NESTANDARDNÍ
APLIKAČNÍ ÚLOHY A PROBLÉMY Růžena Blažková
Úvod Tématický okruh Nestandardní aplikační úlohy a problémy poskytuje žákům možnosti řešení úloh a problémů zábavnou formou, úloh s tématikou z různých oblastí matematiky i úloh a problémů z praktického života. Náročnost úloh je volena vzhledem k rozumové vyspělosti žáků a téma může přispívat k rozvoji zájmu žáků o matematiku. Úlohy mohou být zadávány tak, aby rozvíjely žáky s matematickým nadáním a také aby zaujaly i žáky, kteří v matematice nevynikají nebo mají v matematice problémy. Výuka tématického okruhu není jednorázová, ale měla by prolínat všemi ostatními tématickými okruhy v průběhu celého vzděláváni. Řešení úloh je zpravidla nezávislé na znalostech a dovednostech žáka ze školské matematiky, úlohy vyžadují logickou úvahu, kombinatorické postupy, analýzu problému, schopnost práce s daty a jejich utřiďováním, schopnost grafického modelu při řešení situací, schopnost hledat optimální řešení. Řešením úloh komplexnějšího charakteru se mohou ilustrovat vzájemné vztahy mezi aritmetikou, algebrou a geometrií. Výstupy: - žák užívá logickou úvahu a kombinační úsudek při řešení úloh a problémů, nalézá různá řešení předpokládaných nebo zkoumaných situací, - řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z různých tématických celků a vzdělávacích oblastí. Učivo: - číselné a logické řady - číselné a obrázkové analogie - logické a netradiční geometrické úlohy. Číselné a logické řady V následujících příkladech určete další tři členy řady tak, aby byla zachována zákonitost jejího vytváření. Pokuste se zapsat vztah, podle kterého vypočítáte další členy. 1.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …
2.
3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, …
3.
1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, …
4.
1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, …
5.
1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, …
6.
0, -4, -10, -18, -28, …
7.
1 1 1 1 , , , ,... 2 4 8 16 1
8. 1, -2, 3, -4, 5, -6, … 9.
1 2 3 4 , , , ,... 2 3 4 5
10. 1, 11, 22, 2, 22, 44, 3, 33, 66, … Úlohy podporující zápis čísla v desítkové soustavě, rozvíjející kombinační myšlení:
1. Zvolte si tři různá jednociferná čísla ( např. 2, 5, 8). Pomocí těchto tří čísel zapište všechna trojciferná čísla, v jejichž zápisu se číslice neopakují. (258, 285, 528, 582, 825, 852). Všech těchto šest čísel sečtěte. Vzniklý součet vydělte součtem tří jednociferných čísel. Pokud jste správně počítali, vyjde vám vždy 222. (Zdůvodnění: každé ze šesti trojciferných čísel můžeme zapsat pomocí rozvinutého zápisu v desítkové soustavě. Uveďme obecný případ: 100 a + 10 b + c 100 a + 10 c + b 100 b + 10 a + c 100 b + 10 c + a 100 c + 10 a + b 100 c + 10 b + a Součet těchto čísel je 222 a + 222 b + 222 c = 222( a + b + c). ) 2. Vyberte si libovolné trojciferné číslo (z úl. 1) a zapište je dvakrát za sebou tak, abyste dostali číslo šesticiferné (např. 285 285). Vydělte toto číslo sedmi, vzniklý podíl pak vydělte jedenácti a tento další podíl vydělte třinácti. Pokud budete počítat správně, vyjde vám původně zvolené trojciferné číslo. (Zdůvodnění: Součin čísel 7 . 11. 13 = 1 001. Pokud libovolné trojciferné číslo vynásobíme číslem 1 001, dostaneme šesticiferné číslo uvedené vlastnosti, zde využijeme inverzní operace.) 3. Zapište číslo, které udává vaši hmotnost (uveďte v celých kilogramech). Zřejmě je to číslo dvojciferné. Zapište toto číslo třikrát za sebou, dostanete tak číslo šesticiferné (např. 484 848). Vydělte toto číslo třinácti, vzniklý podíl vydělte číslem 21 a nově vzniklý podíl vydělte číslem 37. Při správném výpočtu dostanete původní dvojciferné číslo. (Zdůvodnění: Součin čísel 13 . 21 . 37 = 10 101. Vynásobíme-li toto číslo libovolným dvojciferným číslem, dostaneme šesticiferné číslo požadované vlastnosti, zde postupujeme obráceným postupem).
