oleh AHMAD ISNAINI HASAN NIM. M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PERBANDINGAN PENAKSIR METODE KAPLAN-MEIER DAN METODE MODIFIKASI KAPLAN-MEIER PADA ANALISIS TAHAN HIDUP PENDERITA LEUKEMIA DI RSUD Dr. MOEWARDI SURAKARTA

oleh AHMAD ISNAINI HASAN NIM. M0106024

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2011 commit to user

i


digilib.uns.ac.id

commit to user

ii


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK Ahmad Isnaini Hasan, 2011. PERBANDINGAN PENAKSIR METODE KAPLAN-MEIER DAN METODE MODIFIKASI KAPLAN-MEIER PADA ANALISIS TAHAN HIDUP PENDERITA LEUKEMIA DI RSUD Dr. MOEWARDI SURAKARTA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Leukemia merupakan penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah putih yang sangat cepat dan tidak terkendali. Probabilitas tahan hidup penderita leukemia dapat dicari dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier. Penelitian ini membandingkan estimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia menggunakan penaksir metode KaplanMeier dan dengan metode modifikasi Kaplan-Meier. Penaksir Kaplan-Meier dimodifikasi dengan menggunakan pendekatan dari fungsi tahan hidup distribusi Weibull. Berdasarkan hasil penelitian diketahui bahwa nilai estimasi dengan penaksir modifikasi Kaplan-Meier terlihat lebih baik dan lebih masuk akal dibanding penaksir Kaplan-Meier. Selain itu dari studi simulasi diketahui bahwa nilai mean square error (MSE) dari penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier lebih kecil daripada metode Kaplan-Meier. Hal ini menunjukkan bahwa penaksir modifikasi Kaplan-Meier lebih baik dibanding penaksir Kaplan-Meier biasa. Kata kunci : leukemia, probabilitas tahan hidup, penaksir Kaplan-Meier, MSE.

commit to user

iii


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT Ahmad Isnaini Hasan, 2011. COMPARISON OF ESTIMATOR WITH KAPLAN–MEIER METHOD AND MODIFICATION OF KAPLAN–MEIER METHOD ON SURVIVAL ANALYSIS FROM LEUKEMIA PATIENTS IN Dr. MOEWARDI PUBLIC HOSPITAL, SURAKARTA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Leukemia is a disease signed of very fast and uncontrolled leukocytes addition. Survival probability of leukemia patients can be found by Kaplan – Meier method and modification of Kaplan – Meier method. This research compare survival functions estimation on the leukemia patients using KaplanMeier method and modification of Kaplan-Meier method. Kaplan-Meier estimator will be modified using approximation of survival function by Weibull distribution. Based on this research results, it is known that the estimation value using modification of Kaplan-Meier estimator is better and more reasonable than Kaplan-Meier estimator. Therefore, from simulation study it is known that the MSE of estimator with modification of Kaplan-Meier method is smaller than Kaplan-Meier method. It shows that modification of Kaplan-Meier estimator is better than the original Kaplan-Meier estimator. Keywords : leukemia, survival probability, Kaplan-Meier method, MSE.

commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

MOTO Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaan sesuatu kaum sebelum mereka mengubah keadaan yang ada pada diri mereka sendiri (Q.S. Ar Ra’d : 11)

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk Ayah ibuku tercinta yang telah membimbingku dari kecil hingga saat ini Kakak dan adikku tersayang yang telah memberi semangat dan doa commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan banyak kenikmatan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Drs. Sugiyanto, M.Si. sebagai dosen Pembimbing I dan Drs. Muslich, M.Si. sebagai dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis selama menyelesaikan skripsi ini, 2. Pihak RSUD Dr. Moewardi Surakarta, 3. Nurul ‘Azizah Rahmawati yang selalu memberi motivasi saat penulis kehilangan semangat, 4. Drajat, Markus, Ahmad, Anam, Wawan Yudha, Anis serta semua temanteman angkatan 2006 atas kerjasama dan bantuan yang diberikan saat penulis menghadapi kendala dalam penyusunan skripsi ini, 5. Semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebut satu per satu. Semoga Allah SWT membalas semua kebaikan yang telah mereka berikan selama ini dan semoga skripsi ini dapat memberi manfaat.

Surakarta, Desember 2011 Penulis

commit to user

vii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL...........................................................................................

i

PENGESAHAN ..................................................................................................

ii

ABSTRAK .......................................................................................................... iii ABSTRACT .......................................................................................................... iv MOTO .................................................................................................................

v

PERSEMBAHAN ............................................................................................... vi KATA PENGANTAR ........................................................................................ vii DAFTAR ISI ....................................................................................................... viii DAFTAR TABEL ...............................................................................................

x

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xi BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................

1

1.1 Latar Belakang ........................................................................................

1

1.2 Perumusan Masalah ................................................................................

2

1.3 Batasan Masalah......................................................................................

2

1.4 Tujuan Penelitian ....................................................................................

3

1.5 Manfaat Penelitian ..................................................................................

3

BAB II LANDASAN TEORI ...........................................................................

4

2.1 Tinjauan Pustaka .....................................................................................

4

2.2 Teori-Teori Penunjang ............................................................................

5

2.2.1 Leukemia .......................................................................................

6

2.2.2 Konsep Dasar Statistika ................................................................

7

2.2.3 Konsep Dasar Analisis Tahan Hidup ............................................

8

2.2.3.1 Model Kontinu ..................................................................

8

2.2.3.2 Model Diskrit ....................................................................

9

2.2.3.3 Jenis-Jenis Sensor ............................................................. 10 2.2.3.4 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Weibull ........................... 11 2.2.3.5 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Eksponensial................... 12 2.2.4 Metode Maksimum commit Likelihood ..................................................... 12 to user

viii


digilib.uns.ac.id

2.2.5 Penaksir Kaplan-Meier.................................................................. 13 2.2.6 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier ............................................... 13 2.2.6.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 .......... 14 2.2.6.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 > 2 .......... 15 2.3 Kerangka Pemikiran ................................................................................ 16 BAB III METODE PENELITIAN

............................................................ 18

BAB IV PEMBAHASAN.................................................................................. 19 4.1 Deskripsi Data ......................................................................................... 19 4.2 Penaksir Kaplan-Meier ........................................................................... 19 4.3 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier ......................................................... 21 4.3.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 ........................ 22 4.3.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 ........................ 24 4.4 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia ....................... 26 4.4.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Kaplan-Meier ................................................................. 26 4.4.2 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Modifikasi Kaplan-Meier .............................................. 28 4.5 Studi Simulasi ......................................................................................... 29 BAB V PENUTUP ............................................................................................. 32 5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 32 5.2 Saran ........................................................................................................ 32 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 33 DAFTAR LAMPIRAN ..................................................................................... 35

commit to user

ix


digilib.uns.ac.id

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Ringkasan data penderita Leukemia Limfositik Akut ........................ 19

commit to user

x


digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan 𝐾𝑀 ....................... 27 Gambar 4.2 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 dan 𝑀 = 3 ....................................... 28 Gambar 4.3 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM, 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 ............................................................................. 29 Gambar 4.4 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup Data Simulasi dengan 𝑆 𝑡 , 𝐾𝑀(𝑡) , 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 ...................................... 30 Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Nilai MSE 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 .......... 31

commit to user

xi


digilib.uns.ac.id

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah Analisis statistik yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup dinamakan analisis tahan hidup. Waktu hidup didefinisikan sebagai variabel random nonnegatif sehingga analisis tahan hidup adalah suatu analisis statistik pada variabel random nonnegatif yang berfungsi untuk mengetahui ketahanan hidup suatu obyek yang diteliti. Salah satu metode analisis tahan hidup adalah estimasi fungsi tahan hidup. Fungsi tahan hidup didefinisikan sebagai probabilitas tahan hidup sampai waktu tertentu (Lawless, 1982). Data tidak tersensor yang disebut data lengkap lebih baik digunakan dalam analisis tahan hidup karena dapat memberikan informasi terhadap ketahanan hidup semua unit dalam sampel. Akan tetapi, dalam melakukan suatu penelitian yang berhubungan dengan waktu hidup, sering dijumpai kendala-kendala antara lain keterbatasan dana, waktu, dan tenaga sehingga sulit mendapatkan data lengkap. Oleh karena itu, data waktu hidup biasanya merupakan data tak lengkap atau data tersensor (Nelson, 1982). Salah satu permasalahan yang menyangkut tahan hidup dijumpai dalam bidang kesehatan, sebagai contoh penyakit leukemia (kanker darah). Leukemia merupakan suatu penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah putih (leukosit) pada penderita. Pertambahan ini sangat cepat dan tidak terkendali serta bentuk sel-sel darah putihnya tidak normal. Penyakit leukemia memberi andil sebesar empat persen dari seluruh penyakit kanker penyebab kematian pada manusia (Yatim, 2003). Agar angka tersebut tidak terus bertambah maka ketepatan dalam pemberian obat atau perawatan terhadap pasien menjadi sangat penting dan tidak lepas dari pengamatan tentang waktu hidup pasien Fungsi tahan hidup penderita leukemia dapat diestimasi dengan menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier. Kelebihan dari penaksir KaplanMeier adalah dapat digunakan untuk data yang tersensor (Lawless, 1982). Data user yang hilang dalam penelitian, yang tersensor dapat diartikan commit sebagaito data

