Obsah Úvod .......................................................................................................... 2 1) Domečkologie ....................................................................................... 3 2) Möbiova páska ...................................................................................... 4 3) Hra v šachy ........................................................................................... 5 4) Mince a jejich překládání ...................................................................... 6 5) Množení makovic.................................................................................. 7 6) Hra Patnáct ............................................................................................ 8 7) Náušnice a boty ..................................................................................... 9 8) Park a jeho studna ............................................................................... 10 9) Pastorek ............................................................................................... 11 10) Tah .................................................................................................... 12 11) Topinková hra ................................................................................... 13 12) Tvorba čtverce .................................................................................. 14 13) Dva hlavolamy s mincemi ................................................................ 15 14) Sedm případů žluté krychle .............................................................. 16 15) Konstruktérská úloha ........................................................................ 17 16) Krok do prostoru ............................................................................... 18 17) Mince a zápalky kolem ní ................................................................. 19 18) Od čtverců k rámu ............................................................................. 20 19) Poskakující kolečka .......................................................................... 21 20) Průzkum láhve .................................................................................. 22 21) Zápalky do tvaru šipky ..................................................................... 23 22) Hledá se střed kružnice ..................................................................... 24 23) Zrod hvězdy z osmiúhelníku ............................................................. 25 24) Krájení dortu ..................................................................................... 26 25) Divná špejle ...................................................................................... 27 26) Řazení karet ...................................................................................... 28 27) Kvíz – matematika ............................................................................ 29 28) Řešení kvízu – matematika ............................................................... 37 29) Papírový hlavolam ............................................................................ 37 30) Úlohy – věda a debrujáři 2014 .......................................................... 38 31) Eratosthenovo síto ............................................................................. 43 32) Ludolfovo číslo ................................................................................. 44 33) Jednokopový NIM ............................................................................ 46 34) Faktoriál ............................................................................................ 48 35) Exponenciální funkce........................................................................ 49 36) Den bez čísel a den s čísly ................................................................ 50 Místo závěru ............................................................................................ 53 Literatura ................................................................................................. 56
Úvod Jsem debrujár a jsem rád, protože v debrujárech je to dobré. Každý týden se naučíme aspoň tři pokusy a dva hlavolamy. Připravujeme se na debrujárské soutěže, hrajeme si s vědou. V květnu jsme byli v Brně na Rafanovi (ekologická soutěž Radost–fantazie–nápady) a tam předváděli pokusy jiným dětem. Na Bambiriádě v Brně jsme měli svůj stánek a na něm hračkárnu, hernu, bublinoškolu, optické hlavolamy, stavby a další zajímavosti. Náš stánek byl plný obdivovatelů. No paráda. David Peter a Martin Balvín Při čtení této reportáže mi chodí mráz po těle. Napsal ji Martin, který již není mezi námi. Zemřel příliš mladý. A právě Martinovi bychom udělali velkou radost. Tobě Martine, věnujeme tuto malou sbírku… Malí debrujáři jsou dobří a mají fantazii. Malí debrujáři se snaží všechno pochopit, a snaží se vysvětlit jevy, které sledují, po svém. Když pochopí, jak a proč věci fungují, tak jim to v očích zajiskří. Malí debrujáři dělají nám dospělákům velkou radost. Velice potřebujeme, abychom viděli někoho se radovat. Proto i my dospěláci debrujaříme a zůstáváme dlouho dětsky hraví. A myslím si, že všichni vědci byli nejdříve malými debrujáry. (Ale asi o tom nevěděli.) Libor KMD (klub malých debrujárů) FreeDeK byl založen v říjnu roku 1995. Byl jedním z prvních klubů na území Moravskoslezského kraje. Debrujáři z Frýdku-Místku zvítězili ve finále republikové soutěže "Stroj času" v Bučovicích 97, ve finále republikové soutěže "Mea Terra" v Litomyšli 98, byli třetí na "Hydru" v Táboře 99. Předváděli pokusy na "Vánocích debrujárů" v Praze, na akci "Hrad patří dětem", na soutěži "Nevyhazuj, z toho by mohlo být", v portugalské Coimbře, v mexické Pueble, v televizním pořadu v Žirafa, na soutěži RAFAN, Bambiriádě v Brně, v Ostravě, ve Frýdku-Místku, v Bruselu, v Paříži, v Moskvě, v Londýně, v Římě, v Pise, v Miláně, v chilském Santiagu, tureckém Istanbulu, pražském Vědohraní, francouzském Reunionu, emirátském Abu Dhabi atd. Debrujáři jsou uznávanou organizací v Moravskoslezsku. Práci debrujárů oceňují děti a rodiče v celém našem kraji. Jednoduše řečeno, debrujáři Moravskoslezského regionu jsou lidé, kteří svou práci dělají dobře. V současné době umíme pro děti vytvořit dobré podmínky pro to, aby nejen udělaly první krůčky do světa vědy, ale aby vědu dělaly. Malé debrujáry najdete mezi dětmi mateřských škol, základních a středních škol. Kdo je debrujár ? Asociace malých debrujárů České republiky vznikla na základě zkušeností z Kanady a přes Francii se dostala až k nám, kde působí od 22. 9. 1992. Debrujár je slovo francouzského původu, vzniklo ze slov DÉBROUILLARD–šikovný, obratný a SE DÉBROUILLER– objevovat, pomoci si v těžkostech, umět si poradit. Jsou to chlapci a děvčata a jejich starší kamarádi, sourozenci, rodiče, učitelé, kteří mají zájem o vědu, techniku, kteří stále něco vymýšlejí, objevují a experimentují. Debrujáři se seznamují se zajímavými pokusy, které si mohou sami vyzkoušet, a přitom k tomu nepotřebují žádné drahé přístroje.
2
1) Domečkologie Čas potřebný na činnost: 20 minut Domečkologie je „věda“, která se zabývá kreslením domečků jedním tahem. Otcem domečkologie je švýcarský matematik Leonhard Euler (je považován za nejlepšího matematika a fyzika18. století) Potřebné pomůcky: tužka a papír Návod na realizaci: Pokuste se nakreslit jedním tahem následující verze domečků. Musíte dodržet pravidlo, že nesmíte tužku z papíru zvednout, a také nesmíte vést tah tužkou po jedné hraně dvakrát.
Jelikož jde o „vědu“ zkoumání domečků, zkuste rozšířit předešlé domečky na řadové, patrové a panelové. Pokuste se je nakreslit minimálním počtem tahů.
