Nyelvi előkészítő évfolyam Matematika Tanterv

MATEMATIKA

Nyelvi előkészítő évfolyam Matematika Tanterv Nevelési alapelvek a matematika tantárgyban A nyelvi előkészítő év általánosan megfogalmazott cél és feladatrendszerére építve kiemeljük a legfontosabb tantárgy specifikusnak tartott pedagógiai alapelveket, melynek megvalósítását mindig szem előtt kívánjuk tartani:  az együttműködési képesség és az egészséges versenyszellem kialakítása  a munka, az erőfeszítés megbecsülése  a kezdeményezőkészség,  a játék személyiségformáló erejének erősítése  a kommunikációs készség sokoldalú fejlesztése  az absztrakt gondolkodás képességének fejlesztése  korszerű társadalom- és természettudományos ismeretek megalapozása  alkotó gondolkodásra és gondolkodva cselekvésre nevelés  színvonalas, következetes oktatás  a hagyományok tisztelete, ápolása Az előkészítő év céljai szaktárgyunk szempontjából: A tanulók elvégezték az általános iskola 8 osztályát, de nagyon különböző tudással. Az előkészítőév végére alkalmasaknak kell lenniük a középiskolai tanulmányok minőségi elsajátítására. Tehát az általános iskolai matematika tananyag újratanítása helyett a képességfejlesztésen van a hangsúly, de alapos ismétlésre is szükség van. A felhasználható taneszköz Matematika összefoglaló feladatgyűjtemény 10-14 éveseknek Szerzők: Kosztolányi-Mike-Palánkainé-Szederkényiné-Vincze Kiadó: MOZAIK Oktatási Stúdió (MS-2204T) Matematika a nyelvi előkészítő évfolyam számára ( Szerz : Borbás Lászlóné) Négyjegyű függvénytáblázatok Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra/hét 1.SZÁMOK, SZÁMHALMAZOK 8 óra 2.FÜGGVÉNYEK, GRAFIKONOK 6 óra 3. ELEMI GEOMETRIAI ISMERETEK 10 óra 4. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK 12 óra 1. Számok és számhalmazok Ismeretek, fejlesztési követelmények készség szinten tudja a racionális számkörben a négy alapműveletet elvégezni. Pozitív egész kitevőjű hatványokat kiszámolni, az azonosságokat alkalmazni számításokban. Alkalmazza helyesen a műveleti sorrendet, a zárójeleket, a hatványozás azonosságait. Ismerje az aránypár fogalmát, tudja kiszámítani a százalékértéket, a százaléklábat vagy az alapot a másik kettő ismeretében. Ismerje fel helyesen az egyenes illetve fordított arányossági 1

8 óra kapcsolat absztrakciós képesség kialakítása elvonatkoztatás

kapcsolatokat, tudja ezeket alkalmazni. Tudja megbecsülni számolásának várható eredményét. Használja célszerűen a számolási algoritmusokat,lehetőleg zsebszámológép használata nélkül az egyszerűbb esetekben (kétjegyű egész számok négyalapművelet, kis nevezőjű törtek, egyszerűsítések, bővítések) 2. Függvények, grafikonok készség szinten tudjon pontokat ábrázolni és pont koordinátáit leolvasni a derékszögű koordinátarendszerben, különféle kapcsolatok közül tudja kiválasztani a függvénykapcsolatot, ismerje és helyesen használja az értelmezési tartomány, értékkészlet fogalmát, a függvények megadásimódjait, tudja ábrázolni a lineáris függvényt, tudja megállapítani a függvények szemléletes tulajdonságait, ábrázolni konkrét transzformáltjaikat, legyen képes megismert függvények grafikonját felhasználni egyenlet és egyenlőtlenségek megoldására.

6 óra Változó mennyiségek közötti kapcsolatok felismerése összefüggések leírása képlet segítségével fizika: erő- tömeg kapcsolat, munka – teljesítmény kapcsolat

10 óra

3. Elemi geometriai ismeretek Nevezetes ponthalmazok átismétlése, a halmazszemlélet fejlesztése. ismerje és szerkesztési és egyszerűbb bizonyítási feladatokban tudja alkalmazni a megismert nevezetes ponthalmazokat, a nevezetes szögpárokat, ismerje a háromszög oldalai, szögei, oldalai és szögei közötti összefüggéseket, a háromszög nevezetes vonalainak és köreinek fogalmát, tulajdonságait, tudja ezeket alkalmazni szerkesztési feladatokban, ismerje a háromszögek egybevágóságát biztosító alapeseteket, ezek alapján tudjonháromszögszerkesztési feladatokat elvégezni,

Rajzkészség fejlesztése Térbeli látás fejlesztése Alakok, formák alakzatok a biológiában, kémiában

legyen képes a szerkesztés menetét indokolni, egyszerű esetekben a feladatot diszkutálni. 4. Algebrai kifejezések, egyenletek készség szinten tudjon elsőfokú egyenletet megoldani, tudja a szöveges feladatok adatait táblázatba foglalni, egyenletet felállítani, megoldani, eredményétellenőrizni. Tört együtthatós elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Elsőfokú egyenletre vezető szöveges feladatok (mozgási, munkavégzéssel kapcsolatos, számjegyekkelkapcsolatos keverési feladatok), az adatok táblázatba rendezése, a megoldás ellenőrzése.

12 óra fizika, kémia Munkavégzéses, keveréses feladatok megoldása

A továbbhaladás feltételei: Ismeri a négy alapműveletet, jól alkalmazza a műveletek sorrendjét. Hibátlanul alkalmazza a racionális számokon értelmezett műveleteket. Képes ábrázolni és jellemezni egy lineáris függvényt és annak transzformációját. Felismeri az egyenes és fordított arányosságot a változók kapcsolatában. 2

Képes szöveges egyenleteket megoldani. Ismeri a szerkesztés alapjait, képes háromszöget szerkeszteni a megadott adatokból. Ismeri a háromszögek nevezetes vonalait. Felismeri a négyszögeket és ismeri az oldalak, szögek és átlókra vonatkozó szabályokat. Képes megoldani egy egyenletet vagy egyenlőtlenséget. Tud százalékot számolni.

9–10. évfolyam A 9–10. évfolyamon, a szemlélet alapján, a tevékenységeken, felfedeztetéseken keresztül korábban kialakított fogalmak pontos definiálására, az összefüggések felismerésére, modellek készítésére kell helyezni a fő hangsúlyt. Szükséges a matematika alkalmazási területeinek széles körű bemutatása a matematikán belüli problémák megoldásában, illetve más tudományok segítőjeként. Ezekben az években erősödik a tanulók önismerete, és megfelelő képességfejlesztéssel és módszertani változatossággal mind több tanulóban kialakulhat a matematika, illetve a természettudomány valamely ága iránti érdeklődés. A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismeretszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. Ezeken az évfolyamokon a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségek megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.) A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (pl. szimmetriák) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt. Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú feladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimális megoldásokat keresni. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A számítógép által nyújtott határtalan lehetőségeket képesek legyenek felismerni, és hatékonyan felhasználni. Fontos célkitűzés, hogy a feladatmegoldások közben a számológépet segédeszközként tudják használni. Ebben az életkori szakaszban már elvárható, hogy a tanulók a leírt szöveget pontosan megértsék, gondolataikat igyekezzenek szabatosan kifejteni. A matematikai gondolkodásmód fejlődésével egyre magabiztosabban képesek véleményt nyilvánítani, érvelni, mások gondolatait megérteni.

3

9. évfolyam Óraszám:

108 óra/év 3 óra/hét

Sorszám

Témakör

Óraszám

1.

Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika

2.

Algebra és számelmélet

25 óra

3.

Ponthalmazok, háromszögek, sokszögek

16 óra

4.

Függvények

14 óra

5.

Egyenletek, egyenlőtlenségek

15 óra

6.

Egybevágósági transzformációk

12 óra

Összefoglalás, számonkérés

10 óra

Év végi ismétlés

6 óra

Tematikai egység/ 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai Fejlesztési cél logika

Előzetes tudás

10 óra

Órakeret 10 óra (9+1)

Csoportosítás különböző szempontok alapján. Halmazműveletek véges halmazokon. Halmazábra. Részhalmaz. Számhalmazok, ponthalmazok. Állítások megfogalmazása a hétköznapi életből. Matematikai állítások vizsgálata. Igaz és hamis állítások. Állítás tagadása.

A halmaz fogalmának mélyítése, alkalmazása problémamegoldásra, matematikai modellek alkotására. Több szempont alkalmazásával a megosztott figyelem fejlesztése. Definíciók, jelölések használata során az A tematikai egység emlékezet fejlesztése. A köznapi életben használt logikai következteténevelési-fejlesztési sek és a matematikai logikában használt kifejezések összevetése. A hétcéljai köznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendszerezése a célnak megfelelően. Matematikai állítások helyes megfogalmazása, érvelés, vitakultúra fejlesztése. Ismeretek/fejlesztési követelmények

Kapcsolódási pontok

Intervallumok: zárt, nyílt, félig zárt, félig nyílt. A fogalom szemléletes kialakítása, majd definiálása. Halmazműveletek: unióképzés, metszetképzés, különbségképzés, komplementer halmaz. Halmazműveletek alkalmazása több halmazra. Definíciók megfogalmazása, megértése. Halmazok felbontása 4

Informatika: adatbázis-kezelés, adatállományok, adatok szűrése különböző

diszjunkt halmazok uniójára.

szempontok szerint. Biológia-egészségtan: rendszertan.

Nevezetes ponthalmazok. Ponthalmazok a koordinátasíkon. Koordinátákkal megadott feltételek. Descartes-szorzat. Matematikatörténet: René Descartes. Matematikai tartalmú szöveg értelmezése. Tétel kimondása, bizonyítása. Állítás és megfordítása. Direkt, indirekt bizonyítás. Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel. Állítások megsejtése, bizonyítás vagy cáfolat megadása. Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY, „Minden”, „van olyan”, ha …., Magyar nyelv és iroakkor. dalom: retorikai alapA köznapi szóhasználat és a matematikai kifejezés kapcsolatá- ismeretek. nak megértése. Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, alkalmazása. Érvelés és vita, ellenpélda szerepe. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 1 óra összetett feladatok a halmazműveletek köréből. Véges és végtelen halmaz, unió, metszet, különbség, komplementer halKulcsfogalmak/ maz, Descartes-féle szorzat. Intervallum. Logikai művelet (NEM, ÉS, fogalmak VAGY. Ha…. akkor), szükséges és elégséges feltétel. Sejtés, bizonyítás.

2. Számelmélet, algebra Tematikai egység/ (Hatványozás, oszthatóság, algebrai kifejezések) Fejlesztési cél

Előzetes tudás

Órakeret 25 óra (+2)

Természetes számok, egész számok, racionális számok halmaza. Műveletek elvégzése a racionális számok halmazán fejben, írásban. Műveletek sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel, helyettesítési érték, zárójelfelbontás.

A számkör bővítés elveinek megértése. Gondolkodás: ismeretek rendszeA tematikai egy- rezésének fejlesztése. Az absztrakciós készség fejlesztése. Algebrai kifejezések biztonságos használata, célszerű átalakítási módok megtalálása, elség nevelésifejlesztési céljai végzése. Direkt bizonyítási módszer alkalmazása. Ismeretek tudatos memorizálása, az emlékezet fejlesztése. Ismeretek és fejlesztési követelmények A valós számkör. Műveleti tulajdonságok alkalmazása: kommutativitás, aszszociativitás, disztributivitás.


Pozitív egész kitevős hatvány. Korábbi ismeretekre való emlékezés. A hatványozás azonosságai. Hatványozás 0 és negatív egész kitevőre. Permanencia-elv. Számok normálalakja. Számolás normálalakban felírt számokkal. 5

Fizika; kémia; biológiaegészségtan: a tér, az idő,

Normálalak a számológépen. A természettudományokban és a társadalomban előforduló nagy és kis mennyiségekkel történő számolás. Számok tizedes tört alakja. Véges, végtelen szakaszos, végtelen nem szakaszos tizedes törtek. Irracionális számok. A valós számok és a számegyenes kapcsolata. A racionális számok halmaza nem elegendő a számegyenes pontjainak jelölésére.

az anyagmennyiség nagy és kis méreteinek megadása normálalakkal.

Osztó, többszörös, oszthatóság, oszthatósági szabályok. A tanult ismeretek felidézése: prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás. A számelmélet alaptétele. Végtelen sok prímszám van. Osztók számának meghatározása a prímtényezős felbontásból. Matematikatörténet: Euklidesz, Eratosztenész, Euler, Fermat. Algebrai kifejezések.  Egész kifejezések, polinomok, törtkifejezések. Racionális és nem racionális kifejezések.  A kifejezés értelmezési tartománya.  Helyettesítési érték. Műveleti tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás) vizsgálata.

Fizika; kémia: mennyiségek kiszámítása képlet alapján, képletek átrendezése.

Műveletek többtagú egész algebrai kifejezésekkel. Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezésekkel – zárójelfelbontás, előjelszabályok. Többtagú kifejezés szorzattá alakítása kiemeléssel. Nevezetes azonosságok: ( a  b )2 ; a  b a  b ; (a  b)3 ; (a  b  c)2 ; a 3  b3 ; a 3  b3 Ismeretek (képletek) tudatos memorizálása. Azonos átalakítások.  Polinomok összeadása, kivonása, szorzása, hatványozása. Kiemelés, szorzattá alakítás. Kifejezések legnagyobb közös osztója, legkisebb közös többszöröse.  Algebrai törtek összeadása, kivonása, szorzása, osztása. Egyszerűsítés. Bővítés. A tanult azonosságok, tulajdonságok felhasználása algebrai átalakítások, egyszerűsítések során.

Fizika; kémia: képletek értelmezése, egyenletek rendezése.

A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására fordítjuk. 2 óra gyakorlás szorzattá alakítási feladatok. Kulcsfogalmak/ fogalmak

Valós szám, normálalak, kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. Algebrai kifejezés, polinom, algebrai tört, azonosság, számtani közép, mértani közép.

6

Tematikai egység/ 3.Geometria (ponthalmazok, háromszögek, sokszögek) Fejlesztési cél

Előzetes tudás


Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága. Háromszögek, négyszögek, sokszögek tulajdonságai. Speciális háromszögek, négyszögek elnevezése, felismerése, tulajdonságaik. Háromszögek szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. A Pitagorasz-tétel és a Thalész-tétel ismerete.

A geometriai szemlélet, látásmód fejlesztése. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Bizonyítási igény kialakítása. Összetett számíA tematikai egység tási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kinevelési-fejlesztési választása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell céljai alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számoló-, számítógép használata. Ismeretek/fejlesztési követelmények


Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Nevezetes ponthalmazok:  adott térelemtől adott távolságra lévő pontok halmaza – síkban és térben;  két térelemtől egyenlő távol lévő pontok halmaza – síkban és térben. Vegyes feladatok ponthalmazok alkalmazására szerkesztéssel.

Informatika: geometriai szerkesztőprogram.

