Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE ...................................................................................................................................................4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI .................................................................................................................5 TÉMATICKÉ OKRUHY .......................................................................................................................................................6 TEST 1 – ZADÁNÍ ...............................................................................................................................................................10 TEST 1 – TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM .......................................................................................................22 TEST 1 – ŘEŠENÍ ................................................................................................................................................................25 TEST 2 – ZADÁNÍ ...............................................................................................................................................................40 TEST 2 – TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM .......................................................................................................50 TEST 2 – ŘEŠENÍ ................................................................................................................................................................54 TEST 3 – ZADÁNÍ ...............................................................................................................................................................74 TEST 3 – TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM .......................................................................................................84 TEST 3 – ŘEŠENÍ ................................................................................................................................................................87 TEST 4 – ZADÁNÍ ............................................................................................................................................................ 105 TEST 4 – TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM .................................................................................................... 119 TEST 4 – ŘEŠENÍ ............................................................................................................................................................. 122 TEST 5 – ZADÁNÍ ............................................................................................................................................................ 139 TEST 5 – TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM .................................................................................................... 149 TEST 5 – ŘEŠENÍ ............................................................................................................................................................. 152 POUŽITÉ ZDROJE .......................................................................................................................................................... 168
Testy z matematiky ZÁKLADNÍ INFORMACE Maturitní zkouška se skládá ze dvou částí – společné (státní) a profilové (školní). Žák úspěšně odmaturuje pouze tehdy, je-li úspěšný u povinných zkoušek obou částí, tedy společné i profilové. Společná část maturitní zkoušky z matematiky obsahuje pouze didaktický test. Jeho kritéria určuje Katalog požadavků zkoušek společné části maturitní zkoušky pro matematiku platný od školního roku 2014/2015. V katalogu jsou uvedeny očekávané vědomosti a dovednosti žáka: kompetence, které jsou ve zkouškách ověřovány, a konkrétní vědomosti a dovednosti z jednotlivých tematických okruhů. Katalog také uvádí základní specifikaci maturitní zkoušky z matematiky (mimo jiné procentuální zastoupení každého tematického okruhu v celém testu) a příklady testových úloh.
Didaktický test z matematiky Obsahuje celkem 26 úloh hodnocených celkem maximálním počtem 50 bodů. Hranice úspěšnosti je pro rok 2015 stanovena na 33 %. Časový limit pro vyřešení didaktického testu je 90 minut, předtím má žák 15 minut na výběr strategie řešení. Povolenými pomůckami jsou psací a rýsovací potřeby „(tužka, guma, pravítko, trojúhelník s ryskou, úhloměr a kružítko) a kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav algebraických výrazů. Kalkulačka nesmí vykreslovat grafy, nesmí zjednodušovat algebraické výrazy obsahující proměnnou a nesmí ani počítat kořeny algebraických nebo jiných rovnic. Kalkulačka by měla naopak zvládat všechny početní (aritmetické) operace (sčítání, odčítání, násobení dělení, umocňování a odmocňování), měla by počítat hodnoty elementárních funkcí (sinus, kosinus a tangens, logaritmus) a k hodnotám těchto funkcí nalézt argument (resp. hodnoty inverzních funkcí). Toleruje se mnoho dalších funkcí kalkulaček, např. práce se zlomky, částečné odmocňování (tedy úpravy aritmetických výrazů pouze s čísly), převody úhlů, výpočet faktoriálů a kombinačních čísel, statistické funkce apod.“ (www.novamaturita.cz) Další povolenou pomůckou jsou matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, případně publikace s totožnými informacemi, neobsahující vzorové úlohy. U každé úlohy/podúlohy je pouze jedna správná odpověď. Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se neudělují záporné body.