1

2 digilib.uns.ac.id


misalnya seorang pasien yang telah dikenai perlakuan dan sedang dalam masa penelitian menghilang, mungkin karena pindah rumah sakit atau alasan lain. Menurut Rossa dan Zielinski (2002), penaksir Kaplan-Meier juga mempunyai kelemahan, yaitu pada sampel yang kecil dan menengah dimana jarak antara dua waktu yang berurutan, misalnya 𝑡1 dan 𝑡2 (dengan 𝑡1 < 𝑡2 ) dan selang waktu 𝑡1 dan 𝑡2 cukup besar maka nilai penaksir Kaplan-Meier 𝐾𝑀(𝑡1 ) dan 𝐾𝑀(𝑡2 ) akan mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama 𝐾𝑀 𝑡1 = 𝐾𝑀(𝑡2 ). Untuk mengatasi masalah ini Rossa dan Zielinski (2002) melakukan modifikasi terhadap penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan dari distribusi Weibull. Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dinotasikan dengan 𝑆𝑀 (𝑡). Nilai 𝑆𝑀 (𝑡) merupakan penaksir untuk nilai 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) yang berbasis pada M persekitaran pada 𝑡, nilai M dapat dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3, …. Rossa dan Zielinski (2002) menggunakan metode modifikasi Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan hidup pada data leukemia hasil penelitian Freireich (1963). Oleh karena itu penulis tertarik untuk mengaplikasikan penelitian Rossa dan Zielinski (2002) dengan membandingkan metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier pada analisis tahan hidup penderitan leukemia di RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Selain menggunakan data penderita leukemia, pada penelitian ini juga menggunakan data dari simulasi agar perbedaan hasil estimasi antara kedua penaksir tersebut semakin terlihat jelas.

1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, maka perumusan masalahnya adalah bagaimana menentukan estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan dengan metode modifikasi Kaplan-Meier baik pada penderita leukemia maupun pada data simulasi serta bagaimana perbandingan kedua penaksir tersebut.

1.3 Batasan Masalah Agar tidak memperluas pembahasan, maka penelitian ini dibatasi pada hal commit to user berikut :

3 digilib.uns.ac.id


1. Data yang digunakan adalah data penderita Leukemia Limfositik Akut (LLA) yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta dan data simulasi berdistribusi eksponensial yang dibangkitkan secara random dengan software R. 2. Estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode modifikasi KaplanMeier hanya untuk 𝑀 = 2 dan 3.

1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah menentukan estimasi fungsi tahan hidup pada data penderita leukemia dan data simulasi dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi KaplanMeier serta membandingkan hasil estimasi dari kedua penaksir tersebut.

1.5 Manfaat Penelitian Penelitian diharapkan dapat menambah wawasan dalam bidang statistika dan kesehatan. Dalam bidang statistika, dapat menerapkan atau mengaplikasikan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier pada suatu penyakit. Dalam bidang kesehatan, setelah diketahui probabilitas tahan hidup penderita leukemia diharapkan pihak rumah sakit dapat lebih waspada dan meningkatkan pelayanan medis terhadap penderita leukemia.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB II LANDASAN TEORI Pada bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi hasil-hasil penelitian sebelumnya yang menjadi dasar penelitian ini. Pada bagian kedua dari bab ini diberikan teori-teori penunjang yang berisi definisi dan teori yang mendukung dalam mencapai tujuan penulisan. Pada bagian ketiga dari bab ini disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini.

2.1 Tinjauan Pustaka dfd Menurut Belson (2007) berdasarkan karakteristik sosiodemografi (variabel orang), leukemia pada umumnya terjadi pada usia dibawah 15 tahun dan puncaknya terjadi pada umur 2-5 tahun, kasus lebih banyak terjadi pada laki-laki daripada perempuan. Dari penelitian yang dilakukan di Amerika ditemukan bahwa leukemia lebih banyak terjadi pada anak dengan ras kaukasoit (kulit putih) dibandingkan dengan ras lain. Mahoney (1955) menyebutkan bahwa tingkat resiko leukemia pada orang yang tinggal 1.000 m dari daerah ledakan bom atom Hiroshima dan Nagasaki 20 kali lipat lebih tinggi dibandingkan populasi umum (di luar daerah tersebut). Kejadian lain adalah bencana radioaktif Chernobyl yang menyebabkan tanah, air dan tanaman terkontaminasi bahan radioaktif pada sebagian besar wilayah Eropa Timur. Negara Belarusia, Rusia dan Ukraina adalah negara yang paling banyak terkontaminasi. Negara-negara ini menjadi tempat dimana banyak ditemukan kasus leukemia. Kent et al. (2009) menyebutkan bahwa di California, leukemia merepresentasikan masing-masing sebesar 35%, 5% dan 2% pada seluruh penyakit kanker pada usia 0-14 tahun, 15-29 tahun dan 30-39 tahun. Kent et al. (2009) melakukan penelitian pada 7.688 kasus leukemia yang terjadi pada penderita berusia 0-39 tahun. Penelitian dilakukan menggunakan metode Kaplancommit user mengestimasi Hazard ratio. Meier dan regresi Cox proporsional hazardtountuk

4

5 digilib.uns.ac.id


Bhatia et al. (2002) melakukan penelitian tentang perbedaan antara ras dan etnik dalam ketahanan hidup pada anak penderita Leukemia Limfobastik Akut dengan menggunakan metode Kaplan-Meier. Sebanyak 8762 anak dari berbagai ras meliputi 6703 ras kulit putih, 1071 Hispanic, 506 kulit hitam, 167 Asia dan 315 dari campuran berbagai ras. Salah satu hasil dari penelitian tersebut adalah terdapat perbedaan daya tahan hidup dari penderita Leukemia antara masingmasing ras dan etnik. Penelitian ini akan mengembangkan penelitian yang sudah dilakukan oleh Kent et al. (2009) dan Bhatia et al. (2002). Dua penelitian tersebut masih menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan hidup. Penelitian ini akan membandingkan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi penaksir Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia. Data pasien penderita leukemia diambil dari RSUD Dr.Moewardi. Selain itu dalam penelitian ini juga akan dilakukan simulasi agar perbedaan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi penaksir Kaplan-Meier semakin terlihat jelas.

2.2 Teori-Teori Penunjang Teori-teori yang relevan dengan pembahasan diperlukan untuk mencapai tujuan penelitian. Teori-teori tersebut meliputi penyakit leukemia, konsep dasar statistika, konsep dasar analisis tahan hidup, jenis-jenis sensor, metode maksimum Likelihood, Estimasi Kaplan-Meier dan modifikasi dari Estimasi Kaplan-Meier.

2.2.1

Leukemia

Leukemia merupakan suatu penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah putih (leukosit) pada penderita. Pertambahan ini sangat cepat dan tidak terkendali serta bentuk sel-sel darah putihnya tidak normal. Penyebab leukemia belum diketahui secara pasti tetapi diperkirakan bukan berasal dari penyebab tunggal melainkan gabungan dari beberapa faktor antara lain karena terinveksi virus, faktor keturunan ataupun karena zat kimia tertentu. commit to user (Yatim, 2003)


6 digilib.uns.ac.id

Leukemia dapat diklasifikasikan atas dasar perjalanan alamiah penyakit yaitu leukemia akut dan kronis. Leukemia akut ditandai dengan suatu perjalanan penyakit yang sangat cepat, mematikan, dan memburuk. Apabila tidak segera diobati, maka penderita dapat meninggal dalam hitungan minggu hingga hari. Sedangkan leukemia kronis memiliki perjalanan penyakit yang tidak begitu cepat sehingga memiliki harapan hidup yang lebih lama, hingga lebih dari 1 tahun bahkan ada yang mencapai 5 tahun. Ketika leukemia mempengaruhi limfosit atau sel limfoid, maka disebut leukemia limfositik dan ketika leukemia mempengaruhi sel mieloid seperti neutrofil, basofil, dan eosinofil, maka disebut leukemia meilositik (Berita Kesehatan). Berdasarkan dua klasifikasi tersebut maka leukemia dapat dibagi menjadi empat yaitu : 1. Leukemia Limfositik Akut (LLA) Leukemia Limfositik Akut (LLA) adalah suatu penyakit yang berakibat fatal, dimana sel-sel yang dalam keadaan normal berkembang menjadi limfosit berubah menjadi ganas dan dengan segera akan menggantikan selsel normal di dalam sumsum tulang. Penyakit LLA merupakan leukemia yang paling sering terjadi pada anak-anak, leukemia jenis ini merupakan 25% dari semua jenis kanker yang mengenai anak-anak dibawah umur 15 tahun. LLA paling sering terjadi pada anak usia antara 3-5 tahun, tetapi kadang terjadi pada usia remaja dan dewasa. 2. Leukemia Meilositik Akut (LMA) Leukemia Meilositik Akut (LMA) lebih sering terjadi pada orang dewasa dari pada anak-anak, kejadian leukemia jenis LMA biasanya tidak lebih dari 5%. 3. Leukemia Limfositik Kronis (LLK) Pada Leukemia Limfositik Kronis (LLK) lebih dari 3 4 penderita berumur lebih dari 60 tahun dan 2-3 kali lebih sering menyerang pria. 4. Leukemia Meilositik Kronis (LMK) Penyakit ini dapat mengenai semua kelompok umur, baik pria maupun wanita, tetapi jarang ditemukan pada anak-anak berumur kurang dari 10 commit to user tahun. LMK banyak ditemukan pada kelompok usia 55 tahun keatas.

