ONBETWIST
ONderwijs verBETeren met WISkunde Toetsen
Voorbeeldtoetsen VWO-wiskunde
Deliverable 3.8
Henk van der Kooij
ONBETWIST
Deliverable 3.8
ONBETWIST
ONderwijs verBETeren met WISkunde Toetsen
Inleiding Omdat in een aantal onderwijsprojecten concrete behoefte was aan beschikbaar toets materiaal vanaf het begin van het eerste semester (september 2011), is in de redactieraad besloten het ontwikkelproces te beginnen met het opstellen van toetsen benodigd in specifieke onderwijsprojecten, om op een later moment voor een verbreding te zorgen. Die keuze heeft een aantal toetsen opgeleverd, waarvan een tweetal als voorbeeld zullen worden ingesloten. De eerste heeft betrekking op formatieve toetsvragen voor de opleiding Levenswetenschappen in Amsterdam. Het betreft hier een Nederlandse meerkeuzetoets (die in een later stadium als Engelstalige toets beschikbaar zal komen). Het tweede voorbeeld is een toets bedoeld om voorkennis onder internationale studenten te meten, gebruikt in Maastricht (in de Engelse taal gesteld, en gebaseerd op het AP statistiek programma, een internationale standaard voor secundair statistiekonderwijs). Beide toetsen zijn toegevoegd.
ONBETWIST
Deliverable 3.8
ONBETWIST
ONBETWIST
ONderwijs verBETeren met WISkunde Toetsen
Deliverable 3.8
Vraag 1. Lichaamstemperatuur van gezonde mensen is normaalverdeeld met gemiddelde van 36.8 ˚C en een standaarddeviatie van 0.35 ˚C. Wat is de kans op een lichaamstemperatuur die lager is dan 36.0 ˚C? a) b) c) d)
P < 0.01 0.01 < P < 0.02 0.02 < P < 0.05 P > 0.05
Comment [mcb1]:
Vraag 2. Beschouw de volgende twee beweringen: I. Bij toenemende steekproefgrootte zal de standaarddeviatie van het steekproefgemiddelde steeds kleiner worden II. Bij toenemende steekproefgrootte zal de verdeling van het steekproefgemiddelde steeds meer een normaalverdeling benaderen. Welke beweringen zijn waar? a) b) c) d)
Alleen bewering I is waar Alleen bewering II is waar I en II zijn beide waar I en II zijn beide niet waar
Vraag 3. Veel krabbensoorten hebben één klauw die duidelijk komen zowel linkshandige als rechtshandige Een onderzoeker neemt een steekproef bij een krabbensoort en vindt 41 linkshandige en 59 krabben. De onderzoeker test de hypothese dat linkshandigheid en rechtshandigheid even vaak gebruikt hierbij de normaalbenadering van de verdeling.
Comment [mcb2]:
groter is. Er krabben voor. bepaalde rechtshandige voorkomen en binomiale
Wat is de juiste gevolgtrekking op grond van deze steekproef? a) b) c) d)
P = 0.036; de nulhypothese wordt verworpen (P < 0.05). P = 0.072; de nulhypothese wordt niet verworpen (P > 0.05). De steekproef is te klein om de normaalbenadering te mogen gebruiken. De steekproef is te groot om de normaalbenadering te mogen gebruiken.