Umíte nakreslit domečky uzavřeným tahem (skončíte tam, kde jste začali)? 3
Řešení:
2) Möbiova páska Čas potřebný na činnost: 15 minut Möbiova páska je jedním z objektů topologie, kterou založil matematik August Möbius. Potřebné pomůcky: papír, nůžky, pastelky, lepidlo Návod na realizaci: Vystřihněte asi 30 cm dlouhý proužek, široký alespoň 4 cm. Chytněte každý konec proužku do jedné ruky. Jeden konec otočte o 180° a spojte je lepidlem. Vysvětlení: Pokud budete přejíždět prstem po straně pásky, zjistíte, že má jen jednu stranu. Dá se to ověřit také tak, že na začátku, než spojíte oba konce papíru, vybarvíte každou stranu obdélníkového proužku papíru jinou barvou. U Möbiovy pásky se vám to nepodaří. Rub a líc zde neexistuje. 4
3) Hra v šachy Čas potřebný na činnost: 30 minut Byl jednou jeden indický král, který slíbil jednomu svému poddanému vše, co si bude přát. Učinil tak po záchraně dcery, kterou poddaný dovedl domů. Král s královnou hráli na trůně šachy, když se náhle poddaný před nimi objevil. „Drahé veličenstvo, přišel jsem si pro svou odměnu.“ „Co si přeješ vážený zachránce mé dcery?“, řekl král. „Přál bych si, abych za první pole šachovnice dostal zrno rýže.“ „Pouze rýži?“ podivil se král. „Ano, za druhé pole šachovnice 2 zrna, za třetí 4 zrna, za čtvrté 8, za páté 16, za šesté 32...“ „Dobrá, dostaneš dvojnásobek zrn, než bylo na poli předcházejícím. Za všech 64 polí šachovnice.“ řekl král. Pomyslel si, že i tulák by toho požadoval více. „Nechť dvorní matematikové spočítají, kolik zrn rýže máme dát našemu zachránci!“ rozkřičel král po celém panství. Potřebné pomůcky: šachovnice, rýžová zrna, kalkulačka. Návod na realizaci: Na první pole položte jedno zrno, na druhé 2 zrna, na třetí 4 zrna, pokaždé dvojnásobek počtu na předchozím poli atd. Vysvětlení: Po několika dnech přišel nejlepší dvorní matematik s výsledkem, jehož počet zrn by obnášel přeměnit všechna království na rýžová pole, vypustit všechny oceány, moře a rozpustit ledovce, aby bylo možné na každém místě vytvořit pole. „Jedná se o 18 446 744 073 709 551 615 zrn rýže!“ „Jak jste přišel na takové číslo?“ podivil se král. „Výpočet tkví ve vynásobení 64 dvojek, které jsme rozdělili na 6 skupin po 10 dvojkách a jednu skupinu 4 dvojek. Je jisté, že součin 10 dvojek je roven 1024, součin 4 dvojek je roven 16. Následně jsme dostali součin 1024 · 1024 · 1024 · 1024 · 1024 · 1024 · 16. Vynásobením 1024 · 1024 jsme obdrželi číslo 1 048 576. Zbylo spočítat 1 048 576 ∙ 1 048 576 ∙ 1 048 576 ∙ 16 a odečíst jedničku.“ 5
4) Mince a jejich překládání Čas potřebný na činnost: 30 minut Připravte si mince 20 Kč, 10 Kč, 5 Kč, 2 Kč, 1 Kč, které uspořádáte na talíř chronologicky od mince s největší hodnotou do mince s nejmenší hodnotou. Vedle talíře postavíte ještě další dva talíře. Úkolem je přenést mince z původního talíře, kde jsou mince umístěné na třetí talíř tak, aby na třetím talíři byly mince uspořádány ve stejném pořadí. Pravidlem je, že můžete překládat vždy jednu minci a nepokládat minci s větší hodnotou na menší. Lze použít druhý talíř, ale obě pravidla jsou na něm stejná. Jaký je nejmenší počet přenosů mincí z prvního (počátečního) talíře na třetí (koncový)? Potřebné pomůcky: 3 talíře, dvacetikoruna, desetikoruna, pětikoruna, dvoukoruna, koruna Návod na realizaci: Pokud máte pouze dvě mince, 20 Kč a 10 Kč, pak desetikorunu přesuňte na prostřední talíř, dvacetikorunu na třetí talíř a z prostředního talíře přesunete desetikorunu na dvacetikorunu na posledním talíři. Celkem jste provedli tři tahy. Pokud přidáte 5 Kč na první talíř k 10 Kč a 20 Kč minci, pak počítáme opět tahy, kolika lze přenést tuto hromádku mincí na třetí talíř. Nejdříve přesunete dvě menší mince na prostřední talíř, což provedete třemi tahy. Pak položíte dvacetikorunu na třetí talíř, což je jeden tah a poté přeložíte obě mince z prostředního talíře na dvacetikorunu třemi tahy. Tedy celkem máte 3 + 1 + 3 = 7 tahů. Po přidání 2 Kč přenesete 3 menší mince na prostřední talíř pomocí 7 tahů, pak dvacetikorunu položíte na třetí talíř, což je jeden tah, a poté přenesete mince z prostředního talíře pomocí 7 tahů na třetí talíř. Celkem 15 tahů. A co při všech pěti mincích? Vysvětlení: Při pěti mincích provedete celkem 15+1+15=31 tahů. Výpočet lze zjednodušit. Pokud si povšimnete, tak počet jednotlivých tahů jsou vlastně násobky dvou odečtené o jednotku. Po rozepsání 3=2·2−1 7=2·2·2−1 15 = 2 · 2 · 2 · 2 − 1 31 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 − 1 6
5) Množení makovic Čas potřebný na činnost: 30 minut Zralá makovice obsahuje spoustu drobných zrníček. Z každého zrníčka může po zasetí vyrůst celá rostlina. Pokud zasejeme všechna zrníčka makovice, kolik vyroste rostlin? Vyroste jich tolik, kolik je zrníček v makovici. Kolik zrnek má makovice? Předpokládejme, že v prvním roce na poli vyroste 3000 makovic, kde každá obsahuje 3000 zrnek. Pokud zasejeme všechna zrnka ze všech 3000 makovic, jaké množství zrnek zasejeme? Pokud budeme mít v druhém roce 9 000 000 rostlin, kde každá obsahuje 3000 zrnek, kolik zrnek budou mít makovice celkem? Jestliže všechna tato zrnka zasejeme, kolik rostlin budeme mít ve třetím roce? Od kterého roku bude rostlinám na naší Zemi těsno? Potřebné pomůcky: makovice, kalkulačka Návod na realizaci: Spočítejte, kolik zrnek má makovice. Vysvětlení: Jestli jste napočítali okolo 3000 zrnek, tak jste počítali správně. Tolik rostlin by vyrostlo, kdybychom všechna zrnka zaseli. Takové množství by stačilo pokrýt celé makové pole. Jestliže zasejeme každé zrnko z 3000 makovic, kde každá makovice má 3000 zrnek, pak zasejeme celkem 3000 x 3000, tj. 9 000 000 zrnek. Jestliže všechna tato zrnka zasejeme a po čase z nich vyrostou makovice o 3000 zrnkách, budeme mít celkem 9 000 000 · 3000, tj. 27 000 000 000 zasetých zrnek. Poté 27 000 000 000 · 3000, tj. 81 000 000 000 000 máků. V pátém roce 81 000 000 000 000 x 3000 = 243 000 000 000 000 000 je na Zemi rostlinám těsno, neboť všechny pevniny na povrchu měří dohromady 135 000 000 000 000 m2. Na čtverečním metru se vyskytuje 2000 makových rostlin. Pokud by se všechna zrníčka ujala, pokryla by celý povrch Země již za 5 let. 7
6) Hra Patnáct Čas potřebný na činnost: 10 minut – 100 let Určitě jste se setkali se čtvercovou krabičkou, ve které jsou kostičky očíslované od 1 do 15, kde jedna kostička chybí do plného počtu v krabičce. Prázdné políčko slouží k přemisťování kostiček. Úkolem je posunout kostičky z počátečního, libovolného pořadí tak, aby na konci opět tvořila řadu čísel od 1 do 15. Tato hra vznikla v Americe roku 1880. Potřebné pomůcky: hra Patnáct nebo 15 kostiček očíslovaných od 1 do 15 a mřížka Návod na realizaci: Seřaďte kostičky do libovolného pořadí. Pokuste se přemisťovat kostičky tak, abyste je měli seřazené od 1 do 15, jako je uvedeno na obrázku.
Vysvětlení: Počáteční postavení kostiček můžete vybírat z 15! = 1307674368000 možností. Jsou však možnosti, u kterých se k požadovanému pořadí nikdy nedoberete. Jaké je matematické tvrzení pro počáteční stav této hry? „Hra je řešitelná právě tehdy, když je počátečním postavení počet předcházených čísel sudý.“ Co si pod počtem přecházených čísel představit? Uvažujme následující uspořádání kostiček. Kostičky 1, 2, 3, 4 a 5 jsou v pořádku. Kostička 7 předchází kostičku 6, neboť má vyšší hodnotu. 15 předchází 10, 12, 14, 11 a 13, 12 předchází 11, 14 předchází 11 a 13. Celkem máme počet předcházených čísel 9, což je liché číslo. S takovýmto postavením bychom nikdy nenašli řešení. 8
7) Náušnice a boty Čas potřebný na činnost: 30 minut V jednom šuplíku je uloženo 10 párů červených a 10 párů modrých náušnic. V jiném šuplíku je uloženo 10 párů hnědých a 10 párů černých bot. Kolik náušnic a bot stačí vytáhnout z každého šuplíku, aby se z nich dal vybrat jeden pár náušnic a jeden pár bot stejné barvy? Potřebné pomůcky: tužka, pastelky, papír, nůžky. Návod na realizaci: Nakreslete 10 párů červených a 10 párů modrých náušnic. Poté nakreslete 10 párů hnědých a 10 párů černých bot (levou botu označte písmenem L a pravou botu písmenem P). Obrázky nastříhejte tak, že na každém obrázku je právě jedna náušnice nebo bota. Dále si nakreslete dva šuplíky, kde do jednoho poskládáte náušnice a do druhého boty. A můžete náušnice a boty z šuplíků vytahovat. Vysvětlení: Stačí vybrat ze šuplíku tři náušnice, protože dvě budou jistě stejné barvy. U bot je situace složitější, neboť rozlišujeme nejen mezi barvou, ale také mezi botou pro levou a pravou nohu. Stačí vybrat 21 bot. Kdybychom vybrali méně, například 20 bot, pak by se mohlo stát, že všech 20 bude na stejnou nohu.
9
8) Park a jeho studna Čas potřebný na činnost: 15 minut Uvažujte park, který je vymezen 20 zápalkami do tvaru čtverce a uprostřed něj je studna tvořena 4 zápalkami rovněž ve tvaru čtverce.
Potřebné pomůcky: zápalky a) Vzniklý obrazec rozdělte 18 zápalkami na 6 shodných dílů. b) Vzniklý obrazec rozdělte 20 zápalkami na 8 shodných dílů.
Řešení:
10
9) Pastorek Čas potřebný na činnost: 15 minut Malé ozubené kolo s 8 zuby zabírá spolu s velkým kolem s 24 zuby. Malé kolo při otáčení navíc obíhá kolem velkého kola. Kolikrát se otočí malé kolo při oběhu kolem velkého kola? Potřebné pomůcky: list papíru, dvě stejné mince Návod na realizaci: Položte si obě mince na list papíru. Jednu minci přidržte a druhou se pokuste odvalovat kolem obvodu první mince. Vysvětlení: Zjistíte, že pokud objedete přidrženou minci dokola, otočí se druhá dvakrát kolem své osy. Pokud se vrátíte zpět k ozubeným kolům, pak zjistíte, že se malé kolo otočí čtyřikrát kolem své osy.
