Onder de loep. Algebra oefenen met inzicht. 1. Inleiding. Inhoud De peiling wiskunde tweede graad aso als aanleiding

Onder de loep Algebra oefenen met inzicht Johan Deprez Regi Op de Beeck

Inhoud 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Inleiding Rekenregels moeten functioneel zijn Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig Van abstract terug naar concreet Vergelijkingen interpreteren met grafieken Loskomen van standaardoplossingsmethoden Globaal kijken naar uitdrukkingen Algebra inzetten om patronen te beschrijven Variatie in de vraagstelling Omkeervragen Slimme rijtjes Niet te snel en niet teveel verkorten Spaarzaam zijn met formules Niet alleen successen maar ook mislukkingen Tot slot

1. Inleiding 1.1.

De peiling wiskunde tweede graad aso als aanleiding

De resultaten van de peiling Sinds 2002 laat de Vlaamse overheid peilingsonderzoeken uitvoeren in het onderwijs. Dit zijn grootschalige onderzoeken die nagaan in welke mate de leerlingen de eindtermen behalen. In mei 2012 werden de resultaten van de peiling wiskunde in de tweede graad aso bekend gemaakt.

In tabel 1 (van Nijlen, 2012) vind je het percentage leerlingen dat de eindtermen beheerst, per onderwerp en volgens de studierichting.

Je merkt dat de prestaties van de leerlingen sterk variëren volgens de studierichting: leerlingen uit Wetenschappen en Klassieke talen scoren in het algemeen redelijk goed, maar de resultaten van leerlingen uit Humane wetenschappen zijn alarmerend.

Er zijn ook grote verschillen naargelang het onderwerp. Voor een aantal domeinen zijn de resultaten goed of redelijk. Voor twee domeinen zijn de resultaten echter duidelijk beneden de verwachting. Slechts de helft van de leerlingen heeft de eindtermen over getallenleer en algebra onder de knie. De resultaten voor dit onderwerp zijn weliswaar eerder goed voor de studierichting Klassieke talen en redelijk voor Wetenschappen, maar ze zijn ronduit dramatisch voor Humane wetenschappen, waar er nauwelijks leerlingen zijn die deze eindtermen halen. Voor functies van de eerste en tweede graad haalt minder dan de helft van de leerlingen de eindtermen. Ook hier is er een erg slecht resultaat voor Humane wetenschappen. Bovendien stellen nu ook de resultaten voor de studierichtingen Klassieke talen en Wetenschappen enigszins teleur. Inzoomen op algebra en functies van de eerste en tweede graad

Bij het onderwerp getallenleer en algebra gaat het onder andere over de rekenregels voor machten en vierkantswortels, ontbinden in factoren, oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden van de eerste en tweede graad en oplossen van 2×2-stelsels.

Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 15

Onder de loep

onderwerp getallenleer en algebra reële functies functies van de 1ste en 2de graad problemen oplossen met algebra en functies vlakke meetkunde driehoeksmeting ruimtemeetkunde statistiek Tabel 1

TOTAAL

economie

51% 75% 42%

27% 68% 25%

63% 58% 56% 76%

40% 40% 36% 70%

64%

52%

humane klassieke wetentalen schappen 10% 78% 32% 91% 8% 66% 30% 34% 16% 23% 56%

81% 84% 81% 77% 87%

sport

wetenschappen

56% 88% 30%

72% 85% 69%

45% 58% 43% 69%

74% 71% 78% 80%

62%

73%

Het onderwerp functies van de eerste en tweede graad sluit daar (met uitzondering van één eindterm over differentiequotiënt) nauw bij aan, maar dan bekeken door een ‘functionele bril’. Bij veel toetsopgaven was wat extra inzicht nodig. Het gaat dan bijvoorbeeld over het grafisch interpreteren van de oplossingen van vergelijkingen en ongelijkheden en het opstellen van de vergelijking van een eerstegraadsfunctie op basis van een grafiek of tabel.

vend (zeker als je bedenkt dat je al 25% goede antwoorden mag verwachten op basis van puur gokken).

Enkele voorbeeldopgaven

Van de peiling naar deze loep

Hieronder vind je een voorbeeldopgave over de rekenregels van machten (van Nijlen, 2012). Bij elk antwoordalternatief is aangegeven hoeveel leerlingen dat alternatief kozen.

We kunnen de slechte resultaten voor deze twee onderwerpen niet toeschrijven aan een te hoge moeilijkheidsgraad van de afgenomen toetsen. Integendeel, de twee voorbeelden laten zien dat de toetsopgaven juist gebaseerd zijn op een eerder voorzichtige interpretatie van de eindtermen. Leerkrachten gaven in de bijgevoegde vragenlijst aan dat ze deze twee onderwerpen belangrijk vinden en dat ze er veel tijd aan besteden in de lessen. Daar moeten we de oorzaak dus ook niet zoeken.

Bij beide onderwerpen moet je in eerste instantie denken aan ‘kale’ opgaven. Het oplossen van problemen is immers ondergebracht bij een ander domein, namelijk problemen oplossen met algebra en functies (dat overigens beter scoort).

We zien dat een kwart van de leerlingen niet kan weerstaan aan de verleiding om de grondtallen te vermenigvuldigen. Opgaven met letters worden iets beter opgelost omdat die verleiding daar niet optreedt. Als de grondtallen ingewikkelder zijn (bijvoorbeeld met een wortel erin), lossen minder leerlingen de opgave goed op.

In de volgende voorbeeldopgave gaat het over het oplossen van een ongelijkheid van de tweede graad. Hoewel het een erg braaf exemplaar is (reeds in de standaardvorm, eenvoudige coëfficiënten en wortels), zijn de resultaten bedroe16 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

Natuurlijk is het niet allemaal kommer en kwel. Vergelijkingen geven betere resultaten dan ongelijkheden en ongelijkheden van de eerste graad worden beter opgelost dan die van de tweede graad.

We denken zelf aan een geheel van diverse oorzaken. Om de grote problemen bij Humane wetenschappen op te lossen, zal het nodig zijn om actie te ondernemen op meerdere terreinen. Zo vragen we ons af of een deel van de oplossing niet gezocht moet worden in een betere (en minder vrijblijvende?) oriëntering na de eerste graad, in het teruggaan naar een groter onderscheid tussen sterke en minder sterke wiskunde in de tweede graad aso met een dubbele set eindtermen, in maatregelen die leerlingen aanzetten om harder te werken voor wiskunde…

Onder de loep Dat zijn echter allemaal sleutels die we als leerkrachten niet zelf in handen hebben. Waar we zelf wél werk van kunnen maken, is het verder verbeteren van onze didactische aanpak op het vlak van algebra. Het is daarover dat deze loep gaat.

1.2.

Algebradidactiek optimaliseren

Rekenvaardigheid én inzicht We zijn niet de enige regio in de wereld die problemen vaststelt op het vlak van algebra. Integendeel, het lijkt wel alsof er geen landen zonder algebraproblemen bestaan. Als je het in internationaal perspectief bekijkt, zijn er eerder aanwijzingen dat het bij ons al bij al nog redelijk goed gaat. Klachten over gebrekkige algebraïsche vaardigheden van de leerlingen zijn trouwens ook van alle tijden. De moeilijkheden van leerlingen met algebra zijn al heel lang goed gedocumenteerd in de wetenschappelijke literatuur over wiskundedidactiek. Het is dus allerminst een nieuw gegeven.