Vraag 4. Beschouw de volgende twee uitspraken: I. Volgens de Centrale Limietstelling zal het gemiddelde van een grote steekproef normaal verdeeld zijn, ongeacht de verdeling van de variabele II. Volgens de Centrale Limietstelling kan een binomiale verdeling benaderd worden als een normaalverdeling, ongeacht de grootte van de steekproef Welke uitspraken zijn waar? a) Alleen bewering I is waar b) Alleen bewering II is waar
Comment [mcb3]:
Comment [mcb4]:
Z
Y np np(1 p)
Comment [mcb5]:
41 50 25
1.8
c) I en II zijn beide waar d) I en II zijn beide niet waar
Vraag 5. IQ is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaarddeviatie 15. Welk deel van de populatie zal een IQ hebben van 119 of hoger? a) Ongeveer 5 procent b) Ongeveer 10 procent c) Ongeveer 15 provent d) Ongeveer 20 procent
Comment [mcb6]:
Vraag 6. Staartlengte van zwarte ratten (rattus rattus) is normaal verdeeld. Een onderzoeker bepaalt bij een steekproef van 9 ratten de staartlengte en vindt een gemiddelde van 15.20 cm met een standdaardeviatie van 2.19 cm. Wat is op grond van deze data het 99% betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde µ? a) 9.56 < µ < 20.84 b) 12.75 < µ < 17.65 c) 12.83 < µ < 17.57 d) 13.32 < µ < 17.08
Comment [mcb7]:
Comment [mcb8]: Comment [mcb9]: Comment [mcb10]:
Vraag 7. Wat is de juiste interpretatie van het betrouwbaarheidsinterval bij de voorgaande vraag ? a) b) c) d)
Er is 99% kans dat het populatiegemiddelde tussen beide grenswaarden ligt In 99% van de steekproeven zal het gevonden betrouwbaarheidsinterval het populatiegemiddelde bevatten Er is 99% kans om een steekproefgemiddelde tussen beide grenswaarden te vinden Geen van bovengenoemde interpretaties is juist
Comment [mcb11]:
Vraag 8. Geboortegewicht is normaalverdeeld met gemiddelde 3339 gram en standaardafwijking 573 gram. Een baby moet uit voorzorg in de couveuse als ze tot de 1% lichtste baby‟s behoort. Onder welk grensgewicht moet een baby in de couveuse? a) b) c) d)
Minder dan 1.7 kg. Minder dan 1.8 kg. Minder dan 1.9 kg. Minder dan 2.0 kg.
Vraag 9. Een onderzoeker wil testen of de lengte van vrouwen uit België afwijkt van de lengte van vrouwen uit Nederland. De gemiddelde lengte van vrouwen uit Nederland is 169.6 cm. De onderzoeker bepaalt de lengte van 100 (aselect gekozen) Belgische vrouwen en vindt een gemiddelde lengte van 168.9 cm met een standaardafwijking van 3.4 cm. Lichaamslengte is een normaalverdeelde variabele. Wat is de juiste conclusie op grond van deze van deze steekproef? a) P=0.021; de nulhypothese dat Belgische vrouwen dezelfde lengte hebben als Nederlandse vrouwen wordt verworpen (P < 0.05). b) P=0.042; de nulhypothese dat Belgische vrouwen dezelfde lengte hebben als Nederlandse vrouwen wordt
Comment [mcb12]:
Y
verworpen (P < 0.05). c) P=0.42; de nulhypothese dat Belgische vrouwen dezelfde lengte hebben als Nederlandse vrouwen wordt niet verworpen (P > 0.05). d) P=0.84; de nulhypothese dat Belgische vrouwen dezelfde lengte hebben als Nederlandse vrouwen wordt niet verworpen (P > 0.05).
Comment [mcb13]: P = 2*tcdf(E9,(168.9-169.6)/0.34,99) (tweezijdig)
Vraag 10. Beschouw de volgende twee beweringen: I. De Student‟s t-verdeling gaat bij een toenemend aantal vrijheidsgraden steeds meer lijken op de standaardnormale verdeling. II. Bij een klein aantal vrijheidsgraden is de Student‟s t-verdeling asymmetrisch. Welke beweringen zijn waar? a) b) c) d)
Alleen bewering I is waar Alleen bewering II is waar I en II zijn beide waar I en II zijn beide niet waar
Comment [mcb14]: I. blz 260 onderaan II. t is altijd symmetrisch
Vraag 11. Hemoglobinegehalte is een normaalverdeelde variabele. Een onderzoeker bepaalt het hemoglobinegehalte van 15 achttienjarige jongens en vindt een gemiddelde van 9.20 mmol/l met een standaarddeviatie van 0.88 mmol/l. Wat is het 95% betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde hemoglobinegehalte? a) b) c) d)
7.28 < μ < 11.12 7.32 < μ < 11.08 8.71 < μ < 9.69 8.75 < μ < 9.64
Vraag 12. Bepaal voor de steekproef van de vorige vraag ook het 95% betrouwbaarheidsinterval voor de standaarddeviatie.
Comment [mcb15]:
Y t ,n1SEY Y t ,n1SEY Comment [mcb16]:
Dit betrouwbaarheidsinterval is: a) b) c) d)
0.47 < σ < 2.19 0.63 < σ < 1.32 0.64 < σ < 1.39 0.68 < σ < 1.28
Vraag 13. Op een groep van 25 proefpersonen wordt een nieuw medicijn getest. Een controlegroep van 19 proefpersonen krijgt een placebo. Een onderzoeker vermoedt dat het medicijn de spreiding van een bepaalde bloedwaarde beïnvloedt. De variantie van deze bloedwaarde is 0.9 in de groep die het medicijn slikt en 1.8 in de groep die de placebo slikt. De onderzoeker voert een F-test uit voor gelijke varianties.
