Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > FORMULES VOOR OMTREK EN OPPERVLAKTE

Oppervlakte van driehoeken

Verkennen Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde rechthoek.

name: Images/hv-me72-e1-t01.jpg file: Images/hv-me72-e1-t01.jpg state: unknown

a Hoeveel cm2 is de oppervlakte van driehoek I? b Hoeveel cm2 is de oppervlakte van driehoek II? c Waarom kun je van driehoek II gemakkelijker de oppervlakte bepalen? Kennelijk kun je binnen een rechthoek driehoeken maken die verschillen van oppervlakte. d Kun je driehoeken maken die een grotere oppervlakte hebben dan de helft van de rechthoek? e Kun je driehoeken maken die een kleinere oppervlakte hebben dan driehoek I en waar toch geen kleinere rechthoek omheen past? Opgave 2 Dit is een driehoek met er omheen een rechthoek waarvan de lengte samenvalt met één zijde van de driehoek. a Teken zelf zo’n 󰅮iguur en laat door de 󰅮iguur te verdelen zien dat de oppervlakte van deze driehoek altijd de helft van die van de rechthoek is.


b Welke formule voor de oppervlakte 𝐴 van deze driehoek kun je opschrijven?

STICHTING MATH4ALL 28 AUGUSTUS 2012

PAGINA 1


c Geldt deze formule voor elke driehoek binnen deze rechthoek als één zijde samenvalt met de lengte van de rechthoek en het derde hoekpunt op de tegenover liggende lengte zit? Uitleg

Bekijk de applet: Oppervlakte driehoek Elke driehoek is precies de helft van een rechthoek op één van de zijden zoals je in deze 󰅮iguur kunt zien. De lengte van die rechtname: Images/hv-me72-u1-t02.jpg hoek is dan de lengte van die zijde, de basis. file: Images/hv-me72-u1-t02.jpg state: unknown De breedte van die rechthoek is de afstand van het hoekpunt dat niet op de basis ligt tot de basis. Je noemt dit de hoogte van de driehoek. De oppervlakte van Δ𝐴𝐵𝐶 is de helft van die van de rechthoek op basis AB. De oppervlakte van deze rechthoek is 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡𝑒 ⋅ 𝑏𝑟𝑒𝑒𝑑𝑡𝑒 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷, dus voor de driehoek geldt: 1 𝑜𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒(𝑑𝑟𝑖𝑒ℎ𝑜𝑒𝑘) = ⋅ 𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠 ⋅ ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 2 Maar werkt dit ook als ∠𝐵𝐴𝐶 meer dan 90∘ is? Opgave 3

>

www.math4all.nl

>

MAThADORE-basiswiskunde

>

1/2 HAVO/VWO

>


>

Uitleg

Bekijk met welke formule je de oppervlakte van een driehoek kunt berekenen. Gebruik de applet. a Maak binnen de rechthoek op zijde 𝐴𝐵 een Δ𝐴𝐵𝐶 met basis 𝐴𝐵 = 10 en hoogte 𝐶𝐷 = 7. Is er maar één driehoek mogelijk? b Heeft elk van deze driehoeken dezelfde oppervlakte? Waarom? c Bereken die oppervlakte met de formule voor de oppervlakte van een driehoek. Controleer vervolgens met het rooster in de applet dat het antwoord correct is. d Oefen dit met een medeleerling. Maak een driehoek en laat de ander de oppervlakte berekenen. Ga na, dat de formule ook geldt als de basis en/of de hoogte van de driehoek geen geheel getal zijn. Theorie en voorbeelden Voorbeeld 1


PAGINA 2


Bereken de oppervlakte van deze driehoekige plaat staal. Voor de oppervlakte van een driehoek geldt: 1 𝑜𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒(𝑑𝑟𝑖𝑒ℎ𝑜𝑒𝑘) = ⋅ 𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠 ⋅ ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 2

Hier is de basis 1, 9 m en de hoogte 1, 3 m. 1 Dus is de oppervlakte van de driehoekige plaat staal: ⋅ 1,9 ⋅

name: Images/Me4001.jpg file: Images/Me4001.jpg state: unknown

2

1,3 = 1,235 m2.

Opgave 4 Bereken van deze driehoeken de oppervlakte.

name: Images/hv-me72-v11-t01.jpg file: Images/hv-me72-v11-t01.jpg state: unknown

Opgave 5 Teken in een assenstelsel de punten 𝐴(−3, −3), 𝐵(2, −3), 𝐶(3, −2) en 𝐷(0, 3). Neem 1 cm als roostereenheid. a Bereken de oppervlakte van Δ𝐴𝐵𝐷 met behulp van de oppervlakteformule. b Waarom kun je de oppervlakte van Δ𝐴𝐶𝐷 niet exact met behulp van de oppervlakteformule berekenen? c Bereken de exacte oppervlakte van Δ𝐴𝐶𝐷. d Meet nu de lengte van 𝐴𝐶 en meet de afstand van punt 𝐷 tot 𝐴𝐶. Bereken met die getallen de oppervlakte van Δ𝐴𝐶𝐷. e Waarom zijn de oppervlaktes van Δ𝐴𝐶𝐷 die je bij d en bij e hebt gevonden niet precies hetzelfde? Voorbeeld 2

>

www.math4all.nl

>


>

1/2 HAVO/VWO

>


>

Voorbeeld 2

Bekijk de applet in dit voorbeeld.


