4 Matematická vsuvka: Operátory na Hilbertově prostoru. Popis vlastností kvantové částice. Operátory rychlosti a polohy kvantové částice. Princip korespondence. Vlastních stavy a spektra operátorů, jejich fyzikální význam. Matematická vsuvka 2: Operátory v Hilbertově prostoru Teorie operátorů v Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat. V následujícím odkazuji na (SKM, 3.2.1 a QMCA s. 88 a dále) •
Operátory konečněrozměrných prostorech, maticové reprezentace operátorů (QMCA 2.5). ◦ Matice jako reprezentace operátoru na konečněrozměrném vektorovém prostoru. ◦ Matice 2x2, např. A=(3,2+i:2-i,1) ◦ Determinant. Vlastnosti determinantu. (QMCA 2.245-2.247) ◦ Vlastní čísla matice, vlastní vektory matice. ◦ Inverzní matice. ◦ Symetrická matice: Aij=Aji * ◦ Hermitovsky sdružená matice: Aij = A ji . Hermitovská matice má pouze reálná vlastní čísla. Např: Matice (3,2+i:2-i,1). Proč tomu tak je? Klasický postup pro zjištění vlastních čísel je diagonalizace matice. To je ale pouze transformace matice do vhodné báze. A tím se pektrální vlastnosti matice nezmění! Matice stále hermitovská a tedy má na diagonále pouze reálná čísla, nikoli komplexní. ◦ U operátorů na nekonečněrozměrných prostorech ale maticová reprezentace neexistuje.
•
Operátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na ◦ Operátor A jinou funkci ve stejném prostoru. Např: ▪ Jednotkový operátor I : I = ∂2 ∂2 ∂2 ▪ Operátor “Laplace”: r = 2 r 2 r 2 r ∂x ∂y ∂z ▪ S dalšími operátory se setkáme později. B A ◦ Součin operátorů není obecně komutativní A B≠ A B B C C = A ◦ Součin operárotů je asociativní A B C= ◦ Operátor je lineární jestliže komutuje s konstantou a je distributivní v působení na funkce: (QMCA 2.52 a 2.53) ◦ Střední hodnota operátoru (očekávání) A vzhledem k funkci je vyjádřená 36
∞
, A =∫ * A dx . následujícím skalárním součinem: 〈 A〉= −∞
•
•
•
◦ Hermitovské sdružení: ▪ Už jsme probírali sdružení komplexního čísla c: c* H = , A * ▪ U operátoru je definice Hermitovského sdružení následující: , A ◦ O operátoru A říkáme že je Hermitovský (pro naše účely totéž co samosdružený), A H . pokud je totožný se svým Hermitovsky sdruženým operátorem A= ▪ Z technických důvodů používám pro označení Hermitovského (samosdruženého) operátoru písmeno H místo obvyklého symbolu “dagger”. Protože se ale v kvantové mechanice setkáváme téměr výhradně s Hermitovskými operátory, budu označení “H” v text vynechávat. *≠ A H (viz. QMCA, 2.68). ▪ Pozor, A A je reálné číslo: ▪ Střední hodnota, očekávání Hermitovského operátoru * , A= , A −1 A= A A −1=I . ◦ Pokud existuje inverzní operátor A−1 k oper. A , je definován: A H A= A A H= I H , neboli A ◦ Lineární operátor nazýváme unitárním, pokud A−1= A Komutátorová algebra (viz QMCA, s. 92) , B]= B− A B A . ◦ Komutátor dvou operátorů, A a B je definován: [ A , B]= 0 . ◦ Dva operátory komutují, pokud [ A ◦ V kvantové mechanice budeme operátory používat pro určení vlastností kvantové částice, tedy jako experimentální nástroje v teoretickém popisu. Z tohoto pohledu si můžeme operátory které spolu komutují představit jako experimentální nástroje, které jsou spolu kompatibilní, kterými mohu určovat vlastnosti kvantové částice současně. ◦ Pokud