KRYCHLOVÁ TĚLESA1 Milan Hejný, Darina Jirotková Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta SOLIDS Abstrakt: Mezinárodní projekt IIATM programu Socrates-Comenius 2.1, na kterém spolupracují čtyři univerzity (Derby, UK, Kassel, SRN, Thessaloniki, Řecko a UK v Praze) je zaměřen na posílení konstruktivistického vyučování v matematice v zemích EU. Jedním z výsledků projektu bude kniha určená učitelům matematiky 1.-9. ročníku spolu s doprovodným multimediálním materiálem. V knize bude zpracováno kromě úvodu pět témat (unitů): Představy o číslech (Number sense), Pravidelnosti (Patterns), Funkční myšlení (Functional thinking), Mnohoúhelníky (Polygons) a Prostorová geometrie (Space geometry). Část posledně uvedeného unitu je presentována v tomto článku. Článek informuje čtenáře o jednom z pěti témat rozpracovaných v projektu IIATM (Implementation of Innovative Approaches to the Teaching of Mathematics) řešeného v rámci programu Socrates-Comenius 2.1. Na projektu, jehož koordinátorem je Univerzita Karlova v Praze, se podílejí další tři evropské univerzity: Univerzita v Derby (UK), Univerzita v Kasselu (SRN) a Univerzita v Thessaloniki (Řecko). Karlova univerzita je zastoupena dvěma týmy z Pedagogické fakulty. Jeden tvoří doc. M. Kubínová a doc. N. Stehlíková (jejich tématem je funkční myšlení) a druhý tvoří autoři tohoto článku2. Více informací o projektu lze najít na internetové adrese uvedené v závěru článku. Cílem projektu je v konkrétních výukových prostředích a pomocí konkrétních souborů úloh rozpracovávat metodiku ovlivňování edukačního stylu učitelů pracujících se žáky 6 – 15 letými. Jde o snahu oslabovat dnes ještě stále ve školách dominující transmisivní styl a povzbuzovat styl konstruktivní. Výsledkem tříleté práce kolektivu bude publikace, ve které bude všech pět rozpracovaných prostředí prezentováno, komentováno a bohatě ilustrováno příběhy, fotodokumentací i video-záznamy z vyučovacích hodin a experimentů. Autoři tohoto článku rozpracovali dvě témata: sítě krychle a krychlová tělesa. Zde uvádíme pouze několik úloh z druhého tématu. Popis prostředí Rozumným slepením několika shodných krychlí vytvoříme prostorový objekt, který nazveme krychlové těleso (BUDOVA). Slovem „rozumným“ máme na mysli lepení, při kterém se lepí přesně jedna stěna na druhou stěnu tak, že obě stěny splynou do jediného čtverce. Toto vymezení není zcela přesné ale pro naše účely je postačující. Konečně přiložené obrázky ukáží více než upřesňování definice (pro žáky by to bylo spíše zavádějící). Na obrázku 1 jsou nakreslena 3 taková tělesa. Jsou označena A, B a C. Každé z těchto tří A
B
C Obr. 1 těles se skládá z pěti krychlí – jeho objem je 5. Tělesa B a C jsou shodná. Pro žáka třetího ročníku jsou to ale tělesa různá, protože on vnímá horizontálně vertikální směry jako geometrické invarianty. Proto, abychom se vyvarovali zmatku v terminologii, zavádíme pro 1
Příspěvek byl podpořen projektem IIATM, Socrates-Comenius 2.1 č. 112218-CP-1-2003-1-CZ-COMENIUSC21. 2 Více informací o projektu lze nalézt na www.pedf.cuni.cz/kmdm/aktivity, www.socrates.cz, databáze projektů Comenius 2.1.
