NETWERKEN EN FILTERS Rik Pintelon
Rik Pintelon, Brussel, oktober 2005 Version 18 December 2015
1
Inhoudstabel DEEL II: Synthese van Netwerken 1. Filterspecificaties 1.1. Inleiding 1.2. Amplitudefilters 1.3. Decibel-schaal 1.4. Eigenschappen van de transferfunctie 1.5. Frequentie- en weerstandnormalisatie 1.6. Transformaties tussen amplitude filters 2. Analytische Amplitudebenaderingstechnieken 2.1. Algemene vorm analytische oplossingen 2.2. Afleiden van de transferfunctie uit een amplitudekarakteristiek 2.3. Butterworth benadering 2.4. Chebyshev benadering 2.5. Invers Chebyshev benadering 2.6. Cauer benadering 2.7. Vergelijking van de verschillende amplitude benaderingen 3. Analytische Fasebenaderingstechnieken 3.1. Inleiding 3.2. Lineaire fasefilters 4. Numerieke Benaderingstechnieken 4.1. Amplitudebenadering 4.2. Fasebenadering 4.3. Amplitude- en fasebenadering 5. Synthese van Actieve Filters 5.1. Inleiding 5.2. Invloed cascaderen op de transferfunctie 5.3. Studie van een elementaire 2de orde sectie 5.4. Paren van polen en nullen 5.5. Cascaderen van de secties 5.6. Realisatie met behulp van Sallen-Key secties 5.7. Toestandsveranderlijke filters 5.8. Belangrijke opmerking 6. Studie van de Eigenschappen van Netwerkfuncties 6.1. Vermogenbalans n-poort in sinusoïdaal regime - de energiefuncties 6.2. De energiefuncties en de Z- en Y-matrices van een 2-poort 6.3. De energiefuncties en de impedantie van een 1-poort 6.4. Positief reële functies 6.5. Eigenschappen van positief reële functies 6.6. Eigenschappen van Foster functies (reactantiefuncties) 6.7. Canonieke voorstellingen van Foster functies 6.8. Synthese van Foster functies 6.9. Eigenschappen van RC functies (Cauer functies) 6.10. Eigenschappen van LR functies 7. Classificatie van Filtersynthesevraagstukken 7.1. Probleemstelling 7.2. Tweede categorie syntheseproblemen
2 5 5 5 10 12 13 15 22 22 23 24 28 29 30 31 33 33 34 35 35 35 35 37 37 38 39 43 44 47 51 55 57 57 59 60 62 62 65 68 69 72 74 75 75 76
2
8. Studie van de Eigenschappen van de Koppelparameters 8.1. RLMC-tweepoorten 8.2. LMC-tweepoorten 8.3. Enkelvoudige LC-laddernetwerken 9. De Cauer Synthese van Tweede Categorie Problemen 9.1. Basisidee van de Cauer synthese 9.2. Volledige poolafsplitsing 9.3. Partiële poolafsplitsing 9.4. Voorbeeld 1: filterontwerp met alle transmissienullen in het oneindige 9.5. Voorbeeld 2: filterontwerp met alle transmissienullen in de oorsprong 9.6. Voorbeeld 3: filterontwerp met eindige transmissienullen 10. Fasecorrectienetwerken 10.1. Allpass transferfuncties 10.2. Verliesloze allpass netwerken 10.3. Synthese verliesloze allpass filters 11. Synthese van FDNR en Switched Capacitor Filters 11.1. FDNR- filtersynthese 11.2. Switched capacitor filters 12. Appendix A: de Chebyshev Veeltermen 12.1. Definitie Chebyshev veeltermen 12.2. Eigenschappen Chebyshev veeltermen
78 78 79 80 85 85 90 91 93 96 99 104 104 105 108 110 110 114 120 120 120
3
DEEL II: SYNTHESE VAN NETWERKEN
4
1.
Filterspecificaties
1.1. Inleiding Een tweepoort waarvan de transferfunctie T p van de bron (spanning of stroom) naar de uitgangspoort (spanning of stroom) aan opgelegde specificaties voldoet is een filter. In de onderstelling dat het om een spanning tot spanning transferfunctie gaat (= meest voorkomende geval),
Tp
v in t
v out t
wordt het regimeantwoord van het filter op een periodieke excitatie v in t v in t =
Ak sin k t + k k
gegeven door v out t =
Ak T jk sin k t + k + arg T jk
(1)
k
Deze formule toont duidelijk aan dat via de amplitude A = T j van het filter men bepaalde frequentiebanden kan onderdrukken ( A « 1 ) of doorlaten ( A 1 ). Bijvoorbeeld, men wenst een signaal te meten in de aanwezigheid van een 50 Hz stoorkomponent. In dat geval zal A 250 « 1 , en A 2f 1 voor de andere frequenties. Om er nu voor te zorgen dat niet alleen het vermogenspectrum van het te meten signaal, maar ook het tijdsbeeld na filteren bewaard blijft, moet de fase van het filter = arg T j aan bepaalde eisen voldoen (zie verder: fase lineariteit). Filterspecificaties zullen dus typisch eisen opleggen aan de amplitude en fase van het filter als functie van de frequentie. In toepassingen waar enkel de vermogeninhoud (amplitude spectrum) van het signaal belangrijk is zal men enkel eisen opleggen op A . Wanneer het tijdsbeeld belangrijk is (bijv. een blokgolf moet er na filteren nog als een blokgolf uitzien) zal men eisen opleggen op zowel de amplitude als de fase van het filter. We starten met de typische amplitude eisen en behandelen achteraf de fase eisen. 1.2. Amplitudefilters De meeste filters kunnen we bij één van de volgende categorieën indelen: • laagdoorlaat (lowpass) filters • hoogdoorlaat (highpass) filters • banddoorlaat (bandpass) filters • bandstop (bandstop) filters Er bestaan filters met meer dan één doorlaat- en stopgebied; ze komen echter weinig voor. We behandelen nu achtereenvolgens de vier categorieën.
5
a) Laagdoorlaat filters Een laagdoorlaat filter laat de lage frequenties quasi ongedempt door en onderdrukt de hoge frequenties. Deze komen bijvoorbeeld voor als anti-alias filter in data acquisitiekanalen. Het amplitudeverloop ziet er als volgt uit: A 1 Ad
ideaal werkelijk
As 0 f
doorlaatband
stopband
fs
fd
overgangsgebied waarbij de rode lijn de ideale laagdoorlaat karakteristiek weergeeft: A = 1 voor f 0 f d , en A = 0 voor f f d . Gezien het impuls antwoord verbonden deze ideale laagdoorlaat karakteristiek niet-causaal is (een sinc-functie), kan deze onmogelijk gerealiseerd worden d.m.v. een elektrisch netwerk. We kunnen enkel trachten de ideale karakteristiek zo goed mogelijk te benaderen. Dit wordt weergegeven door de zwarte lijn die gekenmerkt wordt door de volgende vier parameters: • f d het einde van de doorlaatband, en A d = A d de minimale amplitude in de doorlaatband • f s het begin van de stopband, en A s = A s de maximale amplitude in de stopband Verder definieert men de selectiviteit k van het laagdoorlaat filter als fd k = ---fs
(2)
De selectiviteit k is een maat voor de steilheid van de overgang van de doorlaatband naar de stopband. Dit getal, begrepen tussen nul en één, drukt uit dat een filter maken met een overgangsgebied f s – f d van bijvoorbeeld 100 Hz bij f d = 1 kHz , niet hetzelfde is als een filter met f s – f d = 100 Hz bij f d = 20 kHz : hoe groter de selectiviteit van het filter hoe meer komponenten men nodig heeft en hoe moeilijker het te realiseren is (zie § 2.3. en § 2.4.).
6
b) Hoogdoorlaat filter Een hoogdoorlaat filter onderdrukt sterk de lage frequenties en laat de hoge frequenties quasi ongedempt door. De AC-koppeling in meettoestellen wordt gerealiseerd door een éénvoudig hoogdoorlaat filter. Het amplitudeverloop ziet er als volgt uit: A 1 Ad ideaal werkelijk As 0 f
stopband
doorlaatband
fd
fs
overgangsgebied waarbij de rode lijn de ideale hoogdoorlaat karakteristiek weergeeft: A = 0 voor f [0 f d ) , en A = 1 voor f f d . Net zoals bij het ideale laagdoorlaat filter is het impulsantwoord verbonden aan de ideale hoogdoorlaat karakteristiek niet-causaal. Daarom kan deze enkel benaderd worden (zwarte lijn) d.m.v. een elektrisch netwerk. Deze benadering wordt gekenmerkt door vier parameters: • f d het begin van de doorlaatband, en A d = A d de minimale amplitude in de doorlaatband • f s het einde van de stopband, en A s = A s de maximale amplitude in de stopband Verder definieert men de selectiviteit k van het hoogdoorlaat filter als fs k = ---fd
(3)
Het is een getal begrepen tussen nul en één dat de steilheid van het overgangsgebied weergeeft, en dat een maat is voor de moeilijkheidsgraad van het hoogdoorlaat filterontwerp. c) Banddoorlaat filter Een banddoorlaat filter laat frequenties binnen een zekere band quasi ongedempt door, en onderdrukt sterk alle andere frequenties. Deze filters worden veelvuldig gebruikt in de telecommunicatie (bijv. selectie van radio- en TV-zenders). Het amplitudeverloop ziet er als volgt uit:
7
A 1 Ad
ideaal werkelijk
As 0 f s1
fd2
f
doorlaatband
stopband
stopband
f s2
fd1
overgangsgebied
overgangsgebied
waarbij de rode lijn de ideale banddoorlaat karakteristiek weergeeft: A = 0 voor f [0 f s1 ) (f s2 ] , en A = 1 voor f f d1 f d2 . Net zoals bij het ideale laagdoorlaat filter is het impulsantwoord verbonden aan de ideale banddoorlaat karakteristiek niet-causaal. Daarom kan deze enkel benaderd worden (zwarte lijn) d.m.v. een elektrisch netwerk. Deze benadering wordt gekenmerkt door zes parameters: • f d1 en f d2 het begin en einde van de doorlaatband, en A d = A d 1 = A d 2 de minimale amplitude in de doorlaatband • f s1 het einde van de eerste stopband, f s2 het begin van de tweede stopband, en A s = A s1 = A s2 de maximale stopband amplitude Verder definieert men de selectiviteit k van het banddoorlaat filter fd2 – fd1 -, k = ---------------f s2 – f s1
(4)
de absolute bandbreedte f d2 – f d1 , de relatieve bandbreedte B f d2 – f d1 B = ---------------f d2 f d1
(5)
en de centerfrequentie f 0 f0 =
f d2 f d1
8
De selectiviteit (4) is opnieuw een getal begrepen tussen nul en één: het is een maat voor de steilheid van de twee overgangsgebieden, en bepaalt de moeilijkheidsgraad van het banddoorlaat filterontwerp. De relatieve bandbreedte (5) drukt uit dat het realiseren van een filter met een absolute bandbreedte f d2 – f d1 van bijvoorbeeld 200 Hz bij 1 kHz , niet hetzelfde is als f d2 – f d1 = 200 Hz bij 10 kHz : hoe kleiner de relatieve bandbreedte, hoe groter de dynamiek in de te realiseren komponentwaarden (zie § 1.6.), en dus hoe moeilijker het ontwerp. Het banddoorlaat filter is symmetrisch indien het product van de stopband frequenties gelijk is aan het product van de doorlaatband frequenties f d 2 f d1 = f s2 f s1 = f 02
(6)
Merk op dat een banddoorlaat filter altijd symmetrisch gemaakt kan worden door de specificaties te verstrengen (overgangsgebieden kleiner maken terwijl de doorlaatband ongewijzigd blijft). Bijvoorbeeld stel dat f d 2 f d 1 f s2 f s1 , dan verhogen we f s1 totdat f s1 = f d2 f d1 f s2 . Is echter f d2 f d1 f s2 f s1 , dan verlagen we f s2 totdat f s2 = f d2 f d1 f s1 . Het nut van het symmetrisch maken wordt in § 1.6. uit de doeken gedaan. d) Bandstop filter Een bandstop filter onderdrukt sterk de frequenties binnen een zekere band, en laat alle andere frequenties quasi ongedempt door. Het amplitudeverloop ziet er als volgt uit: A 1 Ad ideaal werkelijk As 0
doorlaatband
stopband
f
f d2
f s2
f s1
fd1
doorlaatband
overgangsgebied
overgangsgebied
waarbij de rode lijn de ideale bandstop karakteristiek weergeeft: A = 1 voor f [0 f d 1 ) (f d 2 ] , en A = 0 voor f f s1 f s2 . Net zoals bij het ideale laagdoorlaat filter is het impulsantwoord verbonden aan de ideale bandstop karakteristiek niet-causaal. Daarom kan deze enkel benaderd worden (zwarte lijn) d.m.v. een elektrisch netwerk. Deze benadering wordt gekenmerkt door zes parameters: • f d1 het einde van de eerste doorlaatband, f d 2 het begin van de tweede doorlaatband, en A d = A d1 = A d2 de minimale amplitude in de doorlaatband 9
• f s1 en f s2 het begin en einde van de stopband, en A s = A s1 = A s2 de maximale stopband amplitude Verder definieert men de selectiviteit k van het bandstop filter f s2 – f s1 -, k = ---------------fd2 – fd1
(7)
de absolute bandbreedte f s2 – f s1 , de relatieve bandbreedte B f s2 – f s1 B = --------------f s f s1
(8)
en de centerfrequentie f 0 f0 =
f s f s1
De selectiviteit (7) is opnieuw een getal begrepen tussen nul en één: het is een maat voor de steilheid van de twee overgangsgebieden, en bepaalt de moeilijkheidsgraad van het bandstop filterontwerp. Net zoals bij het banddoorlaat filter bepaalt de relatieve bandbreedte (8) mede de moeilijkheidsgraad van het bandstop filterontwerp (zie § 1.6.). Het bandstop filter is symmetrisch indien het product van de stopband frequenties gelijk is aan het product van de doorlaatband frequenties f d 2 f d1 = f s2 f s1 = f 02
(9)
Het bandstop filter kan altijd symmetrisch gemaakt worden door de specificaties te verstrengen (overgangsgebieden kleiner maken terwijl de doorlaatbanden ongewijzigd blijven). Stel bijvoorbeeld dat f d 2 f d1 f s2 f s1 , dan verhogen we f s2 totdat f s2 = f d2 f d1 f s1 . Is echter f d2 f d1 f s2 f s1 , dan verlagen we f s1 totdat f s1 = f d2 f d1 f s2 . Voor nut van het symmetrisch maken verwijzen we naar § 1.6. 1.3. Decibel-schaal Typische waarden voor de amplitude in door- en stopband zijn Tabel 1: Typische grootte ordes amplitude in doorlaat- en stopband Ad
As
rimpel
onderdrukking
0.9
groot
0.01
zwak
0.99
matig
0.001
matig
0.999
klein
0.0001
sterk
0.9999
zeer klein
0.00001
zeer sterk
10
Omdat enerzijds in de doorlaatband alle waarden dicht bij één liggen, en anderzijds in de stopband de dynamiek in de getallen zeer groot is, gaat men de amplitudes in doorlaat- en stopband op een logaritmische schaal weergeven. Men gebruikt hiervoor de deci-Bell schaal, afgekort dB A dB = 20log 10 A
(10)
Uitgedrukt in dB wordt Tabel 1 Tabel 2: Typische grootte ordes amplitude in dB Ad
A ddB
1 – Ad
A sdB
As
0.9
0.1
-0.9
0.01
-40
0.99
0.01
-0.09
0.001
-60
0.999
0.001
-0.009
0.0001
-80
0.9999
0.0001
-0.0009
0.00001
-100
De volgende vuistregels laten toe om snel met de dB-schaal te rekenen: • factor 10 20 dB • factor 2 6 dB • factor 2 3 dB • 10% relatieve variatie 1 dB • 1% relatieve variatie 0.1 dB • 0.1% relatieve variatie 0.01 dB • 0.01% relatieve variatie 0.001 dB (= 1 mdB) Voorbeelden: • factor 5 (= 10/2) 20 dB – 6 dB = 14 dB (juiste waarde is 13.98 dB). • 33 dB (= 20 dB + 12 dB + 1 dB) factor 10 4 1.1 = 44 (juiste waarde is 44.6) • factor 3 (= 9.54 dB)
9 =
10 0.9 ) 0.5 20 dB – 1 dB = 9.5 dB (juiste waarde is
• -25 dB (= -(20 dB + 6 dB - 1 dB)) factor 1 10 2 0.9 = 1 18 (juiste waarde is 1/17.8) Opmerkingen: 1) Op spectrale analyse meettoestellen drukt men ook niet-dimensieloze grootheden uit in dB. Men gaat dan echter ook de eenheid van de grootheid meegeven in de dB-schaal. Bijvoorbeeld een spanning van 4 mV wordt -48 dBV (= 12-60), waarbij V staat voor het feit dat de spanning gedeeld wordt door 1 V vooralleer de dB-schaal toe te passen. Analoog schrijft men van dBA voor stromen, dB voor impedanties,
11
2) Een vermogen P (kwadraat amplitude) wordt als volgt uitgedrukt in dB: P dB = 10log 10 P Hetzelfde geldt voor de variantie van een ruisbron of het vermogenspectrum (power spectrum and power spectral density). 1.4. Eigenschappen van de transferfunctie Langsheen de imaginaire as kan de transferfunctie T p geschreven worden als T j = A e j = R + jI met A de amplitude, de fase, R het reële gedeelte, en I het imaginaire gedeelte van de transferfunctie. Een andere belangrijke functie is groepsdoorlooptijd g gedefinieerd als d g = – ---------------
(11)
d
Voor reële netwerken, en in het algemeen reële systemen, hebben deze functies de volgende eigenschappen. Eigenschap 1: A is een even functie van . Bewijs: Per definitie is A 2 = T j T j . Voor reële netwerken zijn de coëfficiënten van de rationale vorm T p reële getallen. Bijgevolg is T j = T – j . Toepassen van die eigenschap geeft dan A 2 – = T – j T – j = T j T j = A 2 wat het gestelde aantoont. Eigenschap 2: is een oneven functie van . Bewijs: Men kan gemakkelijk nagaan dat 1 j = ----- log(T --------------) 2j
T j
Gebruik makend van T j = T – j (reëel netwerk) vinden we 1 11 – j ) = --- j -) = – --- j -) = – – = ----- log(T ----------------log(T ------------log(T ------------2j
T –j
2j
T j
2j
T j
wat het gestelde bewijst. Eigenschap 3: R is een even functie van . Bewijs: Per definitie is 1 R = Re T j = --- T j + T j 2
12
Gebruik makend van T j = T – j vinden we 1 1 R – = --- T – j + T – j = --- T j + T j = R 2 2 wat het gestelde aantoont. Eigenschap 4: I is een oneven functie van . Bewijs: Per definitie is 1 I = Im T j = ----- T j – T j 2j zodat 1 1 I – = ----- T – j – T – j = ----- T j – T j = – I 2j 2j wat het gestelde aantoont. Eigenschap 5: g is een even functie van . Bewijs: Gebruik makend van de definitie van de afgeleide
+ – g = – lim -------------------------------------------- 0
en Eigenschap 2 volgt onmiddellijk dat g – = g . 1.5. Frequentie- en weerstandnormalisatie Beschouw het ontwerp van een laagdoorlaat filter met niet-ideale spanningsbron, belasting R L
E
RE
verliesloze tweepoort
RL
UL
en transferfunctie T p = U L p E p . Uitgaande van de specificaties R E , R L , A d , d ( f d = d 2 ), A s , en s ( f s = s 2 ) wordt er gevraagd om een verliesloze tweepoort (enkel spoelen en condensatoren) te ontwerpen. De oplossing van dit probleem vindt men terug in boeken onder tabelvorm als functie van een minimaal aantal ontwerpparameters. Hierbij worden de oorspronkelijke zes ontwerpparameters herleid tot vier via een zogenaamde frequentie- en weerstandnormalisatie. a) Frequentienormalisatie De pulsatie (hoekfrequentie, angular frequency) wordt gedeeld door de afsnijpulsatie d van het laagdoorlaat ontwerp. Bij de overeenkomstige frequenties heeft de transferfunctie T p d in de geschaalde Laplace veranderlijke p d
13
dezelfde amplitude en fase als de oorspronkelijke transferfunctie T p indien de elementwaarden op de volgende wijze getransformeerd worden: RR p Lp L d -----d
(12)
11 ----- ----------------------Cp p C d -----d (bewijs: zie deel I Analyse: de transferfunctie hangt enkel af van de admittanties of impedanties van de komponenten). Het aantal ontwerpparameters is onder de frequentienormalisatie herleid van zes naar de volgende vijf: R E , R L , A d , dn = 1 ( f dn = 1 2 ), A s , en sn = 1 k ( f sn = 1 2k ), met k de selectiviteit (2) van het laagdoorlaat filter. b) Weerstandnormalisatie In deel I Analyse hebben we aangetoond dat de spanning tot spanning transferfunctie niet wijzigt wanneer elke impedantie van het netwerk gedeeld wordt door dezelfde functie g p (zie deel I, § 4.6., blz. 59). Nemen we nu als special geval g p = R L dan worden de impedanties na reeds (12) toegepast te hebben R Rn p p L d ------ L n -----d d 1 1 --------------------- ------------p p C d -----C n -----d d
met
R R n = -----RL
met
L d L n = ---------RL
met
C n = R L C d
(13)
waarbij R n , L n , en C n dimensieloze getallen zijn. Deze dimensieloze getallen vindt men terug in de getabuleerde oplossingen (zie Zverev, 1967). Na een frequentie- (12) en weerstandnormalisatie (13) is het aantal ontwerpparameters herleid van zes naar de volgende vier: R En = R E R L , R Ln = 1 , A d , dn = 1 ( f dn = 1 2 ), A s , en sn = 1 k ( f sn = 1 2k ). c) Procedure passief laagdoorlaat filter ontwerp Een laagdoorlaat filter synthese probleem wordt dus als volgt opgelost: • frequentie- en weerstandnormalisatie van de specificaties, • ontwerp van het genormaliseerde laagdoorlaat filter (resultaat: een netwerk met dimensieloze elementwaarden), • frequentie- en weerstanddenormalisatie van de elementwaarden via oplossen van (13) naar R , L , en C Ln RL Cn R = R n R L , L = ------------ , en C = ------------d RL d
(14)
(resultaat: laagdoorlaat filter dat aan de oorspronkelijke specificaties voldoet). 14
1.6. Transformaties tussen amplitude filters De transformaties worden uitgevoerd op frequentie- en weerstand genormaliseerde filters, en bijgevolg zijn de Laplace veranderlijken ook genormaliseerd en dimensieloos. a) Laagdoorlaat naar hoogdoorlaat transformatie: p = 1 q Beschouw de volgende genormaliseerde laagdoorlaat amplitudekarakteristiek A 1 Ad
As –1 k
0
–1
1
1k
Figuur 1: Amplitude karakteristiek laagdoorlaat prototype ( A is een even functie van , zie § 1.4.) Langsheen de imaginaire as geeft de transformatie p = 1 q het volgende verband tussen de hoekfrequenties 1 1 j = ------ = – ---j
(15)
( p = j , q = j , en de frequenties zijn genormaliseerd!). Hieruit volgt dat »1 «1A1 «k »1kA0
(16)
Rekening houdend met (15) en (16) vinden we de volgende A karakteristiek A 1
1 Ad
As –1
–k
0
k
1
waarbij de negatieve frequenties omgezet worden in positieve frequenties in en omgekeerd. Merk op dat de transformatie p = 1 q een laagdoorlaat filter omzet in een hoogdoorlaat filter met dezelfde selectiviteit en dezelfde orde.
