Nemlineáris rendszerek

Nemlineáris rendszerek

2013. 09. 28.

Irányítástechnika II. - VI BSc

1

Lineáris – nemlineáris rendszerek • Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű bemenet/kimenet (I/O) modell: an y n   an 1 y n 1    a1 y 1  a0 y  bm u m     b0u ahol u – a bemenő jel y – a kimenő jel an,…,a0, bm,…,b0 – paraméterek

• a leíró egyenletek nem tartalmazhatják a változók szorzatait vagy hatványait • elméleti rendszerek Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./2

Lineáris – nemlineáris rendszerek • Lineáris rendszerek alapvető tulajdonsága: u1(t)  y1(t) szuperpozíció u2(t)  y2(t) tétele 1, 2R 1·u1(t)+ 2·u2(t)  1·y1(t)+ 2·y2(t) • példa – mérleg • idővariáns rendszerek is lehetnek lineáris rendszerek (elvileg) Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./3

Lineáris – nemlineáris rendszerek • valós rendszerek többé-kevésbé nemlineárisak • ha kicsi az eltérés az állandósult állapotban, akkor alkalmazhatunk lineáris modellt • analízis – lineáris modell • szimuláció – nemlineáris rendszer • szakadásos rendszerek – nem linearizálhatók • a nemlineáris rendszerek nem mindig kedvezőtlenek, vannak technikai és gazdasági előnyei Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./4

Lineáris – nemlineáris rendszerek • Tipikus nemlineáris egyenletek: 2

y  b y   cy  Ku y  by  c y  Ku y  by  sin y  Ku • de az alábbi egyenlet egy lineáris, idővariáns rendszert ír le:

y  by  cy  K t u Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./5

Lineáris – nemlineáris rendszerek • Lineáris és nemlineáris rendszerek tulajdonságai: 1. Lineáris rendszerek: érvényes a szuperpozíció tétele – nemcsak állandósult állapotban, hanem a tranziens során bármikor Nemlineáris rendszerek: a szuperpozíció tétele nem alkalmazható

Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./6

Lineáris – nemlineáris rendszerek 2. Lineáris rendszerek: a kimenő jel alakja, lefutása független a bemenőjel nagyságától; az állandósult kimenet pedig független a kezdeti feltételektől Nemlineáris rendszerek: a kimenő jel lefolyása és állandósult értéke a bemenő jel nagyságának és a kezdeti állapotnak függvénye


Nemlineáris_r./7

Lineáris – nemlineáris rendszerek 3. Lineáris rendszerek: a stabilitás kizárólagosan a rendszer tulajdonsága, nem függ a bemenő jeltől és a kezdeti feltételtől, a karakterisztikus egyenlet alapján vizsgálható Nemlineáris rendszerek: a stabilitás azonos bemenő jel esetén függhet a kezdőállapottól, illetve azonos kezdőállapot esetén a bemenő jel nagyságától


Nemlineáris_r./8

Lineáris – nemlineáris rendszerek 4. Lineáris rendszerek: egy adott bemenethez – állandósult állapotban – csak egyetlen meghatározott kimenet Nemlineáris rendszerek: az egyensúlyi állapot különböző kimeneteknél is létrejöhet


Nemlineáris_r./9

Lineáris – nemlineáris rendszerek 5. Lineáris rendszerek: a válasz csak olyan jelösszetevőket tartalmazhat állandósult állapotban, amilyenek a bemenetben is jelen vannak Nemlineáris rendszerek: állandósult állapotban a kimenőjelnek a bemenőjel frekvenciájának egész számú többszöröseivel, illetve törtrészeivel jellemezhető összetevők (felharmonikus és szubharmonikusok) is felléphetnek


Nemlineáris_r./10

Lineáris – nemlineáris rendszerek 6. Lineáris rendszerek: a bemenő jel frekvenciáját változtatva a kimenet amplitúdója és fázisa folytonos függvény szerint változik Nemlineáris rendszerek: ugrásszerű változások is lehetnek a kimenet amplitúdójában és fázisában