Comment [mcb17]:
(n 1)
s2
02.025,14
,
14
0.88 2 0.88 2 2 14 26.12 5.63
14
,
0.88 2 0.88 2 14 26.12 5.63
Welk van onderstaande kansen correspondeert met de P-waarde? a) b) c) d)
P = P(F(24,18) ≤ 0.5) P = P(F(24,18) ≥ 2) P = 2 * P(F(18,24) ≤ 0.5) P = 2 * P(F(18,24) ≥ 2)
Comment [mcb18]: F 1.8/0.92 komt uit een F(18,24) verdeling
2
Vraag 14. Hieronder staan de lengtes van 7 volwassen mannelijke Orinoco krokodillen (Crocodylus intermedius). 4.68 3.76 4.85 4.94 5.65 3.28 4.27 (in meters) Hoe luidt, op grond van deze metingen, het interval waarbinnen met een betrouwbaarheid van 95% de werkelijke gemiddelde lengte ligt van volwassen mannelijke Orinoco krokodillen? a. [3.84 m, 5.14 m] b. [3.89 m, 5.09 m] c. [3.94 m, 5.04 m] d. [3.99 m, 4.99 m]
Comment [mcb19]:
Vraag 15. Een farmacologisch bedrijf ontwikkelt een nieuw medicijn tegen suikerziekte. Men test het uit op 100 mensen die aan suikerziekte lijden, maar de resultaten maken niet aannemelijk dat het medicijn werkzaam is. Het medicijn wordt dan ook niet op de markt gebracht. Veronderstel dat het medicijn in werkelijkheid wel werkzaam is. Van welke situatie is er dan sprake? a. De nulhypothese is terecht verworpen. b. De nulhypothese is onterecht verworpen. c. De nulhypothese is terecht niet verworpen. d. De nulhypothese is onterecht niet verworpen. Vraag 16. In West-Europa is 65% van de mensen in staat om met hun tong een gootje te vormen („tongrollen‟). Een antropologe vraagt zich af of er in Afrika een soortgelijk percentage geldt. Ze onderzoekt 34 Afrikanen en daarvan blijken er 18 te kunnen tongrollen. Als je op deze gegevens een tweezijdige toets uitvoert, wat vind je dan als P-waarde? a. P=0.0959 b. P=0.1987 c. P=0.5294 d. P=0.8972
Comment [mcb20]:
Comment [mcb21]:
Vraag 17. Van 9 willekeurige, volwassen Nederlanders wordt het IQ bepaald. Uit de verkregen waarden wordt het 95% betrouwbaarheidsinterval opgesteld voor het gemiddelde IQ van volwassen Nederlanders. Dit interval luidt [ 98, 114 ]. Wat is de betekenis van dit interval? a) 95% van alle Nederlanders heeft een IQ dat ligt tussen 98 en 114. b) Bij 95% van alle steekproeven (van 9 volwassen Nederlanders) ligt het steekproefgemiddelde tussen 98 en 114. c) De 9 Nederlanders van wie hier het IQ bepaald werd, hebben een gemiddeld IQ dat ligt tussen 98 en 114. d) Het interval heeft een andere betekenis dan die bij a), b) en c) staat genoemd.
Vraag 18. Oogdiertjes zijn in zoetwater levende eencelligen die random rondzwemmen in slootwater.
Comment [mcb22]:
In het water van een zekere sloot bevinden zich al jaren lang gemiddeld 220 oogdiertjes per liter. Na aanleg van een fabriek die warm koelwater loost in een kanaal dat in verbinding staat met de sloot, komt de temperatuur van het slootwater een kleine graad hoger te liggen. Een micro-bioloog wil nagaan of door de temperatuursverandering het aantal oogdiertjes veranderd is. Hij kan zich zowel voorstellen dat de temperatuurs-verandering geleid heeft tot een hogere sterfte onder de oogdiertjes, als tot een toename van oogdiertjes door verhoogde celdeling. Om dit te onderzoeken schept hij een liter water uit de sloot en telt daarin 185 oogdiertjes. Wat zijn, in het experiment van de microbioloog, de juiste statistische hypothesen en hoe moet de P-waarde berekend worden? Noem X: “aantal oogdiertjes per liter water” a) b) c) d)
H0: m=220, HA: m<220, P=P(X=185 | X is Poissonverdeeld met m=220) H0: m=220, HA: m<220, P=P(X≤185 | X is Poissonverdeeld met m=220) H0: m=220, HA: m≠220, P=2•P(X=185 | X is Poissonverdeeld met m=220) H0: m=220, HA: m≠220, P=2•P(X≤185 | X is Poissonverdeeld met m=220)
Comment [mcb23]:
Vraag 19. Hieronder staan 3 veronderstellingen. Veronderstelling 1: “Er is geen verschil in werkzaamheid tussen aspirine en paracetamol als het gaat om het bestrijden van hoofdpijn.” Veronderstelling 2: “Bij chimpansees komt rechtshandigheid vaker voor dan linkshandigheid.” Veronderstelling 3: “Mensen die op dieet zijn en daarnaast koffie drinken, vallen niet meer of minder af dan mensen die op dieet zijn en nooit koffie drinken.” Welke van deze veronderstellingen kunnen dienen als nulhypothese in een toets? a) b) c) d)
Alleen de veronderstellingen 1 en 2. Alleen de veronderstellingen 1 en 3. Alleen de veronderstellingen 2 en 3. Alle drie de veronderstellingen.