V testu jsou a) úlohy s výběrem odpovědi, tj. volba jedné správné odpovědi z daných možností, b) úlohy dichotomické, tj. posuzování, zda je dané tvrzení pravdivé či nepravdivé, c) úlohy přiřazovací, tj. nalezení odpovídajících dvojic ve dvou seznamech, d) úlohy s otevřenou odpovědí, tj. zápis odpovědi (výsledku apod.), případně i postupu řešení (v případech, kdy je to uvedeno v zadání úlohy). V této knize najdete pět kompletních didaktických testů, které by měly sloužit k přípravě na společnou část maturitní zkoušky z matematiky. Snahou kolektivu autorů bylo vytvořit materiály, na nichž si budete moci vyzkoušet maturitní didaktický test nanečisto, včetně bodového vyhodnocení pomocí klíče. V připojeném řešení s komentáři získáte stručná vysvětlení správných odpovědí zejména u obtížnějších otázek. Vyplnění pěti testů nemůže nahradit několikaletou přípravu během studia. Bude však dobrou zpětnou vazbou, jaké jsou vaše silné, případně slabší stránky, a ve kterých oblastech si ještě dohledat informace a procvičit svoje vědomosti a dovednosti. Při práci s testy si také natrénujete určité postupy a získáte větší praxi při odpovídání na různé typy otázek ověřujících vaše vědomosti a dovednosti tak, jak jsou uvedeny v katalogu požadavků.
4
nadpisinformace kapitoly Základní OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI v didaktickém testu podle Katalogu požadavků zkoušek společné části maturitní zkoušky (2015):
KOMPETENCE 1. Osvojení matematických pojmů a dovedností Žák dovede: a) užívat správně matematické pojmy (definovat pojmy a určit jejich obsah, charakterizovat pojem různými způsoby, třídit pojmy a nalézat vztahy mezi nimi); b) numericky počítat a užívat proměnnou (provádět základní početní operace, odhadnout výsledek výpočtu, využít efektivní způsoby výpočtu, upravit výrazy s čísly a proměnnými, stanovit definiční obor výrazu, na základě reálné situace sestavit výraz s proměnnými); c) pracovat s rovinnými a prostorovými útvary (rozpoznat a pojmenovat geometrické útvary, využívat geometrickou představivost při analýze rovinných a prostorových vztahů, měřit a odhadovat výsledek měření, řešit početně geometrickou úlohu, řešit konstrukčně geometrickou úlohu); d) matematicky argumentovat (rozlišit různé typy tvrzení – definice, věta – rozumět logické stavbě matematické věty).
2. Matematické modelování Žák dovede: a) matematizovat reálné situace (odhalit kvantitativní nebo prostorové vztahy a zákonitosti, vytvořit matematický model reálné situace); b) pracovat s matematickým modelem; c) ověřit vytvořený model z hlediska reálné situace (vyjádřit výsledek řešení modelu v kontextu reálné situace, vyhodnotit výsledek modelové situace).
3. Vymezení a řešení problému Žák dovede: a) vymezit problém; b) analyzovat problém; c) zvolit vhodnou metodu řešení problému (popsat problém vzorcem, užít známý algoritmus); vyřešit problém; d) diskutovat o výsledcích; e) aplikovat osvojené metody řešení problému v jiných tématech a oblastech.
4. Komunikace Žák dovede: a) číst s porozuměním matematický text; b) vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru obsažené v grafech, diagramech, tabulkách atd.; c) přesně se vyjádřit (užívat jazyk matematiky včetně symboliky a terminologie, zdůvodnit matematické tvrzení, obhájit vlastní řešení problému, prezentovat výsledky řešení úlohy a prezentovat geometrické konstrukce na dobré grafické úrovni); d) prezentovat získané informace a výsledky (zpracovat získané údaje formou grafu, diagramu, tabulek atd.).
5. Užití pomůcek Žák dovede: a) b) c) d)
využít informační zdroje (odborná literatura, internet atd.); efektivně řešit problémy pomocí kalkulátoru a PC; použít kalkulátor a PC k prezentaci řešení problému; použít tradiční prostředky grafického vyjadřování.
5
Testy z matematiky TEMATICKÉ OKRUHY 1. Číselné obory Žák dovede: 1.1 Přirozená čísla a) provádět aritmetické operace s přirozenými čísly; b) rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit přirozené číslo na prvočinitele; c) užít pojem dělitelnost přirozených čísel a znaky dělitelnosti; d) rozlišit čísla soudělná a nesoudělná; e) určit největšího společného dělitele a nejmenší společný násobek přirozených čísel. 1.2 Celá čísla a) provádět aritmetické operace s celými čísly; b) užít pojem opačné číslo. 1.3 Racionální čísla a) pracovat s různými tvary zápisu racionálního čísla a jejich převody; b) užít dekadický zápis čísla; c) provádět operace se zlomky; d) provádět operace s desetinnými čísly včetně zaokrouhlování, určit řád čísla; e) řešit praktické úlohy na procenta a užívat trojčlenku; f ) znázornit racionální číslo na číselné ose. 1.4 Reálná čísla a) zařadit číslo do příslušného číselného oboru; b) provádět aritmetické operace v číselných oborech; c) užít pojmy opačné číslo a převrácené číslo; d) znázornit reálné číslo nebo jeho aproximaci na číselné ose; e) určit absolutní hodnotu reálného čísla a chápat její geometrický význam; f ) zapisovat a znázorňovat intervaly, určovat jejich průnik a sjednocení; g) provádět operace s mocninami s celočíselným exponentem; h) ovládat početní výkony s mocninami a odmocninami; i) řešit praktické úlohy s mocninami s přirozeným exponentem a odmocninami.
