1
Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a12 ... a1i a11 a22 ... a2i a21 Di = . ......... ai1 ai2 ... aii
Pak A (a příslušná KF) je pozitivně definitní, právě když Di > 0 pro všechna i = 1, 2, ..., n.
A je negativně definitní, právě když Di > 0 pro všechna sudá i a Di < 0 pro všechna lichá i. Existuje-li sudé i, že Di < 0, nebo dvě lichá j, k že, Dj < 0, Dk > 0, pak je A indefinitní. 1.5. Maticová algebra Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A + B = (aij )m×n + (bij )m×n = (aij + bij )m×n . 1
2
Násobení matice reálným číslem: vynásobíme každý prvek tímto číslem: c · A = c · (aij )m×n = (c · aij )m×n ,
c ∈ R.
Platí: A, B, C - matice stejného typu, k, l čísla (1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) k(A + B) = kA + kB, (4) (k + l)A = kA + lA, (5) k(lA) = (kl)A. ¯, ¯b je číslo: a ¯ · ¯b = Skalární součin vektorů a (a1 , a2 , ..., an ) · (b1 , b2 , ..., bn ) = a1 b1 + a2 b2 + ... + a n bn . Součin matic.Dvě matice lze vynásobit pouze tehdy, má-li první matice tolik sloupců, kolik druhá řádků: je-li matice A typu m × n, matice B typu n × p, pak lze provést součin A · B (a výsledkem bude matice typu m × p). Označímeli prvky matice A·B jako cij , pak platí, že prvek 2
3
cij je skalárním součinem i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B:
a11 ... A·B = ai1 ... am1
a12 ... ai2 ... am2
... ... ... ... ...
a1n b11 ... b ain · 21 ... ... bn1 amn
... ... ... ...
b1j b2j ... bnj
tedy cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj . Vlastnosti násobení matic Platí: A, B, C, J - matice vhodných typů, c číslo (1) Násobení matic není komutativní. (2) J - jednotková matice; Am×n · Jn×n = Am×n ,
Jm×m · Am×n = Am×n ,
(3) cAB = AcB = ABc, (4) A(BC) = (AB)C, (5) A(B + C) = AB + AC, (6) (A + B)C = AC + BC. 3
... ... ... ...
b1p b2p ... bnp
4
Regulární matice, singulární matice Čtvercová matice se nazývá regulární, má-li lineárně nezávislé řádky. Matice typu n × n je tedy regulární, je-li h = n. Čtvercová matice, která má lineárně závislé řádky, se nazývá singulární. Matice typu n × n je tedy singulární, je-li h < n. Platí: Součin regulárních matic je regulární matice. Inverzní matice Nechť A je čtvercová matice. Inverzní maticí k matici A nazveme matici A−1 , pro kterou platí A · A−1 = J
.
Platí: A−1 existuje, právě když A je regulární. Ke každé regulární matici existuje právě jedna inverzní matice. P o z n á m k a . K singulární matici tedy inverzní matice neexistuje. 4
5
Platí: Je-li A regulární, pak A−1 je také regulární. Platí: A, B - regulární matice stejného řádu, c ∈ R , c 6= 0 (1) (A−1 )−1 = A, tedy matice A je inverzní k matici A−1 - matice A a A−1 jsou navzájem inverzní. (2) AA−1 = A−1 A = J, (3) (AB)−1 = B −1 A−1 , (4) (cA)−1 = 1c A−1 . Výpočet inverzní matice Vpravo od matice A napíšeme jednotkovou matici stejného řádu, oddělíme svislou čarou a úpravami na řádcích této ”dvojmatice” převedeme matici A na jednotkovou matici (Jordanova metoda). Se sloupci matice žádné úpravy neprovádíme. Pokud je A regulární, vznikne na místě jednotkové matice matice A−1 : (A|J) ∼ ... ∼ (J|A−1 ). 5
6
Maticové rovnice Uvažujme maticovou rovnici AX = B, resp. XA = B kde An×n , Bn×p jsou dané matice, X je neznámá matice. Vynásobíme rovnici maticí inverzní k matici A, pokud A je regulární. Protože násobení matic není komutativní, je třeba rozlišovat násobení rovnice maticí zprava nebo zleva. Platí: Je-li A regulární, má rovnice AX = B právě jedno řešení X = A−1 B, rovnice XA = B právě jedno řešení X = BA−1 . Je-li A singulární, neznamená to, že rovnice nemá řešení, ale musí se řešit jiným způsobem (”člen po členu”). Nelze-li z rovnice vyjádřit X, protože nelze vytknout (např. AX = XA), musí se řešit ”člen po členu”. Maticový zápis soustavy lineárních rovnic Každou soustavu lze zapsat jako maticovou rovnici A¯ x = ¯b, kde Am×n je matice soustavy, 6
7
x ¯ = (x1 , ..., xn )T (tj. sloupcový vektor) je vektor neznámých a ¯b = (b1 , ..., bm )T (sloupcový vektor) je vektor pravých stran soustavy. Homogenní soustavu lze zapsat jako rovnici A¯ x = o¯. Řešení soustavy užitím inverzní matice Soustavu A¯ x = ¯b lze tedy řešit jako maticovou rovnici. Je-li A regulární matice, pak x ¯ = A−1¯b. Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A¯ x = λ¯ x, kde x ¯ je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový vektor) a λ je neznámé komplexní číslo. Komplexní číslo λ, pro které má rovnice nenulové řešení x ¯, se nazývá vlastní (charakteristické) číslo matice A. Nenulový vektor x ¯, který je řešením rovnice, se nazývá vlastní (charakteristický) vektor matice A. 7
8
Maticovou rovnici lze upravit na tvar A¯ x − λ¯ x = o¯ ⇔ (A − λJ)¯ x = o¯, jedná se nyní o homogenní soustavu lineárních rovnic. Ta má nenulové (netriviální) řešení, právě když její matice je singulární, neboli když má nulový deteminant. Vlastní čísla lze tedy získat řešením charakteristické rovnice: |A − λJ| = 0. Vlastní čísla k. f. Platí: Symetrickou matici A lze převést na kanonický tvar D, kde na diagonále D jsou vlastní čísla A. Pak můžeme podle vlastních čísel určit typ KF. Maticový zápis kvadratické formy k(¯ x) = k(x1 , x2 , ..., xn ) = x ¯A¯ xT . 8
