Oleh : Winda Aprianti
Relasi
Definisi Relasi
Relasi antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu (relasi biner). Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A × B). Notasi dari suatu relasi biner adalah a R b atau (a, b) ∈ R. Untuk menyataan bahwa suatu unsur dalam cartesian product bukan merupakan unsur relasi adalah a R b atau (a, b) ∉ R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.
Definisi Relasi
Misalkan A = {2, 3, 4} dan B = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan : (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b Jawaban: Cartesian product A × B adalah : A × B = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 9), (2, 15), (3, 2), (3, 4), (3, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 2), (4, 4), (4, 8), (4, 9), (4, 15)} Dengan menggunakan definisi relasi diatas, relasi R dari A ke B yang mengikuti aturan tersebut adalah : R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15) }
Cara Penyajian Relasi Penyajian Relasi dengan Diagram Panah
Penyajian Relasi berupa Pasangan Terurut R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15)} Penyajian Relasi dengan Tabel Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.
Cara Penyajian Relasi Penyajian relasi dengan matriks
Sifat-sifat Relasi
Refleksi Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A
Simetri Relasi R pada himpunan A disebut simetri jika untuk semua a, b ∈ A, (a, b) ∈R , maka (b, a) ∈ R.
Anti Simetri R disebut tak simetri (anti sysmmetric) untuk a,b ∈A, jika (a, b) ∈ R dan a ≠ b, maka (b,a) ∉ R Transitif
R disebut transitif jika (a, b) ∈R dan (b, c) ∈ R , maka (a, c) ∈R, untuk a, b, c ∈A.
Operasi pada Relasi Jika R1 dan R2 masing-masing merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka R1 ∩ R2 irisan R1 ∪ R2 gabungan R1 – R2 selisih R1 ⊕ R2 beda setangkup
juga adalah relasi merupakan dari A ke B.
Komposisi Relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan R o S, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan sebagai berikut : R o S = {(a,c) | a ∈ A , c ∈ C,dan untuk beberapa b ∈B, (a, b) ∈R dan (b, c) ∈ S }
Relasi Ekivalen dan Relasi terurut parsial
Sebuah relasi pada himpunan A dinamakan relasi ekivalen jika relasi tersebut refleksif, simetri dan transitif. Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi terurut parsial jika relasi tersebut bersifat refleksif, antisimetri dan transitif. Sebuah himpunan S yang dilengkapi dengan sebuah relasi R yang terurut parsial, himpunan tersebut dinamakan himpunan terurut parsial (partially ordering set – poset), Notasi : (S, R).
Aplikasi Relasi pada Komputer?
Fungsi
Definisi fungsi Diberikan dua himpunan A dan B, relasi biner f dari himpunan A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam himpunan A mempunyai pasangan tepat satu elemen himpunan B. Apabila f adalah fungsi dari himpunan A ke B maka notasi fungsinya f:A→B Himpunan A disebut daerah definisi (domain) dan himpunan B disebut daerah hasil (kodomain).
Definisi Fungsi Misalkan f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (preimage) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.
Cara Penyajian Fungsi
Himpunan pasangan terurut.
Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk : f = {(2, 4), (3, 9)}
Formula pengisian nilai (assignment). f(x) = x2 + 10, f(x) = 5x,
Kata-kata
“f adalah fungsi yang memetakan jumlah bilangan bulat menjadi kuadratnya”.
Cara Penyajian Fungsi
Kode program (source code)
Fungsi menghitung |x | (harga mutlak dari).
int abs(int x) { if (x > 0) abs = x; else abs = –x; }
Jenis Fungsi Fungsi injektif Fungsi f dikatakan one-to-one atau injektif (injective) apabila a dan b anggota himpunan A maka f(a) ≠ f(b) bilamana a ≠ b untuk f(a) dan f(b) anggota himpunan B.
Jenis Fungsi Fungsi surjektif Fungsi f dikatakan pada (onto) atau surjektif(surjective) apabila setiap elemen dari himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.
Jenis Fungsi Fungsi Bijektif Fungsi f dikatakan berkorespodensi satu-satu atau bijeksi (bijection) apabila ia fungsi one-to-one dan surjective.
Fungsi Invers Fungsi Invers Apabila f merupakan fungsi berkorespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B maka fungsi tersebut mempunyai invers yaitu f -1(y) = x untuk x ∈ A dan y ∈ B, f -1 merupakan invers dari fungsi f.
Komposisi Fungsi Komposisi dari dua fungsi f dan g dinyatakan f ∘ g, f merupakan fungsi yang memetakan anggota himpunan A ke himpunan B dan fungsi g memetakan anggota himpunan B ke himpunan C. Fungsi dari himpunan A ke himpunan C didefinisikan f ∘ g(x) = f( g(x)), x ∈ A
Beberapa Fungsi Khusus Fungsi khusus yang sering digunakan dalam bahasa pemograman: fungsi floor membulatkan nilai pecahan ke bawah, ⎣x⎦ fungsi ceiling membulatkan nilai pecahan keatas , ⎡x⎤. fungsi modulo fungsi hash ? fungsi faktorial fungsi perpangkatan fungsi logaritmik