15
b) Laagdoorlaat naar banddoorlaat transformatie: p = q + 1 q B Beschouw de genormaliseerde laagdoorlaat karakteristiek in Figuur 1 op blz. 15. Langsheen de imaginaire as geeft de transformatie p = q + 1 q B het volgende verband tussen de hoekfrequenties j = j + 1 j B = – 1 B
(17)
( p = j , q = j , en de frequenties zijn genormaliseerd!). Hieruit volgt dat »1 »1A0 «1 »1A0 1 0A1
(18)
Rekening houdend met (17) en (18) vinden we de volgende A karakteristiek A 1
1 Ad
As – s2 – d2
– d1 – s1
0
s1 d1
d2
s2
met 1 s1 = --- – B k + B k 2 + 4 2 1 s2 = --- B k + B k 2 + 4 2 1 d 1 = --- – B + B 2 + 4 2 1 d 2 = --- B + B 2 + 4 2 Bewijs dit als oefening (aanwijzing: gebruik = B B 2 + 4 2 met = 1 voor de doorlaatband en = 1 k voor de stopband). Merk op dat d2 – d1 ----------------------- = k en d d = s s = 1 1 2 1 2 s2 – s1 waaruit volgt dat de transformatie p = q + 1 q B een laagdoorlaat filter omzet in een symmetrisch banddoorlaat filter met dezelfde selectiviteit. De orde van het filter verdubbelt echter.
16
c) Laagdoorlaat naar bandstop transformatie: p = B q + 1 q Beschouw de genormaliseerde laagdoorlaat karakteristiek in Figuur 1 op blz. 15. Langsheen de imaginaire as geeft de transformatie p = B q + 1 q het volgende verband tussen de hoekfrequenties j = B j + 1 j = – B – 1
(19)
( p = j , q = j , en de frequenties zijn genormaliseerd!). Hieruit volgt dat »1 0A1 «1 0A1 1 »1A0
(20)
Rekening houdend met (19) en (20) vinden we de volgende A karakteristiek A 1
1 Ad
As – d2 – s2
– s1 – d1
0
d1 s1
s2
d2
met 1 s1 = --- – B k + Bk 2 + 4 2 1 s2 = --- Bk + Bk 2 + 4 2 1 d 1 = --- – B + B 2 + 4 2 1 d 2 = --- B + B 2 + 4 2 Bewijs dit als oefening (aanwijzing: gebruik = – B B 2 + 4 2 met = 1 voor de doorlaatband en = 1 k voor de stopband). Merk op dat s2 – s1 ---------------------- = k en d d = s s = 1 1 2 1 2 d2 – d1 waaruit volgt dat de transformatie p = B q + 1 q een laagdoorlaat filter omzet in een symmetrisch bandstop filter met dezelfde selectiviteit. De orde van het filter verdubbelt echter.
17
d) Procedure passief hoogdoorlaat, banddoorlaat, en bandstop filter ontwerp Een filter synthese probleem wordt dus als volgt opgelost: • frequentie- en weerstandnormalisatie van de specificaties, • transformatie van de specificaties naar een laagdoorlaat probleem, met inbegrip van het symmetrisch maken van de banddoorlaat en bandstop specificaties, • ontwerp van het genormaliseerde laagdoorlaat filter (resultaat: een netwerk met dimensieloze elementwaarden) • omzetten van het laagdoorlaat prototype naar het gewenste amplitude filter, door elke impedantie in het laagdoorlaat filter te transformeren met p = 1 q (hoogdoorlaat), p = q + 1 q B (banddoorlaat), of p = B q + 1 q (bandstop), • frequentie- en weerstanddenormalisatie van de elementwaarden via Ln RL Cn R = R n R L , L = ------------ , en C = ------------d RL d
(21)
(resultaat: amplitude filter dat aan de oorspronkelijke specificaties voldoet) e) Voorbeeld 1: hoogdoorlaat ontwerp Stel dat we een hoogdoorlaat filter wensen te ontwerpen uitgaande van de specificaties R E , R L , A d , d ( f d = d 2 ), A s , en s ( f s = s 2 ). Na frequentie- en weerstandnormalisatie, en hoogdoorlaat naar laagdoorlaat transformatie van de specificaties vinden we bijvoorbeeld het volgende genormaliseerde laagdoorlaat ontwerp (2de orde filter) Rn = RE RL
E
Ln
Cn
1
Toepassing van de laagdoorlaat naar hoogdoorlaat transformatie p = 1 q op elke impedantie Rn 1 Cn p
Ln p
Rn p = 1q
q Cn
Ln q
18
zet het genormaliseerde laagdoorlaat filter om in het volgende genormaliseerde hoogdoorlaat filter
Rn
1 Ln
E
1 Cn
1
Frequentie- en weerstanddenormalisatie (21) geeft uiteindelijk het gezochte hoogdoorlaat filter
RE
1 C = ------------------RL d Ln
RL L = ------------d Cn
E
RL
met de weerstandswaarden in Ohm, de capaciteitswaarde in Farad, en de spoelwaarde in Henry. f) Voorbeeld 2: banddoorlaat ontwerp Stel dat we uit de opgegeven specificaties na frequentie- en weerstandnormalisatie, en banddoorlaat naar laagdoorlaat transformatie (symmetrisch maken inbegrepen), het volgende genormaliseerde laagdoorlaat ontwerp vinden (2de orde filter) Rn = RE RL
E
Ln
Cn
1
19
Toepassing van de laagdoorlaat naar banddoorlaat transformatie p = q + 1 q B op elke impedantie Rn
1 Cn p
Rn
qB C n p = q + 1 q B
B Cn q Ln p Ln q B
L n Bq
zet het genormaliseerde laagdoorlaat filter om in het volgende genormaliseerde banddoorlaat filter Rn
Ln B
B Ln
Cn -----B
E
B----Cn
1
Frequentie- en weerstanddenormalisatie (21) geeft uiteindelijk het gezochte banddoorlaat filter RE
E
Ln RL -----------B d
B ------------------Ln RL d
Cn ---------------BR L d
BR L -----------Cn d
RL
20
met de weerstandswaarden in Ohm, de capaciteitswaarden in Farad, en de spoelwaarden in Henry. Merk op dat de verhouding van de twee spoel- en capaciteitswaarden gelijk is aan L n C n B 2 . Dit toont aan dat de dynamiek in de te realiseren elementwaarden omgekeerd evenredig is aan het kwadraat van de relatieve bandbreedte van het filter. Gezien de gekozen technologie waarin het filter wordt uitgevoerd (discrete elementen, geïntegreerde vorm, ) de maximale dynamiek van de elementwaarden oplegt, geeft dit een ondergrens op de kleinst realiseerbare relatieve bandbreedte. Onder geïntegreerde vorm heeft men typisch de volgende grootte ordes van dynamiek in de elementwaarden (kan wat variëren afhankelijk van de gekozen technologie): een factor twintig voor de spoelwaarden, een factor vierhonderd voor de capaciteitswaarden, en een factor tienduizend voor de weerstandswaarden. Met discrete komponenten heeft men typisch een factor tweeduizend voor de spoelwaarden, een factor tienduizend voor de capaciteitswaarden, en een factor honderdduizend voor de weerstandswaarden. g) Besluit Gezien de standaard hoogdoorlaat, banddoorlaat, en bandstop filters algeleid kunnen worden uit een laagdoorlaat prototype volstaat het om het laagdoorlaat amplitude benaderingsprobleem op te lossen. Vandaar dat enkel oplossingen voor genormaliseerde laagdoorlaat filters getabuleerd zijn in bijvoorbeeld Zverev (1967).
21
2.
Analytische Amplitudebenaderingstechnieken
2.1. Algemene vorm analytische oplossingen De algemene vorm van de analytische laagdoorlaat amplitudebenaderingen zien er als volgt uit 1 A 2 = ---------------------------------------2 1 + K n2 d
(22)
met de rimpel, f d = d 2 de afsnijfrequentie, en K n x een polynoom of rationale vorm in x van graad n die aan de volgende eigenschappen voldoet Kn 1 = 1 K n 0 = 0 of 1 Is K n x een polynoom dan spreekt men van een polynomiaal filter (voorbeelden, Butterworth en Chebyshev filters, zie verder); is K n x een rationale vorm dan spreekt men van een rationaal filter (voorbeelden, invers Chebyshev en Cauer filters, zie verder). A 1 Ad
ideaal analytische benadering Ad = 1 1 + 2 A s = 1 1 + 2 K n2 1 k
As 0 fs
fd
f
De rimpel en de orde n van het filter kunnen gemakkelijk uit de laagdoorlaat filter specificaties algeleid worden. Inderdaad, via (22) vinden we A ddB = – 10 log 1 + 2 K n2 1 A sdB = – 10 log 1 + 2 K n2 1 k Oplossen van deze twee vergelijkingen naar en n geeft
=
dB
10 –A d
10
–1
10 – As 10 – 1 K n 1 k = -----------------------------------dB 10 – Ad 10 – 1 dB
(23)
waarbij de laatste vergelijking eventueel numeriek opgelost moet worden naar n (via bijv. een Newton-Raphson algoritme). Specifieke uitdrukkingen voor n zullen verder gegeven worden voor het Butterworth, Chebyshev, invers Chebyshev, en Cauer filter.
22
2.2. Afleiden van de transferfunctie uit een amplitudekarakteristiek Het doel van deze paragraaf is om uit de amplitude als functie frequentie A (22) de transferfunctie T p af te leiden. Hiervoor voeren we de hulpfunctie G p in G p = T p T – p
(24)
en bestuderen we haar eigenschappen. Eigenschap 1: G p is een even functie van p Bewijs: Dat G p = G – p volgt onmiddellijk uit de definitie (24). Eigenschap 2: De polen en nullen van G p zijn kwadrantsymmetrisch Bewijs: We voeren de redenering voor de polen; deze voor de nullen is volledig gelijkaardig en wordt overgelaten als oefening aan de lezer. Stel dat p = p 1 een pool is van de transferfunctie T p , namelijk T p 1 = , dan volgt er uit (24) dat p = p 1 en p = – p 1 polen zijn van G p . Gezien de complex toegevoegde waarden p 1 en – p 1 ook polen zijn van G p ( T p is immers een reëel rationale functie), liggen de polen van de hulpfunctie G p op een gecentreerde rechthoek (= kwadrantsymmetrie). Voor reële polen ontaardt de rechthoek tot een lijnstuk. Een mogelijke polen-nullen configuratie wordt in de volgende figuur getoond
Eigenschap 3: G p = A 2
,
: Tp
,
: T –p
,
, ,
: Gp
= – jp
Bewijs: Evaluatie van (24) in p = j geeft G j = T j T – j = T j T j = A 2 Analytische voortzetting van dit verband in het ganse complexe vlak ( p = j = – jp ) bewijst dan de eigenschap. We maken hierbij gebruik van de stelling dat er slechts één analytisch functie bestaat die zich herleidt tot gegeven functiewaarden langsheen een kromme in het complexe vlak (Henrici, 1974). De kromme is hier de imaginaire as.
23
Eigenschappen 2 en 3 laten ons nu toe om uit de amplitudekarakteristiek A de transferfunctie T p af te leiden: 1) bereken G p = A 2
= – jp
2) bereken de polen en nullen van G p ; dit geeft bijvoorbeeld de onderstaande figuur
,
: Gp
3) de polen van T p zijn deze van G p in het linker halfvlak ( T p is stabiel!) 4) de keuze van de nullen van T p is niet éénduidig: men moet de helft van de complexe toegevoegde nullenparen kiezen, doch men kan paren in het rechter halfvlak combineren met paren in linker halfvlak (deze op de imaginaire as hebben een even multipliciteit en stellen geen éénduidigheidsprobleem). In het bovenstaande voorbeeld zijn er 4 keuzemogelijkheden. 5) Opstellen van de transferfunctie T p
m p – z m
T p = K ------------------------------ p – pm m
met p m , z m de polen en nullen, en K een constante die bepaald wordt via
m – z m
m – p m K -------------------------- = A 0 K = A(0) ------------------------ – z –pm m m
m
2.3. Butterworth benadering De Butterworth benadering wordt gegeven door (22) met K n d = d n
24
1 A 2 = -------------------------------------2 1 + d 2n
(25)
Uit de specificaties halen we de selectiviteit k , de rimpel , en de orde n k = d s , =
10
– A ddB 10
10 –AsdB 10 – 1 – 1 , en n = log ------------------------------------ log 1 k 10 –AddB 10 – 1
(pas (23) toe met K n(x) = x n ). Merk op dat als k 1 dat dan log 1 k 0 en dus n . M.a.w. een filter met selectiviteit k = 1 (= ideaal filter) vereist een Butterworth filter van orde oneindig. Het amplitudeverloop van een 6de orde Butterworth filter met een afsnijfrequentie van 1 Hz en A d = – 3 dB ( = 1 ) wordt in de onderstaande figuur getoond 6de orde Butterworth filter 0
Amplitude (dB)
-20
-40
-60
-80 0
1
2
3
4
5
frequentie (Hz) Merk op dat de amplitudekarakteristiek zeer vlak is rond de oorsprong en dat de amplitude monotoon afneemt voor stijgende frequenties. Eigenschap 1: De n – 1 eerste afgeleiden van A 2 naar 2 zijn nul in = 0 . Bewijs: Wordt als oefening overgelaten aan de lezer. Eigenschap 2: Het hoogfrequent gedrag van het Butterworth filter is gegeven door A 2 1 2 d 2n
(26)
voor d » 1 Bewijs: Volgt onmiddellijk uit (25). In decibel uitgedrukt wordt het hoogfrequent gedrag (26) gegeven door A dB = – 20log 10 – 20nlog 10 d Hieruit volgt dat A dB – A dB 10 = 20nlog 10 10 dB = 20n dB A dB – A dB 2 = 20nlog 10 2 dB = 6n dB
25
Men spreekt van een stopband onderdrukking van 20n dB /decade ( 10 ), en 6n dB /octaaf ( 2 ). Bijvoorbeeld, voor een 3de orde filter Butterworth filter neemt de stopband amplitude af met 60 dB als de frequentie vertienvoudigt (decade), en met 18 dB als de frequentie verdubbelt (octaaf). Stelling 1: de transfer functie T p van het n de orde Butterworth filter is gegeven door n–1
k = 0 –pm
- met p m T p = -------------------------------------n–1 p – pm
+ 1---------------j d 2m j 2n -e = -------1/n
(27)
m=0
Bewijs: We volgen de redenering van paragraaf 2.2. Uit (25) volgt de hulpfunctie G p 1 G p = A 2 – jp = -----------------------------------------1 + 2 – jp d 2n De nulpunten van deze rationale vorm liggen allemaal in p = . De polen zijn de wortels van 1 + 2 – jp d 2n = 0 Uitwerken geeft 1 + 2 – jp d 2n = 0 2 – jp m d 2n = e 2m + 1 j
m = 0 1 2n – 1
+ 1---------------j d 2m j 2n ------- pm = 1 / n e
m = 0 1 2n – 1
Merk op dat p m = d 1 / n en dus liggen deze wortels op een cirkel met straal d 1 / n . Gezien de fasehoek van de polen is gelijk aan 2m + 1 p m = --- + ----------------- 2 2n
26
volgt hieruit dat de polen p m , m = 0 1 n – 1 , in het linker halfvlak liggen, en de polen p m , m = n n + 1 2n – 1 , in het rechter halfvlak. Im p p 2n – 1
p0 p1
------ -----2n 2n
--n
--n
p 2n – 2
Re p
--n
pn – 2
------ -----2n 2n
pn – 1
--n
pn + 1 pn
Gezien de hulpfunctie G p geen eindige nullen heeft is T p éénduidig bepaalt. Gebruik makend van paragraaf 2.2 vinden we + 1---------------j d 2m j K 2n --------------------------------------------met e Tp = p = m n–1 1 / n p – p m m=0
n–1
m = 0 –pm en bewijst (27).
Uitdrukken dat T 0 = 1 geeft K =
Voorbeeld: 3de orde Butterworth filter met = 1 , en d = 1 . We vinden p0 =
--- j je 6
p1 =
--- j je 2
p2 =
5 --- j je 6
1 3 3 1 = j ------- + --- j = – --- + ------- j 2 2 2 2 = –1 = p0
De onderstaande figuur geeft de ligging van de polen in het complexe vlak Im(p) p0 --3
p1
--6
Re(p)
p2
27
Gezien p 0 p 1 p 2 = p 0 2 p 1 = – 1 uiteindelijk
en
p – p0 p – p0 = p 2 + p + 1
krijgen
we
1 1 - = -----------------------------------------T p = --------------------------------------------2 3 2 p + 1 p + p + 1 p + 2p + 2p + 1 2.4. Chebyshev benadering De Chebyshev benadering wordt gegeven door (22) met K n d = T n( d) waarbij T n(x) de Chebyshev veelterm van graad n is (zie Appendix) 1 A 2 = ---------------------------------------2 2 1 + Tn d
(28)
De Chebyschev veelterm T n x van orde n voldoet aan cos nBgcos x Tn x = ch nargch x
x 1 x 1
Uit de specificaties halen we de selectiviteit k , de rimpel , en de orde n k = d s , =
10
– A ddB 10
10 –AsdB 10 – 1 – 1 , en n = argch ------------------------------------ argch 1 k 10 –AddB 10 – 1
waarbij argch x = ln x + x 2 – 1 voor x 1 . Merk op dat als k 1 dan argch 1 k 0 en dus n . M.a.w. een ideaal laagdoorlaat filter ( k = 1 ) vereist een Chebyshev filter van orde oneindig. Eigenschap 1: Een Chebyshev filter heeft een equirimpel gedrag in de doorlaatband (zie figuren 2 en 3 op respectievelijk blz. 31 en 32). Eigenschap 2: Het hoogfrequent gedrag van het Chebyshev filter wordt gegeven door A 2 1 2 2 2 n – 1 d 2n
(29)
is dus 2 2 n – 1 maal kleiner dan het hoogfrequent gedrag van het Butterworth filter (26). Stelling 2: de transferfunctie T p van het n de orde Chebyshev filter is gegeven door n2–1 pm 2 m = 0 --------------------------------------------------------------------------------- n2–1 p 2 – 2Re p m p + p m 2 m=0 Tp = n – 3 2 –p n – 1 2 pm 2 m=0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- n – 3 2 p 2 – 2Re p m p + p m 2 p – pn – 1 2 m = 0
n even (30) n oneven
waarbij de polen p m = – m j m met
28
m = d sh a sin ----------------- 2n 2m + 1
m = d ch a cos ----------------- 2m + 1 2n
1 a = --- argsh 1 n op een ellips liggen met kleine as d sh a en grote as d ch a . Bewijs: Wordt als oefening overgelaten aan de lezer. 2.5. Invers Chebyshev benadering De invers Chebyshev benadering wordt gegeven door (22) met K n d = T n 1 k T n d k waarbij T n x de Chebyshev veelterm van graad n is (zie Appendix) 1 A 2 = ------------------------------------------------------------------------2 2 1 + T n 1 k T n2 d k
(31)
Uit de specificaties halen we de selectiviteit k , de rimpel , en de orde n k = d s , =
dB
10 – Ad
10
10 –AsdB 10 – 1 – 1 , en n = argch ------------------------------------ argch 1 k 10 –AddB 10 – 1
Merk op dat we dezelfde uitdrukkingen krijgen als voor het Chebyshev filter. Net zoals voor het Butterworth en Chebyshev filter besluiten we dat de orde n stijgt met de selectiviteit k 1 van het filter. Eigenschap 1: Een invers Chebyshev filter heeft een equirimpel gedrag in de stopband (zie figuur 2 op blz. 31). Eigenschap 2: De n – 1 eerste afgeleiden van A 2 naar 2 zijn nul in = 0 . Net zoals de Butterworth filters hebben invers Chebyshev filters een vlakke karakteristiek rond de oorsprong (zie figuren 2 en 3 op respectievelijk blz. 31 en 32). Bewijs: Wordt als oefening overgelaten aan de lezer. Stelling 3: de transferfunctie T p van het n de orde invers Chebyshev filter is gegeven door n2–1 p2 – zm 2 m=0 K --------------------------------------------------------------------------------n2–1 p 2 – 2Re p m p + p m 2 m=0 Tp = n – 3 2 m = 0 p 2 – z m 2 K ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------n – 3 2 p – p p 2 – 2Re p m p + p m 2 n – 1 2 m=0
n even (32) n oneven
waarbij de nullen z m op de imaginaire as liggen
29
j d z m = -------------------------------------2m + 1 k cos ----------------- 2n en de polen p m = – m j m gegeven worden door
m
2m + 1 sin ----------------- sh a d 2n = ------ ----------------------------------------------------------k 2m + 1 cos 2 ----------------- + sh 2 a 2n
m
2m + 1 cos ----------------- ch a 2n d = ------ ----------------------------------------------------------k 2m + 1 cos 2 ----------------- + sh 2 a 2n
1 a = --- argsh ch n argch(1 k) n Bewijs: Wordt als oefening overgelaten aan de lezer. 2.6. Cauer benadering De Cauer of elliptische benadering wordt gegeven door (22) 1 A 2 = ---------------------------------------2 1 + K n2 d
(33)
met u Ka sn n --- ------------ a k Kk Kn d = a u--- K + – 1 n / 2 K a a sn n k ---------- Kk
n oneven n even
waarbij u en a impliciet gedefinieerd zijn door u d = sn --- k k K k K a1 n = -------------- -------------K k1 K a
en
k1 =
1 – k2
a1 =
1 – a2
met sn de elliptische sinus, en K de volledige elliptische integraal van de eerste soort (zie Abramowitz, and Stegun, 1970). Men kan aantonen dat de K n hierboven gedefinieerd een rationale functie van d is. Eigenschap 1: Een Cauer (elliptisch) filter heeft een equirimpel gedrag in de doorlaatband en de stopband (zie figuren 2 en 3 op respectievelijk blz. 31 en 32). Net zoals voor de Butterworth, Chebyshev, en invers Chebyshev filters kan men een analytische uitdrukking vinden voor de polen en nullen van het Cauer filter (zie Pintelon, 1991). In deze analytische uitdrukkingen komen elliptische functies, inverse elliptische 30
functies, en elliptische integralen van de eerste soort voor. Deze kunnen allemaal op een numeriek stabiele wijze berekend worden via het zogenaamde rekenkundig-meetkundig middelingsproces (zie Abramowitz, and Stegun, 1970, en Pintelon, 1991). 2.7. Vergelijking van de verschillende amplitude benaderingen In het programma Matlab berekenen de functies butter, cheby1, cheby2, en ellip de transferfunctie van respectievelijk het Butterworth, Chebyshev, invers Chebyshev, en Cauer filter. Figuur 2 vergelijkt de amplitude karakteristiek van 6de orde filters met dezelfde afsnijfrequentie f d = 1 Hz , doorlaatband amplitude A d = – 3 dB , en stopband onderdrukking A s = – 40 dB .