11
10) Tah Čas potřebný na činnost: 10 minut Uvažujte 5 bodů v rovině. Nalezněte řešení, jak lze jedním tahem, tj. pěti úsečkami, spojit všechny body? Potřebné pomůcky: papír, pastelky Návod na realizaci: Nakreslete na papír 5 bodů (puntíků). Pokuste se všechny body spojit jedním tahem. Že těch tahů může být víc? Ano, není obtížné najít alespoň dvě řešení.
Poté se pokuste spojit 9 bodů čtyřmi úsečkami jedním tahem. Je možné vést více úseček jedním bodem vícekrát. Vysvětlení:
12
11) Topinková hra Čas potřebný na činnost: 15 minut Uvažujte, že stojíte v kuchyni a chcete si opéct topinku. Vytáhnete pánev, zapnete sporák a přidáte olej na pánev. Nyní chcete osmahnout 3 topinky, jenže na pánev se vejdou jenom 2. Jak topinky opečete, aby celková doba přípravy byla minimální? Potřebné pomůcky: 3 topinky, pánev, olej, plynový hořák, nebo tužku a papír Návod na realizaci: Pokuste se přijít na co nejkratší přípravu topinek za předpokladu, že každá strana topinky se opéká 2 minuty. Vysvětlení: Tři topinky se dají upéct nejdříve za 6 minut. Na pánev se dá 1. a 2. topinka. Po dvou minutách opékání se první topinka otočí, druhou dáte z pánve ven a přidáte do pánve třetí. Po dalších dvou minutách máme opečeny další strany. Vyndáte ven první topinku a zbylé dvě otočíte na neopečenou stranu.
13
12) Tvorba čtverce Čas potřebný na činnost: 30 minut Nakreslete následující obrázek (kříž z pěti stejných čtverců).
Potřebné pomůcky: nůžky, papír, tužka, pravítko Tento kříž rozdělte na 4 díly tak, aby se z nich dal sestavit čtverec. Řešení:
14
13) Dva hlavolamy s mincemi Čas potřebný na činnost: 10 minut Potřebné pomůcky: mince Návod na realizaci: 1) Postavte 12 mincí do tvaru čtverce tak, aby každá strana čtverce měla 4 mince. Takto položené mince se snažte následně přemístit do tvaru čtverce, aby každá jeho strana měla mincí 5.
2) Postavte 12 mincí do čtverce, který má 3 řady mincí postavených vodorovně a 3 řady svisle. Podmínkou je, že v každé z těchto řad musí ležet 4 kameny. Řešení:
15
14) Sedm případů žluté krychle Čas potřebný na činnost: 15 minut Potřebné pomůcky: papír, pravítko, tužka, žlutá pastelka (fix) Návod na realizaci: Vyrobte nebo nakreslete krychli, jejíž vnější stěny budou mít žlutou barvu. Nyní si představte, že její hrana má délku 30 cm. Otázky jsou následující. 1) Jestliže z této krychle chcete obdržet krychličky o délce 10 cm, kolik řezů musíte krychlí provést? 2) Kolik krychliček tímto způsobem dostanete? 3) Kolik krychliček bude mít všechny stěny žluté barvy? 4) Kolik krychliček bude mít tři stěny žluté barvy? 5) Kolik krychliček bude mít dvě stěny žluté barvy? 6) Kolik krychliček bude mít jednu stěnu žluté barvy? 7) Kolik krychliček nebude mít ani jednu stěnu žluté barvy?
Řešení: 1) 6 2) 27 3) žádná 4) 8, což odpovídá 8 vrcholům krychle 5) 12, což odpovídá 12 hranám krychle 6) 6, což odpovídá 6 stěnám krychle 7) 1
16
15) Konstruktérská úloha Čas potřebný na činnost: 20 minut Potřebné pomůcky: papír, nůžky, lepidlo Vystřihněte 3 proužky, které slepíte do řetízku. Jeden příklad řetízku je uveden na obrázku. Úkolem je přestřihnout řetízek tak, aby se rozpadl na tři části. Je samozřejmé, že u řetízku uvedeného na obrázku byste museli každý článek rozstřihnout zvlášť.
Návod na realizaci: Sestrojte řetízek do tvaru, po jehož přestřihnutí se celý rozpadne. Lze přestřihnout pouze jeden proužek, nikoli více najednou. Řešení:
17
16) Krok do prostoru Čas potřebný na činnost: 15 minut Potřebné pomůcky: zápalky, plastelína Návod na realizaci: Jestliže spojíte plastelínou všechny konce tří zápalek, vznikne vám rovnostranný trojúhelník. Nyní spojte 9 zápalek stejným způsobem tak, abyste sestrojili 7 rovnostranných trojúhelníků.
Řešení: Celkem sestrojíte 2 jehlany, které mají jednu společnou podstavu.
18
17) Mince a zápalky kolem ní Čas potřebný na činnost: 15 minut Potřebné pomůcky: zápalky, mince Rozložte zápalky, jako je uvedeno na obrázku. Dvanáct zápalek směřuje hlavičkou směrem ven od mince, třináctá zápalka hlavičkou směrem k minci. Úkolem je odstranit všechny zápalky kromě třinácté, která je položena hlavičkou k minci. Odstranit takovým způsobem, že nejdříve odstraníte jednu zápalku a pak ve směru hodinových ručiček odstraníte každou třináctou. Je však otázkou, kterou zápalkou začít?
Návod na realizaci: Umístěte zápalky a minci do požadované polohy. Začněte počítat od zápalky s hlavičkou obrácenou k minci. Obcházejte kruh se zápalkami v požadovaném směru a každou třináctou zápalku odstraňte. Pokud dojde i na odstranění zápalky s hlavičkou u mince, odstraňte ji také. Proces provádějte tak dlouho, dokud vám zbude jedna zápalka. Vysvětlení: Poslední zbylá zápalka vám udává, od které zápalky máte začít počítat. 19
18) Od čtverců k rámu Čas potřebný na činnost: 15 minut Potřebné pomůcky: pravítko, tužka, papír, nůžky Návod na realizaci: Nakreslete, jak je uvedeno na obrázku, 3 shodné čtverce s libovolnou délkou strany.
Úkolem je rozstřihnout tento obraz na dva díly tak, abyste z obou dílů mohli složit čtvercový rám. Uvnitř rámu se musí nacházet prázdný čtverec a musí být shodný s původními čtverci. Řešení: Obrazec rozstřihnete podle čáry vedenou přes body A, B, C, D, E. Body B, C, D tvoří středy čtverců. Tuto vystřiženou část přiložíte ke zbylé části tak, jak je vyobrazeno na obrázku.
20
19) Poskakující kolečka Čas potřebný na činnost: 20 minut Potřebné pomůcky: tužku, papír, pravítko, kružítko, nůžky Připravte si hrací desku o sedmi polích (viz obrázek). Vystřihněte 3 bílá kolečka a umístěte na pole 1, 2, 3 a tři černá kolečka položte na pole 5, 6, 7. Pole číslo 4 je prázdné. Úkolem je přemístit bílá kolečka na místa černých koleček za využití prázdného pole tak, že kolečka je možno posunout na vedlejší volné pole, nebo je možno přeskočit sousední kolečko. Není dovoleno vést kolečko směrem dozadu, pouze ve směru koleček opačné barvy. Tedy například bílá kolečka se nemohou pohybovat směrem k poli číslo 1, analogicky černá kolečka se nemohou pohybovat k poli číslo 7.
Řešení: Postup provedený patnácti tahy. Jestliže tah černého kolečka označíme písmenem A a bílého písmenem B, tak výsledek můžeme zapsat ve tvaru ABBAAABBBAAABBA. 21
20) Průzkum láhve Čas potřebný na činnost: 20 minut Asi jste si všimli rozmanitých tvarů různých lahví, jejich zaoblení i tvaru dna. Dna mohou být čtvercová, kruhová, obdélníková, či těmto tvarům podobná. Jak určit její objem jen pomocí pravítka?
Potřebné pomůcky: láhev s plochým dnem ve tvaru obdélníku, čtverce nebo kruhu, voda, pravítko, tužka, papír Návod na realizaci: Nalejte vodu do láhve a změřte, v jaké výšce 𝑣1 se hladina nachází. Nechte prostor v láhvi, ať láhev není plná vody. Označte 𝑆 náš obsah dna láhve. Objem vody je 𝑆 ∙ 𝑣1 . Poté obraťte láhev dnem směrem vzhůru a změřte novou výšku hladiny 𝑣2 ode dna. Nyní je objem tekutiny roven 𝑆 ∙ 𝑣2 . Zbylou část láhve předtím zaplňovala voda o objemu 𝑆 ∙ 𝑣1 . Řešení: Odtud máme, že objem celé láhve je 𝑆 ∙ 𝑣1 + 𝑆 ∙ 𝑣2 = 𝑆 ∙ (𝑣1 + 𝑣2 ).
