Négylábú asztal Egyik könyvemet – [ 1 ] – lapozgatva érdekes feladatot találtam, szokatlan megoldási móddal. Ez arra ösztönzött, hogy továbbgondoljam a problémát. Így született meg ez a dolgozat, amely olyan „három az egyben” - termék. A feladat: a négylábú asztal lábaiban fellépő támaszerők meghatározása – 1. ábra.
1. ábra Ennek jellegzetessége, hogy a ( 2a )x( 2b ) méretű, vízszintes helyzetű asztallap O( 0, 0 ) mértani középpontjához képest az ( x0, y0 ) pontban külpontosan ható, függőleges hatásvonalú P erő hatására az egyenlő h hosszúságú, azonos anyagú és keresztmetszetű lábakban ébredő Ri ( i : 1, 2, 3, 4 ) támaszerők meghatározása statikailag egyszeresen határozatlan feladat, hiszen a 4 darab ismeretlenre csak 3 statikai egyensúlyi egyenletet tudunk felírni. Az alábbiakban ennek a feladatnak három különböző megoldási módját mutatjuk be.
I. Megoldás Ennek lényegét egy korábbi dolgozatunkban – címe: Rugalmas megtámasztású merev test támaszreakcióinak meghatározása - II. rész – már kifejtettük, így ez most már csak ismétlés, illetve gyakorlás. A lényeg: az asztallap, mint merev lemez a terhelések hatása alatt is sík marad, azaz Si ( i : 1, 2, 3, 4 ) sarokpontjai függőleges ei elmozdulásvektorainak végpontjai egy ferde síkra illeszkednek.
2 Az asztal - sík egy A( x, y ) pontjának függőleges elmozdulása – 2. ábra:
2. ábra
e(x, y) e0 e1 e 2 ;
(1)
e1 y x,
(2)
e2 x y.
(3)
Most ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) - mal:
e(x, y) e 0 y x x y.
(4)
A sarokpontok elmozdulásai:
eS1 (a,b) e0 y a x b;
(5)
eS2 (a, b) e0 y a x b;
(6)
e S3 (a, b) e 0 y a x b ;
(7)
eS4 (a, b) e 0 y a x b.
(8)
Az egyes támaszerőkre:
R i k eSi ,
ahol már felhasználtuk a lábak azonos kialakítása miatt fennálló
(9)
3
i :1, 2, 3, 4 k i k,
( 10 )
összefüggést is. A k mennyiség jelentését az alábbiak világítják meg. A Szilárdságtan tanítása szerint – [ 2 ] – a h hosszúságú, E rugalmassági modulusú, S keresztmetszeti területű rúd összenyomódása R nagyságú nyomóerő hatására:
Rh ; E S
h
( 11 )
esetünkben ( 11 ) - ből:
h i
Ri h , E S
( 12 )
innen:
Ri
E S h i . h
( 13 )
Továbbá:
h i eSi ,
( 14 )
így ( 13 ) és ( 14 ) - gyel:
Ri
E S eSi , h
( 15 )
majd ( 9 ) és ( 15 ) összehasonlításával:
k
ES . h
( 16 )
Ezek szerint a k mennyiség jelentése: az oszloplábak merevsége nyomásra. Most ( 5 ) és ( 9 ) - cel:
R1 k e0 y a x b ;
( 17 )
majd ( 6 ) és ( 9 ) - cel:
R 2 k e0 y a x b ;
( 18 )
ezután ( 7 ) és ( 9 ) - cel:
R 3 k e0 y a x b ;
( 19 )
végül ( 8 ) és ( 9 ) - cel:
R 4 k e0 y a x b . Az egyszerűbb írásmód kedvéért bevezetjük az
( 20 )
4
A e0 , B y , C x
( 21 )
jelöléseket. Most ( 17 ), ( 18 ), ( 19 ), ( 20 ) és ( 21 ) - gyel:
R 2 k A B a C b ; R 3 k A B a C b ; R 4 k A B a C b . R 1 k A B a C b ,
( 22 )
Ezután felírjuk az egyensúlyi egyenleteket. A z - tengelyre vett vetületi egyenlettel:
F 0: z
P R1 R 2 R 3 R 4 0,
innen:
R1 R 2 R 3 R 4 P.