Dat is natuurlijk geen excuus om ons zomaar hierbij neer te leggen. Per slot van rekening merken we dat de doelen die we zelf gesteld hebben niet bereikt worden. Wel leert het wijdverspreide en blijvende karakter van de moeilijkheden dat we ons moeten hoeden voor al te simpele oplossingen. Het wondermiddel om ervoor te zorgen dat leerlingen perfect presteren voor algebra lijkt vooralsnog niet uitgevonden te zijn… Als er iets duidelijk is uit wetenschappelijk onderzoek i.v.m. algebradidactiek, dan is het wel dat we niet uitsluitend mogen inzetten op het inoefenen van een aantal basisvaardigheden. Kieran (2007) schrijft in dat verband: [S]tudies over several decades ha[ve] shown that an exclusively skills-based approach to the teaching of algebra did not lead to skilled performance among algebra students […]. Nor, according to the ample number of studies of the late 1970s and 1980s, ha[ve] such approaches led to students’ being able to interpret adequately the various ways in which letters are used in algebra […], or the structural features of algebraic expressions […], or equivalence constraints on equations and equation solving […]. (p. 707)

We kennen het zelf ook wel uit onze eigen ervaring. Het leidt bijvoorbeeld tot leerlingen die

een vergelijking als (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 5(𝑥 − 2) oplossen door eerst de haakjes uit te werken. Of die bij het zien van een kwadratische uitdrukking in een pavloviaanse reactie meteen een discriminant berekenen, ook als die helemaal niet nodig is. Of nog: leerlingen die machteloos staan als ze vaststellen dat ze een formule vergeten zijn. We mogen daarom niet uitsluitend inzetten op veelvuldig oefenen, maar moeten integendeel aansturen op een goede combinatie van rekenvaardigheid en inzicht in wat er moet gebeuren. Niet alleen leren met inzicht maar ook oefenen met inzicht

In de loep van Uitwiskeling 24/1 (winter 2008) over algebra met applets hebben we al uitgebreid met voorbeelden geïllustreerd hoe je bij het aanbrengen van de leerstof inzicht in algebra kunt ontwikkelen. Het ging in die loep bijvoorbeeld over het introduceren van letters om te veralgemenen, meetkundig voorstellen van bewerkingen en leren oplossen van tweedegraadsvergelijkingen. Het is zeker de moeite waard om deze loep terug ter hand te nemen. Nu willen we ons vooral toespitsen op een ander onderdeel van het leerproces, namelijk het inoefenen van wat geleerd is. Natuurlijk moet je na het aanbrengen van een techniek een zekere tijd reserveren voor het leren gebruiken ervan in directe toepassingen en het is ook belangrijk dat leerlingen voelen dat ze de techniek onder de knie hebben. Daarna moet je ‘verstandig oefenen’ door ervoor te zorgen dat je bij het oefenen een beroep blijft doen op inzicht. We geven in deze loep heel wat voorbeelden van wat dit ‘oefenen met inzicht’ zoal kan inhouden. We hebben ons gebaseerd op onze eigen ervaringen, maar vonden ook heel wat inspiratie in een artikel over oefenen in algebra van de hand van Martin Kindt (2006) en in het hoofdstuk over algebra in een pas verschenen handboek wiskundedidactiek (Drijvers & Kop, 2012). Wat je in deze loep vindt De peiling die de aanleiding was voor deze loep ging over de tweede graad aso. De voorbeelden en ideeën uit deze loep zijn echter ook van toepassing in andere contexten: de eerste graad, tweede graad kso en tso en algebra-achtige onderwerpen in de derde graad (zoals het berekenen van afgeleiden, het oplossen van exponentiële vergelijkingen …).

Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 17

Onder de loep De loep is een menukaart geworden met veel kleine gerechtjes. De paragrafen zijn kort, maar het zijn er veel. Elke paragraaf werkt één gedachte uit of laat één manier zien om op een verstandige manier met algebra te oefenen. Sommige daarvan ken je misschien al en enkele andere spreken je misschien minder aan, maar we zijn ervan overtuigd dat je op onze menukaart ook een aantal gerechtjes zult vinden die je in je klaspraktijk zal verwerken!

2. Rekenregels moeten functioneel zijn Algebra bevat vele rekenregels en eigenschappen die leerlingen moeten kennen opdat ze succesvol kunnen rekenen, vergelijkingen kunnen oplossen, uitdrukkingen kunnen vereenvoudigen ... Maar zo’n rekenregel is niet in elke situatie per se functioneel, bijvoorbeeld omdat je de opgave soms eenvoudiger op een andere manier kunt oplossen. We vermelden twee voorbeelden om dit te illustreren. De distributieve eigenschap speelt een belangrijke rol in de algebra van de eerste graad. Zo moet je bij een som of verschil met letters of met wortels deze eigenschap wel gebruiken om tot een resultaat te komen: −4(2𝑥 + 3𝑦) = −4 ∙ 2𝑥 − 4 ∙ 3𝑦 = −8𝑥 − 12𝑦 3𝑎 − 2𝑎 + 7𝑎 = (3 − 2 + 7)𝑎 = 8𝑎

5√2 − 11√2 = (5 − 11)√2 = −6√2

Ook als de opgave louter uit ‘gewone’ getallen bestaat, kan distributiviteit soms zinvol toegepast worden, zoals bijvoorbeeld in 8 ∙ 89 = 8 ∙ (90 − 1) = 8 ∙ 90 − 8 ∙ 1 = 720 − 8 = 712.

Vaak is het toepassen van distributiviteit echter juist niet efficiënt: 10 ∙ (5 + 4) = 10 ∙ 5 + 10 ∙ 4 = 50 + 40 = 90 versus 10 ∙ (5 + 4) = 10 ∙ 9 = 90.

We moeten dus voorkomen dat leerlingen bij het zien van haakjes automatisch die haakjes willen ‘wegwerken’ via distributiviteit. Hiervoor is het belangrijk om zinvolle voorbeelden te kiezen zowel bij het aanbrengen van de eigenschap als bij het inoefenen ervan. Het laatste voorbeeld kan wel zinvol zijn als leerlingen in een latere fase twijfelen aan de rekenregel en die willen

18 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

testen door getallen in te vullen, maar dan werk je best met kleinere getallen, zoals: 2 ∙ (3 + 4). In paragraaf 4 komt dit aspect opnieuw aan bod.

In sommige handboeken vind je de rekenregel 𝑎 𝑐 𝑎𝑑+𝑏𝑐 + = . Deze regel is natuurlijk niet 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 foutief, maar in de praktijk ga je zo niet te werk. Je past niet de formule toe, maar gebruikt een algoritme: je vereenvoudigt eerst de afzonderlijke breuken en maakt ze dan gelijknamig door het kleinste gemene veelvoud van de noemers te nemen. In vele gevallen is die overigens zelfs niet gelijk aan bd. Het heeft dan ook weinig zin om deze regel te vermelden.

3. Algebra maakt moeilijke zaken eenvoudig We leiden dit aspect in met een mooi citaat van Tall en Thomas (1991): There is a stage in the curriculum when the introduction of algebra may make simple things hard, but not teaching algebra will soon render it impossible to make hard things simple. (p. 128)

Leerlingen kunnen in de basisschool al heel wat problemen oplossen zonder gebruik te maken van algebraïsche uitdrukkingen. In het secundair onderwijs worden (eenvoudige) vraagstukken aangepakt via het opstellen en oplossen van een vergelijking. We zouden meer zorg moeten besteden aan het maken van deze overgang, waarbij we beide methoden met elkaar verbinden. De oplossingsmethoden uit de basisschool zijn niet minderwaardig aan die uit het secundair. Eenvoudige problemen kun je vaak op beide manieren oplossen en dan is de algebraloze manier meestal efficiënter. Moeilijkere problemen kun je daarentegen beter met algebra oplossen. Door dit expliciet te laten zien, zet je het nut en de kracht van de algebraïsche oplossingsmethode in de verf.

De volgende werktekst illustreert dit. We gaan ervan uit dat het werken met een onbekende en een vergelijking vooraf al aangebracht is. Omdat er in de vraagstelling ook aandacht is voor andere methoden, kunnen de leerlingen zelf vergelijken en de meerwaarde ontdekken van de formele aanpak.