PAGINA 3


Hier zie je hoe de oppervlakte van een driehoek de helft is van de oppervlakte van de rechthoek waarvan de lengte gelijk is aan de basis en de breedte gelijk is aan de hoogte van de driehoek: 1 𝑜𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒(𝑑𝑟𝑖𝑒ℎ𝑜𝑒𝑘) = ⋅ 𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠 ⋅ ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 2 In de applet zie je dat zolang basis en hoogte niet veranderen ook de oppervlakte van de driehoek niet verandert. Je kunt dus de vorm van de driehoek veranderen door 𝐶 evenwijdig aan de basis te verschuiven zonder de oppervlakte te veranderen. Dit heet het principe van Cavalieri. Het principe van Cavalieri blijft gelden ook als één van de hoeken op de basis stomp wordt. De hoogte is dan een lijnstuk buiten de driehoek! Opgave 6

>

www.math4all.nl

>


>

1/2 HAVO/VWO

>


>

Voorbeeld 2

Bekijk de oppervlakte van een driehoek met een vaste basis en een vaste hoogte. Gebruik de applet. a Bereken de oppervlakte van Δ𝐴𝐵𝐶 met behulp van de oppervlakteformule. Maakt het uit waar je punt 𝐶 op de zijde van de rechthoek plaatst? b Plaats nu punt 𝐶 op het verlengde van de zijde van de rechthoek. Doe het zo dat 𝐵𝐷 = 1. Laat nu met behulp van rechthoeken en halve rechthoeken zien, dat de oppervlakte van Δ𝐴𝐵𝐶 daardoor niet verandert. c Laat zien dat de oppervlakteformule ook geldt als Δ𝐴𝐵𝐶 rechthoekig is. Hoe zit het dan met de hoogte van de driehoek? Opgave 7 Bereken van deze driehoeken de oppervlakte.

name: Images/hv-me72-v22-t01.jpg file: Images/hv-me72-v22-t01.jpg state: unknown


PAGINA 4


Voorbeeld 3 Bekijk de applet: Hoogte driehoek berekenen Je ziet hier Δ𝐴𝐵𝐶 met 𝐴𝐵 = 5 eenheden. De oppervlakte van deze driehoek is 7,5 oppervlakte-eenheden. Bereken de hoogte 𝐶𝐷 van Δ𝐴𝐵𝐶.

name: Images/Me4002.jpg file: Images/Me4002.jpg state: unknown

Voor de oppervlakte van een driehoek geldt: 1 𝑜𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒(𝑑𝑟𝑖𝑒ℎ𝑜𝑒𝑘) = ⋅ 𝑏𝑎𝑠𝑖𝑠 ⋅ ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 2 Omdat 𝐴𝐵 = 5 de basis, 𝐶𝐷 de hoogte en de oppervlakte 7,5 is, geldt: 1 7.5 = ⋅ 5 ⋅ 𝐶𝐷 2 Hier volgt: 𝐶𝐷 = 3 eenheden. Opgave 8 Bekijk Voorbeeld 7 op pagina 5. Daarin zie je hoe je bij een driehoek met een gegeven oppervlakte en zijde de hoogte op die zijde berekent. a Laat zien dat de berekende hoogte 𝐶𝐷 inderdaad 3 is. b Neem aan dat 𝐴𝐶 = 3,5 en bereken hiermee de afstand van 𝐵 tot 𝐴𝐶. Opgave 9 Van een driehoek 𝑃𝑄𝑅 is de hoogte op 𝑄𝑅 gelijk aan 12 cm en de oppervlakte is 60 cm2. Bereken de lengte van 𝑄𝑅. Verwerken Opgave 10 Hier zie je twee driehoeken.

name: Images/hv-me72-p11-t01.jpg file: Images/hv-me72-p11-t01.jpg state: unknown

Bereken van beide driehoeken de oppervlakte.


