els® spontán emisszióval létrejött foton végighalad a közegen, indukál egy másik fotont, s ezután egyre több és több foton keletkezik. A felépül® tér egy része féligáterszt® tükör segítségével kivihet® a rendszerb®l. Tehát a rezonátor feladata, hogy a sugárzás egy részét visszajuttassa az aktív, fényer®sítésre kész közegbe.
Olyan tükörelrendezés a
legjobb, amelyben a fénysugár néhányszori körüljárás után önmagába tér vissza. Ezt
stabil rezonátornak
nevezzük. Ha pl. szférikus tükröket
alkalmazunk és változatjuk a tükrök fókusztávolságát, lesz egy olyan tartomány ahol a veszteségeknek minimuma van.
Veszteséget jelent
pl. az, hogy a lézerfény egy része a fényelhajlás révén kiszóródik a rezonátorból. A veszteségi minimum környékén kialakuló állóhullámokat a rezonátor
transzverzális módusainak
nevezzük (3.5. ábra). A él ál-
talában a legala sonyabb rend¶ módus (TEM00 ) beállítása, mert itt a legkisebb a veszteség. A nyaláb közel dirak ió által limitált, és az intenzitáseloszlás a nyaláb keresztmetszetében Gauss-függvénnyel jól közelíthet®. Bár a lézersugárzás er®sen monokromatikus (egyszín¶), azért mégsem tökéletesen az, hiszen a rezonátorban sok különféle hullámhosszú
162
FEJEZET 3.
TEM 00
TEM 10
TEM 20
TEM 30
TEM 40
TEM 50
TEM 60
TEM 70
TEM 11
LÉZEREK
3.5. ábra. Néhány tipikus rezonátormódus transzverzális intenzitáspro lja
longitudinális módus van jelen. Ha azonban szigorúan monokromatikus fényre van szükségünk, a fény útjába helyezett dirak iós rá
sal elérhet®, hogy egyetlen hullámhossz er®södjék fel.
Cserébe persze a
fény intenzitása kisebb lesz. A lézerfény koherens. Ez alatt azt értjük, hogy mindegyik hullámvonulat lépést tart egymással. böztetjük meg.
A
A koheren iának két típusát külön-
térbeli koheren ia
alatt azt értjük, hogy a hullá-
mok mennyire vannak összhangban (fázisban) a nyaláb keresztmetszetében. Az
id®beli koheren ia
viszont a hullámvonulatok nyaláb menti
koheren iahossz
összhangját jellemzi. Ez utóbbit általában az l ún. 2 segítségével fejezzük ki. l = λ /2 ∆λ, ahol ∆λ a nyalábban jelenlev® hullámhosszak tartománya. A szokásos izzólámpák koheren iahossza
kb. 400 nm körül van. A He-Ne-lézer koheren iahossza akár több méter is lehet, de lehet®ség van sok ezer méteres koheren iahossz el®állítására is.
3.2.
163
A REZONÁTOR ÉS MÓDUSAINAK JELLEMZI
3.2.1. A lézerosz illá ió feltétele Megmutatható, hogy az aktív közegben (z -irányban) haladó sugárzás intenzitásának növekedése a következ® törvénynek tesz eleget:
I(z) = I(0) exp {γ (ν) z} , ahol
γ(ν)
az ún. er®sítési tényez®.
Az er®sítési tényez® függ a szin-
tek betöltöttségeinek különbségét®l, a közeg ún.
g(ν)
(3.11)
n
törésmutatójától és az
vonalalak függvényt®l is:
γ(ν) = (Ni − Nj )
c2 g(ν) 8 π n2 ν 2 t spont
(3.12)
A közegen keresztülhaladva bizonyos hatások miatt a sugárzás gyengül is. A vissza satolt er®sítés sak akkor mehet végbe, ha a fény a rezonátor körülfutása során nem gyengül. Ez akkor teljesül, ha:
R1 R2 exp {(γ − α) 2 L} = 1, ahol
R1
és
tényez®je,
R2 a tükrök α veszteségi
re exiós tényez®je, tényez®,
L
γ
(3.13)
az aktív anyag er®sítési
pedig a rezonátor hossza.
Az
α
tényez® a tükrökön fellép® hatásokon kívül minden veszteséget magába foglal. Ilyen veszteségek lehetnek pl. az aktív közegben fejl®d® h®, a rezonátorból a dirak ió miatt kiszóródó tér és a spontán emisszió miatt bekövetkez® abszorp ió (3.6. ábra).
erõsítés γ (ν )
longitudinális módusok
veszteség α ν
ν
3.6. ábra. Rezonátorban sak azok a frekven iájú longitudinális módusok tudnak feler®södni, melyek beleesnek az aktív anyag er®sítési sávszélességébe
164
FEJEZET 3.
A Q kap solás.
LÉZEREK
A lézerek addig sugároznak, amíg a populá ióin-
verziót fenntartják. Ha a keletkez® h®t könny¶ elvezetni, akkor a lézer folytonosan m¶ködhet.
Bizonyos esetekben a gyakorlati szempontok
döntik el, hogy a folytonos pumpálás lehetséges-e. Sok esetben a túlmelegedés miatt a lézer sak mikroszekundumos vagy milliszekundomos ideig m¶ködhet. A folytonos kijöv® jel helyett sokszor sugárzási impulzusokra van szükség.
Ha ezt a rezonátor jellemz®inek megvál-
toztatásával érjük el, akkor Q-kap solásról beszélünk.
A kap solás
során a rezonátor jellemz®it a gerjeszt® impulzus id®tartamára valahogy lerontjuk, majd hirtelen visszaállítjuk.
Ezt régen forgótükörrel
valósították meg, kés®bb az ún.
Po kels- ella elnevezés¶ elektrooptikai
eszköz alkalmazása terjedt el.
A ella m¶ködése abból áll, hogy az
ammómium-dihidrogén-foszfát kristályai poten iálkülönbség jelenlétében a síkban poláros fényt irkulárisan poláros fénnyé alakítják át.
Ha a Po kels- ella a rezonátor része, akkor az általa létrehozott
hatás kombinálódik azzal a polarizá ióváltozással, amely a tükörr®l való visszaver®déskor lép fel. Ennek eredményeként a visszavert fény polarizá iós síkja az eredeti polarizá iós síkra mer®leges lesz, s így a fény már nem indukál további emissziót. Ha azonban a ellát hirtelen kikap soljuk, akkor a vázolt polarizá iós hatás megsz¶nik, s a rezonátorban tárolt összenergia intenzív sugárzási impulzus formájában eltávozik.
