LAPORAN Analisis Perbedaan Rata-Rata Menggunakan Uji Scheffe Laporan ini diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Desain Eksperimen I Dosen : Yeny Krista Franty, S.Si., M.Si.
Oleh: Lulut Sunarya
(140610009007)
Ghufran Rahmat Putra
(140610120039)
Debbiela Fajrina Septierly
(140610120067)
Miranti Nurbayani
(140610120071)
Arief Dwi Kurniawan
(140610120059)
M. Yogi Sumarna
(140610120079)
Jurusan Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran 2014
I.
Landasan Teori Dalam pengujian ANAVA, kita dapat menarik kesimpulan apakah menerima atau
menolak hipotesis. Jika kita menolak hipotesis, artinya pada variabel-variabel yang kita uji terdapat perbedaan yang signifikan. Misalnya, jika kita menguji perbedaan 4 metode mengajar terhadap prestasi siswa, kita bisa menyimpulkan bahwa ada perbedaan dari keempat metode tersebut. Akan tetapi, kita tidak mengetahui, metode manakah yang berbeda dari keempatnya. Secara statistik, kita tidak bisa mengatakan bahwa yang terbaik hanya dengan memperhatikan rata-rata dari setiap metode tersebut. Untuk menjawab pertanyaan metode manakah yang berbeda, maka statistika memiliki teknik uji lanjut untuk mengetahui variabel manakah yang memiliki perbedaan yang signifikan. Ada banyak metode yang ada. Dalam software SPSS terdapat banyak teknik uji lanjut. Di antaranya, jika asumsi homogenitas varian terpenuhi, maka teknik yang bisa dipergunakan adalah LSD (Least Square Differences), Tukey, Bonferoni, Duncan, Scheffe dan lain sebagainya. Dan jika tidak ada asumsi homogenitas varian, maka teknik yang bisa dipergunakan adalah tamhane T2, dunnett's T3, games-howell dan dunnett's C. Jika jumlah n setiap variabel sama, maka teknik yang bisa digunakan adalah LSD, Student Newman-Keuls (SNK) dan Tukey. Akan tetapi jika jumlah n tiap variabel tidak sama, maka kita bisa menggunakan teknik Scheffe. Uji Newman-Keuls digunakan untuk membandingkan pasangan rata-rata perlakuan dengan cara membandingkan setiap dua hasil perlakuan. Sering dikehendaki untuk melakukan perbandingan tidak saja berbentuk pasangan, melainkan merupakan kombinasi linier dari perlakuan, khususnya berbentuk kontras. Uji Scheffe memungkinkan kita untuk melakukan hal ini, meskipun kontrasnya tidak perlu orthogonal. Karena kontras lebih umum daripada perbandingan berpasangan, maka akibatnya uji Scheffe lebih umum digunakan daripada uji Newman-Keuls. Uji Scheffe sendiri dilakukan melalui distribusi probabilitas pensampelan FFisher Snedecor.
II.
Langkah-Langkah Melakukan Pengujian Scheffe
Langkah-langkah yang perlu ditempuh pada metode Scheffe ialah: a. Susunlah kontras Cp yang diinginkan lalu hitung harganya. b. Dengan mengambil taraf signifikan α, derajat kebebasan pembilang v1 = (k – 1) dan penyebut v2 = (Σ ni – k), untuk ANOVA supaya dihitung nilai kritis Fα(V1,V2).
( K s (Cp ) c. Hitung besaran A = dengan F yang didapat dari langkah b.
d. Hitung kekeliruan baku tiap kontras yang akan diuji, dengan rumus
e. Jika harga kontras Cp lebih besar daripada A X s(Cp), maka hasil pengujian
dinyatakan signifikan. Atau, jika [Cp] > A X s(Cp) maka kita tolak hipotesis nol bahwa kontras antara rata-rata sama dengan nol.
III.
