Obsah
1
Obsah 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Měření..................................................................................................... 3 1.1
Fyzikální veličina ............................................................................. 4
1.2
Jednotky ........................................................................................ 7
Kinematika.............................................................................................. 9 2.1
Klid a pohyb těles .......................................................................... 10
2.2
Rovnoměrný pohyb........................................................................ 13
2.3
Zrychlený pohyb ........................................................................... 18
2.4
Volný pád ..................................................................................... 21
2.5
Pohyb po kružnici .......................................................................... 23
Dynamika .............................................................................................. 25 3.1
Síla a její účinky ............................................................................ 26
3.2
Pohybové zákony .......................................................................... 28
3.3
Hybnost tělesa .............................................................................. 33
3.4
Odstředivá síla .............................................................................. 38
3.5
Odporové síly................................................................................ 42
Mechanická práce a energie .................................................................. 46 4.1
Mechanická práce .......................................................................... 47
4.2
Výkon .......................................................................................... 49
4.3
Mechanická energie ....................................................................... 52
4.4
Zákon zachování mechanické energie .............................................. 54
Mechanika tekutin ................................................................................ 56 5.1
Vlastnosti kapalin a plynů ............................................................... 57
5.2
Tlak v kapalinách a plynech ............................................................ 59
5.3
Vztlaková síla................................................................................ 62
Termika ................................................................................................ 65 6.1
Teplotní roztažnost ........................................................................ 66
6.2
Vnitřní energie .............................................................................. 69
6.3
Přenos vnitřní energie .................................................................... 71
Mechanické kmitání .............................................................................. 73 7.1
Kmitavý pohyb .............................................................................. 74
7.2
Mechanický oscilátor ...................................................................... 78
Elektrický náboj .................................................................................... 82 8.1
Elektrické pole .............................................................................. 83
8.2
Elektrické napětí ........................................................................... 85
8.3
Vodič a izolant .............................................................................. 87
Elektrický proud .................................................................................... 89 9.1
Elektrický proud ............................................................................ 90
Obsah
10
11
2
9.2
Elektrický odpor ............................................................................. 92
9.3
Ohmův zákon ................................................................................ 94
9.4
Zdroje napětí ................................................................................. 96
9.5
Spojování rezistorů ........................................................................ 98
9.6
Práce a výkon elektrického proudu ................................................. 100
9.7
Vodič a teplo ............................................................................... 102
Magnetické pole ................................................................................. 104 10.1
Magnety ..................................................................................... 105
10.2
Magnetická síla ............................................................................ 107
10.3
Částice v magnetickém poli ........................................................... 110
10.4
Elektromagnetická indukce ............................................................ 112
Střídavý elektrický proud ................................................................... 115 11.1
Vznik střídavého elektrického proudu ............................................. 116
11.2
Obvody střídavého elektrického proudu .......................................... 118
11.3
Výkon střídavého elektrického proudu ............................................ 121
Měření
1
3
Měření
Přehled −
Fyzikální veličina je vlastnost hmotného objektu, kterou můžeme měřit. Má svůj název, značku a jednotku
−
Fyzikální veličiny můžeme rozdělit podle různých hledisek. Nejčastěji podle počtu údajů nutných k jejich úplnému určení – na skaláry a vektory
−
Měření je porovnávání fyzikální veličiny s její dohodnutou jednotkou. V dnešní době je platná Mezinárodní soustava jednotek SI, jejímž základem je sedm základních jednotek sedmi odpovídajících veličin.
Klíčová slova −
fyzikální veličina; jednotka; měření; skalár; vektor; mezinárodní soustava SI; základní jednotky; doplňkové jednotky; vedlejší jednotky; odvozené jednotky; převody jednotek.
Fyzikální veličina - zadání
1.1
4
Fyzikální veličina -1
Loďka jede po řece a pohání ji motor rychlostí 4 m.s . Rychlost proudu je -1 3 m.s . Rychlosti uvažujeme vzhledem ke břehu. 1.
Určete výpočtem i graficky výslednou rychlost loďky, pluje-li:
po směru proudu;
proti směru proudu;
kolmo na směr proudu.
Na konci vodorovné podpěry působí dvě síly F1 a F2. Obě síly mají stejnou velikost, 200 N. Jejich výslednice má směr podélné osy podpěry. 1.
Nakreslete situaci pomocí jednoduchého obrázku. Vyznačte v obrázku síla F1, F2 i jejich výslednici.
2.
Určete velikost výslednice, jestliže síly svírají úhel:
90°
120°
Najděte skryté fyzikální veličiny Cvičili jsme nový kondiční cvik. Prudce smetl aktovku ze stolu Jan Hus to taktně odmítl. Kapří koncert byl němý. Polož dřevo podél kamen. Martin prosí Lauru, aby mu půjčila pastelku. 1.
U každé nalezené veličiny:
rozhodněte, zda se jedná o veličinu základní, nebo odvozenou
napište její značku a jednotku
rozhodněte, zda je veličina skalár nebo vektor
Fyzikální veličina – řešení
5
Loďka na řece Zápis: rychlost motoru v1 = 4 m.s −1 ; rychlost vodního proudu v 2 = 3 m.s −1 1.
Výpočet výsledné rychlosti: pohyb po směru proudu
Vektory obou rychlostí mají stejný směr, leží ve stejné vektorové přímce. Velikost výsledné rychlosti je určena: v = v1 + v 2
{v }= 4+3
v = 7 m . s -1 -1
Jede-li loďka po proudu, je její výsledná rychlost 7 m.s . pohyb proti směru proudu
Vektory obou rychlostí mají opačný směr, leží ve stejné vektorové přímce. Velikost výsledné rychlosti je určena: v = v1 − v 2
{v }= 4−3
v = 1 m . s -1 -1
Jede-li loďka proti proudu, je její výsledná rychlost 1 m.s . pohyb proti směru proudu
Vektory obou rychlostí jsou vzájemně kolmé v =
v 12 + v 22
{v }=
4 2 + 32
v = 5 m . s -1
Vodorovná podpěra Zápis: síla F1 = 200 N ; síla F2 = 200 N 1.
2.
Výpočet velikosti výslednice
síly svírají úhel 90°
Svírají-li síly úhel 90°, tvoří výslednice úhlopříčku čtverce o stranách F1=F2. Pro velikost výslednice platí: F = F1
2
{ F } = 200 ⋅
2
F = 282 N
Velikost výslednice sil je 282 N.
Fyzikální veličina – řešení
6
Síly svírají úhel 120°
Jestliže síly F1 a F2 svírají úhel 120°, pak s nimi výslednice svírá úhel 60°. Vznikne rovnostranný trojúhelník OAC. Pro velikost výslednice platí: F = F1
{ F } = 200 F = 200 N
Velikost výslednice je 200 N.
Skryté fyzikální veličiny
veličina
základní/ odvozená
značka
jednotka
skalár/ vektor
výkon
odvozená
P
W
skalár
tlak
odvozená
p
Pa
skalár
hustota
odvozená
ρ
kg.m
příkon
odvozená
P0
W
skalár
délka
základní
l
m
skalár
síla
odvozená
F
N
vektor
-3
skalár
Jednotky – zadání
1.2
7
Jednotky
Pracujeme s veličinami a jejich jednotkami
1.
Vyhledejte v MFCH tabulkách definiční vztah pro určení tlaku a výkonu. Vztah si zapište.
2.
Napište názvy a jednotky všech veličiny v definičních vztazích.
3.
Jednotky pascal a watt vyjádřete pomocí součinu základních jednotek SI.
4.
Vyjádřete ve správných jednotkách 800 m = 8.105… 0,7 kg = 7.102… 200 Pa = 0,2… 1 260 kV = 1,26… 6,5… = 6,5.103 mg 30… = 3.10-2 kN 0,48… = 4,8 cm 0,06… = 60 MPa
5.
6
Převeďte na uvedené jednotky podle vzoru 5 550 km = 5,55.10 m 30,5 h =
s
0,2 kg 85 g = mg 0,72 mA =
A
56 GHz =
kHz
140 m =
mm 2
40 000 dm = cm
2
Jednotky – řešení
8
Pracujeme s veličinami a jejich jednotkami
1.
tlak p=
výkon F S
P =
W t 2
2.
p – tlak, pascal [Pa]; F – síla, newton [N]; S – plocha, [m ]; P – výkon, watt [W]; W – práce, joule [J]; t – čas, sekunda [s]
3.
pascal p=
ma F = = m a S −1 S S
→
[ Pa] = kg . m . s − 2 . m − 2
= kg . m − 1 . s − 2
watt P =
4.
Fs mas W = = = m a s t −1 t t t
Správné jednotky 800 m = 8.105 mm 0,7 kg = 7.102 g 200 Pa = 0,2 kPa 1 260 kV = 1,26 MV 6,5 g = 6,5.103 mg 30 N = 3.10-2 kN 0,48 dm = 4,8 cm 0,06 GPa = 60 MPa
5.
Převedené jednotky 5
30,5 h = 1,098.10 s 5
0,2 kg 85 g = 2,85.10 mg 0,72 mA = 7,2.10
-4
A
7
56 GHz = 5,6.10 kHz 5
140 m = 1,4.10 mm 2
6
40 000 dm = 4.10 cm
2
→
[ W ] = kg . m . s − 2 . m . s −1
= kg . m2 . s − 3
Kinematika
2
9
Kinematika
Přehled −
Klid a pohyb tělesa je relativní, záleží na tom, jakou vztažnou soustavu používáme.
−
Kinematika používá k popisu pohybu hmotného bodu tři veličiny: dráhu, rychlost a zrychlení.
−
Dráha s je určena délkou trajektorie, kterou hmotný bod opíše za určitý čas. Rychlost v je podíl celkové dráhy s a celkového času t pohybu. Zrychlení a je podíl změny rychlosti a času t, během kterého ke změně došlo.
−
Podle tvaru trajektorie dělíme pohyby na přímočaré a křivočaré.
−
Podle změny rychlosti rozlišujeme pohyby rovnoměrné a nerovnoměrné. Při pohybu rovnoměrném je rychlost konstantní, u nerovnoměrného pohybu se rychlost v průběhu pohybu mění. Hmotný bod se pohybuje se zrychlením.
−
Volný pád je rovnoměrně zrychlený pohyb s nulovou počáteční rychlostí. Jeho zrychlení nazýváme tíhové zrychlení g.
−
Pro rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici zavádíme další veličiny: úhlovou dráhu ϕ, úhlovou rychlost ω, periodu T a frekvenci f a dostředivé zrychlení ad.
Klíčová slova −
klid, pohyb, hmotný bod, vztažná soustava, trajektorie, dráha, rychlost, zrychlení, rovnoměrný pohyb, rovnoměrně zrychlený pohyb, volný pád, pohyb po kružnici, tíhové zrychlení, perioda, frekvence, obvodová rychlost, úhlová rychlost.
Klid a pohyb těles – zadání
2.1
10
Klid a pohyb těles
Víte co to je grafikon a kde se používá. Vlak neprojíždí mezi stanicemi plynule. Občas zrychlí, občas zpomalí, a pokud se na trati vyskytne překážka, musí zastavit. Všechny tyto poznatky se dají zjistit z grafikonu.
1.
Jak se mění velikost rychlosti vlaku při pohybu rovnoměrném; při pohybu rovnoměrně zrychleném; při pohybu rovnoměrně zpomaleném?
2.
Popište pohyb vlaku v úsecích: 0 – 0,2 h; 0,2 h – 0,6 h; 0,6 – 1,2 h; 1,2 h – 1,4 h; 1,4 – 1,8 h; 1,8 – 2,4 h; zdůvodněte.
3.
Jak je možné z uvedené grafické závislosti určit dráhu, kterou vlak ujede v daných časových intervalech?
4.
Vyjádřete vztah mezi dráhou a časem rovnoměrného pohybu grafem, hodnoty zvolte libovolně. Grafickou závislost vysvětlete.
5.
Jak z grafu závislosti dráhy na čase zjistíte, kdy se těleso pohybuje větší rychlostí?
6.
Napište vztahy pro určení dráhy v závislosti na rychlosti a čase v jednotlivých úsecích.
7.
Vypočítejte, jakou dráhu ujel vlak během svého pohybu.
8.
Vypočítejte jeho průměrnou rychlost.
Klid a pohyb těles – řešení
11
Víte co to je grafikon a kde se používá.
1.
pohyb rovnoměrný – velikost rychlosti je konstantní pohyb rovnoměrně zrychlený – velikost rychlosti se zvětšuje pohyb rovnoměrně zpomalený – velikost rychlosti se zmenšuje
2.
0 – 0,2 h
vlak je v klidu, rychlost je nulová
0,2 – 0,6 h zvyšuje
vlak koná pohyb rovnoměrně zrychlený, velikost rychlosti se
0,6 – 1,2 h
vlak koná pohyb rovnoměrný, velikost rychlosti je konstantní
1,2 – 1,4 h zvětšuje
vlak koná pohyb rovnoměrně zrychlený, velikost rychlosti se
1,4 – 1,8 h
vlak koná pohyb rovnoměrný, velikost rychlosti je konstantní
1,8 – 2,4 h snižuje
vlak koná pohyb rovnoměrně zpomalený, velikost rychlosti se
3.
Dráhu v jednotlivých úsecích určíme jako obsah plochy pod čarou grafu.
4.
Grafem závislosti dráhy na čase je polopřímka, protože dráha rovnoměrného pohybu je přímo úměrná času.
5.
Grafem závislosti dráhy na čase tělesa s větší rychlostí je polopřímka, která svírá s vodorovnou osou větší úhel.
Klid a pohyb těles – řešení 6.
12
Vztah pro určení dráhy
s = s0 + s1 + s2 + s3 + s 4 + s5 s0 = v 0 t 7.
s1 =
1 v1 t 2
s2 = v 1 t
s3 = v 1 t +
1 (v 2 − v1 ) 2
s4 = v 2 t
s5 =
1 v2 t 2
Výpočet dráhy
{ s } = 0 ⋅ 0,2 + 1 50 ⋅ 0,4 + 50 ⋅ 0,6 + 50 ⋅ 0,2 + 1 (70 − 50) ⋅ 0,2 + 70 ⋅ 0,4 + 1 70 ⋅ 0,6 s = 101 km
2
2
2
Vlak během svého pohybu urazí vzdálenost 101 km. 8.
Výpočet průměrné rychlosti
celková dráha celkový čas { v P } = 101 2,4
vP =
v P = 42,1 km.h-1 -1
Vlak se pohyboval průměrnou rychlostí 42,1 km.h .
Rovnoměrný pohyb – zadání
2.2
13
Rovnoměrný pohyb
Jedeme ve vlaku a kolem nás projíždí opačným směrem jiný vlak. Rychlík jede po úseku železniční trati rychlostí 90 km.h-1. V opačném směru po -1 sousední koleji jede nákladní vlak rychlostí 54 km.h . Jeden z cestujících rychlíku zjistil, že kolem něj projel nákladní vlak za dobu 5 s. 1.
Nakreslete situaci v okamžiku, kdy cestující zahlédne čelo lokomotivy, a v okamžiku, kdy vidí konec posledního vagónu nákladního vlaku. Dokreslete vektory rychlosti obou vlaků.
2.
Jaký pohyb vlaky vykonávají. Své tvrzení zdůvodněte.
3.
Vyjádřete vztah mezi dráhou, rychlostí a časem pro oba vlaky rovnicí. Popište veličiny.
4.
Jak by cestující určil délku nákladního vlaku, jestliže by rychlík byl v klidu? Čemu odpovídá daná délka
5.
Vypočítejte délku nákladního vlaku za předpokladu, že je rychlík v klidu a nákladní vlak kolem projel během 13,3 s.
6.
Jak se situace změní, jestliže se rychlík pohybuje uvedenou rychlostí?
7.
Vyjádřete vztah pro určení relativní rychlosti nákladního vlaku, který pozoruje cestující v jedoucím rychlíku. Popište veličiny.
8.
Vypočítejte délku nákladního vlaku za předpokladu, že se rychlík pohybuje.
9.
Jak se situace změní, jestliže se budou vlaky pohybovat stejným směrem? Vypočítejte, za jakou dobu by projel nákladní vlak kolem cestujícího v rychlíku?
Kdy a kde se potkají turisté? Dva turisté vyšli současně z autobusové zastávky s cílem navštívit zámek vzdálený -1 18 km. První turista šel průměrnou rychlostí 5 km.h , druhý průměrnou rychlostí 4 -1 km.h . První turista došel k zámku a zjistil, že zámek je uzavřen. Vydal se okamžitě stejně velkou rychlostí zpět. 1.
Nakreslete danou situaci, do obrázku dokreslete vektory rychlosti obou turistů. Vyznačte dráhu, kterou ušel první turista a kterou druhý turista do okamžiku setkání.
2.
Vyjádřete vztah mezi dráhou, časem, rychlostí pro prvního i druhého turistu rovnicí. Popište veličiny.
3.
Porovnejte čas pohybu prvního a druhého turisty do okamžiku setkání.
4.
Jakou vzdálenost ušli oba turisté společně. Vyjádřete své tvrzení rovnicí.
5.
Za jak dlouho od okamžiku, kdy vyšli ze zastávky, se turisté potkají?
6.
V jaké vzdálenosti od zámku se potkají?
Rovnoměrný pohyb – zadání
14
Chodec na přechodu a bezpečnost provozu. -1
Chodec vstoupí do vozovky široké 10,8 m a přechází ji rychlostí 1,2 m.s . V okamžiku vstupu do vozovky vidí 100 m od sebe vlevo, jak k němu přijíždí automobil, který jej mine za 5 s. 1.
Nakreslete danou situaci, do obrázku dokreslete vektory rychlosti chodce i automobilu. Vyznačte dráhu, kterou ujede automobil do okamžiku setkání.
2.
Vyjádřete pro jedoucí automobil vztah mezi rychlostí, dráhou a časem, během kterého se přibližuje. Popište veličiny.
3.
Vypočítejte, jakou rychlostí jede automobil. Odpovídá jeho rychlost povolené rychlosti?
4.
Vyjádřete pro chodce vztah mezi dráhou, rychlostí a časem, za který automobil chodce dojede. Popište veličiny.
5.
Určete, zda je chodec v okamžiku míjení na druhé straně vozovky.
6.
Vypočítejte, kde se nachází automobil v okamžiku vstupu chodce na protější chodník.
Rovnoměrný pohyb – řešení
15
Jedeme ve vlaku Zápis: nákladní vlak v N = 54 km.h-1 = 15 m.s -1 ; t1 = 13,3 s ; rychlík v R = 90 km.h-1 = 25 m.s -1
1.
2.
Vlaky se pohybují rovnoměrným pohybem, pohybují se stálou rychlostí.
3.
Rychlík:
sR = v R t sR – dráha rychlíku, vR – rychlost pohybu rychlíku, t – doba pohybu Nákladní vlak:
sN = v N t sN – dráha rychlíku, vN – rychlost pohybu nákladního vlaku, t – doba pohybu 4.
Cestující si zjistí dobu, která uběhne od okamžiku, kdy zahlédne čelo lokomotivy nákladního vlaku, do okamžiku, kdy konec posledního vagónu. Ujetá dráha odpovídá délce vlaku.
5.
Výpočet délky nákladního vlaku, který je v klidu
{ sN } = 15 ⋅ 13,3 sN = 200 m
6.
V případě, že bude rychlík v pohybu, musíme vzít v úvahu relativní rychlost nákladního vlaku vzhledem k cestujícímu v rychlíku
7.
Vztah pro určení relativní rychlosti
v = vR + vN v – relativní rychlost nákladního vlaku vzhledem k cestujícímu v rychlíku, vR – rychlost pohybu rychlíku, vN – rychlost pohybu nákladního vlaku 8.
Výpočet délky nákladního vlaku, který je v pohybu sN = v t
v = vR + vN
sN = 200 m
v = 40 m.s-1
{ sN } = 40 ⋅ 5 9.
{ v } = 25 + 15
Pokud se pohybují vlaky stejným směrem, bude relativní rychlost rovna rozdílu jejich rychlostí.
sN v
v = vR − vN
t2 =
{ v } = 25 − 15
{ t2 } =
v = 10 m.s-1
t 2 = 20 s
200 10
Rovnoměrný pohyb – řešení
16
Kdy a kde se potkají turisté? Zápis: vzdálenost k zámku s = 18 km první turista v 1 = 5 km.h-1 ; druhý turista v2 = 4 km.h-1 1.
2.
První turista:
s1 = v 1 t s1 – dráha prvního turisty, v1 – rychlost prvního turisty, t – doba pochodu k zámku Druhý turista:
s2 = v 2 t s2 – dráha druhého turisty, v2 – rychlost druhého turisty, t – doba pochodu k zámku 3.
Protože oba turisté vycházejí ve stejný okamžik a jdou stejným směrem, je doba pochodu do okamžiku setkání pro oba turisty shodná.
4.
Turisté společně ušli dvojnásobnou vzdálenost k zámku, viz obrázek, tzn. 36 km.
s1 + s2 = 2 ⋅ 18 km = 36 km 5.
Pro výpočet doby setkání vyjdeme z předchozího vztahu s1 + s2 = 36
⇒
v 1 t + v 2 t = 36
⇒
t (v 1 + v 2 ) = 36
⇒
t =
36 v1 + v 2
36 5+4 t = 4h
{t} =
Turisté se potkají za 4 hodiny. 6.
Kde se turisté potkají? s2 = v 2 t
{ s2 } = 4 ⋅ 4 s2 = 16 km
Vzdálenost zastávky a zámku je 18 km, druhý turista ušel do setkání 16 km. Turisté se potkali dva kilometry před zámkem.
Rovnoměrný pohyb – řešení
17
Chodec na přechodu a bezpečnosti provozu Zápis: šířka vozovky s1 = 18 km rychlost chodce v 1 = 1,2 m.s -1 ; dráha automobilu s2 = 100 m ; doba jízdy automobilu t 2 = 5 s 1.
2.
Jedoucí automobil: v2 =
s2 t
v2 – rychlost automobilu; s2 – dráha automobilu; t2 – čas jízdy automobilu 3.
Výpočet rychlosti automobilu: v2 =
s2 t2
{v 2 } = 100 5
v 2 = 20 m.s −1 = 72 km.h −1 -1
Rychlost automobilu je 72 km.h . Její velikost překračuje velikost povolené rychlosti. 4.
Chodec:
s1 = v 1 t 2 s1 – dráha chodce; v1 – rychlost chodce; t2 – čas, za který automobil chodce dojede 5.
Jak daleko je chodec?
s1 = v 1 t 2
{ s1 } = 1 ,2 ⋅ 5 s1 = 6 m V okamžiku míjení chodce a automobilu ušel chodec dráhu 6 m. Znamená to, že ještě nedošel na druhou stranu vozovky. 6.
Čas, za který dojde chodec na druhou stranu vozovky:
t1 =
s v1
{ t1 } = 10 ,8 1 ,2 t1 = 9 s
Chodec, dojde na druhou stranu vozovky za 9 s. Automobil se z místa míjení vzdaluje od chodce po dobu t 3 = t1 − t 2 = 9 s − 5 s = 4 s Za tento čas ujede automobil dráhu s3 s3 = v 2 t 3
{ s3 } = 20 ⋅ 4 s3 = 20 m
Automobil se nachází ve vzdálenosti 80 m za chodcem.
Zrychlený pohyb – zadání
2.3
18
Zrychlený pohyb
Když řidič brzdí, vlak zastavuje. -1
Rychlík jede po přímé trati rychlostí 90 km.h . Před stanicí začne svoji rychlost -2 zmenšovat. Strojvůdce volí s ohledem na cestující velikost zpomalení 0,1 m.s . 1.