PAGINA 5


Opgave 11 In een assenstelsel zijn gegeven de punten 𝐴(0, −2), 𝐵(3, −2), 𝐶(2, 2) en 𝐷(−2, 4). a Bereken de oppervlakte van Δ𝐴𝐵𝐶. b Bereken de oppervlakte van Δ𝐴𝐵𝐷. c Bereken de oppervlakte van Δ𝐴𝐶𝐷. Opgave 12 De 󰅮iguur hiernaast bestaat uit twee driehoeken. De zijden aan de onderkant en aan de bovenkant van de 󰅮iguur lopen horizontaal en de afmetingen daarvan zijn in de 󰅮iguur gegeven. Verder zijn de verticale afmetingen in dm gegeven.

name: Images/hv-me72-p13-t01.jpg file: Images/hv-me72-p13-t01.jpg state: unknown

Bereken van de oppervlakte van de totale 󰅮iguur.

Opgave 13 Dit is een symmetrische pijlpunt. Bereken van de oppervlakte van de pijlpunt. name: Images/hv-me72-p14-t01.jpg file: Images/hv-me72-p14-t01.jpg state: unknown

Opgave 14 Je ziet hier een rechthoekige driehoek 𝐴𝐵𝐶. De afmetingen staan in de 󰅮iguur. Bereken lengte van lijnstuk 𝐴𝐷. name: Images/hv-me72-v23-t01.jpg file: Images/hv-me72-v23-t01.jpg state: unknown

Opgave 15 Van een groot driehoekig kleed zijn de zijden 310 cm, 200 cm en 180 cm. a Teken dit kleed op schaal 1 : 50.


PAGINA 6


b Bepaal door meten in de 󰅮iguur de werkelijke hoogte op de langste zijde. c Bereken de oppervlakte van dit driehoekige kleed. d Je kunt ook een andere hoogte opmeten en daarmee de oppervlakte van het driehoekige kleed bepalen. Laat zien, dat je dan ongeveer hetzelfde krijgt. Toepassen Geef bij elk van de volgende opgaven een uitgebreide toelichting. Opgave 16: Regelmatige vierzijdige piramide Van een regelmatige vierzijdige piramide zijn alle ribben 6 cm. a Hoeveel draad is er nodig voor een draadmodel van zo’n piramide? b Hoeveel bedraagt de oppervlakte van deze piramide? Meet daartoe in een uitslag de hoogte van de driehoekige grensvlakken. Opgave 17: Tetraëder Een tetraëder is een regelmatig viervlak. Neem aan dat alle ribben 10 cm lang zijn. Bereken de totale buitenoppervlakte van dit tetraëder.


PAGINA 7


Antwoorden 1 a 7⋅6− b c d e

1 2

⋅7⋅1−

1 2

⋅6⋅1−

1 2

1 2

⋅ 6 ⋅ 5 = 20 cm2.

Precies de helft van de oppervlakte van de rechthoek, dus 21 cm2. Omdat één zijde precies de lengte van de rechthoek er omheen is. Nee. Dat kan wel. Je kunt de oppervlakte bijna 0 maken. Maak maar eens een driehoek met één hoekpunt in een hoekpunt van de rechthoek en de andere twee met de hoekpunten vlak bij het hoekpunt van de rechthoek dat er precies tegenover ligt.

2 a Zie 󰅮iguur.


1

b 𝐴= ⋅𝑙⋅𝑏 2 c Ja, zo’n verdeling kun je altijd maken, dus de oppervlakte is altijd gelijk aan die van de halve rechthoek. 3 a Nee, je kunt punt 𝐶 nog verplaatsen en zo driehoeken met andere hoeken maken. b Omdat de basis en de hoogte hetzelfde blijven heeft elk van die driehoeken inderdaad dezelfde oppervlakte. 1 c 𝑜𝑝𝑝(Δ𝐴𝐵𝐶) = ⋅ 10 ⋅ 7 = 35 2 d Doen. 4

𝑜𝑝𝑝(Δ𝐴𝐵𝐶) = 𝑜𝑝𝑝(Δ𝑃𝑄𝑅) =

1 2 1 2 1 2

⋅ 15 ⋅ 8 = 60 ⋅ 10,5 ⋅ 6 = 31,5

5 a 𝑜𝑝𝑝(Δ𝐴𝐵𝐷) = ⋅ 5 ⋅ 6 = 15 cm2. b Omdat er nu geen basis en hoogte op roosterlijnen en tussen roosterpunten bestaan. 1 1 1 c 𝑜𝑝𝑝(Δ𝐴𝐶𝐷) = 6 ⋅ 6 − ⋅ 6 ⋅ 1 − ⋅ 5 ⋅ 3 − ⋅ 6 ⋅ 3 = 16,5 cm2. 2

2

2

d 𝐴𝐶 ≈ 6,1 cm en de afstand van 𝐷 tot 𝐴𝐶 is ongeveer 5,4 cm. 1 𝑜𝑝𝑝(Δ𝐴𝐶𝐷) ≈ ⋅ 6,1 ⋅ 5,4 = 16,47 cm2. 2 e Bij e moet je eerst de basis en de hoogte opmeten en dat is onnauwkeurig. 1

