Nederlandse Sterrenkunde Olympiade 2015

Nederlandse Sterrenkunde Olympiade 2015

Inleiding Welkom bij de Nederlandse Sterrenkunde Olympiade 2015! Zoals je misschien al weet, verloopt deze olympiade in twee fasen. We beginnen met een selectieronde, waarvoor je een aantal vragen thuis oplost. Op basis van de ingezonden antwoorden selecteren we een vijftiental deelnemers voor de finale, die bestaat uit een tweedaagse masterclass in Nijmegen en een finale opdracht. De winnaar van de finale wint een vliegreis naar de Canarische Eilanden en mag een nacht mee gaan waarnemen met één van de professionele telescopen op de sterrenwacht van La Palma! Het is de bedoeling dat je de onderstaande vragen oplost en je antwoorden naar [email protected] mailt. Je antwoorden moeten uiterlijk op 15 mei 2015 bij ons binnen zijn. Let bij het voorbereiden van je inzending op volgende punten: • De oplossingen mogen zowel handgeschreven (en daarna ingescand) zijn als met de computer worden opgeschreven. • De olympiade bestaat uit een reeks van 30 meerkeuze vragen en een reeks van 4 open vragen. • Voor de meerkeuze vragen geldt dat er slechts één antwoord correct is. We zijn enkel ge¨ınteresseerd in dit antwoord, niet in de manier waarop je tot dit antwoord komt. Er wordt geen giscorrectie toegepast, vul dus altijd een antwoord in bij alle vragen, ook als je niet zeker bent of het juist is. • Bij de open vragen willen we niet enkel de uiteindelijke uitkomst kennen, maar ook een motivatie voor dit antwoord. Een getal als uitkomst alleen verdient geen punten, evenals een enkel begrip. Laat met een berekening zien hoe je aan een getal komt, of leg uit wat je doet om tot het antwoord te komen. Kun je een getal niet precies uitrekenen, maar weet je wel ongeveer wat je zou moeten doen, schrijf dit dan ook op. Sommige open vragen kunnen misschien zelfs meer dan één goed antwoord hebben, afhankelijk van de redenering, dus zonder redenering kunnen ze niet beoordeeld worden. • Je mag naast tekst ook bijvoorbeeld berekeningen en diagrammen tonen. • Schrijf de antwoorden van de open vragen elk op een apart blad. • Voeg een voorblad toe met volgende persoonlijke gegevens: – naam – adres – telefoonnummer – e-mailadres – geboortedatum – naam van je school – adres van je school – niveau (HAVO/VWO) en klas – profiel – naam van je natuurkundedocent (als je natuurkunde in je pakket hebt) 1


– hoe je op de hoogte bent gebracht van deze Olympiade • Ook als je niet op alle vragen een (volledig) antwoord hebt gegeven, stuur dan toch je uitwerkingen in! Niet alle vragen zijn even gemakkelijk. Integendeel, sommige vragen zijn heel uitdagend. Raak hierdoor niet ontmoedigd. De opgaven zijn samengesteld om de vijftien beste inzenders te kunnen selecteren en wellicht is er geen enkele inzender die alle opgaven perfect beantwoordt. • Achteraan de vragenlijst zit er een tabel met getallen die je nodig kunt hebben bij het oplossen van de vragen. Als je informatie nodig hebt die gegeven is in deze tabel, gebruik dan de waarde uit de tabel, zelfs als je op het internet of in een boek een afwijkende waarde vindt. Indien je getallen nodig hebt die niet in de tabel staan, mag je daarvoor je eigen (betrouwbare) bronnen gebruiken. Vermeld deze bronnen dan wel. • Bewaar zelf een kopie van je antwoorden, want in mei zetten we de uitwerkingen op onze website, zodat je zelf kunt kijken hoe je het hebt gedaan. • Na het opsturen van je antwoorden ontvang je per email een ontvangstbevestiging. Mocht je vijf werkdagen na het opsturen van je antwoorden nog geen bevestiging ontvangen hebben, neem dan contact met ons op via [email protected]. • De antwoorden worden nagekeken door een daarvoor aangewezen commissie. Over de uitslag kan niet worden gecorrespondeerd. Heel veel succes!

2


Meerkeuzevragen Vraag 1. Het is een bekend feit dat onze Maan altijd dezelfde kant naar de Aarde gericht heeft. Toch is men erin geslaagd om vanaf de Aarde 59% van het Maanoppervlak in kaart te brengen, dus zonder satellieten te gebruiken. Dit kan omdat... (a) de Maan niet in een constant tempo rond haar as draait. (b) de Maan een elliptische baan rond de Aarde beschrijft. (c) de afstand tussen Aarde en Maan steeds groter wordt. (d) de afstand tussen Aarde en Maan steeds kleiner wordt. (e) sommige gebieden op de Maan die normaal niet zichtbaar zijn, verlicht worden tijdens een volledige Zonsverduistering.

Vraag 2. Om een schijnbare magnitude te hebben die gelijk is aan de absolute magnitude, moet een ster op een afstand van ons staan van: (a) 32.6 lichtjaar. (b) 1.0 parsec. (c) 1.0 astronomische eenheden. (d) 1.0 boogseconden. (e) Beide magnitudes zijn alleen gelijk voor onze Zon.