4. Vybere si libovolné trojciferné číslo takové, ve kterém se liší počet jednotek a počet stovek alespoň o dvě (např.528). Zapište číslo, které má opačné pořadí číslic (825). Odečtěte od většího čísla číslo menší (825 – 528 = 297). Z čísla zapsaném v rozdílu utvořte číslo s opačným pořadím číslic (792) a obě čísla sečtěte (297 + 792 = 1 089). Číslo 1 089 vychází vždy při volbě libovolného trojciferného čísla splňujícího požadovanou podmínku.
2
(Zdůvodnění: Zvolené trojciferné číslo zapíšeme pomocí rozvinutého zápisu v desítkové soustavě: 100 a + 10 b + c. Číslo zapsané opačným pořadím číslic je 100 c + 10 b + a. Tato čísla odečteme: 100 a + 19 b + c = (100 c + + 10 b + a) = 99 a –99 c. Podmínka, aby se počet jednotek a počet stovek lišil alespoň o dvě zaručuje, že rozdíl je číslo trojciferné. Výraz 99a – 99 c postupně upravíme takto: 99 a – 99 c = 100 a – a – (100 c – c) = 100 (a – c) – (a – c) = 100 (a – c) - 100 + 100 – 10 + 10 –a + c = 100 (a – c – 1) + 90 + 10 – a + c, což jsou stovky desítky jednotky nového čísla (rozdílu). Číslo zapsané opačným pořadím číslic je potom 100 (10 – a + c) + 90 + (a – c - 1). Tato dvě čísla sečteme: [ 100 (a – c- 1) + 90 + (10 – a + c)] + [ 100 (10 – a + c) + 90 + (a – c – 1)] = = 100 a – 100 c – 100 + 90 + 10 – a + c + 1 000 – 100a + 100 c + 90 + a – c – 1 = = 1089.)
5. Kouzelník David řekl spolužákům: Zvolte si každý libovolné trojciferné číslo takové, aby se počet jednotek a počet stovek lišil alespoň o dvě. Zapište číslo s opačným pořadím číslic a odečtěte menší číslo od většího. Zakryjte jednu číslici ve vašem vypočítaném rozdílu, řekněte mi součet zbylých dvou a já vám řeknu, kterou číslici jste zakryli. Filip si zapsal 397, číslo s opačným pořadím číslic je 793, rozdíl je 396. Zakryl 3, řekl součet 15 a Ondra uhodl, že zakryl trojku. Uhodl to u všech ostatních spolužáků. (Zdůvodnění: Rozdíl trojciferného čísla a čísla zapsaným opačným pořadím číslic je obecně 99a – 99c . viz úl. 4. Tedy tento rozdíl je vždy dělitelný devíti. Oznámený součet zbylých dvou nezakrytých čísel se tedy doplní do nejbližšího násobku devíti – v tomto případě do 18.)
Návodná úloha: Zapište libovolné dvojciferné číslo a číslo s opačným pořadím číslic. Odečtěte od většího čísla číslo menší. Přesvědčte se, že získaný rozdíl je vždy násobkem čísla devět. Z rozdílu desítek a jednotek můžete zjistit, kolikanásobek devíti to je. 6. David uvedl další kouzlo: Zapište trojciferné číslo takové, že jeho počet desítek je dvakrát větší než počet stovek, počet jednotek je libovolný (např. 483). K tomuto číslu přičtěte pětinásobek počtu jednotek (483 + 5 . 3 = 498). Získané číslo vynásobte deseti (4 980) a toto číslo vydělte dvanácti (4 980 : 12 = 415) a sdělte mi výsledek. Filip oznámil 415 a Ondra poznal, že původní číslo bylo 483. (Zdůvodnění: Číslo požadovaných vlastností zapíšeme pomoci rozvinutého zápisu takto: 100 a + 2.10 a + c. Provádíme-li postupně operace podle pokynů., dostaneme: ⎨[( 100 a + 20 a + c) + 5 . c] . 10⎬ : 12 = (1 200 a + 60 c) : 12 = 100 a + 5 c, což jsou: a stovky, c jednotky hledaného čísla a počet desítek je dvojnásobek počtu stovek. V našem případě při sdělení čísla 415 poznal Ondra 4 stovky, 2 . 4 = 8 desítek a 15 : 5 = 3 jednotky. )
7. Další kouzlo: Myslete si libovolné, alespoň dvojciferné číslo. Od tohoto čísla odečtěte jeho “ciferný součet”, tj. součet počtu jednotlivých řádů . V tomto rozdílu si zakryjte kteroukoliv číslice a sdělte mi ostatní zbývající číslice daného rozdílu. Poznám, kterou číslici jste zakryli. Např. Myslím si 8 649. 8 648 – (8 + 6 + 4 + 8) = 8 649 – 26 = 8 623. Zakryji 6, sdělím 8, 2, 3. Kouzelník uhodne 6. (Zdůvodnění: Zapíšeme číslo pomocí rozvinutého zápisu 1 000 a + 100 b + 10 c + d, ciferný součet je a + b + c + d. Pak 1 000 a + 100 b + 10 c + d – (a + b + c + d) = 999a + 99b +
3
+9c = 9.( 111a + 11 b + c). Rozdíl je dělitelný devíti a tedy stačí doplnit součet sdělených čísel do nejbližšího násobku devíti.)