A minél rövidebb id®tartamú impulzusok el®állítása szin-
tén a lézerkutatás f® sapásirányába tartozik. Módusszinkronizá ióval az impulzushossz id®tartama a femtoszekundumos tartományba sökkenthet®, amelyet fáziskorrigáló vékonyréteg tükrök alkalmazásával 4,5 fs-ra is le tudtak sökkenteni. Ilyen id®skálán már a kémiai kötések kialakulása vagy félvezet®kben végbemen® elektronátmenetek is nyomon követhet®k.
A
módusszinkronizá ió
a rezonátor veszteségeinek peri-
odikus változtatásával valósítható meg. A modulá ió képszer¶en azt jelenti, hogy egy red®nyt olyan id®közönként húznak föl, amely megegyezik a foton rezonátorbeli körülfutási idejével.
3.3.
165
A GYAKORLATBAN ALKALMAZOTT LÉZEREK
3.3.
A gyakorlatban alkalmazott lézerek
3.3.1. Szilárdtestlézerek A szilárdtestlézerekben az aktív közeg egykristály vagy üveg alakjában
rubinlézerben
van jelen. A a rubin Al2 O3 -ból áll, de kis mennyiségben 3+ 3+ Cr -ionokat is tartalmaz. Mivel az Al -ionok egy részét helyettesít® 3+ Cr -ionok átmér®je az Al2 O3 -ionoknál nagyobb, a lokális kristálytér 3+ eltorzul, s a Cr -ionok szokásos zöld színe a rubinban vörösre változik. A rubinlézernek háromnívós sémája van. A lézerhatás során 694 nmes, vörös szín¶ sugárzást eredményez. A populá ióinverziót igen nehéz folyamatosan fönntartani ezért a rubinlézer a gyakorlatban impulzusüzemben m¶ködik. A tipikus impulzusok energiája 2 J, id®tartama 10 ns, s ez 0,2 GW teljesítménynek felel meg. A
neodímiumlézer
a négynívós lézerek soportjába tartozik. Egyik
formája ittrium-aluminium-gránátba (YAG, Y3 Al5 O12 ) ágyazott, kis 3+ kon entrá ióban jelenlév® Nd ionokat tartalmaz, s ezért a Nd-Yaglézer nevet viseli.
Az üveg ol sóbb közeget jelent, de a YAG-nál
rosszabb h®vezet® révén alkalmazása impulzus üzemmódot követel meg. A neodímiumlézer számos hullámhosszat ad az infravörös tartományban, a leggyakoribb sáv 1064 nm-nél van. Az 1064 nm-es átmenet nagyon hatékony, és a lézer jókora teljesítményre képes. A teljesítmény elegend®en nagy ahhoz is, hogy ún. nak.
frekven iakétszerezést
alkalmazza-
A frekven iakétszerezés során a lézernyalábot olyan sugárzássá
alakítják, melynek frekven iája a kezdeti frekven ia többszöröse.
A
frekven iakétszerezett Nd-YAG-lézer hullámhossza 532 nm, s ez zöld fénynek felel meg.
3.3.2. Gázlézerek A
hélium-neon lézer ben
az aktív közeg (4.1. ábra) a hélium és neon
körülbelül 1:5 mólarányú keveréke. A lézer kezdeti lépésben a hélium1s1 2s1 metastabil kon gu-
atomokat elektromos kisülés segítségével az
rá ióba gerjesztik. Ennek az átmenetnek a gerjesztési energiája éppen megegyezik a neonatom egy gerjesztési energiájával, s így a He-Ne ütközések során hatékony energiaátadás jöhet létre. Ennek következtében er®sen gerjesztett, metastabil állapotú neonatomok keletkeznek, s ezek
166
FEJEZET 3.
LÉZEREK
közbens® állapotai nin senek betöltve. A fellép® lézerhatás során 633 nm-es sugárzás keletkezik.
kisülési csõ
tükör
ablak elektród
3.7. ábra. Rezonátorba helyezett gázlézer kisülési söve
Az
argonionlézer ben
az ala sony nyomású argongázon keresztül
elektromos kisülést bo sátanak keresztül. A kisülés során gerjesztett + 2+ állapotú Ar , és Ar -ionok keletkeznek, amelyek lézerátmenettel ala sonyabb energiájú állapotba kerülnek. Ezek az ionok 72 nm-es kemény ultraibolya sugárzás közben visszatérnek alapállapotukba, és a rezonátorban elhelyezett elektródasoron semlegesít®dnek. A lézerátmenetben sok vonalat (diszkrét spektrumvonalat) kapunk, mert a gerjesztett ionok sokféle kisebb energiájú állapotba jutnak vissza. Az argonion két er®teljes emissziója a 488 nm-nél (kék színnel) és 514 nm-nél (zöld színnél) jelentkezik. A többi átmenet a látható spektrum más részeiben, továbbá az infravörösben és az ultraibolyában jelentkezik. A hasonlóan m¶köd®
kriptonlézer hatásfoka kisebb, hullámhossztartománya viszont
szélesebb.
A legintenzívebben a 647 nm-es vörös színnel sugároz, de
sárga vonalat is létrehoz. A
szén-dioxid-lézer
m¶ködése kissé eltér® mert, sugárzása rezgési
átmenetekb®l származik. 9,2
µm
és a 10,8
nél található.
µm
A sugárzás hullámhossza az infravörösben
közé esik.
A legintenzívebb emisszió 10,6
µm-
A lézerátmenet a CO2 molekula szimmetrikus és an-
tiszimmetrikus nyújtórezgése között megy végbe. A szén-dioxid-lézer teljesítménye a gázlézerek között a legnagyobb. Kiválóan alkalmazható anyagmegmunkálásra és a éllemezek vágására, de az orvosi gyakorlatban is alkalmazzák. A
nitrogénlézer ben az
indukált átmenet hatékonysága olyan nagy,
hogy a sugárzási impulzus áthaladása is lézersugárzást eredményez. Az ilyen rezonátor nélküli lézereket
szupersugárzóknak
nevezik.
3.3.