Vraag 3. Nevels, interstellaire wolken van gas, hebben astronomen al sinds lange tijd gefascineerd. Ze komen voor in allerlei vormen met vaak heldere kleuren, waardoor ze populaire objecten vormen voor amateurastronomen. Edwin Hubble was de eerste persoon die een onderscheid maakte tussen emissienevels en reflectienevels - de eerste stap op weg naar het duiden van hun oorsprong. Welke van de volgende uitspraken over nevels is correct? (a) Ze behoren tot de heetste plaatsen in het Universum, hierdoor schijnen ze zo helder. (b) Ze bevatten doorgaans supermassieve zwarte gaten waar ze hun energie aan onttrekken. (c) Het emissie/reflectiegedrag van het gas geeft ons informatie over de ionisatietoestand. (d) Ze hebben de oorspronkelijke samenstelling van elementen behouden, dus ze bevatten geen elementen zwaarder dan Helium. (e) We kunnen alleen de emissienevels zonder de hulp van satellieten zien, niet de reflectienevels.

3


Figuur 1: De Eskimo nevel

Vraag 4. Hierboven zie je een afbeelding van een planetaire nevel (figuur 1). De dichtheid van het gas in deze nevel is ... (a) vergelijkbaar met de dichtheid van water (b) ongeveer even groot als de dichtheid van de aardatmosfeer (c) lager dan de dichtheid van het beste (kunstmatige) vacuum dat we op aarde kunnen maken (d) (nog) niet te bepalen met de huidige technieken (e) niet boeiend

Vraag 5. Stel je voor dat je een grote populatie van sterren onderzoekt door van elk van hen een enkel spectrum te analyseren. Welke informatie zul je over geen enkele ster te weten kunnen komen op basis hiervan? (a) De chemische samenstelling van de ster. (b) De rotatiesnelheid van de ster. (c) De sterkte van het magnetisch veld van de ster. (d) Of de ster een stellaire begeleider heeft. (e) Of de ster een planetaire begeleider heeft.

4


Vraag 6. De straling die een ster uitzendt... (a) correspondeert met een unieke, enkele frequentie in het elektromagnetisch spectrum die alleen afhangt van de temperatuur van de ster. (b) is gelijk verdeeld over alle frequenties in het elektromagnetisch spectrum en heeft een maximum op een frequentie die alleen afhangt van de temperatuur van de ster. (c) is gelijk verdeeld over alle frequenties in het elektromagnetisch spectrum en heeft een minimum op een frequentie die alleen afhangt van de temperatuur van de ster. (d) is ongelijk verdeeld over alle frequenties in het elektromagnetisch spectrum en heeft een maximum op een frequentie die alleen afhangt van de temperatuur van de ster. (e) draagt geen informatie over de chemische samenstelling van de ster.

Vraag 7.

Figuur 2: De kaart die Herschel gemaakt heeft van onze Melkweg met de aanname dat alle sterren even helder zijn. De Zon is het donkerste sterretje in het centrum. In de 18e eeuw onderzocht William Herschel de mogelijke vorm van onze Melkweg, en onze positie daarin. Hij concludeerde dat we in een soort plak van sterren moesten zitten, maar de schaal ervan kon hij niet meten omdat hij geen manier had om de verduisterende invloed van gas en stof te schatten (zie figuur 2). Sindsdien zijn we veel nieuwe dingen te weten gekomen over de structuur van onze Melkweg. Tegenwoordig weten we bijvoorbeeld dat we ons op 8 kpc afstand bevinden van het centrum van een balkspiraalstelsel.. Welke van de volgende uitspraken over de structuur van de Melkweg is NIET correct? (a) Het feit dat de Melkweg aan de hemel er uitziet als een smalle band biedt de eerste ondersteuning voor de notie dat we ons in een balkspiraalstelsel bevinden. (b) Baade’s Venster, een gebied aan de hemel waar we diep richting het centrum van de Melkweg kunnen kijken omdat er weinig gas en stof in de weg zit, stelt ons in staat om de structuur van de balk en het centrale gedeelte van de spiraalarmen direct te onderscheiden in zichtbaar licht. (c) De verdeling van bolvormige sterrenhopen aan onze hemel is een belangrijk gegeven in het bepalen van onze locatie in de Melkweg. (d) Het meten van de snelheden van HII-gebieden en moleculaire wolken biedt een goede manier om de spiraalstructuur van de Melkweg te onderzoeken. (e) Er bevindt zich een superzwaar zwart gat in het centrum van onze Melkweg. 5


Vraag 8. De maan is de enige natuurlijke satelliet van de aarde. Aangezien de maan erg dicht bij de aarde staat in vergelijking met de Zon, bevindt zij zich soms tussen de Zon en de aarde en veroorzaakt hierdoor een zonsverduistering. Waarnemingen tonen aan dat de maan zich op dit moment van de aarde af beweegt met een snelheid van 3.8 cm/jaar. Dus op een zeker moment in de toekomst zal de maan zo ver van de aarde staan dat haar schijnbare grootte, zoals gezien vanaf de aarde, niet meer groot genoeg is om al het licht van de Zon te blokkeren. Met andere woorden: er zal geen zonsverduistering meer plaatsvinden. In hoeveel jaar vanaf nu zal dit gebeuren? (Gebruik voor jouw berekeningen de benodigde waardes uit tabel 1) (a) 130 miljoen jaar (b) 520 miljoen jaar (c) 610 miljoen jaar (d) 850 miljoen jaar (e) 1.4 miljard jaar