0
Butterworth Chebyshev inverse Chebyshev Cauer
Amplitude (dB)
-20
n = 6 A d = – 3 dB
-40
f d = 1 Hz
-60
A s = – 40 dB
-80
k But = 0.46 k Cheb = k iCheb = 0.71
-100
-120 0
k Cau = 0.94 1
2
3
4
5
Frequentie (Hz)
Figuur 2. Vergelijking amplitude karakteristiek Men kan duidelijk zien dat het Butterworth filter het traagst afloopt van doorlaatband naar stopband ( f s = 2.15 Hz ); dan het Chebyshev en invers Chebyshev filter die even selectief zijn ( f s = 1.42 Hz ); en vervolgens het Cauer filter dat het meest selectief is ( f s = 1.06 Hz ). In de stopband (zie figuur 2) zakt de amplitude van het Butterworth en het Chebyshev filter monotoon naar nul, terwijl deze van het invers Chebyshev en het Cauer filter rimpelen tussen A s en nul. In de doorlaatband (zie figuren 2 en 3) zakt de amplitude van het Butterworth filter en het invers Chebyshev filter monotoon; terwijl deze van het Chebyshev en Cauer filter rimpelen tussen één en A d . Figuur 3 toont ook de fase en groepsdoorlooptijd (delay) in de doorlaatband. Hieruit blijkt dat de fase van het Butterworth en invers Chebyshev filter het dichtst aanleunt bij een lineaire fase (delay is nagenoeg constant), terwijl de fase van het Cauer filter het sterkst
31
afwijkt van het lineair gedrag (zie delay plot). Een vlak amplitudegedrag in de doorlaatband resulteert dus in een goede faselineariteit.
0
0
-50
-0.5
Fase ()
-1 Butterworth Chebyshev inverse Chebyshev Cauer
-1.5 -2
-150 -200 -250
Butterworth Chebyshev inverse Chebyshev Cauer
-300 -2.5
-350
-3
-400
-3.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
-450 0
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequentie (Hz)
Frequentie (Hz) 15 Butterworth Chebyshev inverse Chebyshev Cauer
Delay (s)
Amplitude (dB)
-100
10
5
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequentie (Hz)
Figuur 3. Vergelijking van de doorlaatband karakteristieken. Linksboven: amplitude, rechtsboven: fase, en onder: groepsdoorlooptijd (delay). Besluit: In toepassingen waar de amplitudeselectiviteit belangrijk is en de faselineariteit geen belang heeft is het Cauer filter de optimale keuze: het Cauer filter voldoet aan gegeven amplitudespecificaties met lagere orde n (= minder filter componenten) dan de andere benaderingsmethodes. In toepassingen waar faselineairiteit belangrijk is en de amplitudeselectiviteit minder belang heeft is het Butterworth filter de beste keuze. Indien zowel de amplitudeselectiviteit als faselineariteit belangrijk zijn is het invers Chebyshev filter een goed compromis.
32
3.
Analytische Fasebenaderingstechnieken
3.1. Inleiding Om te illustreren waarom is faselineariteit belangrijk is berekenen we het antwoord y t van een laagdoorlaat filter op een bandbeperkt ingangssignaal u t
Tp
ut
yt
Het uitgangsspectrum Y j wordt gegeven door Y j = T j U j Bij onderstelling is het ingangssignaal bandbeperkt U j = 0 voor B bijvoorbeeld, U j
B
–B
en heeft de transferfunctie T p een constante amplitude en lineaire fase T j = 1 en T j = – g voor B Hiermee rekening houdend wordt Y j – j g
e Y j = T j U j = 0
U j
B B
voor B
en bijgevolg is y t = F –1 Y j = F – 1 e – j g U j = u t – g
(34)
De uitgang is dus de oorspronkelijke ingang verschoven (vertraagt) over een tijd g . Alles doet zich dus voor alsof het ingangssignaal u(t) een tijd g nodig heeft om het filter te doorlopen. Opgelet: dit is geen echte vertraging in de zin dat de uitgang van het filter onmiddellijk reageert op een verandering aan de ingang. De vertraging (delay) g geeft enkel weer hoeveel het regimeantwoord in fase verschoven t.o.v. een periodieke ingang. Indien de fase een niet-lineaire functie van de frequentie is voor B dan is (34) niet meer geldig, zelfs indien de amplitude vlak is, en is bijgevolg het tijdsbeeld vervormd. Faselineariteit is dus essentieel voor het bewaren van het tijdsbeeld.
33
Voor banddoorlaatfilters is de eis van faselineariteit niet voldoende: de gelineariseerde fase in de band f 1 f 2 moet ook de vertikale as in de oorsprong ( f = 0 ) snijden in een geheel veelvoud van , zoniet kan het tijdsbeeld sterk vervormd worden (zie Pintelon, 1990, en Preis, 1982).
0 = n correct tijdsbeeld
T j
0 n vervormd tijdsbeeld f1
f2 f
0
3.2. Lineaire fasefilters Er bestaan analoge filters ontworpen om de groepsdoorlooptijd g = – d d zo constant mogelijk de houden in een zekere frequentieband. Zie, bijvoorbeeld, de Bessel filters in Zverev (1967). Deze zogenaamde lineaire fasefilters hebben echter een slechte amplitude selectiviteit (veel minder selectief dan Butterworth filters). Een betere oplossing bestaat erin om een selectief amplitudefilter nemen met reeds goede faselineariteit (bijvoorbeeld, invers Chebyshev filter), en vervolgens de fase te lineariseren met analoge (zie verder) of digitale fasecorrectie filters. Digitale fasecorrectie filters kunnen gebruikt worden in alle toepassingen waar het analoge signaal bemonsterd wordt zoals, bijvoorbeeld, data acquisitie kanalen (zie Pintelon et al., 1990a).
34
4.
Numerieke Benaderingstechnieken Het basisidee bestaat erin om de parameters en de ordes n a en n b van een reëel rationale functie b pr r=0 r --------------------------- met n r = 0 a r p r nb
T p =
a
= a 0 a 1 a n a b 0 b 1 b nb T
(35)
zodanig te kiezen dat aan de gegeven specificaties (amplitude, of fase, of amplitude en fase) voldaan is. Één van de moeilijkheden is de stabiliteit van de bekomen oplossing T p . Om stabiele oplossingen te bekomen wordt dan een lineaire fase toegevoegd aan de specificaties (zie bijv. Kollár et al., 1990; Pintelon et al., 1990b; en Vuerinckx et al., 1996). Opmerking: alhoewel de in deze pagraaf vermelde referenties meestal het ontwerpen van digitale filters behandelen, kan net dezelfde techniek gebruikt worden voor analoge filters: het volstaat immers om in de algoritmen e –j Ts te vervangen door j . 4.1. Amplitudebenadering Gegeven de specificaties A bepaalt men de parameters in (35) door de volgende kleinste kwadraten kostfunctie te minimaliseren
k A k –
T j k
2
waarbij k , k = 1 2 het frequentiegrid voorstelt. Ongelijkheden van het type A A 1 voor 1 2 kunnen ook toegevoegd worden. Door een geschikte frequentieafhankelijke weging toe te voegen aan de kostfunctie kan men ook zogenaamde minimax oplossingen bekomen (zie Kollár et al., 1990). Deze minimaliseren de maximale afwijking tussen de specificaties en de rationale vorm. 4.2. Fasebenadering In bepaalde toepassingen wenst men een fasekarakteristiek op te leggen zonder de amplitude te wijzigen. Filters die aan de voorwaarde A = constante voldoen noemt men allesdoorlaat (allpass) filters. Men kan gemakkelijk nagaan dat transferfuncties van de vorm a –p r r=0 r ----------------------------------n r = 0 a r p r na
T p =
(36)
a
allpass filters zijn ( T j k = constante ). De parameter in (36) vindt men door de volgende kleinste kwadraten kostfunctie te minimaliseren
k e
j k
– T j k 2
(zie Pintelon, 1990; en Van den Broeck et al., 1994). 4.3. Amplitude- en fasebenadering In dit geval wenst men aan gegeven amplitude en fase eisen te voldoen. Wat de fase betreft is faselineariteit de meest voorkomende eis, doch niet-lineaire fases in 35
fasecorrectie filters zijn ook mogelijk. In plaats van T j k = constante op te leggen in de allesdoorlaat filters (36) kan men ook de amplitude specificatie A = constante toevoegen. Dit geeft meer vrijheid aan het filter en heeft het voordeel van amplitude- en fasefouten op gelijke voet te behandelen. De parameters in (35) vindt men door de volgende kleinste kwadraten kostfunctie te minimaliseren
k A k e
j k
– T j k 2
(zie bijv. Pintelon et al., 1990a).
36
5.
Synthese van Actieve Filters
5.1. Inleiding Het idee van de actieve synthese is als volgt. Vanuit opgelegde amplitude en/of fase eisen wordt een rationale vorm T p geconstrueerd die zo goed mogelijk aan de specificaties voldoet (zie § 1. Benaderingstechnieken). Deze transfer functie wordt vervolgens ontbonden in zijn polen en nullen (wortels, noemer en teller veeltermen): n
p – Zk =1 T p = K k----------------------------d
(37)
p – Pl l=1
Deze wortels kunnen gegroepeerd worden in paren van complexe toegevoegden. Dit levert n1
n2
p 2 – 2Re Zk p +
Zk 2
p – 0k
k=1
k=1
d1
d2
T p = K ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
p 2 – 2Re Pk p + k=1
Pk 2
(38)
p – 0k k=1
waarbij 0k en 0k overeenkomen met de reële wortels van respectievelijk teller en noemer. (38) kan ook herschreven worden als het product van elementaire 2e orde secties met eventueel nog een eerste orde sectie erbij (orde T p is oneven). Tp =
p 2 + b 1r p + b 0r p + c 0 - -------------K r ----------------------------------p 2 + a 1r p + a 0r p + d 0
(39)
r
waarbij b 1r = – 2Re Z r b 0r = Z r 2 voor complex toegevoegde nullen; a 1r = – 2Re P r a 0r = P r 2 voor complex toegevoegde polen; b 1r = – 0k + 0 k + 1 b 0r = 0k 0 k + 1 voor reële nullen; a 1r = – 0k + 0 k + 1 a 0r = 0k 0 k + 1 voor reële polen; en tenslotte c 0 en d 0 de overblijvende reële nul en pool (in geval teller en noemer veelterm T p oneven zijn). Het basisidee bestaat er nu in om niet een schakeling trachten
37
te vinden die T p ineens realiseert, doch door T p te realiseren via het cascaderen van elementaire 2e (en 1e) orde secties van de vorm K K
p 2 + b1 p + b0 ------------------------------p 2 + a1 p + a0 p+c --------------0 p + d0
De volgende vragen dringen zich hierbij op: 1) hoe de polen P r en de nullen Z r samenvoegen? 2) hoe een elementaire 1e en 2e orde sectie realiseren? 3) hoe de secties cascaderen? 4) beïnvloedt het cascaderen de transferfunctie van elke sectie apart? We zullen nu één voor één deze vragen beantwoorden. 5.2. Invloed cascaderen op de transferfunctie Beschouw de volgende tweepoorten
T1 p
E
T2 p
U1 E
U2
die respectievelijk een transferfunctie T 1 p en T 2 p hebben bij onbelaste uitgangspoort. Wanneer we beide tweepoorten cascaderen zal de transferfunctie T p van de cascade in het algemeen verschillend zijn van T 1 p T 2 p .
E
T1 p
U1
T2 p
U2
Dit omdat de 2de tweepoort de uitgang van de eerste tweepoort belast waardoor zijn transferfunctie verandert: U2 U2 U1 T p = ------ = ------ ------ = T 2 p T˜1 p E U1 E met T˜1 p de transferfunctie van de eerste tweepoort met belaste uitgang T 1 T˜1 . Bij actieve filter secties zorgt men er nu voor dat de uitgangspoort bestaat uit een ideale spanningsbron. In dat geval wordt de transferfunctie van de tweepoort niet gewijzigd wanneer ze aan de uitgang belast wordt.
38
Voorbeeld: beschouw de volgende twee RC-secties
R1
C1
R2
en
1 T 1 p = ------------------------R1 C1 p + 1
C2
1 T 2 p = ------------------------R2 C2 p + 1
De transferfunctie T p van de cascade
R1
C1
R2
C2
1 T p = --------------------------------------------------------------------------------------------------------2 R 1 C 1 R 2 C 2 p + R 1 + R 2 C 2 + R 1 C 1 p + 1 is verschillend van T 1 p T 2 p (ga dit na!). 5.3. Studie van een elementaire 2de orde sectie Om op vragen 1, 2 en 3 te kunnen antwoorden moeten we eerst het amplitudeverloop van een elementaire 2de orde sectie bestuderen. We zullen dit doen voor een bijzonder geval: de sectie heeft enkel polen: K T p = --------------------------------------- p – P0 p – P0
(40)
met P 0 de complex toegevoegde van P 0 . Het geval met nullen kan gemakkelijk naar analogie als oefening opgelost worden. Indien we eisen dat het laagdoorlaat filter (40) winst 1 bij DC ( p = 0 ) heeft dan wordt K = P 0 2 . De stabiliteit van het systeem legt op dat Re P 0 0 . We kunnen (40) dus beschrijven als 1 1 T p = ---------------------------------------------------- = --------------------------------2 2 2Re P p 1 p p 0 ------ + ---- ------ + 1 ----------- – --------------------- p + 1 02 Q 0 P0 2 P0 2
(41)
39
met 0 = P 0 en Q = – P 0 2Re P 0 . 0 wordt de resonantiefrequentie van de 2de orde sectie genoemd en Q de kwaliteitsfactor. Het verband tussen deze 2 parameters en de pool P 0 wordt in de volgende figuur weergegeven. Im p P0
– Re P 0 --------------------- = sin 0
Im P 0
Re P 0
0
Re p
1 Q = -------------2 sin
P0 Hieruit volgt dat hoe kleiner de hoek gevormd tussen de pool P 0 en de imaginaire as, hoe groter de kwaliteitsfactor Q . Opmerking: in controle theorie gebruikt men meestal de voorstelling 1 T p = ----------------------------------2 p p ------ + 2 ------ + 1 0 02 met = 1 2Q de dempingsfactor. De amplitude van (41) is 1 A 2 = ----------------------------------------------------------2 2 1 ----- 2 1 – ------ + ----- 0 Q 2 0
(42)
Om na te gaan of A een maximum heeft vervangen we 0 2 door x en leiden we A 2 x af naar x . 1 A 2 x = ----------------------------------1 1 – x 2 + ------2 x Q 1 – 2 1 – x + ------2 Q d A 2 = – -----------------------------------------dx 1 2 1 – x 2 + -----x Q2
(43)
(43) wordt nul indien x = 1 – 1 2Q 2 of 1 1 max = 0 1 – ---------2- indien Q ------2Q 2
(44)
40
Q 1 en A max = A max = ----------------------- indien Q --2 1 1 – ---------24Q
(45)
De strengste voorwaarde op de kwaliteitsfactor voor het bestaan van de opslingering is Q 1 2 . Voor de hoek tussen de pool en de imaginaire as betekent dit 45 (ga dit na!). Oefening: Ga na dat d 2 A 2 dx 2 gaat.
x = 1 – 1 2Q 2
0 zodat het wel degelijk om een maximum
Het amplitudeverloop voor verschillende Q -waarden is A
Q = 1 Q ------2
1
1 Q ------2
0 Voor Q » 1 kunnen (44) en (45) benaderd worden door max 0
(46)
A max Q
Deze benadering laat toe om snel uit een experimenteel opgemeten transferfunctie na te gaan of 0 en Q de goede waarden hebben: 0 is dan de pulsatie waarbij het amplitudeverloop maximaal wordt en Q is de maximale opslingering: A A max = Q 1
0
max = 0
41
Voorbeeld: neem Q = 100 dan is het antwoord op v in t = 100 mV cos 0 t gegeven door
v in t = 100 mV cos 0 t
1 T p = ---------------------------------2 1 pp ------ + ---- ----+1 02 Q 0
v out t = 10 V cos 0 t + arg T j 0
De invloed van een nul op de imaginaire as (= meest voorkomend geval) kan gemakkelijk grafisch nagegaan worden p2 -----+1 12 T p = --------------------------------p2 1 p ------ + ---- -------------- 02 Q 0 + 1
(47)
met p = j 1 de transmissienul. De term p 2 12 + 1 amplitudegedrag
heeft het volgende
2 1 – ------ 1
1
1
0
en bijgevolg wordt het amplitudegedrag van (47) A zonder transmissienul 1 met transmissienul
0
0
1
42
De limietwaarde ( = ) van (47) is 0 2 A = ------ 1 indien 0 1 1 Merk op dat de nul p = j 1 de opslingering van de pool in de buurt van p = j 0 beperkt. Dit laat ons toe om een paringsmechanisme voorop te stellen. 5.4. Paren van polen en nullen Stel dat we het volgende pool-nul-patroon hebben = Im p II I III
pool = Re p
nul sectie
I II
Uit 5.3. volgt dat een nul de opslingering van een pool beperkt. Deze onderdrukking is des te groter naarmate de nul dichter bij de pool ligt. De pool die het meest opslingert maakt de kleinste hoek met de imaginaire as. We paren dus de pool met de hoogste Q-factor met de dichtstbijzijnde nul (sectie I). Vervolgens de pool met 2de hoogste Q-factor met de dichtstbijzijnde overblijvende nul (sectie II) enz... tot alle polen opgebruikt zijn (sectie III).
43
Meestal liggen de polen met de hoogste Q -factor aan de randen van de doorlaatbanden. Bijvoorbeeld voor een 6de orde laagdoorlaat Chebyshev filter. 45
A
I II
1 III
I II III
individuele T(p)’s
0
II A
I
1
totale T(p)
0 Voor een banddoorlaat bewijzen we op analoge wijze I III
A II IV
IV
totale T(p)
1
II
0 III I 5.5. Cascaderen van de secties Stel dat we het volgende filter wensen te realiseren
A
III II
1
I
0
individuele T(p)’s
III II I
II III 44
T p = T 1 p T 2 p T 3 p
met
Pk 2 T k p = -------------------------------------- p – Pk p – Pk –1 T 1 p = -------------p – 1
k = 2 3
De 3 secties kunnen nu op 6 verschillende manieren gecascadeerd worden, bijvoorbeeld
T1 p
T2 p
T3 p
of
T1 p
T3 p
T2 p
of ... Er zijn 2 gevallen te onderscheiden waar we een gemotiveerde keuze kunnen maken. a) Het ingangssignaal is ‘klein’ Stel dat we een signaal afkomstig van een antenne moeten fiteren. De amplitude van dit signaal bedraagt bijvoorbeeld 10V : v in t = 10V sin t en de frequentie f = f 03 de resonantiefrequentie van de sectie T 3 p met de hoogste Q -factor. Stel nu dat bij deze frequentie de sectie T 1 p het signaal 10 keer verzwakt, de sectie T 2 p het signaal 2 maal verzwakt, en de sectie T 3 p het signaal 20 maal versterkt (de totale overdracht moet 1 zijn). We krijgen dan de volgende signaal niveaus in de cascade T 1 , T 2 , T 3 10 V v in t
1 V
10 V
0.5V
T1 p
T2 p
T3 p
: 10
:2
x 20
v out t
45
Elke sectie op zich genereert ruis via zijn weerstanden en opamps waaruit ze opgebouwd zijn, bijvoorbeeld ruisniveau
R
V kTR in ----------Hz
met T de absolute temperatuur en k de constante van Boltzman. Al naargelang de beschouwde bandbreedte kunnen deze ruisniveau's gemakkelijk enkele V bedragen. Bij-gevolg zal de uitgang van sectie T 2 hoofdzakelijk uit ruis en niet uit signaal bestaan. Gezien zowel het signaal als de ruis T 3 p doorlopen zal v out t ook hoofdzakelijk uit ruis bestaan. Kiezen we als cascade T 3 , T 2 , T 1 dan worden de signaalniveau's
10 V v in t
200V
10 V
100V
T3 p
T2 p
T1 p
x 20
:2
: 10
v out t
Merk op dat met deze keuze van cascaderen de signaalniveau's binnen het filter groter zijn of gelijk aan 100V en bijgevolg zal de signaal tot ruisverhouding beter zijn dan voor de cascade T 1 , T 2 , T 3 . b) Het ingangssignaal is ’groot’ Stel dat we een signaal van 1 V moeten filteren en dat de opamps gevoed worden met ± 15V. beschouw ook dezelfde secties als in § a) met v in t = sin t en f = f 03 . Kiezen we als volgorde T 3 , T 2 , T 1 dan worden de signaalniveau's 1V v in t
20 V
10 V
1 V
T3 p
T2 p
T1 p
x 20
:2
: 10
v out t
46
Het is duidelijk dat bij deze signaalniveau's de opamps in hun niet lineair gebied gaan werken (verzadiging) zodat het lineaire filter effect verloren gaat. De geschikte keuze is hier 1V v in t
100 mV
50 mV
1V
T1 p
T2 p
T3 p
: 10
:2
x 20
v out t
c) Besluit Het ingangssignaal is ’klein’: secties cascaderen van hoogste Q -factor naar laagste. Het ingangssignaal is ’groot’: secties cascaderen van laagste Q -factor naar hoogste. 5.6. Realisatie met behulp van Sallen-Key secties We zullen de analyse en synthese illustreren aan de hand van een laagdoorlaat sectie zonder transmissienullen. Secties met transmissienullen of hoog- en banddoorlaat filters worden op volledig analoge manier behandeld. De Sallen-Key uitvoering van een 2e orde laagdoorlaat filter zonder transmissienullen is
C1 K IN
OUT
R2
R1
C2
waarbij IN v in
K
IN
OUT v out
OUT Kv in
een ideale spanningsbuffer met versterking K is. De transfer functie van het filter is (ga dit na als oefening). K T p = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 R 1 C 1 R 2 C 2 p + R 1 + R 2 C 2 + R 1 C 1 1 – K p + 1
(48)
47
Wanneer we (48) met (41) vergelijken vinden we (ga dit na) 1 0 = -----------------------------R1 C1 R2 C2
(49)
R1 C1 R2 C2 Q = ------------------------------------------------------------------ R 1 + R 2 C 2 + R 1 C 1 1 – K
(50)
Merk op dat de 2e orde sectie door 3 parameters bepaald is, de winst K bij DC ( p = 0 ), de resonatiefrequentie 0 en de kwaliteitsfactor Q , terwijl we over 5 vrije parameters beschikken, R 1 , R 2 , C 1 , C 2 en K . We kunnen dus 2 parameters kiezen uit (49), (50), en T0 = K . a) Gevoeligheidsstudie De gevoeligheid van de transferfunctie T p wordt bepaald door de gevoeligheid van 0 en Q t.o.v. de elementwaarden R 1 , R 2 , C 1 , C 2 en de versterking K . S T p = S TQ P S Q + S T0p S 0
(51)
met = R 1 R 2 C 1 C 2 en K Hierbij zijn S TQ P S T0P onafhankelijk van de gekozen schakeling. De aard van de schakeling (ontwerp) bepaalt S Q S 0 en het is op basis van deze grootheden dat de sterke en zwakke punten van secties worden vergeleken. We vinden eenvoudig uit (49) 1 S R10 = S R 20 = S C01 = S C02 = – --2
(52)
S K0 = 0 op gelijkaardige wijze kunnen we S QR1 S QR2 S QC1 en S QC2 uit (50) afleiden. De gevoeligheid S QK bestuderen we nu verder in detail. We vinden R1 C1 K S QK = ------------------------------------------------------------------ R 1 + R 2 C 2 + R 1 C 1 1 – K
(53)
Stel dat R 1 R 2 = R (gebruikelijke keuze) en dat K 1 . Met deze keuze worden (50) en (53) 1 C Q = --- -----12 C2
(54)
S QK = 2Q 2
(55)
uit (55) volgt dat de gevoeligheid van de kwaliteitsfactor t.o.v. K , de winst DC, dramatisch groot is. Inderdaad, kiezen we bijvoorbeeld Q = 10 dan zal een relatieve fout op K van 1% een relatieve fout op Q van 200% geven wat onaanvaardbaar is.