Nakreslete danou situaci. Do obrázku dokreslete vektor rychlosti a vektor zpomalení na začátku brzdění a ve stanici.
2.
Jaký pohyb koná rychlík? Proč?
3.
Jaký je rozdíl mezi zrychlením a zpomalení?
4.
Vyjádřete vztahy mezi dráhou, zrychlením a časem. Popište veličiny.
5.
Vypočítejte, za jakou dobu od začátku zpomalování přijede rychlík do stanice, kde zastaví.
6.
V jaké vzdálenosti před stanicí musí rychlík začít zmenšovat svoji rychlost, aby ve stanici zastavil?
Jak rychle Chrysler?
vyjedeme
do
posledního
patra
newyorského
mrakodrapu
Délka dráhy kabiny výtahu je 190 m. Kabina se pohybuje maximálně rychlostí -1 -2 306 m.min . Zrychlení při rozjíždění a brzdění je 1,2 m.s . 1.
Nakreslete situaci při rozjíždění výtahu, při dokončení rozjezdu, na začátku brzdění a při zastavení. Do obrázku dokreslete vektory rychlosti a zrychlení. Vyznačte jednotlivé úseky ujeté dráhy.
2.
Jakým pohybem se kabina pohybuje při rozjíždění, po dosažení maximální rychlosti a při brzdění?
3.
Vyjádřete vztah mezi vzdáleností, zrychlením a rychlostí při rozjíždění kabiny. Popište veličiny.
4.
Jakou vzdálenost kabina urazí od začátku rozjíždění do dosažení maximální rychlosti?
5.
Vyjádřete vztah mezi časem, rychlostí a vzdálenostmi při rozjíždění kabiny, při její jízdě a při jejím brzděním. Popište veličiny.
6.
Za jak dlouho vyjede kabina z dolního podlaží až nahoru, započteme-li rozjezd i brzdění?
Zrychlený pohyb – řešení
19
Řidič brzdí, vlak zastavuje Zápis: počáteční rychlost rychlíku v 0 = 90 km.h-1 = 25 m.s -1 ; konečná rychlost rychlíku v 1 = 0 m.s -1 , zpomalení vlaku a = −0,1 m.s −2 1.
2.
Rychlík koná pohyb rovnoměrně zpomalený, protože vektor jeho zrychlení (zpomalení) má opačný směr než vektor rychlosti.
3.
Zrychlení – směr jeho vektoru je shodný se směrem rychlosti pohybu tělesa, velikost změny rychlosti > 0, velikost rychlosti se zvyšuje. Zpomalení – směr jeho vektoru je opačný než směr rychlosti pohybu tělesa, velikost změny rychlosti < 0, velikost rychlosti se zmenšuje.
4.
Vztah pro určení dráhy a zrychlení
s =
1 at2 2
s je dráha, kterou těleso urazí během daného času, a je jeho zrychlení, t je měřený čas
a=
v1 − v 0 t
v1 – v0 je rozdíl mezi počáteční a konečnou rychlostí, t je opět čas 5.
Výpočet doby dojezdu rychlíku do stanice
v1 − v0 v − v0 t = 1 ⇒ t a 0 − 25 {t } = − 0,1 t = 250 s = 4,2 min a=
Rychlík přijede do stanice za 4,2 minuty po začátku brzdění. 6.
Výpočet brzdné dráhy rychlíku
{ s } = 1 ⋅ 0,1 ⋅ 2502
2 s = 3 125 m = 3,125 km
Rychlík musí začít brzdit ve vzdálenosti 3,125 km před stanicí.
Zrychlený pohyb – řešení
20
Jak rychle do posledního patra mrakodrapu? Zápis: dráha kabiny s = 190 m ; rychlost kabiny v = 306 m.min-1 = 5,1 m.s −1 , zrychlení kabiny a = 1,2 m.s −2 1.
2.
Rozjíždění – kabina se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem, zrychlení je 1,2 m.s-2. Velikost rychlosti se zvýší z nulové hodnoty na maximální hodnotu. Po dosažení maximální hodnoty jede určitou dobu konstantní rychlostí, pohybuje se rovnoměrným pohybem. Brzdění – kabina se pohybuje rovnoměrně zpomaleným pohybem, zpomalení je 1,2 m.s-2. Velikost rychlosti se sníží z maximální hodnoty na nulovou.
3.
Rozjíždění kabiny s1 =
1 a t12 2
t1 =
v a
⇒
s1 =
1 v2 v2 a 2 = 2 a 2a
s1 – dráha výtahu při rozjíždění; t1 – čas rozjíždění;v – rychlost výtahu; a – zrychlení výtahu 4.
Výpočet dráhy výtahu při rozjíždění
5,12 2 ⋅ 1,2 s1 = 16 m
{ s1 } =
Kabina výtahu se rozjíždí na dráze 16 m. 5.
Doba pohybu kabiny
t = t1 + t 2 + t 3
t1 = t 3
⇒
t = 2 t1 + t 2 = 2
s1 190 − 2 s1 + v v
s1 – úsek dráhy při rozjíždění výtahu; s3 – úsek při brzdění výtahu (oba úseky jsou stejně dlouhé, protože výtah se rozjíždí i brzdní se stejným zrychlením a změna jeho rychlosti je také stejná); t1, t3 jsou doby jízdy v těchto úsecích; s2 – úsek dráhy, kdy se výtah pohybuje konstantní rychlostí, jeho délku získám odečtením úseků s1 a s3 od celkové dráhy výtahu; t2 – doba jízdy v úseku s2. 6.
Výpočet doby výjezdu kabiny do posledního patra
{ t } = 2 16
5,1 t = 37,3 s
+
190 − 2 ⋅ 16 5,1
Kabina vyjede do posledního patra za 37,3 s.
Volný pád – zadání
2.4
21
Volný pád
Inspektor Clouseau při honbě za Růžovým Panterem skáče z mostu. Výška mostu je 45 m nad hladinou řeky. Inspektor dopadne do lodi, která pluje pod mostem konstantní rychlostí. V okamžiku, kdy inspektor skočí, je loď vzdálena 12 m od místa dopadu. 1.
Nakreslete situaci na začátku seskoku a při doskoku inspektora do lodě.
2.
Vyznačte výšku, ze které skáče a vzdálenost lodě.
3.
Dokreslete vektor zrychlení inspektora a vektor rychlosti lodě.
4.
Zapište počáteční podmínky pohybu inspektora i lodě.
5.
Jakým pohybem se pohybuje inspektor a jakým loď?
6.
Porovnejte doby pohybu od začátku do okamžiku dopadu inspektora do lodě.
7.
Vyjádřete vztahy mezi dráhou, zrychlením, rychlostí a časem pro obě tělesa. Popište veličiny.
8.
Jakou rychlostí musí loď plout?
Volný pád – řešení
22
Inspektor Clouseau při honbě za Růžovým Panterem skáče z mostu. Zápis: výška mostu h = 40 m ; dráha lodi s = 12 m
1. 2. 3.
4.
Inspektor – výška h = 45 m; počáteční rychlost vI = 0; tíhové zrychlení g. Loď – dráha s = 12 m; konstantní rychlost vL.
5.
Inspektor padá volným pádem, protože má nulovou počáteční rychlost a skáče z výšky. Loď se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem, protože má konstantní rychlost.
6.
Protože má inspektor dopadnout do lodi v okamžiku, kdy je loď pod mostem, je čas jeho pádu stejný jako čas příjezdu lodi.
7.
Vztahy pro dráhu, rychlost a zrychlení
h=
1 g t2 2
h – výška skoku inspektora; t – doba jeho skoku, g – tíhové zrychlení
s =vt s – dráha lodi; t – doba příjezdu lodi; v – rychlost lodi 8.
Vycházíme ze skutečnosti, že doba pádu inspektora a doba příjezdu lodi jsou shodné. Ze vztahu pro volný pád inspektora určíme čas a pomocí druhého vztahu rychlost lodi h=
1 g t2 2
{t } =
⇒
t =
2h g
2 ⋅ 45 10
t = 3s
s = vL t
⇒
{ v L } = 12
vL =
s t
3
v L = 4 m.s -1 -1
Inspektor padá z mostu po dobu 3 s a rychlost lodi je 4 m.s .
Pohyb po kružnici – zadání
2.5
23
Pohyb po kružnici
Kotoučová pila a hodinky mají něco společného Kotoučová pila se otáčí 25 krát za sekundu. Její průměr je 120 cm. Rychlost bodu na obvodě pily určuje její řeznou rychlost.
1.
Nakreslete jednoduchý obrázek kotoučové pily. Do obrázku dokreslete tři vektory rychlosti bodu na obvodě pily.
2.
Do obrázku dokreslete vektory rychlosti bodů pily vzdálených 20 cm, 30 cm a 60 cm od středu otáčení.
3.
Jaký pohyb konají jednotlivé body pily?
4.
Porovnejte směry a velikosti vektorů rychlosti. Své porovnání zdůvodněte.
5.
Vyjádřete vztah mezi velikostí rychlosti vzdáleností od osy otáčení. Popište veličiny.
6.
Porovnejte úhlovou rychlost jednotlivých bodů pily. Své porovnání zdůvodněte.
7.
Co je to perioda?
8.
Vyjádřete vztah pro výpočet periody a úhlové rychlosti. Popište veličiny.
9.
Vypočítejte periodu, úhlovou rychlost a řeznou rychlost kotoučové pily.
jednotlivých
bodů
pily a
jejich
Pohyb po kružnici – řešení
24
Kotoučová pila a hodinky Zápis: frekvence otáčení f = 25 s −1 ; poloměr pily r = 60 cm = 0 ,6 m 1. 2.
3.
Body pily konají rovnoměrný pohyb po kružnici.
4.
Kotouč pily se otáčí jedním směrem, směry vektorů rychlosti v daných bodech jsou shodné, velikosti vektorů jsou různé. Velikost rychlosti závisí na vzdálenosti od středu otáčení, na délce průvodiče. Čím je délka průvodiče větší, tím větší rychlost bodu.
v 〉 v1 〉 v 2 5.
Vztah mezi velikostí rychlosti a vzdáleností bodu od osy otáčení v = rω
v – rychlost hmotného bodu; r – poloměr kružnice;
ω - úhlová rychlost
6.
Úhlová rychlost daných bodů pily je stejná. Jejich průvodiče opíší za jednotku času stejnou úhlovou dráhu. V opačném případě by došlo k poškození pily.
7.
Perioda neboli oběžná doba je doba, za kterou hmotný bod opíše celou kružnici.
8.
Vztahy pro výpočet veličin perioda
T =
1 f
T – perioda; f – frekvence pohybu úhlová rychlost
ω =
2π v = 2π f = T r
ω
- úhlová rychlost; T – perioda pohybu po kružnici; f – frekvence pohybu po kružnici; v – rychlost bodu; r – poloměr kružnice
9.
Výpočet
{T } =
1 25
T = 0,04 s
2π 0,04
{ v } = 0,6 ⋅ 157
ω = 157 rad.s −1
v = 94,2 m.s −1
{ω } =
-1
Perioda pohybu kotoučové pily je 0,04 s, úhlová rychlost 157 rad.s . Řezná -1 rychlost je 94,2 m.s .
Dynamika
3
25
Dynamika
Přehled −
Síla F je vektorová veličina, která je určena svou velikostí, směrem a působištěm. Projevuje se při vzájemném působení těles. Její jednotkou je newton.
−
Zákon setrvačnosti nám říká, že každé těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není přinuceno silovým působením jiných těles tento stav změnit.
−
Zrychlení a, které síla uděluje tělesu, je přímo úměrné této síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. Tento poznatek vyjadřuje zákon síly.
−
Podle zákona akce a reakce působí na sebe dvě tělesa stejně velkými silami opačného směru.
−
Tíhová síla FG je síla, kterou působí Země na těleso při svém povrchu. Tíha G tělesa je síla, kterou nehybné těleso působí na vodorovnou podložku nebo na svislý závěs.
−
Hybnost tělesa p určuje pohybový stav tělesa. Je určena součinem hmotnosti tělesa a rychlosti tělesa. Impulz síly I je součin síly a doby, po kterou síla na těleso působí. Impulz síly je roven změně hybnosti.
−
Při rovnoměrném pohybu po kružnici se těleso pohybuje s dostředivým zrychlení ad. Jeho příčinou je dostředivá síla Fd, která stejně jako zrychlení směřuje do středu kružnice. Dostředivá síla Fd představuje akci a odstředivá síla Fo reakci při vzájemném působení těles.
−
Při pohybu tělesa po povrchu jiného tělesa vznikají odporové síly, které působí proti pohybu tělesa. Při posouvání vzniká smyková třecí síla Ft, při valení tělesa brání pohybu síla valivého odporu FV. Je-li těleso v klidu, působí klidová třecí síla FS.
Klíčová slova −
síla; newton; zákon setrvačnosti; zákon síly; zákon akce a reakce; tíhová síla; tíha tělesa; hybnost tělesa; impulz síly; třecí síla; smykové tření; valivý odpor; dostředivá síla; odstředivá síla.
Síla a její účinky – zadání
3.1
26
Síla a její účinky
Síla je fyzikální veličina, můžeme ji měřit
1.
Čím je síla jednoznačně určena a čím ji znázorňujeme?
2.
Kterým měřidlem sílu měříme?
3.
Na obr. 3.3 je nakreslena molitanová mycí houba, na kterou působí čtyři stejně velké síly. Která z těchto sil má účinek pohybový, která deformační a která otáčecí?
Obr. 3.3: Účinky síly 4.
Zavěsíme-li těleso o hmotnosti 0,6 kg na pružinu, prodlouží se pružina o 3 cm. K tomuto tělesu zavěsíme další předměty, až se pružina prodlouží celkem o 10 cm. Určete hmotnost zavěšených těles. Řešte početně i graficky.
Síla a její účinky – řešení
27
Síla je fyzikální veličina, můžeme ji měřit
1.
Síla je vektorová působištěm.
veličina.
Je
jednoznačně
určena
velikostí,
směrem
2.
Sílu měříme siloměrem.
3.
pohybový účinek – síla F4 posunuje houbu směrem doprava, síla F3 zvedá houbu nahoru; deformační účinek – síla F2; otáčecí účinek – síla F1.
4.
Prodloužení pružiny je přímo úměrný velikosti síly, kterou závaží na pružinu působí. prodloužení ∆ l1 = 3 cm
hmotnost závaží m1 = 0 ,6 kg
prodloužení ∆ l = 1 cm
hmotnost závaží m =
prodloužení ∆ l2 = 10 cm
hmotnost závaží m2 = 10 m1 = 10 ⋅ 0,2 kg = 2 kg
graficky:
0 ,6 kg = 0,2 kg 3
a
Pohybové zákony – zadání
3.2
28
Pohybové zákony
Jakou sílu vyvine lokomotiva při rozjíždění? 6
-1
Vlak o hmotnosti 1,5.10 kg dosáhne za 42 s rychlosti 14 m.s . 1.
Nakreslete obrázek situace za předpokladu, že se vlak rozjíždí rovnoměrně zrychleným pohybem. Do obrázku zakreslete vektory sil, které na vlak působí a vektor zrychlení vlaku. Tření a odpor prostředí zanedbáváme.
2.
Vyjádřete vztah mezi zrychlením, rychlostí a časem pohybu. Popište veličiny.
3.
Vypočítejte velikost zrychlení vlaku při jeho rozjíždění.
4.
Vyjádřete vztah pro určení výsledné síly působící na vlak při jeho zrychlení. Popište veličiny.
5.
Vyjádřete vztah mezi výslednou silou a zrychlením vlaku. Který zákon využijete? Stručně zákon formulujte.
6.
Vypočítejte, jak velkou sílu lokomotiva vyvine.
Jede v newyorském mrakodrapu Chrysler. Návštěvník o hmotnosti 80 kg stojí ve výtahu na nášlapné váze. Výtah se pohybuje -2 se zrychlením 3 m.s . 1.
Nakreslete obrázek, který bude ilustrovat případ, že:
výtah je v klidu;
výtah se rozjíždí směrem nahoru;
výtah brzdí ve směru nahoru.
Dokreslete vektory všech sil, vektor zrychlení. 2.
Jakou vztažnou soustavu tvoří kabina, když:
výtah je v klidu;
výtah se rozjíždí směrem nahoru;
výtah brzdí ve směru nahoru.
3.
Vyjádřete vztah pro určení síly, která působí na váhu pro všechny tři uvedené případy. Popište veličiny.
4.
Váha je cejchována tak, že síle 10 N odpovídá hmotnost 1 kg. Určete, jakou hmotnost návštěvníka ukáže váha ve všech třech případech.
5.
Jak se změní situace, jestliže:
výtah jede rovnoměrným pohybem;
výtah se rozjíždí směrem dolů;
výtah brzdí ve směru dolů.
Pohybové zákony – zadání
29
Kdy se nejpravděpodobněji může lano výtahu přetrhnout? Ocelový drát vydrží tažnou sílu 4 200 N. Na drátě je zavěšeno těleso o hmotnosti 300 kg. 1.
Nakreslete situaci za předpokladu, že je drát i těleso v klidu. Zakreslete vektory sil, které na těleso působí.
2.
Těleso začneme zvedat rovnoměrně zrychleným pohybem. Jakou vztažnou soustavu představuje?
3.
Do obrázku dokreslete vektor zrychlení a vektor síly, která začne na těleso působit v okamžiku zvedání. Jak tuto sílu nazýváme?
4.
Vyjádřete vztah mezi zrychlením tělesa a silami, které na těleso působí při zvedání rovnoměrně zrychleným pohybem. Popište veličiny.
5.
Vypočítejte největší možné zrychlení, aby ještě nedošlo k přetržení drátu.
6.
Jak se situace změní, když necháme těleso klesat?
7.
Uveďte příklady z praxe, kdy podobná situace nastane.
Pohybové zákony – řešení
30
Jak velkou sílu vyvine lokomotiva při rozjíždění? Zápis: hmotnost vlaku m = 1 ,5.106 kg ; objem vody V = 6 m3 ; čas pohybu
t = 42 s ; rychlost pohybu v = 14 m.s -1 1.
FG – tíhová síla; N - normálová síla, je kolmá na těleso a směřuje směrem nahoru; T – tahová síla lokomotivy. 2.
Vztah pro zrychlení vlaku a=
v t
a – zrychlení vlaku; t – doba rozjíždění; v – dosažená rychlost 3.
Výpočet velikosti zrychlení
{ a } = 14
42
a = 0 ,33 m.s −2 Zrychlení vlaku při rozjíždění je 0,33 m.s-2. 4.
Vztah pro výslednou sílu
F = T + N − FG = T F – výsledná síla; T – tahová síla lokomotivy; N - normálová síla; FG – tíhová síla. Normálová síla tíhová jsou stejně velké, opačného směru. Výsledná síla je rovna tahové síle lokomotivy. 5.
Využijeme druhý Newtonův pohybový zákon. Velikost zrychlení, které síla udělí tělesu, je přímo úměrná velikosti síly a nepřímo úměrná hmotnosti tělesa.
F = ma 6.
Výpočet velikosti tažné síly lokomotivy
{ F } = 1 ,5.10 6 ⋅ 0 ,33 F = 495 000 N Lokomotiva vyvine sílu 495 000 N.
Pohybové zákony – řešení
31
Návštěvník jede v newyorském mrakodrapu Chrysler Zápis: hmotnost návštěvníka m = 8 0 kg ; zrychlení výtahu a = 3 m.s -2 ; tíhové zrychlení g = 10 m.s -2 1.
FG – tíhová síla; FS – setrvačná síla; a – zrychlení výtahu. 2.
Výtah je v klidu: inerciální soustava. Výtah se rozjíždí směrem nahoru nebo brzdí směrem nahoru: neinerciální soustava.
3.
Klid: zrychlení výtahu je nulové.
F = FG = m g Rozjezd směrem nahoru: v důsledku zrychleného pohybu výtahu vznikne setrvačná síla, která má opačný směr než zrychlení výtahu. Její směr je shodný se směrem tíhové síly.
F = FG + FS = m g + m a = m ( g + a ) Brzdění ve směru nahoru: zrychlení výtahu směřuje dolů, setrvačná síla směřuje nahoru. Její směr je opačný než směr tíhové síly.
F = FG − FS = m g − m a = m ( g − a ) F – síla působící na váhu; FG – tíhová síla; FS – setrvačná síla; m – hmotnost návštěvníka; g – tíhové zrychlení; a – zrychlení výtahu. 4.
Klid
{ F } = 80 ⋅ 10
F = 800 N
váha ukáže hmotnost 80 kg.
Rozjezd směrem nahoru
{ F } = 80 ⋅ (10 + 3)
F = 1 040 N
váha ukáže hmotnost 104 kg, návštěvník
„přibral“ 24 kg. Brzdění ve směru nahoru
{ F } = 80 ⋅ (10 − 3)
F = 560 N
váha ukáže hmotnost 56 kg, návštěvník
„shodil“ 24 kg. 5.
Při rovnoměrném pohybu je zrychlení výtahu nulové, situace odpovídá výtahu v klidu. Při rozjíždění směrem dolů směřuje zrychlení také dolů, situace odpovídá brzdění výtahu směrem nahoru. Při brzdění ve směru dolů směřuje zrychlení nahoru, situace odpovídá rozjezdu výtahu směrem nahoru.
Pohybové zákony – řešení
32
Kdy se nejpravděpodobněji může lano výtahu přetrhnout? Zápis: tažná síla drátu N = 4 200 N ; zrychlení hmotnost tělesa m = 300 kg ; tíhové zrychlení g = 10 m.s -2 1.
N – tažná síla drátu; FG – tíhová síla; FS – setrvačná síla; a – zrychlení tělesa. 2.
Při zvedání zrychleným pohybem představuje těleso neinerciální vztažnou soustavu.
3.
V okamžiku zvedání zrychleným pohybem začne na těleso působit setrvačná síla. Tato síla vzniká v důsledku zrychleného pohybu, má opačný směr než zrychlení tělesa. Směřuje dolů jako tíhová síla.
4.
Vztah pro zrychlení tělesa N = FG + FS = m g + m a a=
N − mg m
N – tažná síla drátu; FG – tíhová síla; FS – setrvačná síla; a – zrychlení tělesa; m – hmotnost tělesa; g – tíhové zrychlení. 5.
Výpočet zrychlení tělesa
{ a } = 4200 − 300 ⋅ 10 300
a = 4 m.s−2 -2
Největší možné zrychlení je 4 m.s , drát se ještě nepřetrhne. 6.
V případě, že těleso klesá dolu, setrvačná síla směřuje nahoru a zrychlení -2 směřuje dolů. Jeho hodnota bude -4 m.s .
7.
Zvedání břemen pomocí jeřábu, výtahy.
Hybnost tělesa – zadání
3.3
33
Hybnost tělesa
Home run, RED SOX Boston vedou světovou sérii!!! Nadhazovač hodil baseballový míč o hmotnosti 140 g vodorovným směrem rychlostí -1 -1 40 m.s . Odrážeč jej odehrál přesně v opačném směru rychlostí 60 m.s . 1.
Nakreslete danou situaci. Do obrázku dokreslete vektory hybnosti míčku před nárazem a po odrazu.
2.
Vyjádřete vztah mezi hybností míčku, jeho rychlostí a hmotností rovnicí. Popište veličiny.
3.
Vypočítejte velikost hybnosti míčku před jeho nárazem a po odrazu.
4.
Nakreslete do obrázku vektor změny hybnosti míčku během fyzikálního děje.
5.
Vypočítejte velikost změny hybnosti míčku během popsaného fyzikálního děje. Dejte pozor na znaménka při určování směru vektorů.
6.