7 digilib.uns.ac.id


Dalam penelitian ini menggunakan data leukemia jenis Leukemia Limfositik Akut (LLA). Data penderita leukemia diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta.

2.2.2 Konsep Dasar Statistika Definisi-definisi yang berhubungan dengan konsep dasar statistika berikut ini dirujuk dari Bain dan Engelhardt (1992). Definisi 2.1.1. Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinotasikan dengan S. Definisi 2.1.2. Variabel random T adalah fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real t, sedemikian sehingga 𝑇 𝑒 = 𝑡 , 𝑒 ∈ 𝑆. Definisi 2.1.3. Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari variabel random T, merupakan himpunan terhitung, t1, t2, ...., tn atau t1, t2, .... maka T disebut variabel random diskrit. Fungsi 𝑓 𝑡 =𝑃 𝑇=𝑡 ,

𝑡 = 𝑡1 , 𝑡2 , ….

menyatakan probabilitas untuk tiap-tiap nilai t yang mungkin, selanjutnya disebut fungsi densitas probabilitas diskrit. Definisi 2.1.4. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random diskrit T didefinisikan untuk sebarang bilangan real t dengan 𝐹 𝑡 =𝑃 𝑇≤𝑡 . Definisi 2.1.5. Fungsi 𝑓 𝑡 disebut fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu T jika dan hanya jika memenuhi sifat 1. 𝑓(𝑡) ≥ 0, untuk semua t dan 2.

∞ 𝑓 −∞

𝑡 𝑑𝑡 = 1.

Definisi 2.1.6. Variabel random T disebut variabel random kontinu jika terdapat fungsi f(t) yang merupakan fungsi densitas dari T, sehingga fungsi distribusi kumulatif dinyatakan commit to user

8 digilib.uns.ac.id


𝑡

𝐹 𝑡 =

𝑓 𝑥 𝑑𝑥. −∞

Definisi 2.1.7. Probabilitas bersyarat dari kejadian A diberikan kejadian B didefinisikan sebagai 𝑃 𝐴𝐵 =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) , 𝑃(𝐵) ≠ 0. 𝑃(𝐵)

Definisi 2.1.8. Statistik 𝑈 = 𝑙(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) yang digunakan untuk mengestimasi nilai 𝜏(𝜃) disebut penaksir dari 𝜏(𝜃) dan nilai statistik 𝑢 = 𝑙(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) disebut estimasi dari 𝜏(𝜃). Definisi 2.1.9. Jika T adalah penaksir dari 𝜏(𝜃), maka bias adalah 𝑏 𝑇 = 𝐸 𝑇 − 𝜏(𝜃) dan rata-rata kesalahan standar atau mean square error (MSE) dari T didefinisikan sebagai 𝑀𝑆𝐸 𝑇 = 𝐸 𝑇 − 𝜏(𝜃) 2 .

2.2.3

Konsep Dasar Analisis Tahan Hidup 2.2.3.1 Model Kontinu

Menurut Lawless (1982), variabel random kontinu nonnegatif T menunjukkan waktu hidup dari suatu individu sehingga semua fungsi yang berkaitan dengan T didefinisikan dalam interval [0, ∞). Secara matematika fungsi densitas probabilitas menurut Cox dan Oakes (1984) adalah 𝑃[𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡] . ∆𝑡→0 ∆𝑡

𝑓 𝑡 = lim

Menurut Lawless (1982), fungsi distribusi kumulatif ditulis 𝑡

𝐹 𝑡 =𝑃 𝑇<𝑡 =

𝑓 𝑥 𝑑𝑥. 0

Fungsi tahan hidup didefinisikan sebagai probabilitas bertahan hidup sampai waktu t, sebagai berikut ∞

𝑡

𝑆 𝑡 =𝑃 𝑇 ≥𝑡 =1−𝑃 𝑇 <𝑡 =1−

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0

𝑓 𝑥 𝑑𝑥. 𝑡

Fungsi tahan hidup merupakan fungsi monoton turun dengan sifat 1. S(0) = 1, 2. S(t) = 0, untuk t → .

commit to user

9 digilib.uns.ac.id


Hubungan fungsi densitas probabilitas 𝑓(𝑡) dan fungsi tahan hidup 𝑆(𝑡) (Elandt dan Johnson, 1980), dapat ditunjukkan dengan −𝑆 ′ 𝑡 = − =−

𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑

∞ 𝑡

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡

= − 𝑓 𝑥 |∞ 𝑡 = − 0−𝑓 𝑡 −𝑆 ′ 𝑡 = 𝑓 𝑡 .

(2.1)

Fungsi hazard adalah laju kematian / peluang individu mati pada saat t dengan syarat individu tersebut mampu bertahan hidup sampai waktu t dan didefinisikan sebagai 𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 𝑇 ≥ 𝑡] ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∩ 𝑇 ≥ 𝑡 = lim ∆𝑡→0 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 ∆𝑡

ℎ 𝑡 = lim

𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∆𝑡→0 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 ∆𝑡

= lim

𝑃[𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ] 1 . ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑃[𝑇 ≥ 𝑡]

= lim ℎ 𝑡 =

𝑓 𝑡 . 𝑆 𝑡

(2.2)

Berdasarkan persamaan (2.1) dan (2.2) hubungan antara fungsi hazard ℎ 𝑡 dan fungsi tahan hidup 𝑆 𝑡 adalah ℎ 𝑡 =−

𝑆 ′ (𝑡) 𝑑 ln 𝑆(𝑡) =− . 𝑆(𝑡) 𝑑𝑡

2.2.3.2 Model Diskrit Misal T adalah variabel random diskrit, dengan T mempunyai nilai 𝑡1 , 𝑡2 , … dengan 0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯. Menurut Lawless (1982), secara matematika fungsi peluangnya dapat ditulis 𝑓 𝑡𝑗 = P⁡ (𝑇 = 𝑡𝑗 ) dan fungsi tahan hidupnya menjadi

commit to user

10 digilib.uns.ac.id


𝑆 𝑡 =P 𝑇≥𝑡 =

𝑓(𝑡𝑗 ). 𝑗 :𝑡 𝑗 ≥𝑡

Seperti pada penjelasan model kontinu, 𝑆 𝑡 adalah fungsi monoton turun dengan sifat 1. S(0) = 1, 2. S(t) = 0, untuk t → . Fungsi hazard diskrit didefinisikan sebagai ℎ 𝑡𝑗 = P 𝑇 = 𝑡𝑗 𝑇 ≥ 𝑡𝑗 =

𝑓(𝑡𝑗 ) . 𝑆(𝑡𝑗 )

Fungsi probabilitas, fungsi tahan hidup dan fungsi hazard memberikan spesifikasi yang sama terhadap T. Jika diketahui 𝑓 𝑡𝑗 = 𝑆 𝑡𝑗 − 𝑆(𝑡𝑗 +1 ) maka ℎ 𝑡𝑗 = 1 −

𝑆(𝑡 𝑗 +1 ) 𝑆(𝑡 𝑗 )

.

Menurut Lawless (1982) fungsi tahan hidup yang berhubungan dengan fungsi hazard dapat dinyatakan sebagai 𝑆 𝑡 =

[1 − ℎ( 𝑡𝑗 )]. 𝑗 :𝑡 𝑗 ≤𝑡

2.2.3.3 Jenis-Jenis Sensor Data waktu hidup dikatakan tersensor jika terdapat individu yang mempunyai nilai batas atas atau batas bawah pada waktu hidupnya (Lawless, 1982). Menurut Kleln dan Moeschberger (1997) dan Lawless (1982), tiga jenis sensor yang dapat digunakan dalam penelitian tahan hidup yaitu sensor kanan, sensor kiri, dan sensor umum. 1. Sensor kanan Diasumsikan terdapat waktu hidup T dan ditentukan waktu sensor di Cr, waktu hidup T dari suatu individu diketahui jika dan hanya jika T ≤ Cr. Jika T >Cr maka individu dikatakan bertahan hidup dengan waktu tersensor di Cr. Data tersensor kanan dapat dinyatakan dalam pasangan variabel random (X, δ) user hidup yang diobservasi dan δ dengan X sama dengan T commit untuk towaktu



menyatakan apakah waktu hidup T tak tersensor (δ = 1) atau tersensor (δ = 0) sehingga diperoleh X = min(T, Cr ). 2. Sensor kiri Misalkan terdapat waktu hidup T dan ditentukan waktu sensor di Cl, waktu hidup T dari suatu individu diketahui jika dan hanya jika T ≥ Cl. Jika

T
maka individu dikatakan bertahan hidup dengan waktu tersensor di Cl. Data tersensor kiri dapat dinyatakan dalam pasangan variabel random (X, ε) dengan X sama dengan T untuk waktu hidup yang diobservasi dan ε menyatakan apakah waktu hidup T tak tersensor (ε = 1) atau tersensor (ε = 0) sehingga diperoleh X = maks(T, Cl ). 3. Sensor umum Suatu sampel dikatakan tersensor secara umum jika terdapat data sejumlah n objek yang diamati pada waktu 0 dan masing-masing objek diamati sampai gagal (mati) atau tidak. Jika objek tersebut tidak gagal (tidak mati), maka data tersebut merupakan data tersensor.