A háromszög oldalai és szögei.  Háromszög-egyenlőtlenség.  Összefüggések a háromszög szögei között – belső szögek, külső szögek.  Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között. A háromszögek szögeiről, oldalairól tanult tételek bizonyítása, alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban. A háromszögek nevezetes vonalai:  A háromszög oldalfelező merőlegesei, a háromszög köré írt köre.  A háromszög magasságvonalai, magasságpontja.  A háromszög szögfelező egyenesei, a háromszög beírt köre, hozzáírt körei.  A háromszög súlyvonalai, súlypontja. A háromszögek nevezetes vonalairól és köreiről tanult tételek bizonyítása, alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Euler-egyenes, Feuerbach-kör bemutatása grafikus programmal. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására fordítjuk. 2 óra szerkesztési feladatok. A háromszög beírható, köré írható és hozzáírható köreinek megismerése, szerkesztése. Négyszögek, sokszögek, szabályos sokszögek. Belső és külső szögek összege. Átlók száma. 7

Informatika: geometriai szerkesztő program használata.

Pitagorasz-tétel és megfordításának bizonyítása és alkalmazása. Számítási feladatok síkban és térben. A tétel és megfordításának alkalmazása bizonyítási feladatokban. Matematikatörténet: Pitagorasz.

Fizika: vektor felbontása merőleges összetevőkre.

Thalész tétele és a tétel megfordításának bizonyítása és alkalmazása. Szerkesztési és bizonyítási feladatok. Körérintő szerkesztése. Matematikatörténet: Thalész. Kulcsfogalmak/ Hozzáírt kör. Sokszög. fogalmak

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás

4. Függvények


Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Lineáris függvények, fordított arányosság függvénye, abszolútérték-függvény, másodfokú függvény ismerete.

Függvény-transzformációk algebrai és geometriai megjelenítése. ÖsszeA tematikai egység függések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénynevelési-fejlesztési modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakícéljai tása. Számítógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába. Ismeretek/fejlesztési követelmények


Függvény fogalma. Értelmezési tartomány, értékkészlet. A függvény megadási módjai, ábrázolása, jellemzése. Új fogalmak: paritás, korlátosság.

Informatika: függvényábrázolás, grafikonkészítés számítógépes program segítségével.

Egyenes arányosság. Elsőfokú függvények, lineáris függvények. Lineáris kapcsolatok felfedezése a hétköznapokban.

Fizika; kémia: egyenesen arányos mennyiségek.

Abszolútérték-függvény. Másodfokú függvények. Teljes négyzetté kiegészítés. Hatványfüggvények. Gyökfüggvények. A függvénygrafikonok elkészítése és használata a függvény jellemzésére.

Informatika: függvényábrázolás, grafikonkészítés számítógépes program segítségével.

Fordított arányosság, elsőfokú törtfüggvény.

Fizika; kémia: fordítottan arányos mennyiségek.

Függvény transzformációk. A tanult függvények többlépéses transzformációi az alábbiak összetételével: f x   c ; f x  c  ; c  f x  ; f c  x  ; f x  . Függvények jellemzése (értékkészlet, monotonitás, szélsőérték, korlátosság, paritás, zérus hely).

Fizika: a megfigyelés időbeli és térbeli kezdőpontja változásának hatása a mennyiségek közötti összefüggésekre.

8

A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 1 óra függvénytranszformációs feladatok. összetett transzformációk. Kulcsfogalmak/ Függvény grafikonja. Paritás, korlátosság. fogalmak

Tematikai egység/ 5. Számelmélet, algebra (egyenlet, egyenlőtlenség, egyenFejlesztési cél letrendszer)

Előzetes tudás


Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés. Azonosság. Szöveges feladatok – matematikai modell alkotása.

Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatóA tematikai egység körének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; az ellenőrnevelési-fejlesztési zés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód kiválasztása, céljai eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép használata. Ismeretek/fejlesztési követelmények


Elsőfokú egyenletek.  Alaphalmaz, megoldáshalmaz.  Ekvivalens átalakítások.  Mérlegelv. Egyenletek algebrai, grafikus megoldása. Digitális technikák használata az egyenletmegoldás során. Elsőfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok. A korábban tanult feladattípusok megoldási módszereinek elmélyítése. A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai modelljének elkészítése, egyenlet felírása; a megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?).

Fizika: kinematika, dinamika. Kémia: oldatok összetétele.

Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek. Értelmezési tartomány. Ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés szerepe, szükségessége. Törtek előjelének vizsgálata. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk: 1 óra összetettebb törtes egyenletek megoldása, értelmezési tartomány vizsgálata. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek. Elsőfokú egyenletrendszerek. Informatika: számítógépes program haszná Grafikus megoldás. lata.  Behelyettesítő módszer.  Egyenlő együtthatók módszere.  Új ismeretlen bevezetése. Különböző módszerek megismerése és alkalmazása ugyanarra a problémára. Egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok. A kapott eredmény értelmezése, valóságtartalmának vizsgálata. 9

Egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenlőtlenségek algebrai megoldása. Egyismeretlenes egyenlőtlenségrendszer. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 1 óra Egyszerű törtes egyenlőtlenségek megoldása. Kulcsfogalmak/ Elsőfokú egyenlet, egyenlőtlenség, értelmezési tartomány, azonosság. Ekvivalens átalakítás, hamis gyök. Egyenletrendszer. fogalmak

Tematikai egység/ 6. Geometria (Egybevágósági transzformációk) Fejlesztési cél Előzetes tudás


Geometriai transzformációk, a szimmetria felismerése környezetünkben, alkalmazásuk egyszerű feladatokban.

A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepének felismertetése a matematikában és a valóságban. A tematikai egység Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. nevelési-fejlesztési Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a mocéljai dell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, számítógép használata. Ismeretek/fejlesztési követelmények


Geometriai transzformáció fogalma. Informatika: geometriEgybevágósági transzformációk rendszerezése. ai szerkesztőprogram Tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli elforga- használata. tás, eltolás. A geometriai transzformációk tulajdonságai: – fixpont, fix egyenes, fix sík; – szögtartás, távolságtartás, irányítástartás; – szimmetrikus és nem szimmetrikus transzformáció. Geometriai transzformációk szorzata. Az egybevágóság fogalma. Egybevágó alakzatok felismerése. Alakzatok egybevágósága. A háromszögek egybevágóságának alapesetei. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 1 óra Feladatok háromszögek egybevágóságára. Szimmetrikus alakzatok. Vizuális kultúra: műA szimmetrián alapuló tulajdonságok felismerése: szögek, sza- vészettörténeti stíluskaszok egyenlősége. korszakok. Szerkesztési, számítási és bizonyítási feladatok. Az egybevágóság, a szimmetria felismerése, hatékony alkalmazása. Vázlatkészítés, elemzés, diszkusszió. A paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala. A középpontos tükrözés alkalmazása.

10

Kulcsfogalmak/ fogalmak

Geometriai transzformáció, egybevágósági transzformáció, szimmetrikus alakzat.

2 óra Év végi összefoglalásra, gyakorlásra. Hiányok feltárása és pótlása.