48
Dit betekent dat de komponent
K met uitermate veel zorg moet gerealiseerd worden (kleine fouten hierop geven grote fouten op Q ) Een eerste oplossing is
R4 R4 v out = 1 + ------ v in R 3
v in
R3
De K -factor is dus gelijk aan R4 K = 1 + -----R3 en bijgevolg R4 S QR4 = S QK S KR4 = 2Q 2 ---------R3 K
(56)
Voor K = 1.1 en Q = 10 geeft dit S QR4 = 20 wat nog altijd onaanvaardbaar groot is. Een tweede oplossing is
A v out = ------------- v in 1+A
v in De K -factor is in dit geval A K = ------------1+A en dus 2Q 2 S QA = S QK S KA = ------------1+A
(57)
49
Gezien de winst van een opamp zeer groot is (typisch 10 5 , 10 6 bij DC) is S QA zeer klein, zelfs voor ’grote’ Q -waarden ( Q = 20 ). De winst van een opamp is echter frequentieafhankelijk A0 A = -----------------1 + j zodat bij hogere frequenties A niet meer groot genoeg is om 2Q 2 te onderdrukken in (57). Dit toont dan onmiddellijk aan waarom de bandbreedte van actieve filters beperkt is door de bandbreedte van de opamps (voor gewone opamps is de typische A = 1 bij f = 1 MHz ) en typisch in het audiofrequentie gebied ligt (20 kHz) b) Besluit 1) Uit de gevoeligheidsstudie (56), (57) volgt dat we nooit een versterkingfactor moeten inbouwen in de Sallen-key sectie zelf. ( K moet met een te grote nauwkeurigheid gemaakt worden). De enige oplossing is K = 1 realiseren met behulp van een opamp als buffer geschakeld en eventueel bijkomend een versterker na de sectie plaatsen. 2) De kwaliteit (bandbreedte) van de opamp bepaalt rechtstreeks de bandbreedte van het filter. c) Andere Sallen-Key secties 2de orde hoogdoorlaat sectie
R1 K IN
C1
OUT
C2 R2
1ste orde hoogdoorlaat sectie
K IN
OUT
C R
50
1ste orde laagdoorlaat sectie K IN
OUT
R C
2de orde laagdoorlaat sectie met transmissienul
C1
C2
K OUT
IN
R1
C4
R2 R3
C3
2de orde hoogdoorlaat sectie met transmissienul Vervang in het schema van het laagdoorlaat filter C 4 door een weerstand R 4 . Oefening Bepaal de transfer functies van de bovenstaande schema's. Onder welke voorwaarden op de elementwaarden ligt de transmissienul op de imaginaire as voor de secties met transmissienullen? (antw. C 1 = C 2 = C 3 2 , en R 1 = R 2 = 2R 3 ) 5.7. Toestandsveranderlijke filters Stel dat we de volgende 2e orde sectie wensen te realiseren a0 + a1 p + a2 p 2 y p - = ---------T p = ------------------------------------2 u p b0 + b1 p + p
up
Tp
yp
Kies nu een x p 0 x p a0 + a1 p + a2 p 2 y--------- p = ----------------------------------------------------up x p b0 + b1 p + p 2
(58)
kies nu x p zodanig dat
51
y p = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 x p
(59)
u p = b 0 + b 1 p + p 2 x p
Omzetten van (59) naar het tijdsdomein geeft (beginvoorwaarden zijn bij onderstelling nul) y t = a 0 x t + a 1 x' t + a 2 x'' t
(60)
u t = b 0 x t + b 1 x' t + x'' t We kiezen nu de 2 toestandsveranderlijken (2e orde systemen) als volgt x1 t = x t
(a)
x 2 t = x' t
(b)
(61)
dan wordt (60) y t = a 0 x 1 t + a 1 x 2 t + a 2 x 2' t
(a)
u t = b 0 x 1 t + b 1 x 2 t + x 2' t
(b)
(62)
(61)(b) en (62)(b) levert de toestandsvergelijkingen x 1' t = x 2 t
(a)
x 2' t = – b 0 x 1 t – b 1 x 2 t + u t
(b)
(63)
Substitutie van (63)(b) in (62)(a) levert het verband tussen de uitgang en de ingang via de toestandsgrootheden y t = a 0 – a 2 b 0 x 1 t + a 1 – a 2 b 1 x 2 t + a 2 u t
(64)
Merk op dat (63) en (64) onder matrix vorm kunnen geschreven worden als (zie cursus controle theorie) X' t = AX t + Bu t Y t = CX t + Du t met Xt =
A =
x1 t x2 t 0 1 –b0 –b1
B = 0 1 C = a0 – a2 b0 a1 – a2 b1 D = a2
52
Uit (63) en (64) halen we het volgende blokschema
ut
x 2' t –b1 x2 t –b0 x1 t
x 2 t = x 1' t 1p
1p
x1 t
(63)
–b1
–b0
a2 yt a0 – a2 b0
a1 – a2 b1
(64)
Waarbij
een sommator
1p
een integrator
K
een versterker
is.
53
In de onderstelling dat a 2 0 ; a 0 – a 2 b 0 0 en a 1 – a 2 b 1 0 wordt dit blokschema als volgt gerealiseerd R ut
C
R
– x 2' t
C x2 t x 1' t ----------- = -----------RC RC
R2
R
R1
R
R
–x1 t ------------- RC 2
R
– x 2 t RC – x 1 t RC 2
x2 t
R
R R
x1 t
RC 2
x 2 t RC u t
R
R5
R
R4 R3
(63)
y t
–y t
(64)
Het ontwerp (synthese) van deze schakeling bestaat erin om de weerstanden R i , i = 1 2 5 zodanig te kiezen dat er aan de volgende vergelijkingen voldaan is: R 1 b 0 = ------ --------------2R 1 RC R a 2 = -----R3
R 1 b 1 = ------ -------R 2 RC
R 1 a 1 – a 2 b 1 = ------ -------R 4 RC
R 1 a 0 – a 2 b 0 = ------ --------------2R 5 RC
(65) (66)
Hierbij kunnen R en C vrij gekozen worden. Deze schakeling is een zogenaamde universeel programeerbare 2de orde sectie omdat de volgende transfer functies kunnen gerealiseerd worden: van u t naar y t :
a0 + a1 p + a2 p2 T p = ------------------------------------b0 + b1 p + p 2
(67)
van u t naar – x 2' t :
p2 T p = – -------------------------------2b0 + b1 p + p
(68)
van u t naar x 1' t :
p T p = -------------------------------2b0 + b1 p + p
(69)
van u t naar – x 1 t :
1 T p = – -------------------------------2b0 + b1 p + p
(70)
54
(68), (69) en (70) zijn respectievelijk een hoog- een band- en een laagdoorlaat filter. Een universeel programmeerbare 2de orde sectie verwezenlijkt dus om 't even welke 2de orde sectie – vandaar zijn naam. De voordelen van deze aanpak zijn: 1) realiseert zowel laag- en hoog- als banddoorlaat filter 2) de nullen van de transfer functie kunnen overal in het complexe vlak liggen. 3) goede gevoeligheid t.o.v. de elementwaarden 4) orthogonale afregeling van de coëfficiënten van de transfer functie Als nadeel kunnen we vermelden: 1) groter aantal opamps nodig in vergelijking met Sallen-Key 5.8. Belangrijke opmerking We zouden eraan kunnen denken om een actieve schakeling te ontwerpen voor, bijvoorbeeld de volgende transferfunctie 1 T p = -----------------------------------------------------------------------------n n – an p + an – 1 p 1 + + a1 p + 1 zonder T p op te splitsen als een product van tweede orde secties. Deze aanpak heeft de volgende nadelen: 1) De gevoeligheid van de bekomen actieve schakeling kan echter zeer slecht worden voor ’grote’ waarden van n . Dit kan verklaard worden door de gevoeligheid van de ligging van de wortels t.o.v. variaties op de coëfficiënten van een veelterm. Neem nu als (extreem) voorbeeld de Wilkinson veelterm, bijvoorbeeld van graad tien X p = p 10 – 55p 9 + 1320p 8 – 1850p 7 + 157773p 6 – 902055p 5 + 3416930p 4 – 8409500p 3 + 12753576p 2 – 10628640p + 3628800 Deze heeft als wortels p = 1 2 3 9 10 . Voegen we nu random een uniform verdeelde storing n k – 1 e – 5 1e – 5 toe aan de veeltermcoëfficiënten x k , k = 0 1 10 , x k x k 1 + n k , dan zijn de wortels van de verstoorde veelterm typisch gelijk aan 1.0006e+000 1.9737e+000 3.2230e+000 4.2923e-001j 5.2758e+000 1.3209e+000j 7.7106e+000 1.2158e+000j 9.8036e+000 5.7555e-001j –4
Merk op dat de relatieve variatie op de wortels ( 6 10 tot 0.27 ) ordes groter is dan –5 de maximale relatieve variatie op de veeltermcoëfficiënten ( 1 10 ). M.a.w. uiterst kleine komponentvariaties (ordes kleiner dan praktisch realiseerbaar) van de actieve schakeling met als transferfunctie T p = 1 X p , geeft enorme variaties op de polenligging, en dus ook op de gerealiseerde transferfunctie.
55
2) Voor elke andere orde van transferfunctie moet opnieuw een actieve schakeling uitgedacht worden. Alhoewel de toestandsveranderlijke methode een systematische aanpak geeft om tot een schakeling te komen, kan de gevoeligheid van het ontwerp rampzalig zijn. We besluiten dat het opsplitsen van de transferfunctie in tweede orde secties de enige aanpak is die een goede gevoeligheid van het ontwerp garandeert.
56
6.
Studie van de Eigenschappen van Netwerkfuncties In de hierna volgende paragraaf bestuderen we de vermogenbalans van een passieve n poort onder sinusoidaal regime. We bekomen dan een algemene uitdrukking voor het gedissipeerd vermogen als functie van de elementwaarden en de frequentie. Deze uitdrukking wordt dan veralgemeend in het ganse complexe vlak waarbij de energie interpretatie dan vervalt. Verder wordt dit resultaat dan toegepast op een tweepoort en een eenpoort. Alle eigenschappen van impedanties en koppelparameters die later bewezen worden zijn hierop gebaseerd.
6.1. Vermogenbalans n-poort in sinusoïdaal regime - de energiefuncties I1 E1 I2 E2
RLMC n-poort
In En
Stel aan elke poort van de n-poort een sinusoïdale spanningsbron wordt aangesloten bij dezelfde frequentie f . Onder symbolische notatie wordt het complex vermogen P opgenomen door de passieve RLMC n-poort dan gegeven door n
1 P = --2
Er Ir
(71)
r=1
waarbij Re(P) het actief (gedissipeerde) vermogen voorstelt en Im(P) het reactief (blind) vermogen. Gebruik makend van de vector van de takstromen I , de vector van de takspanningen U , de vector van de takspanningsbronnen E
I =
I1
U1
E1
In
Un
En
In + 1 It
,U =
Un + 1 Ut
en E =
0 0
en de VAL-wet U = ZI – E ( Z is de takimpedantiematrix), kunnen we het complexe vermogen schrijven als 57
1 1 1 P = --- I H E = --- I H ZI – --- I H U 2 2 2 waarbij de tweede term nul is. Dit kan als volgt aangetoond worden I H U = B T I m H A T V n = I mH AB T T V n = 0 ( I m is de vector van de liaanstromen, V n de vector van de knooppuntpotentialen, en AB T = 0 , zie deel I Analyse, § 2.7., blz. 20). Voor een RLMC n-poort kan de t t matrix Z geschreven worden als de som van de bijdragen van de weerstanden ( R -matrix), de spoelen en mutuele koppelingen ( L -matrix), en de condensatoren ( D -matrix) 1 Z = R + jL + ------ D j De uitdrukking voor het complex vermogen P wordt bijgevolg 1 1 1 P = --- I H RI + --- jI H LI + --------- I H DI 2 2 2j
(72)
Gezien R en D diagonale matrices zijn, en L een positief semi-definiete matrix is geldt er I H RI 0 , I H LI 0 , en I H DI 0 voor elke willekeurige I = I . We kunnen (72) dus herschrijven als 1 P j = F 0 j + jF 1 j + ------ F 2 j met F k j 0 j
(73)
Hierbij stelt Re P j nog steeds het gedissipeerde vermogen voor. Vervangen we nu j door p dan blijft de afleiding van (73) opgaan (verklaar dit!) 1 P p = F 0 p + pF 1 p + --- F 2 p met F k p 0 voor alle p p
(74)
en Re P j 0 (energie interpretatie). De F k p ‘s worden de energiefuncties genoemd. De volgende stelling ligt aan de basis van de bijzondere eigenschappen van impedanties en koppelparameters. Stelling 4: de functie P p (74) heeft de volgende eigenschappen 1) Re P p 0 voor Re p = 0 2) Re P p 0 voor Re p 0 Een analytische functie die aan deze eigenschappen voldoet noemt men positief reëel. Bewijs: voor p = + j kan (74) in zijn regel en imaginair ontbonden worden als P + j = Re P + j + jIm P + j F p Re P + j = F 0 p + F 1 p + -----------------2 + 2 2 F2 p Im P + j = F 1 p – ----------------- 2 + 2
(75)
Hieruit volgt onmiddellijk dat Re P p 0 voor = Re p = 0 , en dat Re P p 0 voor = Re p 0 , wat het gestelde aantoont. 58
6.2. De energiefuncties en de Z- en Y-matrices van een 2-poort I1
I2
U1
RLMC tweepoort
U2
Definieer U , I als de vector van de poortspanningen en poortstromen U =
U1
,I =
U2
I1 I2
Het complex vermogen P (71) kan geschreven worden als 1 1 1 P j = --- U 1 j I 1 j + U 2 j I 2 j = --- I H j U j = --- U T j I j 2 2 2 Uitbreiding naar het ganse complexe vlak j p en gebruik makend van de Zparameters U p = Z p I p en vgl. (74) vinden we 1 1 P p = --- I H p Z p I p = F 0 p + pF 1 p + --- F 2 p 2 p waarbij wegens Stelling 4 Re I H p Z p I p 0
voor
Re p = 0
Re I H p Z p I p 0
voor
Re p 0
(76)
Uitwerken van Re I H p Z p I p geeft I H p Z p I p + I H p Z p I p Re I H p Z p I p = -----------------------------------------------------------------------------2 I H p Z p I p + I H p Z p I p H = --------------------------------------------------------------------------------------2 I H p Z p I p + I H p Z H p I p = ---------------------------------------------------------------------------------2 Z p + ZHp = I H p --------------------------------- I p 2 Zp + Zp = I H p ----------------------------- I p 2 = I H p Re Z p I p waarbij de voorlaatste vergelijking gebruik maakt van de reciprociteit van RLMCnetwerken ( Z = Z T ). Substitutie van dit resultaat in (76) levert Re Z p 0 Re Z j 0
voor voor
Re p 0 Re p = 0
(77)
59
m.a.w. het reële gedeelte van de matrix van de Z-parameters een positief (semi-)definiete matrix. Een symmetrische matrix die aan (77) voldoet heet men een positief reële matrix (voor niet symmetrische matrices wordt Re Z p vervangen door Z + Z H 2 ). Merk op dat langsheen de imaginaire as det(Re Z j ) = 0 voor verliesloze netwerken ( F 0 p = 0 ). Deze eigenschap gaan we later gebruiken om de eigenschappen van de koppelparameter Z 12 aan te tonen. Op volledig analoge wijze kunnen we gebruik makend van I = YU aantonen dat (77) ook geldt voor de matrix van de Y-parameters, m.a.w. Y p is een positief reële matrix. 6.3. De energiefuncties en de impedantie van een 1-poort a) RLMC-netwerk Ip
Up
Zp
Het complex vermogen P (71) kan geschreven worden als 1 P j = --- U j I j 2 Uitbreiding naar het ganse complexe vlak j p en gebruik makend van de VAL-wet U p = Z p I p en vgl. (74) vinden we 1 1 P p = --- Z p I p 2 = F 0 p + pF 1 p + --- F 2 p 2 p Hieruit volgt onmiddellijk dat 1 + Z p = a 0 p + pa 1 p + --- a 2 p met a k p = F k p I p 2 ⺢ p
(78)
waarbij a 0 p de bijdrage van de weerstanden voorstelt, a 1 p de bijdrage van de spoelen en mutuele koppelingen, en a 2 p de bijdrage van de condensatoren (zie de afleiding van P p in § 6.1.). Toepassen van Stelling 4 op (78) toont aan dat Z p een positief reële functie (PRF) is Re Z j 0 Re Z p 0
voor voor
Re p = 0 Re p 0
De strikte ongelijkheid Re Z p 0 in de tweede vergelijking komt doordat niet alle a k p tegelijk nul kunnen zijn (zoniet heeft men geen netwerk). Rekening houdend met het feit dat a k p 0 , k = 0 1 2 , kan (78) grafisch weergegeven worden als
60
p
Im p
a0 p
p Re p
1p
p
pa 1 p 1--a p p 2 Zp
Hieruit volgt dat Z p ingesloten is tussen p en 1 p . b) LMC-netwerk Een LMC-netwerk bevat geen weerstanden en dus is a 0 p = 0 . Uit (75) en (78) volgt dan dat sgn Re Z p = sgn
(79)
met = Re p en sgn( ) de teken functie +1 sgn(x) = 0 -1
x0 x = 0 x0
Dergelijke functies worden Foster functies genoemd (FF). c) RC-netwerk Voor een RC-netwerk is a 1 p = 0 (geen spoelen noch transformatoren). Uit (75) en (78) volgt dan sgn Im Z p = – sgn
(80)
Deze functies noemt men Cauer functies. d) LR-netwerk Voor een LR-netwerk is a 2 p = 0 (geen condensatoren). Uit (75) en (78) volgt dan sgn Im Z p = sgn
(81)
Deze functies noemt men eveneens Cauer functies. e) Samenvatting: Men onderscheidt de volgende eenpoorten: • Brune netwerken of RLCM-netwerken • Foster netwerken of LCM-netwerken • Cauer netwerken of RC- of RL-netwerken.
61
6.4. Positief reële functies a) Definitie F p wordt een Positief Reële Functie (PRF) genoemd indien deze aan de volgende drie voorwaarden voldoet: a) F p is een reëel rationale functie (= rationale functie met reële coëfficiënten) b) Re p = 0 Re F p 0 c) Re p 0 Re F p 0 Opmerkingen: 1) voorwaarden b) en c) zijn equivalent met: Re p 0 Re F p 0 . Een analytische functie is immers slechts extremaal op de rand van het definitiedomein. 2) bij een meer algemene definitie van PRF vervangt men voorwaarde a) door: F p is een analytische functie die niet singulier is voor Re p 0 , en F is reëel. b) Voorbeeld Onderzoek of F p = 3p + 4 een PRF is. a) zeker voldaan Daar Re F p = + j = 4 + 3 krijgt men voor de voorwaarden b) en c). b) = 0 Re F p = 4 0 c) 0 Re F p 4 0 6.5. Eigenschappen van positief reële functies Eigenschap 1: Zij F p en G p een PRF, dan is F p + G p een PRF (som van impedanties). Bewijs: Als oefening. Opmerking: Eigenschap 1 is niet meer geldig voor F p – G p . Eigenschap 2: Zij F p een PRF dan is 1 F p een PRF (admittantie is ook een PRF). Bewijs: Voorwaarde a) is zeker voldaan. Voorwaarden b) en c) zijn voldaan omdat Re(1 F p ) hetzelfde teken heeft als Re(F(p)) : 1 Fp 1 1 Re ----------- = Re ----------------2- = ----------------2- Re F p = ----------------2- Re F p Fp Fp Fp Fp Eigenschap 3: Zij F p een PRF en k 0 , dan is kF p een PRF (schaling impedantie met positief getal). Bewijs: Triviaal. Eigenschap 4: Zij F G PRF’s dan is FG 1 ------------= -------------F+G 1 1--- + --F G ook een PRF (parallel schakeling van impedanties).
62
Bewijs: Pas Eigenschappen 1 en 2 toe. Merk op dat FG in Eigenschap 4 echter niet noodzakelijk een PRF is. Eigenschap 5: Zij F s een PRF, en G p een PRF, dan is F s = G p een PRF (frequentietransformatie s = G p op de impedantie). Bewijs: Twee maal toepassen van de definitie van een PRF levert Re p 0 Re G p 0 Re s = G p 0 Re F s = G p 0 wat het gestelde bewijst. Eigenschap 6: Een positief reële functie F p heeft geen polen noch nullen in het rechter half vlak. Op de imaginaire as kan een PRF alleen enkelvoudige polen en nullen hebben, met reëel positief residu voor de polen en reëel positieve afgeleide voor de nullen. Bewijs: We leveren het bewijs voor de nullen. Dat voor de polen is volledig analoog en wordt overgelaten als oefening aan de lezer. Zij p 0 een n -voudig nulpunt van de PRF F p , met n 1 , dus F p 0 = 0 . In de omgeving van p 0 kan F p benaderd worden als volgt F p p 0 A p – p 0 n met A = ae j Langsheen een cirkel met straal en middelpunt p 0 : p = p 0 + e j nul in RHV
nul op imaginaire as
p
po
pp0 o
p0
kan F p geschreven worden als F p = ae j n e jn zodat Re(F p ) = Re a n e j + n = a n cos + n
(82)
Wanneer varieert van 0 tot 2 , verandert cos + n minstens n maal van teken. Indien p 0 dus een nulpunt in het rechter half vlak (RHV) zou zijn, dan zou F p in de omgeving van p 0 een reëel deel hebben dat negatief zou worden. Dit is strijdig met de definitie. Er zijn dus geen nulpunten in het RHV. Indien nu Re(p 0) = 0 , d.w.z. p 0 is een nulpunt op de imaginaire as (zie onderstaande figuur), dan varieert van – 2 via 0 naar 2 , en blijft Re(F p ) positief in het rechter half vlak indien = 0 en n = 1 (in alle andere gevallen wisselt Re(F p ) van teken bij het doorlopen van de halve cirkel). Dan is A reëel en positief, en p 0 een enkelvoudig nulpunt, waarbij A = dF p dp p = p voor n = 1 . 0
63
Opmerkingen: 1) een reële rationale functie F p met enkel polen en nullen in het linker half vlak is niet noodzakelijk een PRF. Neem als voorbeeld p 2 + 2p + 10 F p = ------------------------------------p 2 + 0.1p + 100 met p = – 1 3j als nullen en p = – 0.05 9.9999j als polen. Het reële gedeelte van F p als functie van de frequentie 40 35 30
Re(F(j))
25 20 15 10 5 0 -5 -10 0
5
10
15
20
Frequentie (Hz) is duidelijk negatief voor frequenties lager dan 2 Hz. F p is bijgevolg geen PRF. Dit toont aan dat het positief reëel karakter een strengere eis is dan stabiliteit van de functie en zijn inverse. 2) de veeltermcoëfficiënten van de teller en noemer van een PRF moeten hetzelfde teken hebben (zoniet geen PRF of polen en/of nullen in het rechter half vlak). Eigenschap 7: Zij F p = P p Q p een PRF. De kleinste macht van p in P p of Q p is 0 of 1. Bewijs: Stel dat P resp. Q een term p n ( n 1 ) bevatten, dan zou F p een n -voudige nul resp. pool hebben in de oorsprong, wat in strijd is met Eigenschap 6. Eigenschap 8: Zij F p = P p Q p een PRF. Het verschil in graad tussen P en Q is ten hoogste 1: graad P – graad Q 1 . Bewijs: Stel dat graad P = graad Q + n met n 1 . Neem nu p = j (zuiver imaginaire as), en laat naar streven. F p nadert dan naar p n , of F p heeft een n voudige pool op op de zuiver imaginaire as. Dit is in strijd is met Eigenschap 6. Analoog, stel graad Q = graad P + n . F p nadert dan naar p – n , of F p heeft een n voudige nul op op de zuivere imaginaire as. Dit is opnieuw in strijd is met Eigenschap 6. Eigenschap 9: Zij F p = P p Q p een PRF. De veelterm P p + Q p is stabiel. Bewijs: Zie Van Valkenburg (1960).