167
A GYAKORLATBAN ALKALMAZOTT LÉZEREK
3.3.3. Kémiai, ex imer- és festéklézerek Kémiai reak iókkal is létrehozható populá ióinverzió.
Ezek során a
kémiai energia közvetlen módon lézersugárzássá alakul. Ilyen reak ió pl. a Cl2 fotolízise, mely során keletkez® Cl-atomok a H2 molekulákkal reaglva HCL-ot és H-t képeznek. De kémiai lézerhez felhasználható vegyi reak ió jön létre H2 és F atomok között is. Kémia lézereknek els®sorban a hadite hnikai alkalmazása jelent®s. Az
ex imerlézerekben a
populá ióinverziót úgy érik el, hogy ala sonyabb energiájú állapot valójában nin s is. Ez akkor jön létre, ha olyan molekulát hoznak létre, amely sak gerjesztett állapotában életképes és azonnal elbomlik, ha a gerjesztési energiáját leadja. Az ex imerlézerek egyik típusa xenonklór-neon elegy, amelyben az utóbbi a puergáz szerepét játsza.
Az
elegyen áthaladó elektromos kisülés gerjesztett Cl-atomokat hoz létre, és ezek a Xe-atomokkal reagálva XeCl* ex imert hoznak létre. Csillaggal jelöljük az alapállapottal nem rendelkez® molekulákat. Az ex imer körülbelül 10 ns-os élettartama alatt lézerhatással 308 nm-es lézersugárzást hoz létre. A KrF* ex imerlézer 249 nm-es sugárzást szolgáltat. A
festéklézerek
nagy el®nye a szilárdtest és a gázlézerekhez képest,
hogy széles hullámhossztartományon hangolhatók. A metanolban oldott rodamin 6G gyakorta alkalmazott festékanyag.
A nagy sávszé-
lesség oka, hogy az oldószer kiszélesíti az elektronátmenetek rezgési szerkezetét, amelynek következtében sávok jönnek létre. A festék gerjesztését általában másik lézerrel végzik miközben a festékoldatot a rezonátorban áramoltatják.
3.3.4. Félvezet® lézerek Az els®, folyamatosan üzemmódban is m¶köd® félvezet® lézerdiódát
sepfolyós He h¶téssel, 1965-ben hozták létre.
Szobah®mérsékleten
m¶köd® változata viszont sak 1968-69-ben sikerült. Ezt a kett®s heteroepitaxiális elv tette lehet®vé. Ebben a szerkezetben egy szubmikronos GaAs réteget ágyaztak be két, a GaAs-nél szélesebb tiltott-sávú félvezet® közé úgy, hogy a határfelületek rá s illesztettek maradjanak. A kett®s epitaxiális elvnek köszönhet®en a diódák küszöbárama folyamatosan sökkent, a sugárzási teljesítmény és az élettartam pedig növekedett. A fejlesztések másik nagy rohama a QW szuperrá sú lézer
168
FEJEZET 3.
szerkezetek felfedezésével 1977-ben indult meg.
LÉZEREK
Ezekben a félvezet®
heterorendszerekben az aktív réteg olyan szubmikronos rétegb®l, vagy rétegekb®l áll, amelyek vastagsága összemérhet® a szabad töltéshordozók de Broglie hullámhosszával. A QW lézerdiódák megvalósításával a sugárzási teljesítmények 1 W fölé kerültek. A populá ióinverziót a nyitóirányú el®feszítésnél a
p-n átmenet kör-
nyezetében átfolyó áram hozza létre. Azt a folyamatot, melynek során a
p -n
átmenet egyik oldaláról többségi töltéshordozók diundálnak az
átmenet másik oldalára, és ott nemegyensúlyi, kisebbségi töltéshordozó s¶r¶séget hoznak létre, nevezzük
injek iónak.
Ezért a félvezet® lézere-
ket injek iós lézereknek is nevezzük. Az injek ió, és a nemegyensúlyi, kisebbségi töltéshordozók rekombiná iója szolgáltatja a lézerhatáshoz szükséges fotons¶r¶séget. Ala sony nyitóirányú áramoknál a diódában
sak spontán emisszió jön létre. A lézerhatás megindulásához szükséges áramot
küszöbáramnak
tatója magas
nevezik. Félvezet®knél melyek törésmu-
n > 3 a homloklapok biztosítják a tükörfelületeket, és a
lézerhatás fellépéséhez szükséges Fabry-Perrot rezonátor kialakulását. Érdemes megemlíteni, hogy a lézerdiódák felfedezése és a jó min®ség¶ optikai szálak kifejlesztése tette lehet®vé az optikai hírközlést. Az optikai hírközlés alapja, hogy a fény által biztosított viv®frekven iák rendkívül nagy sávszélességet kínálnak adatátvitelhez.
Jelátalakító-
ként a lézerdiódákat alkalmazzák, amelyek nagyfrekven iásan modulálhatók. Az optikai szálak veszteségeinek mérséklésével az er®sít® nélkül áthidalható távolság 100 km. Ma már az optikai távközlés minden paraméterében lényegesen jobb, mint a villamos vagy a mikrohullámú te hnika.
3.3.5. Lézeranyagok A szilárdtestlézerekben az aktív anyag ún. hordozó anyagba van beágyazva. Ez a hordozó anyag lehet kristályos vagy üvegszer¶. A legelterjedtebb hordozó a már említett YAG ( Y3 Al5 O12 ). Az Y helyére jól illeszkednek a ritka-földfém ionok, Nd, Eu, Ho. Az Al helyére pedig a háromvegyérték¶ vas soport elemei pl. Cr. A kétvegyérték¶ lézerionok hordozói az alkáli- uorid kristályok. A hordozók másik nagy soportját az üvegszer¶ anyagok alkotják. A sokféle üvegalkotóból (egyszer¶ és összetett oxidok, halogenidek, kal-
3.3.
169
A GYAKORLATBAN ALKALMAZOTT LÉZEREK
kogenidek, sók) el®állítható üvegtipusok közül az oxid-üvegeket (pl. szilikátüveg), a uorid-üvegeket, és a kevert anionos üvegeket ( uorofoszfát) használják leggyakrabban. A szerkezeti tulajdonságokat alkáli, és alkáli-földfém ionok adalékolásával lehet tovább javítani. Az összetétellel befolyásolni lehet a spektroszkópiai és a termooptikai tulajdonságokat is. Az üvegek el®nyei a kristályokkal szemben, hogy
jóval egyszer¶bb el®állítani,
magy méretben és tetsz®leges alakban készíthet®k,
spe iális eloszlásban adalékolt, ún. törésmutató illesztett rudak is el®állíthatók.
A hátrányuk viszont
a rossz h®vezet®képesség, termikus deformá iók,
magasabb lézerküszöb,
ala sonyabb ismétlési frekven ia.
A hordozókkal szemben támasztott további követelmények
hiba (törésmutató inhomogenitás) mentesség,
feszültségi kett®stör® mentesség,
kémiai tartósság,
optikai megmunkálhatóság,
magas ron solási teljesítménys¶r¶ség küszöb.