8. Zapište si každý své rodné číslo (celkem 10 číslic). Označte si v zápisu tohoto čísla číslice na místech sudých a číslice na místech lichých. Sečtěte nejprve čísla zapsaná na lichých místech a potom čísla zapsaná na sudých místech – a potom oba součty od sebe odečtěte. Přesvědčte se, že vždy vám vyjde 0 nebo násobek čísla 11. Úlohy rozvíjející prostorovou představivost
1. Krychle se jeví při pohledu shora i zepředu jako čtverec. Má i některé jiné těleso tuto vlastnost ? 2. Může být kolmým průmětem krychle pravidelný šestiúhelník? 3. Představte si kvádr sestavený z krychliček – tři krát dvě krát čtyři krychličky. Kolik z 24 krychliček prochází tělesová úhlopříčka kvádru ? 4. Představte si krychli, jejíž hrana má velikost 5 cm. Krychli na povrchu obarvíme barvou a potom krychli rozřežeme na 125 krychliček s hranou velikosti 1 cm. Kolik krychliček má právě jednu stěnu obarvenou ? Kolik má obarvené dvě stěny? Kolik tři stěny ? Kolik krychliček je neobarvených ? 5. Krychli rozřežeme rovinou na dvě části. Nakreslete obrázek tak, aby průnik krychle a roviny byl a) trojúhelník, b) obdélník, c) čtverec, d) lichoběžník, e) pětiúhelník, f) šestiúhelník. 6. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky a. Vypočítejte obsah lichoběžníku BEKJ, kde bod K je středem hrany GH a bod J je středem hrany CG. 7. Jaké geometrické útvary můžeme získat, budeme-li provádět řez rovinou těchto těles: a) válec, b) jehlan, c) kužel? 8. Jaké těleso vznikne, jestliže jeho hranami budou úsečky spojující středy stěn krychle. 8. Vymodelujte rotační tělesa – rotací obdélníku, trojúhelníku, půlkruhu. 10. Zhotovte si Mobiův proužek. 11. Zhotovte sítě platónových těles (pravidelného čtyřstěnu, šestistěnu, osmistěnu, dvanáctistěnu a dvacetistěnu). 12. Ověřte Eulerovu větu pro mnohostěny: Označíme-li počet stěn mnohostěnu s, počet jeho vrcholů v a počet jeho hran h, pak platí s + v = h + 2.
4
Početní úlohy
1. Vypočtěte délky hran kvádru, jestliže a) je dána délka jeho tělesové úhlopříčky u a poměr hran a : b : c. b) je dán poměr obsahů jeho stěn. 2. Je dán kvádr ABCDEFGH a kvádr A´BĆ´D´E´F´G´H´ jemu podobný. Jaký je poměr a) objemů obou těles b) povrchů obou těles? 3. Vypočítejte velikosti hran kvádru a objem tohoto kvádru, jestliže hrany jsou v poměru 1 : 2 : 6 a jeho povrch je 1 000 m2. 4. Vypočítejte velikosti hran a povrch kvádru, jestliže hrany jsou v poměru 1 : 2 : 4 a jeho objem je 1 000 m3. 5. Jaký je objem prostoru pod střechou domu 15 m dlouhého, 8 m širokého a výška štítu je 3,5 m. 6. Vypočítejte rozměry válcové nádoby, jejíž objem je litr a výška je rovna průměru válce. 7. Vypočítejte objem válcové nádoby, jejíž objem je litr a výška je rovna dvojnásobku průměru válce. 8. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou délky 20 cm. 9. Kuželovitá nálevka má mít objem 1 litr a výšku 12 cm. Jakou výseč musíme zvolit k výrobě nálevky ? 10. Vypočítejte povrch a objem tělesa, které vznikne rotací rovnostranného trojúhelníku kolem jeho strany. 11. Vypočítejte délku hrany, povrch a objem krychle vepsané do koule o poloměru r. 12. Jaký je poměr a) povrchů b) objemů dvou krychlí, z nichž jedna je vepsána do koule o poloměru r a druhá je této kouli opsána.
5