( 23 )
Az y - tengelyre vett nyomatéki egyenlettel:
M
y
0 : P x 0 R 1 a R 2 a R 3 a R 4 a 0,
innen:
R1 R 2 R 3 R 4 P
x0 . a
( 24 )
Az x - tengelyre vett nyomatéki egyenlettel:
M
x
0 : P y 0 R 1 b R 2 b R 3 b R 4 b 0,
innen:
R1 R 2 R 3 R 4 P
y0 . b
( 25 )
Most ( 22 ) és ( 23 ) - mal:
k A B a C b k A B a C b k A B a C b k A B a C b P, innen:
A 1 1 1 1 B a a a a C b b b b és innen:
P , k
5
A
P . 4 k
( 26 )
Majd ( 22 ) és ( 24 ) - gyel:
k A B a C b k A B a C b x A B a C b k A B a C b P 0 , a innen:
A 1 1 11 B a a a a C b b b b
P x0 , k a
és innen:
B
P x0 . 4 k a 2
( 27 )
Most ( 22 ) és ( 25 ) - tel:
k A B a C b k A B a C b y k A B a C b k A B a C b P 0 , b innen:
A 111 1 B a a a a C b b b b
P y0 , k b
és innen:
C
P y0 . 4 k b2
( 28 )
Ezután ( 21 ), ( 26 ), ( 27 ), ( 28 ) - cal:
P , 4 k P x 0 y , 4 k a 2 P y0 x . 4 k b 2 e0
( 29 )
Most ( 17 ) és ( 29 ) - cel:
P P x0 P y0 P P x 0 P y0 P x 0 y0 R1 k 2 a b 1 , 4 k 4 k a 4 k b2 4 4 a 4 b 4 a b
6 tehát:
P x y R1 1 0 0 . 4 a b
( 30 )
Majd ( 18 ) és ( 29 ) - cel: P P P x y P x0 P y0 P y P x R2 k 2 a 2 b 0 0 1 0 0 , 4 k 4 k a 4 4 a 4 k b 4 b 4 a b tehát:
P x y R 2 1 0 0 . 4 a b
( 31 )
Ezután ( 19 ) és ( 29 ) - cel:
P P P x P x0 P y0 P y P x y R3 k 2 a 2 b 0 0 1 0 0 , 4 k 4 k a 4 4 a 4 b 4 k b 4 a b tehát:
R3
P x 0 y 0 1 . 4 a b
( 32 )
Végül ( 20 ) és ( 29 ) - cel:
P P x0 P y 0 P P x 0 P y 0 P x 0 y 0 R4 k 2 a b 1 , 4 k 4 k a 4 k b 2 4 4 a 4 b 4 a b tehát:
y P x R 4 1 0 0 . 4 a b
Összegyűjtve ( 20 ), ( 31 ), ( 32 ), ( 33 ) - at:
( 33 )
7
y P x R 1 1 0 0 ; 4 a b P x 0 y0 R 2 1 ; 4 a b P x 0 y0 R 3 1 ; 4 a b y P x R 4 1 0 0 . 4 a b
( 34 )
Az ránézésre látszik, hogy ( 23 ) teljesül. Ezzel a reakciók meghatározását elvégeztük. Még néhány érdekes összefüggéshez juthatunk, az alábbiak szerint. Először ( 16 ), ( 21 ) és ( 29 ) - ből:
Ph , 4 E S P h x 0 y , 4 E S a 2 P h y0 x . 4 E S b 2
e0
( 35 )
Majd ( 4 ) és ( 35 ) - tel:
Ph P h x0 P h y0 2 x y 4 E S 4 ES a 4 E S b2 P h x 0 x y 0 y 1 2 2 , 4 E S a b
e(x, y)
tehát a sík szerinti eltolódások általában:
e(x, y)
P h x 0 x y 0 y 1 2 2 . 4 E S a b
( 36 )
Most vegyük szemügyre a ( 34 ) kifejezéseket! Tudjuk, hogy az asztal lábai általában csak támaszkodnak, vagyis nekinyomódnak a padlónak. Ha felemelkednek, akkor nem támasztanak, kivéve, ha például le vannak csavarozva. Ez utóbbi esetet most kizárjuk. A felemelkedés határán az R reakció nagysága zérussá válik, vagyis ( 34 ) - ből általában kell, hogy a zárójeles mennyiségek nemnegatívok legyenek:
8
x x 0 y0 0 y0 b 1 0 ; a b a x 0 x 0 y0 1 0 y0 b 1 ; a b a x 0 x 0 y0 1 0 y 0 b 1 ; a b a x 0 x 0 y0 1 0 y0 b 1 . a b a 1
( 37 )
A ( 37 ) képletek egyenlőség esetén egy - egy egyenest jelentenek, vagyis a P erő támadáspontja a megfelelő egyenesek alatt / felett kell, hogy elhelyezkedjen, ha azt várjuk, hogy a lábak ne emelkedjenek fel a padlóról. A határ - egyenesek egyenletei – a könnyebb áttekinthetőség végett – dimenziónélküli
x 0 , a y0 0 b 0
( 38 )
koordinátákkal:
0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 .