Nemlineáris_r./11

Lineáris – nemlineáris rendszerek • A nemlineáris rendszereknél nincs érvényben a szuperpozíció elve, így nem beszélhetünk tranziens és stacionárius összetevőről. A jelek nem bonthatók fel összetevőkre, így nem lehet az összetevőkkel külön-külön műveleteket elvégezni. • Sokszor a kapcsolat nem adható meg képlet segítségével, csak durva közelítéssel. Ilyeneket gyakran kapcsolati görbékkel, táblázatokkal adják meg. (Pl.: szelep átfolyási jelleggörbék, hiszterézis, korlátozási görbék) • Megoldásuk általában egyedi eljárást igényel. Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./12

Tipikus nemlineáris rendszerek • Nemlinearitás visszacsatolt körben: • nemlineáris elemet tartalmazó szabályozó

• végrehajtó szerv nemlinearitása

Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./13

Tipikus nemlineáris rendszerek • Ideális relé vagy két állású szabályozó

a kimenő jel érteke csak a bemenet előjelétől függ Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./14

Tipikus nemlineáris rendszerek • Hőmérséklet szabályozás ideális relével: • előírtnál alacsonyabb hőmérséklet (hibajel pozitív) konstans fűtés • előírtnál magasabb hőmérséklet (hibajel negatív) konstans hűtés • egyszerű, olcsó és hatékony szabályozási mód • ha csak egy előírt érték felett vagy alatt kell tartani a hőmérsékletet, akkor a relé csak ki/bekapcsolja a fűtést vagy hűtést • probléma: gyakori kapcsolás gyors mechanikai tönkremenetelt okozhat Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./15

Tipikus nemlineáris rendszerek • Relé érzéketlenségi sávval - háromállású szabályozó

érzéketlenségi sáv vagy holtsáv


Nemlineáris_r./16

Tipikus nemlineáris rendszerek • Relé hiszterézissel


Nemlineáris_r./17

Tipikus nemlineáris rendszerek • Relé hiszterézissel és érzéketlenségi sávval


Nemlineáris_r./18

Tipikus nemlineáris rendszerek • Hiszterézis kotyogás • Mechanikai kapcsolódások laza illesztése


Nemlineáris_r./19

Tipikus nemlineáris rendszerek • Hiszterézis kotyogás vagy backlash

fogaskerék áttétel Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./20

Tipikus nemlineáris rendszerek • Pneumatikus működtetésű szelep hiszterézise szelepszár elmozdulása

pneumatikus végrehajtó jel Irányítástechnika VI BSc

Alapfogalmak/21

Tipikus nemlineáris rendszerek • Telítődés, korlátozás

erősítőkre, távadókra jellemző viselkedés, az eszköz csak a méréshatáron belül képes a jel átvitelére Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./22

Tipikus nemlineáris rendszerek • Érzéketlenségi sáv

tolattyú (töltő szelep) átfedéssel Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./23

Tipikus nemlineáris rendszerek • Tolattyú szelep - átfedéssel


Nemlineáris_r./24

Tipikus nemlineáris rendszerek • Tartományonkénti eltérő erősítés

tolattyú hézaggal Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./25

Tipikus nemlineáris rendszerek • Átlapolás hatása folyadékáramra


Nemlineáris_r./26

Tipikus nemlineáris rendszerek • Előfeszítés

y (kimenet)

u (bemenet)


Nemlineáris_r./27

Lineáris – nemlineáris rendszerek • Nemlinearitások oszályzása: • egyértékű – több értékű (kifolyási jelleggörbe – relé) • jelleggörbe tartalmaz-e töréspontot vagy nem (kifolyási jelleggörbe – érzéketlenségi sáv) differenciálható nemlinearitás • gyorsan, illetve lassan változó nemlineritás az együtthatók változási sebessége alapján (pl. hőátadási tényező – rugóállandó)