Onder de loep begin werktekst

Problemen oplossen via een onbekende en een vergelijking De som van 9 en het dubbele van een getal is 87. Bereken dit getal. 1. 2.

Los dit probleem op door een onbekende te kiezen, hiermee een vergelijking op te stellen en deze op te lossen. Je kunt het probleem ook oplossen zonder gebruik te maken van een vergelijking. Hoe?

Antwoord: als je van 87 het getal 9 aftrekt en het resultaat deelt door 2, krijg je het gevraagde resultaat.

Als je een getal deelt door 3 en daar dan 2 bij optelt, verkrijg je 1.

3.

Los ook dit probleem op zonder een vergelijking op te stellen.

Antwoord: als je van 1 het getal 2 aftrekt en het resultaat vermenigvuldigt met 3, krijg je het gevraagde resultaat.

Lies en Hans krijgen een geschenkbon van € 400 voor een citytrip naar Barcelona. Het vervoer kost € 130 en voor de hotelkamer wordt € 90 per nacht aangerekend. Hoeveel nachten kunnen ze in het hotel verblijven? 4.

Los dit nieuwe probleem op twee verschillende manieren op, een keer zonder vergelijking en een keer met vergelijking.

5.

Kun je dit probleem oplossen zonder een vergelijking op te stellen? Zo ja, doe dit en vergelijk je resultaat met het antwoord op vraag 6. Zo nee, ga dadelijk naar vraag 6.

Bij laagwaterstand steekt een paal voor een derde boven het water uit. Bij hoogwaterstand is het water 50 cm gestegen ten opzichte van de laagwaterstand en steekt de paal voor slechts een vijfde boven het water uit. Bepaal de lengte van de paal. 6.

Bereken de lengte van de paal met behulp van een vergelijking. 2

4

1

1

Antwoord: 𝑥 + 50 = 𝑥 of 𝑥 − 50 = 𝑥 naargelang je verwijst naar het deel onder water of het 3 5 3 5 deel boven water, met 𝑥 = lengte van de paal.

Los de volgende problemen op. Kies zelf of je dat met of zonder vergelijking doet. 7. 8.

Wielrenner Bram volgt een strikt trainingsschema. De eerste dag fietst hij een opgelegde afstand en vanaf dan moet hij elke dag 3 km meer fietsen. Na vijf dagen heeft hij in totaal al 150 km gefietst. Welke afstand fietste Bram de eerste dag? De som van drie opeenvolgende gehele getallen is 27. Geef het kleinste getal.

Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 19

Onder de loep 9.

Een motorrijder had in totaal twee uren nodig om 187,5 km af te leggen. Op de autosnelweg reed hij met een gemiddelde snelheid van 110 km/h en in de bebouwde kom haalde hij gemiddeld 45 km/h. Hoeveel tijd reed hij respectievelijk op de autosnelweg en in de bebouwde kom?

10. Maarten heeft vandaag 42 km meer gereden dan het dubbel van het aantal kilometer dat hij gisteren aflegde. Gisteren en vandaag reed hij in totaal 222 km. Hoeveel km reed hij gisteren? einde werktekst

De eenvoudige problemen uit de werktekst kunnen zonder vergelijking opgelost worden via de ‘omkeermethode’: vertrek vanuit het resultaat en voer de ‘omgekeerde’ bewerkingen in de aangepaste volgorde uit. Via de vragen 1 en 2 kun je aantonen dat bij het oplossen van de vergelijking net dezelfde stappen toegepast worden als bij de omkeermethode. Bij de moeilijkere voorbeelden uit de werktekst lijkt het opstellen en oplossen van een eerstegraadsvergelijking echter de meest efficiënte methode. Laat leerlingen dus zeker de meerwaarde ontdekken van deze formele aanpak, vooraleer je reeksen eerstegraadsvergelijkingen laat oplossen. Ook nadat leerlingen ingewijd zijn in het werken met onbekenden en vergelijkingen, is het goed om hen te blijven herinneren aan het nut van het algebraïsch werken. Een goede afwisseling tussen 'droge' vergelijkingen en vraagstukken oefent zowel de algebraïsche vaardigheid als het inzicht. Leerlingen mogen bij eenvoudige opgaven natuurlijk ook de omkeermethode gebruiken. Ze moeten reflexen ontwikkelen om de meest efficiënte strategie toe te passen, ook al is dat niet de methode die net in de les aan bod kwam. Het is echter mogelijk dat leerlingen zelfs bij eenvoudige voorbeelden met een vergelijking willen werken, omdat deze aanpak hen een houvast geeft. Overigens geldt flexibiliteit ook binnen de algebraïsche oplossingsmethoden zelf. Het probleem in vraag 9 kun je oplossen met één onbekende en één vergelijking, waardoor het in de eerste graad al aan bod kan komen. Zodra je hebt leren werken met 2×2-stelsels kun je het ook met twee onbekenden en twee vergelijkingen oplossen.

4. Van abstract terug naar concreet Niet iedereen onthoudt en redeneert op dezelfde manier. De ene onthoudt een formule best in symbolen, een andere heeft meer aan de formulering in woorden. Nog anderen zijn eerder grafisch ingesteld: een beeld zegt voor hen zoveel meer dan woorden. Sommige leerlingen 20 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

herinneren ‘sprekende’ voorbeelden, anderen zullen bij twijfel een formule narekenen. Door aandacht te hebben voor deze verschillende voorstellingsvormen helpen we onze leerlingen om inzicht op te bouwen. Je moet dat uiteraard doen bij het aanbrengen van de leerstof, maar het is even belangrijk om er later naar terug te grijpen, bijvoorbeeld op momenten dat leerlingen nog fouten maken. Algebra mag dan wel als wezenlijk kenmerk hebben dat het concrete dingen abstract maakt, toch is het zo dat wie problemen heeft met algebra, vaak een oplossing vindt in de omgekeerde weg: maak het abstracte opnieuw concreet. We illustreren dit met een aantal voorbeelden. Zien

Bij het oplossen van een eerstegraadsvergelijking moet je vaak de distributieve eigenschap gebruiken (haakjes uitwerken), wat eenvoudig meetkundig geïllustreerd wordt via de oppervlakte van rechthoeken.

3(𝑥 + 2) = 3𝑥 + 6

Dezelfde meetkundige voorstelling kan ook gebruikt worden om de formule voor het kwadraat van een éénterm, een tweeterm en eventueel ook een drieterm te visualiseren (zie figuur 1). Ook aan de derdemacht van een tweeterm kun je een meetkundige interpretatie geven (zie figuur 2). Je kunt leerlingen van de bovenstaande voorbeelden een memofiche of poster laten maken. Op die manier visualiseer je eigenschappen en formules op twee verschillende manieren (meetkundige illustratie en formule in symbolen). Zo vergroot je ook de kans dat minstens één aanpak een plaats in het geheugen krijgt. Natuurlijk kun je hiernaar ook verwijzen als leerlingen de

Onder de loep formule foutief toepassen (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ).

(bijvoorbeeld:

Soms helpt een concrete interpretatie om leerlingen een fout te laten inzien. Als leerlingen bij1 1 1 = + , vraag hen dan voorbeeld denken dat 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏 welk stuk van een lekkere pizza ze liefst hebben: 1 1 1 of + ? Gegarandeerd dat ze in gedachten 2+3 2 3 de stukken pizza zien ...