Contoh Eksperimen
Contoh eksperimen yang kami ambil untuk dilakukan analisis dengan
menggunakan uji Scheffe adalah sebuah jurnal online berjudul ”Usulan Level Faktor Variasi Bahan untuk Mencapai Kuat Tekan Beton 50 Mpa dengan Metode
Perancangan Eksperimen” yang ditulis oleh KYAGUS ABDUL WAHID, HARI ADIANTO, RISPIANDA dari Jurusan Teknik Industri Institut Teknologi Nasional Bandung yang ditulis pada Bulan Desember 2013.
Tujuan penelitian yang dilakukan penulis adalah mencari level variasi bahan yang tepat untuk mencapai nilai kuat tekan beton sebesar 50 Mpa (MegaPascal) tetapi dengan pertimbangan harga yang ekonomis. Perlu kita ketahui salah satu pendukung dalam pembangunan fasilitas seperti gedung, jalan dan jembatan yang saat ini pembangunannya kian meningkat seiring berkembangnya era globalisasi adalah beton. Beton merupakan campuran antara semen, agregat halus, agregat kasar, air dan bahan tambah lainnya yang disebut aditif. Saat ini Balai Pusat Pemeriksaan dan Penelitian Bangunan Jalan dan Jembatan (PULITBANG) mendapat kesempatan untuk membuat beton yang menggunakan bahan tambah abu sekam padi dan superplasticizer. Beton ini ditargetkan harus mencapai kuat tekan 50 Mpa. Abu sekam padi memiliki kandungan pozzolan yang tinggi sehingga dapat menggantikan berat semen karena semen merupakan komponen termahal dalam beton. Eksperimen perlu dilakukan untuk menemukan komposisi terbaik terhadap bahan beton. Eksperimen yang dilakukan dalam penelitian ini adalah membuat 15 macam campuran beton dari 6 jenis bahan yang digunakan untuk membuat beton. Bahan-bahan tersebut antara lain semen, agregat kasar, agregat halus, air, superplasticiser dan abu sekam padi. Perbedaan satu campuran beton dengan campuran lainnya terletak pada komposisi keenam bahan yang digunakan tersebut. Setiap variasi campuran dibuat menjadi 6 buah beton, jadi dari 15 macam campuran dihasilkan 90 beton yang akan diuji nilai kuat tekanannya dalam MegaPascal (Mpa). Setelah menyusun dan melaksanakan eksperimen, penulis mencatat nilai kuat tekan beton yang dihasilkan dari tiap-tiap variasi campuran beton. Setelah mendapatkan data yang diinginkan, barulah dilakukan analisis untuk mengetahui perbedaan hasil yang diperoleh dari keseluruhan eksperimen. Berikut merupakan hasil tabel yang menampilkan data variasi campuran beton dan nilai kuat tekan beton yang dihasilkan.
Dari 15 macam campuran yang ada, kami hanya mengambil sampel 5 macam campuran saja untuk dijadikan contoh dalam melakukan pengujian Scheffe dikarenakan jumlah perlakuan yang terlalu banyak sehingga sulit untuk dilakukan perhitungan secara manual. Kelima perlakuan yang kami ambil untuk dijadikan contoh adalah: Nilai Kuat Tekan Beton
Total
1 48.01 45.36 42.66 44.56 45.13 47.11 273.83
2 51.13 48.67 46.35 50.03 53.11 49.12 298.41
Rata-Rata
45.47167
49.735
1 2 3 4 5 6
Variasi bahan ke
IV.