Vraag 9. De dichtstbijzijnde ster, Proxima Centauri, is een rode dwerg die op een afstand van 4.24 lichtjaar van de Zon staat. Stel je voor, dat we deze afstand terugschalen tot een afstand op aarde: als de Zon zich in Nijmegen bevindt en we een schaalfactor van 2 miljard aannemen, op welke afstand van Nijmegen zou Proxima Centauri dan ongeveer liggen, en wat zou haar straal zijn? (a) afstand = 2000 km, straal = 50 mm (b) afstand = 20000 km, straal = 5 cm (c) afstand = 20000 km, straal = 50 cm (d) afstand = 200000 km, straal = 50 cm (e) afstand = 200000 km, straal = 5 m

Vraag 10. Vele mensen maken zich zorgen om hun gewicht. In de natuurkunde is het gewicht gedefinieerd als de kracht die een voorwerp ondervindt als gevolg van de zwaartekracht. Het gewicht van een voorwerp wordt gemeten in Newton (kg m/s2 ). Gebruik deze definitie en bereken (1) wat op aarde het gewicht zou zijn van een persoon die een massa heeft van 60 kg; en (2) wat het gewicht van deze persoon zou zijn als hij op een neutronenster zou staan waar de zwaartekracht 3·1012 m/s2 is. (a) (1) 488 N, (2) 3.0·1014 N (b) (1) 650 N, (2) 1.8·1012 N (c) (1) 588 N, (2) 1.8·1014 N (d) (1) 650 N, (2) 3.0·1014 N (e) (1) 588 N, (2) 1.8·1012 N 6


Vraag 11. In 2009 lanceerde NASA de Kepler ruimtetelescoop om op zoek te gaan naar aardachtige planeten buiten ons zonnestelsel. Op basis van Keplers waarnemingen hebben astronomen intussen duizenden planeten gevonden rond verre sterren. Stel je voor dat je je op één van deze nieuwe planeten bevindt, die we Terra Nova noemen. Tijdens jouw verblijf op Terra Nova ben je getuige van een totale sterverduistering: één van Terra Nova’s manen bevond zich even tussen de ster en de planeet. Je realiseert je dat de maan en de ster op dat moment een vrijwel gelijke hoek aan de hemel beslaan. Als de maan een hoek van 1.5 graden beslaat, en de afstand van Terra Nova tot de ster 2.5 AU (Astronomische Eenheid) is, wat is dan de diameter van de ster uitgedrukt in km? (a) 3.2 · 106 km (b) 2.32 km (c) 3.2 · 10−2 km (d) 3.5 · 106 km (e) 4.9 · 106 km

Vraag 12. Een ster heeft een schijnbare magnitude van 13.5, en een absolute magnitude van 15. Wat is de afstand tussen deze ster en de aarde? (a) 5.011 pc (b) 0.501 pc (c) 19.952 pc (d) 1.995 pc (e) Geen van bovenstaande antwoorden is correct.

Vraag 13. Beschouw een dubbelster die bestaat uit een zware ster A met massa MA en een lichtere ster B met massa MB , waarbij geldt dat MA MB . Star B bevindt zich in een stabiele cirkelvormige baan met straal r1 . Hoe veel energie zou ster B moeten verliezen om op een stabiele cirkelvormige baan met r2 terecht te komen? Gebruik hierbij het gegeven dat in een stabiele baan de centrifugale kracht exact tegengesteld aan en even groot is als de gravitationele kracht tussen de twee sterren. De gravitationele kracht tussen de sterren in een baan met straal r is GMrA2MB , waarbij G de gravitatieconstante voorstelt. 1 (a) GMA2 MB rr21−r r2 (b) GMA MB (c)

GMA MB 2

r2 −r1 r1 r2

r1 −r2 r1 r2

7


(d) GMA MB

r1 −r2 r1 r2

(e) Geen van bovenstaande antwoorden klopt.

Vraag 14. De straling van een verre ster wordt waargenomen door twee detectoren op aarde. Deze detectoren staan op een afstand d van elkaar. De straling komt niet op hetzelfde ogenblik aan in de twee telescopen. Het tijdsverschil is ∆t. Uit welke richting (ten opzichte van de vlakke grond tussen de twee telescopen) kwam het signaal? In de antwoorden duiden we de lichtsnelheid aan met het symbool c. (a) cos−1 c∆t d (b) sin−1 c∆t 2d (c) cos−1 2c∆t d d (d) sin−1 c∆t 2d (e) cos−1 c∆t

Vraag 15. De tijdschaal waarop een hoog-energetisch elektron energie verliest in de aanwezigheid van een magnetisch veld, is omgekeerd evenredig aan de energie (t ∝ 1/E, waarbij E de energie van het elektron voorstelt). De snelheid waaraan het elektron energie verliest, is dan evenredig met: (a) 1/E (b) 1/E 2 (c) E (d) E 2 (e) Geen van bovenstaande antwoorden klopt.

Vraag 16. De intensiteit van een ster op een afstand r van de aarde is I. Wat is de intensiteit van deze ster als deze op een afstand 2r van de aarde zou staan? (a) I (b) 2I (c)

I 2

(d)

I 4

(e)

I 6

8


Vraag 17. De helderste ster aan de hemel, Sirius, staat op slechts 8.6 lichtjaar van ons. Vanuit welk observatorium wordt deze deze ster op haar hoogste punt aan de hemel gezien op 25 december 2015, tussen 8:00 en 9:00 Universal Time, op ongeveer 37 graden boven de horizon? (a) Observatorio del Roque de Los Muchachos, La Palma, Spanje (b) Lick Observatory, Arizona, Verenigde Staten (c) ESO Paranal, Chili (d) SAAO Sutherland, Zuid-Afrika (e) Geen enkel, of meer dan één van bovenstaande antwoorden is correct