Vyjádřete vztah mezi výslednou působící silou na míček a změnou jeho hybnosti rovnicí. Popište veličiny.
7.
Vypočítejte velikost průměrné síly, kterou míček působil na stěnu, jestliže náraz trval 1,2 ms.
8.
Jaká další síla působila během popsaného děje. Svoje tvrzení zdůvodněte.
Co se stane, když se pokusíte naskočit na jedoucí skateboard. -1
Chlapec s hmotností 60 kg běží podél jedoucího skateboardu rychlostí 10,8 km.h . -1 Doběhne skateboard o hmotnosti 5 kg, který jede rychlostí 3,6 km.h , a naskočí na něho 1.
Nakreslete danou situaci v okamžiku, kdy chlapec na skateboard ještě nenaskočil. Zakreslete do obrázku vektory hybnosti obou těles soustavy člověk – skateboard.
2.
Nakreslete danou situaci v okamžiku, kdy chlapec již naskočil. Zakreslete do obrázku vektory hybnosti obou těles soustavy člověk – skateboard.
3.
Odhadněte, jak se změní rychlost pohybu skateboardu po naskočení chlapec. Svůj odhad zdůvodněte.
4.
Vyjádřete rovnicí hybnost chlapec a hybnost vozíku před naskočením a po naskočení člověka na vozík.
5.
Vyjádřete rovnicí zákon zachování hybností soustavy chlapec – skateboard pro popsaný fyzikální děj.
6.
Vypočítejte velikost rychlosti soustavy těles chlapec – skateboard.
7.
Mohla by nastat situace, že po naskočení chlapec na skateboard by soustava zůstala v klidu? Popište danou situaci.
Hybnost tělesa – zadání
34
Kanonýr Jabůrek střílí z děla Z děla o hmotnosti 1 320 kg, které je v klidu, byla vypálena dělová koule -1 o hmotnosti 72 kg. Koule se pohybuje rychlostí 55 m.s . 1.
Odhadněte, co se stane s dělem po výstřelu. Své tvrzení zkuste zdůvodnit pomocí některého fyzikálního zákona.
2.
Nakreslete obrázek soustavy dělo – dělová koule před výstřelem a po výstřelu. Do obrázku vyznačte vektory rychlosti pohybu děla i dělové koule.
3.
Vyjádřete rovnicí hybnost soustavy před výstřelem. Popište veličiny.
4.
Jakou hodnotu bude mít hybnost soustavy před výstřelem? Své tvrzení zdůvodněte.
5.
Vyjádřete rovnicí hybnost soustavy po výstřelu. Popište veličiny.
6.
Vypočítejte velikost rychlosti pohybu děla. Dejte pozor na znaménka vzhledem ke směru vektorů.
7.
Porovnejte výsledek se svým předpokladem.
Hybnost tělesa – řešení
35
Home run, RED SOX Boston vedou světovou sérii!!! Zápis: hmotnost míčku m = 140 g = 0 ,14 kg ; rychlost ve směru nadhazovače
v N = 40 m.s -1 ; rychlost ve směru odrážeče v O = 60 m.s -1 ; čas nárazu t = 1,2 ms = 0,0012 s 1.
2.
Vztah pro hybnost míčku p = mv
p – hybnost míčku, m – hmotnost míčku, v – rychlost míčku. 3.
Hybnost míčku před nárazem: pN = m v N
{ pN } = 0 ,14 ⋅ 40 pN = 5 ,6 kg.m.s -1
Hybnost míčku po odrazu: pO = m v O
{ pO } = 0 ,14 ⋅ 60 pO = 8 ,4 kg.m.s -1
4.
5.
Změna hybnosti:
∆p = m ∆v
∆v = v N − v O
{ ∆p } = 0 ,14 ⋅ (40 − (− 60)) ∆p = 14 kg.m.s -1 6.
Výsledná působící síla
F =
∆p t
F – průměrná síla; ∆p – změna hybnosti; t – čas. 7.
Velikost působící síly
140 0 ,0012 F = 116 667 N
{F }= 8.
Po celou dobu děje působí na míček tíhová síla, ale její velikost je vzhledem k velikosti průměrné síly zanedbatelná. Můžeme její účinek při řešení úlohy zanedbat.
Hybnost tělesa – řešení
36
Co se stane, když se pokusíte naskočit na jedoucí skateboard. Zápis: hmotnost chlapce mCH = 60 kg ; rychlost chlapce
v CH = 10,8 km.h-1 = 3 m.s −1 ; hmotnost skateboardu mS = 5 kg ; rychlost skateboardu v B = 3 ,6 km.h −1 = 1 m.s -1 1.
2.
3.
Rychlost skateboardu se zvětší. Člověk a skateboard tvoří dále jedno těleso. Velikost výsledné rychlosti bude mezi původní velikostí rychlosti člověka a původní velikostí rychlosti skateboardu.
4.
Hybnosti chlapce a skateboardu před naskočením a po naskočení
pCH = mCH v CH
pS = mS v S
p = ( mCH + mS v
)
pCH – hybnost chlapce, mCH – hmotnost chlapce, vCH – rychlost chlapce, pS – hybnost skateboardu, mS – hmotnost skateboardu, vS – rychlost skateboardu, p – hybnost soustavy chlapec – skateboard, v – rychlost soustavy. 5.
Zákon zachování hybnosti
pCH + pS = p součet hybností člověka a skateboardu před naskočením je roven hybnosti soustavy chlapec – skateboard po naskočení. 6.
Při výpočtu vyjdeme ze zákona zachování hybnosti:
mCH v CH + mS v S = ( mCH + mS ) v
⇒
v=
mČ v Č + mS v S
(mCH + mS )
{ v } = 60 ⋅ 3 + 5 ⋅ 1 60 + 5
v = 2 ,8 m.s -1 7.
Jestliže má soustava zůstat v klidu, musí být velikost hybnosti rovna nule.
p = 0 kg.m.s -1
pCH + pS = 0
pCH = − pS
To znamená, že hybnost chlapce a skateboardu musí mít stejnou velikost, ale jejich vektory mají opačný směr.
Hybnost tělesa – řešení
37
Kanonýr Jabůrek střílí z děla. Zápis: hmotnost děla mD = 1 320 kg ; hmotnost koule; mK = 72 kg ; rychlost koule v K = 55 m.s -1 1.
Dělo se posune ve směru opačném, než je směr letu vystřelené koule. Platí zákon zachování hybnosti. Hybnost soustavy před proběhnutým dějem je rovna hybnosti po proběhnutém ději.
2.
3.
Hybnost soustavy před výstřelem
p0 = ( mD + mK
)v
p0 – hybnost soustavy dělo-koule před výstřelem; mD – hmotnost děla; mK – hmotnost koule; v – rychlost soustavy dělo-koule. 4.
Protože je soustava na začátku děje v klidu, je velikost její rychlosti rovna nule. Hybnost soustavy bude nulová.
5.
Hybnost soustavy po výstřelu
p = mD v D + mK v K p – hybnost soustavy dělo-koule po výstřelu, mD – hmotnost děla, mK – hmotnost koule; vD – rychlost děla; vK – rychlost koule. 6.
Velikost rychlosti děla
p = p0
⇒
vD = −
mD v D vK
mD v D + mK v K = 0
⇒
mD v D = − mK v K
{ v D } = − 72 ⋅ 55 1320
v D = −3 m.s −1 7.
Ve výsledku vyšla velikost rychlosti děla se záporným znaménkem. Dělo se pohybuje opačným směrem než směr pohybu koule. Výsledek se shoduje s předpokladem.
Odstředivá síla – zadání
3.4
38
Odstředivá síla
Kaskadéři předvádějí vrcholné číslo. Jízdu na kole ve „spirále smrti“. Předpokládáme, že spirála je svislá kružnice o poloměru 2,7 m.
1.
Jakou vztažnou soustavu představuje kolo s kaskadérem během jízdy?
2.
Nakreslete danou situaci. Do obrázku vyznačte vektory všech sil, které působí na kaskadéra v dolní části, v horní části a na bocích kružnice.
3.
V které části jízdy je výsledná síla působící na jezdce nejmenší? Svoje tvrzení zdůvodněte.
4.
Vyjádřete vztah mezi velikostmi jednotlivých sil působících na jezdce a jeho hmotností rovnicí. Které další veličiny ve vztazích vystupují?
5.
Vyjádřete vztah mezi výslednou silou a jejími složkami, které působí na jezdce v dolní části, v horní části a na bocích rovnicí. Popište veličiny.
6.
Jakou nejmenší rychlostí může kaskadér projíždět nejvyšším bodem smyčky, aby s ní neztratil kontakt?
Proč automobily a motocykly při jízdě v terénu „skáčou“? -1
Automobil s hmotností 500 kg se pohybuje rychlostí 72 km.h . Najel na obloukový most s poloměrem křivosti 50 m. 1.
Jakou vztažnou soustavu představuje automobil při přejezdu mostu?
2.
Nakreslete danou situaci. Do obrázku dokreslete vektory sil, které na automobil při přejezdu mostu působí (třecí sílu a odpor vzduchu zanedbejte).
3.
Zapište početní vztah pro určení velikost výslednice všech sil působících na automobil. Popište veličiny.
4.
Kde je tlaková síla, kterou působí automobil na vozovku větší, na vodorovné cestě nebo na vrcholu mostu? Svou úvahu vysvětlete.
5.
Vypočítejte velikost těchto tlakových sil v obou místech a zapište, zda výsledek odpovídal předpokladu.
6.
Jakou rychlostí by se musel automobil pohybovat po mostě, aby tlaková síla, kterou působí na vozovku, byla nulová?
7.
Co se stane, když bude velikost rychlosti pohybu automobilu při přejezdu mostu větší než v zadání? Co bychom museli změnit, aby daná situace nastala i při -1 rychlosti 72 km.h ? Změnu propočítejte.
8.
Vysvětlete, proč automobily a motocykly při terénních závodech na trati „skáčou“.
9.
Jak by se změnili podmínky, kdyby most nebyl vypuklý, ale dutý?
Odstředivá síla – řešení
39
Kaskadéři předvádějí vrcholné číslo. Jízdu na kole ve „spirále smrti“. Zápis: poloměr spirály r = 2 ,7 m
1.
Kolo s kaskadérem představuje s odstředivým zrychlením.
neinerciální
soustavu
–
pohybuje
se
2.
3.
Velikost výsledné síly, která působí na kaskadéra, bude nejmenší v horní části kružnice. Jednotlivé síly působící na kaskadéra mají opačný směr. Velikost výsledné síly je rovna rozdílu jejich velikostí, směr jejího vektoru se shoduje se směrem vektoru větší síly.
4.
Vztahy mezi silami působícími na jezdce
FG = m g
FO =
mv2 r
FG – tíhová síla, FO – odstředivá síla, která představuje reakci na sílu dostředivou, m – hmotnost kola s kaskadérem, r – poloměr kružnice, g – tíhové zrychlení. 5.
Výsledná síla působící na kaskadéra dolní část:
F = FG + FO
horní část:
F = FG − FO
boční část kružnice:
F = FG2 + FO2
FG – tíhová síla, FO – odstředivá síla, F – výsledná sila. 6.
Aby kaskadér neztratil kontakt se spirálou, musí se velikost odstředivé síly rovnat velikosti tíhové síly.
FO = FG
m v2 =mg r
⇒
na obou stranách máme hmotnost tělesa, kterou můžeme vykrátit a dostaneme vztah pro určení nejmenší rychlosti v2 =g r
{v }=
⇒
v = rg
2 ,7 ⋅ 10
v = 5 ,2 m.s −1 -1
Nejmenší rychlost kaskadéra v nejvyšším bodě smyčky je 5,2 m.s .
Odstředivá síla – řešení
40
Proč automobily a motocykly při jízdě v terénu „skáčou“? Zápis: hmotnost automobilu m = 500 kg ; rychlost automobilu
v = 72 km.h −1 = 20 m.s −1 ; poloměr mostu r = 50 m ; tíhové zrychlení g = 10 m.s −2 1.
Automobil představuje neinerciální soustavu.
2. 3.
Výslednice působících sil
F = FOD − FG F – výsledná síla, FOD – odstředivá síla, která působí na automobil při přejezdu oblouku mostu, FG – tíhová síla. Protože mají vektory sil opačný směr, je velikost výsledné síly rovna rozdílu jejich velikostí. 4.
Velikost tlakové síly F, kterou působí automobil na vodorovnou silnici je rovna velikosti tíhové síly. Při nájezdu na most se její velikost sníží o velikost odstředivé síly. Tlaková síla na vodorovné silnici je větší než na vrcholu mostu.
5.
Tlaková síla na vodorovné silnici:
F = FG = m g
{ F } = 500 ⋅ 10 F = 5 000 N Tlaková síla na vrcholu mostu:
F = FOD − FG =
{ F } = 500 ⋅ 20
m v2 −mg r 2
50 F = −1 000 N
− 500 ⋅ 10
znaménko minus znamená, že vektor výsledné síly má stejný směr jako vektor tíhové síly. 6.
Velikost tlakové síla bude rovna nule, když velikost odstředivé síly bude stejná jako velikost tíhové síly.
FOD = FG
{v }=
mv 2 = mg r
⇒
⇒
v = rg
50 ⋅ 10
v = 22 ,4 m.s −1 = 81 km.h −1 7.
-1
Pokud bude rychlost větší než 81 km.h , zvětší se velikost odstředivé síly. Aby -1 tato situace nastala i při rychlosti 72 km.h , museli bychom zmenšit poloměr oblouku mostu. Propočet: mv 2 = mg r
{ r } = 20
⇒
r =
v2 r
2
10 r = 40 m
8.
Automobily a motocykly skáčou na mostě proto, že při jejich rychlosti je velikost odstředivé síly větší než velikost tíhové síly.
Odstředivá síla – řešení 9.
41
Je-li most dutý, mají tíhová síla a odstředivá síla stejný směr. Výsledná velikost tlakové síly bude rovna součtu jejich velikostí. Tlaková síla bude větší než na vodorovné silnici.
Odporové síly – zadání
3.5
42
Odporové síly
Proč se automobil v zatáčce udrží na silnici? -1
Automobil s hmotností 1500 kg se pohybuje rychlostí 81 km.h . po ploché kruhové silnici o poloměru 180 m. 1.
Nakreslete danou situaci. Do obrázku dokreslete vektory sil, které na automobil při přejezdu okruhu působí, včetně třecí síly.
2.
Zapište početní vztah pro určení velikost výslednice všech sil působících na automobil. Popište veličiny.
3.
Která síla je reakcí na odstředivou sílu?
4.
Zapište vztah pro výpočet této síly. Popište veličiny
5.
Zapište vztah pro výpočet odstředivé síly. Popište veličiny.
6.
Jakou nejmenší hodnotu musí mít koeficient tření, aby nedošlo ke smyku?
7.
Automobil se pohybuje po kružnici a je v situaci těsně před smykem. Jaký je nejmenší poloměr kruhové dráhy při dvojnásobně velké rychlosti, aby ke smyku nedošlo? Změnu propočítejte.
8.
Jak se změní nejmenší možný poloměr dráhy, jestliže zdvojnásobíme i hmotnost automobilu?
Při nouzovém brzdění automobilu se zablokují kola. Automobil klouže po silnici a vytváří brzdné stopy. Rekordní délka brzdných stop, která byla naměřena je 290 m. Součinitel smykového tření mezi silnicí a pneumatikami je 0,6. Předpokládáme, že na konci brzdění má automobil nulovou rychlost 1.
Nakreslete situaci na začátku brzdění a na jeho konci. Do obrázku dokreslete vektory všech působících sil, vektor počáteční rychlosti a vektor zrychlení.
2.
Jakým pohybem se automobil pohybuje?
3.
Zapište početní vztah pro určení velikost výslednice všech sil působících na automobil. Popište veličiny.
4.
Vyjádřete rovnicí vztah mezi zrychlením. Popište veličiny.
5.
Vyjádřete vztah mezi zrychlením automobilu a součinitelem smykového tření. Popište veličiny. Jaký zákon pro vyjádření použijete?
6.
Vypočítejte, jakou rychlostí jel automobil v okamžiku, kdy se mu zablokovala kola.
počáteční
rychlostí
automobilu,
dráhou
a
Odporové síly – řešení
43
Proč se automobil v zatáčce udrží na silnici? Zápis: hmotnost automobilu m = 1500 kg ; rychlost automobilu
v = 81 km.h-1 = 22 ,5 m.s −1 ; poloměr silnice r = 1 80 m 1.
N – normálová síla; FG – tíhová síla; FT – třecí síla; FOD – odstředivá síla; r – poloměr silnice 2.
Velikost výslednice – automobil není urychlován ve svislém směru. F = N − FG + FOD − F T
F – výsledná síla, která působí na automobil; N – normálová síla; FG – tíhová síla; FT – třecí síla; FOD – odstředivá síla 3.
Odstředivá síla představuje akci, reakcí na tuto sílu je třecí síla FT, kterou působí povrch silnice na pneumatiky automobilu.
4.
Vztah pro výpočet třecí síly FT = f m g
FT – třecí síla; f – součinitel smykového tření; m – hmotnost tělesa; g – tíhové zrychlení 5.
Vztah pro výpočet odsstředivé síly FOD =
m v2 r
FOD – odstředivá síla; m – hmotnost tělesa; v – rychlost tělesa; r – poloměr kruhové dráhy 6.
Výpočet součinitele smykového tření Automobil se dostane do smyku v okamžiku, kdy velikost třecí síly dosáhne maximální hodnoty. V úloze řešíme tuto situaci, bude platit: f mg=
m v2 r
⇒
f g=
v2 r
⇒
f =
v2 r g
22 ,52 180 ⋅ 10 f = 0 ,28
{f }=
Automobil se udrží na kruhové dráze v případě, že je součinitel smykového tření roven nebo větší než hodnota 0,28. 7.
Nejmenší poloměr dráhy při dvojnásobné rychlosti 2
Součinitel smykové tření závisí na druhé mocnině rychlosti v . Pokud velikost rychlosti zdvojnásobíme, musíme poloměr dráhy zvětšit čtyřikrát.
Odporové síly – řešení f =
2
v1 r1 g
44
r1 =
⇒
2
v1 f g
452 0 ,28 ⋅ 10 r1 = 720 m
{ r1 } = 8.
Ve výsledném vztahu v bodě 6 nevystupuje hmotnost, vztah platí pro automobil s libovolnou hmotností. I když hmotnost zvýšíme, poloměr dráhy se při zachování ostatních parametrů nezmění.
Při nouzovém brzdění se automobilu zablokují kola. Zápis: délka brzdných stop s = 290 m ; součinitel smykového tření f = 0,6 1.
N – normálová síla; FG – tíhová síla; FT – třecí síla; a – zrychlení automobilu; s – brzdná dráha; v0 – počáteční rychlost; v – končená rychlost 2.
Automobil se pohybuje rovnoměrně zpomaleným pohybem.
3.
Velikost výslednice – automobil není zpomalován ve svislém směru. F = N − FG − FT = −FT = − f m g
F – výsledná síla, která působí na automobil; N – normálová síla; FG – tíhová síla; FT – třecí síla; f – součinitel smykového tření; m – hmotnost automobilu; g – tíhové zrychlení 4.
Vyjádření vztahu pro počáteční rychlost automobilu. Využijeme vztahy pro rovnoměrně zrychlený pohyb a skutečnosti, že konečná rychlost automobilu v = 0. v = v0 + at s = v0 t +
v =0
1 2 at 2
⇒
⇒
v 0 = −a t
t =−
⇒
v0 a
2s = 2v 0 t + a t 2
Kombinací vztahů a matematickou úpravou dojdeme k výslednému vztahu mezi počáteční rychlostí automobilu, jeho zrychlením a dráhou pohybu. 2s = v 0 t + a t 2 v0 =
⇒
2s = −
2
2v0 av 0 + a a2
2
⇒
2
2s a = − 2 v 0 + v 0
2
⇒
−2sa
v – konečná rychlost automobilu; v0 – počáteční rychlost automobilu; a – zrychlení automobilu; s – dráha pohybu; t – čas pohybu
2s a = − v 0
2
Odporové síly – řešení 5.
45
Vztah mezi zrychlením automobilu a součinitelem smykového tření. Vyjdeme z 2. Newtonova pohybového zákona. F =−f mg a=−f g
⇒
ma=−f mg
F – výsledná síla; m – hmotnost automobilu; a – zrychlení automobilu; f – součinitel smykového tření; g – tíhové zrychlení 6.
Výpočet počáteční rychlosti v0 =
−2 s a
{ v0 } =
a=−f g
⇒
v0 = 2 s f g
2 ⋅ 290 ⋅ 0 ,6 ⋅ 10
v 0 = 59 m.s −1 = 212 km.h −1
V okamžiku, kdy se automobilu zablokovala kola, jel automobil rychlostí -1 212 km.h .
Mechanická práce a energie
4
46
Mechanická práce a energie
Přehled −
Těleso, které působí na jiné těleso silou a přemístí ho po určité dráze, koná mechanickou práci.
−
Velikost mechanické práce závisí na velikosti působící síly, na délce dráhy a na velikosti úhlu, který svírá vektor síly se směrem přemístění tělesa.
−
Pokud je vektor síly rovnoběžný se směrem přemístění, je velikost vykonané práce maximální. Jestliže je vektor síly kolmý na směr přemístění, síla práci nekoná.
−
Výkon je fyzikální veličina, která vyjadřuje, jak rychle se určitá práce vykoná. Účinnost je fyzikální veličina, která slouží k posouzení hospodárnosti strojů a zařízení. Je to podíl dodané energie a skutečně vykonané práce.
−
Mírou mechanické energie je vykonaná mechanická práce. Existují tři druhy mechanické energie: potenciální tíhová energie, potenciální energie pružnosti a kinetická energie.
−
Pro mechanické děje probíhající v izolované soustavě těles platí zákon zachování mechanické energie. Celková mechanická energie soustavy se nemění. Mění se navzájem potenciální a kinetická energie.
Klíčová slova −
mechanická práce; síla; dráha; joule; výkon; watt; příkon; účinnost; mechanická energie; potenciální energie; kinetická energie; zákon zachování mechanické energie.
Mechanická práce – zadání
4.1
47
Mechanická práce
Dannyho parťáci posunují sejf k přistavenému nákladnímu autu. Sejf, který je na začátku v klidu, má hmotnost 300 kg. Vzdálenost k autu je 9 m. Parťák1 působí tlakovou silou 15 N směrem dolů pod úhlem 30° vzhledem k vodorovné rovině. Parťák2 působí na sejf tahovou silou 12 N, která svírá s vodorovnou rovinou úhel 45° a směřuje nahoru. 1.
Nakreslete danou situaci jednoduchým obrázkem. Do obrázku vyznačte všechny síly, které na sejf působí. Sejf se posunuje po podlaze bez tření.
2.
Zapište vztah pro určení velikosti mechanické práce, kterou vykonají Dannyho parťáci. Popište veličiny.
3.
Vypočítejte velikost mechanické práce vykonané Parťákem1 a Parťákem2.
4.
Jakou celkovou práci vykonají oba parťáci při posunutí sejfu?
5.
Jakou práci vykoná při posunutí sejfu tíhová síla a normálová síla?
6.
Na začátku byl sejf v klidu. Vyjádřete vztah pro určení velkosti jeho rychlosti na konci posunutí. Popište veličiny.
7.
Vypočítejte velikost rychlosti sejfu na konci posunutí.
Mechanická práce – řešení
48
Dannyho parťáci posunují sejf k přistavenému nákladnímu autu. Zápis: hmotnost sejfu m = 300 kg ; vzdálenost k autu s = 9 m ; tlaková síla
F1 = 15 N ; tahová síla F2 = 12 N ; úhly, které svírají síly s vodorovnou rovinou 8.
