Okruhy k bakalářské státní závěrečné zkoušce (2015) Matematická analýza 1.
Funkce, graf funkce, inverzní funkce, operace s funkcemi, trigonometrické funkce, mocninná funkce, exponenciální funkce, logaritmická funkce, limita a spojitost funkce, jednostranná limita, definice limity, existence limity, limita v nevlastních bodech, věty pro výpočet limit, pravostranná a levostranná spojitost, operace se spojitými funkcemi, spojitost složené funkce, věta o nabývání maxima a minima.
2.
Derivace funkce, tečna ke grafu funkce, pravidla pro počítání derivací, derivace součtu, součinu, podílu, složené funkce, mocninné funkce, trigonometrických funkcí, derivace implicitně definovaných funkcí, derivace vyšších řádů.
3.
Aplikace derivace, funkce klesající a rostoucí, konvexní a konkávní, inflexní bod, lokální extrém, nutné a postačující podmínky pro lokální extrém, asymptoty, věta o střední hodnotě, L'Hospitalovo pravidlo, Newtonova metoda přibližného řešení rovnic.
4.
Definice primitivní funkce, základní vlastnosti, substituční metoda, metoda per partes, integrace racionálních, trigonometrických a iracionálních funkcí, Riemannův integrál, definice, základní vlastnosti, podmínky existence Riemannova integrálu, metody integrace - integrace per partes a substituční metoda, vztah mezi primitivní funkcí a Riemannovým integrálem.
5.
Geometrické aplikace Riemannova integrálu - obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, obsah povrchu rotačního tělesa, délka oblouku, fyzikální aplikace Riemannova integrálu – hmotnost rovinné desky, statické momenty rovinné desky, těžiště rovinné desky, hmotnost tenkého rovinného drátu atd.
6.
Funkce více proměnných – limita a spojitost, derivace ve směru, parciální derivace, totální diferenciál, derivace složené funkce, aplikace diferenciálního počtu funkcí více proměnných - tečná nadrovina, lokální extrémy, vázané extrémy, globální extrémy, vektorové funkce více proměnných - definice, základní vlastnosti, spojitost, limita, derivace, gradient, Jacobiho matice.
7.
Posloupnosti, definice, základní vlastnosti posloupností, věty o posloupnostech, definice limsup a liminf posloupnosti, řady, definice konvergence, absolutní a relativní konvergence, vlastnosti číselných řad, věty o konvergenci – limitní a podílové kritérium, integrální kritérium, řady alternující, kritérium konvergence, odhad součtu řady, funkční řady, bodová a stejnoměrná konvergence, Weierstrassovo kritérium, určení oboru konvergence, mocninné řady, základní vlastnosti.
8.
Dvojný Riemannův integrál – definice, základní vlastnosti, Fubiniova věta, základní transformace - posunutí, transformace do polárních souřadnic, věta o substituci, geometrické a fyzikální aplikace dvojného integrálu.
9.
Diferenciální rovnice – rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, homogenní a nehomogenní úloha, prostor řešení
10.
Soustavy diferenciálních rovnic - prostor řešení homogenní úlohy, diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, pevný bod a jeho stabilita.
Geometrie 1.
Vektorové prostory a podprostory, lineární kombinace vektorů, lineárně závislé a nezávislé vektory, generování, báze a dimenze vektorového prostoru a podprostoru, souřadnice, průnik, součet
a přímý součet podprostorů, podprostory vektorového prostoru Rn a jejich souvislost s řešením homogenních soustav lineárních rovnic. 2.
Afinní prostory a podprostory, zaměření afinního (pod)prostoru a jeho dimenze, afinní repér a souřadnice, transformace souřadnic při změně afinního repéru, afinní kombinace bodů, průnik, součet a přímý součet podprostorů, podprostory standardního afinního prostoru Rn a souvislost s řešením nehomogenních soustav lineárních rovnic.
3.
Parametrický a implicitní souřadnicový popis afinního podprostoru, vzájemná poloha afinních podprostorů v afinním a Euklidovském bodovém prostoru, metody zjišťování vzájemné polohy. Příčky mimoběžek v R3.
4.
Lineární zobrazení (homomorfismus) vektorových prostorů, jádro a obraz lineárního zobrazení, matice lineárního zobrazení v různých bázích, matice přechodu od báze k bázi a transformace souřadnic. Skládání zobrazení. Lineární formy, duální prostor a duální báze, duální zobrazení a jeho matice vzhledem k duální bázi.
5.
Bilineární a kvadratické formy, matice bilineární formy vzhledem k bázi a její změna při změně báze, singulární a regulární formy, symetrické a antisymetrické formy, polární báze symetrické bilineární formy, kvadratické formy, polární báze kvadratické formy, definitnost a signatura, zákon setrvačnosti.
6.
Vektorové prostory se skalárním součinem, ortogonální doplněk a některé vlastnosti, norma vektorů, ortogonální báze, Rieszova věta, projektor a jeho vlastnosti, Gramm-Schmidtův ortogonalizační process, Cauchyova a trojúhelníková nerovnost.
7.
Vlastní čísla a vlastní vektory matice/lineárního zobrazení, Jordanův kanonický tvar a příme metody pro jejich nalezení.
Aplikace pro řešení systémů diferenciálních rovnic. Výpočty vlastních čísel pomocí mocninné metody, Rayleighův podíl. 8.