6 a 𝑜𝑝𝑝(Δ𝐴𝐵𝐷) = ⋅ 5 ⋅ 4 = 20. Waar je punt 𝐶 op de zijde van de groene rechthoek plaatst, 2 maakt niet uit. b Maak eventueel een eigen schets. De oppervlakte van Δ𝐴𝐵𝐶 krijg je nu door van een rechthoek van 6 bij 4 een halve rechthoek van 6 bij 4 en een halve rechthoek van 1 bij 4 af te trekken. En dan kom je weer op een oppervlakte van 20. c Zet punt 𝐶 in een hoekpunt van de rechthoek. De zijde 𝐵𝐶 telt dan als hoogte van de driehoek. Ga na dat de oppervlakte ook dan 20 is.


PAGINA 8


7

𝑜𝑝𝑝(Δ𝐾𝐿𝑀) = 𝑜𝑝𝑝(Δ𝐴𝐵𝐶) =

1 ⋅ 5 ⋅ 4,5 = 11,25 2 1 ⋅ 8 ⋅ 7 = 28 2

1

8 a Uit 7,5 = ⋅ 5 ⋅ 𝐶𝐷 volgt 5 ⋅ 𝐶𝐷 = 15 en dus 𝐶𝐷 = 3. 2 b 𝐵𝐸 is het lijnstuk vanuit 𝐵 loodrecht op 𝐴𝐶. Dit lijnstuk stelt de gevraagde afstand voor 1 en is ook een hoogte van de driehoek. Dus is 7,5 = ⋅ 3,5 ⋅ 𝐵𝐸 volgt 3,5 ⋅ 𝐵𝐸 = 15 en dus 𝐵𝐸 = 15/3,5 = 9

Uit 60 =

10

1 2

2

30 . 7

⋅ 𝑄𝑅 ⋅ 12 volgt 𝑄𝑅 = 10.

1 ⋅ 6,5 ⋅ 4 = 13 2 1 𝑜𝑝𝑝(Δ𝐾𝐿𝑀) = ⋅ 4,5 ⋅ 7,2 = 16,2 2 1 𝑜𝑝𝑝(Δ𝐴𝐵𝐶) = ⋅ 3 ⋅ 4 = 6 roosterhokjes. 2 1 𝑜𝑝𝑝(Δ𝐴𝐵𝐶) = ⋅ 3 ⋅ 6 = 9 roosterhokjes. 2 1 1 1 𝑜(Δ𝐴𝐶𝐷) = 4 ⋅ 6 − ⋅ 2 ⋅ 4 − ⋅ 2 ⋅ 4 − ⋅ 2 2 2 1 1 2 ⋅ 4,2 ⋅ 3,8 + ⋅ 1,2 ⋅ 2,8 = 9,66 dm . 2 2 1 2 ⋅ ⋅ 2,1 ⋅ 2,8 = 5,88 dm2. 2

𝑜𝑝𝑝(Δ𝐴𝐵𝐶) =

11 a b c 12 13 14

𝐴𝐷 is de hoogte op basis 𝐴𝐶. 1 1 Omdat de oppervlakte van deze driehoek gelijk is aan ⋅5⋅12 = 30, geldt ook: ⋅13⋅𝐴𝐷 = 30. En dus is 𝐴𝐷 =

15 a b c d

2 ⋅ 6 = 10 roosterhokjes.

2

60 . 13

2

Teken met je passer een driehoek met zijden van 6,2 cm, 4 cm en 3,6 cm. In de 󰅮iguur wordt dit ongeveer 2,1 cm. De werkelijke hoogte is dus 105 cm. 1 Ongeveer ⋅ 310 ⋅ 105 = 16275 cm2. 2 Bijvoorbeeld is de hoogte op de zijde van 200 cm ongeveer 160 cm. De oppervlakte wordt 1 dan ongeveer ⋅ 200 ⋅ 160 = 16000 cm2. 2 Je ziet dat het verschil toch nog behoorlijk groot is, dat licht aan de tekening op schaal.

16 a 8 ⋅ 6 = 48 cm draad. b Maak eerst met behulp van je passer een uitslag. De hoogte van elke driehoek wordt ongeveer 5,2 cm. 1 De totale oppervlakte (inclusief grondvlak) is dus ongeveer 6 ⋅ 6 + 4 ⋅ ⋅ 6 ⋅ 5,2 = 98,4 cm2. 2

17

Maak eventueel eerst een tekening van (een uitslag van) het tetraëder, hij bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken. 1 De totale oppervlakte is ongeveer 4 ⋅ ⋅ 10 ⋅ 8,7 = 174 cm2. 2


PAGINA 9

Opgave 1 Je ziet hier twee driehoeken op een cm-rooster. Beide driehoeken zijn omgeven door eenzelfde

Recommend Documents