Vraag 18. De LIGO en VIRGO interferometers gaan de komende jaren met vernieuwde detectoren proberen om voor het eerst gravitatiestraling rechtstreeks te meten. Wat zullen LIGO en VIRGO kunnen detecteren? (a) De invloed van de periode van inflatie die in de eerste seconde na de Oerknal gebeurde. (b) Samensmeltende superzware zwarte gaten in het centrum van verre sterrenstelsels (c) De botsing van twee neutronensterren in dubbelsterren (d) De gravitatiestraling die wordt uitgestraald door de Hulse-Taylor pulsar (e) Geen van bovenstaande antwoorden is correct

Vraag 19. In het spectrum van een ster wordt een absorptielijn waargenomen op 421.0 nm. We weten dat deze lijn overeenkomt met een Europium absorptielijn die in het lab gemeten wordt op 420.5 nm. Daarnaast kunnen we uit het spectrum afleiden dat de ster spectraal type Ap heeft. Welke conclusie kunnen we op basis van deze informatie NIET trekken? (a) De kern van deze ster is warmer dan de atmosfeer van de ster. (b) De oppervlaktetemperatuur van deze ster is hoger dan die van de Zon. (c) De ster beweegt van ons weg met een snelheid van ongeveer 350 km/s. (d) Er zit Europium in de kern van de ster. (e) Alle bovenstaande informatie kan afgeleid worden uit de gegevens.

9


Vraag 20. Bij het zoeken naar planeten waarop leven mogelijk is, is het cruciaal dat de planeet een vast oppervlak heeft. Er wordt een planeet gevonden met een straal van 10 000 km. Welke van de volgende massa’s kan de massa van deze planeet zijn. (a) 0.013 MJupiter (b) 0.0013 MJupiter (c) 0.13 MAarde (d) 0.013 MAarde (e) 1.3 · 10−6 MZon

Vraag 21. Plaats de volgende gebeurtenissen in het leven van een ster met drie keer de massa van de Zon in de juiste volgorde. A. Een gaswolk trekt samen door zelfgravitatie B. heliumverbranding in de kern C. planetaire nevel D. waterstofverbranding in de kern (a) D - B - C - A (b) A - B - D - C (c) C - A - D - B (d) B - D - C - A (e) A - D - B - C

Vraag 22. Ons oog is het meest gevoelig voor licht met een golflengte tussen 500 en 600 nm. Niet toevallig is dit het golflengtebereik waarin de Zon het meeste energie uitstraalt. Voor welke golflengtes zou ons oog waarschijnlijk het meest gevoelig zijn als onze Zon een ster was met een temperatuur van 3000K in plaats van 5778K? (a) rond 100 nm (b) rond 300 nm (c) rond 1 µm (d) rond 6 µm (e) rond 1 mm

10


Vraag 23. Wat zijn de drie meest voorkomende elementen (gemeten in totale massa) in de Zon? De elementen in het antwoord hoeven niet onderling in de juist volgorde staan. (a) Helium, waterstof en zuurstof (b) Zuurstof, koolstof en waterstof (c) Zuurstof, waterstof en stikstof (d) Helium, waterstof en ijzer (e) Magnesium, Koolstof en Waterstof

Vraag 24. Om gemakkelijk de tijd tussen waarnemingen te kunnen berekenen, ongeacht de tijdzone waarin de waarnemer zich bevond, drukken sterrenkundigen tijdstippen dikwijls uit in Julian Date, t.o.v. de universal time. De Julian Date (JD) drukt het aantal dagen uit dat verstreken is sinds 1 januari 4713 voor Christus, 12u ’s middags in universal time. Op welk tijdstip, in Julian Date, valt de deadline voor het inleveren van de antwoorden van deze olympiade (15 mei, 20u Nederlandse tijd)? (a) 57156.17 (b) 57158.25 (c) 2457158.33 (d) 2457158.42 (e) Geen van bovenstaande antwoorden is correct

Vraag 25. Bekijk figuur 3. Elke subfiguur toont de sterren van een verschillende bolhoop (stercluster). Op de horizontale as is de kleur afgebeeld. Het bijhorende spectraal type staat bovenaan de figuren vermeld. Op de verticale as staat de absolute magnitude van de sterren. Rangschik de bolhopen op basis van leeftijd, van jong naar oud. Neem aan dat de samenstelling (metalliciteit) van de sterren bij hun geboorte allemaal gelijk was aan die van de Zon in dezelfde fase. (a) D - B - A - C (b) C - B - D - A (c) B - C - D - A (d) A - B - D - C (e) Geen van bovenstaande antwoorden is correct

11


Figuur 3: HR diagrammen voor 4 verschillende clusters. Rangschik deze van jong naar oud.

Vraag 26. Als een ruimtevaartuig door ons zonnestelsel reist, is het de kunst om zo min mogelijk brandstof te gebruiken. Eén manier om dit te doen is ’zonnezeilen’: fotonen die van de Zon komen, oefenen door middel van hun impuls druk uit op een zeil dat aan het ruimtevaartuig bevestigd is. Wat voor zeil kunnen we hiervoor het beste gebruiken? (a) Een zwart zeil, dat al het licht absorbeert (b) Een wit zeil, dat het zichtbare licht reflecteert (c) Dat maakt niet uit, ik kan gewoon mijn lievelingskleur kiezen (d) Een doorzichtig zeil (e) Een glanzend zeil, dat al het licht perfect reflecteert