α1 = 30° ; α2 = 45° ; tíhové zrychlení g = 10 m.s−2
1.
N – normálová síla; FG – tíhová síla; F1 – síla, kterou působí Parťák1; F2 – síla, kterou působí Parťák2; s – posunutí sejfu 2.
Mechanická práce:
W = F s cos α W – mechanická práce; F – působící síla; s – posunutí sejfu; α – úhel, který svírá síla F s vodorovnou rovinou. 3.
4.
Výpočet mechanické práce Parťák1
Parťák2
{W1 } = 15 ⋅ 9 ⋅ cos 30°
{W2 } = 12 ⋅ 9 ⋅ cos 45°
W1 = 117 J
W2 = 76 J
Parťák1 vykoná práci 117 J.
Parťák2 vykoná práci 76 J.
Celková práce je rovna součtu velikostí prací, kterou vykonají oba parťáci
W = W1 + W2
{W } = 117 + 76
W = 193 J Celková práce vykonaná při posunutí sejfu je 193 J. 5.
Tíhová síla i normálová síla jsou kolmé ke směru posunutí. Protože cos 90° je roven 0, nekonají tyto síly mechanickou práci.
6.
Rychlost sejfu na konci posunutí W = F s = ma s W =
s =
1 a t2 2
vK = a t
1 1 m a2 t 2 = m v K2 2 2
W – celková práce; vK – konečná rychlost sejfu; m – hmotnost sejfu 7.
Výpočet rychlosti:
vK =
{ vK } =
2W m 2 ⋅ 193 300
v K = 1,13 m.s − 1 -1
Na konci posunutí má sejf rychlost 1,13 m.s .
Výkon – zadání
4.2
49
Výkon
Jeřáb a zvedání těles Na velkých stavbách je nemyslitelným pomocníkem stavební jeřáb. S jeho pomocí jsou přenášena tělesa o hmotnosti několik desítek tun. 1.
Nakreslete schematicky zvedání tělesa pomocí jeřábu. Do obrázku zakreslete vektory všech sil, které na těleso působí. (tření a odpor prostředí zanedbejte).
2.
Porovnejte velikosti sil působících na těleso, jestliže je zvedáno rovnoměrným přímočarým pohybem.
3.
Která síla koná práci při zvedání tělesa? Vyjádřete početní vztah pro určení této síly. Popište veličiny.
4.
Vyjádřete početní vztah pro určení mechanické práce. Popište veličiny.
5.
Vypočítejte velikost vykonané práce, jestliže jeřáb zvedá těleso o hmotnosti 15 tun do výšky 8 m.
6.
Vyjádřete vztah mezi účinností, příkonem a výkonem. Popište veličiny.
7.
Vyjádřete vztah mezi výkonem zařízení, vykonanou prací a časem. Popište veličiny.
8.
Za jakou dobu zdvihne jeřáb toto těleso, jestliže jeho motor má příkon 8,5 kW a účinnost zařízení je 70 %?
Výkon – řešení
50
Jeřáb a zvedání těles Zápis: hmotnost tělesa m = 15 t = 15.10 3 kg ; výška pohybu h = 8 m ; tíhové zrychlení g = 10 m.s −2 ; příkon motoru P0 = 8 ,5 kW = 8 ,5.10 3 W ; účinnost zařízení η = 70% = 0 ,7 1.
N – normálová síla, kterou jeřáb zvedá těleso; FG – tíhová síla 2.
Při zvedání rovnoměrným pohybem je velikost normálové síly rovna velikosti tíhové síly.
3.
Při zvedání tělesa koná práci normálová síla
N = FG = m g N – normálová síla; FG – tíhová síla, m – hmotnost tělesa; g – tíhové zrychlení 4.
Mechanická práce
W = N h = mgh W – mechanická práce; N – normálová síla; h – výška, do které jeřáb zvedá těleso; m – hmotnost tělesa; g – tíhové zrychlení 5.
Výpočet mechanické práce
{W } = 15 .10 3 ⋅ 10 ⋅ 8 W = 1, 2.10 6 J = 1,2 MJ Jeřáb vykoná při zvedání tělesa práci 1,2 MJ. 6.
Účinnost zařízení
η =
P ⋅ 100 % P0
η – účinnost zařízení; P – výkon zařízení; P0 – příkon zařízení 7.
Výkon zařízení
P =
W t
P – výkon zařízení; W – vykonaná práce; t – čas
Výkon – řešení 8.
Výpočet doby zvedání tělesa
η = t =
P W = P0 t P0 W η P0
1200000 0,7 ⋅ 8500 t = 201 s = 3,4 min
{t } =
Jeřáb zvedne těleso do výšky 8 m za 3,4 min.
51
Mechanická energie – zadání
4.3
52
Mechanická energie
Kdy přestane skákat volně puštěný tenisový míček? Tenisový míček volně pustíme z určité výšky a necháme ho padat k zemi. Po odrazu od zemského povrchu vyskočí do menší výšky, než byla původní. 1.
Nakreslete danou situaci. V obrázku vyznačte výšku, ze které míček padá, a výšku, do které míček vyskočí po odrazu.
2.
Jakou energii má míček na počátku tohoto děje? Vyjádřete vztah mezi velikostí této energie a výškou, ze které míček padá, rovnicí. Popište veličiny.
3.
Jakou energii má míček těsně před dopadem na zem? Vyjádřete vztah mezi velikostí této energie a rychlostí pohybu míčku rovnicí. Popište veličiny.
4.
Porovnejte tyto energie z hlediska jejich velikosti. Porovnání zapište vztahem.
5.
Vypočítejte velikost rychlosti míčku těsně před dopadem na zem, jestliže míček pustíme z výšky 1,25 m.
6.
Jak velkou rychlostí se míček odrazí, jestliže po odrazu vyskočí do výšky 100 cm?
7.
Popište další pohyb tenisového míčku. Kolik procent energie se při prvním odrazu přemění na jiné formy energie?
8.
Na čem závisí, jak dlouho bude míček skákat?
Mechanická energie – řešení
53
Kdy přestane skákat volně puštěný tenisový míček? Zápis: počáteční výška h = 1,25 m; výška po odrazu
h1 = 100 cm = 1 m; g = 10 m.s-2 1.
2.
Míček je na počátku děje v určité výšce v klidu, jeho počáteční rychlost je nulová. Má potenciální energii:
EP = m g h m – hmotnost míčku; h – výška, ze které míček padá; g – tíhové zrychlení 3.
Těsně před dopadem je míček v nulové výšce a pohybuje se maximální rychlostí. Míček získal kinetickou energii:
EK =
1 m v2 2
m – hmotnost míčku; v – rychlost jeho pohybu 4.
Během pádu míčku se jeho potenciální energie přeměnila na kinetickou
EK = EP 5.
Výpočet rychlosti dopadu míčku
EK = EP 1 mv2 = m g h 2 v =
2 g h
{v } =
2 ⋅ 10 ⋅ 1,25
v = 5 m.s -1 -1
Těsně před dopadem měl míček rychlost 5 m.s . 6.
Výpočet rychlosti míčku po odrazu:
v1 =
2 g h1
{ v1 } =
2 ⋅ 10 ⋅ 1
v 1 = 4,5 m.s -1 -1
Po odrazu má míček rychlost 4,5 m.s . 7.
Míček po dosažení výšky 1 m bude znovu padat k zemi volným pádem. Od země se odrazí s menší rychlostí a vystoupá znovu do menší výšky. Jeho potenciální energie se postupně mění na kinetickou energii a naopak. Ztráty jeho původní energie jdou na vrub překonání odporu prostředí a tření. Procentuální vyjádření ztrát 0,25 ⋅ 10 m 2,5 = = 0,2 = 20% 1,25 ⋅ 10 m 12,5
8.
Doba jeho pohybu závisí na výšce, ze které míček padá.
Zákon zachování mechanické energie – zadání
4.4
54
Zákon zachování mechanické energie
A je tady zase kaskadér ve svislé kruhové smyčce Kaskadér na jízdním kole vjíždí do svislé kruhové smyčky s poloměrem 4,8 m. Těžiště kola a cyklisty je ve výšce 1,2 m nad zemí.
1.
Nakreslete situaci pro okamžik, kdy kaskadér vjíždí do smyčky, a pro okamžik, kdy je v nejvyšším bodě smyčky. Zakreslete vektory rychlosti v obou bodech.
2.
Do obrázku dokreslete vektory všech sil, které na kaskadéra působí v nejvyšším bodě kružnice. Tření a odpor vzduchu zanedbejte.
3.
Co musí platit pro velikost těchto sil, aby se kaskadér udržel na dráze v nejvyšším bodě? Vyjádřete vztah mezi silami rovnicí. Popište veličiny.
4.
Vypočítejte velikost rychlosti v nejvyšším bodě kružnice, která je potřebná k udržení kaskadéra.
5.
Jaké druhy energie tvoří celkovou energii v nejnižším bodě a v nejvyšším bodě kružnice? Vyjádřete vztahy pro určení těchto druhů energie rovnicí. Popište veličiny.
6.
Vypočítejte, jakou nejmenší rychlostí musí kaskadér najet do smyčky, aby jí bez nehody projel?
Zákon zachování mechanické energie – řešení
55
A je tady zase kaskadér ve svislé kruhové smyčce Zápis: poloměr smyčky R1 = 4,8 m; výška těžiště R2 = 1,2 m; g = 10 m.s-2 1. 2.
3.
Pro udržení kaskadéra ve smyčce je nutné, aby se velikost odstředivé síly minimálně rovnala velikosti tíhové síly:
FOD = FG
→
m v H2 =m g R1 − R2
m – hmotnost kaskadéra s kolem; vH – rychlost v nejvyšším, horním bodě smyčky; R1 – poloměr smyčky; R2 – výška těžiště nad povrchem 4.
Výpočet velikosti rychlosti kaskadéra v nejvyšším bodě smyčky
v H2 = ( R1 − R2 ) g
( R1 − R2 ) g { v H } = (4,8 − 1,2) ⋅ 10
vH =
v H = 6 m.s -1 -1
Kaskadér musí projíždět nejvyšším bodem rychlostí 6 m.s . 5.
Nejnižší, dolní bod - kaskadér je v nulové výšce, pohybuje se rychlostí vD. Jeho celkovou energii tvoří kinetická energie
E KD =
1 m v D2 2
Nejvyšší, horní bod - kaskadér je výšce h = 2R, pohybuje se rychlostí vH. Jeho celkovou energii tvoří kinetická energie E KH =
1 1 m v H2 = m (R1 − R2 ) g 2 2
a potenciální energie EPH = m g h = 2 m g (R1 − R2 ) 6.
Při výpočtu velikosti dolní rychlosti kaskadéra vyjdeme za zákona zachování mechanické energie a ze vztahů v předchozím bodě E KD = E KH + E PH 1 1 m v D2 = m (R1 − R2 ) g + 2m g (R1 − R2 ) 2 2
v D2 = (R1 − R2 ) g + 4
{ vD } =
( R1 − R2 ) g = 5 ( R1 5 ⋅ (4,8 − 1,2) ⋅ 10
− R2 ) g
v D = 13,4 m.s -1
Kaskadér musí vjíždět do smyčky rychlostí 13,4 m.s-1.
Mechanika tekutin
5
56
Mechanika tekutin
Přehled −
Společnou vlastností kapalin a plynů je tekutost, kterou způsobuje vzájemná pohyblivost jejich částic;
−
stav tekutiny v klidu charakterizují fyzikální veličiny hustota a tlak.
−
Ideální kapalinu definujeme jako kapalinu bez vnitřního tření a zcela nestlačitelnou, ideální plyn charakterizujeme jako plyn bez vnitřního tření a dokonale stlačitelný.
−
Tlak vyvolaný vnější silou je ve všech místech tekutiny stejný, Pascalův zákon využíváme v hydraulických a pneumatických zařízeních.
−
Tlak vyvolaný tíhou kapaliny nazýváme hydrostatický tlak, jeho velikost závisí na hloubce kapaliny a její hustotě.
−
Tlak vyvolaný tíhou vzduchu v atmosféře Země nazýváme atmosférický tlak, jeho velikost se vzrůstající výškou nad povrchem klesá.
−
Na tělesa ponořená v kapalině působí směrem vzhůru vztlaková síla, její velikost je podle Archimédova zákona rovna tíze kapaliny o stejném objemu, jaký má ponořená část tělesa.
−
Archimédovým zákonem se řídí chování těles v kapalině i ve vzduchu.
Klíčová slova −
tekutiny; ideální kapalina; ideální plyn; hustota; tlak; Pascalův zákon; hydraulická zařízení; hydrostatická tlaková síla; hydrostatický tlak; atmosférický tlak; vztlaková síla; Archimédův zákon.
Vlastnosti kapalin a plynů – zadání
5.1
57
Vlastnosti kapalin a plynů
Co se děje při zavařování ovoce a zeleniny? Při zavařování produktů našich zahrádek většinou používáme zavařovací sklenice s víčky. 1.
Nakreslete obrázek zavařovací sklenice i s víčkem. Do obrázku vyznačte tlak vzduchu působící na víčko zvenku a tlak vodní páry působící zevnitř.
2.
Který tlak bude větší? Svoje tvrzení zdůvodněte.
3.
Zakreslete vektory sil, které působí na víčko zvenku a zevnitř.
4.
Vyjádřete rovnicí vztah mezi velikostí síly působící na plošný obsah víčka a tlakem. Popište veličiny.
5.
Vypočítejte velikost obou sil působících na víčko sklenice za předpokladu, že tlak vodní páry je 1 900 Pa a venku je normální atmosférický tlak. Průměr víčka sklenice je 13 cm.
6.
Určete velikost výsledné síly, která působí na víčko.
Vlastnosti kapalin a plynů – řešení
58
Co se děje při zavařování ovoce a zeleniny Zápis: poloměr víčka r = 6 ,5 cm = 6 ,5.10 −2 m ; tlak páry pP = 1 ,9.10 3 Pa ; atmosférický tlak vzduchu pA = 10 5 Pa 1.
pA – atmosférický tlak; pP – tlak páry ve sklenici; FA – síla, kterou působí okolní vzduch na víčko; FP – síla, kterou působí pára na víčko 2.
Tlak vzduchu bude větší, protože víčko na sklenici drží, neodskočí.
3.
viz obrázek
4.
Vztah pro sílu působící na plošný obsah
F = pS F – působící síla, S – plošný obsah víčka, p – tlak vzduchu nebo páry 5.
Výpočet velikosti sil působících na víčko
S = π r2
{ S } = π ⋅ 6 ,52 ⋅ 10 −4 S = 1 ,3.10 −2 m2 FA = pA S
{ FA } = 105 ⋅ 1 ,3 ⋅ 10 −2 FA = 1 300 N FP = pP S
{ FP } = 1 900 ⋅ 1 ,3 ⋅ 10 −2 FP = 25 N 6.
Velikost výsledné síly vypočítáme jako rozdíl velikostí sil FA a FP
F = FA − FP
{ F } = 1 300 − 25 F = 1 275 N Velikost výsledné síly, která působí na víčko je 1 275 N. Síla působí směrem dolů.
Tlak v kapalinách a plynech – zadání
5.2
59
Tlak v kapalinách a plynech
Můžete sklenici naplněnou vodou převrátit a voda nevyteče? Když naplníte sklenici vodou a přikryjete ji listem papíru, můžete ji obrátit dnem vzhůru do svislé polohy a voda z ní nevyteče. 1.
Nakreslete popsanou situaci. Do obrázku nakreslete vektory všech sil, které působí na list papíru.
2.
Čím jsou tyto síly způsobeny? Odhadněte, která síla je větší.
3.
Vyjádřete vztah mezi silou, která působí na papír z vnitřní strany sklenice, objemem a hustotou kapaliny rovnicí. Popište veličiny.
4.
Vyjádřete vztah mezi silou, která působí na papíru z vnější strany sklenice a vnějším atmosférickým tlakem rovnicí. Popište veličiny.
5.
Vypočítejte velikost obou sil, jestliže má sklenice výšku 10 cm a vnitřní průměr 5 cm, atmosférický tlak je 100 kPa.
6.
Jakou velikost a jaký směr má výsledná síla působící na papír? Zakreslete vektor výsledné síly působící na papír. Proč voda ze sklenice nevyteče?
7.
Změní se výsledek experimentu, jestliže použijeme sklenici se stejnou výškou a větším vnitřním průměrem? Svoje tvrzení zdůvodněte.
Na jakém principu pracuje hydraulický lis? Hydraulický lis je zařízení, pomocí kterého můžeme dosáhnout několikanásobného zvětšení působící síly. 1.
Nakreslete obrázek průřezu hydraulického lisu, vyznačte vektory sil působících na písty a plošné obsahy pístů.
2.
Co vznikne v kapalině pod písty, jestliže na jeden působí vnější síla? Jaké vlastnosti má tato veličina? Který zákon se vztahuje k této veličině?
3.
Vyjádřete vztah mezi vnější působící silou, plošným obsahem pístu a tlakem v kapalině rovnicí. Popište danou rovnici.
4.
Vyjádřete vztah mezi velikostí síly, kterou působí větší píst, jeho plošným obsahem a tlakem v kapalině. Popište danou rovnici.
5.
Vypočítejte velikost tlakové síly, kterou působí větší píst, jestliže na menší píst působíme silou 96 N a poloměry pístů jsou 10 cm a 80 cm.
6.
Vyjádřete vztah mezi prací vykonanou vnější silou při posouvání pístu a délkou jeho posunu. Popište rovnici. Porovnejte velikost práce vykonané hydraulickým lisem s velikostí práce vykonané vnější silou. Svoje tvrzení zdůvodněte.
7.
O jakou dráhu se posune velký píst, jestliže malý píst se posune o 12 cm?
Tlak v kapalinách a plynech – řešení
60
Můžete sklenici naplněnou vodou převrátit a voda nevyteče? Zápis: výšky sklenice h = 10 cm = 0 ,1 m ; poloměr sklenice
r = 2 ,5 cm = 2 ,5.10 −2 m ; hustota vody ρ = 10 3 kg.m3 ; atmosférický tlak pA = 100 kPa = 10 5 Pa 1.
2.
FH – hydrostatická tlaková síla, kterou působí kapalina na papír, její příčinou je tíhová síla; FA – síla, jejíž příčinou je atmosférický tlak okolního vzduchu. Protože voda nevyteče, musí být velikost síly FA větší než velikost síly FH.
3.
Vztah pro hydrostatickou sílu
FH = m g = Vρ g = S h ρ g FH – hydrostatická tlaková síla; S – plocha dna sklenice, které vytvoří přiložený papír; h – výška sklenice; ρ - hustota kapaliny; g – tíhové zrychlení. 4.
Vztah pro vnější sílu
FA = pA S FA – síla, jejíž příčinou je atmosférický tlak; pA – atmosférický tlak; S – plocha dna sklenice. 5.
Výpočet velikosti sil
{ FH } = π ⋅ 0 ,0252 ⋅ 0 ,1 ⋅ 10 3 ⋅ 10 FH = 2 N;
{ FA } = 105 ⋅ π ⋅ 0 ,0252 F A = 196 N 6.
Vektor výsledné síly bude mít stejný směr jako vektor větší síly, to znamená síly FA. Její velikost určíme z rozdílu velikostí obou působících sil, viz obrázek
F = FA − FH
{ F } = 196 − 2
F = 194 N
Voda nevyteče ze sklenice proto, že na vnější stranu papíru působí větší síla než na vnitřní stranu papíru. 7.
Výsledek experimentu se nezmění. Hydrostatická síla i vnější síla závisí na velikosti plochy dna sklenice. Pokud použijeme sklenici s větším průměrem, zvětší se úměrně velikost obou sil. Vnější síla bude stále větší.
Tlak v kapalinách a plynech – řešení
61
Na jakém principu pracuje hydraulický lis? Zápis: síla menšího pístu F1 = 96 N ; poloměr menšího pístu r1 = 0 ,1 m ; poloměr většího pístu r2 = 0,8 m ; posun menšího pístu h1 = 0,12 m
1.
2.
V kapalině vznikne tlak, jehož velikost je ve všech místech stejná. Tuto skutečnost vyjadřuje Pascalův zákon.
3.
Tlak v kapalině
p=
F1 S1
p – tlak v kapalině; F1 – velikost vnější působící síly, S1 – plošný obsah menšího pístu. 4.
Síla většího pístu
F2 = p S2 F2 – síla, kterou působí větší píst; S2 – plošný obsah většího pístu. 5.
Výpočet velikosti síly většího pístu
F2 =
F1 r22 F1 F1 2 = π r S2 = 2 S1 r12 π r12
{ F2 } = 96 ⋅ 0 2,8
2
0 ,1 F2 = 6 144 N
6.
Práce lisu
W =F h W – práce vykonaná vnější silou; F – působící síla; h – délka posunu pístu. Velikost práce vykonané hydraulickým lisem a velikost práce vykonané vnější silou jsou stejné. Vnější síla s menší velikostí působí po delší dráze, hydraulický lis působí větší silou po kratší dráze. 7.
Vycházíme z toho, že objem vody, kterou „stlačí“ malý píst je roven objemu vody, která „vytlačí“ velký píst.
V2 = V1
⇒
{ h2 } =
0 ,12 0 ,8 2
S2 h2 = S1 h1 ⋅ 0 ,12
h2 = 2 ⋅ 10 −3 m = 2 mm Větší píst se posune o 2 mm.
⇒
h2 =
π r12 r12 S1 h1 = h h1 = 1 S2 π r22 r22
Vztlaková síla – zadání
5.3
62
Vztlaková síla
Namočí si voraři při plavbě nohy? Kláda plující na vodě vyčnívá částí svého objemu z vody. Když se na ni postaví -3 člověk, zatlačí ji hlouběji do vody, hustota dřeva je 700 kg.m . 1.
Proč není kláda plující na vodě úplně ponořená? Jaký zákon pro tuto situaci platí?
2.
Nakreslete kládu plující na vodě. Do obrázku zakreslete vektory sil, které na kládu působí. Vyjádřete vztah pro výslednou sílu působící na kládu. Vztah popište a vysvětlete.
3.
Nakreslete kládu plující na vodě a na ní člověka. Zakreslete do obrázku vektory sil, které na kládu působí. Vyjádřete vztah pro výslednou sílu působící na kládu. Vztah popište a vysvětlete.
4.
Jaká část objemu klády může být ponořená, když člověk nemá mít chodidlo ponořené ve vodě?
5.
Vyjádřete vztah mezi velikostí tíhové síly a hmotností tělesa. Vyjádřete vztah mezi velikostí vztlakové síly a objemem ponořené části tělesa v kapalině. Popište vztahy.
6.
Jakou největší hmotnost může mít člověk stojící na kládě, aby neměl chodidla ve vodě? Kláda má délku 3,5 m a průměr 30 cm.
Proč se aerostatický balón vznáší? Teplovzdušné aerostatické balóny se vznášejí ve vzduchu proto, že teplý vzduch, kterým jsou balóny plněny, má menší hustotu než okolní studený vzduch. Na balón působí určité síly . . . 1.
Nakreslete danou situaci, zakreslete do obrázku vektory všech sil, které pří vznášení na balón působí.
2.
Vyjádřete vztah mezi velikostí tíhové síly působící na balón a jeho hmotností, popište rovnici.
3.
Vyjádřete vztah mezi velikostí vztlakové síly působící na balón, jeho objemem a hustotou vzduchu, popište rovnici. Který zákon využijete pro určení vztlakové síly?
4.
Vyjádřete vztah pro výslednou sílu, která působí na balón, vztah vysvětlete.
5.