Nemlineáris_r./28

Munkaponti linearizálás • valós rendszerek többé-kevésbé nemlineárisak • lehetséges kezelés: munkaponti linearizálás • Legyen Y = f (U1, U2, U3, …) • parciálisan deriválva az egyes változók szerint: Y Y Y dY  dU1  dU 2  dU 3  ... U1 U 2 U 3


Nemlineáris_r./29

Munkaponti linearizálás • legyen adott egy tetszőleges munkapont, aminek viszonylag szűk környezetében vizsgáljuk a rendszer működését • jelölje a munkaponti értékeket 0 index, így [Y]0, [U1]0, [U2]0, … • a munkapont környezetében legyen a függő változó (Y) viselkedése lineáris • jelölje a változóknak a munkapont körüli relatív megváltozásait: y, u1, u2, u3, … Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./30

Munkaponti linearizálás • ekkor a linearizált egyenlet a következő alakú lesz: y = C1u1+ C2u2+ C3u3+ … ahol  Y   Y  C1    , C2    ,  U 1  0  U 2  0


Nemlineáris_r./31

Munkaponti linearizálás • MIMO rendszerekre általánosítva:

= ahol =

⋮

=

⋮

=

⋮

… ⋱ …

⋮ =


Nemlineáris_r./32

Munkaponti linearizálás • linearizálás előnyei: • egy állandósult állapotban ismerjük az összetartozó be- és kimenő jelek értékeit, egy attól nem nagyon eltérő állapotban az új bemenő jelek ismeretében meghatározható a kimenő jeleknek a bemenő jelek megváltozásához tartozó változásai, majd ezeket hozzáadva az eredeti állapot kimenő jeleinek értékéhez, meghatározható a kimenet


Nemlineáris_r./33

Fázissík módszer • a rendszer kimenetének grafikus vizsgálatán alapul • segítséget ad a rendszer természetének megértéséhez • a módszer az állapotteres rendszer leíráson alapul • másodrendű rendszerekre tárgyaljuk, így a vizsgálathoz szükséges görbék síkban ábrázolhatók


Nemlineáris_r./34

Fázissík módszer • a tengelyekhez a kimenetet (pl. a hibajelet) és annak első deriváltját rendeljük • a görbék – trajektóriák – a magára hagyott rendszer válaszát adják meg adott kezdeti feltétel esetén • adott görbe a rendszer kimenetének és a kimenet deriváltjának az értékét adja meg egy adott időpontban (az idő a görbe mentén változik) • a görbesereget (különböző kezdeti feltételek melletti válaszok összességét) fázisképnek nevezzük


Nemlineáris_r./35

Fázissík módszer • Induljunk ki egy másodrendű rendszer I/O modelljéből: x  2 n x   n2 x  0 • ahol n a természetes frekvencia,  a csillapítási tényező • gerjesztetlen rendszer • ábrázoljuk a megoldásgörbéket – trajektóriákat – a hely és a sebesség függvényében


Nemlineáris_r./36

Fázissík módszer •  függvényében lehet alul- és túlcsillapított eset túlcsillapított

alulcsillapított

• az így kapott görbesereg a fáziskép, ahol • az origó az egyensúlyi pont • az idő a görbék mentén változik! • a kezdőállapot határozza meg a lefutás menetét Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./37

Fázissík módszer 2 • A felírt lineáris modell x  2 n x   n x  0 helyett vizsgáljuk a következő nemlineáris esetet: x  ax , x x  bx , x x  0 azaz az együtthatók függjenek a jeltől, de legyenek függetlenek az időtől. • Egy adott rendszer fázisképét vagy analitikai megoldással vagy grafikus módszerrel, az ún. izoklinák megszerkesztésével lehet előállítani. • Izoklina az azonos meredekségű pontokat tartalmazó görbe. Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./38

