Obsah. Organizace SVOČ Odborné poroty...3

ˇ SVOC Soutˇezˇ vysokoˇskoláku˚ ve vˇedecké odborné cˇ innosti vyhlásˇená Matematickou vˇedeckou sekc´ı Jednoty cˇ eských matematik˚u a fyzik˚u

Matematický u´ stav Slezské univerzity v Opavˇe 18.5.2001

Obsah ´ Uvodn´ ı slovo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Organizace SVOCˇ 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Odborné poroty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Abstrakty soutˇezˇ n´ıch prac´ı Sekce S1 – Matematická analýza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Sekce S2 – Pravdˇepodobnost, statistika a ekonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Sekce S3 – Matematické struktury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Sekce S4 – Teoretická informatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Sekce S5 – Aplikovaná matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Výsledky soutˇezˇ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Mil´ı studenti, srdeˇcnˇe Vás v´ıtáme na závˇereˇcné konferenci druhého roˇcn´ıku obnovené soutˇezˇ e SVOCˇ v matematice a informatice. Jej´ı prvn´ı roˇcn´ık po desetileté pˇrestávce vyhlásila Matematická ˇ vˇedecká sekce JCMF v roce 2000 u pˇr´ıleˇzitosti Svˇetového roku matematiky. Zájem student˚u, poˇcet a kvalita prac´ı pˇrihlásˇených do soutˇezˇ e v loˇnském roce a dobrý ohlas na vysokých sˇkolách — to vˇse jasnˇe ukázalo, zˇ e soutˇezˇ , ve které se studenti z r˚uzných vysokých sˇkol mohou vzájemnˇe pochlubit vlastn´ımi vˇedeckými výsledky, je nejen moˇzná, ale i potˇrebná a v´ıtaná. Letoˇsn´ı roˇcn´ık soutˇezˇ e SVOCˇ pˇrinásˇ´ı hned nˇekolik novinek. V prvn´ı ˇradˇe s potˇesˇen´ım v´ıtáme mezi námi sedm student˚u z Bratislavy, kteˇr´ı byli po jednán´ıch iniciovaných studentskými komorami akademických senát˚u matematicko-fyzikáln´ıch fakult Univerzity Karlovy v Praze a Univerzity Komenského v Bratislavˇe pozváni k u´ cˇ asti ,,mimo soutˇezˇ “ . Vˇeˇr´ıme, zˇ e porovnán´ı prac´ı cˇ eských a slovenských student˚u bude zaj´ımavé jak pro poroty, tak pro samotné u´ cˇ astn´ıky. Nen´ı vylouˇceno, a jistˇe bychom si to pˇra´ li, zˇ e by se na základˇe letoˇsn´ıch ˇ v budoucnu rozr˚ust na soutˇezˇ mezinárodn´ı. zkuˇsenost´ı mohla SVOC Stejnˇe jako v loˇnském roce, vstupovali jsme i letos do vyhlásˇen´ı soutˇezˇ e s finanˇcn´ımi ˇ prostˇredky, kterými vedle MVS JCMF pˇrispˇely nˇekteré cˇ eské vysoké sˇkoly a dalˇs´ı instituce. Za finanˇcn´ı a materiáln´ı podporu dˇekujeme Matematickému u´ stavu SU v Opavˇe, Matemaˇ ticko-fyzikáln´ı fakultˇe UK v Praze, Fakultˇe jaderné a fyzikálnˇe inˇzenýrské CVUT v Praze, Institutu Teoretické Informatiky MFF UK v Praze, Fakultˇe strojn´ıho inˇzenýrstv´ı VUT v Brnˇe, ˇ v Praze a Fakultˇe managementu VSE ˇ v Jindˇrichovˇe Hradci. Je Matematickému u´ stavu AV CR ˇ velmi potˇesˇuj´ıc´ı, zˇ e význam soutˇezˇ e uznalo Ministerstvo sˇkolstv´ı, mládeˇze a tˇelovýchovy CR a pˇrispˇelo na jej´ı organizaci a na ceny pro vyhodnocené soutˇezˇ n´ı práce podstatnou finanˇcn´ı cˇ a´ stkou. Letos poprvé máme sponzora z podnikatelské sféry, firma Hewlett-Packard, s r. o. ˇ 2001. se prezentuje vˇecnými dárky pro vˇsechny u´ cˇ astn´ıky celostátn´ı konference SVOC Zvlásˇtn´ı podˇekován´ı patˇr´ı pracovn´ık˚um Matematického u´ stavu SU v Opavˇe, kteˇr´ı se ujali organizován´ı celostátn´ı konference v rámci oslav 10. výroˇc´ı Slezské univerzity. SVOCˇ je soutˇezˇ , a jako taková bude m´ıt své v´ıtˇeze. V naˇsich oˇc´ıch vˇsak nebude poraˇzených. Sepsán´ı kvalitn´ı práce a jej´ı prezentace na závˇereˇcné konferenci SVOCˇ 2001 je samo o sobˇe u´ spˇechem, ke kterému Vám vˇsem blahopˇrejeme. Pˇrejeme Vám pˇr´ıjemnˇe a uˇziteˇcnˇe strávený den v Opavˇe, a hlavnˇe mnoho u´ spˇech˚u ve Vaˇs´ı budouc´ı vˇedecké práci, ke které jste moˇzná právˇe vykroˇcili.

Doc. RNDr. Jan Kratochv´ıl, CSc. MFF UK Praha pˇredseda ˇr´ıd´ıc´ıho výboru

ˇ anková, PhD. RNDr. Marta Stef´ ´ MU SU Opava pˇredsedkynˇe organizaˇcn´ıho výboru

RNDr. Jiˇr´ı Rákosn´ık, CSc. ˇ Praha ´ AV CR MU ˇ pˇredseda MVS JCMF

Prof. RNDr. Jaroslav Sm´ıtal, DrSc. ´ SU Opava MU ˇreditel Matematického u´ stavu SU

ˇ 2001 Organizace SVOC ˇ Vyhlaˇsovatel soutˇezˇ e: Matematická vˇedecká sekce JCMF ´ SU v Opavˇe Organizace závˇereˇcné studentské konference: MU Finanˇcn´ı a vˇecné pˇrispˇen´ı: ˇ ˇ MSMT CR Hewlett-Packard, s.r.o. ˇ MVS JCMF ´ MU SU v Opavˇe MFF UK Praha ˇ FJFI CVUT Praha FSI VUT Brno ˇ v Praze ´ AV CR MU ˇ FM VSE v Jindˇrichovˇe Hradci ITI MFF UK Praha ˇ 2001: ˇ ıd´ıc´ı výbor SVOC R´ ˇ doc. RNDr. Zdenˇek Bohácˇ , CSc., VSB-TU Ostrava doc. RNDr. Jan Franc˚u, CSc., FSI VUT Brno Mgr. Petr Lachout, PhD., KPMS MFF UK Praha ˇ RNDr. Marie Kopácˇ ková, CSc., FSv CVUT Praha doc. RNDr. Jan Kratochv´ıl, CSc., KAM MFF UK Praha (pˇredseda) Bˇretislav Novák, DrSc., KMA MFF UK Praha ˇ doc. ing. Edita Pelantová, CSc., FJFI CVUT Praha ´ SU Opava prof. RNDr. Jaroslav Sm´ıtal, DrSc., MU Organizaˇcn´ı výbor závˇereˇcné studentské konference: ´ SU Opava (pˇredseda) prof. RNDr. Jaroslav Sm´ıtal, DrSc., MU ˇ ´ RNDr. Marta Stefánková, PhD., MU SU Opava ´ SU Opava Jiˇrina Böhmová, MU

2

Odborné poroty

Sekce S1 Matematická analýza RNDr. Martin Koláˇr, PhD. (KMA PˇrF MU Brno) ˇ RNDr. Marie Kopácˇ ková, CSc. (FSV CVUT Praha) ´ SU Opava) doc. RNDr. Krist´ına Sm´ıtalová, CSc. (MU prof. RNDr. Ludˇek Zaj´ıcˇ ek, DrSc. (KMA MFF UK Praha) Sekce S2 Pravdˇepodobnost, statistika a ekonometrie RNDr. Petr Lachout, CSc. (KPMS MFF UK Praha) ing. Josef Tvrd´ık, CSc. (KIP PˇrF OU Ostrava) ˇ Praha) ´ AV CR RNDr. Jiˇr´ı Vondrácˇ ek, DrSc. (MU Sekce S3 Matematické struktury ˇ doc. RNDr. Martin Cadek, CSc. (KAG PˇrF MU Brno) ˇ Plzeˇn) Mgr. Tomásˇ Kaiser, Dr. (KM FAV ZCU doc. RNDr. Jan Kratochv´ıl, CSc. (KAM MFF UK Praha) ´ SU Opava) doc. RNDr. Olga Krupková, DrSc. (MU Sekce S4 Teoretická informatika ´ FPF SU Opava) doc. RNDr. Alica Kelemenová, CSc. (UI doc. RNDr. Anton´ın Kuˇcera, Ph.D. (KTP FI MU Brno) ˇ doc. RNDr. Jan Mareˇs, CSc. (KM FJFI CVUT Praha) ˇ ´ RNDr. Petr Savický, CSc. (UI AV CR Praha) Sekce S5 Aplikovaná matematika ˇ doc. RNDr. Zdenˇek Bohácˇ , CSc. (VSB-TU Ostrava) ˇ RNDr. Jiˇr´ı Bouchala (KAM FEI VSB-TU Ostrava) ´ FSI VUT Brno) doc. RNDr. Jan Franc˚u, CSc. (UM ´ UK MFF UK Praha) doc. RNDr. Josef Málek, CSc. (MU

3

Abstrakty soutˇezˇ n´ıch prac´ı

Sekce S1 – Matematická analýza

Jiˇr´ı Benedikt – Sturmova–Liouvilleova u´ loha pro p–biharmonický operátor . . . .

8

Petr Honz´ık – Wolff˚uv potenciál na kvazimetrickém prostoru . . . . . . . . . . . .

9

Eugen Kovácˇ – Rôzne typy konvergenci´ı, ϕ-konvergencia . . . . . . . . . . . . . . 10 Marek Lampart – Scrambled sets for transitive maps . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Andrea Mesiarová – Spojité diagonály triangulárnych noriem . . . . . . . . . . . . 12 Tomásˇ Mocek – Hranice a hraniˇcn´ı chován´ı v prostorech funkc´ı . . . . . . . . . . . 13 David Opˇela – Spaces of Functions with Bounded and Vanishing Mean Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Zdenˇek Opluˇstil, Ladislav Polák – Oscilatorická kritéria pro 2-dimenzionáln´ı lineárn´ı systémy diferenciáln´ıch a diferenˇcn´ıch rovnic prvn´ıho ˇra´ du . . . . . . . . . . 15 ˇ Petra Sindel´ aˇrová – Couterexamples to Sharkovsky’s conjectures concerning maps with zero topological entropy . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Petr Vodstrˇcil – O jedné tˇr´ıbodové okrajové u´ loze pro diferenciáln´ı rovnici druhého ˇra´ du s deformovaným argumentem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

´ Sturmova–Liouvilleova uloha pro p–biharmonický operátor Jiˇr´ı Benedikt ˇ v Plzni Fakulta aplikovaných vˇed ZCU

Pro ˇreˇsitelnost tzv. silnˇe nelineárn´ıch okrajových u´ loh cˇ tvrtého ˇra´ du je podstatná znalost struktury spektra Sturmovy–Liouvilleovy u´ lohy a(t)|u (t)| p−2 u (t) − λ b(t)|u(t)|q−2 u(t) = 0 (1) na intervalu (0, 1) spolu s r˚uznými homogenn´ımi okrajovými podm´ınkami. Základn´ımi vlastnostmi, d˚uleˇzitými napˇr. pro bifurkace netriviáln´ıch ˇreˇsen´ı, je jednoduchost a izolovanost vlastn´ıch cˇ´ısel. Jedn´ım z c´ıl˚u práce je odvozen´ı postaˇcuj´ıc´ıch podm´ınek, za kterých je kaˇzdé vlastn´ı ´ cˇ´ıslo u´ lohy (1) jednoduché. Ulohu pˇritom uvaˇzujeme s obecnými okrajovými podm´ınkami Robinova typu. Vlastn´ı cˇ´ısla u´ lohy (1) jsou narozd´ıl od analogické u´ lohy druhého ˇra´ du (pro p–laplacián) jednoduchá pouze za jistých pˇredpoklad˚u na okrajové podm´ınky. Rovnˇezˇ se zabýváme jednoduchost´ı zobecnˇených vlastn´ıch cˇ´ısel (Fuˇc´ıkovo spektrum). V práci se dále zabýváme d˚ukazem izolovanosti vlastn´ıch cˇ´ısel okrajové u´ lohy s tzv. Navierovými okrajovými podm´ınkami u(0) = u (0) = u(1) = u (1) = 0. D˚ukazy uvedených vlastnost´ı spektra se op´ıraj´ı o vˇetu o existenci a jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné poˇca´ teˇcn´ı u´ lohy, jej´ızˇ d˚ukaz rovnˇezˇ pˇredkládáme. Ukazujeme, zˇ e pro obecnˇe nehomogenn´ı operátor cˇ tvrtého ˇra´ du nemus´ı být zaruˇcena ani lokáln´ı jednoznaˇcnost, ani globáln´ı existence ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné poˇca´ teˇcn´ı u´ lohy. Tato situace nenastává pro okrajové u´ lohy s diferenciáln´ı rovnic´ı druhého ˇra´ du, a proto je analýza okrajových u´ loh cˇ tvrého ˇra´ du kvalitativnˇe odliˇsná. Pˇredloˇzený text bude zahrnut do diplomové práce autora. Vzhledem k tomu, zˇ e silnˇe nelineárn´ı okrajové u´ lohy cˇ tvrtého ˇra´ du jsou v literatuˇre velmi zˇr´ıdnˇe zkoumány, jsou témˇeˇr vˇsechny výsledky p˚uvodn´ı. Výjimkou je pouze izolovanost vlastn´ıch cˇ´ısel Navierovy okrajové u´ lohy, která se op´ırá o cˇ lánek Global Bifurcation Result ˆ fot the p–Biharmonic Operator autor˚u P. Drábka a M. Otaniho, nedávno zaslaný do tisku.