Jakou velikost má výsledná síla působící na balón, jestliže se balón ve vzduchu vznáší (stojí bez pohybu) a jestliže balón stoupá rovnoměrně zrychleným pohybem. Svá tvrzení zdůvodněte.
6.
Vyjádřete vztah mezi výslednou působící silou a zrychlením pohybu balónu. Jaký zákon využijete?
7.
Vypočítejte velikost zrychlení balónu, hmotnost balónu je 500 kg, objem 750 m -3 a hustota vzduchu je 1,29 kg.m .
8.
Do jaké výšky vystoupí balón během prvních deseti sekund svého zrychleného pohybu?
3
Vztlaková síla – řešení
63
Namočí si voraři při plavbě nohy? Zápis: hustota dřeva ρ = 700 kg.m −3 ; hustota vody ρ = 1 000 kg.m −3 ; délka klády l = 3,5 m ; poloměr klády r = 0 ,15 m 1.
Velikost vztlakové síly, kterou působí voda na kládu je větší než velikost tíhové síly. Vektor výsledné síly má směr shodný se směrem vektoru vztlakové síly – hustota dřeva je menší než hustota vody. Platí zde Archimédův zákon.
2. FVZ – vztlaková síla, kterou působí voda na kládu FGK – tíhová síla, která působí na kládu síly mají opačný směr, výsledná síla F je rovna: F = FVZ – FGK
3. FGČ – tíhová síla, která působí na člověka velikost výsledné síly F se zmenší o velikost tíhové síly působící na člověka: F = FVZ – (FGK + FGČ)
4.
Kláda může být ponořená většinou svého objemu (téměř celá) a člověk si chodidla nenamočí.
5.
Tíhová síla
(
FG = mK + mČ
)g
FG – celková tíhová síla působící na kládu a člověka; mK – hmotnost klády; mČ – hmotnost člověka; g – tíhové zrychlení Vztlaková síla FVZ = VK ρ g
FVZ – vztlaková síla působící na kládu s člověkem; VK – objem ponořené části klády, ρ - hustota vody 6.
Pro určení hmotnosti člověka budeme předpokládat, že se ponoří celá kláda. Velikost vztlakové síly, kterou působí voda na kládu je rovna velikosti výsledné tíhové síly, která působí na člověka a kládu.
FG = FVZ
(mČ + mK )g = VK ρ g
mČ + VK ρ K = VK ρ
VK = π r 2 l ⇒
mČ = VK ρ − VK ρ K
{ mČ } = π ⋅ 0 ,152 ⋅ 3 ,5 ⋅ (1000 − 700)
⇒
mČ = π r 2 l
mČ = 74 kg Maximální hmotnost člověka stojícího na kládě je 74 kg.
( ρ − ρK )
Vztlaková síla – řešení
64
Proč se aerostatický balón vznáší? Zápis: hmotnost balónu m = 500 kg ; objem balónu V = 750 m3 ; hustota vzduchu ρ = 1,29 kg.m-3 1.
2.
Tíhová síla
FG = m g FG – tíhová síla působící na balón; m – hmotnost balónu; g – tíhové zrychlení 3.
Vztlaková síla
FVZ = V ρ g FVZ – vztlaková síla, kterou působí studený vzduch na balón; V – objem balónu; ρ - hustota studeného vzduchu. K určení velikosti vztlakové síly využijeme Archimédův zákon. 4.
Výsledná síla
F = FVZ − FG Vektory vztlakové a tíhové síly, které působí na balón, mají opačný směr. Velikost výsledné síly je proto rovna rozdílu velikostí těchto sil. Směr vektoru výsledné síly bude shodný se směrem vektoru síly s větší velikostí. 5.
Balón se vznáší – velikost vztlakové síly je rovna velikosti tíhové síly, výsledná síla je nulová. Balón stoupá vzhůru – velikost vztlakové síly je větší než velikost tíhové síly, velikost výsledné síly je rovna rozdílu velikostí sil, směr jejího vektoru je shodný se směrem vektoru vztlakové síly.
6.
Vztah mezi výslednou sílou a zrychlením
F = ma F – výsledná síla; m – hmotnost balónu; a – zrychlení balónu. Využijeme 2. Newtonův pohybový zákon – zákon síly. 7.
Výpočet velikosti zrychlení
F = FVZ − FG
⇒
ma = V ρ g − mg
⇒
a=
{ a } = 750 ⋅ 1 ,29 ⋅ 10 − 500 ⋅ 10
V ρ g − mg m
500
a = 9 ,35 m.s -2 Balón se pohybuje se zrychlením 9,35 m.s-2. 8.
Balón se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem
1 2 at 2 { s } = 1 ⋅ 9 ,35 ⋅ 10 2 2 s = 468 m s=
Balón za prvních 10 s vystoupá do výšky 468 m.
Termika
6
65
Termika
Přehled −
Teplota je fyzikální veličina, která charakterizuje tepelný stav tělesa, teplota souvisí s pohybem částic tělesa, její hodnota se vyjadřuje pomocí teplotních stupnic.
−
Při zahřívání těles dochází ke změnám jejich rozměrů, v případě změny délky tělesa jde o délkovou teplotní roztažnost, pokud se změní všechny tři rozměry, hovoříme o objemové roztažnosti;
−
látky se skládají z částic, které konají neuspořádaný tepelný pohyb, částice na sebe působí přitažlivými a odpudivými silami.
−
Vnitřní energie tělesa je součet celkové kinetické a celkové potenciální energie soustavy částic, které tvoří těleso, vnitřní energii můžeme měnit konáním práce a tepelnou výměnou.
−
Teplo vyjadřuje změnu vnitřní energie při tepelné výměně, velikost předaného tepla závisí na hmotnosti tělesa, na rozdílu mezi počáteční a konečnou teplotou a na druhu látky, ze které je těleso zhotoveno.
−
První termodynamický zákon říká, že přírůstek vnitřní energie je roven součtu práce vnějších sil působících na těleso a tepla přijatého při tepelné výměně.
−
Přenos vnitřní energie se uskutečňuje vedením, prouděním a sáláním.
Klíčová slova −
teplota; teploměr; Celsiův stupeň; termodynamická teplota; Kelvin; teplotní roztažnost; molekula; atom; vnitřní energie; práce; teplo; tepelná výměna; záření; proudění.
Teplotní roztažnost – zadání
6.1
66
Teplotní roztažnost
Proč jsou mezi železničními kolejnicemi mezery? Železniční kolejnice jsou kladeny tak, že jsou mezi nimi po určité vzdálenosti milimetrové mezery. 1.
Vysvětlete, proč nemohou být kolejnice položeny souvisle bez mezer?
2.
Vysvětlete příčinu teplotní roztažnosti z hlediska částicové stavby látky.
3.
Vyjádřete vztah mezi délkou kolejnice po zahřátí a změnou její teploty rovnicí. Popište veličiny.
4.
Železniční kolejnice má při teplotě 0°C délku 10 m. Vypočítejte její délku v létě, když teplota stoupne na 37°C. Teplotní součinitel délkové roztažnosti železa je 12.10-6 K-1.
5.
Vypočítejte délku železniční kolejnice v zimě, když její teplota klesne na -18°C.
6.
Jaký je rozdíl mezi délkou kolejnice v létě a v zimě?
Petrolej se přepravuje v cisternách, které nemohou být úplně plné. Při přepravě petroleje v cisternových vagónech může dojít ke změně jeho teploty až o několik desítek stupňů celsia. 1.
Vysvětlete, proč se cisternové vagóny nemohou při přepravě petroleje úplně naplnit kapalinou.
2.
Vyjádřete vztah mezi objemem petroleje při jeho zahřátí a změnou jeho teploty rovnicí. Popište veličiny.
3.
Vyjádřete vztah mezi hustotou látky, ze které je těleso, hmotností tělesa a jeho objemem rovnicí. Popište veličiny.
4.
Cisternový vagón byl naplněn 50 t petroleje s hustotou 780 kg.m , při teplotě 20 °C. Vypočítejte, o kolik se změní objem nafty, když se teplota zvýší o 25 °C. -3 -1 Teplotní součinitel objemové roztažnosti petroleje je 0,96.10 K .
5.
Proč sklenice z tlustého skla praskne po naplnění horkým nápojem častěji než sklenice z tenkého skla?
-3
Teplotní roztažnost – řešení
67
Proč jsou mezi železničními kolejnicemi mezery? Zápis: původní délka kolejnice l 0 = 10 m ; teplota v létě t1 = 37 °C ; teplota v zimě t 2 = −18 °C teplotní součinitel délkové roztažnosti železa
α = 12.10 −6 K −1 1.
Se změnou teploty dochází ke změně délky kolejnic. V létě se prodlužuje délka kolejnic v důsledku zvyšující se teploty. Mohlo by dojít k poškození kolejnic, zkřivení.
2.
Při zahřívání se atomy látky pohybují rychleji a zvětšuje se jejich vzdálenost.
3.
Změna délky kolenice
l = l 0 ( 1 + α ∆t
)
l0 – původní délka; l – délka po změně teploty; ∆t – změna teploty; α - teplotní součinitel délkové roztažnosti 4.
Délka kolejnice v létě
{ l } = 10 ⋅ (1 + 12.10 −6 ⋅ 37 ) l = 10 ,0044 m
5.
Délka kolejnice v zimě
{ l } = 10 ⋅ (1 + 12.10−6 ⋅ ( − 18 ) ) l = 9,9978 m
6.
Rozdíl mezi délkou kolejnice v létě a její délkou v zimě
{ ∆l } = 10 ,0044 − 9 ,9978 ∆l = 6 ,6.10 −3 m = 6 ,6 mm
Petrolej se přepravuje v cisternách, které nemohou být úplně plné. Zápis: hmotnost petroleje m = 50 t = 50.10 3 kg ; hustota petroleje
ρ = 780 kg.m-3 ; změna teploty ∆ t = 25 °C ; teplotní součinitel objemové roztažnosti β = 0 ,96.10 −3 K −1 1.
Kapaliny i plyny při zahřívání zvětšují svůj objem. Při úplném naplnění cisterny by mohlo při zahřátí dojít k jejímu roztržení.
2.
Objemová roztažnost
V = V0 ( 1 + β ∆t
)
V0 – původní objem látky; V – objem látky po změně teploty, ∆t – změna teploty látky; β - teplotní součinitel objemové roztažnosti 3.
Hustota látky
ρ=
m V
ρ - hustota látky; m – hmotnost látky; V – objem látky
Teplotní roztažnost – řešení 4.
68
Výpočet změny objemu petroleje
∆V = V0 β ∆t ∆V =
m
ρ
β ∆t
{ ∆V } = 50.10 780
3
⋅ 0 ,96.10 −3 ⋅ 25
∆V = 1 ,5 m3 3
Objem petroleje se zvýší o 1,5 m . 5.
Sklo s větší tloušťkou se prohřívá nerovnoměrně. Prohřáté vnitřní stěny se roztahují více, proto může dojít k prasknutí sklenice. Tenkostěnné sklenice se prohřívají rovnoměrně.
Vnitřní energie – zadání
6.2
69
Vnitřní energie
Proč se letící kulka při zastavení zahřeje? Na střelnici bývá obyčejně terč upevněný na dřevěné desce. Po zásahu terče může nastat situace, že olověná kulka uvízne v terči a změní se její některé vlastnosti. 1.
Nakreslete situaci, kdy se letící kulka nachází ještě před terčem. Vyznačte vektor rychlosti pohybu kulky.
2.
Které druhy energie tvoří celkovou energii letící kulky?
3.
Nakreslete situaci, kdy kulka uvízne v dřevěné desce. Změnila se energie kulky? Který druh energie a jak?
4.
Projeví se tato změna energie na teplotě kulky?
5.
Vyjádřete vztah mezi kinetickou energií kulky, její hmotností a velikostí rychlosti jejího pohybu rovnicí. Popište veličiny.
6.
Vyjádřete vztah mezi teplem přijatým tělesem, jeho hmotností a změnou jeho teploty rovnicí. Popište veličiny.
7.
Předpokládejme, že po nárazu kulky na dřevěnou desku se 50% její kinetické energie přemění na teplo. Zapište vztah rovnicí.
8.
Vypočítejte přírůstek teploty střely po jejím uváznutí v dřevěné desce. Olověná -1 kulka letěla před nárazem rychlostí 108 m.s a měrná tepelná kapacita olova je -1 -1 129 J.kg .K .
9.
Na co se přemění druhých 50% kinetické energie.
Vnitřní energie – řešení
70
Proč se letící kulka při zastavení zahřeje? Zápis: rychlost letící kulky v = 108 m.s −1 ; měrná tepelná kapacita olova
c = 129 J.kg-1.K -1 1.
2.
Celkovou energii kulky tvoří potenciální energie, kinetická energie a vnitřní energie
3.
4.
Celková energie kulky se podle zákona zachování energie nezměnila, pouze se přeměnila část tvořená kinetickou energií na přírůstek vnitřní energie. Přírůstek vnitřní energie se projeví zvýšením teploty kulky.
5.
Kinetická energie kulky
WK =
1 mv2 2
WK – kinetická energie kulky, m – hmotnost kulky, v – rychlost kulky 6.
Velikost tepla
Q = m c ∆t Q – teplo přijaté kulkou, m – hmotnost kulky, c – měrná tepelná kapacita, ∆t – změna teploty 7.
Změna energie
50 % WK = Q ∆t =
⇒
1 mv 2 = m c ∆ t 4
v2 4c
(pro méně chápavé 50% z ½ je ¼). 8.
Přírůstek teploty
108 2 4 ⋅ 129 ∆ t = 22 ,6 °C
{ ∆t } =
Při uváznutí kulky v dřevěné desce se její teplota zvýší o 22,6 °C. 9.
Při nárazu se změní tvar kulky, kulka se zploští. 50% kinetické energie se přemění na tuto změnu.
Přenos vnitřní energie – zadání
6.3
71
Přenos vnitřní energie
Je problém nachystat si ve vaně vodu na koupání? Při přípravě koupele ve vaně obyčejně používáme dva zdroje vody z připojených kohoutků. V jednom je voda studená, ve druhém teplá. 1.
Jak se mění teplota studené vody a teplota teplé vody při jejich současném napouštění do vany?
2.
Na čem závisí výsledná teplota vody ve vaně?
3.
Nakreslete schematicky teploměr. Vyznačte na něm teplotu studené vody t1, teplotu teplé vody t2 a teplotu vody ve vaně po dosáhnutí rovnovážného stavu t. Vyznačte na teploměru intervaly, o které se změní teplota studené a teplé vody.
4.
Vysvětlete smíchání teplé a studené vody z hlediska zákona zachování energie a změny vnitřní energie tělesa.
5.
Vyjádřete vztah mezi teplem přijatým studenou vodou a změnou její teploty rovnicí. Popište veličiny.
6.
Vyjádřete vztah mezi teplem odevzdaným teplou vodou a změnou její teploty rovnicí. Popište veličiny.
7.
Porovnejte velikosti tepel přijatých a odevzdaných při vzájemném míchání teplé a studené vody.
8.
Vypočítejte, kolik litrů teplé vody a kolik litrů studené vody potřebujeme, jestliže teplota studené vody je 10 °C, teplota teplé vody je 56 °C, výsledná teplota koupele má být 42 °C. Ve vaně má být 100 litrů vody.
Přenos vnitřní energie – řešení
72
Je problém nachystat si ve vaně vodu na koupání? Zápis: teplota studené vody t1 = 10 °C ; teplota teplé vody t 2 = 56 °C ; výsledná teplota vody t1 = 42 °C ; výsledný objem vody V = 100 m3 1.
Teplota studené vody se zvýší, teplota studené vody se sníží.
2.
Výsledná teplota závisí na hmotnosti teplé a studené vody, na jejich počátečních teplotách.
3.
4.
Teplá voda odevzdá teplo, její vnitřní energie se sníží. Stejně velké teplo studená voda přijme a její vnitřní energie se zvýší o stejnou hodnotu. Celková vnitřní energie soustavy teplá voda – studená voda se nezmění.
5.
Teplo přijaté studenou vodou
Q1 = m1 c
( t − t1 )
Q1 – teplo přijaté studenou vodou, m1 – hmotnost studené vody, t1 – počáteční teplota studené vody, t – výsledná teplota, c – měrná tepelná kapacita vody 6.
Teplo odevzdané teplou vodou
Q2 = m2 c
( t2 − t )
Q2 – teplo odevzdané teplou vodou, m2 – hmotnost teplé vody, t2 – počáteční teplota teplé vody, t – výsledná teplota, c – měrná tepelná kapacita vody 7.
Porovnání tepla přijatého a odevzdaného
Q1 = Q2 m1 c
( t − t1 ) = m 2 c ( t 2 − t )
⇒
m1
( t − t1 ) = m 2 ( t 2 − t )
z této rovnosti vyjdeme při řešení úlohy 8.
Výpočet množství vody
m = m 1+ m 2
⇒
ρ V = ρ V1 + ρ V2
V = V1 + V2 V1 = V − V2
( V − V2 ) ( t − t1 ) = V2 ( t − t 2 )
po úpravě a dosazení dostaneme:
(100 − V2 ) ⋅ (42 − 10) = V2 ⋅ (56 − 42) 46 V2 = 3 200 V2 = 69 ,6 l V1 = 100 − 69 ,6 V1 = 30 ,4 l Pro přípravu lázně potřebujeme 69,6 l teplé vody a 30,4 l studené vody.
Mechanické kmitání
7
73
Mechanické kmitání
Přehled −
Kmitání je periodický pohyb, který vykonávají mechanické oscilátory.
−
Mechanický oscilátor je zařízení, které volně kmitá bez vnějšího působení. Jeho kmitání způsobuje síla pružnosti nebo tíhová síla. Příkladem mechanického oscilátoru je těleso zavěšené na pružině nebo kyvadlo.
−
Doba kmitu neboli perioda je doba, za kterou vykoná oscilátor jeden kmit. Počet kmitů za jednotku času je frekvence.
−
Harmonický kmitavý pohyb je kmitavý pohyb, jehož výchylka závisí na čase podle funkce sinus nebo kosinus. Harmonické kmitání je způsobeno silou, která je přímo úměrná výchylce a v každém okamžiku směřuje do rovnovážné polohy.
−
Během jedné periody se mění hodnoty potenciální a kinetické energie oscilátoru. Kmitání oscilátoru, při kterém je dodána energie jen na počátku děje, nazýváme vlastní kmitání oscilátoru.
−
Frekvence a perioda vlastního kmitání je určena vlastnostmi oscilátoru. U pružinového oscilátoru závisí na hmotnosti kmitajícího tělesa a na tuhosti pružiny. V případě kyvadla závisí na délce závěsu.
−
Vlastní kmitání reálného oscilátoru je tlumené. Periodickým působením vnější budicí síly vzniká kmitání nucené. Amplituda nuceného kmitání je nejvyšší, když je vlastní frekvence oscilátoru shodná s frekvencí budící síly, při tzv. rezonanci.
Klíčová slova −
periodický pohyb; kmitavý pohyb; kmitání; mechanický oscilátor; kyvadlo; výchylka; doba kmitu; perioda; kmitočet; frekvence; amplituda; harmonické kmitání; vlastní kmitání; nucené kmitání; rezonance.
Kmitavý pohyb – zadání
7.1
74
Kmitavý pohyb
Může vést hledání času k několika řešením? Během jedné periody vykoná mechanický oscilátor jeden kmit. Kmit je část pohybu, která se potom pravidelně opakuje. 1.
Harmonické kmitání oscilátoru je popsáno rovnicí:
y = 6 sin
4 π t (cm). 3
Ve které poloze se nachází závaží oscilátoru v čase t = 0 s? Své tvrzení zdůvodněte. 2.
Vyjádřete vztah mezi úhlovou frekvencí oscilátoru a periodou jeho kmitaní rovnicí. Popište veličiny.
3.
Vypočítejte periodu kmitavého pohybu oscilátoru, který kmitá podle rovnice zadané v úvodu úlohy.
4.
Načrtněte graf závislosti výchylky oscilátoru na čase pro první dvě periody. Vyznačte amplitudu výchylky a periodu kmitání.
5.
Vypočítejte časy, ve kterých oscilátor prochází rovnovážnou polohou, horní a dolní amplitudou během prvního kmitu. Vypočítané hodnoty vyznačte v grafu.
6.
Vypočítejte, za jakou dobu od počátku pohybu dosáhne závaží výchylku 3 cm.
7.
Vyznačte tuto polohu v grafu. Kolik takových poloh najdete během jedné periody? Jaká doba uplyne mezi těmito polohami.
Co všechno můžeme říct o jednom okamžiku? Okamžitá výchylka, okamžitá rychlost a okamžité zrychlení jsou kinematické veličiny, které charakterizují pohyb oscilátoru v daném okamžiku. 1.
Vyjádřete vztah pro určení okamžité výchylky oscilátoru pro jakoukoliv polohu na začátku pohybu.
2.
Vysvětlete význam počáteční fáze.
3.
Určete velikost počáteční fáze, jestliže oscilátor se na začátku nachází v horní krajní poloze, dolní krajní poloze a v rovnovážné poloze.
4.
Načrtněte časové průběhy pro všechny tři případy.
5.
Harmonické kmitání je popsáno rovnicí: y = 3 sin(4π t −
π 4
) (cm).
Určete frekvenci, periodu a počáteční fázi pohybu? 6.
Kde se nachází závaží na začátku pohybu?
7.
Vypočítejte okamžitou výchylku, velikost okamžité okamžitého zrychlení v časech 0,02 s a 0,35 s.
8.
Nakreslete oscilátor v polohách odpovídajících uvedeným časům. Do obrázku dokreslete vektory rychlosti a zrychlení.
rychlosti
a
velikost
Kmitavý pohyb – řešení
75
Může vést hledání času k několika řešením? Zápis: rovnice kmitání y = 6 sin y = 3 cm
4 π t cm; velikost okamžité výchylky 3
1.
V čase t = 0 s se závaží oscilátoru nachází v rovnovážné poloze, protože počáteční fáze pohybu je nulová.
2.
Vztah mezi úhlovou frekvencí a periodou
ω=
2π T
ω– úhová frekvence, T – perioda kmitání, doba jednoho kmitu. 3.
Výpočet periody
ω=
2π T
⇒
4 2π π = 3 T
⇒
T =
3 s = 1,5 s 2
Perioda kmitavého pohybu je 1,5 s 4.
5.
rovnovážná poloha – výchylka y=0 cm 6 sin
4 πt = 0 3
4 π t = 0 + kπ 3
⇒ ⇒
4 πt = 0 3 3 t = ( k) s 4 sin
funkce sin je periodickou funkcí, její průběh se opakuje v určitých intervalech, toto opakování vyjadřuje konstanta kπ , k nabývá hodnot od 0 do nekonečna; oscilátor prochází během prvního kmitu rovnovážnou polohou v časech:
3 3 3 ⋅ 0 s = 0 s; t 2 = ⋅ 1 s = s = 0,75 s 4 4 4
t1 =
horní krajní poloha – výchylka y je rovna amplitudě, y = 6 cm 6 sin
4 πt = 6 3
4 π π t = + kπ 3 2
⇒ ⇒
4 πt = 1 3 3 3 t = ( + k) s 8 4 sin
během prvního kmitu se oscilátor nachází v horní krajní poloze v čase:
t1 =
3 3 3 + ⋅ 0 s = s = 0,375 s 8 4 8
dolní krajní poloha – výchylka y je rovna amplitudě, y = 6 cm
Kmitavý pohyb – řešení 4 π t = −6 3 4 3π + kπ πt = 3 2
6 sin
76
⇒ ⇒
4 π t = −1 3 9 3 t = ( + k) s 8 4 sin
během prvního kmitu se oscilátor nachází v dolní krajní poloze v čase:
t1 = 6.