Vraag 27. Stel dat de Zon van het ene op het andere moment helemaal zou verdwijnen, wat zou er dan gebeuren met de baan van de aarde? (a) De aarde spiraalt langzaam naar binnen, naar de positie waar de Zon eerst was (b) De aarde beweegt direct in een rechte baan de ruimte in (c) De aarde blijft nog een paar minuten haar baan vervolgen alsof er niks gebeurd is om daarna in een rechte baan de ruimte in te bewegen 12


(d) Behalve ons dagen nachtritme verandert er niks (e) De aarde blijft hetzelfde rondje draaien, maar met een lagere snelheid

Vraag 28. Vorig jaar werd met veel bombarie in de media aangekondigd dat met de BICEP2 telescoop, die op de zuidpool staat, een polarisatiepatroon was waargenomen in de kosmische achtergrondstraling. Dit polarisatiepatroon zou veroorzaakt zijn door ’oer-zwaartekrachtsgolven’ en daarmee een indirect bewijs van de inflatietheorie. In februari werd met behulp van de Planck satelliet echter duidelijk dat deze polarisatie veroorzaakt wordt door stof dat zich in de ruimte bevindt en niet toegeschreven kan worden aan zwaartekrachtsgolven. Dit betekent niet dat de inflatietheorie is afgeschreven, hij is alleen nog niet bewezen. Waarom is de inflatietheorie eigenlijk ooit bedacht? (a) Om te verklaren waarom het heelal zo groot is (b) Om te verklaren waarom er nauwelijks sterrenstelsels zijn met een blauwverschuiving (c) Om te verklaren waarom het heelal er in elke richting hetzelfde uitziet (d) Om te verklaren waarom het heelal zo leeg is (e) Om te verklaren waarom het heelal uitdijt

Vraag 29. In de film Interstellar komt een scene voor waarin de hoofdpersonages afreizen naar een planeet die om een superzwaar zwart gat draait. Gedurende dit ogenschijnlijk korte bezoek wordt duidelijk wat tijddilatie inhoudt: de astronauten blijven voor hun gevoel maar 3 uur weg, terwijl er voor de achterblijvers op aarde en in het moederschip 23 jaar voorbij gaan. Wat bepaalt de tijddilatatie in deze scene? (a) De hoge snelheid waarmee de planeet om het zwarte gat beweegt (b) De gravitatiepotentiaal van het zwarte gat (c) Er zou helemaal geen tijddilatie optreden in dat geval, ze hebben hun huiswerk niet goed gedaan in Hollywood (d) De uitdijing van het heelal (e) De quantum mechanische toestand van het zwarte gat

Vraag 30. Een manier om exoplaneten op te sporen is door nauwkeurig te kijken naar de helderheid van sterren als functie van de tijd. Wanneer een exoplaneet voor zijn ster langs beweegt zal die ster er voor ons tijdelijk minder helder uitzien. In figuur 4 zie je de (vereenvoudigde) lichtkromme van een ster die gedeeltelijk verduisterd wordt door een exoplaneet in een baan rond die ster. We gaan bij deze vraag uit van een aantal aannames: dat de ster identiek is aan de Zon, dat ze een uniforme oppervlaktehelderheid heeft, dat de planeet een cirkelbaan beschrijft en dat de planeet de ster precies langs haar middellijn kruist. Welke van de volgende uitspraken kunnen we afleiden uit deze lichtkromme? 13


Figuur 4: Een vereenvoudigde lichtkromme van een eclipserende exoplaneet. De gemeten helderheid is uitgedrukt in termen van de gemiddelde helderheid van de ster. (a) De straal van de exoplaneet is 1% van die van de ster (b) De omloopsnelheid van de exoplaneet is tenminste 140 km/s (c) De ster heeft een astero¨ıdengordel (d) De exoplaneet is niet de enige planeet met een baan rond die ster (e) Alle bovenstaande uitspraken zijn correct

14


Open vragen Vraag 1.

Mars

De mens wordt gekenmerkt door een grote exploratiedrift. De Nederlandse non-profit organisatie Mars One is van plan om over tien jaar een kolonie op mars te stichten. Het vele pionierswerk en onderzoek dat ze daar zullen doen, zal veel tijd en energie vergen. Om te voorkomen dat de kolonisten overspannen raken, is het belangrijk dat ze op gezette tijden hun rust nemen. Ze willen daarom graag weten hoe lang ze in de zomer kunnen zonnen. (a) Stel dat de kolonie gesticht wordt op de 20e breedtecirkel. Als je weet dat de dag op Mars 24 uur, 37 minuten 23 seconden duurt, hoe lang is de Zon dan boven de horizon op de eerste dag van de zomer? De obliquiteit van Mars is 25.2◦ . Ga er van uit dat Mars rond de Zon draait in het ecliptisch vlak (in werkelijkheid is er een hoek van 1.85◦ tussen de baan en het ecliptisch vlak). Naast ontspannen, kunnen de kolonisten er ook voor kiezen om in hun vrije tijd te gaan sporten. Stel dat er in 2040 Olympische Zomerspelen op Mars worden gehouden. Van de acht planeten in ons zonnestelsel, lijkt Mars het meeste op de Aarde, maar haar massa is 10 keer lager dan die van de Aarde. Eén van de oudste onderdelen van de Olympische Spelen is verspringen. Het wereldrecord bij de mannen op Aarde is 8.95 meter. (b) Wat is volgens jou de verst mogelijke afstand die gesprongen kan worden tijdens de Martiaanse Olympische Zomerspelen van 2040? (Je mag de atmosferische effecten negeren)

Vraag 2.