( 39 )
A ( 39 ) egyeneseket és az általuk határolt tartományt a 3. ábra szemlélteti.
3. ábra
9 II. megoldás Az alakváltoztató munka minimumának elve – [ 2 ] – alapján járunk el. Esetünkben ez a munka – csak a lábak deformálódnak – :
W
h R12 R 22 R 32 R 24 . 2 E S
(1)
Az egyensúlyi egyenletek, az előzőek szerint:
R 1 R 2 R 3 R 4 P; x 0 R 1 R 2 R 3 R 4 P ; a y0 R 1 R 2 R 3 R 4 P . b
(2)
Most fejezzük ki R1 , R2 , R3 - at R4 - gyel! Ezt úgy tesszük, hogy R4 - et átvisszük ( 2 ) jobb oldalára, mintha ismert mennyiség lenne, majd megoldjuk az R1 , R2 , R3 - ra vonatkozó lineáris egyenletrendszert. Részletezve:
R1 R 2 R 3 P R 4 ; x R1 R 2 R 3 P 0 R 4 ; a y0 R1 R 2 R 3 P R 4 . b
(3)
Most ( 3 ) első két egyenletének összeadásából:
R1 R 2
P x 0 1 ; 2 a
(4)
majd ( 3 ) első két egyenletének egymásból való kivonásával:
R3
P x 0 1 R 4 ; 2 a
(5)
Ezután ( 3 ) második és harmadik egyenletének összeadásával:
y P x R1 R 3 0 0 ; 2 a b
(6)
majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal:
R1
P y 1 0 R 4 . 2 b
Most ( 4 ) és ( 7 ) - tel:
(7)
10
R2
P x 0 y0 R 4 . 2 a b
(8)
Ezután ( 1 ), ( 5 ), ( 7 ), ( 8 ) - cal:
h R12 R 22 R 32 R 42 2 E S 2 2 2 P h y P x y P x 2 0 0 0 0 1 R 4 R 4 1 R 4 R 4 . 2 a 2 2 E S 2 b b a W
(9) Az alakváltoztató munka minimum, ha
W 0. R 4
( 10 )
Most ( 9 ) és ( 10 ) - zel:
P y 2 1 0 R 1 2 P x 0 y 0 R 1 4 4 2 a b b h 2 0, P x 2 E S 2 1 0 R 4 1 2 R 4 2 a innen:
P y P x P x y 1 0 R 4 0 0 R 4 1 0 R 4 R 4 0, 2 2 a 2 b b a vagy
y P x P y P x 4 R 4 1 0 0 0 1 0 0, 2 b 2 a b 2 a
azaz
x y 4 R 4 P 0 0 1 0, a b innen:
y P x R 4 1 0 0 . 4 a b
( 11 )
11 Most ( 5 ) és ( 11 ) - gyel:
P x 0 P x P x y 1 R 4 1 0 1 0 0 2 a 2 a 4 a b P P x P y P x y 0 0 1 0 0 , 4 4 a 4 b 4 a b
R3
tehát:
R3
P x 0 y 0 1 . 4 a b
( 12 )
Majd ( 7 ) és ( 11 ) - gyel:
P y0 P y P x y 1 R 4 R 1 1 0 1 0 0 2 b 2 b 4 a b y P P y P x P x 0 0 1 0 0 , 4 4 b 4 a 4 a b
R1
tehát:
P x y R1 1 0 0 . 4 a b
( 13 )
Ezután ( 8 ) és ( 11 ) - gyel:
y P x y P x 0 y 0 P x R 4 R 2 0 0 1 0 0 2 a b 2 a b 4 a b y P P x P y P x 0 0 1 0 0 , 4 4 a 4 b 4 a b
R2
tehát:
P x y R 2 1 0 0 . 4 a b
( 14 )
12 Összegyűjtve a ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ), ( 14 ) képleteket:
y P x R 1 1 0 0 ; 4 a b P x 0 y0 R 2 1 ; 4 a b P x 0 y0 R 3 1 ; 4 a b y P x R 4 1 0 0 . 4 a b
( 15 )
( 15 ) megegyezik az I. megoldás ( 34 ) képleteivel.