8

˚ potenciál na kvazimetrickém prostoru Wolffuv Petr Honz´ık Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

V této práci studujeme chován´ı Wolffova potenciálu na kvazimetrickém prostoru s m´ırou. Wolff˚uv potenciál definujeme pro 0 < κ < ∞, 1 < p < ∞, kladnou integrovatelnou funkci g a x ∈ X jako p −1 R dt (Wκ, p g)(x) = tκp − g(y)dy t 0 B(x,t) Nejprve se zabýváme jeho vztahem k frakcionáln´ımu maximáln´ımu operátoru (Mκ g)(x) = sup r κ − g(y)dy r ∈(0,R]

B(x,r )

ve váhovém kontextu. Výsledek ∞ C −1 λq( p −1)−1 v({x ∈ X : (Mκ,k g)(x) > λ})r/q dλ 0

∞

≤ 0

λq−1 v({x ∈ X : (Wκ,k g)(x) > λ})r/q dλ

≤C 0

∞

λq( p −1)−1 v({x ∈ X : (Wκ,k g)(x) > λ})r/q dλ,

je nový v klasickém pˇr´ıpadˇe. Na nˇej navazuje odhad slabého typu pro frakcionáln´ı maximáln´ı operátor, z nˇehoˇz je moˇzno z´ıskat interpolac´ı nerovnosti pro frakcionáln´ı maximáln´ı operátor i Wolff˚uv potenciál. Dalˇs´ım výsledkem je pˇreveden´ı Wolffovy nerovnosti −1 p C (Iκ g) (x)d x ≤ (Wκ p g)(x)g(x)d x ≤ C (Iκ g) p (x)d x) X

X

X

do kvazimetrických prostor˚u. Tyto výsledky budou zahrnuty do pˇripravované práce.

9

Rôzne typy konvergenci´ı, ϕ-konvergencia Eugen Kovácˇ Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislavˇe, Slovensko

V tejto práci sa budeme zaoberat’ zovˇseobecneniami pojmu klasickej konvergencie, konkrétne sˇtatistickou konvergenciou, rovnomernou sˇtatistickou konvergenciou a ϕ-konvergenciou. Zaoberáme sa najmä ich vzájomnými vzt’ahmi. V u´ vode práce pripom´ıname jednotlivé pojmy a defin´ıcie. Uvedieme defin´ıcie asymptotickej a rovnomernej hustoty a z nich odvodenej sˇtatistickej a rovnomernej sˇtatistickej konvergencie, d’alej maticových metód limitovania a regulárnej matice. Neskôr uvádzame motiváciu k zavedeniu ϕ-konvergencie podl’a Schoenbergovho cˇ lánku The integrability of certain functions and related summability methods Ukázˇ eme, zˇ e z klasickej konvergencie vyplýva ϕ-konvergencia a z nej zase sˇtatistická konvergencia, priˇcom obrátene to nie je pravda. Potom sa zaoberáme vzt’ahom ϕ-konvergencie a rovnomernej sˇtatistickej konvergencie. Uvádzame pr´ıklad postupnosti, ktorá konverguje rovnomerne sˇtatisticky, ale nie je ϕ-konvergentná. Novými výsledkami v tejto oblasti je pr´ıklad neohraniˇcenej ϕ-konvergentnej postupnosti a najmä dôkaz existencie postupnosti, ktorá je ϕ-konvergentná, ale nekonverguje rovnomerne sˇtatisticky. Existencia takejto postupnosti bola doteraz otvoreným problémom.

10

Scrambled sets for transitive maps Marek Lampart Matematický u´ stav SU v Opavˇe

Práce tematicky spadá do oblasti diskrétn´ıch dynamických systém˚u. Zabývá se vztahem ω-chaosu, který zavedl Shihai Li [Trans. Amer. Math. Soc. 339 (1993), 243-249] a známého chaosu podle Li a Yorkea. Autor zde dokazuje následuj´ıc´ı tvrzen´ı: Kaˇzdé bitranzitivn´ı zobrazen´ı f ∈ C(I, I ) je konjugované se zobrazen´ım g ∈ C(I, I ) splˇnuj´ıc´ı následuj´ıc´ı podm´ınky: 1. existuje c-hustá ω-chaotická mnoˇzina pro g, 2. existuje extrémnˇe LY-chaotická mnoˇzina pro g, 3. kaˇzdá ω-chaotická mnoˇzina pro g má nulovou Lebesgueovu m´ıru. Pod´ıl vedouc´ı na vzniku této práce byl pouze technického rázu, proto je M. Lampart jediným autorem. Lze pˇredpokládat, zˇ e práce bude publikována v nˇekterém pˇredn´ım mezinárodn´ım matematickém cˇ asopise. Práce nen´ı souˇca´ st´ı diplomové práce, protoˇze M. Lampart je studentem 4. roˇcn´ıku magisterského studia oboru Matematická analýza.

11

Spojité diagonály triangulárnych noriem Andrea Mesiarová Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislavˇe, Slovensko ˇ Strukt´ ura mnoˇziny diagonálnych funkci´ı triangulárnych noriem doposial’ eˇste nebola charakterizovaná. Práca je venovaná porovnaniu mnoˇziny diagonálnych funkci´ı spojitých t-noriem ϑ s a mnoˇziny spojitých diagonálnych funkci´ı nespojitých t-noriem ϑ u . Opisuje sˇtruktúru mnoˇziny ϑ s a vyslovuje hypotézu o sˇtruktúre mnoˇziny vˇsetkých spojitých diagonálnych funkci´ı t-noriem. Práca negat´ıvne rieˇsi otázku existencie t-normy s diagonálou uvedenou v monografii [1].

´ Literatura [1] E. P. Klement, R. Mesiar, E. Pap, Triangular Norms. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2000.

12

Hranice a hraniˇcn´ı chován´ı v prostorech funkc´ı Tomásˇ Mocek Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

Motivac´ı k této práci byl cˇ lánek [3] R.E. Atally, ve kterém jsou zavedeny Choquetovy a exponované mnoˇziny pro jisté prostory funkc´ı a je formulována vˇeta o jejich vzájemném vztahu. Zat´ımco kaˇzdá exponovaná mnoˇzina je Choquetova, opaˇcný vztah nemus´ı platit. ˇ R.E. Atalla dokazuje, zˇ e tyto tˇr´ıdy mnoˇzin splývaj´ı, pokud kaˇzdou spojitou funkci na Silovovˇ e hranici lze rozˇs´ıˇrit na funkci z daného funkˇcn´ıho prostoru. Bylo otázkou, zda nelze vyslovit obecnˇejˇs´ı vˇetu. Hlavn´ım výsledkem práce je tvrzen´ı, zˇ e tyto tˇr´ıdy splývaj´ı, pokud daný funkcˇ n´ı prostor H je simpliciáln´ı a H-afinn´ı funkce splývaj´ı s H. Je ukázáno, zˇ e za tˇechto pˇredpoklad˚u jsou jiˇz splnˇeny pˇredpoklady Atallovy vˇety. Pˇri bliˇzsˇ´ım pohledu se ukázˇ e, ze Choquetovy mnoˇziny splývaj´ı v pˇr´ıpadˇe funkˇcn´ıho prostoru tvoˇreného spojitými afinn´ımi funkcemi na metrizovatelné konvexn´ı kompaktn´ı podmnozˇ inˇe lokálnˇe konvexn´ıho prostoru s uzavˇrenými hranami. V obecných funkˇcn´ıch prostorech jsou Choquetovy mnoˇziny zobecnˇen´ım pojmu hrany. V konvexn´ım pˇr´ıpadˇe existuj´ı r˚uzné charakteristiky simpliciality a podm´ınky, kdy uzavˇrené hrany jsou exponuj´ıc´ı, vyjádˇrené pomoc´ı pojm˚u jako jsou paraleln´ı cˇ i split hrany. Posledn´ı pojmy lze pomoc´ı anihiluj´ıc´ıch mˇer vyjádˇrit i v pˇr´ıpadˇe obecného funkˇcn´ıho prostoru a z´ıskat obdobné charakteristiky. Z teorie potenciálu je známa Keldyˇsova vˇeta: Ke kaˇzdému regulárn´ımu bodu otevˇrené omezené mnoˇziny U ⊂ Rn existuje ,,harmonická bariéra“ , tedy spojitá nezáporná spojitá funkce na U , která je harmonická na U a anuluje se právˇe v tomto bodˇe. Mnoˇzina H(U )vˇsech spojitých funkc´ı na U , které jsou harmonické na U , tvoˇr´ı simpliciáln´ı funkˇcn´ı prostor a H(U )-afinn´ı funkce splývaj´ı H(U ). Uvˇedom´ıme-li si, zˇ e regulárn´ı body jsou Choquetovými mnoˇzinami, z´ıskáme jisté zobecnˇen´ı Keldyˇsovy vˇety. V této práci jsou studovány základn´ı vlastnosti Choquetových mnoˇzin a exponovaných mnoˇzin. Vzhledem k definici Choquetových mnoˇzin se uvaˇzuje o funkˇcn´ım prostoru pouze na metrizovatelném kompaktn´ım prostoru. Ukazuje se, zˇ e ˇrada tvrzen´ı platných pro uzavˇrené hrany v konvexn´ım pˇr´ıpadˇe z˚ustává v platnosti i pro Choquetovy mnoˇziny ve funkˇcn´ım prostoru. D˚ukaz nˇekterých tˇechto tvrzen´ı je moˇzno provést pomoc´ı pˇrenesen´ı do stavového prostoru a pouˇzit´ım vˇet platných pro konvexn´ı pˇr´ıpad, nicménˇe je dávána pˇrednost pˇr´ımému d˚ukazu. V u´ vodn´ı cˇ a´ sti uvád´ıme pˇrehled základn´ıch pojm˚u a pouˇzitých vˇet. Prvn´ı kapitola je vˇenována studiu Choquetových a exponovaných mnoˇzin. V druhé kapitole podáme charakteristiky simpliciáln´ıch prostor˚u v term´ınech Choquetových a exponovaných mnoˇzin. Tˇret´ı kapitola obsahuje hlavn´ı výsledky práce. Základ tvoˇr´ı jistá rozˇsiˇrovac´ı vˇeta. Na závˇer této kapitoly se tézˇ zmiˇnujeme o souvislosti obecné teorie s pˇr´ıpadem harmonických funkc´ı. V doˇ datku je podán d˚ukaz vˇety o existenci Silovovy hranice, a to r˚uznými zp˚usoby. Tato práce je zároveˇn podána jako diplomová práce. Rád bych podˇekoval prof. J. Lukeˇsovi za jeho veden´ı a cˇ etné konzultace.

13

Spaces of Functions with Bounded and Vanishing Mean Oscillation David Opˇela Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

We study the generalized Campanato spaces. Those spaces were studied by many authors, but our approach is a bit different from the main stream of the research. We treat questions that have not been studied yet thorougly. First of our main concerns is to explore what is the relation of the spaces to Hölder spaces and what is the role of the geometry of the underlying domain. Our second aim is to study topological properties of the generalized Campanato spaces. Last but not least, we study properties of a vanishing subspace — an analogue of VMO. Concerning the first goal, our main results are characterization of the domains where Campanato spaces coincide with the corresponding Hölder spaces, results on the Lipschitz case and some embedding theorem into “worse” Hölder space in the case, when the classical embedding does not apply (i.e. the domain is “bad”). As for our second concern, we characterize compact subsets of the vanishing subspace and apply the result to the compactness of the Sobolev embeddings into BMO. We have also proved that the generalized Campanato space is not separable, while its vanishing subspace is separable. Finally, for the vanishing subspace we have (except for the above mentioned things) showed that it is equal (for nice domains) to the closure of infinitely many differentiable functions — a generalization of a result of D. Sarason on VMO. ˇ contest is a main part of the author’s diploma thesis. It The work presented in the SVOC has no connection with the work presented last year. The author denoted known results by a label “Statement” (except for the first chapter, where all results are known), so that they can be easily recognized.