Gondolkodási és megismerési módszerek  Halmazműveletek alkalmazása számhalmazokra, ponthalmazokra, intervallumokra, véges és végtelen halmazokra.  Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése. Számelmélet, algebra  Racionális és irracionális számok – a valós számok halmazának szemléletes fogalma.  Számok normálalakja, normálalakkal műveletek végzése.  Biztos műveletvégzés, műveletek sorrendje, zárójelek használata.  Algebrai kifejezésekkel végzett műveletek, azonosságok alkalmazása.  Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldási módszereinek használata. Szöveges feladatok megoldása.  A számológép használata. A fejlesztés várt Geometria eredményei a 9. évfolyam végén  Térelemek ismerete.  A kör és részeinek ismerete.  Egybevágósági transzformációk ismerete, alkalmazása szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Egybevágó alakzatok tulajdonságainak ismerete, alkalmazása feladatokban.  Háromszögek, szögeinek, nevezetes vonalainak, köreinek ismerete. Az ismeretek alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban.  A Pitagorasz-tétel és a Thalész-tétel alkalmazásai. Függvények, az analízis elemei  A függvény fogalmának ismerete..  Többlépéses függvénytranszformációk elvégzése f x   c ; f x  c  ; c  f x  ; f c  x  ;.  Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzése a megfelelő függvény grafikonja alapján. 10. évfolyam Óraszám:

108 óra/év 3 óra/hét Ajánlás az éves óraszám felosztására

Sorszám 1.

Témakör Gondolkodási módszerek, kombinatorika, gráfok 11

Óraszám 14 óra

2.

Algebra és számelmélet: négyzetgyök, másodfokú kifejezés

26 óra

3.

Statisztika, valószínűség

10 óra

4.

Geometria: hasonlóság

26 óra

5.

Szögfüggvények

16 óra


10 óra

Év végi ismétlés

6 óra

Tematikai egység/ 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logiFejlesztési cél ka, kombinatorika, gráfok

Előzetes tudás


Halmazműveletek. Halmazábra. Részhalmaz. Matematikai állítások vizsgálata. Igaz és hamis állítások. Állítás tagadása. Elemek sorba rendezése, adott szempont szerinti kiválasztása.

A halmaz fogalmának mélyítése, alkalmazása problémamegoldásra, maA tematikai egység tematikai modellek alkotására. A kombinatorikai problémák felfedezése a nevelési-fejlesztési hétköznapi életben, modellek alkalmazása. A rendszerező képesség, a figyelem fejlesztése. Gráfok segédeszközként való használata a gondolkocéljai dásban. Ismeretek/fejlesztési követelmények


n elemű halmaz részhalmazainak a száma. Korábbi ismeretek felhasználása, a tanult jelölések alkalmazása. Halmazok számossága. Véges és végtelen halmazok, megszámlálható, nem megszámlálható halmazok. Matematikatörténet: Georg Cantor. Skatulyaelv. Logikai szita. Modellalkotás egy-egy tipikus problémára.

Magyar nyelv és irodalom: mondatok, szavak, hangok rendszerezése.

A szorzási és összeadási szabály. Az összeszámlálás technikáinak megértése, alkalmazása. Sorba rendezés. Kiválasztás. A szöveg matematikai nyelvre fordítása, matematikai modell készítése. Kombinatorikai problémák felfedezése a mindennapokban. n!, nk. Az összeszámlálási módszer megértése. Gráfok: csúcs, él, fokszám. Gráfok alkalmazása feladatmegoldásban. Gondolatmenet megjelenítése gráffal. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 1 óra feladatok gráfokkal. Fokszám, élek, csúcsok kiszámítása. 12

Kémia: molekulák szerkezete. Informatika: számítógépes hálózatok felépítése. Földrajz: térképek, út-

hálózat. Véges és végtelen halmaz. Szorzási szabály, összeadási szabály, faktoriális, Kulcsfogalmak/ gráf, csúcs, él, fokszám. fogalmak

Tematikai egység/ 2.Számelmélet, algebra (gyökös és másodfokú algebrai Fejlesztési cél kifejezések használata)

Előzetes tudás


Műveletek sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel, helyettesítési érték, zárójelfelbontás. Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés.

Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell haA tematikai egység tókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; az elnevelési-fejlesztési lenőrzés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép céljai használata. Ismeretek/fejlesztési követelmények


Négyzetgyök fogalma. A négyzetgyökvonás azonosságai.  Az indirekt bizonyítás: a 2 irracionális.  Bevitel a gyökjel alá, kiemelés a gyökjel alól.  Nevező gyöktelenítése. Műveletek gyökös kifejezésekkel. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek.  Grafikus megoldás.  Teljes négyzetté kiegészítés. Egyenletmegoldás szorzattá alakítással. Algoritmus keresése a megoldásra. A másodfokú egyenlet megoldóképlete. A megoldóképlet készségszintű alkalmazása. Számológép használata. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa. Diszkusszió. Gyöktényezős alak, Viete-formulák. Másodfokúra visszavezethető egyenletek. Új ismeretlen bevezetése. Matematikatörténet: magasabb fokú egyenletek megoldhatósága. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 1 óra Törtek egyszerűsítése a gyöktényezős alak ismeretében. Másodfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok. Modellalkotás, megoldási módszerek. Szövegben történő ellenőrzés. Másodfokú függvények vizsgálata. Teljes négyzetté alakítás használata. Számítógépes program használata. Szélsőérték-feladatok. 13

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás leírása. Informatika: számítógépes program haszná-

Másodfokú függvény vizsgálatával. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 1 óra Szöveges feladatok megoldása.

lata.

Másodfokú egyenlőtlenségek. A megoldás megadása másodfokú függvény vizsgálatával. Másodfokú egyenletrendszer. Másodfokú egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok. Emlékezés korábban megismert módszerekre, alkalmazás az adott környezetben.

Fizika: ütközések.

Négyzetgyökös egyenletek.  Ekvivalens és nem ekvivalens egyenlet-megoldási lépések.  Hamisgyök, gyökvesztés.  Értelmezési tartomány. Ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés szerepe, szükségessége. Másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség, teljes négyzetté alakítás, Kulcsfogalmak/ megoldóképlet, diszkrimináns, diszkusszió. Egyenletrendszer. Négyzetgyöfogalmak kös egyenlet.

Tematikai egység/ 3. Statisztika. valószínűség Fejlesztési cél Előzetes tudás


Adatok elemzése, átlag, táblázatok, grafikonok használata, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség fogalma. Százalékszámítás.

A tematikai egység Tapasztalatszerzés kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése, következteténevelési-fejlesztési sek. Diagram készítése, olvasása. Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában. céljai Ismeretek/és fejlesztési követelmények


Statisztikai adatok gyűjtése, elemzése és ábrázolása. Adatok rendezése, osztályokba sorolása, táblázatba rendezése, ábrázolása. Következtetések levonása. Számológép használata. Adathalmazok jellemzői: terjedelem, átlag, medián, módusz, szórás. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 1 óra Kördiagram készítése.

Földrajz: időjárási, éghajlati és gazdasági statisztikák. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: történelmi, társadalmi témák vizuális ábrázolása (táblázat, diagram). Informatika: adatkezelés, adatfeldolgozás, információmegjelenítés.

Véletlen jelenségek megfigyelése. Kockadobások, pénzérme. Véletlen jelenségek számítógépes szimulációja. Esemény, eseménytér, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Műveletek eseményekkel. Kétváltozós műveletek értelmezése. 14

Egyszerűbb események valószínűségének kiszámítása. Klasszikus valószínűségi modell. A valószínűség meghatározása kombinatorikus eszközökkel. Kulcsfogalmak/ Terjedelem, szórás. fogalmak

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

4.Geometria (hasonlóság)


Geometriai transzformációk, a szimmetria felismerése környezetünkben, alkalmazásuk egyszerű feladatokban.