32
krychlová tělesa dvojí pojmenování: o tělese mluvíme, když jej vnímáme jako geometrický objekt, bez ohledu na jeho polohu k vertikálnímu směru; když vertikální směr chápeme jako geometrický invariant, pak mluvíme o stavbě, nebo budově. Tedy v této terminologii jsou budovy B a C z obr. 1 různé (B je 3-podlažní, C jen 2-podlažní), ale tělesa B a C jsou shodná. Dodejme, že další problém, který se zde musí otevřít a řešit, je otázka orientace: budeme pravou a levou botu považovat za shodné, nebo ne? Pokud jde o jazyk, používáme ze začátku jazyk opřený o žákovu zkušenost (strop, podlaha, boční stěna, …) a tento, z hlediska geometrické terminologie metaforický jazyk jen postupně měníme na geometrický. Nabývání zkušeností s krychlovým tělesem – první série úloh První zkušenosti, které s krychlovými tělesy nabývá žák první nebo druhé třídy, jsou založeny především na manipulaci. Úlohy první série neuvádíme v přímém znění. Uvádíme pouze typy těchto úloh. Následujících pět typů dobře ilustruje úlohy této první etapy. 1. Podle obrázků (takových jako na obr. 1) staví žák budovy. 2. Je dán soubor několika budov a jejich obrázků. Úlohou žáka je přiřadit k budovám jejich „portréty“. 3. Jsou dány dvě stavby, například B a C (obr. 1). Je třeba přestavit jedinou krychli na stavbě B tak, aby vznikla stavba C. 4. Danou budovu je třeba popsat. Například: budova A se skládá z 5 krychlí; 4 leží v prvním podlaží a jedna ve druhém podlaží. Žák ukáže stěny rovnoběžné s podlahou: jednu čtvercovou stěnu 4 a dvě obdélníkové stěny; dále 4 vrcholy „na stropě“ krychle druhého podlaží, apod. 5. Úlohou žáka je sestrojit budovu, která splňuje některé podmínky. Například: je sestrojena ze 4 krychlí a má tři čtvercové stěny rovnoběžné s podlahou. Komentáře k jednotlivým úlohám jsou číslovány shodně s úlohami. 1. Náročnost úlohy je určena dvěma parametry: složitostí budovy, kterou má žák postavit, a způsobem, kterým mu je obrázek předložen. Nejsnazší je případ, když má žák k dispozici obrázek. Náročnější je, když obrázek leží na vzdálenějším místě třídy a žák se musí chodit k němu „radit“, jak to stavět. Nejnáročnější je případ, kdy obrázek dostane žák k zapamatování a stavění dělá podle paměti. 2. Náročnost úlohy je dána vzájemnou polohou budovy a obrázku. Když jsou tyto dvě informace ve stejné poloze, úloha je snadná. 3. Snadnější je taková úloha, kde přestavovaná krychle nemění patro (například z tělesa C na obr. 1 udělat těleso A); náročnější je úloha, kde krychle přechází z jednoho patra na jiné (např. z tělesa B udělat těleso C). 4. Slovně popsat to, co člověk svede udělat rukama, je náročná a někdy velice náročná úloha. Její didaktický význam je zásadní. Slova totiž mění znalost v činnosti (knowledge in action) na znalost v pojmech (knowledge in concepts). Je to, s trochou nadsázky, přechod od řemesla k vědě. 5. Slovník vypracovaný při řešení úloh předchozího typu je teď využit a stává se aktivním. Žák jej musí umět dešifrovat, aby věděl, co od něj úloha žádá. Komentář o motivační orientaci daného prostředí Stavební tématika je bližší životní zkušenosti chlapců než děvčat, protože hoši se více hrají se stavebnicemi než dívky. Abychom disproporci motivačního akcentu směřujícího k hochům vyrovnali, orientovali jsme druhé naše téma – sítě krychle – do světa dívek. Zde se dělají střihy na obleky pro pana Krychle. Experimenty ukázali, že dívky výroba střihů velice baví. Další etapa práce s krychlovými tělesy vede k vyšší úrovni abstrakce, kterou do prostředí krychlových těles resp. budov přináší nové jazyky. Zatím jsme používali jen 2 jazyky: modely budov vytvořené z kostek a obrázky (portréty) budov. Nové jazyky jsou sofistikovanější. Budova je například popsána pomocí tří průmětů: půdorysu, nárysu a bokorysu, řečeno 33
odborně. Tento jazyk zde rozpracovávat nebudeme. Omezíme se na jazyk nazvaný „plán“ a jazyk nazvaný „ikonický návod stavby“. Plán krychlového tělesa – druhá série úloh Způsob záznamu budovy (krychlového tělesa) je blízký kótovanému promítání. Základem plánu je půdorys budovy. Ten se skládá z několika čtverců. Do čtverců jsou vepsána čísla těch pater, ve kterých se nachází krychle dané budovy. I zde si odpustíme upřesňování definice a 1
A
1,2
1
B
1
1
1-3
1
1
1
1
C
1,2
Obr. 2