2. Algebraické výrazy Žák dovede: 2.1 Algebraický výraz a) určit hodnotu výrazu; b) určit nulový bod výrazu; c) určit definiční obor výrazu. 2.2 Mnohočleny a) užít pojmy člen, koeficient, stupeň mnohočlenu; b) provádět operace s mnohočleny, provádět umocnění dvojčlenů pomocí vzorců; c) rozložit mnohočlen na součin vytýkáním a užitím vzorců. 2.3 Lomené výrazy a) provádět operace s lomenými výrazy; b) určit definiční obor lomeného výrazu. 2.4 Výrazy s mocninami a odmocninami a) provádět operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny.
3. Rovnice a nerovnice Žák dovede: 3.1 Algebraické rovnice a nerovnice a) užít pojmy rovnice/nerovnice s jednou neznámou, levá a pravá strana rovnice/nerovnice, obor rovnice/nerovnice, kořen rovnice, množina všech kořenů rovnice/nerovnice; 6
nadpisinformace kapitoly Základní b) užít ekvivalentní úpravu rovnice/nerovnice; c) provádět zkoušku. 3.2 Lineární rovnice a jejich soustavy a) řešit lineární rovnice o jedné neznámé; b) vyjádřit neznámou ze vzorce; c) řešit rovnice v součinovém a podílovém tvaru; d) řešit početně soustavy lineárních rovnic s více neznámými; e) řešit graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých; f ) užít lineární rovnice a jejich soustavy při řešení slovní úlohy. 3.3 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a) stanovit definiční obor rovnice; b) řešit rovnice o jedné neznámé s neznámou ve jmenovateli; c) vyjádřit neznámou ze vzorce; d) užít rovnice s neznámou ve jmenovateli při řešení slovní úlohy; e) využít k řešení slovní úlohy grafu nepřímé úměry. 3.4 Kvadratické rovnice a) řešit neúplné i úplné kvadratické rovnice; b) užít vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice; c) užít kvadratickou rovnici při řešení slovní úlohy. 3.5 Lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy a) řešit lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy; b) řešit nerovnice v součinovém a podílovém tvaru.
4. Funkce Žák dovede: 4.1 Základní poznatky o funkcích a) užít různá zadání funkce a používat s porozuměním pojmy definiční obor, obor hodnot, argument funkce, hodnota funkce, graf funkce včetně jeho názvu; b) sestrojit graf funkce y = f(x) nebo část grafu pro hodnoty proměnné x z dané množiny, určit hodnoty proměnné x pro dané hodnoty funkce f; c) přiřadit předpis funkce ke grafu funkce a opačně; d) určit průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic; e) určit z grafu funkce intervaly monotonie a bod, v němž nabývá funkce extrému; f ) modelovat reálné závislosti pomocí elementárních funkcí. 4.2 Lineární funkce, nepřímá úměrnost a) užít pojem a vlastnosti přímé úměrnosti, sestrojit její graf; b) určit lineární funkci, sestrojit její graf; c) objasnit geometrický význam parametrů a, b, v předpisu funkce y = ax + b; d) určit předpis lineární funkce z daných bodů nebo grafu funkce; e) užít pojem a vlastnosti nepřímé úměrnosti, načrtnout její graf; f ) řešit reálné problémy pomocí lineární funkce a nepřímé úměrnosti. 4.3 Kvadratické funkce a) určit kvadratickou funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf kvadratické funkce; b) vysvětlit význam parametru v předpisu kvadratické funkce, určit intervaly monotonie a bod, v němž nabývá funkce extrému; c) řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce. 4.4 Exponenciální a logaritmické funkce, jednoduché rovnice a) určit exponenciální funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf; b) určit logaritmickou funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf, užít definici logaritmické funkce; c) vysvětlit význam základu a v předpisech obou funkcí, monotonie;
7
Testy z matematiky d) užít definici logaritmu, věty o logaritmech, řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, užít logaritmování exponenciální rovnice; e) použít poznatky o funkcích v jednoduchých praktických úlohách. 4.5 Goniometrické funkce a) užít pojmy úhel, stupňová míra, oblouková míra; b) definovat goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku; c) definovat goniometrické funkce v intervalu 0; 2π , resp. nebo _0; π , resp. v oboru reálných čísel, u každé z nich určit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf; d) užívat vlastností goniometrických funkcí, určit z grafu funkce intervaly monotonie a body, v nichž nabývá funkce extrému; e) užívat vlastností a vztahu goniometrických funkcí při řešení jednoduchých goniometrických rovnic.