Fázissík módszer • Induljunk ki a lineáris modellből: x  2 n x   n2 x  0 • Legyen x  y , vagyis y szerepel az ordinátán, és dy dx dy x  y   y dx dt dx • Így x és y változókkal a modell: dy y  2n y   n2 x  0 dx


Nemlineáris_r./39

Fázissík módszer • Ebből:

2 n y   n2 x dy  m dx y

• a trajektória meredeksége; és

 n2 y x 2 n  m • az adott m értékhez tartozó izoklina egyenes egyenlete. (Minden trajektória ezt az egyenest m meredekséggel metszi.) Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./40

Fázissík módszer • Az m  0 meredekséghez az y   n / 2 x ; • az m   -hez az y  0 (azaz az x tengely); • az m  2 n -hez az x  0 (azaz az y tengely) tartozik, • míg az origóban a meredekség nemdefiniált (0/0). • A következő ábrák tartalmazzák az izoklina egyeneseket az alul és a túlcsillapított másodrendű modellre. A pontokat összekötő egyenesen lévő szakaszok jelzik a meredekség értékét. Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./41

Fázissík módszer • Másodrendű rendszerhez tartozó izoklinák

alulcsillapított rendszer Irányítástechnika VI BSc

túlcsillapított rendszer Nemlineáris_r./42

Fázissík módszer • Mindkét grafikonon egy-egy trajektória lett berajzolva. • Adott induló állapotból kiindulva a megoldás görbék megszerkeszthetők. • Túlcsillapított tagnál két esetben az izoklinák értéke megegyezik az egyenes meredekségével, így a trajektória tangenciálisan ehhez simulva fut az origóba. • Megfigyelhető, hogy a trajektóriák balra tartanak az xtengely alatt, mivel ha x negatív, akkor x-nek csökkennie kell, és jobbra az x-tengely felett (növekvő sebességnél a távolság is nő).


Nemlineáris_r./43

Fázissík módszer • Nemlineáris esetre az izoklina pontok egyenlete: bx , x  y x m  ax , x  ami általában nem egy egyenes egyenlete.


Nemlineáris_r./44

Fázissík módszer • A fáziskép megrajzolása és értelmezése szempontjából fontosak • szinguláris pontok • határciklusok. • A szinguláris pont a rendszer egyensúlyi pontja, ahol mind a sebesség, mind a gyorsulás zérus. • A határ ciklusban állandósult lengések maradnak fenn adott amplitúdóval és frekvenciával. • Valamennyi trajektória vagy ezekben, vagy a végtelenben kezdődik vagy végződik. Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./45

Fázissík módszer • Szingularitások típusai

stabil instabil fókusz


stabil instabil csomópont

vortex / centrum

nyeregpont

Nemlineáris_r./46

Fázissík módszer • Határciklusok

konvergens/stabil határciklus Irányítástechnika VI BSc

divergens/instabil határciklus Nemlineáris_r./47

Példa • Egyenáramú motor negatív visszacsatolással – izoklina görbék


Nemlineáris_r./48

Példa • Egyenáramú motor szabályozása ideális relével izoklina görbék


Nemlineáris_r./49

Példa • Egyenáramú motor szabályozása érzéketlenségi sávval rendelkező relével – izoklina görbék


Nemlineáris_r./50

Példa • Egyenáramú motor szabályozása tartományonként eltérő erősítésű szabályozóval – izoklina görbék alulcsillapított tartomány


túlcsillapított tartomány

alulcsillapított tartomány

Nemlineáris_r./51

Példa • Egyenáramú motor szabályozása olyan erősítővel, melynek korlátozása/telítődése van – izoklina alulcsillapított görbék ideális relénél ideális relénél leírt tartomány


tartomány

leírt tartomány

Nemlineáris_r./52

Példa • Egyenáramú motor szabályozása optimális kapcsolású relével – izoklina görbék ideális kapcsolás vonala tipikus trajektória