A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepének felismertetése a matematikában és a valóságban. A tematikai egység Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. nevelési-fejlesztési Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a mocéljai dell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, számítógép használata. Ismeretek/fejlesztési követelmények


A párhuzamos szelők tétele és megfordítása. A párhuzamos szelőszakaszok tétele. Szakasz arányos osztása. Számítási és bizonyítási feladatok. A középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. Aránytartó transzformáció. Szerkesztési, számítási, bizonyítási feladatok.

Földrajz: térképek.

Hasonló alakzatok. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. A sokszögek hasonlósága. A hasonló síkidomok területének aránya. A hasonló testek felszínének és térfogatának aránya. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 2 óra Feladatok hasonló háromszögekre. Hasonló síkidomok területének kiszámítása.

Fizika: hasonló háromszögek alkalmazása – lejtőmozgás, geometriai optika.

Arányossági tételek háromszögekben. Magasságtétel, befogótétel. A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség geometriai bizonyítása. Mértani közép szerkesztése. A vektor. Ellentett vektorok, nullvektor, egyenlő vektorok, vektor abszolútértéke. Műveletek vektorokkal: – összeadás (paralelogramma módszer, láncmódszer); – kivonás; – számmal való szorzás. Vektor felbontása összetevőkre. A vektorműveletek tulajdonságai.

Vizuális kultúra: festészet, építészet.

15

Fizika: vektormennyiségek.

Szerkesztési feladatok. Vektorműveletek gyakorlása síkbeli és térbeli ábrákon is. Analógia a számhalmazokon végzett műveletekkel. Bázisvektorok, bázisrendszer. Vektorok koordinátái. Vektor hosszának számítása. Helyvektor, szabadvektor. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 1 óra: Vektorok a koordináta rendszerben. Hasonlósági transzformáció, hasonló alakzat, számtani és mértani közép, kerületi és középponti szög, húrnégyszög, érintőnégyszög, látókörív. VektorKulcsfogalmak/ művelet, paralelogramma-módszer, láncmódszer, vektorfelbontás, fogalmak nullvektor, ellentett vektor, egyenlő vektor. Bázisvektor, bázisrendszer, vektorkoordináta. Helyvektor, szabadvektor.

Tematikai egység/ 5. Szögfüggvények Fejlesztési cél Előzetes tudás


Hasonlóság alkalmazása számolási feladatokban, vektorok koordinátáinak használata.

A tematikai egység Síkbeli és térbeli ábra készítése a valós geometriai problémáról. Számítánevelési-fejlesztési si feladatok, a megoldáshoz alkalmas szögfüggvény megtalálása. Számológép, számítógép használata. céljai Ismeretek/és fejlesztési követelmények


Távolságok, magasságok meghatározása arányokkal. A valóság kicsinyített ábrájáról szögek és szakaszok meghatározása méréssel és számolással. A hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciója. Szögfüggvény értékének és szögek értékének meghatározása számológéppel. Számítási feladatok szögfüggvények használatával síkban és térben. A tananyag 10 %-át az ismeretek mélyebb elsajátítására használjuk. 2 óra: Geometriai feladatok a háromszög ismeretlen oldalainak és szögeinek kiszámítására.

Fizika: lejtőn mozgó testre ható erők kiszámítása.

Nevezetes szögek szögfüggvényei: 30°; 60°; 45°. Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között. Pótszögek szögfüggvényei. Egyszerű trigonometrikus összefüggések bizonyítása. A szög ívmértéke. A radián mint mértékegység. Átváltás fok és radián között.

Fizika: szögsebesség, szöggyorsulás.

Kulcsfogalmak/ Szögfüggvény, ívmérték, periódus, radián. Forgásszög, egységvektor, egységkör. fogalmak 2 óra Év végi ismétlésre. Hiányok feltárása és pótlása. A fejlesztés várt Gondolkodási és megismerési módszerek 16

eredményei a 10.  Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; évfolyam végén bizonyítás gondolatmenetének követése.  Bizonyítási módszerek ismerete, a logikai szita és a skatulyaelv alkalmazása feladatmegoldás során.  Szorzási és összeadási szabály alkalmazása kombinatorikai feladatokban.  Gráfok használata gondolatmenet szemléltetésére. Számelmélet, algebra  A gyökvonás fogalmának ismerete, a gyökvonás azonosságainak alkalmazása, négyzetgyökös egyenletek megoldása.  Első és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldási módszereinek használata. Szöveges feladatok megoldása.  Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák megoldása teljes négyzetté alakítással. Geometria  Térelemek ismerete, a távolság és szög fogalmának értése, ismerete, a távolság és a szög mérése.  A kör és részeinek ismerete.  Körrel kapcsolatos tételek alkalmazása .  Egybevágósági és hasonlósági transzformációk ismerete, alkalmazása szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Egybevágó alakzatok, hasonló alakzatok tulajdonságainak ismerete, alkalmazása feladatokban.  Vektor fogalmának ismerete, vektorműveletek szerkesztése. Vektorfelbontás.  Háromszögek, négyszögek, sokszögek szögeinek, nevezetes vonalainak, köreinek ismerete. Az ismeretek alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban.  Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, számolás szögfüggvényekkel. Szögfüggvények közötti összefüggések ismerete. Függvények, az analízis elemei  A függvény fogalmának mélyülése. Új függvényjellemzők ismerete: korlátosság, periodicitás, paritás.  A négyzetgyökfüggvény, trigonometrikus alapfüggvények ábrázolása, jellemzése.  Többlépéses függvénytranszformációk elvégzése f x   c ; f x  c  ;

c  f x  ; f c  x  ; f x  felhasználásával.

 Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzése a megfelelő függvény grafikonja alapján. Valószínűség, statisztika  Statisztikai adatok elemzése: adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása.  Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése; adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának meghatározása.  Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. A műveletek elvégzése az eseménytérben.  A valószínűség klasszikus modelljének alkalmazása.

17

11–12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző- és összegzőképesség alakítása. Ebben a két évfolyamban áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat, amelyekhez kell az előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát.

18


144 óra/év 4 óra/hét Az éves óraszám felosztása

Sorszám

Témakör

Óraszám

1.

Számtan, algebra (hatvány gyök logaritmus)

29+3 óra

2.

Geometria (trigonometria)

29+3 óra

3.

Geometria (koordinátageometria)

31+4 óra

4.

Gondolkodási és megismerési módszerek (kombinatorika, gráf)

14+2 óra

5.

Valószínűségszámítás, statisztika

14+2 óra



A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

13 óra

1. Számtan, algebra (hatvány gyök logaritmus)

Órakeret 29+3 óra

Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. A matematika épülésének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése. A fogalmak kiterjesztése követelményeinek megértése. Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás). Tájékozódás az időben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat.

Ismeretek

Fejlesztési követelmények

n-edik gyök. A négyzetgyök fogalmának általánosítása.

A matematika belső fejlődésének felismerése, új fogalmak alkotása.

Hatványozás pozitív alap és racionális kitevő esetén.

Fogalmak módosítása újabb tapasztalatok, ismeretek alapján. A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása.

Hatványozás azonosságainak alkalmazása. Példák az azonosságok érvényben maradására.

Ismeretek tudatos memorizálása. Ismeretek mozgósítása.

Az exponenciális függvények.

Permanenciaelv alkalmazása.

Exponenciális folyamatok a természetben és a társadalomban.

Modellek alkotása (függvény modell): a lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés matematikai modelljének ösz19


Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz: a társadalmigazdasági tér szerveződé-

szevetése konkrét, valós problémákban (például: népesség, energiafelhasználás, járványok stb.).

se és folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek; földrajz: globális kérdések: - erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában.

A definíciók és a hatványozás azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható exponenciális egyenletek,egyenlőtlenségek.

