Okruhy a doporučená literatura – písemné přijímací zkoušky - obor Přístroje a metody pro biomedicínu – specifická část testu Matematika – v rozsahu bakalářského studia oboru Biomedicínský technik (BMT) na FBMI: A – Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (posloupnosti, průběh funkce, geometrická i fyzikální interpretace derivace, diferenciál, Taylorova řada) 1. Posloupnosti, vlastnosti posloupností, limita posloupnosti. 2. Reálné funkce jedné reálné proměnné, vlastnosti, operace s funkcemi, složená a inverzní funkce, limita a spojitost funkce, vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu, svislé a šikmé asymptoty grafu funkce. 3. Derivace funkce, derivace složené funkce, derivace inverzní funkce, L'Hospitalovo pravidlo, derivace vyšších řádů, lokální a globální extrémy funkce, průběh funkce, 4. Diferenciál a jeho aplikace, Taylorův polynom. B – Integrální počet funkcí jedné proměnné, aplikace určitého integrálu (geometrické a fyzikální aplikace, nevlastní integrál, ODR), Laplaceova transformace. 1. Primitivní funkce - neurčitý integrál, vlastnosti, metody výpočtu, integrování racionálních funkcí – rozklad na parciální zlomky, integrování goniometrických funkcí. 2. Určitý (Riemannův) integrál, Newton – Leibnitzův vzorec, aplikace, nevlastní integrál vlivem funkce, vlivem meze. 3. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu, formulace úloh pro ODR, řešení ODR 1. řádu. metodou separace proměnných, řešení lineární ODR metodou variace konstanty. 4. Laplaceova transformace a zpětná Laplaceova transformace, užití Laplaceovy transformace pro řešení počáteční úlohy pro ODR n-tého řádu s konstantními koeficienty. Literatura: J. Tkadlec: Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné, skriptum ČVUT, 2004 J. Tkadlec: Diferenciální rovnice (Laplaceova transformace), skriptum ČVUT, 2005 J. Neustupa: Matematika I, skriptum ČVUT, 2006 S. Kračmar, f. Mráz, J. Neustupa: Sbírka příkladů z Matematiky I, skriptum ČVUT, 2013 Vzorové příklad a testy na stránkách předmětů Diferenciální počet a lineární algebra, Integrální počet, Matematika I, Matematika II, (www stránky): http://www.fbmi.cvut.cz/studenti/predmety/17bblad http://www.fbmi.cvut.cz/studenti/predmety/17bbitp http://www.fbmi.cvut.cz/studenti/predmety/17boma1 http://www.fbmi.cvut.cz/studenti/predmety/17boma2
Studenti budou mít k dispozici tabulky vzorců tak, jako u zkoušky z předmětu Integrální počet nebo Matematika II , případně nápovědu uvedenou u jednotlivého testu. Diferenciální počet D1. Tečna ke grafu funkce f ( x) = e3 x− x a c
y =− x − 3 y= x − 3
2
−2
v bodě A=[2,1] má rovnici:
y =− x + 3 y= x + 3
b d
D2. Intervaly monotonie funkce f ( x) = 3 x 5 − 5 x 3 + 1 jsou:
a
c
f je rostoucí na ( −∞ , −1 , 0,1 f je klesající na −1,0 , 1, ∞ ) f je rostoucí na −1,0 , 1, ∞ )
f je rostoucí na −1,1
−5 3 x + 2 2( x − 1) 2 x − 1
−1/2
f ′( x) =
f ′( x) =
5 3x + 2 2 2( x − 1) x − 1
−1/2
c
= y 2x + 2 = y 2x +1
1 3x + 2 2 x −1
−1/2
b
f ′( x) =
d
1 3x + 2 f ′( x) = 2 x −1
D4. Šikmou asymptotou funkce f ( x) =
c
f je klesající na ( −∞ , −1 , 1, ∞ )
3x + 2 je rovna: x −1
a
a
f je klesající na −1,1
d
f je klesající na ( −∞ , −1 , 0,1
D3. Derivace funkce f ( x) =
f je rostoucí na ( −∞ , −1 , 1, ∞ )
b
3/2
2 x 2 + 3x + 1 je přímka s rovnicí: x+2
b d
y= x + 1 y= x + 2
D5. Přibližná hodnota funkce f ( x) = 3 x v bodě x= 9. vypočtená pomocí diferenciálu, je rovna: Nápověda: f ( x) f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) a c
17 8 23 f (9) 12
f (9)
b d
15 8 25 f (9) 12
f (9)
D6. Funkce f (x) je lichou funkcí právě tehdy, když a
∀ x ∈ D f , platí f ( x) = f (− x).
b
∀ x ∈ D f , platí f ( x) =− f (− x).
c
∀ x ∈ D f , platí f (− x) − f ( x) = 0.
d
∀ x ∈ D f , platí − f (− x) =− f ( x).
D7. Za předpokladu, že funkce f je spojitá v uzavřeném intervalu I, platí: a c
uvnitř intervalu I existuje bod c, ve kterém je f (c)=0. funkce f nabývá v intervalu I svého minima i maxima.
b d
má funkce f v intervalu I právě jeden kořen. má funkce f v intervalu I inflexní bod.