Maga az indukált emisszió a hordozóba ágyazott aktív ionok energiaszintjei közötti átmenetek során következik be. Legeredményesebben a vas soport elemeit és a ritka földfémeket lehet aktív anyagként használni. Egy szilárd hordozóba ágyazott ion elektronszerkezete eltér a magányos ion energiarendszerét®l. Ugyanis a kristályrá s többi elemének, ionjának er®s elektrosztatikus tere a lézerion elektronjaival köl sönhat. Ennek következményeként az ion energianívói felhasadnak. További energiaszint módosulást eredményez a rá srezgések okozta id®függ® térer®sségváltozás is. Ez a hatás is a nívók kiszélesedéséhez vezet.
A gerjesztés Szilárdtestlézereknél sak optikai gerjesztés jöhet szóba.
A gerjesz-
tés végbemehet impulzus lámpával, folytonos ívlámpával és félvezet® lézerrel is.
A tervezés során a maximális hatásfokra, a rúd kereszt-
metszetének egyenletes megvilágítására és a maradék h® elvezetésére
170
FEJEZET 3.
törekednek.
LÉZEREK
A h®vezetés szempontjából a különböz® hordozók nagy
eltéréseket mutatnak. Általában a kristályos anyagok jobb h®vezet®k mint az üvegszer¶ek. Ez a jellemz® meghatározza folytonos üzemmódban a rúdba pumpálható teljesítményt, impulzus üzemmódban peddig az ismétl®dési frekven iát. Az
impulzuslámpa
általában xenon töltés¶ villanólámpa, amelyet
optikailag szorosan illesztenek az aktív közeghez. Ennek tipikus megoldása az ellipszis keresztmetszet¶ re ektor, ahol az egyik fókuszvonalban a lámpa, a másikban pedig a lézerrúd helyezkedik el. Mindez egy zárt térrészt alkot, amelyben a lézerrúd és a lámpák h¶tése éljából desztillált vizet keringetnek. Az impulzuslámpa elektromos táplálása számos problémát hordoz. Ezen lámpáknak nagy a gyújtófeszültségük (10-20 kV). Ugyanakkor az áramer®ség maximális értéke 0,1-10 kA is lehet, miközben az égési feszültség leesik 50-300 V-ra. A lámpákban az elektromos energia 90%-a h®vé alakul, amelyet el kell vezetni A h¶t®rendszer általában közös, az áramló víz mind a lámpát mind a rudat h¶ti. Különlegesen stabil m¶ködéshez a rúd h®mérsékletét termosztáttal stabilizálják. A
folytonos ívlámpát
olyan aktív anyagoknál használják, amelye-
ket négyszintes lézerként használnak és az alsó lézerszint kell®en rövid élettartamú, azaz gyorsan kiürül. A leggyakrabban a kripton töltés¶ ívlámpát használják, mert emissziós spektruma nagyon jól illeszkedik a Nd abszorp iójához. Itt különösen fontos a rúd megfelel® h¶tése, már néhány másodper kimaradás, az egész lézerfej azonnali tönkremenetelét okozza. A
félvezet® lézerek
hatásfoka a lézerek közül a legjobb kb. 50%.
Ráadásul a félvezet® lézerek néhány típusa azon a hullámhossztarto3+ mányon világít, ahol a Nd abszorp iós sávja van. A lézerdióda h®mérsékletének változtatásával ráhangolható az absszorp iós sú sra. A gerjesztési mód során kevés energia válik h®vé így egyszer¶bbé válik a h¶tés. Hátránya a lézerdiódák kis teljesítménye és rossz nyalábtulajdonsága.
4. fejezet
Folyadékok, m¶anyagok és polimerek tula jdonságai
A folyadék állapot átemenetet képez az anyag szilárd és gáz halmazállapota között.
A folyadékok makroszkopikus zikai tulajdonságai
részben a gázok, részben a kristályos anyagok sajátosságaira emlékeztetnek. A folyadékoknak nin s meghatározott alakja, mindig az edény alakját veszik föl (ebben a gázokhoz hasonlítanak). A folyadékok térfogata állandó, amelynek megváltoztatásához igen nagy er®kre van szükség (akár sak a kristályoknál).
A folyadékok s¶r¶sége megegyezik a
kristályos állapotú anyag s¶r¶ségével (általában annál 5. . . 20%-al kisebb). A folyadékokban a diúzió sebessége lényegesen nagyobb, mint a kristályokban, de kisebb mint, gázállapotban. A kristályok megolvasztásához szükséges h® sokkal kisebb, mint a folyadék elpárologtatásához szükséges energia (forrásh®). A bels® energia szempontjából a folyadékok közelebb állnak a kristályos anyagokhoz mint a gázokhoz.
Ezen általános érvény¶ megállapításokon túl, a különböz® folyadékok tulajdonságaiban lényeges különbségek is mutatkoznak. A zikai tulajdonságokban jelentkez® különbségek szerkezeti okokra vezethet®k vissza. A folyadékokat szerkezeti szempontból öt nagy soportra oszt171
FEJEZET 4.
FOLYADÉKOK, MANYAGOK ÉS POLIMEREK
172
TULAJDONSÁGAI
hatjuk:
egyszer¶ folyadékok (fémolvadékok, seppfolyós nemesgázok), poláros folyadékok (ionvegyületek olvadékai), molekuláris folyadékok (dipólus molekulákból álló folyadékok), asszo iált folyadékok (víz, gli erin), óriásmolekulájú anyagok (olajok, m¶anyagok).
A következ®kben az egyszer¶ folyadékok és a víz szerkezetével foglalkozunk részletesebben.
4.1.
Az egyszer¶ folyadékok Bernal-féle golyómodellje
Az olvadáspont közeli h®mérsékleten a fémolvadékok s¶r¶sége, összenyomhatósága a kristályállapotú fémekével közel azonos. A tiszta fémek szerkezeti szempontból a legegyszer¶bb anyagok közé tartoznak. Azonos atomokból épülnek fel, kristályszerkezetük legtöbb esetben maximális s¶r¶séggel egymásra helyezett golyókkal modellezhet®. E tényb®l kiindulva
Bernal
a múlt század harmin as éveiben a fémolvadékok
szerkezetét is golyósokasággal jellemezte.