Modellek alkotása (algebrai modell): exponenciális egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz; biológiaegészségtan: globális problémák - demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás.

A logaritmus értelmezése. A logaritmussal való számolás szerepe a Kepler-törvények felfedezésében.

Korábbi ismeretek felidézése (hatvány fogalma).

Technika, életvitel és gyakorlat: zajszennyezés. Kémia: pH-számítás. Fizika: Kepler-törvények.

Ismeretek tudatos memorizálása.

Zsebszámológép használata, táb- Annak felismerése, hogy a lázat használata. technika fejlődésének alapja a matematikai tudás. A logaritmus azonosságai.

Fizika; kémia: számítási feladatok.

A hatványozás és a logaritmus kapcsolatának felismerése.

A logaritmusfüggvények vizsgálata. Logaritmus alapfüggvények grafikonja, jellemzésük. A logaritmusfüggvény mint az exponenciális függvény inverze. Függvénynek és inverzének a grafikonja a koordinátarendszerben. A definíciók és a logaritmus azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása (Exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldása) Kulcsfogalmak/ fogalmak

Fizika; kémia: radioaktivitás.

Modellek alkotása (algebrai modell): logaritmus alkalmazásával megoldható egyszerű exponenciális egyenletek; ilyen egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

Életvitel és gyakorlat: zajszennyezés. Kémia: pH-számítás. Biológia-egészségtan: érzékelés, az inger és az érzet.

n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Logaritmus. Exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. 20


2. Geometria (trigonometria)

Órakeret 29+3 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Hegyesszögek szögfüggvényei. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek.

A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordinátageometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.

Ismeretek



Szögfüggvények kiterjesztése, trigonometrikus alapfüggvények (sin, cos, tg).

A kiterjesztés szükségességének, Fizika: periodikus mozgás, alapgondolatának megértése. Időtől hullámmozgás, váltakozó függő periodikus jelenségek kezelése. feszültség és áram. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.

A trigonometrikus függvények transzformációi: f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx ) .

Tudatos megfigyelés a változó szempontok és feltételek szerint.

Szinusztétel, koszinusztétel.

Általános eset, különleges eset viszo- Fizika: vektor felbontása nya (a derékszögű háromszög és a két adott állású összetevőkre. tétel). Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.

Síkidomok kerületének és területének számítása.

Ismeretek alkalmazása.

Pitagoraszi összefüggés egy szög szinusza és koszinusza között. Összefüggés a szög és a mellékszöge szinusza, illetve koszinusza között. A tangens kifejezése a szinusz és a koszinusz hányadosaként.

A trigonometrikus azonosságok megértése, használata. Függvénytáblázat alkalmazása feladatok megoldásában.

Egyszerű trigonometriA problémához hasonló egyszerű kus egyenletek. Trigoprobléma keresése. nometrikus egyenletre vezető, háromszöggel kapcsolatos valós problémák. Azonosság alkalmazását igénylő egyszerű trigonometrikus egyenlet. 21

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Földrajz: felszínszámítás.

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó időpillanatok meghatározása.

Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságai. Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele

újszerűségének felfedezése. A művelet A szükséges és az elégséges feltétel felismerése, megkülönböztetése.

Fizika: mechanikai munka, mágneses fluxus.

A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása. (Szinusz- és koszinusztétel alkalmazása) Kulcsfogalmak/ Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. fogalmak


4. Geometria (koordinátageometria)

Órakeret 31+4 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Vektorok, vektorműveletek. Számológép (számítógép) használata.


Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek, terület, kerület kiszámítása. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Fejlesztési követelmények


Helyvektor.

Emlékezés: jelek, jelölések, megállapodások.

Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megadása.

Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal. Vektorok és rendezett számpárok közötti megfeleltetés.

A vektor fogalmának bővítése (algeb- Fizika: erők összeadása rai vektorfogalom). Sík és tér: a di- komponensek segítségémenzió szemléletes fogalmának fej- vel, háromdimenziós képlesztése. alkotás (hologram).

A helyvektor koordinátái. Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái.

Képletek értelmezése, alkalmazása.

Két pont távolsága, a szakasz hossza.

Képletek értelmezése, alkalmazása.

A kör egyenlete.

Geometria és algebra összekapcsolása.

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).

Az egyenes különböző megadási módjai. Az

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn

Ismeretek

22

Fizika: hely megadása.

irányvektor, a normálvektor, az iránytangens.

(geometriai szerkesztőprogram).

Iránytangens és az egyenes meredeksége.

Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.

A merőlegesség megfogalmazása skaláris szorzattal.

Geometriai ismeretek felelevenítése, megfogalmazása algebrai alakban.

Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele.

Az egyenest jellemző adatok, a közöttük felfedezhető összefüggések értése, használata.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

Két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete.

Geometriai probléma megoldása algebrai eszközökkel. Ismeretek mozgósítása, alkalmazása (elsőfokú, illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása).


A kör adott pontjában húzott érintője.

A geometriai fogalmak megjelenítése algebrai formában. Geometriai ismeretek mozgósítása.


A koordinátageometriai ismeretek alkalmazása egyszerű síkgeometriai feladatok megoldásában.

Geometriai problémák megoldása algebrai eszközökkel. Geometriai problémák számítógépes megjelenítése.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram használata).

A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása

Fizika: égitestek pályája.

(Az egyenes és a kör egyenletével megoldható feladatok)

Kulcsfogalmak/ Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek megfelelő ponthalmaz. fogalmak

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

5. Gondolkodási és megismerési módszerek (kombinatorika, gráf)

Órakeret 14+2 óra

Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének megértése A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése.

Ismeretek



Vegyes kombinatorikai feladatok, kiválasztási feladatok. A kombinatorika alkalmazása egyszerű geometriai fela-

Modell alkotása valós problémához: kombinatorikai modell. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Földrajz: előrejelzések, tendenciák megfogalmazása Biológia-egészségtan: ge-

23

datokban. Mintavétel visszatevés nélkül és visszatevéssel. Matematikatörténet: Erdős Pál. Binomiális együtthatók.

netika

Jelek szerepe, alkotása, használata: célszerű jelölés megválasztásának jelentősége a matematikában.

Kulcsfogalmak/ Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. fogalmak Előzetes tudás

Gráffal kapcsolatos alapfogalmak.

Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének megA tematikai értése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét pélegység nevelésidák alapján gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhaszfejlesztési céljai nálati, modellalkotási képesség fejlesztése. Ismeretek


Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Fokszám öszszeg és az élek száma közötti összefüggés. Matematikatörténet: Euler A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása (A kombinatorika alkalmazása, gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása) .

Modell alkotása valós problémához: gráfmodell. Megfelelő, a problémát jól tükröző ábra készítése.


Előzetes tudás

A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

6. Valószínűség, statisztika


Órakeret 14+2 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek értelmezése az események között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség matematikai fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszerei jelentőségének megértése.

Ismeretek Eseményekkel végzett műveletek. Példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre.



A matematika különböző területei Informatika: folyamatok, közötti kapcsolatok tudatosítása. kapcsolatok leírása logikai Logikai műveletek, halmazművele- áramkörökkel. tek és események közötti műveletek összekapcsolása. 24

Elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre. Véletlen esemény, valószínűség. A valószínűség matematikai definíciójának bemutatása példákon keresztül.

A véletlen kísérletekből számított relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata.

A valószínűség klasszikus modellje. Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről.

A modell és a valóság kapcsolata.

Egyszerű valószínűségszámítási problémák.

Ismeretek mozgósítása, tanult kombinatorikai módszerek alkalmazása.

Fizika: az űrkutatás hatása mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége.