Maar soms kennen leerlingen zo’n formule niet meer of twijfelen ze aan de juistheid ervan. Sommigen blijven dan staren naar hun blad papier of halen moedeloos de schouders op. In tegenstelling echter tot vele formules uit andere wetenschappen die je gewoon uit het hoofd moet kennen, hebben formules in de wiskunde vaak het voordeel dat je niet machteloos bent als je ze vergeten bent. Door op een gepaste manier aan het rekenen te gaan, kun je ze vaak terugvinden. We illustreren dit met enkele voorbeelden: •

Narekenen Om efficiënt te kunnen werken, moet je sommige formules memoriseren (uit het hoofd kennen).

voorbeeld 1: (𝑎 + 𝑏)2 =? Hier vind je de oplossing via de betekenis van een kwadraat: gewoon het grondtal met zichzelf vermenigvuldigen: (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

Figuur 1

Figuur 2

Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 21

Onder de loep

•

•

voorbeeld 2: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ? Narekenen met concrete getallen toont hier al gauw dat de formule niet kan kloppen: (2 + 3)2 = 52 = 25 terwijl 2 2 + 32 = 4 + 9 = 13. Leerlingen moeten wel de beperking van deze werkwijze kennen: als het voor een concreet voorbeeld wél klopt, is dit nog geen bewijs dat het voor alle getallen klopt.

voorbeeld 3: 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎? en (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎? Hier laat een sprekend voorbeeld de kern van het bewijs zien, althans voor het geval dat de exponenten natuurlijke getallen zijn: ∙𝑎 ∙� 𝑎� ∙� 𝑎�∙� 𝑎 𝑎2 ∙ 𝑎3 = 𝑎� 2 factoren

3 factoren

�� =𝑎 ∙� 𝑎��� ∙ 𝑎 ∙� 𝑎�� ∙𝑎 =𝑎

en

2+3 factoren

2+3

= 𝑎5

3 (𝑎3 )2 = 𝑎��� ∙ 𝑎3

2 factoren

=� 𝑎� ∙� 𝑎�∙� 𝑎∙� 𝑎� ∙� 𝑎�∙� 𝑎 ����������� 3 factoren 3 factoren 2 factoren

����������� =𝑎 ∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎 =𝑎

2∙3

2∙3 factoren

= 𝑎6

5. Vergelijkingen interpreteren met grafieken Vóór de tijd van de moderne wiskunde namen functies een veel minder prominente plaats in dan nu. Toen werden vergelijkingen en ongelijkheden los van functies bestudeerd. Toch is het mogelijk om de band tussen functies en vergelijkingen nog meer uit te spelen. De onderstaande werktekst toont dit. Deze werktekst kan in een vierde jaar gebruikt worden. De eerste zes vragen kunnen afzonderlijk ook al in een derde jaar aan bod komen.

begin werktekst

Oplossingen van een vergelijking zien 1.

2. 3.

Los op: 2𝑥 − 2 = −𝑥 + 4.

Je vond één oplossing. Verklaar dit vanuit de grafische interpretatie.

Antwoord: via de bovenstaande vergelijking bereken je de 𝑥-coördinaat van de snijpunten van twee rechten. Een stijgende en een dalende rechte hebben één snijpunt Wat gebeurt er grafisch als je de constante term in het rechterlid (+ 4) wijzigt?

22 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

Onder de loep Antwoord: de dalende rechte verschuift verticaal, waardoor het snijpunt ook verschuift, maar er blijft één snijpunt bestaan. 4.

5.

Wat gebeurt er grafisch als je de richtingscoëfficiënt in het rechterlid wijzigt?

Antwoord: de rechte zal steiler of minder steil worden. Als de coëfficiënt van 𝑥 nul wordt, krijgen we een horizontale rechte. Als deze coëfficiënt positief wordt, zal ook de tweede rechte stijgend zijn. We blijven één snijpunt vinden, tenzij de coëfficiënt van 𝑥 gelijk wordt aan 2 wordt. In dat geval vinden we geen snijpunt; zie ook vragen 5 en 6. Los op: 2𝑥 − 2 = 2𝑥 + 1.

6.

Antwoord: twee evenwijdige rechten die niet samenvallen, hebben geen snijpunt.

7.

Los op: (𝑥 − 1)2 + 4 = 2.

8.

9.

Verklaar het aantal gevonden oplossingen vanuit de grafische interpretatie.

Verklaar ook nu het aantal gevonden oplossingen vanuit de grafische interpretatie.

Antwoord: een dalparabool met minimum (1, 4) en een horizontale rechte op hoogte 2 snijden elkaar niet.

Wat gebeurt er als de term ‘+ 4’ in het linkerlid groter wordt? Geef een concrete interpretatie.

Antwoord: als de constante term groter wordt, blijft de vergelijking vals. De dalparabool komt immers nog hoger te liggen, dus zal de horizontale rechte zeker niet gesneden worden.

10. Vermeld voor welke waarden van c de vergelijking (𝑥 − 1)2 + 𝑐 = 2 niet meer vals is. Geef opnieuw een concrete interpretatie.

Antwoord: als c ≤ 2, dan is de vergelijking niet meer vals. De dalparabool is gezakt, waardoor de horizontale rechte een raaklijn (c = 2) of een snijlijn (c < 2) wordt.

Als je de vergelijking 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 = 2𝑥 + 5 oplost, vind je twee oplossingen. De stijgende rechte in het rechterlid snijdt de dalparabool in het linkerlid in twee punten.

11. Verplaats de rechte nu evenwijdig totdat ze raakt aan de parabool. Hoe vertaal je dit algebraïsch? Antwoord: de discriminant van de vierkantsvergelijking is gelijk aan nul.

12. Verplaats de rechte evenwijdig totdat ze de parabool helemaal niet meer snijdt of raakt. Hoe vertaal je dit algebraïsch?

6. Loskomen van standaardoplossingsmethoden Voor een aantal standaardproblemen leren we in de wiskundeles standaardoplossingsmethoden. Zo kun je een tweedegraadsvergelijking altijd oplossen met de discriminant. Vaak is het dan verleidelijk om die standaardoplossingsmethode begin werktekst

einde werktekst

altijd toe te passen. Toch is dat lang niet altijd de handigste manier. Vóór het aanbrengen van de discriminantmethode wordt daar vaak al op ingegaan (welke tweedegraadsvergelijkingen kunnen we al oplossen?). De onderstaande werktekst is bedoeld voor nadien. We laten de leerlingen terug loskomen van de standaardmethode die ze ondertussen geleerd en ingeoefend hebben.

Tweedegraadsvergelijkingen oplossen kan soms ook (beter?) zonder discriminant 1.

Bij de volgende vergelijkingen zou je de haakjes kunnen uitwerken en daarna de vergelijking met de discriminant oplossen. Laat zien dat je ze op een veel efficiëntere manier kunt oplossen.

Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 23

Onder de loep

2. 3.

a. b. c.

(𝑥 − 3)(2𝑥 − 1) = 0 (𝑥 − 3)(6𝑥 − 3) + (2 − 5𝑥)(2𝑥 − 1) (𝑥 − 3)(6𝑥 + 3) = (2 − 4𝑥)(2𝑥 + 1)

Kun je de vergelijking (𝑥 − 3)(2𝑥 − 1) = 12 ook oplossen zoals in oefening 1.a?

Antwoord: uit A·B = 0 volgt dat A = 0 of B = 0 maar voor rechterleden die verschillend zijn van 0 geldt een soortgelijke eigenschap niet. Arne loste de vergelijking uit oefening 1.c op door links en rechts te delen door 2𝑥 + 1. Probeer dat ook eens en geef commentaar.

4.

Los de volgende vergelijkingen op door vierkantswortels te trekken:

5.

Los de volgende tweedegraadsvergelijkingen op door het linkerlid (indien mogelijk!) te herschrijven met behulp van een merkwaardig product of door een gemeenschappelijke factor af te zonderen:

6.

Bereken de discriminant van de vergelijkingen c, d en e uit de vorige oefening. Zijn je oplossingen van deze vergelijkingen in overeenstemming met de waarde van de discriminant?

7.

8.

a. b. c. d. e. f. g.

𝑥2 = 9 4𝑥 2 = 9 4(𝑥 − 1)2 = 9 4(𝑥 − 1)2 + 5 = 9 4(𝑥 − 1)2 + 7 = 9 4(𝑥 − 1)2 + 9 = 9 4(𝑥 − 1)2 + 11 = 9

a. b. c. d. e.