De Radio-interferometer

Wanneer we een enkele radio-antenne (zoals die op een auto of op een draagbare radio) gebruiken om signalen mee op te pikken, kunnen we doorgaans maar slecht nagaan vanuit welke richting deze signalen komen. Dit komt omdat zo’n radio-antenne binnenkomende radiogolven vanuit allerlei richtingen kan ontvangen. Om echt te kunnen ’zien’ met radiogolven en een beeld van de hemel te kunnen vormen moeten we dus manieren verzinnen waarop we onze antennes heel richtingsgevoelig ´ en manier hiervoor is om met een metalen parabolo¨ıde-vormige spiegel de binnenkunnen maken. E´ komende radiostraling vanuit een bepaalde richting te weerkaatsen en te bundelen in een brandpunt. In dat brandpunt kunnen we vervolgens een radio-antenne plaatsen zodat deze extra gevoelig is voor radiogolven die vanuit die richting komen: hiermee hebben we een radiotelescoop (zie figuur 5). Maar we kunnen nog een stap verder gaan: we kunnen meerdere radiotelescopen combineren. In deze opgave zul je zien dat we op die manier nog veel scherpere beelden kunnen vormen van objecten aan de hemel. Als we afstemmen op een bepaalde frequentie kunnen we de trillingen van de binnenkomende radiostraling volgen: van een signaal kunnen we dan zowel de amplitude als de fase meten. Stel je nu voor dat we twee afzonderlijke radiotelescopen een stuk uit elkaar zetten, en dat we met beide telescopen afstemmen op dezelfde frequentie en kijken naar hetzelfde object (een puntbron) aan de hemel (zie figuur 6). Omdat radiogolven niets anders zijn dan snel trillende elektrische en magnetische velden, meten we het signaal als een snel veranderend (sinusvormig) voltage bij beide telescopen. Met telescoop 1 en 2 meten we respectievelijk:

15


Figuur 5: Een diagram van een radiotelescoop. De parabolische spiegel bundelt binnenkomende radiostraling tot een punt, waar de daadwerkelijke antenne zit.

Figuur 6: Schematische weergave van een eenvoudige radio-interferometer. De bron staat op zeer grote afstand in het vlak van de figuur, waardoor de binnenkomende straling als vlakke golf kan worden beschouwd: de twee telescopen kijken dus in dezelfde richting. Bron: M. Birkinshaw, K. Lancaster

16


V1 = A cos (ωt)

(1)

V2 = A cos (ω(t − τg ))

(2)

waarbij A de amplitude van het signaal is (afhankelijk van de afstand en sterkte van de bron op de gegeven frequentie), ω is de hoekfrequentie van het signaal (ω = 2πf , met f de frequentie van het signaal in Hertz), t de tijd en τg het tijdsverschil in aankomst van het signaal tussen de twee telescopen. (a) Waarom krijgen we een faseverschil van 0 graden tussen V1 en V2 wanneer de bron recht boven onze 2 telescopen staat? (b) Nu verschuiven we de bron aan de hemel (of we laten de Aarde een stuk roteren, dat heeft hetzelfde effect): we veranderen dus de hoek θ in figuur 6 van 0 graden naar een kleine waarde. Over welke hoek moeten we de bron verschuiven aan de hemel zodat het faseverschil weer 0 graden is? Geef je antwoord in de vorm van een uitdrukking. We zien nu dat een interferometer een zeer hoge resolutie kan behalen: hoe verder de telescopen uit elkaar staan, hoe scherper we ermee kunnen zien. Op deze manier kunnen radiotelescopen qua scheidend vermogen concurreren met de grootste optische telescopen, en sommige zijn zelfs beter. Het scheidend vermogen van een telescoop kunnen we bij benadering schrijven als: λ , (3) D waarbij θ het scheidend vermogen (kleinst meetbare hoekverschil) in radialen is, λ de golflengte van de straling die waargenomen wordt en D de geprojecteerde afstand tussen de telescopen (haaks op de kijkrichting). Deze uitdrukking geldt niet alleen voor een interferometer, maar ook voor een normale telescoop (bijvoorbeeld een optische). Daarbij is D dan de diameter van de hoofdspiegel. θ≈

(c) Stel dat we met onze interferometer een bron waarnemen die recht boven ons staat, op een frequentie van 100 GHz. Hoe ver moeten we de telescopen uit elkaar zetten om hetzelfde scheidend vermogen te krijgen als de Hubble ruimtetelescoop die kijkt op een golflengte van 532 nm? (d) Stel dat we een radiotelescoop op de Zuidpool zetten en een andere radiotelescoop op de evenaar. We gebruiken ze als interferometer en kijken op een golflengte van 1 cm. Wat is de hoogste resolutie die we kunnen halen met deze interferometer? Ga er vanuit dat de Aarde een perfecte bol is.

Vraag 3.

In een zwart gat vallen

Zwarte gaten spreken tot de verbeelding: het zijn zeer compacte objecten waar de ruimte-tijd erg sterk gekromd wordt. Dit betekent dat de zwaartekracht in de buurt van een zwart gat extreem sterk is, en dat ook licht merkbaar be¨ınvloed wordt. In deze opgave onderzoeken we een paar van de vreemde verschijnselen die op kunnen treden in de buurt van een zwart gat. Maak bij het beantwoorden van deze opgave gebruik van de volgende uitdrukkingen: De kinetische energie van een object per eenheid massa is T = 21 v 2 , waarin v de snelheid van het object is. De potentiële energie van een object in een zwaartekrachtsveld per eenheid van massa is V = − GM R , waarin G de gravitatieconstante van Newton is, M de massa van het centrale aantrekkende) object is en R de afstand tot het centrale object. 17