14

Oscilatorická kritéria pro 2-dimenzionáln´ı lineárn´ı systémy diferenciáln´ıch a diferenˇcn´ıch rovnic prvn´ıho rˇ a´ du Zdenˇek Opluˇstil, Ladislav Polák Pˇr´ırodovˇedecká fakulta MU v Brnˇe

Tato práce se zabývá otázkou nalezen´ı podm´ınek zaruˇcuj´ıc´ıch oscilatoriˇcnost 2-dimenzionáln´ıch systém˚u lineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic u = q(t)v v = − p(t)u a jejich diferenˇcn´ı analogie u k = qk vk vk = − pk u k+1 . V práci jsou nalezena nová postaˇcuj´ıc´ı kritéria zobecˇnuj´ıc´ı a doplˇnuj´ıc´ı dˇr´ıve známá kriteria oscilatoriˇcnosti analogického charakteru. Dále uvedené výsledky jsou souˇca´ st´ı diplomových prac´ı obou autor˚u a na soutˇezˇ SVOCˇ ani do jiných soutˇezˇ´ı obdobného charakteru nebyly dˇr´ıve podány.

15

Couterexamples to Sharkovsky’s conjectures concerning maps with zero topological entropy ˇ Petra Sindel´ arˇ ová Matematický u´ stav SU v Opavˇe

In many papers and books one can find that the next conditions for a continuous map f of the interval are equivalent: (P1 ) f has zero topological entropy; (P2 ) the set of periodic points of f is a G δ set; (P3 ) the set of recurrent points of f is an Fσ set. This result was first time published by A. N. Sharkovsky and his group. Unfortunately, it is not true. Note, that several authors supplied counterexamples to other conjectures of Sharkovsky, e.g., [Chu and Xiong, Proc. Amer. Math. Soc. 97 (1986)] or [Alsedà, Chas and Sm´ıtal, Internat. J. Bifur. Chaos 9 (1999)]. The present paper, consisting of two selfcontained parts [1] and [2], brings examples disproving the above quoted result. In particular, [1] exhibits a map satisfying (P1 ), but not (P2 ). This map, however, has the property (P3 ); this property is not mentioned in [1] explicitely, but is obvious (cf., e.g., [Bruckner and Sm´ıtal, Ergod. Th. & Dynam. Syst. 13 (1993)]). Therefore, in [2], we further show that there is a continuous map f satisfying (P1 ), but neither (P2 ) nor (P3 ). We also show that (P3 ) implies (P1 ) and (P2 ) implies (P1 ). Summarizing, we get the following ordering: (P2 ) is stronger than (P3 ), and (P3 ) is stronger than (P1 ). Papers [1], [2], and [3] form the master’s degree thesis. Last year, the paper [3] has been ˇ 2000, and won the 2nd prize. However, it is independent of [1] and [2] presented at SVOC except for the fact that all three papers disprove Sharkovsky’s conjectures. Also the method used in [3] is different from that ones used in the other two papers. The author presented the part [1] during his visit at the University of Wuerzburg in the seminar by Professor U. Helmke, and at the 29th Frol´ık Winter School in Abstract Analysis 2001. Both, [1] and [2], will be presented by the author at the 25th Summmer Symposium in Real Analysis in Ogden (USA) in May 2001. The author is an undergraduate student of mathematical analysis in the last, 5th year, at the Mathematical Institute of the Silesian University in Opava.

References ˇ [1] P. Sindel´ aˇrová, A zero topological entropy map for which periodic points are not a G δ set, Ergod. Th. & Dynam. Sys., to appear. ˇ [2] P. Sindel´ aˇrová, A counterexample to a statement concerning recurrent points. ˇ [3] P. Sindel´ aˇrová, A counterexample to a statement concerning Lyapunov stability, Acta Math. Univ. Comen., to appear.

16

´ O jedné tˇr´ıbodové okrajové uloze pro diferenciáln´ı rovnici druhého rˇ a´ du s deformovaným argumentem Petr Vodstrˇcil Pˇr´ırodovˇedecká fakulta MU v Brnˇe

Tato práce se zabývá otázkou existence a jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı funkcionáln´ı diferenciáln´ı rovnice u (t) = p(t)u(τ (t)) + q(t) splˇnuj´ıc´ı okrajové podm´ınky u(a) = c1 ,

u(b) = u(t0 ) + c2 ,

kde p a q jsou integrovatelné funkce, τ : [a, b] −→ [a, b] je mˇerˇitelná, t0 ∈]a, b[ a c1 , c2 jsou reálná cˇ´ısla. V práci jsou nalezeny nové postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky jak integráln´ıho charakteru, tak i srovnávac´ıho typu, zaruˇcuj´ıc´ı jednoznaˇcnou ˇreˇsitelnost uvedené u´ lohy. Ty zobecˇnuj´ı výsledky analogického charakteru pro obyˇcejné diferenciáln´ı rovnice. Dále uvedené výsledky jsou souˇca´ st´ı diplomové práce autora a na soutˇezˇ SVOCˇ ani do jiných soutˇezˇ´ı obdobného charakteru nebyly dˇr´ıve podány.

17

Sekce S2 – Teorie pravdˇepodobnosti, statistika a ekonometrie

David Hampel – Programová implementace AR modelu pro mnohoznaˇcné cˇ asové ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Jan Kalina – Nˇekteré skórové testy pro hodnocen´ı kontingenˇcn´ıch tabulek . . . . . 21 Zbynˇek Pawlas – Centráln´ı limitn´ı vˇety ve stochastické geometrii . . . . . . . . . . 22

Programová implementace AR modelu pro mnohoznaˇcné cˇ asové rˇ ady David Hampel Pˇr´ırodovˇedecká fakulta MU v Brnˇe

Soutˇezˇ n´ı práce ,,Programová implementace AR modelu pro mnohorozmˇerné cˇ asové ˇrady“ pojednává o analýze mnohorozmˇerných cˇ asových ˇrad, zejména AR proces˚u, se zamˇeˇren´ım na programovou implementaci uvedené problematiky. Vˇetˇsina teorie mnohorozmˇerných cˇ asových ˇrad je rozˇs´ıˇren´ım jednorozmˇerných analogi´ı, ale existuj´ı tu i dalˇs´ı problémy. V prvn´ı kapitole je podán vˇseobecný teoretický základ. Definuje se zde stˇredn´ı hodnota a kovarianˇcn´ı funkce, hledaj´ı se jejich odhady. Jsou popsány mnohorozmˇerné (vektorové) modely. Bl´ızˇ e je charakterizován vektorový ARMA model. V programové cˇ a´ sti jsou implementovány výpoˇcty základn´ıch charakteristik mnohorozmˇerných cˇ asových ˇrad. Ve druhé kapitole jsou uvedeny nástroje pro analýzu mnohorozmˇerných AR model˚u. Pro identifikaci procesu je to zejména parciáln´ı autoregresn´ı maticová funkce a parciáln´ı korelaˇcn´ı maticová funkce. Jsou poloˇzeny základy mnohorozmˇerné nejlepˇs´ı lineárn´ı predikce. K odhadu matic koeficient˚u je popsán mnohorozmˇerný Durbin-Levinson˚uv algoritmus. Pomoc´ı analýzy rezidu´ı a mnohorozmˇerné portmanteau statistiky se model ovˇeˇr´ı. Vˇsechny postupy jsou doplnˇeny pˇr´ıklady na vzorové simulaci. Programová implementace zahrnuje vˇsechny nástroje pro urˇcen´ı typu a ˇra´ du modelu a jeho ovˇeˇren´ı. Tˇret´ı kapitola je vˇenována analýze reálných ekonomických dat a jsou v n´ı pouˇzity vˇsechny dˇr´ıve popsané nástroje. V pˇr´ıloze je uveden struˇcný popis programových implementac´ı. Vlastn´ı pˇr´ınos autora spoˇc´ıvá pˇredevˇs´ım v implementaci vˇsech uvedených postup˚u do systému MATLAB. Pomoc´ı tˇechto implementac´ı jsou provedeny nejprve ukázky na simulaci a poté i vlastn´ı analýza reálných dat. V rámci této práce nebyl pouˇzit zˇ a´ dný výpoˇcetn´ı software specializovaný na analýzu mnohorozmˇerných cˇ asových ˇrad. Tato práce dále rozpracovává vybrané cˇ a´ sti diplomové práce autora. Autor dosud neˇ ani do jiných soutˇezˇ´ı. podával zˇ a´ dnou práci do soutˇezˇ e SVOC

20

Nˇekteré skórové testy pro hodnocen´ı kontingenˇcn´ıch tabulek Jan Kalina Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

Skórový test s ruˇsivým parametrem je jedn´ım z asymptotických test˚u zaloˇzených na vˇerohodnostn´ı funkci. Práce se zabývá jeho pouˇzit´ım pro r˚uzné modely v kontingenˇcn´ıch tabulkách. Kapitola Skórový test s ruˇsivým parametrem shrnuje teoretické zázem´ı, z nˇejˇz pak vycházej´ı vˇsechny dalˇs´ı kapitoly. Druhá kapitola pojednává o Cochranovˇe-Armitageovˇe testu, který je znám jako klasická metoda pro test lineárn´ıho trendu. Testová statistika je odvozena p˚uvodn´ı metodou v modelu vázˇ ené regrese. Zároveˇn se také rovná statistice skórového testu v modelu logistické regrese. V kapitole Zobecnˇen´ı znaménkového testu se uvaˇzuje situace, kdy se binárn´ı odezva mˇeˇr´ı u dvou nezávislých náhodných výbˇer˚u tak, zˇ e kaˇzdý objekt je postupnˇe vystaven dvˇema oˇsetˇren´ım. Jsou odvozeny skórové testy na efekt oˇsetˇren´ı a na efekt poˇrad´ı. Koneˇcnˇe cˇ tvrtá kapitola shrnuje r˚uzné pˇr´ıstupy k testován´ı trendu pro ordináln´ı data. Test relaxovaného trendu vyuˇz´ıvá statistiku skórového testu homogenity. Ta je odvozena ve dvou ekvivalentn´ıch tvarech. Práce do znaˇcné m´ıry vycház´ı z cˇ asopiseckých pramen˚u, které byly publikovány v posledn´ıch letech. Samostatnˇe byly odvozeny alternativn´ı vzorce ve tˇret´ı a cˇ tvrté kapitole. Zároveˇn byly provedeny simulaˇcn´ı studie, které vypov´ıdaj´ı o vlastnostech popisovaných test˚u hypotéz. Celá práce dokladuje, zˇ e skórový test je jednoduchá a pˇritom velmi obecná metoda, kterou lze pouˇz´ıt v ˇradˇe r˚uzných situac´ı. Text je souˇca´ st´ı autorovy diplomové práce, která se týká nˇekterých (nejen skórových) test˚u pro hodnocen´ı kontingenˇcn´ıch tabulek. Nemá zˇ a´ dný vztah k práci podané do soutˇezˇ e ˇ 2000. SVOC

21

Centráln´ı limitn´ı vˇety ve stochastické geometrii Zbynˇek Pawlas Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

Hlavn´ım pˇredmˇetem této práce jsou centráln´ı limitn´ı vˇety pro náhodné m´ıry spojené s r˚uznými bodovými procesy. Zaj´ımá nás konvergence, kdyˇz se zvˇetˇsuje okno pozorován´ı. Zamˇeˇrujeme se na stacionárn´ı Poissonovy procesy. Základn´ım teoretickým nástrojem je centráln´ı limitn´ı vˇeta pro stacionárn´ı náhodné pole splˇnuj´ıc´ı podm´ınky na α-mixing, speciálnˇe pak pro m-závislé náhodné pole. Práce je inspirována cˇ lánkem L. Heinricha a I. Molchanova (1999). Zat´ımco tito autoˇri pracuj´ı s tzv. germ-grain modely a mˇeˇr´ı jejich nepˇrekrývaj´ıc´ı se cˇ a´ sti, násˇ pˇr´ınos spoˇc´ıvá v obecnˇejˇs´ım pˇr´ıstupu pˇres bodové procesy neprázdných kompaktn´ıch mnoˇzin (viz J. Rataj, 2000) a jejich celkovou m´ıru. Prvn´ı cˇ a´ st práce obsahuje tvrzen´ı známá z literatury. Ukázˇ e se v n´ı, jak se vˇeta pro náhodné pole dá pouˇz´ıt k d˚ukazu centráln´ıch limitn´ıch vˇet pro stacionárn´ı bodové procesy v Rd (konkrétnˇe pro Poisson˚uv a Neymann-Scott˚uv proces). V druhé cˇ a´ sti je odvozena p˚uvodn´ı centráln´ı limitn´ı vˇeta (vˇeta 10) pro náhodnou m´ıru generovanou stacionárn´ım Poissonovým procesem na prostoru K vˇsech neprázdných kompaktn´ıch podmnoˇzin Rd . Jej´ı d˚ukaz je zaloˇzen na aproximaci m-závislými náhodnými poli. Centráln´ı limitn´ı vˇeta se v závˇeru aplikuje na konkrétn´ı pˇr´ıpad stacionárn´ıho Poissonova procesu segment˚u. Vˇsechny výsledky této práce jsou obsaˇzeny v mé diplomové práci Principy invariance ve stochastické geometrii.