4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 = 0 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 0 4𝑥 2 − 12𝑥 = 0 4𝑥 2 − 9 = 0 4𝑥 2 + 9 = 0

Antwoord: bij dergelijke onvolledige vergelijkingen maken veel leerlingen een fout bij het berekenen van de discriminant: voor de ontbrekende termen nemen ze de coëfficiënt gelijk aan 1 i.p.v. 0.

De vergelijkingen 4.b en 5.d zijn eigenlijk dezelfde. Welke methode verkies je?

Vervang de rechterleden van de vergelijkingen uit oefening 5 door 16 en los deze nieuwe vergelijkingen op. Vier van deze vergelijkingen kun je beter zonder discriminant oplossen. Voor één vergelijking kun je beter de discriminant gebruiken.

Het komt wel vaker voor dat er verschillende methodes bestaan om eenzelfde soort problemen op te lossen en dat elke methode zijn voordelen heeft, afhankelijk van de precieze vorm van het probleem. Een mooie manier om hier op te oefenen, is dat je je leerlingen een aantal oefeningen opgeeft en hen vraagt om deze oefeningen op te lossen waarbij ze elke methode maar één keer mogen gebruiken.

Soms zit de flexibiliteit in heel kleine zaken. We geven een voorbeeld over het oplossen van ongelijkheden van de eerste graad. Als je bij de ongelijkheid 5 − 2𝑥 < 3 + 𝑥 vasthoudt aan de regel dat je alle termen met 𝑥 naar het linkerlid moet brengen en alle termen zonder 𝑥 naar het rechterlid, dan krijg je −3𝑥 < −2. Hier is het

24 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

einde werktekst

juist eenvoudiger om de termen met 𝑥 naar het rechterlid te brengen, zodat je geen mintekens krijgt.

Correct leren toepassen van één standaardmethode of flexibel gebruik maken van verschillende methoden zal altijd wel een zaak blijven van het afwegen van voor- en nadelen van beide opties. Voor sommige leerlingen is het belangrijker dat ze er gerust in kunnen zijn dat ze de oplossing wel zullen vinden en dan is het misschien beter hen de standaardmethode te laten toepassen, ook in gevallen waarin dat niet de meest efficiënte methode is. Anderzijds: voor de standaardmethode moet je soms veel meer rekenwerk uitvoeren en dat geeft dan weer een grotere kans op rekenfouten (zoals we bijvoor-

Onder de loep beeld verwachten in de zesde opgave uit de werktekst).

Drijvers en Kop (2012) maken een onderscheid tussen algebraïsche basisvaardigheden en symbol sense. Het foutloos kunnen uitvoeren van standaardprocedures valt onder de algebraïsche basisvaardigheden. Dat is uiteraard een nodige voorwaarde om goed met algebra overweg te kunnen, maar uit de praktijk en uit onderzoek blijkt dat er meer nodig is dan dat. Een overzicht hebben van verschillende oplossingstechnieken en daar flexibel uit kunnen kiezen is een van de facetten van symbol sense, de ‘algebraïsche expertise […] die, veelal op de achtergrond zonder dat we ons daarvan bewust zijn, de uitvoering van de basisroutines stuurt en het inzicht in de onderliggende concepten omvat.’ (Drijvers & Kop, 2012, p. 65-66). Andere aspecten van symbol sense zijn bijvoorbeeld: inzicht hebben in de structuur van algebraïsche uitdrukkingen (zie volgende paragraaf) en kunnen weerstaan aan verleidelijke ‘foutieve rekenregels’. Als we pleiten voor ‘oefenen met inzicht’ bedoelen we dat in de oefeningen algebraïsche vaardigheden en symbol sense samen moeten gaan.

7. Globaal kijken naar uitdrukkingen Nog zo’n kwadratische vergelijking waarbij je best even goed kijkt vóór je in actie schiet, is (3𝑥 − 2)2 − 5(3𝑥 − 2) + 6 = 0. Hier komt het erop aan de uitdrukking 3𝑥 − 2 tijdelijk als één object te zien en deze uitdrukking dan bijvoorbeeld te vervangen door een hulponbekende u. Hierdoor wordt de globale structuur van het linkerlid (een veelterm van de tweede graad in u) zichtbaar. Algebraïsche vaardigheid hangt heel dikwijls af van het inzicht in de structuur van uitdrukkingen. We geven nog enkele voorbeelden: •

•

Om het domein van de functie 𝑓: 𝑦 = √2 − 𝑥 te bepalen, moet je beseffen dat de vierkantswortel getrokken wordt uit 2 − 𝑥 en dat de voorwaarde dus is dat 2 − 𝑥 ≥ 0, en dus niet dat 𝑥 ≥ 0. Ook hier kan het helpen om de 2 − 𝑥 te vervangen door een hulpveranderlijke 𝑢.

4𝑥 2 + 3𝑥 is een som. Als je de gemeenschappelijke factor vooropzet, krijg je 𝑥(4𝑥 + 3), wat een product is. Bij het

•

•

ontbinden in factoren zet je sommen om in producten. De uitdrukking (3𝑥 + 2)2 − (2𝑥 − 3)2 is in eerste instantie een verschil en de twee termen van dat verschil zijn kwadraten. De uitdrukking is dus een verschil van twee kwadraten. Dit inzicht is nodig om in te zien dat je hier kunt ontbinden in factoren met de regel 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏). Hier hebben we de uitdrukking in twee stappen ‘van buiten naar binnen’ geanalyseerd: eerst zagen we een verschil en daarna zagen we dat beide termen een kwadraat waren.

Als je de grafiek van 𝑓: 𝑦 = 𝑥 3 transformeert tot die van 𝑔: 𝑦 = 2𝑥 3 − 1, zet je dezelfde stappen als wanneer je de grafiek van f transformeert tot die van ℎ: 𝑦 = 2(𝑥 3 − 1), maar de volgorde is verschillend. Ook hier analyseren we de uitdrukkingen van buiten naar binnen.

In de uitdrukking ln(100 ∙ 1.05𝑡 ) gaat de aandacht van de leerlingen (van de derde graad) vaak in eerste instantie naar de macht. Ze passen dan de regel toe voor de logaritme van een macht en doen tegelijk iets onduidelijks met de factor 100. Voor het correct herschrijven van de uitdrukking is het echter juist belangrijk dat de leerlingen zich realiseren dat het argument van de logaritme in eerste instantie een product is. Je moet dus eerst de rekenregel voor de logaritme van een product toepassen en pas nadien (in de logaritme van de tweede factor) de rekenregel voor de logaritme van een macht. Er zijn nog veel meer voorbeelden te geven van plaatsen waar inzicht in de structuur van uitdrukkingen nodig is: bij het berekenen van afgeleiden en integralen, bij het bewijzen van goniometrische identiteiten, bij het oplossen van vergelijkingen …

•

Kleine didactische hulpmiddeltjes, het gebruiken van kadertjes op het bord op strategische momenten zoals in (3𝑥 + 2)2 − (2𝑥 − 3)2 en (3𝑥 + 2) 2

kunnen leerlingen op weg helpen om deze structuur te zien. Ook kun je leerlingen deze structuur nu en dan laten verwoorden. Op www.wisweb.nl vind je twee mooie applets, namelijk ‘Algebra Expressies’ en ‘Algebra Pijlen’ waarmee je leerlingen kunt laten oefenen. In de schermafdruk hieronder (zie figuur 3) zie je aan de linkerkant hoe de uitdrukking (3𝑥 + 2)2 − (2𝑥 − 3)2 Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 25

Onder de loep

Figuur 3

opgebouwd werd. Rechts bovenaan zie je (wat efficiënter uitgewerkt, zonder zichtbare tussenresultaten) de uitdrukking die je na het ontbinden in factoren en vereenvoudigen vindt. Rechts onderaan lieten we ter controle een tabel maken met waarden voor het verschil tussen beide uitdrukkingen.