64
Eigenschap 10: F p is een PRF als en slechts als aan de drie volgende voorwaarden voldaan is a) F p is een reëel rationale functie (= rationale functie met reële coëfficiënten) b) Re p = 0 Re F p 0 c) F p heeft geen polen in het rechterhalfvlak; op de imaginaire as zijn de polen enkelvoudig met positief reëel residu. Bewijs: Zie Van Valkenburg (1960). Opmerkingen: 1) Via Eigenschap10 is het testen van het positief reëel karakter van een rationale vorm eenvoudiger dan via de definitie in § 6.4. (in het bijzonder het testen van voorwaarde c)). 2) Men kan aantonen dat de impedantie van passieve netwerken (mogen gyratoren bevatten) een PRF is. Zie Anderson and Vongpanitlerd (1973) voor meer details. 6.6. Eigenschappen van Foster functies (reactantiefuncties) a) Definitie F p is een Foster functie (FF) indien a) F p is een reële rationale functie b) Re F j = 0 c) Re p 0 Re F p 0 Een Foster functie (FF) beschrijft de impedantie van een LMC-netwerk. Het is een speciaal geval van een PRF waarbij in voorwaarde b) de ongelijkheid vervangen is door een gelijkheid (zie de definitie van PRF in § 6.5.). In wat volgt zullen er enkele eigenschappen bewezen worden die enkel betrekking hebben op FF's. Eigenschap 1: Een FF F p is de deling van twee veeltermen waarvan er één even is en de andere oneven, m.a.w. een FF is een oneven rationale functie ( F(– p) = – F p ). Bewijs: Een rationale functie F p kan altijd geschreven worden als tE p + tO p tp F p = ----------- = ----------------------------------np nE p + nO p
(83)
waarbij t E p en n E p even functies (veeltermen) zijn, en t O p en n O p oneven functies (veeltermen). De enige voorwaarde waarin een FF verschilt van een PRF is voorwaarde b). De bijzondere eigenschap van een FF zal bijgevolg hieruit afgeleid moeten worden. Toepassen van voorwaarde b) levert Re t E j + t O j n E j + n O j t E j + t O j Re F j = Re ----------------------------------------- = ---------------------------------------------------------------------------------------------------- n E j + n O j n j + n j 2 E
O
Gezien de veeltermen met reële coëfficiënten t E p , n E p en t O p , n O p respectievelijk even en oneven functies zijn van p heeft men
65
n E j = n E(– j ) = n E j n O j = n O(– j ) = – n O j t E j n E j t O j j n O j j ⺢ Hiermee kan Re F j verder uitgewerkt worden als t E j n E j – t O j n O j Re F j = ------------------------------------------------------------------------n E j + n O j 2 Voorwaarde b) legt op dat Re F j = 0 , zodat t E j n E j = t O j n O j en dit voor alle . Analytische voorzetting van deze vergelijking levert ( j p ) t E p n E p = t O p n O p
(84)
Stel nu dat t E p 0 , dan kunnen we vgl. (84) oplossen naar n E p t O p n O p n E p = ---------------------------tE p
(85)
Substitutie van (85) in (83) geeft tE p + tO p tE p tE p + tO p tE p F p = ------------------------------------------------- = ---------------------------------------------------- = -------------t O p n O p nO p tO p + tE p nO p ---------------------------- + n O p tE p wat het gestelde bewijst. Indien echter t E p = 0 , dan volgt uit (84) dat n O p = 0 (de andere oplossing t O p = 0 is te verwerpen omdat dan F p = 0 ), en bijgevolg is F p (83) tO p F p = -------------nE p wat de eigenschap aantoont. Eigenschap 2: Een FF heeft alleen polen en nullen op de zuiver imaginaire as, deze nullen en polen zijn enkelvoudig en de geassocieerde afgeleide of residu is reëel en positief. Bewijs: We voeren het bewijs uit het ongerijmde. Zij F p = E p O p een FF, met E p een even veelterm en O p een oneven veelterm. Stel dat p = p 0 met Re p 0 0 een meervoudige nul is van F p in het LHV (= toegelaten voor PRF’s) F p0 = 0 Gebruik makend van Eigenschap 1 vinden we F – p0 = –F p0 = 0 en dus is p = – p 0 ook een nul van F p wat in strijd is met Eigenschap 6 van PRF’s. Bijgevolg moet p = p 0 een enkelvoudige nul zijn op de imaginaire as ( Re p 0 = 0 ). Exact dezelfde redenering wordt gevolgd voor de polen.
66
Eigenschap 3: Bij reële frequenties is het zuiver imaginaire deel van een FF een stijgende functie van de frequentie, m.a.w. een LMC-eenpoort heeft altijd een stijgende reactantie in functie van de frequentie. Bewijs: Opsplitsen van p en F p in reëel en imaginair deel geeft p = + j F p = R + jI Gezien F p een analytische functie van p , voldoen de partiële afgeleiden van het reëel en imaginair deel van F p aan de Cauchy-Rieman voorwaarden R I R I ---------------------= --------------------- en ---------------------- = – --------------------
(86)
Volgens de definitie van een FF is R 0 = 0 en R 0 voor 0 . Dit kan enkel indien R ---------------------
0 =0
Toepassen van de eerste Cauchy-Rieman voorwaarde (86) geeft I 0 R ------------------= ---------------------
0 =0
wat het gestelde bewijst. Eigenschap 4: De polen en nullen van een FF alterneren. Bewijs: We voeren het bewijs uit het ongerijmde. Beschouw de Foster functie F(p) opgesplitst in reëel en imaginair deel F p = R + jI Wegens Eigenschap 2 van FF’s wordt I 0 nul en oneindig in respectievelijk de nullen en polen van F p . Indien nu twee nullen p = j 1 en p = j 3 elkaar opvolgen dan zouden we voor I 0 het volgende verloop hebben I 0
1
3
67
Dit is strijdig met Eigenschap 3 van FF’s, en bijgevolg moet er tussen de twee nullen een pool p = j 2 liggen I 0
2 1
3
De redenering voor de polen verloopt gelijkaardig. Eigenschap 5: De oorsprong en het oneindige van het complexe vlak zijn altijd of een nul of een pool van een FF. Bewijs: Een FF F p kan geschreven worden als de deling van een even tot een oneven veelterm of een oneven tot even veelterm (Eigenschap 1 van FF’s). In het eerste geval kan F p herschreven worden als Ep Ep F p = ------------ = ----------------Op pE 1 p waarbij E 1 p een even functie is van p . Hieruit volgt onmiddellijk dat p = 0 een pool is van F p , en p = ofwel een nul ( graad E = graad O – 1 ), ofwel een pool ( graad E = graad O + 1 ). In het tweede geval kan F p herschreven worden als pE 1 p Op F p = ------------ = ----------------Ep Ep met E 1 p een even functie is van p . Nu is p = 0 een nul van F p , en p = ofwel een nul ( graad E = graad O + 1 ), ofwel een pool ( graad E = graad O – 1 ). Eigenschap 6: Een reëel rationale functie is een FF enkel en alleen indien zijn nullen en polen op de imaginaire as liggen, enkelvoudig zijn, en de nullen en polen alterneren. Bewijs: Zie Van Valkenburg (1960). Eigenschap 7: F p = O p E p of F p = E p O p met E p een even veelterm en O p een oneven veelterm, zijn FF’s enkel en alleen indien E p + O p een strikt stabiele veelterm is (enkel wortels in het linker half vlak en geen op imaginaire as). Bewijs: Zie Van Valkenburg (1960). 6.7. Canonieke voorstellingen van Foster functies a) Partieelbreukontwikkeling
68
Rekening houdend met Eigenschappen 2 en 5 van FF’s kan een FF in partieelbreuken gesplitst worden als n
b F p = ap + --- + p
i=1
ci ci --------------- + ---------------- = ap + b--- + p – j i p + j i p
n
i=1
2c i p -----------------p 2 + i2
(87)
waarbij a b c 1 c 2 c n 0 . b) Kettingbreukontwikkelingen Zij F p een FF, dan is de oorsprong een nul, of een pool (Eigenschap 5 van FF’s). We behandelen het tweede geval. Zij b 1 het residu (dat positief is) in de oorsprong, dan kan men F p schrijven als b1 F p = ----- + F 1 p p met F 1 p een FF zonder pool in de oorsprong (bewijs als oefening). Dus heeft F 1 p een nulpunt in de oorsprong waaruit blijkt dat 1 F 1 p een pool heeft in de oorsprong (met positief residu). Dus is b2 1 ------------= ----- + F 2 p F1 p p Door F p op deze manier verder te ontwikkelen in een kettingbreuk vindt men b1 1 F p = ----- + -----------------------------------------p b2 1 ----- + ----------------------------p b3 1 ----- + + ----p bn ----p
(88)
Deze vorm noemt men de eerste canonieke vorm van Cauer. Zij F p een FF, dan is het oneindige een nul, of een pool (Eigenschap 5 van FF’s). In het tweede geval vindt men op analoge wijze als hierboven de tweede canonieke vorm van Cauer (we vertrekken van een pool in het oneindige) 1 F p = a 1 p + ---------------------------------------------------1 a 2 p + -----------------------------------1 a 3 p + + -------an p
(89)
6.8. Synthese van Foster functies a) Synthese aan de hand van de partieelbreukontwikkeling (87) Neem het geval van een impedantie F p = Z p n
b Z p = ap + --- + p
2c i p
-----------------p2 + 2 i=1
i
69
Gezien een som van impedanties is een serieschakeling voorstelt kan deze kan dan verwezenlijkt worden als 2c 1 12
2c n n2
a
1b
Zp
1 2c 1
1 2c n
Voor de term Z i p = 2c i p p 2 + i2 gaan we als volgt te werk 2c i p p 2 + i2 i2 p Z i p = ----------------- Y i p = ------------------ = ------- + ---------2c i p 2c i 2c i p p 2 + i2 Een som van admittanties stelt een parallelschakeling voor wat het bovenstaande netwerk verklaart. In het geval van een admittantie F p = Y p n
b Y p = ap + --- + p
i=1
2c i p -----------------p 2 + i2
krijgen we een parallelschakeling van impedanties Yp
a
1b
1 2c 1
1 2c n
2c 1 12
2c n n2
Voor de term Y i p = 2c i p p 2 + i2 gaan we als volgt te werk 2c i p p 2 + i2 i2 p - ------------------------------------------------Yi p = 2 Zi p = = + 2c i p 2c i 2c i p p + i2 Een som van impedanties stelt een serieschakeling voor wat het bovenstaande netwerk verklaart. b) Synthese aan de hand van de kettingbreukontwikkeling (88) Neem het geval van een impedantie F p = Z p
70
b1 1 Z p = ----- + -----------------------------------------p b2 1 ----- + ----------------------------p b3 1 ----- + + ----p bn ----p We gaan als volgt te werk. We herschrijven de bovenstaande uitdrukking als Z p = b 1 p + Z 1 p , wat de serieschakeling is van een condensator met waarde 1 b 1 en de impedantie Z 1 p 1 b1 Zp
Z1 p
Nu is Y 1 p = 1 Z 1 p = b 2 p + Y 2 p , wat de parallelschakeling is van een spoel met waarde 1 b 2 en de impedantie Z 2 p 1 b1 Zp
1 b2
Z2 p
Op zijn beurt is Z 2 p = b 3 p + Z 3 p en zoverder en zovoort, zodat we uiteindelijk het volgende laddernetwerk bekomen
1 b1 Zp
1 bn – 1
1 b3 1 b2
1 b4
1 bn
Maak als oefening het geval van een admittantie F p = Y p . c) Synthese aan de hand van de kettingbreukontwikkeling (89)
71
In de onderstelling dat F p = Z p bekomen we op analoge wijze als in de vorige paragraaf
a1
an – 1
a3
Z(p)
a2
a4
an
Maak als oefening het geval F p = Y p . 6.9. Eigenschappen van RC functies (Cauer functies) De eigenschappen van RC-netwerken kunnen op gelijkaardige manier afgeleid worden als deze van LC-netwerken. Een andere aanpak bestaat erin een verband te vinden tussen RCnetwerken en LC-netwerken, waaruit dan de eigenschappen van de RC-netwerken worden afgeleid. We volgen de laatste aanpak. Het verband wordt opgesteld tussen frequentie- en weerstandgenormaliseerde RC- en LC-netwerken (de elementwaarden in beide netwerken zijn dus dimensieloze getallen). Elke tak van het RC-netwerk is van de vorm
R
1 Z RC p = R + -------CP C
waarbij eventueel R = 0 of C = . Associeer met deze tak de volgende tak van een LCnetwerk
L'
1 Z LC s = L's + ------C's
C'
waarbij we L' = R en C' = C kiezen. We kunnen de impedantie Z RC(p) van de RC-tak op twee manieren berekenen: rechtsreeks, ofwel via de LC-tak om (de weerstand wordt vervangen door een spoel, en de condensator blijft een condensator). De impedantie Z LC s van de LC-tak wordt dan uitgerekend en via een eenvoudige transformatie omgezet in deze van de RC-tak: Z LC s wordt gedeeld door s (spoel wordt opnieuw een weerstand), en s 2 wordt vervangen door p (element 1 s 2 wordt een condensator) Z LC s Z RC p = ---------------s
(90) s2
=p
Toepassen van de schalingseigenschap van een impedantie (zie deel Analyse, § 4.6., blz. 59) toont aan dat (90) ook geldig is voor het ganse RC-netwerk. Op analoge wijze toont men aan dat het verband tussen de admittanties gegeven wordt door Y RC p = sY LC s
s2 = p
(91)
72
Transformaties (90) en (91) vormen de basis om de eigenschappen van Cauer functies af te leiden uit Foster functies. We illustreren dit op belangrijkste eigenschappen. Voor meer details verwijzen de lezer naar Van Valkenburg (1960). Eigenschap 1: De polen en nullen van een RC-impedantie (admittantie) liggen allemaal op de negatief reële as, zijn enkelvoudig en alternerend. De eerste singulariteit is een pool (nul) die eventueel in de oorsprong ligt. De laatste singulariteit is een nul (pool) die eventueel in het oneindige ligt. Bewijs: We bewijzen de eigenschap voor een impedantie. Gebruik makend van Eigenschappen 2, 4 en 5 kunnen we Z LC s schrijven als 2 2 2 2 2 s2 + 2 s 2 + 2n K s + 1 s + 2n 1 - ------------------------- of Z LC s = Ks -----------------2- ------------------------Z LC s = ---- ----------------2 2 s s 2 + 22 s 2 + 2n s 2 + 12 s 2 + 2n 1
waarbij 1 2 2n 2n + 1 . Toepassen van (90) geeft dan 2 2 p + 2n p + 12 p + 2n p + 22 K 1 of Z RC p = K ---------------2- ----------------------Z RC p = ---- ---------------2- ----------------------2 2 p p + 2 p + 2n p + 1 p + 2n 1
(92)
wat aantoont dat de polen en nullen enkelvoudig zijn, op de negatief reële as liggen, en alternerend zijn. De eerste singulariteit is een pool die eventueel in de oorsprong ligt (vgl. (92), uitdrukking links). De laatste singulariteit is een nul die eventueel in het oneindige ligt (vgl. (92), uitdrukking rechts). Het bewijs voor Y RC p verloopt volledig analoog Eigenschap 2: De residu’s van de polen van een RC-impedantie zijn reëel en positief. Deze van een RC-admittantie zijn reëel en negatief, behalve deze op oneindig die positief is. Bovendien is Z RC Z RC 0 en Y RC 0 Y RC . Bewijs: Beschouw de partieelbreukontwikkeling van een LC-impedantie en -admittantie (87) n
b Z LC s = as + --- + s
i=1
2c i s b ----------------- en Y LC s = as + --- + s s 2 + i2
n
2c i s
s----------------2 + 2 i
i=1
met a b c i 0 . Toepassen van (90) geeft dan n
b Z RC p = a + --- + p
i=1
2c i --------------- en Y RC p = ap + b + p + i2
n
2c i p
p--------------+ 2 i=1
(93)
i
met als residu’s Res(Z RC p ) Res(Z RC p )
p = – i2 p=0
= 2c i 0
= b0
Res(Y RC p ) en
Res(Y RC p )
p = – i2 p=
= – 2 c i i2 0
= a0
wat het gestelde bewijst voor de residu’s. Uit (93) volgt onmiddellijk dat
73
Z RC() = a
Z RC(0) = b n
Z RC(0) a +
i=1
2c i en Y RC() b + ------ i2
n
2ci i=1
wat de verbanden tussen de DC-waarden en de waarden op oneindig aantonen. 6.10. Eigenschappen van LR functies Op net dezelfde wijze als in § 6.10. vinden we als verband tussen de impedantie (admittantie) van de weerstands- en frequentiegenormaliseerde LR-tak Z LR p = R + LP L
R
(met eventueel R = 0 of L = 0 ), en de impedantie (admittantie) van de overeenstemmende LC-tak
C'
L'
1 Z LC s = ------- + L's C's
waarbij C' = 1 R en L' = L Z LR p = sZ LC s
s2 = p
Y LC s en Y LR p = ---------------s
(94) s2 = p
Deze uitdrukkingen zijn geldig voor een willekeurig LR-netwerk. Vergelijken we (94) met (90) en (91) dan zien we dat Z LR p en Y LR p dezelfde eigenschappen hebben als respectievelijk Y RC p en Z RC p .
74
7.
Classificatie van Filtersynthesevraagstukken
7.1. Probleemstelling Beschouw een verliesloze tweepoort waarop een generator en belasting is aangesloten Rg
Eg
Ig
Rg
verliesloze tweepoort
Rb
verliesloze tweepoort
Rb
Naargelang de waarde van de weerstanden R g en R b onderscheidt men de volgende drie filtersyntheseproblemen: 1) filtersyntheseprobleem van eerste categorie - de generator en de belasting zijn ideaal ( R g = 0 of R g = , en R b = 0 of Rb = ) 2) filtersyntheseprobleem van tweede categorie - de generator is ideaal ( R g = 0 of R g = ) en de belasting is niet-ideaal ( R b 0 en R b ) - de generator is niet-ideaal ( R g 0 en R g ) en de belasting is ideaal ( R b = 0 of R b = ) 3) filtersyntheseprobleem van derde categorie - de generator en de belasting zijn niet-ideaal De filtersyntheseproblemen van eerste categorie bevatten geen weerstanden en zijn dus van beperkt praktisch nut (de overgangsverschijnselen dempen niet uit). De filtersyntheseprobleem van tweede categorie bevatten een weerstand en worden in detail in deze cursus behandeld. Het derde categorie probleem bevat twee weerstanden en is meer ingewikkeld dan het tweede categorie probleem. Het wordt niet in deze cursus behandeld, doch alle basistheorie nodig om het derde categorie probleem te begrijpen komt aan bod in het tweede categorie probleem (zie, bijvoorbeeld, Balabanian, 1964). 75
7.2. Tweede categorie syntheseproblemen Na weerstand- en frequentienormalisatie onderscheiden we de volgende zes verschillende syntheseproblemen van tweede categorie I2 verliesloze tweepoort
Eg
U2
1
verliesloze tweepoort
Ig
– Y 21 U2 p T(p) = --------------- = ----------------Eg p 1 + Y 22
1
–I2 p U2 p Z 21 T(p) = --------------- = --------------- = ----------------Ig p Ig p 1 + Z 22
1 verliesloze tweepoort
Eg
Ig
1
verliesloze tweepoort
U2
U2 p Z 21 T(p) = --------------- = ----------------Eg p 1 + Z 11
U2 p Z 21 T(p) = --------------- = ----------------Ig p 1 + Z 11
I2
I2
1 Eg
U2
verliesloze tweepoort
Ig
Y 21 I2 p T(p) = -------------- = ----------------1 + Y 11 Eg p
1
verliesloze tweepoort
I2 p Y 21 T(p) = ------------ = ----------------1 + Y 11 Ig p
Figuur 4: Tweede categorie filtersynthese problemen We bewijzen één van verbanden tussen de transferfunctie en de tweepoortparameters (Y of Z). Naargelang de ideale belasting een kortsluiting ( R g = 0 of R b = 0 ) of een open kring ( R g = of R b = ) is, gebruiken we respectievelijk de Y- of de Z-parameters. Voor het tweede categorie probleem links boven vinden we dan I1 I2
=
Y 11 Y 12 E g Y 21 Y 22 U 2
Gebruik makend van I 2 = – U 2 volgt dan uit de tweede vergelijking dat U2 – Y 21 ------ = ---------------Eg 1 + Y 22 wat het gestelde bewijst. 76
Merk op dat in alle transferfuncties de koppelparameter Z 12 of Y 12 voorkomt (voor reciproque netwerken is Z 12 = Z 21 en Y 12 = Y 21 ). De eerste stap in de synthese van een verliesloos laddernetwerk bestaat er altijd in om uit de te realiseren transferfunctie de Zof Y-parameters te halen. Gezien het verband één vergelijking geeft met twee onbekenden, kan dit enkel door gebruik te maken van de bijzondere eigenschappen van de hoofdparameters ( Z 11 , Z 22 , Y 11 , Y 22 ) en de koppelparameters ( Z 12 , Y 12 ). Voor verliesloze tweepoorten weten we dat de hoofdparameters Foster functies zijn (zie § 6.6.6.8). In § 8. worden de eigenschappen van de koppelparameters in detail bestudeerd. Pas daarna zijn we gereed om de Cauer synthese van verliesloze laddernetwerken uit de doeken te doen. Merk ook op dat de transferfuncties nul worden (= transmissienullen) bij de nullen van de koppelparameter ( Z 12 of Y 12 ), en bij de polen van de hoofdparameter ( Z 11 , Z 22 , Y 11 , of Y 22 ) die niet gemeenschappelijk zijn aan de koppelparameter.
77
8.