Vraag 20. Uit een Belgisch onderzoek naar allergie bleek dat er van de 1500 ondervraagden 795 een kat als huisdier bezit.
Comment [mcb24]: bij een experiment waarbij twee populaties (situaties, behandelingen) vergeleken worden, is de nulhypothese altijd de veronderstelling dat er geen verschil is (verschil = 0) tussen de twee populaties (situaties, behandelingen); dus alleen veronderstellingen 1 en 3 zijn juist
Kan er met een betrouwbaarheid van 99% worden gesteld dat de proportie Belgen die een kat als huisdier bezit, afwijkt van 0.5? NB1. Je mag zowel de Wald methode als de Agresti-Coull methode gebruiken: beide leveren hetzelfde antwoord op. NB2. Je mag ervan uitgaan dat er aan de voorwaarden om deze methoden te mogen gebruiken, voldaan is. a) Ja, het betreffende betrouwbaarheidsinterval bevat 0.5. b) Ja, het betreffende betrouwbaarheidsinterval bevat 0.5 NIET. c) Nee, het betreffende betrouwbaarheidsinterval bevat 0.5.
Comment [mcb25]: Wald: zie formulekaart, p-dakje=0.53, SE(pdakje)=0.01289098, Z=2.58 geeft [0.497,0.563]; Agresti-Coull, paccent=0.52992021, Z=2.58 geeft [0.497,0.563]
d) Nee, het betreffende betrouwbaarheidsinterval bevat 0.5 NIET. Vraag 21. Beschouw de volgende twee beweringen: I. Met een tekentoets (sign test) kun je bij een niet normaalverdeelde variabele een hypothese toetsen over de ligging van het gemiddelde. II. Met een tekentoets (sign test) kun je bij een niet normaalverdeelde variabele een hypothese toetsen over de ligging van de mediaan. Welke beweringen zijn waar? a) b) c) d)
Alleen bewering I is waar. Alleen bewering II is waar. I en II zijn beide waar. I en II zijn beide niet waar.
Comment [mcb26]: blz 334 bovenaan
Vraag 22. Beschouw de volgende twee uitspraken: I. De power van een non-parameterische toets is over het algemeen lager dan de power van een vergelijkbare parametrische toets II. Bij gepaarde data waarbij de verschillen tussen de meetwaardes niet normaal verdeeld zijn kan een tekentoets (sign test) toegepast worden Welke uitspraken zijn waar? a) Alleen bewering I is waar b) Alleen bewering II is waar c) I en II zijn beide waar d) I en II zijn beide niet waar Vraag 23. Een aantal eerstejaars studenten doet een fietstest. Fietsend op een home trainer wordt de hartslag gemeten bij een traptempo van 80 omwentelingen per minuut. In onderstaande tabel staan de resultaten. – hartslag (slagen/minuut) – geslacht n gemiddelde variantie jongens 11 83.1 70.0 meisjes 43 87.9 70.0 Ga ervan uit dat voor beide groepen hartslag normaalverdeeld is. Kun je op grond van de gegeven informatie de nulhypothese dat bij dit traptempo de gemiddelde hartslag bij jongens en meisjes gelijk is, toetsen met een two sample t-test? a) Ja, en de nulhypothese kan niet worden verworpen (P>0.05). b) Ja, en de nulhypothese kan worden verworpen (P<0.05). c) Het kan wel, maar omdat de steekproeven erg ongelijk zijn van grootte, kun je beter de Mann-Whitney toets gebruiken. d) Nee. Je moet eerst nagaan of de populatievarianties gelijk zijn.