8. Algebra inzetten om patronen te beschrijven Algebraïsche uitdrukkingen lenen zich uitstekend om patronen te beschrijven. Patroonbegin werktekst

Verrassende resultaten 1.

Controleer de resultaten in de regels hieronder:

2.

Geef de volgende drie regels.

3.

1 + 9 + 1 ∙ 9 = 19 2 + 9 + 2 ∙ 9 = 29 3 + 9 + 3 ∙ 9 = 39

Hoe kun je dit patroon verklaren?

26 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

herkenning komt in het secundair onderwijs expliciet aan bod in het hoofdstuk over rijen. Deze vaardigheid is prima om ‘inzichtelijk kijken’ te bevorderen. In de werktekst op de volgende bladzijde nemen we een aantal opgaven uit Kindt (2006) over die tonen hoe je dit ook in andere hoofdstukken kunt inlassen. Bij deze opgaven moeten leerlingen niet enkel het patroon herkennen en nadien zelf in staat zijn om het schema verder te zetten. Vaak wordt naar een verklaring gevraagd. Bij de veralgemening en verklaring kan algebra een goed hulpmiddel zijn. We verwerken alle opgaven in één werktekst, maar je kunt de deelopgaven ook apart aanbieden.

Onder de loep

4. 5.

6.

Antwoord: als je het bovenstaand patroon veralgemeent en de formule uitrekent, dan heb je een verklaring: 𝑥 + 9 + 𝑥 ∙ 9 = 10𝑥 + 9 . 1

1

Reken na dat �1 − � ∙ �1 + � = 1. 3

2

Vul nu zelf de resultaten in van de volgende drie opgaven en vervolledig het schema met twee dergelijke opgaven. 1 1 �1 − � ∙ �1 + � = 4 3 1 1 �1 − � ∙ �1 + � = 5 4 1 1 �1 − � ∙ �1 + � = 6 5

Wat merk je op? Geef hiervoor een verklaring.

Antwoord: het resultaat is telkens 1. Ook hier zul je via de veralgemening van het schema de verklaring 1 1 𝑛−1 𝑛 �= ∙ = 1. vinden: �1 − � ∙ �1 + 𝑛

𝑛−1

𝑛

𝑛−1

7.

Controleer de gegeven berekeningen en voeg twee regels toe.

8.

Geef een soortgelijke berekening die veel verder in de rij zou staan als je deze zou verderzetten.

9.

1∙2−0∙3 =2 2∙3−1∙4 =2 3∙4−2∙5 =2 4∙5−3∙6 =2 5∙6−4∙7 =2

Waarom kom je telkens 2 uit? Geef een verklaring.

Antwoord: Er zijn meerdere mogelijkheden om het linkerlid te veralgemenen: 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) − (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 + 2) of (𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 2) − 𝑛 ∙ (𝑛 + 3) of … Uitwerking van deze uitdrukkingen geeft telkens als resultaat 2.

10. Bereken achtereenvolgens: 152 − 10 ∙ 20 252 − 20 ∙ 30 352 − 30 ∙ 40

11. Wat merk je op? Geef hiervoor een verklaring.

Antwoord: het resultaat is telkens 25. De onderstaande veralgemening van het schema geeft de verklaring en toont zelfs dat de getallen van de tweede term enkel 10 moeten verschillen, maar zelf geen veelvouden van 10 hoeven te zijn: (𝑛 + 5)2 − 𝑛 ∙ (𝑛 + 10) = 𝑛2 + 10𝑛 + 25 − 𝑛2 − 10𝑛 = 25. einde werktekst

Vaak gebruiken we concrete getallen om een formule uit algebra te begrijpen. Bij de opgaven uit de werktekst redeneren we omgekeerd: we stellen iets vast bij getallen en gebruiken de algebra om het te begrijpen.

In de bovenstaande werktekst merkte je dat algebra gebruikt wordt om patronen te beschrijven en te verklaren. Dit lukt echter niet bij alle patronen. Een gekend voorbeeld waarbij het juist een meetkundige voorstelling is die een verklaring biedt, vind je hieronder.

n ⋅ ( n + 1) 1 + 2 + ... + n = 2

Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 27

Onder de loep

9. Variatie in de vraagstelling In deze paragraaf en de volgende twee inspireerden we ons op een artikel van Kindt (2006). Het doel van het artikel loopt gelijk met dat van ons: tonen hoe je het oefenen in algebra kunt combineren met het verdiepen van inzicht.

Kindt pleit voor variatie in de vraagvorm, onder andere met het argument dat het leerlingen alert houdt en hen uiteindelijk meer bijleert (ook al vinden leerlingen het zelf vaak wel leuk als ze een rijtje oefeningen kunnen afwerken zonder teveel te moeten nadenken). We laten hieronder een voorbeeld zien van een dergelijke variatie aan oefeningen in verband met het vermenigvuldigen van twee uitdrukkingen van de eerste graad. De oefeningen zijn gebaseerd op wat we bij Kindt lazen.

In de eerste oefening wordt het rechthoeksmodel voor het vermenigvuldigen gebruikt: vermenigvuldigen wordt verbonden met oppervlakte van rechthoeken. We delen de grote rechthoek met zijden 𝑥 + 3 en 𝑥 + 5 (links in de figuur) op in deelrechthoeken die overeenkomen met producten die je tegenkomt wanneer je distributiviteit toepast. Aan de leerlingen vragen we om in elke rechthoek de oppervlakte te schrijven in de vorm van het product van de lengte en breedte van de rechthoek).

Onterecht, want het geeft een mooie alternatieve manier om het product te berekenen:

𝑥

2

𝑥2

𝑥 𝑥

3𝑥 + 5𝑥 + 8𝑥

+ +

5 3

+ 15 + 15

Hieronder zie je nog een andere vorm waarin je bewerkingen met veeltermen kunt aanbieden. Hierbij wordt de structuur van de te berekenen uitdrukking gevisualiseerd op een manier die nauw aansluit bij paragraaf 7.

In de laatste oefening die we tonen, moeten de leerlingen in het linkerlid haakjes plaatsen, indien nodig, zo dat de gelijkheid opgaat:

𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 6𝑥 + 3 𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 6𝑥 + 15 𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 3 𝑥 + 5 ∙ 𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 15

10. Omkeervragen In de vermenigvuldigingstabel hieronder is de verwijzing naar de oppervlakte van rechthoeken verdwenen. De ‘dubbele distributiviteit’ wordt nog steeds mooi verbeeld, maar nu zonder de tussenstap(pen). We laten leerlingen een ander product van twee eerstegraadsveeltermen hiermee uitwerken. Dit kun je natuurlijk uitbreiden tot veeltermen met een hogere graad. × 𝑥 3

𝑥 𝑥2 3𝑥

5 5𝑥 15

Voor de deling van veeltermen gebruiken we in de secundaire school hetzelfde algoritme als in de lagere school voor getallen. Voor de vermenigvuldiging is dat niet gebruikelijk.

28 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

In deze paragraaf gaat het niet om de ‘omkeermethode’ uit de derde paragraaf, waarbij een oplossing van een vergelijking gevonden wordt via het terugwaarts berekenen, maar om een manier om de vraagstelling te variëren. Omkeervragen zijn vragen waarbij het resultaat gegeven is en de leerlingen de (een) oorspronkelijke opgave moeten zoeken. We geven enkele voorbeelden uit Kindt (2006): 1. 2.

Bedenk twee breuken met ongelijke 14 noemers waarvan de som gelijk is aan . 15

Bedenk twee breuken met ongelijke noemers waarvan het product gelijk is aan 14 . 15

Onder de loep 3.

4.

5.

Vul passende veelvouden van 𝑥 of 𝑦 in: (⋯ + ⋯ ) + (⋯ + ⋯ ) = 12𝑥 + 5𝑦 Vul passende getallen in: (𝑥 + 8) ∙ (𝑥 + ⋯ ) = 𝑥 2 + 19𝑥 + ⋯.