22
21) Zápalky do tvaru šipky Čas potřebný na činnost: 15 minut Potřebné pomůcky: zápalky Návod na realizaci: Sestavte 16 zápalek do tvaru, který je uveden na obrázku. Proveďte následující úkoly.
1) Vytvořte 8 stejných trojúhelníků přemístěním 8 zápalek. 2) Vytvořte 5 stejných čtyřúhelníků přemístěním 7 zápalek. Řešení:
23
22) Hledá se střed kružnice Čas potřebný na činnost: 15 minut Najděte střed narýsované kružnice. Jak ho naleznete, máte-li k dispozici pouze trojúhelníkové pravítko bez měřítka a tužku? Potřebné pomůcky: hrnek (cokoli, podle čeho se dá obkreslit kružnice), tužka, trojúhelníkové pravítko bez měřítka, papír Návod na realizaci: Rýsovací trojúhelník přiložte pravým úhlem k bodu C (viz obrázek) a body, které vznikají protnutím jeho odvěsen a kružnice, označte D, E. Jestliže vede úsečku těmito body, pak jste našli průměr kružnice. Postup proveďte ještě jednou a zjistíte, že další úsečka protne střed kružnice. Řešení:
24
23) Zrod hvězdy z osmiúhelníku Čas potřebný na činnost: 20 minut Potřebné pomůcky: papír, pravítko, tužka Návod na realizaci: Narýsujte osmiúhelník a obstřihněte jej. Poté v něm narýsujte menší osmiúhelník a ten vystřihněte (viz obrázek). Vzniklý obrazec se pokuste nastříhat tak, abyste obdrželi osmicípou hvězda s osmiúhelníkovým otvorem uvnitř.
Řešení:
25
24) Krájení dortu Čas potřebný na činnost: 10 minut Představte si, že jste obdrželi dort, jako je na obrázku. Rozdělte dort třemi přímými řezy na sedm dílů tak, aby na každém dílu byla jedna růžička.
Potřebné pomůcky: tužka Řešení:
26
25) Divná špejle Čas potřebný na činnost: 10 minut Potřebné pomůcky: špejle, pravítko
Návod na realizaci: Špejli zkraťte tak, aby byla dlouhá 5 cm. Jakým způsobem složíte z 14 takových špejlí metr?
Řešení:
27
26) Řazení karet Čas potřebný na činnost: 30 minut Potřebné pomůcky: nůžky, papír, tužka, pravítko Návod na realizaci: Vystřihněte z papíru karty o velikosti 4x6 cm a označte čísly od 1 do 10 a složte je na sebe. První kartu položte na stůl, druhou zatrčte pod první, třetí dejte na stůl, čtvrtou pod třetí. Postup opakujte, až vám dojdou karty. Vidíte, že karty nejsou seřazené. Pokuste se proto určit počáteční pořadí karet, abyste je měli seřazeny podle čísel popsaným postupem.
Řešení: Původní hromada karet bude v pořadí 1, 6, 2, 10, 3, 7, 4, 9, 5, 8. 28
27) Kvíz - matematika 1) Sumerové začali poprvé používat znaky k počítání zapisovaných do jakých destiček? a) ocelových b) měděných c) hliněných d) železných 2) Kdy se poprvé v Egyptě objevily hieroglyfické číslice? a) 9000 př. n. l. b) 6000 př. n. l. c) 3000 př. n. l. d) rok 0 3) Kdy se v údolí Indu v jižní Indii začala poprvé používat desítková soustava pro určení míry a váhy? a) 2800 př. n. l. b) 6500 př. n. l. c) 10200 př. n. l. d) 15100 př. n. l. 4) Kdy Egypťané začali používat pythagorejský trojúhelník tvořený z provazu k určení pravého úhlu? a) 1700 n. l. b) 2700 př. n. l. c) 6700 př. n. l. d) 9700 př. n. l. 5) Ve kterém roce byl vytvořen abakus? Abakus je počítadlo, které se objevilo ve starověku, a usnadňovalo některé výpočty. Dnes má podobu rámečku s kuličkami umístěnými na tyčkách. a) 10500 př. n. l. b) 5500 př. n. l. c) 2500 př. n. l. d) 2500 n. l. 6) Kdo objevil Pythagorovu větu, která se vyskytla poprvé v roce 2000 př. n. l.? a) Aristoteles b) Pythagoras c) Hérodotos d) Klaudios Ptolemaios 7) Rhindův (také Londýnský) papyrus pojmenovaný podle skotského egyptologa, byl objeven v roce 1858 v Luxoru a obsahuje 87 matematických úloh. V kterém roce byl sepsán? a)1650 n. l. b) rok 0 c) 1650 př. n. l. d) 10650 př. n. l. 29
8) V roce 1300 př. n. l. se objevila na Berlínském papyru v Egyptě první kvadratická rovnice. Jaký tvar má kvadratická rovnice? a) 𝑏 − 𝑐 = 0 b) 2𝑥 + 4𝑦 = 0 c) (𝑎 − 𝑏)(5 − 2) = 0 d) 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 9) Kdy se ve starověkém Egyptě začaly poprvé používat zlomky? a) 10000 př. n. l. b) 5000 př. n. l. c) 1000 př. n. l. d) 2000 n. l. 10) Kdy byla v Indii přijata nula za číslo? Do té doby byla považována za nebezpečnou myšlenku. a) 876 př. n. l. b) 3000 př. n. l. c) 6000 př. n. l. d) 11000 př. n. l. 11) V roce 450 př. n. l. se objevil ve starých Aténách zlatý řez. Co zlatý řez znamená? a) řez do zlatého šperku b) čokoládový řez na zlatém podnose c) poměr s přibližnou hodnotou 1,618 (považuje se v architektuře a umění za ideální) d) řeznický zlatý nůž 12) Platon a Theaiteto v roce 360 př. n. l. dokázali, že existuje pět platonských těles neboli pravidelných mnohostěnů. Co mezi pravidelné mnohostěny nepatří? a) čtyřstěn b) osmistěn c) koule d) dvacetistěn 13) V roce 260 př. n. l. byl objeven magický čtverec. Je to tabulka s n řádky a n sloupci, kde součet čísel na řádcích je stejný jako součet čísel ve sloupcích. Urči, který z následujících čtverců je magický. a) b) c) d) 1 1 1 3 0 5 1 4 0 2 3 1 0 5 3 5
30
14) Archimedes se v roce 230 př. n. l. snažil co nejpřesněji určit Ludolfovo číslo 𝜋 metodou vytváření mnohoúhelníků uvnitř kruhu. Co Ludolfovo číslo v geometrii znamená? a) velikost úhlopříčky ve čtverci b) obsah podstavce válce c) délku hrany mnohostěnu d) poměr délky kružnice k jejímu průměru 15) V roce 180 př. n. l. začali Řekové matematici používat šedesátkový systém k rozdělení kruhu na 360°. Jaký je součet vnitřních úhlů v trojúhelníku? a) 180° b) 160° c) 120° d) 100° 16) Hipparchos ze Samu položil v roce 140 př. n. l. základy trigonometrie. Čím se trigonometrie zabývá? a) oborem přirozených a celých čísel b) výrokovou logikou c) úlohami o trojúhelnících d) je to oblast medicíny 17) V roce 50 př. n. l. se poprvé objevila čísla brahmí (viz obrázek).