Perlakuan 3 41.39 42.08 44.89 42.11 41.16 46.87 258.5 43.0833
4 44.34 40.03 45.22 41.19 45.32 42.51 258.61 43.1016
3
7
5 52.71 51.48 51.12 49.01 47.55 50.03 301.9 50.31667
Penyelesaian A. Perhitungan Manual
HASIL DATA NILAI KUAT BETON (setelah dilakukan penyederhanaan dengan cara mengurangi setiap nilai pengamatan dengan angka 50)
1 2 3 4 5 6 Total Rata - rata
1 -1.99 -4.64 -7.34 -5.44 -4.87 -2.89 -27.17 -4.53
2 1.13 -1.33 -3.65 0.03 3.11 -0.88 -1.59 -0.26
3 -8.61 -7.92 -5.11 -7.89 -8.84 -3.13 -41.5 -6.92
4 -5.66 -9.97 -4.78 -8.81 -4.68 -7.49 -41.39 -6.90
5 2.71 1.48 1.12 -0.99 -2.45 0.03 1.9 0.32
Jumlah
-109.75 -18.29
H0 : τi = 0, tidak terdapat perbedaan efek terhadap nilai kuat tekan beton dari 5 macam variasi bahan H1 : τi ≠ 0, terdapat perbedaan efek terhadap nilai kuat tekan beton dari 5 macam variasi bahan α = 0.05 Untuk menguji pengujian H0 ini, diperlukan: Ry = = 401.5021 Py = + + + + - 401.5021 = 295.1194 ∑Y2 = 141.0279 + 26.8157 + 313.1652 + 309.9035 + 17.7724
= 808.682 Ey = 808.682 – 401.5021 – 295.1194 = 112.0605 Maka diperoleh Daftar ANAVA untuk pengujian H0 diatas dapat dilihat pada tabel di bawah ini: TABEL ANAVA UNTUK NILAI KUAT TEKAN BETON Sumber variasi Rata – rata Variasi Bahan Kekeliruan Total
dk
JK
KT
EKT
1 4 25 30
401.5021 295.1194 112.0605 808.682
401.5021 73.77985 4.4824
-
F 16.4599
Σ2
Dari rumus diperoleh statistik uji F = = 16.4599 . Dengan alpha = 0,05 dan dk v1 = 4, v2 = 25 dari daftar distribusi F didapat F = 2.76. Karena Fhitung = 16.4599 > Fα= 2.76 maka H0 ditolak pada taraf nyata 0.05 dan hasil pengujian bersifat signifikan. Kesimpulannya adalah bahwa kelima variasi bahan memberikan pengaruh yang berbeda terhadap besar daya tekan beton. Karena H0 ditolak diperlukan uji lanjut setelah ANAVA, pada laporan ini akan dibahas mengenai uji Scheffe. Di sini kita akan membandingkan efek rata-rata dari setiap pasangan variasi bahan sehingga diperoleh 10 kontras sebagai berikut. C12 = J1 – J2 = -27.17 – (-1.59) = -25.58 C13 = J1 – J3 = -27.17 – (-41.5) = 14.33 C14 = J1 – J4 = -27.17 – (-41.39) = 14.22 C15 = J1 – J5 = -27.17 – 1.9 = -29.07 C23 = J2 – J3 = -1.59 – (-41.5) = 39.91 C24 = J2 – J4 = -1.59 – (41.39) = 39.8 C25 = J2 – J5 = -1.59 – 1.9 = -3.49 C34 = J3 – J4 =-41.5 – (-41.39) = -0.11 C35 = J3 – J5 =-41.5 – 1.9 = -43.4 C45 = J4 – J5 =-41.39 – 1.9 = -43.29 Dari daftar ANAVA, diperoleh dk v1 = 4, v2 = 25, KT (kekeliruan) = 4.4824, dan untuk alpha = 0.05 diperoleh F = 2.76, Sekarang dihitung : A = = 3.3226 dan s(C12) = s(C13) = s(C14) = s(C15) = s(C23) = s(C24) = s(C25) = s(C34) = s(C35) = s(C45)
= = 7.3341 Maka selanjutnya kalikan nilai A dengan s(Cp). A x s(Cp) = 3.3226 x 7.3341 = 24.3683 Bandingkan nilainya dengan nilai │Cp│ : C12 : 25.58 > 24.3683 signifikan C13 :14.33 < 24.3683 tidak signifikan C14 :14.22 < 24.3683 tidak signifikan C15 :29.07 > 24.3683 signifikan C23 :39.91 > 24.3683 signifikan C24 :39.8 > 24.3683 signifikan C25 :3.49 < 24.3683 tidak signifikan C34 :0.11 < 24.3683 tidak signifikan C35 :43.4 > 24.3683 signifikan C45 :43.29 > 24.3683 signifikan Dari hasil perhitungan di atas dapat dilihat bahwa C12, C15, C23, C24, C35 dan C45 dinyatakan memiliki perbedaan yang signifikan. Artinya, bahwa terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan terhadap besar daya tekan beton di antara variasi bahan 1 dan 2, 1 dan 5, 2 dan 3, 2 dan 4, 3 dan 5 serta 4 dan 5. Sedangkan variasi bahan yang lain tidak begitu memberikan perbedaan yang berarti. B. Perhitungan Menggunakan SPSS 1. Input data dalam Ms. Excel sebagai berikut Yij