9 3 9 + ⋅ 0 s = s = 1,125 s 8 4 8
výchylka y = 3 cm 6 sin
4 πt = 3 3
4 π πt = 3 6
⇒
⇒ t =
sin
4 1 πt = 3 2
1 s = 0,125 s 8
7.
Oscilátor dosahuje hodnotu okamžité výchylky y = 3 cm čtyřikrát během jedné periody, mezi polohami uplyne doba rovna jedné čtvrtině periody.
Co všechno můžeme říct o jednom okamžiku? Zápis: rovnice kmitání y = 3 sin(4π t − 1.
π 4
) cm; časy pohybu t1 = 0,02 s; t2 = 0,35
Obecná rovnice pro určení okamžité výchylky
y = y M sin(ω t + ϕ 0 ) 2.
Úhel ϕ0 který odpovídá počáteční výchylce. Určuje počáteční polohu závaží při kmitavém pohybu.
3.
Velikost počáteční fáze horní krajní poloha: ϕ 0 = + poloha:
4.
ϕ0 = 0
π 2
; dolní krajní poloha: ϕ 0 = −
π 2
; rovnovážná
Kmitavý pohyb – řešení 5.
77
Při výpočtech vycházíme ze srovnání s konkrétním zadáním: frekvence: ω = 2π f perioda: T =
1 f
⇒
⇒
2π f = 4π
T =
1 s; 2
počáteční fáze: ϕ 0 = −
⇒
obecné rovnice okamžité výchylky
f = 2 Hz ;
π 4
6.
Protože je velikost počáteční fáze záporná, nachází se závaží na začátku pohybu pod rovnovážnou polohou.
7.
čas t = 0,02 s okamžitá výchylka:
{y} = 3 sin(4π ⋅ 0,02 − π ) 4
y = −1,53 cm
okamžitá rychlost:
{v} = 3 cos(4π ⋅ 0,02 − π ) 4
v = 2,58 cm.s
-1
okamžité zrychlení:
{a} = −3(4π ⋅ 0,02)2 sin(4π ⋅ 0,02 − π ) 4
a = 0,096 cm.s − 2 8.
viz obrázek
Mechanický oscilátor – zadání
7.2
78
Mechanický oscilátor
Kolik sil způsobuje vlastní kmitání oscilátoru? Výsledná síla, která způsobuje vlastní kmitání pružinového oscilátoru, je výslednicí účinku tíhové síly působící na závaží a síly pružnosti pružiny. 1.
Nakreslete pružinový oscilátor se závažím v rovnovážné poloze. V obrázku vyznačte vektor tíhové síly, která působí na závaží, a vektor síly pružnosti pružiny.
2.
Vyjádřete vztah mezi velikostí výsledné síly působící na oscilátor a okamžitou výchylkou oscilátoru rovnicí. Popište a vysvětlete danou rovnici.
3.
Na základě své předchozí odpovědi zdůvodněte pohyb oscilátoru z horní krajní polohy směrem do dolní krajní polohy a naopak.
4.
Vyjádřete rovnicí vztah mezi periodou kmitu oscilátoru a parametry oscilátoru. Popište veličiny.
5.
Vypočítejte tuhost pružiny oscilátoru, jestliže při okamžité výchylce 4 cm působí výsledná síla o velikosti 0,06 N.
6.
Vypočítejte periodu kmitu oscilátoru, který vznikne z předcházejícího výpočtu a tělesa s hmotností 12 g.
z pružiny
s tuhostí
Co je to vlastní kmitání oscilátoru? Pokud není pohyb oscilátoru ovlivněn vnějšími silami, označujeme jeho kmity jako vlastní. 1.
Vyjádřete vztah mezi frekvencí vlastních kmitů a parametry oscilátoru rovnicí. Popište veličiny.
2.
Vyjádřete vztah mezi tuhostí pružiny oscilátoru, prodloužením pružiny a tíhovou silou působící na závaží. Popište veličiny.
3.
Vyjádřete vztah mezi tíhovou silou působící na závaží a jeho hmotností rovnicí. Popište veličiny.
4.
Vypočítejte tuhost pružiny, která se prodlouží o 10 cm, když na ni zavěsíme závaží o hmotnosti 8 kg.
5.
Vypočítejte frekvenci vlastních kmitů oscilátoru, který vznikne použitím této pružiny a závaží o hmotnosti 12,5 kg.
6.
Nakreslete oscilátor v rovnovážné poloze, horní a dolní krajní poloze. Pro každou polohu vyjádřete rovnicí vztah pro určení celkové mechanické energie. Rovnice vysvětlete.
7.
Jaké je vlastní kmitání oscilátoru? Na jaké druhy energie se přeměňuje mechanická energie oscilátoru při jeho vlastním kmitání?
Mechanický oscilátor – řešení
79
Kolik sil způsobuje vlastní kmitání oscilátoru? Zadání: okamžitá výchylka y=4 cm; výsledná síla F=0,06 N; hmotnost tělesa m=12 g=0,012 kg 1.
2.
výsledná síla F
F = −k y F – výsledná síla, která způsobuje kmitání oscilátoru; k – tuhost pružiny; y – okamžitá výchylka; znaménko minus – vektor výsledné působící síly směřuje vždy do rovnovážné polohy oscilátoru. 3.
horní krajní poloha dolní krajní poloha: velikost tíhové síly je větší než velikost síly pružnosti, vektor výsledné síla směřuje do rovnovážné polohy – závaží se pohybuje směrem dolů; dolní krajní poloha horní krajní poloha: velikost síly pružnosti je větší než velikost tíhové síly, vektor výsledné síly směřuje do rovnovážné polohy – závaží se pohybuje směrem dolů.
4.
perioda oscilátoru:
T = 2π
m k
T – perioda kmitavého pohybu oscilátoru; m – hmotnost závaží; k – tuhost pružiny. 5.
Výpočet tuhosti pružiny:
F = −k y
{k }=
⇒
k =
F y
0,06 0,04
k = 1,5 N.m-1 -1
Tuhost pružiny je 1,5 N.m . 6.
Výpočet periody oscilátoru:
{ T } = 2π
0,012 1,5
T = 0,56 s
Perioda kmitavého pohybu je 0,56 s.
Mechanický oscilátor – řešení
80
Co je to vlastní kmitání oscilátoru? Zadání: prodloužení pružiny ∆l=10 cm=0,1 m; hmotnost závaží m1=8 kg; -2 hmotnost závaží m2=12,5 kg; tíhové zrychlení g=10 m.s 1.
Frekvence vlastních kmitů:
f =
1 2π
k m
f – frekvence vlastních kmitů; k – tuhost pružiny; m – hmotnost závaží. 2.
Tíhová síla:
FG = k ∆l FG – tíhová síla, která působí na závaží; k – tuhost pružiny; ∆l – prodloužení pružiny. 3.
Tíhová síla:
FG = m g FG – tíhová síla, která působí na závaží; m – hmotnost závaží; g – tíhové zrychlení. 4.
Výpočet tuhosti pružiny:
FG = FG
{k } =
⇒
m g = k ∆l
⇒
8 ⋅ 10 0,1
k =
mg ∆l
k = 800 N.m-1 -1
Tuhost pružiny je 800 N.m . 5.
Výpočet frekvence kmitů:
{f }=
1 2π
800 12,5
f = 1,27 Hz
Frekvence kmitavého pohybu je 1,27 Hz. 6.
Celková mechanická energie:
E = EK + EP =
1 mv2 + m g y 2
EK – kinetická energie; EP – potenciální energie; v – rychlost oscilátoru; m – hmotnost závaží; y – výchylka oscilátoru. rovnovážná poloha: výchylka oscilátoru je nulová, velikost rychlosti má maximální hodnotu
⇒ E = EK =
1 mv2 2
dolní krajní poloha:
Mechanický oscilátor – řešení
81
výchylka je rovna amplitudě, velikost rychlosti má nulovou hodnotu
⇒ E = EP = m g yM
horní krajní poloha: výchylka je rovna amplitudě, velikost rychlosti má nulovou hodnotu
⇒ E = EP = m g yM
7.
Vlastní kmitání oscilátoru je vždy tlumené. Mechanická energie se mění na jiné druhy energie, vlivem tření a odporu prostředí.
Elektrický náboj
8
82
Elektrický náboj
Přehled −
K popsání elektrických vlastností těles používáme fyzikální veličinu elektrický náboj Q. Jeho jednotkou je coulomb C. Nejmenší kladný náboj je náboj jednoho protonu. Nazýváme ho elementární elektrický náboj e = -19 C. Náboj elektronu je –e. 1,6.10
−
Počet protonů a elektronů v atomu je stejný, atom je elektricky neutrální. Pokud se elektron z atomu uvolní, stává se volným elektronem. Volný elektron se může přemisťovat v tělese i mezi jinými tělesy.
−
Má-li těleso více protonů než elektronů, je kladně zelektrované, má-li méně protonů je zelektrováno záporně. Zelektrovaná tělesa na sebe působí přitažlivými nebo odpudivými silami. Pro jejich velikost platí Coulombův zákon.
−
V okolí zelektrovaného tělesa je elektrické pole. Elektrické pole charakterizují dvě fyzikální veličiny, vektorová veličina intenzita elektrického pole a skalární veličina elektrický potenciál. Rozdíl potenciálů mezi dvěma body elektrického pole nazýváme elektrické napětí
−
Elektrické pole působí na vodič i na izolant. Ve vodiči se volné náboje přemisťují, dochází k elektrostatické indukci. V případě izolantu dochází k uspořádání molekul, hovoříme o polarizaci.
−
Schopnost vodiče pojmout při určitém napětí elektrický náboj nazýváme kapacita vodiče C. Její jednotkou je farad F.
−
Kapacita osamoceného vodiče je malá, proto sdružujeme vodiče do soustav zvaných kondenzátor. V technické praxi se používají různé druhy kondenzátorů.
Klíčová slova −
elektrický náboj; atom; elektron; zelektrované těleso; coulomb; elektrické pole; intenzita elektrického pole; elektrický potenciál; elektrické napětí; elektrická siločára; vodič; izolant; kapacita vodiče; farad; kondenzátor.
Elektrické pole – zadání
8.1
83
Elektrické pole
Co nám vytváří obrazy na televizní obrazovce Elektronový paprsek v televizní obrazovce je tvořen elektrony, které svoji rychlost získají v homogenním elektrickém poli. 1.
Nakreslete homogenní elektrické pole mezi dvěma elektricky nabitými deskami. Vyznačte v obrázku polaritu desek, elektrické siločáry a vektor intenzity elektrického pole
2.
Na elektron umístěný při záporně nabité desce působí elektrická síla. Vyznačte vektor této síly do obrázku. Jakým směrem a jakým pohybem se bude elektron pohybovat.
3.
Vyjádřete vztah mezi velikostí elektrické síly, hmotností protonu a jeho zrychlením rovnicí. Popište veličiny. Který fyzikální zákon použijete k vyjádření vztahu?
4.
Vyjádřete vztah mezi zrychlením, rychlostí elektronu a časem jeho pohybu.
5.
Vyjádřete vztah mezi velikostí elektrické síly a intenzitou elektrického pole rovnicí. Popište veličiny.
6.
Vypočítejte rychlost pohybu elektronu za 10 s, jestliže intenzita elektrického -1 -31 -19 kg, jeho náboj je 1,6.10 pole je 11,4 V.m . Hmotnost elektronu je 9,1.10 C.
-4
Elektrické pole – řešení
84
Co nám vytváří obrazy na televizní obrazovce? Zápis: čas pohybu elektronu t = 10 −4 s ; intenzita elektrického pole
E = 11 ,4 V .m −1 ; hmotnost elektronu m = 9 ,1.10 −31 kg ; náboj elektronu Q = 1 ,6.10 −19 C 1.
2.
Elektron se pohybuje rovnoměrně zrychleně od záporně nabité desky směrem ke kladně nabité desce. Působí na něj elektrické síla.
3.
Elektrická síla a hmotnost
FE = m a FE – elektrická síla; m – hmotnost elektronu; a – zrychlení elektronu. K vyjádření vztahu použijeme 2. Newtonův pohybový zákon. 4.
Zrychlení elektronu a=
v t
a – zrychlení elektronu; v – rychlost elektronu; t – čas pohybu. 5.
Elektrická síla a intenzita elektrického pole
FE = E Q FE – elektrická síla; E – intenzita elektrického pole; Q – náboj částice. 6.
Rychlost elektronu
FE = FE m
⇒
v = EQ t
ma = E Q ⇒
v=
E Qt m
−19
−4
{ v } = 11 ,4 ⋅ 1 ,6.10 -31 ⋅ 10 9,1.10
8
v = 2.10 m.s −1 8
-1
Rychlost elektronu při pohybu v homogenním elektrickém poli je 2.10 m.s .
Elektrické napětí – zadání
8.2
85
Elektrické napětí
Může se elektrický náboj v elektrickém poli vznášet? Pod mikroskopem pozorujeme pohyb kladně nabitých olejových v homogenním elektrickém poli mezi dvěma vodorovnými deskami.
kapek
1.
Nakreslete situaci tak, že horní deska je nabita záporně, spodní deska je nabita kladně. Do obrázku zakreslete vektory sil, které na olejovou kapku v dané situaci působí.
2.
Vyjádřete vztah mezi velikostí tíhové síly působící na kapku a hmotností kapky rovnicí. Popište veličiny.
3.
Vyjádřete vztah mezi velikostí elektrické síly působící na olejovou kapku a intenzitou homogenního elektrického pole rovnicí. Popište veličiny.
4.
Vyjádřete vztah mezi velikostí intenzity elektrického pole a elektrickým napětím mezi dvěma body pole ve vzdálenosti d rovnicí. Popište veličiny.
5.
Jaká výsledná síla bude působit na olejovou kapku, když budou obě síly stejně velké? Zapište vztah rovnicí. V jakém pohybovém stavu se bude kapka nacházet?
6.
Jak velký elektrický náboj má kapka s hmotností 6,4.10 kg, když se nachází mezi dvěma deskami vzdálenými 1 cm. Mezi deskami je napětí 400 V.
-16
Elektrické napětí – řešení
86
Může se elektrický náboj v elektrickém poli vznášet? Zápis: hmotnost olejové kapky m = 6 ,4.10 −16 kg ; vzdálenost desek
d = 10 −2 m ; napětí mezi deskami U = 400 V ; tíhové zrychlení g = 10 m.s −2 1.
2.
Tíhová síla
FG = m g FG – tíhová síla, která působí na kapku; m – hmotnost olejové kapky; g – tíhové zrychlení. 3.
Elektrická síla
FE = E Q FE – elektrická síla, která působí na kapku; E – intenzita elektrického pole; Q – elektrický náboj kapky. 4.
Intenzita elektrického pole
E =
U d
E – intenzita elektrického pole; U – elektrické napětí mezi dvěma body elektrického pole; d – vzdálenost dvou bodů pole. 5.
Pokud bude velikost tíhové síly působící na kapku stejná jako velikost působící elektrické síly, bude jejich výslednice nulová. Vektory sil mají opačný směr. Kapka oleje bude v klidu.
6.
Elektrický náboj olejové kapky
FE = FG E Q = mg Q=
U Q = mg d
⇒
mgd U
{ Q } = 6 ,4.10
−16
⋅ 10 ⋅ 10 −2 400
Q = 1 ,6.10 −19 C Náboj olejové kapky je 1,6.10
-19
C.
Vodič a izolant – zadání
8.3
87
Vodič a izolant
Proč se změní kapacita kondenzátoru, když vyměníme dielektrikum? Dielektrikum (izolant) se v elektrickém poli polarizuje.
1.
Nakreslete homogenní elektrické pole mezi dvěma nabitými deskami. Vyznačte polaritu desek a směr vektoru intenzity elektrického pole.
2.
Dokreslete do obrázku izolant vložený do elektrického pole. Jak ovlivňuje elektrické pole atomy, molekuly izolantu?
3.
Ovlivní nějak vložený izolant vnější elektrické pole? Svoje tvrzení zdůvodněte.
4.
Co vyjadřuje látková konstanta relativní permitivita?
5.
Vyjádřete rovnicí vztah mezi kapacitou deskového kondenzátoru, obsahem plochy jeho desek a vzdáleností desek. Popište veličiny.
6.
Vzduchový deskový kondenzátor má kapacitu 5 pF. Vypočítejte jeho kapacitu, jestliže prostor mezi deskami vyplníme sklem s relativní permitivitou εr = 6.
7.
Velikost intenzity elektrického pole vzduchového kondenzátoru je 6 kV.m . Jak se změní její velikost při použití skla?
-1
Vodič a izolant – řešení
88
Proč se změní kapacita kondenzátoru, když vyměníme dielektrikum? Zápis: kapacita kondenzátoru C = 5 pF = 5.10 −12 F ; intenzita elektrického pole
E = 6 kV.m −1 1.
2.
V izolantu (dielektriku) se nositelé nábojů nemohou volně pohybovat. Dochází k deformaci elektronových obalů atomů, molekul. Z atomů vznikají elektrické dipóly, které jsou orientovány stejným směrem.
3.
Vložení izolantu způsobí zeslabení vnějšího elektrického pole. Uvnitř izolantu vzniká vnitřní elektrické pole, které působí proti vnějšímu elektrickému poli.
4.
Relativní permitivita charakterizuje vliv dielektrika na vnější elektrické pole. Čím je relativní permitivita dielektrika větší, tím menší je intenzita výsledného elektrického pole dielektrika.
5.
Kapacita deskového kondenzátoru C = ε0 εr
S d
C – kapacita kondenzátoru; ε0 – permitivita vakua; εr – relativní primitivita; S – obsah účinné plochy desek; d – vzdálenost desek. 6.
Protože velikost plochy desek i jejich vzdálenost zůstává stejná, závisí kapacita kondenzátoru se sklem na relativní permitivitě skla. Její hodnota je přibližně šestinásobek hodnoty relativní permitivity vzduchu.
7.
Kapacita kondenzátoru se sklem bude proto šestinásobek kapacity vzduchového kondenzátoru, tj. 30 pF.
8.
Velikost intenzity je tím menší, čím větší je relativní permitivita dielektrika. Intenzita elektrického pole kondenzátoru se sklem bude šestkrát menší než intenzita elektrického pole vzduchového kondenzátoru. Její hodnota bude -1 přibližně 1 kV.m .
Elektrický proud
9
89
Elektrický proud
Přehled −
Elektrický proud je usměrněný pohyb volných částic s nábojem. V kovových vodičích se jedná o volné elektrony. Podstatu vzniku elektrického proud vysvětluje elektronová teorie.
−
Vodičem prochází elektrický proud, je-li přítomno elektrické pole. Toho dosáhneme připojením vodiče ke zdroji napětí.
−
Fyzikální veličina elektrický proud I je určena velikostí elektrického náboje, který projde průřezem vodiče za jednotku času. Jednotkou elektrického proudu je ampér.
−
Každý vodič klade průchodu elektrického proudu odpor. Fyzikální veličina, která charakterizuje odpor vodiče je elektrický odpor R. Elektrický odpor závisí na délce vodiče, na obsahu jeho průřezu a na materiálu vodiče. Jednotkou elektrického odporu je ohm.
−
Jednoduchý elektrický obvod je tvořen zdrojem napětí, spojovacími vodiči, spínači a elektrickými spotřebiči. Obvody zakresluje do schémat pomocí schematických značek.
−
Důležitým zákonem elektrických obvodů je Ohmův zákon. Tento zákon říká, že proud procházející rezistorem je přímo úměrný napětí. Rezistory v elektrických obvodech spojujeme sériově nebo paralelně.
−
U elektrických spotřebičů udáváme jejich práci, příkon, účinnost a výkon. U tepelných spotřebičů pomocí Joulova-Lenzova zákona určujeme teplo, které spotřebič odevzdá.
Klíčová slova −
částice s nábojem; volné elektrony; elektrický proud; ampér; zdroj napětí; spotřebič; spojovací vodič; elektrický odpor; rezistor; rezistivita; Ohmův zákon; paralelní spojení; sériové spojení; práce elektrického proudu; teplo; Joule-Lenzův zákon; výkon spotřebiče; příkon spotřebiče.
Elektrický proud – zadání
9.1
90
Elektrický proud
Co způsobují volné elektrony v látce? V kovových vodičích jsou pohyblivými částicemi s elektrickým nábojem volné elektrony 1.
Nakreslete schematicky kovový vodič s elektrickým proudem, vyznačte v něm několik volných elektronů.
2.
Do obrázku dokreslete směr elektrického proudu a směr pohybu volných elektronů. Vysvětlete rozdíl.
3.
Vyjádřete vztah mezi celkovým nábojem, který projde průřezem vodiče za určitý čas, a nábojem jednoho elektronu rovnicí. Popište veličiny.
4.
Vyjádřete vztah mezi elektrickým proudem ve vodiči, celkovým nábojem, který projde průřezem vodiče, a časem rovnicí. Popište veličiny.
5.
Vypočítejte, kolik elektronů prošlo průřezem vodiče, když jím prošel náboj 48 C za 2 minuty.
6.
Vypočítejte velikost elektrického proudu, který prochází vodičem za těchto podmínek.
7.
Rychlost volných elektronů v kovovém vodiči je přibližně 10 m.s . Přesto zapneme-li vypínačem žárovku osvětlení v místnosti, žárovka se okamžitě rozsvítí. Vysvětlete proč.
-5
-1
Elektrický proud – řešení
91
Co způsobují volné elektrony v látce? Zápis: náboj Q = 48 C ; čas průchodu t = 2 min = 120 s ; rychlost elektronů
v = 10 −5 m.s −1
1.
2.
Viz obrázek. Elektrony mají záporný náboj, pohybují se proto ve směru od záporného pólu zdroje ke kladnému pólu. Technický směr elektrického proudu byl stanoven opačně.
3.
Celkový náboj, který projde průřezem vodiče
Q = nq Q – celkový náboj, který projde průřezem vodiče; n – počet elektronů, které projdou průřezem vodiče; q – náboj jednoho elektronu 4.
Elektrický proud
I=
Q t
I – elektrický proud protékající vodičem; Q – celkový náboj, který projde průřezem vodiče; t – čas 5.
Počet elektronů n=
Q q
{n}=
48 1 ,6.10 −19
n = 3.10 2O elektronů
6.
Výpočet velikosti elektrického proudu 48 120 I = 0 ,4 A
{ I }= 7.
Na volné elektrony působí elektrické pole, které se šíří rychlostí světla, tzn. rychlostí 8 -1 c = 3.10 m.s . Proto jsou v celé délce vedení uvedeny volné elektrony do uspořádaného pohybu téměř současně.
Elektrický odpor – zadání
9.2
92
Elektrický odpor
Proč je elektrický odpor „odpor“? Elektrický odpor je fyzikální veličina, která charakterizuje vlastnosti látky z hlediska jejich schopností vést elektrický odpor. 1.
Nakreslete schematicky kovový vodič, nakreslete v něm několik kladných zbytků atomů v krystalové mřížce a volných elektronů. Vysvětlete podstatu elektrického odporu vodiče.
2.
Jak závisí elektrický odpor na vlastnostech vodiče? Vyjádřete vztah pomocí rovnice. Popište veličiny.
3.
Vypočítejte průřez měděného drátu, který potřebujete na vybudování elektrického vedení se dvěma vodiči o délce 5 km. Odpor vedení nesmí překročit -8 hodnotu 5 Ω. Rezistivita mědi je 1,8.10 Ω.m.
4.
Vyjádřete rovnicí vztah mezi hmotností tělesa, jeho objemem a hustotou látky, ze které je těleso. Popište veličiny.