Comment [mcb27]:
Comment [mcb28]:
Stats diagnostic entry test Instructions. Please answer all 10 questions. Some questions can refer to statistics topics you have not been educated before. If so, please do not guess the answer, but choose the last option, 'I don't know'. This test is for diagnostic purposes: for us to receive information to improve our QM1 teaching. And to help you find out how your statistics mastery is, relative to other students. This test being diagnostic implies that you won't get a score, but only feedback on what you master, and what less. Please do not rush through the test: if you provide too many 'do not know answers' for items you in fact master, both you and we get wrong information. Remark: Correct answers in bold. 1. In last year’s mathematics competition, you scored 40. In this year’s mathematics competition, your younger sister scored 35. The average score this year was 34 with a standard deviation of 1. The average score last year was 38 with a standard deviation of 2. Assuming scores of both mathematics competitions are normally distributed, who did score better, relative to the other participants of the mathematics competition, you or your sister? A) You scored better than your sister. B) Your sister scored better than you. C) You and your sister scored equally well. D) Without knowing the number of students taking the competition, it is impossible to determine the better score. 2. Given two events, A and B, if P(A) = 0.40 and P(B) = 0.25, and P(A or B) = 0.60, then the two events are: A) Mutually exclusive and independent. B) Neither mutually exclusive nor independent. C) Mutually exclusive but not independent. D) Not mutually exclusive but independent. 3. An experiment has three mutually exclusive outcomes, A, B, and C. If P(A) = 0.12, P(B) = 0.61, and P(C) = 0.27, which of the following must be true? I. A and C are independent II. P (A and B) = 0 III. P (B or C) = P (B) + P (C) A) I only
B) I and II only
C) I and III only
D) II and III only
4. For a set of values, suppose the mean is 10 and the standard deviation is 2. If each value is multiplied by 5, what will be the mean and standard deviation for this new set of values? A) Mean 10 & standard deviation 2 C) Mean 50 & standard deviation 2
B) Mean 10 & standard deviation 10 D) Mean 50 & standard deviation 10
5. Random variable X is normally distributed with mean 2 and standard deviation 3, and random variable Y is normally distributed with mean 3 and standard deviation 4. If X and Y are independent, Y + X is normally distributed with… A) mean = 5 and standard deviation = 3 B) mean = 5 and standard deviation = 4 C) mean = 5 and standard deviation = 5 D) mean = 5 and standard deviation = 7
6. Let X represent a random variable whose distribution is normal, with a mean of 50 and a standard deviation of 10. Which of the following in equivalent to P(X > 65)? A) P(X < 65)
B) P(X ≤ 65)
C) P(X < 35)
D) 1- P(X < 35)
7. Alexander generates a sample of 25 random integers between 0 and 9 inclusive. He records the number of 4’s in the sample. He repeats this process 49 more times, recording the number of 4’s in each sample. What kind of distribution has he simulated? A) The binomial distribution with n=25 and p=0.1 B) The binomial distribution with n=50 and p=0.1 C) The binomial distribution with n=25 and p=0.4 D) The normal distribution with mean of 25 and a standard deviation of 0.1. 8. Suppose the probability of encountering a European who practices a particular religion is 0.14. What are mean and standard deviation (rounded to 2 decimals) for the number of Europeans in a random sample of 50 who practice this religion? A) Mean 0.14; standard deviation 0.35. B) Mean 0.70; standard deviation 0.35. C) Mean 7.00; standard deviation 0.35. D) Mean 7.00; standard deviation 2.45. 9. In a certain country, a newspaper reports that the average salary of teachers is € 45000. The teachers in the country believe the average salary is less than reported and wish to conduct a significance test. Which of the following hypotheses would be appropriate? A) H0: = 45000 versus Ha: 45000 C) H0: 45000 versus Ha: = 45000
B) H0: = 45000 versus Ha: < 45000 D) H0: < 45000 versus Ha: = 45000
10. An independent research firm conducted a study of 100 randomly selected children who were participating in a program advertised to improve mathematics skills. The results showed no statistically significant improvement in mathematics skills, using = 0.05. The program sponsors complained that the study had insufficient statistical power. Assuming that the program is effective, which of the following would be an appropriate method for increasing the power in this context? A) Increase the sample size to 200 children. B) Use = 0.01 instead of = 0.05. C) Use a two-sided test instead of a one-sided test. D) Use a one-sided test instead of a two-sided test.