Ki -1.99 -4.64 -7.34 -5.44 -4.87 -2.89 1.13 -1.33 -3.65 0.03 3.11 -0.88 -8.61 -7.92 -5.11 -7.89
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
-8.84 -3.13 -5.66 -9.97 -4.78 -8.81 -4.68 -7.49 2.71 1.48 1.12 -0.99 -2.45 0.03 2. Melakukan pengujian normalitas
3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5
Tests of Normality Kolmogorov-Smirnova Statisti c Yij
.104
df
Sig. 30
.200*
Shapiro-Wilk Statisti c
df
.962
Sig. 30
.350
*. This is a lower bound of the true significance. a. Lilliefors Significance Correction Keluaran pada gambar di atas menunjukkan uji normalitas data Yij. Pengujian dengan SPSS berdasarkan pada uji Kolmogorov –Smirnov dan Shapiro - Wilk. Pilih salah satu misalnya Kolmogorov –Smirnov. Hipotesis yang diuji adalah: H0 : Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal H1 : Sampel tidak berasal dari populasi berdistribusi normal α = 0.05 Dengan demikian, normalitas dipenuhi jika hasil uji tidak signifikan untuk taraf signifikansi
α = 0.05. Sebaliknya, jika hasil uji signifikan maka
normalitas tidak terpenuhi. Pada hasil di atas diperoleh taraf signifikansi (sig.) untuk daya tekan beton adalah 0.20. Dengan demikian data berasal dari populasi yang berdistribusi normal pada taraf signifikansi 0.05. 3. Melakukan pengujian homogenitas varians
Test of Homogeneity of Variance Levene Statistic
Yij
df1
df2
Sig.
Based on Mean
.253
4
25
.905
Based on Median
.135
4
25
.968
Based on Median and with adjusted df
.135
4
19.076
.967
Based mean
on
trimmed
.226
4
25
.921
Hipotesis yang diuji ialah: H0 : Variansi pada tiap kelompok sama (homogen) H1 : Variansi pada tiap kelompok tidak sama (tidak homogen) α = 0.05 Dengan demikian, kehomogenan dipenuhi jika hasil uji tidak signifikan untuk taraf signifikasi α = 0.05. Sebaliknya, jika hasil uji signifikan maka kehomogenan tidak terpenuhi. Ternyata pengujian dengan statistik
Based
on Mean diperoleh signifikansi 0,905, jauh melebihi 0,05. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa data penelitian di atas homogen.
4. Melakukan Pengujian ANAVA Between-Subjects Factors Ki
N
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: Yij Source
Type III Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
Corrected Model
295,119a
4
73,780
16,459
,000
Intercept
401,502
1
401,502
89,570
,000
Ki
295,119
4
73,780
16,459
,000
Error
112,063
25
4,483
Total
808,685
30
Corrected Total
407,183
29
a. R Squared = ,725 (Adjusted R Squared = ,681)
Interpretasi hasil: H0 : τi = 0, tidak terdapat perbedaan efek terhadap nilai kuat tekan beton dari 5 macam variasi campuran bahan H1 : τi ≠ 0, terdapat perbedaan efek terhadap nilai kuat tekan beton dari 5 macam variasi campuran bahan α = 0.05 dari hasil perhitungan SPSS di atas terlihat bahwa nilai sig. yang dihasilkan adalah , 000, jauh melebihi 0.05 sehingga H0 ditolak yang artinya terdapat perbedaan nilai kuat tekan beton dari kelima macam variasi campuran bahan. 5. Analisis dengan Uji Scheffe Karena hasil perhitungan ANAVA menunjukkan adanya perbedaan efek yang dihasilkan, maka dilakukan uji lanjut setelah ANAVA yakni dengan uji Scheffe. Multiple Comparisons Dependent Variable: Yij Scheffe (I) Ki
1
2
(J) Ki
Mean Difference (I-J)
Std. Error
Sig.