budeme věřit, že čtenáři k porozumění zápisu budou stačit tři ilustrace. Na obrázku 2 jsou plány budov z obrázku 1. Následující série úloh je silně gradovaná. První úlohy jsou určeny žákům 3. ročníku, poslední žákům 8. ročníku. Úloha 1. Učitel nakreslí plán budovy. Úlohou žáka je podle plánu budovu vymodelovat. Úloha 2. Učitel postaví budovu. Úlohou žáka je nakreslit plán této budovy. Úloha 3. Žák dostane 5 krychlí, z nich sestaví jednu budovu a nakreslí její plán. Pak jednu krychli na budově přesune na jiné místo a opět nakreslí plán další budovy. Když toto žák zvládá, dostane náročnější úkol. Úloha 3a. Žák má vytvořit řetězec plánů, v němž se budovy nakreslené na každých dvou sousedních plánech liší přestavením jediné krychle. Žáci mohou soutěžit v tom, kdo vymyslí delší řetězec. Úloha 3b. Předchozí úlohu řeší žák bez modelování budov (bez krychlí), pouze v jazyce plánu. Úloha 4. Jsou dány dvě budovy vytvořené ze stejného počtu krychlí. Úlohou žáka je najít řetězec plánů spojující způsobem popsaným v úloze 3 plány daných budov. Čím méně krychlí k řešení úlohy žák má, tím je úloha náročnější. Nejnáročnější je, když v ní není žádná krychle a vše, včetně zadání je pouze v jazyce plánů. Úloha 5. Je dán obrázek budovy ve volném rovnoběžném promítání resp. fotografie tělesa. Úlohou žáka je nakreslit plán budovy. Může k tomu použít modelování tělesa, ale svede-li to bez modelu, je jeho prostorové vidění na vyšším stupni. Úloha 6. Je dáno šest krychlových těles, každé je sestaveno z 5 krychlí (již mluvíme o tělesech, nikoli o budovách). Mezi tělesy jsou dvě shodná (ale jinak položená). Úlohou žáka je najít stejná (shodná) tělesa. Úloha 6a. Stejná úloha, ale tělesa nejsou dána modely, nýbrž jen obrázky. Úloha 6b. Stejná úloha, ale tělesa jsou dána jen plány. Úloha 7. Těleso na obrázku 3 není budovou, protože některé krychle, z nichž je sestaveno, „visí ve vzduchu“. Nakreslete plán tohoto tělesa. Obr. 3 Nakreslete takový plán tohoto tělesa (po otočení do vhodné polohy), ve kterém budou a) čtyři číslice 1 a jedna číslice 2, b) tři číslice 1 a dvě číslice 2, c) tři číslice 2 a dvě číslice 1, d) čtyři číslice 2 a jedna číslice 1.
34
Úloha 8. Nakreslete plány všech krychlových těles, které lze složit ze dvou těles, jejichž plány jsou nakresleny na obrázku 4. Při řešení úlohy nejsou k dispozici krychle ani jiné 3D pomůcky.
1,2
1-3
Obr. 4 Ikonický zápis stavby krychlového tělesa – třetí série úloh Plán krychlového tělesa / budovy popisuje toto těleso již hotové. Následující jazyk popíše nikoli hotové těleso, ale jeho konstrukci. Na rozdíl od plánu, který je až na otočení v rovině dán příslušným krychlovým tělesem jednoznačně, je ikonických zápis nejednoznačný. Uvidíme to hned na první ilustraci níže. Předpokládáme, že těleso se staví na rovině, na které je nakreslená čtvercová síť, přičemž elementární čtverec této sítě je shodný se stěnou krychle, se kterou pracujeme. Na rovině používáme geografickou orientaci dánu směry sever, jih, východ a západ. Jazyk používá tyto znaky: ↑ ↓ ← → ≡ # □
…jdi jeden čtverec na sever …jdi jeden čtverec na jih …jdi jeden čtverec na západ …jdi jeden čtverec na východ …jdi o jedno patro nahoru …jdi o jedno patro dolů …polož krychli
Ilustrace: Krychlové těleso z obrázku 3., 2 jehož plán je na obr. 5 má například 2,3 1,2 následující ikonické zápisy: První: □ ≡ □ ↑ □ ←↓ □ ≡ □ Druhý: □ # □ → □ ↑ □ ↓# □ Obr. 5 Třetí: □ → □ ↑ □ ↓# □ ←≡≡ □
Je zřejmé, že ikonický zápis procesu stavby je náročnější než plán téhož tělesa. Proto v třetím ročníku zavádíme plán tělesa a až ve čtvrtém zavedeme ikonický zápis. Můžeme ovšem redukovanou verzi ikonického zápisu, popisující pouze jednopodlažní budovy, zavést již ve třetím ročníku (viz úloha 9 níže). Máme-li krychlové těleso popsat slovy, pak je ikonický zápis tělesa k tomuto účelu velice vhodný. Těleso popíšeme tak, že znaky ikonického zápisu vyjádříme slovy. Například první zápis tělesa z obrázku 5 popíšeme slovy takto: polož krychli; jdi o jedno patro nahoru a polož krychli; jdi jeden čtverec na sever a polož krychli; jdi jeden čtverec na západ a jeden čtverec na jih a polož krychli; jdi o jedno patro nahoru a polož krychli. Podobně jako u úloh 1 – 8 i zde uvedeme úlohy různé náročnosti. Úloha 9 je pro žáky třetího ročníku, ale úlohy 15 a 16 jsou náročné i pro žáky osmého ročníku. Úloha 9. Některé z následujících šesti zápisů popisují stejné budovy. Zjistěte, které to jsou: a) □ → □ ↑ □ → □ ↓ □, d) □ ← □ ↓ □ ← □ ↑ □, b) □ → □ → □↑ □ ← □, e) □ ←← □ ↓ □ → □ ↑ □, c) □ ← □ ↑ □ ← □ ↓ □, f) □ ↓↓ □ → □←↑ □ → □. Úloha 10. Krychlové těleso je dané ikonickým zápisem. Dříve než jej vymodelujete z krychlí, nakreslete jeho plán. Až pak se modelováním přesvědčte o správnosti svého řešení. Zápisy: a) □ → □ ↑ □, b) □ → □ ≡ □, c) □ ← □ ↑ □ ≡ □, d) □ ← □ ← □ ≡ □→→ □ ≡ □ ←□← □. Úloha 11. Když v ikonickém zápise tělesa vyměníme navzájem všechny šipky ↓ a ↑ (tam kde se šlo na sever se půjde na jih a kde se šlo na jih se půjde na sever) a vše ostatní ponecháme beze změny, dostaneme jiný zápis. Je to pokaždé ikonický zápis krychlového tělesa? V případě, že tato změna vedla na nové těleso, jak se obě tělesa liší? Úloha 11a. Úlohu 11 řešte v případě, že místo výměny šipek sever – jih, vyměníme šipky západ – východ, tedy ← a →.