Bernal egy rugalmas hálót
sok (kb. 400) egyforma golyóval töltött meg. A golyókat nem rendezte el, sak egyszer¶en egymásra dobálta, végül a hálót szorosra húzta. Azt tapasztalta, hogy az így egymásra dobált golyósokaság térfogata kb. 15-20%-kal nagyobb annál a térfogatnál, amelyet a szoros, kristályos rendbe rakott golyók sokasága tölt be. Ez a térfogatváltozás jól egyezik a fémek olvadásakor mérhet® térfogat-növekedéssel. Bernal kimutatta, hogy a rendezetlenül egymásra dobált golyók egymáshoz illeszkedésében statisztikus törvények jelentkeznek. A hálóban összehúzott golyósokaságot festékbe mártotta, majd miután a festék megszáradt, szétszedte a golyókat.
Ahol a golyók érintkeztek
egymással, ott nem lettek festékesek, és így utólag megállapítható volt, hogy egy-egy golyó hány másikkal érintkezett.
Bernal tapasztalatai
szerint minden golyónak legalább 5, de legfeljebb 12 közvetlen szomszédja volt. Egy golyó a legnagyobb valószín¶séggel 9-10 szomszéddal érintkezett. A szoros térkitöltés¶ kristályszerkezetben minden atomot 12 másik vesz körül. A kristályos szerkezetben és a folyadékszerkezetei
4.2.
173
A VÍZ
modellben tehát a közvetlen szomszédos része skék száma nem nagyon tér el egymástól. Ebb®l az sejthet®, hogy folyadékállapotban az atomok többségének közvetlen környezete a szomszédos atomok számát tekintve nem sokban különbözik a kristályszerkezetre jellemz® elrendez®dést®l.
A modell további vizsgálata azonban arra utal, hogy ez
a hasonlóság sak néhány atomátmér®nyi távolságig gyelhet® meg. Bernal meghatározta a golyók távolabbi szomszédainak számát és elrendez®dését is, és azt tapasztalta, hogy ezek számában egyre nagyobb a véletlenszer¶ ingadozás. Bernal egyszer¶ modellje a fémolvadékok szerkezetér®l szemléletes képet ad. A modell segítségével jól értelmezhet®k a kristályos fém és az olvadék s¶r¶ségviszonyai.
A modell legközvetlenebb igazolását a
röntgen dirak iós szerkezetvizsgálatok eredményei adják. Azonban a golyómodell a folyadékok egy fontos tulajdonságát nem veszi gyelembe. Ez pedig a termikus mozgás. A golyósokaság így a mozgó folyadék kimerevített pillanatképének tekinthet®. A termikus 4 mozgás másodper enként 10 -szer felbomlasztja, majd kis változtatással újra létrehozza a jellegzetes atom soportosulásokat. A dirak iós szerkezetvizsgálatok azonban egyértelm¶en megmutatták, hogy az egyszer¶ folyadékok soportjába a folyadékoknak sak elenyész®en kis hányada sorolható be. A víz, a szerves molekulájú folyadékok, a sóolvadékok nem tartoznak az egyszer¶ folyadékok közé. Szerkezetük nem modellezhet® golyósokasággal.
4.2.
A víz
A víz a földünkön legnagyobb mennyiségben található vegyület. A 21 21 világó eánok 1, 4 × 10 kg, az ásványok 0, 8 × 10 kg vizet tartalmaznak. Az élet kialakulása és fennmaradása is a víz jelenlétéhez kötött.
Az emberi test 63%-a víz.
◦ ◦ A víz normál légköri nyomáson 0 C és 100 C h®mérséklet határok ◦ ◦ között folyadék, 0 C alatt jégkristály, 100 C felett g®z. Nagyobb nyomáson a folyadékállapothoz tartozó h®mérséklet-tartomány megn®: a forráspont emelkedik és a fagyáspont sökken. A víz s¶r¶sége sajátos módon változik a h®mérséklet függvényében. ◦ 3 ◦ A legnagyobb a +4 C-os víz s¶r¶sége: 1000 kg/ m . A +4 C-nál
FEJEZET 4.
FOLYADÉKOK, MANYAGOK ÉS POLIMEREK
174
TULAJDONSÁGAI
ala sonyabb, ill. magasabb h®mérsékleten ennél kisebb a víz s¶r¶sége. ◦ ◦ A 0 C-os jég s¶r¶sége 9%-kal kisebb mint a 0 C-os vízé. A víz felületi feszültsége és viszkozitása más folyadékokkal összehasonlítva felt¶n®en nagy. A víz melegítéséhez sok energia szükséges. A víz fajh®je 4,18 kJ/kg, kétszerese a jég fajh®jének, közel tízszerese 3 a vas, és harmin szorosa a platina fajh®jének. A víz 2,25×10 kJ/kg forrásh®je szintén magas.
A tiszta (desztillált) víz színtelen, szagtalan, átlátszó folyadék. Az elektromos áramot gyakorltilag nem vezeti. Elektromos permittivitása nagy (ε
víz
= 80), ezért szigetel®anyagként is felhasználható pl. konden-
zátor lemezei között. A víz jó oldószer. Különösen az ionkristályok oldódnak jól a vízben. Egyes gázok ugyan sak jól oldhatók. Az oldódási folyamatok többségét h®eektus kíséri.
Ez arra utal, hogy az oldószer és az oldott anyag
molekulái között intenzív köl sönhatásba kerülnek egymással. A vizes oldatoknak saknem az összes zikai tulajdonsága eltér a tiszta vizét®l.
4.2.1. A víz szerkezeti modellje A dirak iós szerkezetvizsgálatok alapján a seppfolyós vízben egy molekulát átlagosan sak négy másik molekula fog közre.
A közvetlen
szomszédok száma a h®mérséklet növekedésével ugyan kissé n®, de ez ◦ C-on is átlagosan sak 4,9. A dirak iós vizsgála-
a szám még 80
tok tehát egyértelm¶en mutatják, hogy a víz szerkezetét nem szabad a Bernal-modell szerint elképzelni. A víz szerkezeti szempontból a jégkristállyal mutat er®s hasonlóságot. A jégben ugyanis minden vízmolekula négy másik vízmolekulához kap solódik. A molekulákat tetraéderes irányokban elhelyezked® H-híd kötések rendezik kristályrá sba. A víz szerkezetét a következ®képpen lehet elképzelni: a vízben a H2 O molekulák viszonylag nagy méret¶ 80-90 molekulát tartalmazó ún.
ibotaktikus soportokba
rendez®dnek.
Ilyen molekulaasszo iátu-
mokba rendez®dik a vízmolekulák mintegy 70%-a. a molekulákat hidrogénkötések kap solják össze.
A soportokban
Az összekap solódó
molekulák többsége a jég szerkezetéhez hasonlóan tetraéderes irányokba köt®dik. Gyakran egy-két szomszéd hiányzik. A soportok közötti hézagokat kettesével, hármasával összeálló, esetleg hatos gy¶r¶kbe kap-
4.3.