Bedenk een vergelijking waarvan 9 en –10 de enige oplossingen zijn.

Vaak zijn er meerdere antwoorden mogelijk, wat het interessant maakt voor leerlingen die trager zijn. Het feit dat de oplossing niet eenduidig bepaald is, nodigt ook uit tot een klasgesprek of verder onderzoek.

11. Slimme rijtjes Als je oplossingstechnieken indrillt, maak je rijtjes opgaven waarin je telkens dezelfde standaardtechniek toepast. Bij het ‘oefenen met inzicht’ zorgt de leraar voor slimme rijtjes. Daarbij staan de opeenvolgende oefeningen met elkaar in verband. Het verband of contrast met de vorige opgave(n) heeft als bedoeling om bij te dragen aan het verder ontwikkelen van inzicht. We illustreren dit aan de hand van twee voorbeelden.

In een eerste rijtje wordt aan de leerlingen gevraagd om kwadraten en producten uit te werken m.b.v. de merkwaardige producten. We hebben goede ervaringen met dit rijtje: leerlingen denken inderdaad na over het verband tussen de verschillende opgaven, ze komen spontaan met verschillende varianten voor de oplossing van bepaalde oefeningen … Omdat de opgaven met elkaar in verband staan, is het geen goed idee om er enkele oefeningen uit te pikken en de andere over te slaan. Je hoeft de oefeningen daarom niet allemaal volledig uit te werken. Je kunt leerlingen bijvoorbeeld vragen om alleen de eerste stap in de uitwerking te zetten. Hier kun je bijvoorbeeld ook vragen welke oefeningen dezelfde uitkomst hebben, welke een tegengestelde oplossing hebben …

1.

(𝑥 + 2)2

3.

(−𝑥 + 2)2

2.

(𝑥 − 2)2

4.

(−𝑥 − 2)2

6.

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

5. 7. 8.

−(𝑥 − 2)2

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

(𝑥 + 2)(−𝑥 + 2)

9.

(−𝑥 + 2)(−𝑥 + 2)

10. (𝑥 + 2)(−𝑥 − 2)

Het tweede rijtje is volgens hetzelfde principe opgebouwd. Hierin moeten de leerlingen de uitdrukkingen ontbinden in factoren. De uitdrukkingen lijken nogal op elkaar (bijvoorbeeld omdat dezelfde getallen gebruikt worden), maar de toe te passen methoden zijn telkens verschillend. 1.

16𝑥 2 + 24𝑥

2.

16𝑥 2 + 24𝑥 + 9

4.

16𝑥 4 + 24𝑥 2 + 9

6.

16𝑥 2 − 9

8.

16𝑥 4 − 9𝑥 2

3. 5.

7. 9.

16𝑥 4 + 24𝑥 3 + 9𝑥 2 16𝑥 2 + 9

16𝑥 4 − 9

16𝑥 4 − 9𝑥 3

10. 16𝑥 4 − 9𝑥 4

12. Niet te snel en niet teveel verkorten Vaak maken leerlingen fouten omdat ze algoritmen domweg van buiten leren zonder er nog een betekenis aan te koppelen. Natuurlijk is het de bedoeling van een algoritme om een recept te geven dat, mits correcte toepassing, snel een resultaat oplevert, zonder dat over elke stap moet nagedacht worden. Maar overdaad schaadt! We vermelden hieronder enkele voorbeelden waarbij teveel nadruk op een algoritme (in de brede betekenis van het woord) ons eerder schadelijk lijkt.

Voor het oplossen van vergelijkingen bestaan de zogenaamde ‘overbrengingsregels’: optellen wordt aftrekken, vermenigvuldigen wordt delen ... Deze regels zijn een verkorting van het basisprincipe dat je bij een gelijkheid op beide leden dezelfde operatie mag toepassen, waarbij de gekende idee van een weegschaal of balans wordt gebruikt. Je mag bijvoorbeeld bij beide leden van een vergelijking eenzelfde getal optellen. Het is beter om leerlingen te leren om hun stappen consequent te verantwoorden met behulp van deze basisprincipes in plaats van ze te leren steunen op de overbrengingsregels.

Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 29

Onder de loep

–7

3 x + 7= 11x − 8 3= x 11x − 15

–11x

: –8

−8 x = −15 = x

−15 15 = 8 −8

–7

–11x : –8

Dezelfde idee vind je terug bij het vereenvoudigen van breuken. Leerlingen onthouden dat je gemeenschappelijke zaken in teller en noemer mag schrappen en schrappen dan ook niet alleen gelijke factoren maar ook gelijke termen. Het basisprincipe is hier dat je in teller en noemer mag vermenigvuldigen met (of delen door) eenzelfde uitdrukking. We pleiten er dus voor om de verkortingsregels niet te snel in te voeren. Wanneer leerlingen later fouten maken bij deze regels, is het goed om terug te keren naar de basis.

De regel van Horner krijgt in Vlaanderen (ten onrechte) meer aandacht dan in de rest van de wereld. Hoewel de meeste leerlingen dit rekentrucje wel leuk vinden en kunnen onthouden, is gericht kijken naar de opgave vaak voldoende om het quotiënt en de rest te vinden. Het zorgt er ook voor dat het inzicht behouden blijft. Het volgende voorbeeld illustreert dit (waarbij de verklaring in woorden lastiger is dan het eigenlijke denkwerk): •

Bereken het quotiënt en de rest bij deling van 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11 door 𝑥 + 3. We willen het deeltal dus in de volgende vorm schrijven: 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11

•

= (𝑥 + 3) ∙ (⋯ 𝑥 3 + ⋯ ) + ⋯.

Omdat de hoogstegraadsterm van het deeltal 4𝑥 4 is, moet de eerste term van het quotiënt 4𝑥 3 zijn, zodat 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11

•

= (𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 3 + ⋯ ) + ⋯.

Als je dit rechterlid zou uitrekenen, verkrijg je als term in 𝑥 3 voorlopig 12𝑥 3 . Om 15𝑥 3 te krijgen, heb je nog 3𝑥 3 nodig, zodat de tweede term van het quotiënt 3𝑥 2 wordt (𝑥 2 omdat deze term nog vermenigvuldigd wordt met 𝑥 uit de eerste factor). 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11

= (𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 3 + 3𝑥 2 + ⋯ ) + ⋯.

30 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013

•

Een analoge redenering leert dat de derde term – 2𝑥 moet zijn en de laatste term 5. Om de gelijkheid te laten gelden, zul je voor de rest –4 moeten nemen. 4𝑥 4 + 15𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 + 11

= (𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 5) − 4.

Natuurlijk zitten achter de bovenstaande redenering dezelfde principes als diegene die tot de regel van Horner leiden. Alleen blijft de betekenis van wat je doet nu de hele tijd op de voorgrond staan. Je hoeft ook helemaal niet van buiten te onthouden dat het getal dat je bij het schema links zet –3 moet zijn (en niet 3) en dat je de getallen die in het schema onder elkaar staan moet optellen.

13. Spaarzaam zijn met formules We hebben nogal eens de neiging om voor het even wat een formule op te stellen en onze leerlingen ook te leren om die formules te gebruiken. Soms zijn formules echter niet zinvol, omdat er betere alternatieven zijn. Zo is de formule voor de 𝑥-coördinaat van de top van een 𝑏 parabool (− ) wél de moeite waard (want erg 2𝑎 vaak bruikbaar, eenvoudig te onthouden …) maar is het geen goed idee de formule voor de y4𝑎𝑐−𝑏 2

) uit het hoofd te coördinaat van de top ( 4𝑎 laten leren. Leerlingen die geleerd hebben om te steunen op een formule zijn machteloos als ze de formule vergeten zijn. Je kunt veel beter gebruik maken van het algemeen toepasbare principe dat je de 𝑦-coördinaat van een punt van de grafiek vindt door de 𝑥-waarde in de vergelijking in te vullen.