(a) Als we een object vanaf oneindige afstand naar een zwart gat van 10 keer de zonsmassa toe laten vallen, waarbij het object in eerste instantie in rust is ten opzichte van het zwarte gat, zal het steeds sneller bewegen. Bereken hoe snel het object gaat tegen de tijd dat het het zwarte gat genaderd is tot op 10 miljoen kilometer. Als we van de vorige vraag de beweging van het vallende object achteruit zouden afspelen zouden we zien dat het met grote snelheid uit de omgeving van het zwarte gat wegschiet om, steeds langzamer, oneindig ver van het zwarte gat te kunnen komen: het object heeft in totaal net genoeg energie om dat te redden. We zeggen in dat geval dat het object de ontsnappingssnelheid heeft. Om nauwkeurige baanberekeningen te kunnen doen in de omgeving van zwarte gaten is de Algemene Relativiteitstheorie nodig. Maar met Newtoniaanse zwaartekracht komen we ook al een heel eind: zo kunnen we precies de goede waarde berekenen van de grootte van de waarnemingshorizon van een zwart gat met Newtoniaanse theorie. De waarnemingshorizon is de afstand tot het zwarte gat vanaf waar licht niet meer kan ontsnappen. Dit betekent dat de ontsnappingssnelheid aan de waarnemingshorizon gelijk is aan de lichtsnelheid. (b) Laat met deze gegevens en bovenstaande vergelijkingen zien dat de straal van de waarnemingshorizon gegeven wordt door R = GM/c2 . Wanneer we dicht in de buurt van een zwart gat komen, speelt het feit dat we eindige afmetingen hebben een rol. Stel je je een astronaut voor die naar een zwart gat toe valt. De lokale valversnelling ten gevolge van het zwarte gat kunnen we schrijven als: a = GM/R2 , waarbij de valversnelling een positief teken heeft naar het zwarte gat toe. (c) Neem als massa van het zwarte gat nu 30 keer de zonsmassa. Als we aannemen dat de astronaut (met pak en al) 2 meter lang is en zijn voeten naar het zwarte gat toe gericht heeft, wat is het verschil in lokale valversnelling tussen de kruin van zijn hoofd en zijn tenen? (d) Als de astronaut een maximaal verschil in valversnelling van 20 keer de Aardse valversnelling kan hebben over de lengte van zijn lichaam zonder te bezwijken, wat is dan de maximale massa die een zwart gat moet hebben zodat onze astronaut ongeschonden de waarnemingshorizon kan passeren?

Vraag 4.

Getijdenkrachten

Getijdenkrachten kunnen beschouwd worden als een secundair effect van zwaartekracht, wanneer deze gecombineerd wordt met het feit dat hemellichamen eindige afmetingen hebben. Wanneer we een zekere massa m beschouwen aan het oppervlak van een hemellichaam A en dit blootstellen aan de invloed van een ander (verder verwijderd) hemellichaam B, zal deze massa daardoor een iets andere effectieve zwaartekrachtsversnelling ’voelen’ dan wanneer het alleen maar door A aangetrokken zou worden. Dit is een direct gevolg van de zwaartekrachtswet van Newton, en staat los van referentiekader-afhankelijke verschijnselen zoals centrifugale kracht. (a) Astronauten aan boord van het internationale ruimtestation (ISS) ondervinden een kleine getijdenversnelling wanneer ze zich niet in het zwaartepunt van het ruimtestation bevinden. (i) Ga na dat de correcte uitdrukking voor deze getijdenversnelling gegeven wordt door h agetijden ≈ 2GMdaarde , waarin G de algemene gravitatieconstante is, Maarde de massa van 3 de Aarde, h de afstand van de astronaut tot het zwaartepunt van het ISS in radiële richting, en d de straal van de baan van het ISS tot het centrum van de Aarde. 18


(ii) Waarom spreken we aan boord van het ISS van ’microzwaartekracht’, en niet van ’nanozwaartekracht’ of ’millizwaartekracht’ ? Beschikbare gegevens: lengte van het ISS = 72.8m, baanhoogte van het ISS boven het Aard2y 1 1 oppervlak = 410 km. HINT: (x−y) 2 − x2 ≈ x3 wanneer x y. (b) Getijdenkrachten zijn verantwoordelijk voor de oceaangetijden op aarde. We zullen hier onder sterk vereenvoudigende aannames de hoogte van de getijden berekenen. We nemen aan dat de Aarde volledig met water bedekt is door een oceaan die overal even diep is, en we zullen de centrifugale kracht negeren: getijdeneffecten treden ook op bij de afwezigheid van rotatie.

B

Maan

Aarde A

B

Figuur 7: Schematische weergave bij opgave (b) (i) Laten we twee plaatsen op Aarde beschouwen: punt A is het punt op het Aardoppervlak dat het dichtst bij de Maan ligt (dus waar de Maan direct boven ons staat aan de hemel). Punt B is een ander punt op Aarde, ergens op de cirkel waar de Maan precies aan de lokale horizon staat (dus halverwege tussen het punt op Aarde het verst van de Maan en punt A, zie figuur 7). We verwachten een hogere zeespiegel op punt A dan op punt B, vanwege de getijdeninvloed van de Maan. Een manier om de situatie te beschouwen is om de getijdeninvloed van de Maan te laten werken als een lokale wijziging van de effectieve verticale zwaartekrachtsversnelling g. Deze gewijzigde lokale zwaartekrachtsversnelling, geff , is in punt A een combinatie van de ’normale’ zwaartekrachtsversnelling van de Aarde zelf (g) en de veel kleinere zwaartekrachtsversnelling die we op dat punt voelen van de Maan. In punt B is geff gelijk aan g. De druk op de bodem van de oceaan kan benaderd worden met de uitdrukking P = ρgeff h, waar P de druk is en h de diepte van de oceaan op dat punt op Aarde. Omdat de druk overal op de bodem van de oceaan gelijk moet zijn vanwege hydrostatisch evenwicht (het water stroomt niet ergens anders heen) kunnen we hiermee de diepte van de oceaan op deze twee punten vergelijken. Bereken eerst de getijdeninvloed van de Maan in punt A. Vergelijk dan de effectieve zwaartekrachtsversnelling in punten A en B met elkaar, en haal daaruit de hoogte van 19