Nemlineáris_r./53

Leíró függvények módszere • Harmonikus linearizálás • Frekvencia tartományon alapuló megközelítés • Cél: • nemlineáris elem működésének közelítése lineáris tag frekvenciatartománybeli leírásával • nemlineáris tagot tartalmazó szabályozó körök stabilitásának vizsgálata • határciklusok előfordulásának vizsgálata (van-e, amplitúdójának, frekvenciájának becslése, elkerülése vagy hatásának csökkentése) Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./54

Leíró függvények módszere • Megoldás: • a lineáris és nemlineáris elemeket szétválasztjuk • adott feltételek teljesülése esetén a nemlineáris tagot az alapharmonikusok szempontjából közelítőleg egyenértékű lineáris taggal helyettesítjük


Nemlineáris_r./55

Leíró függvények módszere • feltételezések: • a kimenő jel alapharmonikusának frekvenciája megegyezik a bemenő jel frekvenciájával; • kimenő jelnek állandó összetevője nincs (a nemlineáris elem szimmetrikus); • a kimenő jelben a felharmonikusok gyors lecsillapodása (szűrése) miatt elegendő csak az alapharmonikust figyelembe venni; • a nemlineáris tag jelleggörbéje időben változatlan; • a szabályzó kör csak egy nemlineáris elemet tartalmaz. Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./56

Leíró függvények módszere • kiindulás:

ahol G1(s), G2(s) és H(s) lineáris tagok N nemlineáris tag Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./57

Leíró függvények módszere • Ha nemlineáris elem bemenetére szinuszos jelet adunk, akkor a kimeneten is periodikus függvény jelenik meg, melynek frekvenciája megegyezik a bemenőjelével, de nem lesz szinuszos. • A nemlineáris elem kimenő jele Fourier-sor segítségével leírható. • A zárt kör lineáris tagjai alul-áteresztő szűrőként viselkednek, így a nemlineáris tag kimenő jelében jelentkező nagy frekvenciás komponenseket nagyobb mértékben gyengítik, mint az alapfrekvenciás jelet. • Így a nemlineáris elemhez visszaérkező jel egy kicsit más lesz, mintha a nemlineáris elem kimenete csak az alapfrekvenciás jel lett volna. Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./58

Leíró függvények módszere • Jellemezzük a nemlineáris elemet az N leíró függvénnyel : kimenő jel alapkomponensének amplitúdója N fáziseltolás szinuszos bemenő jel amplitúdója • Az N általánosságban egy komplex érték, hasonlóan a frekvencia átviteli függvényhez, melynél mind az erősítés, mind a fázis eltolás függ a bemenet amplitúdójától és frekvenciájától. • Egyértékű nemlinearitásoknál valós érték, mely a lineáris erősítésnek felel meg, és csak a bemenet amplitúdójától függ. Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./59

Leíró függvények módszere • Legyen a nemlineáris elem bemenete: u t   U 0 sin t • A nemlineáris tag kimenete kifejezve a kimenő jel Fourier-sorával:  

y t   A0   Ai cos it   Bi sin it i 1

i 1

• A nagyfrekvenciás jelek gyengülése és a nemlineáris elem szimmetrikus jellege miatt, a következő egyszerűbb kifejezést használhatjuk:

y t   y1 t   A1 cos t  B1 sin t  C1 cost  1  ahol

C1  A1  B1 Irányítástechnika II. VI BSc

1  arctg A1 / B1  Nemlineáris_r./60

Leíró függvények módszere • Az A1 és B1 együtthatók a következő integrálkifejezések segítségével határozhatók meg: T/2

2 A1  y t  cos tdt  T T / 2

T/2

2 B1  y t  sin tdt  T T / 2

• A leíró függvény:

y1 t  C1 U 0 , j  j1 U 0 , j  C1 N U 0 ,    e  u t  U0 U0 Irányítástechnika II. VI BSc