Jaký součet znaků dává číslo 10? a) c)
a a
b) d)
a a
18) Z roku 100 n. l. pochází zmínka o imaginárních číslech, kterých si všiml Hérón Alexandrijský u odmocniny ze záporného čísla. Ve které rovnici s neznámou 𝑥 se vyskytne záporné číslo pod odmocninou? a) 5 − 𝑥 = 0 b) 5 − 𝑥 2 = 0 c) −5 − 𝑥 2 = 0 d) 𝑥 − 5 = 0 31
19) Po roce 1202 byla uvedena Fibonacciho posloupnost čísel 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Který matematik původem z Itálie ji popsal? a) Polo b) Pavarotti c) Belluci d) Fibonacci 20) Filippo Brunelleschi objevil pravidla pro používání perspektivy v umění. Co perspektiva znamená? a) Je to optický jev, kdy vzdálenější předměty se nám jeví jako menší, než objekty, které jsou blíže. b) Je to fyzikální jev, kdy dochází k tání. c) Je biologický jev, kdy dochází k růstu. d) Je chemický jev, kdy dochází k elektrolýze. 21) V roce 1581 byly díky studiu loutnových strun objeveny nelineární rovnice. Která z následujících rovnic je nelineární? a) 2𝑥 − 3 = 0 b) 5 − 2𝑥 = 0 c) 3𝑥 − cos(𝑥) − 3 = 0 d) 5𝑥 − 3 − 2𝑥 = 0 22) V roce 1583 se neznámý muž díval na kývající se lampu v katedrále v Pise a ihned popsal vztah délky a pohybu kyvadla. Kdo byl tímto mužem? a) Galileo Galilei b) Albert Einstein c) Jan Hus d) Giordano Bruno 23) V roce 1609 astronomové, jako byl Johannes Kepler, zjistili, že se planety nepohybují po kružnicích, nýbrž po elipsách. Která z následujících křivek je elipsa? a) b) c) d)
24) V roce 1622 bylo vynalezeno logaritmické pravítko. K čemu se používá? a) Je to pomůcka k měření úhlů. b) Je to pomůcka k určení stupně zemětřesení na Richterově stupnici. c) Je to pomůcka pro násobení a dělení čísel. d) Je to pomůcka pro určení teploty. 32
25) V roce 1637 se poprvé objevila kartézská soustava souřadnic. Kdo ji vytvořil? a) René Descartes b) Maria Curie Sklodowska c) John Napier d) Ibn Síná 26) Po kterém matematikovi byl pojmenován Pascalův trojúhelník z roku 1653? a) Gabriel Pascal b) Blaise Pascal c) Jean-Claude Pascal d) Christine Pascal 27) Co nepatří mezi druhy matematických důkazů, které se používají k ověření pravdivosti tvrzení? a) přímý důkaz b) důkaz sporem c) důkaz nesmyslem d) důkaz indukcí 28) Eulerovo číslo 𝑒 = 2,71828 18284 … je a) proměnná b) neznámá c) konstanta d) rovnice 29) V roce 1748 řešil Leonhard Euler úlohu sedmi mostů města Královce. Kde se město Královec (dnešní Kaliningrad) nachází? a) v Rusku b) v Polsku c) v Německu d) v USA 30) Která z následujících rovnic je Eulerova? a) 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 b) 𝑎 − 𝑖 = 2 𝑖𝜋 c) 𝑒 + 1 = 0 d) 𝑥 2 = 0 31) Čím se zabýval Thomas Bayes? a) pravděpodobností b) vzdáleností Země od Slunce c) stavbou DNA d) pěstování kaktusů 32) Kdo používal matematiku ke korigování nejistoty lidské chyby? a) matematik John Nash b) astronom Nevil Maskelyne c) chemik Arthur Aikin d) biolog Ivan Petrovič Pavlov
33
33) V roce 1798 Thomas Malthus dokázal, že populace roste geometrickou řadou, zatímco zásobování potravinami aritmetickou řadou a tvrdil, že přirozeným a nevyhnutelným následkem je a) přebytek potravin b) hlad c) zvýšení intenzity d) zastavení rotace země slunečního záření 34) Jaký vědec v roce 1799 dokázal základní větu algebry, která tvrdí, že každá polynomická rovnice má řešení? a) Carl Friedrich Gauss b) Thomas Bayes c) Nevil Maskelyne d) Joseph Fourier 35) Jaký matematik francouzského původu převedl v roce 1822 zvukové a světelné vlny na vlny sinusové? a) Stefan Banach b) Joseph Fourier c) Paul Bernays d) Felix Hausdorff 36) První mechanický počítač navrhl v roce 1823 a) Steve Jobs b) Bill Gates c) Charles Babbage d) Antonín Svoboda 37) Kdo definoval v roce 1835 průměrného člověka, neboli zavedl Queteletův index QI, dnes známý jako BMI? a) Adolphe Sax b) Adolphe Quetelet c) Adolphe Adam d) Adolphe-Basile Routhier 38) Který matematik popsal rozdělení pravděpodobnost výskytu málo pravděpodobných jevů (též Poissonovo rozdělení) v roce 1837? a) Eukleidés b) Leonhard Euler c) Pierre de Fermat d) Siméon Denis Poisson 39) Riemannovu hypotézu formulovanou v roce 1859 Bernhardem Riemannem pomocí funkce zeta, která by měla ukázat vzor pro rozložení prvočísel, a) dokázal Riemann b) dokázal Maxwell c) dokázal Boltzano d) zatím nikdo nedokázal
34
40) Co popisuje rozdělení rychlostí molekul v plynu v klidovém stavu? a) Minwellovo-Boltzmannovo rozdělení b) Supwellovo-Boltzmannovo rozdělení c) Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení d) Infwellovo-Boltzmannovo rozdělení 41) V roce 1872 definoval Richard Dedekind iracionální čísla, která nelze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel. Které z následujících čísel je iracionální? 33 a) 7 b) 41,3 + 44 c) 𝜋 d) 4212100 42) V roce 1888 Giuseppe Peano objevil několik zákonů, které se týkaly přirozených čísel. Který mezi ně nepatří? a) Číslo 0 není následovníkem žádného přirozeného čísla. b) Každé přirozené číslo lze dělit nulou. c) Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem. d) Různá přirozená čísla mají různé následovníky. 43) Jak se nazývá oblast matematiky, která definuje vlastnosti útvarů, které se transformací nemění? a) hydrologie b) patologie c) topologie d) stomatologie 44) Jaký tvar má proslulá Einsteinova rovnice z roku 1905, která vyjadřuje vztah hmotnosti a energie? a) 𝐹 = 𝑚𝑎 b) 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 1 c) 𝐸𝑘 = 2 𝑚𝑣 2 d) 𝐸 = 𝑚𝑐 2 45) Jak se nazývá řetězec, který popisuje náhodný proces popisující závislost na stavu současném, bez ohledu na stavu předchozím? a) Honzův b) Frantův c) Markovův d) Pavlův
35
46) Kvantová mechanika využívá matematiku k popisu a) biologické evoluce b) fyzikálních zákonů subatomického světa c) tržní ekonomiky d) řízení automobilu 47) V roce 1936 navrhl vědec XY teoretický model počítače. Tento stroj byl po něm pojmenován jako a) Turingův stroj b) Mandelbrotův stroj c) Watsonův stroj d) Hawkingův stroj 48) V roce 1936 založil John Charles nadaci pro udělování cen za matematiku. Jedná se o nejprestižnější matematické ocenění, které se uděluje jednou za 4 roky matematikům pod 40 let. Jak se ocenění nazývá? a) Abelova cena b) Keithova cena c) Fieldsova medaile d) Weinerova cena 49) V roce 1944 vznikla disciplína aplikované matematiky s názvem teorie her. Čím se teorie her zabývá? a) rozložením kapalin v tělesech b) hospodářskou soutěží, strategií a zvolením optimálního rozhodnutí c) určováním vzdáleností mezi planetami a galaxiemi d) k určení doby, kdy vznikl vesmír 50) Číslo zapsané ve dvojkové soustavě se nazývá a) unární b) binární c) ternární d) decimální 51) Roku 1961 byl Edward Lorenz průkopníkem teorie chaosu. V této teorii se zkoumají nepředvídatelné jevy. Který z následujících jevů je předvídatelný? a) tektonika zemských desek b) chování burzy a ekonomiky c) padající hrníček k zemi d) vývoj populace 52) V teorii katastrof se používá matematika k objasnění toho, že malá změna počátečních podmínek může mít časem velké následky. Jak se tento jev nazývá? a) Motýlí efekt b) Mravenčí efekt c) Efekt brouka d) Psí efekt 36
53) V roce 1972 definoval Benoit Mandelbrot množinu – geometrický objekt. a) aktuál b) fraktál c) manuál d) biduál
28) Řešení kvízu – matematika 1) C 2) C 3) A 4) B 5) C 6) B 7) C 8) D 9) C 10) A 11) C 12) C 13) C 14) D 15) A 16) C 17) D 18) C 19) D 20) A 21) C 22) A 23) A 24) C 25) A 26) B 27) C 28) C 29) A 30) C 31) A 32) B 33) B 34) A 35) B 36) C 37) B 38) D 39) D 40) C 41) C 42) B 43) C 44) D 45) C 46) B 47) A 48) C 49) B 50) B 51) C 52) A 53) B
29) Papírový hlavolam
37
30) Úlohy – věda a debrujáři 2014 Věda a malí debrujáři. Celý svět je vybudován z týchž atomů, i hvězdy jsou z téhož materiálu jako my. Ať budete zkoumat cokoliv, budete-li se dívat dostatečně pečlivě, pak uvidíte před sebou celý vesmír. A1 úloha Hořící svíčka. Zapalte svíčku a sledujte její plamen a hoření. Zaznamenejte všechna svá pozorování. Při pozorování můžete používat jakékoli pomůcky. Výsledky vašeho pozorování využijete na finálovém setkání. Teplota většiny plamene svíčky je: a) 50 °C b) 100 °C c) 200 °C d) 1000 °C A2 úloha Vysvětlete, proč horkovzdušný balón létá. Své závěry ověřte pokusem. Za počátek balónového létání se považuje 5. červen 1783, kdy se z Annonay vznesl první horkovzdušný balon bratří Montgolfierů s „pasažéry“ na palubě. Jejich návratem se prokázalo, že v atmosféře nejsou jedovaté plyny a otevřeli tím létání i pro lidské posádky. Těmi pasažéry byli: a) opice, papoušek, osel b) ovce, kachna a kohout c) pes, husa, králík d) tři kočky A3 úloha Moravskoslezský kraj sousedí se dvěma státy, které to jsou? a) Slovensko b) Německo c) Rakousko d) Polsko A4 úloha Před domem seděli dva běloši. Jeden velký a jeden malý. Malý je synem velkého, ale velký přitom není otcem malého. Kdo to tedy je?