175
AZ ÜVEGEK SZERKEZETE
solódó molekulák töltik ki véletlenszer¶ elrendez®désben. A molekula soportok a h®mozgás következtében állandó mozgásban vannak. ◦ ◦ A vizet 0 C-ról melegítve s¶r¶sége eleinte n®, +4 C-on maximális, majd fokozatosan sökken.
A s¶r¶ségváltozást a melegítés során
bekövetkez® mikroszerkezeti változások okozzák. A melegítés hatására
sökken a molekulasszo iátumok mérete, másrészt élénkül a molekulák h®mozgása. Az el®bbi növeli, az utóbbi sökkenti a s¶r¶séget. A víz ezen tulajdonsága a vizi élet szempontjából nagy jelent®ség¶, ◦ ugyanis a konvektív áramlások miatt a legnagyobb s¶r¶ség¶ +4 C-os víz a meder aljára süllyed, míg a kisebb s¶r¶ség¶ hideg víz a felszínre emelkedik.
A föls® jégréteg jó h®szigetel® ezért megvédi az alsóbb
rétegeket a küls® hideg leveg®t®l. A víz fajh®jének és forrásh®jének viszonylagosan nagy értékét a molekulák között lév® hidrogénkötés magyarázza. A jég melegítésekor a kristály bels® energiájának növekedése a helyhezkötött molekulák h®mozgásának fokozásában jelentkezik. A folyékony állapotú víz melegítésekor a közölt energia egy része a hidrogénhidak felszakadására fordítódik. A víz számos anyagnak, többek között a sóknak jó oldószere. Az oldódás a só és a víz része skéi között ébred® köl sönhatás eredménye. Az oldódás me hanizmus során a vízbe helyezett kristály felületén lév® ionok magukhoz vonzzák az er®s dipóltulajdonságú vízmolekulák megfelel® pólusait, így a vízmolekulák a kristály ionjait szorosan körbe veszik. A vízmolekulák képesek a h®mozgást végz® ionokat kiszakítani a kristályból.
A kiszakított ion körül a vízmolekulák ún. hidrátbur-
kot képeznek. Ez a burok er®sen leárnyékolja az ionok töltését, ezáltal megakadályozza azt, hogy ezek visszatérjenek a kristályrá sba. Az oldott ionok hatására megváltozik a víz molekula soportjainak átlagos mérete és a soportokban lév® molekulák átlagos száma.
4.3.
Az üvegek szerkezete
Az amorf anyagokban a kristályoktól eltér®en rövidtávú rendezettség uralkodik. Az üvegek túlh¶tött folyadékoknak tekinthet®k. A közönséges üveg a szilikátüvegek közé tartozik, melynek alapanyaga a kvar homok ( SIO2 ). A szilikátüveg SIO2 tetraéderek térbeli hálózatából áll.
FEJEZET 4.
FOLYADÉKOK, MANYAGOK ÉS POLIMEREK
176
TULAJDONSÁGAI
Minden szilí iumatomot kovalens kötéssel négy oxigénatom vesz körül. Az üvegek fontos jellemz®je az olvadáspont hiánya, az átlátszóság és kémiai ellenállóság. Az üvegek el®állítása során az alapanyaghoz különböz® egyéb anyagokat (pl. szóda, nátrium-szulfát, kálium-karbonát és ólom-oxid) adagolnak. Az üvegeket a fém-oxidok változatos színekre festik. Igen gyors h¶téssel különleges tulajdonságú ún.
fémüvegek
állítha-
tók el®. A fémüvegekben az atomok fémes kötéssel kap solódnak össze ezért jó áramvezet®k. Emellett, rugalmasak, kopásállóak és nagy szakítószilárdságúak.
4.4.
A folyadékkristályok
Bizonyos széls®ségesen anizotróp molekulákból álló anyagok olvadás el®tt a szilárd és folyadék közötti állapotba kerülnek, amelyet
zisnak
mezofá-
nevezünk.
szmektikus
nematikus
koleszterikus
4.1. ábra. A folyadékkristály molekulák lehetséges elhelyezkedése
A röntgendirak iós vizsgálatok szerint a molekulák hossztengelyeik szerint irányítottan helyezkednek el.
A molekulák orintá iójuk
szerint szmektikus, nematikus és koleszterikus kon gurá iót vehetnek fel (4.1. ábra). A folyadékkristályokból jó min®ség¶, ol só kijelz®ket, számítógép monitorokat lehet készíteni.
4.5.
Polimerek és m¶anyagok szerkezete
A m¶anyagok makromolekulákból felépül® anyagok, tulajdonságaikat a lán alakú molekulák szokatlanul nagy mérete, illetve hosszúsága,
4.5.
177
POLIMEREK ÉS MANYAGOK SZERKEZETE
valamint a funk iós soportok határozzák meg. Néhány felfedezés id®rendben:
1839
a kau suk vulkanizálása (C. H. Goodyear)
1847
az els® mesterséges poliészter el®állítása (J. J. Berzelius )
1859
megalakul az els® eluloidgyár
1900
polipeptidek és polisza haridok el®állítása (E. Fis her)
1901
szilikon
1910
bakelit
1911
elofán
1914
PVC
1920
m¶gyanta
1929
plexiüveg
1930
polisztirol
1931
neoprén
1939
nylon
A m¶anyagokat számos szempont szerint soportosíthatjuk. A h®re lágyuló m¶anyagokat
duroplasztok. merek.
a
elasztomerek nek
nevezzük. A h®re keményed®k
A lazán térhálós szerkezet¶ molekulák az ún.
A m¶anyagok alapvet® felépít® egységei a
monomerek.
elaszto-
Monomer
pl. az etilén, propilén, izoprén, sztirol, vinilklorid. . . . Kisszámú monomerb®l álló lán okat
oligomerek nek nevezzük.
Az oligomerek a polime-
rek el®állításának köztes termékei. A polimerek pedig az oligomerekb®l álló hosszú lán ok. A szilárd m¶anyagokat a következ®képpen is fel lehet osztani:
üvegszer¶, összegombolyodott vagy térhálós szerkezet¶ kristályszer¶, térben szabályosan rendezett lán okból álló szálas gumirugalmas, alakvisszanyer® tulajdonságú
FEJEZET 4.