Literatura [1] L. Heinrich, I. S. Molchanov (1999): Central limit theorem for a class of random measures associated with germ-grain models, Adv. in Appl. Prob. 31, 283–314. [2] J. Rataj (2000): Bodové procesy, Karolinum, UK Praha.

22

Sekce S3 – Matematické struktury ˇ y – Transparentn´ı intenzionáln´ı logika a geometrie . . . . . . . . . . . 24 David Cern´ Zdenˇek Dvoˇra´ k – Vlastnosti polynomu propleten´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Tat’ána Funioková – Vyuˇzit´ı teorie moˇznosti v jazykovˇe orientovaných systémech . 26 Alˇzbˇeta Haková – Vztah mezi variaˇcnost´ı a uzavˇrenost´ı pro (n+1)-formy 1. ˇra´ du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Pˇremysl Jedliˇcka – Svazy dˇelitelnosti pletenc˚u a semidirektn´ı souˇciny . . . . . . . 28 Jan Kára & Daniel Král’ – Minimum Degree and the Number of Chords . . . . . . 29 L’ubica L´ısˇková – Exponents of Cayley Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ˇ amal – Nenulové toky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Robert S´ David Stanovský – Homomorfn´ı obrazy subdirektnˇe ireducibiln´ıch algeber . . . . . 32 ˇ cek – Uzávˇerové a vnitˇrkové operátory GMV-algeber . . . . . . . . . . . 33 Filip Svrˇ

Transparentn´ı intenzionáln´ı logika a geometrie ˇ David Cern´ y ´ ı nad Labem Pedagogická fakulta UJEP v Ust´

Svou práci Transparentn´ı lntenzionáln´ı logika a geometrie jsem napsal pouze pro u´ cˇ ely ˇ a nemá tedy vztah k mé zamýsˇlené diplomové práci. Pouze kapitolu s názvem soutˇezˇ e SVOC Korespondenˇcn´ı teorie pravdy jsem jiˇz publikoval v troˇsku jiné podobˇe v Distanci, revue pro kritické myˇslen´ı. Práce vycház´ı z názoru nedávno tragicky zemˇrelého (a podle recenz´ı nejvýznamnˇejˇs´ıho) cˇ eskébo logika Pavla Tichého, podle kterého je matematika vˇedou zabývaj´ıc´ı se konstrukcemi, které jsou významy matematických symbol˚u. Protoˇze logika bývá významnˇe spojena s filosofi´ı, sémantikou, metalogikou a analytickou filosofi´ı, zabývám se pˇredpoklady a cestami, po kterých Tichý ke svému systému TIL doˇsel – a to na poli sémantiky, filosofie i logiky. Na závˇer ukazuji, jak se dá cˇ istˇe prostˇredky TIL konstruovat jedno- a dvourozmˇerná geometrie. Význam své práce spatˇruji v tom, zˇ e se pokouˇs´ım pohl´ızˇ et na matematiku jako na odvozenou vˇedu, stoj´ıc´ı na mnohých filosofických pˇredpokladech. Konkrétnˇe vycház´ım z pozic tomistické filosofie, která je v souˇcasné dobˇe v cˇ eských zem´ıch d´ıky hr˚uzovládˇe komunistického reˇzimu prakticky (aˇz na malé výjimky) mrtvá. Proto jsou mé u´ vahy o povaze vˇedy, kvantity, matematiky a pravdy ,,nové“ ; nové v tom smyslu, zˇ e v cˇ eˇstinˇe obdobná publikace neexistuje (napˇr. má práce o korespondenˇcn´ı teorii pravdy, která porovnává tomistické a analyticko-filosofické pozice, nemá zat´ım v cˇ eˇstinˇe odpov´ıdaj´ıc´ı protˇejˇsek).

24

Vlastnosti polynomu propleten´ı Zdenˇek Dvoˇra´ k Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

Nový polynom nazývaný polynom propleten´ı je definován v [ABS] pro speciáln´ı tˇr´ıdu graf˚u na základˇe u´ vah o poˇctech uzavˇrených Eulerovských tah˚u v 2-in, 2-out grafech. Tato definice je poté rozˇs´ıˇrena na libovolné neorientované grafy. V tomto cˇ lánku ukázˇ eme nˇekolik vlastnost´ı polynomu propleten´ı a jeho vztah k obecnˇejˇs´ı tˇr´ıdˇe polynom˚u. Dále vyˇreˇs´ıme dva otevˇrené problémy zadané v [ABS]: ukázˇ eme, zˇ e nenulové koeficienty polynomu propleten´ı tvoˇr´ı souvislý blok a ukázˇ eme význam polynomu propleten´ı pro obecné grafy.

Literatura [ABS]

Richard Arratia, Béla Bollobás, Gregory B. Sorkin, The Interlace Polynomial: A New Graph Polynomial, SODA 2000: 237–245.

25

Vyuˇzit´ı teorie moˇznosti v jazykovˇe orientovaných systémech Tat’ána Funioková Pˇr´ırodovˇedecká fakulta UP v Olomouci

V prvn´ı cˇ a´ sti této práce je prezentována axiomaticky zavedená teorie moˇznosti. Obdobnˇe, jako m˚uzˇ eme zavést teorii pravdˇepodobnosti pomoc´ı teorie m´ıry a integrálu, který je závislý na volbˇe konkrétn´ı t-normy. Ukazuje se, zˇ e aˇz na výjimky, jde o zobecnˇen´ı vˇsech dosavadn´ıch formulac´ı této teorie. Pomoc´ı aparátu teorie moˇznosti, konkrétnˇe pojmu moˇznostn´ı promˇenná resp. moˇznostn´ı vektor, jsme schopni reprezentovat významy slov pˇrirozeného jazyka, coˇz nám umoˇznˇ uje práci s tzv. jazykovˇe orientovanými systémy, jimiˇz rozum´ıme systémy, ve kterých promˇenné nabývaj´ı jazykových hodnot a chován´ı tohoto systému je rovnˇezˇ popsáno jazykovˇe. V této práci je rovnˇezˇ prezentován postup ,,dosazován´ı“ hodnot promˇenných (a to jak jazykových, tak ostrých) do jazykovˇe zadané funkce chován´ı, vyuˇz´ıvaj´ıc´ı právˇe teorie moˇznosti, konkrétnˇe pojmu podm´ınˇená moˇznostn´ı m´ıra. Na základˇe tohoto postupu jsme schopni z prosté funkce chován´ı systému z´ıskat tzv. generativn´ı funkci chován´ı tohoto systému. Zvol´ıme-li za zmiˇnovanou t-normu operátor minima, dostáváme výsledky odpov´ıdaj´ıc´ı tzv. Mamdiho pˇr´ıstupu k pˇribliˇznému usuzován´ı, kterému je pˇres prokazatelnou u´ spˇesˇnost v r˚uzných aplikac´ıch, zejména v tzv. fuzzy regulátorech, vytýkána absence axiomaticky zavedeného aparátu, podporuj´ıc´ıho tento postup.

26

Vztah mezi variaˇcnost´ı a uzavˇrenost´ı pro (n+1)-formy 1. rˇ a´ du Alˇzbˇeta Haková Matematický u´ stav SU v Opavˇe

Tato práce reaguje na cˇ lánek J. Grifone, J. Muñoz Masqué a L.M. Pozo Coronado ,,Varionational First-Order Quasilinear Equations“ (v tisku v Proc. Colloq. Diff. Geom., Debrecen 2000), který uvád´ı vztah mezi variaˇcnost´ı kvazilineárn´ıch parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic 1. ˇra´ du a uzavˇrenost´ı jisté diferenciáln´ı formy. V citovaném cˇ lánku se d˚ukaz hlavn´ıho tvrzen´ı op´ırá o hluboké a nároˇcné výsledky z teorie diferenciáln´ıch systém˚u (teorii formáln´ı integrability), je velmi dlouhý (témˇeˇr 6 stran) a málo pˇrehledný. Nav´ıc dokazuje tvrzen´ı pouze pro analytický pˇr´ıpad rovnic. D˚ukaz pˇr´ıpadu C ∞ autoˇri pouze komentuj´ı: v rámci jimi zvoleného aparátu je tˇreba aplikovat jeˇstˇe komplikovanˇejˇs´ı teorii, která jako celek nen´ı zat´ım v základn´ıch monografi´ıch dostupná. Tvrzen´ı, které tito autoˇri dokazuj´ı, ovˇsem svou podstatou spadá do oblasti geometrie Lagrangeových struktur a z hlediska této teorie (pˇr´ımo pro pˇr´ıpad C ∞ ) je jednoduchým d˚usledkem vlastnost´ı základn´ıho objektu této teorie, tzv. Lepageovy formy, zavedené D. Krupkou v r. 1973. V této práci uvád´ıme jeˇstˇe dalˇs´ı jednoduchý d˚ukaz zm´ınˇeného tvrzen´ı. Formulujeme a dokazujeme vˇetu (uvedenou v práci jako Teorém 2), která navazuje na dvˇe základn´ı tvrzen´ı dokázaná pro obecný pˇr´ıpad parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic libovolného ˇra´ du kolem r. 1980 (Teorém Krupk˚uv a Teorém Anderson˚uv–Duchamp˚uv–Krupk˚uv), a prvn´ı z obou uvedených tvrzen´ı dále doplˇnuje. Tvrzen´ı Grifona, Muñoze a Coronada je pak pˇr´ımým d˚usledkem naˇs´ı vˇety. D˚ukaz Teorému 2 je pˇr´ımý, elementárn´ı a samozˇrejmˇe nevyˇzaduje dodateˇcný pˇredpoklad analytiˇcnosti. Nav´ıc je univerzáln´ı v tom smyslu, zˇ e jej lze pouˇz´ıt pro d˚ukaz analogických tvrzen´ı i pro systémy PDR jiného typu (ne nutnˇe kvazilineárn´ı, druhého ˇra´ du, apod.). ˇ (resp. jiné podobné soutˇezˇ e) a nen´ı prac´ı Práce je mou prvn´ı prac´ı v rámci soutˇezˇ e SVOC diplomovou.

27

Svazy dˇelitelnosti pletencu˚ a semidirektn´ı souˇciny Pˇremysl Jedliˇcka Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

Práce, nazvaná Svazy dˇelitelnosti pletenc˚u a semidirektn´ı souˇciny, je z vˇetˇs´ı cˇ a´ sti sestavená pouze z mých vlastn´ıch výsledk˚u. Tyto výsledky jsem vypracoval pod odborným dohledem doc. RNDr. Aleˇse Drápala, CSc. pˇri bádán´ı na své diplomové práci. Vzhledem k tomu, zˇ e je téma pletenc˚u modern´ı a podnˇetné, rozhodl jsem se pojmout cˇ a´ st své diplomové práce jako ˇ vˇedeckou práci do soutˇezˇ e SVOC. Mými vlastn´ımi výsledky jsou obecný popis semidirektn´ıho souˇcinu ve svazech, který je popsán v kapitole 2.2, a popis svaz˚u dˇelitelnosti levých dˇelitel˚u Garsidova prvku monoidu kladných pletenc˚u, tzn. kapitoly 3.2, 3.3 a 3.4. Semidirektn´ı souˇcin svaz˚u z vnitˇrn´ıho hlediska chápeme jako stav, kdy existuje ve svazu kongruence taková, zˇ e jsou vˇsechny tˇr´ıdy ekvivalence izomorfn´ı. Pro tuto situaci jsem nalezl ,,extern´ı popis“ , tzn. metodu, jak ze dvou menˇs´ıch svaz˚u zkonstruovat jeden vˇetˇs´ı svaz, který by odpov´ıdal popsané situaci, tj. existovala by v nˇem kongruence taková, zˇ e jeden z menˇs´ıch svaz˚u by byl faktorem podle této kongruence, a druhý menˇs´ı svaz by byl izomorfn´ı kaˇzdé tˇr´ıdˇe ekvivalence. S t´ımto aparátem jsem mohl zaˇc´ıt zkoumat svazy dˇelitelnosti v monoidu kladných pletenc˚u. Jak se ale ukázalo, jsou tyto svazy jednoduché, a proto jsem se obrátil k výzkumu jejich ideál˚u. Pˇriˇcemˇz jsem zjistil, zˇ e hlavn´ı ideál, urˇcený Garsidovým prvkem pletencového monoidu, je semidirektn´ım souˇcinem, a to takovým, zˇ e existuje snadný, a i pro laika snadno pochopitelný algoritmus, jak tento svaz zkonstruovat.