Euklidovské bodové prostory, kartézská souřadnicová soustava a kartézské souřadnice, parametrické a implicitní zadání podprostorů a ortogonální doplněk zaměření, kolmost podprostorů, vzdálenosti a odchylky podprostorů.
Algebra 1.
Výroková logika, matematické důkazy, Booleova algebra, minimalizace výrokové formy, normální formy, predikátová logika. Množiny a relace na množině, kartézský součin množin, vlastnosti relací, tolerance, ekvivalence, rozklad množiny na třídy, uspořádání, význačné prvky v uspořádaných množinách, svazy, mohutnost množiny.
2.
Matice, operace s maticemi a jejich vlastnosti. Převod matice na schodovitý tvar a její hodnost. Regulární a singulární matice, determinanty. Inverzní matice. Algebraické struktury matic. LU rozklad matice a jeho užití. Metody řešení systémů lineárních rovnic (Gaussova eliminační metoda, iterační metody).
3.
Binární operace na množině a jejich vlastnosti (asociativita, komutativita, existence jednotkového prvku, inverze). Algebraické struktury s jednou operací – grupoidy, pologrupy, grupy. Algebraické struktury se dvěma operacemi – okruhy, obory integrity, tělesa. Jejich vlastnosti a příklady.
4.
Permutace množiny a jejich popis. Cykly a transpozice. Rozklady permutací na nezávislé cykly a transpozice. Skládání permutací a jejich grupa. Parita permutace. Popis libovolné grupy pomocí permutací. Dihedrální grupy.
5.
Dělitelnost celých čísel. Největší společný dělitel, Euklidův algoritmus, korektnost Euklidova algoritmu a jeho důsledky. Kongruence,
grupa/okruh zbytkových tříd. Prvočísla, faktorizace přirozených čísel na prvočísla. Kongruenční rovnice. 6.
Eulerova funkce, její základní vlastnosti a metody výpočtu, Eulerova věta, Fermatova věta. Testování prvočíselnosti – Fermatův test. Základy asymetrické kryptografie – algoritmus RSA.
7.
Polynomy nad obecným okruhem/tělesem, operace s polynomy a okruh polynomů. Kořeny polynomu. Ireducibilní polynomy, rozklad polynomů nad Q, R a C na ireducibilní polynomy. Základní věta algebry. Interpolace – Lagrangeův a Newtonův tvar interpolačního polynomu.
8.
Matematická indukce, binomická a multinomická věta, princip inkluze a exkluze, graf a jeho vlastnosti, matice sousednosti, skóre grafu, hledání nejkratší cesty, Eulerovský graf, hledání minimální kostry grafu.
Diferenciální rovnice 1.
Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, fundamentální systém řešení, prostor řešení jako lineární vektorový prostor, metoda variace konstant.
2.
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic, fundamentální systém řešení, prostor řešení jako lineární vektorový prostor, metoda variace konstant.
3.
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Řešení, exponenciální matice.
4.
Nelineární diferenciální rovnice. Equilibrium, isokliny. Vyšetřování lokální stability pevného bodu linearizací soustavy. Ljapunovská funkce.
5.
Okrajová úloha pro obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu.
Pojem klasického řešení. Pojem diferenciálního operátoru a samoadjungovaného diferenciálního operátoru. Typy okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu. 6.
Symetrický diferenciální operátor. Sturm-Liouvillova úloha pro obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu. Fourierova metoda řešení okrajové úlohy pro obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu.
7.
Existence a jednoznačnost klasického řešení. Sobolevovy prostory a slabé řešení Dirichletovy úlohy.
8.
Základní typy lineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu. Typy okrajových a počátečních podmínek. Difuzní rovnice v jedné prostorové proměnné – Fourierova metoda řešení počátečně – okrajové úlohy pro difuzní rovnici.
Aplikovaná matematika 1.
Základy teorie her a jejích aplikací. Hry v maticovém tvaru, řešení her metodou eliminace dominovaných strategií. Nashovo equilibrium, evolučně stabilní strategie. Hra jestřáb-hrdlička. Replikátorová dynamika.
2.
Aplikace v ekologii. Jednodruhové modely růstu populace (obecný model a jeho vlastnosti, exponenciální růst, logistický růst, Alleeho efekt). Lotka-Volterrovy modely typu dravec-kořist, funkční odpověď, Rosenzweig-MacArthurův model dravce a kořisti.
3.
Difuzní rovnice – odvození, okrajové úlohy pro difuzní rovnici, existence a vlastnosti řešení.
4.
Matematická teorie pružných těles – tenzor napětí a deformace,
Hookův zákon, formulace okrajových úloh teorie pružnosti. 5.
Eulerova rovnice, rotace, Navier-Stokesovy rovnice.
6.
Řešení nelineárních rovnic, metoda bisekce, rychlost bisekce, metoda regula falsi, Newtonova metoda, kvadratická konvergence.
7.
Řešení soustav lineárních rovnic, LU rozklad matice a jeho užití, iterační metody, výpočty vlastních čísel pomocí mocninné metody, Rayleighův podíl.
8.
Princip řešení počátečních úloh, řád metody, jednokrokové metody, Eulerova metoda a její modifikace, jednokrokové metody vyšších řádů, metody Runge-Kutta.
9.
Pravděpodobnost - definice pravděpodobnosti, náhodný jev, nezávislost jevů, podmíněná pravděpodobnost, Bayesova formule. Náhodná veličina, příklady spojitých a diskrétních náhodných veličin. Princip testování hypotéz.