2.2.3.4 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Weibull Distribusi Weibull merupakan distribusi yang paling luas penggunaannya dalam model tahan hidup. Model fungsi tahan hidup distribusi Weibull banyak diaplikasikan dalam bidang biomedis, contohnya dalam penelitian Whittemore dan Altschuler tahun 1976 tentang waktu kejadian tumor dalam populasi manusia (Lawless, 1982). Kelebihan dari fungsi tahan hidup distribusi Weibull adalah distribusi ini mampu mendekati fungsi tahan hidup dari distribusi yang lain. Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai 𝑓 𝑡 = 𝛼𝜆 𝜆𝑡

𝛼−1

exp(− 𝜆𝑡 𝛼 )

; 𝛼 > 0 ; 𝜆 > 0 ; 𝑡 > 0.

(2.3)

Berdasarkan persamaan (2.3) dapat dicari fungsi tahan hidup distribusi Weibull sebagai berikut ∞

𝑆 𝑡 =

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡

commit to user



∞

=

𝛼𝜆 𝜆𝑥

𝛼−1

exp(− 𝜆𝑥 𝛼 ) 𝑑𝑥

𝑡

= − exp − 𝜆𝑥 𝑆 𝑡 = exp − 𝜆𝑡

𝛼

𝛼

|∞ 𝑡

.

(2.4)

2.2.3.5 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull, yaitu jika distribusi Weibull memiliki nilai 𝛼 = 1, maka akan menjadi distribusi eksponensial.

Fungsi

densitas

probabilitas

dari

distribusi

Eksponensial

didefinisikan sebagai 𝑓 𝑡 = 𝜆 exp −𝜆𝑡

; 𝑡 ≥ 0 ; 𝜆 > 0.

(2.5)

Kemudian fungsi tahan hidup distribusi eksponensial dapat dituliskan sebagai berikut 𝑆 𝑡 = exp −𝜆𝑡

(2.6)

2.2.4 Metode Maksimum Likelihood Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan fungsi likelihood dan estimasi maksimum likelihood menurut Bain dan Engelhardt (1992) Definisi 2.1.10. Jika fungsi densitas probabilitas bersama dari n-variabel random 𝑇1 , 𝑇2 , … , 𝑇𝑛 yang diobservasi di 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 dinotasikan dengan 𝑓 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 , maka fungsi likelihood dari himpunan pengamatan 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 dinyatakan sebagai 𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 ; 𝜃 dengan 𝜃 adalah parameter yang belum diketahui. Definisi 2.1.11. Jika 𝐿(𝜃) adalah fungsi likelihood suatu himpunan pengamatan 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 dengan 𝜃 parameter yang tidak diketahui, maka suatu harga 𝜃 dalam ruang parameter Ω yang memaksimumkan 𝐿(𝜃) disebut sebagai estimasi maksimum likelihood dari 𝜃, dapat ditulis 𝑓 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 ; 𝜃 = max 𝑓 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 ; 𝜃 . 𝜃𝜖 Ω

commit to user



Setiap 𝜃 yang memaksimumkan 𝐿(𝜃) akan memaksimumkan log-likelihood ln 𝐿(𝜃) juga, sehingga alternatif bentuk persamaan likelihood maksimum yaitu 𝑑 ln 𝐿 𝜃 = 0. 𝑑𝜃 2.2.5

Penaksir Kaplan-Meier

Estimasi fungsi tahan hidup dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier disebut juga estimasi product limit. Kaplan dan Meier (1958) adalah orang pertama yang membahas estimasi fungsi ini. Misal T variabel random kontinu nonnegatif. Semua fungsi yang berkaitan dengan T didefinisikan dalam interval [𝑡𝑗 , 𝑡𝑗 +1 ). Penaksir Kaplan-Meier merupakan modifikasi dari fungsi tahan hidup empiris. Fungsi tahan hidup empiris didefinisikan sebagai 𝑆 𝑡 =

𝐽 𝑛

,𝑡 ≥ 0

(2.7)

dengan 𝐽 merupakan jumlah pengamatan yang lebih besar atau sama dengan 𝑡. Jika terdapat data yang tersensor (tak lengkap), maka persamaan tersebut diubah menjadi penaksir Kaplan-Meier. Misalkan terdapat n individu dengan 𝑘(𝑘 ≤ 𝑛) waktu terjadinya kematian yang berbeda 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑘 dan 𝑑𝑗 adalah jumlah kematian pada saat 𝑡𝑗 (𝑗 = 1,2, … , 𝑘), 𝑚𝑗 adalah jumlah tersensor dalam interval [𝑡𝑗 , 𝑡𝑗 +1 ) pada waktu 𝑡𝑗 1 , 𝑡𝑗 2 , … , 𝑡𝑗 𝑚 𝑗 untuk 𝑗 = 0, 1, … , 𝑘 dimana 𝑡0 = 0 dan 𝑡𝑘+1 = ∞, 𝑛𝑗 = 𝑚𝑗 + 𝑑𝑗 + ⋯ + 𝑚𝑘 + 𝑑𝑘 adalah jumlah individu beresiko pada saat 𝑡𝑗 , penaksir Kaplan-Meier didefinisikan sebagai 𝑆𝐾𝑀 𝑡 = 𝑗 :𝑡 𝑗 ≤𝑡

2.2.6

𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 . 𝑛𝑗

(2.8)

Modifikasi Penaksir Kaplan Meier

Menurut Rossa dan Zielinski (2002) penaksir Kaplan-Meier mempunyai kelemahan yaitu, pada sampel yang kecil dan menengah nilai penaksir KaplanMeier untuk dua waktu yang berurutan akan mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama. Kelemahan pada penaksir Kaplan-Meier diatasi dengan commit to user



memodifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan fungsi tahan hidup dari distribusi Weibull seperti pada persamaan (2.4). Modifikasi dari penaksir Kaplan-Meier dinotasikan dengan 𝑆𝑀 𝑡 , dimana M dapat dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3 … . Nilai 𝑆𝑀 (𝑡) merupakan penaksir untuk nilai 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) yang berbasis pada M persekitaran pada 𝑡. Nilai M dapat dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3, …

Semakin besar nilai M maka akan

menghasilkan estimasi yang lebih baik akan tetapi perhitungannya akan lebih rumit (Rossa dan Zielinski, 2002). Oleh karena itu dalam penelitian ini hanya akan dibahas penaksir 𝑆𝑀 𝑡 dengan 𝑀 = 2 dan 3. Misalkan terdapat n sampel dan akan dicari penaksir fungsi tahan hidup dari sampel terurut yang tidak lengkap dari 𝑇1 , 𝛿1 , 𝑇2 , 𝛿2 , … , 𝑇𝑛 , 𝛿𝑛 dengan 𝛿 = 1 untuk data yang tidak tersensor dan 𝛿 = 0 untuk data yang tersensor. Kemudian dimisalkan 𝑁 − 1 adalah jumlah elemen yang berbeda pada sampel yang tidak tersensor. Nilai 𝐾𝑀 𝑡

dengan 0 < 𝑡 < 𝑇𝑛 , memiliki titik-titik

loncatan (jump point) di 𝑇𝑓′ untuk 𝑓 = 1,2, … , 𝑁 − 1. Jika 𝛿𝑛 = 1, maka nilai 𝐾𝑀 𝑡 dengan

𝑡 = 𝑇𝑛 juga merupakan titik loncatan dari 𝐾𝑀.