FOLYADÉKOK, MANYAGOK ÉS POLIMEREK
178
TULAJDONSÁGAI
4.5.1. A polimer molekulák elrendez®dése A kismolekulájú anyagokra jellemz®, hogy küls® deformá ió után nem nyerik vissza eredeti alakjukat. A nagymolekulájú anyagok akár 1000%os nyújtás után is visszanyerik eredeti alakjukat. Mint említettük a m¶anyagok egy része a h®mérséklet sökkenésével megdermed, üvegszer¶vé válik. Ilyen pl. polisztirol és a polimetil-metakrilát. A m¶anyagok másik része viszont kristályos tulajdonságokat mutat, s®t egykristályok is el®állíthatók. Kristályosodó a polietilén, a polipropilén, a poliamid és a poliészter. Alapvet® különbség van azonban a kis és nagy molekulatömeg¶ kristályosodás között.
A kis molekulatömeg¶ komponensek kristályoso-
dása során sok kristályosodási gó van jelen az anyagban. A keletkez® kristályok teljesen szabályosak.
A polimerek kristályosodása során a
folyadékállapotra jellemz® rendezetlenség a képz®d® szerkezeti egységekben is jelen van. Kis molekulatömeg¶ anyagoknál az egyes kristályokat éles határfelületek választják el egymástól (szem sehatárok). A polimereknél ezek a felületek hiányoznak. A kristályosodó polimerek ún.
szemikristály t
képeznek. A szemikristályokban az amorftartalom
20 és 80% között van.
A kristályos polimerek olvadását olvadási h®◦ mérséklettartomány jellemzi, amely 100 C is lehet.
4.5.2. A m¶anyagok morfológiája Az olvadékból kristályosított polimer (pl. polietilén) optikai mikroszkópos vizsgálata nem mutat kristályos jelleget, mert hiányoznak a jól de niált határfelületek. 1920-ban S herrer és Herzog a ellulóz, 1925-ben Katz a nyújtott gumi röntgenképe alapján ismerte fel a kristályos jelleget. A polimerlán ok kristályossága függ a termikus és me hanikus el®élett®l is. A gázok és folyadékok röntgen dirak iós képe jellegzetes diúz szórási kép, hiányoznak bel®le az éles sú sok, amelyek a kristályos anyagokra jellemz®k. A polimerek szórási képe egy diúz háttérre szuperponálódott éles sú sokból áll. A szemikristályok tulajdonságainak megértésére többféle elméletet is kidolgoztak. Ilyen pl. a rojtos mi ella és a parakristály elmélet. A parakristály elmélet egy eltorzult egykristályból származtatja a szemikristályos jelleget.
4.5.
179
POLIMEREK ÉS MANYAGOK SZERKEZETE
A polimerek jellegzetes morfológiai sajátsága a szferolitok kialakulása.
A szferolitok rendszerint gömbalakú képz®dmények, melyek
optikai kett®stör®k.
1937-ben fedezték fel jelenlétüket polimerekben
(4.2. ábra). A szferolitok a legtöbb szemikristályos polimerben jelen vannak de a méretük pi iny. A szferolitok nem egykristályok és nem minden m¶anyagban képz®dnek. A szferolitok mérete nagyon külön-
4.2. ábra.
A szferolit kialakulása.
A növekedési folyamat során a geometriai
forma változik.
böz®, az ezredmilliméteres nagyságtól egészen az egy entiméteresig. A szferolitok szálformájú ( brillás) alegységekb®l állnak.
A brillás
polimerlánc
nagyszögû elágazások
kisszögû elágazások fibrilla
4.3. ábra. Kisszög¶ és nagyszög¶ brillás elágazású szferolitok.
növekedés fontos sajátsága, hogy elágazásokkal jár (4.3. ábra). A szfe-
FEJEZET 4.
FOLYADÉKOK, MANYAGOK ÉS POLIMEREK
180
TULAJDONSÁGAI
rolitok egyik típusa kisszögben elágazó, a másik derészögben elágazó brillákat tartalmaz.
A lán molekulák mikroszkópos vizsgálata azt
mutatja, hogy a brillákon belül a polmerlán ok hossztengelyei a sugárra mer®legesek. Különleges körülmények között a polimerekb®l egykristályok is növeszthet®k. A polietilén egykristály lamellás szerkezet¶ (4.4. ábra). A lamellák vastagsága 10 nm. A lamellákon belül a polimerlán ok hossztengelye mer®leges a lamella felületére.
Ez az ún.
lán hajtogatódás
jelensége.
lamella
polimer 4.4. ábra. A polietilén egykristály lamellás szerkezete.
A lamella mérete h®kezeléssel megvastagítható. A szferolitok mellett a m¶anyagokban egykristályokhoz hasonló, hatszöges szerkezetek
hedritek nek nevezünk. Feny®fára lító, rosszul fejlett egykristályokat dendritek nek nevezzük. is kialakulhatnak, melyeket
hason-
Lassú kristályosodás során a polimerek néha teljesen nyújtott lán okba rendez®dnek. Ezeket
nyújtott lán ú lamellák nak nevezzük.
Ki-
alakulásuk me hanizmusa nem teljesen világos.
4.5.3. A polimerek reológiai viselkedése A reológia az anyagok folyási viselkedését vizsgálja, az anyagra ható deformá iós er®k függvényében.
Az anyag deformá ióját me hanikai
jelleg¶ er®hatások és az ezek által keltett feszültségek idézik el®.
A
deformá iók id®ben végbemen® folyamatok, az eseményt leíró összefüggésekben tehát az id® is megjelenik a h®mérséklettel együtt. Az anyagok folyási viselkedése általában bonyolult folyamat, az er®hatás által kiváltott esemény többnyire nem fejez®dik be az er®hatás
4.5.