1

Nemlineáris_r./61

Leíró függvények módszere • Stabilitásvizsgálat leíró függvény segítségével

• Az eredő átviteli függvény: G1 s N U , G2 s  Ge s   1  G1 s N U , G2 s H s  Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./62

Leíró függvények módszere • A stabilitás feltétele a Nyquist-kritérium alapján: 1  G1 s N U , G2 s H s   0

ahol

1  G s N U ,   0

Ge s   G s N U , 

illetve Ge  j   G  j N U , j  a felnyitott kör eredő átviteli függvénye • Ábrázolva ezt a komplex számsíkon U függvényében egy görbesereget kapunk


Nemlineáris_r./63

Leíró függvények módszere • Nemlineáris rendszerek stabilitásának vizsgálata Im

-1

Re

Ge(U1,j ) Ge(U2,j ) Ge(U3,j )

Ge  j  GU , jN U , j Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./64

Leíró függvények módszere • Ha minden görbe olyan, hogy az U bemeneti amplitúdóktól függetlenül nem veszi körbe a -1+j0 pontot, akkor a rendszer teljes stabilitású vagy globálisan stabil. • Ha minden görbe, az U amplitúdóktól függetlenül körbeveszi a -1+j0 pontot, akkor a rendszer biztosan labilis. • Ha van olyan amplitúdó, amire nem veszi körbe, és van olyan, amire igen, akkor rendszer feltételesen stabil. Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./65

Leíró függvények módszere • Ha egy adott U bemenő amplitúdónál a görbe átmegy -1+j0 ponton, akkor ott állandósult önfenntartó lengés, azaz határciklus alakul ki. • A határciklus lehet konvergens (stabil) vagy divergens (instabil) attól függően, hogy a határciklusban lévő rendszer bementi amplitúdóját növelve a határciklus fennmarad vagy a kimeneti lengések amplitúdója nő. • Nemlineáris rendszereknél az állandósult lengések különböző frekvencián alakulhatnak ki. Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./66

Leíró függvények módszere • Ha a leíró függvény csak a bemenet amplitúdójától függ és a frekvenciájától nem, akkor

1  G  j N U , j   1  G  j N U   0

1 G  j    N U  • Vegyük fel a komplex síkon mind G(j) lineáris részt, mind a leíró függvény negatív reciprokját Irányítástechnika VI BSc

Nemlineáris_r./67

Leíró függvények módszere • A Nyquist-stabilitás kritériumnál a -1+j0 pont szerepét a 1  N U  görbe tölti be. • A rendszer stabilis, ha a -1/N(U) görbe a G(j) görbétől bal kéz felé, labilis, ha jobb kéz felé esik. • Ha a két görbe metszi egymást, akkor a rendszerben határciklus lép fel, mely lehet konvergens (stabil) vagy divergens (instabil).


Nemlineáris_r./68

Leíró függvények módszere

stabil nemlineáris rendszer

határciklusok kialakulása

Im

Re

U

G(j )

1 N( )


c1 divergens határciklus c2 konvergens határciklus Nemlineáris_r./69

Leíró függvények módszere • Konvergens határciklus esetén a bemenő jel amplitúdójának kis mértékű megváltozásakor a rendszer ugyan kilép a határciklusra jellemző munkapontból, de visszatér oda. • Divergens határciklus esetén ilyen zavarás után a rendszer nem tér vissza a határciklusba. • A határciklus konvergens/stabilis, ha a metszéspontban a -1/N(U) görbe olyan, hogy az U értéke bal kéz felé növekszik, labilis, ha jobb kéz felé növekszik. Irányítástechnika II. VI BSc

Nemlineáris_r./70

Leíró függvények módszere • Határciklusok

konvergens/stabil határciklus Irányítástechnika VI BSc

divergens/instabil határciklus Nemlineáris_r./71

Nemlineáris rendszerek

Recommend Documents