Oleh : Harifa Hanan Yoga Aji Nugraha Gempur Safar Rika Saputri Arya Andika Dumanauw

Oleh : Harifa Hanan Yoga Aji Nugraha Gempur Safar Rika Saputri Arya Andika Dumanauw

Dosen : Dr.rer.nat. Dedi Rosadi, S.Si., M.Sc. Program Studi Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada 2009

Expected Tail Loss Expected Tail Loss (ETL) merupakan ukuran resiko yang sifatnya diturunkan untuk distribusi kerugian. ETL atau juga dikenal dengan Conditional VaR (CVaR) secara umum didefenisikan sebagai ekspektasi ukuran resiko yang nilainya di atas Value at Risk (VaR), yaitu: ETL = E (L | L > VaR)

Pada grafik terlihat bahwa CVaR lebih besar dari VaR, pada distribusi kerugian, nilai CvaR terletak di sebelah kanan nilai VaR.

Misalkan

f(x,y)

merupakan

fungsi

kerugian

yang

tergantung pada vektor penentu x=(x1, … , xn) dan vektor random y=(y1, … , ym) VaR = α-persentil dari distribusi kerugian (sebuah nilai terkecil sehinggaprobabilitas bahwa kerugian melebihi atau sama dengan nilai ini adalah lebih besar atau sama dengan α) CVaR+ ( "atas CVaR") = diharapkan kerugian melebihi VaR (juga disebut rata-rata kerugian dan kekurangan yang Diharapkan)

CVaR- ("lebih rendah dari CVaR") = diharapkan kerugian melebihi VaR, yaitu, diharapkan kerugian yang sama dengan atau melebihi VaR (juga disebut Tail VaR) CVaR adalah rata-rata terbobot VaR dan CVaR +

CVaR = λ VaR + (1- λ) CVaR+ , 0 ≤λ ≤1

(lebih lengkap pada Uryasev (2000))

Pendekatan untuk menghitung nilai ETL dapat dilakukan dengan menghitung rata-rata nilai VaR untuk sejumlah      , i 1,2, ... ,(n  1) n

nilai interval konfidensi 1 – αk , dengan 0   k  

Untuk suatu bilangan bulat n yang cukup besar yang biasanya disarankan n>50.

Incremental VaR (IVaR) Incremental VaR adalah perubahan nilai resiko portfolio yang

disebabkan

oleh

perubahan

pada

portfolio,

khususnya pada penambahan sejumlah aset dalam protofolio, sehingga ukuran posisi portofolio berubah.

Berdasarkan

nilainya

IVaR

dapat

diklasifikasikan

kedalam 3 kemungkinan, yaitu : 1.

Nilai IVaR besar, artinya nilai portofolio yang baru tidak mengurangi nilai resiko.

2.

Nilai IVaR sedang, artinya perubahan posisi portofolio tidak mengurangi resiko tetapi menambah resiko dalam jumlah yang tidak begitu besar.

3.

Nilai IVaR negatif, artinya jenis aset yang dipilih untuk portofolio yang baru mengurangi nilai VaR portofolio total, sehingga bentuk portofolio yang baru lebih baik digunakan.

Estimasi IVaR dapat menggunakan dua pendekatan, yaitu: 1.

Pendekatan Brute Force Pedenkatan ini dilakukan denga menghitung selisih antara nilai VaR untuk posisi portofolio yang baru dengan nilai VaR untuk posisi portofolio sebelumnya. IVaR = VaR (p+a) – VaR (p)

2.