28

Minimum Degree and the Number of Chords Jan Kára & Daniel Král’ Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

Graf s minimáln´ım stupnˇem alespoˇn tˇri má kruˇznici s alespoˇn jednou tˇetivou. Pˇrirozené zobecnˇen´ı této otázky je následuj´ıc´ı: Jaký minimáln´ı stupeˇn vynucuje v grafu na n vrcholech kruˇznici s alespoˇn c tˇetivami? Peter Hamburger poloˇzil následuj´ıc´ı otázku, která je zvlásˇtn´ım pˇr´ıpadem právˇe zm´ınˇeného obecného problému: Jaký minimáln´ı stupeˇn vynut´ı v grafu na n vrcholech kruˇznici s n tˇetivami? Dokázˇ eme, zˇ e graf s minimáln´ım stupnˇem δ obsahuje kruˇznici s alespoˇn (δ+1)(δ−2) tˇe2 tivami; tato hodnota je jiˇz tˇesná, tj. nem˚uzˇ e být bez dodateˇcných pˇrepoklad˚u zlepˇsena. Tato 2 hodnota zlepˇsuje pˇredchoz´ı hodnotu δ −2δ azali Ali a Staton v [1]. Toto tvrzen´ı 2 , kterou dok´ zároveˇn zlepˇsuje horn´ı odhad na minim´ a ln´ ı stupeˇ n grafu na n vrcholech z Hamburgerova √ problému na hodnotu 1/2 + 2n + 9/4. My dále spoˇcteme doln´ı a horn´ı odhad na minimáln´ı stupnˇe grafu na n vrcholech z Hamburgerova problému. Tyto odhady se budou liˇsit nejvýsˇe o 1 a pˇribliˇznˇe pro polovinu n se budou dokonce rovnat, pro tato n vyˇreˇs´ıme Hamburger˚uv problém zcela. Studujeme tézˇ jiˇz zm´ınˇenou obecnou otázku: Jaký minimáln´ı stupeˇn vynucuje v grafu na n vrcholech kruˇznici s alespoˇn c tˇetivami? Zavedeme funkci f (n, c), která je rovna minimáln´ımu stupni, jeˇz vynucuje v√grafu na n vrcholech kruˇznici s alespoˇn c tˇetivami. Dokázˇ eme, zˇ e f (n, c) lineárnˇe roste s c a jej´ı závislost na n nen´ı pˇr´ıliˇs podstatná. Pop´ısˇeme chován´ı f (n, c) pro n jdouc´ı do nekoneˇcna pro r˚uzné volby c jako funkce n.

Literatura [1] A. A. Ali, W. Staton: The extremal question for cycles with chords, Ars Combinatoria Vol. 51, 1999, pp. 193–197.

29

Exponents of Cayley Maps L’ubica L´ısˇková Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislavˇe, Slovensko

Cayleyho mapa je Cayleyho graf vnorený do nejakej orientovatel’nej plochy tak, zˇ e lokálne rotácie sú v kaˇzdom vrchole rovnaké. Táto práca sa zaoberá regularitou a exponentmi Cayleyho máp. Sú uvaˇzované balancované, antibalancované a -balancované mapy. Pre balancované a antibalancované regulárne mapy sú uvedené podmienky, podl’a ktorých je prirodzené cˇ´ıslo e ich exponentom. Jedna kapitola je venovaná -balancovaným mapám, ktoré zatial’ nie sú vel’mi známe. Najskôr sú v nej uvedené konˇstrukcie niektorých -balancovaných máp a podmienky pre ˇ regularitu. Dalej, je ukázaná súvislost’medzi exponentom niektorých Cayleyho máp a existenciou sˇpeciálneho grupového automorfizmu.

30

Nenulové toky ˇ amal Robert S´ Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

Jednou z hlavn´ıch oblast´ı teorie graf˚u je zkoumán´ı barevnosti, tj. poˇctu barev, které potˇrebujeme na obarven´ı vrchol˚u daného grafu, nechceme-li obarvit sousedn´ı vrcholy stejnou barvou. (Asi nejslavnˇejˇs´ı vˇeta teorie graf˚u je tvrzen´ı, zˇ e kaˇzdý rovinný graf lze obarvit cˇ tyˇrmi barvami.) V padesátých letech nalezl Tutte duáln´ı pojem — nenulový tok, tj. tok, který pouˇz´ıvá nenulové prvky nˇejaké grupy. (Duáln´ı verze problému cˇ tyˇr barev ˇr´ıká, zˇ e kaˇzdý rovinný graf má nenulový tok v Z4 .) V prvn´ı kapitole této práce pˇripomeneme cˇ tenáˇri definici a základn´ı vlastnosti nenulových tok˚u. V dalˇs´ıch kapitolách se budeme vˇenovat jejich rozliˇcným zobecnˇen´ım. Pro orientované grafy je pˇrirozenou modifikac´ı definice barevnosti tzv. barevnost orientovaná (poˇzadujeme, aby pro libovolné dvˇe barvy, napˇr. modrou a cˇ ervenou, vedly vˇsechny sˇipky z modrých vrchol˚u do cˇ ervených nebo naopak). Alternativn´ı definice barevnosti pro orientované grafy je tzv. silnˇe orientovaná barevnost. Jak ukázˇ eme, tyto dvˇe definice nejsou pˇr´ıliˇs vzdáleny (jedna je omezena ,,malou“ funkc´ı druhé a naopak). Výhodou silnˇe orientované barevnosti je existence pˇekného duáln´ıho pojmu, tzv. antisymetrických tok˚u. Tˇemto tok˚um (a orientované barevnosti) je vˇenována kapitola druhá. V této kapitole shrneme pro pohodl´ı cˇ tenáˇre nˇekteré dosud známé výsledky a vylepˇs´ıme dosavadn´ı odhady pro silnˇe orientovanou barevnost rovinných graf˚u. Kapitola tˇret´ı se zabývá spoleˇcným zobecnˇen´ım nenulových tok˚u a antisymetrických tok˚u. Novˇe definovaný pojem — k-souvislé toky — umoˇznˇ uje zkoumat toky v nových souvislostech, vede tézˇ k zaj´ımavým otázkám týkaj´ıc´ım se (hranovˇe) k-souvislých graf˚u (s nimiˇz k-souvislé toky u´ zce souvis´ı). Dokázˇ eme nˇekteré základn´ı vlastnosti tˇechto tok˚u a pouˇzijeme je pro d˚ukaz tvrzen´ı o tzv. ,,cesty-zachovávaj´ıc´ıh obarven´ıch“ , cˇ´ımˇz vylepˇs´ıme dosud známé výsledky o tˇechto obarven´ıch. Tato práce je cˇ a´ st´ı diplomové práce, kterou autor sepisuje pod veden´ım prof. J. Neˇsetˇrila. ˇ ani do jiných soutˇezˇ´ı. Nebyla podána do minulých let SVOC

31

Homomorfn´ı obrazy subdirektnˇe ireducibiln´ıch algeber David Stanovský Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze Pˇredloˇzená práce ˇreˇs´ı jeden starý problém univerzáln´ı algebry. Oznaˇcme G tˇr´ıdu vˇsech homomorfn´ıch obraz˚u subdirektnˇe ireducibiln´ıch grupoid˚u a H tˇr´ıdu vˇsech grupoid˚u izomorfn´ıch s faktorgrupoidem nˇejakého subdirektnˇe ireducibiln´ıho grupoidu podle jeho nejmenˇs´ı netriviáln´ı kongruence (tzv. monolitu). Zadán´ı zn´ı, charakterizovat prvky tˇechto tˇr´ıd nˇejakým lepˇs´ım zp˚usobem, nˇejakou snadno ovˇeˇritelnou podm´ınkou. Je vidˇet, zˇ e H je podtˇr´ıda G. Snadno bychom naˇsli pˇr´ıklady grupoid˚u, které napatˇr´ı do G — napˇr. aditivn´ı pologrupa pˇrirozených cˇ´ısel. Nen´ı tˇezˇ ké dokázat, zˇ e nutnou podm´ınkou k tomu, aby grupoid G náleˇzel do G, je existence nejmenˇs´ıho ideálu v G. Pˇrekvapivý výsledek, který je základem této práce, zn´ı, zˇ e uvedená podm´ınka je i postaˇcuj´ıc´ı. Dokonce, má-li G nejmenˇs´ı ideál, pak lze nalézt subdirektnˇe ireducibiln´ı grupoid, jehoˇz faktor podle monolitu je izomorfn´ı s G. Tedy ukazuje se, zˇ e tˇr´ıdy G a H jsou stejné. Nav´ıc dokázˇ eme, zˇ e kaˇzdý koneˇcný groupoid G je prvkem tˇechto tˇr´ıd a zˇ e dotyˇcný subdirektnˇe ireducibiln´ı grupoid m˚uzˇ eme zkonstruovat koneˇcný. Tyto výsledky jsou obsahem kapitol 2 a 3. V dalˇs´ı cˇ a´ sti práce je problém zobecˇnován na univerzáln´ı algebry jiných signatur. Ukazuje se, zˇ e pokud daná signatura obsahuje aspoˇn jeden aspoˇn binárn´ı operaˇcn´ı symbol, pak lze d˚ukaz pro grupoidy pˇrevést na d˚ukaz pro algebry této signatury. To je c´ılem cˇ tvrté kapitoly. Na druhou stranu, nic takového neplat´ı pro unárn´ı algebry. Kapitola 5 se vypoˇra´ dá s monounárn´ımi algebrami — zde lze charakterizovat vˇsechny subdirektnˇe ireducibiln´ı algebry i jejich svazy kongruenc´ı, a tud´ızˇ je problém vyˇreˇsen v plné kráse. Avˇsak pro v´ıceunárn´ı algebry se situace stává znaˇcnˇe sloˇzitou. Charakterizace homomorfn´ıch obraz˚u subdirektnˇe ireducibiln´ıch unar˚u ani faktoralgeber subdirektnˇe ireducibiln´ıch unar˚u podle jejich monolitu nen´ı známa. Rozhodnˇe neplat´ı, zˇ e by tyto dvˇe tˇr´ıdy splývaly tak, jako v pˇr´ıpadˇe ostatn´ıch ˇ a kapitola obsahuje nˇekolik pˇr´ıklad˚u, pozorován´ı a cˇ a´ steˇcných univerzáln´ıch algeber. Sest´ výsledk˚u dokladuj´ıc´ıch obt´ızˇ nost problému. Pˇredkládaná práce obsahuje takˇrka výhradnˇe p˚uvodn´ı, samostatnˇe dosaˇzené výsledky autora. Pouze cˇ a´ st druhé kapitoly (nutná podm´ınka pro grupoidy) slouˇzila jako vstupn´ı informace k práci. Nˇekteré cˇ a´ steˇcné výsledky páté kapitoly jsou k nalezen´ı v literatuˇre, avˇsak autor˚uv pˇr´ıstup je origináln´ı. Pˇredkládaná práce nemá zˇ a´ dný vztah k autorovˇe diplomové práci, soutˇezˇ e SVOCˇ se autor ˇ ast práce byla vypracována za podpory grantu FRVSˇ 1920/2000 a pˇrijata nikdy neúcˇ astnil. C´ k publikaci v cˇ asopise Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae (zasláno v listopadu 2000). Zde se pˇredkládá upravená a výraznˇe rozˇs´ıˇrená verze pˇrijatého cˇ lánku, který se zabýval pouze grupoidy.

32

Uzávˇerové a vnitˇrkové operátory GMV-algeber ˇ cek Filip Svrˇ Pˇr´ırodovˇedecká fakulta UP v Olomouci

Je známo, zˇ e MV-algebry zavedené C. C. Changem jsou algebraickým protˇejˇskem Lukasiewiczovy nekoneˇcnˇe-hodnotové výrokové logiky. V posledn´ıch dvou letech se zaˇcalo intenzivnˇe studovat nekomunikativn´ı zobecnˇen´ı MV-algeber, tzv. GMV-algebry, které byly nezávisle na sobˇe zavedeny jak dvojic´ı G. Georgescu, A. Iorgulescu, tak J. Rach˚unkem. V práci jsou definovány uzávˇerové GMV-algebry jako zobecnˇen´ı topologických Booleových algeber. Jsou zde uvedeny vztahy mezi aditivn´ımi uzávˇerovými a multiplikativn´ımi vnitˇrkovými operátory doplnˇené ilustrac´ı GMV-algebry na intervalu maticové l-grupy. Dále jsou zde popsána jádra homomorfism˚u uvávˇerových GMV-algeber ve tvaru normáln´ıch cideál˚u a je ukázáno, zˇ e kaˇzdý aditivnˇe idempotentn´ı prvek umoˇznˇ uje zavést uzávˇerovou GMV-algebru pˇr´ısluˇsnou hlavn´ımu ideálu, která je homomorfn´ım obrazem p˚uvodn´ı uzávˇerové GMV-algebry. Pˇredloˇzená práce byla vypracována samostatnˇe pod veden´ım prof. J. Rach˚unka.