Studie van de Eigenschappen van de Koppelparameters
8.1. RLMC-tweepoorten Voor algemene RLMC-tweepoorten wordt de polenligging van de koppelparameters Z 12 en Y 12 gegeven door de volgende eigenschap. Eigenschap 1: De polen van Z 12 en Y 12 liggen 1) in het linkerhalfvlak (LHV) 2) eventueel op de imaginaire as, maar dan
zijn de polen enkelvoudig,
zijn ze gemeenschappelijk aan de hoofdparameters (= niet privaat), bijvoorbeeld een pool van Z 12 is ook een pool van Z 11 en Z 22 ,
hebben ze een reëel en beperkt residu met als voorwaarde h 11 h 22 – h 12 2 0
(95)
waarbij h ij = Res p = j 0(Z ij p ) Bewijs: We voeren het bewijs voor de koppelparameter Z 12 . Het bewijs voor Y 12 verloopt volledig analoog. Uit het verband tussen de Y- en de Z-parameters haalt men een verband tussen de koppelparameter Z 12 en de hoofdparameters Z 11 , Z 22 , Y 11 en Y 22 2 2 Z 12 Z 12 11 ------= Z 11 – -------- en -------- = Z 22 – -------Y 11 Z 22 Y 22 Z 11
(96)
Hierbij zijn Z 11 , Z 22 , 1 Y 11 en 1 Y 22 PRF’s. We voeren het bewijs via redeneringen uit het ongerijmde. 1) Z 12 kan geen polen hebben in het rechterhalfvlak (RHV) Stel dat Z 12 p een pool heeft p = p 0 in het RHV ( Re(p 0) 0 ). Uit (96) volgt dan dat 1 Y 11 en 1 Y 22 een pool zouden hebben in het RHV, wat niet kan. 2) Z 12 heeft op de imaginaire as enkelvoudige, niet-private polen met reëel en beperkt residu (95) Stel dat Z 12 een pool p = j 0 van multipliciteit n heeft. Uit (96) volgt dan dat 1 Y 11 en 1 Y 22 een pool van multipliciteit m hebben met 2n – 1 m 2n ( Z 12 heeft een pool van multipliciteit 2n , en Z 22 of Z 11 kunnen een enkelvoudige pool in p = j 0 hebben). Is n 1 dan is m 3 wat niet voor een PRF ( m moet gelijk zijn aan één). Bijgevolg moet n = 1 . Is nu n = 1 en valt de pool p = j 0 van Z 12 niet samen met deze van Z 22 en Z 11 dan zou 1 Y 11 en/of 1 Y 22 een pool van multipliciteit m = 2 hebben wat niet kan. Bijgevolg zijn de polen van Z 12 niet-privaat. Berekenen we nu het residu van 1 Y 11 in de enkelvoudige pool p = j 0 dan krijgen we 1 -) Res(------Y 11
= p = j 0
2 h 12 1 lim p – j 0 ---------------- = h 11 – -------Y 11 p h 22 p j 0
(een limiet en een continue functie kunnen omgewisseld worden). Gezien het residu van 1 Y 11 in p = j 0 reëel en positief moet zijn (PRF) bewijst dit (95). 78
Opmerkingen: a) de eigenschap legt niets op i.v.m. de ligging van de nullen van Z 12 ; deze kunnen om het even waar liggen b) Men zegt dat de vierpool kompakt is in de pool p = j 0 indien 2 = 0 h 11 h 22 – h 12
8.2. LMC-tweepoorten Voor verliesloze tweepoorten is de ligging van de polen van Z 12 nog meer beperkt. Bovendien is de ligging van de nullen ook niet meer totaal willekeurig. Eigenschap 2: Voor een LMC-tweepoort zijn Z 12 p en Y 12 p oneven reëel rationale functies met alle polen op de imaginaire as. Bewijs: We leveren het bewijs voor Z 12 , dat voor Y 12 is analoog. We tonen eerst aan dat Z 12 p een oneven functie is van p . Hiervoor volstaat het om aan te tonen dat Re Z 12 j = 0 (zie bewijs Eigenschap 1 blz. 65 van FF). In § 6.2. werd aangetoond dat de matrix van de Z -parameters een positief reële matrix is Re Z j 0
(97)
(zie vgl. (77)). Uit (97) volgt dat det Re Z j 0 , en dus is Re Z 11 j Re Z 22 j – Re Z 12 j 2 0
(98)
Voor een LMC-tweepoort zijn Z 11 en Z 22 Foster functies, zodat Re Z 11 j = 0 en Re Z 22 j = 0 Hiermee rekening houdend wordt (98) – Re Z 12 j 2 0 Re Z 12 j 2 0 Deze laatste ongelijkheid kan enkel opgaan indien Re Z 12 j = 0 , en bijgevolg is Z 12 p een oneven functie van p . Om aan te tonen dat alle polen van Z 12 op de imaginaire as liggen gebruiken we een redenering uit het ongerijmde. Stel dat p = p 0 met Re(p 0) 0 een pool is van Z 12 , dan is Z 12(– p 0) = – Z 12 p 0 = en dus is p = – p 0 een pool in het RHV van Z 12 wat niet kan (zie Eigenschap 1 van de koppelparameters). Eigenschap 3: Voor een LMC-netwerk vertonen de nullen van Z 12 p en Y 12 p een kwadrantsymmetrie. Bewijs: Neem p = z 0 een nul van Z 12 p . Gezien Z 12 een reëel rationale functie is, is p = z 0 ook een nul. Nu is Z 12 p een oneven functie zodat Z 12 – z 0 = – Z 12 z 0 = 0 . Analoog vinden we Z 12 – z 0 = 0 , wat de kwadrantsymmetrie aantoont. Het bewijs voor Y 12 verloopt gelijkaardig. Voorbeeld: Beschouw de volgende verliesloze tweepoort.
79
M = –L 2
L
L --2
L --2 C
C
C
L Er kan gemakkelijk nagegaan worden dat Z 12 van deze tweepoorten gelijk is aan 1 – LCp 2 Z 12(p) = ---------------------2Cp De nullen p = 1 LC zijn kwadrantsymmetrisch en de polen p = 0 en p = zijn enkelvoudig en liggen op de imaginaire as. 8.3. Enkelvoudige LC-laddernetwerken Door nu ook de structuur van de tweepoort op te leggen wordt de mogelijke ligging van de nullen van de koppelparameters nog meer beperkt. Eigenschap 4: Voor enkelvoudige LC-ladders bevinden de nullen van de koppelparameters Z 12 en Y 12 zich allen op de imaginaire as. De nullen van de koppelparameter zijn nullen van de shuntimpedanties of polen van de serieimpedanties. Bewijs: Beschouw de volgende enkelvoudige ladderstructuur Zb Za
Zd Ze
Zc
Per definitie is de koppelparameter Z 12 gelijk aan U1 Z 12 = -----I2
(99) I1 = 0
wat overeenkomt met het oplossen van het volgende netwerk naar U 1 Zb Ib U1
Za
Zd Id Zc
Ze
I2
Z in
80
De spanning over de impedantie Z a wordt gegeven door U1 = Za Ib
(100)
Gebruik makend van de shuntwet vinden we de stromen in de serietakken Zc I b = ----------------------------- I d Za + Zb + Zc Ze I d = ------------------------------- I 2 Z in + Z d + Z e
(101)
waarbij Zc Za + Zb Z in = ----------------------------Za + Zb + Zc Samenbrengen van (99)-(101) geeft uiteindelijk Za Zc Ze Z 12 = ---------------------------------------------------------------------- Z a + Z b + Z c Z in + Z d + Z e
(102)
Hieruit volgt dat de koppelparameter Z 12 slechts nul kan zijn indien 1) Z a , Z c , of Z e nul is, d.w.z. nullen van de shuntimpedanties 2) Z b , of Z d oneindig zijn, d.w.z. polen van de serieimpedanties 3) Z in oneindig is We tonen nu via een redenering uit het ongerijmde aan dat de derde mogelijkheid vervalt. Z in wordt oneindig indien Z a + Z b + Z c = 0 . Gezien deze factor ook voorkomt in de noemer van Z 12 (102) krijgen we de onbepaaldheid 0 en moeten we Z 12 herschrijven als Za Zc Ze Za Ze Za Zc Ze - = – ---------Z 12 = ---------------------------- = ---------------Zc Za + Zb Zc – Z c2 Hieruit volgt dat Z 12 enkel nul kan worden indien Z c = . Het verband Za + Zb + Zc = 0 Za + Zb = –Zc impliceert dan dat Z a + Z b ook oneindig wordt met een negatief residu, wat in strijd is met de eigenschap van Fosterfuncties (zie blz. 66, Eigenschap 2 van FF). Opmerkingen a) Eigenschap 4 toont aan dat de nullen van de koppelparameters (= transmissienullen) fysisch gelokaliseerd zijn in de polen van de serieimpedanties en de nullen van de shuntimpedanties. Echter, niet alle polen van de serieimpedanties en nullen van de shuntimpedanties zijn transmissienullen (nullen van de koppelparameters). De nodige en voldoende voorwaarden om een transmissienul te realiseren worden in de hierna volgende eigenschappen besproken. b) Voor een enkelvoudige LC-ladder liggen de polen en nullen van de koppelparameters op de imaginaire as; de polen zijn enkelvoudig, niet privaat, en hebben een reëel en beperkt residu; de nullen kunnen meervoudig zijn. Deze eigenschappen van Z 12 en 81
Y 12 lijken goed op deze van Fosterfuncties; vandaar dat men de koppelparameters ook pseudo-Fosterfuncties noemt. Het verschil met echte FF’s is dat het residu van de koppelparameters in de polen negatief kan zijn, dat de nullen meervoudig kunnen zijn en niet hoeven te alterneren met de polen. Eigenschap 5: Een pool van een serieimpedantie is een transmissienul enkel en alleen indien de ingangsimpedantie van het laddernetwerk dat erop volgt geen pool bevat bij dezelfde frequentie. Bewijs: Rg
Zs eerste deel ladder
Eg
tweede deel ladder
Z out
Rb
Z in
Toepassen van de stelling van Thévenin op de delen links en rechts van de serieimpedantie Z s geeft Z out
Zs I in
E oc
Z in
U in
waarbij Z s een FF is en Z out en Z in PRF’s. De spanning over en de stroom door Z in worden gegeven door Z in U in = ---------------------------------- E oc Z in + Z out + Z s E oc I in = ---------------------------------Z in + Z out + Z s Neem p = j 0 een pool van Z s . Nu is p = j 0 al dan niet een pool van Z in . a) p = j 0 is geen pool van Z in In dit geval zien we onmiddellijk dat U in j 0 = 0 en I in j 0 = 0 . Bijgevolg is de pool p = j 0 van Z s een transmissienul. b) p = j 0 is een pool van Z in Nu is nog steeds I in j 0 = 0 , doch U in j 0 0 . Inderdaad, gebruik makend van de eigenschap van PRF’s en FF’s dat de polen op de imaginaire as enkelvoudig zijn met een reëel en positief residu, vinden we voor U in j 0
82
U in j 0 =
Z in lim ---------------------------------- E oc p j 0Z in + Z out + Z s
p – j 0 Z in = E oc j 0 lim -------------------------------------------------------------p j 0 p – j 0 Z in + Z out + Z s h in = E oc j 0 --------------------------------h in + h out + h s waarbij h x = Res p = j0(Z x p ) (indien Z out geen pool heeft in p = j 0 dan is h out = 0 ). Alhoewel de stroom nul is staat er toch een spanning over Z in die gevonden wordt door de wet van de spanningsdeler toe te passen op de residuen in de pool p = j 0 . Eigenschap 6: Een nul van een shuntimpedantie is een transmissienul enkel en alleen indien de ingangsimpedantie van het laddernetwerk dat erop volgt geen nul bevat bij dezelfde frequentie. Bewijs: Rg
Zp eerste deel ladder
Eg
tweede deel ladder
Z out
Rb
Z in
Toepassen van de stelling van Norton op de delen links en rechts van de shuntimpedantie Z p geeft I in I sc
Z out
Zp
Z in
U in
waarbij Z p een FF is en Z out en Z in PRF’s. De spanning over en de stroom door Z in worden gegeven door 1 1 U in = ----------------------------------- I sc = ---------------------------------- I sc 1 - ----1 -----1 Y out + Y p + Y in -------+ + Z out Z p Z in
(103)
U in Y in I in = -------- = ---------------------------------- I sc Z in Y out + Y p + Y in
83
Gezien een nul van Z p een pool is van Y p = 1 Z p kan de bewijsvoering van Eigenschap 5 overgenomen worden waarbij de rol van U in en I in omgewisseld zijn. Dit toont aan dat alhoewel de spanning over Z in nul is, er toch een stroom loopt door Z in waarvan de waarde gevonden wordt door de shuntwet toe te passen op de residuen van de admittanties.
84
9.
De Cauer Synthese van Tweede Categorie Problemen
9.1. Basisidee van de Cauer synthese De Cauer synthese lost het volgende vraagstuk op: realiseer een verliesloze enkelvoudige ladder (zie figuur 4, blz. 76) met een opgelegde transferfunctie T p = t p n p . Hierbij is de belasting of de bron niet-ideaal ( Z 0 en ). De synthese bestaat uit de volgende stappen. 1) Nagaan of de transferfunctie gerealiseerd kan worden met een enkelvoudige LC-ladder Eerst en vooral moet de noemer n p een strikt stabiele veelterm zijn (alle wortels in het LHV, imaginaire as uitgesloten). Zoniet moeten we een instabiel systeem realiseren wat niet kan met een RLC-netwerk. Vervolgens moeten alle wortels van de teller t p op de imaginaire as liggen. Inderdaad de transmissienullen (wortels t p ) zijn polen van de serieimpedanties en nullen van de shuntimpedanties. Voor een verliesloze ladder zijn deze impedanties Foster functies, en bijgevolg liggen alle polen en nullen op de imaginaire as (zie blz. 66, Eigenschap 2 van FF’s). 2) Identificatie van de hoofd- en koppelparameter Stel dat het volgende tweede categorie probleem moet opgelost worden
Eg
enkelvoudige LC-ladder
1
U2
(zie figuur 4, blz. 76). Het verband tussen de transferfunctie en de Y-parameters is U2 p – Y 21 T p = --------------- = ----------------Eg p 1 + Y 22 Gelijkstellen met de te realiseren transferfunctie T p = t p n p geeft – Y 21 t p ---------= ----------------1 + Y 22 np Gebruik makend van Eigenschap 7 van FF’s (zie blz. 68), en Eigenschappen 1-4 van koppelparameters (zie blz. 78-80) halen we uit dit verband Y 22 en Y 21 . We doen dit als volgt. Eerst wordt de veelterm n(p) opgesplitst in zijn even n E(p) en oneven n O(p) deel – Y 21 tp ---------------------------------- = ---------------nE p + nO p 1 + Y 22 Gezien n E p n O p en n O p n E p FF zijn (zie blz. 68, Eigenschap 7 van FF’s), kunnen we de teller en noemer van T(p) delen door het even of oneven deel van de noemer om Y 22 te bekomen
85
t p nE p – Y 21 t p nO p – Y 21 ----------------------------------------- = ---------------- of ----------------------------------------- = ---------------1 + nO p nE p 1 + Y 22 1 + nE p nO p 1 + Y 22 Volgens Eigenschap 2 van de koppelparameter (zie blz. 79) is Y 21 een oneven functie. Dit laat ons toe om tussen de twee mogelijkheden te kiezen a) t p is een even functie t p nO p – Y 21 – Y 21 = t p n O p ----------------------------------------- = ---------------- 1 + n E p n O p 1 + Y 22 Y 22 = n E p n O p
(104)
b) t(p) is een oneven functie t p nE p – Y 21 – Y 21 = t p n E p ----------------------------------------- = ---------------- 1 + n O p n E p 1 + Y 22 Y 22 = n O p n E p
(105)
Merk op dat met de keuzes in (104) en (105), Y 21 en Y 22 aan alle voorwaarden voldoen: Y 22 is een Foster functie Y 21 is een oneven functie, de polen en nullen liggen op de imaginaire as, en de polen zijn gemeenschappelijk met deze van Y 22 3) Nagaan of de hoofdparameter eigenpolen heeft Bij de identificatiestap (104) en (105) kan het zijn dat er wortels van t p samenvallen met deze van n O p of n E p . In dat geval heeft Y 21 na veréénvoudiging minder polen dan Y 22 . Via partieelbreukontwikkeling splitsen we dan Y 22 op in de bijdrage gem eig van de gemeenschappelijke polen Y 22 en de bijdrage van de eigenpolen Y 22 eig
gem
Y 22 = Y 22 + Y 22
(106)
4) Synthese van het enkelvoudig LC-laddernetwerk vertrekkende van Y-parameters eig
Eerst wordt de bijdrage van de eigenpolen Y 22 gesynthetiseerd via een partieelbreukof kettingbreukontwikkeling (zie § 6.8., blz. 69). Vervolgens gaat men de admittantie gem gem Y 22 synthetiseren waarbij men via partiële en volledige poolafsplisting op Y 22 (zie verder) de nullen van Y 21 realiseert. Dit geeft het volgende resultaat eig
TN1
Y 22
TNn
TN2
Y 22
gem
Y 22
86
waarbij er evenveel tweepoortblokken zijn als te realiseren nullen van Y 21 (transmissienullen), deze in het oneindige inbegrepen. Elke blok is van de vorm
Zs
Zp
TNk
OF
Zs
Zp
Figuur 5: Blokstructuur. (zie § 9.2. en § 9.3. voor het bewijs). Tenslotte moet de éénpoort omgezet worden in een tweepoort met de correcte Y -parameters. Uit de definitie van Y 22 = I 2 U 2 volgt dat de ingangspoort kortgesloten is. Bijgevolg is de gezochte tweepoort U1 = 0
eig
TNn
TN2
TN1
Y 22
gem
Y 22
Y 22
Eg
TNn
TN2
TN1
eig
Y 22
1
(kortsluiting openmaken + tweepoort omdraaien). We moeten nog nagaan dat deze tweepoort de goede Y-parameters heeft. Per
constructie eig
is
Y 22
correct:
bij
kortgesloten
ingangspoort
is
gem
Y 22 = Y 22 + Y 22 . Per constructie zijn de nullen van de koppelparameter Y 21 van de tweepoort omvat door het rode kader correct. De polen van Y 21 zijn gelijk aan deze van Y 22 vanwege Eigenschappen 1-4 op blz. 78-80. We tonen nu aan dat de
87
voll
koppelparameter van de volledige tweepoort Y 21 gelijk is aan deze van de tweepoort in het rode kader. eig
I1
Y 22
TNn
TN2
r
TN1
U2
U2
Gebruik makend van de definitie van de koppelparameter vinden we I1 voll Y 12 = -----U2
U1 = 0
I1 = ------rU2
= Y 12 U1 = 0
wat het gestelde bewijst. We besluiten dat de koppelparameter Y 21 dus correct is op een constante vermenigvuldigingsfactor na. Deze moet bepaald worden door de gewenste en de gerealiseerde transferfuncties te vergelijken bij een bepaalde frequentie, bijvoorbeeld, p = 0 voor laagdoorlaat filters. 5) Synthese van het enkelvoudig LC-laddernetwerk vertrekkende van Z-parameters De redenering is volledig analoog aan deze voor de Y-parameters. Stel dat de identificatiestap Z 12 en Z 11 levert (zie figuur 4, blz. 76, linkerkolom, tweede rij). Zoals in (106) splitsen we Z 11 op in de bijdrage van de polen gemeenschappelijk met Z 12 en in de bijdrage van de eigenpolen gem
eig
(107)
Z 11 = Z 11 + Z 11
eig
Eerst wordt de bijdrage van de eigenpolen Z 11 gesynthetiseerd via een partieelbreukof kettingbreukontwikkeling (zie § 6.8., blz. 69). Vervolgens gaat men de impedantie gem gem Z 11 synthetiseren waarbij men via partiële en volledige poolafsplisting op Z 11 (zie verder) de nullen van Z 12 realiseert. Dit geeft het volgende resultaat eig
Z 11
TN1
TNn
TN2
Z 11
gem
Z 11
waarbij er evenveel tweepoortblokken zijn als te realiseren nullen van Z 12 (transmissienullen), deze in het oneindige inbegrepen. Elke blok is van de vorm gegeven door figuur 5 (zie § 9.2. en § 9.3. voor het bewijs). Tenslotte moet de éénpoort omgezet worden in een tweepoort met de correcte Z -parameters. Uit de definitie van 88
Z 11 = U 1 I 1 tweepoort
I2 = 0
volgt dat de uitgangspoort open is. Bijgevolg is de gezochte
eig
Z 11
TNn
TN2
TN1
gem
Z 11
Z 11
eig
Z 11
1
Eg
TNn
TN2
TN1
(open klem toevoegen op laatste impedantie). We moeten nog nagaan dat deze tweepoort de goede Z-parameters heeft. Per
constructie eig
is
Z 11
correct:
bij
kortgesloten
ingangspoort
is
gem
Z 11 = Z 11 + Z 11 . Per constructie zijn de nullen van de koppelparameter Z 12 van de tweepoort omvat door het rode kader correct. De polen van Z 12 zijn gelijk aan deze van Z 11 vanwege Eigenschappen 1-4 op blz. 78-80. We tonen nu aan dat de voll
koppelparameter van de volledige tweepoort Z 12 gelijk is aan deze van de tweepoort in het rode kader. eig
Z 11 U1
U 1r
TNn
TN2
TN1
I2
Gebruik makend van de definitie van de koppelparameter vinden we U1 voll Z 12 = -----I2
I1 = 0
U 1r = ------I2
= Z 12 I1 = 0
89
wat het gestelde bewijst. We besluiten dat de koppelparameter Z 12 dus correct is op een constante vermenigvuldigingsfactor na. Deze moet bepaald worden door de gewenste en de gerealiseerde transferfuncties te vergelijken bij een bepaalde frequentie, bijvoorbeeld, p = voor hoogdoorlaat filters. Oefening: herhaal de synthese uitgaande van respectievelijk Z 12 , Z 22 en Y 12 , Y 11 . 9.2. Volledige poolafsplitsing Zij F p een Foster functie die een pool heeft in p = j 0 met reëel positief residu A . F p kan dan geschreven worden als (zie partieelbreukontwikkeling (87)) 2Ap F p = -----------------+ F1 p 2 p + 02
(108)
waarbij F 1 p een FF is die voldoet aan F 1(j 0) . a) F p = Z p is een impedantie Vgl. (108) wordt dan gerealiseerd als 1 2A
2A 02
Z1 p
Zp
De pool p = j 0 van de serieimpedantie realiseert een transmissienul omdat Z 1(j 0) (zie blz. 82, Eigenschap 5 van koppelparameters). b) F p = Y p is een admittantie Vgl. (108) wordt dan gerealiseerd als
2A 02 Y1 p 1 2A Yp
De nul p = j 0 van de parallelimpedantie realiseert een transmissienul omdat Y 1 j 0 en dus 1 Y 1 j 0 0 (zie blz. 83, Eigenschap 6 van koppelparameters).