5. Posloupnosti a finanční matematika Žák dovede: 5.1 Základní poznatky o posloupnostech a) aplikovat znalosti o funkcích při úvahách o posloupnostech a při řešení úloh o posloupnostech; b) určit posloupnost vzorcem pro n–tý člen, graficky, výčtem prvků. 5.2 Aritmetická posloupnost a) určit aritmetickou posloupnost a chápat význam diference; b) užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost. 5.3 Geometrická posloupnost a) určit geometrickou posloupnost a chápat význam kvocientu; b) užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost. 5.4 Využití posloupností pro řešení úloh z praxe, finanční matematika a) využít poznatků o posloupnostech při řešení problémů v reálných situacích; b) řešit úlohy finanční matematiky.
6. Planimetrie Žák dovede: 6.1 Planimetrické pojmy a poznatky a) užít pojmy bod, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly (vedlejší, vrcholové, střídavé, souhlasné), objekty znázornit; b) užít s porozuměním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině (rovnoběžnost, kolmost a odchylka přímek, délka úsečky a velikost úhlu, vzdálenosti bodů a přímek); c) rozlišit konvexní a nekonvexní útvary, popsat jejich vlastnosti a správně jich užívat; d) využít poznatků o množinách všech bodů dané vlastnosti při řešení úloh. 6.2 Trojúhelníky a) určit objekty v trojúhelníku, znázornit je a správně využít jejich základních vlastností, pojmy užívat s porozuměním (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlu, výšky, ortocentrum, těžnice, těžiště, střední příčky, kružnice opsané a vepsané); b) při řešení početních i konstrukčních úloh využívat věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků; c) užít s porozuměním poznatky o trojúhelnících (obvod, obsah, velikost výšky, Pythagorova věta, poznatky o těžnicích a těžišti) v úlohách početní geometrie; d) řešit praktické úlohy s užitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku a obecného trojúhelníku (sinová věta, kosinová věta, obsah trojúhelníku určeného sus). 6.3 Mnohoúhelníky a) rozlišit základní druhy čtyřúhelníků (různoběžníky, rovnoběžníky, lichoběžníky) a pravidelné mnohoúhelníky, popsat jejich vlastnosti a správně jich užívat; b) pojmenovat, znázornit a správně užít základní pojmy ve čtyřúhelníku (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, kružnice opsaná a vepsaná, úhlopříčky, výšky), popsat a užít vlastnosti konvexních mnohoúhelníků a pravidelných mnohoúhelníků;
8
nadpisinformace kapitoly Základní c) užít s porozuměním poznatky o čtyřúhelnících (obvod, obsah, vlastnosti úhlopříček a kružnice opsané nebo vepsané) v úlohách početní geometrie; d) užít s porozuměním poznatky o pravidelných mnohoúhelnících v úlohách početní geometrie. 6.4 Kružnice a kruh a) pojmenovat, znázornit a správně užít základní pojmy týkající se kružnice a kruhu (tětiva, kružnicový oblouk, kruhová výseč a úseč, mezikruží), popsat a užít jejich vlastnosti; b) užít s porozuměním polohové vztahy mezi body, přímkami a kružnicemi; c) aplikovat metrické poznatky o kružnicích a kruzích (obvod, obsah) v úlohách početní geometrie. 6.5 Geometrická zobrazení a) popsat a určit shodná zobrazení (souměrnosti, posunutí, otočení) a užít jejich vlastnosti.