38
B1 úloha Vypařování vody. Postavte nádobu (hrnec) s vodou tak, aby ji zahříval zespodu plamen nebo elektrická plotýnka. Sledujte vodu až do doby varu. Buďte při pozorování opatrní. Zaznamenejte všechna svá pozorování. Pozorujte vypařování vody. Voda se vypařuje: a) jen při teplotě 100°C b) při jakékoliv teplotě B2 úloha Jistá princezna si ze svých nápadníků chtěla vybrat chytrého ženicha. Prohlásila proto, že ten, kdo určí, v které ze tří skříněk je její prsten, jí ho smí navléknout na prst a stát se jejím mužem. Prsten skutečně uložila do jedné ze skříněk a opatřila všechny tři skříňky nápisy a čísly. Pomůckou pro nápadníka k nalezení prstenu mělo být to, že jen jeden z nápisů je pravdivý. Dokázali byste si na místě princeznina nápadníka poradit? Skříňka 1. Prsten je v této skříňce. Skříňka 2. Prsten není v této skříňce. Skříňka 3. Prsten není v první skříňce. a) prsten je v první skříňce b) prsten je v druhé skříňce c) prsten je ve třetí skříňce B3 úloha Ve zcela unikátním Technickém muzeu je zachycena stopadesátiletá historie automobilky Tatra od doby, kdy byl roku 1897 vyroben první automobil v Rakousko-Uhersku, nazvaný Präsident. Toto muzeum je ve městě: a) Frýdek-Místek b) Kopřivnice c) Opava d) Třinec B4 úloha Do nádoby s vodou přidejte pár kapek oleje. Olej zůstane na hladině, protože jeho hustota je: a) větší než vody b) stejná jako vody c) menší než vody Najděte způsob, jak docílit toho, aby se olej ve tvaru koule v nádobě naplněné kapalinou vznášel.
39
C1 úloha Zjistěte, která stavba je ve vašem městě, vaší vesnici nejvyšší. Navrhněte postup, jak zjistit kolik měří. Za jak dlouho dopadne volně upuštěná cihla z výšky 490,5 metrů na zem? a) 1 s b) 10 s c) 31 s d) 100 s C2 úloha Neznámá osobnost se po maturitě rozhodla pro studium matematiky a astronomie na vídeňské univerzitě. Již během praxe ve vídeňské hvězdárně na sebe výrazně upozornila a ve svých 23 letech začala pracovat ve švýcarské Ženevě. Následně přijala místo ředitele námořní observatoře v chorvatské Pule, kde získala podmínky k uskutečňování svých prvních objevů. Na počátku 80. let se zúčastnila francouzské expedice na atol Karolina v Tichém oceánu, kde pozorovala zatmění Slunce a vyvrátila existenci tehdy předpokládaných planet mezi Merkurem a Sluncem. Přestože měla po svém návratu spoustu pracovních nabídek, rozhodla se opět pro Vídeň se zcela novou observatoří a velice dobrým badatelským zázemím. Objevila 121 planetek a kometu 1879V, přičemž nezapomněla na své rodné město a jednu planetku pojmenovala Opava. Sestrojila chronodeik, přístroj k určování času, a byla průkopníkem v používání časových pásem. Usilovala také o trvalé zavedení letního času, během 1. světové války byl totiž tento časový posun zaveden pouze dočasně. Dodnes astronomové pracují s Hvězdným lexikonem a Katalogem zpracovávajícím 1 238 hvězd. Neznámou osobností je: a) Karel Engliš b) Johann Palisa c) Petr Bezruč d) Vladislav Vančura C3 úloha Nejvyšším vrcholem Moravskoslezských Beskyd je Lysá hora, která měří 1323 metrů. Na vrcholu je meteorologická stanice a telekomunikační věž. Podle pověstí měl na jedné z uvedených hor od pradávna sídlo slovanský bůh Radegast – Bůh slunce, války a vítězství. Jde o horu, která se jmenuje: a) Smrk b) Radhošť c) Lysá hora d) Prašivá
40
C4 úloha Pokud smícháte 20 ml lihu a 40 ml vody, pak dostanete: a) méně než 60 ml směsi b) 60 ml směsi c) více než 60 ml směsi D1 úloha Liborův diář. Debrujár Libor dostal dárek - diář na rok 2009. V roce 2009 ho nepoužil, a tak vypadá a je jako nový. Proto ho opět může použít v roce 2015. V kterém dalším roce po roce 2015 bude moci opět použít stejný diář? a) 2016 b) 2019 c) 2022 d) 2026 D2 úloha Krok za krokem. Změřte svoji průměrnou rychlost během dne. Popište způsob, kterým jste průměrnou rychlost zjistili. Určete počet kroků, které ušel za den. Tomáš za hodinu ušel 7200 kroků. Průměrná délka jednoho kroku je 60 cm. Průměrná rychlost Tomáše je: 𝑘𝑚 𝑘𝑚 𝑘𝑚 𝑘𝑚 a) 12,00 b) 4,32 c) 1,20 d) 0,80 ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
D3 úloha Neznámá osobnost se narodila 6. května 1856 v Příboře. Když dosáhla věku tří let, přestěhovala se její rodina z existenčních důvodů do Vídně, kde absolvovala jako premiant gymnázium a následně lékařskou fakultu vídeňské univerzity. Při léčbě pacientů, u nichž neznámá osobnost neznala příčinu jejich neuróz, využívala často metody hypnotické sugesce. Její teorie osobnosti je dodnes uplatňována v psychologické praxi a aktuální jsou i její poznatky v oblasti vlivu dětských zážitků na chování v dospělosti. Nesporné jsou i její závěry vlivu nevědomí na chování jedince a důležitost výkladu snů a volných asociací pro léčbu pacientů. Neznámou osobností je: a) Johann Palisa c) Johan Gregor Mendel
b) Sigmund Freud d) František Palacký
41
D4 úloha Ostrava, šedé město? Dávno už ne! Bývalé významné doly a hutě jsou dnes využívány jako turistické atraktivity. Dnes se ostravský region právem pyšní řadou jedinečných technických památek. Dokumentují minulost města a tradici těžby černého uhlí. Díky své výjimečnosti jsou tyto památky světově unikátní. V Ostravě můžete navštívit: a) ZOO b) Největší hornické muzeum v ČR na vrchu Landek c) těžební věž dolu Jindřich d) Industriální areál Vítkovic Byli jste už v Ostravě? Co se Vám v Ostravě líbí?
42
31) Eratosthenovo síto Prvočíslo a složené číslo Teorie: Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým. Číslo 1 není prvočíslo. Složené číslo je přirozené číslo, které má alespoň 3 různé dělitele. Složené číslo má kromě jedné a sebe sama ještě dalšího dělitele. Úkol: 1) Určete první složené číslo. 2) Existuje sudé prvočíslo? 3) Určete prvočísla mezi čísly od 1 do 100. 4) Co je Eratosthenovo síto? 5) Určete pomocí Erathostenova síta prvočísla od 1 do 500. 6) Jaký je význam prvočísel? 7) Najděte největší prvočíslo nebo vzorec pro určení prvočísla. Co je Mersennovo prvočíslo? Řešení: 1) Nejmenším složeným číslem je číslo čtyři. 2) Dvojka je jediné sudé prvočíslo, všechna ostatní sudá čísla jsou dělitelná dvěma. 3) Jsou to čísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. 4) Eratosthenovo síto je jednoduchý postup pro nalezení všech prvočísel menších než zadaná horní mez. Je pojmenován po řeckém matematikovi Eratosthenovi z Kyrény, který žil v letech 276 - 194 př. n. l. 43
5) Na počátku řada obsahuje všechna čísla v daném rozsahu (2, 3, 4, …, 500). Poté se opakovaně první číslo z řady vyjme, toto číslo je prvočíslem; z řady se pak odstraní všechny násobky tohoto čísla (nejdříve 2 a pak všechny násobky 2). Pak označíme 3 jako prvočíslo a ze seznamu vyškrtneme všechny jeho násobky. Pak označíme 5 jako prvočíslo a ze seznamu vyškrtneme všechny jeho násobky. Pak označíme 7 jako prvočíslo a ze seznamu vyškrtneme všechny jeho násobky. Tak se pokračuje do doby, než je ze seznamu odstraněno poslední číslo. Mezi čísly od 1 do 500 jsou prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499. 6) Prvočísla se využívají v kryptografii (šifrování). 7) K určení největšího známého prvočísla využijte informace z internetu nebo publikací. Zatím neexistuje důkaz, který by potvrdil, že existuje nekonečně mnoho prvočíselných dvojic, ale předpokládá se, že tomu tak je. Mersennovo prvočíslo je prvočíslo, které je o jedna menší než nějaká celočíselná mocnina dvojky.