POLIMEREK ÉS MANYAGOK SZERKEZETE
181
megsz¶nésének pillanatában, hanem további események játszódnak le. A termoplaszt polimer folyadékok h®mérsékletének változása a viszkozitás és a lágyulás reverzibilis változását idézi el®. Mivel a duroplasztok ala sony polimerizá iófokúak, ezért a magasabb polimerizá ió fokhoz szükséges aktiválási energiát a h®közlésb®l nyerik. S ezért képlékenyen nem alakíthatók. Tegyük fel, hogy a polimer gombolyagszerkezet¶ óriásmolekulákból áll. Ha ez a makromolekulájú anyag üvegszer¶ állapotából a folyékonyba megy át, az anyagban két különféle folyamat megy végbe. Egyrészt a gombolyagok egymáshoz viszonyított helyzete változik meg, másrészt a felgombolyodás mértéke is módosul. Az anyag üveges állapotában az üvegesedési h®mérséklet alatt egyik elmozdulás sem lehetséges, mivel a helyzetváltoztatáshoz szükséges energia nem áll rendelkezésre. A h®mérséklet emelésével els®ként a gombolyagot képez® lán részeinek elmozdulása következik be, majd a h®mérséklet emelésével egyre nagyobb elmozdulások gyelhet®k meg egyre hosszabb lán részek mentén. Véges hosszúságú lán részek egymáshoz viszonyított helyzete akkor is megváltozhat, ha a két lán rész két szomszédos gombolyag lán ához tartozik. A hálós mind a síkhálós mind a térhálós szerkezet¶ polimerekben az els®dleges kémiai kötések képviselik a lán ok kap solódási helyeit. Mivel ezek a kötések nem bomlanak fel az alakítás h®mérsékletén a deformá iós er®k hatására, a hálósodási pontok száma és helyzete állandó. A hálósodás lehet®vé tesz ugyan helyi elmozdulásokat, viszont megakadályozza a lán ok rendezetlen mozgását. A vulkanizá ióhoz felasznált kén mennyiségét növelve a hálósodási helyek aránya arányosan megnövekedik.
Ezért a nyers gumihoz adagolt kénnel az
anyag rugalmassága változtatható.
5. fejezet Felhasznált irodalom
1. Solymár and Walsh:
Ele tri properties of materials, (
FORD, University Press )
2. Frank J. Blatt: Modern Physi s, (
OX-
M Graw-Hill INC )
3. As hroft-Mermin: Solid State Physi s, (
INC )
Rinehart and Winston
4. Fogarassy Bálint: Bevezetés a szilárdtest zikába, (
Kiadó )
ELTE, Eötvös-
5. Sólyom Jen®: A modern szilárdtest zika alapjai II. Elektronok a szilárdtestben, (
ELTE, Eötvös-Kiadó )
6. Dr. Tisza Miklós: Az anyagtudomány alapjai, (
temi Kiadó, Miskol , 2008 )
7. Dr. Tisza Miklós: Anyagvizsgálat, (
Miskol , 2008 )
Miskol i Egye-
Miskol i Egyetemi Kiadó,
8. Ginsztler János, Hidasi Béla, Dévényi László: Alkalmazott anyagtudomány, (M¶egyetemi Kiadó, 2005) 9. Prohászka János szerkesztésében: Anyagte hnológia, (M¶egyetemi Kiadó, Bp, 2005) 183
184
FEJEZET 5.
FELHASZNÁLT IRODALOM
M¶szaki
10. Pélyi Bertalan, Szabó Béla: Villamosipari anyagismeret,(
Könyvkiadó, Budapest, 1978 )
11. Litz József: Anyagszerkezet, (
PTE, egyetemi jegyzet )
12. Litz József: Elektromosságtan I., ( 13. P. W. Attkins: Fizikai kémia II., (
Nemzeti Tankönyvkiadó )
Tankönyvkiadó, Bp )
14. Holi s László szerkesztésében: Fizika II., ( 15. Hevessy Imre: Elektromosságtan, (
Tankönyvkiadó, Bp.)
Nemzeti Tankönyvkiadó )
16. Csillag László: A lézerek története, a lézerm¶ködés zikai alapjai, (
szi Iskola, Visegrád )
17. Lendvay Ödön: Félvezet® lézerek, ( 18. Sánta Imre: Szilárdtestlézerek, (
szi Iskola, Visegrád )
kézirat )
19. Kurt Mendelssohn: Az abszolút zérus fok, (
adó, 1983 )
Gondolat Könyvki-
20. Tom Sha htman: Abszolút zérus és a hideg meghódítása, (
gyar Könyvklub )
21. Hraskó Péter: Kvantumme hanika, (
PTE, egyetemi jegyzet )
22. Hraskó Péter: Termodinamika és statisztikus zika, (
temi jegyzet )
PTE, egye-
23. Klaus Benth-Olaf Benth: Az elektronika alapjai II., (
Kiadó )
24. Budó Ágoston: Kísérleti Fizika I., (
M¶szaki
Nemzeti Tankönyvkiadó )
25. Simonyi Károly: Villamosságtan II.,(
pest, 1957 )
Ma-
Akadémiai Kiadó, Buda-
A habilit´aci´os el˝oad´asok t´em´ai Nyitray Gergely 1. N´eh´any rezg´esre k´epes fizikai rendszer le´ır´asa 2. Bevezet´es az analitikus mechanik´aba 3. A Drude-Lorentz modell Az idegen nyelv˝ u el˝oad´as nyelve: angol
A szakmai el˝oad´as c´ıme: Self Confining Waves
PTE TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR HABILITÁCIÓS ELJÁRÁSI JEGYZŐKÖNYVE A habilitációra pályázó: Név: Dr. Nyitray Gergely Születési hely, év, hó, nap: Miskolc, 1975.12.10. Munkahely: PTE Műszaki és Informatikai Kar Beosztás: egyetemi adjunktus Tudományág, amelyben a habilitációt kérelmezi: fizikai tudományok A kérelem benyújtásának napja: A hiánypótlás beérkezésének napja: Az eljárás lezárásának napja: Szakmai bíráló bizottság: Elnök: Beosztás: Munkahely: Titkár: Beosztás: Munkahely: Bizottsági tag (opponens): Beosztás: Munkahely: Bizottsági tag (opponens): Beosztás: Munkahely: Bizottsági tag: Beosztás: Munkahely: Bizottsági tag: Beosztás: Munkahely: I. A habilitációs eljárás zárt részének értékelése: A habilitációs eljárás megindításához az opponensek által adott javaslat: A KDHB javaslata a habilitációs eljárás nyilvános részének megindításáról: javasolja / elutasítja A javaslat dátuma: Indokolás: II. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
A habilitációs eljárás nyilvános részének értékelése: A habilitációs előadás időpontja: A tantermi habilitációs előadás címe: A tudományos habilitációs előadás címe: Az idegen nyelvű előadás (összefoglaló) címe: A tantermi habilitációs előadás értékelése (összpontszám): A tudományos habilitációs előadás értékelése (összpontszám): Az idegen nyelvű előadás értékelése (összpontszám): A szakmai bíráló bizottság értékelése:
Pécs, elnök
bizottsági tag (opponens)
bizottsági tag
bizottsági tag (opponens)
bizottsági tag
III. A Kari Doktori és Habilitációs Bizotság javaslata: Pécs, a Kari Doktori és Habilitációs Tanács elnöke IV. Az Egyetemi Habilitációs és Habitusvizsgáló Bizottság döntése Pécs, az Egyetemi Habilitációs és Habitusvizsgáló Bizottság elnöke