Kemudian

penaksir Kaplan-Meier dituliskan dalam bentuk pasangan baris (𝑇𝑓′ , 𝐾𝑀𝑓′ ) dengan 𝑓 = 1,2, … , 𝑁, dimana ′ 𝐾𝑀(𝑇𝑓−1 ) + 𝐾𝑀(𝑇𝑓′ ) , 2 𝐾𝑀𝑓′ = 𝐾𝑀 𝑇𝑛 , 2 𝐾𝑀 𝑇𝑛 ,

untuk 𝑓 = 1,2, … , 𝑁 − 1 untuk 𝑓 = 𝑁 dan jika 𝛿𝑛 = 1 untuk 𝑓 = 𝑁 dan jika 𝛿𝑛 = 0

dengan 𝑇0′ = 0 ; 𝑇𝑁′ = 𝑇𝑛 ; 𝐾𝑀(𝑇0′ ) = 1. 2.2.6.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟐 Untuk 𝑀 = 2 penaksir modifikasi Kaplan-Meier didefinisikan sebagai 𝑆2 𝑡 = exp{−exp⁡ (𝑌)} dengan commit to user

(2.9)



𝑌2 − 𝑌1 𝑋 − 𝑋1 , untuk 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1′ 𝑋2 − 𝑋1 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 ′ 𝑌𝑓−1 + 𝑋 − 𝑋𝑓−1 , untuk 𝑇𝑓−1 < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓′ ≤ 𝑇𝑁′ dengan 𝑓 ≥ 2 𝑋 − 𝑋 𝑓 𝑓−1 𝑌= 𝑌𝑁 − 𝑌𝑁−1 𝑌𝑁−1 + 𝑋 − 𝑋𝑁−1 , untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1 𝑋𝑁 − 𝑋𝑁−1 𝑌1 +

untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 0

tidak terdefinisi, dengan

𝑋𝑓 = ln⁡ (𝑇𝑓′ ) ; 𝑌𝑓 = ln⁡ [− ln 𝐾𝑀𝑓′ ] ; 𝑋 = ln 𝑡. 2.2.6.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 > 2 Untuk menentukan penaksir 𝑆𝑀 𝑡

dengan 𝑀 > 2 terlebih dahulu

didefinisikan pembobot 𝑤(𝑡) sebagai berikut (Rossa dan Zielinski, 2002) : i.

Jika M bernilai ganjil atau 𝑀 = 2𝐾 + 1 (dimana 𝐾 merupakan bilangan bulat postif yang lebih besar atau sama dengan 1), maka ditentukan f sedemikian sehingga

′ 𝑇𝑓′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓+1 (jika 𝑡 > 𝑇𝑁′ ambil nilai 𝑓 = 𝑁).

Kemudian, jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka 𝑤1 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑀 𝑡 = 1, jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 maka 𝑤𝑁−𝑀+1 = ⋯ = 𝑤𝑁 𝑡 = 1, untuk nilai-nilai f` yang lain didefinisikan 𝑤𝑓−𝐾+1 𝑡 = 𝑤𝑓−𝐾+2 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑓+𝐾 𝑡 = 1 ′ 𝑇𝑓+1 −𝑡 𝑡 = ′ 𝑇𝑓+1 − 𝑇𝑓′

𝑤𝑓−𝐾 𝑤𝑓+𝐾+1 ii.

𝑡 − 𝑇𝑓′ 𝑡 = ′ 𝑇𝑓+1 − 𝑇𝑓′

Jika M bernilai genap atau 𝑀 = 2𝐾, (dimana 𝐾 merupakan bilangan bulat postif yang lebih besar atau sama dengan 2) maka ditentukan f sedemikian sehingga

′ (𝑇𝑓−1 +𝑇𝑓′ )

2

<𝑡≤

′ (𝑇𝑓′ +𝑇𝑓+1 )

2

(jika 𝑡 ≤ 𝑇1′ /2 ambil nilai 𝑓 = 0 atau

′ jika 𝑡 > (𝑇𝑁−1 + 𝑇𝑁′ )/2 ambil 𝑓 = 𝑁). Kemudian,

jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka 𝑤1 𝑡commit = ⋯ =to𝑤user 𝑀 𝑡 =1



jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 + 1 maka didefinisikan 𝑤𝑁−𝑀+1 = ⋯ = 𝑤𝑁 𝑡 = 1 dan untuk nilai f yang lain didefinisikan 𝑤𝑓−𝐾+1 𝑡 = 𝑤𝑓−𝐾+2 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑓+𝐾−1 𝑡 = 1, 1 ′ ′ (𝑇𝑓 + 𝑇𝑓+1 )−𝑡 2 𝑤𝑓−𝐾 𝑡 = 1 ′ ′ 2 (𝑇𝑓+1 − 𝑇𝑓−1 ) 1 ′ 𝑡 − 2 (𝑇𝑓′ + 𝑇𝑓−1 ) 𝑤𝑓+𝐾 𝑡 = . 1 ′ ′ (𝑇 − 𝑇 ) 𝑓−1 2 𝑓+1 Kemudian, ditentukan semua pembobot yang lain sama dengan nol. Setelah semua pembobot ditentukan, dicari nilai Λ dan 𝛼 dengan meminimumkan 𝑤𝑓 𝑡 (𝑌𝑓 − Λ − 𝛼𝑋𝑓 )2

(2.10)

𝑓

jika nilai Λ dan 𝛼 adalah solusi dari (2.10), maka modifikasi penaksir KaplanMeier dengan 𝑀 > 2 dapat dituliskan sebagai 𝑆𝑀 𝑡 = exp −𝜆𝑡 𝛼

(2.11)

dengan λ = exp Λ.

2.3

Kerangka Pemikiran

Leukemia adalah jenis penyakit kanker yang menyerang sel-sel darah putih yang diproduksi oleh sumsum tulang. Leukemia umumnya muncul pada diri seseorang sejak dimasa kecilnya. Sumsum tulang tanpa diketahui dengan jelas penyebabnya telah memproduksi sel darah putih yang berkembang tidak normal. Dalam keadaan normal, sel darah putih mereproduksi ulang bila tubuh memerlukannya. Sel darah putih berfungsi sebagai pertahanan tubuh, akan terus membelah dalam suatu kontrol yang teratur. Tubuh manusia akan memberikan tanda/signal secara teratur kapankah sel darah diharapkan bereproduksi kembali. Pada penderita leukemia, sumsum tulang memproduksi sel darah putih yang tidak normal yang disebut sel leukemia. Tidak seperti sel darah normal, sel-sel leukemia tidak mati ketika mereka seharusnya mati. Sel leukemia yang terdapat dalam sumsum tulang akan teruscommit membelah dan semakin mendesak sel normal, to user



sehingga produksi sel darah normal akan mengalami penurunan, sel darah putih tidak merespon kepada tanda/signal yang diberikan. Akhirnya produksi yang berlebihan / tidak terkontrol akan keluar dari sumsum tulang dan dapat ditemukan di dalam darah perifer atau darah tepi. Jumlah sel darah putih yang abnormal ini bila berlebihan dapat mengganggu fungsi normal sel darah lainnya dan pada akhirnya dapat menyebabkan kematian (Cancerhelps). Waktu tahan hidup pasien leukemia dapat diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena leukemia / masuk rumah sakit sampai meninggal. Pertama yang dilakukan adalah mengumpulkan data pasien penderita leukemia dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Data yang diambil adalah data pasien penderita leukemia jenis Leukemia Limfositik Akut (LLA). Selain menggunakan data yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta, dalam penelitian ini juga menggunakan data simulasi yang dibangkitkan secara random. Kemudian data dianalisis dengan mengestimasi fungsi tahan hidup pasien dengan penaksir Kaplan-Meier. Kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier yaitu, pada sampel yang kecil dan menengah nilai penaksir Kaplan-Meier untuk dua waktu yang berurutan akan mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama. Oleh karena itu fungsi tahan hidup juga akan diestimasi dengan penaksir Kaplan-Meier yang telah dimodifikasi untuk 𝑀 = 2 dan 3 yang akan memberikan nilai estimasi yang lebih baik. Dengan diperolehnya estimasi fungsi tahan hidup, maka dapat diketahui probabilitas seorang pasien dapat bertahan hidup baik dengan penaksir metode Kaplan-Meier biasa maupun metode modifikasi Kaplan-Meier. Berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh,

akan

dilakukan

perbandingan

antara

hasil

estimasi

dengan

menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier biasa dan metode modifikasi Kaplan-Meier.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB III METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi kasus dengan menggunakan data sekunder. Selain itu penulis juga menggunakan metode studi literatur yang mengacu pada buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan analisis tahan hidup. Secara garis besar penelitian ini terbagi dalam dua tahap 1. Tahap pengumpulan data. Dalam tahap ini penulis mengumpulkan data penderita leukemia jenis Leukemia Limfositik Akut (LLA). Data yang digunakan adalah data sekunder yang diambil dari dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Waktu tahan hidup penderita leukemia dapat diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena leukemia atau masuk rumah sakit sampai meninggal dalam satuan bulan. Pasien yang meninggal dianggap sebagai data yang tidak tersensor, sedangkan pasien yang sembuh atau masih dalam perawatan dianggap sebagai data tersensor. Selain menggunakan data yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta, dalam penelitian ini juga menggunakan data simulasi yang dibangkitkan secara random. 2. Tahap analisis data. Setelah data diperoleh, data diurutkan dari kecil ke besar baik untuk data yang tidak tersensor maupun yang tersensor. Kemudian langkah selanjutnya adalah mengestimasi fungsi tahan hidup data penderita leukemia dan data simulasi menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier sehingga diperoleh nilai probabilitas tahan hidup. Setelah diperoleh nilai probabilitas tahan hidup langkah selanjutnya adalah membuat grafik estimasi fungsi tahan hidup kemudian membandingkan hasil estimasi dan grafik fungsi tahan hidup dari kedua penaksir tersebut.

commit to user

18


digilib.uns.ac.id

BAB IV PEMBAHASAN

4.1

Deskripsi Data

Data penderita Leukemia diambil dari RSUD Dr.Moewardi Surakarta. Waktu tahan hidup pasien diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena kanker dan masuk rumah sakit sampai meninggal (dalam satuan bulan). Pasien yang meninggal dianggap sebagai data yang tidak tersensor (𝛿 = 1), sedangkan pasien yang sembuh atau masih dalam perawatan dianggap sebagai data tersensor (𝛿 = 0). Ringkasan data dapat dilihat pada Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Ringkasan data penderita Leukemia Limfositik Akut Banyak Pasien Tidak Tersensor

Tersensor

13

23

4.2

Jumlah 36

Penaksir Kaplan-Meier

Penaksir Kaplan-Meier dari 𝑆(𝑡) didefinisikan seperti pada persamaan (2.8). Dari persamaan (2.8) diasumsikan terdapat k waktu hidup yang berbeda 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑘 dengan 𝑑𝑗 adalah jumlah kematian pada waktu 𝑡𝑗 . Fungsi tahan hidup dapat dinyatakan dengan 𝑆 𝑡 =

1 − ℎ 𝑡𝑗

.