A komutuje s B , pak A komutuje také s libovolnou operátorovou funkcí , B]= , F B]=0 0 ⇒[ A (QMCA 2.4.6.) B : [ A ◦ Různé důležité vlastnosti komutátorů jsou k nalezení např. v QMCA, s. 93. Relace neurčitosti mezi dvěma operátory ◦ Střední kvadratická odchylka, nejistota, operátoru A vzhledem k normalizovanému 〈 A 2 〉−〈 A〉 2 (srovnej s definicí střední hodnoty stavu je definována jako: A= operátoru) (QMCA 2.91). Platí 1 ∣〈[ A , B]〉 ∣ A B≥ (42) 2 Vlatní hodnoty a vlastní funkce operátorů pokud aplikace A na ◦ O stavu říkáme, že je vlastním vektorem operátoru A =a , kde a je komplexní číslo, nazývané vlastní číslo operátoru A . dává A Vlastní hodnoty a vlastní čísla jsou v kvantové mechanice nesmírně důležité. ◦ Jednoduchý příklad: Najděte vlastní vektory a vlastní čísla operátoru identity. Všechna vlastní čísla jsou rovna jedné. ◦ Vlastní čísla inverzního operátoru jsou inverzní vlastní čísla původního operátoru. nazýváme spektrem operátoru A . Spektrum ◦ Množinu vlastních čísel operátoru A může být diskrétní nebo spojité. K detailům se dostanu později. ◦ [1] Teorém: Všechna vlastní čísla Hermitovského operátoru jsou reálná a vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou ortogonální (QMCA, s. 98). 37
◦ [2] Teorém: Vlastní stavy Hermitovského operátoru tvoří ortogonální bázi. V této bázi je operátor diagonální a jeho diagonální elementy jsou rovny jeho vlastním stavům. Báze je určena jednoznačně pokud operátor nemá degenerované vlastní hodnoty (není určena jednoznačně pokud má degenerované vlastní hodnoty) (QMCA, s. 99). (toto platí pouze pro operátory s čistě bodovými spektry, viz SKM, s. 35) a B komutují, a pokud A nemá žádnou ◦ [3] Pokud dva Hermitovské operátory, A degenerovanou vlastní hodnotu, potom každý vlastní vektor A je také vlastní vektor B . Navíc, je možno zkonstruovat společnou ortonormální bázi, která je vytvořena a B . ze společných vlastních vektorů operátorů A ◦ Vlastní čísla unitárních operátorů jsou komplexní čísla s absolutní hodnotou rovnou jedné; Vlastní vektory unitárních operátorů nejsou degenerované a jsou vzájemně kolmé. Stavy a pozorovatelné veličiny v klasické mechanice (založeno na SKM) • Stav systému (např. jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru polohou x a rychlostí v (to je ekvivalentni se znalostí polohy x a hybnosti p ), a fyzikální veličiny – takzvané pozorovatelné (nebo vlastnosti částic/systému v daném stavu) jsou definovány jako reálné funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny (energie, momentu hybnosti,...) pro systém v daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v odpovídajícím bodu fázového prostoru. Množinu/spektrum hodnot, které pro klasickou částici můžeme naměřit je dáno oborem hodnot této funkce. Např. kinetická energie stavu jako funkce dvojice p ,q je 3 3 2 2 2 (43) kin j j j=1 j=1 a její spektrum je R+, tedy kladná reálná čísla. • Tento popis je nezávislý na časovém vývoji systému a je tak názorný, že se mu v klasické mechanice nevěnuje téměř žádná pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických pojmů v kvantové mechanice. • Víme již, jak popsat stav kvantové částice. Jak ale měřit vlastnosti, jako například energii?