33

Sekce S4 – Teoretická informatika

Jan Bouda – Entanglement swapping between multi-quidit systems . . . . . . . . . 36 ˇ y, Jan Kára, Daniel Král’, Pavel Podbrdský, Miroslava Sotáková, Jakub Cern´ ˇ amal – O poˇctu pr˚useˇc´ık˚u dvou mnohoúheln´ık˚u . . . . . . . . . . . 37 Robert S´ Petr Cintula – The L and L1/2 logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Daniel Král’ – Mixed Hypergraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Martin Králik – Deterministic generative systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ˇ Martin Stangel – Finite Approximations and Similarity of Languages . . . . . . . . 42 Jan Strejˇcek – Models of Infinite-State Systems with Constraints . . . . . . . . . . 43

Entanglement swapping between multi-quidit systems Jan Bouda Fakulta informatiky MU v Brnˇe

Technika entanglement swappingu byla p˚uvodnˇe navrˇzena Zukowskim pro dvojice qubit˚u a pozdˇeji zobecnˇena Bosem pro libovolný poˇcet qubit˚u, avˇsak bez d˚ukazu. Dále byly navrˇzeny techniky umoˇznˇ uj´ıc´ı entanglement swapping v kontinuálnˇe dimensionáln´ıch systémech. V tomto cˇ lánku zobecˇnujeme ideu entanglement swappingu pro systémy sloˇzené z libovolného poˇctu cˇ a´ stic s libovolnou dimenz´ı. Veˇskerá tvrzen´ı jsou dokázána pˇr´ımým výpoˇctem, který umoˇznˇ uje explicitn´ı stanoven´ı výsledného stavu. Tyto výsledky jsou prezentovány pomoc´ı efektivn´ıho matematického aparátu, který je pro entanglement swapping zvlásˇtˇe vhodný. Tento cˇ lánek byl pˇrijat k publikaci v Journal of Physics A a byl také przentován jako poster na konferenci QIP2001 v Amsterdamu. Vlastn´ı práci Jana Boudy tvoˇr´ı konec Sekce 2 a Sekce 3, 4, 5 vˇcetnˇe hlavn´ıch vˇet. Tento cˇ lánek je zaˇrazen do diplomové práce Jana Boudy jako samostatná kapitola.

36

˚ c´ıku˚ dvou mnohouheln´ ´ O poˇctu pruseˇ ıku˚ ˇ Jakub Cern´ y, Jan Kára, Daniel Král’, Pavel Podbrdský, Miroslava Sotáková, ˇ amal Robert S´ Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

Urˇcován´ı kombinatorické sloˇzitosti sjednocen´ı dvou cˇ i v´ıce geometrických objekt˚u urˇcitého typu patˇr´ı mezi základn´ı geometrické extremáln´ı u´ lohy nacházej´ıc´ı uplatnˇen´ı v robotice (ray-shooting) a pˇri odhadován´ı sloˇzitosti geometrických algoritm˚u. Zejména v pˇr´ıpadˇe dvou objekt˚u je tato otázka totoˇzná cˇ i u´ zce souvis´ı s otázkou maximáln´ıho poˇctu pr˚useˇc´ık˚u hranic daných geometrických objekt˚u. V naˇsem pˇr´ıpadˇe studujeme pro daná k, l ≥ 3 maximáln´ı moˇzný poˇcet pr˚useˇc´ık˚u k–úheln´ıku a l–úheln´ıku v rovinˇe. Na oba mnohoúheln´ıky klademe podm´ınku, zˇ e hrany kaˇzdého z nich se nesm´ı kˇr´ızˇ it. Obt´ızˇ nost urˇcován´ı maximáln´ıho poˇctu pr˚useˇc´ık˚u závis´ı na paritˇe k a l. Pokud je k nebo l sudé, je urˇcen´ı maximáln´ıho poˇctu pr˚useˇc´ık˚u lehˇc´ı. Pokud je k i l sudé, pak je maximáln´ı poˇcet pr˚useˇc´ık˚u roven kl; pokud je jedno sudé (k) a druhé liché (l), je roven k(l −1). Zaj´ımavý je pˇr´ıpad, kdy jsou obˇe k i l lichá. V tomto pˇr´ıpadˇe je maximáln´ı poˇcet pr˚useˇc´ık˚u alespoˇn kl − k − l + 3; takové dva mnohoúheln´ıky sestroj´ıme. Hypotéza je, zˇ e tento doln´ı odhad je tˇesný. My zlepˇs´ıme pro k, l ≥ 7 snadný horn´ı odhad poˇctu pr˚useˇc´ık˚u tˇechto dvou mnohoúheln´ık˚u z kl −l na kl − k6 −l. Pˇr´ıpad, kde jeden z tˇechto mnohoúheln´ık˚u je pˇetiúheln´ık pak doˇreˇs´ıme zcela: Maximáln´ı moˇzný poˇcet pr˚useˇc´ık˚u pˇetiúheln´ıku a k-úheln´ıku (k liché) je 4k − 2. Zaj´ımavé je, zˇ e pokud povol´ıme, aby se hrany v obou mnohoúheln´ıc´ıch vzájemnˇe kˇr´ızˇ ily, potom je urˇcen´ı poˇctu pr˚useˇc´ık˚u triviáln´ı. Pro k a l sudé je to kl a pokud je l liché, vyjde k(l − 1).

37

The L and L1/2 logics Petr Cintula ˇ Fakulta jaderná a fyzikálnˇe inˇzenýrská CVUT v Praze Tato práce se zabývá logikami L a L1/2 . Jsou sledovány cˇ tyˇri hlavn´ı c´ıle. Prvn´ım c´ılem je formulovat a dokázat nová tvrzen´ı o tˇechto logikách. Jsou definovány nové axiomatické systémy pro obˇe logiky. Je dokázáno, zˇ e tyto logiky obsahuj´ı mnohé jiné jako své podlogiky, a to Gödelovu logiku, logiky zaloˇzené na koneˇcnˇe konstruovatelných t-normách a Takeuti a Titani predikátovou logiku. Dále se ukazuje, zˇ e logika L je vlastnˇe schématické rozˇs´ıˇren´ı tzv. produktové involutivn´ı logiky. Druhým c´ılem je uˇzit´ım nových definic a vˇet pˇreformulovat a pˇrepsat p˚uvodn´ı výsledky z origináln´ıho cˇ lánku o tˇechto logikách a z mého cˇ lánku predikátových verz´ıch tˇechto logik. T´ımto se definice, vˇety, ale zejména mnohé d˚ukazy stávaj´ı znaˇcnˇe jednoduˇssˇ´ımi a srozumitelnˇejˇs´ımi. Tˇret´ım c´ılem je rozepsat nˇekteré d˚ukazy podrobnˇeji a preciznˇeji, neˇz jak byly sepsány v pˇredchoz´ıch prac´ıch. A cˇ tvrtým, fináln´ım c´ılem je sepsat sobˇestaˇcnou, uzavˇrenou práci, která by obsahovala vˇsechna d˚uleˇzitá fakta o logikách L a L1/2 a ukazovala, zˇ e tyto logiky jsou zaj´ımavé, silné a perspektivn´ı logické systémy, které jsou hodny podrobného studia. Tato práce je cˇ a´ st´ı mé diplomové práce se shodným jménem. Neobsahuje cˇ tvrtou kapitolu, kde jsou ukázány nˇekteré aplikace a dokázány nˇekteré d´ılˇc´ı tvrzen´ı napˇr. o sloˇzitosti ˇ ast tˇret´ı kapitoly této práce je zaloˇzena na mé loˇnské soutˇezˇ n´ı a kompaktnosti tˇechto logik. C´ práci. Je ovˇsem pˇrepracována s ohledem na druhý, tˇret´ı a cˇ tvrtý c´ıl této práce.

38

Mixed Hypergraphs Daniel Král’ Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze Mixovaný hypergraf H je trojice (V, C, D); V je mnoˇzina vrchol˚u H a C a D jsou mnoˇziny podmnoˇzin V — C–hrany a D–hrany. Vrcholové obarven´ı H je dobré, jestliˇze kaˇzdá C–hrana obsahuje dva vrcholy stejné barvy a kaˇzdá D–hrana obsahuje dva vrcholy r˚uzné barvy. Spektrum H je vektor (r1 , . . . , rl ), kde rk je poˇcet r˚uzných dobrých obarven´ı H , které pouˇz´ıvaj´ı právˇe k barev; pˇr´ıpustná mnoˇzina H je mnoˇzina vˇsech tˇech k, pro která rk = 0; pˇr´ıpustná mnoˇzina neobsahuje d´ıry, pokud je interval. Pro libovolný vektor (r1 , . . . , rk ) s r1 = 0 zkonstruujeme mixovaný hypergraf (s lineárn´ım poˇctem vrchol˚u v i ri ), jehoˇz spektrum je rovno tomuto vektoru; toto zobecuje vˇetu o existenci mixovaných hypergraf˚u pro libovolnou pˇr´ıpustnou mnoˇzinu, kterou vyˇreˇsili Jiang et al. v [1] otevˇrený problém, zda m˚uzˇ e pˇr´ıpustná mnoˇzina obsahovat d´ıru; jejich konstrukce byla exponenciáln´ı v k. Co se týcˇ e výpoˇcetn´ı sloˇzitosti dokázˇ eme, zˇ e pro libovolné dvˇe koneˇcné mnoˇziny kladných celých cˇ´ısel A1 ⊂ A2 (1 ∈ A2 ), je NP–tˇezˇ ké rozhodnout, zda pˇr´ıpustná mnoˇzina zadaného mixovaného hypergrafu je A2 , i kdyˇz je zaruˇceno, zˇ e je bu A1 nebo A2 . Dokázˇ eme, zˇ e je NP–úplné rozhodnout, zda je daný mixovaný hypergraf obarvitelný, a je zárove NP–tˇezˇ ké a coNP–tˇezˇ ké rozhodnout, zda pˇr´ıpustná mnoˇzina daného mixovaného hypergrafu obsahuje d´ıry, coˇz zesiluje výsledek z [2]. Hypergraf je rovinný, pokud jeho incidenˇcn´ı graf je rovinný. Dokázˇ eme, zˇ e pˇr´ıpustná mnoˇzina rovinného mixovaného hypergrafu bez hran velikosti dva s alespo jednou hranou velikosti alespo cˇ tyˇri je bez dˇer. Sestroj´ıme pˇr´ıklad rovinného mixovaného hypergrafu, jehoˇz pˇr´ıpustná mnoˇzina obsahuje d´ıry. Dále dokázˇ eme silné omezen´ı pro výskyt dˇer v pˇr´ıpustných mnoˇzinách rovinných mixovaných hypergraf˚u. Dokázˇ eme, zˇ e libovolný mixovaný hypergraf obsahuj´ıc´ı nejvýsˇe dvˇe D–hrany velikosti dvˇe je dvoubarevný a dokázˇ eme ekvivalenci vˇety o cˇ tyˇrech barvách pro rovinné mixované hypergrafy a rovinné grafy. T´ımto odpov´ıdáme na dvˇe z nˇekolika otázek, které v [4] poloˇzili Küngden et al. o barevnosti rovinných mixovaných hypergraf˚u. Hypergraf je hyperstrom, pokud existuje strom na stejné mnoˇzinˇe vrchol˚u takový, zˇ e hrany hypergrafu indukuj´ı souvislé podgrafy tohoto stromu. Dokázˇ eme, zˇ e je NP–úplné rozhodovat existenci dobrého obarven´ı pouˇz´ıvaj´ıc´ıho právˇe k barev i pro hyperstromy s C = D, pokud je k cˇ a´ st´ı vstupu. Nalezneme polynomiáln´ı algoritmus pro barven´ı mixovaných hyperstrom˚u, pokud je poˇcet barev a stupeˇn stromu, na kterém se hyperstrom nacház´ı, omezen; t´ım ˇreˇs´ıme problém uvedený v [3]. ˇ ast této práce m˚uzˇ e být pouˇzita jako cˇ a´ st diplomové práce autora. C´

Literatura [1] T. Jiang, D. Mubayi, Zs. Tuza, V. Voloshin and D. B. West: Chromatic spectrum is broken, 6th Twente Workshop on Graphs and Combinatorial Optimization, 26–28, May, 1999, 231–234. 39

[2] D. Král’, J. Kratochv´ıl, H.-J. Voss: Complexity note on mixed hypergraphs, submitted. [3] D. Král’, J. Kratochv´ıl, A. Proskurowski, H.-J. Voss: Coloring mixed hypertrees, Proceedings 26th Workshop on Graph-Theoretic Concepts in Computer Science, LNCS vol. 1928, 2000, p. 279–289. [4] A. Kündgen, E. Mendelsohn, V. Voloshin: Colouring planar mixed hypergraphs, Electronic J. Combin. 7, 2000, #R60.