7. Stereometrie Žák dovede: 7.1 Tělesa a) charakterizovat jednotlivá tělesa (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její části), vypočítat jejich objem a povrch; b) užít polohové a metrické vlastnosti v hranolu; c) využít poznatků o tělesech v praktických úlohách.
8. Analytická geometrie Žák dovede: 8.1 Souřadnice bodu a vektoru na přímce a) určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky; b) užít pojmy vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru; c) provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem). 8.2 Souřadnice bodů a vektorů v rovině a) určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky; b) užít pojmy vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru; c) provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem, skalární součin vektorů); d) určit velikost úhlu dvou vektorů. 8.3 Přímka v rovině a) užít parametrické vyjádření přímky, obecnou rovnici přímky a směrnicový tvar rovnice přímky v rovině; b) určit polohové a metrické vztahy bodů a přímek v rovině a aplikovat je v úlohách.
9. Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Žák dovede: 9.1 Základní poznatky z kombinatoriky a pravděpodobnosti a) užít základní kombinatorická pravidla; b) rozpoznat kombinatorické skupiny (variace s opakováním, variace, permutace, kombinace bez opakování), určit jejich počty a užít je v reálných situacích; c) počítat s faktoriály a kombinačními čísly; d) užít s porozuměním pojmy náhodný pokus, výsledek náhodného pokusu, náhodný jev, opačný jev, nemožný jev a jistý jev; e) určit množinu všech možných výsledků náhodného pokusu, počet všech výsledků příznivých náhodnému jevu a vypočítat pravděpodobnost náhodného jevu. 9.2 Základní poznatky ze statistiky a) užít pojmy statistický soubor, rozsah souboru, statistická jednotka, statistický znak kvalitativní a kvantitativní, hodnota znaku a pojmy vysvětlit; b) vypočítat četnost a relativní četnost hodnoty znaku, sestavit tabulku četností, graficky znázornit rozdělení četností; c) určit charakteristiky polohy (aritmetický průměr, medián, modus, percentil) a variability (rozptyl a směrodatná odchylka); d) vyhledat a vyhodnotit statistická data v grafech a tabulkách. (CERMAT, Katalog požadavků zkoušek společné části maturitní zkoušky)
9
Matema ka – test 1 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Z plechu tvaru čtverce byl uprostřed vystřihnut kruh a u vrcholů čtverce byly odstřihnuty čtyři čtvrtkruhy.
Poloměr kruhu i poloměr čtvrtkruhů je roven jedné šes ně délky úhlopříčky čtverce. max. 3 body 8
Vypočítejte, kolik procent z obsahu původního čtverce činí obsah zbylé čás . Výsledek zaokrouhlete na dese ny procenta. Uveďte celý postup řešení.
max. 2 body 9
Řešte rovnici tg 2D
3 v oboru ( 0 ; πS).
Řešení vyjádřete v obloukové míře.
ZADÁNÍ
Uveďte celý postup řešení.
12
12
10
Řešte rovnici 5 2
x 1
25 . 40
Uveďte celý postup řešení.
max. 2 body
nadpis kapitoly
Zadání 24
2 body
x 2 2x 3 Je dána funkce: y Jaký je definiční obor této funkce? Ϳ Ϳ Ϳ Ϳ Ϳ
ۃെͳǢ ͵ۄ (0 ; f ) (2 ; 3) 1ʹۄ ;2! ͳۃǢ ũŝŶĄŵŶŽǎŝŶĂ
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 25
ƌŝƚŵĞƚŝĐŬĄŝŐĞŽŵĞƚƌŝĐŬĄƉŽƐůŽƵƉŶŽƐƚŵĂũşƉƌǀŶşēůĞŶϮĂƉĄƚljēůĞŶϯϮ͘ max. 2 body 25 25.1 Která z hodnot A)–E) je součtem prvních 25 členů aritme cké posloupnos ? 25.2 Která z hodnot A)–E) je součtem prvních 10 členů geometrické posloupnos ?
A)
2 046
Ϳ
2 120
Ϳ
2 300
Ϳ
2 312
Ϳ
jiný součet
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 26 Hodíme najednou čtyřmi mincemi.