de getijdenbulten op Aarde. (ii) De Zon speelt ook een rol in de oceaangetijden op Aarde. Hoe verhouden de invloeden van de Maan en de Zon zich tot elkaar qua sterkte? (c) Getijdenkrachten zorgen ervoor dat manen op den duur steeds dezelfde kant naar hun moederplaneet houden, een verschijnsel dat wordt aangeduid met het begrip ’synchrone rotatie’. Pluto en Charon vormen een extreem voorbeeld van synchrone rotatie: ze houden beiden steeds dezelfde kant naar elkaar gericht. De tijdschaal voordat synchrone rotatie optreedt (tlock )is moeilijk om exact te berekenen, maar wordt mede bepaald door enkele belangrijke factoren op de volgende manier: tlock ∝

a6 Rs , ms m2p

(4)

waar a de halve lange as van de omloopbaan is, Rs is de straal van de maan, ms is de massa van de maan en mp is de massa van de planeet. (i) Als we aannemen dat onze Maan slechts kort geleden synchrone rotatie heeft bereikt, kun je dan uitrekenen wat deze tijdschaal voor Charon moet zijn geweest? (ii) En waarom is de Aarde niet in synchrone rotatie met de Maan, terwijl Pluto wel in synchrone rotatie is met Charon? (d) Een van de meest spectaculaire gevolgen van getijdenkrachten is iets dat we cryovulkanisme noemen. Een voorbeeld hiervan wordt gevormd door de pluimen van vloeibaar water die op Enceladus met grote snelheid naar buiten komen. (i) Kun je uitleggen hoe dit in zijn werk gaat (HINT: zie figuur 8))? (ii) Hoe komt de energie hiervoor vrij? (iii) Zijn er andere voorbeelden in het Zonnestelsel van die verschijnsel? (e) Getijdenkrachten kunnen manen en andere objecten uit elkaar trekken wanneer deze te dicht bij hun planeet in de buurt komen. Binnen een bepaalde afstand worden deze krachten zo sterk dat de zwaartekracht van de maan zelf niet sterk genoeg meer is om de maan bij elkaar te houden. Dit is de reden dat komeet Shoemaker-Levy 9 uit elkaar viel alvorens deze insloeg op Jupiter in 1994 (figuur 9). Dit lot wacht Phobos, een van de manen van Mars, ook. De straal van Phobos’ baan rond Mars krimpt met 5.2 cm per jaar, en op een bepaald moment zal Phobos uit elkaar vallen en zal Mars tijdelijk een ringenstelsel krijgen, zoals Saturnus dat heeft. De dichtste nadering die een maan tot een planeet kan hebben zonder uit elkaar te vallen wordt de Rochelimiet genoemd. Wanneer we alleen zwaartekrachtsinvloeden beschouwen kunnen we 1 3 ρ deze Rochelimiet schatten met de uitdrukking aR ≈ 2.456 × Rp ρps , waarin Rp de straal van de planeet is en ρp en ρs respectievelijk de dichtheden van de planeet en de maan zijn. (i) Wanneer zou Mars ringen moeten krijgen? (ii) Met preciezere berekeningen wordt deze tijdschaal geschat op 43 miljoen jaar. Hoe verklaar je het verschil met de tijd die uit je eigen berekening resulteerde?

20


Figuur 8: De getijdenbulten van Enceladus. Uit: Andrew J. Dombard (2007)

Figuur 9: Komeet Shoemaker-Levy 9, vlak voor zijn inslag op Jupiter. Bron: Space Telescope Science Institute

21


G = 6.67 · 10−11 N m2 kg−2 g = 9.8 m s−2 MZon = 1.989 · 1030 kg MAarde = 5.972 · 1024 kg MM aan = 7.3477 · 1022 kg MM ars = 6.4185 · 1023 kg MP hobos = 1.08 · 1016 kg MP luto = 1.309 · 1022 kg MCharon = 1.52 · 1021 kg aZon = 1 AU = 149597871 km aZon (perihelium) = 147100000 km aZon (aphelium) = 152100000 km aM aan = 3.844 · 108 m aM aan (perigeum) = 3.626 · 108 m aM aan (apogeum) = 4.054 · 108 m aP hobos = 9.377 · 106 m aP luto = 2.035 · 106 m aCharon = 1.7536 · 107 m RAarde = 6.371 · 106 m RM aan = 1.737 · 106 m RM ars = 3.3895 · 106 m RP luto = 1.153 · 106 m RCharon = 6.035 · 105 m RZon = 6.96 · 108 m RP roximaCentauri = 9.8 · 107 m ρM ars = 3933.5 kg m−3 ρP hobos = 1876.0 kg m−3 Tabel 1: Enkele getallen die je nodig kunt hebben bij het oplossen van de vragen.

22

Nederlandse Sterrenkunde Olympiade 2015

Recommend Documents