35
Úloha 11b. Úlohu 11 řešte v případě, že místo výměny šipek sever – jih, vyměníme šipky nahoru – dolů tedy ≡ a #. Úloha 11c. Úlohu 11 řešte v případě, že výměnu uděláte jak u šipek sever – jih, tak u šipek nahoru – dolů. Úloha 12 Mirek tvrdí, že on umí každé krychlové těleso zapsat ikonickým zápisem, ve kterém vůbec nepoužije šipku „jih“, tedy ↓. Šárka s ním nesouhlasí a chce najít takové krychlové těleso, které nelze zapsat bez použití této šipky. Kdo z nich má pravdu? Úloha 13. Některé z následujících ikonických zápisů jsou nekorektní. Zjistěte, které to jsou, a vysvětlete proč jsou nekorektní: a) □ →≡ □, b) □ → □ ↑ □ ≡ □ → □ ↓ □, c) □ →→ □ ≡ □. Úloha 13a. Do zápisu a) z předchozí úlohy doplňte jeden čtvereček a jednu šipku tak, aby to byl zápis korektní. Do zápisu c) z předchozí úlohy doplňte dva čtverečky a dvě šipky tak, aby to byl zápis korektní. Úloha 14. Když z ikonického zápisu □ → □ ≡ □ #→ □ ↓ □ tělesa A (obr.1) vygumujeme všech pět čtverců, dostaneme nápis → ≡ # → ↓ skládající se z pěti pohybových znaků. Vložte zpět do tohoto nápisu pět čtverců „□“ tak, aby krychlové těleso, které bude tímto zápisem popsáno bylo různé od tělesa A. Úloha 15. Najděte všechna krychlové tělesa, jejichž ikonický zápis obsahuje deset čtverečků a devět znaků: ↓, ≡, →, →, →, →, →, →, →. Najděte povrch každého z těchto těles. Úloha 16. Dokažte, že povrch krychlového tělesa, jehož ikonický zápis obsahuje n čtverečků a kromě těchto pouze znaky, ≡, →, ↓ (jejich počet není dán) je 4n + 2. Závěr Jak jsme již uvedli, cílem projektu IIATM je ovlivňování edukačního stylu učitelů. Úlohy, které nabízíme, mohou inspirovat učitele, ale hlavní práce spočívá na něm. On musí chtít svůj styl zlepšit. Hlavním nástrojem pro takové možné zlepšení jsou vlastní zkušenosti učitele. Jak pedagogické, tak matematické. Pedagogické zkušenosti nabývá každý učitel dnes a denně vyučováním. Tyto zkušenosti se ovšem nestávají tou silou, která pomůže zlepšit edukační styl učitele. Spíše se stávají základem pro rutinu, která naopak petrifikuje existující styl a brání jeho změnám. Zkušenost bude pomocníkem učitele tenkrát, když bude dostatečně přesně reflektována a analyzována. Pedagogický denník, obsahující zajímavé zkušenosti učitele, je východiskem, které může učitele vést k zlepšování. Bude-li tento denník kromě pozoruhodností pedagogických a didaktických obsahovat i záznamy o tom, jak se učitel potýkal s některými náročnějšími úlohami a jak po jejich vyřešení sám obohatil seznam úloh učebnice (nebo námi předložený seznam úloh), bude jeho sebereflexe úplnější a tedy i účinnější. Studie vznikla s podporou grantu GAČR 406/05/2444.
36