26
:ĂŬĄũĞƉƌĂǀĚĢƉŽĚŽďŶŽƐƚƚŽŚŽ͕ǎĞƉĂĚŶĞƐƚĞũŶljƉŽēĞƚƌƵďƽũĂŬŽůşĐƽ͍ 1 A) 5 3 B) 8 1 C) 2 9 D) 16 E) jiná hodnota
ZADÁNÍ
1 bod
21
21
nadpis kapitoly
Řešení Pavel: poseče celou louku sám za
6 hodin
1 ůŽƵŬLJ 6 2 ůŽƵŬLJ 6
njĂϭŚŽĚŝŶƵƉŽƐĞēĞ za 2 hodiny společné práce poseče Sestavíme rovnici:
࢞ ൌ
(Jednička na pravé straně znamená, že Tomáš s Pavlem posečou celkem jednu celou louku – chápeme ji jako jednu celou jednotku.) Vyřešíme rovnici: 3 ( x 2) 2 2 12
3 x ࢞x Tomáš pracoval sám
2 hod. 3
2 2 hod. 40 min. 3
40 min.
Hodnocení úlohy sestavení rovnice vyřešení rovnice
1 bod 8
Řešení úlohy Definiční obor rovnice je množina všech reálných čísel, která lze dosadit za proměnnou do dané rovnice, tj. po dosazení budou všechny výrazy v rovnici definovány.
ŘEŠENÍ
1 bod 1 bod
Určíme podmínky – jmenovatelé zlomků musí být různí od nuly:
x2 9 z 0
x 1 z 0
ƐƉůŶĢŶŽƉƌŽ x R R
x2 z 0
x z 1
x z 0
sljƌĂnjLJǀƌŽǀŶŝĐŝũƐŽƵĚĞĨŝŶŽǀĄŶLJƉƌŽǀƓĞĐŚŶĂƌĞĄůŶĄēşƐůĂǀLJũŵĂx = 0 a x = 1.
ĞĨŝŶŝēŶşŽďŽƌƚĂŬďƵĚĞƌŽǀĞŶ D R \ ^0;1` ͘
125
nadpis kapitoly
Řešení max. 3 body 8
Řešení úlohy Označíme-li stranu čtverce , bude jeho obsah
PolomĢr kruhu i ētvrtkrƵŚƽtedy bude
2
a délka úhlopříčly a 2.
ࢇξ Ǥ
Ze čtyř čtvrtkruhů dostaneme jeden celý kruh a obsah zbylé čás vypočteme takto: 2 ૢെૈ § · a Sπ · 2 2a 2 2 2 2 § ¨ ¸ Ǥ ࢇ ή π π a a S 2 1 S a 2 S¨ ¨ ¸ ¸ ૢ 6 36 9 © ¹ © ¹
Pro výpoēet procent vypoēştáme podşů
9 Sπ 9
S a2
0,650964 ..., což po
zaokrouhlenş je 65,1 %. Obsah zbylé ēásƟ je 65,1 % obsahu Ɖƽvodního ētverce. Hodnocení úlohy nalezení poloměru kruhů nalezení obsahu zbylé čás správný počet procent
max. 2 body 9
Řešení úlohy Sπ Funkce y tg x nabývá hodnoty 3 pro argument kSπ , kde k je celé 3 číslo. Sπ kSπ KĚƚƵĚƉůLJŶĞ͗ 2D
3
D
Sπ 6
k
Sπ 2
π ĞǀƓĞĐŚƚĢĐŚƚŽēşƐĞůůĞǎşǀ intervalu 0 ; S
ŘEŠENÍ
1 bod 1 bod 1 bod
ƉŽƵnjĞĚǀĢēşƐůĂ͕ĂƚŽ
2 1 Sπ a Sπ . 6 3 \ĞƓĞŶşŵŝƌŽǀŶŝĐĞǀĚĂŶĠŵŽďŽƌƵũƐŽƵēşƐůĂ Hodnocení úlohy nalezení alespoň jednoho řešení nalezení i druhého řešení
ૈa ૈǤ 1 bod 1 bod 29
nadpis kapitoly
Řešení Úloha
Správné řešení
Body
20
D)
1 bod
21
A)
2 body
22
max. 3 body vyřešení 3 podúloh = 3 body, vyřešení 2 podúloh = 2 body, 1 podúlohy = 1 bod
22.1
B)
22.2
D)
22.3
A)
23
A)
3 body
24
C)
2 body
25
C)
2 body
26
A)
2 body
ŘEŠENÍ
Všechna ekvivalentní vyjádření jsou možná.
151