1 m 1 E p , x = m v = ∑ v = ∑p 2 2 2m
Stavy a pozorovatelné veličiny v kvantové mechanice (založeno na SKM) • Schrödingerova rovnice je parciální lineární diferenciální rovnicí 1. řádu v čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno volbou počáteční podmínky x , t 0 =g x . tj. funkcí gx . Přijmeme-li předpoklad, že Schrödingerova rovnice (34) popisuje časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k závěru, že okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří proměnných (jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká stavová či vlnová funkce částice. • Porovnejte počáteční podmínky pro řešení Schrödingerovy rovnice s klasickou mechanikou, kde potřebuji znát pro řešení Newtonových rovnic polohu a rychlost. • Bornova interpretace řešení Schrödingerovy rovnice klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka (40) platí pro libovolný čas t, a musíme proto požadovat, aby každá funkce popisující stav kvantové částice splňovala podmínku integrability! • Kvadraticky integrabilní funkce tvoří lineární vektorový prostor (díky Minkovského 38
•
•
•
nerovnosti). Kombinace existujících stavů je přípustným stavem. Otázka, na kterou chceme odpovědět v tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v kvantové mechanice pozorovatelným (veličinám)? Jak bylo konstatováno dříve, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory (proč samozdružené, to vysvětlím za chvíli) na prostoru stavových funkcí. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným experimentálním ověřováním teorie. Postulát [P2]: Ke každé fyzikálně měřitelné veličině A (nazvěme jí také “měřitelná”, “pozorovatelná” nebo “dynamická proměnná”) přísluší lineární Hermitovský operátor , jehož vlastní vektory tvoří úplnou bázi. A Pro sledování analogií s klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V kvantové mechanice hmotné částice je kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou
Q j x := x j x , j ∈{1,2,3}
(44)
a kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace
P j x :=−i ℏ • • • •
•
∂ x , j∈{1,2,3} ∂ xj
(45)
Oba dva tyto operátory jsou Hermitovské (bude ukázáno na cvičení). místo X , aby se to nepletlo s malým x. Pro operátor polohy budu používat označení Q Vztahy (44) a (45) nelze odvodit. Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení (44) a (45). V každém z nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou s nimi více či méně ekvivalentní. Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majícím klasickou analogii jsou konstruovány podle principu korespondence, tzn. jsou formálně stejnými funkcemi operátorů F Q j , P j jako odpovídající funkce F x j , p j na fázovém prostoru v klasickém případě. Např. Hamiltonián, operátor celkové energie částice v silovém poli potenciálu V x (kinetická + potenciální energie), že jsme definici operátoru hybnosti již použili při zápisu Schrödingerovy rovnice (34). 2
−ℏ E :=E Q j , P j = V x = H 2m
(46)
•
Protože vztah (46) je formálně shodný s pravou stranou Schrödingerovy rovnice, říká se mu bezčasová Schrödingerova rovnice.
•
Definiční obory operátorů je třeba zejména zvolit tak, aby byl splněn požadavek kvantové mechaniky, totiž, že spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s množinou hodnot, které lze pro danou veličinu naměřit. Viz SKM s. 25-28.
•
Důvod, proč v kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v tom, že platí: Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou R. To odpovídá tomu, že můžeme naměřit pouze reálné hodnoty pozorovatelných. Spektrum (čistě spojité) každého z operátorů polohy (44) a hybnosti (45) je R, což odpovídá experimentálnímu faktu, že pro kvantovou částici nebyla zjištěna žádná omezení na množinu
• •
39
•
• •
hodnot souřadnic a hybností. Pro hodnoty energie, jak jsme viděli na příkladu harmonického oscilátoru a Planckovy hypotézy jsou omezení podstatná (spektrum energie je diskrétní), a je proto velmi důležité zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v silovém poli harmonického oscilátoru. Do toho se pustíme v příští přednášce. Uvidíme, že spektrum energie pro některé, tzv. vázané stavy je diskrétní. V jiných případech však může být spektrum energie spojité, uvidíme dále. Zajímavostí je že také čas je kvantovaný. Další fyzikální veličiny, které měříme, jako například teplota, jsou v klasické fycice odvozené z mechanických vlastností systémů. Jako příklad uveďme teplotu T. Kinetická teorie plynů 1 1 2 v i atomů plynu v určité vztahuje teplotu k průměrné kinetické energii E k = ∑ m n 2 1 R uzavřené oblasti. E k = k T , kde k = (n=Avogadrovo číslo, R je konstanta ideálního 2 n plynu), pro každý stupeń volnosti. Pro ideální plyn se třemy translačními stupni volnosti platí 1 3 mv aver = k T pV =nRT a z toho plyne 2 2
Technický komentář k A x , A y , a z A1, A2, A3 . Q, P, x, p
používání
a
zaměňování
značení r , x , x 1, x 2, x 3 , x , y , z .