40

Deterministic generative systems Martin Králik Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislavˇe, Slovensko

Práca je zameraná na skúmanie vplyvu determinizmu na generat´ıvnu silu g-systémov. Generat´ıvne systémy (g-systémy) boli navrhnuté ako model abstraktnej gramatiky a boli, okrem iného, pouˇzité na modelovanie uˇz existujúcich sekvenˇcných a paralelných gramat´ık. g-systémy pracujú nad jednoduchou vetnou formou a ako mechanizmus na jej prepisovanie vyuˇz´ıvajú zobrazenie 1-a-prekladaˇcom (zariadenie s koneˇcnostavovou riadiacou jednotkou, ˇ sa týka generat´ıvnej sily, g-systémy sú schopné ktoré transformuje daný vstup na výstup). Co vyrobit’ vˇsetky jazyky z L R E . Model bol definovaný ako nedeterministický, väcˇ sˇina dôleˇzitých simuláci´ı a konˇstrukci´ı nedeterminizmus vo vel’kej miere vyuˇz´ıva. Preto sme sa rozhodli skúmat’deterministický variant. V práci je formálne definovaný deteministický model, ukazujeme niektoré jeho vlastnosti. Zameriavame sa na porovnanie sily deterministických g-systémov, ktoré v odvoden´ı pouˇz´ıvajú neterminálne symboly, s deterministickými g-systémami, ktoré túto moˇznost’ nemajú. Ukazujeme, zˇ e ak zariadenie pouˇz´ıva neterminály, jeho geˇ s´ım dôleˇzitým výsledkom je, zˇ e deterministické g-systémy sú nerat´ıvna sila sa zväcˇ sˇ´ı. Dal’ˇ slabˇsie, cˇ o sa týka generat´ıvnej sily, ako nedeterministické. Na záver oboznamujeme cˇ itatel’a so smerovan´ım d’al’ˇsej práce na problematike, uvádzame aj náznaky rieˇsenia niektorých problémov.

41

Finite Approximations and Similarity of Languages ˇ Martin Stangel Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislavˇe, Slovensko

In this work we study the relation between a language L and a word x. Since we may consider every word to be some misspelled word of a language L we look for algorithms which are able to find a ”correct” version of x (i.e. a word from L that is most similar to x). ← − We shall define several new similarity measures (the -similarity, the prefix -similarity − → and the suffix -similarity). We shall also consider a well known one – the edit-distance. We discover some of their properties and relations. Furthermore, we shall define a vicinity of a word x and a language L – the maximal similarity of x and words from L. We shall present a new algorithm that computes a lower bound for the -vicinity and we shall determine its time complexity. Moreover, we shall ← − present algorithm for computing the precise value of ∇ -vicinity and an analogous algorithm − → for ∇ vicinity. We shall do the same for edit-distance and we show that our algorithm for context-free languages has time complexity O(n 3 ). We shall also define a class of energy-grammars – a class very similar to context-free grammars. We shall prove that the membership problem for languages defined by energy grammars is NP-complete. Later we shall study pairs of almost identical energy grammars and we shall try to identify the rules in which they differ.

42

Models of Infinite-State Systems with Constraints Jan Strejˇcek Fakulta Informatiky MU v Brnˇe

Velmi frekventovaným pojmem teoretické informatiky je pˇrechodový systém (transition system). Jednoduchý formalismus pˇrechodových systém˚u je vhodný napˇr. k modelován´ı slozˇ itˇejˇs´ıch systém˚u cˇ i proces˚u, potenciálnˇe interaktivn´ıch cˇ i paraleln´ıch, pro u´ cˇ ely ovˇeˇren´ı specifických vlastnost´ı tˇechto systém˚u. Jednou z moˇznost´ı, jak pomoc´ı koneˇcného zápisu jednoznaˇcnˇe reprezentovat i nekoneˇcnˇe stavové pˇrechodové systémy, je vyuˇzit´ı pˇrepisovac´ıch systém˚u. Mayr definoval formalismus procesových pˇrepisovac´ıch systém˚u (process rewrite systems) a ukázal, zˇ e kladen´ım omezen´ı na tvar pˇrepisovac´ıch pravidel z´ıskáváme tradiˇcn´ı a dobˇre prozkoumané tˇr´ıdy pˇrechodových systém˚u, napˇr´ıklad tˇr´ıdy BPA, BPP, zásobn´ıkové procesy, Petriho s´ıtˇe, PA-procesy atd. Tento jednot´ıc´ı pohled umoˇznil seˇradit zm´ınˇené tˇr´ıdy do PRS-hierarchie dle jejich vyjadˇrovac´ıch schopnost´ı. Pˇredkládaná práce se zabývá rozˇs´ıˇren´ım mechanismu procesových pˇrepisovac´ıch systém˚u o moˇznost práce s cˇ a´ steˇcnou informac´ı. Manipulace s cˇ a´ steˇcnou informac´ı je zde analogická k pˇr´ıstupu pouˇz´ıvanému v Concurrent Constrained Programming. Ukazuje se, zˇ e systémy z tˇr´ıd koneˇcnˇe stavových systém˚u, zásobn´ıkových proces˚u a Petriho s´ıt´ı rozˇs´ıˇrené uvedeným zp˚usobem patˇr´ı opˇet do odpov´ıdaj´ıc´ıch tˇr´ıd. Jinými slovy, uvedené rozˇs´ıˇren´ı tyto tˇr´ıdy nezmˇen´ı. Naproti tomu, nˇekteré pˇrepisovac´ı systémy z tˇr´ıdy BPA (resp. BPP, PA, PAN a PAD) rozˇs´ıˇrené uvaˇzovaným zp˚usobem nejsou bisimulaˇcnˇe ekvivalentn´ı zˇ a´ dnému BPA (resp. BPP, PA, PAN a PAD) systému. Jsou tedy zavedeny nové tˇr´ıdy nazvané fcBPA, fcBPP, fcPA, fcPAN a fcPAD, odpov´ıdaj´ıc´ı rozˇs´ıˇreným standardn´ım tˇr´ıdám. Z tˇechto nových tˇr´ıd i ze standardn´ıch tˇr´ıd je sestavena fcPRS-hierarchie a je ukázáno, zˇ e tato hierarchie je striktn´ı. Dále je prezentováno Pumping Lemma pro tˇr´ıdu fcBPP. S vyuˇzit´ım tohoto tvrzen´ı je pak dokázáno, zˇ e tˇr´ıda fcBPP se od tˇr´ıdy BPP a Petriho s´ıt´ı liˇs´ı dokonce na u´ rovni jazykové ekvivalence. Pˇredkládaná práce je obsahovˇe shodná se stejnojmennou diplomovou prac´ı autora.

43

Sekce S5 – Aplikovaná matematika

L’ubom´ır Baˇnas – Rieˇsenie transportnej rovnice metódou charakterist´ık . . . . . . . 46 Ivan Cimrák – Broydenova metóda pouˇzitá pri rieˇsen´ı nelineárnych sústav . . . . . 47 Michal Krchˇna´ k – Evoluˇcn´ı strategie v globáln´ı optimalizaci . . . . . . . . . . . . 48 Petr Kundrát – Konstrukce optimáln´ıho ˇr´ızen´ı rakety s maximáln´ım doletem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Jan Zich – Voronoiovo dlázˇ dˇen´ı kvazikrystal˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Martin Zoubek – Adaptivn´ı metody pro ˇreˇsen´ı tˇr´ırozmˇerného proudˇen´ı . . . . . . . 51

Rieˇsenie transportnej rovnice metódou charakterist´ık ˇ L’ubom´ır Banas Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislavˇe, Slovensko

V tejto práci sa zaoberáme rieˇsen´ım transportnej rovnice metódou charakterist´ık. Ukázˇ eme konvergenciu metódy charakterist´ık pre pr´ıpad, zˇ e rýchlostné pole je spojité (teda vo vˇseobecnosti nemus´ı byt’ ohraniˇcené) a nelineárne závis´ı od hl’adaného rieˇsenia. Zatial’ niesú ˇ známe výsledky o konvergencii pre takéto typy u´ loh. Dalej v práci prezentujeme numerické experimenty spoˇc´ıtané ELLAM metódou, ktorá zachováva masu v rieˇsen´ı. Dosiahnuté numerické výsledky potvrdzujú teoretické predpoklady.

46

´ Broydenova metóda pouˇzitá pri rieˇsen´ı nelineárnych sustav Ivan Cimrák Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislavˇe, Slovensko

Pri rieˇsen´ı nelineárnych parabolických parciálnych diferenciálnych rovn´ıc sa pri Rotheho metóde problém diskretizuje v cˇ ase a rieˇsia sa cˇ iastkové eliptické problémy. Pri diskretizovan´ı týchto eliptických problémov v cˇ ase sa na kaˇzdom cˇ asovom reze rieˇsi numericky nelineárna sústava rovn´ıc. Na vyrieˇsenie tejto sústavy sa dá u´ speˇsne pouˇzi´t Broydenova metóda zaloˇzená na iteraˇcných Newtonovských metódach. V tejto práci je dokázaná konvergencia metódy na jednom cˇ asovom reze ako aj konvergencia Rotheho schodovitých funkci´ı ku rieˇseniu.

47

Evoluˇcn´ı strategie v globáln´ı optimalizaci ˇ ak Michal Krchn´ Pˇr´ırodovˇedecká fakulta OU v Ostravˇe

C´ılem této práce bylo popsat téma globáln´ı optimalizace funkc´ı pomoc´ı evoluˇcn´ıch strategi´ı. V teoretické cˇ a´ sti je zpracována definice problému globáln´ı optimalizace funkc´ı, následnˇe je zpracován podrobný popis evoluˇcn´ıch strategi´ı. Popisy evoluˇcn´ıch strategi´ı jsou zpracovány s d˚urazem na jejich praktické pouˇzit´ı, pˇriˇcemˇz teoretické pozad´ı problematiky je popsáno sp´ısˇe struˇcnˇeji. C´ılem bylo nab´ıdnout pˇrehledný a struˇcný návod pro snadnou implementaci tˇechto algoritm˚u. Jako souˇca´ st práce byly zpracovány knihovny pro práci s evoluˇcn´ımi strategiemi. Za pomoci knihoven byly otestovány schopnosti evoluˇcn´ıch strategi´ı pˇri minimalizaci 4 dobˇre známých testovac´ıch funkc´ı. Nejzaj´ımavˇejˇs´ım výsledkem je konfrontace Schwefelova teoretického pravidla o pod´ılu poˇctu potomk˚u v populaci s výsledky na dvou testovac´ıch funkc´ıch, které toto pravidlo nepotvrdily. V tomto pˇr´ıpadˇe by dalˇs´ı zkoumán´ı bylo velmi zaj´ımavé, i výsledky dalˇs´ıch testován´ı jsou vˇsak námˇetem k podrobnˇejˇs´ımu zkoumán´ı. Pˇr´ınosem práce a osobn´ım vkladem autora je vytvoˇren´ı výsˇe zm´ınˇených knihoven vytvoˇrených v jazyce C++, a praktické výsledky vzeˇslé z testován´ı evoluˇcn´ıch strategi´ı na skupinˇe testovac´ıch funkc´ı. Tato práce je souˇca´ st´ı diplomové práce autora a s jej´ı cˇ a´ st´ı se z˚ucˇ astnil v loˇnském roce ˇ na Pˇr´ırodovˇedecké fakultˇe Ostravské univerzity. soutˇezˇ e SVOC

48

Konstrukce optimáln´ıho rˇ´ızen´ı rakety s maximáln´ım doletem Petr Kundrát FakuIta strojn´ıho inˇzenýrstv´ı VUT v Brnˇe

V pˇredloˇzené práci je ˇreˇsen jistý variaˇcn´ı problém raketové dynamiky. Jedná se o modifikaci známé u´ lohy o maximáln´ım doletu rakety, jej´ızˇ ˇreˇsen´ı jiˇz bylo v odborné literatuˇre provedeno. Zm´ınˇená modifikace spoˇc´ıvá v dodateˇcné podm´ınce tzv. hladkého pˇristán´ı rakety, které je charakterizováno nulovou rychlost´ı rakety ve smˇeru vertikáln´ı osy v okamˇziku pˇristán´ı. Je ukázáno, zˇ e tento pˇredpoklad charakter ˇreˇsen´ı p˚uvodn´ı u´ lohy do znaˇcné m´ıry zmˇen´ı. Kromˇe zvýsˇen´ı poˇctu optimáln´ıch letových reˇzim˚u (coˇz bylo pˇrirozené oˇcekávat), dojde i k typové zmˇenˇe letových u´ hl˚u. Samotná konstrukce optimáln´ıho ˇr´ızen´ı letu rakety je aplikac´ı Pontrjaginova principu maxima a je vlastn´ım autorovým výsledkem. Pro u´ plné vyˇreˇsen´ı studovaného problému je tˇreba také urˇcit délku trván´ı jednotlivých optimáln´ıch letových reˇzim˚u. K tomuto u´ cˇ elu je sestavena pomˇernˇe sloˇzitá u´ loha nelineárn´ıho programován´ı. Jej´ı vyˇreˇsen´ı je v práci provedeno pomoc´ı systému GAMS (General Algebraic Modeling System). Rovnˇezˇ tato cˇ a´ st pˇredloˇzené práce vˇcetnˇe doplˇnuj´ıc´ıch poznámek je autorovým výsledkem. Vztah této práce k pˇripravované diplomové práci autora je pouze okrajový. V diplomové práci se autor zabývá problémem syntézy optimáln´ıch regulac´ı pro lineárn´ı oscilátory. Celý pˇredloˇzený text byl sepsán jako p˚uvodn´ı práce SVOCˇ 2001.