4.1

𝑗 :𝑡 𝑗 ≤𝑡

Penaksir dari fungsi tahan hidup pada persamaan (4.1) adalah 𝑆 𝑡 =

1 − ℎ 𝑡𝑗

(4.2)

𝑗 :𝑡 𝑗 ≤𝑡

dengan ℎ(𝑡𝑗 ) adalah penaksir maksimum likelihood dari ℎ(𝑡𝑗 ). Langkah untuk menentukan penaksir maksimum likelihood dari ℎ(𝑡𝑗 ) yaitu : 1. menentukan fungsi likelihood 𝐿 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗

= 𝑓commit 𝑡1 , ℎ 𝑡1to user , 𝑓 𝑡2 , ℎ 𝑡2

19

… 𝑓 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗

,



2. membentuk logaritma natural likelihood 𝐾 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗

= ln 𝐿 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗

,

3. membentuk persamaan log likelihood dengan menyelesaikan 𝜕𝐾 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗

= 0, 𝑗 = 1,2, … 𝑘,

𝜕ℎ 𝑡𝑗

4. didapatkan estimator maksimum likelihood. Misal pada k percobaan binomial yang independen terjadi 𝑛𝑗 kejadian dan 𝑑𝑗 jumlah kematian serta peluang/laju kematian ℎ(𝑡𝑗 ), maka fungsi likelihoodnya sebagai berikut 𝐿 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗

=

𝑑𝑗

ℎ 𝑡𝑗

1 − ℎ 𝑡𝑗

𝑛 𝑗 −𝑑 𝑗

(4.3)

𝑗

persamaan (4.3) dibentuk logaritma natural likelihood menjadi ln 𝐿 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗

= ln

ℎ 𝑡𝑗

𝑑𝑗

1 − ℎ 𝑡𝑗

𝑛 𝑗 −𝑑 𝑗

𝑗

=

𝑑𝑗 ln ℎ 𝑡𝑗 + 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 ln 1 − ℎ 𝑡𝑗

.

(4.4)

𝑗

Persamaan (4.4) dibentuk persamaan log likelihood untuk mendapatkan penaksir maksimum likelihood dari ℎ 𝑡𝑗 𝜕 ln 𝐿 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗 𝜕ℎ 𝑡𝑗 𝜕 𝜕ℎ 𝑡𝑗

𝑑𝑗 ln ℎ 𝑡𝑗 + 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 ln 1 − ℎ 𝑡𝑗

=0 =0

𝑗

𝑑𝑗 𝑗

1 ℎ 𝑡𝑗

+ 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗

1 1 − ℎ 𝑡𝑗 𝑑𝑗

𝑗

ℎ 𝑡𝑗

−

(−1) = 0

𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 1 − ℎ 𝑡𝑗

𝑑𝑗 − 𝑛𝑗 ℎ 𝑡𝑗 𝑗

ℎ 𝑡𝑗 . 1 − ℎ 𝑡𝑗 commit to user

=0

= 0.



Agar

𝑑 𝑗 −𝑛 𝑗 ℎ 𝑡 𝑗 𝑗

ℎ 𝑡 𝑗 . 1−ℎ 𝑡 𝑗

= 0, maka untuk setiap 𝑗,

𝑑𝑗 − 𝑛𝑗 ℎ 𝑡𝑗

= 0.

Jadi

𝑑

penaksir maksimum likelihood dari ℎ 𝑡𝑗 = ℎ 𝑡𝑗 = 𝑛 𝑗 . Dengan demikian 𝑗

persamaan (4.2) menjadi 𝐾𝑀 = 𝑆𝐾𝑀 𝑡 =

1− 𝑗 :𝑡 𝑗 ≤𝑡

𝐾𝑀 = 𝑆𝐾𝑀 𝑡 = 𝑗 :𝑡 𝑗 ≤𝑡

𝑑𝑗 𝑛𝑗

𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 𝑛𝑗

(4.5)

dengan 𝑛𝑗 = 𝑚𝑗 + 𝑑𝑗 + ⋯ + 𝑚𝑘 + 𝑑𝑘 , 𝑛𝑗 adalah jumlah individu yang beresiko pada waktu 𝑡𝑗 , 𝑑𝑗 adalah jumlah kematian pada waktu 𝑡𝑗 , 𝑚𝑗 adalah jumlah individu yang tersensor pada waktu 𝑡𝑗 .

4.3

Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier

Kelemahan pada estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan-Meier dapat diatasi dengan menggunakan metode modifikasi KaplanMeier. Rossa dan Zielinski (2002) melakukan modifikasi pada penaksir KaplanMeier dengan menggunakan pendekatan dari fungsi tahan hidup distribusi Weibull seperti pada persamaan (2.4). Pemilihan distribusi Weibull dikarenakan distribusi tersebut dapat memberikan algoritma perhitungan yang lebih sederhana untuk melakukan transformasi logaritma, serta mengaplikasikan prosedur estimasi standar untuk a dan b pada model regresi linier sederhana 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥. Adapun transformasi logaritma yang dimaksud adalah sebagai berikut : 𝑊 = exp −𝜆𝑡 𝛼 ln 𝑊 = ln exp −𝜆𝑡 𝛼 ln 𝑊 = −𝜆𝑡 𝛼 ln 𝑒 − ln 𝑊 = 𝜆𝑡 𝛼 ln(− ln 𝑊) = ln 𝜆𝑡 𝛼 ln(− ln 𝑊) = ln 𝜆 + 𝛼 ln 𝑡 jika dimisalkan

commit to user 𝑦 = ln(− ln 𝑊) ; Λ = ln 𝜆 ; 𝑥 = ln 𝑡

(4.6)



maka persamaan (4.6) menjadi 𝑦 = Λ + 𝑎𝑥.

4.3.1

(4.7)

Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟐

Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 dinotasikan dengan ′ 𝑆2 (𝑡). Akan diestimasi fungsi tahan hidup di t dimana 𝑇𝑓−1 < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓′ , kemudian ′ ′ dibentuk pasangan baris (𝑇𝑓−1 , 𝐾𝑀𝑓−1 ) dan (𝑇𝑓′ , 𝐾𝑀𝑓′ ) sehingga diperoleh dua

persamaan ′ ′ 𝑊 𝑇𝑓−1 ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑓−1 dan 𝑊 𝑇𝑓′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑓′ .

(4.8)

Kemudian akan diestimasi nilai probabilitas tahan hidup di t dengan nilai 𝑊(𝑡; 𝜆; 𝛼), dimana 𝜆 dan 𝛼 dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan (4.8) dengan terlebih dahulu diubah ke bentuk logaritma seperti pada persamaan (4.7), sehingga diperoleh 𝑌𝑓−1 = Λ + 𝛼𝑋𝑓−1 dan 𝑌𝑓 = Λ + 𝛼𝑋𝑓

(4.9)

dengan menyelesaikan persamaan (4.9) maka diperoleh 𝛼=

𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1

Λ = 𝑌𝑓−1 −

(4.10)

𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋 𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑓−1

karena Λ = ln 𝜆 sehingga diperoleh 𝜆 = exp Λ = exp 𝑌𝑓−1 −

𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋 . 𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑓−1

(4.11)

Estimasi fungsi tahan hidup dapat dicari dengan menggunakan pendekatan fungsi tahan hidup distribusi Weibull dengan nilai 𝛼 dan 𝜆 pada persamaan (4.10) ′ dan (4.11). Sehingga untuk 𝑇𝑓−1 < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓′ diperoleh penaksir 𝑆2 𝑡

berikut 𝑆2 𝑡 = exp −𝜆𝑡 𝛼 𝑌 −𝑌

𝑓 𝑓−1 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 = exp − exp 𝑌𝑓−1 − 𝑋𝑓−1 𝑡 𝑋 𝑓 −𝑋 𝑓−1 𝑋𝑓 to − user 𝑋𝑓−1 commit

sebagai



= exp − exp 𝑌𝑓−1 −

𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋𝑓−1 exp 𝑋 𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1

= exp − exp 𝑌𝑓−1 −

𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋𝑓−1 + 𝑋 𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1

= exp − exp 𝑌𝑓−1 +

𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1

𝑋−𝑋𝑓−1

.