95% Confidence Interval Lower Bound
Upper Bound
2
-4.2633* 1.22236
.036
-8.3239
-.2028
3
2.3883 1.22236
.450
-1.6722
6.4489
4
2.3700 1.22236
.457
-1.6905
6.4305
.013 .036 .000 .000 .994
-8.9055 .2028 2.5911 2.5728 -4.6422
-.7845 8.3239 10.7122 10.6939 3.4789
5 1 3 4 5
-4.8450* 4.2633* 6.6517* 6.6333* -.5817
1.22236 1.22236 1.22236 1.22236 1.22236
3
4
5
1 2 4 5 1 2 3 5 1
-2.3883 -6.6517* -.0183 -7.2333* -2.3700 -6.6333* .0183 -7.2150* 4.8450*
1.22236 1.22236 1.22236 1.22236 1.22236 1.22236 1.22236 1.22236 1.22236
.450 .000 1.000 .000 .457 .000 1.000 .000 .013
-6.4489 -10.7122 -4.0789 -11.2939 -6.4305 -10.6939 -4.0422 -11.2755 .7845
1.6722 -2.5911 4.0422 -3.1728 1.6905 -2.5728 4.0789 -3.1545 8.9055
2
.5817 1.22236
.994
-3.4789
4.6422
3
7.2333* 1.22236
.000
3.1728
11.2939
4
7.2150* 1.22236
.000
3.1545
11.2755
Based on observed means. The error term is Mean Square(Error) = 4.483. *. The mean difference is significant at the 0.05 level. Interpretasi hasil: Sama
seperti
pada
hasil
perhitungan
secara
manual,
jika
kita
membandingkan nilai signifikansi dari setiap pasangan perlakuan di atas maka dapat disimpulkan bahwa pasangan-pasangan perlakuan 1 dan 2, 1 dan
5, 2 dan 3, 2 dan 4, 3 dan 5 serta 4 dan 5 memberikan perbedaan efek yang cukup signifikan karena nilai signifikansi dari setiap pasangan perlakuan tersebut lebih kecil dari α = 0.05. Dengan kata lain, terdapat perbedaan yang signifikan terhadap nilai kuat tekan beton yang dihasilkan oleh pasangan variasi campuran beton nomor 1 dan 2, 1 dan 5, 2 dan 3, 2 dan 4, 3 dan 5 serta 4 dan 5. Sedangkan variasi campuran beton lain tidak memberikan perbedaan efek yang berarti.
V. Kesimpulan Baik hasil perhitungan manual maupun SPSS hasil pengujian mengindikasikan bahwa terdapat perbedaan yang signifikan terhadap nilai kuat tekan beton yang dihasilkan oleh pasangan variasi campuran beton nomor 1 dan 2, 1 dan 5, 2 dan 3, 2 dan 4, 3 dan 5 serta 4 dan 5. Sedangkan variasi campuran beton lain tidak memberikan perbedaan efek yang berarti.
Daftar Pustaka
Wahid, K A Hari Adianto dan Rispianda. 2013. Usulan Level Faktor Variasi Bahan untuk Mencapai Kuat Tekan Beton 50 Mpa dengan Metode Perancangan Eksperimen. Jurusan Teknik Industri ITENAS Bandung. Sudjana. 2002. Desain dan Analisis Eksperimen. Bandung: Penerbit Tarsito.
Lampiran