32) Ludolfovo číslo Teorie: Ludolfovo číslo nese jméno po německém matematikovi Ludolphovi van Ceulenovi, který se narodil v Hildesheimu v Německu. Před katolickým útlakem emigroval do Nizozemska. Usadil se ve městě Delft (leží mezi Haagem a Rotterdamem) a vyučoval šermu a matematice. V roce 1594 si otevřel šermířskou školu v Leidenu. V roce 1600 byl jmenován prvním
44
profesorem matematiky na Leidenské univerzitě. V roce 1610 v Leidenu zemřel. Po jeho smrti bylo „Ludolfovo číslo“, 3,14159265358979323846264338327950288…, vytesáno na jeho náhrobní kámen v Leidenu. Náhrobní kámen se později ztratil, ale v roce 2000 byl obnoven. Ludolfovo číslo 𝜋 je iracionální číslo (nejde vyjádřit zlomkem 𝑥/𝑦, kde 𝑥 a 𝑦 jsou celá čísla). Nelze jej vyjádřit konečným způsobem v desítkové soustavě, a to ani pomocí periody. Ludolfovo číslo π vyjadřuje poměr mezi délkou kružnice 𝑜 a jejím průměrem 𝑑, tj. 𝜋 = 𝑜/𝑑 . Poměr 𝑜/𝑑 je konstantní, nezávisí na obvodu kružnice. Pokud má například kružnice dvakrát větší průměr než druhá, má také dvakrát větší obvod. Úkol 1: Naučte se Ludolfovo číslo na co největší počet desetinných míst a zorganizujte soutěž ve znalosti Ludolfova čísla. Řešení: Naučit se Ludolfovo číslo na dvanáct desetinných míst není vůbec těžké. Stačí se naučit básničku: Lín a kapr u hráze prohlídli si rybáře, udici měl novou, jikrnáči neuplavou. A pak jen počítat písmena… Lín (3) a (1) kapr (4) u (1) hráze (5) prohlédli (9) si (2) rybáře (6), udici (5) měl (3) novou (5), jikrnáči (8) neuplavou (9). Úkol 2: Jaké je použití Ludolfova čísla v matematice a fyzice?
45
Řešení: Ludolfovo číslo 𝜋 se objevuje v rovnicích pro výpočet obsahů a objemů pro mnoho geometrických útvarů, jejichž tvary jsou založené na kružnicích, například elipsy, koule, válce, kuželu, anuloidu ad. Ludolfovo číslo se používá u goniometrických funkcí, u komplexních čísel, v pravděpodobnosti a statistice. V soustavě SI je respektována tzv. racionalizace, koeficienty obsahující π se vyskytují pouze v těch vztazích, kde jsou geometricky a fyzikálně oprávněné – například ve vzorci pro Coulombovu sílu.
33) Jednokopový NIM Teorie: Hra je určena pro dva hráče. Pravidla hry jsou jednoduchá, pro děti pochopitelná. Stačí ukázat rozehrávku, u které položíme na stůl 17 zápalek. Na začátku stanovíme největší počet zápalek (v naší ukázkové hře 3), které mohou hráči v jednom tahu se stolu odebírat. Hráč 1 odebere jednu, dvě nebo tři zápalky. Pokračuje hráč 2, který může odebrat jednu, dvě nebo tři zápalky. Hráči se v odebírání zápalek střídají do té doby, až na někoho z hráčů zůstane při odebírání poslední zápalka. Hra 1: Na začátku je na stole 17 zápalek. Hráč, který je na tahu může odebrat 1, 2 nebo 3 zápalky. Vyhrává hráč, který vezme poslední zápalku. Hra 2: Na začátku je na stole 17 zápalek. Hráč, který je na tahu může odebrat 1, 2 nebo 3 zápalky. Prohrává hráč, který vezme poslední zápalku. Hra 3: Na začátku je na stole n zápalek. Hráč, který je na tahu může odebrat 𝑟 zápalek, kde 𝑟 ∈ {1,2,3 … , 𝑚}. Hráč, který vezme poslední zápalku, vyhrává.
46
Hra 4: Na začátku je na stole n zápalek. Hráč, který je na tahu může odebrat 𝑟 zápalek, kde 𝑟 ∈ {1,2,3 … , 𝑚}. Hráč, který vezme poslední zápalku, prohrává. Pomůcky: zápalky Úkol 1: Najdi vítěznou strategii hry 1 Vítězná strategie hry 1: Vítězné pozice jsou ve tvaru 4𝑘, kde 𝑘 ∈ N. Začínající hráč vyhrává odebráním jedné zápalky. V dalších tazích bude doplňovat tahy soupeře do součtu 4. Úkol 2: Najdi vítěznou strategii hry 2 Vítězná strategie hry 2: Vítězné pozice jsou ve tvaru 4𝑘 + 1, kde 𝑘 = 0,1,2,3 … Začínající hráč nemůže vyhrát, jestliže druhý hráč bude doplňovat jeho tahy do součtu 4. Úkol 3: Najdi vítěznou strategii hry 3 Vítězná strategie hry 3: Vítězné pozice jsou ve tvaru 𝑘 ∙ (𝑚 + 1), kde 𝑘 = 1,2,3 … Hráč, který vezme poslední zápalku, vyhrává. Úkol 4: Najdi vítěznou strategii hry 4 Vítězná strategie hry 4: Vítězné pozice jsou ve tvaru 𝑘 ∙ (𝑚 + 1) + 1, kde 𝑘 = 0,1,2,3 … Hráč, který vezme poslední zápalku, prohrává.
47
34) Faktoriál Teorie: Faktoriál čísla 𝑛 (značíme 𝑛!) je číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných 𝑛, pokud je 𝑛 kladné. Je-li 𝑛 = 0, pak 0! = 1. Značení 𝑛! - čteme „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808. Faktoriály se používají v kombinatorice. Příklad: 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Úkol 1: Vypočítejte 25! Řešení úkolu 1: 25! = 15 511 210 043 330 985 984 000 000 Úkol 2: Byl jednou jeden federální stát. V tom státě byly dvě země. V každé zemi byly tři kraje. V každém kraji byly tři okresy. V každém okresu byla čtyři města. V každém městě bylo pět panelových domů. V každém panelovém domě bylo šest bytů. V každém bytě bylo sedm pokojů. V každém pokoji bylo osm skříní. V každé skříni bylo devět krabic. V každé krabici bylo deset korun. Kolik korun bylo v celém federálním státě? Řešení úkolu 2: 10! = 3 628 800 Úkol 3: Vypočítejte 8‼ Řešení: Dvojitý faktoriál: 8‼ = 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2 = 384
48
35) Exponenciální funkce Teorie: Exponenciální funkce je funkce dána předpisem 𝑦 = 𝑎 𝑥 , kde 𝑎 > 0, 𝑥 ∈ R, 𝑎 ≠ 1. V bodě 𝑥 = 0 je hodnota funkce 𝑦 = 𝑎 𝑥 pro každé 𝑎 > 0 rovna 1. Úkol 1: Vezměte pořádné noviny a postupně je skládejte na poloviny. Kolikrát se Vám podařilo noviny přeložit? Pomůcky: pořádné noviny Řešení 1: Asi se Vám to podaří tak sedmkrát maximálně až osmkrát, záleží na tloušťce papíru, který použijete. Samozřejmě ale platí, že čím větší a tenčí papír je, tím víc přeložení snese. Úkol 2: Vezměte pořádné noviny a postupně je skládejte na poloviny. Vytvořte tabulku, do které budete zaznamenávat počet přeložení a počet vrstev papíru po přeložení. Pomůcky: pořádné noviny, tabulka k zaznamenání experimentu Řešení 2: Při každém přeložení vzroste tloušťka vrstvy na dvojnásobek, při druhém přeložení budou vrstvy čtyři, při třetím přeložení bude vrstev osm, při čtvrtém přeložení bude vrstev šestnáct, atd. Můžeme rozšířit 49
o teoretickou úlohu - jak velká by byla tloušťka papíru, kdyby se nám podařilo papír přeložit padesátkrát. Jde o exponenciální funkci 𝑦 = 2𝑥 . Úkol 3: Jakou hmotnost má list papíru do kopírky (80 g/m2) Pomůcky: papír do kopírky (80 g/m2) Řešení 3: Formát papíru A je obdélník, který má strany 𝑎, 𝑏 v takovém poměru, aby po přeložení jeho delší strany na polovinu jsme dostali obdélník s polovičním obsahem podobný původnímu. Tedy 𝑎: 𝑏 = 𝑏: 𝑎/2. Úpravou získáme 𝑎 = √2 ∙ 𝑏. Největší obdélník formátu A0 má obsah 1 m2, formát A1 má poloviční obsah, tedy 0,5 m2. Formát A2 má poloviční obsah, tedy 1/4 m2 = 0,25 m2. Formát A3 má poloviční obsah, tedy 1/8 m2 = 0,125 m2. Dalším dělením dospějeme k tomu, že formát A4 má obsah 1/16 m2. Papír používaný do kopírky má plošnou hmotnost (tzv. gramáž) 80 g/m2. Papír formátu A4 má hmotnost právě 80 g /16 = 5 g.