(4.12)

Jika 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1′ maka dibentuk pasangan baris (𝑇1′ , 𝐾𝑀1′ ) dan (𝑇2′ , 𝐾𝑀2′ ), kemudian diperoleh dua persamaan 𝑊 𝑇1′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀1′ dan 𝑊 𝑇2′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀2′ . Sehingga untuk 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1′ diperoleh penaksir 𝑆2 𝑡 sebagai berikut 𝑆2 𝑡 = exp − exp 𝑌1 +

𝑌2 − 𝑌1 𝑋 − 𝑋1 𝑋2 − 𝑋1

.

(4.13)

′ ′ Jika 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1, maka dibentuk pasangan baris (𝑇𝑁−1 , 𝐾𝑀𝑁−1 ) ′ ′ dan (𝑇𝑁′ , 𝐾𝑀𝑁′ ), kemudian diperoleh dua persamaan 𝑊 𝑇𝑁−1 ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑁−1 dan

𝑊 𝑇𝑁′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑁′ . Sehingga untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1 diperoleh penaksir 𝑆2 𝑡 sebagai berikut 𝑆2 𝑡 = exp − exp 𝑌𝑁−1 +

𝑌𝑁 − 𝑌𝑁−1 𝑋 − 𝑋𝑁−1 𝑋𝑁 − 𝑋𝑁−1

.

(4.14)

Secara umum persamaan (4.12), (4.13) dan (4.14) dapat ditulis 𝑆2 𝑡 = exp{−exp⁡ (𝑌)}

(4.15)

dengan 𝑌2 − 𝑌1 𝑋 − 𝑋1 , untuk 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1′ 𝑋2 − 𝑋1 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1 ′ 𝑌𝑓−1 + 𝑋 − 𝑋𝑓−1 , untuk 𝑇𝑓−1 < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓′ ≤ 𝑇𝑁′ dengan 𝑓 ≥ 2 𝑋 − 𝑋 𝑓 𝑓−1 𝑌= 𝑌𝑁 − 𝑌𝑁−1 𝑌𝑁−1 + 𝑋 − 𝑋𝑁−1 , untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1 𝑋𝑁 − 𝑋𝑁−1 𝑌1 +

tidak terdefinisi,

untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 0

dengan 𝑋𝑓 = ln⁡ (𝑇𝑓′ ) 𝑌𝑓 = ln⁡ [− ln 𝐾𝑀𝑓′ ] 𝑋 = ln 𝑡.

commit to user



4.3.2

Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟑

Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 dinotasikan dengan 𝑆3 (𝑡). Dengan 𝑀 = 2𝐾 + 1 maka dapat dicari nilai 𝐾 = 1. Untuk menentukan penaksir 𝑆3 𝑡

terlebih dahulu didefinisikan pembobot 𝑤(𝑡). Ditentukan f

′ sedemikian sehingga 𝑇𝑓′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓+1 dan

jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka definisikan 𝑤1 𝑡 = 𝑤2 𝑡 = 𝑤3 𝑡 = 1; jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 maka didefinisikan 𝑤𝑁−2 = 𝑤𝑁−1 = 𝑤𝑁 𝑡 = 1; untuk nilai-nilai 𝑓 yang lain definisikan 𝑤𝑓 𝑡 = 𝑤𝑓+1 𝑡 = 1 dan 𝑤𝑓−1 𝑡 = 𝑤𝑓+2

′ 𝑇𝑓+1 −𝑡 ′ 𝑇𝑓 +1 − 𝑇𝑓′

𝑡 − 𝑇𝑓′ 𝑡 = ′ 𝑇𝑓 +1 − 𝑇𝑓′

kemudian ditentukan semua pembobot yang lain sama dengan nol. Setelah semua pembobot ditentukan, nilai Λ dan 𝛼 dapat dicari dengan meminimumkan 𝑤𝑓 𝑡 (𝑌𝑓 − Λ − 𝛼𝑋𝑓 )2 .

𝑄 Λ, 𝛼 = 𝑓

Jika derivatif parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼 keduanya sama dengan nol maka diperoleh Λ dan 𝛼 sedemikian sehingga 𝑄 minimum. Q=

𝑤𝑓 𝑡 𝑌𝑓 − Λ − 𝛼𝑋𝑓

2

𝑓

𝑤𝑓 𝑡 𝑌𝑓2 − Λ𝑌𝑓 − 𝛼𝑋𝑓 𝑌𝑓 − Λ𝑌𝑓 + Λ2 + Λ𝛼𝑋𝑓 − 𝛼𝑋𝑓 𝑌𝑓 + Λ𝛼𝑋𝑓 + 𝛼 2 𝑋𝑓2

= 𝑓

𝑤𝑓 𝑡 𝑌𝑓2 − 2Λ𝑌𝑓 − 2𝛼𝑋𝑓 𝑌𝑓 + Λ2 + 2Λ𝛼𝑋𝑓 + 𝛼 2 𝑋𝑓2

= 𝑓

(𝑌𝑓2 𝑤𝑓 𝑡 − 2Λ𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 − 2𝛼𝑋𝑓 𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 + Λ2 𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝛼𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 +

= 𝑓

𝛼 2 𝑋𝑓2 𝑤𝑓 𝑡 ). Untuk menentukan nilai minimum dari 𝑄 Λ, 𝛼 terlebih dahulu dicari derivatif parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼

commit to user



𝜕𝑄 = 𝜕Λ

(−2𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝑤𝑓 𝑡 + 2𝛼𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 ) 𝑓

= −2

(𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 − Λ𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 ) 𝑓

dan 𝜕𝑦 = 𝜕𝑥

−2𝑋𝑓 𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 + 2𝛼𝑋2𝑓 𝑤𝑓 𝑡 𝑓

𝑋𝑓 𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 − Λ𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼𝑋2𝑓 𝑤𝑓 𝑡 .

= −2 𝑓

Kemudian derivatif parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼 disamadengankan nol sehingga diperoleh 𝜕𝑦 =0 𝜕𝑥 −2

𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 − Λ𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡

=0

𝑓

𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 − 𝑓

Λ 𝑤𝑓 𝑡 − 𝑓

𝛼𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 = 0 𝑓

dan 𝜕𝑦 =0 𝜕𝑥 𝑋𝑓 𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 − Λ𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼 𝑋𝑓2 𝑤𝑓 𝑡

−2

=0

𝑓

𝑋𝑓 𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 − 𝑓

𝛼 𝑋𝑓2 𝑤𝑓 𝑡 = 0.

Λ𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 − 𝑓

𝑓

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai Λ dan 𝛼 dengan menyelesaikan dua persamaan berikut 𝑤𝑓 𝑡 + 𝛼

Λ 𝑓

Λ 𝑓

𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 =

𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡

𝑓

𝑓

𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 + 𝛼

𝑋𝑓2 𝑤𝑓 𝑡 = 𝑓

𝑋𝑓 𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 . 𝑓

Solusi dari (4.16) adalah commit to user

(4.16)



𝑓

𝑓

Λ=


𝑋𝑓 𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡

𝑓

𝑓

𝑓

𝑤𝑓 𝑡

𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡

𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 𝑋2𝑓 𝑤𝑓 𝑡


𝑓


𝑓

Λ=

𝑓

𝑋2𝑓 𝑤𝑓 𝑡

𝑓

𝑋𝑓2 𝑤𝑓 𝑡

𝑓

− 𝑓


𝑓

𝑋𝑓 𝑌𝑓 𝑤𝑓 𝑡 2

𝑓

𝑤𝑓 𝑡

𝑓

𝑋𝑓2 𝑤𝑓

𝑡

− 𝑓


dan 𝑤𝑓 𝑡

𝑓


𝑓



𝑓

𝛼=

𝑓

𝑓

𝑤𝑓 𝑡

𝑓


𝑓

𝑓

𝛼=

𝑤𝑓 𝑡

𝑓

𝑓

𝑋𝑓 𝑤𝑓 𝑡 𝑋2𝑓 𝑤𝑓 𝑡


−


𝑓


𝑓

2

𝑓

Λ ,𝛼

𝑤𝑓 𝑡

𝑓

𝑋2𝑓 𝑤𝑓 𝑡

−

.