Stacionární stavy: časově nezávislé potenciály (QMCA 3.6.2, s. 171) • Celá kvantová mechanika je vlastně řešení Schrödingerovy rovnice, stejně jako celá klasická fyzika je o řešení Newtonových rovnic. Schrödingerova rovnice určuje časový vývoj kvantové částice. Nyní začneme systematicky probírat řešení SR pro různé speciální případy. • Časově závislá Schrödingerova rovnice: 2
iℏ •
•
∂ x ,t −ℏ = x ,t V x ,t x , t ∂t 2m
(47)
V tomto tvaru je zdůrazněno že funkce x ,t závisí na prostorové proměnné a vyvíjí se v čase. Také je vidět, že potenciál může být v obecném tvaru závislý na čase. Potenciál totiž popisuje např. Interakci kvantové částice s jinými částicemi, které se mohou pohybovat, tím se vzájemné působení (a tedy i potenciál) mění v čase. Nyní však uvažujme konkrétní případ časové nezávislého potenciálu: V x , t=V x . V tomto případě je Hamiltonián (operátor energie) taktéž časově nezávislý, a tedy Schrödingerova rovnice má separabilní řešení, což znamená že její řešení se skládá ze součinu dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na poloze x a druhá pouze na čase t .
x ,t =x f t •
(48)
Pokud dosadíme rovnici (48) do (47), dostáváme:
[
1 df t 1 −ℏ 2 iℏ = x V r x f t dt x 2m 40
]
(49)
•
Jelikož levá strana závisí pouze na čase a pravá strana rovnice závisí pouze na poloze x , obě strany se musí rovnat konstantě (pořádně promyslet). Tato konstanta, kterou nazveme E, má fyzikální rozměr energie (ukažte). Rovnici (49) tak rozdělíme na dvě rovnice, jednu závislou pouze ne čase
iℏ
df t = E f t dt
(50)
a druhou pouze na prostorové proměnné x , 2
−ℏ x V x x = H x = E x 2m
.
(51)
• •
Tato rovnice je nám již známa jako časově nezávislá Schrödingerova rovnice Tato rovnice je rovnicí pro nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů Hamiltoniánu H .
•
Řešení rovnice (50) může být zapsáno ve tvaru f t=e− ℏ t , a tedy časově závislý stav (48) nabyde tvar iE − t . (52) ℏ
iE
x ,t = x e
•
Toto řešení Schrödingerovy rovnice (47) pro časově nezávislý potenciál se nazýva stacionárním stavem. Proč stacionární? Důvod je prostý: hustota pravděpodobnosti nalezení kvantové částice v nějakém konkrétním místě je nezávislá na čase, tedy stacionární: iE 2 iE 2 − t − t (53) 2 2 2 ℏ ℏ
∣
∣ x , t∣ = x e
∣ =∣ x ∣ ⋅∣e ∣ =∣ x ∣
Každému takovému stavu přísluší konkrétní hodnota energie E ( E=ℏ ). Tedy: stacionární stavy, dané řešením rovnice (51), existují pouze pro časově nezávislé potenciály (je to problém nalezení vlastních čísel operátoru energie). Množina hodnot energie, které jsou řešením této rovnice, se nazývá spektrum energie systému. ◦ Stavy příslušející diskrétnímu spektru se nazývají vázané stavy. ◦ Stavy příslušné spojité části spektra se nazývají volné stavy. • Příklady časově nezávislých potenciálů: harmonický potenciál, Coulombovský potenciál, ... • Situace v případě časově závislých potenciálů je komplikovanější, v této přednášce se jí věnovat nebudeme. • •
41