III. megoldás Ez a Lagrange - féle multiplikátorok módszerével történik – [ 2 ]. Lényege: keressük a h W R 1 , R 2 , R 3 , R 4 R12 R 22 R 32 R 42 2 E S függvény szélsőértékét a
1 R1 , R 2 , R 3 , R 4 R1 R 2 R 3 R 4 P 0, x0 0, a y 3 R 1 , R 2 , R 3 , R 4 R 1 R 2 R 3 R 4 P 0 0 b 2 R1 , R 2 , R 3 , R 4 R1 R 2 R 3 R 4 P
(1) (2) (3) (4)
feltételek mellett. Ehhez képezzük az F W R 1 , R 2 , R 3 , R 4 1 R1 , R 2 , R 3 , R 4 2 R 1 , R 2 , R 3 , R 4 3 R 1 , R 2 , R 3 , R 4
(5) segédfüggvény feltétel nélküli szélsőértékét – [ 3 ]! Részletezve az első egyenletet:
F R 1 , R 2 , R 3 , R 4 R 1
0;
(6)
most ( 5 ) és ( 6 ) - tal:
W 1 2 3 0; R 1 R 1 R 1 R 1
(7)
13 ámde ( 1 ) - ből:
W h h 2 R1 R 1; R 1 2 E S E S
(8)
majd ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) - ből:
1 2 3 1, 1, 1, R 1 R 1 R 1
(9)
így ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) - cel:
h R 1 0. E S
( 10 )
Teljesen hasonlóan kapjuk a többi egyenletet is:
h R 2 0, E S h R 3 0, E S h R 4 0. ES
( 11 ) ( 12 ) ( 13 )
Most adjuk össze ( 10 ) és ( 12 ) - t!
h R 1 R 3 2 0; ES
( 14 )
majd összeadva ( 11 ) és ( 13 ) - at:
h R 2 R 4 2 0; E S
( 15 )
ezután ( 14 ) és ( 15 ) - ből:
R1 R 3
2 R2 R4, h E S
innen:
R1 R 2 R 3 R 4 0.
( 16 )
Most gyűjtsük össze a lényeges egyenleteinket! ( 2), ( 3 ), ( 4 ) é s ( 16 ) szerint:
R1 R 2 R 3 R 4 P, x R1 R 2 R 3 R 4 P 0 , a y R1 R 2 R 3 R 4 P 0 , b R1 R 2 R 3 R 4 0.
( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ( 20 )
14 Most végezzük az alábbi, kijelölt műveleteket!
x 0 y 0 1 , innen: 4 R P ( 17 ) + ( 18 ) + ( 19 ) + ( 20 ) : 1 a b
y P x R 1 1 0 0 . 4 a b
( 21 )
x 0 y 0 1 , innen: 4 R P ( 17 ) + ( 18 ) – ( 19 ) – ( 20 ) : 2 a b P x y R 2 1 0 0 . 4 a b
( 22 )
x 0 y 0 1 , innen: 4 R P ( 17 ) – ( 18 ) – ( 19 ) + ( 20 ) : 3 a b y P x R 3 1 0 0 . 4 a b
( 23 )
x 0 y 0 1 , innen: 4 R P ( 17 ) – ( 18 ) + ( 19 ) – ( 20 ) : 4 a b y P x R 4 1 0 0 . 4 a b
( 24 )
Ezek az eredmények megegyeznek a korábbiakkal. Ezzel a feladatot megoldottuk.