D8. Funkce f má v bodě a derivaci rovnu A, právě když: a c
f ( a + h) − f ( a ) =A h →0 h lim = f ( x) lim = f ( x) A
lim
x →0 −
x →0 +
b d
f ( x + h) − f ( x ) =A h →0 h lim = f ( x) lim = f ( x) A
lim
x→a−
x→a+
D9. Má-li funkce f v bodě a kladnou derivaci, pak: a c
je funkce f v bodě a klesající. je funkce f v bodě a konstantní.
b d
je funkce f v bodě a rostoucí. je funkce f v bodě a nerostoucí.
D10. Je-li f spojitá funkce v bodě a a má-li v bodě a lokální extrém, potom: a c
f ′(a ) = 0 . f ′′(a ) = 0 .
b d
f ′(a ) = 0, nebo f ′ v bodě a neexistuje. f ′′(a ) = 0, nebo f ′′ v bodě a neexistuje.
Správné odpovědí: 1b, 2b, 3a, 4c, 5d, 6b, 7c, 8a, 9b, 10b Odpovědná osoba: RNDr. Eva Feuerstein, Ph.D.,
[email protected] (na tento email lze směřovat všechny dotazy týkající se problematiky specifického dílčího okruhu pro obor Přístroje a metody pro biomedicínu (PMB) jako okruhu pro přijímací zkoušky (v tomto případě matematika), a nebo v případě nejasností u vzorového testu).
Integrální počet
2
3
∫ 4 + x + ( x − 1)
I1. Integrál
2
a
2ln ( x 2 + 4 ) −
c
2ln x +
3
( x − 1)
3
2
d x je roven
+C
b
3 +C x −1
d
1
I2. Určitý integrál
∫ ( x + 1) e
x2 +2 x
3 x +C arctg − 2 x −1 3 x 4arctg + +C 2 x −1
d x je roven
0
a
1 3 ( e − 1) 2
b
(1 − e )
c
( e − 1)
d
1 1 − e3 ) ( 2
3
3
∞
I3. Nevlastní integrál
x+4 ∫1 x3 d x
je roven
ln 3 2ln 3
a c
b d
3 6
I4. Laplaceovým obrazem řešení úlohy y′′ + 4 y=′ 8, y (0) = 0, y′(0) = 1 je funkce a c
4+ p p ( p + 4) 8+ p Y ( p) = 2 p ( p + 4) Y ( p) =
b
2
d
8+ p p ( p + 4) 4+ p Y ( p) = 2 p ( p + 4)
Y ( p) =
2
I5. Objem tělesa, které vznikne rotací křivky f ( x) = cos x kolem osy x v mezích od 0 do π/2 je roven:
a c
π − 1 2
π
π
b
2
d
4
π2 2 π π − 0 2
I6. Jsou-li funkce f ′ a g ′ spojité na intervalu I, potom na intervalu I platí. a c
) g ( x) d x ∫ f ′( x = g ′( x ) d x ∫ f ′( x)=
∫ f ( x ) g ′( x ) d x f ( x) g ( x) − ∫ f ( x) g ( x) d x
f ( x) g ( x) −
b d
) g ( x) d x ∫ f ′( x = ) g ( x) d x ∫ f ′( x =
∫ f ( x ) g ′( x ) d x f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′( x ) g ( x ) d x f ( x) g ( x) +
I7. Integrál existuje na uvedených intervalech
∫x
2ln x − 1 − 3ln x − 2 + C , a
1− x d x a je roven: + 3x + 2
3ln x + 1 − 2ln x + 2 + C , b
( −∞,1) , (1,2 ) , ( 2, ∞ )
( −∞, −2 ) , ( −2, −1) , ( −1, ∞ ) 2ln x + 1 − 3ln x + 2 + C ,
ln x − 1 − 2ln x − 2 + C , c
2
( −∞, −2 ) , ( −2, −1) , ( −1, ∞ )
d
( −∞,1) , (1,2 ) , ( 2, ∞ )
I8. Je-li funkce f (x) integrovatelná na intervalu a, b a jsou-li funkce F a G obě primitivními funkcemi k funkci f na a, b , potom platí: a
F ( x) = G ( x)
b
c
F ′( x) − G′( x) = C
d
F= ( x) G ( x) + C F ( x) ⋅ G ( x) = C
I9. Funkce = f ( x ) x sin x − cos x je na R primitivní funkcí k funkci a c
x cos x − x cos x
b d
x sin x − x sin x
I10. Je-li Laplaceův obraz funkce f (t ) roven
a
2 p2 − 2 p + 8
2p −8 . p2 + 4
b
2 p2 + 2 p − 8 c
(p
2
+ 4)
2 p +1 , potom Laplaceův obraz funkce t ⋅ f (t ) je: p2 + 4
2
.
d
( p2 + 4)
2
.
2 . p +4 2
Správné odpovědi 1b, 2a, 3b, 4c, 5c, 6a, 7d, 8b, 9c, 10c Odpovědná osoba: RNDr. Eva Feuerstein, Ph.D.,
[email protected] (na tento email lze směřovat všechny dotazy týkající se problematiky specifického dílčího okruhu pro obor Přístroje a metody pro biomedicínu (PMB) jako okruhu pro přijímací zkoušky (v tomto případě matematika), a nebo v případě nejasností u vzorového testu).