36) Den bez čísel a den s čísly Teorie: Číslo je abstraktní pojem, který se užívá pro vyjádření množství nebo pořadí. Používáme desítkovou poziční číselnou soustavu. Čísla zapisujeme pomocí arabských číslic a pomocných znaků, zejména desetinné čárky a znamének plus a mínus. V informatice se užívají i jiné poziční soustavy, například dvojková nebo šestnáctková soustava. Číslice používáme k zapisování čísel.
50
Úkol 1: Den bez čísel – zkuste to. Zorganizujte ve své třídě, na své škole Den bez čísel. Zkuste jeden den nepoužívat čísla. Noste hodinky bez číselného ciferníku, nepoužívejte mobilní čísla, nikoho ten den nevytáčejte, jezděte autem bez značky, používejte jen zpátečku, nepoužívejte čísla v běžném hovoru, zkuste vydržet co nejdéle bez čísla, nic neplaťte, nepoužívejte pin atd. Pěkný den bez čísel … Úkol 2: Napište úvahu na téma: „Dá se žít bez čísel?“ Denisa: Dá se žít bez čísel? Někdy se mohou lidé ptát: „Dá se žít bez čísel?". Pro ty, kteří nesnáší nebo nemají v lásce matematiku, by to byla krásná představa. Ale čísla se neobjevují jen v matematice. Objevují se všude kolem nás. Dokonce i tam, kde by to nikdo nečekal. Příkladem by mohla být i obyčejná koupelna. Když vejde člověk do koupelny, může vidět například deset hřebenů, tři zubní kartáčky, pět poliček, jedno zrcadlo a další. Všechno vyjadřuje určitý počet, a to je jedna z vlastností čísla. Nedokážu si moc představit svět bez čísel. Například stavba domu nebo jiné stavby bez čísel by vedla k pádu, rozpadu nebo k příšernému vzhledu stavby. Mostní konstrukce by se bez čísel nedala postavit nebo by se zřítila. Vždyť už staří Májové, Sumerové nebo Egypťané znali čísla. Egypťané ve své době dokázali postavit pyramidy. Bez čísel by to nešlo; nevěděli by kolik kamení je třeba, jak velké a jaký tvar kameny musí mít, jak velká pyramida bude a jaký bude mít výsledný tvar. Zkrátka, pyramida bez čísel by nebyla pyramidou. Čísla používáme i v čase. Jak jinak by se dal přesně vyjádřit čas. S časem souvisí i vesmír. Bez čísel bychom nemohli říci, že jedno oběhnutí Země kolem Slunce trvá 365 a čtvrt dne. Jak jinak než čísly se dá vyjádřit přesné datum nebo přesný letopočet? Jak jinak než čísly se dá vymezit období? V dnešní době se čísla asi nejvíce používají v ekonomice. Hlavním se zřejmě stává počítání financí. Bez čísel by to ani nešlo. Bez čísel se 51
nedá vyjádřit, co má jakou cenu. I v minulosti, když se prováděl výměnný obchod, tak se počítalo s hodnotou objektu. Bylo by trochu podivné, kdyby si lidé vyměnili zdatného koně za malý pytlík písku. Vlastně se to i mohlo ve skutečnosti stát, ale určitě si byli vědomi, co má jakou cenu. Čísla se opravdu objevují všude. Čísly se dá vyjádřit prostor, rozloha, rychlost, množství a dalších matematických, fyzikálních i obyčejných věcí. Například v obchodech, a nejen v nich, mají kódy, stavy zápasů různých sportů, stavebnictví nebo také v kulinářství; ve všem se dá najít číslo. Dokonce i tenhle text má určitý počet písmen, slov, vět nebo i odstavců. Bez čísel se spočítat, ani vyjádřit nedají. A odpověď na otázku, zda se dá bez čísel žít? NEDÁ :-)
52
Místo závěru Motivace v matematice Chci, aby studenti měli matematiku rádi a byli v matematice úspěšní. Jak toho dosáhnout? Těžká otázka. Mám jasnou představu, kam by to studenti, kteří mají rozum, měli se svými znalostmi v matematice dotáhnout. A předložené aktivity by měly být pro studenty motivační a pomoci jim najít cestu, která není královská. Myšlenky a činnosti, které předkládám, mohou být klíčem k dosažení cíle. Úkol: Pokud splní MATE, pak do předem připravené tabulky zaznamenáme splnění. MATE Mrštnosti Vytvoř ze sbírek, učebnic, knih o matematice překážku vysokou 1 metr a tu přeskoč s bankovkou nebo mincí, na níž je vyobrazen známý matematik. MATE Síly Přečti knihy o matematice těžší než 10 N. MATE Odvahy Pozoruj po setmění noční oblohu do hodiny duchů. MATE Plavce Získej v průběhu matematických chvil alespoň jednu nedostatečnou a dokaž učiteli matematiky, že v něčem teda plavat umíš, a zapomeň v tom plavat. MATE Květin Přines panu učiteli květinu a matematický fór. MATE Hladu Vydrž bez počítání a řešení úloh víkend. Takto strávený víkend ti musí písemně potvrdit jiná osoba starší než osmnáct let. 53
MATE Osamělosti Sám celý den řeš matematické problémy. MATE Záchrany Podej návrh vynálezu, který může zachránit lidský život. MATE Míření Zamiř do správných míst, nejlépe do koutu s lampou a s knihou nebo do sítě internetu, najdi paradox nebo nějaké zajímavé číslo. MATE Dobrých činů Alespoň jednou nabídni pomoc svému učiteli matematiky a přitom nic neznič ani nepoškoď. MATE Mlčení Alespoň jednu vyučovací hodinu matematiky vydrž mlčet (plnění předem oznam učiteli). MATE Zručnosti Vyrob nějakou pomůcku, hru, která umožní lépe pochopit probírané učivo a která ostatní obohatí. MATE Ušlechtilosti Mluv slušně, a to nejen o matematice. Nebuď hrubý, nečestný, neubližuj silnějšímu v matematice. MATE Hmatu Poznej po hmatu se zavázanýma očima busty matematiků na škole. MATE Paměti Znej alespoň kopu pro tebe užitečných matematických vzorců. MATE Žízně. Žízni po korespondenčních seminářích, matematické olympiádě, klokanovi a řeš a řeš.
54
MATE Hvězd Znej ve dne v noci jména alespoň deseti matematiků, kteří se v Čechách narodili, v Čechách pobývali nebo i žijí. MATE Ohně Rozdělej oheň lupou, ledem nebo jinak. Zapaluj kolem sebe ostatní pro matematiku. MATE Času Připrav si pětiminutový výstup a v jeho průběhu zaujmi ostatní. MATE Barev Namaluj portrét matematika libovolnou technikou. MATE Slepoty Se zavázanýma očima recituj cizí nebo vlastní báseň s matematickou tématikou. MATE Hbitosti Úspěšně vyřeš rychle a správně matematický kviz, který ti předloží učitel. MATE Akta M Znej důležitá data zemské astronautiky, připravuj se na setkání s UFO. MATE Věrnosti Zúčastni se přírodovědné výpravy delší než dva dny. MATE Osobnosti Vytvoř miniknihovnu jmen matematiků a jejich objevů. MATE Krále Zvítěz v matematické soutěži nadtřídního charakteru. Obdržíš titul Zh. (Zlatá hlava). MATE MMM Vyber si libovolný matematický jev, vytvoř o něm prezentaci na webu. 55
MATE Reprezentace Vystup na veřejnosti, v domově dětí, v domově důchodců, konferenci nebo kdekoliv jinde a svým vystoupením, zaměřeným na matematický problém, informuj přítomné. Dlouhá cesta. Jeden vůl se rozhodl obejít Česko. Žene se průměrnou rychlostí 12 km/h. Jak dlouho mu bude trvat cesta? Řešení: Celková délka hranic ČR činí 2289,7 km. Česko-německá hranice 810 km, česko-polská hranice 761,8 km česko-slovenská hranice 251,8 km, česko-rakouská hranice 466,1 km. Vůl obejde hranici za dobu t ≐ 190,81 h.
Literatura
Perelman, J. I.: Zajímavá matematika: matematické povídky a hlavolamy. Nakladatelství Československého svazu mládeže Praha, 1961. Vejmola, S.: Konec záhady hlavolamů. Státní pedagogické nakladatelství Praha, 1989. Korděmskij, B. A.: Matematické prostocviky. Nakladatelství ČSM Praha, 1966. Opava, Z.: Matematika kolem nás. Nakladatelství Albatros Praha, 1989. Beatty, R., Bow. J., Green, D., Jackson, T., Goldsmith, M., Sneddon, R., Wattová, S.: Matematika: 100 objevů, které změnily historii. Slovart Praha, 2013. ISBN 978-80-7391-770-8
Autoři:
Mgr. Lucie Schaynová Mgr. Libor Lepík
Ilustrovala:
Denisa Kožušníková 56