5.
Vypočítejte hmotnost mědi potřebné pro uvedené elektrické vedení, hustota 3 -3 mědi je 8,9.10 kg.m
6.
Jak závisí elektrický odpor vodiče na jeho teplotě? Svoje tvrzení zdůvodněte. Vyjádřete vztah mezi elektrickým odporem vodiče a změnou jeho teploty rovnicí. Popište veličiny.
7.
Rezistory pro stejné hodnoty elektrického odporu jsou vyráběny v nejrůznějších provedeních, od drobných až po poměrné velké. Vysvětlete tyto velikostní rozdíly.
Elektrický odpor – řešení
93
Proč je elektrický odpor „odpor“? Zápis: délka vodičů l = 10 km = 10 4 m ; odpor vedení R = 5 Ω ; rezistivita mědi ρ = 1 ,8.10 −8 Ω .m ; hustota mědi ρ = 8 ,9.103 kg.m −3 1.
Usměrněný pohyb volných elektronů ve vodiči tvoří elektrický proud. Při tomto pohybu narážejí elektrony do kladných zbytků atomů i do sebe navzájem. Jejich pohyb se zpomaluje. Říkáme, že vodič klade elektrickému proudu odpor. Odpor vodiče charakterizuje fyzikální veličina elektrický odpor. 2.
Elektrický odpor vodiče závisí přímo úměrně na délce vodiče, nepřímo úměrně na obsahu jeho průřezu a také na vlastnostech látky, ze které je vodič zhotoven. Tuto závislost vyjadřuje fyzikální veličina rezistivita.
R=ρ
l S
R – elektrický odpor vodiče; ρ - rezistivita; l – délka vodiče; S – obsah průřezu vodiče 3.
Průřez vodiče S=ρ
l R
{ S } = 1 ,8.10 −8 ⋅ 10
4
5
S = 3 ,6.10 −5 m2
4.
Vodiče mají tvar válce.
m = ρV = ρ Sl m – hmotnost vodiče; ρ - hustota látky, ze které je vodič zhotoven; S – obsah průřezu vodiče; l – délka vodiče 5.
Hmotnost vodičů
m = ρSl
{ m } = 8 ,9.10 3 ⋅ 3 ,6.10 −5 ⋅ 10 4 m = 3 204 kg 6.
Se zvyšující se teplotou se zvyšuje elektrický odpor vodiče.
R = R0 ( 1 + α ∆ t
)
R0 – elektrický odpor při počáteční teplotě; R – elektrický odpor při konečné teplotě; ∆t – rozdíl mezi konečnou a počáteční teplotou; α - teplotní součinitel odporu. 7.
Při větším proudovém zatížení se může malinký rezistor silně zahřát a poškodit elektrické zařízení. Větší rezistor se tolik nezahřeje, může snadněji část tepla vyzářit do okolí.
Ohmův zákon – zadání
9.3
94
Ohmův zákon
Proč prochází startérem automobilu velký proud? Při nastartování automobilu musí startérem procházet poměrně velký elektrický proud, aby se protočil motor automobilu. 1.
Co je zdrojem elektrického proudu při startování automobilu?
2.
Z kterých částí se skládá uzavřený elektrický obvod? Nakreslete jednoduchý elektrický obvod, ve kterém bude startér automobilu představovat spotřebič s elektrickým odporem.
3.
Které části tvoří výsledný odpor uzavřeného elektrického obvodu?
4.
Vyjádřete rovnicí vztah mezi elektromotorickým napětím zdroje a elektrickým proudem v uzavřeném obvodu. Jak se tato závislost nazývá, popište veličiny.
5.
Vypočítejte elektrický odpor startéru automobilu, jestliže jím po sepnutí obvodu protéká proud 120 A. Elektrický zdroj má elektromotorické napětí 10 V a vnitřní odpor 0,06 Ω.
6.
Vysvětlete, co znamená, když v elektrickém obvodu nastane zkrat. Jak velký elektrický proud by za této situace procházel obvodem se zdrojem z daného automobilu.
7.
Při startování automobilu může na chvíli přestat hrát autorádio nebo pohasnou žárovky v zapnutých reflektorech. Vysvětlete proč.
Ohmův zákon – řešení
95
Proč prochází startérem automobilu velký proud? Zápis: elektrický proud I = 120 A ; elektromotorické napětí UE = 10 V ; vnitřní odpor zdroje Ri = 0 ,06 Ω 1.
Zdrojem elektrického proudu je autobaterie.
2.
Uzavřený elektrický obvod tvoří zdroj elektrického napětí, spotřebič, spojovací vodiče.
3.
Výsledný odpor tvoří odpor spotřebiče a vnitřní odpor zdroje.
4.
Elektromotorické napětí
UE = I ( RS + Ri
)
Proud procházející obvodem je přímo úměrný napětí, závislost se nazývá Ohmův zákon pro celý obvod. UE – elektromotorické napětí; I – proud protékající obvodem; RS – odpor spotřebiče; Ri – vnitřní odpor zdroje. 5.
Elektrický odpor startéru Ue − I R i I 10 − 120 ⋅ 0 ,06 { RS } = 120 RS = 0 ,02 Ω RS =
6.
Jestliže v obvodu propojíme protilehlé spojovací vodiče např. krátkým měděným drátem, viz obr.
Při tomto spojení nakrátko, zkratu klesá odpor RS téměř na nulu. Obvodem protéká zkratový elektrický proud IZ.
IZ =
Ue Ri
10 0 ,06 I Z = 167 A
{ IZ } = 7.
Velkým odběrem elektrického proudu z autobaterie se prudce sníží svorkové napětí autobaterie.
Zdroje napětí – zadání
9.4
96
Zdroje napětí
Můžeme použít zdroj s vyšším elektromotorickým napětím? Na baterii kapesní svítilny je uvedeno elektromotorické napětí 4,5 V, na žárovce 3,5 V. 1.
Nakreslete jednoduchý a spojovacími vodiči.
elektrický
obvod
s baterkou, žárovkou,
vypínačem
2.
Jaké napětí ukáže voltmetr připojený na nezatížený elektrický zdroj?
3.
Jaké napětí ukáže voltmetr připojený na zatížený elektrický zdroj? Jak se nazývá rozdíl těchto napětí. Zapište pomocí rovnice.
4.
Které fyzikální veličiny charakterizují vnější a vnitřní část elektrického obvodu? Vyjádřete vztah mezi nimi rovnicí.
5.
Vypočítejte svorkové napětí zdroje s elektromotorickým napětím 4,5 V, jestliže obvodem se žárovkou s odporem 4 Ω protéká proud 0,8 A. Výsledek vysvětlete. Můžeme připojit žárovku v zadání úlohy na zmíněnou baterii?
6.
Pro lidský organismus je nebezpečný již proud od 25 mA. Je nebezpečné dotýkat se uvnitř dané kapesní svítilny vodičů s proudem?
Zdroje napětí – řešení
97
Můžeme použít zdroj s vyšším elektromotorickým napětím. Zápis: elektromotorické napětí UE = 4 ,5 V ; napětí žárovky U = 3,5 V ; odpor žárovky R = 4 Ω ; proud protékající žárovkou I = 0 ,8 A 1.
2.
Pokud připojíme voltmetr k nezatíženému zdroji, změříme elektromotorické napětí Ue. V našem případě je jeho hodnota 4,5 V.
3.
Pokud měříme napětí v obvodu se zatíženým zdrojem změříme svorkové napětí U, které je menší než elektromotorické napětí. V našem případě je to 3,5 V. Rozdíl mezi elektromotorickým napětím a svorkovým napětím značíme Ui, je to napětí na vnitřním odporu zdroje.
Ui = UE − U 4.
Vnější část obvodu: U – svorkové napětí; R – odpor spotřebiče (žárovky) a spojovacích vodičů; I – proud procházející obvodem. Vnitřní část obvodu: Ui – napětí na vnitřním odporu zdroje; Ri – vnitřní odpor zdroje; I – proud procházející obvodem. UE = U + Ui
5.
UE = R I + Ri I
Svorkové napětí
U = RI { U } = 4 ⋅ 0 ,8 U = 3 ,2 V Svorkové napětí je menší než elektromotorické napětí. Úbytek napětí vzniká na vnitřním odporu zdroje. Žárovku můžeme připojit ke zmíněné baterii, protože hodnota svorkového napětí je menší než hodnota napětí uvedená na žárovce. 6.
Ne. Proud prochází ve svítilně obvodem s malým elektrickým odporem. Lidské tělo má mnohem větší odpor, až několik kΩ, procházel by jím velmi malý proud.
Spojování rezistorů – zadání
9.5
98
Spojování rezistorů
Zapojujeme obvody Na obrázku jsou zapojeny tři rezistory o hodnotách R1 = 3Ω; R3 = 30 Ω
R2 = 20Ω;
1.
Jak nazýváme zapojení rezistorů, které je označeno kruhem? Co platí pro velikost elektrického proudu a elektrického napětí při tomto zapojení?
2.
Vyjádřete vztah pro určení celkového odporu tohoto zapojení rovnicí.
3.
Vypočítejte velikost tohoto odporu.
4.
Na jaké zapojení se nám zjednoduší původní obvod, jestliže rezistory s odpory R2 a R3 nahradíme rezistorem s výsledným odporem? Co platí pro velikost elektrického proudu a elektrického napětí v tomto případě? Zapojení nakreslete.
5.
Vyjádřete vztah pro určení výsledného odporu zjednodušeného zapojení.
6.
Vypočítejte velikost celkového odporu.
7.
Vyjádřete vztah mezi elektrickým proudem procházejícím obvodem a napětím na svorkách rovnicí. Popište veličiny.
8.
Jaký zákon vyjadřuje jejich vztah. Zákon stručně formulujte.
9.
Vypočítejte celkový proud, který protéká vodičem, jestliže je připojen ke zdroji napětí 18 V.
Spojování rezistorů – řešení
99
Zapojujeme obvody Zápis: hodnoty odporů rezistorů R1 = 3 Ω
R2 = 20 Ω U = 18 V
1.
2.
R3 = 30 Ω ; napětí zdroje
Označené zapojení rezistorů nazýváme paralelní. Pro tento druh zapojení platí:
proud v nerozvětvené části obvodu je roven součtu proudů ve větvích;
v obvodu je mezi dvěma uzly stálé napětí.
Celkový odpor paralelního zapojení RP =
R ⋅R 1 1 + = 2 3 R2 R3 R2 + R3
RP – výsledný odpor paralelního zapojení 3.
Výpočet velikosti odporu RP 20 ⋅ 30 20 + 30 RP = 12 Ω
{ RP } =
Velikost celkového odporu označené části je 12 Ω. 4.
5.
Původní obvod se zjednoduší na sériové zapojení rezistorů s odpory R1 a RP. Pro toto zapojení platí:
celým obvodem protéká stejný proud;
celkové napětí na krajních jednotlivých rezistorech.
svorkách
je
rovno
součtu
napětí
na
Celkový odpor obvodu R = R1 + Rp
R – celkový odpor obvodu 6.
Výpočet velikosti celkového odporu R = R1 + Rp
{ R} = 3 + 12 RP = 15 Ω
7.
Vztah mezi napětím a proudem U=RI
I=
U R
U – elektrické napětí na svorkách; I – elektrický proud procházející obvodem; R – celkový elektrický odpor obvodu 8.
Ohmův zákon. Proud procházející rezistorem je přímo úměrný napětí na rezistoru.
9.
Výpočet celkového proudu
{ I } = 18
15 I = 1 ,2 A
Práce a výkon elektrického proudu – zadání
9.6
100
Práce a výkon elektrického proudu
Vždy, když zapomeneme zhasnout žárovku, tak nás to něco stojí. Občas se stává, že při odchodu z domova zapomeneme někde zhasnout. Na svítící žárovce je napsán údaj 75 W. 1.
Vysvětlete, co napsaný údaj znamená.
2.
Vyjádřete vztah mezi příkonem žárovky, spotřebovanou energií a časem rovnicí. Popište veličiny.
3.
Vypočítejte hodnotu spotřebované energie, jestliže žárovka svítila zbytečně 18 hodin.
4.
Spotřeba elektrické energie se udává v kWh. Uveďte převodní vztah mezi jednotkami energie joule a kWh. Vypočítanou hodnotu energie převeďte.
5.
Vypočítejte, kolik zaplatíte za zbytečné svícení, jestliže 1 kWh stojí přibližně 5,2 Kč.
6.
Vyjádřete vztah pro určení potenciální energie tělesa rovnicí. Popište veličiny.
7.
Vypočítejte, kolik lidí o hmotnosti 75 kg by mohlo vyjet s využitím zbytečně prosvícené energie do výšky 30 m. Účinnost výtahu je 80%.
Vodič a teplo – zadání
101
Vždy, když zapomeneme zhasnout žárovku, tak nás to něco stojí. Zápis: příkon žárovky P0 = 75 W ; čas svícení t = 18 h = 64 800 s ; hmotnost člověka mč = 75 kg ; výška výjezdu h = 30 m ; účinnost výtahu 1.
Napsaný údaj udává příkon žárovky. Velikost dodané energie za sekundu.
2.
Příkon žárovky P0 =
E t
P0 – příkon žárovky; E – dodaná energie; t – doba svícení 3.
Hodnota spotřebované energie E = P0 t
{ E } = 75 ⋅ 64 800 E = 4 ,86.10 6 J 6
Během zbytečného svícení žárovka spotřebovala 4,86.10 J energie. 4.
Převodní vztah mezi jednotkami 1 kWh = 3 ,6.10 6 J
Převod výsledku 4 ,86.10 6 J = 1,35 kWh
5.
Kolik zaplatíme 1,35 kWh = 1,35 ⋅ 5,2 Kč = 7 Kč
6.
Potenciální energie EP = m g h
EP – potenciální energie; m – hmotnost tělesa; h – výška, do které těleso zvedáme; g – tíhové zrychlení 7.
Kolik lidí můžeme vyvézt m=
η EP gh
{ m } = 0 ,8 ⋅ 4 ,86.10
6
10 ⋅ 30 m = 12 960 kg
počet lidí =
12 960 = 173 75
Výtahem by vyjelo 173 lidí přibližně do 10. patra.
Vodič a teplo – zadání
9.7
102
Vodič a teplo
Jaká je účinnost elektrického vařiče? Když ohříváme vodu rychlovarnou konvicí, nastává v konvici přeměna energie a mezi konvicí a vodou výměna energie . . . 1.
K jaké přeměně energie dochází v topné spirále rychlovarné konvice a k jaké výměně mezi vodou a spirálou?
2.
Vyjádřete vztah mezi teplem přijatým vodou při ohřívání, hmotností vody a změnou teploty vody rovnicí. Popište veličiny.
3.
Vyjádřete vztah mezi hustotou látky, hmotností tělesa a jeho objemem rovnicí. Popište veličiny.
4.
Vypočítejte velikost tepla, které musí přijmout voda o objemu 2 l, jestliže se -1 -1 ohřeje z 20 °C na 100 °C. Měrná tepelná kapacita vody je 4 200 J.kg .K .
5.
Vyjádřete vztah mezi výkonem rychlovarné konvice, přijatým teplem a časem rovnicí. Popište veličiny.
6.
Jaký je výkon rychlovarné konvice, jestliže se voda ohřeje za uvedených podmínek za 4,5 minuty.
7.
Vyjádřete vztah mezi účinností konvice, jejím příkonem a jejím výkonem. Popište veličiny.
8.
Vypočítejte účinnost rychlovarné konvice, jestliže je její příkon 3 000 W.
9.
Vysvětlete, kde se spotřebuje energie, která chybí do 100% účinnosti vařiče.
Vodič a teplo – řešení
103
Jaká je účinnost elektrického vařiče? Zápis: objem vody V = 2.10 −3 m3 ; hustota vody ρ = 10 3 kg.m −3 počáteční teplota T1 = 20 °C ; konečná teplota T2 = 100 °C ; měrná tepelná kapacita
c = 4200 J.kg −1.K −1 ; doba ohřevu t = 270 s ; příkon konvice P0 = 3000 W 1.
Kinetická energie volných elektronů, které tvoří elektrický proud, se přemění na vnitřní energii topné spirály varné konvice. Spirála se ohřívá a předává teplo vodě.
2.
Vztah pro teplo přijaté vodou Q = m c ( T2 − T1
)
Q – teplo přijaté vodou; m – hmotnost ohřívané vody; c – měrná tepelná kapacita vody; T1 – počáteční teplota vody; T2 – konečná teplota vody 3.
Vztah pro hustotu látky
ρ=
m V
⇒
m=ρV
ρ - hustota látky; m – hmotnost tělesa; V – objem tělesa 4.
Velikost tepla Q = m c ( T2 − T1 ) = ρ V c ( T2 − T1
)
{ Q } = 10 3 ⋅ 2.10 −3 ⋅ 4200 ⋅ ( 100 − 20 ) Q = 672 000 J
Voda při ohřevu přijme 672 000 J tepla. 5.
Výkon rychlovarné konvice P=
Q t
P – výkon rychlovarné konvice; Q – teplo, které voda přijme; t – doba ohřívání vody 6.
Výpočet výkonu konvice
{ P } = 672 000 270 P = 2 490 W
Výkon konvice je 2 490 W. 7.
Účinnost rychlovarné konvice
η=
P P0
η - účinnost rychlovarné konvice; P – výkon konvice; P0 – příkon konvice 8.
Výpočet účinnosti konvice
{ η } = 2 490
3 000 η = 0 ,83 = 83 %
Účinnost rychlovarné konvice je 83%. 9.
Rychlovarná konvice spotřebovává při práci část energie, např. při překonání tření vnitřních součástek. Zařízení tedy pracuje se ztrátou, proto je účinnost menší než 100%.
Magnetické pole
104
10 Magnetické pole Přehled −
Magnetické pole existuje kolem trvalých magnetů, ale i kolem vodičů s proudem. Magnetické pole si znázorňujeme pomocí magnetických indukčních čar. Indukční čáry jsou uzavřené křivky. Jejich orientaci určíme Ampérovým pravidlem pravé ruky.
−
Vlastnosti magnetického pole charakterizuje vektorová fyzikální veličina magnetická indukce. Její vektor je rovnoběžný s tečnou indukční čáry a směr shodný s orientací indukční čáry.
−
Na vodič s proudem umístěný v magnetickém poli působí pole magnetickou silou. Směr jejího působení určíme Flemingovým pravidlem levé ruky.
−
Magnetická síla působí na pohybující se částici s nábojem. Pokud je vektor její rychlosti kolmý na vektor magnetické indukce, působí magnetická síla jako dostředivá síla a zakřivuje trajektorii částice. Částice se pohybuje rovnoměrným pohybem po kružnici.
−
Magnetické pole působí na různé látky různě. Některé slabě přitahuje, některé slabě odpuzuje, některé silně přitahuje. Tuto vlastnost vyjadřuje fyzikální veličina permeabilita.
−
Měnící se, nestacionární magnetické pole vyvolává ve vodiči indukované napětí. Pokud je vodič zapojen do uzavřeného elektrického obvodu, začne jím protékat elektrický proud. Velikost indukovaného napětí určuje Faradayův zákon elektromagnetické indukce, směr indukovaného proudu je dán Lenzovým pravidlem.
−
Vlastní indukce popisuje vznik indukovaného napětí ve vodiči při změně vlastního magnetického pole, které vytváří elektrický proud procházející vodičem. Vlastnosti vodiče z hlediska vlastní indukce charakterizuje fyzikální veličina indukčnost.
Klíčová slova −
magnet; magnetické pole; magnetická indukční čára; homogenní magnetické pole; magnetická indukce; permeabilita prostředí; magneticky měkké látky; magneticky tvrdé látky; ferity; elektromagnetická indukce; vlastní indukce; indukčnost.
Magnety – zadání
105
10.1 Magnety
Jaké je magnetické pole přímého vodiče s proudem? Magnetické pole v okolí přímého vodiče s proudem můžeme nakreslit pomocí magnetických indukčních čar. 1.
Nakreslete magnetické pole magnetických indukčních čar.
v okolí
přímého
vodiče
s proudem
pomocí
2.
Jaký směr má vektor indukce v okolí přímého vodiče s proudem vzhledem k magnetickým indukčním čarám? Dokreslete vektor magnetické indukce do libovolného místa pole.
3.
Vyjádřete vztah mezi velikostí indukce magnetického pole přímého vodiče, velikostí proudu a vzdáleností vektoru indukce od vodiče. Popište veličiny.
4.
Vypočítejte velikost indukce magnetického pole přímého vodiče, kterým teče elektrický proud 20 A v kolmých vzdálenostech 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm.
5.
Vyjádřete vztah mezi velikostí indukce magnetického pole a kolmou vzdáleností od vodiče grafem.
6.
Jak se mění velikost indukce magnetického pole s rostoucí vzdáleností od vodiče?
Magnety – řešení
106
Jaké je magnetické pole přímého vodiče s proudem? Zápis: elektrický proud I = 20 A ; permeabilita prostředí µ = 4 π .10 −7 N . A -2 kolmé vzdálenosti
d1 = 5.10 -2 m; d2 = 10 -1 m; d3 = 15.10 -2 m;
d 4 = 20.10 -2 m
1.
2.
Vektor magnetické indukce je kolmý na magnetické indukční čáry, ve směru tečny
3.
Magnetická indukce
B=
µ I 2π d
B – vektor magnetické indukce; I – proud procházející vodičem; d – délka vodiče; µ – permeabilita prostředí, konstanta, která vyjadřuje vlastnosti prostředí 4.
Velikost indukce
B =
µ I 4π ⋅ 10 −7 20 4 ⋅ 10 −6 = = 2π d 2π d d
{ B1 } =
4 ⋅ 10 − 6 0,05
B1 = 8 ⋅ 10 − 5 T
{ B3 } =
4 ⋅ 10 − 6 0,15
B3 = 2,7 ⋅ 10 − 5 T
{ B2 } =
4 ⋅ 10 − 6 0,1
{ B4 } =
4 ⋅ 10 − 6 0,2
B2 = 4 ⋅ 10 − 5 T B4 = 2 ⋅ 10 − 5 T
5.
Graf závislosti magnetické indukce na kolmé vzdálenosti od vodiče
6.
Velikost magnetické indukce s rostoucí vzdáleností od vodiče klesá. Velikost magnetické indukce je nepřímo úměrná kolmé vzdálenosti od vodiče.
Magnetická síla – zadání
107
10.2 Magnetická síla
Může se vodič s proudem vznášet? Na vodič s proudem v magnetickém poli působí tíhová a magnetická síla. Při vhodné volbě umístění magnetických pólů a vhodném směru proudu se mohou tyto síly vyrušit 1.
Nakreslete homogenní magnetické pole mezi dvěma póly. Dokreslete vložený přímý vodič s proudem tak, aby magnetická síla směřovala svisle vzhůru.
2.
Vyznačte vektory všech sil, které na vodič působí. (Odpor prostředí zanedbejte)
3.
Vyjádřete vztah mezi tíhovou silou působící na vodič a jeho hmotností. Popište veličiny.
4.
Vyjádřete vztah mezi magnetickou silou působící na vodič s proudem a jeho délkou. Popište veličiny.
5.
Porovnejte velikost tíhové a magnetické síly, jestliže se má vodič vznášet. Zapište pomocí vztahu.
6.
Vypočítejte indukci magnetického pole, při které se bude vodič vznášet, jestliže -1 vodičem protéká proud 2 A. Měrná délková hmotnost vodiče je 0,025 kg.m . Uvědomte si jakou jednotku má měrná délková hmotnost a tuto vědomost využijte při výpočtu.