Metode Aproksimasi delVar Metode ini menggunakan pendekatan Deret Taylor, dapat di jelaskan sebagai berikut : Misal kita memiliki portofolio p dan ingin menghitung IVaR dengan menambahkan sebuah posisi a pada protofolio tersebut. Misalkan portofolio p memiliki N asset dengan vektor bobot adalah [w1, w2, … , wN] dan portofolio baru memiliki vektor bobot [w1, +Δw1, … , wN, +ΔwN]. Selanjutnya VaR portofolio yang baru (VaR (p+a))

dihitung dengan mengunakan pendekatan

deret Taylor order pertama di sekitar VaR (p) : n

VaR ( p  a)  VaR ( p)   VaR wi dwi i 1

Maka IVaR dengan perubahan posisi a adalah : IVaR (a) = VaR (p+a) – VaR (p) Persamaan tesebut juga dapat ditulis sebagai : IVaR (a) ≈ ΔVaR (p) dw Dimana dw adalah transpose dari vektor 1 x n[dw1,…,dwn] dan ΔVaR (p) disebut ‘delVaR’ yaitu vektor 1 x n yang merupakan turuan parsial dari VaR (p). Untuk mencari ΔVaR (p) kita menggunakan marginal VaR, ΔVaRi (p), dengan mengambil persamaan : N

N

N

VaR ( R p )   ( R p )   wi  i  2 wi w j  ij 2

2

2

i 1

i 1 j 1

maka  ( R p ) 2

w

i

 2 wi  2 2 i

N

w 

i 1, j 1

j

ij

N     2 cov  Ri , wi Ri   w j R j   2 cov ( Ri , R p ) j 1  

 ( R p ) 2 R p  R p   Dimana kita mengetahui bahwa

w

w

i

i

Dari kedua persamaan tersebut diperoleh persamaan :  ( R p ) cov Ri , R p   Rp wi

   

Marginal VaR dapat dirumuskan sebagai berikut :

VaRi 

 R p  cov Ri , R p  VaR  Z1  Z1 wiW0 wi  R p 

Diketahui koefisien aset ke-i dalam portofolio adalah

i 

cov Ri , R p 

 2 R p 

atau dalam notasi matriks  

w w w '

Sehingga dapat disimpulkan hubungan antara ΔVaRi dan β adalah :

VaRi  Z1  i  R p  maka, VaR ( p ) 

VaR i W0 

Z1  w

w  w

1

T

sehingga : IVaR (a ) 

2

Z1  w

w  w T

1

dw

2

Dimana w adalah matriks aset portfolio awal, dw adalah transpose matriks selisih bobot portfolio baru dengan portfolio awal, dan Σ adalah matriks variansi kovariansi

Component VaR (CVaR) Component VaR atau CVaR adalah besarnya kontribusi resiko suatu aset terhadap resiko total. Contohnya, jika kita mempunyai portofolio yang terdiri dari beberapa aset, maka portofolio dapat dibagi ke dalam beberapa komponen. Jadi, CVaR menerangkan kontribusi VaR dari masing-masing

aset terdapat VaR

keseluruhan dari

portofolio. CVaR = ΔVaRi x wiW0 = VaR βiwi Karena portofolio adalah jumlahan linier dari setiap aset, maka VaR adalah jumlahan linier dari CVaRi : n

VaR ( p)   CVaRi i 1

Di mana, CVaR = βiwi VaR (p) dan wi adalah bobot pada aset ke-i dalam portofolio, βi adalah koefisien beta dari aset ke-I dalam portofolio, atau :

 i, p  i  2 di mana  i , p adalah ko var iansi antara return p aset ke  i dengan return portofolio

Kontribusi (dalam persen) dari komponen ke-i terhadap VaR keseluruhan adalah : n 1 n 1 %CVaRi  CVaRi   VaR i 1 i 1

Berdasarkan nilainya, CVaR juga dapat diklasifikasikan ke dalam 3 kemungkinan, yaitu : 1.

Nilai CVaR besar, artinya kontribusi VaR tersebut juga besar terhadap VaR keseluruhan

2.

Nilai CVaR sedang, artinya kontribusi resiko aset terhadap portofolio sedang.

3.

Nilai CVaR negatif, artinya perdagangan yang lazim yang menutupi kerugian resiko portofolio.