90
Besluit: indien een nul van de koppelparameter (= transmissienul) samenvalt met een pool van de hoofdparameter (impedantie of admittantie) dan wordt de transmissienul gerealiseerd door de pool volledig af te splitsen van de hoofdparameter. 9.3. Partiële poolafsplitsing Zij F p een Foster functie die een pool heeft in p = j 0 met reëel positief residu A . We splitsen deze pool partieel af 2Bp F p = -----------------+ F1 p 2 p + 02
(109)
met 0 B A , F 1 p een Foster functie, en F 1 j 0 = (bewijs: gebruik de partieelbreukontwikkeling (87)). We bestuderen nu de invloed van het partieel afsplitsen op de ligging van de nullen van F 1 p . Hiervoor evalueren we (109) langsheen de imaginaire as ( F j 0 = jX ) 2B - + X1 X = ----------------------– 2 + 02 Grafisch wordt dit X 2B ----------------------– 2 + 02
0
0
pool F(p) nul F(p) nul F1(p)
We stellen vast dat 1) de nullen van F 1 p dichter bij de pool p = j 0 liggen dan de nullen van F p ; m.a.w. de nullen van F p worden verschoven naar de partieel afgesplitste pool toe, 2) de nullen van F p in de oorsprong en het oneindige niet verschoven worden 3) een nul kan nooit over een pool springen Besluit: door een geschikte pool partieel af te splitsen kunnen we F 1 p nul maken bij een te realiseren transmissienul p = j 1 . De vereiste B -waarde vinden we door in (109) uit te drukken dat F 1 j 1 = 0
91
X 1 – 12 + 02 F j 1 – 12 + 02 B = ----------------------------------------------- = --------------------------------------------2j 1 2 1 (door de geschikte pool partieel af te splitsen is B gegarandeerd een positief getal). Vervolgens wordt de transmissienul gerealiseerd door p = j 1 volledig af te splitsen als pool van 1 F 1 p 2Bp 1 F p = -----------------+ --------------------------------------2 2 2Ap p + 0 ------------------ + F p 2 p 2 + 12
(110)
a) F p = Z p is een impedantie Vgl. (110) wordt gesynthetiseerd als 1 2B
geen TN TN bij j1 2A ------ 12
2B 02
1-----2A
Z2 p
Zp Z1 p De partieel afgesplitste pool veroorzaakt geen transmissienul bij p = j 0 omdat Z 1 j 0 = (zie blz. 82, Eigenschap 5 van koppelparameters), terwijl de volledig afgesplitste pool een transmissienul legt bij p = j 1 (zie § 9.3.). b) F p = Y p is een admittantie Vgl. (110) wordt gesynthetiseerd als geen TN
1 2A
2B ------ 02
2A 12
1 ------2B Yp
TN bij j1
Y2 p
Y1 p
De partieel afgesplitste pool veroorzaakt geen transmissienul bij p = j 0 omdat Y 1 j 0 = en dus Z 1 j 0 = 0 (zie blz. 82, Eigenschap 6 van koppelparameters), terwijl de volledig afgesplitste pool een transmissienul legt bij p = j 1 (zie § 9.3.). 92
9.4. Voorbeeld 1: filterontwerp met alle transmissienullen in het oneindige We wensen een derde orde Butterworth laagdoorlaatfilter met transferfunctie 1 T p = -----------------------------------------3 2 p + 2p + 2p + 1
(111)
te synthetiseren met de volgende enkelvoudige LC-ladder
enkelvoudige LC-ladder
Eg
1
U2
U2 p – Y 21 T p = --------------- = ----------------Eg p 1 + Y 22
1) Analyse ligging polen en nullen transferfunctie Alle transmissienullen liggen in p = , en de noemer van de transferfunctie is een strikt stabiele veelterm. De transferfunctie kan dus gerealiseerd worden via een enkelvoudige LC-ladder. 2) Identificatie van de Y-parameters De teller van de transferfunctie is een even veelterm, en dus delen we teller en noemer door het oneven deel van de noemer. Dit geeft 2p 2 + 11 en – Y 21 = ----------------Y 22 = ----------------3 3 p + 2p p + 2p 3) Nagaan of Y22 eigenpolen heeft Gezien er geen vereenvoudiging optreedt bij de koppelparameter Y 21 heeft de hoofdparameter Y 22 geen eigenpolen. 4) Synthese van de LC-ladder We moeten nu Y 22 exact realiseren, waarbij we transmissienullen leggen waar Y 21 nul wordt. Om te kunnen beslissen hoe we de transmissienullen realiseren tekenen we het pool-nullen patroon van Y 22 , tezamen met de te realiseren transmissienullen. =
= 0 TN 2
polen Y22 nullen Y22
nullen 1/Y22 1 2
polen 1/Y22
Uit dit schema volgt dat een nul van Y 22 (groene cirkel) samenvalt met een te realiseren transmissienul (rode cirkel). We kunnen deze nul dus volledig afsplitsen als pool van 1 Y 22
93
1 p 3 + 2p 3p --------------- = p--- + Z 1 p met Z 1 p = -------------------------= ----------------2 Y 22 p 2 2p + 1 2 2p 2 + 1 (bijvoorbeeld door de veeltermen te delen). We krijgen dan het volgende schema 12 Z1 p
Y 22 p
waarbij de seriespoel één transmissienul in het oneindige legt. Om te kunnen beslissen hoe we de tweede transmissienul zullen realiseren tekenen we nu het pool-nullen patroon van Z 1 p , tezamen met de te realiseren transmissienullen =
= 0 TN 1 2
polen Z1
nullen 1/Z1
nullen Z1
polen 1/Z1
Hieruit volgt dat een nul van Z 1 p (groene cirkel) samenvalt met een te realiseren transmissienul (rode cirkel). We kunnen deze nul dus volledig afsplitsen als pool van 1 Z1 1 2 2p 2 + 1 4 2 ------------= -------------------------- = --- p + Y 2 p met Y 2 p = -----Z1 p 3p 3 3p We krijgen dan het volgende schema 12 Y 22 p
4--3
Y2 p
waarbij de parallelcondensator de tweede transmissienul in het oneindige realiseert. Voor het realiseren van de laatste transmissienul tekenen we opnieuw het pool-nullen patroon
94
=
= 0 TN polen Y2
nullen 1/Y2
nullen Y2
polen 1/Y2
Opnieuw valt een nul van Y 2 (groene cirkel) samen met een te realiseren transmissienul (rode cirkel). Deze wordt volledig afgesplitst als pool van 1 Y 2 2 1 Y 2 p = ------ = -----3p 3--p 2 We bekomen het volgende netwerk voor de synthese van Y 22 32
12 4--3
Y 22 p
waarbij de tweede seriespoel de derde transmissienul in het oneindige realiseert. Het uiteindelijke filter is 32 Eg
12 4--3
1
Figuur 6: Laagdoorlaatfilter met alle transmissienullen in het oneindige. 5) Bepalen van de constante Het netwerk in figuur 6 realiseert – KY 21 1 + Y 22 . Bij DC ( p = 0 ) is de te realiseren transferfunctie (111) gelijk aan één. Uit het netwerk volgt dat de gerealiseerde transferfunctie bij DC ook één is (bij DC zijn de spoelen een kortsluiting en de condensator een open klem). Bijgevolg is K = 1 . Besluit De synthese van een laagdoorlaatfilter met alle transmissienullen in het oneindige komt neer op een kettingbreukontwikkeling van de hoofdparameter. Het filter bevat evenveel dynamische componenten (spoelen en condensatoren) als de orde van de transferfunctie. Het is dus optimaal wat betreft het aantal gebruikte componenten. 95
9.5. Voorbeeld 2: filterontwerp met alle transmissienullen in de oorsprong We wensen een derde orde Butterworth hoogdoorlaatfilter met transferfunctie p3 T p = -----------------------------------------p 3 + 2p 2 + 2p + 1
(112)
te synthetiseren met de volgende enkelvoudige LC-ladder
enkelvoudige LC-ladder
Eg
1
U2
U2 p – Y 21 T p = --------------- = ----------------Eg p 1 + Y 22
1) Analyse ligging polen en nullen transferfunctie Alle transmissienullen liggen in p = 0 , en de noemer van de transferfunctie is een strikt stabiele veelterm. De transferfunctie kan dus gerealiseerd worden via een enkelvoudige LC-ladder. 2) Identificatie van de Y-parameters De teller van de transferfunctie (112) is een oneven veelterm, en dus delen we teller en noemer door het even deel van de noemer. Dit geeft p 3 + 2p p3 - en – Y 21 = ----------------Y 22 = ----------------2p 2 + 1 2p 2 + 1 3) Nagaan of Y22 eigenpolen heeft Gezien er geen vereenvoudiging optreedt bij de koppelparameter Y 21 heeft de hoofdparameter Y 22 geen eigenpolen. 4) Synthese van de LC-ladder We moeten nu Y 22 exact realiseren, waarbij we transmissienullen leggen waar Y 21 nul wordt. Om te kunnen beslissen hoe we de transmissienullen realiseren tekenen we het pool-nullen patroon van Y 22 , tezamen met de te realiseren transmissienullen. =
= 0 TN polen Y22 nullen Y22
1 2 nullen 1/Y22 2
polen 1/Y22
Er volgt hieruit dat een nul van Y 22 (groene cirkel) samenvalt met een te realiseren transmissienul (rode cirkel). We splitsen deze nul dus volledig af als pool van 1 Y 22 2p 2 + 1 1 --------------- = A --- + Z 1 p = ----------------3 Y 22 p P p + 2p waarbij 96
1 p 1 -) = lim --------------A = Res p = 0(--------------= --2 p Y Y 22 p p 0 22 1 A 3p Z 1 p = ---------------- – --- = ---------------------Y 22 p p 2 p2 + 2 We krijgen dan het volgende schema 2 Z1 p
Y 22 p
waarbij de seriecondensator een transmissienul in de oorsprong realiseert. Voor het realiseren van de tweede transmissienul tekenen we opnieuw het pool-nullen patroon =
= 0 TN 2
polen Z1
nullen 1/Z1
nullen Z1
polen 1/Z1
De nul van Z 1 (groene cirkel) die samenvalt met de te realiseren transmissienul (rode cirkel) wordt volledig afgesplitst als pool van 1 Z 1 1 2 p2 + 2 4 2 ------------= ----------------------- = ------ + Y 2 p met Y 2 p = --- p Z1 p 3p 3p 3 Dit geeft het volgende schema 2 Y 22 p
Y2 p
34
waarbij de parallelspoel de tweede transmissienul in de oorsprong realiseert. Het pool-nullen patroon voor het leggen van de laatste transmissienul is = 0
=
TN polen Y2
nullen 1/Y2
nullen Y2
polen 1/Y2
97
De nul van Y 2 (groene cirkel) die samenvalt met de te realiseren transmissienul (rode cirkel) wordt volledig afgesplitst als pool van 1 Y 2 3 1 ------------= -----2p Y2 p Dit geeft het volgende schema 23
2 34
Y 22 p
waarbij de tweede seriescondensator de derde transmissienul in de oorsprong realiseert. Het uiteindelijke filter is 23 Eg
2 34
1
Figuur 7: Hoogdoorlaatfilter met alle transmissienullen in de oorpsrong.
5) Bepalen van de constante Het netwerk in figuur 7 realiseert – KY 21 1 + Y 22 . Bij p = is de te realiseren transferfunctie (112) gelijk aan één. Uit het netwerk volgt dat de gerealiseerde transferfunctie bij p = ook één is (bij p = zijn de condensatoren een kortsluiting en de spoel een open klem). Bijgevolg is K = 1 . Besluit De synthese van een hoogdoorlaatfilter met alle transmissienullen in de oorsprong komt neer op een kettingbreukontwikkeling van de hoofdparameter. Het filter bevat evenveel dynamische componenten (spoelen en condensatoren) als de orde van de transferfunctie. Het is dus optimaal wat betreft het aantal gebruikte componenten. Belangrijke opmerking We konden de synthese van het hoogdoorlaatfilter (112) ook als volgt aanpakken. Eerst zetten we het hoogdoorlaatfilter om in een laagdoorlaatfilter via de transformatie p = 1 q . Dit geeft precies de laagdoorlaat transferfunctie (111). Synthese van het laagdoorlaat filter geeft dan het resultaat in figuur 6. Het gezochte hoogdoorlaatfilter wordt dan gevonden door de transformatie q = 1 p toe te passen op elke impedantie in figuur 6: de seriespoel met waarde 3/2 wordt een seriecondensator met waarde 2/3, de parallelcondensator met waarde 4/3 wordt een parallelspoel met waarde 3/4, en de seriespoel met waarde 1/2 wordt een seriecondensator met waarde 2. Dit is precies het netwerk in figuur 7. 98
9.6. Voorbeeld 3: filterontwerp met eindige transmissienullen We wensen de volgende transferfunctie U2 p2 4 + 1 p2 5 + 1 T p = ------ = ----------------------------------------------------------------------------Eg 1--- 5 1--- 4 8--- 3 4--- 2 p + p + p + p + 4p + 1 3 3 3 3
(113)
te synthetiseren met de volgende enkelvoudige LC-ladder 1 enkelvoudige LC-ladder
Eg
Z 21 U2 p T(p) = --------------- = ----------------Eg p 1 + Z 11
U2
1) Analyse ligging polen en nullen transferfunctie Alle transmissienullen liggen op de imaginaire as p = 2j , p = 5j , en p = , en de noemer van de transferfunctie (113) is een strikt stabiele veelterm. De transferfunctie kan dus gerealiseerd worden via een enkelvoudige LC-ladder. 2) Identificatie van de Z-parameters De teller van de transferfunctie (113) is een even veelterm, en dus delen we teller en noemer door het oneven deel van de noemer. Dit geeft
Z 11
1--- 4 4--- 2 p + p +1 3 3 p 2 + 1 p 2 + 3 = ------------------------------------- = -----------------------------------------1--- 5 8--- 3 p p2 + 6 p2 + 2 p + p + 4p 3 3
3 p 2 4 + 1 p 2 5 + 1 - p2 4 + 1 p2 5 + 1 Z 21 = ----------------------------------------------------- = -------------------------------------------------------1 5 8 3 p p2 + 6 p2 + 2 --- p + --- p + 4p 3 3 3) Nagaan of Z11 eigenpolen heeft Gezien er geen vereenvoudiging optreedt bij de koppelparameter Z 21 heeft de hoofdparameter Z 11 geen eigenpolen. 4) Synthese van de LC-ladder We moeten nu Z 11 exact realiseren, waarbij we transmissienullen leggen waar Z 21 nul wordt. Om te kunnen beslissen hoe we de transmissienullen realiseren tekenen we het pool-nullen patroon van Z 11 , tezamen met de te realiseren transmissienullen. = 0
2
5
=
TN
nullen Z11
6
2
polen Z11
nullen 1/Z11 1
3
polen 1/Z11
99
Er zijn nu verschillende mogelijkheden: a) de pool p = 6j (blauw kruis) partieel afsplitsen van Z 11 zodat de nul p = 3j (blauwe cirkel) van Z 11 verschoven wordt naar de transmissienul p = 2j of p = 5j ; en vervolgens deze nul p = 2j of p = 5j volledig af te splitsen als pool van de één over de functie, b) de nul in het oneindige van Z 11 (groen cirkel) volledig afsplitsen als pool van 1 Z 11 zodat we onmiddellijk de transmissienul in p = (rode cirkel) realiseren. We krijgen dus drie verschillende netwerken met dezelfde transferfunctie. Om na te gaan welke optimaal is moet men alle mogelijkheden uitrekenen en deze weerhouden met de kleinste gevoeligheden en/of dynamiek in de elementwaarden. Om het rekenwerk te vereenvoudigen kiezen we oplossing b) (realisatie transmissienul in het oneindige) 1--- 5 8--- 3 4--- 3 p + p + 4p p + 3p 1 3 3 3 ---------------- = ------------------------------------- = p + Y 1 p met Y 1 p = ---------------------------------Z 11 p 1--- 4 4 2 1--- 4 4 2 p + --- p + 1 p + --- p + 1 3 3 3 3 (via deling van de veeltermen). Dit geeft als schema
Z 11 p
Y1 p
1
waarbij de parallelcondensator de transmissienul in het oneindige realiseert. Het pool-nullen patroon voor het leggen van de tweede transmissienul is = 0
2
5
=
TN polen Y1 nullen Y1
3
1 32
nullen 1/Y1 polen 1/Y1
We zien dat partieel afsplitsen van de polen van Y 1 geen zin heeft omdat deze de nul p = j3 2 (blauwe cirkel) nooit tot in de te realiseren transmissienullen kan brengen. We splitsen bijgevolg de pool in het oneindige van 1 Y 1 (groene cirkel) partieel af om zo de nul p = 3j van 1 Y 1 (groen kruis) te verschuiven naar de transmissienul p = 2j (rode cirkel). Merk op dat we de nul p = 3j ook zouden kunnen verder verschuiven naar p = 5j wat een ander netwerk geeft met dezelfde transferfunctie. Partieel afsplitsen geeft 1 ------------= Bp + Z 2 p Y1 p
100
waarbij B zodanig gekozen wordt dat Z 2(2j) = 0 . Dit levert 1 3 1 p 2 + 4 p 2 + 21 16 B = --------------------- = ------ en Z 2 p = -------------- – Bp = ---------------------------------------------------2jY 1 2j 28 Y1 p 7p p 2 + 9 4 Vervolgens splitsen we nu de pool p = 2j volledig af van 1 Z 2 1 2Ap ------------= -------------+ Y3 p Z2 p p2 + 4 waarbij p – 2j 98 1 -) = lim ------------- = -----A = Res p = 2j(------------Z p 43 Z2 p p 2j 2 2Ap 105p 43 1 = --------------------------Y 3 p = -------------- – -------------Z2 p p2 + 4 p 2 + 21 16 Dit geeft het volgende schema 3 28 Z 11 p
43 196
1
49 43
Y3 p
waarbij de seriespoel geen transmissienul realiseert, en de serieresonator in de paralleltak een transmissienul legt bij p = 2j . Het pool-nullen patroon voor het leggen van de derde en laatste transmissienul is = 0
5
=
TN polen Y3
21 16 nullen 1/Y3
nullen Y3
polen 1/Y3
Er is hier maar één mogelijkheid (ga dit na!) namelijk de pool p = van 1 Y 3 (groene cirkel) partieel afsplitsen zodat de nul p = 21 16 j van 1 Y 3 (groen kruis) verschoven wordt naar de transmissienul p = 5j (rode cirkel). 1 ------------= Bp + Z 4 p Y3 p waarbij B zodanig gekozen wordt dat Z 4 5j = 0 . Dit geeft 1 1 2537 43 p 2 + 5 B = ----------------------------- = --------------------- en Z 4 p = -------------- – Bp = --------- -------------Y3 p 525 16 400 p 5jY 3 5j
101
Vervolgens splitsen we nu de pool p = 5j volledig af van 1 Z 4 400p 431 ------------= --------------------Z4 p p2 + 5 Dit geeft het volgende schema 3 28
Z 11 p
1
2537 8400 43 196
43 400
49 43
80 43
waarbij de tweede seriespoel geen transmissienul realiseert, en de tweede serieresonator in de paralleltak een transmissienul legt bij p = 5j . Het uiteindelijke filter ziet er als volgt uit 3 28
1
Eg
1
2537 8400 43 196
43 400
49 43
80 43
Figuur 8: Laagdoorlaatfilter met eindige niet nulle transmisienullen. 5) Bepalen van de constante Het netwerk in figuur 8 realiseert KZ21 1 + Z 11 . Bij DC ( p = 0 ) is de te realiseren transferfunctie (113) gelijk aan één. Uit het netwerk volgt dat de gerealiseerde transferfunctie bij DC ook één is (bij DC zijn de spoelen een kortsluiting en de condensatoren een open klem). Bijgevolg is K = 1 . Besluit De synthese van een laagdoorlaatfilter met eindige van nul verschillende transmissienullen vereist in het algemeen partiële poolafsplitsing gevolgd door een volledige poolafsplitsing. Het gevolg hiervan is dat het filter meer dynamische componenten (spoelen en condensatoren) bevat dan de orde van de transferfunctie (in het voorbeeld 5de orde transferfunctie en 7 dynamische componenten). Het is dus niet optimaal wat betreft het aantal gebruikte componenten. Belangrijke opmerkingen Er bestaan verschillende mogelijke volgorden in het verwezenlijken van de transmissienullen, en bijgevolg verschillende mogelijke filters. Als beste filter kiest men deze met de kleinste gevoeligheid, en/of deze met de kleinste dynamiek in de elementwaarden, en/of deze met de grootste koppelparameter (grootste K -waarde).
102
Om in de praktijk het ontstaan van transmissienullen te vermijden bij partieel poolafsplitsen, moet men ervoor zorgen dat men minder dan een bepaald percentage van het residu afsplitst. Voor de partiële poolafsplitsing gebruikt men het best de polen in het oneindige of in de oorsprong.
103
10. Fasecorrectienetwerken 10.1. Allpass transferfuncties Het gerealiseerde filter vertoont het amplitude- en fasegedrag vervat in de transferfunctie T p . Meestal wordt echter T p bepaald uit amplitudespecificaties (zie § 1. en § 2., blz. 5-35); daarom stelt zich dikwijls het probleem, het fasegedrag (of doorlooptijdgedrag) van het gerealiseerde filter (ofwel van de vooropgestelde T p ) te verbeteren. Het basisidee bestaat erin om de transferfunctie T p te vermenigvuldigen met een transferfunctie T all p die enkel de fasekarakteristiek beïnvloedt T p T p T all p met T all j = constante Transferfuncties waarvan de amplitudekarakteristiek frequentieonafhankelijk (= constant) is noemt men allpass (alles doorlaat) filters. Deze hebben de volgende vorm a –p r r=0 r ----------------------------------n r = 0 a r p r na
T all p =
(114)
a
Inderdaad, vervangen we p door j dan bekomen we na 2
na 2
r = 0 –1 r a2r 2r – j r = 0 –1 r a2r + 1 2r + 1 T all j = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------na 2 na 2 – 1 r a 2r 2r + j – 1 r a 2r + 1 2r + 1 r=0
r=0
waaruit onmiddellijk volgt dat T all j = 1 . Uit de algemene vorm (114) kan men gemakkelijk zien dat de nullen het spiegelbeeld zijn van de polen t.o.v. de oorsprong (als p 0 een pool is, is – p 0 een nul), en dus liggen ze allemaal in het rechterhalfvlak ( T all p is stabiel!). De onderstaande figuur toont de polen/nullen ligging van een 3de orde allpass filter Im p 0
Re p –a
b
–b
a
–0
2 2 2 p – a p – 2bp + b + 0 -----------------------------------------------------------T all p = p + a p 2 + 2bp + b 2 + 02
104
10.2. Verliesloze allpass netwerken De allpass filters worden verwezenlijkt met zogenaamde constante weerstand secties. Dit zijn verliesloze reciproque tweepoorten die, wanneer ze belast worden aan één poort (inof uitgang) met de weerstand R , men aan de andere poort (uit- of ingang) een impedantie ziet gelijk aan R .
constante weerstand sectie constante weerstand sectie
R
Z in = R
R
constante weerstand sectie Z out = R
Constante weerstand secties hebben de volgende eigenschap. Eigenschap 1: Een constante weerstand sectie is een symmetrische tweepoort Z 11 = Z 22 . Bewijs: De ingangsimpedantie Z in van de constante weerstand sectie aan de uitgang belast met een weerstand R is gegeven door Z 12 Z 21 Z in p = Z 11 – -----------------R + Z 22 Uitdrukken dat Z in p = R levert Z 12 Z 21 Z 11 – ------------------ = R Z 11 R + det Z = R 2 + RZ 22 R + Z 22
(115)
waarbij det Z = Z 11 Z 22 – Z 12 Z 21 . Gelijkaardig vinden we voor de uitgangsimpedantie wanneer de ingang belast is met een weerstand R Z 22 R + det Z = R 2 + RZ 11
(116)
Uit (115) en (116) volgt dat Z 11 R – RZ 22 = Z 22 R – RZ 11 wat enkel kan indien Z 11 = Z 22 .