Statisztikai mintavétel. Valószínűségek visszatevéses mintavétel esetén, a binomiális eloszlás. Visszatevés nélküli mintavétel.

Modell alkotása (valószínűségi modell): a mintavételi eljárás lényege.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (binomiális eloszlás).

Adathalmazok jellemzői: átlag, medián, módusz, terjedelem, szórás. Nagy adathalmazok jellemzése statisztikai mutatókkal

A statisztikai kimutatások és a valóság: az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése. Közvélemény-kutatás, minőségellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése. Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására.

A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása. (A valószínűség klasszikus modelljének az alkalmazása.)

Kulcsfogalmak/ Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási modell. Szórás. fogalmak

Továbbhaladás feltételei     

Képes egyszerű kombinatorikai feladatok megoldására. Ismeri a gráf szemléletes fogalmát, képes egyszerű alkalmazásokra. Biztonsággal alkalmazza a hatványozás azonosságait egész- és törtkitevő esetén. Ismeri a logaritmus fogalmát, jól alkalmazza az azonosságokat egyszerűbb esetekben. Képes megoldani egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenleteket. 25

 Tájékozott az alapfüggvények grafikonjait és legfontosabb tulajdonságait (értelmezésitartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) illetően.  Ismeri és alkalmazza a vektorműveleteket (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás).  Alkalmazza a szinusztételt és a koszinusztételt a háromszög hiányzó adatainak meghatározására.  Képes vektorok koordinátáival számolni.  Ki tudja számolni szakasz felezőpontjának koordinátáit.  Fel tudja írni a kör középponti egyenletét.  Ismeri és alkalmazza az egyenes (egy szabadon választott) egyenletét.  Meg tudja határozni két egyenes metszéspontjának koordinátáit.  Tudja vizsgálni kör és egyenes kölcsönös helyzetét.  Képes egyszerű valószínűségi feladatok megoldására.

26


128 óra/év 4 óra/hét Az éves óraszám felosztása

Sorszám

Témakör

Óraszám

1.

Gondolkodási módszerek, matematikai logika

5+1 óra

2.

Sorozatok

24+3 óra

3.

Felszín-, és térfogatszámítás

28+3 óra

4

Gondolkodási és megismerési módszerek (rendszerező összefoglalás)

5

Algebra, számelmélet (rendszerező összefoglalás)

15+2 óra

6

Geometria, mérés (rendszerező összefoglalás Függvény, sorozat (rendszerező összefoglalás)

9+2 óra

7

Függvény, sorozat (rendszerező összefoglalás)

9+1 óra

8

Valószínűség-számítás, statisztika

4 óra

9

Érettségi feladatok gyakorlása

7 óra

10


10 óra


Előzetes tudás

1 Gondolkodási módszerek, matematikai logika

4+1 óra

Órakeret 5+1 óra

Matematikai állítások elemzése, igaz és hamis állítások. Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY. Skatulyaelv, logikai szita. Sorbarendezési és kiválasztási feladatok, gráf használata feladatmegoldásban. Gráf, csúcs, él.

A tematikai egység A matematikai logika különböző területeinek felismerése, felfedezése a nevelési-fejlesztési hétköznapi problémákban. céljai Ismeretek Fejlesztési követelmények Logikai műveletek: negáció, Matematikai logika konjunkció, diszjunkció, A köznapi szóhasználat és implikáció, ekvivalencia. a matematikai szóhasználat Matematikatörténet: magyar összevetése. matematikusok szerepe a Logikai és halmazelméleti matematikai logikában műveletek kapcsolata. A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása. (Logikai műveletek alkalmazása)

27


Kulcsfogalmak/ Negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

Órakeret 24+3 óra

2. Sorozatok Függvénytani alapfogalmak.

A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. A matematika A tematikai egység és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntenevelési-fejlesztési vékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. Ismerethordozók céljai használata. Fejlesztési követelmények

Ismeretek


A számsorozat fogalma. A függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Matematikatörténet: Fibonacci.

Sorozat megadása rekurzióval és képlettel.

Számtani sorozat, az n. tag, az első n tag összege. Matematikatörténet: Gauss.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során.

Mértani sorozat, az n. tag, az első n tag összege.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során. A számtani sorozat mint lineáris függvény és a mértani sorozat mint exponenciális függvény összehasonlítása.

Fizika; kémia, biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok vizsgálata.

Kamatoskamat-számítás.

Modellek alkotása: befektetés és hitel; különböző feltételekkel meghirdetett befektetések és hitelek vizsgálata; a hitel költségei, a törlesztés módjai. Az egyéni döntés felelőssége: az eladósodás veszélye. Korábbi ismeretek mozgósítása (pl. százalékszámítás). A szövegbe többszörösen mélyen beágyazott, közvetett módon megfogalmazott információk és kategóriák azonosítása.

Földrajz: a világgazdaság szerveződése és működése, a pénztőke működése, a monetáris világ jellemző folyamatai, hitelezés, adósság, eladósodás. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Magyar nyelv és irodalom: szövegértés.

A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása (Számtani és mértani sorozatokkal kapcsolatos feladatok)

Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel: algoritmusok megfogalmazása, tervezése.

Kulcsfogalmak/ Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat. fogalmak


3. Felszín- és térfogatszámítás

Órakeret 28+3 óra

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes 28

ponthalmazok ismerete. Hegyesszögek szögfüggvényei. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.



Ismeretek


Síkidomok kerületének és területének számítása.

Ismeretek alkalmazása.

Földrajz: felszínszámítás.

Mértani testek csoportosítása. Hengerszerű testek (hasábok és hengerek), kúpszerű testek (gúlák és kúpok), csonka testek (csonka gúla, csonka kúp). Gömb.

A problémához illeszkedő vázlatos ábra alkotása; síkmetszet elképzelése, ábrázolása. Fogalomalkotás közös tulajdonság szerint (hengerszerű, kúpszerű testek, poliéderek).

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program). Kémia: kristályok.

A tanult testek felszínének, térfogatának kiszámítása. Gyakorlati feladatok

A valós problémákhoz modell alkotása: geometriai modell. Ismeretek megfelelő csoportosítása.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program).

A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása .( Felszín-és térfogat számítási feladatok)

Kulcsfogalmak/ Felszín, térfogat. fogalmak


Órakeret 48+6 óra

Rendszerező összefoglalás A középiskolai matematika anyaga.

Előzetes tudás

A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése.

A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai Ismeretek



4.Gondolkodási és megismerési módszerek ( 4+1 óra) Halmazok. Ponthalmazok és számhalmazok. Valós számok halmaza és részhalmazai.

A problémának megfelelő szemléltetés kiválasztása (Venn-diagram, számegyenes, koordináta-rendszer). 29

Állítások logikai értéke. Logikai műveletek.

Szövegértés. A szövegben található információk összegyűjtése, rendszerezése.

Filozófia: logika - a következetes és rendezett gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. Informatika: Egy bizonyos, nemrég történt esemény információinak begyűjtése több párhuzamos forrásból, ezek összehasonlítása, elemzése, az igazságtartalom keresése, a manipulált információ felfedése. Navigációs eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata.

A halmazelméleti és a logikai ismeretek kapcsolata.

Halmazok eszközjellegű használata.

Definíció és tétel. A tétel bizonyítása. A tétel megfordítása.

Emlékezés a tanult definíciókra és tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során.

Bizonyítási módszerek.

Direkt és indirekt bizonyítás közötti különbség megértése. Néhány tipikusan hibás következtetés bemutatása, elemzése.

Filozófia: szillogizmusok.