49

Voronoiovo dlázˇ dˇen´ı kvazikrystalu˚ Jan Zich ˇ Fakulta jaderná a fyzikálnˇe inˇzenýrská CVUT v Praze

Práce se zabývá studiem matematických model˚u nekrystalografických látek zvaných kvazikrystaly. Kvazikrystaly jev´ı uspoˇra´ dán´ı na dálku, ale maj´ı rotaˇcn´ı symetrie nesluˇcitelné s periodickou strukturou. Nejˇcatˇeji jsou studovány kvazikrystaly s pˇetiˇcetnou rotaˇcn´ı symetri´ı, √ které pro svou definici pouˇz´ıvaj´ı zlatý ˇrez τ = 12 (1 + 5). Matematický model kvazikrystalu pouˇz´ıvaný v této práci vzniká pomoc´ı tzv. metody výseku a projekce a lze snadno popsat pomoc´ı algebraického formalismu. Tento formalismus umoˇznˇ uje dokázat nˇekteré d˚uleˇzité vlastnosti kvazikrystal˚u. Kvazikrystal je mnoˇzina bod˚u rovnomˇernˇe rozloˇzených v Rn . Pˇresnˇeji ˇreˇceno, tato mnoˇzina má Deloneovskou vlastnost, tj. existuje kladná doln´ı mez na vzdálenosti mezi jej´ımi body, a existuje tzv. pokrývac´ı polomˇer takový, zˇ e kaˇzdá koule v Rn tohoto polomˇeru obsahuje nˇejaký bod ze . Ke kaˇzdému bodu x Deloneovské mnoˇziny lze zkonstruovat tzv. Voronoiovo okol´ı. To je tvoˇreno body, které maj´ı bl´ızˇ e k x neˇz k ostatn´ım bod˚um mnoˇziny . Voronoiova okol´ı tvoˇr´ı dlázˇ dˇen´ı, které beze zbytku a bez pˇrekrýván´ı pokrývá celý prostor Rn . Ukazuje se, zˇ e Voronoiovo dlázˇ dˇen´ı kvazikrystal˚u má jen koneˇcný poˇcet typ˚u dlaˇzdic. ´ Ukolem této práce bylo popsat Voronoiovo dlázˇ dˇen´ı pro urˇcitou tˇr´ıdu dvourozmˇerných kvazikrystal˚u a klasifikovat ji podle typ˚u Voronoiových dlaˇzdic – ve dvourozmˇemém pˇr´ıpadˇe polygon˚u. K tomu bylo zapotˇreb´ı detailnˇe studovat strukturu jednorozmˇerných kvazikrystal˚u, vypracovat software na generován´ı studovaných struktur a na konstruován´ı Voronoiova dlázˇ dˇen´ı dané Deloneovské mnoˇziny. Nezbytným parametrem pro konstrukci Voronoiova dlázˇ den´ı je pokrývac´ı polomˇer. Jedn´ım z významných teoretických výsledk˚u této práce je urˇcen´ı pokrývac´ıho polomˇeru pro danou tˇr´ıdu kvazikrystal˚u a praktický odhad na poˇcet bod˚u, které je nutno uvaˇzovat pˇri konstruován´ı Voronoiovy dlaˇzdice v daném speciáln´ım pˇr´ıpadˇe. Zadaný u´ kol nen´ı moˇzné ˇreˇsit analyticky. Byl proto vypracován program, který ˇreˇs´ı tuto obsáhlou, ale koneˇcnou u´ lohu výcˇ tem vˇsech moˇzných situac´ı. Pro u´ plnou klasifikaci Voronoiových dlázˇ dˇen´ı nekoneˇcného poˇctu kvazikrystal˚u dané tˇr´ıdy bylo nezbytné provést detailn´ı teoretický rozbor. Podaˇrilo se klasifikovat studované kvazikrystaly do sˇesti skupin a pro kaˇzdou z nich urˇcit vˇsechny typy Voronoiových polygon˚u. V rámci jedné skupiny se Voronoiova dlázˇ dˇen´ı liˇs´ı pouze hustotou výskytu jednotlivých polygon˚u. Souˇca´ st´ı práce jsou programy na generován´ı u´ sek˚u jednorozmˇernýcb kvazikrystal˚u a lokáln´ıch konfigurac´ı bod˚u ve dvourozmˇerných kvazikrystalech. Dále práce obsahuje software, který umoˇznˇ uje konstrukci Voronoiových polygon˚u a jejich pˇresné porovnáván´ı. Aˇckoliv se tato práce zamˇeˇrila na speciáln´ı tˇr´ıdu model˚u kvazikrystalu, dosaˇzený výsledek má veliký význam i pro studium sˇirˇs´ı skupiny pˇr´ıpad˚u. Je základem pro budouc´ı diplomový projekt, ve kterém budou studována a klasifikována Voronoiova dlázˇ dˇen´ı obecných dvourozmˇernýcb kvazikrystal˚u. Postup pro zobecnˇen´ı dosaˇzenýcb výsledk˚u je v pˇredkládané práci rovneˇz navrˇzen.

50

Adaptivn´ı metody pro rˇ eˇsen´ı tˇr´ırozmˇerného proudˇen´ı Martin Zoubek Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze

V této práci se zabýváme numerickým rˇeˇsen´ım tˇr´ırozmˇerného nevazkého stlaˇcitelného proudˇen´ı pˇri rychlostech bl´ızkých rychlosti zvuku pomoc´ı adaptivn´ıch metod. Vlastn´ı pˇr´ınos soutˇezˇ n´ı práce: 1. Napsán´ı programu pro ˇreˇsen´ı tˇr´ırozmˇerných Eulerových rovnic pomoc´ı metody koneˇcných objem˚u (v programovac´ım jazyce C, numerický tok: pˇr´ımý Riemann˚uv ˇreˇsiˇc). 2. P˚uvodn´ı zobecnˇen´ı indikátoru sˇoku z [12] a residuáln´ıho indikátoru z [6, 7] pro tˇr´ırozmˇerné u´ lohy, formulace a d˚ukaz lemmat 2.4.1–2.4.3. 3. Naprogramován´ı dvou odliˇsných metod bisekce (FLEB a BAMP, str. 16–20) zaloˇzených na výsˇe uvedených indikátorech zjemnˇen´ı pro tˇr´ırozmˇerné u´ lohy (v jazyce C). 4. P˚uvodn´ı zobecnˇen´ı anisotropn´ı u´ pravy s´ıtˇe (AMA) z [3] pro tˇr´ırozmˇerný pˇr´ıpad, p˚uvodn´ı definice optimáln´ıho cˇ tyˇrstˇenu a d˚ukaz vˇety o normˇe jeho hran (str. 24). 5. P˚uvodn´ı definice parametru kvality s´ıtˇe a návrh algoritmu pro konstrukci s´ıtˇe, pro niˇz je parametr kvality minimáln´ı (str. 25–29). 6. Naprogramován´ı algoritmu anisotropn´ı u´ pravy s´ıtˇe v jazyce C. 7. Numerické ovˇeˇren´ı tˇechto metod na tˇr´ırozmˇerném rozˇs´ıˇren´ı dvourozmˇerného testovac´ıho kanálu spoleˇcnosti Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (GAMM). Metody pˇresnˇe zachycuj´ı tzv. Zierepovu singularitu, u AMA se dobˇre projevuje grid coarsening/alignment. 8. Numerické ovˇeˇren´ı na tˇr´ırozmˇerném kanálu pro proudˇen´ı se silnou rázovou vlnou. Soutˇezˇ n´ı práce tvoˇr´ı podstatnou cˇ a´ st diplomové práce uchazeˇce. ˇ se u´ cˇ astn´ım poprvé. Soutˇezˇ e SVOC

51

Výsledky soutˇezˇ e

Sekce S1 – Matematická analýza 1. m´ısto Petr Honz´ık, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Wolff˚uv potenciál na kvazimetrickém prostoru. ˇ Petra Sindel´ aˇrová, Matematický u´ stav SU v Opavˇe, Couterexamples to Sharkovsky’s conjectures concerning maps with zero topological entropy. 2. m´ısto David Opˇela, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Spaces of Functions with Bounded and Vanishing Mean Oscillation. 3. m´ısto ˇ v Plzni, Sturmova–Liouvilleova u´ loha pro p– Jiˇr´ı Benedikt, Fakulta aplikovaných vˇed ZCU biharmonický operátor. Petr Vodstrˇcil, Pˇr´ırodovˇedecká fakulta MU v Brnˇe, O jedné tˇr´ıbodové okrajové u´ loze pro diferenciáln´ı rovnici druhého rˇa´ du s deformovaným argumentem.

54

Sekce S2 – Teorie pravdˇepodobnosti, statistika a ekonometrie 1. m´ısto Zbynˇek Pawlas, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Centráln´ı limitn´ı vˇety ve stochastické geometrii. 2. m´ısto David Hampel, Pˇr´ırodovˇedecká fakulta MU v Brnˇe, Programová implementace AR modelu pro mnohoznaˇcné cˇ asové rˇady. Jan Kalina, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Nˇekteré skórové testy pro hodnocen´ı kontingenˇcn´ıch tabulek.

55

Sekce S3 – Matematické struktury 1. m´ısto ˇ amal, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Nenulové toky. Robert S´ 2. m´ısto Zdenˇek Dvoˇra´ k, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Vlastnosti polynomu propleten´ı. Jan Kára & Daniel Král’, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Minimum Degree and the Number of Chords. David Stanovský, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Homomorfn´ı obrazy subdirektnˇe ireducibiln´ıch algeber. 3. m´ısto Alˇzbˇeta Haková, Matematický u´ stav SU v Opavˇe, Vztah mezi variaˇcnost´ı a uzavˇrenost´ı pro (n+1)-formy 1. rˇa´ du. Pˇremysl Jedliˇcka, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Svazy dˇelitelnosti pletenc˚u a semidirektn´ı souˇciny.

56

Sekce S4 – Teoretická informatika 1. m´ısto Jan Bouda, Fakulta informatiky MU v Brnˇe, Entanglement swapping between multi-quidit systems. Daniel Král’, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Mixed Hypergraphs. 2. m´ısto ˇ Petr Cintula, Fakulta jaderná a fyzikálnˇe inˇzenýrská CVUT v Praze, The L and L1/2 logics. Jan Strejˇcek, Fakulta informatiky MU v Brnˇe, Models of Infinite-State Systems with Constraints. 3. m´ısto ˇ y, Jan Kára, Daniel Král’, Pavel Podbrdský, Miroslava Sotáková, Jakub Cern´ ˇ amal, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, O poˇctu pr˚useˇc´ık˚u dvou mnoRobert S´ hoúheln´ık˚u.

57

Sekce S5 – Aplikovaná matematika 1. m´ısto ˇ Jan Zich, Katedra matematiky FJFI Cesk´ e vysoké uˇcen´ı technické, Voronoiovo dlázˇdˇen´ı kvazikrystal˚u. Martin Zoubek, Matematicko-fyzikáln´ı fakulta UK v Praze, Adaptivn´ı metody pro rˇeˇsen´ı tˇr´ırozmˇerného proudˇen´ı. 2. m´ısto Petr Kundrát, FakuIta strojn´ıho inˇzenýrstv´ı VUT v Brnˇe, Konstrukce optimáln´ıho rˇ´ızen´ı rakety s maximáln´ım doletem. 3. m´ısto Michal Krchˇna´ k, Pˇr´ırodovˇedecká fakulta OU v Ostravˇe, Evoluˇcn´ı strategie v globáln´ı optimalizaci.

58

ˇ 2001 Program závˇereˇcné studentské konference SVOC Vydavatel: Technický redaktor: M´ısto a rok vydán´ı:

Matematický u´ stav Slezské univerzity v Opavˇe Ondˇrej Val´ık Opava, 2001

2. upravené vydán´ı c Matematický u´ stav Slezské univerzity v Opavˇe, Opava 2001

Obsah. Organizace SVOČ Odborné poroty...3

Recommend Documents