105
Eigenschap 2: De transferfunctie van een constante weerstand sectie geschakeld in de volgende configuratie R constante weerstand sectie
Eg
U2
T p = U2 p Eg p is een allpass filter. Bewijs: Het verband tussen de transferfunctie en de Y-parameters van de tweepoort wordt gegeven door Z 21 T p = -----------------R + Z 11
(117)
(zie § 7.2., blz. 76). Uitdrukken in vergelijking (116) dat de tweepoort reciproque ( Z 12 = Z 21 ) en symmetrisch ( Z 11 = Z 22 ) is, geeft 2 2 – Z 2 = R2 Z 2 Z 11 12 12 = Z 11 – R
(118)
Substitutie van (118) in (117) geeft 2 – R2 Z 11 Z 11 – R T p = ---------------------------- = ----------------R + Z 11 Z 11 + R
Evaluatie van deze uitdrukking langsheen de imaginaire as levert jX 11 – R Z 11 j – R - = ----------------------------T j = ---------------------------Z 11 j + R jX 11 + R (verliesloze tweepoort Z 11 is een Foster functie), waaruit onmiddellijk volgt dat T j frequentie onafhankelijk is. Eigenschap 3: Een constante weerstand sectie geschakeld in de volgende twee configuraties, R Eg
constante weerstand sectie T1 p = U2 p Eg p
R
U2
Eg
constante weerstand sectie
U2
T2 p = U2 p Eg p
heeft in beide gevallen dezelfde transferfunctie T 1 p = T 2 p = T all p . Bewijs: Het verband tussen de transferfuncties van beide schakelingen en de Y- en Zparameters wordt gegeven door 106
Z 21 – Y 21 T 1 p = ------------------ en T 2 p = -----------------R + Z 11 G + Y 22
(119)
met G = 1 R (zie § 7.2., blz. 76). Gebruik makend van het verband tussen de Y- en de Z-parameters Y 21 = – Z 21 det Z , Y 22 = Z 11 det Z met det Z = Z 11 Z 22 – Z 12 Z 21 kunnen we T 1 p herschrijven als – Y 21 Z 21 T 1 p = ------------------ = ----------------------------------G + Y 22 Gdet Z + Z 11
(120)
Uitdrukken in vergelijking (116) dat de tweepoort symmetrisch is ( Z 11 = Z 22 ) geeft Z 11 R + det Z = R 2 + RZ 11 det Z = R 2
(121)
Substitutie van (121) in (120) toont aan dat T 1 p = T 2 p (zie (119)). Eigenschap 4: Beschouw een derde categorie filter en een constante weerstand sectie R enkelvoudige LC-ladder
Eg
R
U2
T p = U2 Eg
constante weerstand sectie
Eg
R
U2
T all p = U 2 p E g p
met respectievelijk transferfunctie T p en T all p . De transferfuncties van de volgende twee cascade schakelingen R Eg
constante weerstand sectie
enkelvoudige LC-ladder
V
constante weerstand sectie
enkelvoudige LC-ladder
R
U2
R
U2
U2 p T 1 p = --------------Eg p
R Eg
V
U2 p T 2 p = --------------Eg p
zijn beiden gelijk aan T 1 p = T 2 p = T p T all p
107
Bewijs: In de eerste cascade schakeling doet alles zich voordoet alsof de enkelvoudige LC-ladder belast is met de weerstand R . Bijgevolg is de transferfunctie T 1 p van de cascade gelijk aan U2 p U2 p V p T 1 p = --------------- = --------------- -------------- = T all p T p Eg p V p Eg p Om de transferfunctie van de tweede cascade schakeling te berekenen vervangen we bron met de constante weerstand sectie door zijn Thévenin equivalent. Dit geeft R enkelvoudige LC-ladder
E oc
R
U2
waarbij E oc de spanning van de onbelaste uitgangspoort van de constante weerstand sectie is. Toepassen van Eigenschap 3 van constante weerstand secties toont aan dat E oc E = T all . Bijgevolg is de transferfunctie T 2 p van de cascade gelijk aan U2 p U 2 p E oc p T 2 p = --------------- = ---------------- ---------------- = T p T all p Eg p E oc p E g p wat de stelling aantoont. 10.3. Synthese verliesloze allpass filters Net zoals bij de synthese van actieve filters (zie § 5., blz. 37) wordt de allpass transferfunctie T all p gefactoriseerd in elementaire eerste en tweede orde secties. Voor allpass filters hebben deze de vorm p 2 – a1 p + a0 a–p T 1 p = ------------ en T 2 p = ------------------------------a+p p 2 + a1 p + a0 Elke elementaire sectie wordt gerealiseerd met behulp van een constante weerstand sectie, en het finaal filter is dan de cascade schakeling van al deze secties. Een eerste orde allpass sectie kan verwezenlijkt worden door de volgende constante weerstand sectie L
C
C
L--= R2 C
L
108
Rekening houdend met de eis RC = L R wordt de transferfunctie van constante weerstand secties (zie Eigenschap 3) gegeven door 1 – Lp R T all p = ----------------------1 + Lp R Een tweede orde allpass sectie wordt verwezenlijkt door de volgende constante weerstand sectie C1 L1
L1 C1 = L2 C2 C2
C2
L2
L2
L L -----1- = -----2- = R 2 C2 C1
C1 L1
Rekening houdend met de eisen L 1 C 1 = L 2 C 2 en L 1 C 2 = L 2 C 1 = R 2 wordt de transferfunctie van constante weerstand secties (zie Eigenschap 3) gegeven door p 2 – Rp L 2 + 1 L 2 C 2 T all p = ---------------------------------------------------------p 2 + Rp L 2 + 1 L 2 C 2
109
11. Synthese van FDNR en Switched Capacitor Filters 11.1. FDNR- filtersynthese FDNR staat voor "frequency dependent, negative resistance". Het probleem met passieve LC-filters is dat het zeer moeilijk is om bij lage frequenties (<100kHz) spoelen van goede kwaliteit te maken. Inderdaad de verhouding van het inductieve gedrag tot het resistieve gedrag van een spoel is L R , en deze gaat naar nul als 0 . M.a.w. het resistieve karakter zal altijd overheersen bij "lage" frequenties. Hierop heeft men actieve alternatieven bedacht van passieve LC-filters. Het idee gaat als volgt. De transfer functie is een verhouding van homogene vormen van dezelfde graad in de admittanties van de takken van het netwerk. Vermenigvuldigen van elke impedantie met dezelfde (frequentie afhankelijke) factor wijzigt de transfer functie niet (zie deel analyse). Indien we als schaal factor 1 p kiezen bekomen we de zogenaamde FDNR transformatie.
Ln p
1 P
Ln
1 CnP
1 Cn p ²
Rn
FDNR - element (supercap)
Rn p
Deze transformatie zet een spoel om in een weerstand, een weerstand in een capaciteit en een capaciteit in een nieuw element, het zogenaamde FDNR- element of supercap (super capaciteit). Deze transformatie moet gebeuren op het genormaliseerde LC-filter (frequentie en weerstand genormaliseerd) met de dimensieloze Laplace veranderlijke p . Het FDNR-element wordt met behulp van de volgende schakeling gemaakt.
ZIN
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Bewijs als oefening dat de ingangsimpedantie Z IN gegeven wordt door Z1 Z3 Z5 Z IN = -----------------Z2 Z4
(122)
Kiezen we nu Z 1 en Z 3 capacitief en Z 2 , Z 4 en Z 5 resistief dan wordt Z IN :
110
R5 1 Z IN = -------------------------------2- =ˆ ---------2C1 C3 R2 R4 p Dp
(123)
wat nu juist de vereiste impedantie van het FDNR-element is. We illustreren het basisidee aan de hand van een voorbeeld L1 n
L2 n
Rn
Cn
z
1 P
L2 n
1 Rn
Cn
R 1 L 1n R 0
E
D
C
R 2 L 2n R 0
C n
R 0
1 R n R 0
0
2 0
Om een bandoorlaat filter te realiseren zijn er op 't eerste zicht 2 mogelijkheden: 1) laagdoorlaat genormaliseerd LC prototype naar q = 1 B P + 1 P banddoorlaat genormaliseerd LC prototype naar z 1 P banddoorlaat genormaliseerd FDNR prototype. Weerstands- en frequentietransformatie R 0 0 geeft het uiteindelijke FDNR filter. 2) laagdoorlaat genormaliseerd LC prototype naar z 1 P laagdoorlaat genormaliseerd FDNR prototype naar q = 1 B P + 1 P banddoorlaat genormaliseerd FDNR prototype. Weerstands- en frequentietransformatie R 0 0 geeft het uiteindelijke FDNR filter We passen beide strategieën toe op een 3de orde filter.
111
1) q
Z
1 1 (p ) B P
1 P
Dit geeft vlottende FDNR-elementen wat te vermijden is (denk bijv. aan de common mode rejectie van de opamps). 2)
E
z
q
1 B
(p
1 P
E 1 P
)
E
Dit schema bevat een nieuw element het zogenaamde FDNC- element, symbolisch voorgesteld door Z Dp²
112
Dit schema werd bekomen door B
q
1 B
(p
1 P
C
)
C Y Cq
Y
C B
((P P
1 P
)
C B
D B² B² 2D
D
Y Dq ²
B² D 2 1 D Y = -----2- D p + 2 + ----- 1 YB ( p² 1 p2 ) B²
p²
Merk op dat er nu geen vlottende FDNR elementen zijn. Het FDNC element wordt gemaakt door in (122) Z 2 en Z 4 capacitief en Z 1 , Z 3 en Z 5 resistief te kiezen. Z IN = R 1 R 3 R 5 C 2 C 4 p 2 = Dp 2 De spoel wordt gemaakt met de keuze Z 4 capacitief en Z 1 , Z 2 , Z 3 en Z 5 resistief R1 R3 R5 Z IN = ------------------- C 4 p R2 Opmerking Om dezelfde redenen moet men vermijden om te vertrekken van
In plaatst hiervan kiest men beter voor
113
11.2. Switched capacitor filters De meest gebruikte synthese techniek voor switched capacitor filter is de zogenaamde "leap frog" methode. Deze start van een passief LC-prototype, zet het om in een actief netwerk met integratoren, en vervolgens worden de integratoren d.m.v. switched capacitor integrators gerealiseerd. We illustreren dit aan de hand van een voorbeeld I R1
R
L1
I L1
I V L1
V R1
I R2
VL2
c
C
Vc
E
L2
I L2
1
VR 2
R 2
1
We duiden de stromen en spanningen door alle elementen aan op het LC prototype. Vervolgens tekenen we een graf waarbij alle spanningen bovenaan en alle overeenstemmende stromen onderaan staan. +1 V R1
E
V L1
V
-1
-1 L
R
+1
I
L
1
V
L
C P
+1
1
I
-1
C
2
1
1 P
R
-1
+1
1
R
I
V L2
c
I
L
2
2
R
P
+1
I
R
2
Dit wordt bekomen door: 1) de VAL-wetten uit te drukken voor de spoelen en de condensator L
i
uL
di 1 i udt dt L
u C i
iC
du 1 u idt dt C
u
2) KCL wet in 1 geeft I C = I L1 – I L2 3) KVL wet in 1 geeft V L1 = E – V R – V C 4) KVL wet in 2 geeft V L2 = V C – V R2 5) I R1 = I L1 en I R2 = I L2 Deze graf kan nog niet d.m.v. integratoren gerealiseerd worden gezien we van spanningen naar stromen overgaan en omgekeerd. Daarom vermenigvuldigen we alle stromen in de
114
graf met een willekeurig weerstand R' . dit levert (opgelet met de gewichten van de takken!) +1 V R1
V L1
-1
-1
R R '
+1
V
' L1
V R2
-1
+1
R ' L1P
V R'
VL2
Vc
1 R 'CP
+1
V C'
R R '
R ' L2P
V
-1
' L 2
+1
V R' 2
Waarbij V' = R'I . Voor de eenvoud van de realisatie kiezen we meestal R' = R . Met deze keuze krijgen we: V R1 = V' L1
en
V R 2 = V' L2
De integratoren in de graf maken we als volgt: Cx
Va VOUT = ?
1
Vb
RC - equivalent schema Cx 1
V OUT
Va - Vb
1
Cx fs
p fs
.(V a V b )
Passen we dit toe op de eerste integrator dan bekomen we L1 fs R' 1 ----- = ------ C x = --------L1 Cx R' -----fs L 1n R = ------------ f s 0 R' fs = L 1n -----0 Met andere woorden de te realiseren capaciteitsverhouding C x stijgt met de verhouding f s f 0 . Aan de ene kant willen we f s f 0 zo groot mogelijk kiezen om de harmonische distortie aan de uitgang van het switched capacitor filter te beperken. Aan de andere kant is de maximale waarde van C x beperkt (typisch niet groter dan 500) We zullen dus een compromis moeten sluiten. 115
Rekening houdend me het feit dat de integratoren het teken omwisselen wordt het volledige schema VL‘
1
VL‘
VL‘
OUT
2
VL‘
2
1
VL‘
1
Cx Vc
IN
E
Vc
Vc
VL‘
2
Om transmissienullen te leggen moeten we het LC-netwerk eerst omvormen vooralleer de graf te tekenen. Zoniet botsen we door de oneigenlijkheden op problemen in de graf. a) transmissienul in de serietak Ingeval van een laagdoorlaat filter ziet het LC-prototype er als volgt uit
C2
2
1
C1
L1
C3
116
De oneigenlijkheid is hier de lus gevormd door de condensator C 1 , C 2 en C 3 . We vervangen C 2 door 1 of meerdere spanningsbronnen die functie zijn van V 1 en V 2 . Dit vinden we terug via de Y n V n = J n methode: 1
2
1
1 C 1 p + --------- + C 2 p L1 p
1 – C 2 p – --------L1 p
2
1 – C 2 p – --------L1 p
1 C 2 p + --------- + C 3 p L1 p
V1 V2 =
1 C 1 + C 2 p + --------L1 p
1 – --------L1 p
1 – --------L1 p
1 C 2 + C 3 p + --------L1 p
C 2 pV 2
V1
V 2 = C 2 pV 1
De structuur die overeenstemt met deze vergelijking is VL1 I0
I2
1
L1
I4
2
I3
I1
C 2+ C 3
C 1+ C 2
V
C2
C2
C1 C2
C2 C3
V
met als graf C2 C2 C3
C2 C1 C 2
V L1
V1 1 (C1 C2 )P
I0
+1
V2
-1
+1 1 L
I1
-1
I2
1
1 (C 2 C 3 ) P
P
+1
I3
-1
I4
117
b) transmissienul in de parallel tak In geval van een laagdoorlaatfilter ziet het LC-prototype er als volgt uit:
L1
I1
L3
1
I2
L2 C1
1
2
De oneigenlijkheid is hier knoop 1 waarin enkel spoelen in aankomen. We vervangen L 2 door 1 of meerdere stroombronnen die functie zijn van de liaanstromen I 1 en I 2 . Het dualiteitsprincipe geeft ons in dat we hier Z m I m = E m methode moeten toepassen om de oneigenlijkheid te elimineren. Toepassen van Z m I m = E m levert 1
2
1
1 L 1 + L 2 p + --------C1 p
1 – L 1 p – --------C1 p
2
1 – L 2 p – --------C1 p
1 L 2 + L 3 p + --------C1 p
I1 I2 =
1 L 1 + L 2 p + --------C1 p
1 – --------C1 p
1 – --------C1 p
L 2 + L 3 p
I1
L 2 pI 2
I 2 = L 1 pI 1
Het LC-netwerk dat hiermee overeenkomt is
I1
L1+ L2
1
L2pI2
L2pI1 L2 + L3
I2
C1 2
118
Of nog in Northon vorm L2 I1 L2 L3
L2 I2 L1 L2
V0
V1
V3
L1+ L2
L2+ L3
I1
1 ( L1 L2 ) p
-1
V4
C1
V2 Met als bijhorende graf V0 V1 +1
I2
V2
+1
1 C1 p
+1 I
C
-1
V3
-1
V4
1 ( L2 L3 ) p
I2 1
L2 L 2 L3
L2 L1 L 2
119
12. Appendix A: de Chebyshev Veeltermen 12.1. Definitie Chebyshev veeltermen De Chebyshev veelterm van orde n wordt gedefinieerd als T n z = cos n bgcos z
(124)
of nog T n z = cos nw z = cos w Wanneer we deze veelterm van naderbij bekijken vinden zien we dat voor: n = 0 T0 z = 1 n = 1 T1 z = z n = 2 cos 2w = 2cos 2 w – 1 dus T 2 z = 2z 2 – 1 We trachten een recursieformule op te stellen cos n + 1 w = cos nw cos w – sin nw sin w cos n – 1 w = cos nw cos w + sin nw sin w Sommatie levert T n + 1 z + T n – 1 z = 2zT n z en dus T n + 1 z = 2zT n z – T n – 1 z
(125)
Dit toont aan dat indien T n en T n – 1 veeltermen zijn, dan is ook T n + 1 een veelterm. Aangezien nu T 0 en T 1 veeltermen zijn is dit ook het geval voor T 2 . Per inductie bewijst dit dat T n een veelterm is voor alle n . 12.2. Eigenschappen Chebyshev veeltermen Eigenschap 1: T 2n z is een even veelterm, en T 2n + 1 z is een oneven veelterm. Bewijs: Deze eigenschap blijkt juist voor n = 0 1 2 . Het verdere bewijs gebeurt door inductie. Indien n even is, geldt dat: T n z is even, en T n – 1 z is oneven (inductiehypothese) T n + 1 z = 2zT n z – T n – 1 z is oneven Indien n oneven is, geldt dat: T n z is oneven, en T n – 1 z is even (inductiehypothese) T n + 1 z = 2zT n z – T n – 1 z is even Eigenschap 2: Voor n 1 is de coëfficiënt van de hoogste macht in T n z is 2 n – 1 , m.a.w. T n z = 2 n – 1 z n – .
120
Bewijs: De eigenschap is geldig voor n = 1 2 . Uit de recursieformule (125) volgt dat de hoogste graadsterm telkens met 2 vermenigvuldigd wordt bij toenemende n , waaruit het gestelde volgt. Eigenschap 3: Uitbreiding van het reële definitiegebied. T n z = cosh n bgcosh z
z1
T n z = cos n bgcos z
–1 z 1
T n z = – 1 n cosh n bgcosh – z z – 1 Bewijs: We bestuderen (124) voor z reëel T n z = cos nw met z = cos w Stel nu w = u + jv , dan is z = cos w = cos u cos jv – sin u sin jv = cos u cosh v – j sin u sinh v en T n z = cos nu cos njv – sin nu sin njv = cos nu cosh nv – j sin nu sinh nv Is z nu een reëel getal ( Im z = 0 ), dan moet sin u sinh v = 0 zodat u = 2k + 1 of v = 0 Hieruit volgt dat voor u = 0 is T n z = cosh nv en z = cosh v 1 voor u = is T n z = – 1 n cosh nv en z = – cosh v 1 voor v = 0 is T n z = cos nu en – 1 z = cos u 1 Eigenschap 4: T n z 1 als – 1 z 1 , en T n z 1 als z 1 . Bewijs: We maken gebruik van Eigenschap 3 van Chebyshev veeltermen. In het gebied – 1 z 1 vindt men dat – 1 z = cos w 1 – 1 T n z = cos nw 1 In het gebied z 1 vindt men dat z = cosh v 1 T n z = cosh nv 1 Eigenschap 5: T n z heeft al zijn reële nullen in het interval – 1 +1 . Bewijs: T n z = cos nw met z = cos w . Wanneer w varieert van 0 2 , varieert z van 1 0 – 1 , en gaat nw van 0 n 2 n . Bijgevolg wordt nw precies n keer gelijk aan een oneven veelvoud van 2 . T n z wordt dus n maal nul als z varieert van – 1 tot 1 . Gezien T n z een veelterm is van graad n liggen alle nullen in het interval – 1 +1 .
121
Eigenschap 6: Enkele particuliere waarden van T n z n : even T n +1 = 1
n : oneven T n +1 = 1
Tn 0 = –1 n 2 Tn 0 = 0 Tn –1 = 1
Tn –1 = –1
We kunnen nu aan de hand van vorige eigenschappen gemakkelijk het verloop van een n -de graad Chebyshev veelterm bepalen. We geven hier ter illustratie het verloop van T 1 T 2 T 3 , en T 4 . T4 T 3 Tn z
T2 T1
1
1
–1
z
–1
Bijkomende eigenschappen: De Chebyshev veeltermen T n z zijn een uitstekende minimum-maximum (minimax) benadering van de waarde nul in het gebied – 1 +1 (genormaliseerd). Men zegt dat T n z "onder controle" wordt gehouden in dit interval. Deze minimax-afwijking t.o.v. nul wordt bereikt door verschillende malen de z -as te snijden (het leggen van n nullen tussen -1 en +1).
122
Telkens we door nul gaan, keren we terug en snijden weer de z -as, zodat de afwijking t.o.v. nul nooit groot kan worden binnen – 1 +1 . We merken verder op dat bij T n z alle opeenvolgende minima en maxima gelijk zijn (in absolute waarde). Men bewijst dat uit alle veeltermen (graad n ) die binnen het interval – 1 +1 in modulus kleiner blijven dan 1 (en dus tevens onder controle gehouden worden), de Chebyshev veelterm het steilst naar gaat buiten het interval – 1 +1 (genormaliseerd interval).
123
REFERENTIEWERKEN Boeken M. Abramowitz, and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York (USA), 1970. B.D.O. Anderson and S. Vongpanitlerd, Network analysis and synthesis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs (USA), 1973. N. Balabanian, Network Synthesis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs (USA), 1964. P. Bildstein, Filtres Actifs. Editons Radio, Paris, 1976. W.K. Chen, Linear Network Design and Synthesis. McGraw-Hill, New York, 1964. T. Deliyannis, Y. Sun, and J.K. Fidler, Continuous-Time Active Filter Design. Taylor & Francis CRC Press, 1998. P. Henrici, Applied and Computational Complex Analysis. Wiley, New York, vol. 1, 1974. J.E. Kardontchik, Introduction to the Design of Transconductor-Capacitor Filters. Kluwer Academic Publishers, Boston, 1992. R. Pintelon, Komputeranalyze en Synthese van Netwerken. VUB uitgaven, 1991. J.E. Storer, Passive Network Synthesis. McGraw-Hill, New York, 1957. D.F. Tuttle, Network Synthesis. John Wiley & Sons, New York, 1958. M.E. Van Valkenburg (ed.), Circuit Theory: Foundations and Classical Contributions. Dowden, Hutchinson & Ross, Stroudsburg (USA), 1974. M.E. Van Valkenburg, Modern Network Synthesis, John Wiley, New York, 1960. A. I. Zverev, Handbook of Filter Synthesis. John Wiley & Sons, New York, 1967. Tijdschriftartikels Kollár I., R. Pintelon and J. Schoukens (1990), Optimal FIR and IIR Hilbert Transformer Design via LS and Minimax Fitting, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-39, no. 6, pp. 847852. Pintelon R., Y. Rolain, M. Vanden Bossche and J. Schoukens (1990a). Towards an Ideal Data Acquisition Channel, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-39, no. 1, pp. 116-120. Pintelon R. (1990). Phase Correction of Linear Time Invariant Systems with Digital Allpass Filters, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-39, no. 2, pp. 324-330. Pintelon R. and J. Schoukens (1990b). Real-Time Integration and Differentiation of Analog Signals by Means of Digital Filtering, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-39, no. 6, pp. 923927. D. Preis (1982). Phase distortion and phase equalisation in audio signal processing - a tutorial review, J. Audio Eng. Soc., vol. 30, no. 11, pp. 774-794. Van den Broeck T., R. Pintelon and A. Barel (1994). Design of a Microwave Multisine Source Using Allpass Functions Estimated in the Richards Domain, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-43, no. 5, pp. 753-757. Vuerinckx R., Y. Rolain, J. Schoukens and R. Pintelon (1996). Design of Stable IIR Filters in the Complex Domain by Automatic Delay Selection, IEEE Trans. Sign. Proc., vol. SP-44, no. 9, pp. 2339-2344.
124