Jednotka elektrického proudu a magnetická síla. Základní jednotky soustavy SI jsou definovány na základě určitých fyzikálních jevů. Jedním z nich je silové působení mezi vodiči, kterými protéká elektrický proud. 1.
Nakreslete dva rovnoběžné vodiče, kterými protéká elektrický proud stejného směru. Vyznačte v obrázku magnetické pole vodičů pomocí magnetický indukčních čar.
2.
Použitím pravidla pro určení směru působící síly vyznačte vektory sil, kterými vodiče na sebe působí.
3.
Vyjádřete vztah mezi velikostí působících magnetických sil, velikostí protékajících proudů a vzdáleností vodičů. Popište veličiny.
4.
Vypočítejte velikost elektrického proudu, který protéká dvěma rovnoběžnými -7 vodiči umístěnými ve vakuu ve vzdálenosti 1 m. Mezi vodiči působí síla 2.10 N na 1 m délky.
5.
Na základě svého výpočtu definujte jednotku elektrického proudu ampér.
Magnetická síla – řešení
108
Může se vodič s proudem vznášet? Zápis: elektrický proud I = 2 A ; měrná délková hmotnost = 0,025 kg.m −1 ; tíhové zrychlení g = 10 m.s −2 1. 2.
3.
Tíhová síla
FG = m g FG – tíhová síla; m – hmotnost vodiče; g – tíhové zrychlení 4.
Magnetická síla
Fm = B I l Fm – magnetická síla; B – indukce magnetického pole; I – proud procházející vodičem; l – délka vodiče 5.
Porovnání působících sil
FM = FG 6.
⇒
BI l = mg
Magnetická indukce
B =
m g l I
-1
Jednotka měrné délkové hmotnosti je kg.m .
Můžeme odvodit, že měrná délková hmotnost vyjadřuje poměr hmotnosti -1 a délky. Za tento poměr můžeme dosadit hodnotu 0,025 kg.m .
{ B } = 0,025 ⋅ 10 B = 0,125 T
2
Indukce magnetického pole, ve kterém se může daný vodič vznášet je 0,125 T.
Jednotka elektrického proudu a magnetická síla Zápis: vzdálenost vodičů d = 1 m ; délka vodičů l = 1 m ; magnetická síla
Fm = 2.10 -7 N ; permeabilita prostředí µ = 4 π .10 −7 N.A −2 1.
Magnetická síla – řešení 2.
109
Magnetická síla
Fm =
µ I1 I 2 l 2π d
µ – permeabilita prostředí, konstanta; I1 a I2 – proudy procházející vodiči; d – kolmá vzdálenost vodičů; l – délka vodičů.
3.
Předpokládáme, že ve vodičích protéká stejně velký proud I =
2π FM d µl
{ I }=
2π ⋅ 2 ⋅ 10 − 7 ⋅ 1 4π ⋅ 10 − 7 ⋅ 1
I = 1A
4.
Např.: Proud 1 A protéká dvěma rovnoběžnými vodiči, vzdálenými od sebe jeden -7 metr, jestliže mezi nimi působí síla 2,10 N na jeden metr délky. (přesná definice jednoho ampéru se dá jistě najít ve fyzikálních tabulkách nebo na Internetu)
Částice v magnetickém poli – zadání
110
10.3 Částice v magnetickém poli
Co vychyluje elektrony v televizní obrazovce? Svazek elektronů v televizní obrazovce prochází magnetickým polem dvou -19 C; hmotnost elektronu je vychylovacích cívek. Náboj elektronu je 1,6.10 -31 kg. 9,1.10 1.
Nakreslete homogenní magnetické pole tak, aby magnetické indukční čáry směřovaly za nákresnu. Dokreslete do obrázku elektron s vektorem rychlosti kolmým na indukční čáry.
2.
Použijte pravidlo pro určení směru vektoru magnetické síly, která působí na elektron. Jak se pravidlo nazývá? Vyznačte vektor magnetické síly do obrázku.
3.
Jaký směr má magnetická síla?
4.
Jak ovlivňuje magnetické pole vychylovacích cívek pohyb elektronů?
5.
Vyjádřete rovnicí vztah mezi velikostí magnetické síly, magnetické indukce a rychlostí částice v magnetickém poli. Popište veličiny.
6.
Vyjádřete rovnicí vztah mezi velikostí dostředivé síly, rychlostí elektronu a poloměrem jeho kruhové dráhy. Popište veličiny.
7.
Vypočítejte poloměr kruhové dráhy elektronu v magnetické poli s indukcí 6.10 -7 -1 T. Rychlost elektronu je 2.10 m.s .
-4
Částice v magnetickém poli – řešení
111
Co vychyluje elektrony v televizní obrazovce? Zápis: náboj elektronu Q = 1 ,6.10 −19 C ; hmotnost elektronu
m = 9 ,1.10 −31 kg ; rychlost elektronu v = 2.10 −7 m.s -1 ; magnetická indukce B = 6.10 −4 T 1.
2.
Vektor magnetické síly – viz obrázek. Použijeme Flemingovo pravidlo levé ruky
3.
Magnetická síla je kolmá k vektoru rychlosti elektronu.
4.
Magnetická síla působí jako dostředivá síla, mění směr rychlosti a zakřivuje trajektorii pohybu elektronu. Elektron se pohybuje po kruhové dráze.
5.
Magnetická síla – vektor rychlosti a vektor magnetické indukce jsou na sebe kolmé Fm = B Q v sin α
sin α = sin 90° = 1
Fm = B Q v
Fm – magnetická síla; B – magnetická indukce; v – rychlost elektronu 6.
Dostředivá síla FOD =
m v2 r
FOD – dostředivá síla, m – hmotnost elektronu; v – rychlost elektronu; r – poloměr kruhové dráhy 7.
Poloměr kruhové dráhy FOD = Fm r =
⇒
mv BQ
{r }=
m v2 =BQv r
9,1.10 − 31 ⋅ 2.10 − 7 6.10 − 4 ⋅ 1,6.10 − 19
r = 1,9.10 − 15 m
Poloměr kruhové dráhy elektronu je 1,9.10
-15
m.
Elektromagnetická indukce – zadání
112
10.4 Elektromagnetická indukce
Teče magnetické pole? Časovou změnu magnetického pole můžeme popsat pomocí skalární fyzikální veličiny magnetický indukční tok. 1.
Nakreslete homogenní magnetické pole, vyznačte v něm plochu kruhového tvaru. Dokreslete do obrázku vektor magnetické indukce a normálový vektor.
2.
Vyjádřete vztah mezi magnetickým indukčním tokem, velikostí vektoru magnetické indukce, obsahem plochy a úhlem mezi normálovým vektorem a vektorem magnetické indukce. Popište veličiny.
3.
Zakreslete do obrázku rovinnou plochu v takové poloze, aby byl procházející magnetický indukční tok maximální. Upravte rovnici pro tento případ.
4.
Zakreslete do obrázku rovinnou plochu v takové poloze, aby byl procházející magnetický indukční tok minimální. Upravte rovnici pro tento případ.
5.
Jak souvisí velikost magnetického indukčního toku s počtem indukčních čar procházejících plochou? K zdůvodnění využijte obrázky.
6.
Vypočítejte magnetický indukční tok kruhovou plochou s poloměrem 10 cm, když normálový vektor svírá s vektorem indukce úhel 60° a velikost indukce je 1,5 T.
Na čem závisí velikost indukovaného proudu v přímém vodiči? V přímém vodiči, který se pohybuje v magnetickém poli teče indukovaný proud. 1.
Nakreslete homogenní magnetické pole, jehož indukční čáry směřují za nákresnu. Vyznačte v něm přímý vodič, kolmý na indukční čáry, který se pohybuje rychlostí v kolmo na indukční čáry. Vyznačte vektor rychlosti.
2.
Vyjádřete vztah mezi velikostí indukovaného napětí, velikostí indukce, délkou vodiče a velikostí jeho rychlosti. Popište veličiny.
3.
Vyjádřete vztah mezi elektromotorickým napětím na koncích vodiče, které měříme připojeným galvanometrem, odporem galvanometru a elektrickým proudem. Popište veličiny.
4.
Vypočítejte velikost indukce magnetického pole, ve kterém se pohybuji vodič -1 délky 16 cm kolmo na indukční čáry rychlostí 0,3 m.s . Galvanometr s odporem 0,64 Ω ukazuje proud 30 mA (odpor vodiče zanedbejte).
5.
Magnetické pole je tvořeno permanentním magnetem. Čím můžete změnit velikost indukovaného proudu ve vodiči?
Elektromagnetická indukce – řešení
113
Teče magnetické pole? Zadání: poloměr kruhové plochy r = 10 cm = 0,1 m ; magnetická indukce B = 1,5 T ; úhel mezi vektory α = 60° 1.
S – obsah plochy; B – vektor magnetické indukce; n – normálový vektor; α - úhel mezi vektorem magnetické indukce a normálovým vektorem. 2.
Magnetický indukční tok
Φ = B S cos α
Φ – magnetický indukční tok; S – obsah plochy; B – vektor magnetické indukce; n – normálový vektor; α - úhel mezi vektorem magnetické indukce
a normálovým vektorem. 3.
Aby měl magnetický indukční tok procházející kruhovou plochou maximální velikost, musí vektory svírat nulový úhel.
Φ = B S cos 0° = B S 4.
Hodnota magnetického indukčního toku je tím menší, čím větší úhel svírají vektor magnetické indukce a normálový vektor. Nulovou hodnotu bude mít v případě, že vektory budou na sebe kolmé. 5.
Čím větší počet indukčních čar prochází plochou, tím větší magnetického indukčního toku.
6.
Výpočet velikosti magnetického indukčního toku
Φ = B S cos α = B π r 2 cos α
{ Φ } = 1,5 ⋅ π ⋅ 0,12 ⋅ cos 60° Φ = 0,024 Wb
Magnetický indukční tok danou kruhovou plochou je 0,024 Wb.
je velikost
Elektromagnetická indukce – řešení
114
Na čem závisí velikost indukovaného proudu v přímém vodiči? Zadání: poloměr délka vodiče l = 16 cm = 0,16 m ; rychlost pohybu
v = 0,3 m.s -1 ; odpor galvanometru R = 0,64 Ω ; elektrický proud I = 30 mA = 0,03 A 1.
2.
Indukované napětí
Ui = B l v Ui – indukované elektrické napětí; B – magnetická indukce; l – délka vodiče; v – rychlost pohybu vodiče. 3.
Elektromotorické napětí
ε = RI ε – elektromotorické napětí; R – odpor galvanometru; I – proud procházející vodičem. 4.
Velikost magnetické indukce
Ui = ε Blv = RI
⇒
B =
RI lv
0,64 ⋅ 0,03 0,16 ⋅ 0,3 B = 0,4 T
{B}=
Vodič se pohybuje v magnetickém poli o indukci 0,4 T. 5.
Velikost indukovaného elektrického proudu můžeme změnit změnou velikosti rychlosti pohybu vodiče.
Střídavý elektrický proud
115
11 Střídavý elektrický proud Přehled −
Otáčením závitu v magnetickém poli se na koncích závitu indukuje střídavé napětí a připojeným obvodem protéká střídavý proud.
−
V obvodech střídavého proudu se neustále periodicky mění jeho velikost i směr.
−
Střídavý proud je elektrické kmitání, které vzniká v obvodu připojeném ke zdroji střídavého napětí. Zdrojem střídavého napětí je alternátor.
−
Střídavé obvody tvoří součástky s různými vlastnostmi. Z pohledu vznikajícího proudu jsou nejdůležitější odpor R, indukčnost L a kapacita C. Jednoduchý elektrický obvod je tvořen jednou součástkou, rezistorem nebo cívkou nebo kondenzátorem.
−
Parametry součástek ovlivňují fázi, tzn. počáteční hodnotu střídavého proudu a napětí. Fázový rozdíl je hodnota rozdílu mezi fází napětí a proudu.
−
Odpor obvodu s rezistorem se nazývá rezistance R. Její velikost nezávisí na frekvenci střídavého proudu. Napětí a proud jsou v obvodu ve fázi.
−
Odpor obvodu s cívkou se nazývá induktance XL. V tomto obvodu napětí předbíhá proud. Odpor obvodu s kondenzátorem označujeme kapacitance XC. Ovlivňuje průchod proudu tak, že napětí se za proudem opožďuje.
−
Výkon, který spotřebič odebírá ze zdroje a přeměňuje na užitečnou práci, se nazývá činný výkon. Účinnost přenosu energie udává účiník cos ϕ.
−
V energetice se používá třífázový střídavý proud, který vzniká v třífázovém alternátoru. Při jeho rozvodu se používá zapojení do hvězdy nebo zapojení do trojúhelníku.
−
Pro změnu amplitudy střídavého napětí se využívá transformátor. Slouží ke snižování nebo zvyšování velikosti napětí.
Klíčová slova −
střídavý proud; střídavé napětí; perioda; kmitočet; amplituda; efektivní hodnota; okamžitá hodnota; alternátor; rezistance; kapacitance; induktance; fáze; fázový posun; trojfázový střídavý proud; transformátor.
Vznik střídavého elektrického proudu – řešení
116
11.1 Vznik střídavého elektrického proudu
Střídavý proud je nucené elektromagnetické kmitání, Toto kmitání vzniká v elektrickém obvodu připojeném na zdroj střídavého napětí.
1.
Nakreslete časový diagram střídavého proudu. Z jeho průběhu vysvětlete, jak se mění velikost a směr elektrického proudu v obvodu se střídavým zdrojem.
2.
Vyjádřete vztah mezi okamžitou hodnotou střídavého proudu a časem rovnicí. Popište veličiny.
3.
Vyjádřete vztah mezi úhlovou frekvencí a frekvencí střídavého proudu rovnicí. Popište veličiny.
4.
Napište rovnici pro konkrétní průběh střídavého proudu s frekvencí 25 Hz a amplitudou proudu 120 mA. V čase t = 0 s je i = 0 A
5.
Vypočítejte efektivní hodnotu střídavého proudu a čas, za který se průběh střídavého proudu opakuje.
6.
Za jakou dobu od počátečního okamžiku dosáhne okamžitá hodnota střídavého proudu 48 mA.
Vznik střídavého elektrického proudu – řešení
117
Střídavý proud je nucené elektromagnetické kmitání. Zadání: amplituda střídavého proudu I m = 120 mA = 0,12 A ; frekvence f = 25 Hz ; okamžitá hodnota střídavého proudu i = 48 mA = 0,048 A 1.
Velikost proudu roste od nulové hodnoty k maximální. Pak klesá zpět k nulové. Průběh se opakuje. V první polovině periody teče proud jedním směrem a ve druhé polovině opačným směrem. Průběh se opakuje. 2.
Okamžitá hodnota střídavého proudu
i = Im sin(ω t + ϕ ) i – okamžitá hodnota proudu; Im – amplituda; ω – úhlová frekvence; t – čas. 3.
Úhlová frekvence
ω = 2π f ω – úhlová frekvence; f – frekvence. 4.
Hodnoty dosadíme do obecné rovnice pro okamžitou hodnotu střídavého proudu
ω = 2π f
⇒
ω = 50 π
i = 0,12 sin(50 π t )
5.
Efektivní hodnota střídavého proudu I ef =
Im
{ I ef } =
2 0,12
2 I ef = 0,085 A
Doba, za kterou se průběh opakuje je perioda T =
1 f
1 25 T = 0,04 s
{T }=
Efektivní hodnota střídavého proudu je 0,085 A, průběh se opakuje za 0,04 s. 6.
Vycházíme z rovnice pro okamžitou hodnotu proudu
0,048 = 0,12 sin(50 π t ) 0,048 = sin(50 π t ) 0,12 0,4 = sin(50 π t ) ⇒ 0,389 = 50 π t 0,389 50 π t = 0,12 s
{t }=
Okamžitá hodnota střídavého proudu dosáhne 48 mA za 0,12 s.
Obvody střídavého elektrického proudu – zadání
118
11.2 Obvody střídavého elektrického proudu
Čím se liší reálná cívka od ideální Cívka zapojená v obvodu se střídavým proudem se neustále nachází ve vlastním proměnném, nestacionárním magnetickém poli 1.
Nakreslete elektrický obvod se zdrojem střídavého napětí, cívkou a spínačem.
2.
K jakému fyzikálnímu jevu dochází, když se cívka nachází v nestacionárním magnetickém poli?
3.
Jaký vliv má tento jev na průběh proudu v cívce?
4.
Nakreslete fázorový diagram pro proud a napětí na cívce. Vyznačte v něm fázový rozdíl mezi napětím a proudem.
5.
Vyjádřete vztah mezi odporem cívky, efektivním napětím a efektivním proudem v obvodu rovnicí. Jak nazýváme odpor cívky?
6.
Vypočítejte hodnotu odporu cívky, když při efektivním napětí 30 V prochází proud 0,6 A.
7.
Vyjádřete vztah mezi indukčností cívky a jejím odporem rovnicí. Popište veličiny.
8.
Jaká je indukčnost cívky, když frekvence elektrického proudu je 50 Hz. Odpor vinutí zanedbáváme.
9.
Jaký je tedy rozdíl mezi reálnou a ideální cívkou?
Co dělá kondenzátor v obvodu střídavého proudu. Když připojíme kondenzátor ke zdroji střídavého napětí, periodicky se nabíjí a vybíjí. 1.
Nakreslete elektrický obvod se zdrojem střídavého napětí, kondenzátorem, voltmetrem, ampérmetrem a spínačem.
2.
Vysvětlete, proč dochází k fázovému posunu mezi napětím a proudem v obvodu.
3.
Nakreslete fázorový diagram pro proud a napětí na kondenzátoru. Vyznačte v něm fázový rozdíl mezi proudem a napětím.
4.
Vyjádřete vztah mezi odporem kondenzátoru, efektivním napětím a efektivním proudem v obvodu rovnicí. Jak nazýváme odpor kondenzátoru?
5.
Vypočítejte hodnotu odporu 216 V prochází proud 2,4 A.
6.
Vyjádřete vztah mezi odporem kondenzátoru, jeho kapacitou a frekvencí rovnicí. Popište veličiny.
7.
Vypočítejte kapacitu kondenzátoru, je-li frekvence střídavého napětí 50 Hz.
kondenzátoru,
když
při
efektivním
napětí
Obvody střídavého elektrického proudu – řešení
119
Čím se liší reálná cívka od ideální. Zadání: efektivní napětí U ef = 30 V ; efektivní proud I ef = 0,6 A ; frekvence
f = 50 Hz
1.
2.
Jestliže cívkou prochází střídavý proud, tedy proud s měnící se velikostí i směrem průchodu, indukuje se v cívce střídavé elektrické napětí. Jev nazýváme elektromagnetická indukce.
3.
Indukované napětí, které vzniká v cívce, působí proti změně, která ho vyvolala (Lenzův zákon). Proto bude cívkou protékat ustálený elektrický proud později než v případě rezistoru. Říkáme, že napětí předbíhá proud.
4.
Fázorový diagram:fázový rozdíl ϕ je +π/2, protože napětí předbíhá proud.
5.
Odpor cívky
XL =
Uef Ief
XL – odpor cívky, který nazýváme induktance; Uef – efektivní napětí; Ief – efektivní proud. 6.
Výpočet odporu cívky
30 0,6 = 50 Ω
{ XL } = XL
Velikost odporu cívky je 50 Ω. 7.
Vztah mezi indukčností cívky a jejím odporem
X L = ω L = 2π f L
⇒
L=
XL 2π f
XL – induktance cívky, L – indukčnost cívky, f – frekvence cívky. 8.
Výpočet indukčnosti cívky
50 2 π ⋅ 50 L = 0,16 H
{L } =
Indukčnost cívky je 0,16 H. 9.
U ideální cívky zanedbáváme odpor vinutí, u reálné musíme tento odpor vzít v úvahu.
Obvody střídavého elektrického proudu – řešení
120
Co dělá kondenzátor v obvodu střídavého proudu. Zadání: efektivní napětí U ef = 216 V ; efektivní proud I ef = 2,4 A ; frekvence
f = 50 Hz 1.
2.
Kondenzátor zapojený do obvodu se střídavým proudem způsobuje posun elektrického proudu vzhledem k napětí. Kondenzátor se musí nejdřív nabít, aby na něm bylo napětí. Z tohoto důvodu se v obvodu s kondenzátorem proud předbíhá před napětím (nebo napětí se zpožďuje za proudem).
3.
Fázorový diagram: fázový rozdíl ϕ je -π/2, protože proud předbíhá napětí.
4.
Odpor kondenzátoru
XC =
U ef I ef
Uef – efektivní hodnota napětí; Ief – efektivní hodnota proudu; XC – odpor kondenzátoru, který nazýváme kapacitance. 5.
Výpočet odporu kondenzátoru
216 2,4 = 90 Ω
{ XC } = XC
Kondenzátor má odpor 90 Ω. 6.
Vztah mezi kapacitou kondenzátoru a jeho odporem
XC =
1 2 π fC
⇒
C =
1 2 π f XC
XC – kapacitance, odpor kondenzátoru; f – frekvence střídavého napětí; C – kapacita kondenzátoru. 7.
Výpočet kapacity kondenzátoru
{C } =
1 2π ⋅ 50 ⋅ 90
C = 3,5.10 − 5 F = 35.10 - 6 F = 35 μF Kapacita kondenzátoru je 35 µF.
Výkon střídavého elektrického proudu – zadání
121
11.3 Výkon střídavého elektrického proudu
Výkon střídavého proudu nezávisí jen na velikosti napětí a proudu. Napětí a proud se v jednofázovém elektromotoru mění podle rovnic:
u = 230 sin 120 π t
π i = 2 sin 120 π t − 3
1.
Vysvětlete, jak ovlivňuje fázový posun mezi napětím a proudem výkon střídavého proudu
2.
Vyjádřete vztah mezi činným výkonem střídavého proudu, efektivní hodnotou střídavého napětí, efektivní hodnotou střídavého proudu a fázovým posunem mezi napětím a proudem rovnicí. Popište veličiny.
3.
Vypočítejte činný výkon elektromotoru.
4.
Jak dosáhnout, aby účiník elektromotoru byl co nejvyšší?
Výkon střídavého elektrického proudu – řešení
122
Výkon střídavého proudu nezávisí jen na velikosti napětí a proudu.
π Zadání: napětí u = 230 sin 120 π t ; proud i = 2 sin 120 π t − 3 1.
Kolik energie se ve spotřebiči účinně přemění, ovlivňuje fázový posun ϕ střídavého napětí a proudu. Účinnost přenosu energie ze zdroje do obvodu střídavého proudu udává cosϕ. Nazývá se účiník a nabývá hodnot od 0 do 1. Čím menší je fázový posun mezi proudem a napětím, tím větší je účiník a tím větší je činný výkon spotřebiče.
2.
Vztah pro činný výkon PČ = U ef I ef cos ϕ =
Um I m cos ϕ 2
PČ – činný výkon; Uef – efektivní hodnota napětí; Ief – efektivní hodnota proudu; cosϕ – účiník; Um – amplituda napětí; Im – amplituda proudu. 3.
Z výchozích rovnic pro okamžité hodnoty napětí a proudu zjistíme potřebné vstupní hodnoty Um = 230 V ; I m = 2 A; cos ϕ = −
π 3
Výpočet činného výkonu
{ PČ } = 2302 ⋅ 2 cos − π3
PČ = 115 W
Činný výkon elektromotoru je 115 W. 4.
V obvodech s cívkou napětí přebíhá proud a v obvodech s kondenzátorem se napětí za proudem opožďuje. Když k vinutí elektromotoru připojíme paralelně kondenzátor s vhodnou kapacitou, zmenší se fázový posun mezi napětím a proudem. Vzroste činný výkon elektromotoru.