Bij belangrijke formules loont het vaak ook de moeite om ze eens goed te bekijken. De formule voor de nulpunten van een tweedegraadsfunctie kun je bijvoorbeeld in verband brengen met de formule voor de 𝑥-coördinaat van de top door ze −𝑏±√𝑑

𝑏

√𝑑

= − ± . Je ziet eens te herschrijven: 2𝑎 2𝑎 2𝑎 dan onmiddellijk dat de top midden tussen de nulpunten in ligt.

Ook de formule voor het nulpunt van een eerste𝑏 graadsfunctie (− ) is overbodig. Het is veel 𝑎 beter om dit snel te berekenen, dan het risico te lopen dat de formule foutief onthouden wordt.

Een ander voorbeeld uit het derde jaar: het is voldoende om te weten dat de richtingscoëffi-

Onder de loep ciënt van een rechte de coëfficiënt is van x in de vergelijking 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Als de rechte 𝑟 via een algemene vergelijking (𝑢𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑤 = 0) gegeven is kunnen de leerlingen wel zelf de richtingscoëfficiënt berekenen. De formule 𝑢 rico 𝑟 = − is dus echt niet nodig. 𝑣

In het vierde jaar vind je bij de algemene vergelijking 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 van een cirkel in sommige handboeken de formules 𝑟=

�𝑎2 +𝑏 2 −4𝑐 2

𝑎

𝑏

voor de straal en �− , − � voor 2

2

het middelpunt. Het lijkt ons echter zinvoller om met een voorbeeld de methode aan te leren om de algemene vergelijking te herschrijven in de vorm (𝑥 − 𝑥1 )2 + (𝑦 − 𝑦1 )2 = 𝑟 2 . Deze methode is namelijk eenvoudiger om te memoriseren dan de formules die ervoor vermeld zijn.

14. Niet alleen successen maar ook mislukkingen Leerlingen zijn heel creatief in het uitvinden van allerlei rekenregels die er in feite niet zijn, zoals ‘de vierkantswortel van een som is de som van de vierkantswortels’. Daar zijn allerlei redenen voor te bedenken, maar één ervan is misschien wel dat ze het heel vaak evident vinden dat de uitdrukking ‘nog verder uitgewerkt’ moet worden. In de basisschool moeten leerlingen uitdrukkingen als 67 + 15 uitwerken tot ze één getal vinden. Uitdrukkingen krijgen daardoor een proceskarakter: ze geven aan dat er actie ondernomen moet worden. In de algebra moeten leerlingen gaandeweg leren dat er soms niet veel uit te rekenen is. Je kunt niet altijd verder gaan tot je een ‘uitkomst’ hebt. Je moet dus soms

tevreden zijn met de uitdrukking zoals ze is. Leerlingen moeten ‘onuitgewerkte’ algebraïsche uitdrukkingen gaandeweg leren accepteren als een uitkomst. Algebraïsche uitdrukkingen krijgen hierdoor het karakter van een object op zich, net zoals een getal zoals 82 dat is. Het is dus belangrijk dat leerlingen er attent op gemaakt worden dat je niet alles verder kunt uitwerken. Bij het aanbrengen van rekenregels krijgen de ‘goede’ rekenregels (zoals ‘de vierkantswortel uit een product is gelijk aan het product van de vierkantswortels als de factoren positief zijn’) uiteraard de meeste aandacht. Dat zijn de middelen die ons in staat stellen om een uitdrukking wél verder uit te werken. Misschien moeten we op dat ogenblik echter niet alleen aandacht besteden aan de succesverhalen (de rekenregels die geldig zijn), maar ook al meteen een aantal populaire mislukkingen (‘rekenregels die er geen zijn’) onder de aandacht brengen. Zo zou je de leerlingen bijvoorbeeld eerst aan de hand van getallenvoorbeelden kunnen laten onderzoeken welke van de potentiële rekenregels voor vierkantswortels geldig zouden kunnen zijn: √𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + √𝑏 ? √𝑎 − 𝑏 = √𝑎 − √𝑏 ? √𝑎 ∙ 𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 ? 𝑎

√𝑎

�𝑏 = √𝑏 ?

Je vindt al snel tegenvoorbeelden voor de eerste twee en kunt dus al gauw besluiten dat √𝑎 ± 𝑏 ≠ √𝑎 ± √𝑏. Deze negatieve conclusie is even belangrijk als die i.v.m. de andere twee, die (na een bewijs, voor positieve getallen) wel degelijk geldige rekenregels blijken te zijn.

Uitwiskeling 29/1 − winter 2013 | 31

Onder de loep Ook bij het oefenen kunnen leerlingen leren op hun hoede te zijn voor de verlokkingen van de ‘foutieve rekenregels’. Bij het inoefenen van rekenregels hebben we immers de neiging om alleen oefeningen te laten maken waarin de ‘goede rekenregels’ inderdaad toegepast kunnen worden. We zouden leerlingen bijvoorbeeld ook oefeningen kunnen aanbieden waarin ze uitdrukkingen moeten vereenvoudigen indien mogelijk, zoals hieronder (uit een andere context dan vierkantswortels): 1. 2. 3. 4. 5.

𝑥 2 −1

𝑥 2 +1 𝑥 2 −1 𝑥−1

𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥 2 +1

𝑥 2 +2𝑥+1 𝑥 2 −1

𝑥 2 −2𝑥+1 𝑥 2 −1

15. Tot slot We zijn aan het einde gekomen van onze reeks voorbeelden. We hopen dat je ideeën opgedaan hebt om je algebralessen verder te verrijken en dat je leerlingen zowel hun rekenvaardigheid als hun inzicht kunnen verhogen.

We hebben in de inleiding aangegeven dat er werk op de algebra-plank ligt. Bij het einde van de loep past een relativerende opmerking. Uit de peiling van de tweede graad aso blijkt dat we in Vlaanderen reeds heel wat tijd aan algebra besteden. De ideeën uit deze loep zijn erop gericht om de tijd die we er voor uit trekken nog beter in te vullen, eerder dan dat we ervoor pleiten om er meer tijd voor uit te trekken. Er zijn immers ook heel wat andere onderwerpen die voldoende aandacht moeten krijgen. We mogen zeker ook niet de fout maken om wiskundeonderwijs te verengen tot het ontwikkelen van algebraïsche vaardigheid.

Bronnen Drijvers, P. (2012). Wat bedoelen ze toch met ... symbol sense? Nieuwe Wiskrant, 31(3), 39–42.

Drijvers, P., Kop, P. (2012). Variabelen en vergelijkingen. De veelzijdigheid van algebraïsche vaardigheden. In P. Drijvers, A. Van Streun, B. Zwaneveld, Handboek wiskundedidactiek (pp. 53–81). Utrecht, The Netherlands: Epsilon Uitgaven.

Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. Building meaning for symbols and their manipulation. In F. K. Lester Jr. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (Vol. 2, pp. 707–762). Charlotte, U.S.A.: Information Age Publishing. Kindt, M. (2006). Oefening baart kunst. In P. Drijvers (Ed.), Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle algebra op school (pp. 105–136). Utrecht, The Netherlands: Freudenthal Institute.

Tall, D., Thomas, M. (1991). Encouraging versatile thinking in algebra using the computer. Educational Studies in Mathematics 22, 125–147.

van Nijlen, D., et al (2012). Peiling wiskunde in de tweede graad algemeen secundair onderwijs. Leuven: Centrum voor Onderwijseffectiviteit en –evaluatie (KU Leuven) en Brussel: Agentschap voor Kwaliteitszorg in Onderwijs en Vorming, Afdeling Projecten: EVC-Curriculum-Kwalificaties.

32 | Uitwiskeling 29/1 − winter 2013