𝑓

merupakan solusi dari masalah (4.16) dan jika 𝜆 = exp Λ

maka

modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 dapat dituliskan sebagai 𝑆3 𝑡 = exp −𝜆𝑡 𝛼 . 4.4 4.4.1

(4.17)

Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Kaplan-Meier

Berdasarkan estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode KaplanMeier pada persamaan (4.5), dihitung nilai estimasinya untuk setiap t pada data commit to user penderita leukemia. Nilai estimasi untuk setiap nilai t dengan penaksir KM



diberikan dalam Lampiran 1 kemudian diperoleh grafik estimasi fungsi tahan hidup seperti pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan 𝐾𝑀

Gambar 4.1 menunjukkan nilai-nilai dari penaksir Kaplan-Meier untuk setiap nilai t, terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama pasien yang dinyatakan menderita leukemia semakin kecil probabilitas pasien untuk dapat bertahan hidup. Hal ini dapat disebabkan karena komplikasi yang timbul pada leukemia mulai dari anemia, pendarahan atau gangguan fungsi organ vital seperti otak, jantung dan paru. Berdasarkan nilai hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 1 didapatkan nilai 𝐾𝑀 4 = 𝐾𝑀 9 = 0,70263, hal ini berarti probabilitas penderita leukemia dapat bertahan hidup sampai 4 bulan dan sampai 9 bulan adalah sama yaitu 0,70263. Inilah yang menjadi kelemahan dari penaksir KaplanMeier, yaitu pada waktu yang berurutan, dalam hal ini pada 𝑡1 = 4 dan 𝑡2 = 9, nilai dari 𝐾𝑀 4 dan 𝐾𝑀 9 sama besar. Sulit dijelaskan secara logis mengapa probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 4 bulan sama dengan probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 9 bulan. Oleh karena itu akan diestimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier yang akan memberikan nilai probabilitas tahan hidup yang lebih masuk akal daripada penaksir Kaplan-Meier. commit to user



4.4.2

Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan Penaksir Modifikasi Kaplan-Meier

Penaksir modifikasi Kaplan-Meier didefinisikan seperti pada persamaan (4.15) dan (4.17). Nilai estimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia dengan 𝑆2 𝑡

dan 𝑆3 𝑡

masing-masing diberikan dalam Lampiran 2 dan

Lampiran 3, kemudian diperoleh grafik estimasi fungsi tahan hidup seperti pada Gambar 4.2.

Gambar 4.2 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 dan 𝑀 = 3 . Berdasarkan

Gambar 4.2 terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup

semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama pasien yang dinyatakan menderita leukemia semakin kecil probabilitas pasien untuk bertahan hidup. Selain itu grafik estimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan metode modifikasi Kaplan-Meier juga tampak lebih halus dibandingkan dengan metode Kaplan-Meier biasa. Kemudian untuk melihat perbedaan hasil estimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan ketiga penaksir, grafik fungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan-Meier dibandingkan dengan grafik fungsi tahan hidup dengan metode modifikasi Kaplan-Meier, seperti tampak pada Gambar 4.3.

commit to user



Gambar 4.3 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM, 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 Perbedaan estimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier dan metode Kaplan-Meier biasa terlihat jelas pada nilai hasil estimasi dan grafik fungsinya. Berdasarkan Gambar 4.3 terlihat bahwa kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier dapat diatasi dengan menggunakan penaksir modifikasi Kaplan-Meier. Terlihat probabilitas pasien penderita Leukemia dapat bertahan hidup sampai 4 bulan dan sampai 9 bulan dari Lampiran 1 adalah 𝐾𝑀 4 = 𝐾𝑀 9 = 0,70263, sementara itu dari Lampiran 2 diperoleh nilai probabilitasnya 𝑆2 4 = 0,7232958 dan 𝑆2 9 = 0,6666679 dan dari Lampiran 3 diperoleh nilai probabilitasnya 𝑆3 4 = 0,7213576 dan 𝑆3 9 = 0,634625. Dengan menggunakan penaksir 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 tidak terlihat apa yang menjadi kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier biasa. Selain itu grafik fungsi tahan hidup dengan penaksir 𝑆3 𝑡 tampak lebih halus dibandingkan dengan penaksir 𝑆2 𝑡 . 4.5

Studi Simulasi

Simulasi dilakukan dengan cara membangkitkan data dari dua buah distribusi, yaitu F untuk distribusi waktu hidup dan G untuk distribusi waktu sensor. F dan G masing-masing berasal dari distribusi eksponensial dengan nilai 𝜆 = 0,2 dan 𝜆 = 0,1. Data yang digunakan adalah min(𝐹, 𝐺) dengan 1, jika 𝐹 ≤ 𝐺 𝛿 =commit to user , 0, jika 𝐹 > 𝐺



artinya jika 𝐹 ≤ 𝐺 maka 𝛿 = 1 (data tidak tersensor) dan jika 𝐹 > 𝐺 maka 𝛿 = 0 (data tersensor). Pemilihan distribusi eksponensial dalam simulasi ini dikarenakan distribusi ini merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull, yaitu jika distribusi Weibull memiliki nilai 𝛼 = 1, maka akan menjadi distribusi eksponensial. Berdasarkan hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 4 diberikan grafik estimasi fungsi tahan hidup dan dibandingkan dengan fungsi tahan hidup distribusi eksponensial 𝑆 𝑡 = exp −𝜆𝑡 dengan 𝜆 = 0,2.

Gambar 4.4 Grafik Perbandingan Estimasi Fungsi Tahan Hidup Data Simulasi dengan 𝑆 𝑡 ,𝐾𝑀(𝑡), 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 Gambar 4.4 menunjukkan baik penaksir 𝑆2 𝑡 maupun 𝑆3 𝑡 memberikan hasil estimasi yang lebih baik daripada penaksir Kaplan-Meier, karena kedua grafik tersebut cenderung mampu mengikuti grafik fungsi tahan hidup distribusi eksponensial. Terlihat pula bahwa 𝑆3 𝑡 memberikan estimasi yang terbaik karena grafiknya paling mendekati grafik fungsi tahan hidup distribusi eksponensial daripada kedua penaksir lainnya. Kemudian simulasi tersebut diulang sebanyak 2000 kali dan dihitung nilai mean square error (MSE) pada setiap 𝑆(𝑡). Nilai MSE dihitung dengan mencari kuadrat selisih antara nilai masing-masing penaksir (Kaplan-Meier, 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 ) dengan nilai 𝑆(𝑡) pada tiap-tiap t untuk setiap perulangan kemudian dicari

rata-ratanya. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut: 1 𝑀𝑆𝐸 𝐾𝑀 𝑡 = 𝑅

𝑅

𝐾𝑀 𝑡 𝑖=1 𝑅

𝑖

−𝑆 𝑡

1 𝑀𝑆𝐸 𝑆2 𝑡 = commit to𝑆user 2 𝑡 ) 𝑖 −𝑆 𝑡 𝑅 𝑖=1

2

2



1 𝑀𝑆𝐸 𝑆3 𝑡 = 𝑅

dimana 𝐾𝑀(𝑡)

𝑖

, 𝑆2 𝑡

𝑖

dan

𝑅

𝑆3 𝑡 𝑖=1

𝑆3 𝑡

𝑖

𝑖

−𝑆 𝑡

2

masing-masing adalah nilai penaksir

𝐾𝑀(𝑡), 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 pada perulangan ke-i dan R adalah jumlah perulangan. Berikut adalah grafik perbandingan nilai MSE untuk masing-masing penaksir :

Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Nilai MSE 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 Gambar 4.5 menunjukkan perbandingan nilai MSE untuk 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 . Terlihat garis hitam lebih banyak berada diatas garis berwarna merah, hal ini menunjukkan bahwa nilai MSE pada estimasi fungsi tahan hidup dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier lebih besar dari nilai MSE pada estimasi fungsi tahan hidup dengan menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier. Nilai MSE antara 𝑆2 𝑡 dan 𝑆3 𝑡 tidak terlalu berbeda, tetapi MSE 𝑆3 𝑡 cenderung lebih kecil daripada nilai MSE 𝑆2 𝑡 , hal ini terlihat dari garis warna hijau lebih sering berada dibawah garis warna merah. Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa untuk sampel yang kecil atau menengah, estimasi fungsi tahan hidup dengan menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih baik digunakan daripada dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Akan tetapi untuk data yang besar penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier akan memberikan nilai estimasi yang tidak jauh berbeda dengan metode Kaplan-Meier biasa. Selain itu semakin besar nilai M yang dipilih akancommit memberikan to user nilai estimasi yang lebih baik.


digilib.uns.ac.id

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan Berikut kesimpulan yang diperoleh berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan. 1. Estimasi

fungsi

tahan

hidup

pada

penderita

leukemia

dengan

menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier tampak lebih masuk akal dibandingkan dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Apabila menggunakan penaksir Kaplan-Meier diperoleh probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 4 bulan sama dengan probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 9 bulan, 𝐾𝑀 4 = 𝐾𝑀 9 = 0,70263. Tetapi dengan menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 diperoleh 𝑆2 4 = 0,7232958 dan 𝑆2 9 = 0,6666679 serta untuk 𝑀 = 3 diperoleh 𝑆3 4 = 0,7213576 dan 𝑆3 9 = 0,634625. 2. Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan, diketahui bahwa nilai MSE pada

modifikasi

penaksir

Kaplan-Meier

lebih

kecil

dari

pada

menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Hal ini menunjukkan bahwa modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih baik dibanding menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa dan semakin besar nilai 𝑀 yang dipilih akan menghasilkan nilai estimasi yang lebih baik.

5.2 Saran Pada skripsi ini dibahas mengenai analisis tahan hidup pada penderita Leukemia, bagi pembaca yang ingin mengembangkannya dapat diaplikasikan pada penyakit lain atau diaplikasikan pada bidang yang lain seperti bidang industri. Selain itu dalam menggunakan metode modifikasi penaksir KaplanMeier 𝑆𝑀 𝑡

dapat dipilih nilai 𝑀 yang lebih besar. commit to user 32

oleh AHMAD ISNAINI HASAN NIM. M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

Recommend Documents