Megjegyzések: M1. A három megoldási mód ugyanazokat a reakcióerő - eredményeket szolgáltatta. Ez természetesen megnyugtatóan hat a feladat megoldójára. M2. A második és a harmadik megoldási mód csak a kivitelezés mikéntjében tér el egymástól, mert a lényeg ugyanaz: a három egyensúlyi egyenlet mellé egy negyediket is szolgáltatni, a negyedik ismeretlen meghatározásához, ugyanazon a fizikai alapon. M3. Vannak azonban meglepő mozzanatok is. Ilyen az, hogy az első megoldási móddal valójában akárhány lábú asztal esetét is vizsgálhatjuk, ha feltesszük, hogy az asztallap végtelenül merev; így síkja ( A , B , C ) paramétereinek ismerete a feladat megoldását adja, akárhány láb esetében is. Ez azért tűnhet meglepőnek, mert ekkor a három statikai egyensúlyi egyenlet elegendő a négy ismeretlen támaszerő meghatározásához. Itt az a trükk, hogy a lábak merevségi tényezői nem lényegesek a reakciók meghatáro-
15 zása szempontjából, hiszen a globális elmozduláshoz igazodik a lokális elmozdulás. Ezt fejezik ki az ( I. / 34 ) képletek is, mivelhogy bennük nem fordul elő a k mennyiség. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a 4 ismeretlen meghatározásához szükséges egyenletek: ~ a három egyensúlyi egyenlet; ~ a globális elmozdulás előírása. Nem lenne kötelező a globális elmozdulás e(x, y) A B x C y (*) sík szerinti felvétele sem; tény, hogy ekkor a legegyszerűbbek a számítások. Például egy e(x, y) A B x C x y ( ** ) alakú elmozdulás - függvény felvétele sem jelentene nagyobb gondot, hiszen itt is csak a három darab ( A, B, C ) paramétert kellene meghatározni, a három darab egyensúlyi egyenletből. Azonban például egy e(x, y) A B x C y D x y ( *** ) alakú elmozdulás - függvénnyel dolgozva a hagyományos három egyensúlyi egyenlet kevés lenne a négy darab ( A, B, C, D ) paraméter meghatározásához. Nem véletlen az a tény, hogy a Szilárdságtanban is leginkább a ( * ) alakú elmozdulás eloszlást részesítik előnyben – Bernoulli ~ Navier - modell; a ( *** ) alak, amely például a rudak felsőbb szilárdságtani elméletében is megjelenik – Vlaszov modellje – , komoly többlet - munkát igényel, az előzőhöz képest. M4. Persze, hátra van még egy lényeges kérdés megválaszolása: hogyhogy ugyanazt az eredményt szolgáltatja a három megoldási mód. Láttuk, hogy a II. és a III. mód lényege ugyanaz, csak a matematikai eljárás más; a lényeg: az alakváltozási munka minimalizálása. Nyilvánvaló, hogy ha csak az asztal lábait tekintjük deformálhatónak, az asztal lapját nem, akkor a minimalizálás is csak a lábakat érinti, a lapot nem. Lényeges, hogy a lábak nem különálló, hanem együttműködő mivoltát itt az egyensúlyi egyenletek fejezik ki – ugyanannak a testnek a részei a lábak is. Az I. módnál kimondtuk, hogy az asztallapot végtelen merevnek, tehát nem deformálhatónak tekintjük. Máris előttünk áll a közös nevező: az asztallap nem deformálható mivolta, függetlenül attól, hogy kimondva vagy kimondatlanul alkalmaztuk e feltételt. Abban az esetben, ha a II. és III. módnál – gondolatban – az asztallapot is hagynánk deformálódni, akkor a belső munka is, így annak minimuma is nagyobb lenne, így az I. és a II. + III. mód más eredményeket adna. Ekkor azonban a számítási munka rohamosan megnőne, hiszen az asztallap például peremtartókkal alátámasztott lemeznek tekinthető, a négy sarkában koncentrált támaszerőkkel. Egyéb merevítők is bezavarhatnak, és az alkalmazott anyagok akár inhomogén, anizotróp jellegűek is lehetnek – pl. faanyag. M5. Ne felejtsük el, hogy a pontosan egyforma anyagú, alakú és méretű lábak feltevése nem túl valóságközeli; ez azt is jelentheti, hogy az asztal valójában mindig csak három lábon áll. Hogy melyik három működik, azt a lábak tényleges hossza mellett a külpontosság iránya és mértéke szabhatja meg.
16 Irodalom: [ 1 ] – Jean Roux: Résistance des matériaux par la pratique – Tome 2 Éditions Eyrolles, 1995. [ 2 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [ 3 ] – A. F. Bermant: Matematikai analízis - II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1951.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. augusztus 19.