Kombinatorika: leszámlálási felada- Sorbarendezési és kiválasztási tok. Egyszerű feladatok megoldása problémák felismerése. gráfokkal. Gondolatmenet szemléltetése gráffal. Műveletek értelmezése és műveleti tulajdonságok. A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása (Halmazműveletek gyakorlása)

Absztrakt fogalom és annak konkrét megjelenései: valós számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel.

5.Számtan, algebra (15+2 óra) Gyakorlati számítások.

Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számológép használata, értelmes kerekítés.

30

Technika, életvitel és gyakorlat: alapvető adózási, biztosítási,

egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek. Egyenletek és egyenlőtlenségek.

Megoldások az alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz megfelelő kezelésével.

Algebrai azonosságok, hatványozás azonosságai, logaritmus azonosságai, trigonometrikus azonosságok.

Az azonosságok szerepének ismerete, használatuk. Matematikai fogalmak fejlődésének bemutatása pl. a hatvány, illetve a szögfüggvények példáján.

Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Algebrai megoldás, grafikus megoldás. Ekvivalens egyenletek, ekvivalens átalakítások. A megoldások ellenőrzése.

Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása. Az önellenőrzésre való képesség. Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás.

Első- és másodfokú egyenlet és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenletek. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek.

Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenségtípusok önálló megoldása.

Elsőfokú és egyszerű másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása.

A tanult megoldási módszerek biztos alkalmazása.

Egyenletekre, egyenlőtlenségekre vezető gyakorlati életből vett és szöveges feladatok

Matematikai modell (egyenlet, egyenlőtlenség) megalkotása, vizsgálatok a modellben, ellenőrzés.

A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása (Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása.)

6.Geometria (9+2 óra) Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Térelemek kölcsönös helyzete, tá-

Valós problémában a megfelelő geometri31

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

volsága, szöge. Távolságok és szögek kiszámítása.

ai fogalom felismerése, alkalmazása.

Geometriai transzformációk. Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál. Egybevágóság, hasonlóság. Szimmetriák.

Szerepük felfedezése művészetekben, játékokban, gyakorlati jelenségekben.

Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. A háromszög nevezetes vonalai, pontjai és körei. Összefüggések a háromszög oldalai, oldalai és szögei között. A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés. A problémának megfelelő összefüggések felismerése, alkalmazása.

Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés.

Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Számítási feladatok. Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Matematikatörténeti ismeretek: a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám n-esig. Vektorok alkalmazásai. Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Két alakzat közös pontja. Matematikatörténet: nevezetes szerkeszthetőségi problémák A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása (Összetett geometriai feladatok megoldása)..

Geometria és algebra összekapcsolása.

7.Összefüggések, függvények, sorozatok (9+1 óra) A függvény megadása. A függvények tulajdonságai.

Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak alkalmazása konkrét feladatokban. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai. 32

A tanult alapfüggvények ismerete.

Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése).

Függvénytranszformációk: f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx ) . Eltolás, nyújtás és összenyomás a tengelyre merőlegesen.

Kapcsolat a matematika két területe között: függvénytranszformációk és geometriai transzformációk.

Függvényvizsgálat a tanult szempontok szerint

Emlékezés, ismeretek mozgósítása.

. A megtanított ismeretek elmélyítése és gyakorlása. ( Függvénytranszformációk, függvényelemzés)

Függvények használata valós folyamatok elemzésében. Függvény alkalmazása matematikai modell készítésében.

Fizika, kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

8.Valószínűség-számítás, statisztika (4 óra) Diagramok. Statisztikai mutatók: módusz, medián, átlag, szórás.

Adathalmazok jellemzése önállóan választott mutatók segítségével. A reprezentatív minta jelentőségének megértése.

Magyar nyelv és irodalom: a tartalom értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése.

Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen esemény valószínűsége. A valószínűség kiszámítása a klaszszikus modell alapján. A véletlen törvényszerűségei.

A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek

Technika, életvitel és gyakorlat; biológiaegészségtan: szenvedélybetegségek és ri-

33

felismerése.

Kulcsfogalmak/ fogalmak

zikófaktor.

Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell.

Továbbhaladás feltételei                          

Ismeri és alkalmazza a tanult halmazműveleteket. Képes adott véges halmazok esetén kiszámítani a számosságokat. Tud egyszerű (matematikai) szövegeket értelmezni. Megfelelően alkalmazza az ítélet fogalmát. Egyszerű feladatokban alkalmazza a negáció, konjunkció, diszjunkció műveletét, és ezt össze tudja kapcsolni a halmazműveletekkel. Különbséget tud tenni definíció és tétel között. Használja és alkalmazza feladatokban a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltételt. Tud egyszerű kombinatorikai feladatokat megoldani. Tud konkrét szituációkat szemléltetni gráfok segítségével. Tud prímtényezős felbontás és a tanult oszthatósági szabályok alkalmazásával egyszerű feladatokat megoldani. Ismeri a való számkör felépítését. Ismeri és használja a hatványozás azonosságait. Ismeri és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát és azonosságait. Tud algebrai kifejezésekkel műveleteket végezni. Felismeri az egyenes és fordított arányosságot, jól alkalmazza a százalékszámítást. Algebrai és grafikus módon is tud első- és másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket, valamint első- és másodfokú egyenletrendszereket megoldani. Képes nagyon egyszerű abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket megoldani. Tud értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni és adatokat leolvasni a grafikonról. Képes jellemezni grafikonnal megadott egyszerű függvényeket. Ki tudja számítani számtani, illetve mértani sorozat tagjait és részletösszegeit. Helyesen alkalmazza feladatokban a térelemek távolságára és szögére vonatkozó definíciókat. Felismeri és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. Ismeri a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseit, a háromszög nevezetes vonalait és pontjait. Képes alkalmazni a Thalész- és a Pitagorasz-tételt. Ismeri a négyszögek fajtáit és tulajdonságait. Helyesen alkalmazza a tanult kerület-, terület-, felszín- és térfogat-számítási képleteket egyszerű feladatokban. 34

 Képes háromszögek hiányzó adatainak kiszámítására szögfüggvények, illetve szinusz- és koszinusztétel segítségével.  Érti a vektor koordinátáinak fogalmát.  Jól tudja különböző adatokból az egyenes és a kör egyenletét felírni.  Képes egyenesek metszéspontját kiszámolni.  Képes statisztikai adatokat rendezni, grafikonon ábrázolni, adott diagramról információt kiolvasni.  Meg tudja határozni konkrét adatsokaság móduszát, mediánját, aritmetikai átlagát.  Képes adathalmazokat összehasonlítani statisztikai mutatók segítségével.  Egyszerű feladatokban jól alkalmazza a klasszikus valószínűség-számítási modellt.

A fejlesztés várt eredményei a 11-12. évfolyamos ciklus végén Gondolkodási és megismerési módszerek – A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. – A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában. – Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. – Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. – A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. – A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. – A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani – A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is. Számtan, algebra – A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete. – A logaritmus fogalmának ismerete. – A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából. – Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése. – A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával. – Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban. Összefüggések, függvények, sorozatok – Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása. – Függvénytranszformációk végrehajtása. – Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete. – Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése. – A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások. – Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról.

Geometria – Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében. – A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. – A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. 35

– – –

Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása. Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása.

–

A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása.

Valószínűség, statisztika – Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. – A valószínűség matematikai fogalma. – A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. – Mintavétel és valószínűség. – A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni. – Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét. Összességében A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat. – Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat. – Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni. – Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket. – Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni. – A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. – A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. – A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége. –

36

Nyelvi előkészítő évfolyam Matematika Tanterv

Recommend Documents